WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

ЦИБУЛИН Вячеслав Георгиевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОНВЕКТИВНЫХ ДВИЖЕНИЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2010

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор М. Ю. Жуков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Никитин (Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова, г. Москва), доктор физико-математических наук, профессор А. И. Сухинов (Таганрогский технологический институт ЮФУ, г. Таганрог), доктор физико-математических наук, профессор Ю. Ю. Тарасевич (Астраханский государственный университет, г. Астрахань)

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится 17 марта 2011 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д212.208.22 по физико-математическим наукам при Таганрогском технологическом институте ЮФУ по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ауд. Д–406.

C диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.208.доктор технических наук, профессор Целых А.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Задачи фильтрационной конвекции представляют большой интерес благодаря многочисленным приложениям в геофизике, космической технологии, энергетике и др. В зависимости от свойств жидкости и условий (внешних полей, источников тепла, концентраций примесей) возможны различные сценарии возникновения конвективных режимов. На характер формирующихся движений и последовательности переходов от одних режимов к другим существенно влияют пористость среды и многокомпонентность насыщающей ее жидкости.

В задачах фильтрационной конвекции обнаружена неединственность решений, приводящая к образованию однопараметрических семейств стационарных решений после потери устойчивости состоянием механического равновесия. Это явление было объяснено В.И. Юдовичем с помощью развитой им теории косимметрии. Исследование нелинейных задач с семействами режимов, чей спектр устойчивости меняется вдоль семейства, представляет большой интерес из-за нетривиальности возможных бифуркационных переходов. Системы с подобными свойствами возникают также при моделировании динамики популяций на основе нелинейных уравнений параболического типа.

Исследование режимов косимметричных систем фильтрационной конвекции требует развития вычислительных средств, разработки специальных численных методов и программного обеспечения для проведения компьютерных экспериментов. При решении задач математической физики важно использовать численные методы, которые приводят к аппроксимациям, сохраняющим основные свойства исходных уравнений.

Для расчета конвективных движений на основе уравнений в естественных переменных эффективны дискретизации метода конечных разностей, использующие введение смещенных сеток и специальные аппроксимации конвективных членов.

Обнаруженное в задачах фильтрационной конвекции ответвление семейств стационарных режимов накладывает особые требование на алгоритмы расчета стационарных режимов. Необходимо сохранять свойство косимметрии исходных уравнений в частных производных в их конечномерных аппроксимациях. Из-за вырожденности векторных полей, получаемых в результате дискретизации рассматриваемых задач, необходима разработка специальных методов для расчета семейств и продолжения их по параметрам задачи.

Инструменты численного анализа могут быть применены к задачам популяционной динамики, где также обнаружены системы, обладающие свойством косимметрии.

Цель и задачи исследования Целью работы является разработка численных методов исследования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, изучение сценариев развития конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде, численный анализ эффектов сильной неединственности решений для ряда двумерных и трехмерных задач фильтрационной конвекции и динамики популяций.

Основные усилия сосредоточены на исследовании конвективных движений многокомпонентной жидкости в пористой среде: анализу возникновения и развития непрерывных семейств стационарных конвективных движений для различных областей, изучению разрушения семейств стационарных решений и селекции режимов, рассмотрению ряда интересных двумерных и трехмерных задач.

Методология исследования Методы математического моделирования представляют в настоящее время важнейший инструмент изучения конвективных движений. Основное внимание уделяется развитию и совершенствованию численных методов решения задач массопереноса для многокомпонентных сплошных сред. В работе развиты специальные варианты метода конечных разностей для уравнений конвекции в естественных переменных (скорость, давление, температура), применяются аппроксимации на основе метода смещенных сеток для решения различных двумерных и трехмерных задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Для уравнений, записанных относительно функции тока, температуры и концентраций примесей, развиты метод конечных разностей и спектрально-разностный метод. Разработаны численные методы вычисления однопараметрических семейств стационарных режимов, продолжения их по параметру, анализа устойчивости и бифуркаций. Разработан комплекс программ для расчета нестационарных режимов и семейств стационарных решений в задачах фильтрационной конвекции одно- и многокомпонентной жидкости, исследования развития структур конвективных течений.

Научная новизна положений, выносимых на защиту В диссертации развито новое научное направление – моделирование конвективных движений и процессов переноса в многокомпонентных жидкостях. Построены аппроксимации математических моделей движения многокомпонентных сред, наследующие свойства исходных систем уравнений. Развиты и усовершенствованы методы решения нелинейных систем уравнений, обладающих свойством косимметрии и в которых имеются непрерывные семейства стационарных решений. Изучен ряд новых специфических косимметричных эффектов: столкновение семейств стационарных движений, свойство памяти системы при нарушении косимметрии (сохранение информации о исчезнувшем семействе стационарных движений), селекция или выделение предпочтительных состояний в случае сильной неединственности решений. Результаты вычислительных экспериментов обоснованы использованием различных методов дискретизации и проведением расчетов на основе принципиально различных численных методик, а также подтверждены сопоставлением с данными, имеющимися в литературе.

Практическая значимость. Полученные результаты имеют широкую область применения для моделирования и прогнозирования важных природных конвективных течений, для анализа геофизических явлений и процессов, при разработке технических устройств теплоизоляции и энергетики. Разработанные методы исследования позволяют изучать процессы, протекающие в стратифицированных многокомпонентных сплошных средах с учетом конвекции насыщающих ее жидкостей и газов. Развитые подходы к решению задач могут использоваться для анализа систем нелинейных уравнений.

Апробация работы, публикации Основные результаты диссертации докладывалось на следующих конференциях: 2-ая международная конференция по численным методам в механике сплошной среды, Прага, Чехия, 1997, IV Международная конференция Средства математического моделирования, Санкт-Петербург, 1997, 2003; семинар NATO Advanced Study Institute Error Control and Adaptivity in Scientific Computing, Анталия, Турция, 1998, EquaDiff’99, Берлин, Германия, 1999, 8-ая Всероссийская школа-семинар, Современные проблемы математического моделирования, Абрау-Дюрсо, 1999, конгресс Complexity and Chaos, Турин, Италия, 1999; 6, 10-14 международные конференции Современные проблемы механики сплошной среды, Ростов-на-Дону, 1999, 2006-2010, семинар Симметрия и косимметрия в динамических системах, Азов, 2000; IX Всероссийская конференция Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности, п. Дюрсо, Новоросийск, 2000; Collatz’2000 colloquium, Гамбург, Германия, 2000; 4, 7, 10 и 11 конференциях Компьютерная алгебра и научные вычисления ( Computer Algebra and Scientific Computing ), (Констанц, Германия, 2001, Санкт-Петербург, 2004, Бонн, Германия, 2007, Кобе, Япония, 2009); 7 Всероссийский конгресс по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); II международная конференция Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов, Сочи, 2001; IX Всероссийская конференция Современные проблемы математического моделирования, п. Дюрсо, Новороссийск, 2001, 2005; международная конференция Структуры и потоки в жидкостях, СанктПетербург, 2003; V European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Прага, Чехия, 2003; XV и XVI международные Крымские осенние школы, Симферополь, Украина, 2004, 2005; семинаре Комплесные движения жидкости, Хамлебаек, Дания, 2004; конференция Differential Equations: From Theory to Computational Science and Engineering, Цюрих, 2005; III Всероссийская конференция Актуальные проблемы прикладной математики и механики п. Дюрсо, Новороссийск, 2006; международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике ICIAM-07, Цюрих, 2007; IV Всероссийской научной конференции “Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB” 2009.

