WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 

На правах рукописи

Зеленков Геннадий Анатольевич

МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Специальность 05.13.01 – системный анализ,

управление и обработка информации

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Москва – 2007

Работа выполнена в Морской Государственной Академии

имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, г. Новороссийск.

Научный консультант:        доктор технических наук Кондратьев С.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гребенников Е.А.,

доктор физико-математических наук,

профессор Бекларян Л.А.,

доктор физико-математических наук,

профессор Бутусов О.В.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита диссертации состоится «____» ____________ 2007 г. в ____ часов на заседании Диссертационного совета  Д 002.017.03  в Вычислительном центре имени академика А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан «____» _____________ 2007г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,        

кандидат физико-математических наук Мухин А.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При моделировании систем управления учет неопределенности всегда являлся одной из основных задач. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951), М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. Л. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последнее десятилетие.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер. Затем В.Л. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему – полученную в 1988 г. (A.C. Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный – в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин).

Основными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в пространстве параметров (робастная теория) является весьма важным и актуальным направлением научных исследований, т.к. позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устойчивым весь класс рассматриваемых систем. Это позволяет обеспечить безопасное функционирование управляемого объекта, несмотря на то, что в процессе изготовления и эксплуатации его параметры хотя и могут отличаться от расчетных, но гарантировано будут отвечать устойчивому поведению этого объекта, т.к. они принадлежат области робастной устойчивости. Заметим, что разработка методов решения задач робастной устойчивости, является весьма сложной проблемой. Например: устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства и, поэтому на практике, усилия инженеров и конструкторов направлены на решение конкретных задач.

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: -анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и техники и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.

Работа посвящена разработке новых и развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления. Это исследование проводится с единых позиций – системного анализа робастного поведения управляемых систем в целом, при этом робастная устойчивость этих систем рассматривается как частный случай робастной неустойчивости.

Целью диссертационного исследования является разработка и развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости и неустойчивости систем управления, включающих методы исследования, как робастной устойчивости, так и робастной неустойчивости этих систем.

Областью исследования являются теоретические основы и прикладные методы системного анализа робастной устойчивости и неустойчивости управляемых динамических систем рассматриваемых в первом приближении.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы теории устойчивости (при точном описании систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (при неопределенности в описании этих систем). Кроме того, используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебры, математического анализа и математического программирования.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на известных достижениях в теории устойчивости, робастной теории и корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, выпуклый анализ, теория матриц, теория вероятности.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных и нестационарных систем управления, результатом которого стало, создание новых и развитие наиболее известных критериев робастного поведения непрерывных и дискретных систем, как в пространстве коэффициентов характеристического многочлена, так и в пространстве параметров самой системы. Этот подход является продвижением в развитии методов системного анализа, исследования робастной устойчивости и робастной неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, что позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исходной системы от расчетных, при которых система остается устойчивой или остается неустойчивой. Фактически, разработанные методы исследования робастной неустойчивости позволяют проводить исследование робастной устойчивости, как частного случая робастной неустойчивости.

Практическая значимость. На основе результатов диссертации созданы новые эффективные критерии исследования робастной устойчивости и неустойчивости систем первого приближения, позволяющие проводить системный анализ робастного поведения динамических систем для различных типов неопределенности, как в пространстве параметров самих систем, так и в пространстве коэффициентов их характеристических многочленов. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай. Комплекс критериев и условий, а также разработанных на их основе алгоритмов позволяет исследовать и решать проблему динамической безопасности объектов системно, т.е. исследовать не только границы изменения параметров сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные автором новые прикладные методы системного анализа позволяют разрабатывать более эффективные системы управления, что дает возможность значительно снизить затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Кроме того, отдельные теоретические положения, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в теорию робастной устойчивости, а также представляют новые возможности при решении матричных уравнений и неравенств. Результаты работы использованы для разработки новых спецкурсов по теории устойчивости в условиях неопределенности и чтении общих курсов, таких как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа. Далее – полученные результаты могут использоваться при создании современных объектов кораблестроения и ракетно-космической технике

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-производственном объединении «Машиностроение», а так же в научно-исследовательской работе, проводящейся в Кубанском ГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и монографий, из которых два учебных пособия и одна монография были опубликованы.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию вошли только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутых в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. Всем соавторам принадлежит рассмотрение технических вопросов и частных случаев.

Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 7-ми международных, 1-ой всероссийской и 2-х региональных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Саранске, Самаре, Новосибирске, Чебоксарах, Ростове - на - Дону, Новороссийске. Результаты также обсуждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Московском физико-техническом  институте, Институте системного анализа РАН, а так же на семинарах КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 32 научных работ, среди которых 24 работы вышли в изданиях рекомендованных ВАК для публикации результатов по докторским диссертациям. Также опубликована 1 монография и 2 учебных пособия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации 249 страниц. Список литературы содержит 189 наименований.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

       Получены:

  • Аналитические и графические критерии принадлежности интервальных полиномов однородным классам неустойчивости (классам (n, k)-эквивалентности).
  • Аналитические и графические критерии принадлежности семейств полиномов классам (n, k)-эквивалентности для всех известных описаний неопределенностей.
  • Аналитические критерии робастной экспоненциальной устойчивости для нестационарных линейных систем управления.
  • Аналитические и графические критерии робастной k - стабилизации одномерных систем, замкнутых единичной обратной связью.
  • Аналитические критерии робастной k - диагональности, сверхустойчивости и сверхнеустойчивости k - диагональных матричных семейств.
  • Результаты, устанавливающие связь между числами спектра нестационарной робастной матрицы системы первого приближения с отрицательной определенностью ее квадратичной формы.

