WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Ухинов Сергей Анатольевич

МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ПОЛЯРИЗОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск – 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Михайлов Геннадий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Сушкевич Тамара Алексеевна доктор физико-математических наук, профессор Кабанихин Сергей Игоревич доктор физико-математических наук, профессор Креков Георгий Михайлович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича Сибирского отделения РАН

Защита состоится 29 марта 2011 года в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, проспект Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н. С. Б. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Имеется целый ряд физических проблем, требующих достаточно точного решения задач теории переноса излучения в атмосфере с учетом поляризации. Это, прежде всего, задачи интерпретации оптических наблюдений.

Диссертационная работа посвящена разработке методов статистического моделирования и вычислительных алгоритмов для исследования свойств поляризованного излучения и решения обратных задач атмосферной оптики по определению параметров, определяющих взаимодействие излучения с рассеивающей и поглощающей средой (коэффициентов взаимодействия, индикатрисы рассеяния).

Известное математическое описание процесса переноса поляризованного излучения предоставляет удобный инструмент для исследования этого процесса. Базовыми при этом являются вектор-функции Стокса, компоненты которых определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения, и интегро-дифференциальное уравнение переноса, описывающее процесс переноса.

Процесс переноса излучения можно также описать интегральным уравнением второго рода, оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество векторфункций Стокса.

Изучению уравнений переноса излучения посвящена обширная литература. В ней содержатся математические постановки задач теории переноса, вывод интегро-дифференциального и интегрального уравнений переноса, дается обоснование условий существования собственных значений, разрабатываются численные методы решения соответствующих задач. Существенное место здесь занимает метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), так как уравнение переноса трудно разрешимо классическими методами вычислительной математики, если учитываются реальные индикатрисы и неоднородность среды. Во многих случаях практически это можно осуществить методом Монте-Карло.

Процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов. Построение случайных траекторий для “физической” модели процесса принято называть прямым моделированием. При этом в скалярном варианте веса не используются и дисперсии оценок метода Монте-Карло заведомо конечны. Указанный выше пересчет вектора Стокса уже предполагает использование матричного веса. В связи с этим ранее были построены и предварительно исследованы общие матрично-весовые алгоритмы для решения систем интегральных уравнений теории переноса излучения с учетом поляризации.

Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.

Рассматриваемая математическая модель процесса переноса излучения позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем. Рассматривается некоторый линейный функционал I от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования , математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала I, разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, для определения характеристик поляризованного излучения “в точке” используются локальные оценки. Обладая же возможностью вычисления характеристик излучения можно ставить и решать задачи определения параметров рассеивающей среды по некоторым заданным результатам наблюдений.

Для успешного применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала I необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки , ее несмещенность и конечность дисперсии. В общем случае эти условия оказываются достаточно жесткими, однако специфика рассматриваемой системы интегральных уравнений позволяет существенно их ослабить. При этом оказывается, что дисперсия векторных оценок метода Монте-Карло может быть бесконечной даже в том случае, когда соответствующие скалярные оценки (без учета поляризации) имеют конечную дисперсию. Это, естественно, приводит к необходимости проведения дополнительного теоретического и численного анализа условий конечности дисперсии в векторном случае.

Однако, даже если дисперсия оценки конечна, она может быть довольно большой, и соответствующий алгоритм метода МонтеКарло может оказаться практически неприменимым. В этом случае необходимо применять специальные весовые модификации моделирования переноса излучения с поляризацией, приводящие к уменьшению дисперсии оценок метода Монте-Карло.

Рассмотрение обратных задач и, применительно к ним, итерационных процессов (Ньютона–Канторовича и других) приводит к необходимости получения оценок параметрических производных соответствующих линейных функционалов. В этом случае целесообразным представляется использовать уже имеющиеся стандартные оценки , сведя задачу к вычислению параметрических производных этих оценок. При этом опять возникает необходимость рассмотрения условий несмещенности и конечности дисперсии полученных оценок производных.

Отметим, что использование итерационного процесса Ньютона– Канторовича обладает, помимо всего прочего, еще одной особенностью. А именно, его применение сопряжено с обращением матриц, элементы которых рассчитываются с использованием реализаций оценок производных . При этом обращаемые матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. В этом случае на первый план выступают вопросы уменьшения дисперсии оценок производных и исследования альтернативных итерационных методов.

В диссертации рассмотрены три задачи оптического зондирования атмосферы, имеющие практическое значение. Две из них относятся к так называемому пассивному зондированию, когда по измерениям приходящего в приемник рассеянного солнечного излучения требуется определить параметры аэрозольной составляющей атмосферы.

Первая задача состоит в определении высотного хода (распределения) коэффициента аэрозольного рассеяния в атмосфере.

Наиболее информативными наблюдениями в этой задаче считаются наблюдения из космоса, численному моделированию которых и сравнению с экспериментальными данными посвящено много работ.

Очевидно, что наземные наблюдения рассеянного солнечного излучения являются менее дорогостоящими, однако их информативность возможна только в сумерках. Исследованию сумеречного метода зондирования с поверхности Земли, моделированию наблюдений методом Монте-Карло и сравнению с экспериментом также посвящено много работ.