Результаты докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики Ростовского государственного университета (ЮФУ), семинаре кафедры математического моделирования Южного федерального университета, заседании Ростовского математического общества, семинаре кафедры высшей математики Таганрогского технологического института ЮФУ, семинаре института математики Ростокского университета (Германия), семинарах департамента математики и института прикладной математики Средне-Восточного технического университета и семинаре департамента математики университета Атылым (Анкара, Турция).

Связанная с диссертацией тематика была поддержана программой Интеграция, грантами Санкт-Петербургского конкурсного центра в 1992–1994 гг. и 1994–1995 гг., грантами РФФИ 93-01-17337-а, 96-0101791-а, 99-01-01023-а, 02-01-00337-а, 01-01-22002-НЦНИ-а, 05-01-00567а в 1993–2007 гг. ( Математическая теория конвекции жидкости ) и 04-01-96815-р2004юг в 2004–2005 гг. ( Математическое моделирование фильтрационной конвекции: бифуркации, переходы, хаотические движения ), программой Российские университеты – фундаментальные исследования, (проекты 4087, 04.01.063, 04.01.035, Динамические системы с косимметрией ), грантами Президента РФ на поддержку ведущих научных школ. Математическая теория движения жидкости – разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации (№ НШ-1768.2003.1 и № НШ-5747.2006.1 ), целевой программой Министерства образования и науки Развитие научного потенциала высшей школы (р.н. 2.1.1/6095).

Объем диссертации 297 страниц, включая фигуры, таблицы и список литературы из 236 наименований. По результатам диссертации автором опубликовано 58 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1–19, 28, 55] Содержание работы Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту. Дана краткая аннотация всех разделов диссертации.

В первой главе представлены постановки исследуемых задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде, описаны свойства рассматриваемых систем уравнений, даны ссылки на современное состояние исследований в данной области.

В § 1.1 представлен обзор работ по задачам фильтрационной конвекции, в которых возникают непрерывные семейства стационарных режимов, и теории косимметрии. Д.В. Любимов (ПМТФ, 1975) обнаружил ответвление от состояния механического равновесия семейства стационарных конвективных режимов для плоской задачи движения несжимаемой жидкости в пористой среде с законом трения Дарси. Данное явление было объяснено В.И. Юдовичем на основе теории косимметрии (Мат. заметки, 1991). По определению, косимметрия векторного поля (и определяемого им автономного дифференциального уравнения), есть аннулирующая его в каждой точке дифференциальная 1-форма. Равновесие векторного поля называется косимметричным, если косимметрия на нем аннулируется. Для динамической системы с косимметрией в условиях общего положения возможно существование непрерывного семейства некосимметричных равновесий, спектр устойчивости которых меняется вдоль такого семейства (при отсутствии вырождения). Здесь устойчивость равновесия понимается как нейтральная устойчивость вдоль семейства равновесий и, одновременно, асимптотическая устойчивость в трансверсальных направлениях. Главное отличие косимметричных динамических систем от систем, в которых семейства стационарных состояний возникают из-за имеющейся непрерывной группы симметрии, заключается в изменчивости спектра устойчивости по семейству.

Развитию теории косимметрии посвящены работs В.И. Юдовича, Л.Г. Куракина, Н.И. Макаренко. Вычисления семейств стационарных решений, в частности, анализ первого перехода в конвекции Дарси методом Галеркина, впервые было выполнены В.Н. Говорухиным. Эксперименты по конвекции в пористой среды проведены Г.Ф. Путиным, А.Ф. Глуховым.

В § 1.2 дан обзор работ по фильтрационной конвекции одно - и многокомпонентных жидкостей для ограниченных областей и рассмотрено использование численных методов и вычислительного эксперимента для исследования возникающих проблем. Состояние исследований по конвекции в пористой среде отражено в книге Д.А. Нилда и А. Бежана Convection in porous medium (Springer, 2006). Для расчета непрерывных семейств решений фильтрационной конвекции необходимы численные схемы и дискретизации, сохраняющие косимметрию исходной системы. В научной литературе в последнее время для вычислительных схем, наследующих свойства исходных задач, закрепилось название миметические. Анализу разностных аппроксимаций, сохраняющих свойства дифференциальных операторов, посвящены работы В.И. Лебедева, А.Л. Крылова, А.А. Самарского, В.Ф. Тишкина, А.П. Фаворского, М.Ю. Шашкова и др.

В § 1.3 приведены уравнения фильтрационной конвекции для многокомпонентной жидкости (В.И. Юдович, Изв вузов, Сев.-Кав. рег.

Естеств. науки, 2001). Для случая S компонент и при отсутствии массовых сил уравнения в безразмерных переменных имеют вид S v = -p - v + rr k, · v = 0, (1) r=rr + v · r = rr + v · k r = 1,..., S. (2) Здесь v = v(x, y, z, t) – вектор скорости, p = p(x, y, z, t) – давление, 1(x, y, z, t) – температура, отсчитываемая от среднего значения, r(x, y, z, t), r = 2,..., S – массовые концентрации, (x, y, z) – пространственные координаты, точка означает дифференцирование по времени t, k – орт, направленный вертикально вверх. Безразмерные параметры r и r соответствуют кинетическим и диффузионным коэффициентам, r есть числа Рэлея для каждой компоненты жидкости (температуры и концентраций примесей).

Даны постановки задач, в которых имеется косимметрия, приводящая к рождению однопараметрического семейства устойчивых стационарных режимов и ряду специфических бифуркаций. Так, для плоских движений уравнения конвекции Дарси могут быть записаны через функцию тока r rr = rr + rx - J(r, ) F, r = 1,..., S. (3) S r r r 0 = - x G, J(r, ) = xy - yx. (4) r=Задача рассматривается в области D с краевыми условиями r = 0, r = 1,..., S, = 0, (x, y) D. (5) S Cистема (3)–(5) обладает косимметрией L = , ,..., , - rr, r=S так что выполняется интегральное тождество (условие косимметрии):

S r (F - Grr)dxdy = 0. (6) r=1D Справедливость данного равенства проверяется непосредственно интегрированием по частям, использованием формулы Грина и, в частности, следующими свойствами якобиана J(, ) J(, r)dxdy = 0, J(, r)rdxdy = 0. (7) D D В § 1.4 даны постановки задач, описывающих конвекцию теплопроводной жидкости в кольцевых областях пористой среды для полярной системы координат. Выделены задачи, относящиеся к классу систем с косимметрией, и задачи, для которых далее вычисляются и изучаются однопараметрические семейства стационарных решений.

Вторая глава посвящена описанию численных методов решения уравнений конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде.

В § 2.1 изложена схема метода конечных разностей для расчета плоских движений конвекции Дарси на основе уравнений, записанных относительно температуры и функции тока. Все переменные вычисляются в единых узлах, применяются разностные отношения второго порядка точности и формула Аракавы (J. Comp. Phys., 1966) для аппроксимации якобиана.

В § 2.2 описана аппроксимация уравнений конвекции в естественных переменных (скорости, давление, температура) на основе схемы смещенных сеток. Дискретизация проводится на неравномерной сетке, определены операторы первых разностных производных и вычисления средних, с их помощью построены аппроксимации вторых производных и конвективных членов.

В § 2.3 развит метод смещенных сеток для расчета трехмерных конвективных движений в пористой среде. Для дискретизации задачи в естественных переменных используется метод смещенных сеток с узлами пяти типов: для температуры, давления и трех компонент вектора скорости.

В параллелепипеде D = [0, Lx][0, Ly][0, Lz] вводятся равномерные сетки по каждой координате с узлами xi = ihx, hx = Lx/(Nx + 1), yj = -hy/2 + jhy, hy = Ly/Ny, zk = khz, hz = Lz/(Nz + 1), и смещенные на полшага вспомогательные сетки: xi-1/2, yj-1/2, zk-1/2. Здесь Nx, Ny и Nz – соответственно число внутренних узлов по координатам x, y и z.

