WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

На правах рукописи

Золотова Татьяна Валерьяновна

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

Специальность 05.13.17 – теоретические основы информатики

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Москва 2010

Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном

техническом университете

Научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор

Горелик Виктор Александрович

Официальные оппоненты:

Член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Рудаков Константин Владимирович

Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Жуковский Владислав Иосифович

доктор физико-математических наук

Макеев Сергей Петрович

Ведущая организация

Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН

Защита диссертации состоится «____» ____________ 2010 г. в ______ часов на заседании диссертационного совета Д002.017.02 в Учреждении Российской академии наук Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119 333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан «____» ____________ 2010 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д002.017.02,

доктор физико-математических наук, профессор                        В.В. Рязанов

Актуальность темы. Проблема устойчивого развития общества требует определения приоритетов государственной политики в области безопасности и принятия на всех уровнях руководства обоснованных и рациональных решений по управлению различными сложными системами. Современные процессы управления протекают в условиях, когда выбор альтернативы требует анализа сложной информации различной природы. Поэтому особое значение приобретают научные знания о процессах обработки информации и общих принципах принятия решений в условиях неполной информации, развитие которых составляет предмет теоретических основ информатики.

При моделировании процессов управления в сложных системах неизбежно возникает вопрос о соотношении эффективности и устойчивости их функционирования. В теории управления существуют различные понятия устойчивости или гомеостазиса системы. Представляется интересной научной задачей развитие концептуального подхода к формализации и решению проблемы устойчивости сложных систем и процессов на основе понятия риска, что требует введения оценок системного и коллективного риска.

В настоящее время в отношении понятия «риск» не сложилось однозначного толкования. Риск в широком смысле – это непредсказуемость состояния системы или течения процесса как результат неполноты информации. Как правило, под ситуацией риска понимается функционирование системы в условиях случайного воздействия. В данной работе это понятие используется более широко, а именно как неизбежная неоднозначность результата при принятии решений в условиях неполной информации различной природы (случайного или неопределенного воздействия внешней среды, внутрисистемной неопределенности, связанной с децентрализацией управления, неточности исходных данных). При этом под обеспечением устойчивости системы подразумевается достижение достаточно низкого уровня риска, оцениваемого величиной возможных потерь, связанных с принятием решений в условиях неполной информации.

В последнее время появилось много работ, использующих понятие «управление риском», но в основном они относятся к финансово-экономической сфере деятельности. Концептуальных общих моделей управления риском до сих пор не было разработано. В связи с этим поясним, что мы понимаем под управлением риском и общей моделью управления риском. Под управлением риском понимается управление системой или процессом, непременным атрибутом которого являются процедуры учета и оценки факторов риска в целях максимального снижения неопределенности при принятии решений и обеспечения устойчивости (или безопасности функционирования) системы. Под общей моделью управления риском, естественно, понимается не общая модель управления вообще, а ее конкретизация применительно к задачам управления риском.

Ситуация риска связана с возможностью возникновения некоторых событий, которые нарушают текущее состояние системы или естественное (прогнозируемое) течение процесса. Поэтому проблему управления риском целесообразно рассматривать в двух вариантах: при «естественном» ходе процессов и при нарушении существующих тенденций. Соответственно, общая модель управления риском состоит из двух подмоделей: модель функционирования системы при прогнозируемых значениях внешних факторов (плановый сценарий) и модель функционирования системы при отклонении от прогноза.

Проблема оценки и управления риском в общем виде есть комплексная проблема теоретических основ информатики, которая относится к таким научным направлениям исследований, как разработка и анализ моделей информационных процессов, разработка и исследование моделей и алгоритмов анализа и прогнозирования данных, разработка методов распознавания объектов и ситуаций.

Некоторые вопросы совместного управления эффективностью и риском рассматривались рядом исследователей, но математические модели были построены в основном для конкретных задач фондового инвестирования в стохастических условиях. В таких задачах эффективность (доходность) является случайной величиной, а степень риска определяется исследователями по-разному. В задаче Г. Марковица риск задается в метрике l22 как дисперсия доходности портфеля ценных бумаг. У. Шарп, Г. Александер при управлении портфелем использовали риск в метрике l2 как среднее квадратическое отклонение (СКО). Г. Конно и Г. Ямазаки оценивали риск в метрике l1.

При управлении в условиях неопределенности риск рассматривается как возможная опасность потерь, связанная с любым внешним воздействием. При этом используется информация только о множестве возможных состояний внешней среды. Выбор альтернативы на основе какого-то одного из используемых в данном случае классических критериев (Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа) не всегда в полной мере отражает часто противоречащие друг другу предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Значит, одной из актуальных задач принятия решений в условиях неопределенности является определение других критериев оптимальности, в которых учитывались бы противоречивые предпочтения ЛПР.

В иерархических системах управления эффективность функционирования определяется согласованностью интересов всех ее элементов. Большой вклад в решение задач управления в иерархических структурах в рамках информационной теории иерархических систем внесли Н.Н. Моисеев, Ю.Б. Гермейер, В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко, а в рамках теории активных систем – В.Н. Бурков, Д.А. Новиков и их сотрудники. При этом вопросы устойчивости (или гомеостазиса) иерархических систем, связанные с возможной несогласованностью действий подсистем в условиях децентрализованного управления, требуют дополнительного исследования. Их интерпретация в терминах риска позволяет рассматривать задачи управления иерархическими системами в рамках общей модели управления риском.

Исследование устойчивости и эффективности различных процессов и систем связано не только с видом математической модели управления, но и с точностью и непротиворечивостью исходных данных моделей. В связи с этим можно выделить направление исследования несобственных оптимизационных задач (с несовместными системами ограничений), основанное на идеях минимальной коррекции параметров модели. Основные результаты этих исследований отражены в работах И.И. Еремина, А.А. Ватолина, В.А. Горелика, Л.Д. Попова и других авторов. При этом задачи со связанными корректируемыми параметрами не рассматривались. Однако существует ряд содержательных прикладных задач, в которых коррекция одних параметров оказывает влияние на значения других параметров. Игнорирование этого влияния при коррекции каких-то одних параметров может привести к ухудшению свойств и степени адекватности скорректированной модели, а значит, и результатов управления эффективностью и риском с использованием таких моделей.

При решении задач учета и классификации рисков вне зависимости от их характера (экономические, экологические, техногенные и т. д.), представляется целесообразным использование методов распознавания объектов и ситуаций. Большой вклад в разработку и исследование математических методов теории распознавания образов внесли Ю.И. Журавлев, В.Л. Матросов, К.В. Рудаков, В.В. Рязанов и другие видные ученые. В работе данный математический аппарат используется при классификации и прогнозировании рисков.

Актуальной задачей в последнее время является задача снижения не только экономических, но и экологических рисков. Совместное рассмотрение вопросов управления эффективностью и риском в различных сложных эколого-экономических системах и процессах приводит в свою очередь к необходимости разработки новых математических подходов для нахождения механизмов управления в условиях неполной информации, приводящих к устойчивым состояниям системы и обеспечивающих при этом наибольшую возможную эффективность. Большой вклад в разработку моделей экономических систем и имитацию экономических процессов внесли А.А. Петров, Ю.Н. Павловский, И.Г. Поспелов и другие. Следует отметить, что в данной работе акцент сделан на моделировании не самих процессов функционирования, а механизмов управления эколого-экономическими системами с учетом риска.

Таким образом, актуальной проблемой теоретической информатики, имеющей важное научное и хозяйственное значение, является разработка математической теории, описывающей широкий класс процессов управления риском и включающей общие модели оценки и управления риском и методы решения комплекса математических задач нахождения оптимальных решений с точки зрения эффективности и риска функционирования сложных систем в условиях неполной информации. Этой проблеме и посвящено настоящее исследование.

Целью работы является создание математических основ научного направления теоретической информатики – управления риском, а именно, формализация и структуризация задач управления риском, разработка методов их решения и применение разработанных методов к построению механизмов управления эколого-экономическими системами.

Объектом исследования являются математические модели информационных процессов, методы и алгоритмы анализа и прогнозирования данных как основа принятия решений в условиях неполной информации.

Предмет исследования – разработка методов управления риском, связанным со случайным или неопределенным воздействием внешней среды, возможным внутрисистемным нарушением гомеостазиса, вызванным децентрализацией управления, неточностью или противоречивостью исходных данных.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, математического программирования, прогнозирования и распознавания, теории иерархических систем, компьютерной обработки данных.

Для реализации поставленной цели решались следующие задачи:

- определение критериев оптимальности на основе свертки критериев эффективности и риска в стохастических процессах;

- применение предложенных критериев оптимальности к задачам принятия решений для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов;

- разработка и исследование свойств комбинированных критериев оптимальности в условиях неопределенности на основе свертки критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа;

- определение необходимых и достаточных условий оптимальности управления в иерархических системах с учетом требования гомеостазиса системы;

- доказательство идеальной согласованности интересов уровней иерархии при различных механизмах управления центра для региональной и корпоративной моделей управления;

- исследование вопросов одновременной передачи различных видов информации центром в иерархических системах и доказательство существования регулируемого равновесия и идеальной согласованности интересов верхнего и нижнего уровня для территориальной корпоративной модели, включающей параметры воздействия на окружающую среду;

- исследование проблем связанной коррекции для несобственных моделей систем и применение полученных методов коррекции данных к эколого-экономическим системам.

Научная новизна и теоретическая значимость. В работе представлен новый единый подход к решению проблемы устойчивости и эффективности функционирования сложных систем и процессов в условиях неполной информации с использованием процедур управления риском. Предложены и исследованы конкретные механизмы управления на основе соизмерения оценок эффективности и риска в эколого-экономических системах.

