WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

БАЕВ АЛЕКСАНДР ДМИТРИЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико – математических наук

Воронеж – 2008

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико – математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич.

Официальные оппоненты: доктор физико – математических наук, профессор Кондратьев Владимир Александрович, доктор физико – математических наук, профессор Покровский Андрей Николаевич, доктор физико – математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович.

Ведущая организация: Южный Федеральный Университет.

Защита состоится 17 декабря 2008 г. в 15 час. 10 мин. на заседании совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу:

394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 227.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ. – мат. наук, доцент В. В. Провоторов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вырождающиеся эллиптические уравнения описывают модели, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие внутри области. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнения, так и его порядок. Такие уравнения возникают при математическом моделировании различных физических процессов. Например, подобные уравнения используются при описании стационарных процессов конвекции – диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, в том числе, процессов вытеснения нефти водой из пористой среды. Подобные уравнения возникают при построении моделей процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле, при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием, при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах. Такие уравнения являются обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции – диффузии. Кроме того, известно, что нахождение решения краевой задачи для эллиптического уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала. В теории управления задача о минимуме некоторого функционала соответствует задаче об оптимальном управлении. Вырождающимся эллиптическим уравнениям соответствуют вырожденные или особые оптимальные управления.

Исследование математических моделей стационарных процессов в анизотропных средах в случае существенного влияния границы на процессы, происходящие внутри области, потребовало разработки новых методов решения краевых задач для эллиптических уравнений с вырождением.

Краевые задачи для таких уравнений относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость.

Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах М. В.

Келдыша. Полученные им результаты развивались и обобщались О. А.

Олейник. Обобщенные решения вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были рассмотрены в работах С. Г. Михлина и М. И.

Вишика. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго порядка.

Достаточно полную библиографию этих работ можно найти в книгах М. М.

Смирнова, О. А. Олейник и Е. В. Радкевича. Фундаментальные результаты по изучению асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем были получены В. А.

Кондратьевым, Ю. В. Егоровым, О. А. Олейник. Метод “эллиптической регуляризации” был применен О. А. Олейник, а затем Дж. Коном и Л.

Ниренбергом для изучения эллиптико - параболических уравнений второго порядка. В работах В. П. Глушко была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева с весом. Задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области была исследована в работах В. А.

Рукавишникова и А. Г. Ереклинцева. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области была исследована в работах С. Н. Антонцева, С. И. Шмарева.

Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка (при “степенном” характере вырождения) было начато в работах М. И.

Вишика и В. В. Грушина. Затем ряд результатов для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен В.

П. Глушко, Х. Г. Леопольдом, С. З. Левендорским, С. А. Исхоковым.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей, содержащих краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений. В диссертации разработаны новые методы решения таких задач. Это позволяет исследовать широкие классы математических моделей с вырождением, что и определяет актуальность данного направления исследования.

Цель работы. Разработка новых методов исследования математических моделей с вырождением. Разработка методов исследования новых классов псевдодифференциальных операторов (весовых псевдодифференциальных операторов), определяемых по специальному интегральному преобразованию F. Получение коэрцитивных априорных оценок решений задач Дирихле в полупространстве для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и оператор.

t Исследование корректности математических моделей, определяемых такими краевыми задачами. Разработка нового метода получения коэрцитивных априорных оценок решений общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, основанного на построении разделяющего оператора. Построение регуляризаторов общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Разработка методов решения проблемы корректности математических моделей, содержащих задачи Дирихле и общие краевые задачи в полосе для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Получение коэрцитивных априорных оценок решений этих краевых задач в полосе.

Исследование возможности применения полученных результатов к анализу математических моделей процессов в неоднородных анизотропных средах. Проведение численного эксперимента некоторых модельных примеров рассмотренных задач.

Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы математического моделирования основаны на фундаментальных методах современного анализа и математической физики, теории псевдодифференциальных операторов и методов вычислений.

Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются новыми. В работе введены и изучены новые классы псевдодифференциальных операторов: весовые псевдодифференциальные операторы. Получены коэрцитивные априорные оценки и установлена корректность задач Дирихле в полупространстве для псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и оператор. Получены t коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Построены регуляризаторы таких задач. Получены коэрцитивные априорные оценки и установлена корректность задач Дирихле и общих краевых задач в полосе для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Вопрос об эффективности некоторых полученных результатов проверен в форме численного эксперимента на тестовых задачах.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут быть в дальнейшем использованы для построения и анализа широких классов математических моделей, описывающих процессы с вырождением. Результаты диссертации могут быть использованы при решении некоторых задач оптимального управления и исследовании математических моделей, содержащих вырождающиеся уравнения, например, процессов конвекции – диффузии и математических моделей стационарных магнитных и электрических полей в неоднородных анизотропных средах.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них всесоюзная конференция по дифференциальным уравнениям и математической физике (г.

Новосибирск), всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений (г. Алма–Ата), школы - семинары по уравнениям неклассического типа (г. Новосибирск), школы по теории операторов в функциональных пространствах (г. Минск, г. Самара, г. Новгород, г. Тамбов), всесоюзная конференция по теории и численным методам решения краевых задач для дифференциальных уравнений (г. Юрмала), сибирская конференция по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск), международные конференции «Современные проблемы теории функций и смежные вопросы» (г. Воронеж), международные конференции «Понтрягинские чтения» (г.

Воронеж), третья международная конференция, посвященная 85 – летию члена – корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева (г. Москва), семинары академика РАН С. Л. Соболева (г. Новосибирск), семинар академика РАН С. М. Никольского (г.

Москва), семинары под руководством профессора С. Г. Крейна (г. Воронеж), семинары под руководством профессора В. П. Глушко (г. Воронеж), семинары под руководством профессора Ю. В. Покорного (г. Воронеж).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 60 основных научных работах, в том числе одной монографии. Список этих работ приведен в автореферате. Из совместных работ [15] - [18], [27], [28], [30], [31], [33], [39], [40], [43], [44], [53], [59] в диссертацию включены только результаты автора.

Официальному списку ВАК соответствуют работы [2] – [14].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 252 страницы. Библиография содержит 107 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность работы, ее соответствие паспорту специальности 05.13.18, дается описание современного состояния проблематики, в том числе, обзор литературы по теме диссертации, формулируются основные результаты диссертационной работы.

В первой главе определяются весовые псевдодифференциальные операторы и изучаются их свойства, необходимые для исследования математических моделей, содержащих краевые задачи с вырождением. Вначале изучаются свойства весовых псевдодифференциальных операторов с постоянным по t символом. Устанавливаются важные для дальнейшего утверждения: формула и оценка коммутатора весового l псевдодифференциального оператора с производной (l =1,2,...) и теоремы tl о предельных при t +0 и t + значениях весового псевдодифференциального оператора. Первое из этих утверждений позволяет представить (с точностью до “подчинённого” оператора) исходный вырождающийся эллиптический оператор в виде суперпозиции псевдодифференциальных операторов, каждый из которых содержит весовой псевдодифференциальный оператор и только одну производную. Второе t утверждение обосновывает тот факт, что на постановку граничных условий не влияют те слагаемые в исходном дифференциальном операторе, которые содержат хотя бы одну весовую производную D,t (при условии достаточно “сильного” вырождения), а также позволяет сформулировать условие дополнительности в алгебраической форме.

Затем в первой главе изучаются весовые псевдодифференциальные операторы с переменным по t символом. Доказываются теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева. Устанавливаются формулы и оценки коммутатора весового псевдодифференциального оператора с l производными (l =1,2,...) и теоремы о предельных при t +0 и t + tl значениях весового псевдодифференциального оператора с переменным по t символом. В этой главе устанавливается связь весового псевдодифференциального оператора с некоторым интегральным оператором, строится сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору и доказывается аналог неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Эти свойства весовых псевдодифференциальных операторов позволяют в дальнейшем изучить широкие классы математических моделей с вырождением.