Температура определяется на основной сетке (xi, yj, zk), а давление – в узлах (xi-1/2, yj-1/2, zk-1/2). Компоненты вектора скорости v1, v2 и vнаходятся в узлах, смещенных относительно точек (xi-1/2, yj-1/2, zk-1/2) 1 на полшага по соответствующей координате: vi,j-1/2,k-1/2, vi-1/2,j,k-1/2, vi-1/2,j-1/2,k. Схематическое расположение узлов показано на рис. 1.

Равномерная по каждой координате сетка введена таким образом, что Рис. 1. Размещение узлов в элементарной ячейке на границе 2D краевые условия для температуры и скорости удовлетворяются автоматически, а на границе 1D краевые условия реализуются с помощью законтурных узлов для температуры и скорости v2.

Разностные аналоги дифференциальных операторов первого порядка и операторы усреднения по координатам вводятся на двухточечных шаблонах:

i+1,j,k - i,j,k i+1/2,j,k + i-1/2,j,k (d1)i+1/2,j,k =, (1)i,j,k =, (8) hx i,j+1,k - i,j,k i,j+1/2,k + i,j-1/2,k (d2)i,j+1/2,k =, (2)i,j,k =, hy i,j,k+1 - i,j,k i,j,k+1/2 + i,j,k-1/(d3)i,j,k+1/2 =, (3)i,j,k =.

hz С помощью этих операторов записываются производные на трехточечных шаблонах Dk = kdk, оператор усреднения по ячейке 0 = 12и аппроксимация лапласиана = d1d1 + d2d2 + d3d3. Формулы (8) h справедливы как для целых, так и для дробных индексов.

Конвективные члены аппроксимируются следующим образом (v · )i,j,k J(, v)i,j,k = (9) 3 3 3 = dss nvs + (1 - ) ds n (0svs) s=1 n =s s=1 n =s i,j,k В § 2.4 описана дискретизация уравнений В.И. Юдовича для описания конвективных движений многокомпонентной жидкости. Рассмотрена задача для параллелепипеда, позволившая использовать метод смещенных узлов, лежащих на параллелепипедальных сетках.

В § 2.5 рассмотрено применение спектрально-разностного метод для плоской задачи Дарси в области D = [0, a] [0, b]. На основе спектрального разложения по вертикальной координате и метода конечных разностей по горизонтальной координате построена конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений, наследующая свойство косимметрии исходной задачи, и получены аппроксимации нелинейных членов, сохраняющие свойство косимметрии (6). Для решения задачи (3)–(5) с начальными условиями развит спектрально-разностный метод [4], основанный на использовании галеркинских разложений по координате y и разностных аппроксимаций по координате x. Решение разыскивалось в виде рядов m jy r {r(x, y, t), (x, y, t)} = {j(x, t), j(x, t)} sin. (10) b j=После подстановки (10) в уравнения (3), (4) получается следующая система уравнений:

r r r r rj = r(j) - cjrj + rj - Jj, j = 1,..., m, (11) S r 0 = j - cjj - (j), j = 1,..., m, (12) r=где штрих означает дифференцирование по x, cj = j22/b2 и j-2 r r r Jj = (j - i) (i ) j-i - j-ii + (13) b i=m-j 2 r r r r + (i + j)(i+ji - (i ) i+j) + i((i+j) i - i i+j).

b i=Из краевых условий (5) получаются граничные условия для гармоник:

r r j(t, 0) = j(t, a) = 0, j = 1,..., m, (14) j(t, 0) = j(t, a) = 0, j = 1,..., m.

Начальные условия имеют вид:

b jy r r j(x, 0) = 0(x, y) sin dy, j = 1,..., m. (15) b Для аппроксимации уравнений (11)–(12) по переменной x применялся метод конечных разностей. На отрезке [0, a] вводится сетка = {xk|xk = kh, k = 0,..., n, h = a/(n + 1)} и далее используются следующие обозначения r r r r j,k = j(xk, t), j,k = j(xk, t), Jj,k = Jj (xk, t).

Первые и вторые производные линейной части уравнений (11)–(12) аппроксимировалось при помощи центральных разностных отношений.

r Для аппроксимации нелинейных членов Jj,k вводились антисимметричный и симметричный дифференциальные операторы Da(, ) = - , Ds(, ) = + .

Здесь и далее при выводе формул для краткости вместо обозначения r используем .

В случае однокомпонентной жидкости (1 = ) выражения для Jj с помощью операторов Da и Ds записываются следующим образом m-j j-2 r Jj = 1 + 2 , (16) j,i j,i b i=1 i=2i + j j 1 = [Ds(i+j, i) - Ds(i, i+j)] - [Da(i+j, i) + Da(i, i+j)], j,i 2 j - i 2 = [Ds(i, j-i) + Da(i, j-i) - Ds(j-i, i) + Da(j-i, i)].

j,i Cпециальные аппроксимации операторов Da и Ds построены с помощью метода неопределенных коэффициентов. Доказаны леммы.

Лемма 1. На трехточечном шаблоне имеется однопараметрическое семейство аппроксимации второго порядка точности антисимметрического оператора Da с параметром :

da,k(, ) = + [(k+1 - k-1)k - k(k+1 - k-1)] (17) 2h +(k-1k+1 - k+1k-1).

Лемма 2. На трехточечном шаблоне аппроксимация симметрического оператора Ds со вторым порядком точности дается двухпараметрическим семейством разностных операторов ds,k(, ) = k-1k-1 + (6 - )k+1k+1 - (18) - ( + + )(k-1k + kk-1) + 2h + ( + - 3)(kk+1 + k+1k) + 2h + (k-1k+1 + 4kk + k+1k-1).

Показано, что формулы (17)–(18) обеспечивают наследование косимметрии для любого числа гармоник m. Таким образом, была получена спектрально–разностная аппроксимация уравнений фильтрационной конвекции, сохраняющая косимметрию для задачи о движении многокомпонентной жидкости в пористом прямоугольнике. Численный анализ далее проводился для смешанной системы дифференциальных и алгебраических уравнений:

r r r rrj,k = d2j,k - cjrj,k + rd11j,k - Jj,k r, (19) 1 1,j,k r 0 = d2j,k - cjj,k + d11j,k 2,j,k. (20) Дано развитие спектрально-разностного метода на случай смещенных сеток; по вертикальной координате используется метод Фурье, а по горизонтальной – метод конечных разностей, причем температура определяется в узлах основной сетки, а функции тока – в узлах смещенной сетки. Методом неопределенных коэффициентов получены аппроксимации, обеспечивающие сохранение косимметрии исходной задачи. В этом же параграфе приведен вариант спектрально–разностного метода для областей бочкообразной формы.

В § 2.6 реализоыван метод вычисления семейств стационарных конвективных режимов, основанный на косимметрической версии теоремы о неявной функции (В.И. Юдович, 1991). Первые реализации алгоритма для систем, полученных в результате дискретизации исходной задачи, были развиты в работах В.Н. Говорухина (1995).

В плоской задаче конвекции Дарси семейство стационарных движений ответвляется при переходе фильтрационного числа Рэлея ( r) через критическое значение первого перехода 11. При малых надкритичностях все точки на семействе устойчивы. Стартуя из окрестности неустойчивого нулевого равновесия и интегрируя методом Рунге-Кутты систему обыкновенных дифференциальных уравнений = F (), полученную в результате дискретизации, можно выйти на одно из равновесий семейства. Затем для определения всего семейства используется следующая процедура: 1) при помощи метода Ньютона равновесие уточняется, 2) вычисляется ядро матрицы Якоби (матрицы линеаризации) для полученного рановесия, 3) методом Адамса находится прогнозное значение для следующей точки на семействе. Шаги 1-3 повторяются до получения всего семейства. Вблизи семейства используется модифицированный метод Ньютона, когда итерации производятся без перевычисления матрицы Якоби. Из-за вырождения матрицы Якоби около семейства решение ищется для редуцированной системы на ортогональном к семейству подпространстве.