В числе наиболее важных теоретических результатов, характеризующих новизну работы, назовем следующие:

- Предложен общий подход к управлению риском в условиях случайного воздействия внешней среды на основе свертки критериев эффективности и риска с использованием функций риска в различных метриках. Обосновано применение конкретной свертки критериев эффективности и риска и функции риска в задачах принятия решений для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов. Доказано, что каждую задачу управления риском в условиях случайного воздействия можно свести к определенному классу задач математического программирования. Сформулированы динамические задачи управления риском с непрерывным и дискретным временем. Для непрерывной динамической задачи доказано существование оптимального управления и получены необходимые условия оптимальности.

- Для коррелированных стохастических процессов введены оценки системного и коллективного риска с использованием коэффициентов корреляции (на примере инвестиционных портфелей). Доказано, что оптимальные решения приводят к положительному значению ковариации портфелей и, как следствие, к возможному нарушению устойчивости системы. Предложена оценка устойчивости системы как мера разнообразия поведения инвесторов с использованием понятия энтропии.

- Для управления риском в условиях неопределенности разработаны новые комбинированные критерии оптимальности на основе свертки критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, соизмеряющие оценки эффективности и риска. Доказано, что каждая задача управления риском в условиях неопределенности при использовании комбинированных критериев сводится к определенному классу задач математического программирования. Исследованы свойства предложенных критериев оптимальности и показано, что для них выполняется большинство основных свойств классических критериев.

- В сложных системах, имеющих иерархическую структуру, риск определяется как отсутствие согласованности интересов элементов иерархической системы, приводящее к снижению эффективности для центра и возможно к нарушению глобальных ограничений и потере гомеостазиса системы. Впервые получены не только необходимые, но и достаточные условия оптимальности управления центра, обеспечивающего общее условие устойчивости и эффективности функционирования иерархической системы.

- Для региональных и корпоративных иерархических моделей эколого-экономических систем с помощью полученных условий оптимальности доказана идеальная согласованность интересов уровней иерархии при предлагаемых механизмах управления, в которых центр может назначать цены на продукцию и ресурсы, величины штрафов и квот, регулировать объемы финансовых средств.

- Предложены новые модели информационного регулирования, включающие одновременную передачу центром элементам нижнего уровня информации, носящей как неопределенный, так и случайный характер. Доказано существование регулируемого равновесия на нижнем уровне для территориальной корпоративной иерархической модели в случае воздействия элементов нижнего уровня на окружающую среду и исследованы его свойства. Построен механизм информационного регулирования, обеспечивающий идеальную согласованность интересов уровней системы.

- Предложена новая отраслевая корпоративная модель планирования производственной деятельности, включающая ограничения по дефицитным и природным ресурсам и уровню загрязнения природной среды. Доказана возможность согласования интересов уровней иерархической системы с помощью предлагаемых механизмов расчетных цен, тарифов, квот по уровню загрязнения природной среды и штрафов за их превышение.

- Введен новый класс задач связанной коррекции несобственных линейных моделей управления, в которых данные могут быть заданы неточно или параметры требуют целенаправленного изменения вследствие неустойчивости или неэффективности системы. Разработан метод сведения поставленных задач коррекции данных по минимуму нормы l∞ к задаче линейного программирования или последовательности задач линейного программирования.

Практическая значимость. Предложенные методы управления риском для решения вопросов устойчивости и эффективности могут быть использованы в широком классе эколого-экономических систем. Новые подходы к принятию решений с точки зрения эффективности и риска позволяют адекватно описывать реальные процессы функционирования различных систем с учетом требований безопасности, а также определять оптимальные решения в сфере управления в различных видах человеческой деятельности. Разработанные методы и алгоритмы позволяют решать реальные прикладные задачи, что подтверждается конкретными примерами и вычислительными экспериментами, содержащимися в приложениях.

результаты диссертационного исследования использованы при оценке эффективности и риска в принятии инвестиционных решений Акционерным коммерческим банком «Межрегиональный инвестиционный банк», при формировании бизнес-плана на 5-летний период «РН-Комсомольский НПЗ», при проектировании узлов связи Интернет ЗАО «Технодизайн», что подтверждается справками о внедрении.

Математические модели и методы, разработанные в диссертации, используются в учебном процессе на факультете компьютерных технологий КнАГТУ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Теория игр и исследование операций», спецкурса «Математическое обеспечение фондового рынка», что подтверждается актом о внедрении.

Основные положения, выносимые на защиту:

- предлагаемая общая модель управления риском, включающая подмодели оценки эффективности системы и оценки риска ее функционирования, может служить теоретической основой процедур управления сложными системами в условиях неполной информации и быть конкретизирована применительно к различным классам систем, функционирующих в условиях случайного или неопределенного воздействия внешней среды и децентрализованных схем управления;

- проведенная классификация стохастических процессов в подсистемах сложных систем на коррелированные и некоррелированные является основой выбора метрик для функций риска и вида сверток критериев эффективности и риска, что, в свою очередь, определяет типы возникающих математических задач и методы их решения;

- задачи управления риском в условиях неопределенности следует решать на основе сверток классических критериев оптимальности Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, так как получающиеся комбинированные критерии оптимальности более полно отражают сочетание требований эффективности и риска и при этом выполняется большинство важнейших свойств классических критериев;

- для основных типов региональных и корпоративных иерархических моделей эколого-экономических систем использование предлагаемых механизмов управления обеспечивает максимальную эффективность функционирования системы при выполнении требования гомеостазиса, т. е. позволяет нейтрализовать риск, связанный с частичной децентрализацией управления;

- условие гомеостазиса системы может приводить к несобственным моделям управления, требующим решения задач минимальной связанной коррекции данных моделей, которые в свою очередь при использовании нормы l∞ сводятся к задаче линейного программирования или к последовательности задач линейного программирования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 3-й Международной научно-практической конференции «Составляющие научно-технического прогресса» (Тамбов, апрель, 2007); на Международной научно-практической конференции в области экологии и безопасности жизнедеятельности «Дальневосточная весна 2007» (Комсомольск-на-Амуре, июнь, 2007); на 8-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Москва, октябрь, 2007); на 3-м Международном форуме (8-й Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, ноябрь, 2007); Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, май, 2008); на 7-й Международной конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, июнь, 2008); на Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, февраль, 2009); на региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы математики, физики, информатики в вузе и школе» (Комсомольск-на-Амуре, март, 2009); 3-й международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем» (Москва, октябрь 2009); на Международной научно-практической конференции «Теория активных систем» (Москва, ноябрь 2009); на научном семинаре в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, на научном семинаре в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН, на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 32 печатных работах: в научной монографии [1], в научных статьях [2-20], из них 11 опубликовано в журналах, рекомендованных ВАК РФ [2-12], в материалах научных конференций [21-32].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 171 источник, четырех приложений. Общий объем диссертации составляет 330 страниц, в том числе основного текста работы - 258 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится анализ подходов к исследованию задач оценки эффективности и риска, обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, формулируются математические задачи, которые необходимо было решить для реализации поставленной цели, указывается методологическая основа исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, выдвигаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Модели управления риском в условиях случайного воздействия внешней среды» (1.1 – 1.4) посвящена описанию общей модели управления риском и задачам управления при воздействии на систему случайных внешних факторов с заданными законами распределения (далее для краткости будем использовать термин «в условиях стохастики»).

Предлагается общая модель управления риском, которая задается оператором

,                                        (1)

определяющим принцип (или критерий) оптимальности управления на основе соизмерения оценок эффективности и риска, являющихся выходами подмодели оценки эффективности F(x,u,y,I) и подмодели оценки риска G(x,u,y,I). Оператор Ψ отображает совокупность выходов подмоделей оценок эффективности и риска во множество UI0, определяемое как множество оптимальных управлений.

В (1) x, u, y - переменные в моделях F(·) и G(·), x - состояние системы или процесса в некотором фазовом пространстве, u - управление, y - неконтролируемые факторы, влияющие на функционирование системы. Исходные данные моделей определяются информационной компонентой I, включающей описание вида неконтролируемых факторов и информированности управляющего органа системы (законы распределения случайных параметров, область значений неопределенных факторов, схемы передачи информации в системе, процедуры обработки информации).

Переменные x, y, u моделей F(·) и G(·) являются, в общем случае, взаимосвязанными величинами. На выбор управления u оказывает влияние состояние x, в котором находится система, а также внешние факторы y, для описания которых используется информационная компонента I. Управление u(x, y) для любых значений x и y должно удовлетворять ограничению u(x, y)∈U. При этом закон управления u(·, ·) принадлежит некоторому классу функций UI, определяемому согласно имеющейся информации: u(·, ·)∈UI. Состояние x системы, в свою очередь, определяется выбираемым управлением и зависит от воздействия на систему внешних факторов, т. е. является некоторой функцией управления и значений внешних факторов: x=φ(u, y).

Заметим, что в статических моделях нет смысла разделять параметры на фазовые переменные и управления, поэтому в статическом случае управление (или стратегию) будем обозначать, как правило, переменной x.

Если внешние факторы y носят случайный характер и имеется статистическая информация об их значениях, то информационная компонента I включает описание закона распределения случайной величины. Если внешние факторы y неопределенные и информация о них представляет собой только описание области возможных значений Y, то информационная компонента включает условие вида y∈Y. Возможно сочетание случайных и неопределенных факторов, в том числе неточного знания закона распределения, параметры которого при этом оказываются неопределенными факторами. Если в системе осуществляется обмен информацией между подсистемами, для каждой из которых переданная информация является внешним фактором, то информационная компонента включает схемы передачи и содержание информации для каждой подсистемы. При этом схема управления может носить децентрализованный характер, а управление подсистем представлять собой функции от управлений других элементов системы, определяемые поступающей к ним информацией. Если для принятия решения в системе требуется определение или уточнение значений некоторых параметров модели управления, то к информационной компоненте относятся процедуры получения и обработки информации и, возможно, коррекции параметров.