Разработаны:

  • Методы построения выпуклых множеств, для систем принадлежащих классам (n,k) – эквивалентности, с помощью допустимых линейных преобразований коэффициентов их характеристических многочленов .
  • Методы исследования робастной устойчивости и построения выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения.

Краткое содержание диссертации.

Во введении приведена общая характеристика представленной диссертации, включая актуальность темы исследования, достоверность, научную новизну, теоретическую и практическую значимость результатов, полученных в работе.

В первой главе: 1. Сделан анализ основных методов исследования асимптотической устойчивости линейных стационарных систем управления с точки зрения возможности их обобщения и использования для выяснения характера неустойчивости этих систем, различая их по числу собственных чисел матрицы  системы лежащих в правой и левой полуплоскости; 2. Доказан ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).

Введено новое понятие.

Определение 1. Полином степени с вещественными или комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней

, , ,

принадлежит классу -эквивалентности, если его корней, с учетом их кратности, лежат в правой полуплоскости.

Анализ основных критериев устойчивости показал: 1. Коэффициентные критерии типа Рауса – Гурвица, Льенара – Шипара, Джури и им подобные, использующие характеристические полиномы матрицы для анализа ее на устойчивость, не удается применить для анализа полинома на принадлежность -классам эквивалентности при ; 2. Метод локализации собственных чисел матрицы В.И. Зубова, хотя и не требует построения характеристического полинома, решает частную задачу – выяснение местоположения всех чисел спектра в заданной области; 3. Фактически, если не считать критерия Михайлова, удобного лишь при небольших порядках системы, для проверки неустойчивости полиномов, остается только метод Рауса понижения порядка полинома, модифицированный для этого случая Н.В. Зубовым, который однозначно решает вопрос о принадлежности полинома к одному из классов -эквивалентности.

Приведем ряд основных теорем доказанных в первой главе.

Теорема 1. Для того, чтобы полином

, , ,

с комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней, принадлежал классу -эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы его годограф при изменении от до проходил, не пересекая точку ноль комплексной плоскости, ровно полуоборотов в положительном направлении (против часовой стрелки) то есть

       .        

При , получим ,как частный случай, критерий Михайлова для устойчивых комплексных полиномов, а при – для вещественных полиномов и .

Теорема 2. Пусть и взаимнопростые полиномы степени и () соответственно  с комплексными коэффициентами и полином имеет , () корней с положительной вещественной частью и не имеет нулевых и чисто мнимых корней. Полином принадлежит классу -эквивалентности тогда и только тогда, когда годограф функции не проходит через точку –1 и делает вокруг нее ровно оборотов против часовой стрелки при изменении от до .

Частотный критерий Найквиста, проверки устойчивости замкнутой системы управления единичной обратной связью, является частным случаем этой теоремы для полиномов с вещественными коэффициентами при , и полуоборотов.

Теорема 3. Если полиномы с комплексными коэффициентами и принадлежат классу -эквивалентности, то для принадлежности этому классу линейного политопа необходимо и достаточно, чтобы годограф не пересекал отрицательную вещественную полуось.

Другие способы локализации спектра матриц как вещественных, так и комплексных, не решают задачу принадлежности данного полинома -классу эквивалентности.

Анализируя классические оценки для чисел спектра матрицы, в диссертации удалось усилить результат Бендиксона и найти простое и краткое доказательство теоремы Гирша, не использующее никаких ссылок. Все доказательства вынесены в приложение 1.

Одним из важных моментов изучения устойчивости систем управления и построения систем стабилизации является исследование знакоопределенности квадратичной формы. Новые подходы, предложенные в диссертации, направлены на получение более простых аналитических и рекуррентных критериев знакоопределенности квадратичных форм, как в общем случае, так и для отдельных классов задач. В работе получены достаточные условия знакоопределенности квадратичных форм не требующие вычисления главных миноров матрицы, а использующие только значения ее коэффициентов. Доказательства теорем по исследованию знакоопределенности квадратичных форм, полученных автором, вынесены в приложение 2.

Так как практически все методы исследования устойчивости линейных систем и локализации спектра ее матрицы используют характеристический полином, не считая метода В.И. Зубова и второго метода Ляпунова, в приложении 3 сделан краткий анализ построения этих полиномов. Как оказалось, в известных руководствах методам вычисления коэффициентов характеристического полинома уделено незаслуженно мало внимания. Более того, рекомендации по их использованию часто поверхностны. Одним из методов построения характеристического полинома по элементам матрицы без вычисления ее собственных чисел является метод А.Н Крылова. В диссертации проведен системный анализ регулярных и нерегулярных случаев этого метода.

       В основе целой группы методов вычисления коэффициентов характеристического полинома лежит теорема Кэли-Гамильтона-Фробениуса кроме того, она является основой многих теоретических результатов полученных в линейной алгебре. Однако, в частности, при решении матричных уравнений, возникает задача о том, имеет ли место обратная теорема. С помощью аппарата – матриц получено частичное решение поставленной проблемы.

Доказана теорема.