В § 2.7 метод смещенных сеток применен для аппроксимации уравнений фильтрационной конвекции в кольцевых областях. Рассмотрены разностные аналоги уравнений, записанных для температуры и функции тока, и уравнений в естественных переменных (скорости, давление, температура). Для аппроксимаций уравнений используются узлы четырех типов: для температуры, двух компонент вектора скорости и давления.

В § 2.8 развит метод дискретизации плоской задачи для двухслойной системы, состоящей из прямоугольника с пористой средой, насыщенной жидкостью, поверх которого размещается слой той жидкости. Модель Обербека–Буссинеска применяются для описания конвективных движений в слое чистой жидкости и модель Дарси для описания конвекции в жидкости, заполняющей пористый материал. Задача рассматривается в естественных переменных, на границе раздела используются эмпирические условия Биверса–Джозефа для согласования движений свободной жидкости и жидкости, насыщающей пористую среду.

Третья глава посвящена численному исследованию задач фильтрационной конвекции для многокомпонентной и теплопроводной жидкости. При помощи развитых во второй главе методов изучено ответвление семейств стационарных конвективных режимов для прямоугольных и параллелепипедальных контейнеров, а также для кольцевых секторов.

Проанализировано возникновение неустойчивости на первичном семействе, изучен случай столкновения семейств.

В § 3.1 на основе спектрально-разностной дискретизации плоской задачи конвекции теплопроводной жидкости представлены результаты численного эксперимента для плоской задачи конвекции Дарси, дано сопоставление с известными результатами. Приведены результаты расчета плоской задачи фильтрационной конвекции методом сеток.

В § 3.2 проведено параметрическое исследование семейств стационарных конвективных режимов для плоской задачи конвекции теплопроводной жидкости. В вычислительном эксперименте найдены критические значения фильтрационного числа Рэлея , при которых на первичном семействе возникает неустойчивость (второй переход). Изучен характер неустойчивости (колебательная или монотонная) и число теряющих устойчивость стационарных движений. Представлены сценарии развития семейств стационарных режимов для прямоугольника. Проанализировано столкновение семейств стационарных режимов и установлено, что в результате перезамыкания ветвей сталкивающихся семейств образуются новые семейства, состоящие из устойчивых и неустойчивых стационарных режимов.

При малых надкритичностях первичное семейство полностью устойчиво. С увеличением параметра происходит рост семейства, и при = u на нем возникают равновесия с нейтральным спектром. Число таких стационарных режимов зависит от геометрии контейнера. Далее эти равновесия теряют устойчивость (второй переход), и возникают дуги из неустойчивых равновесий. При дальнейшем увеличении числа Рэлея наблюдается расширение областей неустойчивости на первичном семействе. При = o достигается неустойчивость семейства в целом, когда все первичное семейство состоит из неустойчивых стационарных конвективных режимов. Результаты вычислений для различных удобно представить для относительных критических значений /11, где 11 – критическое значение первого перехода. На рис. 2 кривые 1 и 2 соответствуют возникновению монотонной и колебательной неустойчивости на семействе, кривая 3 отвечает потере устойчивости всего первичного семейства ( = o), а кривая 4 – критическим значениям влипания вторичного семейства в первичное ( = c).

В § 3.3 исследуются конвективные движения двух- и трехкомпонентной жидкостей в высоком прямоугольном контейнере и анализируется возникновение семейств стационарных решений и автоколебательных режимов после потери устойчивости механического равновесия в случае умеренных надкритичностей. Изучен новый сценарий образования непрерывного семейства стационарных решений, реализующийся в случае колебательной неустойчивости механического равновесия. При достаточно больших по абсолютной величине отрицательных градиентах концентраций и малости соответствующих коэффициентов диффузии механическое равновесие теряет устойчивость колебательным образом.

В этом случае наблюдается новый сценарий развития конвективных движений, в котором участвуют ответвляющийся от механического равно3. 2.1.1 2 3 4 Рис. 2. Зависимость критических значений от высоты контейнера; = b/a весия автоколебательный режим, а также два семейства стационарных решений, рождающихся из воздуха. Например, данный сценарий реализуется для случая двухкомпонентной жидкости при следующих значениях параметров: 2 = -10, 2 = 0.3 и b = 2. На рис. 3 для этих значений параметров представлено развитие семейств стационарных решений и автоколебательных режимов.

При 1 76 нулевое равновесие устойчиво и существуют два семейства стационарных решений (кривые 1 и 2), возникшие в результате бифуркации рождения из воздуха (Л.Г. Куракин, В.И. Юдович, Докл. РАН. 2000). Каждое семейство состоит из двух дуг: устойчивых и неустойчивых равновесий. При 1 77 нулевое равновесие теряет устойчивость колебательным образом и возникает устойчивый предельный цикл (кривая 3). С ростом 1 семейства 1 и 2 усложняются и при 1 79.4 происходит их столкновение. В результате ветви обоих семейств перезамыкаются, и формируются два новых семейства: полностью неустойчивое (кривая 4) и семейство, состоящее из устойчивых и неустойчивых равновесий (кривая 5).

При дальнейшем увеличении 1 дуги неустойчивых равновесий на семействе (кривая 5) сокращаются и исчезают, так что при 80 < 1 < 156.это семейство полностью устойчиво. Предельный цикл на малом промежутке значений 1 претерпевает последовательность бифуркаций, в результате чего формируется хаотический автоколебательный режим, который затем гибнет, сталкиваясь с неустойчивым семейством (кривая 4). С ростом 1 неустойчивое семейство (кривая 4) уменьшается в размерах и исчезает при 1 = 85, влипая в нулевое равновесие. При этом 1=76.5 1=77.120 1Nuv 0 Nuv 0 -120 -1-6 8 22 36 -6 8 22 Nuh Nuh 1=79 1=79.120 1Nuv 0 4 Nuv 0 -120 -1-6 8 22 36 -6 8 22 Nuh Nuh 1=80 1=120 1Nuv 0 4 Nuv 0 -120 -1-6 8 22 36 -6 14 34 Nuh Nuh Рис. 3. Развитие конвективных режимов при колебательной потере устойчивости механическим равновесием (крест): кривые 1 и 2 – семейства, состоящие из устойчивых и неустойчивых равновесий, кривая 3 – автоколебательный режим, кривая 4 – неустойчивое семейство стационарных решений, кривая 5 – объединенное семейство, звездочки – неустойчивые равновесия; S = 2, b = 2, 2 = -10, 2 = 0.3.

в спектре механического равновесия два собственных числа переходят из правой в левую полуплоскость по вещественной оси. С ростом 1 семейство увеличивается, а при 1 = 156.6 в результате колебательной неустойчивости на нем возникают четыре дуги неустойчивых равновесий. При дальнейшем увеличении 1 происходит столкновение с неустойчивым семейством, которое ответвилось от механического равновесия при следующем критическом значении числа Рэлея.

Столкновения семейств стационарных состояний на основе спектрально-разностного метода изучены в § 3.4. Обнаружен сценарий, при котором устойчивое первичное семейство стационарных движений последовательно сталкивается с вторичными и третичными семействами, состоящими из неустойчивых равновесий.

