WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 

На правах рукописи

  Кириллов Александр Николаевич

  МЕТОДЫ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  МОДЕЛИРОВАНИЯ 

  ДИНАМИКИ  СИСТЕМ СО СТРУКТУРНЫМИ  ИЗМЕНЕНИЯМИ В

ЗАДАЧАХ  ЭКОЛОГИИ И РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,

  численные методы и комплексы программ

 

Автореферат

  диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

 

 

  Петрозаводск – 2009

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном технологическом университете растительных полимеров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Камачкин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук,

профессор Зубов Николай Владимирович

доктор физико-математических наук,

профессор Флегонтов Александр Владимирович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский  институт информатики и

автоматизации РАН 

 

  Защита состоится  «  »  2009г. в часов на заседании диссертационного совета  Д 212.190.03 при Петрозаводском государственном университете  по адресу: 185910,  г. Петрозаводск,  пр. Ленина,  д.33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан « » 2009г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Поляков В.В.

  ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы. Проблема рационального природопользования приобретает все  большее значение в связи с усилением антропогенных воздействий на окружающую среду. Исследование возможных последствий воздействий промышленных предприятий на природу, создание экологически безопасных производственных систем  – важнейшая  проблема. При этом математическое моделирование  является одним из основных инструментов  прогнозирования состояния природных систем,  изучения процессов рационального природопользования и управления ими, исходя из экологических, экономических и социальных критериев. В связи с тем, что экологические, эколого-экономические, природоохранные  системы характеризуются  многочисленными взаимосвязями между составляющими их подсистемами и изменением структуры этих взаимосвязей в процессе функционирования, традиционные методы моделирования часто оказываются неудовлетворительными, приводя к  построению громоздких математических моделей, аналитическое исследование которых невозможно. С другой стороны, излишнее упрощение модели может нарушить ее адекватность реальному объекту и тем самым обесценить ее прикладное значение. Необходимость компромисса между точностью описания и сложностью исследования выдвигает требование создания новых методов математического моделирования экологических систем.

  Различным вопросам моделирования систем со структурными изменениями посвящены исследования таких ученых, как С.В.Емельянов, С.Н.Васильев, А.Б. Куржанский, В.М.Глушков, В.М.Матросов, Р.М.Юсупов, А.М.Самойленко, Н.А.Перестюк, А.А.Мартынюк, А.И.Маликов, В.И.Уткин,  И.В.Гайшун, Б.В.Соколов, В.Г.Болтянский, Н.П.Бусленко,  К.Д.Жук, А.С.Матвеев, M. Branicky, D.Liberzon, D.Siljak, A.Van der Schaft, H.Schumacher и других. Несмотря на достигнутый в последнее  время успех в исследовании систем с изменяющейся структурой, в частности, гибридных систем,  многие проблемы требуют своего решения. Так, например,  задачи рационального природопользования и экологии приводят к необходимости введения новых понятий устойчивости, в частности, устойчивости структур. Актуальной является разработка единого подхода к моделированию систем со структурными изменениями. В применении к задачам экологии и рационального природопользования методы построения динамических систем со сложными взаимосвязями отражены в работах  Г.И.Марчука,  Ю.М.Свирежева, Д.О.Логофета, В.И.Гурмана, В.А.Батурина, Ю.А.Домбровского, В.А.Вавилина, А.И.Москаленко,  В.В.Пененко,  Е.Я.Елизарова, А.И.Абакумова, Р.А.Полуэктова, Д.А.Саранча, Ю.А.Пыха, Б.Г.Заславского, I.Hanski, M.Gyllenberg, A.Hastings и других. При этом актуальным является создание методов моделирования динамики экологических систем с переменной структурой и размерностью. В частности, активно развивающаяся в последнее время теория метапопуляций выдвигает задачи моделирования систем с переменным составом и разработки математического аппарата для  их исследования. Системы с изменяющейся  в процессе функционирования структурой  характерны для многих задач экологии и рационального природопользования. В настоящей работе на основе предлагаемых в ней методов  рассмотрены следующие задачи:  моделирование процессов взаимодействия популяций с учетом миграций,  моделирование процессов биологической очистки сточных вод с переменной структурой биомассы активного ила, моделирование экологически безопасной  динамики функционирования некоторых процессов в целлюлозно-бумажной промышленности (ЦБП), моделирование  динамики развития  производственных систем  с учетом природоохранных затрат и некоторые другие. Большое значение также имеет решение задач математического моделирования режимов стабилизации в нелинейных экологических системах. Возникают новые постановки задач, связанные с появлением в системах с изменяющейся структурой дополнительных ограничений, в результате чего традиционные модели  оказываются неудовлетворительными.