Во второй главе диссертационной работы получены коэрцитивные n априорные оценки решений общих краевых задач в полупространстве R+ для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих различные стационарные процессы в анизотропных средах. Разработан новый метод получения априорных оценок решений, основанный на построении разделяющего оператора. Этот метод основан на свойствах весовых псевдодифференциальных операторов, установленных в главе 1. Кроме того, в этой главе предложен и применен прием, позволяющий свести при получении априорных оценок случай общих граничных условий к случаю однородных граничных условий Дирихле.

Предложен новый метод построения регуляризатора общей краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка в n R+. Этот метод требует предварительного исследования коэрцитивной разрешимости (или построения регуляризатора) задачи Дирихле для псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и только одну производную. Такое t исследование проведено в третьей главе диссертации как в случае постоянного по t символа, так и в случае переменного по t символа. После этого в главе строятся регуляризаторы общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, существенно проясняющие качественную природу математических моделей вырождающихся физических процессов.

В главе 5 исследуется вопрос о корректности математических моделей, описываемых общими краевыми задачами в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную. Здесь разработаны существенно отличающиеся от методов tглав 1 – 4 методы, основанные на сведении краевых задач к системам интегральных уравнений. Несмотря на ограниченные возможности этих методов, они позволяют (при определённых условиях) устанавливать не только существование, но и единственность решения рассматриваемых краевых задач.

В этой главе получены также коэрцитивные априорные оценки решений рассмотренных краевых задач.

В главе 6 установлена корректность математических моделей, определяемых краевыми задачами типа задач Дирихле в полосе для вырождающихся уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную порядка 2l, l = 1,2,... по переменной t. Установлены также коэрцитивные априорные оценки решений рассмотренных краевых задач.

В приложении приведены некоторые примеры математических моделей реальных физических задач, в которых используются краевые задачи, исследованные в предыдущих главах. С помощью пакета программ Maple проведены численные эксперименты некоторых модельных задач.

Перейдем к более детальному описанию результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертационной работы изучаются свойства весовых псевдодифференциальных операторов. Рассмотрим функцию (t), t R+, для которой (+0) = (+0) = 0, (t)>0 при t > 0, (t)=const для t d при некотором d >0.

Введём интегральное преобразование + d d dt F[u(t)]() = u(t)exp(i, (1) ()) (t) 0 t определенное первоначально, например, на функциях u(t)C0 (R+).

Преобразование (1) связано с преобразованием Фурье + F [u] = u( )exp(i )d, R - следующим равенством F[u(t)]() = F [u ( )], (2) где u ( ) = (t)u(t), t = -1( ) - функция, обратная к функции t =-1 ( ) d d = (t) = ().

t Для преобразования F справедлив аналог равенства Парсеваля F [u]() = 2 u(t), (3) L2 (R1) L2 (R1 ) + что даёт возможность расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств L2 (R1) и L2 (R+ ). Для расширенного таким образом преобразования F сохраним старое обозначение. Обозначим через F-1 обратное к F преобразование, отображающее L2 (R1) на L2 (R+ ). Это преобразование можно записать в виде F-1[w()](t) = F-1 [w()].

(t) = (t ) Легко показать, что на функциях u(t)C0 (R+ ) выполняются соотношения 1 j F[Dj,tu]() = F[u](), j =1,2,..., где D,t = (t)t (t), t =.

i t nn Определим пространства Hs, (R+ ); Hs,,q(R+ ) следующим образом.

n Определение 1. Пространство Hs, (R+ ) ( s – действительное число) n состоит из всех функций v(x,t) L2(R+ ), для которых конечна норма v = (1+ +2)s F Fx[v(x,t)] dd. (4) s, Rn n Определение 2. Пространство Hs,,q(R+ ) ( s 0, q >1) состоит из всех n функций v(x,t) Hs, (R+ ), для которых конечна норма s [ ] s-ql q v = { F-1 F-1[(1+ +2) F Fx[lv]] }2. (5) x t s,,q l=0 n L2 (R+ ) s s Здесь [ ] - целая часть числа.

q q Пусть выполнено следующее условие.

- Условие 1. Существует число (0,1] такое, что '(t) (t) c < при всех t [0,+). Кроме того, (t)Cs [0,+) для некоторого s1 2N - , где l - p1 + 1,5 l N max{2 p1 + + 1, + 1, + }, l =1,2,..., - некоторое 0 p1l действительное число.

Заметим, что указанное выше число существует, если (+0) = '(+0) = 0.

С помощью преобразования (1) и преобразования Фурье Fx = Fx 1Fx 2...Fx n-1 определим весовой псевдодифференциальный 1 2 n-оператор по формуле ( ) K (Dx, D,t )v(x,t) = F-1 F-1[(,)F Fx[v(x,t)]]. (6) x Предполагается, что символ (,) весового псевдодифференциального оператора при всех Rn-1 принадлежит по переменной пространству C (R1) и удовлетворяет при всех Rn-1, R1 условиям ( - j) j (,) cj (1+ +2)2, j = 0,1,..., (7) где постоянные cj > 0 не зависят от (,) Rn. Здесь R1.

Справедливы следующие утверждения.

n Теорема 1. Пусть , s - действительные числа, v(x,t) Hs+, (R+ ), n lv(x,t) Hs+, (R+ ), l =1,2,.... Тогда при выполнении условия 1 (с заменой t на s + ) и оценок (7) для оператора ( ) Ml, =lK( )(Dx, D,t ) - K (Dx, D,t )l (8) t t справедлива оценка l Ml,v c tjv. (9) s, s+ -1, j=Константа c > 0 не зависит от v.

Теорема 2. Пусть q >1, s 0 - действительные числа; l =1,2,...;

n v(x,t) Hs+(l+1)q,,q(R+ ). Тогда при выполнении условия 1 (при = s + q ) и оценок (7) (при = q ) для оператора Ml,q, определенного в (8) при = q, справедлива оценка Ml,qv c v (10) s+(l+1)q-1,,q s,,q с постоянной c > 0, не зависящей от v.

n Теорема 3. Пусть q >1, - действительные числа, v(x,t) Hq+,,q(R+ ).

Тогда при выполнении условия 1 и оценок (7) справедливо равенство ( ) ( ) lim K (Dx, D,t )v = lim K (Dx,0)v(x,t) = lim F-1 [(,0)Fx [v(x,t)]]. (11) x t+0 t+0 t+ Теорема 4. Пусть выполнено условие 1 и символ (,) удовлетворяет N оценкам (7). Пусть функция v(x,t) такова, что функция D,tv(x,t) при всех x Rn-1 принадлежит как функция переменной t пространству L2(R+) при некотором N [max{ +1, 1}; s1], где s1 определено в условии 1. Пусть lim Dj,tv(x,t) = 0 при всех x Rn-1, j = 0, 1, 2,..., N -1. Тогда при всех x Rn-t+ ( ) справедливо равенство tlim K (Dx, D,t )v(x,t) = 0.

+ Рассмотрим теперь весовой псевдодифференциальный оператор с переменным символом ( ) K (t, Dx, D,t )v(x,t) = F-1F-1 [(t,,)Fx F[v(x,t)]]. (12) x Определение 3. Будем говорить, что символ (t,,) весового псевдодифференциального оператора K( )(t, Dx, D,t ) принадлежит классу символов S (), где R+ (открытое множество), если функция (t,,) является бесконечно дифференцируемой функцией по переменной t и по переменной R1. Причем, при всех j = 0, 1, 2,..., l = 0, 1, 2,... справедливы оценки j l ((t)t ) (t,,) cjl (1 + + ) -l (13) с константами cjl > 0, не зависящими от Rn-1, R1, t K, где K - произвольный отрезок. Здесь - действительное число.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5. Пусть P(t, Dx, D,t ) и Qt, Dx, D,t ) - весовые ( псевдодифференциальные операторы с символами p(t,,) и q(t,,), m1 mпринадлежащими соответственно классам S () и S () ( m1 и m2 - действительные числа). Тогда для любого N 0 существует такое N1 > 0 и такой символ TN (t,,)S N (), что справедливо равенство N1-P(t, Dx, D,t )Q(t, Dx, D,t ) - Rj (t, Dx, D,t ) = TN (t, Dx, D,t ), (14) j=где TN (t, Dx, D,t ) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом TN (t,,); Rj (t, Dx, D,t ) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом jj rj (t,,)= p(t,,) ((t)t ) q(t,,). (15) j! m Теорема 6. Пусть p(t,,)S (), m – действительное число. Тогда весовой псевдодифференциальный оператор P(t, Dx, D,t ) для любого n n действительного s есть ограниченный оператор из Hs+m, (R+ ) в Hs, (R+ ).