Расчеты столкновения семейств стационарных состояний на сетке 20 10 дали следующий результат: первое столкновение происходит при числе Рэлея 240 < < 245. При = 240 семейства F21 и Fеще существуют независимо друг от друга, с увеличением происходит сближение непрерывных кривых, их контакт и перезамыкание ветвей.

В результате образуются новые замкнутые непрерывные кривые, отвечающие формированию семейств стационарных режимов G1 и G2, что видно на рис. 4.

=22Nuv G=22-20 250 500 7Nuh Nuv F=22F-2Nuv G0 250 500 750 Nuh -20 250 500 7Nuh Рис. 4. Семейства F21 и F12 до столкновения ( = 240, слева) и возникшие после столкновения семейства ( = 245, справа), пунктир обозначает ветвь F12, принадлежащую инвариантному многообразию В § 3.5 исследован первый переход в трехмерной задаче фильтрационной конвекции. Проанализировано возникновение семейства стационарных плоских движений в случае параллелепипеда с двумя боковыми стенками, на которых потоки тепла и примеси равны нулю, а на остальной границе поддерживаются линейные по высоте распределения температуры и концентраций.

Конвективные движения двухкомпонентной жидкости в параллелепипеде с двумя боковыми тепло- и массоизолированными стенками рассмотрены в § 3.6.

В § 3.7 изучена селекция стационарных режимов для задачи о подогреве снизу прямоугольника [0, a][0, b], заполненного пористой средой и насыщенного жидкостью. Для жидкости, подчиняющейся закону Дарси, начально-краевая задача в безразмерных переменных имеет вид t = + x + J(, ), 0 = - x, (21) = 0, (x, y) D, (0, y, t) = (a, y, t) = 0, (x, 0, t) = f(t)1(x), (x, b, t) = f(t)2(x), (x, y, 0) = 0(x, y).

Здесь – отклонение температуры от равновесного профиля, – функция тока, – фильтрационное число Рэлея. Начальное возмущение задавалось гармоническим распределением температуры на горизонтальных границах, 1(x) = 0 sin(0x/a) и 2(x) = b sin(bx/a) – распределения температуры соответственно на нижней и верхней границах, f(t) – заданная функция времени.

Для численного решения системы (21) использовался метод, развитый в [2, 9]. Было рассчитано континуальное семейство стационарных режимов проведена параметризация, так что каждое состояние получило индивидуальный номер – число из интервала s [0, 1]. На конечном промежутке времени задавалось возмущение температурного поля на границе с f(t) = e-t/ (t [0, ], = 1.0) и проводился расчет из начальных данных, соответствующих стационарному режиму с параметром s.

Далее расчет производился с однородными граничными условиями, что соответствует исходной косимметричной постановке задачи. Вычисления продолжались до установления стационарного режима, принадлежащего семейству. Других состояний не было достигнуто. Финальное состояние обозначается далее s, время установления не превышало 3.

Численное интегрирование уравнений (21) с краевыми условиями, зависящими от времени, показало, что различные устойчивые стационарные конвективные движения могут быть достигнуты из данного режима подходящим выбором возмущения температуры на границе. Начальные условия при нулевой амплитуде возмущения отвечали стационарному режиму из семейства.

В ходе эксперимента строилось селективное отображение s(s), устанавливающее соответствие между начальной точкой s и реализующимся стационарным режимом s. Неподвижным точкам этого одномерного отображения отрезка [0, 1] в себя отвечают стационарные режимы из семейства, которые устойчивы к действию возмущенияю На рис. 5 представлены результаты вычислений для различного числа полугармоник. При 0 = 1 из большинства начальных точек, взятых 1 =60 =0=-20 0=-0.8 ooo - 0=1 0.8 ooo - 0=+++ - 0=3 +++ - 0=0.6 0.s s 0.4 0.0.2 0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 s s Рис. 5. Селективное отображение для четного (слева) и нечетного (справа) числа полугармоник на семействе, устанавливается режим с двумя симметричными конвективными валами s = 0 (s = 1). При возмущении с числом полугармоник 0 > 2 эффект смещения от начального состояния выражен слабо.

1 0.8 0.0.6 0.s s 0.4 0.0.2 0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 s s Рис. 6. Селективное отображение для возмущений на верхней и нижней границах; 0 = 2. Слева:

0 = b = -10 (кружки), 0 = -b = -10 (плюсы), Справа: 0 = b = 10 (кружки), 0 = -b = (плюсы) В численном эксперименте обнаружено, что подходящим выбором возмущения можно получить селективное отображение без неподвижных точек, когда из любого равновесия в результате переходного процесса устанавливается состояние, смещенное относительно исходного вдоль кривой семейства. Направление сдвига определяется знаком амплитуды возмущения, причем при уменьшении амплитуды возмущения это явление сохраняется, но снижается относительная величина смещения.

На рис. 6 приведены результаты для совместного действия возмущений на нижней (y = 0) и верхней (y = b) границах. Видно, что комбинации 0b > 0 приводят к сдвигу, в то время как случай 0b < 0 дает селективное отображение с единственной неподвижной точкой.

В § 3.8 проанализирован распад семейства стационарных режимов в плоской задаче конвекции Дарси. Рассмотрена конвекция в прямоугольнике при неравномерном нагреве и при фильтрации жидкости через боковые стенки, проанализировано поведение системы для больших значениях неоднородности краевых условий.

Результаты численного эксперимента для прямоугольника со сторонами a = 2 и b = 1 приведены на рис. 7 (скорость протекания через боковые стенки µ) и рис. 8 (неравномерный подогрев на горизонтальной границе). Для изображения семейства и орбит предельных циклов использованы интегральные числа Нюссельта b a Nuh = x(a/2, y)dy, Nuv = y(x, 0)dx.

0 Nuv =2=Nuv 3--3--5 20 40 0 1000 20Nuh Nuh Рис. 7. Семейство равновесий (пунктир) и предельные циклы при различных скоростях протекания жидкости µ: = 60 (слева) и = 240 (справа) При малой скорости протекания жидкости образующийся предельный цикл располагается вблизи исчезнувшего семейства стационарных решений. С увеличением интенсивности фильтрации орбита предельного цикла удаляется от кривой семейства равновесий. Дальнейшее повышение скорости протекания приводит к быстрому выносу нагретых жидких частиц и подавлению конвективного режима. При возрастании градиента температуры (рост параметра Рэлея ) конвективные движения обладают большей сопротивляемостью по отношению к скорости фильтрации µ. При = 240 с увеличением µ вначале орбита предельного цикла смещается вправо от кривой семейства, затем происходит деформирование периодического режима, и уже потом большая интенсивность фильтрации приводит к подавлению конвекции.

При неравномерном подогреве снизу и отсутствии фильтрации возможны два сценария разрушения семейства: образование изолированных стационарных режимов и формирование предельных циклов. Вычислительный эксперимент проводился для задаваемого гармоническим законом отклонения температуры на нижней кромке прямоугольника (x, 0, t) = sin(x/a). Это позволило рассмотреть случай возмущения равномерного подогрева с нулевым средним. В расчетах менялась интенсивность подогрева (фильтрационное число Рэлея), амплитуда неоднородности число полугармоник .

Nuv Nuv 30 0 -30 --60 -40 60 80 0 3 t Nuh Рис. 8. Семейство равновесий и установление к изолированным стационарным режимам (звезда) при неравномерном подогреве снизу: = 4 (пунктир) и = -4 (штрих-пунктир); = 70, = В зависимости от параметров семейство стационарных режимов распадается на конечное число изолированных стационарных состояний или предельный цикл. При двух гармониках ( = 4) получаются два изолированных стационарных движения, см. рис. 8. Одно из них оказывается устойчивым, а другое – неустойчивым, это зависит от знака амплитуды . На рисунке показаны проекции траекторий, выпущенных их точек, принадлежавших семейству. При малых установление к изолированному стационарному состоянию происходит вдоль бывшего семейства, причем чем меньше возмущение граничной температуры, тем медленнее движение к финальному состоянию.

