WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Цветков Илья Викторович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Тверь 2011

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ, доктор физикоматематических наук, профессор А.Н. Кудинов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Севастьянов Леонид Антонович доктор технических наук, профессор Чохонелидзе Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Щетинин Евгений Юрьевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН.

Защита состоится 28 октября 2011 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу:170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд.200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170000, Тверь, ул.Володарского, 44а.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, подписанные и заверенные печатью, просим направлять по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, диссертационный совет Д 212.263.04, ученому секретарю.

Автореферат разослан « » 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.263.доктор физико-математических, доцент С.М.Дудаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Критические явления в социально-экономических системах представляют большой интерес, поскольку они обусловлены их структурой и особенностями динамики основных параметров таких систем1. Изучение этих явлений позволяет выявлять их природу и понять наиболее важные элементы структуры процессов, протекающих в социально-экономических системах. В критических областях значений основных параметров характерны существенно-нелинейные зависимости основных характеристик систем от этих параметров.

Важным элементом, определяющим принятие решений в управлении процессами в социально-экономических системах, является наличие достоверного прогноза их эволюции. Это возможно только при создании математических моделей адекватно отражающих природу этих систем. Новая методология долгосрочного циклического прогнозирования динамики развития мировой системы и России изложена А.А.Акаевым и В.А.Садовничим1.

В последние годы в мире наблюдается новый подъем активности в области геополитического и социально-экономического прогнозирования будущего1. Наряду с глобальными экологическими и энергетическими вызовами это связано с существенным обострением продовольственной проблемы, вызванной значительным ростом численности населения Земли. На сегодня социально- экономическое прогнозирование ведется в различных временных диапазонах - от краткосрочных (до одного года), среднесрочных (от одного до пяти лет) до долгосрочных (от пяти до 30-50 лет)1.

На сегодняшний день изучение процессов на рынке углеводородов в целом и самого важного – нефти, представляет сложную и важную задачу для моделирования, предсказания его поведения и регулирования (А.Н. Кудинов, И.В.Цветков и др. 2009, 2010, 2011)2. Несомненна существенная важность стабильности высокой цены на нефтяном рынке для нашей страны.

Отдельного исследования требует и такое непростое явление как “нефтяной пузырь” – достаточно медленный, но постоянный подъем цен, связанный с массовым притоком спекулятивного капитала на нефтяной рынок.

Новые, уникальные возможности для анализа динамики валютного курса, одного из основных факторов, определяющих развитие экономики России, дает использование математической теории катастроф совместно с фрактальными подхоА.А. Акаев, В.А.Садовничий. О новой методологии долгосрочного циклического прогнозирования динамики развития мировой системы и России.// Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики / Отв.ред. А.А.Акаев, А.В.Коротаев, Г.Г.Малинецкий. – М.: Издательство ЛКИ, 2010. –с 5 - 69.

Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 – начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15.

Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) – 2010. С.21-Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы. 2010. № 1. С. 10-11.

Цветков И.В. Самоподобие цен на нефть и фрактальные методы их прогноза.// Финансы и кредит. 21(453) – 2011. С.5559.

дами (А.Н.Кудинов, И.В.Цветков и др. 2009)3. Построение же математических моделей, адекватно отражающих динамику кризисных социально-экономических процессов на сегодняшний день является крайне актуальной задачей (И.В.Цветков 2010)4.

Существующие к настоящему времени методы и подходы, такие как:модель фрактального броуновского движения (Б.Мандельброт, Дж.В.Ван Несс5), экстраполяционный метод прогнозирования (А.А. Дынкин 2007)6, В. Г. Клинов (2008)7, методы экспертных оценок (Н. В. Гапоненко 2008)8, интегральное макропрогнозирование Ю. В. Яковец (2008)9, метод написания сценариев. (Б. Н. Кузык, Ю. В. Яковец 2005)10, методы математического моделирования (PricewaterhouseCoopers 2006)11, (I.Wilson, R.Purushothaman 2003)12, (Л. Столерю 1974)13, не в состоянии адекватно и с достаточной степенью точности описывать вышеперечисленные явления и процессы в социально-экономических системах1. В связи с этим возникает вопрос о необходимости построения принципиально новых подходов и методов, позволяющих описывать процессы, динамика которых представляется мультифрактальными кривыми. Несомненно, важным аспектом таких моделей является вопрос о методах управления конкретных мультифрактальных процессов. Как показано (А.Н.Кудинов, И.В.Цветков и др. 2009, 2010)3,4 это решается в рамках математической модели – мультифрактальная динамика.

Мультифрактальная динамика - новая математическая модель, построение, развитие и приложение к конкретным процессам которой и посвящена данная диссертация.

В рамках данной диссертации, на основе мультифрактальной динамики, будут подробно исследованы характер процессов и их регулирование в конкретных случаях, таких как:

1. Динамика нефтяных цен;

2. Динамика валютных рынков;

3. Динамика народонаселения;

4. Динамика региональных сельскохозяйственных показателей (на примере Тверской области);

Предлагаемый нами подход позволяет изучать динамику социальноэкономических процессов без всевозможных допущений и предположений о структуре этих систем.

Важным моментом построенной математической модели является то, что часть ее параметров являются управляющими. Изменяя их значения можно на осноКудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к российскому рублю за 2007 - начало 2008 г.// Финансы и кредит 33(321), 2008. с. 55-58.

Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит. Выпуск 38(326). 20Цветков И.В. Теория катастроф и фрактальная модель кризисных социально-экономических процессов// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика.№12. 2010.

Mandelbrot, В. B. & Van Ness, J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SIAM Review. 1968, 10, 4Дынкин А. А. (Ред.). Мировая экономика: прогноз до 2020г. М.: Магистр. 20Клинов В. Г.. Мировая экономика: прогноз до 2050 г. Вопросы экономики 5. 2008, с. 62-Гапоненко Н. В. Форсайт. Теория. Методология. Опыт. М.: ЮНИТИ - ДАНА. 2008.

Яковец Ю. В. Прогноз технологического развития мира и России и стратегия инновационного прорыва. М.: МИСК 2008.

Кузык Б. Н., Яковец Ю. В. 2005. Россия - 2050: стратегия инновационного прорыва. М.: Экономика Официальный сайт PricewaterhouseCoopers//URL; http://www.pwc.com (Дата обращения 21.05.2009).

Wilson I., Purushothaman R. Dreaming with BRICs: The Path to 2050. Goldman Sachs Global Economics Paper 99. 2003.

Столерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа). М.: Статистика. 1974.

вании свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем и вырабатывать рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой оптимальных характеристик. Так при изменении управляющих параметров наша модель показывает переход из некризисной области в область катастроф и обратно.

Цели диссертационной работы.

Целью работы является решение крупной фундаментальной научной проблемы, а именно: создание принципиально нового метода исследования и управления процессами в социально-экономических системах – метода мультифрактальной динамики. Она позволяет описывать линейный тренд процессов с достаточной степенью точности. Центральным вопросом развиваемого подхода является теория, методы прогноза и управления данными процессами. Также целью диссертационной работы является исследование динамики параметров системы с учетом возможности катастрофических явлений и бифуркаций, что позволяет использовать ее для описания кризисных процессов и управления ими.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Вывод и исследование основного уравнения мультифрактальной динамики для скорости линейного тренда, исследование катастроф и управление катастрофами в мультифрактальной динамике;

2. Доказательство эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как “флага” катастроф для природных и социально-экономических процессов на конкретных примерах и принцип минимума фрактальной определяющей функции V(D), определяющий направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми и схема классификации динамик социальноэкономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза;

3. Фрактальный анализ валютных временных рядов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютного кризиса 1998 года, доказательство бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и наличие катастрофы типа A3b в динамике пары евро-доллар в рамках фрактальной модели, проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз;

4. Проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз, выработка конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики;

5. Моделирование роста народонаселения и его прогноз на основе модели мультифрактальной динамики;

Научная новизна результатов диссертации состоит:

1. В создании и развитии принципиально новой математической модели мультифрактальной динамики социально-экономических процессов, позволяющей описывать поведение линейного тренда с достаточной степенью точности, в предложении новой концепции фрактальной кривой, как толстой линии шириной D-в D – мерном пространстве и фрактальной шкалы “температур” мультифрактальных процессов, в доказательстве эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как “флага” катастроф для природных и социально-экономических процессов;

2. В предложении нового принципа минимума фрактальной определяющей функции V(D), указывающего на направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми;

3. В предложенной новой схеме классификации динамик социальноэкономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза;

4. В построении нелинейной модели валютного кризиса 1998 года, учитывающей его мультифрактальную природу, и доказательстве бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и катастрофы типа A3b в динамике пары евро-доллар;

5. В построении проблемно-ориентированных мультифрактальных моделей для динамики следующих социально-экономических показателей: валютных курсов, цен на нефть, динамики народонаселения.

Изложенные теоретические положения в целом составляют существенный вклад в создание математических моделей социально-экономических процессов на основе модели мультифрактальной динамики. Центральным вопросом развиваемого подхода является теория, методы прогноза и управления данными процессами.

Важнейшим вопросом создаваемой модели является наличие в ней учета катастроф, что позволяет использовать ее для описания кризисных процессов и управления ими.