Областью исследования являются теоретические основы математического моделирования и анализа динамики систем с изменяющейся структурой, качественные и аналитические методы построения математических моделей в задачах экологии и рационального природопользования.

  Цель работы заключается в разработке методов математического моделирования и исследования динамики  сложных систем  со структурными изменениями, в построении на их основе математических моделей  экологических  систем и решении задач  рационального природопользования.

  Методы исследования. В настоящей работе  используются методы математического анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, математической теории устойчивости, функционального анализа, выпуклого анализа, теории управления.

  Научная новизна. В диссертации разрабатываются  методы математического моделирования и анализа динамических процессов со структурными изменениями. На их основе решается ряд важных задач моделирования динамики систем с переменным составом и структурой в экологии и рациональном природопользовании.

  Предлагается  единый, структурный, подход к моделированию и анализу динамических систем с переменным составом входящих в них подсистем. Вводятся понятия структуры, различных типов структурных траекторий и их устойчивости, эквивалентности систем со структурными изменениями, рассмотрены новые постановки задач стабилизации и оптимизации структур, получены их решения в некоторых случаях.

  Предложен  метод, упрощающий аналитическое исследование динамики систем с переменным составом, метод динамической декомпозиции, основанный на введении в динамическую систему дополнительных переменных, регулирующих структурные изменения и исполняющих функцию эволюционного времени. В результате система на отдельных промежутках функционирования заменяется на более простые подсистемы,  доступные аналитическому исследованию.

  На основе предложенного подхода получены новые закономерности, характеризующие поведении некоторых систем экологической динамики. Предложено развитие модели В.Вольтерра  «хищник-жертва» с целью учета миграционных процессов. Найдены и подробно исследованы режимы ее функционирования. Показано, что в отличие от классической модели В.Вольтерра, построенная система обладает большим разнообразием режимов поведения, что делает ее более адекватной реальным процессам.

  С помощью метода динамической декомпозиции решается задача моделирования динамики развития производственного комплекса с переменной структурой с учетом природоохранных затрат. Исследуется влияние реструктуризации системы на повышение ее эффективности. Построена модель инвестирования, с помощью которой решается задача развития производственной системы на заданном отрезке времени при ограничениях на объемы инвестиций.

  Предлагаются новые подходы к математическому моделированию  режимов стабилизации  нелинейных систем с учетом ограничений, характерных для динамических процессов со структурными изменениями в задачах рационального природопользования. Введено понятие стабилизируемости  за любое конечное время состояния, не являющегося равновесным (- стабилизации), что позволяет, в частности, учитывать структурные ограничения в модели процесса биоочистки.. Предложен и обоснован алгоритм - стабилизации нелинейных динамических систем. Построена модель процесса стабилизации в конусе.  На ее основе решается задача моделирования режима  точечной стабилизации автоколебаний.

  Разрабатываемые в настоящем исследовании качественные и аналитические методы применяются при моделировании режимов стабилизации некоторых типов химических реакторов  с учетом  ограничений на выбросы в окружающую среду. На основе метода динамической декомпозиции впервые строится многостадийная модель  динамики экологически безопасного функционирования группы периодических реакторов в процессе варки  целлюлозы.

  С помощью метода динамической декомпозиции построена математическая модель стабилизации процесса биологической очистки сточных вод,  учитывающая  изменяющуюся структуру активного ила, что позволяет увеличить эффективность процесса очистки. Рассмотрены некоторые вопросы адекватности математических моделей динамических процессов.

  Практическая значимость. Предлагаемые подходы и методы можно использовать для прогнозирования развития экологических систем, в частности, при исследовании динамики популяций,  учитывающей миграционные процессы, для моделирования взаимосвязей между ареалами обитания популяций. Введенные понятия устойчивости  структур, позволяющие с единых позиций характеризовать свойства систем со структурными изменениями,  могут быть использованы при моделировании условий экологически безопасного функционирования оборудования ЦБП,  энергетических систем.