Утверждения, аналогичные теоремам 1 – 4, справедливы и для весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса m S ().

Теорема 7. Пусть символ (t,,) весового псевдодифференциального оператора K( )(t, Dx, D,t ) принадлежит классу S (), R+, R1. Пусть n n v(x,t) Hs+, (R+ ), lv(x,t) Hs+, (R+ ), l =1,2,.... Пусть выполнено условие t (с заменой на s + ). Тогда для оператора ( ) Ml, =lK (t, Dx, D,t )- K( )(t,Dx, D,t )l (16) t t справедлива оценка ll-Ml, v c( tjv + tjv ) (17) s, s+ -1, s+, j=0 j=с константой c > 0, не зависящей от v.

Теорема 8. Пусть q >1, s 0 - действительные числа, n v(x,t) Hs+(l+1)q,,q(R+ ). Пусть символ (t,,) весового ( ) псевдодифференциального оператора K (t, Dx, D,t ) принадлежит классу q S (), R+. Пусть выполнено условие 1 при = s + q. Тогда для оператора Ml,q, определенного в (16) при = q, справедлива оценка Ml,qv c v (18) s+(l+1)q-1,,q s,,q с постоянной c > 0, не зависящей от v.

n Теорема 9. Пусть q >1, - действительные числа, v(x,t) Hq+,,q (R+ ).

Тогда при выполнении условия 1 справедливо равенство ( ) ( ) lim K (t, Dx, D,t )v(x,t) = lim K (0, Dx,0)v(x,t) = t+0 t+(19) = lim F-1 [(0,,0)Fx [v(x,t)]].

x t+ Теорема 10. Пусть выполнено условие 1 и символ (t,,) весового ( ) псевдодифференциального оператора K (t, Dx, D,t ) принадлежит классу S (), R1, R+. Пусть при всех Rn-1, R1 функция (t,,) является ограниченной функцией по переменной t на множестве R+. Пусть N функция v(x,t) такова, что функция D,tv(x,t) при всех x Rn-1 принадлежит, как функция переменной t, пространству L2(R+) при некотором N [max{ + 1, 1}; s1], где s1 определено в условии 1. Пусть lim Dj,tv(x,t) = t+ при всех x Rn-1, j = 0, 1, 2,..., N -1. Тогда при всех x Rn-1 справедливо ( ) равенство tlim K (t, Dx, D,t )v(x,t) = 0.

+ Определение 4. Пусть R+ - открытое множество. Будем говорить, что функция a(t, y,,) принадлежит классу Sm, (), m R1, если функция a(t, y,,) является бесконечно дифференцируемой по переменным t , y , R1 и на компактных подмножествах множества имеет место при всех j, k, l = 0, 1, 2,... оценка j l ((t)t ) ((y)y )k a(t, y,,) cjkl (1+ + )m-l с константами cjkl > 0, не зависящими от t, y, и Rn-1.

Рассмотрим оператор вида A(u(x,t)) = F-1 F F-1 [a(t, y,,) Fx[u(x, y)]], (20) x t y где F (F-1 ) - прямое (обратное) весовое преобразование, переводящее y в y t ( в t ).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 11. Пусть A – оператор вида (20), причём, a(t, y,,) Sm, (), R+, m R1. Тогда найдётся такой символ m p(t,,) S (), что A = P(t, Dx, D,t ), где P(t, Dx, D,t ) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом p(t,,). Причём, dd d 1 d p(t,,) = (t) exp(i exp(-i ()) A( ())).

(y) ty При этом справедливо соотношение j N -j j m-N p(t,,) (ij) ( ( y)y ) a(t, y,,) S () y=t ! j=при любых N =1,2,....

Утверждение теоремы 11 даёт возможность построить сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору.

Определение 5. Сопряженным оператором к весовому псевдодифференциальному оператору P(t, Dx, D,t ) назовем оператор P*(t, Dx, D,t ), удовлетворяющий равенству (P(t, Dx, D,t )u(x,t),v(x,t))L (R+ ) = (u(x,t), P*(t, Dx, D,t )v(x,t))L (R+ ) n n 2 nn n для всех v(x,t) L2(R+ ), u(x,t) L2(R+ ) таких, что P(t, Dx, D,t )u(x,t) L2(R+ ).

n Здесь (,) - скалярное произведение в L2(R+ ).

Справедлива следующая теорема.

m Теорема 12. Пусть p(t,,) S (), R+, m R1. Тогда оператор P*(t, Dx, D,t ), сопряженный к весовому псевдодифференциальному оператору P(t, Dx, D,t ) с символом p(t,,), является весовым псевдодифференциальным m оператором с символом p*(t,,) S (). Причём, справедливо соотношение j N -j j m-N p*(t,,) (ij) ( (t)t ) p(t,,) S () ! j=для любых N =1,2,....

С использованием теорем 11 и 12 доказывается неравенство, являющееся аналогом неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Теорема 13. Пусть P(t, Dx, D,t ) - весовой псевдодифференциальный m оператор с символом p(t,,) S (), R+, m R1. Пусть Re p(t,,) c(1+ + )m для всех Rn-1, R1, t K , где K - произвольное компактное множество. Тогда для любых s1 R1 и u(t)C0 (K) справедливо неравенство Re(P(t, Dx, D,t )u(x,t),u(x,t)) c0 u - c1 u m, s1, с некоторыми константами c0 > 0 и c1 > 0.

Во второй главе диссертации с помощью разделяющего оператора устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих физические процессы с вырождением. При этом, вначале рассматриваются операторы с постоянными по t коэффициентами, а затем и с переменными коэффициентами.

n Рассмотрим в R+ линейное дифференциальное уравнение вида A(Dx, D,t,t )v(x,t) = F(x,t), (21) где A(Dx, D,t,t ) = a jlD Dj,tl, x t + j+ql2m функции (t) и операции t, D,t определены в главе 1.

2m 1 2 n-D = i ..., a jl - комплексные числа, a00k 0, q = >1 ( m, k - x x1 x2 xn-k натуральные числа). Без ограничения общности можно считать, что a00k =1.

n На границе t = 0 полупространства R+ задаются граничные условия вида Bj (Dx,t )v =bljDl v = Gj (x), j =1,2,...,, (22) x t t=0 t= +qlmj где число определяется (см. ниже) коэффициентами уравнения (21), blj - комплексные числа.

Кроме того, при t + задается условие lim v(x,t) = 0. (23) t+ Условие 1. Выполнено условие 1 при = s + q, l =1,2,...,[s / q], где q >1, s 0 - действительные числа.

Условие 2. Уравнение j a jl zl = 0 (24) +ql + j=2m не имеет z – корней, лежащих на мнимой оси при всех (,) Rn, + > 0, причем кратность этих корней равна единице.

Пусть z1(,),..., zr (,) (1 r k) - корни уравнения (24), лежащие в левой полуплоскости, остальные (k - r) - корней zr+1(,),..., zk (,) лежат в правой полуплоскости. Функции zj (,) являются однородными функциями от , степени q и, следовательно, удовлетворяют неравенствам (q- j) 2 j zj (,) c1( + )2, (25) j1 =1, 2,..., k, j = 0, 1, 2,..., при + > 0.

