WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Соболева Ольга Николаевна

Подсеточное моделирование процессов протекания в задачах фильтрации и геоэлектрики в многомасштабной неоднородной среде

05.13.18 –Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2009

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии Наук Институте Вычислительной Математики и Математической Геофизики Сибирского Отделения РАН Научный консультант академик РАН, Михайленко Борис Григорьевич

Официальные оппоненты:

чл.-корр. РАН, доктор физико-математических наук, профессор Николаев Алексей Всеволодович доктор физико-математических наук Огородников Василий Александрович доктор физико-математических наук Филатов Владимир Викторович Ведущая организация – Учреждение Российской Академии Наук Институт Горного Дела Сибирского Отделения РАН

Защита состоится 19 мая 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Институте Вычислительной Математики и Математической Геофизики Сибирского Отделения РАН, 630090 г., Новосибирск, 90, проспект Академика Лаврентьева,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской Академии Наук Институте Вычислительной Математики и Математической Геофизики Сибирского Отделения РАН Автореферат разослан « » 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Сорокин С. Б.

Актуальность темы диссертации Современная геофизика вышла за рамки традиционной горизонтально-слоистой однородной модели среды. Общепринята точка зрения, согласно которой неоднородность среды оказывает существенное влияние на процессы распространения жидкости, тепла, электрического тока, волн и т.д. В большинстве геофизических задач крупные неоднородные включения (пласты, пропластки) учитываются в модели непосредственно с помощью граничных условий. Такие задачи широко используют численные методы.

Прогресс в этом направлении при современных темпах роста вычислительных возможностей представляется неограниченным. Однако и здесь имеются принципиальные трудности, если ограничиться непосредственным расчетом физических величин в средах достаточно сложной структуры. Поэтому одна из фундаментальных задач при изучении неоднородных сред касается математического моделирования, включающего малые масштабы. Эта задача возникает, например, в молекулярной динамике, турбулентных течениях и в задачах протекания жидкости, электрического тока, тепла в многомасштабных неоднородных средах. Основные уравнения для подобных явлений, такие как уравнения Шрёдингера, Максвелла, фильтрации, упругости или уравнения Навье-Стокса могут быть очень точными моделями для реальных явлений, но требуют больших вычислительных затрат из-за вариаций коэффициентов всех масштабов. Если учитывать малые масштабы, то даже компьютеры с большой мощностью не способны решить эти уравнения с достаточной точностью. Традиционный подход для преодоления этой трудности - найти упрощающие модели, требующие меньшего количества вычислительных затрат, решение которых для физических величин, например, для скорости, напряженности электрического поля и т.д. близко в среднем к решению первоначальной полной задачи. Построение таких более простых моделей, правильно описывающих поведение решения в крупномасштабном пределе, называется подсеточным моделированием. Естественным подходом для поиска подсеточной модели может быть усреднение полных уравнений по мелкомасштабной компоненте. В середине семидесятых годов прошлого столетия появилась новая область исследований в геодинамике и подземной гидродинамике - стохастическое моделирование потока и переноса. При исследовании явлений переноса в неоднородной среде мелкомасштабные неоднородности учитывают в рамках статистических моделей с помощью эффективных коэффициентов (М. И. Швидлер, 1963, G. Dagan, 1983). Эффективные характеристики системы, найденные для одной задачи, могут оказаться непригодными для другой задачи, решаемой для той же системы. Если масштаб неоднородности сравним с размерами области решения системы, эффективная проводимость зависит не только от свойств среды, но и от размеров области и типа условий на ее границе. В этом случае эффективные характеристики зависят от условий задачи в целом и должны определяться в каждом отдельном случае. Если размеры области решения велики по сравнению с масштабом неоднородности, краевые условия мало влияют на эффективные характеристики, за исключением возможно узкой приграничной зоны. Однако в этом случае эффективные коэффициенты должны, так или иначе, зависеть от всех параметров случайного поля, например, от всех моментов случайного поля. Попытки суммирования всего ряда теории возмущений связаны с методом перенормировок, развитым в квантовой теории поля.

Формула Ландау – Лифшица-Матерона для эффективной проницаемости в рамках строгой полевой ренормализационной группы получена в работах U. Jackel, H. Vereecken (1997), G. Chistakos, D., T. Hristopulos (1999), Э. В. Теодоровича (2002). В начале девяностых годов новые подходы в задаче подсеточного моделирования были развиты на основе динамической численной подсеточной модели, впервые введенной Джермано и др. (1991).

В этом подходе ищется подсеточная модель для конкретных данных. Сначала на разных вычисляемых (достаточно крупных) масштабах численно ищется решение с хорошей точностью. Затем, используя эти решения, пытаются найти формулы экстраполяции решения от масштаба к масштабу, чтобы применить их для учета мелких масштабов.

Зависимость коэффициентов от начальных данных и граничных условий принимается во внимание.

Для того, чтобы иметь основания применить метод подсеточного моделирования или применить метод перенормировок Вилсона, необходимо, чтобы задача в некотором интервале масштабов, включая малые масштабы, имела некоторую "масштабную регулярность". Например, для того чтобы опыт, приобретенный при решении задачи на грубых масштабах с хорошим численным решением, можно было использовать для более мелких масштабов. Многие задачи, имеющие вариации коэффициентов от малых до больших масштабов, например, течения при больших числах Рейнольдса в неоднородных пористых средах и т.д., фактически имеют такую регулярность. Для моделирования физических величин с таким поведением используются каскадные модели, поскольку оказалось, что они хорошо описывают эмпирические данные в различных геофизических задачах. Бесконечные мультипликативные каскады, введенные впервые Колмогоровым, ведут к крайне неоднородным множествам. Впервые каскады Колмогоров ввел в 1941 г.

для прикладной задачи о распределении частиц при дроблении. Процесс дробления моделировался как каскад с автомодельным механизмом последовательного измельчения частиц, что привело к логнормальному распределению их размеров.

Усовершенствованная гипотеза подобия в турбулентности сформулирована Колмогоровым в 1962 г.. Задачи моделирования развитой турбулентности и процессов, происходящих в неоднородной среде, различны. Речь идет лишь о внешних проявлениях двух очень разных физических процессов, а именно: стохастичности, автомодельности, иерархически пространственной структурированности и наличии степенных закономерностей. Признаком масштабного подобия служит наличие степенных зависимостей в корреляционных функциях. По результатам геофизических работ в нефтегазовых скважинах и петрофизическим исследованиям многими авторами отмечалось масштабное подобие для электрофизических и гидрофизических параметров сред. К настоящему времени сложилось понимание важности проблемы учета мелких масштабов и развития методов подсеточного моделирования в геофизических задачах.

Цель исследования и основные задачи Цель работы: создать методы определения эффективных параметров и решить уравнения движения с учетом многомасштабности и перемежаемости вариаций параметров в среде, если о флуктуациях параметров имеется, лишь статистическая информация.

Научная новизна В настоящей работе предложен новый метод подсеточного моделирования, позволяющий решить задачи с учетом мелкомасштабных флуктуаций в многомасштабной неоднородной среде, в котором физические параметры задачи моделируются непрерывными мультипликативными каскадами (испытывают сильные пространственные флуктуации с перемежаемостью). Впервые построена непрерывная каскадная модель среды, пригодная для прямой численной проверки статистических моделей. Метод применялся для решения стационарных задач фильтрации, квазистационарных уравнений Максвелла и задачи конвективной диффузии.

Практическая ценность работы Вследствие недоступности большинства геологических систем непосредственному наблюдению их исследование производится с помощью геофизических методов и математических моделей. Поэтому большой практический интерес имеет оценка влияния микронеоднородностей при создании математической модели вытеснения пластовых флюидов фильтратом бурового раствора и возбуждении электромагнитного поля в нефтяном резервуаре. В частности, при проектировании высокочастотных зондов в индукционном каротаже. В работе получены результаты в задаче конвективной диффузии.