Пусть дана оценка значения внешнего фактора согласно имеющейся информации (прогноз, математическое ожидание и т. п.). Тогда оценку эффективности (выход модели F(x,u,y,I)) при плановом варианте функционирования системы (базовый сценарий, среднее значение, текущее состояние и т. д.) можно представить в виде

∀u, где x=φ(u,).                                (2)

Модель оценки риска функционирования системы G(x,u,y,I) включает определение области гомеостазиса системы Х, процесса функционирования системы при любых значениях неконтролируемых факторов и множества допустимых управлений Du, обеспечивающих условие гомеостазиса. Например, в случае воздействия на систему неопределенных неконтролируемых факторов y∈Y множество Du имеет вид

Du={u(·, ·)∈UI | u(x, y)∈U, x=φ(u, y)∈X  ∀y∈Y}.

Введем также в рассмотрение величину потерь WI(u, y) как результат воздействия неконтролируемых факторов y и оценку потерь в сравнении с плановым вариантом функционирования системы при имеющейся информации о неконтролируемых факторах (вероятности внешних воздействий, пессимистические, оптимистические сценарии и т. д.)

∀u        .                                        (3)

Оценка риска (выход модели G(x,u,y,I)) включает множество допустимых управлений Du, оценку потерь (3) и может определяться выходом модели оценки эффективности F(x,u,y,I).

Тогда оператор конкретизируется как отображение совокупности в подмножество оптимальных управлений UI0 множества допустимых управлений:

:→UI0.                        (4)

Отметим, что отображение может зависеть только от части совокупности , а некоторые из компонент этой совокупности могут быть константами (не зависеть от u).

Модель (4) конкретизируется для систем, функционирующих в условиях случайного или неопределенного воздействия внешней среды, внутрисистемной неопределенности, связанной с различной информированностью подсистем в условиях децентрализованного управления, неточности исходных данных.

Математические модели индивидуального риска в различных сферах деятельности представлены в работах многих авторов. В то же время отсутствуют сколь либо общие математические методы исследования системного и коллективного риска. Поэтому основной акцент нашего исследования задач управления риском сделан на оценках системного и коллективного риска. При этом под системным риском будем понимать оценку риска системы в целом на основе оценок риска ее подсистем, а под коллективным риском – оценку риска системы на основе принципов индивидуального поведения подсистем в условиях риска.

Далее в данной главе внешние факторы y считаются случайными величинами, информационная компонента I представляет собой описание их законов распределения. Модель F(·) задает оценку эффективности системы как вектор математических ожиданий критериев эффективности подсистем или значений этих критериев эффективности при среднем значении неконтролируемых факторов (в линейном случае это одно и то же). Модель G(·) определяет величину потерь WI(u, y) как множество значений отклонения эффективности системы от ее математического ожидания при всевозможных значениях y (отличных, вообще говоря, от ) и в соответствии с вероятностной мерой некоторую оценку риска (например, дисперсию).

Если оценка риска присутствует в ограничениях, то область гомеостазиса представляет собой множество состояний системы, для которых возможные потери не превосходят в среднем некоторого заданного значения или вероятность того, что возможные потери превосходят заданное значение, меньше заданной малой величины. Множество Du в этом случае представляет собой множество таких управлений из U, для которых мера риска не превосходят некоторого значения (в данном случае устойчивость системы понимается в вероятностном смысле). Если в задаче не накладываются ограничения на значения риска, то оценка риска понимается как мера устойчивости системы с «размытой» областью гомеостазиса. Принцип оптимальности Ψ предполагает оптимизацию различных сверток оценок эффективности и риска на множестве допустимых управлений, т. е. отображает оценки эффективности и риска во множество точек экстремума конкретной свертки.

Предлагается ряд оценок риска (функций риска), применимых для различных видов стохастических процессов как в статических, так и в динамических моделях. Проведена классификация стохастических процессов в подсистемах сложной системы на коррелированные и некоррелированные, что является основой выбора метрик для функции риска и вида сверток критериев эффективности и риска.

Рассмотрим задачи управления риском для коррелированных стохастических процессов. Модель F(·) определяет в данном случае ожидаемый результат деятельности системы (математическое ожидание эффективности), модель G(·) - функцию риска, заданную в метрике l22(дисперсия), или l2(СКО), или как вероятностную функцию (VAR).

Пусть - случайная величина эффективности деятельности i-й подсистемы (неконтролируемые факторы), - математическое ожидание эффективности деятельности i-й подсистемы (оценка значений неконтролируемого фактора), , - ковариация результатов деятельности i-й и j-й подсистем, - управление в системе (например, - доля средств, вкладываемая в развитие i-й подсистемы; в соответствии с ранее сделанным замечанием здесь и далее в статических задачах управление обозначено x). Если использовать свертку типа отношения оценки системного риска как СКО эффективности системы в целом и оценки эффективности как математического ожидания, то задачу управления риском всей системы можно представить в виде

                                       (5)

где .

Теорема 1.2.1. В задаче (5) свертка критериев эффективности и риска достигает минимума на заданном множестве в точке такой, что , , а является решением задачи квадратичного программирования:

Необходимые и достаточные условия экстремума для ненулевых , , сводятся к системе линейных алгебраических уравнений:

Для коррелированных стохастических процессов рассматриваются следующие вероятностные функции риска: , , , , где через обозначена функция, определяющая случайное значение эффективности системы при управлении x как результат внешних воздействий, а через - функция, определяющая ожидаемое значение эффективности. Если в качестве оценки системного риска использовать функцию риска, представляющую собой вероятность того, что случайное значение эффективности системы меньше требуемого (планового) значения , а область значений оператора Ψ - множество точек экстремума этой функции, то задача управления риском имеет вид

                                       (6)

Для задачи (6) справедлив следующий результат.

Теорема 1.2.2. Пусть - система нормально распределенных случайных величин с математическими ожиданиями и ковариационной матрицей . Тогда в задаче (6) критерий эффективности достигает минимума на заданном множестве в точке такой, что , , а является решением задачи квадратичного программирования:

В отличие от традиционных задач с использованием VAR, заключающихся в нахождении такого значения случайной величины, которое обеспечивается с заданной вероятностью, в задаче (6) минимизируется вероятность того, что случайная величина будет меньше требуемого значения (гомеостазис в вероятностном смысле).

Введем оценку коллективного риска (на примере задач инвестирования).

Рассмотрим сначала индивидуальное поведение подсистемы как инвестора. Управление подсистемы есть вектор x (портфель инвестиций), компоненты которого - доли средств, вкладываемых в проекты, список которых един для всех подсистем. Определим оптимальное управление (портфель) как решение задачи на экстремум линейной свертки двух критериев «математическое ожидание – дисперсия»:

,                                (7)

где ∈(0;1) – весовой коэффициент, определяющий важности критериев, и ij – математические ожидания и ковариационные моменты значений эффективности как неконтролируемых факторов (в данном случае от слова return – доход или доходность). Будем называть портфель полноразмерным, если у составляющего его вектора x все компоненты отличны от нуля.

Для оценки устойчивости системы в целом вычислим корреляционные моменты оптимальных портфелей подсистем (инвесторов) с различным отношением к риску, выражающимся в различных значениях коэффициентов α.

Теорема 1.2.3. Если определитель ковариационной матрицы det≠0, то ковариация cov(x01, x02) двух полноразмерных оптимальных портфелей положительна. Если дополнительно ковариационная матрица строго положительно определена, то ковариация любых двух оптимальных портфелей положительна.

В теореме 1.2.3, в частности, показано, что составы x01, x02 оптимальных полноразмерных портфелей инвесторов с разными весовыми коэффициентами имеют вид

x01=С0+С11, x02=С0+С12,                                        (8)

где

, ,                                 (9)

е=(1,…,1), .

Здесь и далее мы не делаем различия в обозначении вектора-строки и вектора-столбца, считая их соответствующими требованиям операций умножения матриц и векторов.

Теорема 1.2.4. Если определитель ковариационной матрицы det≠0, то для того, чтобы оптимальный портфель x0 был полноразмерным, необходимо и достаточно выполнения условия

,                        (10)

где С0=(С01,…,С0j,…, С0n), С1=(С11,…,С1j,…, С1n) вычисляются по формулам (9). При этом коэффициент корреляции двух полноразмерных портфелей x01 и x02 равен

,

монотонно убывает с ростом величины =1-2 и принимает значения из интервала ,

.

Таким образом, справедлив интересный и, на наш взгляд, неожиданный результат, что несмотря на возможное наличие компонент портфеля с отрицательными ковариациями, обеспечивающих хеджирование риска для индивидуального инвестора, положительно коррелированны не только полноразмерные оптимальные портфели, соответствующие сравнительно узкому диапазону значений α, но и любые оптимальные портфели со сколь угодно различающимся отношением инвесторов к риску. Так как положительная корреляция может вызывать большие колебания системы (например, фондового рынка), то однотипное поведение инвесторов (оптимальное согласно (7)) с одинаковой информированностью даже при разном отношении к риску увеличивает коллективный риск (создает своего рода явление резонанса). В связи с этим проведено исследование корреляционной зависимости оптимальных портфелей при разной информированности инвесторов о внешних факторах, а именно, разной оценке ожидаемых эффективностей (например, доходностей финансовых инструментов).