Кроме того, из условия 2 вытекает, что q 2 Re z (,) c2( + )2, j1 = r +1,...,k, (26) jq 2 -Re z (,) c3( + )2, j1 =1,...,r. (27) jПостоянные cl > 0 (l = 1, 2, 3) не зависят от (,) Rn, + > 0.

Условие 3. Число граничных условий (22) равно числу z – корней уравнения (24), лежащих в левой полуплоскости, и при всех Rn-1, > многочлены B0(, z) = blj zl линейно независимы по модулю j +ql =mj r многочлена P(, z) = - zj (,0)).

(z j1= Теорема 14. Пусть s max{2m, max mj + q} - действительное число и 1 jr выполнены условия 1, 2, 3. Тогда для любого решения v(x,t) задачи (21) - n (23), принадлежащего пространству Hs,,q (R+ ), справедлива априорная оценка r v c( F + v+ Gj ) (28) s,,q s-2m,,q s-1,,q j=s-mj - q с константой c > 0, не зависящей от v, F, G = (G1,G2,...,Gr ).

Здесь и в дальнейшем мы обозначаем через норму в пространстве Соболева s - Слободецкого Hs(Rn-1), которая определяется равенством g(x) = F-1 [(1+ )s Fx[g(x)]].

x s L2 (Rn-1) Определение 6. Обозначим через r множество функций n w(x,t)C0 (R+ ), удовлетворяющих условиям r-w(x,+0) = tw(x,+0) =... = t w(x,+0) = 0. (29) Результаты главы 1 позволяют установить следующую теорему.

Теорема 15. Пусть выполнено условие 1 при s 2m и условие 2. Тогда для оператора A(Dx, D,t,t ) справедливо следующее равенство k A(Dx, D,t,t ) = - K (Dx, D,t )) + T (Dx, D,t,t ), (30) (t j j=где весовые псевдодифференциальные операторы K (Dx, D,t ) построены по j корням z (,) уравнения (24) при помощи формулы (6), а порядок оператора j n T в шкале пространств Hs,,q (R+ ) не превосходит 2m -1.

Теорема 15 позволяет свести доказательство априорных оценок решений задачи (21) - (23) при условиях общего вида (22) к коэрцитивной оценке снизу формы Re(AwQw) на функциях w(x,t)r ((,) - скалярное произведение в, n L2(R+ ) ).

Таким образом, теорема 14 при выполнении условия 3 оказывается следствием из теоремы 15 и из следующего утверждения.

Теорема 16. Пусть выполнено условие 1 при s 2m и условие 2. Тогда существует оператор Q(Dx, D,t,t ) (порядок которого в шкале пространств n Hs,,q (R+ ) не превосходит 2m - q ) такой, что для любых s0 0, > 0 и любых функций w(x,t)r справедливо неравенство k-l+1-i1 2 k-l-i1 k k-l k k -l c1 w 1 i w + c( ) i w + tt (k- -s0 )q, (l-s0 +i1- )q, (l-s0 +i1- )q-1, l=1 i1=0 i2 =0 l=1 i1=0 i2 =+ Re(Aw,Qw)-s q,, где постоянная c1 > 0 не зависит от и функции w(x,t), число c( ) > 0 не зависит от w(x,t).

n Здесь (,)s, - скалярное произведение в Hs, (R+ ), определенное равенством (v,w)s, = (s(Dx, D,t )v,s(Dx,D,t )w), где (,) - скалярное произведение в n L2(R+ ), а s (Dx, D,t ) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом (,) = ((1+ )2 - i)s.

В качестве оператора Q, фигурирующего в теореме 16, можно взять оператор вида k-Q(Dx, D,t,t ) = )).

( - K (Dx, D,t t j j=Оператор Q естественно назвать разделяющим оператором по отношению к оператору A.

Заметим, что утверждения теорем 14 - 16 справедливы для псевдодифференциального оператора A вида k A(Dx, D,t,t )v = ))v, ( - K (Dx, D,t t j j=где K (Dx, D,t ) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами j zj (,), j =1,2,..., k.

Во второй главе диссертации рассматривается также уравнение с 1 n переменными по t R+ коэффициентами. А именно, в R+ рассматривается линейное дифференциальное уравнение вида A(t, Dx, D,t,t )v(x,t) = F(x,t), (31) где A(t, Dx, D,t,t )v = a jl (t)D Dj,tlv. (32) x t + j+ql2m 2m Здесь q = >1, a jl (t) - некоторые ограниченные на R+ функции, a00k (t) k при всех t R+. Без ограничения общности будем считать, что a00k (t) =1 при всех t R+.

n На границе t = 0 полупространства R+ задаются граничные условия общего вида Bj (Dx,t )v =b ljD l v = Gj (x), j =1,2,...,. (33) x t t=0 t= +qlm j Кроме того, при t + задается условие (23).

Пусть выполнены следующие условия.

Условие 4. Уравнение j a jl (t) zl = 0 (34) +ql+ j=2m не имеет z – корней, лежащих на мнимой оси при всех (,) Rn, + > и при всех t 0. Пусть z1(t,,),..., zr (t,,) (1 r k) - корни, лежащие в левой полуплоскости, а zr+1(t,,),..., zk (t,,) лежат в правой полуплоскости.

Условие 5. Функции zj (t,,), j =1,2,...,k, при всех Rn-1 являются бесконечно дифференцируемыми функциями по переменным t R+ и R1. Причем, при всех j1 = 0, 1, 2,..., l = 0, 1, 2,..., Rn-1, t R+, Rсправедливы оценки j1 l ( (t)t ) z (t,,) cj,l ( + )q-l, + > 0, j с константами cj,l > 0, не зависящими от t, , .

Из условия 4 следует, что при всех Rn-1, t R+, Rсправедливы оценки Re zj (t,,) -c1( + )q, j =1,...,r; (35) Re z (t,,) c2 ( + )q, j = r + 1,...,k, (36) j с некоторыми константами c1 >0, c2 > 0, не зависящими от t, , .

Условие 6. Число граничных условий (33) равно числу z - корней уравнения (34), лежащих в левой полуплоскости и при всех Rn-1, > многочлены B0(, z) = blj zl линейно независимы по модулю j +ql =mj r многочлена P(, z) = - zj (0,,0)).

(z j1=Справедливы следующие утверждения.

Теорема 17. Пусть s max{2m, max mj + q} - действительное число и 1 jr выполнены условия 1, 4, 5, 6. Тогда для любого решения v(x,t) задачи (31), n (33), (23), принадлежащего пространству Hs,,q (R+ ), справедлива априорная оценка r v c( F + v + Gj ) (37) s,,q s-2m,,q s-1,,q j=s-mj - q с постоянной c > 0, не зависящей от v, F, Gj, j = 1, 2,..., r.

Теорема 18. Пусть выполнено условие 1 при s 2m и условия 4, 5. Тогда для оператора At, Dx, D,t,t ) справедлива формула представления ( k A(t, Dx, D,t,t ) = - K (t, Dx, D,t )) + T (t, Dx, D,t,t ), (38) (t j j=где K (t, Dx, D,t ) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами j n zj (t,,), а порядок оператора T (t, Dx, D,t,t ) в шкале пространств Hs,,q (R+ ) не превосходит 2m -1.

Так же как в случае операторов с постоянными коэффициентами теорема 18 позволяет свести доказательство априорной оценки решения задачи (31), (33), (23) к коэрцитивной оценке снизу формы Re(AwQw) на функциях, w(x,t)r. При этом теорема 17 при выполнении условия 6 вытекает из следующей теоремы.

Теорема 19. Пусть выполнено условие 1 при s 2m и условия 4, 5. Тогда ( существует такой оператор Qt, Dx, D,t,t ), порядок которого в шкале n пространств Hs,,q(R+ ) не превосходит 2m - q, что для любых s0 0, > 0 и любых функций w(x,t)r справедливо неравенство k-l+1-i1 k k-l c1 w 1 i w + t (k- -s0 )q, (l-s0 +i1- )q, l=1 i1=0 i2 =0 k-l-i1 k k-l +c( ) i w + Re(A(t, Dx, D,t,t ),Qw)-s q,, (39) t (l-s0 +i1- )q-1, l=1 i1=0 i2 =0 где константа c1 > 0 не зависит от и w, а константа c( ) > 0 не зависит от w.