Следует отметить, что решение задач переноса излучения в сумерках является значительно более сложной проблемой, чем в дневной области. Во-первых, необходимо рассматривать сферическую геометрию атмосферы Земли, что усложняет алгоритмы, а вовторых, в этих задачах присутствуют большие оптические толщи среды на пути света от Солнца к приемнику, которые приводят к необходимости учета вкладов от рассеяний многих порядков. Погрешности метода Монте-Карло в сумеречных расчетах, при этом, оказываются на порядок больше погрешностей расчетов в дневной области Земли, а погрешности расчетов параметрических производных от функционалов на порядок больше погрешностей расчета самих функционалов. Поэтому важными этапами решения обратных задач являются как разработка и исследование алгоритмов расчета соответствующих параметрических производных, так и анализ погрешностей соответствующих оценок. Учет поляризации излучения еще больше усложняет обратную задачу, но дает возможность ее решения не только по данным измерений интенсивности излучения, но и по измерениям других компонент вектор-параметра Стокса.

Вторая задача состоит в определении индикатрисы аэрозольного рассеяния по наблюдениям яркости неба с поверхности Земли в альмукантарате Солнца, то есть в различных направлениях, составляющих с зенитом тот же угол, что и направление на Солнце. Поле излучения в атмосфере формируется одно- и многократно рассеянным солнечным светом, а также отраженным от подстилающей поверхности излучением. В приближении однократного рассеяния наблюдаемые значения яркости пропорциональны соответствующим значениям индикатрисы. Для оценки индикатрисы было построено несколько итерационных алгоритмов, в которых с помощью математического моделирования последовательно уточняются значения индикатрисы на основании информации об угловом распределении поля яркости на подстилающей поверхности и предположения, что доля однократно рассеянного излучения достаточно велика.

Учет поляризации излучения в этой задаче ранее не производился, хотя известно, что она влияет на интенсивность приходящего в альмукантарате излучения.

Третья задача состоит в исследовании временн асимптотики ой многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. Получение оценок параметров асимптотики для данной задачи является актуальной и до сих пор мало исследованной проблемой.

Основные цели работы.

• Обоснование применения метода Монте-Карло для расчета функционалов и их параметрических производных от решения системы интегральных уравнений переноса поляризованного излучения. Получение условий несмещенности и конечности дисперсий соответствующих статистических оценок. Исследование спектрального радиуса оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло, построение и реализация алгоритма для его численной оценки.

• Разработка и численная апробация алгоритмов решения задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы по результатам измерений поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

• Построение и обоснование итерационного метода восстановления индикатрисы рассеяния по наземным наблюдениям интенсивности поляризованного излучения в альмукантарате Солнца. Разработка комплекса программ, реализующих рассматриваемые алгоритмы. Исследование сходимости алгоритмов при различных параметрах среды.

• Разработка и обоснование алгоритмов оценки параметров временн асимптотики многократно рассеянного поляризованой ного излучения. Разработка комплекса программ, проведение численных расчетов и определение параметров асимптотики для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения.

Методы исследования базируются на теории переноса излучения, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых методов численного статистического моделирования.

Научная новизна.

1. Получены ослабленные условия несмещенности и конечности дисперсии весовых векторных оценок метода Монте-Карло в случае нестоксовского свободного члена сопряженного векторного уравнения переноса.

2. Впервые получены условия несмещенности и конечности дисперсии весовых оценок производных по параметрам, входящим в матричное ядро уравнения переноса.

3. Проведено исследование спектрального радиуса матричноинтегрального оператора Kp, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло.

Построен алгоритм оценки спектрального радиуса оператора Kp методом Монте-Карло на основе итераций соответствующей резольвенты. С помощью расчетов, а также приближенно аналитически, показано, что величина (Kp) для ограниченной среды приближенно равна произведению спектральных радиусов оператора, соответствующего переносу излучения без поляризации и оператора, соответствующего переносу излучения в бесконечной однородной среде, который вычислен для молекулярного и тестового аэрозольного типов рассеяния.

4. Впервые получены теоретические выводы о конечности дисперсий оценок функционалов при использовании различных весовых модификаций метода Монте-Карло. Проведены численные эксперименты по исследованию поведения статистических оценок и их дисперсий при значениях коэффициента поглощения в среде близких к критическим, для которых теоретически дисперсия оценок бесконечна.

5. Впервые получены выражения для вычисления производных весовых оценок по коэффициентам поглощения, рассеяния и аэрозольного рассеяния в неоднородной атмосфере с учетом поляризации.

6. Предложены способы уменьшения дисперсии оценок производных, основанные на методе рандомизации и билинейном представлении оцениваемых функционалов.

7. Осуществлена численная реализация разработанных автором алгоритмов с использованием модифицированной двойной локальной оценки для сферической геометрии атмосферы.

8. Впервые получены условия применимости разработанных алгоритмов к решению задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по наблюдениям поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

9. Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости поляризованного излучения в альмукантарате Солнца предложен новый итерационный метод, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности. Дано теоретическое обоснование сходимости предложенного метода, подтвержденное численными расчетами.

10. На основе теории параметрического дифференцирования векторных оценок разработан алгоритм вычисления матрицы Якоби для построенного итерационного метода. Численные эксперименты позволили обосновать сходимость этого метода для различных параметров среды и также показали целесообразность учета поляризации при восстановлении индикатрисы.