В § 3.9 приведены результаты исследования плоских движений в кольцевых областях на основе уравнений фильтрационной конвекции в полярных координатах. Изучены особенности формирования конвективных структур в трапециевидных областях, найдены примеры образования семейств стационарных режимов.

В § 3.10 проведено параметрическое исследование областей устойчивости основных стационарных двумерных конвективных движений для контейнера прямоугольного сечения, заполненного вязкой несжимаемой теплопроводной жидкостью (модель Обербека-Буссинеска). Построены карты режимов на плоскости параметров (число Рэлея, длина контейнера), изучены переходы при изменении параметров, вызывающих потерю устойчивости стационарных состояний с числом валов от 1 до 11.

В § 3.11 представлены результаты вычисления конвективных режимов для различных высот слоя чистой жидкости и значений проницаемость пористой среды (чисел Дарси).

Четвертая глава посвящена исследованию математических моделей динамики популяций со свойством косимметрии. Рассмотрены нелинейные параболические уравнения с одной пространственной переменной, в которых имеется неединственность решений в виде семейств равновесий с переменным спектром устойчивости вдоль семейства. На основе специального варианта метода конечных разностей изучены режимы системы, проанализированы сценарии возникновения и развития семейств стационарных режимов (равновесий), а также распад семейств равновесий при возмущении уравнений и краевых условий.

В § 4.1 представлены модели динамики популяций, обладающие свойством косимметрии. Показано, что косимметрия имеется в широком диапазоне изменения параметров. Предложена модель для описания динамики трех пространственно–распределенных популяций с учетом диффузии и нелинейных эффектов миграции = Kw + Mw + F (w, w) (w), (22) w(0, t) = , w(a, t) = , (23) w(x, 0) = w0(x), x [0, a]. (24) Здесь w = (w1, w2, w3) – отклонение плотности распределения популяций относительно средних значений, точка и штрих означают соответственно производные по времени t и пространственной координате x = [0, a], w0(x) – начальное распределение, , – граничные значения плотности w. Матрица диффузионных коэффициентов диагональна: K = diag(k1, k2, k3).

В (22) межвидовое взаимодействие (миграционные потоки) представлено линейным Mw и нелинейным F (w, w) членами, описывающими изменение плотностей распределения особей одного вида под влиянием других. Рассматривается случай, когда на изменение плотности популяции i-го вида влияют линейные потоки остальных видов, причем вторая и третья популяции напрямую не взаимодействуют друг с другом, т.е.

матрица коэффициентов переноса M имеет вид 0 m12 m13 M = m21 0 0, (25) -m31 0 где mi,j, i, j = 1, 2, 3 – вещественные параметры.

Вектор F соответствует нелинейному переносу, который определяется плотностью популяций и их производными:

F (w, w) = - 31k1w1w1, 2k2(w1w2 + 2w2w1), 3k3(w1w3 + 2w3w1).

Показано, что система (22)–(24) при = = 0 и 1 = 2 = обладает косимметрией L1w = AK-11w, A = diag(1, -1, 1). Матрица 1 совпадает с M (25) в случае, если m12 = m21, m13 = m31.

В § 4.2 описан метод прямых для моделирования динамики популяций. Для аппроксимации производных применяются формулы второго порядка точности на трехточечном шаблоне. xj = jh, где j = 0,..., n + 1, h = a/(n + 1). Уравнения аппроксимируются с использованием конечно–разностных операторов второго порядка точности uj+1 - uj-1 2 uj+1 - 2uj + uj-Dj u =, Dj u =.

2h hСохранение свойства косимметрии в дискретных аналогах исходных уравнений обеспечивается специальными разностными формулами, аппроксимирующими нелинейные слагаемые.

2 1 1 1 dj(u, v) = Dj uvj + Dj vuj - Dj (uv).

3 3 Дискретный аналог системы (22)–(24) имеет вид 2 ij = kiDj wij + milDj wlj + Fij, j = 1,..., n, i = 1, 2, 3, (26) wij(0) = wi (xj), wi,0 = i, wi,n+1 = i, F1,j = -3k1dj(w1, w1), F2j = k2[dj(w1, w2) + 2dj(w2, w1)], F3,j = k3[dj(w1, w3) + 2dj(w3, w1)].

В § 4.3 изучено ответвление семейств равновесий и нестационарных режимов для модели трех сосуществующих популяций (22)–(24). Из-за имеющейся в задаче симметрии возникновение ненулевых режимов из неустойчивого нулевого равновесия анализировалось численно при положительных и . При фиксированных значениях коэффициентов диффузии k1 = k3 = 1, k2 = 0.1 и a = 1 вычислены нейтральные кривые, дающие границу области устойчивости нулевого равновесия. При малых значениях имеет место монотонная неустойчивость, а колебательная неустойчивость начинается при достаточно больших , при этом также растут критические значения параметра . При увеличении коэффициента диффузии k2 происходит сдвиг границы колебательной и моно тонной неустойчивости. При значениях параметра 2 k1k3 нулевое равновесие полностью устойчиво. Результаты вычисления ненулевых режимов для различных значений параметров и приведены на рис. 9.

Плоскость параметров разделяется на четыре зоны: область устойчиво3 0 2 Рис. 9. Карта режимов. Нейтральная кривая (пунктирная линия) сти нулевого равновесия помечена цифрой 1, цифрами 2 и 4 обозначены области параметров, при которых обнаружены соответственно семейства стационарных решений и нестационарные режимы. Область 3 отвечает сосуществованию нестационарных режимов и семейств.

В § 4.4 проведено исследование разрушения семейств стационарных распределений популяций вследствие возмущения нелинейность и не сохраняющей свойство косимметрии дискретизации. Показано, что семейство не разрушается при варьировании коэффициентов линейного переноса и разрушается при возмущении численности популяции на границе или при несогласованных нелинейных членах. В результате распада может получиться конечное число стационарных распределений популяций, либо сформироваться волновые движения, отвечающие нестационарному переносу плотности от одной границы ареала к другой. При исследовании разрушения семейства эффективно использование функции косимметрического дефекта S1 (нижняя часть рис. 10). Когда при ccnww1 w 1=0 1=0. 1=0. 1=0.2 x 1=1=0.0.5 0.0.-0.-0.5 -0.x www-1 1 -1 1 -1 S S S x x s s s 0 0.5 0 0.5 0 0.Рис. 10. Предельные циклы (сплошная линия) и изолированные равновесия (квадрат – устойчивое равновесие, крестик – неустойчивое), появившиеся в результате распада семейства стационарных состояний (пунктир); = 15; = 5.5. Снизу: график изменения селективной функции S1 (сплошная линия) при движении вдоль семейства (s – континуальный номер).

распаде семейства образуется предельный цикл, то на графике отсутствуют пересечения с линией S1 = 0. Если для косимметрического дефекта наблюдаются две точки пересечения, то фазовый портрет имеет пару стационарных режимов (квадрат на рис. 10 отвечает устойчивому равновесию, а крестик – неустойчивому).

Получающиеся в результате распада семейства изолированные равновесия близки к кривой семейства, и установление к ним может быть достаточно длительным. Траектории при этом располагаются вблизи кривой семейства.

Заключение (основные полученные результаты) 1. Разработаны схемы смещенных сеток для решения двумерных и трехмерных задач гравитационной конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Развиты специальные способы аппроксимации нелинейных конвективных членов, сохраняющие свойство косимметрии и дискретные симметрии исходных уравнений. Построены дискретизации двумерных задач на регулярных и смещенных сетках с неравномерным расположением узлов по пространственным координатам.