Теорема 4. Пусть матрица с вещественными элементами размера – неособенная и справедливо матричное тождество

,

тогда величины являются коэффициентами характеристического многочлена матрицы .

Доказательство этой теоремы вынесено в приложение 4.

Во второй главе проведен системный анализ аналитических критериев робастной устойчивости семейств полиномов с интервальными ограничениями на коэффициенты с целью создания общего подхода – разработки критериев принадлежности этих семейств классам -эквивалентности. Полученные в работе критерии, в частном случае, (когда ) представляют собой, известные критерии устойчивости В.Л. Харитонова, т.е. они, в некотором плане, замыкают результаты в этой области. Таким образом, результаты, полученные другими авторами по устойчивости интервальных полиномов, являются частными случаями общих теорем о робастном поведении интервальных семейств полиномов полученных в диссертации. Точнее, при эти семейства разделяются на классы по неустойчивости. Причем эффективность этих критериев выше, чем известные D-разбиения удобные только в пространстве всего двух или трех параметров или коэффициентов полиномов.

Теорема 5. Пусть полином

принадлежит классу – эквивалентности при некотором , где множество - связно. Тогда семейство принадлежит классу – эквивалентности тогда и только тогда, когда выполняется условие:

.

Доказательство теоремы основано на критерии Михайлова для комплексного случая. Утверждение является обобщением принципа исключения нуля, а при k = 0 является принципом исключения нуля для устойчивых полиномов. Для вещественных коэффициентов .

Определение 2. Назовем интервальный полином с вещественными коэффициентами

интервальным полиномом класса - эквивалентности, если любой полином из этого семейства принадлежит классу - эквивалентности.

Пусть для определенности , (достаточно , ).

Четыре полинома, коэффициенты, которых составлены из крайних значений интервалов в которых они лежат, называют угловыми полиномами , , , интервального полинома . Точнее:

,        ,

,.

Теорема 6. Интервальный полином принадлежит классу -эквивалентности тогда и только тогда, когда:

1. Угловые полиномы находятся в классе - эквивалентности.

2. Для всех вещественных положительных корней полиномов , , , выполняются следующие условия:

если или , то ; если или , то . Где

, ,

, .

Теорема является обобщением известной теоремы Харитонова на случай неустойчивых полиномов, которая при является частным случаем теоремы 6.

Рассмотрим семейство Ф полиномов степени n с комплексными коэффициентами

.

Тогда годограф полинома семейства Ф имеет вид:

, ,

.

Границы изменения всех годографов комплексного интервального полинома Ф для и можно записать в виде.

Если , то:

Если , то:

Угловыми полиномами этого семейства будут восемь полиномов вида:

Теорема 7. Семейство интервальных полиномов Ф принадлежит классу -эквивалентности тогда и только тогда, когда выполняются два условия.

       1.1 Либо все восемь угловых полиномов находятся в классе -эквивалентности.

       1.2 Либо один из восьми угловых полиномов находится  в классе -эквивалентности, а остальные семь угловых полиномов не имеют нулевых и чисто мнимых корней.

       1.3 Либо все восемь угловых полиномов не имеют нулевых и чисто мнимых корней и имеется в семействе Ф хотя бы один полином из класса -эквивалентности.

       2. При :

       если для или , или , то или соответственно;

       если для или , или , то или соответственно.

       При :

       если для или , или , то или соответственно;

       если для или , или , то или соответственно.

При получим теоремы об устойчивости комплексного интервального полинома. Для условия 1.1 это теорема превращается в теорему Харитонова и в этом случае условие 2 не требуется проверять.

Сформулируем геометрические критерии принадлежности комплексного интервального полинома классу - эквивалентности, определив, предварительно, вспомогательные функции.

Определение 3. Назовем сложными угловыми годографами функции:

,

,

Теорема 8. Комплексный интервальный полином Ф принадлежит классу -эквивалентности если и только если выполняются два следующих условия:

    1. Либо каждый из четырех сложных угловых годографов совершает вокруг нуля при изменении от до ровно n-2k полуоборотов против часовой стрелки.
    2. Либо один из четырех сложных угловых годографов совершает вокруг нуля при изменении от до ровно n-2k полуоборотов против часовой стрелки, а другие три при этом не обращаются в ноль.
    3. Либо все четыре сложных угловых годографа не обращаются в ноль при , а в семействе Ф имеется хотя бы один полином, годограф которого совершает вокруг нуля при изменении от до ровно n-2k полуоборотов против часовой стрелки.
  1. Если для какого-либо годографа , имеется такой, что , то при , а при .

       Если для какого-либо годографа имеется такой, что , то при , а при .

При из теоремы следуют геометрические варианты теоремы Харитонова об устойчивости комплексного интервального полинома. В случае 1.1 проверять условие 2 не нужно. В приведенных теоремах обойтись без второго условия нельзя, т.к. для неустойчивых полиномов могут быть «немонотонные» движения годографов при изменении от до (аргумент годографа – не монотонная функция). В связи с этим в первых условиях число полуоборотов может быть отрицательным. Дальнейший анализ показал, что прямых аналогов подобных критериев для дискретных интервальных полиномов построить нельзя.

В третьей главе доказан ряд графических критериев принадлежности семейств вещественных и комплексных интервальных полиномов классам - эквивалентности, причем известный графический критерий Ципкина – Поляка был усилен и обобщен на комплексные интервальные полиномы. В графическом аналоге теоремы Харитонова удалось снять ограничения на коэффициенты интервальных полиномов и охватить все вещественные интервальные полиномы без ограничений на коэффициенты.