11. Разработаны и обоснованы новые алгоритмы вычисления параметров временн асимптотики интенсивности многократно ой рассеянного поляризованного излучения. Первый алгоритм, основанный на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса, позволяет оценивать параметр экспоненциальной асимптотики. Второй алгоритм, основанный на параметрическом дифференцирования по времени специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией, позволяет оценивать параметры как экспоненциальной, так и степенной асимптотик.

12. Впервые аналитически получено значение экспоненциальной временн асимптотики интенсивности поляризованного излуой чения для бесконечного однородного пространства.

13. С помощью прецизионных расчетов впервые показано, что для ограниченных сред и различных типов рассеяния значения параметров экспоненциальной временной асимптотики в случае учета поляризации и без ее учета не совпадают, то есть деполяризация потока излучения несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике.

14. Получены значения параметров асимптотик для различных функционалов от интенсивности поляризованного излучения, в том числе для излучения, являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании полубесконечной атмосферы. Показано, что в этом случае тип рассеяния и поляризация не влияют на параметры асимптотики с точностью до статистической погрешности.

Достоверность полученных выводов подтверждается математическим анализом разработанных алгоритмов, проведением численных экспериментов для модельных задач с известным точным решением, контрольными расчетами альтернативными методами, сравнением результатов с исследованиями других авторов.

Практическая значимость работы. Для решения ряда важных прикладных задач существенным является то обстоятельство, что полученные в диссертации условия несмещенности и конечности дисперсии оценок параметрических производных функционалов от решения векторного уравнения переноса оказались практически совпадающими с аналогичными условиями для оценок самих функционалов. Критерий конечности дисперсии при этом связан с величиной спектрального радиуса матрично-интегрального оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Применение разработанных автором алгоритмов оценки этого спектрального радиуса позволяет сделать выводы о конечности дисперсии оценок, используемых при решении практических задач.

Разработанные новые математические методы и вычислительные алгоритмы определения параметров атмосферного аэрозоля по наблюдениям поляризованного солнечного излучения могут найти применение при интерпретации соответствующих экспериментальных данных.

Разработанные автором методы и алгоритмы оценки параметров асимптотики поляризованного излучения могут быть использованы при исследовании поведения практически важных функционалов на больших временах. Полученные в диссертации параметры асимптотики “помехи обратного рассеяния” могут быть использованы при решении задач лазерного зондирования атмосферы и океана.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации новые результаты получены при непосредственном личном определяющем участии автора. Соавторы совместных работ Юрков Д. И, Трачева Н. В., Чимаева А. С. являются учениками Ухинова С. А.:

он был научным руководителем их кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН, на Международных семинарах по математическому моделированию (С.-Петербург; 1998, 2001, 2009 гг.), на Международном симпозиуме стран СНГ “Атмосферная радиация” (С-Петербург; 1999 г.), на Всероссийских конференциях по вычислительной математике (Новосибирск; 2002, 2007, 2009 гг.), на Международной конференции по математическим методам в геофизике (Новосибирск; 2008 г.), на Второй молодежной международной научной школе-конференции “Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач” (Новосибирск; 2010 г.), на Объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН (2010 г.).

Публикации. По теме диссертации в ведущих рецензируемых научных журналах автором с соавторами опубликовано более двадцати работ. Основные результаты диссертации содержатся в тринадцати работах в журналах из Перечня ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы и подразделы, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 235 страницах, включает библиографический список из 80 наименований работ, 20 рисунков, 41 таблицу.

Краткое содержание работы Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, цель и задачи исследований, дается краткий обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, изложено содержание диссертации по главам и подразделам.

Глава 1 посвящена описанию математической модели переноса поляризованного излучения, построению и обоснованию соответствующих оценок метода Монте-Карло.

В разделе 1.1 рассматривается множество вектор-функций СтокT са, имеющих вид I = I, Q, U, V в четырехмерном функциональном пространстве Lp. При этом для компонент этих функций (параметров Стокса) справедливы следующие соотношения: I 0, I2 Q2 + U2 + V. Для стационарных задач компоненты стоксовских вектор-функций зависят от пяти переменных: I = I(x), x X, где X = R , R R3 – пространство координат, = { R3 :

|| = 1} R2 – пространство единичных векторов направлений.

В нестационарном случае появляется зависимость от времени: X = RT, T R. Доказано, что это множество является нормальным воспроизводящим конусом. При этом оказалось, что множество операторов, оставляющих инвариантным конус вектор-функций Стокса (множество положительных операторов), также является воспроизводящим конусом.

В разделе 1.2 введены интегро-дифференциальное и интегральные уравнения второго рода с обобщенным ядром, описывающие процесс переноса поляризованного излучения.