  Построенная  математическая модель производственного комплекса с переменным составом, позволяет решать задачу выбора стратегии инвестирования с учетом природоохранных затрат. Предложенный метод моделирования может также применяться для анализа  экономических систем в кризисные и переходные периоды, когда изменяются внутренние и внешние структурные взаимосвязи. 

  Развиваемые в диссертации методы моделирования дают подход к решению практически важной задачи стабилизации процесса биологической очистки сточных вод. Часть результатов, относящихся к этому циклу исследований, использовалась в виде комплекса программ при создании  автоматизированной системы управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге  управлением  “Водоканал”. 

  Разработанные качественные и аналитические методы моделирования режимов стабилизации для некоторых типов химических реакторов при ограничениях, учитывающих экологическую безопасность процессов, могут применяться при создании  систем управления в ЦБП. Некоторые результаты этих исследований использовались в дипломных работах студентов и в спецкурсах, читаемых автором в  СПбГТУРП

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на логически строгих доказательствах представленных в работе теорем, на  использовании фундаментальных результатов  математического анализа, теории устойчивости, теории дифференциальных уравнений, выпуклого анализа, теории матриц,  подтверждаются результатами численного анализа и компьютерного моделирования.

  Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором.

  Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались, были представлены на следующих конференциях,  симпозиумах и научных школах: 

– 2-ом  симпозиуме “Теория чувствительности и ее применение” (Ленинград,  1979 г.); 

–  4-ом  симпозиуме  “Теория адаптивных систем” (Ленинград, 1979 г.); 

–  1-й и 3-й Всероссийских школах  “Математические  проблемы  экологии” (Чита, 1986, 1990);

–  2­–6-й  Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1995г.; Туапсе, 1996г.; Уфа, 1997г.; Йошкар-Ола, 1998г., Самара, 1999 г.);

– Всероссийских  школах-коллоквиумах “Математические  проблемы  экологии” (Душанбе, 1991; Чита, 1994);

  – Всероссийской  научной конференции “Теоретические  и  прикладные  вопросы  экологии” (Бухара, 1992);

  – 1-й и  3-й Всероссийских научных школах  “Математические методы в  экологии”  (Петрозаводск, 2001,  2008 г.);

  – 1­–6-м  и  9-м Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2000 г.;  Самара, июнь, 2001г.;  Йошкар-Ола, декабрь, 2001;  Сочи, 2002 г.;  Петрозаводск, 2003 г.; Сочи, 2004 г.; Сочи,  2005 г.;  Кисловодск, 2008г.); 

  – Международной  конференции “9-я Белорусская  математическая  конференция” (БГУ, Гродно, 2004); 

  –  Международной  конференции “Устойчивость  и  процессы  управления” (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2005);

  – 2-й Российской мультиконференции по проблемам управления (Санкт-Петербург, 2008);

а также на семинарах  в СПИИРАН, ИПМИ Карельского научного центра РАН,  на межвузовских научно-технических конференциях в СПбГТУРП.

  Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 56 печатных работах, из которых 11 – в статьях, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов диссертаций.

  Структура и объем работы. Диссертация содержит 260 страниц текста и состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 225  наименований.

  КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации и характеристику области исследований. Дается обзор работ по теме диссертации. Приводятся основные цели и задачи исследования, основные результаты, отмечаются их научная новизна и практическая ценность.

  В первой главе предлагается единый, структурный, подход к моделированию сложных динамических систем с переменными составом и структурой, разрабатывается математический аппарат описания структурной динамики этих систем, вводятся основные понятия, приводятся постановки новых задач, возникающих в связи с понятием структуры, и в ряде случаев дается их решение.  Пусть – сложная система, в состав которой могут входить  динамические системы , взаимодействующие между собой. Введем функции : , если в момент времени входит в ,  и  – в противном случае,

  Определение 1.  Вектор  называется  структурой  системы в момент времени .

Пусть – множество всевозможных  структур:  . Полагаем, что содержит нулевую, фиктивную, структуру , у которой все компоненты – нули. На множестве введем метрику

, где

Для задания динамики структуры вводится следующее понятие.