Пусть первый инвестор оценивает вектор ожидаемых доходностей компонент портфеля как , а второй – , ковариационная матрица при этом оценивается одинаково.

Теорема 1.2.5. Если определитель ковариационной матрицы det≠0, то ковариация cov(x01, x02) двух полноразмерных оптимальных портфелей отрицательна для , и , удовлетворяющих условию

.

Предложен подход к оценке устойчивости системы как совокупности подсистем-инвесторов с использованием понятия энтропии. Для ее определения разобьем множество портфелей инвесторов на некоторое число классов k. В качестве априорных представителей каждого класса выберем оптимальные портфели для некоторого диапазона значений параметра . Например, пять классов: очень осторожные портфели (0<0,2), осторожные (0,2<0,4), умеренные (0,4<0,6), рискованные (0,6<0,8), очень рискованные (0,81). В каждом диапазоне значений параметра определим составы некоторого количества (порядка десяти) оптимальных портфелей с равным шагом изменения параметра . Для реально существующих портфелей значения неизвестны, да и построены они могут быть на основании других принципов поведения. Однако с той или иной степенью точности составы портфелей могут быть оценены (например, на основе анализа информации о сделках купли-продажи и решения обратной задачи инвестирования, если рассматривается фондовый рынок). Используем пространство Х как признаковое пространство, определим в нем меру близости, например, среднеквадратическое расстояние портфеля от всех представителей данного класса, и будем относить каждый портфель к ближайшему классу. В результате все реальные портфели будут разбиты на k классов. Найдем доли реальных портфелей от их общего числа в каждом классе qi, i=1,…,k. Тогда энтропия системы есть (основание логарифма может быть любым, например, равным 2). В качестве меры устойчивости конкретной системы можно взять отношение ее энтропии к максимальному значению энтропии . Чем больше значение этого отношения (ближе к единице), тем больше разнообразие портфелей и меньше коллективный риск. Если в системе имеется центральный регулирующий орган, то в качестве способа снижения коллективного риска он может использовать механизм различного информирования подсистем.

Для некоррелированных стохастических процессов в работе сформулированы статические и динамические минимаксные задачи управления риском. Для оценки риска всей системы (системный риск) в этом случае использовалась функция риска

,                                        (11)

где - функция риска для -й подсистемы, заданная, например, в одной из следующих метрик: , , , , M – математическое ожидание, - переменная, характеризующая деятельность -й подсистемы (например, интенсивность функционирования), - функция, определяющая случайное значение эффективности -й подсистемы при управлении x как результат внешних воздействий, - функция, определяющая ожидаемое значение эффективности. Функция (11) предполагает гарантированную оценку риска всей системы (по наиболее рискованной подсистеме) и основана на предположении некоррелированности стохастических процессов в подсистемах.

Если деятельность системы направлена на увеличение значения некоторого критерия эффективности f(x) (выход модели оценки эффективности), то выбор управления с точки зрения соотношения эффективности f(x) и риска R∞(x) может быть представлен как решение задачи оптимизации свертки f(x) и R∞(x). В работе рассматриваются линейные свертки и свертки типа отношения, для всех соответствующих оптимизационных задач получены условия оптимальности или методы их сведения к известным задачам математического программирования.

Например, если область значений оператора есть множество точек максимума линейной свертки критериев эффективности и риска, то получаем задачу управления риском

,                                        (12)

для которой необходимые условия оптимальности для внутренних точек X имеют вид

       (13)

Рассмотрены, в частности, линейные задачи управления риском, в которых кроме линейной свертки критериев эффективности и риска используются еще две другие процедуры: свертка типа отношения и перевод одного критерия в ограничение.

Пусть на предприятии существует производственных процессов, не связанных между собой в одну технологическую цепочку. Каждый производственный процесс выпускает продукцию определенного вида в количестве , . Вектор представляет собой производственный план предприятия. Прибыль с единицы продукции -го производственного процесса в текущем производственном периоде есть случайная величина (неконтролируемый фактор). В качестве ее оценки используется математическое ожидание . Тогда прибыль от продукции в количестве есть , а прибыль от всех производственных процессов есть . Ущерб (или риск) на единицу продукции -го производственного процесса также есть случайная величина, которая оценивается в стоимостном выражении и равна . Общий ожидаемый ущерб на -м производственном процессе считается пропорционален интенсивности (объему производства), т. е. равен величине . Функция риска всей системы (предприятия) имеет вид

                                       (14)

Рассмотрим в качестве примера аварию на Саяно-Шушинской ГЭС. Для получения наибольшей эффективности функционирования ГЭС были введены в работу все десять турбин (подсистем). Одновременная работа всех турбин создает вибрацию всей платины, что увеличивает риск возникновения аварии, однако в первом приближении можно считать, что турбины не связаны между собой. При стационарном режиме риск растет с увеличением интенсивности работы турбин. Примем линейную зависимость, тогда для оценки риска функционирования ГЭС можно использовать функцию риска (14), с помощью которой определить наиболее рискованные турбины, авария на которых наиболее вероятна и требуется их остановка для технического осмотра на предмет предотвращения возможной аварии. В данном случае это был второй агрегат, о чем имелась необходимая информация.

Для линейных функций и свертки типа отношения задача управления риском имеет вид

,                                                (15)

. Задача (15) сводится к следующей задаче линейного программирования (ЛП)

       (16)

а именно, если - решение задачи (16), то , , - компоненты оптимального плана задачи (15).

Рассмотрены постановки непрерывной и дискретной минимаксной динамической задачи управления риском для некоррелированных стохастических процессов.

Для непрерывной минимаксной динамической задачи рассматривается интервал функционирования системы , управление на котором задается векторной функцией произвольной размерности (функцию в целом будем обозначать в отличие от ее значения в момент ). В фиксированный момент времени состояние системы описывается вектором фазовых переменных , а процесс функционирования системы на отрезке описывается векторной функцией - траекторией системы.

Будем считать, что в фиксированный момент времени эффективность -й подсистемы определяется функцией , а оценка ущерба осуществляется с помощью функции риска , где - траектория -й подсистемы в пространстве фазовых переменных, функции и представляют собой результаты осреднения значений эффективности и риска по законам распределения случайных неконтролируемых факторов y. Траектория , т. е. процесс функционирования подсистемы в соответствующем пространстве, описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

                                       (17)

с заданным начальным состоянием

.                                                (18)

Критерий функционирования системы, состоящей из n подсистем, на отрезке времени [0,T] в предположении гарантированной оценки риска и линейной свертки эффективность-риск представляет собой интегральный функционал

,                (19)

где определяется при данном из (17), (18).

В качестве управлений будем рассматривать измеримые вектор-функции с интегрируемыми на квадратами каждой компоненты, т. е. из пространства , и со значениями из выпуклого компакта ( - -мерное евклидово пространство). Таким образом, множество функций управления имеет вид . Область значений отображения Ψ представляет собой совокупность точек максимума функционала при дифференциальных связях (17) с начальными условиями (18).

Теорема 1.4.1. Пусть функции непрерывны по , дифференцируемы по , линейны по , измеримы по , удовлетворяют условию Липшица по и условию ; функции и ограничены сверху на , дифференцируемы по , линейны по и удовлетворяют условию Липшица по ; - выпуклый компакт в . Пусть - оптимальное управление в задаче максимизации (19) при ограничениях (17), (18); - соответствующие ему траектории (17), (18). Тогда существуют неотрицательные скалярные измеримые функции , , , при и вектор-функции , удовлетворяющие уравнениям

такие, что функция Гамильтона

достигает максимума по на управлении при почти всех .

Условия оптимальности использованы для конкретной системы. Пусть - средства, вкладываемые в -ю подсистему (развитие производства, управление проектами) в момент времени , . Тогда - распределение средств между подсистемами. Траектория системы представляет собой вектор , где - скалярная величина, описывающая состояние -й подсистемы в момент времени (например, выпуск продукции). Процесс функционирования каждой подсистемы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с заданным начальным условием:

,                                (20)

где означает издержки на единицу (например, затраты или амортизация). Пусть эффективность функционирования подсистемы определяется критерием , где коэффициент может быть, например, прибылью с единицы выпущенной продукции. При этом оценка риска есть функция , где - возможные потери с единицы (например, потери прибыли). Оценка функционирования системы на всем отрезке имеет вид

.                                (21)

Найдем решение задачи максимизации (21) по , при условиях (20).

Функция Гамильтона для данной модели имеет вид

.        (22)

Тогда уравнения для нахождения вектор-функции есть

, .                        (23)

Из содержательного смысла модели следует, что . Решение уравнений для нахождения вектор-функции имеет вид

       (24)

Нетрудно заметить, что все для .

Так как функция (22) является линейной функцией переменной , а множество - выпуклый многогранник, то оптимальное управление определяется из условий

       (25)

Таким образом, весь объем имеющихся средств в любой фиксированный момент времени распределяется между теми подсистемами (предприятиями, проектами), для которых величина максимальна.

Оптимальная траектория согласно (20) находится из решения уравнений

       (26)

Или, более подробно

При этом для нахождения скалярных функций нужно решить систему уравнений

                       (27)

Величина риска в дискретной минимаксной динамической задаче для каждого процесса за T периодов аппроксимирована средним значением по всем периодам. Решены задачи управления риском с использованием функции риска, представляющей собой максимальное по всем процессам среднее значение риска (метрика l∞), и с использованием функции риска, представляющей собой среднее максимальное по всем процессам значение риска. Для таких задач установлено, что среднее максимальное значение риска в оптимальной точке необязательно превышает максимальное по всем процессам среднее значение риска в оптимальной точке.