Традиционной математической моделью процесса переноса поляризованного излучения является стационарное интегродифференциальное уравнение переноса (r, ) + (r)(r, ) = s(r)P (, , r)(r, ) d + f0(r, ), или в операторном виде L + = S + f0, (1) где (x) = (1(x), 2(x), 3(x), 4(x))T I(x) – вектор-функция (вектор Стокса) плотности потока частиц (“векторных фотонов”), иначе – вектор функция интенсивности излучения, s(r) – сечение (коэффициент) рассеяния, (r) = s(r) + c(r) – полное сечение (коэффициент полного взаимодействия со средой), c(r) – сечение (коэффициент) поглощения; f0 = (1) (2) (3) (4) (f0, f0, f0, f0 )T – вектор-функция плотности распределения источника частиц, символ T у вектора означает его транспонирование, то есть вектор-столбец.

Матричная функция рассеяния (фазовая матрица рассеяния) P (, , r) определяется соотношением P (, , r) = ( - i2)R(, , r)(-i1), где – специальная матрица поворота, R – матрица рассеяния, i1 – угол между плоскостью , e и плоскостью рассеяния , ;

i2 – угол между плоскостью рассеяния , и плоскостью , e;

e – вектор локальной сферической системы координат, обычно равный (0,0,1) в плоской геометрии и r/|r| в сферической геометрии.

В общем случае, при существовании в среде различных видов рассеяния (рассеивающих субстанций), матрица R представляется как средневзвешенное от соответствующих матриц рассеяния. Так, для молекулярного (рэлеевского) и аэрозольного в изотропной среде типов рассеяния:

Ra(µ, r)a(r) + Rm(µ)m(r) R(µ, r) =. (2) a(r) + m(r) где Ra, Rm – матрицы аэрозольного и молекулярного рассеяния, a, m – соответствующие сечения рассеяния, µ = (, ) – косинус угла рассеяния.

Рассмотрим вектор-функцию плотности столкновений (r, ), котрая связана с вектор-функцией интенсивности излучения соотношением: = = (1, 2, 3, 4)T = (1, 2, 3, 4)T.

Известно, что она удовлетворяет векторно-интегральному уравнение переноса с учетом поляризации в L1(X) :

(x) = K(x, x)(x )dx + F (x), или = K + F, (3) X Ядро оператора K имеет вид:

(r)exp{-(r, r)}s(r )P (, , r ) K(x, x) = ( - s), (4) (r )|r - r||r-r | где (r, r) = (r +st)dt оптическая толщина отрезка (r, r);

вектор s = (r - r )/|r - r |, x = (r, ) X.

В разделе 1.2 также определены обобщенные интегральные операторы рассеяния C и столкновений l, причем оператор K является их композицией: K = l C, а уравнение с оператором Ke = C l определяет вектор-функцию e плотности рассеяний (плотности эффективного излучения).

Алгоритмы метода Монте-Карло основаны на представлении решения уравнения (3) рядом Неймана. Такое представление имеет место, если норма оператора K (или какой-нибудь его степени Kn ) меньше единицы, или, переходя к пределу, если спектральный радиn ус (K) = limn Kn < 1. В разделе 1.3 приведено (несколько более точное, чем в [Марчук Г. И., Михайлов Г. А., Назаралиев М. А.

и др., 1976]) ) обоснование сходимости ряда Неймана для уравнения (3) на основе мажорантного свойства первой компоненты вектора Стокса.

В разделе 1.3 описано построение стандартной весовой векторной оценки метода Монте-Карло для вычисления функционалов IH от решения рассматриваемого векторно–интегрального уравнения переноса вида:

IH = , H = , F, T где , H = T (x)H(x)dx, , F = F (x)(x)dx, где – X X решение сопряженного уравнения = K + H, H – функция, определяющая рассчитываемый функционал.

В разделе введена также оценка “по рассеяниям” для вычисления функционалов от решения уравнения с оператором Ke.

Раздел 1.4 посвящен вопросу ослабления условий несмещенности и конечности дисперсии стандартной весовой оценки в случае нестоксовского свободного члена H сопряженного уравнения. В этом случае оказывается существенным, что конус вектор-функций Стокса является воспроизводящим. В разделе приведено уравнение для матрицы вторых моментов векторной оценки решения сопряженного уравнения. Для оценки этого решения методом Монте-Карло построена векторная случайная величина x, такая, что Ex = (x). Если T почленное осреднение ряда для xx допустимо, то матрица вторых T моментов E(xx ) = (x) удовлетворяет матрично-интегральному уравнению [Михайлов Г. А., 1987] K(x, x )(x )KT (x, x ) (x) = A(x) + dx, p(x, x ) или в операторном виде = A+Kp, где A = HT +HT -HHT, p(x, y) – переходная плотность моделируемой цепи Маркова.

В разделе 1.5 проведено исследование спектрального радиуса оператора Kp. Дан детальный вывод системы уравнений для определения величины спектрального радиуса оператора C0, соответствуюp щего оператору переноса в бесконечной однородной непоглощающей среде, которая приведена в [Михайлов Г. А., 2003] фактически без обоснования. Приведен общий алгоритм решения полученной системы.

На основе полученной оценки спектрального радиуса оператора Ke (соответствующему оператору Ke) через спектральный радиус p оператора C0 выведены условия на коэффициент поглощения, обесp печивающие конечность дисперсии оценок функционалов, для различных модификаций моделирования процесса переноса. Здесь же дано объяснение полученным в разделе 4.1.2 численным результатам, согласно которым спектральный радиус оператора Ke приблиp женно равен произведению спектрального радиуса оператора C0 на p e спектральный радиус скалярного оператора Kp, соответствующему переносу излучения без поляризации.