.

Практическая значимость Разработанные в диссертации математические модели и методы, а также вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:

1. Оценка динамики валютных курсов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютных кризисов с целью их предсказания, прогноз валютных кризисов на основе математической теории катастроф в рамках модели мультифрактальной динамики, 2. Использование фрактальной размерности временных рядов как “флага” катастроф для конкретных природных и социально-экономических процессов;

3. Анализ цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз, оценка возможности возникновения эффекта нефтяного “Пузыря” в динамике нефтяных цен, использование конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики;

4. Прогноз динамики роста народонаселения в рамках модели мультифрактальной динамики;

5. Оценка возможности влияния на лесные пожары и наводнения на территории Тверского региона на основе определения фрактальной размерности лесных массивов Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении занятий со студентами по следующим курсам: «Математические методы в экономике», «Маркетинговые исследования в Интернет», «Прикладная статистика».

Личный вклад автора На защиту выносятся только те результаты, вклад автора в получение которых является определяющим.

Связь работы с НИР Исследования по теме диссертации проводились в Тверском государственном университете в рамках НИР: «Исследование и построение модели критических явлений физикомеханических систем и динамических процессов.» № Гос. регистрации 01201056465 от 27.05.2010, грант РФФИ «Математическое моделирование развития региональных социально-экономических систем на основе фрактального подхода» №10-01-97508-р_центр_а, Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/3314 на 2009 – 2010 гг. и № 2.1.1/9240 на 2011 год, грант РФФИ 11-01-00565-а 2011-2013 гг. «Математическое моделирование состояний и катастроф нелинейных динамических систем» Апробация работы Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории математического моделирования Тверского государственного университета проф. А.Н.Кудинова (2006-2011 гг.), на семинарах преподавателей College of Business Administration Кентского государственного университета, США, шт. Огайо, 2003 г., на семинарах Лаборатории информационных технологий, ОИЯИ, 2006 – 2011 гг., Всероссийской конференции « Физические проблемы экологии", Москва, 1997, на международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждении, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Тверь, 1998г., I конференции – семинара молодых ученых Моделирование сложных систем, Тверь, 1999, Всероссийской конференции Новые информационные ресурсы и технологии в исторических исследованиях и образовании, Москва, 2000г., Всероссийской научной конференции Избирательные технологии в России и Европе. Тверь 2000, международных конференциях «Modern Trends in Computational Physics» (1998 и 2008 гг.), международной конференции «История и компьютер» Москва, 2001г., V International Congress On Mathematical Modeling (Дубна) 20г, на XXV юбилейной международной научной школы-семинара имени академика С. Шаталина. – Воронеж, 2002, на междунородной междисциплинарной научной конференции IV, VI и VII Курдюмовских чтениях: Синергетика в естественных науках, Тверь, 2008, 2010, 20гг., на международной конференции Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Москва 2008г., на Всероссийской конференции Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии, Томск, 2009, на Всероссийской конференции Организационно-экономические и социальные проблемы села. ТвГУ. Тверь. 2010, на Десятой Международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» СанктПетербург 2010г.

Достоверность результатов исследования основана:

– на строгом математическом обосновании концепции мультифрактальной динамики для описания социально-экономических процессов;

– на корректности теоретической постановки решаемых задач, адекватно описывающих исследуемые процессы и объекты;

– на строгом математическом выводе основного уравнения мультифрактальной динамики;

– на хорошем согласии предсказаний нефтяных цен в конце 2009 г. и 2010 гг. с фактическими данными.

– в строгом доказательстве эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как “флага” катастроф для природных и социальноэкономических процессов;

– на соответствии результатов расчета и опытных данных по эффекту нефтяного “пузыря” 2008 года.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 79 работах, в числе которых 15 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК, 19 – в трудах Всероссийских и Международных конференций, 39 – в научных журналах и сборниках.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 230 страниц. Диссертация содержит 35 рисунков, таблиц, список литературы из 176 наименований.

Краткое содержание диссертации Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, описаны цели и задачи, поставленные в диссертации.

В Главе 1 приведены элементарные сведения о фракталах и обосновывается, что фракталы являются вполне подходящим средством для моделирования социальных, экономических и природных объектов. Наиболее характерным свойством фракталов является свойство самоподобия. Фракталы определяются в терминах фрактальной (дробной) размерности D.

В этой главе получила дальнейшее развитие концепция фрактальной кривой, как толстой линии. Будем рассматривать фрактальную кривую как множество точек в D - мерном пространстве, где 1 D 2. В этом пространстве определим ширину фрактальной кривой согласно соотношению:

Dh (1) где - безразмерный масштабный коэффициент.

Наиболее распространенным методом измерения фрактальной размерности является клеточный метод. Из формулы (1) следует полная идентичность клеточного метода и предложенного нами метода, основанного на измеринии длины фрактальной кривой в различных масштабах. Достаточно выписать формулу для длины фрактальной кривой в масштабе : L=L1·1-D и числом покрывающих фрактальную кривую клеток N от размеров клетки , N=VOD·-D (VOD – объем, занимаемый данной кривой в D – мерном пространстве)14.

На этой основе разработана авторская методика определения фрактальной размерности фрактальных кривых, основанная на измерении их длин в различных масштабах. Она состоит из новой схемы усреднения (более мягкой) опытных данных и нормирования полученной фрактальной размерности по результатам для стохастического временного ряда, исходя из того, что фрактальная размерность для стохастического временного ряда составляет D = 1,5 только для гауссовского броуновского движения.

В настоящее время бурно растущим направлением экомической науки является термоэкономика – наука, применяющая принципы термодинамики к экономике15. В русле этой парадигмы в первой главе предлагается для качественного анализа всевозможных процессов, описываемых мультифрактальными кривыми ввести фрактальную шкалу температур (ФШТ).

Фрактальная температура Тф вводится по формуле16:

1 (2) ф T a n 1 2 D где a и n -параметры, подбираемые для каждого процесса из соображений удобства.

В Главе 1 кратко излагается элементарная теория катастроф Рене Том, которая важна для последующего изложения.

В теории катастроф анализируются критические точки (репетиции) определяющей функции V, то есть точки, где не только первая производная функции равна V нулю, но и равны нулю производные более высокого порядка. Динамика X j таких точек может быть изучена при помощи разложения определяющей функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Подробно нами рассмотрены определяющие функции с одной и двумя переменными состояния, вопросы о классификации катастроф по их росткам, сепаратрисах и управляющих параметрах катастроф.

Катастрофами, как правило, называют скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий17,18. Предметом теории катастроф является изучение зависимости качественной Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.— М.: Институт компьютерных исследований,2002.—656с.

Maslov V.P. Tropical Mathematics and the Financial Catastrophe of the 17th Century. Thermoeconomics of Russia in the Early 20th Century. // Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 17, No 1, (2010) p. 126-140.

A. N. Kudinov, V. P. Tsvetkov, and I. V. Tsvetkov. Catastrophes in the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 18, No. 2, 2011, pp. 149-155.

Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд. доп. М. Наука 1990. -128с.

природы решений уравнений относительно переменных состояния Xi и управляющих параметров C.

В дальнейшем нас будет интересовать случай одной перемнной i = 1 и X1=X.

Тогда V для этого случая можно записать как:

1 a 4 (3) V X X bX 4 В случае катастрофы A3 (a = 0, b = 0) нами предложен другой, намного более простой, чем стандартный, метод исследования катастрофы сборки A3 Уравнение, определяющее положение критических точек катастрофы A3 имеет вид:

X3 + aX + b = 0 (a и b – управляющие параметры) (4) a Заменой перемнных и (4) приводится к виду:

X b3 b (5) Вместо управляющих параметров (a, b) мы будем иметь новые управляющие параметры (, b). Причем зависимость X от b сводится лишь к изменению масштаба X=b.. При переходе к переменным – – b, становится существенно определяющим характер зависимости от .

Уравнение (5) задает уже одномерное многообразие на плоскости с координатными осями – . График функции () дан на Рис. 1.

Рис. 1. График ().

В работе предложен новый способ исследования катастроф A3. Сведем двумерную задачу к одномерной; зависит от , а x от a и b.

Точка бифуркации является сепаратрисой, определяющей об b ласти существования одного и трех вещественных корней уравнений (4), (5).

При < b мы имеем один вещественный корень, а при > b - три вещественных корня. Уравнение сепаратрисы = b легко можно привести к ви Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, том 1,2 Издательство: Мир, 1984 г.

3 ду d b 0. Аналитический вид корней уравнения приводится в диссертации 3 в параграфе (2.2) В точке бифуркации b корни уравнения соответственно равны:, 1 . Причем в этой точке переменная состояния X может испытывать скачек, 2,3 как это показано в соотношении (6):

1 (6) Xb b31 2,3 b3 ; k Из Рис. 1 следует, что критическая точка k = 0 и точка бифуркации b не совпадают при b 0.

В Главе 2 для описания социально-экономических процессов строится модель мультифрактальной динамики. Моделирование кризисных явлений в экономике, в частности, финансовых процессов помогает глубже понять природу этих явлений, а также делать соответствующие прогнозы. Ценность таких прогнозов очевидна.