Эта задача важна для построения математической модели распространения загрязнений токсичными и радиоактивными веществами подземных вод, переноса теплоты фильтрационным потоком, использования различных добавок к воде при заводнении нефтяных скважин.

Достоверность, построенных математических моделей, основана на теоретическом анализе, детальных численных экспериментах и сопоставлением полученных решений, с известными решениями.

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах « Математические методы в геофизике» под руководством академика РАН Алексеева А.С.

(Новосибирск 2000-2003г.), под руководством академика РАН Михайленко Б.Г.

(Новосибирск 2008г.), на семинарах «Геомеханика и Геофизика» под руководством академика РАН Гольдина С.В. (Новосибирск 2001г., 2002г., 2004г., Байкал 2006г.), на семинарах по геоэлектрике под руководством академика РАН Эпова М.И. (Новосибирск, 2003г.-2008г.); на семинаре «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике» под руководством член-корр. РАН Михайлова Г. А., а также на четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ2000г.), посвященном памяти М. А. Лаврентьева; на 7 и 8 международных конференциях «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», Новосибирск 2000г., 2001г. На зарубежных конференциях: EAGE/SEG Research Workshop on 'Reservoir Rocks', (PAU, France 30 April-3 May 2001); International Conference on Multifield Problems, (April 810, 2002, Stuttgart, Germany); на конференции « Математические методы в геофизике», (Новосибирск, ИВМ и МГ 2003); на международной конференции: «Kolmogorov and contemporary mathematics», (Москва, Июнь 16--21, 2003); на зарубежных конференциях IVth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, (September 15--19, 2003), WIAS Berlin;

Symmetry in nonlinear mathematical physics, Kyiv (June 23--29, 2003), Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании, (Алматы, 2004г., 2008г.);

Computational Science, Workshop Multiscale problems - ICCS 2005, (Atlanta, USA); The International Conference on Applied and Theoretical mechanics (Mechanics'06) Venice, Italy, 20-22-November; International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics, (August 28-September 1, Slovakia 2006); WSEAS International Conference Applied and Theoretical Mechanics, Spain, (December 14-16, 2007); на конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», Новосибирск, (21-24 августа, 2007г.); на конференции «ГЕО-Сибирь», 2008г., Новосибирск, на конференции по «Математическим Методам в Геофизике», посвященной восьмидесятилетию акад. А.С. Алексеева, Новосибирск, 2008г.

Публикации Общее число публикаций по теме диссертации – 25. В их числе 9 статей – в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук; 13 статей - в сборниках международных и российских конференций; статьи - в иностранных и отечественных журналах, не входящих в перечень ВАК.

Личный вклад Все результаты в соавторстве с Геннадием Андреевичем Кузьминым получены на паритетных началах. В работах с другими соавторами основной вклад принадлежит автору диссертации (получение теоретических результатов, написание основных программ, проведение численных расчетов, обсуждение результатов).

Структура и объем Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 215 страниц, в том числе 176 страниц основного текста, 47 рисунков на 39 страницах.

Содержание диссертации Во Введении обоснована актуальность и практическая ценность темы диссертационной работы, дан обзор литературы, приведено краткое содержание работы по главам.

В главе 1 описываются модели физических параметров. В разделе 1.1 для моделирования физических параметров предлагается подход, позволяющий построить непрерывную каскадную модель среды, пригодную для прямой численной проверки статистических моделей. Если поле физического параметра x (проницаемости, пористости, ( ) электропроводности и т. п.) известно, то в каждой точке x выполняется его измерение в образцах минимального масштаба l0. Случайная функция пространственных координат рассматривается как предел удельной проводимости среды x x при l0 0.

( )l0 ( ) Аналогично Колмогорову (1962), Яглому (1967) рассматривается безразмерное поле равное отношению проводимости сглаженной по двум различным масштабам l,l ' :

x,l,l ' = x / x, l ' < l. При стремлении l ' l выводится уравнение ( ) ( ) ( ) l l ' ln x l ( ) = x,l, (1) ( ) ln l где x,l = x,l,ly / y |. Практически, мелкомасштабные флуктуации поля могут ( ) ( ) y=наблюдаться только в некоторой конечной области масштабов l0 < l < L, поэтому решение уравнения имеет вид:

L dl l x = 0 exp x,l, (2) ( ) 0 - ( ) l l где 0 константа, а поле x,l определяет все статистические свойства среды. Если ( ) дисперсия x,l конечна, то для больших значений L / l0 интеграл (2) стремится к полю ( ) с нормальным распределением вероятностей. В разделе 1.2 рассматривается модель, в которой случайное поле x,l имеет нормальное распределение вероятностей, ( ) соответственно, поле l x имеет логарифмически нормальное распределение.

( ) Предполагается, что корреляционная функция x,y,l,l поля x,l однородна и ( 1 ) ( ) изотропна, а флуктуации поля x,l не коррелируют на разных масштабах ( ) (x - y)2,l,l1 = (x - y)2,l ln l - ln l1. Это обычное предположение для ( ) () ( ) скэйлинговых моделей и отражает тот факт, что статистическая зависимость затухает, если масштабы флуктуаций параметров различны по величине. В теоретических выкладках это условие не имеет существенного значения. Однако при численной проверке полученных теоретических формул значительно облегчает моделирование случайного поля . Для простоты мы используем ту же самую букву в правой части формулы.

Показано, что если среда масштабно инвариантна, то корреляционная функция поля l x в интервале l0 < r < L степенным образом зависит от радиуса корреляции ( ) - (x,l0) (x + r,l0) C r / L, где = 0,l в масштабно-инвариантной среде ( ) 0 ( ) константа. Под радиусом корреляции понимается величина обратная масштабу неоднородности - 1/ L. Если r много больше L, то x x + r 02. Если каскад ( ) ( ) консервативен, то для любого l должно выполняться равенство l x = 0. Это условие ( ) выполняется, если = 2 . В разделе 1.3 построен мультипликативный каскад, имеющий логарифмически устойчивое распределение вероятностей. С помощью таких распределений моделируют, как правило, редкие, но большие события, поскольку эти распределения затухают медленнее, чем нормальные распределения. Например, в работе M.C. Bouffadel др. (2000) по экспериментальным данным для скважин получены распределения полей проницаемости и некоторые статистические характеристики, показано, что поля проницаемости могут иметь логарифмически устойчивые распределения с параметрами 1 < 2, = 1. В работе построена модель для этого диапазона параметров. Поле выбирается в виде:

1/ 0(l) l l (x,l) = aij + (l), (3) j 2( ln 2) -1 i l где l = 2, - шаг дискретизации по логарифму от масштаба. Коэффициенты aij зависят l только от модуля разности индексов aij al i - j, поэтому индекс j в дальнейшем ( ) может быть опущен, и имеют носитель (support) размера l3, что означает статистическую независимость флуктуаций коэффициентов для различных по величине масштабов.

l Коэффициент перед случайными величинами в формуле (3) выбран в таком виде, i чтобы в дальнейшем запись показателей степени в эффективных коэффициентах была l компактной. Для всех l выполняется условие ak =1. При 1 2 таким k k k kykz ( ) x y z x образом построенное поле будет устойчивым, однородным и изотропным по l пространственным переменным. Если коэффициенты aji удовлетворяют условию ail al i - j / l и константы 0(l), (l) одинаковы при всех l, то поле будет ( ) - j инвариантным относительно масштабного преобразования. Среднее для поля существует, что касается вторых моментов, то для 2 они бесконечны. Тем не менее, для крайней точки = 1 вторые моменты для самого поля существуют, несмотря на отсутствие дисперсии поля . Показано, что в интервале масштабного подобия корреляционная функция поля степенным образом зависит от радиуса корреляции:

2 0 / cos / 2 +2 x x + r C r / L. Условие консервативности для каскада ( ) ( ) ( )( ( ) ) выполняется при условии = -2cos / 2 .