Раздел 1.6 посвящен теории дифференцирования векторных оценок метода Монте-Карло.

В подразделе 1.6.1 приведены утверждения относительно спектральных радиусов систем интегральных уравнений второго рода с блочно-треугольными ядрами. Результаты этого подраздела необходимы для получения условий несмещенности и конечности дисперсии оценок m-кратных параметрических производных, рассмотренных в подразделе 1.6.2.

Подраздел 1.6.3 содержит утверждения о несмещенности и конечности дисперсии для практически важного случая получения первых производных весовых оценок метода Монте-Карло.

В подразделе 1.6.4 рассмотрены и обоснованы алгоритмы вычисления параметрических производных оценки “по столкновениям” по сечениям поглощения, рассеяния и аэрозольного рассеяния для однородной среды и для неоднородной среды. В последнем случае соответствующие коэффициенты задаются в виде кусочно-постоянных функций и решается задача отыскания параметрической производной по соответствующему коэффициенту, варьируемому в одном из слоев.

В разделе 1.7 приведен алгоритм вычисления спектрального радиуса оператора Kp методом Монте-Карло на основе итераций резольвенты.

В разделе 1.8 дана постановка и описаны алгоритмы решения прямых задач атмосферной оптики в сферической (Рис. 1) и плоскопараллельной (Рис. 2) геометриях.

Рис. 1. Схема наблюдения в сферической геометрии.

В подразделе 1.8.1 сформулирован общий алгоритм моделирования переноса поляризованного излучения и приведены его весовые модификации.

В подразделе 1.8.2 приведены локальная и двойная локальная векторные оценки метода Монте-Карло, описан способ комбинирования этих оценок, приведена модифицированная двойная локальная оценка, используемая при решении задач в сферической геометрии атмосферы.

В подразделе 1.8.3 исследован вопрос вычисления производных модифицированной двойной локальной оценки по коэффициентам поглощения и рассеяния. Выписаны расчетные формулы и дано обоснование конечности дисперсии смещенной оценки производных.

В подразделе 1.8.4 обоснована возможность адаптации рассмотренных выше алгоритмов к вычислению степени поляризации, являющейся элементарной функцией первых двух компонент векторфункции Стокса, и ее параметрических производных.

Раздел 1.8.5, посвященный вычислению вклада однократно рассеянного излучения в оценки параметрических производных, слуРис. 2. Наблюдения в альмукантарате Солнца.

жит двум целям. Во-первых, сравнение результатов расчетов соответствующих вкладов однократно рассеянного излучения с использованием детерминированного и недетерминированного алгоритмов служит хорошей проверкой правильности полученных формул дифференцирования. Во-вторых, меньшая трудоемкость получения производных вкладов однократно рассеянного излучения делает эти величины привлекательными для использования при решении обратных задач атмосферной оптики.

В разделе 1.9 доказана эквивалентность двух подходов к получению параметрических производных весовых оценок, первый из которых состоит в прямом дифференцировании стандартной оценки, а второй заключается в применении метода зависимых испытаний к решению этой же проблемы.

Раздел 1.10 посвящен некоторым способам уменьшения дисперсии векторных оценок параметрических производных. Рассмотрены возможности использования билинейного представления параметрической производной исходного функционала, применения метода рандомизации к соответствующей треугольной системе интегральных уравнений и представления коэффициентов взаимодействия со средой в виде линейной комбинации функций специального вида.

Предложенные алгоритмы численно исследованы в разделе 4.3.2.

Глава 2 посвящена решению обратных задачи оптики атмосферы с учетом поляризации излучения.

В подразделе 2.1.1 раздела 2.1 дана постановка задачи и приведен метод решения задачи по определению вертикального распределения коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы. Метод основан на итерационном процессе Ньютона-Канторовича и методе Монте-Карло для вычисления коэффициентов возникающих при этом систем линейных алгебраических уравнений.

В подразделе 2.1.2 теоретически исследовано влияние вероятностных погрешностей оценок элементов обращаемой системы на погрешности вектора решений; предложен метод, аналогичный методу покоординатного спуска, учитывающий на первых итерациях только знаки параметрических производных.

Раздел 2.2 посвящен рассмотрению задачи восстановления индикатрисы рассеяния по наземным наблюдениям яркости неба в альмукантарате Солнца и методов ее решения.

В подразделе 2.2.1 дана постановка задачи, приведен алгоритм построения индикатрисы рассеяния g(µ) по вектору g значений в уз ловых точках и введены условные обозначения: F (g), F1(g), FA(g) – соответственно векторы полной яркости, яркости однократного рассеяния (при A = 0) и яркости от “альбедного источника” (“подсветка”), наблюдаемых в альмукантарате Солнца при индикатрисе рассеяния g(µ), представляющей собой средневзвешенное от известной рэлеевской индикатрисы gm(µ) и аэрозольной индикатрисы ga(µ), построенной по вектору значений ga; F = F (g) – вектор измеренных яркостей.

В подразделе 2.2.2 описаны итерационные методы решения рассматриваемой обратной задачи – известные в скалярном случае: аддитивный, мультипликативный и новый, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности, определяемый формулой:

F1(g(k-1)) F - FA(g(k-1)) g(k) = · = G(g(k-1)).