Наиболее важные моменты нашего подхода состоят в следующем:

Определение: Пусть y(t) мультифрактальная кривая, описывающая динамику интересующей нас величины и имеющей на интервалах времени Ti (i=1, 2, 3…n) определенное значение фрактальной размерности Di.

Тогда, если скорость Xi линейного тренда i(t), аппроксимирующего эту функцию на интервале Ti с нужной нам степенью точности, зависит только от Di, то данный вид динамики мы будем называть мультифрактальной.

Для этого случая мы предлагаем следующий подход: Динамику мультифрактального процесса на интервале Ti (t0i

yi(t)=i(t)+i(t) (7) где - i(t) – линейный тренд процесса; i(t) – быстрые осцилляции относительно тренда. Предполагается, что |i(t)|>> |i(t)| и кривая yi(t) является мультифрактальной. Линия тренда i(t) имеет фрактальную размерность равную единице а i(t) – фрактальной размерности Di.

Мерой погрешности нашей модели будет величина i=max i(t) на рассматриваемом интервале изменений Di. На всем интервале наблюдения общее значение погрешности =maxi, i=1…n. В дальнейшем индекс i будет нами опускаться.

Одной из задач данной диссертации является построение такой модели, в которой функции (t) и (t) связаны между собой. В предлагаемой нами модели фрактальной динамики тангенс угла наклона X линейного тренда (t) является функцией фрактальной размерности D, то есть X = X(D).

Тогда соотношение (7), для случая использования линейного тренда, можно записать в виде:

y(t)=X(D)·(t – t0) +(t) (8) Важным моментом нашего подхода является то, что часть параметров модели являются управляющими параметрами. Изменяя их значения можно на основании свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем и вырабатывать рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой оптимальных характеристик. Так при изменении управляющих параметров наша модель дает переход из некризисной области в область катастроф и наоборот.

Одной из основных задач данной главы является решение вопроса о выборе уравнения, описывающего кризисные процессы и определяющего X(D). Одним из ключевых моментов нашего исследования является аналитическое решение этого уравнения и исследование данного решения.

Введем параметр , описывающий эффективное влияние внешних факторов на динамику социально-экономической системы. Будем считать X(D)<<1 и << 1, что соответствует достаточно медленному, квазистационарному характеру динамики.

Естественно предположить, что между параметрами X, D и имеет место функциональная связь вида:

· (X, D) = (9) От функции потребуем непрерывности по X и D и дифференцируемости по X до третьего порядка включительно. Соображения симметрии при замене X – X и - дают:

· ( – X, D)= – · (X, D) (10) Используя формулу Тейлора мы имеем:

A(D)X + B(D)X3 = (11) На основе работы Тома19, легко показать, что нелинейной, гладкой заменой ~ переменных (9) точно сводится к уравнению (11) при условии, что явX f X ляется бесконечно дифференцируемой функцией по Х.

В (11) коэффициент B(D) существенен в области A(D)<<1. Точки в которых A(D) = 0 назовем критическими и обозначим Dk. Тогда в (11) можно сделать замену B(D) = B(Dk) = B и уравнение (11) упрощается:

A(D)X + BkX3 = (12) Уравнение (12) можно назвать основным уравнением мультифрактальной динамики. Величины Bk и в течении рассматриваемого промежутка времени будем считать постоянными. Динамика процессов будет в данной модели определяться аналитической зависимостью коэффициента А от фрактальной размерности D. Значения D удовлетворяют условию 1 < D 2. Разобьем этот интервал на два 1 < D D0 и D0D<2.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, том 1,2 Издательство: Мир, 1984 г.

Перейдем к более подробному исследованию решений уравнения (12). Коэффициенты уравнения (12) имеют следующую интерпретацию: коэффициент описывает эффективную силу, действующую на социально-экономическую систему, A(D) - коэффициент упругости социально-экономической системы, X(D) - реакция системы на внешнее воздействие и имеющая в нашем случае смысл скорости, с которой протекают социально-экономические процессы.

Мы предлагаем следующее аналитическое представление A(D):

A(D) = (D0 - D)-1 (D

Величина фрактальной размерности в (11) D вычисляется, а параметры D0, Bk и Dk выбираются из условия наилучшего согласия их с опытными данными при изучении конкретного процесса.

Сделаем замену X = Xk·, где. Тогда (12) приводится к виду (5) X k Bk 1 3 где. Причем корни уравнения (5) будут зависеть только от од= AD/(Bk ) ного параметра . Зависимость корней уравнения (5) от параметра , представлена на Рис. 1 если сделать замену на – .

Из Рис.1 и формулы (6) видно, что точкой бифуркации является точка 3. При значениях b имеется вместо одного три веще1 b Db ственных корня 1,2,3. В точке бифуркации b корни нашего уравнения соответственно равны,. Отсюда следует, что в точке бифуркации па1 2,3 3 2 раметр Х может испытывать скачек:

3 3 . (14) Xb X 1 2,3 X k k 3 Bk 2 Эти скачки, как показано в диссертации, вполне можно наблюдать во время кризисных явлений.

В нашей модели имеет место сдвиг точки бифуркации b от критической точек k = 0 и b =, если параметр 0. В них, соответственно, и.

3 ADk ADb 3 bk Для использования зависимости (D) при описании конкретных процессов исследуем ее графически в случае выбора различных знаков коэффициента Bk.

Пусть Bk > 0. Тогда график зависимости корней уравнения (5) от D имеет вид, представленный на Рис. 2а для значений Bk = 0,39, = 1 D0=1,4 Dk=1,7.

a. (Bk>0) b. (Bk<0) Рис 2. График зависимости корней уравнения (5) от D.

Если Bk < 0, то зависимость (D) при Bk = - 0,39, = 1 D0=1,4 Dk=1,7 при = 1 изображена на Рис. 2б. Рис. 2а и 2б показывают применимость линейного приближения X(D) = K(D0 - D) в области 1 D D0 + 0,1. Вблизи значения Dk и Db модель существенно нелинейна.

Из Рис. 2а видно, что Db Dk, т.е. точка бифуркации Db лежит левее критической точки, если Bk > 0 и правее, если Bk < 0. Величина сдвига D = Dk - Db сильно зависит от значения параметра и приближенно определяется соотношением20:

1 4 3 D Dk Db Bк (15) В нашем случае Bk = 0,39, = 10-2, D = 0,026 и Bk = - 0,39, D = - 0,026.

В Главе 3 рассмотрены катастрофы и управление катастрофами в модели мультифрактальной динамики Согласно (3), (4), (13) фрактальная определяющая функция V(X) мультифрактальной динамики имеет вид:

1 1 ADX X 4 (16) VX X 4 2 Bk BK Тогда из условия экстремума V(X) следует основное уравнение мультифрактальной динамики (13) Управляющие параметры a и b соответственно будут равны AD, b .

a Bk Bk В (16) росток катастрофы CG(1) = ·X4, и отсюда следует наличие в рассмотренной модели катастрофы типа A3. Причем, если параметр b просто зависим от Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит. Выпуск 38(326). 2009.

параметра , то a будет достаточно сложной функцией параметров фрактальной модели D0, Dk, Bk, D.

Уравнение сепаратрисы при этом имеет вид:

2 AD (17) 27 Bk Исключительная важность точки бифуркации Db прежде всего связана с возможностью перехода системы в этой точке из одного состояния X1 в другое X2,скачком, при чрезвычайно малом изменении D, или без него вблизи Db. В данном случае имеют место все признаки катастрофы в точке бифуркации Db и эту точку, соответственно, можно назвать точкой катастрофы.

Нами показано, что использование теории катастроф при исследовании фрактальных моделей кризисных явлений в социально-экономических системах позволяет более глубоко понять структуру этих моделей. Катастрофа типа A3 наблюдается вблизи критической Dk, и A2 в точке бифуркации Db фрактальной модели.

В 3 главе предлагается использование фрактальной размерности в качестве “флага” катастрофы.

В современной прикладной теории катастроф достаточно большое внимание уделяется т.н. "флагам" катастроф, то есть характерным видам изменений параметров системы в предкритические моменты21. Очень часто, когда "вывешивается" один "флаг" катастрофы, то если более внимательно присмотреться к системе, то можно обнаружить и другие признаки надвигающегося кризиса.

Автор диссертации предложил для описания линии тренда временного ряда вблизи точки катастрофы использовать уравнение:

K t0 t t0 f y(t) y(t) D Dk (18) где: (t0) - среднее значение величины за период, предшествующий прогнозируемому; Kf- и — коэффициенты модели, подбираемый из наилучшего соответствия опытным данным, t0 - период времени, предшествующий прогнозируемому, t - время на которой делается прогноз. В дальнейшем это уравнение было использовано рядом авторов.

Очевидно формула (18) не применима при значениях D, очень близких к значению Dk.

Применимость характерного изменения фрактальной размерности временного ряда в качестве "флага" катастрофы более подробно рассматривается в Главе настоящей диссертации на примере анализа валютного кризиса 1998 года.