  Определение 2. Структурной полудинамической системой называется  семейство преобразований множества структур   в себя, удовлетворяющих условиям:

  1) для  любых  и определено множество   при  ,  ;  2) для любого определено множество такое, что  при   по ; 3)  , где  .

В  первой главе строится реализация в виде системы со структурными  изменениями  (ССИ), которая задается как множество вида

, (1)

где  –  структурное пространство системы, т.е. множество структур, которые может иметь система в процессе функционирования, ;

  – множество фазовых пространств динамических  систем ;

  – множество  разбиений фазовых пространств

  ,

где – множество индексов;

  – множество динамических систем ,  заданных  в фазовых пространствах ;

– множество отображений перехода из в , где – граница  ;

– множество функций временных задержек при переходе от структуры  к .

Функционирование системы происходит следующим образом. Пусть – траектория динамической системы такая, что . Если траектория не попадает на границу , то структура при  остается неизменной: . Если – первый момент времени  такой, что, то отображение перехода , переводит в точку , где , зависят от  . Отображение  может быть задано динамической системой, что в дальнейшем показано в работе. Далее,  в момент времени начинает действовать динамическая система . При этом из условия следует, что при  на промежутке происходит переключение структуры системы, т.е. в общем случае переключение  происходит не мгновенно. При , т.е. в режиме переключения, возможно одно из двух:  либо система не функционирует,  т.е. имеет фиктивную структуру ,  либо функционирует, но сохраняет структуру , т.е. происходит задержка при переходе к структуре . Режим переключения может задаваться динамической системой. Систему (1) можно отнести к классу гибридных систем.

  Процесс функционирования  системы порождает последовательность структур . В работе предлагается понятийный аппарат для исследования структурной динамики. Начальная структура ,  не определяет однозначно последовательность структур , в связи с чем в работе вводятся три вида последовательностей структур, различающиеся способом задания начальной структуры. В начальный момент времени можно задать один из трех элементов включения  .

  Если задано , то определяются  последовательность структур , , называемая - структурной орбитой, и - структурная траектория , где – структура, которую  имеет система в момент времени .

  Если задано , то определяются - структурная орбита , , и -структурная траектория , , для которых известно лишь, что .

  Если задано , то определяются структурная  орбита   и  структурная  траектория .

Далее вводятся понятия устойчивости  структурных траекторий. Различные виды устойчивости отличаются способом задания отклонения возмущенных траекторий от некоторой невозмущенной траектории. Пусть – некоторые подмножества структур, , пусть ,  , ; – метрика  в . Введем окрестности  состояния ,  множества  , структуры :

,

, ,

.

Тогда можно ввести  следующие определения  устойчивости.

Определение 3. - структурная  траектория  ,  называется  - устойчивой, если найдется такое, что для любой - структурной траектории ,  такой что, выполняется , ;

- устойчивой, если для любой - структурной траектории , такой что , выполняется  , ,  .

Структурная траектория называется -устойчивой, если найдется такое, что для всех структурных траекторий таких,  что   выполняется  ,.

Проводится анализ данных определений, а также вводятся более слабые виды устойчивости – орбитальной  устойчивости структур, когда достаточна близость структурных орбит. Вводятся также понятия устойчивости для других типов траекторий и орбит. Можно еще ослабить определение 3, если допустить малость в смысле меры Лебега временных интервалов, на которых возмущенные структуры отличаются от невозмущенной больше, чем на .

Предлагается также понятие  устойчивости по отношению к компонентам вектора структуры .

Определение 4. - структурная  траектория называется

  - устойчивой, если    :  ;

  -сильно устойчивой, если  :  

  Смысл определения: - cильная устойчивость означает, что подсистема не будет отключаться с некоторого момента времени; - устойчивость – подсистема не отключается навсегда. Очевидно, из - сильной устойчивости следует - устойчивость. Аналогичные понятия вводятся  для - структурной  траектории  и структурной траектории.

  Предложенный подход  позволяет  моделировать  аварийные ситуации при функционировании сложных систем. Пусть,  начиная с некоторого момента времени, система или не может изменить свою структуру, т.е. время ее переключения бесконечно, или происходит переключение на структуру . Тогда будем считать, что система  перестает функционировать. 