Приведем ряд основных теорем доказанных в третьей главе.

Запишем вещественный интервальный полином в форме:

.

Рассмотрим функции:                ,                

,        ,

       

Рассмотрим годограф (назовем его нормированным номинальным годографом):

       

Этот годограф часто называют годографом Ципкина-Поляка.

Теорема 9. Пусть хотя бы один четный и хотя бы один нечетный интервалы коэффициентов не вырождались в точку (т.е. имеются , – четное, m – нечетное, ). Тогда для принадлежности классу -эквивалентности интервального полинома необходимо и достаточно выполнение условий:

a) , ;

б) при изменении от 0 до проходит последовательно через n-2k квадрантов против часовой стрелки и не пересекает квадрата .

Пусть все нечетные интервалы вырождаются в точки, т.е. нечетные и хотя бы один четный интервал не вырождается в точку, т.е. хотя бы один четный . Тогда для принадлежности классу -эквивалентности интервального полинома необходимо и достаточно выполнение 2-х условий:

a) , ;

б) при изменение от 0 до проходит последовательно через n-2k квадрантов против часовой стрелки и не пересекает отрезка на вещественной оси.

Пусть все четные интервалы вырождаются в точки, т.е. четные и хотя бы один нечетный  интервал не вырождается в точку, т.е. хотя бы один нечетный . Тогда для принадлежности классу -эквивалентности интервального полинома необходимо и достаточно выполнение условий:

а) , ;

б) при изменении от 0 до проходит последовательно n-2k квадрантов против часовой стрелки и не пересекает отрезка на мнимой оси.

Нетрудно видеть, что критерий Ципкина-Поляка непосредственно следует из этой теоремы.

Для комплексных интервальных полиномов

,

рассмотрим следующие функции при :

       

       

Кроме того, для номинально годографа введем нормировочные функции:

       

и будем называть при функцию

       

определенную на всей вещественной оси, сложным нормированным номинальным годографом или кратко-сложным годографом. Очевидно, что сложный годограф является ограниченным при и может иметь скачок первой производной в точке у функции и .

Справедлива теорема.

Теорема 10. Для принадлежности классу - эквивалентности комплексного интервального полинома при необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

  1. Сложный годограф при изменении от до проходил последовательно против часовой стрелки через полуоборотов и не пересекал квадрата с вершинами .

Далее, в третьей главе удается снять ограничения за счет ограниченности и непрерывности сложного годографа и распространить теорему на любые семейства комплексных интервальных полиномов. Кроме того, в этой главе построен критерий принадлежности классам - эквивалентности семейств дискретных интервальных полиномов. Таким образом, задача исследования любых семейств интервальных полиномов на устойчивость и неустойчивость в рамках единого подхода полностью решена.

В четвертой главе строится аппарат исследования робастного поведения аффинных семейств полиномов и семейств полиномов с различными описаниями неопределенности в коэффициентах. В рамках нового подхода все известные критерии робастной устойчивости являются просто частным случаем доказанных в этой главе теорем. Приведем основные из них.

Для аффинного семейства полиномов

,

где , , , с реберными

и вершинными полиномами справедлива

Теорема 11. Пусть , , ,

где , – коэффициенты при полиномов и полином принадлежит классу -эквивалентности. Тогда для принадлежности всего аффинного семейства классу -эквивалентности необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

  1. Все реберные полиномы находятся в классе -эквивалентности.
  2. Для любой пары , вершинных полиномов, являющихся концами реберного полинома для их годографов:

,

если вещественный корень уравнения , то при .

В этой главе также доказаны обобщения теоремы 11 на комплексные аффинные семейства полиномов, как в непрерывном, так и в дискретном случаях. Причем -мерный куб параметров можно заменить -мерным параллелепипедом.

Для семейство полиномов с эллиптическими ограничениями

,

(при – сферическим семейством) (как и выше, – масштабные множители, – размах неопределенности, – коэффициенты номинального полинома доказан следующий графический критерий, в котором приняты обозначения.

, , ,

, , –

нормированный годограф. Кроме того, пусть , .

Теорема 12. Для принадлежности эллиптического семейства полиномов классу -эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы , , и годограф при изменении от 0 до проходил последовательно через квадрантов против часовой стрелки и не пересекал круга радиуса с центром в нуле.

При получим известный графический критерий робастной устойчивости для такого типа описания неопределенности коэффициентов полинома.

Ограничения на масштабные множители , в теореме удалось снять за счет ограниченности , что позволило обобщить теорему 12 на произвольный эллипсоид коэффициентов. Кроме того, построены подобные критерии для семейства полиномов с описанием неопределенности комплексных коэффициентов вида: ,

, .

Далее в главе строятся критерии робастного поведения для дискретных семейств полиномов с разного рода ограничениями на коэффициенты. Известные критерии робастной устойчивости являются здесь так же частными случаями общего подхода к проблеме робастности.