2. На основе развитых методов, сохраняющих свойство косимметрии задачи, получены разностные аналоги уравнений фильтрационной конвекции в полярных координатах. Реализована численная схема для исследования конвекции в двухслойной системе, состоящий и насыщенного жидкостью слоя пористого материала и слоя свободной жидкости.

3. Проведено параметрическое исследование семейств стационарных движений теплопроводной жидкости в прямоугольнике, заполненном пористой средой, при линейном распределении температуры по высоте. Найдены критические значения фильтрационного числа Рэлея, при которых на первичном семействе возникает неустойчивость в результате второго перехода, изучен характер неустойчивости и найдено число теряющих устойчивость стационарных движений.

4. Разработан спектрально–разностный метод решения плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Построены аппроксимации нелинейных слагаемых, обеспечивающие сохранение в дискретной системе свойства косимметрии, имеющегося для исходной задачи. Реализованы алгоритмы и программы вычисления однопараметрических семейств стационарных решений в компьютерном эксперименте.

5. Проанализировано столкновение семейств стационарных режимов для плоской задачи фильтрационной конвекции. Численно исследован сценарий перезамыкания ветвей сталкивающихся семейств и образования новых семейств, состоящих из устойчивых и неустойчивых стационарных режимов.

6. Для плоской задачи фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, насыщающей пористый массив прямоугольного сечения, исследованы сценарии развития непрерывных семейств стационарных режимов, ответвляющихся от механического равновесия. Рассмотрена конвекция двух- и трехкомпонентной жидкости, проанализированы одно- и разнонаправленные вертикальные градиенты температуры и концентраций. Найден новый сценарий образования непрерывного семейства стационарных решений в задаче фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, реализующийся в случае колебательной неустойчивости механического равновесия.

7. Для задачи фильтрационной конвекции в параллелепипеде проанализировано ответвление стационарных режимов от состояния механического равновесия. Изучено формирование конвективных движений для параллелепипеда с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейного распределения температуры по высоте для других граней. Найдены условия на геометрические параметры, при которых возникают устойчивые непрерывные семейства стационарных движений. В численном эксперименте с применением метода сеток исследована устойчивость режимов семейства к трехмерным возмущениям.

8. Развитая методика вычислительного эксперимента для косимметричных систем применена к исследованию математических моделей динамики популяций. Изучены режимы модели популяционной кинетики с косимметрией и исследовано развитие ответвляющихся семейств стационарных режимов и нестационарных режимов. Для интенсивностей миграции получена область значений параметров, при которых в системе имеется сосуществование континуальных семейств стационарных режимов и предельных циклов.

В Приложении описан комплекс программ, разработанных под руководством В.Г. Цибулина для проведения вычислительных экспериментов с рассматриваемыми моделями конвекции и динамики популяций, Сведения об их регистрации даны в диссертации. Комплекс программ ConPorMed-2d состоит из двух программ на языке MATLAB и предназначен для проведения компьютерного моделирования плоских конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой области. Программы комплекса Darcy-FD позволяют проводить анализ двумерных и трехмерных конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде с учетом сильной неединственности решений. Программа DiffMultiFluid-3D предназначена для проведения компьютерного моделирования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде.

Комплекс программ DyPoMC предназначен для исследования динамики популяционных моделей с косимметрией и проведения расчетов различных режимов в системах дифференциальных уравнений в частных производных.

Список основных публикаций автора по теме диссертации Статьи в журналахиз Перечня ВАК МО РФ:

1. Tsybulin V.G., Yudovich V.I. Invariant sets and attractors of quadratic mapping of plane: computer experiment and analytical treatment // Int. J. Difference Equations and Applications. 1998. Vol. 4. P. 397–423.

2. Karaszen B., Tsybulin V.G. Finite-difference approximation and cosymmetry conservation in filtration convection problem // Physics Letters A. 1999. Vol. 262.

P. 321–329.

3. Govorukhin V.N., Tsybulin V.G., Karaszen B. Dynamics of Numerical Methods for Cosymmetric Ordinary Differential Equations // Internat. J. Bifur. Chaos Appl.

Sci. Engrg. 2001. Vol. 11. № 9. P. 2339–2357.

4. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Спектрально-разностный метод расчета конвективных движений жидкости в пористой среде и сохранение косимметрии // Ж.

вычисл. матем. и матем. физ., Т. 42, № 6. 2002. С. 913–923.

5. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Расчет семейств стационарных режимов фильтрационной конвекции в узком контейнере // ПМТФ, 2003. T. 44, N. 2. С. 92–100.

6. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Computation of a family of non-cosymmetrical equilibria in a system of nonlinear parabolic equations // Computing, Suppl. 16, Springer, Vienna. 2003. P. 67–82.

7. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Численное исследование плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ. 2004.

№ 3. С. 123–134.

8. Karaszen B., Tsybulin V.G. Cosymmetric families of steady states in Darcy convection and their collision // Physics Letters A. 2004. Vol. 323. p. 67–76.

9. Karaszen B., Tsybulin V.G. Mimetic discretization of two-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm., 2005. Vol. 167. P. 203–213.

10. Karaszen B., Tsybulin V.G. Cosymmetry preserving finite–difference methods for convection equations in a porous medium // Appl. Num. Math., 2005. Vol. 55.

P. 69–82.

11. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Families of equilibria and dynamics in a population kinetics model with cosymmetry // Physics Letters A. 2005. Vol. 338. P. 51–59.

12. Tsybulin V.G., Karasozen B., Ergench T. Selection of steady states in planar Darcy convection // Physics Letters A. 2006. Vol. 356. P. 189–194.

13. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численное исследование первого перехода в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 4.

С. 144–150.

14. Ковалева Е.С., Цибулин В.Г., Фришмут К. Динамика модели популяционной кинетики с косимметрией // Математ. моделирование, 2008. Т. 20. № 2, C. 85–92.

15. Karaszen B., Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Staggered grids discretization in threedimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm. 2008. Vol. 170. P. 885–893.

16. Tsybulin V.G., Karaszen B. Destruction of the family of steady states in the planar problem of Darcy convection // Physics Letters A. 2008. Vol. 372. P. 5639 5643.

17. Ковалева Е.С., Цибулин В.Г., Фришмут К. Семейство стационарных режимов в модели динамики популяций // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12.

№ 1 (37), C. 98–108.

18. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численный метод исследования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Вестник ЮНЦ РАН. 2009. Т. 5, № 4. C. 23–26.

19. Трофимова А.В., Цибулин В.Г. Расчет конвективных режимов в пористой трапециевидной области // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. Науки. Спецвыпуск. 2009.

C. 211–215.

Публикации в сборниках, трудах конференций и др.:

20. Цибулин В.Г. Реализация разностной схемы суверенных скоростей для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости // Тр. II конф. Современ. проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону, 1996. C. 144–148.

21. Цибулин В.Г. О конечно-разностной аппроксимации задач механики сплошной среды на основе схемы суверенных скоростей // Современ. проблемы математического моделирования, VII Всерос. шк.-семинар. Дюрсо, 1997. C. 148–152.

22. Karaszen B., Tsybulin V.G. Finite-Difference Approximations for Cosymmetry Preservation in a Filtration Convection Problem // Proc. Equadiff 99 World Sci, Pub. Co. 2000. Vol. 2. P. 221–223.

23. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Спектрально-разностный метод расчета плоской задачи фильтрационной конвекции в пористой среде // Труды 9 Всеросс.

Шк.-сем. Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Изд-во РГУ, Ростов-на-Дону, 2000, с. 93–100.