Вторая глава «Управление риском в условиях неопределенности на основе комбинированных критериев» (2.1 – 2.4) посвящена задачам принятия решений в условиях неполной информации, когда относительно внешнего воздействия известна только область его возможных значений. Предлагается подход к выбору оптимального управления, основанный на идеях векторной оптимизации, а именно, совместном использовании классических критериев оптимальности Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа. Некоторые конкретные реализации этого подхода рассматривались рядом авторов. Отличие данной работы состоит в том, что в ней рассматриваются комбинации всех классических критериев с использованием различных видов сверток и, главное, проведено исследование свойств комбинированных критериев, что является теоретическим обоснованием правомерности их использования.

На значения критериев влияют управление (стратегия) и состояние внешней среды , а информация о внешней среде представляет собой описание множества состояний внешней среды (область значений ). Выход модели оценки эффективности системы F(·) представляет собой величину выигрыша при фиксированном значении неопределенного фактора и опирается на прогноз, определяемый выбранным критерием (пессимистический, оптимистический и т. д.). Выход модели оценки риска системы G(·) представляет собой ту или иную (в зависимости от выбранного критерия) меру разброса выигрышей с учетом всех возможных значений неконтролируемого фактора. Принцип оптимальности Ψ предполагает оптимизацию свертки критериев эффективности и риска на множестве управлений.

Рассмотрены комбинированные критерии для случая конечного числа стратегий и состояний природы с использованием линейной свертки и свертки типа отношения классических критериев оптимальности. Например, линейная свертка с весовым коэффициентом (вес риска) критериев Вальда и Сэвиджа имеет вид

,                                (28)

где - выигрыш от использования -й стратегии при -м состоянии внешней среды (-е значение неконтролируемого фактора y), - оценка риска при использовании стратегии в условиях состояния . Свертка этих критериев типа отношения есть

.                                        (29)

Критерий Гурвица представляет собой линейную свертку максимаксного критерия и меры риска :

,                        (30)

где коэффициент можно интерпретировать как степень избегания максимальных потерь. Рассмотрена свертка типа отношения максимаксного критерия и меры риска RH:

.                                (31)

Предложена абсолютная и относительная оценка риска с использованием критерия Лапласа и дисперсии и СКО равномерного распределения:

, .        (32)

Весовой коэффициент в оценке показывает отношение ЛПР к риску и может быть размерной величиной. В оценке используется СКО, так как математическое ожидание и СКО являются соизмеримыми величинами.

Рассмотрены комбинированные критерии для смешанных стратегий , представляющих собой распределение на исходном конечном множестве стратегий ( - вероятность выбора i-й стратегии или доля средств, вкладываемая в i-ю подсистему). Показано, что все задачи управления риском с использованием критериев Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа сводятся к задачам линейного или квадратичного программирования. Абсолютный риск, определяемый сверткой, например, максимаксного критерия и меры риска RH, для смешанных стратегии есть

.                (33)

Лемма 2.3.1. Нахождение оптимальной смешанной стратегии в задаче (33) при условии сводится к нахождению решения задачи ЛП

Относительный риск, определяемый сверткой максимаксного критерия и меры риска RH для смешанной стратегии, есть

.                        (34)

Теорема 2.3.1. В задаче (34) критерий эффективности достигает минимума на множестве в точке такой, что , , а является решением задачи ЛП

Абсолютный риск, определяемый с использованием критерия Лапласа и дисперсии равномерного распределения, для смешанных стратегий имеет вид

.                (35)

Эта задача является задачей квадратичного программирования. Необходимые условия экстремума для ненулевых , , приводят с системе линейных алгебраических уравнений        

Относительный риск, определяемый с использованием критерия Лапласа и СКО равномерного распределения, для смешанных стратегий имеет вид

.                                (36)

Теорема 2.3.4. В задаче (36) критерий эффективности достигает минимума на множестве в точке такой, что , , где является решением задачи квадратичного программирования:

Предлагаемые комбинированные критерии имеют смысл, если они обладают основными свойствами, предъявляемыми к классическим критериям. Показано, что все комбинированные критерии наследуют большинство следующих стандартных свойств классических критериев:

А1. Упорядочение. Любые две альтернативы сравнимы по критерию оптимальности.

А2. Симметрия. Решение не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы .

А3. Строгое доминирование. Если , то .

А4. Непрерывность. Если последовательность матриц сходится поэлементно к матрице и , то в пределе .

А5. Линейное преобразование. Отношение не изменится, если каждый элемент матрицы заменить на , .

А6. Присоединенные строки. Предпочтение имеющихся альтернатив не изменится от присоединения новой альтернативы (строки матрицы).

А7. Сдвиг столбца. Предпочтение не меняется от добавления константы ко всем элементам некоторого столбца.

А8. Повторение столбца. Предпочтение не изменится, если добавить новый столбец, идентичный одному из уже имеющихся.

А9. Выпуклость. Если ~ (эквивалентно), т. е. и , и , , то .

А10. Присоединение специальной строки. Предпочтение имеющихся альтернатив не изменится от присоединения новой строки, каждый элемент которой не превосходит всех имеющихся в соответствующем столбце.

Как известно, критерий Вальда удовлетворяет всем свойствам, кроме А7, критерий Лапласа – всем, кроме А8, критерий Сэвиджа – всем, кроме А6, критерий Гурвица – всем, кроме А7 и А9.

Критерий , определенный согласно (21), удовлетворяет всем аксиомам, кроме свойства «сдвиг столбца» и «выпуклость» в силу того, что он является просто другой формой записи классического критерия Гурвица.

Теорема 2.4.1. Для комбинированного критерия , определенного согласно (31), выполняются свойства «упорядочение», «симметрия», «непрерывность», «линейное преобразование» (при условии ), «присоединенные строки», «повторение столбца», «выпуклость» (для матриц, имеющих элементы одного знака), «присоединение специальной строки».

Теорема 2.4.2. Для комбинированного критерия , определенного согласно (28), выполняются свойства «упорядочение», «симметрия», «строгое доминирование», «непрерывность», «линейное преобразование», «повторение столбца», «выпуклость», «присоединение специальной строки».

Теорема 2.4.3. Для комбинированного критерия , определенного согласно (29), выполняются свойства «упорядочение», «симметрия», «строгое доминирование», «непрерывность», «линейное преобразование» (при условии ), «повторение столбца», «выпуклость» (для положительных матриц), «присоединение специальной строки».

Исследованы также свойства комбинированных критериев, определенных сверткой критериев Лапласа и Сэвиджа, а также определенных с помощью критерия Лапласа и дисперсии и СКО равномерного распределения. Невыполнение тех или иных свойств для комбинированных критериев продемонстрировано на конкретных примерах.

В третьей главе «Оптимальное управление и согласование интересов в иерархических моделях эколого-экономических систем» (3.1 – 3.6) рассматриваются иерархические системы с частичной децентрализацией управления. Принцип оптимальности управления в иерархической системе объединяет стремление к увеличению значения критерия эффективности центра и к достижению устойчивости (или гомеостазиса) функционирования системы, которая описывается совместными ограничениями на параметры подсистем. Основным условием устойчивости и эффективности функционирования в иерархической системе является согласованность интересов всех ее элементов. Интересы элементов согласуемы, если центр может обеспечить устойчивое функционирование системы. Если при этом центр может достичь абсолютного максимума своего критерия эффективности, то интересы элементов системы идеально согласуемы. Таким образом, риск здесь связан не только со случайным или неопределенным воздействием внешней среды, но и что специфично с возможными нескоординированными действиями подсистем, приводящими к нарушению гомеостазиса системы. Информационные аспекты здесь включают вопросы взаимной информированности верхнего уровня управления (центра) и подсистем, схемы передачи информации, виды и способы описания внешних факторов.

Обозначим управление верхнего уровня (центра) через , считая его точкой некоторого пространства . Управления элементов нижнего уровня (подсистем) обозначим , , а управление нижнего уровня в целом через , также считая его точкой некоторого пространства . Пространства управлений подсистем зависят от управления центра, т. е. центр имеет возможность в определенных пределах регламентировать свободу их действий. При выборе центром управления и передаче некоторой фиксированной информации об этом выборе множество возможных управлений нижнего уровня есть , т. е. v является для центра неопределенным неконтролируемым фактором с областью значений R(u). Если фазовое состояние системы однозначно определяется управлениями , т. е. , то условие устойчивости системы , где - область гомеостазиса системы, может быть представлена в виде

,                                        (37)

где множество представляет собой совокупность управлений, приводящих к устойчивым состояниям (в случае неоднозначности состояний системы множество Г определяется условиями включения или пересечения множества достижимости с областью гомеостазиса). Множество допустимых управлений центра, гарантирующих выполнение условия устойчивости (37) (сильная устойчивость), есть

,                         (38)

В качестве оценки эффективности системы принимается нижняя грань функционала центра : . Это гарантированное значение эффективности зависит от реакции подсистем на управление центра, определяемой центром на основе исходной информации. Отношение центра к риску (выход модели G(·)) заключается в определении множества допустимых управлений, обеспечивающих гомеостазис системы, и оценки разброса значений эффективности в результате самостоятельных действий подсистем и, возможно, воздействия внешних факторов. В качестве такой оценки будем использовать разность между глобальным максимумом критерия эффективности центра F0гл при централизованной схеме управления и гарантированным его значением в данной иерархической структуре (оценка коллективного риска).

Предположим пока, что подсистемы независимы, т. е. их целевые функционалы зависят только от управлений центра и данной подсистемы, т. е. , (далее также рассмотрены зависимые друг от друга подсистемы, в этом случае необходимо вводить коллективный принцип выбора нижнего уровня).