При этом в качестве оператора Q можно взять оператор вида k- Q(t, Dx, D,t,t ) = )).

( - K (t, Dx, D,t t j j=Заметим, что утверждения теорем 17 - 19 справедливы для псевдодифференциального оператора A(t, Dx, D,t,t ) вида k A(t, Dx, D,t,t )v = ))v, ( - K (t, Dx, D,t t j j=где K (t, Dx, D,t ) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами j zj (t,,), j =1,2,...,k.

В третьей главе работы исследуются качественные свойства n математических моделей, определяемых краевыми задачами в R+ для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и невырожденную производную t.

Установлена корректность таких моделей и получены коэрцитивные априорные оценки решений рассмотренных краевых задач.

Рассмотрим вначале следующие задачи (q) ( ) K- (Dx, D,t )v(x,t) -tv(x,t) = F(x,t) v(x,t) = G(x), lim v(x,t) = 0, ( ) t= t+ (q) )v(x,t) -tv(x,t) = F(x,t) (42) + K (Dx,D,t lim v(x,t) = 0, (43) t+ ( где K±q)(Dx, D,t ) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами ±(,), которые удовлетворяют оценкам (7) при = q >1, а также неравенствам q 2 ± Re±(,) c(1+ + )2 (44) для всех (,) Rn с константой c > 0, не зависящей от (,).

Теорема 20. Пусть s 0, q >1 - действительные числа, выполнено условие 1, неравенство (7) при = q и неравенство (44). Тогда для любого n решения v(x,t) задачи (40) - (41), принадлежащего пространству Hs+q,,q (R+ ), справедлива априорная оценка v c( F + G ), (45) s+q,,q s,,q s+ q где постоянная c > 0 не зависит от v, F, G.

Теорема 21. Пусть выполнены условия теоремы 20. Тогда для любого n решения v(x,t) задачи (42) - (43), принадлежащего пространству Hs+q,,q (R+ ), справедлива априорная оценка v c F, (46) s+q,,q s,,q где постоянная c > 0 не зависит от v, F.

n Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 20. F(x,t) Hs,,q(R+ ), G(x) H (Rn-1). Тогда существует единственное решение v(x,t) задачи (40) - q s+ n (41), принадлежащее пространству Hs+q,,q(R+ ).

n Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 20. F(x,t) Hs,,q(R+ ).

Тогда существует единственное решение v(x,t) задачи (42) - (43), n принадлежащее пространству Hs+q,,q(R+ ).

При доказательстве теорем 20 – 23 существенно используются свойства весовых псевдодифференциальных операторов, установленные в главе 1.

Рассмотрим теперь псевдодифференциальные уравнения, содержащие весовые псевдодифференциальные операторы с переменным символом. А n именно, в R+ рассмотрим следующие задачи (q) K- (t, Dx, D,t )v(x,t) -tv(x,t) = F(x,t) (47) v(x,t) = G(x), lim v(x,t) = 0, t= t+ (q) )v(x,t) -tv(x,t) = F(x,t) + K (t, Dx, D,t (48) lim v(x,t) = 0.

t+ Наряду с задачами (47), (48) рассмотрим задачи, зависящие от параметра r > 0.

(q) K- (t, Dx, D,t )v(x,t) -tv(x,t) - rv(x,t) = F(x,t) (49) v(x,t) = G(x), lim v(x,t) = 0, t= t+ (q) )v(x,t) -tv(x,t) + rv(x,t) = F(x,t) + K (t, Dx, D,t (50) lim v(x,t) = 0.

t+ Предположим, что символы ±(t,,) весовых псевдодифференциальных ( операторов K±q)(t, Dx, D,t ) удовлетворяют следующему условию.

q Условие 7. Функции ±(t,,) принадлежат классу S (), где q >1 действительное число, R+. Причём, с некоторой константой c > 0, не зависящей от t , Rn-1, R1, справедливы оценки ± Re±(t,,) c(1+ + )q при всех t , Rn-1, R1.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 24. Пусть s 0, q >1 - действительные числа, выполнено условие 1. Пусть функция (t,,) удовлетворяет условию 7. Тогда для любого решения v(x,t) задачи (47), принадлежащего пространству n Hs+q,,q (R+ ), справедлива априорная оценка v c( F + G + v ) (51) n s+q,,q s,,q s+ q L2 (R+ ) с постоянной c > 0, не зависящей от v, F, G.

Теорема 25. Пусть s 0, q >1 - действительные числа, выполнено условие 1. Пусть функция +(t,,) удовлетворяет условию 7. Тогда для n любого решения v(x,t) задачи (48), принадлежащего пространству Hs+q,,q (R+ ), справедлива априорная оценка v c( F + v ) n s+q,,q s,,q L2 (R+ ) с постоянной c > 0, не зависящей от v, F.

Теорема 26. При выполнении условий теоремы 24 существует правый регуляризатор задачи (47), то есть такой оператор n n R1 : Hs,,q(R+ ) H (Rn-1) Hs+q,,q(R+ ), что 1R1(F,G) = (F,G) + T1(F,G), где s+ q 1 - оператор, порождённый задачей (47) (то есть 1v = (F,G) ), а T1 - n n ограниченный оператор из Hs,,q(R+ ) H (Rn-1) в Hs+1,,q(R+ ) H (Rn-1).

1 s+ q s+ q+2 Как известно, при выполнении априорной оценки (51) правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 27. При выполнении условий теоремы 25 существует правый регуляризатор задачи (48), то есть такой оператор nn R2 : Hs,,q(R+ ) Hs+q,,q(R+ ), что 2R2F = F + T2F, где 2 - оператор, n порожденный задачей (48), а T2 - ограниченный оператор из Hs,,q(R+ ) в n Hs+1,,q(R+ ).

Так же как и выше замечаем, что правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 28. Пусть выполнены условия теоремы 24, r r1. Тогда при достаточно большом r1 > 0 для любого решения v(x,t) задачи (49), n принадлежащего пространству Hs+q,,q(R+ ), справедлива априорная оценка v c( F + G ) s+q,,q s,,q s+ q с постоянной c > 0, не зависящей от v, F, G.

Теорема 29. Пусть выполнены условия теоремы 24. Пусть n F(x,t) Hs,,q(R+ ), G(x) H (Rn-1). Тогда при r r1, где r1 > 0 - достаточно s+ q большое число, существует единственное решение задачи (49), принадлежащее n пространству Hs+q,,q(R+ ).

Теорема 30. Пусть выполнены условия теоремы 25. Тогда при r r1, где r1 > 0 - достаточно большое число, для любого решения v(x,t) задачи (50), n принадлежащего пространству Hs+q,,q(R+ ), справедлива априорная оценка v c F s+q,,q s,,q с постоянной c > 0, не зависящей от v, F.

Теорема 31. Пусть выполнены условия теоремы 25. Пусть n F(x,t) Hs,,q(R+ ). Тогда при r r1, где r1 > 0 - достаточно большое число, существует единственное решение задачи (50), принадлежащее пространству n Hs+q,,q(R+ ).

В четвертой главе диссертации исследуется корректность математических моделей процессов с вырождением в анизотропных средах, n определяемых общими краевыми задачами в R+ для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Построены регуляризаторы рассмотренных краевых задач.

Теорема 32. Пусть s max{2m, max mj + q} - действительное число и 1 jr выполнены условия 1, 2, 3. Тогда существует правый регуляризатор задачи (21) - (23), то есть такой оператор r n n R : Hs-2m,,q(R+ ) (Rn-1) Hs,,q(R+ ), что H s- q-mj j= AR(F,G) = (F,G) + T (F,G), (52) где A - оператор, порожденный задачей (21) - (23), r nn A: Hs,,q(R+ ) Hs-2m,,q(R+ ) (Rn-1), H s- q-mj j= а оператор T является ограниченным оператором из r r n n Hs-2m,,q(R+ ) (Rn-1) в Hs-2m+1,,q(R+ ) (Rn-1), H 1 H s- q-mj s- q+1-mj j=1 j=2 G = (G1,G2,...,Gr ).