0 ( ) Во второй главе разработан новый метод подсеточного моделирования для стационарной задачи протекания в изотропной многомасштабной среде. Получены эффективные уравнения и оценки вторых статистических моментов некоторых физических полей. Рассматривалась система соотношений v(x) = x h x, div v x = 0, h x = -U x. (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Если трактовать систему как задачу о протекании постоянного электрического тока в неоднородной среде, то под потоком v следует понимать вектор j - плотность электрического тока, векторное поле h определяется потенциалом U x, h x =-U x ( ) ( ) ( ) и является электрическим полем, локальная проводимость x, является случайным ( ) полем удельной электропроводности среды. Если рассматривать задачу фильтрации однофазной жидкости в неоднородной среде при малых числах Рейнольдса, то под потоком v следует понимать вектор скорости фильтрации, поле h определяется градиентом давления h = -p, локальная проводимость x равная отношению ( ) проницаемости к вязкости, является случайным полем, зависящим от координат. Давление и скорость связаны уравнением Дарси. На границе области V, в которой решаются уравнения (4), заданы некоторые граничные условия. Размеры области V велики по сравнению с масштабом неоднородности. Поле проводимости моделировалось непрерывным мультипликативным каскадом (2). Исследуемые поля разделялись на две компоненты - мелкомасштабную и крупномасштабную по отношению к некоторому разделительному масштабу. Крупномасштабная компонента (x,l) получена статистическим усреднением по всем (x,l1) с l1 < l, мелкомасштабная (подсеточная) равна (x) = (x) - (x,l) :

Ll dl1 dl (x,l) = 0 exp (x,l1) exp (x,l1), - l l1 -l0 l1 (5) - ll dl1 dl (x) = (x,l) exp (x,l1) exp (x,l1) -1.

- ll1 -l0 l1 где функция (x,l1) на интервале l, L фиксирована, а на интервале l0, l случайна. Для ( ) ( ) консервативного каскада (x,l) = l (x). Крупномасштабная (надсеточная) компонента потенциала U x,l получается как усредненное решение уравнения (1), в котором ( ) крупномасштабная компоненте (x,l) фиксирована, а мелкомасштабная (x) является случайной величиной. Подсеточная компонента потенциала равна U x = U x x,l.

( ) ( )-U ( ) Усреднением исходных уравнений по мелкомасштабной компоненте получено надсеточное уравнение:

(x,l)U (x,l) + '(x)U '(x) = 0. (6) Второе слагаемое в этом уравнении неизвестно. Оно не может быть отброшено без предварительной оценки, поскольку корреляция между проводимостью и градиентом потенциала может быть существенной. Выбор вида второго члена в этом уравнении определяет подсеточную модель. При начальном значении масштаба l, близкого к наименьшему масштабу l0 ( l = l - l0 ) с точностью до членов второго порядка малости l, получено уравнение для подсеточной компоненты потенциала:

U ' x = - ' x U x,l. (7) ( ) ( ) ( ) x,l ( ) Предполагается, что незначительное изменение масштаба полей (x,l), U (x,l) влечет за собой значительные флуктуации самого поля (что характерно для каскадных моделей полей), поэтому можно считать, что сами поля и их производные меняются медленнее, чем мелкомасштабные компоненты ' x,U ' x и их производные. В этих ( ) ( ) предположениях в разделе 2.1, используя решение подсеточного уравнения (7), получена оценка подсеточного члена при логарифмически нормальном распределении поля проводимости во внутренних точках области. Ошибка в этой оценке может быть существенной только в узкой области (размера радиуса корреляции) вблизи границы.

Эффективная проводимость определяется по той же формуле, что и l x :

( ) L dl1 l (x)eff = 0l exp - 1 (x,l ) l1 , l где 0l зависит лишь от масштаба. Подставив оценку подсеточного члена в уравнение (6), получаем уравнение 1 l 1+ l l dl1 L 0 l ( ) i0 1- 0 l (8) ( )l - exp l(x,l1) l1 iU (x,l) = 0.

- l 2 l 3 Следовательно, с точностью до членов второго порядка малости по l эффективная константа 0l равна 0 l ( ) l 0l = (9) 1+ - .

6 l Переходя к пределу по l в равенстве (9), получим, что 0l удовлетворяет дифференциальному уравнению 0 l d ln0l ( ) = - l. (10) ( ) d ln l Если среда масштабно инвариантна, константы 0, не зависят от масштаба, и 0 /6- решение уравнения (10) имеет простой вид 0l = 0L l / L. Таким образом, если ( ) 0 /6- пройти весь интервал изменения масштабов, константа будет равна 00 = 0 L / l0, ( ) 0 /6- а не 0 и, следовательно, средний поток будет равен v = L / l0 v0. Эта формула в ( ) согласуется с формулой Ландау-Лифшица-Матерона. В разделе 2.2 получены эффективные коэффициенты для оценки вторых одноточечных статистических моментов градиента потенциала и потока при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости. Надсеточное уравнение для компонент второго одноточечного статистического момента градиента потенциала имеет вид hn x hj x nU (x,l) U (x,l) + nU '(x) U '(x). (11) ( ) ( ) j j В тех же предположениях, что и предыдущая оценка для подсеточного члена в исходных уравнениях, получено, что 1 l nU '(x) U '(x) 0 l njkm + nk + nmkj mU x,l kU x,l. (12) ( ) ( ) ( ) () j jm 15 l Используя предельный переход по l, получили оценки для попарных разностей и суммы компонент тензора вторых статистических моментов градиента потенциала 22 2 hx x - hy x 0l hx x,l - hy x,l, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 hz x - hy x 0l hz x,l - hy x,l, (13) ( ) ( ) ( ) ( ) () 222 2 2 hx x + hy x + hz x 0l x x,l + hy x,l + hz x,l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (h ), 2 где коэффициенты 0l, 0l удовлетворяют уравнениям d ln0l = 0 l, 0l |l=L =1, ( ) d ln l (14) d ln0l = 0 l, 0l |l=L = 1.

( ) d ln l Из уравнений (13) получены эффективные значения для каждой компоненты h x.

n ( ) Для компонент тензора при n j получена оценка hn x hj x 0l hn x,l hj x,l. В ( ) ( ) ( ) ( ) случае масштабно инвариантной среды оценки имеют вид hx x ( ) hx x,l 2 ( ) 2 hy x = A hy x,l, (15) ( ) ( ) ( ) hz x hz x,l ( ) 0 / где = l / L / 3, а матрица A равна ( ) 2 l / L -0 / 5 +1 -(l / L -0 / 5 +1 -(l / L -0 / 5 +1 ( ) ) ) -0 / 5 -0 / 5 -0 / -( ) ( ) l / L +1. (16) A = l / L +1 2 l / L +1 -( ) -0 / 5 -0 / 5 -0 / l / L +1 -( ) l / L +1 2 l / L +-( ) ( ) 20 / Для n j справедлива оценка hn x hj x l / L hn x,L hj x,L. Таким же ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) образом оценивались компоненты тензора вторых статистических моментов локального потока. В разделе 2.3, получены эффективные оценки статистического среднего потока для логарифмически устойчивого распределения проводимости. В этом случае коэффициенты в дифференциальных уравнениях, дающих зависимость эффективных параметров переноса от разделительного масштаба, зависят не только от параметров , , но и параметра распределения . Эффективные коэффициенты для потока удовлетворяют уравнению 2 1- 2 -1 + ( ) d ln0l =-0 l (17) ( )6cos / 2 - l.