Для построения выпуклых множеств коэффициентов полиномов Гурвица используются допустимые линейные преобразования их коэффициентов, оставляющие эти полиномы полиномами Гурвица. Они были предложены Наймарком и дополнены Н.В. Зубовым. Эти преобразования позволяют расширить множество устойчивых интервальных полиномов Харитонова, базируясь на одном интервальном полиноме. При этих преобразованиях угловые точки одного устойчивого выпуклого множества Гурвица переходят в угловые точки другого устойчивого выпуклого множества Гурвица. Однако, при этих преобразованиях, устойчивые интервальные полиномы Харитонова, переходя в устойчивые выпуклые множества Гурвица, могут терять свойства интервальности.

В главе сделано обобщение этой методики на классы (n,k) -эквивалентности и доказан ряд теорем в этой связи.

Далее в главе доказаны критерии существования выпуклых множеств робастно устойчивых и неустойчивых полиномов.

Справедливы теоремы.

Теорема 13. Пусть множество коэффициентов семейства полиномов , представляет собой замкнутое, ограниченное и выпуклое множество , имеющее конечное число угловых точек . Для того, чтобы это множество было выпуклым множество полиномов, принадлежащих классу -эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

  1. Угловые полиномы  ,  являются полиномами из класса -эквивалентности.
  2. Выполняется либо:

а) полиномы

,  ,  где  ,  ,  ,

не имеют общих положительных корней;

б) полиномы являются полиномами из класса - эквивалентности;

в) для всех положительных корней уравнения выполняются неравенства .

В частности, при получим критерий существования выпуклых множеств коэффициентов полиномов Гурвица.

Определение 4. Пусть выпуклое множество коэффициентов полиномов , , , имеет конечное число угловых точек . Назовем это множество коэффициентов выпуклым k - множеством коэффициентов, а семейство полиномов им соответствующее выпуклым k - множеством полиномов, если это семейство полиномов принадлежит классу - эквивалентности.

Доказан графический критерий.

Теорема 14. Для того чтобы семейство полиномов было выпуклым k-множеством полиномов необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

а) Все угловые полиномы с коэффициентами принадлежат классу -эквивалентности;

б) Годографы функций ,

не пересекают отрицательную вещественную полуось при изменении

от 0 до . Очевидно, при k = 0 получим выпуклое множество полино-

мов Гурвица.

Заметим, что теорема 14 является обобщением одного из вариантов критерия Найквиста в части исследования (пункт б)) робастного поведения реберного полинома (линейного политопа).

Далее в главе вводятся новые понятия и доказаны обобщения этой теоремы для семейств полиномов с комплексными коэффициентами (выпуклое комплексное k-множество коэффициентов) и для параметрической зависимости коэффициентов , , или (выпуклое робастное k-множество коэффициентов полинома).

Доказаны обобщения этой части главы для комплексных множеств коэффициентов полинома и коэффициентов, зависящих от параметров.

Также в этой главе, используя понятия робастной стабилизации систем управления замкнутых обратной связью, вводится понятие робастной -стабилизации пары семейств полиномов , , так, чтобы с помощью пары полиномов и семейство полиномов принадлежало классу -эквивалентности. Как следствие, при получим робастную стабилизацию объекта, описанного одномерными передаточными функциями , с помощью заданного регулятора в цепи обратной связи .

Если , – интервальные полиномы ( – параллелепипед в ), то таким уже не является. Поэтому в общем случае аналогов теорем из главы 3 по принадлежности семейства классу -эквивалентности нет, но для частных случаев все же удалось получить соответствующие результаты. Эффективные критерии робастной -стабилизации можно строить, учитывая, что область значений , является восьмиугольником.

Если , – аффинные семейства, то и будет тоже аффинным семейством и верна теорема 11 – обобщение реберной теоремы на классы -эквивалентности в соответствующей формулировке.

Теорема 15. Если , – аффинные семейства и все полиномы , соответствующие ребрам параллелепипеда принадлежат классам -эквивалентности, то семейство находится целиком в этом классе.

Иными словами, при выполнении условий теоремы аффинные семейства , , можно робастно -стабилизировать с помощью пары полиномов и . В работе строятся обобщения для полиномов с комплексными коэффициентами, что имеет уже самостоятельный интерес.

В случае непараметрической неопределенности одномерных передаточных функций для открытой системы замкнутой единичной обратной связью доказан критерий робастной -стабилизации который, при дает робастный критерий Найквиста.

Пусть открытая система описывается семейством скалярных передаточных функций,

,;

где - частотная неопределенность, , - некоторая функция, что существует и , . Точнее - пространство дробно-рациональных функций, т.е. функций вида , где A – полином, B -полином Гурвица, . Очевидно, выполняется условие

означает здесь норму функции.

При отсутствии неопределенности, такая система, замкнутая единичной обратной связью, является или нет устойчивой, решается с помощью годографа Найквиста. Если же имеется неопределенность описанного выше типа, задача исследования на робастную устойчивость замкнутой системы решается с помощью робастного аналога критерия Найквиста.

Здесь предлагается ставить задачу шире, т.е. исследовать вопрос о робастной k-стабилизации.

Теорема 16. Пусть неопределенности удовлетворяют неравенству

и передаточные функции имеют одинаковое число m неустойчивых полюсов при всех допустимых . Замкнутая система робастно k - стабилизируема (ее характеристические полиномы принадлежат классу -эквивалентности) тогда и только тогда, когда годограф

, ,

Охватывает круг с центром в точке -1 и радиусом раз против часовой стрелки, не пересекая его.

В аналитической форме этот графический критерий можно сформулировать следующим образом.