  Определение 5. Элемент разбиения  называется аварийным, если найдется  такое, что   . 

  Пусть  , где аварийный элемент.

  Определение 6. Система называется каскадно-неустойчивой, если найдется структура , для которой . Если каскадно-неустойчива , то называется каскадно-неустойчивой в целом.

Понятие каскадной неустойчивости  можно использовать при моделировании безопасного функционирования сложных экологических, энергетических, технологических систем, в частности, оно формализует такую ситуацию, при которой выход из строя одной из подсистем влечет за собой выход из строя остальных подсистем. Возникает задача нахождения структур , для  которых , важная для приложений.

Далее вводятся различные понятия эквивалентности ССИ. Вопрос о том, какие сложные системы считать в некотором смысле похожими, очевидно, имеет большое значение при анализе и конструировании систем. Предлагается, в частности, следующее понятие эквивалентности ССИ.

Определение 7.  Системы   называются - эквивалентными, если для любых последовательностей структур , соответствующих системам  , существует последовательность гомеоморфизмов такая, что диаграмма 

коммутативна  при любом , т.е.  . Здесь – соответствующие композиции потоков и отображений перехода, порождаемые системами .





  Структурный подход,  развиваемый в первой главе, позволяет ставить в соответствие системе геометрические образы. Так, последовательности структур можно сопоставить ориентированный граф. В результате появляется возможность привлечения  новых методов для моделирования и анализа динамики ССИ. Показано, что в ряде случаев для анализа структурной динамики можно использовать подход В.И.Арнольда, примененный  им при исследовании сложности бинарных последовательностей.

  Далее  предлагается реализация предложенного подхода к моделированию ССИ. Вводится понятие параллельной ССИ. Пусть  вектор    таков что     где  – постоянные пороговые  значения, . Если  в  момент  времени    то  происходит  изменение  структуры системы  , а  именно:  если  при  ,  где  постоянная    т.е.  ,  то  происходит  отключение    от .  Если  при      т.е.  ,  то  происходит  подключение    к  . Рассмотрим подробнее динамику этих процессов.

Пусть  в  некоторый  момент времени    в  состав   входят  подсистемы  . Это значит,  что   Введем векторы  состояний  подсистем  . Тогда  полагаем,  что  динамика   в  момент  времени    описывается  системой  дифференциальных  уравнений

    (2)

где  ,  причем  правые  части  обеспечивают  существование  и  единственность  решения  системы. Предлагается следующая процедура разрывного изменения структуры .

  Отключение . Пусть  в  момент  времени    переменная  приняла  значение  .  Введем  непрерывные  отображения  перехода  ,  действующие  следующим  образом

где  – нулевой  вектор, ,    находится  на - м  месте;  –заданные постоянные; постоянная    находится  на  - м  месте;  – заданный момент  времени; – заданные  векторы,  ; – заданные  постоянные,  ,  удовлетворяющие  условиям ,  ,

означающим, что  положение  постоянных  по  отношению  к  пороговым  значениям    после  скачка  не  изменилось,  т.е.  отображение  перехода  ,  понижающее  размерность системы ,  не  влияет  мгновенно  на  отключение  или  подключение  других  подсистем  . Далее,  при   динамика    задается  уравнениями

 

(3)

с  начальными  условиями 

   

  (4) 

Символ  обозначает  отсутствие  . В  силу  соотношений,  которым  удовлетворяет  ,  имеем при .  Это  значит,  что  переменной   можно  пренебречь  и  можно  считать,  что  при    динамика  системы   задается  уравнениями

(5)

Таким  образом,  произошло  отключение  подсистемы  ,  после  чего  динамика  системы    стала  описываться  уравнениями (5)  с начальными  условиями  (4). Аналогично построена процедура подключения подсистемы.

  Вектор    можно  считать  многомерным эволюционным временем  системы в  отличие  от  текущего  времени .  Именно, изменение  компонентов    приводит  к  изменению  структуры  системы .  Таким образом, введение позволяет сложную систему на отдельных промежутках ее функционирования заменять более простыми. Такой метод моделирования ССИ можно назвать методом динамической  декомпозиции.