( ) d ln l ( ) -0 2 / 6cos / 2 + ( ( )) ( (1-2 )+) В масштабно инвариантной среде 0l = 0L l / L, где постоянная ( ) характеризует связь между средним локальным потоком и средним градиентом 0L потенциала на самом большом масштабе. Для эффективных коэффициентов, определяющих оценку второго статистического момента градиента потенциала, получены уравнения:

-( d lnl4 2 1- 2 ) =0 l, ( ) d ln l 15cos / ( ) (18) -( d lnl5 1- 2 ) =0 l.

( ) d ln l 3cos / ( ) Оценка второго статистического момента градиента потенциала в масштабно инвариантной среде имеет вид h1 x ( ) h1 x,l 2 ( ) 2 h2 x = A h2 x,l, (19) ( ) ( ) ( ) h3 x h3 x,l ( ) 0 -1 / 3cos / ( ( )) (1-2 ) ( ) где = l / L / 3, матрица равна ( ) -1 -1 -( ) -1 ( ) -1 ( ) 2 2 ) l0 -1 0 /5cos / 2 l0 2 0 /5cos / 2 l0 2 0 /5cos / +1 - +1 - +1 ( )( ( )( ) ( )( ) LLL -1 -1- 2 -1 0 /5cos / 2 -1 ( ) -1 ( ) ( ) l0 2 0 /5cos / - l A = +1 2 +1 -l0 2 0 /5cos / 2 +1. (20) ( )( ) ( )( ) ( )( ) LL L -1 -1 --1 ( ) -1 ( ) -1 ( ) l0 2 0 /5cos / 2 l0 2 0 /5cos / 2 l0 2 0 / 5cos / +1 -+1 2 +1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) - LLL В разделе 2.5 проведено численное моделирование описанной выше трехмерной задачи для логарифмически нормальной и логарифмически устойчивой моделей проводимости.

Сравнение полученных плавных компонент полей с результатами прямого численного моделирования позволило оценить точность применяемого метода, и то в какой мере предложенный метод лучше обычной теории возмущений в первом порядке. В расчетах используются безразмерные переменные. Задача решается в единичном кубе, с единичным скачком потенциала и 0 = 1. На гранях куба y=0 и y=1 задается постоянный потенциал U(x)|y=0 =U1, U(x)|y=1=U2, U1 > U2. Потенциал на других гранях куба задается линейной зависимостью по U x =U +(U )y : По пространственным ( ) 1 1-U переменным использовалась сетка 256 256 256. Интеграл в модели проводимости заменялся конечно-разностной формулой log2 L - x,i ( ) i=- x = exp ln 2 x, d 2. (21) ( ) - ( ) l log2 l i Здесь l = 2, = 1 - шаг дискретизации по логарифму масштаба. Корреляционная i функция нормального случайного поля выбиралась в виде i - (x,i )(y, ) - (x,i ) (y, ) = 0 / ln 2 exp x - y / 22 . (22) () ( ) j j Константы , выбирались из экспериментальных данных для пористых природных сред. Поле x,l генерировалось независимо для каждого li. Общий показатель степени ( ) i в модели проводимости суммировался по статистически независимым слоям. Количество слоев и масштабы выбирались так, чтобы масштаб самых крупных пульсаций проводимости позволил заменить приближенно вероятностные средние величины усредненными по пространству, а масштаб самых мелких так, чтобы разностная задача хорошо аппроксимировала уравнение. Эргодичность проверялась для многих реализаций.

Для численного моделирования поля был использован метод «по строкам и столбцам» (Ogorodnikov, Prigarin “Numerical Modeling of Random Processes and Fields”, 1996). Для решения уравнений движения использовался итерационный метод минимальных невязок в сочетании с методом прогонки и быстрым преобразовании Фурье для предобусловлевотеля. На рис. 1 приведено изменение проводимости в зависимости от количества масштабов для логарифмически нормального распределения вероятностей при z = 05, 0 = 03, = 015 (консервативный каскад). В модели использовано три...

масштаба l = 1/ 64, 1/ 32, 1/16.:

--y y x x 0.0.0.0.0 0 -y x 0.0.Рис. На рисунках 2, 3 приведены результаты для логарифма средних значений локального потока и дисперсии компонент потока в зависимости от количества используемых масштабов в модели.

0.log2 -0.-0.0 1 2 k Рис. 2 0 = 03. 1, 2 - значения, полученные по теоретическим формулам при = 0 и.

= 015 (консервативный каскад); 3,4 - результат, полученный по обычной теории.

возмущений; * - результаты численного моделирования при = 0, - результаты.

численного моделирования при = 015. Средние значения v v 0.

x z Рис. 3 Dy, Dx дисперсия локального Dy,Dx потока v по осям y, x ; 1, 2 - результат, 0.полученный по обычной теории 0.возмущений; 3,4 - результат, полученный по теоретическим формулам; звездочками 0.обозначен результат, полученный прямым.

численным моделированием; = 015.

0.0 1 2 k Оценка среднего потока имеет точность приблизительно 97%, оценка дисперсии потока для больших значений компонент тензора - примерно 90%, для больших компонент дисперсии градиента потенциала - примерно 70%. Для маленьких компонент ( Dx - линия 4) можно говорить только о качественном поведении компонент дисперсии.

Обычная теория возмущений в первом порядке дает значительно худшую точность. На рисунке 2 приведены результаты для неконсервативного и консервативного каскадов. При увеличении числа масштабов в среде средний поток должен убывать, а дисперсия потока расти. Это объясняется тем, что с увеличением количества масштабов увеличивается контактная поверхность между областями среды с разной проводимостью, и, соответственно, растет сопротивление потоку. Если поле моделируется неконсервативным каскадом ( = 0, линия 1), средние значения растут с увеличением числа масштабов. Самое большое значение средняя проводимость имеет при l = l0 (при k = 3 на рис.2). Если сглаживать проводимость, начиная с масштаба l0, и с этими средними значениями проводимости проводить расчеты (без учета эффективных коэффициентов), то полученный в этих расчетах поток будет значительно превышать средние значения, полученные при численном моделировании неоднородной среды. В диссертации приведены соответствующие расчеты. Таким образом, средний поток в среде, промоделированной неконсервативным каскадом, тоже убывает по сравнению с невозмущенным движением.

При численном моделировании проводимости с логарифмически устойчивым законом распределения случайное поле ( x,l ) генерировалось по формуле (3).

3/ i ) ( - j Коэффициенты ail выбирались в виде ail = exp - . Поле (x,l ) - j - j l2 l l генерировалось независимо для каждого l. Независимые случайные величины в j формуле (3) моделировались с помощью генерирующих формул B. W. Chambers и др.

(1986). Для логарифмически устойчивого поля оценка среднего потока имеет точность примерно 96%.