Будем считать, что подсистема при выборе управления стремится максимизировать . Тогда оптимальная стратегия -й подсистемы определяется из условия

.                                (39)

При этом реакция -й подсистемы есть . Множество возможных управлений нижнего уровня имеет вид . При гарантированном подходе к оценке эффективности и риска выбор управления должен осуществляется из множества (38), а задача нахождения оптимального управления и результата центра имеет вид

.                                (40)

Оператор Ψ здесь есть отображение оценки эффективности и множества Dсн во множество решений максиминной задачи (40). Если максимум в задаче (39) определяется однозначно или центру известен выбор нижнего уровня, т. е. имеет место , то

.                                (41)

Минимальный риск от самостоятельных действий подсистем (неконтролируемых факторов) равен (цена децентрализации). Далее предлагается ряд механизмов управления, обеспечивающих идеальную согласованность интересов, при которой цена децентрализации равна нулю.

Пусть пространство управлений нижнего уровня задается системой неравенств:

,                                (42)

где - точки конечномерных евклидовых пространств, - вектор-функция размерности . Множество Г будем считать заданным в виде

,                                (43)

где вектор-функция размерности .

В работе доказана теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности управления центра, которая опирается на две леммы о суперпозиции вогнутых функций.

Назовем векторную функцию вогнутой по переменной , если каждая ее компонента , есть вогнутая функция по .

Лемма 3.1.1. Пусть и - выпуклые множества, для непрерывно дифференцируемой функции выполнены условия

(а) ; (б) функция вогнута по совокупности переменных; (в)  является вогнутой функцией переменной . Тогда сложная функция вогнута по .

Лемма 3.1.2. Пусть и - выпуклые множества, для непрерывно дифференцируемой функции выполнены условия

(а) ; (б) . Тогда является вогнутой функцией переменной .

Введем функцию Лагранжа для задачи (39), (42): , где - векторный множитель Лагранжа, , - скалярное произведение двух векторов. Для задачи центра (41), (38), (43) функция Лагранжа имеет вид , где - векторный множитель Лагранжа, .

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены следующие условия:

функция и компоненты вектор-функции непрерывно дифференцируемы по всем переменным и вогнуты по совокупности переменных; функции и компоненты вектор-функций , , дважды непрерывно дифференцируемы и вогнуты по совокупности переменных; ; ; градиенты , в точке линейно независимы; - решение задачи (39), (42) при ; (строгая дополняющая нежесткость), - множитель Лагранжа, соответствующий ; такого, что ; для функции , , выполняются условия , .

Тогда для того, чтобы являлась оптимальной стратегией центра для задачи (41), (38), (43) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

где матрица частных производных функций определяется из матричного соотношения

Здесь - знак матрицы, - знак транспонирования матрицы.

Оптимальный результат центра может отличаться от глобального максимума его критерия, поэтому важным становится вопрос получения условий идеальной согласованности интересов в системе, т. е. возможности достижения глобального максимума критерия центра при выполнении условий устойчивости. В связи с этим в работе предлагается ряд механизмов управления, позволяющих достичь идеальной согласованности интересов. При этом полученные условия оптимальности используются для нахождения параметров этих механизмов управления и доказательства идеальной согласованности, а в случае невозможности ее достижения – для нахождения оптимального управления центра.

Так для региональной модели производства с учетом требования сохранения природных ресурсов доказана идеальная согласованность интересов при назначении различных цен на ресурсы и фиксированных финансовых средствах предприятий. Задача каждого предприятия есть

,                                (44)

где , , , - вектор ресурсов, потребляемых -й подсистемой (управление предприятия), - неоклассическая производственная функция, - вектор цен на соответствующие виды продукции -й подсистемы. Решение задачи (44) есть вектор . Задача центра:

,                        (45)

где P=(p1,…,pi,…,pn) – управление центра, - положительные весовые коэффициенты, которые могут отражать экономические и экологические приоритеты центра, - вектор ограничений по объемам природных и дефицитных ресурсов.

Теорема 3.2.1. Пусть функции , , непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда при фиксированных объемах средств , выбором различных цен на ресурсы для элементов нижнего уровня в задаче (45) центр достигает глобального максимума, т. е. интересы в такой системе идеально согласуемы.

Показано также, что, управляя едиными ценами, и финансовыми средствами , , можно достичь идеальной согласованности интересов всех уровней иерархии, а управляя только едиными ценами при неизменных , центр, вообще говоря, не может достичь идеальной согласованности. Однако если ввести в данную модель систему штрафов и квот, то центр может достичь идеальной согласованности интересов при единых ценах. Целевые функции предприятий в этом случае имеют вид

, ,

где - штраф за единицу превышения, квоты удовлетворяют условиям и определяются центром. Задача i-го предприятие имеет вид

.

Ее решение есть вектор . Целевая функция для центра:

,

где . Задача центра принимает вид

,

Теорема 3.3.1. Пусть функции , непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда центр с помощью штрафов , квот и единых цен достигает идеальной согласованности в системе для любых фиксированных .

Показано, что если центр может менять величину штрафа, квот, но не может управлять ценами и финансовыми средствами предприятий, то, вообще говоря, идеальной согласованности нет. Если центр управляет финансовыми средствами предприятий Ki, , и может менять размер штрафа zi и коэффициенты βi, , то из теоремы 3.3.1 следует, что, выбирая Ki так, что , где - фиксированные единые цены для всех элементов нижнего уровня, - точка глобального максимума целевой функции центра, можно добиться идеальной согласованности.

Представлена линейная модель отраслевой корпорации типа концерна. Исследован вопрос: можно ли выбрать расчетные цены на продукцию и тарифы на дефицитные и природные ресурсы так, чтобы оптимальный план корпорации был оптимальным для каждого предприятия и выполнялся финансовый баланс. Оказывается, что единых для всех предприятий расчетных цен, удовлетворяющих этим условиям, не существует, а тарифы на ресурсы - единые для всех предприятий. Показано, что механизм управления центра, использующий дифференцированные цены и единые тарифы, позволяет идеально согласовать интересы в системе.

Введем обозначения: - вектор валовой продукции -го предприятия (управление предприятия); - вектор товарной продукции, которую -е предприятие продает внутри корпорации; - вектор производственных ресурсов -го предприятия; - вектор дефицитных (энергия) и природных (вода, земля, лес) ресурсов -го предприятия; - вектор факторов производства -го предприятия; - полный вектор валовой продукции корпорации; - полный вектор дефицитных и природных ресурсов корпорации; - суммарный вектор товарной продукции корпорации; - вектор рыночных цен; - вектор себестоимости всех видов продукции; - вектор цен, по которым центр получает дефицитные и природные ресурсы; - матрица технологических коэффициентов -го предприятия ( - количество продукции вида , затрачиваемое на производство единицы продукции вида в -м предприятии); - матрица затрат факторов производства -го предприятия ( - количество фактора производства вида , затрачиваемое на производство единицы продукции вида в -м предприятии); - матрица коэффициентов пропорциональности выпуска товарной продукции (например, условия комплектности для -го предприятия).

Пару назовем единым планом производственной деятельности объединения. Допустимым планом называется пара , для которой выполняются соотношения

                               (46)

                               (47)

                               (48)

                                               (49)

                                               (50)

Эффективность деятельности корпорации может оцениваться различными показателями (валовая продукция, производительность труда и т. д.), но наиболее общим показателем, соизмеряющим результаты производства и затраты всех видов ресурсов, является прибыль. Прибыль корпорации от продаж можно записать в виде

. Преобразуем данное выражение к виду

,                        (51)

где , - единичная матрица.

Оптимальным планом производственной деятельности корпорации назовем пару , доставляющую максимум функции (51) при ограничениях (46), (47), (49), (50).

Прибыль -го предприятия можно записать в виде

, где - вектор расчетных цен, - вектор тарифов на ресурсы для -го предприятия.

Прибыль -го предприятия с учетом соотношения (48) примет вид

.                        (52)

При этом -е предприятие будет максимизировать прибыль (52) при ограничениях (46), (47), а расчетные цены и тарифы являются управляющими параметрами экономического механизма, выбираемыми руководством корпорации. На эти цены может быть наложено условие финансового баланса

.                                        (53)

Дифференцированные по предприятиям расчетные цены, стимулирующие выполнение оптимального плана корпорации и удовлетворяющие условию (53), существуют при весьма широких предположениях, причем выполнения (53) на оптимальном плане можно достичь при фиксированных ценах, а на любом плане – с помощью «плавающих» цен.

Теорема 3.5.1. Если доставляет максимум функции (51) при ограничениях (46), (47), (49), (50), и матрицы невырождены, то существуют такие векторы и , что - решение задачи при ограничениях (46), (47), причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса (53). Если дополнительно требуется выполнение финансового баланса для любого плана с положительной прибылью, то расчетные цены и тарифы определяются в параметрическом виде: , .

Рассмотрены дополнительные ограничения по уровню загрязнения, относящиеся ко всей корпорации и к каждому предприятию в отдельности. Показано, что механизм дифференцированных цен, единых тарифов, квот по уровню загрязнения и штрафов за превышение допустимого уровня загрязнения окружающей среды позволяет достичь идеальной согласованности интересов.

Введем ограничения по уровню загрязнения, относящиеся ко всей корпорации: , где - матрица коэффициентов загрязнения -го предприятия ( - объем загрязнения по -му показателю при производстве единицы продукции вида в -м предприятии); - вектор предельно допустимых уровней загрязнения окружающей среды по каждому показателю.