Теорема 17. Если номинальная замкнутая система с передаточной функцией разомкнутой цепи имеет характеристический полином из класса -эквивалентности, то семейство замкнутых систем с передаточной функцией  робастно k-стабилизируема тогда и только тогда, когда

,,

или

.

Ясно, что при k = 0 имеем робастно устойчивую стабилизацию.

Отдельный параграф этой главы посвящен вероятностному подходу к общей задаче исследования принадлежности классам -эквивалентности семейств полиномов. Проведен анализ метода Монте – Карло (ММК) для построения множеств годографов и исследования их геометрических свойств. Для некоторых законов распределения построены аппроксимации точных критериев принадлежности семейств полиномов классам -эквивалентности. Как следствие при получаются соответствующие вероятностные критерии для робастной устойчивости семейств полиномов.

В пятой главе проведен системный анализ методов исследования робастной устойчивости матриц систем управления по первому приближению, сводящихся к сохранению инвариантом локализацию собственных чисел семейств матриц слева от мнимой оси с различным описанием матричной неопределенности. Этот анализ позволил в рамках единого подхода к исследованию робастной устойчивости и неустойчивости (робастного поведения) семейств матриц линейных систем в ряде случаев найти условия принадлежности матричных семейств классам -эквивалентности.

Определение 5. Матрицу будем называть:

а)        устойчивой, если весь ее спектр локализован слева от мнимой оси;

б)        устойчивой по Шуру, если ее спектр локализован внутри круга единичного радиуса.

в)        принадлежащей классу -эквивалентности, если чисел спектра вместе с кратностями лежат справа от мнимой оси, а – слева.

г)        принадлежащей классу -эквивалентности по Шуру, если чисел ее спектра находятся вне круга единичного радиуса, а – внутри этого круга.

Как известно, исследование робастного поведения матричных семейств даже таких простых, как интервальное семейство, задаваемое в форме , , и аффинное семейство , , , – размах неопределенности, является значительно более сложной задачей чем исследование полиномиальных семейств. Это связано с тем, что нет аналога теоремы Харитонова и не верна реберная теорема для матричных семейств.

Использование идей теории возмущений или поиски общей функции Ляпунова не позволяют найти хотя бы достаточное условие принадлежности семейств матриц классам -эквивалентности.

Предлагается другой подход, связанный со сверхустойчивостью матриц.

Определение 6. Если:

а) матрица принадлежит классу -эквивалентности и ее элементов на главной диагонали имеют положительное диагональное преобладание по строке;

б) остальные элементов на этой диагонали имеют отрицательное диагональное преобладание по строке;

то такую матрицу назовем матрицей с -диагональным преобладанием или -диагональной.

Аналогичное понятие вводится для комплексных матриц с диагональным или -диагональным преобладанием по реальной или мнимой частям.

Покажем, как «работает» этот подход. Рассмотрим интервальное матричное семейство в виде:

, , , , .

Номинальная матрица – -диагональная. Точнее, для элементов выполняется

,

а для остальных выполняется

.

Заметим, что в первом случае , а во втором .

Обозначим , тогда .

Теорема 18. Для того, чтобы все матрицы интервального матричного семейства были -диагональными необходимо и достаточно, чтобы номинальная матрица была -диагональной и размах неопределенности был меньше, чем радиус -диагональности ,

Если , , то .

Таким образом, удалось найти в явном виде радиус -диагонального преобладания (-диагональности) интервального матричного семейства. Очевидно, при получим радиус сверхустойчивости такого семейства со сверхустойчивой номинальной матрицей.

Определение 7. Назовем матрицу -диагональной по Шуру, если:

а) она принадлежит классу -эквивалентности по Шуру;

б) ее элементов на главной диагонали удовлетворяют неравенствам:

,

а остальных ее элементов на главной диагонали удовлетворяют неравенствам:

.

Теорема 19. Для того, чтобы все матрицы интервального семейства были -диагональными по Шуру необходимо и достаточно, чтобы номинальная матрица была -диагональной по Шуру и размах неопределенности был меньше, чем радиус -диагональности по Шуру ,

.

Понятно, что при получим радиус сверхустойчивости по Шуру , где – строчная норма. Если все получим . При последняя формула дает – радиус свехустойчивости по Шуру в этом случае.

Определение 8. Будем называть семейства матриц c k-диагональным преобладанием и неопределенностью любого типа – робастно k-диагональными, а семейства матриц c k-диагональным преобладанием по Шуру и неопределенностью любого типа – робастно k-диагональными по Шуру.

Таким образом, в теоремах 18 19 получены критерии робастной k-диагональности матриц, что при k = 0 дает, в частности, критерии робастной сверхустойчивости семейств интервальных матриц линейных непрерывных и дискретных систем управления.

Далее в главе исследуется робастное поведение семейств матриц из и с неопределенностью заданной матричными нормами. Однако, удалось найти только достаточные условия принадлежности семейств матриц классам -эквивалентности (матриц).

Обозначим семейство матриц , , где номинальная матрица принадлежит классу -эквивалентности, а для определенности – спектральная норма.

Определение 9. Если семейство матриц , , где принадлежит классу -эквивалентности, принадлежит такому же классу эквивалентности при , то будем называть k-радиусом семейства матриц .

Задача поиска комплексного k-радиуса оказалась относительно проще, чем вычисление вещественного k-радиуса. Приведем здесь утверждение для первого случая.