C F (g(k-1)) - FA(g(k-1)) В подразделе 2.2.3 выведены формулы для расчета матриц Якоби для операторов перехода рассматриваемых итерационных методов.

В подразделе 2.2.4 сформулировано утверждение о том, что сходимость последовательных приближений к решению следует из того, что спектральный радиус матрицы Якоби оператора перехода меньше единицы. Приведено теоретическое обоснование сходимости нового метода при малых оптической толще атмосферы и коэффициенте отражения от Земли. Исследование сходимости рассмотренных методов при не малых значениях этих параметров дано в подразделе 4.4.3 на основе численного изучения свойств матриц Якоби.

В подразделе 2.2.5 описан алгоритм вычисления интенсивности излучения и ее производной в альмукантарате с помощью локальной векторной оценки метода Монте-Карло.

В подразделе 2.2.6 сформулирован алгоритм восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации излучения.

Подраздел 2.2.7 содержит алгоритм расчета матриц Якоби.

Глава 3 посвящена задаче исследования временн асимптотики ой многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы.

Известно, что для неполяризованного излучения асимптотика нестационарного потока частиц при выполнении довольно общих условий является экспоненциальной:

1(r, , t) C(r, , t) · e t, t +, то есть асимптотика интенсивности излучения определяется функ цией e t [Дэвисон Б., 1960] с точностью до множителя C(r, , t), который изменяется при t слабее экспоненты.

Ряд публикаций (см., например, [Романова Л. М., 1965; Зеге Э. П., Кацев И. Л., 1973] показывает, что для функционалов от интенсивности без учета поляризации, определяющих помеху обратного рассеяния при оптическом зондировании полубесконечной среды, имеет место асимптотическое соотношение:

c J1(r, , t) C(r, ) · t- · e- vt, t +, здесь v – скорость частиц (света). Глава 3 посвящена решению вопросов, связанных с распространением этих утверждений на случай поляризованного излучения.

В разделе 3.1 доказано утверждение о главном характеристическом числе однородного интегро-дифференциального уравнения переноса поляризованного излучения в изотропной пространственнооднородной среде. Показано, что значение параметра экспоненциальной временной асимптотики в этой среде и полупространстве совпадает с главным характеристическим числом = -cv и не зависит от поляризации излучения.

Раздел 3.2 посвящен методам Монте-Карло, применяемым для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с поляризацией.

В подразделе 3.2.1 рассмотрены особенности представлений ядра интегрального уравнения переноса и переходной плотности цепи Маркова, связанные с нестационарностью процесса переноса.

Подраздел 3.2.2 содержит обоснование специального метода вычисления параметра экспоненциальной временн асимптотики, ой основанного на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса. Данный метод представляет собой реализацию общего алгоритма метода Монте-Карло для оценки главного собственного числа с использованием итераций Келлога. Однако этот метод не позволяет находить параметр степенной асимптотики .

Для его нахождения используется метод, основанный на вычислении параметрических производных по времени, приведенный в разделе 3.2.3. Данный метод позволяет вычислять оба параметра и временн асимптотики.

ой Асимптотические оценки функционалов и их производных можно улучшить, вычисляя вместо функционалов их среднеинтегральные значения по некоторому временному интервалу. В подразделе 3.2.приведены расчетные формулы аналитического осреднения для финитной временной функции источника излучения.

В главе 4 собраны результаты численных экспериментов по решению поставленных в работе задач и приведен их анализ.

При проведении численных расчетов использовалась известная матрица молекулярного рассеяния и матрица аэрозольного рассеяния, рассчитанная по теории Ми для следующих параметров среды:

коэффициент преломления частиц n = 1.331 - i1.3 · 10-4 (вода), распределение частиц по размерам логнормально с функцией распределения f(r) = (1/r) exp(-(1/2g) ln2(r/rg)), r (0, 10 мкм), rg = 0.мкм, g = 0.5, длина волны излучения равна 0.65 мкм.

Расчеты, результаты которых приведены в разделах 4.1 – 4.5.проводились на различных ПЭВМ с процессорами Intel частоты от 665 МГц до 2.8 ГГц с использованием конгруэнтного мультипликативного генератора псевдослучайных чисел с параметрами M = 5и r = 40. Расчеты, результаты которых приведены в подразделах 4.5.3 – 4.5.4 выполнялись на многопроцессорной системе НКС-1(см. ниже).

Раздел 4.1 посвящен вычислению спектральных радиусов операторов.

В подразделе 4.1.1 приведены результаты вычисления спектрального радиуса и первого собственного элемента оператора C0.

p В подразделе 4.1.2 приведены результаты вычислений и сравнеe ния первых собственных чисел операторов Ke и Kp в средах с разp личными оптическими толщинами.

В разделе 4.2 проведено численное исследование дисперсии стандартной векторной оценки метода Монте-Карло при значениях коэффициента поглощения, близких к критическому.

Раздел 4.3 посвящен численным исследованиям в задаче определения высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по сумеречным наблюдениям с поверхности Земли.

В подразделе 4.3.1 проведен анализ результатов численных расчетов производных модифицированной двойной локальной оценки.