Основными управляющими параметрами предложенной нами модели, описывающий кризисные процессы в социально-экономических явлений являются Цветков И.В. Фрактальная размерность временного ряда как «флаг» катастроф в социально-экономических процессах// Моделирование сложных систем. Тем. сб., вып.3. –Тверь: ТвГУ. 2000. С. 170 -1фрактальная размерность процесса D и параметр , который описывает эффективное влияние внешних факторов. Скорость изменения линейного тренда X имеет вид:

X 3 Bk Вблизи критического значения Dk, эффективный управляющий параметр представляется как:

Dk D 1 3 Bk D0 Dk Если является медленно меняющейся функцией , то представляет Bk собой быстропеременную функцию параметров и D в области значений <<1. Это обстоятельство можно использовать для управления параметр и, соответственно, ().

Для иллюстрации данного утверждения, построим график функции (,D) при различных значениях Bk:

a b Рис 3. Графики зависимости управляющего параметра от параметров и D при различных значениях параметра Bk=+0.4 (а); Bk=–0.4 (b).

На Рис. 3 на кривой, выделенной линией с коротким пунктиром, лежит множество критических точек k=0, а на кривой, выделенной длинным пунктиром, лежит множество точек бифуркации.

b В Главе 4 на основе многих изученных нами социально-экономических процессов дана предложенная автором классификация динамик социальноэкономических процессов по значению фрактальной размерности в рамках модели мультифрактальной динамики.

Предложенную классификацию процессов, описываемых мультифрактальными кривыми в зависимости от значения фрактальной размерности D и знака коэффициента Bk процессы были разделены на четыре типа: I – монотонные, II – осцилляционные, III – катастрофы классические, IV – катастрофы бифуркационные (См. диссертация Таблица 3.1).

Подробно основные моменты развиваемого нами подхода в описании нами процессов в социально-экономических системах на Схеме 1, приведенной в диссертации.

Разработанная и предложенная в диссертации схема прогноза и управления динамикой мультифрактальных систем представлена в диссертации на Схеме 2.

Приведем конкретную схему прогноза в рамках модели мультифрактальной динамики для процессов I и II типа, для которых применимо линейное приближение.

Временную ось от начала времени наблюдения t0 до момента времени прогноза tp представим на Рис.4. Время конца последнего линейного промежутка наблюдения за системой обозначим tN t0 наблюдение tN прогноз tP t Рис.4. Схема прогноза в рамках модели мультифрактальной динамики.

Значения Di, Ti на наблюдаемом интервале t tN связаны между собой функционально, поскольку их значения определяются свойствами социальноэкономических процессов, протекающих в изучаемой системе. Это математички может быть выражено следующим образом Di iDis , 1 s k1, 1 i N, k1 N (19) Ti Tis , 1 s k2, 1 i N, k2 N i Конкретный вид функций i, i определяется структурой социальноэкономической системы. В случае, когда существуют D и T такие, что выполнены условия Di D D, Ti T T, то соотношения (19) могут быть представлены в линейном приближении следующим образом.

k1 k (20) Di Dis di Ti Dis ti dis tis s1 sПараметры dis, tis, di, ti выбираются из наилучшего согласия с наблюдениями на интервале t t. Если соотношение (4.3) (Глава 4 диссертации) продолжить в область прогноза t > tN, i > N, то мы получим значение Di и Ti в области прогноза.

Используя их мы можем найти прогнозные значения y(t) согласно (8).

Пусть в промежутке времени tp – tN последовательно укладывается m промежутков TN и n промежутков TN–1. Тогда из (4.1) и (4.2) (Глава 4 диссертации) и Схемы 4.3 (Глава 4 диссертации) при условии, что коэффициенты и D0 на прогнозном и наблюдаемом промежутке одни и те же, имеем следующую формулу для прогнозного значения: y(tp) y(tp) = (tN) + m··(D0 – DN)·TN + n··(D0 – DN-1)·TN-1 + + ·(D0 – Dr)·(tp – m·TN – n·TN–1) ± (21) где Dr = DN или DN – 1 в зависимости от того, на продолжение какого промежутка N – 1 или N попадает время прогноза tp., а определяется по промежутку наблюдения.

В Главе 5 на основании модели мультифрактальной динамики исследуются валютные курсы американского доллара по отношению к российскому рублю и евро по отношению к доллару.

Нами вычислена фрактальная размерность временного ряда курса американского доллара в 2006 – 2007 годах.

Значения фрактальных размерностей Di и коэффициентов линейного тренда на интервалах T1 = 35 дней, T2 = 52 дня, T3 = 39 дней, T4 = 55 дней, T5 = 37 дней приводятся нами в Таблице 5.1 (Глава 5 диссертации).

Максимальное уклонение от линейного тренда составило 0,072 рубля, что говорит о хорошем приближении валютного курса линейным трендом на каждом из пяти интервалов. Из данных, приведенных в таблице, следует, что рассматриваемый процесс принадлежит ко второму осцилляционному типу. В этом случае мы можем использовать линейное приближение XiФ = (D0 – Di) (22) Используя (22) и метод наименьших квадратов, находим значение D0 = 1,27, = –0,21 руб/сут. Отрицательный знак параметра означает, что усилия Российской финансовой системой в данный момент времени направлены на снижение курса американского доллара. Когда значение фрактальной размерности ниже, чем 1,27, курс снижается, а при превышении этого значения, соответственно растет.

Значения расчетных по линейному приближению коэффициентов XiФ и фактических значений Xi приводится в Таблице 5.2 (Глава 5 диссертации).

Величина максимального уклонения от линейного тренда составила = коп./сутки. Максимальная погрешность построенной фрактальной модели имеет место на третьем интервале и не превышает 16%. На остальных интервалах погрешность гораздо меньше и составляет в среднем 6%.

Проведен анализ динамики биржевого индекса Доу-Джонса фрактальными методами в августе 1998 года.

Исследования локальных трендов показали хорошую применимость фрактальной модели для описания динамики индекса Доу-Джонса.

В данном разделе кратко рассмотрен один из возможных подходов для описания валютных кризисов и в частности валютного кризиса 1998 года.

Рассмотрим более подробно поведение валютного курса и его локальные тренды непосредственно перед августовским кризисом 1998 года. Они приведены на Рис.5 Как видно из наших оценок, фрактальная размерность кривой курса доллара до мая 1998 года составила 1,38, затем с мая по август возросла до 1,65 и с сентября по декабрь упала до значения 1,56.

Эти факты указывают на существование предельной размерности Dk (в нашем случае Dk = 1,7), при приближении к которому возникает неустойчивость валютного курса и происходит скачек его среднего значения за относительно малый срок времени (порядка двух недель) в несколько раз. Таким образом, можно с достаточной уверенностью говорить о возможности использования изменения фрактальной размерности, как "флага", катастрофы.

D=1,Рис. 5 Курс американского доллара, его линейные тренды и его фрактальная размерность непосредственно перед кризисом 1998 года и после него.

Для случая валютного кризиса августа 1998 года значение коэффициента уравнения линейного приближения (20) было определено как 0,65 коп./сутки, притом, что временной масштаб был принят в днях, D0=1,40. А судить о приближении кризиса можно по фрактальной размерности, достигающей или превышающей критическое значение.

Далее в Главе 5 рассматривается нелинейная фрактальная модель валютного кризиса. В критических областях значений параметров характерны существенно нелинейные зависимости от этих параметров.

Валютный курс с определенной для характерных отрезков фрактальной размерностью на временном отрезке непосредственно до, и в момент кризиса 1998 года представлен на Рис. 3.

Интерес представляют участки с t1=25 апреля 1998 г., t2=17 августа 1998 г., t3=15 сентября 1998 года. Соответствующие значения Xi+ равны X1+=0,0руб./день, X2+=0,801 руб./день, а значения фрактальных размерностей D1+=1,65, D1+=1,28. При этом мы учли эффект запаздывания реакции системы на изменение D вблизи кризиса, заменой DiDi-1, D0 надо выбирать из условия D0>1,2, Dk, и К вычисляются из системы уравнений. При этом K=K(D0) и D=Dk(D0).

В рамках нашего подхода получена нелинейная система уравнений, которая приводится в диссертации, Глава 5, уравнения (5.13), (5.14), (5.15).

Для численного решения которой составлена программа в системе символьных вычислений MAPLE на основе регуляризованного метода Ньютона с параметром регуляризации =10-6.

При изменении D0 в пределах 1,21 D0 1,24 значение коэффициента K изменяется очень слабо – 0,014 руб./день К 0,025 руб./день. Эти значения достаточно хорошо согласуются со значением К при анализе других временных интервалов [12]. В данной работе К был определен как 0,014 руб./день.

Из проведенных нами оценок следует, что изменяя управляющие параметры D, Dk и K мы можем существенно влиять на поведение валютного курса американского доллара. На практике это осуществляется за счет установления «валютного коридора», влияния на общественное сознание средств массовой информации, валютной политики Центрального банка – долларовых интервенций и скупки больших объемов валюты, установление квот на добычу энергоносителей. Перечисленные нами управляющие факторы изменяют характер кривой валютного курса, а, следовательно, и значения фрактальной размерности участков этой кривой. Валютные интервенции в основном влияют на коэффициент K. Этот коэффициент в расширенной версии нашей модели будет равен коэффициенту . Очевидным недостатком этого подхода является тот факт, что эта модель применима при D < Dk, причем разница Dk – D должна быть не менее 0,005.