В главе 3 предложенный метод подсеточного моделирования применяется для случая анизотропной среды в случае, когда проводимость в точке изотропна, а корреляционная функция поля анизотропная. Предполагается, что масштабы корреляций удельной проводимости по различным осям различны. В изотропном случае вид корреляционной функции не влияет на эффективные коэффициенты. В этом случае статистическая информация исчерпывается знанием закона распределения и среднего значения поля и его дисперсии. Исследование анизотропного случая требует информации о виде корреляционной функции. В разделе 3.1 получены эффективные коэффициенты для нескольких корреляционных функций. Предполагается, что проводящая среда, стратифицированная таким образом, что проводимость по координатам x1, x2 имеет одинаковые масштабы неоднородностей. Масштабы по осям x1, x2 равны l1 = l, а по оси x3 l2 = l. Одинаковые масштабы по двум осям рассматриваются только из соображений уменьшения громоздкости вычислений и, чтобы избежать численного вычисления эллиптических интегралов, которые неизбежно возникнут при интегрировании корреляционных функций для трехмерных структур. Поле проводимости имеет логарифмически нормальное распределение вероятностей. Для определения эффективных коэффициентов необходимо вычислить интегралы i = 'i 'j x - x',l dx', ( ) 4 x - x' V 1ij == 2 'i x - x' ''j x - x'' 'm ''k (x'- x'',l)dx''dx'.

16 Основной вклад в коэффициенты i вносят градиенты корреляционной функции в направлениях xi. Чтобы получить представление о степени влияния вида корреляционной функции на эффективные коэффициенты, рассмотрены анизотропные корреляционные функции проводимости, полученные в экспериментальных работах. Рассматривалось три корреляционные функции:

1 1 x-x',l = 0 l exp x '1- x1 2 + x '2- x2 2 ( ) ( ) () ( )() - ()- 2 x '3- x3 , l2 l 1 22 2 x-x',l = 0 exp, ( ) () ( ) - x '1- x1 + x '2- x2 - x '3- x3 ll 3 x-x',l = 0u1 u2 u( ) xi - x 'i xi - x 'i ( ) ( ) ui = /, i =1,sin 2l1 2l1 x3 - x '3 x3 - x '3 () () u3 = /.

sin 2l2 2l2 И часто используемая инженерами прямоугольная аппроксимация корреляционных функций:

0, xi - xi ' l / i, i = 1,…,3, 4 x- x',l = ( ) 0, xi - x'i > l / i.

Анализ коэффициентов вычисленных для различных корреляционных функций показал, что для получения правильной оценки среднего потока можно пользоваться прямоугольной аппроксимацией корреляционной функции. В разделе 3.2 получены эффективные коэффициенты для вторых статистических моментов градиента потенциала и потока в анизотропной среде. Для оценки вторых статистических моментов прямоугольная аппроксимация применима только в определенном диапазоне параметров.

В разделе 3.3 сделана численная проверка полученных формул. Также как и в изотропном случае, задача решалась в единичном кубе с единичным скачком потенциала, и 0 = 1.

Расчеты делались для двух вариантов граничных условий. Вариант а) – граничные условия поставлены так, что поток направлен по оси y, вариант б) - поток направлен по оси z. Рассматривалось две модели среды. В первой модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по осям x, y, а мелкие по оси z, (1 / 2 = 025 ). Во второй.

модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по оси z, мелкие по осям x, y, (1 / 2 = 4 ). Коэффициент проводимости моделировался нормальным случайным полем с корреляционной функцией - 222 i 1 x-x',i = 0 / ln 2 exp 1 x - x ' +1 y - y ' +2 z - z ' / 22 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

Численные расчеты показали, что для замены статистического усреднения усреднением по пространству при соотношениях 1 / 2 = 025, 1 / 2 = 4, сетка 256 256 2.

недостаточна, поэтому использовалось дополнительное усреднение по ансамблю Гиббса.

Генерация коэффициента и решение задачи выполнялись восемьдесят раз с последующим доусреднением по пространству. Для локального потока проведено сравнение и с результатами, полученными по формулам обычной теории возмущений. Интегралы, которые используются при расчете коэффициентов для обычной теории возмущений в первом порядке в анизотропной среде для оценки средних значений потока, вычисляются численно с помощью программы из CPC Program Library, Elsevier Science.

log2 -0.-0 1 2 k Рис. 4 1 - теоретический результат для изотропного случая; 2 - теоретический результат для анизотропной модели; 3 - результат, полученный по обычной теории возмущений для анизотропной модели; * - обозначен результат численного моделирования в анизотропном случае; о - обозначен результат численного моделирования для изотропной модели На рисунке 4 приведена зависимость логарифма среднего потока в направлении оси z от числа масштабов. Модель среды: крупные масштабы по осям x, y, мелкие по оси z. Основной поток направлен по оси z. В этом случае относительная ошибка теоретической оценки самая большая – приблизительно 9%. В таблице 1 приведены численные значения среднего vz для описанного выше варианта расчета для анизотропной модели. Ошибка 1 это относительная ошибка теоретической оценки.

Ошибка 2 это относительная ошибка обычной теории возмущений в первом порядке.

Таблица Кол.-во Числ. Теорет. Обыч. Ошибка 1 Ошибка масштабов моделиров vz. значение vz теория возм. vz 1 0.9051 0.8639 0.8374 4.54% 7.47% 2 0.8030 0.7464 0.6373 7.04% 20.63% 3 0.7069 0.6448 0.4330 8.78% 30.20% Для остальных вариантов расчета относительная ошибка теоретических формул менее 5%.

Ошибка оценки дисперсии градиента потенциала и потока для этого варианта расчетов по самой большой компоненте тензора составила 40%. Для остальных вариантов ошибка в пределах 30%.

В главе 4 рассматривалось подсеточное моделирование конвективной диффузии в многомасшабных случайных средах. В разделе 4.1 приведена оценка средней скорости распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости. В начальный момент времени в объем, заполненный чистой жидкостью, начинает поступать окрашенная жидкость. Поверхность раздела метится пассивными частицами, которые занимают начальные положения, затем перемещаются стационарным полем скорости. Поскольку жидкости физически одинаковы, то их скорость фильтрации удовлетворяет стационарному уравнению Дарси. Движение меченых частиц описывается уравнениями i xk i p = 0, ( ) (23) dxk m xk = xk p xk, xk 0 = xk 0, ( ) ( ) ( ) ( ) dt где xk - координаты k -ой частицы, p - давление. Для коэффициентов проводимости x и пористости m x используется каскадная модель с логарифмически нормальным ( ) ( ) распределением вероятностей и логарифмически устойчивым распределением. По определению поле пористости имеет естественные ограничения m x,l = m0 для любого ( ) l в интервале l0 l L и 0 < m x 1. Первое ограничение означает, что должен ( ) рассматриваться только консервативный каскад. Требование, чтобы все значения поля были меньше или равны единице, удовлетворяется подбором параметров поля x,l, ( ) которое определяет все статистические свойства поля пористости в каскадной модели при заданном значении параметра m0. Корреляционные функции полей , изотропны, однородны и дельта коррелированны по логарифму от масштаба (x,l)(y,l1) - (x,l) (y,l1) = x - y ln l - ln l1, ( ) () ( ) (x,l)(y,l1) - (x,l) (y,l1) = x - y ln l - ln l1, (24) ( ) () () (x,l)(y,l1) - (x,l) (y,l1) = x - y ln l - ln l1, ( ) () () Поля проводимости, давления, пористости и смещения частиц представляются в виде(в дальнейшем номер частицы опускается ):

(x) = (x,l) + '(x), m(x) = m(x,l) + m '(x), (25) p(x) = p(x,l) + p '(x), x(t) = x(t,l) + x ', где x,l, m x,l -крупномасштабные компоненты, полученные с помощью ( ) ( ) статистического усреднения x, m x по всем x,l1, x,l1 при l1 < l.

( ) ( ) ( ) ( ) Предполагается, что параметр l мало отличается от l0, l = l - l0. Компоненты p(x,l), x(t,l) - статистические средние от давления и смещения, полученные при решении уравнений (23) с фиксированными крупномасштабными x,l, m x,l и случайными ( ) ( ) мелкомасштабными частями. Подстановка (25) в уравнения и усреднение по мелкомасштабным компонентам приводит к уравнениям для надсеточных компонент i (x,l)i p(x,l)+ < '(x)i p'(x) > = 0, [] (26) dxk t,l dx'k t ( ) ( ) m x,l =- x,l p x,l - ' x p' x - m' x.