В подразделе 4.3.2 проведено сравнение приемов уменьшения дисперсии оценок производных.

В подразделе 4.3.3 приведены результаты численных экспериментов по восстановлению высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния. Анализ чисел обусловленности обращаемых матриц и результаты восстановления показали, что наиболее предпочтительным в этой задаче является использование второй компоненты векторфункции Стокса.

В разделе 4.4 приведены результаты численных исследований в задаче определения индикатрисы рассеяния по наблюдениям в альмукантарате Солнца.

Подраздел 4.4.1 содержит результаты расчета интенсивности излучения. Проанализированы вклады в общую яркость яркостей однократно рассеянного, многократно рассеянного излучения и излучения “подсветки”.

В подразделе 4.4.2 приведен анализ и сравнение результатов восстановления индикатрисы рассеяния различными методами. Расчеты проводились с помощью комбинированного, мультипликативного и аддитивного методов, при этом для каждого метода был реализован вариант моделирования переноса излучения с поляризацией и без нее.

В подразделе 4.4.3 приведены результаты вычислений спектральных радиусов матриц Якоби рассмотренных методов, и на их основе объяснена сходимость или расходимость методов.

Контроль правильности алгоритмов и программ при расчетах параметрических производных во всех задачах осуществлялся сравнением результатов с полученными альтернативным разностным методом, использующим метод зависимых испытаний.

В разделе 4.5 приведены численные результаты определения параметров временной асимптотики.

Численные эксперименты были проведены для трех вариантов рассеивающей и поглощающей среды: бесконечная среда, плоский слой и полубесконечная среда. Во всех вариантах задачи параметры среды и модификации моделирования были такими, что дисперсии используемых оценок были конечными в силу исследований, проведенных в разделе 4.1.

В подразделе 4.5.1 рассмотрена модельная задача вычисления параметра экспоненциальной временной асимптотики в бесконечной среде. Ее решение разработанными методами использовано для проверки правильности соответствующих алгоритмов и программ.

Полученные результаты статистического моделирования, с точностью до погрешности, дали совпадение значения с параметром экспоненциальной асимптотики интенсивности для бесконечной среды = -cv.

Особо отметим, что метод итераций резольвенты позволил получить точный результат уже на первой итерации и в случае расчетов без поляризации, и в случае расчетов с учетом поляризации.

Выяснено также, что при использовании метода параметрических временных производных сходимость алгоритма зависит от функции источника.

В подразделе 4.5.2 приведены результаты расчетов параметра экспоненциальной асимптотики в плоских слоях рассеивающего и поглощающего вещества разной оптической толщины. Расчеты проводились для функционала, определяющего число рассеяний до поглощения или вылета за пределы среды.

Полученные результаты показали, что значения временн поой стоянной, полученные разными методами для одного и того же типа рассеяния, совпадают в пределах статистической погрешности, однако, различаются при моделировании с учетом поляризации и без ее учета, то есть деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике и зависит от типа рассеяния.

Этот эффект является особенно существенным для молекулярного рассеяния. Отметим также, что метод итераций резольвенты является более точным.

Полученные оценки подтвердили гипотезу о том, что параметр экспоненциальной асимптотики интенсивности поляризованного излучения = = -cv и для полупространства.

Для проведения прецизионных расчетов, результаты которых приведены в подразделах 4.5.3 и 4.5.4, были созданы параллельные реализации алгоритмов. Код программ написан на языке Intel Fortran с использованием MVAPICH на коммуникационной среде InfiniBand. Использовалась также библиотека Intel MKL. Вычисления выполнялись на многопроцессорной системе НКС-160 Сибирского суперкомпьютерного центра. Расчеты проводились с использованием двух генераторов псевдослучайных чисел: мультипликативного конгруэнтного генератора с параметрами M = 5100109(mod 2128) и r = 128 и генератора MT2203 из математической библиотеки Intel MKL. Отметим, что результаты расчетов с разными генераторами псевдослучайных чисел статистически не отличаются.

В подразделе 4.5.3 приведены результаты расчетов параметров и временн асимптотики интенсивности излучения, выходящего ой из полупространства в направлении, перпендикулярном к границе и интегральной освещенности границы полубесконечной рассеивающей и поглощающей среды при облучении ее из вне направленным источником.

Численные эксперименты показали, что параметры асимптотики освещенности и интенсивности излучения, выходящего из слоя, а также значения параметров временн асимптотики в случаях с ой учетом поляризации и без ее учета совпадают с точностью до статистической погрешности.

Отметим, что полученные в расчетах значения параметра временн асимптотики близки к значению -3/2, полученному в раой боте [Романова Л. М., 1965] аналитическими выкладками при соответствующих асимптотических предположениях.

В подразделе 4.5.4 приведены результаты расчетов параметров и временн асимптотики излучения, принимаемого точечным ой приемником, находящемся за пределами полубесконечной среды при облучении ее узким пучком света. Расчеты проводились для среды с аэрозольным рассеянием с использованием комбинации локальной и двойной локальной оценок и аналитического осреднения финитной функции источника. Полученные в расчетах значения параметра временн асимптотики для приемника с полным полусферичеой ским обзором близки к значению -5/2, полученному для рассматриваемой задачи в диффузионном приближении в работе [Зеге Э. П., Кацев И. Л., 1973]. Для приемника с полуапертурой, равной 0.5 проведенные на настоящий момент расчеты в среде с аэрозольным рассеянием дают основание полагать, что параметр = -2.8, однако среднеквадратичная погрешность данной оценки велика и составляет более 35%. В силу большой вычислительной сложности получение прецизионных оценок параметра временн асимптотики для даной ной задачи оказалось весьма затруднительным.