= -0,123 руб./сутки; D0 = 1,Рис. 6.Курс доллара в 2007 – начале 2008 гг. и основные параметры фрактальной модели.

Далее в Главе 5 был проведен фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к российскому рублю за 2007 год - начало 20года. В течение 2007-2008 наблюдается достаточно быстрое падение курса доллара по отношению к российскому рублю. График валютного курса за исследуемый период представлен на Рис. 6. На каждом из 7 временных промежутков построены линейные тренды, фрактальные размерности курсов представлены на Рис.6, значения коэффициентов Xi представлены в Таблице 5.3 (Глава 5 диссертации).

Рассмотренный процесс динамики валютного курса американского доллара по отношению к российскому рублю относится по предложенной нами классификации к процессам типа II, то есть осцилляционного типа и его линейный тренд периодически то возрастает, то убывает.

Целью 5 главы также является доказательство бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года. В то время за очень короткую продолжительность времени, порядка нескольких недель, курс американского доллара взлетал и падал в несколько раз. Это наглядно иллюстрируют Рис. 5. Мы выделили в процессе 4 участка.

Значения тангенсов угла наклона графика линейных трендов на этих участков соответственно равна X1=0,002 руб./сутки, X2=1,63 руб./сутки, X3=2,руб./сутки, X4=1,95 руб./сутки, соответственно.

Фрактальная размерность кривой валютного курса на этих участках будет D1 = 1,19; D2 D3 D4 = 1,65;. Величина максимального уклонения от линейного тренда составила = 7,2 коп./сутки.

Величина Db оказывается равной 1,67. Значение D2,3,4 = 1,65 лежит левее точки Db 1,67 и система имеет возможность согласно рисунку 3а переходить при X этом из состояний с положительными значениями на ветви с отрицательными X значениями, точки 1, 2 и 3 на Рис 2а.

Отметим: предложенная нами математическая модель убедительно показывает, что валютный кризис 1998 года имеет бифуркационный характер в ее рамках.

Далее в 5 главе рассматривается динамика пары евро-доллар с июля 2009 года, которая с этого времени стала достаточно сложной.

Из фрактального анализа динамики пары евро – доллар нами по методу наименьших квадратов было получено значение параметров модели 1, 2, D0, Db, Dk, Bk:, D0=1,45, Dk=1,75, 1=-0,08 центов/сутки, 2=-1 цент/сутки, Bk=27,5(центов/сутки)2, Db=1,68, D0-=1,35, D0+=1,55.

Во всех рассмотренных нами периодах нужно брать разные значения параметра , поскольку характер процесса при этом существенно меняется. На временном отрезке с 1 июня по 1 декабря 2009 года значение фрактальной размерности D1=1,65. Такое высокое значение D указывает на нестабильность курса евро этот период. Так как D1 оказывается достаточно близким к Db, то из Рис. 2а видно, как и случае кризиса 1998 г. происходят скачки между точками 1, 2, 3. Тем самым нами доказано, что имеют место все признаки катастрофы типа A3b в динамике пары евро-доллар в рамках мультифрактальной динамики.

Глава 6 диссертации посвящена использованию мультифрактальной динамики при описании нефтяных цен.

В данной главе диссертации проведен анализ динамики нефтяных цен в период предшествующий максимальным высоким ценам, в последующий период их падения в 2008 году, в 2009 и в 2010 годах в рамках построенной нами математической модели.

График динамики нефтяных цен за интересующий нас период приведен на Рис. 7.

Рис.7. Цена сырой нефти марки Brent в 2008 году.

В области роста 1 значение тангенса угла наклона линейного тренда равняется X1=0,317 долл./(баррель·сутки), в области падения X2=–0,долл./(баррель·сутки).

Соответствующее значение фрактальной размерности в этих областях будут соответственно равны D1=1,30 D2=1,34, а значения коэффициентов D0 и соответственно равны D0=1,313, =23,17долл./(баррель·сутки).

Полученное нами большое значение коэффициента в 2008 году несомненно указывает на чрезвычайную перегретость нефтяного рынка спекулятивными деньгами банков и нефтяных компаний в этот период.

Фактически нами подтверждается тезис о возникновении «нефтяного пузыря». Возникла чрезвычайно неустойчивая ситуация. Оказалось достаточно изменения фрактальной размерности на 0,04 от значения D = D1 и вместо подъема нефтяных цен получился их спад при D = D2.

Согласно нашей модели процессы роста и спада цен происходили достаточно плавно вблизи значения D0 и существенно далеко от значения D = Db, Dk характерных для кризисных процессов. В середине 2008 года возникло чрезвычайно неустойчивая ситуация на нефтяном рынке и достаточно малое колебание фрактальной размерности привело к сдуванию нефтяного пузыря. Этот процесс, на наш взгляд, и имел место во второй половине 2008 года.

Поведение цен на нефть в начале 2009 года коренным образом отличается от 2008 года.

График динамики нефтяных цен в 2009 году приведен на Рис. 8а, начало отсчета времени на графике соответствует 2 января 2009 года.

Долл./баррель Долл./баррель Сутки a b Рис. 8 Динамика цен на нефть в начале 2009 и 2010 годов.

В 1 области падения нефтяных цен значение коэффициента линейного тренда составило X1=-0,08 долл./(баррель·сутки) а во второй области роста X1=0,2долл./(баррель·сутки). Фрактальные размерности кривой динамики цены на нефть оказались равными, соответственно, D1 =1,38, D2 = 1,34. Поскольку характер динамики нефтяной цены в рассматриваемый период далек от критического и значения фрактальных размерностей D1 и D2 меньше 1,5, то вполне применимо линейное приближение. Используя значения X1 и X2, находим D0= 1.37 и = 8,1долл./(баррель·сутки).

По сравнению с 2008 годом постоянная D0 увеличилась на 0,06, а коэффициент упал примерно в 3 раза. Значение D0сдвинулось в сторону его гауссовского значения 1,5.

Прогноз динамики нефтяных цен проведем в рамках построенной нами модели. По нашей классификации динамика нефтяных цен относится к осцилляционным процессам II типа. На основании прогнозной формулы (20) нами в начале 20года был дан прогноз нефтяной цены на конец 2009 г.

Соответственно, на конец 2009 года получается ожидаемая цена на нефть 77±2 долл./(баррель). Эти результат были нами опубликованы в июне 2009 года в работе22 по результатам, полученными в ходе обработки опытных данных на конец апреля 2009 года. Результаты динамики нефтяных цен за 2009 год и прогнозные значения показано на Рис. 9.

При прогнозировании цен на нефть необходимо учитывать следующие факторы:

- нефть является особым товаром, стоимость которого может многократно превышать себестоимость и не зависеть от спроса в настоящий момент;

- взаимодействие факторов, образующих цену на нефть, на сегодняшний день, не может быть удовлетворительно спрогнозировано;

- отсутствует единая схема регулирования нефтяного рынка;

Большинству специалистов не удалось правильно спрогнозировать ни один «крутой» поворот цен (взлет цен во время первой (1974 г.) и второй (1974—80 гг.) волны энергетического кризиса; падение цен в 1986 г. и 1998 г.; неудержимый рост цен в 2008 г23.

Большая часть долгосрочных прогнозов, сделанных в самом конце XX века говорит о, уровне цен на нефть к 2010 году как 15 – 20 долларов за баррель24.

Про прогнозам большинства аналитиков цена на нефть в конце 2009 года прогнозировались от 40 до 90 долларов за баррель24, влиятельный в области фьючерсов SaxoBank25 предсказал, что на конец 2009 года цены на нефть упадут до долларов за баррель, а в Федеральном бюджете на 2009 год была заложена цена долларов за баррель. А на конец 2010 года большинство прогнозов говорило о цене 55 -75 долларов за баррель26.

$/барр. $/барр.

a b Рис. 9 Динамика цен на нефть в 2009 и 2010 годах и прогнозные коридоры на конец соответствующего года.

Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 – начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15.

О. Б. Брагинский Цены на нефть: история, прогноз, влияние на экономику//Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва им. Д.И. Менделеева), т. LII, № 6 2008,с.25 - Прогноз цен на нефть в 2009 году //URL: http://money-review.ru/oil/prognoz-cen-na-neft-v-2009-godu/ (дата обращения: 05.01.2010) В.Граф. Шокирующие прогнозы SaxoBank на 2009 год URL:http://financepro.ru/economy/4596-shokirujushhie-prognozy-saxobank-na-2009god.html (дата обращения: 21.01.2011); Сводная страница аналитических материалов// URL:http://ru.saxobank.com/analytics (дата обращения:

20.01.2011) О.В.Митяев Гадания на нефти: сколько за баррель в 2010 году? URL: http://ria.ru/analytics/20090715/177498650.html (дата обращения:

12.07.2010) Аналогично предыдущему случаю был проведен анализ цен на нефть в 20году и первой половине 2010 года и их прогноз на конец 2010 года в рамках фрактальной модели. 1 апреля 2010 года стоимость нефти поставила очередной рекорд после ее достаточно глубокого падения в период кризиса и составила 84,62 доллара за баррель. График динамики цен на нефть на начало 2010 года приведен на Рис. 8b.