( )dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt В дальнейшем номер частицы опускается. Подсеточные уравнения имеют вид:

p' x = - i ' x i p x,l, ( ) ( ) ( ) x,l ( ) (27) ' x x,lm' x dx t,l dx' ( ) ( ) ( ) ( ).

=- p x,l - p' x ( )m x,l ( ) dt m x,l m x,l dt ( ) ( ) ( ) Используя те же предположения, что и в предыдущих главах, во внутренних точках области V получены оценки < 'i p ' > - l (x,l)i p x,l, ( ) ( )l 3 l (28) dx t,l dx'i 2 l l ( ).

- m' x x,l l p x,l + m x,l 0 l ( )dt 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l dt Переходя к пределу l 0 в разностных соотношениях, получили уравнения для эффективных коэффициентов d ln0l =- + l, ( ) d ln l d ln0l = - + l - l, (29) ( ) ( ) d ln l 6 d ln m0l =0 l.

( ) d ln l В разделе 4.2 получена оценка статистической дисперсии скорости меченых частиц с логарифмически нормальным распределением проводимости и пористости:

dx l,t 2 dx dx ( ) - dt dt dt 2 dy l,t dy dy l 1 l ( ) -= A- E , dt dt L 3 L dt 2 dz l,t 2 ( ) dz dz dt dt dt где =-2 / 3 - 0 + 4 / 3, 1 = 2 + / 3- E единичная матрица, а 0 матрица A равна матрице (16). В разделе 4.3 получена оценка средней скорости распространения фронта меченых частиц и ее статистической дисперсии с логарифмически устойчивым распределением пористости и проницаемости. В точках (x,l), поля определяются через суммы случайных независимых величин, имеющих j устойчивые распределения с одинаковыми параметрами , =1, = 0, = 1 (форма А, Золотарев, 1983 ) 1/ l (x,l) = aijil + , j 2( ln 2) -1 (30) 1/ l (x,l) = aij ril + 1- r il + j ( ) 2( ln 2) -1 где l = 2, - шаг дискретизации по логарифму от масштаба, 0 r 1. Для логарифмически-устойчивого распределения вероятностей пористости и проводимости 1 эффективные параметры 0l,0l, m0l удовлетворяют уравнениям 2 1- 2 -1 + ( ) d ln0l =- l ( )6cos / 2 - l, ( ) d ln l ( ) 2 1- 2 -1 + ( ) d ln0l =- - l - l, (31) ( )6cos / 2 3 ( ) d ln l ( ) -( d ln m0l 1- 2 ) =0 l, ( ) d ln l cos / ( ) где = + r 0 - r0 - . Дисперсия поля скоростей частиц в масштабно0 ( 0 ) инвариантной среде оценивается по формулам dx l,t 2 dx dx ( ) - dt dt dt -1 2 ( ) (1-2 ) 2 +0 + 2 / cos / 2 dy l,t 2 0 dy dy 1 l ( ) 3 3 -= A-E . (32) dt dt 3 L dt 2 dz l,t 2 ( ) dz dz dt dt dt где матрица A равна матрице (20). В разделе 4.4 проведена численная проверка теоретических формул. Теоретические оценки сравниваются с результатами численного моделирования и результатами, полученными по обычной теории возмущений. На рисунке 5 приведен логарифм средних значений скорости фронта = log dy / dt для логарифмически нормального распределения коэффициентов. По оси абсцисс отложено количество используемых в модели масштабов. Проверялась формула (29). Основной поток направлен по оси y.

-0.Рис. 5. 1- логарифм эффективной -0.средней скорости частиц; 2 – -0.результат, полученный по -0.обычной теории возмущений; * - -0.результат численного -0.моделирования;

-0.-0.На рисунке 6 приведена дисперсия -0.скорости фронта. Проверяется -формула (32).

0 1 2 k Dxx, Dyy Рис. 6 1, 3 - эффективные значения дисперсии фронта Dxx, Dyy по осям x, y; 2, 4 -результаты, полученные по обычной теории возмущений; * – результат численного моделирования.

Численное моделирование показало, что оценки, 3 полученные с помощью эффективных 2 коэффициентов, имеют ошибку примерно 8% и 2 значительно ближе к результатам численного моделирования, чем оценки, полученные по 0 1 2 k обычной теории возмущений.

В главе 5 метод подсеточного моделирования использовался для квазистационарных уравнений Максвелла. Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние значения напряженностей электрического, магнитного полей и плотности тока. Оценивается статистическая дисперсия этих полей.

При индукционном каротаже электромагнитное поле возбуждается монохроматическим источником, а в области высоких частот для длинных зондов условия квазистационарности выполняются с высокой точностью. Поэтому рассматривалось квазистационарное приближение уравнений Максвелла для монохроматических полей E x,t = Re E x e-it, H x,t = Re H x e-it. При отсутствии сторонних токов:

( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) rotH x = x E x, ( ) ( ) ( ) (33) rotE = iH, где H и E - векторы напряженности магнитного и электрического полей с комплексными компонентами, - постоянная магнитная проницаемость, x - удельная ( ) электропроводность, - циклическая частота. Вне конечного объема V с достаточно гладкой поверхностью S удельная электропроводность постоянна и задано электромагнитное поле, возбуждаемое генераторной катушкой (петля или магнитный диполь). На границе S непрерывна напряженность магнитного поля и касательные компоненты вектора электрического поля. Электропроводность (x) описывалась моделью (2) с логарифмически нормальным распределением вероятности.

Корреляционная функция поля проводимости однородна, изотропна и дельта коррелированна по масштабу. В разделе 5.1 усреднением исходных уравнений по мелкомасштабной компоненте получена система надсеточных уравнений:

rotH x,l = (x,l)E x,l + 'E', ( ) ( ) (34) rotE x,l = iH x,l.

( ) ( ) И с точностью до членов второго порядка малости по l = l - l0 получена подсеточная система уравнений:

rotH ' = x,l E'+ 'E x,l, ( ) ( ) (35) rotE' = iH '.

Используя решение уравнений, (35) во внутренних точках области получена оценка подсеточного члена в системе уравнений (34) 1 dl 2 dl ' x E' x - 0 x,l E x,l + k2 ikr r,l dr x,l E x,l, (36) ( ) ( ) ( ) ( ) re ( ) l ( ) ( ) 3 l где k2 = i (x,l), k = 1+ i (x,l) / 2, Re k > 0, Im k > 0. Интегральный член в ( ) выражении (36) имеет порядок L2, где L - максимальный масштаб неоднородности, поэтому интегральный член много меньше первого члена в равенстве (36) и при условии, 1, им можно пренебречь. Это условие выполняется в широком диапазоне что L2 x,l ( ) частот для задач индукционного каротажа. Подставляя оценку (36) в уравнения (34) и переходя к пределу при l 0, получим уравнения для крупномасштабных компонент с эффективными коэффициентами L dl1 rotH x,l = 0lexp ( ) - 1 (x,l ) l1 E(x,l), l rotE x,l = iH x,l, (37) ( ) ( ) d ln0l = 0 l - .