24. Tsybulin V.G. Preservation of cosymmetry by finite-difference approximations for filtration convection problems // Int. Colloquium on the Applic. of Mathematics.

Hamburg. 2000. P. 40–41.

25. Цибулин В.Г. Расчет семейств стационарных режимов в задаче фильтрационной конвекции Дарси // Аннот. докл. VIII Всерос. съезд по теорет. и прикл.

механике, Пермь, 2001. Екатеринбург: УРО РАН, 2001. С. 590.

26. Цибулин В.Г. Разностные аппроксимации и сохранение косимметрии // Тр. VI конф. Современ. проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону, 2001.

C. 102–106.

27. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Расчет семейств стационарных режимов фильтрационной конвекции Дарси в узком контейнере // Деп. ВИНИТИ, N 2625-В2001, 2001, 24 с.

28. Karaszen B., Tsybulin V.G. Conservative Finite Difference Schemes for Cosymmetric Systems // Proc. 4th Conf. on Computer Algebra in Scientific Computing, Springer-Verlag, 2001. P. 363–375.

29. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Filtration-convection problem: spectral-difference method and preservation of cosymmetry // ICCS 2002, LNCS 2330, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. P. 432–441.

30. Соболев С.О., Цибулин В.Г. Расчет конвективных движений жидкости и переходов в прямоугольном контейнере при подогреве снизу // Деп. ВИНИТИ.

2002. 24 с.

31. Tsybulin V.G. Cosymmetry Preserving Discretization and Multiple Convective Regimes // Patterns and Waves. Saint Petersburg. 2003. 42–54.

32. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Численное исследование конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Деп. ВИНИТИ, № 6-В2003, 2003, 18 с.

33. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Численное исследование плоской задачи фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости // Современные проблемы тепловой конвекции, Пермь, 2003. С. 123.

34. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Конвекция многокомпонентной жид-кости в пористой среде и вычисление семейств стационарных режимов // Proc. Fluxes and Structures in Fluids – 2003. IPM RAS. 2004. С. 228–233.

35. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Convection of multi-component fluid in porous medium and computation of the families of steady states // Abstracts Internat.

Conf. on Fluxes and structures in fluids. 2003. P. 82.

36. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Computer modelling of convective flows in porous medium // IV Internat. Conf. Tools for mathematical modelling. 2003. P. 81.

37. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Cosymmetry preservation and families of equilibria // Computer Algebra in Scientific Computing. Proc 7th workshop CASC, St.

Petersburg, July 12-19, 2004. Technische University Muenchen. 2004. P. 163–172.

38. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Вычисление стационарных решений трехмерной задачи фильтрационной конвекции // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Тр. III Школы-семинара, Ростов-на-Дону, Изд-во ЦВВР, 2004. C. 110–112.

39. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Numerical Study of Convection of Multi-Component Fluid in Porous Medium // Proc. ENUMATH 2003. Springer-Verlag. 2004. P. 531– 538.

40. Цибулин В.Г. Переходы и селекция режимов в плоской задаче конвекции Дарси // Тр. XI Всерос. шк.-сем. Современные проблемы математ. моделирования.

РГУ. Ростов-на-Дону. 2005. C. 392–398.

41. Цибулин В.Г. Метод сеток для расчета фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости // Труды X междунар. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону. 2006. Т. 1. С. 271–275.

42. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Семейство стационарных режимов в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Тез. III Всерос. конф. Актуальные проблемы прикладной математики и механики". Екатеринбург. УрО РАН. 2006.

C. 84–86.

43. Цибулин В.Г. Разрушение косимметричного семейства равновесий в задаче фильтрационной конвекции // Тр. XI междунар. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону. 2007. Т. 1. С. 398–402.

44. Ковалева Е.С., Цибулин В.Г. Разрушение косимметричного семейства равновесий в задаче популяционной кинетики // Тр. 12 Всеросс. Шк.-сем. Современные проблемы математического моделирования", Изд-во ЮФУ, Ростов-наДону. 2007. С. 108–114.

45. Karaszen B., Tsybulin V.G. Selection on the family of steady states in Darcy convection // CFM-07. Congres Francais de Mecanique, Grenoble. 2007. 6 p.

46. Karaszen B., Tsybulin V.G. Selection of steady states in planar Darcy convection // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030405–1030406.

47. Kovaleva E.S., Tsybulin V.G., Frischmuth K. Dynamics of nonlinear parabolic equations with co-symmetry // Proc. 10th Conf. on Computer Algebra in Scientific Computing, Springer-Verlag, 2007. P. 265–274.

48. Kovaleva E.S., Tsybulin V.G., Frischmuth K. Dynamics and family of equilibria in a population kinetics model with cosymmetry // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech.

2007. Vol. 7. P. 1030401–1030402.

49. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karaszen B. Cosymmetric families of steady states in 3D convection of incompressible fluid in a porous medium // PAMM. Proc. Appl.

Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030407–1030408.

50. Трофимова А.В., Цибулин В.Г. Расчет нестационарной конвекции в пористой кольцевой области // Тр. XII междунар. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону. 2008. Т. 2. С. 188–192.

51. Цибулин В.Г., Шевченко С.В. Исследование конвекции в двухслойной системе в прямоугольнике // Тр. XII междунар. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону. 2008. Т. 1. С. 213–217.

52. Цибулин В.Г. Конвекция в пористой среде и разностные аппроксимации // Тр.

VII шк.-сем. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Ростов-на-Дону. ЮФУ. 2009. С. 54–66.

53. Ковалева Е.С., Цибулин В.Г. Комплекс программ для исследования динамики популяционных моделей с косимметрией // Тез. IV Всеросс. конф. Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB. Астрахань. 2009.

C. 336–337.

54. Трофимова А.В., Цибулин В.Г. Расчет семейства конвективных движений в кольцевом пористом секторе // Тр. XIII междунар. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону. 2009. Т. 1. С. 204–208.

55. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karaszen B. A Mimetic Finite-Difference Scheme for Convection of Multicomponent Fluid in a Porous Medium // CASC 2009, LNCS 5743. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. P. 322–333.

56. Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Computer experiment on convection of multicomponent fluid in a porous medium // Book of Abstracts of XXXVII Summer School Advanced Problems in Mechanics APM’2009. Saint-Petersburg.

2009. P. 65–66.

57. Цибулин В.Г. Разностные схемы, наследующие свойства уравнений фильтрационной конвекции // Тр. XIV междунар. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону. 2010. Т. 1. С. 334–338.

58. Цибулин В.Г. Применение MATLAB для анализа нелинейной динамики // Тр.

конф. Математический анализ и математическоое моделирование. Владикавказ. 2010. С. 63–68.

Личный вклад автора в основных работах, опубликованных в соавторстве:

[1] – разработка программного обеспечения для исследования итераций отображений, проведение вычислительных экспериментов; [2, 8– 10, 12, 16, 28] – постановка задачи, разработка численных схем конечных разностей, сохраняющих косимметрию, проведение компьютерного исследования; [3] – постановка задачи, исследование динамики отображений, анализ результатов; [4, 5, 7, 13, 18, 19] – постановка задачи, разработка спектрально-разностного метода и схемы смещенных сеток, анализ результатов; [15, 55] – постановка задачи, разработка схем смещенных сеток для трехмерных задач фильтрационной конвекции, анализ результатов; [6, 11, 14, 17] – постановка задачи, разработка численных схем конечных разностей, сохраняющих косимметрию, проведение компьютерного исследования.

Сдано в набор 28.09.10 г. Подписано в печать 7.12.10 г. Заказ № 209.

Тираж 100 экз. Формат 60 84 1/16 Печ. Лист 1,94. Усл.печ.л. 1,80.

Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел. (863) 243-41-66.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.