Теорема 3.5.2. Если доставляет максимум функции (51) при ограничениях (46), (47), (49), (50), , и матрицы невырождены, то существуют такие векторы и , что - решение задачи максимизации при ограничениях (46), (47), причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса (53).

Вводится также механизм квот по уровню загрязнения окружающей среды, при котором дополнительные ограничения по уровню загрязнения относятся к каждому предприятию в отдельности: где . Такой механизм, вообще говоря, приводит к увеличению результата центра.

Теорема 3.5.3. Если доставляет максимум функции (51) при ограничениях (46), (47), (49), (40), и матрицы невырождены, то существуют такие векторы и , что - решение задачи максимизации при ограничениях (46), (47), причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса (53).

Альтернативой жесткому механизму квот является система штрафов за превышение допустимого уровня загрязнения. Пусть - штраф за единицу превышения допустимого уровня загрязнения.

Прибыль -го предприятия можно записать в виде

, где обозначает -ю компоненту вектора . Компоненту вектора , соответствующую для -го предприятия обозначим .

Теорема 3.5.4. Если доставляет максимум функции (51) при ограничениях (46), (47), (49), (50), и матрицы невырождены, то существуют такие векторы и , что - решение задачи максимизации при ограничениях (46), (47), при любом фиксированном значении штрафа , причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса (53).

Рассмотренные выше механизмы управления основывались на экономических и экологических параметрах «материального» типа. Однако под управлением центра можно понимать передачу информации, которую подсистемы самостоятельно добывать не могут, о прогнозируемых значениях факторов, влияющих на функционирование всей системы и ее подсистем. Если управление центра сводится только к передаче информации нижнему уровню о значениях некоторых параметров, то такое управление называется информационным регулированием. Двухуровневая иерархическая система, в которой управление центра представляет собой информационное регулирование, а подсистемы связаны между собой и коллективным принципом поведения для них является равновесие по Нэшу, называется моделью регулируемого равновесия. В такой модели задача центра состоит в переводе системы в наиболее эффективную для него ситуацию равновесия, определяемую информированностью подсистем. В работе предлагается модель территориальной корпорации с горизонтальными связями на нижнем уровне. Определено шесть типов передачи информации центром на нижний уровень, носящий как случайный, так и неопределенный характер. Рассмотрен вопрос существования ситуаций регулируемого равновесия и оптимальных стратегий информационного регулирования центра в иерархической системе, для которой условные математические ожидания Wj(x1,…,xn,K,pi) критериев эффективности Fj(x1,…,xn,K,) нижнего уровня имеют вид:

               (54)

где - объем некоторого фактора производства, используемого -м предприятием и отрицательно влияющего на окружающую среду (управление предприятия), , - производственная функция, - функция затрат для каждого предприятия, - «базовая» цена единицы фактора, - функция, корректирующая стоимость единицы фактора (предполагается, что стоимость единицы фактора может устанавливаться в зависимости от объема затрачиваемого ресурса). Если - стоимость единицы продукции предприятия, то - прибыль -го предприятия в результате его производственной деятельности, - компенсация, выплачиваемая -м предприятием пропорционально величине ущерба окружающей среде, - непосредственный ущерб с единицы продукции в виде загрязнения территории, - параметр, характеризующий долгосрочное воздействие производства на внешнюю среду, - вектор вероятностей значений случайной величины (например, ущерба от техногенных катастроф). Регулирующее воздействие (управление) центра состоит в передаче на нижний уровень информации о значении и векторе вероятностей , являющихся неконтролируемыми факторами, значения которых известны центру, но не подсистемам. При векторы вероятностей называются однородными; - действительное значение , - действительные однородные векторы вероятностей случайных событий.

Условия существования точки равновесия для функций (54) сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 3.6.1. При выполнении условий

, , ,                (55)

существует единственная точка равновесия для набора функций , , в неотрицательном ортанте , , которая при фиксированных , и определяется по формулам

, ,

где является решением уравнения        .

Интересы центра описываются функцией , где (их можно интерпретировать как проценты налоговых отчислений с прибыли).

Исследованы свойства регулируемого равновесия. Рассмотрен вопрос, какая стратегия центра является оптимальной, если центр использует однородные векторы вероятностей и неоднородные векторы вероятностей (разные pi). Показано, что механизм информационного регулирования с неоднородной стратегией обеспечивает идеальную согласованность интересов, а с однородной стратегией, вообще говоря, не обеспечивает.

Теорема 3.6.2. Оптимальная однородная стратегия центра существует и является решением уравнения

где определяется из условий

Теорема 3.6.3. Оптимальная для центра ситуация неоднородного равновесия при любых положительных коэффициентах является паретовской точкой для нижнего уровня и глобальным максимумом для центра.

Таким образом, предложенные механизмы информационного регулирования позволяют согласовывать интересы в иерархических системах. При этом разная информированность подсистем приводит не просто к снижению коллективного риска (как в задачах инвестирования главы 1), а к его нейтрализации (цена децентрализации равна нулю).

Четвертая глава «Задачи коррекции данных моделей управления эколого-экономическими системами в условиях риска» (4.1 – 4.4) посвящена рассмотрению информационных аспектов, а именно, коррекции параметров моделей для несобственных задач управления риском и процедурам адаптации решений на основе обработки статистической информации. Противоречивость требований, предъявляемых к модели эколого-экономической системы, может приводить к тому, что ограничения оказываются несовместными, что отражает отсутствие гомеостазиса в системе. Соответствующие задачи оптимизации не имеют решения и называются несобственными. Для таких задач предлагаются процедуры минимальной коррекции данных, в результате которых аппроксимирующие задачи уже имеют решение.

Рассмотрен новый класс задач связанной коррекции данных на примере общей линейной модели планирования выпуска продукции с ограничениями по уровню загрязнения окружающей среды:

                               (56)

где - вектор рыночных цен; - вектор валовой продукции (план) предприятия; - матрица технологических коэффициентов предприятия ( - количество ресурса вида i, затрачиваемое на производство единицы продукции вида j на предприятии); - вектор производственных ресурсов предприятия; - матрица коэффициентов загрязнения для предприятия ( - объем загрязнения по s-му показателю при производстве единицы продукции вида j); - вектор предельно допустимых уровней загрязнения окружающей среды по каждому показателю.

Пусть - решение задачи (56) и , где C0 - заданное минимальное значение функции цели (т. е. нарушено условие безубыточного функционирования предприятия). Здесь - оценка эффективности производственной системы (выход модели F(·)), оценка риска функционирования системы есть (выход модели G(·)). Исходные данные модели определяются информационной компонентой I. Необходимо так скорректировать исходные данные в задаче (56) (технологию производства, объемы затрачиваемых ресурсов, матрицу коэффициентов загрязнения), чтобы вывести производство на требуемый уровень C0 (обеспечить устойчивость функционирования системы). Областью гомеостазиса является множество таких состояний системы, для которых . Область значений потерь есть множество значений при любых x, удовлетворяющих системе ограничений. Множество допустимых управлений в этом случае представляет собой совокупность планов x и матриц коррекций данных модели, для которых оценка системного риска неположительна: (устойчивые состояния системы). При этом принцип оптимальности управления представляет собой отображение в подмножество множества допустимых управлений, для которого выполняется требование минимальности матриц коррекции по некоторой норме.

Предполагается, что матрица коэффициентов загрязнения связана с технологической матрицей некоторой зависимостью, т. е. технология производства влияет на степень загрязнения окружающей среды. Рассматривается линейная зависимость вида

,

где , неотрицательная матрица размером ; - положительная матрица размером . Такие задачи названы задачами связанной коррекции. В качестве критерия минимальности коррекции использована норма матрицы l∞.

Предполагая A и b положительными, имеем следующие задачи коррекции

.                (57)

       (58)

Теорема 4.1.1. Нахождение минимальной корректирующей матрицы и соответствующего оптимального плана в задаче (57) сводится к нахождению решения задачи ЛП

Теорема 4.1.2. Нахождение минимальной корректирующей матрицы и соответствующего оптимального плана в задаче (58) сводится к нахождению решения задачи

(59)

Задача (59) не является задачей ЛП, но, фиксируя значение , для которого ограничения задачи (59) совместны, с помощью метода деления отрезка находим минимальное 2, для которого ограничения задачи (59) выполнены, т. е. сводим задачу (59) к последовательности задач ЛП.

Рассмотрены также задачи максимального приближения к наилучшему значению критерия эффективности с минимальной корректировкой ограничений. Показано, что такие задачи связанной коррекции сводятся к последовательности задач ЛП.

Исследована проблема коррекции данных в несобственной задаче распределения средств между природоохранными объектами в иерархической системе. Для решения этой проблемы предлагается два подхода: введение относительного показателя качества природной среды и решение задачи минимальной коррекции выделяемых центром средств или введение индекса напряженности распределения средств и корректировка ограничений по качеству природоохранных объектов.

Для динамической задачи управления техногенным риском сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия сходимости процесса нахождения равновесного объема инвестиций для снижения ущерба окружающей среде, являющееся обобщением известного результата на случай произвольного выбора начальной точки (глобальная сходимость). На основе последовательной обработки информации и прогнозирования риска предложены две адаптационные схемы нахождения оптимальной стратегии управления риском на примере модели производственной деятельности.