Теорема 20. Комплексный k-радиус семейства матриц , , из класса -эквивалентности, вычисляется по формуле

,

где - первое сингулярное число матрицы .

Заметим, что при k = 0, как следствие, получим комплексный радиус устойчивости матричного семейства , для устойчивой комплексной матрицы .

Аналогичная формула комплексного k-радиуса получена для структурированной неопределенности для семейства матриц , где – из класса -эквивалентности, – заданные прямоугольные матрицы, . При k = 0 такие задачи возникают, когда имеется неопределенность в цепи обратной связи системы управления и требуется найти радиус устойчивости семейства. При получается рассматриваемая выше задача. В общем случае

.

Далее в главе найдены формулы для вещественного k-радиуса, когда , – соответствующие вещественные матрицы.

Для дискретных семейств матриц, т.е. семейств принадлежащих классу -эквивалентности по Шуру, доказаны аналогичные теоремы, дающие формулы k-радиуса этих семейств.

Установлены достаточные условия существования устойчивых выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения, что относится к матричной робастной устойчивости.

Теорема 21. Пусть матрицы , ,…, являются отрицательноопределенными. Тогда аффинное семейство , является устойчивым.

Заметим, что в условиях теоремы – устойчивое выпуклое множество.

Найдены условия робастной экспоненциальной устойчивости нестационарных систем управления.

Теорема 22. Если матрица семейства нестационарных линейных систем управления определена и непрерывна в области , где , , , , то для робастной экспоненциальной устойчивости системы достаточно чтобы Эрмитова составляющая матрицы системы была отрицательно определенной в , и выполнялось одно из условий:

, ;

;

.

Где – собственные числа матрицы .

Построены примеры показывающие, что в отличие от стационарных систем для асимптотической устойчивости нестационарной системы не достаточно устойчивости матриц этой системы или отрицательной определенности ее Эрмитовой составляющей в каждой точке области .

Для того чтобы сопоставить этот результат, с результатами, полученными для устойчивых полиномов, установлен вид взаимно однозначной связи между собственными числами матрицы системы линейного приближения и отрицательной определенностью её квадратичной формы, в случае, когда матрица ортогонально подобной своей вещественной Жордановой форме. Анализ этой однозначной связи показал, что при увеличении кратности корней матрицы , для отрицательной (положительной) определенности ее квадратичной формы необходимо, чтобы они лежали в левой (правой) полуплоскости и достаточно, чтобы они были расположены в полуплоскости , а для положительной определенности — в полуплоскости .

Если же матрица не является ортогонально подобной своей вещественной Жордановой форме, то в работе приведен ряд примеров, показывающих нарушение прямой связи устойчивости и даже сверхустойчивости со знакоотрицательностью ее вещественной Жордановой формы.

Последний параграф главы посвящен вероятностному подходу к робастному поведению матричных семейств и вычислению вероятностного k -радиуса семейства матриц , где – номинальная матрица из класса -эквивалентности, а матричная неопределенность ограничена по норме.

Получены формулы вероятностного k - радиуса для разных законов распределения матричной неопределенности , которые значительно больше чем k - радиусы для матричных семейств детерминированных непрерывных и дискретных линейных систем управления.

Основные результаты диссертационной работы.

Исследования и результаты, полученные в диссертации, являются системными. Во-первых, они направлены на получение новых и усиление известных методов исследования робастной устойчивости. Во-вторых, они реализуют системный подход к анализу самой робастной устойчивости, ранжируя ее по порядку системы, по способу описания неопределенности, по особенностям задачи, по числовым полям принадлежности коэффициентов и параметров, по удобству использования тех или иных критериев и подходов и т.д. В-третьих, полученные результаты использованы для создания общего подхода к проблеме робастности, а именно, исследования, как робастной устойчивости, так и робастной неустойчивости. При этом, разработаны критерии принадлежности робастных линейных систем классам (n,k) - эквивалентности, в которых при получим устойчивость семейства матриц, а при — неустойчивость. В-четвертых, получены отдельные результаты, относящиеся не только к теме исследования, но и имеющие значение выходящее за его рамки.

  1. Сделан обзор и проведен анализ методов исследования робастной устойчивости для различных типов неопределенности при описании линейных систем. Приведены новые доказательства известных результатов и сделаны обобщения некоторых аналитических и графических критериев.
  2. Сформулирован и доказан новый графический критерий для комплексных интервальных полиномов. Сняты ограничения в графическом критерии Ципкина-Поляка в вещественном случае.
  3. В рамках нового подхода, исследования робастной устойчивости семейств полиномов принадлежащих классу (n,k) - эквивалентности, получены новые аналитические и графические критерии, для которых известные критерии робастной устойчивости являются частным случаем.
  4. Для робастных одномерных систем управления введено понятие k-стабилизации, и доказаны обобщения известных теорем по робастной стабилизации открытых систем с помощью единичной обратной связи.
  5. Введено новое понятие k-диагональной матрицы и доказаны обобщения теорем о робастной сверхустойчивости и сверхнеустойчивости матричных семейств.
  6. Получены условия экспоненциальной устойчивости робастных нестационарных систем управления и показана их прямая связь с асимптотическим поведением чисел спектра матриц возле мнимой оси.
  7. Показано, что метод допустимых линейных преобразований коэффициентов характеристического полинома, сохраняющих их устойчивость и позволяющий строить новые устойчивые выпуклые множества Гурвица можно использовать для построения выпуклых множеств неустойчивых полиномов, т.е. классов (n,k) – эквивалентности.
  8. Получены аналитические и графические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических полиномов, так и в пространстве параметров самой системы первого приближения в нестационарном случае.
  9. Доказано, что при некоторых условиях имеется взаимнооднозначная связь между собственными числами нестационарной матрицы первого приближения с отрицательной определенностью ее квадратичной формы.
  10. С помощью метода понижения порядка получены эффективные критерии знакоопределенности квадратичных форм, удобные для программной реализации.
  11. С помощью квадратичных форм получено простое доказательство неравенств для спектров вещественных и комплексных матриц.
  12. Получено обращение теоремы Кэли-Гамильтона-Фробениуса.
  13. Построены алгоритмы и проведено большое количество численных экспериментов, подтверждающих теоретические результаты.