В области падения 1 значение тангенса угла наклона линейного тренда равняется, X1 = -0,463 долл./(баррель·сутки) в области роста 2 X2 = 0,1долл./(баррель·сутки).

Используя значения Xi и Di, находим значения коэффициентов = 5,долл./(баррель·сутки), D0 = 1,340.

Сравнение значений коэффициентов указывает на существенно меньший средний темп роста нефтяных цен в 2010 году по сравнению с 2009 годом По результатам наших расчетов прогнозная цена на нефть 89,6 ±(долл./баррель). Эти результаты были нами опубликованы в середине 2010 года по данным, полученными в ходе обработки опытных данных на конец апреля – начало мая 2010 года27. Результаты динамики нефтяных цен за 2010 год и прогнозные значения показано на Рис. 9b.

В 6 главе диссертации мы показали, что предложенная нами схема прогноза хорошо соответствует реальной ситуации в динамике нефтяных цен. Предсказанные нами нефтяные цены на конец 2009 года и конец 2010 года полностью согласуются с фактическими данными.

Поэтому, на наш взгляд, при принятии управленческих решений, связанных с регулированием нефтяного рынка может оказаться востребованными результаты данной диссертации по методам прогнозирования нефтяных цен на основе фрактального подхода. Существенным элементом данного подхода является принцип самоподобия.

Основными управляющими параметрами линейного приближения мультифрактальной динамики являются параметры и D. Поскольку фрактальная размерность D является мерой хаотичности процесса, то на этот управляющий параметр оказывают влияние следующие основные факторы:

1. Установление квот на добычу нефти;

2. Регулирование накладных расходов;

3. Факторы, стимулирующие потребление;

Как было отмечено нами выше, значения коэффициента соответственно по годам оказались равными:

доллар 23, в 2008 году.

баррель сутки Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) – 2010. С.21-26.

доллар 8,1 в 2009 году.

баррель сутки доллар в 2010 году.

5,баррель сутки Коэффициент нашей модели является характеристикой влияния финансовых факторов на нефтяную отрасль. Он оказался в 2008 году почти в три раза больше, чем в 2009 и в четыре раза больше, чем в 2010 году. Этот глобальный эффект можно объяснить только мощным приливом и отливом спекулятивного капитала на нефтяной рынок. В первой половине 2008 года была крайне прибыльна фьючерсная биржевая игра на повышение, что безусловно привлекло на нефтяной рынок большие финансовые объемы. Пик нефтяных цен пришелся на 11 июля 2008 года, превысив 147 долларов за баррель. Долее началась стадия непрерывного падения. В октябре она уже стоила ниже 67 долларов за баррель, а к концу года опустилась до 35 долларов за баррель. При “сдувании” “нефтяного пузыря” значительная часть спекулятивных капиталов была потеряна или ушла с этого рынка. Данный процесс, несомненно, явился составной частью начавшегося в то время глобального экономического кризиса.

В 2009 году нефтяной рынок стал постепенно стабилизироваться, что наглядно демонстрируется резким уменьшением значением коэффициента по сравнению с 2008 годом. В 2010 году стабилизация продолжилась, о чем говорит и дальнейшее, уже более плавное, снижение коэффициента по сравнению с 20годом.

Сам собой напрашивается вывод, что мониторинг коэффициента может быть одним из наиважнейших индикаторов направленности глобальных экономических процессов, так как он характеризует состояние нефтяной отрасли в целом.

В Главе 7 на основе модели мультифрактальной динамики рассмотрены основные тенденции глобальной динамики народонаселения. В 2009 году численность населения Земли составляла 6,8 млрд. человек. Скорость роста народонаселения является одним из важнейших количественных показателей, характеризующих качество условий проживания человечества на Земле. Многообразие сценариев динамики народонаселения, опирающихся на различные механизмы, влияющих на демографические процессы, ставит вопрос о построение моделей роста народонаселения, описывающих этот процесс и независящей от всевозможных допущений и предположений.

В данной главе мы предлагаем такую модель, которая основана на мультифрактальной динамике. Эта модель представляется более надежной по сравнению с другими. Она мало зависит от деталей функционирования рассматриваемой системы, устройство которой и численные параметры ее нам недостаточно известны.

Численность народонаселения будем измерять в млрд. человек, а время – в годах. Скорость роста народонаселения обозначим X и она измеряется в млн.чел/год.

Из нашей модели следует наличие трех характерных точек D0, Dk, Db. В точке D0 (D0) = 0 и X(D0) = 0. В этой точке скорость роста равна нулю и мы имеем статическую ситуацию. Численность народонаселения для этого значения D стабилизируется и равна константе. При небольшом превышении D0 значение X будет отрицательно, и численность народонаселения линейно начинает сокращаться.

График роста народонаселения за время с 1950 г. представлен на Рис. Рис. 10 Динамика роста народонаселения во второй половине XX века и основные параметры мультифрактальной модели.

В силу мелкого масштаба графика ежегодное колебание скорости народонаселения визуально незаметны. Оценка максимального уклонения численности народонаселения от линейного тренда составляет = 18 млн. человек/год. Отсюда следует точность предлагаемой нами модели – 0,26%.

Из нашей модели следует, что максимально возможная скорость роста народонаселения составляет 154 млн.чел./год при D=1. Это в 2-3 раза больше скорости роста в настоящее время.

Наблюдаемая тенденция уменьшения фрактальной размерности кривой народонаселения, и следовательно, увеличение скорости роста народонаселения. Полученные нами значения D1, D2, D3 оказались далеки от значения D0=1,61, при приближении к которому скорость роста народонаселения становится равной нулю и при превышении которого эта скорость будет становиться отрицательной. Возникает уже состояние убыли народонаселения. Так как Dk > D0, то для оценок и построения графиков, из условия наилучшего приближения к опытным данным, мы выбрали Dk = 1,85, а вычисления Db по нашей формуле (7.5) из Главы 7 дает значение Db=1,78. Значения фрактальных размерностей D1, D2, D3 еще больше отстоят от критических значений Db и Dk, чем от D0.

Проведенный нами анализ указывает на стабильный рост народонаселения. В ближайшее время катастрофических изменений темпа роста народонаселения не ожидается.

млрд./чел.

8,8,8,8,8,7,7,7,7,7,7,7,7,6,6,2009 2012 2015 2018 2021 2024 2027 20Г ОД Рис. 11. Прогноз численности народонаселения до 2030 г.

Из графика на Рис. 11 видно, что тренд роста народонаселения пересечет линию в 7 млрд. человек в июле 2011 года. С учетом точности модели в 0,26% мы имеем, что точная численность народонаселения в 7 млрд. человек будет достигнута в интервале май – сентябрь 2011 года. Близость прогноза и опытных данных, несомненно, будет показателем качественности нашей модели.

Приведем прогноз в рамках нашей модели: 8 миллиардный рубеж человечество может перейти в 2024 году, а к 2030году достигнуть 8.5 миллиардов человек.

Положительное и высокое значение коэффициента равное четверти миллиарда человек в год говорит о современной тенденции к стремительному росту народонаселения. Если в ближайшее время этот коэффициент существенно не снизится, то стремительный рост мирового народонаселения будет продолжаться, как будут расти и сопряженные с этим проблемы. Коэффициент является прямой оценкой тех материальных средств, которые в мире расходуются на расширенное воспроизводство человечества.

В Главе 8 на основе модели мультифрактальной динамики изучаются кризисные явления сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, а также фрактальная модель лесных пожаров и наводнений.

Фрактальными методами нами была подробно изучена динамика посевных площадей, занятых всеми видами культур Тверского региона, начиная с 1950 года по настоящее время. Показано наличие в динамике общего количества посевных площадей катастрофы типа А3 в период 1990 – 1991гг.

Одним из важнейших показателей, характеризующих сельское хозяйство любого региона, является значение общей величины посевных площадей всех сельскохозяйственных культур. Динамика общей величины посевных площадей всех сельскохозяйственных культур и значения фрактальной размерности на характерных участках с 1950 по 2009 год приводится на Рис 12.

Dк = 1,65 – 1,Рис. 12. Динамика общих посевных площадей на территории Тверской области и основные параметры мультифрактальной модели.

В период с 1989 по 1996 годы произошло сильное уменьшение посевных площадей примерно на 300 тыс. га. В этот период имели место резкие скачки данной величины, а скорость уменьшения общей площади посевных площадей выросла более чем в 8 раз. Согласно28 имели место все характерные признаки катастрофы A3.

С 1997 по 2007 годы происходит практически линейное быстрое дальнейшее уменьшение посевных площадей.

В последние годы наука существенно продвинулась в разработке математических моделей лесных пожаров29. Лесные пожары возникают сегодня на планете как никогда ранее. Леса занимают более 74% территории Российской Федерации и каждый лесной пожар наносит существенный вред ее экономике. Так в 2008 году количество лесных пожаров на территории РФ составило по данным МЧС РФ более 30 тыс30.

Целью данной главы является построение математической модели лесных пожаров, учитывающие фрактальные свойства этих явлений. Фрактальные свойства лесных пожаров очевидны из тесной аналогии фронта горения и береговой линии.