При выполнении априорной оценки (28) правый регуляризатор задачи является одновременно и левым регуляризатором.

Результат, аналогичный теореме 32, справедлив и для задачи (31), (33), (23).

Теорема 33. Пусть s max{2m, max mj + q} - действительное число и 1 jr выполнены условия 1, 4, 5, 6. Тогда существует правый регуляризатор задачи (31), (33), (23).

Так как для решения задачи (31), (33), (23) справедлива априорная оценка (37), то правый регуляризатор является и левым регуляризатором.

В главе 5 устанавливается корректность математических моделей вырождающихся процессов, определяемых общими краевыми задачами в n полосе конечной ширины Rd = {0 < t < d, x Rn-1} для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную второго порядка по переменной t. Установлены коэрцитивные априорные оценки и теорема о существовании и единственности решений рассмотренных краевых задач. Здесь предлагается другой метод (отличный от примененного в главах 1 - 4) доказательства теоремы существования, позволяющий одновременно устанавливать и единственность построенного решения.

n В полосе Rd = {0 < t < d, x Rn-1} рассматривается задача A(Dx, D,t,t )v = L2m(Dx,D,t )v - t v = F(x,t), (53) где L2m (Dx, D,t ) = a jD Dj,t, x + j2m a j - комплексные числа. Im a02m = 0.

n На границе t = 0 полосы Rd задается условие l B(Dx,t )v = bl D t v = G(x) (54) x t=0 t= +mlm* с комплексными коэффициентами bl.

n На границе t = d полосы Rd заданы условия вида m-v =t v =... =t v = 0. (55) t=d t=d t=d Условие 8. При всех (,) Rn справедливо неравенство 2 Re L2m(,) c(1+ + )m, где постоянная c > 0 не зависит от (,).

Условие 9. Для некоторого s 2m + m* функция (t) принадлежит Cs-1[0,d], причем (0) = '(0) = 0, (t) > 0 при t > 0.

Условие 10. При всех Rn-1 выполнено одно из трех условий: либо Re0( )1( ) < 0, либо 0( ) 0, 1( ) 0, либо 1( ) 0, 0( ) 0.

Здесь 0 ( ) (1( )) - многочлен, степень которого не выше m* (m* - m), который строится с помощью рекуррентных формул по коэффициентам операторов A и B.

n n Введем по аналогии с пространством Hs,,q(R+ ) пространство Hs,,m(Rd ).

n Определение 7. Пространство Hs,,m(Rd ) ( s 0 - действительное число) n состоит из тех функций v(x,t) L2(Rd ), для которых конечна норма [sm-1] (s-ml ) 2 v = { F-1 F-1[(1 + + )2 F Fx [lv(x,t)]] }2, x t s,,m l=0 n L2 (Rd ) где [sm-1] - целая часть числа sm-1. Если s - целое неотрицательное число, то эта норма эквивалентна следующей норме v ={ D Dj,tlv }2.

x t s,,q + j+mls n L2 (Rd ) Теорема 34. Пусть s max{2m, m* + m} - целое число и выполнены условия 8 - 10. Тогда для любого решения v(x,t) задачи (53) - (55), n принадлежащего пространству Hs,,m (Rd ), справедлива априорная оценка v c( Av + Bv ), (56) m s,,m s-2m,,m t=0s-m*где постоянная c > 0 не зависит от v.

Здесь - норма в пространстве Соболева - Слободецкого Hs(Rn-1).

s Теорема 35. При выполнении условий теоремы 34 для любых n F(x,t) Hs-2m,,m(Rd ), G(x) H (Rn-1) существует единственное решение m s-m*n задачи (53) - (55), принадлежащее пространству Hs,,m(Rd ).

В главе 6 исследуется вопрос о корректности математических моделей, определяемых краевыми задачами типа задач Дирихле в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную порядка 2l, l 1 по переменной t. При этом для доказательства основных теорем используются методы, аналогичные методам главы 5.

n В полосе Rd ={x Rn-1, 0 < t < d}, где d > 0 - некоторое число, рассматривается уравнение A(Dx, D,t,t )v(x,t) = F(x,t), (57) где 2l A(Dx, D,t,t ) = L2m(Dx, D,t ) + (-1)l t, l 1, (58) L2m (Dx, D,t ) = a jD Dj,t.

x + j2m Здесь a j - комплексные коэффициенты, причем, Im a02m = 0.

На границе t = 0 полосы задаются условия вида.

b jD l- j v(x,t) = Gj (x), j =1, 2,...,l, (59) x t t= k j где b j - комплексные коэффициенты.

На границе t = d задаются условия вида m-v(x,t) =t v(x,t) =... =t v(x,t) = 0. (60) t=d t=d t=d Пусть выполнены следующие условия.

Условие 11. При всех Rn-1, R1 справедлива оценка 2 Re L2m(,) c(1+ + )m, где постоянная c > 0 не зависит от , .

m m Условие 12. Для некоторого s max{2m, max(kj + (l - j) + )} 1 jl l 2l функция (t) принадлежит пространству Cs-1[0,d], причем, (0) = '(0) = 0, (t) > 0 при t > 0.

Условие 13. При всех Rn-1 справедливы оценки b j > 0, j =1,2,...,l.

k j n n Аналогично пространству Hs,,m(Rd ) введем пространство H (Rd ).

m s,, l n Определение 8. Пространство H (Rd ) ( s 0 - действительное число, m s,, l n m, l - натуральные числа, m > l ) состоит их тех функций v(x,t) L2(Rd ), для которых конечна норма sl [ ] 1 m m (s- j) v = { F-1F-1 [(1+ +2)2 l Fx F[tjv]] }2, m x s,, l j=0 n L2 (Rd ) sl sl где [ ] - целая часть числа. Если s - целое неотрицательное число, то эта m m норма эквивалентна норме v m = { D Dj,ttpv(x,t) }2.

x n s,, L2 (Rd ) l m + j+ ps l Основными результатами главы 6 являются следующие теоремы.

m m Теорема 36. Пусть s max{2m, max(k + (l - j) + )} - действительное j 1 jl l 2l число, m 2l - четное число. Пусть выполнены условия 11 - 13. Пусть n F(x,t) H (Rd ), Gj (x) H (Rn-1), j =1, 2,...,l. Тогда для m m m s-2m,, s-(l - j) - -k l l 2lj любого решения v(x,t) задачи (57), (59), (60), принадлежащего пространству n H (Rd ), справедлива априорная оценка m s,, l l v c( F + Gj s-(l - j) m - m -k ) mm s,, s-2m,, ll j=1 l 2lj с константой c > 0, не зависящей от v, F, Gj, j =1, 2,..., l.

Теорема 37. Пусть выполнены условия теоремы 36. Пусть n F(x,t) H (Rd ), Gj (x) H (Rn-1), j =1, 2,..., l. Тогда m m m s-2m,, s-(l - j) - -k l l 2lj существует единственное решение v(x,t) задачи (57), (59), (60), принадлежащее n пространству H (Rd ).

m s,, l В приложении рассмотрены примеры математических моделей, построенных с помощью краевых задач, содержащих уравнения, изученные в предыдущих главах. Проведены численные эксперименты некоторых модельных задач.

В частности, изучен вопрос о применении полученных выше результатов к исследованию стационарных процессов конвекции – диффузии в неоднородных анизотропных средах.

Уравнение конвекции – диффузии в неоднородных анизотропных средах имеет вид (61) a (x) 2u(x) + b (x) u(x) + c(x)u(x) = f (x).

j x2 j=1 j xj j=j Здесь u = u(x1, x2, x3) - концентрация газа (жидкости) в точке x = (x1, x2, x3).