Основные публикации по теме диссертации.

  1. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Косюг В.И. Построение систем непрерывной стабилизации. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7. М.: ВЦ РАН, 2005, с. 44-50.
  2. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Стрюк Е.В. Критерии устойчивости для нелинейных систем управления с последействием. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. «Проблемы водного транспорта». Спец. выпуск. Ростов-на-Дону. РГУ, 2004, с. 113-115.
  3. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. Необходимые и достаточные условия существования выпуклой области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического многочлена. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. № 3. Ростов-на-Дону. РГУ, 2005, с. 17-21.
  4. Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Определение местоположения собственных чисел матрицы с помощью квадратичных форм. Труды Института системного анализа РАН «Динамика нелинейных систем». Выпуск 17(1). СПб.: «Мобильность плюс», 2005, с. 108-111.
  5. Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов И.Н. Необходимые и достаточные условия существования интервальных классов эквивалентности неустойчивых полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Том 10(1). М.: Изд-во «КомКнига», 2006, с. 116-120.
  6. Зеленков Г.А. Вычислительные матричные методы исследования переходных процессов. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 6(2). М.: ВЦ РАН, 2004, с. 46-49.
  7. Зеленков Г.А. Критерии сверхустойчивости для систем с последействием по первому приближению. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7. М.: ВЦ РАН, 2005, с. 37-44.
  8. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Косюг В.И. Критерии устойчивости систем непрерывной стабилизации при постоянных запаздываниях. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7. М.: ВЦ РАН, 2005, с. 50-57.
  9. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Неронов В.Ф. Критерии существования выпуклых множеств неустойчивых многочленов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика нелинейных систем». Выпуск 17(1). СПб.: «Мобильность плюс», 2005, с. 145-148.
  10. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О методах построения характеристического многочлена. Труды Института системного анализа РАН «Динамика нелинейных систем». Выпуск 17(1). СПб.: «Мобильность плюс», 2005, с. 149-165.
  11. Зеленков Г.А. Матричные критерии робастной устойчивости. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 9(2). М.: Изд-во «КомКнига», 2005, с. 126-135.
  12. Зеленков Г.А., Зубов И.Н. Решение обратной задачи Гамильтона-Кэли – Фробениуса.  Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 10(1). М.: Изд-во «КомКнига», 2005, с. 163-165.
  13. Зеленков Г.А. Робастная устойчивость в системах первого приближения. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7(2). М.: ВЦ РАН, 2005, с. 13-15.
  14. Зеленков Г.А. Устойчивость нестационарной матрицы системы первого приближения и ее Жорданова форма. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7(2). М.: ВЦ РАН, 2005, с. 16-19.
  15. Зеленков Г.А. Зубов И.Н. Критерии робастной неустойчивости для полиномов различных классов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 188-190, 2006.
  16. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Мухин А.В. Оценки устойчивости систем с последействием на конечном интервале времени. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 8. М.: ВЦ РАН, 2006, с. 92-97.
  17. Зеленков Г.А. О графических критериях робастной устойчивости интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 181-187, 2006.
  18. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О робастной устойчивости матриц линейных динамических систем первого приближения. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Приложение. №2. Естественные науки. Ростов-на-Дону: РГУ, 2006, с 6-9.
  19. Зеленков Г.А. Критерии (n,k)-эквивалентности неустойчивых полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 165-174, 2006.
  20. Зеленков Г.А., Зубов И.В. Необходимые и достаточные условия существования аттрактора для нелинейной системы. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. Приложение № 3. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 9-11.
  21. Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Оценка спектра матрицы линейного оператора в унитарном пространстве. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 191-198, 2006.
  22. Зеленков Г.А. Области неустойчивости характеристических полиномов грубых систем. Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. Новосибирск: НГУ, 2007, с. 582-583.
  23. Зеленков Г.А. О графических критериях устойчивости комплексных интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 175-180, 2006.
  24. Зубов И.В., Зеленков Г.А., Мухин А.В. Единая система вычислительных алгоритмов. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. Приложение № 3. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 11-15.
  25. Зубов Н.В., Зеленков Г.А., Мухин А.В. Критерии устойчивости систем с последействием на конечном интервале времени. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. Спецвыпуск.Часть 2. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 48-51.
  26. Зеленков Г.А. Аналитические и численные методы построения характеристического многочлена: Монография. – Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2007. – 128 с.
  27. Dicusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Quadratic Form for Evalution of Location the Eigenvalues of Matrix. 4-th International Workshop, CASTR 2007. Poland, Siedlce: 2007, p. 87-89.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.