Нами получено аналитическое выражение, описывающее скорость распространения лесного пожара с учетом фрактальности фронта горения имеет вид:

D h v v0 (23) hmin где D – значение фрактальной размерности горящего лесного массива, v0 – значение скорости распространения пожара для D = 1, h – размер зоны горения, а hmin - минимальное расстояние между фрагментами в зоне горения. Величина h имеет порядок размера участка выгоревшего леса, а hmin - характерного расстояния между деревьями и кустарниками горящего леса.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, том 1,2 Издательство: Мир, 1984 г.

П.Эндрюс, М.Финни Новый взгляд на лесные пожары// В мире науки. №10, 20 Официальный сайт министерства по чрезвычайным ситуациям РФ //URL: www.mchs.gov.ru (Дата обращеня 05.12.2009) На основании уравнения (23) было составлено дифференциальное уравнение, определяющее зависимость диаметра области пожара от времени, интегрируя которое мы находим:

1 H v0Ht (22) h hmin 1 hmin H = 2 – D - постоянная Херста. При D = 1 h=hmin·v0·t, что соответствует гладкому фронту горения и описывает линейный характер роста размера области горения лесного массива. При D=1,5:

3 vh hmin 1 t 2 hmin мы имеем параболический нелинейный рост h с ростом времени. Отсюда очевидно, что тушение такого лесного пожара надо проводить в кратчайшее время.

vt min И, наконец, если D = 2, то h hmineh. Этот случай на наш взгляд описывает наиболее быстрый, почти мгновенный характер горения лесного массива.

Из построенной нами математической модели лесного пожара, учитывающей фрактальный характер фронта горения, следуют два важных вывода. Скорость распространения лесного пожара v можно существенно уменьшить, увеличивая hmin и уменьшения D. Этого можно достичь проведением санитарной рубки деревьев и кустов и соблюдением геометрического порядка при высадке лесонасаждений.

Далее в 8 главе построена фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области. Наводнения являются практически ежегодно повторяющимися стихийными бедствиями, а по площади охватываемых территорий и наносимому материальному ущербу – превосходящими все остальные. В 2010 году погодные условия стали причиной увеличения уровня воды в озерах и реках Тверской области. Из-за дождей начались подтопления сразу в трех районах региона - Осташковском, Пеновском и Селижаровском. Погодные условия стали причиной увеличения уровня воды в озерах и реках Тверской области.

Для описания характера наводнения мы предлагаем ввести коэффициент относительного подъема уровня воды 1,2 на территориях, помеченных индексами 1 и 2, согласно формуле: 1,2 = h1/ h2. В нашей модели получено простое выражение для этого коэффициента 1,2 = (D1 – 1)/(D2 – 1). В качестве D2 мы выбрали минимальное значение фрактальной размерности по участкам территории Тверской области, которая оказалась равной 1,18. Из этого вытекает следует соотношение для i –й территории 1 =5,555·(Di – 1). Величина i является количественной и качественной характеристикой весеннего паводка.

Отличительной особенностью величины i является ее зависимость только от Di. Другие факторы, такие как величина осадков, температурный режим, величина снежного покрова, влияния на величину этого коэффициента не оказывают. Из выражений для i следует, что основным и универсальным управляющим параметром в данном случае является фрактальная размерность речной системы – D. Есть множество способов изменения фрактальной размерности речной системы. В частности, резкое понижение фрактальной размерности наблюдается вокруг искусственных водоемов и водохранилищ. Мелиоративные мероприятия также могут оказать существенное влияние на разветвленность речной сети, и, соответственно, на ее фрактальную размерность.

Распределение относительного коэффициента наводнений представлено нами на Рис.Рис. 13.Распределение относительного коэффициента наводнений по территории Тверской области.

Из Рис. 13 видно, что уровень подъема воды на разных территориях может различаться не более в 2,8 раза.

В Заключении сделан вывод о том, что в диссертации решена крупная фундаментальная научная проблема, а именно: создан принципиально новый метод исследования и управления процессами в социально-экономических системах – метод мультифрактальной динамики. Он позволяет описывать динамику линейного тренда этих систем.

Приведем основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования:

1. Развита концепция фрактальной кривой, как толстой линии шириной D-1 в D – мерном пространстве;

2. Предложена фрактальная шкала “температур” мультифрактальных процессов;

3. Разработана оригинальная авторская методика определения фрактальной размерности фрактальных временных рядов, основанная на измерении их длин в различных масштабах;

4. Предложена и развита принципиально новая концепция мультифрактальной динамики для описания социально-экономических систем. Основу этого метода составляет предложенное автором кубическое уравнение для скорости линейного тренда, коэффициенты которого являются функцией фрактальной размерности D кривых динамики этих процессов;

5. Дан вывод основного уравнения мультифрактальной динамики, проведено исследование решений основного уравнения мультифрактальной динамики, исследованы катастрофы и управление катастрофами в мультифрактальной динамике;

6. Показана эффективность использования фрактальной размерности временных рядов как “флага” катастроф для природных и социально-экономических процессов на конкретных примерах;

7. Сформулирован принцип минимума фрактальной определяющей функции V(D), указывающей на направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми;

8. Предложена классификация динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности модели и в ее рамках дана общая схема прогноза на основе фрактальных параметров данных процессов;

9. Проведен фрактальный анализ валютных временных рядов, построена нелинейная фрактальная модель валютного кризиса 1998 года, доказана бифуркационная природа валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели;

10. Доказано наличие катастрофа типа A3b в динамике пары евро-доллар в рамках фрактальной модели.

11. В рамках модели мультифрактальной динамики исследовано поведение цен на нефть период 2008 год – начало 2009 и дан прогноз на конец 2009 года.

Прогноз: 77+ 2 доллара США за баррель, хорошо согласуется с опытом, показано наличие эффекта нефтяного “Пузыря” в динамике нефтяных цен в 2008 году, проведен анализ цен на нефть в 2009 году и первой половине 2010 года и их прогноз на конец 2010 года в рамках фрактальной модели. Прогноз: 89,6+ 5 долларов США за баррель, также хорошо согласуется с опытом;

12. Рассмотрены методы управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики;

13. Модель мультифрактальной динамики применена к изучению роста народонаселения.

14. Получены основные уравнения модели роста народонаселения и проведен расчет фрактальной размерности кривой динамики народонаселения;

15. Сделан прогноз роста народонаселения: доказано, что в ближайшее время невозможен демографический взрыв и коллапс народонаселения, численность народонаселения в 7 млрд. человек будет достигнута в интервале май – сентябрь 20года, а 8 млрд. человек – в 2030 году;

16. Показана эффективность использования фрактальной размерности основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики как флага кризисных явлений;

17. Доказано наличие в динамике общего количества посевных площадей катастрофы типа А3 в период 1990 – 1991гг.;

18. Построена фрактальная модель лесных пожаров. Получена формула, определяющая зависимость размеров области горения лесного массива от фрактальной размерности и времени. Найдены основные факторы, влияющие на скорость распространения лесного пожара и приводятся рекомендации и меры по ее минимизации;

20. Построена фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области. Введен коэффициент наводнения и построено его распределение по территории Тверской области;

Основные результаты диссертации опубликованы I. В изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций:

1. Гуляева О.С., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ валютных временных рядов//Финансы и кредит, 2007.№ 9. с. 30–36.

2. Гуляева О.С., Цветков И.В. Определение фрактальной размерности на основе измерения длин графиков временных рядов в различных временных масштабах. // Вестник Тверского государственного университета, серия «Прикладная математика», №17 (45) Тверь: ТвГУ – 2007, с. 155–160.

3. А.Н.Кудинов, С.А.Михеев, В.П. Цветков, И.В.Цветков Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты и системы. № 4. 2008 с. 117-14. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к российскому рублю за 2007 - начало 2008 г.// Финансы и кредит 33(321), 2008. с. 55-58.

5. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 – начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15.

6. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит. Выпуск 46(326). 2009. с. 5-9.

7. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель роста народонаселения// Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2 (2), 2010, с 132-138.

8. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) – 2010. с.21-9. А.Н.Кудинов, В.П. Цветков, И.В.Цветков Фрактальная модель лесных пожаров// Программные продукты и системы. № 2. 2010. с.146-147.

10. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы. 2010. № 1. с. 10-11.

11. Цветков И.В. Теория катастроф и фрактальная модель кризисных социальноэкономических процессов// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. Выпуск №19. 2010. с.71-79.

12. Цветков И.В. Математическая модель кризисных экономических процессов, описываемых мультифрактальными временными кривыми// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2010. № 14 Вып. 2(17) С. 127-133.

13. Цветков И.В. Фрактальные кривые как толстые линии в D – мерном пространстве// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2011. №21.

с. 28 – 31.

14. Цветков И.В. Управление нефтяными ценами в рамках фрактального подхода // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. - № 2 (26). - № гос. рег.

статьи 0421100034.

15. Цветков И.В. Самоподобие цен на нефть и фрактальные методы их прогноза.// Финансы и кредит. 21(453) – 2011. С.24-30.