( ) d ln l В разделе 5.2 при этих же условиях получены эффективные коэффициенты для оценки вторых статистических моментов напряженности электрического поля и плотности электрического тока. Для компонент первого тензора корреляций получена оценка l E ( ) ( ) ( ) ( ) x E x = E x,l E x,l + 2k12 -k r r,l sink1rdrE ( ) ( ) x,l E x,l re ( ) l 21 l + k12 -k r r,l sink1rdr + 0 l + 2 E x,l E x,l, (38) ( ) ( ) () re ( ) 15 ( ) 15 l 0 где черта означает комплексное сопряжение. Для компонент второго тензора ковариаций получена оценка 22 1 2 l E ( ) ( ) x = E ( ) - k12 -(1-i)k r 1+ i rk1 + 4i r,l drE ( ) x,l re (( ) )x,l 3 l 1 - k12 -(1-i)k r 1+ i rk1 + 4i r,l dr + 2 E x,l (39) ( ) ( ) ()l re (( ) ) 15 l 1 + 0 l + 2 E x,l ( ) ( ) ()l 15 l 1. Через В формулах (38), (39) интегралы малы, если выполняется условие L2 x,l ( ) компоненты первого и второго тензоров компонент ковариаций выражаются вторые статистические моменты реальной и мнимой частей напряженности электрического поля.

В масштабно инвариантной среде вторые статистические моменты реальных и мнимых компонент электрического поля удовлетворяют линейной системе -0 l /( ) 1 l w x =w x,l. (40) ( ) ( ) 3 L Уравнению (40) удовлетворяют и ковариации действительной и мнимой частей электрического поля. В этом случае wi x = Re Ei x Im Ei x. Матрица равна ( ) ( ) ( ) матрице (16). Подобные оценки получены и для поля плотности тока. В разделе 5.проведена проверка полученных теоретических формул с помощью численного моделирования. Электромагнитное поле предполагается гармоническим по времени. На проводящую среду действует переменное магнитное поле с циклической частотой .

Задача решается в безразмерных переменных в единичном кубе с 0 = 1. Напряженность внешнего магнитного поля имеет вид: H = 0, H z,0, Hy z =1 при z=0. В ( ) ( ) ( ) y безразмерном виде уравнения имеют вид rotH x = k1 x E x, ( ) ( ) ( ) (41) rotE x = ik1H x, ( ) ( ) где k1 = 0. Поле проводимости моделируется мультипликативным консервативным каскадом (21), с корреляционной функцией (22) при значениях параметров 0 = 0.3, = 0.15, k1 = 6 2. В модели использовано три масштаба l = 1/ 64, 1/ 32, 1/16.

Вне куба и на границах куба напряженность магнитного и электрического полей задаются по формулам Hy = exp -k1 2z exp ik1 2z, Hx = Hz = () ( ) (42) Ex = exp -k1 2z exp ik1 2z - / 4, Ey = Ez = 0.

() () Используется квадратная сетка с постоянным шагом, число точек 256 256 256. Для получения численного решения использовался метод, основанный на конечно-разностной схеме, предложенной в работе В.И Лебедев. (1964) и метод декомпозиции S. Davydycheva и др. (2003). Задача решается 8 раз на сетке 128128128. Затем собирается общее решение. Для решения линейной системы уравнений, полученных после дискретизации задачи, использовался итерационный метод для самосопряженного оператора с произвольным спектром SYMMLQ, J. Modersitzki и др. (2000). Для получения усредненных решений усреднение проводилось по плоскостям x, y и по ансамблю ( ) Гиббса (использовалось 16 реализаций). Выведенные выше эффективные решения сравниваются с результатами, полученными по обычной теории возмущений, если в борновском разложении учитывается только второе слагаемое, которое описывает однократно рассеянное поле (В.И. Татарский др. (1978)). На рисунках 7, 8 приведены действительные и мнимые компоненты напряженностей электрического и магнитного полей, на рисунке 9 действительная и мнимая компоненты плотности тока. Цифрой обозначен результат, полученный для борновского приближения в первом порядке; 2 – эффективное решение, 3 – результат, полученный численным моделированием;

0.0.0.12 0.0.0.0.0.0.0.0.02 0.0.-0.-0.04 0.0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.z z Рис. 7 Напряженность электрического поля x x Im Re 0.6 0.1 2 3 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.-0.1 -0.0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.z z Рис. 8 Напряженность магнитного поля 0.0.0.0.0.0.0.0.-0.0.-0.-0.-0.-0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.z z Рис. 9 Плотность тока В масштабно инвариантной среде частота эффективного решения степенным образом зависит от масштаба сглаживания. Толщина скин-слоя по сравнению с невозмущенным движением увеличивается,. поскольку в среде с многомасштабными неоднородностями сопротивление среды возрастает.

Основные защищаемые положения 1. В работе предложена новая континуальная модель гетерогенной среды, использующая мультипликативные каскады. Это позволило промоделировать многомасштабность и перемежаемость флуктуаций физических параметров в среде и построить модели среды, пригодные для прямой численной проверки точности полученных в этой среде эффективных коэффициентов. При моделировании физических параметров вводится непрерывная зависимость от масштаба сглаживания. Континуальная модель построена для логарифмически нормального распределения вероятностей y y Re Im x x Re< E > Im< E > параметров среды и обобщена на некоторые случаи логарифмически устойчивых распределений. Показано, что в такой модели корреляционные функции масштабноинвариантных скалярных полей степенным образом зависят от радиуса корреляции в области масштабного подобия.

2. Предложен новый метод оценки влияния мелкомасштабных флуктуаций параметров на средние значения физических величин (скорость фильтрации, плотность тока, напряженности электрического и магнитного полей и т.д.), если параметры среды имеют флуктуации многих масштабов и о них известна, лишь статистическая информация. Исследуемые параметры и физические поля разделяются на две компоненты: мелкомасштабную и крупномасштабную по отношению к некоторому разделительному масштабу. Затем выводятся уравнения движения только для плавных компонент полей, которые зависят от конкретных деталей задачи. Эффективные коэффициенты в этих уравнениях учитывают влияние мелкомасштабной случайной компоненты. Для эффективных коэффициентов строятся дифференциальные уравнения по разделительному масштабу.

3. На основе описанного выше подхода получены эффективные уравнения для крупномасштабных компонент потенциала, потока и вторых статистических моментов градиента потенциала и потока в стационарной задаче переноса в многомасштабных изотропных средах. Коэффициент проводимости моделировался непрерывным мультипликативным каскадом. Проводимость среды имела логарифмически нормальное распределение. Формулы получены и для некоторых случаев логарифмически устойчивого распределения (параметры распределения 1 2, = 1).

4. Получены формулы для эффективных коэффициентов в стационарной задаче переноса в многомасштабных анизотропных средах, в случае, когда проводимость в точке изотропна, а корреляционная функция поля - анизотропная. Как правило, реальные пласты вследствие слоистости, обладают анизотропией именно такого рода. Показано, что эффективные коэффициенты зависят в основном от масштаба корреляций по различным координатным осям и очень слабо - от вида корреляционной функции.

5. Теоретические формулы проверены численным моделированием трехмерных задач. Результаты численного моделирования сравниваются с результатами, полученными по обычной теории возмущений в первом порядке. Расчеты проводились для статистических параметров в диапазоне, полученном в натурных и лабораторных экспериментах. В изотропном случае получено хорошее соответствие теоретического результата численному результату. Точность оценок около 97% для усредненного потока и 80% -90% для вторых статистических моментов. Значительно худшую точность дает результат, полученный по обычной теории возмущений. Расчеты проводились для логнормальной и логарифмически устойчивой моделей. В анизотропной среде метод дает хорошую точность для оценки потока в крупномасштабном пределе (около 80%). В самом плохом варианте (поток направлен в сторону наибольшего градиента проводимости) оценка дисперсии компоненты градиента потенциала в направлении потока имеет точность 60%.

6. Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние физические величины в задаче конвективной диффузии. Мультипликативными каскадами моделируются коррелированные поля проводимости и пористости. Получены эффективные уравнения для оценки средних координат фронта диффузии, для оценки средней скорости фронта и дисперсии скорости фронта. Изотропные поля проводимости и пористости имеют логарифмически нормальное или логарифмически устойчивое распределение вероятностей. Если среда масштабно инвариантна, то эффективные коэффициенты пористости и проводимости степенным образом зависят от масштаба сглаживания. Теоретические оценки проверены численным моделированием трехмерной задачи. Проведено сравнение теоретических результатов численными результатами и с результатами, полученными в рамках обычной теории возмущений в первом порядке для логнормальной теории. Численное моделирование показало, что эффективные оценки дают хорошую точность (93%-97%) для оценки средних координат фронта, средней скорости фронта и дисперсии скорости фронта.

7. Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние значения электромагнитных полей для квазистационарных уравнений Максвелла, при условии, что масштаб самых крупных неоднородностей много меньше размеров скинслоя. Получены уравнения для эффективных коэффициентов в зависимости от масштаба сглаживания. Показано, что в масштабно инвариантной среде частота эффективного решения степенным образом зависит от масштаба сглаживания. Теоретические формулы проверены с помощью численного моделирования трехмерной задачи. Показано, что эффективное решение имеет значительно более высокую точность оценки средних электромагнитных полей, средней плотности тока и их одноточечных корреляций, чем приближенные формулы борновского разложения в первом порядке.

Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту академику РАН Борису Григорьевичу Михайленко за оказанную поддержку и постоянное внимание к работе, а также академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову за консультации по проблемам геоэлектрики.

Список публикаций по теме диссертации 1. Kuz'min, G.A., Soboleva, O N., Conformal Symmetric Model of the Porous Media, Applied Mathematics Letters, vol. 14, pp. 783-788, 2001.

2. Kuz'min, G.A., Soboleva, O N.,The Renormgroup Model for Fluid Flow Through the Fractal Porous Media, EAGE/SEG Research Workshop on 'Reservoir Rocks', PAU, France 30 April-3 May 2001. Extended abstracts book, PAU46, 1- 4 pp.

3. Кузьмин Г. А., Соболева О., Н., Крупномасштабные флуктуации давления жидкости при течении во фрактальной пористой среде, Вычислительные технологии, специальный выпуск, т.6, стр.388—395, 204. Кузьмин Г. А., Соболева О., Н., Моделирование Фильтрации в Пористых Аатомодельных Средах, Прикладная механика и Техническая физика, т. 43, №4, стр. 115-126, 205. Кузьмин Г. А., Соболева О., Н., Моделирование фильтрации и вытеснения жидкости в пористых автомодельных средах, Физика нефтяного пласта, Новосибирск, 20-24 мая, сборник трудов, стр. 151-158, 2002.

6. Кузьмин Г. А., Соболева О., Н., Вытеснение жидкости в пористых автомодельных средах, Физическая мезомеханика, Т. 5, №5, стр. 119—123, 207. Kuz'min, G.A., Soboleva, O N., Pollution transport in the scale-invariant porous media, Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics, Novosibirsk", pp. 586-591, 208. Кузьмин Г. А., Соболева О., Н., Метод ренормгруппы для фильтрации и дисперсии во фракталях, Труды конференции « Математические методы в геофизике», Новосибирск, ИВМ и МГ, т. 1, стр. 112-118, 209. Kurochkina E. P., Soboleva, O N., Numerical simulation of the two –phase displacement in a scale-invariant porous medium, Труды конференции «Математические методы в геофизике», Новосибирск, ИВМ и МГ, т. 1, стр. 119-124, 2010. Буловятов А. Н., Соболева О., Н., Фильтрация и вытеснение жидкости вблизи скважины в пористой многомасштабной среде, Труды конференции «Математические методы в геофизике», Новосибирск, ИВМ и МГ, т. 1, стр. 176182, 2011. Е. П. Курочкина, Соболева О., Н., М. И. Эпов Численное моделирование движения двухфазной жидкости в пористой фрактальной среде, Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, №5, с. 60-68, 2004.

12. Kuz'min, G.A., Soboleva, O N., Subgrid Modeling of Filtration in a Porous Medium with Multiscale Log-Stable permeability, Monte Karlo Methods and Application, № 3-4,. 369-376, 2013. Kuz'min, G.A., Soboleva, O N., Flow Through a Porous Medium with Multiscale LogStable Permeability, Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Vol. 50, Part 3, 1396-1403, 2014. Kurochkina E. P., Soboleva, O N., Numerical Simulation of Replacing Oil by Water in a Scale-Invariant Porous Medium, Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Vol. 50, Part 3, 1390-1395, 2015. Соболева О., Н., Эффективные коэффициенты проводимости в пористой среде с логарифмически устойчивой статистикой, Прикладная механика и техническая физика, Т. 46, №6, стр. 145-158, 2016. Кузьмин Г. А., Соболева О., Н., Подсеточное моделирование фильтрации и дисперсии во фрактальной пористой среде, Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 8, №2(22), стр.124-134, 2017. Soboleva, O N., Large-Scale Fluctuations of Pressure in Fluid Flow through Porous Medium with Multiscale Log-Stable Permeability, Computational Science - ICCS 2005, Atlanta, USA, V. S. Sunderam et. All: (Eds.) LNCS 3516, pp-9-16, Springer-Verlag 18. Soboleva O.N., Large-Scale Fluctuations of Velocities in Fluid Flow through a Porous Medium with Multiscale Log-Normal Conductivity and Porosity, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, Issue 1, V.1, pp 77-84, 2019. Soboleva O.N., Filtration and Dispersion in a Porous Medium with Multiscale Conductivity and Porosity, Proceeding of the International Conference on Applied and Theoretical mechanics (Mechanics'06) Venice, Italy, 20-22-November, pp. 142-147, 2020. Курочкина Е. П.,. Соболева О.Н, Эпов М. И, Эффективные коэффициенты в квазистационарных уравнениях Максвелла с многомасштабной случайнонеоднородной электропроводностью, Доклады Академии Наук, т. 413, №6, стр. 820825, 2021. Курочкина Е. П.,. Соболева О.Н, Эпов М. И, Электрический каротаж в многомасштабной среде с логарифмически нормальной электропроводностью, Геология и Геофизика, №10, 1096-1105, 2022. E. P. Kurochkina E. P., Soboleva O.N., Effective Coefficients in Anisotropic Porous Medium with Multiscale Log-Normal Conductivity, Proceeding of WSEAS International Conference Applied and Theoretical Mechanics, Spain, Puerto De La Cruz, December 14-16, 2007, p. 33- 23. Epov M.I., Kurochkina E.P., Soboleva O.N., «Resistivity logging in a multiscale isotropic porous medium with log-normal distributed conductivity», Письма о физике элементарных частиц и атомного ядра, т. 5, №3(145), стр. 387-393, 2024. Курочкина Е. П.,. Соболева О.Н, «Подсеточное моделирование для квазистационарных уравнений Максвелла», Труды научного конгресса «ГЕОСибирь», Новосибирск, Институт Геофизики, стр. 228-232, 2025. Соболева О.Н., Е.П. Курочкина, «Эффективные коэффициенты для задачи гидродинамической дисперсии с фрактальной проводимостью и пористостью», по материалам Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» Алматы, Вестник КАЗНУ им. АльФараби, Серия математика, механика, информатика №4(59), стр. 184- 191, 2026. Soboleva O.N., Kurochkina E. P., Flow through Anisotropic Porous Medium with Multiscale Log-Normal Conductivity, Journal of Porous Media, (принята в печать).

27. Соболева О.Н., Курочкина Е.П., «Подсеточное моделирование процессов протекания в анизотропной фрактальной среде», Прикладная механика и техническая физика, (принята в печать).




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.