В приложениях 1-4 к каждой главе приведены результаты вычислительных экспериментов с использованием прикладного программного обеспечения MathCAD, подтверждающие работоспособность предлагаемых методов. В приложении 4 также содержится практический пример использования методов распознавания образов и адаптационной схемы принятия решений для классификации, прогнозирования и учета рисков заболеваемости персонала Комсомольского-на-Амуре аккумуляторного завода, вызванной техногенным воздействием вредного производства.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

  1. предложена общая модель управления риском, включающая две подмодели: модель оценки эффективности и модель оценки риска функционирования системы, конкретизации ее для рисков, связанных со случайным или неопределенным воздействием внешней среды или децентрализованным управлением в системе, позволили формализовать задачи построения механизмов управления риском;
  2. на основе свертки критериев эффективности и риска сформулированы задачи управления риском для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов с использованием абсолютных, относительных и вероятностных функций риска, доказано, что каждая из них сводится к определенному типу задач математического программирования;
  3. для коррелированных стохастических процессов доказано, что оптимальные решения инвестиционных задач с линейной сверткой критериев «эффективность-риск» приводят к положительному значению ковариации портфелей, определяющей коллективный риск, и, как следствие, к возможному нарушению устойчивости системы, предложена оценка устойчивости системы как мера разнообразия поведения инвесторов на основе понятия энтропии;
  4. для непрерывной минимаксной динамической задачи управления риском доказано существование оптимального управления и получены необходимые условия оптимальности, представляющие собой обобщение классического принципа максимума;
  5. сформулированы постановки задач управления риском в условиях неопределенности на основе сверток (линейной и типа отношения) классических критериев оптимальности: Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, доказано для случая смешанных стратегий, что каждая из них сводится к определенному типу задач математического программирования, исследованы свойства комбинированных критериев оптимальности и показано, что большинство основных свойств классических критериев для них выполняется;
  6. получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления центра в иерархических системах с учетом требования гомеостазиса, для региональной и корпоративной модели управления доказана возможность идеального согласования интересов уровней иерархии при использовании предлагаемых механизмов управления, что обеспечивает достижение максимального значения эффективности с исключением риска нарушения гомеостазиса системы;
  7. доказано существование регулируемого равновесия на нижнем уровне для территориальной корпоративной иерархической модели, исследованы вопросы одновременной передачи центром информации, носящей как неопределенный, так и случайный характер, доказана возможность нейтрализации риска при использовании предложенного механизма информационного регулирования;
  8. сформулированы новые постановки задач связанной коррекции данных по минимуму нормы матрицы l∞ для несобственных линейных моделей, обусловленных противоречивостью исходной информации или необходимостью целенаправленного изменения параметров вследствие неустойчивости или неэффективности системы, доказано, что такие задачи коррекции сводятся к задаче линейного программирования или к последовательности задач линейного программирования.

Основное содержание диссертации отражено в работах:

  1. Горелик В.А., Золотова Т.В. Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах. Научное издание. – М.: ВЦ РАН, 2009. – 162 с.
  2. Золотова Т.В. Игровая постановка задачи стимулирования производственных предприятий на разработку мер по снижению ущерба окружающей среде // Управление большими системами. Выпуск 21: – М.: ИПУ РАН, 2008. – С. 145-164.
  3. Золотова Т.В. Анализ противоречивых ситуаций в задачах планирования природоохранной деятельности // Управление большими системами. Выпуск 22: – М.: ИПУ РАН, 2008. – С. 149-167.
  4. Золотова Т.В. Оценка экономического ущерба от техногенных происшествий в статической задаче управления риском // Управление риском. – 2008. - №4. – С.2-13.
  5. Золотова Т.В. Корпоративная модель согласования интересов с учетом экологических факторов // Проблемы управления. – 2009. - №4. – С. 24-31. (Zolotova T.V. Corporate model of the coordination of interests in view of ecological factors // Automation and Remote Control. – 2010. - Vol. 72, No. 5. – P. 345-354).
  6. Золотова Т.В. Вопросы согласования интересов в региональной иерархической модели сохранения природных ресурсов // Управление большими системами. Выпуск 26: М.: ИПУ РАН, 2009. – С. 81-101.
  7. Золотова Т.В. Динамическая модель установления равновесного объема инвестиций в разработку мероприятий по снижению ущерба окружающей среде от негативного влияния техносферы // Управление риском. – 2009. - №1. – С. 27-32.
  8. Золотова Т.В. Минимизация риска как основа совершенствования управления в сложных производственных системах // Качество. Инновации. Образование. – 2009. - №1. – С. 32-39.
  9. Золотова Т.В. Критерии риска в задачах оптимального управления портфелем ценных бумаг // Качество. Инновации. Образование. – 2009. - №4. – С. 54-59.
  10. Горелик В.А., Золотова Т.В. Модели анализа и коррекции данных в задачах управления эколого-экономическими процессами // Информационно-измерительные и управляющие системы. – 2009. - №10. – С. 46-55.
  11. Золотова Т.В. Механизм информационного регулирования в иерархической модели управления корпорацией // Системы управления и информационные технологии. – 2010. - №1. – С. 58-63.
  12. Горелик В.А., Золотова Т.В. Управление риском в условиях неопределенности // Управление риском. – 2010. - №1. – С. 11-19.
  13. Горелик В.А., Зверева (Золотова) Т.В. О некоторых задачах фондового инвестирования и менеджмента // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. - М.: ВЦ РАН, 1996. – С. 63-85.
  14. Горелик В.А., Зверева (Золотова) Т.В. Управление портфелем ценных бумаг с использованием элементов прогнозирования // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. – М.: ВЦ РАН, 1997. – С. 43-61.
  15. Горелик В.А., Золотова Т.В. Оптимальное управление в сложных экономических системах с использованием функции риска // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. – М.: ВЦ РАН, 2008. – С. 83-98.
  16. Горелик В.А., Золотова Т.В. Управление риском в играх с природой на основе свертки критериев Вальда и Сэвиджа // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. – М.: ВЦ РАН, 2008. – С. 99-114.
  17. Горелик В.А., Золотова Т.В. Статические минимаксные задачи управления риском // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 2009. – С. 53-61.
  18. Горелик В.А., Золотова Т.В. Двухфакторная производственная модель с учетом техногенного риска // Вопросы оборонной техники. – 2009. - №4. – С. 9-19.
  19. Золотова Т.В. Использование максимальной функции риска при управлении портфелем проектов // Вестник Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»: Вып. 13: Ч. 1: Сб. науч. тр. – Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2009. – С. 3-12.
  20. Золотова Т.В. Модель управления техногенным риском на основе принципа нормирования // Вестник Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»: Вып. 13: Ч. 1: Сб. науч. тр. – Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2009. – С. 13-20.
  21. Зверева (Золотова) Т.В. Математическая модель оценки чувствительности риска возникновения заболеваемости в результате воздействия на человека негативных факторов // Составляющие научно-технического прогресса: 3-я Международная научно-практическая конференция. – Тамбов: ОАО «Тамбовполиграфиздат», 2007. – С. 221-222.
  22. Зверева (Золотова) Т.В. Принцип гарантированного результата в задаче нахождения наилучшей стратегии предприятия с учетом прогноза риска // Дальневосточная весна – 2007: Материалы международной научно-практической конференции в области экологии и безопасности жизнедеятельности. – Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2007. – С. 84-86.
  23. Зверева (Золотова) Т.В. Задача принятия инвестиционных решений по снижению риска заболеваемости от негативного влияния вредных факторов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 14, Вып. 3. Восьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. Часть I. / под ред. Ю.В. Прохорова, А.Р. Симоняна, В.И. Хохлова. – М., 2007. – С. 532-533.
  24. Зверева (Золотова) Т.В. О некоторых задачах принятия решений в области охраны труда // Актуальные проблемы современной науки: Труды 3-го Международного форума (8-й Международной конференции молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части 1, 2: Математика. Математическое моделирование. Самара: Изд-во СамГТУ, 2007. – С. 120-124.
  25. Золотова Т.В. Об одной модели иерархического типа для решения проблемы защиты окружающей среды // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2008. Вып. 9. – С 164-165.
  26. Золотова Т.В. Проблема достижения требуемого уровня качества окружающей природной среды на различных уровнях управления в промышленном секторе // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 16, Вып. 1. Седьмая Международная Петрозаводская конференция «Вероятностные методы в дискретной математике». Научные доклады. Часть III. / под ред. В.Ф. Колчина, В.В. Мазалова, В.И. Хохлова. – М., 2009. – С. 77- 78.
  27. Золотова Т.В. О некоторых подходах к управлению риском в условиях неопределенности с использованием критериев Лапласа и Сэвиджа // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы Третьей международной научной конференции, Т. 1. – Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2009. – С. 161-162.
  28. Золотова Т.В. Об одной задаче связанной коррекции данных при производственном планировании с учетом экологических требований // Актуальные проблемы математики, физики, информатики в вузе и школе: материалы IV региональной научно-практической конференции. - Комсомольск-на-Амуре: Изд-во АмГПГУ, 2009. – С. 52-56.
  29. Горелик В.А., Золотова Т.В. Проблема коррекции данных в задачах управления эколого-экономическими системами // Управление развитием крупномасштабных систем: Материалы Третьей международной конференции, Т. 1. – М.: ИПУ РАН, 2009. – С. 101-104.
  30. Золотова Т.В. Управление риском при выборе оптимального плана развития сложных производственных систем // Управление развитием крупномасштабных систем: Материалы Третьей международной конференции, Т. 1. – М.: ИПУ РАН, 2009. – С. 296-299.
  31. Золотова Т.В. Вопросы минимизации риска при формировании оптимального портфеля ценных бумаг // Управление развитием крупномасштабных систем: Материалы Третьей международной конференции, Т. 1. – М.: ИПУ РАН, 2009. – С. 300-302.
  32. Горелик В.А., Золотова Т.В. Модели регулируемого равновесия в теории иерархических систем // Теория активных систем: Труды международной научно-практической конференции, Т. 1. – М.: ИПУ РАН, 2009. – С. 72-75.





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.