Рассмотрим уравнение (61) в полупространстве R+ = {(x1, x2 ) R2, x3 > 0}.

Предполагается, что функции c(x), aj (x), bj (x), j =1,2,3 - достаточно гладкие на R+. Физический смысл функций aj (x) состоит в том, что эти функции определяют коэффициенты диффузии в точке x R+. Предположим, что среда анизотропная, то есть физические свойства различны по разным направлениям.

Предположим, что при приближении к гиперплоскости x3 = 0 коэффициент диффузии a3(x), соответствующий диффузионному потоку в направлении, параллельном оси Ox3, стремится к нулю. То есть, a3(x) > 0 при всех x3 > 0, (x1, x2 ) R3, и a3(x) = 0. Физически это означает, что x3 =диффузионный поток встречается с препятствием (x3 = 0), на котором диффузия отсутствует. Предполагается, что в направлениях, параллельных осям Ox1 и Ox2, такие препятствия отсутствуют, то есть aj (x) > 0, j = 1,2 при всех (x1, x2 ) R2, x3 0.

Пусть a3(x) = (x3)a3,1(x1, x2), где (x3) > 0 при всех x3 > 0, (x3) = const при x3 d > 0 для некоторого d > 0 ; (0) = (0) = 0, a3,1(x1, x2) 0 при всех (x1, x2) R2. Тогда уравнение (61) можно записать в виде u u -D,x3u - (62) a (x)Dx u - c1(x)u + b (x) xj + b3,1(x) x3 = f1(x), j,1 j,j j=1 j=где операторы D,t, Dx - определены выше, коэффициенты j aj,1(x), j =1, 2; bj,1(x), j =1, 2, 3; c1(x) - определяются по коэффициентам уравнения (61). Уравнение (62) при определенных условиях является частным случаем уравнений, фигурирующих в задачах (40) – (42), (47) – (50) в случае, когда символы весовых псевдодифференциальных операторов являются многочленами второй степени.

Таким образом, задачи (40) - (42), (47) – (50) в частных случаях описывают процессы конвекции – диффузии в случае, когда граница t = 0 оказывает существенное влияние на диффузионный процесс в том смысле, что при приближении к границе t = 0 коэффициент диффузии стремится к нулю.

Уравнения вида (61) и (62) возникают при математическом описании различных физических процессов. К таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, процесса вытеснения нефти водой из пористой среды. Подобные уравнения возникают при моделировании процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле, при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием, при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных средах.

Так как уравнения вида (61), (62) описывают не только стационарные процессы диффузии и теплопроводности, но и процессы, происходящие в стационарных магнитных и электрических полях, то результаты, полученные в диссертации, применимы для исследования математических моделей стационарных диффузионных, магнитных и электрических процессов в анизотропных средах в случае существенного влияния границы области на процессы, происходящие вблизи границы.

Заметим, что в силу теорем 15 и 18 левые части уравнений (21) и (31) могут быть представлены в виде суперпозиции конечного числа операторов, частными случаями которых являются операторы, стоящие в левой части уравнений (62). Таким образом, уравнения (21) и (31) описывают процессы конвекции – диффузии в многокомпонентных неоднородных анизотропных средах, то есть средах, состоящих из конечного числа различных, влияющих друг на друга неоднородных анизотропных сред. При этом предполагается, что границы сред оказывают существенное влияние на процессы, происходящие внутри сред.

В приложении установлена также возможность применения полученных результатов к исследованию математических моделей, содержащих краевые задачи для сингулярно возмущенных уравнений конвекции – диффузии, если возмущение при одной из производных является переменной величиной.

В пакете Maple 10 проведен численный эксперимент некоторых модельных задач.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту, профессору Ю. В. Покорному, а также профессору В. П. Глушко за внимание к работе и полезные консультации.

Список основных публикаций по теме диссертации Монографии 1. Баев А. Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев. – Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2008. – 240 с.

Статьи в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр ВАК МОиН РФ 2. Баев А. Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А. Д. Баев // Докл.

Академии наук. – 1982. – Т. 265, № 5. – С. 1044-1046.

3. Баев А. Д. Некоторые свойства псевдодифференциальных операторов / А. Д.

Баев // Вестн. Воронежского гос. ун- та. Сер. Физика. Математика. – 2006. – № 2. – С. 147-152.

4. Баев А. Д. Об априорной оценке решений задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения высокого порядка, моделирующего процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. – 2008 – № 1.1 (31). – С. 115-120.

5. Баев А. Д. Теорема о разрешимости одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка, содержащего невырожденную производную четвертого порядка по переменной t / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. – 2008. – № 1.1 (31). – С. 120-124.

6. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. – 2008. – № 1.2 (31). – С. 277-280.

7. Баев А. Д. Об априорной оценке решений задачи Дирихле для одного вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. – 2008. – № 1.2 (31). – С.

212-217.

8. Баев А. Д. Теорема о разрешимости одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка, содержащего невырожденную производную порядка 2l по переменной t / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии – 2008. – № 1.3 (31). – С.

323-327.

9. Баев А. Д. Об одном методе доказательства априорных оценок решений краевых задач, моделирующих процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. – 2008. – № 1.3 (31). – С.

327-332.

10. Баев А. Д. О существовании решения общей краевой задачи в полосе для одного вырождающегося уравнения / А. Д. Баев // Научно – технические ведомости Санкт-Петербургского гос. техн. ун-та. Сер. Информатика.

Телекоммуникация. Управление. – 2008. – № 3 (60). – С. 173-180.

11. Баев А. Д. Об одной краевой задаче в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А. Д. Баев // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. Естеств. науки. – 2008. – № 3 (62). – С. 27-39.

12. Баев А. Д. О разрешимости общих краевых задач в полупространстве для для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. Естеств. науки. – 2008. – № 3 (62). – С. 4050.

13. Баев А. Д. О краевых задачах в полупространстве для сингулярно возмущенных уравнений конвекции – диффузии с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. – 2008. – № 2.2 (32). – С.

212-216.

14. Баев А. Д. Построение регуляризатора общей краевой задачи для эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. – 2008. – № 2.3 (32). – С. 322-326.

Публикации в других изданиях 15. Баев А. Д. Общие граничные задачи для уравнений с обращающимися в нуль коэффициентами при старшей производной / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений: тез. докл., Алма- Ата, 5-8 июля 1979 г. – Алма-Ата:

Наука, 1979. – С. 160-162.

16. Баев А. Д. Корректная разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев, В. П. Глушко;

Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1979. – 60 с. – Деп. в ВИНИТИ 9.02.79, № 53679.

17. Баев А. Д. О корректности краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев, В. П.

Глушко // Дифференциальные уравнения в частных производных : сб. науч. тр.

– Новосибирск: Наука, 1980 – С. 17-21.

18. Глушко В. П. Об однозначной разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В. П.

Глушко, А. Д. Баев // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: сб. науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. – Новосибирск, 1980. – С. 61-63.

19. Баев А. Д. О разрешимости общей краевой задачи для одного вырождающегося уравнения четвертого порядка / А. Д. Баев // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики : сб.

науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. – Новосибирск, 1981. – С. 18-20.

20. Баев А. Д. Об одном методе доказательства априорных оценок решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка /А. Д. Баев; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1981. – 26 с. – Деп. в ВИНИТИ 11.09.81, № 4428-81.

21. Баев А. Д. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений / А.

Д. Баев // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр. / Инт математики СО АН СССР. – Новосибирск, 1982. – С. 24-26.

22. Баев А. Д. О применении метода разделяющегося оператора для доказательства априорных оценок решений краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1982. – с. – Деп. в ВИНИТИ 3.08.82, № 4208-82.

23. Баев А. Д. Пространства типа Соболева-Слободецкого с весом и весовые псевдодифференциальные операторы /А. Д. Баев; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1982. – 39 с. – Деп. в ВИНИТИ 3.08.82, № 4209-82.

24. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1982. – 54 с. – Деп. в ВИНИТИ 6.09.82, № 4736-82.