Авторские свидетельства Программная реализация регуляризованного метода Ньютона (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613772 от 16 мая 20г. в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

В трудах международных и всероссийских научно-технических конференций:

1. Кудинов А Н., Лебедева Н.Н., Пирогов Ю.А., Тищенко А.П., Цветков И В. Создание ГИС для геофизического полигона " Главный водораздел русской равнины". Труды всероссийской конференции " Физические проблемы экологии", 1997, Изд-во МГУ. С. 43.

2. Лебедева Н.Н., Тищенко А.П., Цветков И В. Применение методов фрактального анализа к малым рекам Русской равнины". Труды всероссийской конференции. «Физические проблемы экологии», Изд-во МГУ. С. 60.

3. Тищенко А.П., Цветков И В. Fractal analyses of River System an Tver area. Труды международной конференции «Modern Trends in Computational Physics.» 1998. Дубна. С. 128.

4. Тищенко А.П. Цветков И В. Применение метода нормированного размаха Херста в некоторых вопросах экологии. Труды международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждении, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах». (ТГТУ. Тверь, 1998) С. 134.

5. Цветков И.В. К возможности выявления влияния выборных технологий на результаты голосования методами фрактального анализа. Труды научной конференции Избирательные технологии в России и Европе. Тверь, ТвГУ. 2000.С 92-101.

6. Цветков И.В. Методика расчета фрактальной размерности временных рядов и ее программная реализация. Материалы международной конференции «История и компьютер».

Москва: МГУ, 2001 C. 115-119.

7. Цветков И.В. Применение фрактальных методов к анализу динамики электоральных предпочтений// Труды Всероссийской конференции Новые информационные ресурсы и технологии в исторических исследованиях и образовании. Москва. 2000 C.202-28. А.Н. Кудинов, В.П.Цветков, С.А.Михеев, И.В.Цветков Математическая модель перестроек и катастроф в социальных и экономических системах. ТвГУ. Всероссийская конференция Организационно-экономические и социальные проблемы села. ТвГУ. Тверь. 209. А.Н.Кудинов, И.В.Цветков, Лесные пожары и фрактальная размерность лесов Тверского региона. Всероссийская конференция Организационно-экономические и социальные проблемы села. ТвГУ. Тверь. 2010.А.Н. Кудинов, И.В.Цветков, О.И.Сажина. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 год – начало 2009// Математическое моделирование и вычислительная физика.

Материалы международной конференции. Дубна, ОИЯИ, 2009. с.170.

11. А.Н. Кудинов, И.В.Цветков, О.И.Сажина. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явлений.

Всероссийская конференция Организационно-экономические и социальные проблемы села.

ТвГУ. Тверь. 2012. Гуляева О. С., Цветков И. В., Холдер М. Анализ динамики биржевого индекса ДоуДжонса методами фрактального анализа// Труды XXV юбилейной международной научной школы-семинара имени академика С. Шаталина. – Воронеж: Воронежский ГУ, 2002, с. 54-57.

13. M.Holder, I.Tsvetkov Analysis of the Dow-Jones Idustrial Average (DJIA) Index Dynamics by Fractal Analysis Methods// Proceedings of V Intermational congress of mathematical modeling. V.– Dubna. 2002 p.150.

14. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Михеев С.А., Цветков И.В. Фрактальная модель валютного кризиса 1998 года. Труды международной конференции Фундаментальные физикоматематические проблемы и моделирование технико-технологических систем. М. Станкин.

2008. С. 391-397.

15. Сажина О.И., Цветков И.В. Система уравнений фрактальной модели с двумя взаимосвязанными параметрами состояния. Шестые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2010. С.12-16. Сажина О.И., Цветков И.В. Новый алгоритм расчета фрактальной размерности мультифрактальных кривых. Шестые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках.

Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь.

2010. С.45-47.

17. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В Сборник трудов международной научнопрактической конференции Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование. Выпуск 16. Санкт-Петербург. 2010. с. 79 – 83.

18. Цветков И.В. Фрактальная шкала температур. Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2011. С.169-170.

19. Цветков И.В. Фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области. Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2011. С.274-277.

II. В других изданиях имеется 39 публикаций, среди них:

1. Тищенко Н.Н., Цветков И В. Фрактальный анализ речных систем Тверской области. Моделирование сложных систем Выпуск 1. Тверь. Изд-во ТвГУ. С.134-144.

Цветков И.В., Использование фрактальных временных рядов в комплексном анализе речных систем. Моделирование сложных систем. Выпуск 1. Тверь 1998. С. 145-155.

2. Тищенко А.П., Цветков И.В. Фрактальная размерность текстур природных объектов и их идентификация методами фрактального анализа. Моделирование сложных систем. Выпуск 1.

Тверь 1998. С. 156- 161.

3. Цветков И.В. Фрактальная модель береговых линий озер и водохранилищ тверской области. Моделирование сложных систем. Выпуск 2. Тверь 1999. Стр 7 2 - 8 1.

4. Цветков И.В. Построение модели стока рек на основе фрактального подхода. Моделирование сложных систем. Выпуск 1. Тверь 1999. Стр 81-5. Цветков И.В. Фрактальная размерность временного ряда как «флаг» катастроф в социально-экономических процессах// Моделирование сложных систем. Тем. сб., вып.3. –Тверь: ТвГУ. 2000. С. 170 -175.

6. Гуляева О. С., Толкаченко Г.Л., Цветков В.П., Цветков И. В. Фрактальная размерность в исследовании динамики валютного курса// Моделирование сложных систем. Тем. сб., вып.3.

–Тверь: ТвГУ. 2000. с. 176-190.

7. Гуляева О.С., Цветков И.В.. Фрактальные методы в динамики исследования валютных курсов// Сб. науч. тр. ФУС.–Тверь: ТвГУ, 2002. с.74 –85 (0,7/0,35 п.л.).

8. Гуляева О.С., Цветков И.В. Прогнозирование валютного курса методами фрактального анализа// Проблемы и перспективы развития финансовых рынков: Сб. науч. тр. каф. финансов.–Тверь: ТвГУ, 2002. с. 46-52 (0,44/0,22 п.л.).

9. Гуляева О.С., Цветков И.В., Холдер М., Возможность анализа динамики биржевого индекса Доу-Джонса фрактальными методами// Сб. науч. тр. Вып. № 2. –Тверь: ТвГУ – ТИЭМ.

2003. стр. 72–75.

10. Гуляева О. С., Цветков И. В. Возможность фрактального анализа валютных временных рядов// Вестник Тверского государственного университет, серия «Экономика и управление».–Тверь: ТвГУ, №13 (41) 2007, с. 121–131(0,8/0,4 п.л.).

11. Гуляева О. С., Цветков И. В. Анализ возможностей по оценки нелинейности валютного курса пары рубль/доллар// Научно-методические материалы/ научные статьи аспирантов и соискателей, вып. 31, часть 1.,–Тверь: ВА ВКО, 2007 с. 23–34.

12. M.E.Holder, I.V.Tsvetkov. Use of Fractal Methods in Economical Researches. Kent State Magazine. Spring issue 2004. Kent State University Press. OH. USA.2004. pp. 12-13. Гуляева О.С., Цветков И.В. Фрактальная размерность временного ряда как "флаг" катастроф в природных и социально-экономических процессах// Вестник Ярославского регионального отделения РАЕН. – Ярославль: РО РАЕН, 2007, том 1, №2, стр. 15–18 (0,3/0,15 п.л.).

14. Цветков И.В. Фрактальные методы анализа данных маркетинговых исследований. Вестник ТвГУ, Управление и социология. Тверь: ТвГУ, 2015. Цветков И.В. Фрактальная размерность в исследовании динамики валютного курса. Моделирование сложных систем. Выпуск 3. Тверь 2001.

16. Цветков И.В. Методика расчета фрактальной размерности временных рядов и ее программная реализация. Труды международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Москва: МГУ, 2006.

17. Цветков И.В. Фрактальные методы анализа данных маркетинговых исследований//Вестник ТвГУ, Управление и социология. Тверь: ТвГУ, 2006.

18. Гуляева О.С., Цветков И.В. Возможность фрактального анализа валютных временных рядов// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып.13(41). ТвГУ,2007.

19. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова О.И., Цветков И.В. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явлений.// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып.8(34).

ТвГУ,2010. С. 4-17.

20. Кудинов А.Н., Цветков И.В. Лесные пожары и фрактальная размерность лесов Тверской области.// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып.8(34). ТвГУ,2010. С. 35-38.

21. Цветков И.В. Направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми и энергетический принцип// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып. вып.8(34). ТвГУ,2010. С. 38 – 40.

22. Цветков И.В. Фрактальная модель наводнений в Тверской области// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып.8(34). ТвГУ,2010. С.41–45.

23. Цветков В.П., Рыжиков В.Н., Цветков И.В., Иванов В.В. Фрактальные методы в изучении социально-экономических систем // Моделирование сложных систем. - Тверь.: ТвГУ, 1999. C.

87 - 94.

24. Цветков И.В. Фрактальные методы в изучении социально-экономических систем // Моделирование сложных систем. — Тверь.: ТвГУ, 1999. C. 97 — 108.

25. A. N. Kudinov, V. P. Tsvetkov, and I. V. Tsvetkov. Catastrophes in the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 18, No. 2, 2011, pp.

149-155.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.