В приложении А приведены замечания о реализации параллельных вычислений методом Монте-Карло на многопроцессорных вычислительных системах. Дано описание имеющихся в распоряжении генераторов псевдослучайных чисел, пригодных для использования в параллельных вычислениях [Трачева Н. В., 2008].

Заключение Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Теоретически обосновано применение метода Монте-Карло для расчета функционалов от решения системы интегральных уравнений переноса поляризованного излучения и соответствующих параметрических производных. Получены условия несмещенности и конечности дисперсий построенных статистических оценок. Проведено теоретическое и численное исследование величины спектрального радиуса матрично-интегрального оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Показано, что эта величина приближенно равна произведению соответствующих спектральных радиусов для однородной среды и для скалярного варианта.

2. Разработаны и численно апробированы алгоритмы решения задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы по результатам измерений поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

3. Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости поляризованного излучения в альмукантарате Солнца предложен новый итерационный метод, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности. Сходимость этого метода исследована с помощью теоретических и численных оценок элементов соответствующей матрицы Якоби. Сравнение результатов, полученных разными методами показало преимущество нового метода и целесообразность учета поляризации излучения.

4. Проведено исследование временн асимптотики многократно ой рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. Разработаны и обоснованы алгоритмы оценки параметров экспоненциальной и степенной асимптотик, проведены численные расчеты и определены значения этих параметров для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения.

5. На основе рассмотренных задач, разработанных методов и алгоритмов создан комплекс программ, с помощью которого проведено численное исследование эффективности и применимости алгоритмов, получены новые практически важные результаты. Программы, реализующие алгоритмы переноса поляризованного излучения для определения параметров его асимптотики, являются параллельными и предназначены для выполнения прецизионных вычислений методом Монте-Карло на многопроцессорных компьютерных системах.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность члену-корреспонденту РАН Геннадию Алексеевичу Михайлову за постоянное внимание к работе и ценные консультации; доктору физ.мат. наук, профессору Владимиру Евгеньевичу Павлову за постановку и обсуждение задачи сумеречного зондирования атмосферы;

а также кандидатам физ.-мат. наук Юркову Д. И., Трачевой Н. В. и Чимаевой А. С., которые во время обучения в аспирантуре ИВМиМГ СО РАН были хорошими учениками и стали перспективными учеными.

Список основных публикаций по теме диссертации [1] Grechko G. M., Elansky N. Ph., Plotkin M. E., Postylyakov O. V., Ukhinov S. A. OZAFS space experiment for observing the fine structure of the ozone and aerosol distribution in the atmosphere // Adv. Space Res. 1992. V. 12, N 10. P. (10)157-(10)160.

[2] Егорова Л. А., Кардополов В. И., Павлов В. Е., Рспаев Ф. К., Ухинов С. А. Поляризация многократно рассеянного света сумеречного неба в зените // Известия РАН. Физ. атмосф. и океана. 1994. Т. 30, № 4. С. 478–484.

[3] Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Monte Carlo method of calculating the derivatives of polarized radiation // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. V. 13, N 5, P. 425–444.

[4] Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Computation of the parametric derivatives of polarized radiation and the solution of inverse atmosphere optic problems // Russ. J. Numer. Anal. Math.

Modelling. 2002. V. 17, N 3. P. 283–303.

[5] Ухинов С. А., Юрков Д. И. Оценки методов Монте-Карло для параметрических производных поляризованного излучения // Сиб. журн. вычисл. матем. 2002. Т. 5, № 1. С. 40–56.

[6] Михайлов Г. А., Ухинов С. А.,Чимаева А. С. Дисперсия стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в теории переноса поляризованного излучения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 11. С. 2199–2212.

[7] Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. Time asymptotics of the intensity of polarized radiation // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. V. 22, N 5.

P. 487–503.

[8] Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Исследование асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Докл. Академии Наук. 2007. Т. 414, № 6. С. 727–731.

[9] Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Исследование временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 7. С. 1264–1275.

[10] Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. The Monte Carlo method and analytic averaging for estimation of parameters of polarized radiation asymptotics // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008, V. 23, N 3.

P. 239–250.

[11] Михайлов Г. А., Ухинов С. А., Чимаева А. С. Алгоритмы метода Монте-Карло для восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации // Докл. Академии Наук. 2008.

Т. 423, № 2. С. 161–164.

[12] Chimaeva A. S., Mikhailov G. A., Ukhinov S. A. Monte Carlo algorithms for reconstruction of the scattering indicatrix adjusted for polarization // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009.

V. 24, N 5. P. 455–465.

[13] Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Оценка методом Монте-Карло параметров асимптотики помехи обратного рассеяния с учетом поляризации // Оптика атмосферы и океана. 2010. T. 23, № 9. С. 739–748.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.