25. Баев А. Д. Об одном классе уравнений переменного типа / А. Д. Баев // Школа по теории операторов в функциональных пространствах: тез. докл., Минск, 11-14 июля 1982 г. – Минск, 1982. – С. 18-19.

26. Баев А. Д. О вырождающихся уравнениях переменного порядка / А. Д. Баев // Нелокальные задачи для нагруженных уравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа: сб. науч. тр. – Нальчик, 1982. – С. 29-41.

27. Баев А. Д. Весовые псевдодифференциальные операторы в теории эллиптических краевых задач с вырождением / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики: тр.

семинара акад. С. Л. Соболева / Ин-т математики СО АН СССР. – Новосибирск, 1983. – № 1. – С. 3-31.

28. Баев А. Д. Весовые псевдодифференциальные операторы с переменным символом / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики: тр. семинара акад. С. Л. Соболева / Ин-т математики СО АН СССР. – Новосибирск, 1983. – № 2. – С. 5-26.

29. Баев А. Д. Об одном классе краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений /А. Д. Баев; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1983. – 35 с. – Деп. в ВИНИТИ 5.07.83, № 3670-83.

30. Баев А. Д. Разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев, Л. В. Желдакова;

Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1985. – 28 с. – Деп. в ВИНИТИ 8.02.85, № 106485.

31. Баев А. Д. О свойствах коммутации весовых псевдодифференциальных операторов с операторами дифференцирования /А. Д. Баев, А. Т. Дощарова;

Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1986. – 35 с. – Деп. в ВИНИТИ 18.04.86, № 2844-В86.

32. Баев А. Д. Об энергетических оценках в смешанной задаче для вырождающихся q - гиперболических уравнений / А. Д. Баев // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. – Новосибирск, 1986. – С. 34-38.

33. Баев А. Д. Теорема о предельных значениях весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев, Е. А. Краморова; Воронеж.

гос. ун-т. – Воронеж, 1986. – 32 с. – Деп. в ВИНИТИ 18.04.86, № 2845-В86.

34. Баев А. Д. Теорема об ограниченности для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Наука и ее роль в ускорении научно-технического прогресса : тез. докл. межвуз. конф., Воронеж, 27-31 янв.

1987 г. – Воронеж, 1987. – С. 36.

35. Баев А. Д. Теорема о композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1987. – 23 с. – Деп. в ВИНИТИ 9.06.87, № 4166-В87.

36. Баев А. Д. Об одном классе весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // XII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: тез. докл., Тамбов, 12-15 дек. 1987. – Тамбов, 1987. – Ч. 1. – С.

23.

37. Баев А. Д. Разрешимость одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // XIII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: тез. докл., Куйбышев, 2025 мая 1998. – Куйбышев, 1988. – С. 31-32.

38. Баев А. Д. Априорные оценки решений некоторых вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений /А. Д. Баев; Воронеж. гос.

ун-т. – Воронеж, 1988. – 31 с. – Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8356-В88.

39. Баев А. Д. Некоторые свойства “следов” весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев, С. П. Мазалова; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1988. – 28 с. – Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8357-В88.

40. Баев А. Д. Теорема о коммутации весового псевдодифференциального оператора с переменным символом и оператором дифференцирования /А. Д.

Баев, Е. Г. Палажченко; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1988. – 20 с. – Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8358-В88.

41. Баев А. Д. Задача Дирихле для одного класса вырождающихся уравнений / А. Д. Баев // XV школа по теории операторов в функциональных пространствах: тез. докл., Новгород, 17-21 мая 1990 г. – Новгород, 1990. – С. 47.

42. Баев А. Д. Некоторые свойства весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А. Д. Баев // Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики: тез. докл. – Новосибирск, 1995. – С. 13.

43. Баев А. Д. Теорема о коммутации псевдодифференциальных операторов с переменным символом и оператора дифференцирования /А. Д. Баев, Н. И.

Никифорова; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1996. – 27 с. – Деп. в ВИНИТИ 26.06.96, № 2144-В96.

44. Баев А. Д. Теорема о “следах” для весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом /А. Д. Баев, О. А. Ушпик; Воронеж. гос.

ун-т. – Воронеж, 1996. – 27 с. – Деп. в ВИНИТИ 26.06.96, № 2143-В96.

45. Баев А. Д. Некоторые свойства весовых псевдодифференциальных операторов с вырождающимися символами / А. Д. Баев // Конференция по функциональному анализу и уравнениям математической физики: тез. докл., Воронеж, 25-30 янв. 1997 г. – Воронеж, 1997. – С. 38.

46. Баев А. Д. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся уравнений / А. Д. Баев // Дифференциальные уравнения.

Интегральные уравнения. Специальные функции: тез. докл. междунар. науч.

конф., Самара, 23-27 июня 1997 г. – Самара, 1997. – С. 48-49.

47. Баев А. Д. Разрешимость одного класса краевых задач для уравнений переменного типа / А. Д. Баев // Теория и численные методы решения краевых задач: тез. докл. респ. конф., Юрмала, 22 – 27 июня 1998 г. – Юрмала, 1998. – С.

64.

48. Баев А. Д. Теорема о композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Современные методы теории функций и смежные вопросы: тез. докл. междунар. науч. конф., Воронеж, 26-31 янв. 2003 г. – Воронеж, 2003. – С. 26-27.

49. Баев А. Д. Теорема об ограниченности для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа: тез. докл., Воронеж, 24-30 янв. 2004 г. – Воронеж, 2004.

– С. 15-16.

50. Баев А. Д. Теорема о коммутации для весового псевдодифференциального оператора / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа: тез. докл., Воронеж, 23-29 янв. 2005 г. – Воронеж, 2005. – С. 21.

51. Баев А. Д. Теорема «о следах» для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А. Д. Баев // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: тез. докл., Воронеж, 19 – 23 дек. 2005 г. – Воронеж, 2005. – С.

14.

52. Баев А. Д. Теоремы об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А. Д.

Баев // Современные методы теории краевых задач: тез. докл., Воронеж, 3-мая 2006 г. – Воронеж, 2006. – С. 13-15.

53. Баев А. Д. Теорема об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев, Е. М. Мерзликина // Труды математического факультета ВГУ. – Воронеж, 2007. – № 11. – С. 150154.

54. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: тез. докл., Воронеж, 19-24 нояб. 2007 г. – Воронеж, 2007. – С.

22-23.

55. Баев А. Д. Теорема о коммутации весового псевдодифференциального оператора с переменным символом и оператора коммутации / А. Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: тез. докл., Воронеж, 4-11 мая, 20г. – Воронеж, 2007. – С. 30-31.

56. Баев А. Д. Теорема о коммутации одного класса весовых псевдодифференциальных операторов с оператором дифференцирования / А. Д.

Баев // Современные проблемы теории функций и смежные проблемы: тез.

докл., Воронеж, 24-31 янв. 2007 г. – Воронеж, 2007. – С. 18-19.

57. Баев А. Д. Априорные оценки решений одного вырождающегося уравнения / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна–2008 :

тез. докл., Воронеж, 24 – 31 янв. 2007 г. – Воронеж, 2007. – С. 11-12.

58. Баев А. Д. Оценка решений задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения высокого порядка, моделирующего процессы с вырождением / А. Д.

Баев // Современные методы теории краевых задач: тез. докл., Воронеж, 4-мая 2008 г. – Воронеж, 2008. – С. 29-30.

59. Баев А. Д. О псевдодифференциальных операторах, построенных на основе преобразования Ганкеля и весового преобразования Фурье / А. Д. Баев, Е. М.

Мерзликина, Л. Н. Ляхов // Третья международная конференция, посвященная 85 – летию члена-корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева: тез. докл., Москва, – 14 марта 2008 г. – М., 2008. – С. 157-159.

60. Баев А. Д. Априорная оценка решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения высокого порядка /А. Д. Баев // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математического факультета ВГУ). – Воронеж, 2008. – № 3. – С. 3-13.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.