Далее предлагается процедура непрерывного изменения структуры системы, при котором отображения переключения структуры задаются системами дифференциальных уравнений. Вводится также понятие последовательной системы. Если для параллельной системы возможна любая конфигурация вектора структуры , то для последовательной – , где на первых местах – единицы. Последовательные ССИ можно, в частности, использовать для решения задач динамического распределения памяти.

В §1.4-1.6 строятся модели  линейных  ССИ.  В этом случае динамические системы и отображения перехода – линейны.  В §1.5 формулируется и решается новая задача моделирования режима стабилизации структуры линейной последовательной ССИ, в отличие от традиционной задачи стабилизации фазовых состояний. Рассматривается  последовательная  ССИ  с управляющим параметром  

,  ,  (6)

где , , , – заданные  постоянные при ,  . При происходит подробно описанный переход к структуре , у которой первые   компонентов равны 1.

  Теорема 1.5.1. Для любого найдется  , где – кусочно-постоянные функции компонентов , , вектора , такое, что система (6) будет иметь - сильно устойчивую - структурную траекторию для любой  начальной  точки  , для  которой  .

Далее рассматривается  последовательная линейная ССИ  , , ; – матрица  . Для этой системы также решена задача моделирования режима стабилизации структуры.

Для линейных параллельных систем вводится специальная символика, позволяющая упростить процесс анализа ССИ. Пусть

  .

Если – - я  строка матрицы , то  . Пусть. Векторы  ,  назовем векторами  активного и пассивного времени  эволюции, соответственно. Тогда  динамика  параллельной  ССИ  задается  уравнениями

,  , ,

  (7)

где ,  ,  ,  – постоянные  матрицы  размерностей  . Второе и третье уравнения в (7) задают динамику эволюционного времени для подсистем, входящих и не входящих в , соответственно. Предложен  способ  моделирования режима стабилизации  - структурной траектории линейной  параллельной  системы (7).

В первой главе также формулируются новые постановки задач математического моделирования оптимальных процессов в ССИ. Показано, что при некоторых условиях промежуточное изменение структуры позволяет повысить эффективность системы. Предлагаемый подход  развивает исследования  Ю.М. Свирежева по оптимальным структурам трофических цепей. 

Во второй главе разрабатываются новые методы моделирования режимов стабилизации нелинейных динамических  систем, учитывающие ограничения, характерные для систем со структурными изменениями в задачах рационального природопользования. В дальнейшем эти методы применяются для моделирования режимов экологически безопасного функционирования систем биологической очистки и некоторых видов химических реакторов. Вводятся новые понятия - и - стабилизации, предлагаются соответствующие алгоритмы стабилизации.

  Рассмотрим динамическую  полисистему (Lobry C.), т.е. совокупность динамических систем , зависящих от постоянных параметров  ; пусть – траектория полисистемы , соответствующая упорядоченному множеству , состоящему из элементов, т.е. траектория, склеенная из кусков траекторий систем , соответствующих последовательному чередованию элементов множества .

Определение 8. Точку будем называть  -стабилизируемой,

если найдется такое множество, что для любой достаточно малой окрестности и любой точки  найдутся  , ,  такие, что при всех

.

Заметим, что, точка не предполагается положением равновесия, и к ней приближаются только траектории, принадлежащие области . Данное понятие позволяет моделировать режимы удержания траекторий системы в области так, чтобы избежать нежелательного переключения структуры при попадании траекторий на границу . При этом,  в отличие от общепринятого определения, может быть граничной точкой области. Таким образом, предложено обобщающее понятие стабилизируемости. Частным случаем D-стабилизируемости является стабилизируемость  в конусе. Точка является вершиной конуса, а траектории, находясь внутри него, переключаются на его границах. Такой конус назван -конусом. В работе исследуется  вопрос о существовании скользящего режима на лучах, принадлежащих - конусу в двумерном случае. Построен пример неаналитической системы, для которой существует - конус, но лучей скольжения в конусе нет.

  Для моделирования временных ограничений в режиме стабилизации предлагается новое понятие -стабилизируемости, являющееся распространением  на задачу стабилизации понятия нормальной локальной управляемости, введенное Н.Н.Петровым (Дифференциальные уравнения. 1968, т.4, №7). 

Определение 9. Точка называется - стабилизируемой, если для любого существует такая ее окрестность , что для любой точки найдутся  , такие, что траектория за время, меньшее  чем ,  попадет в любую сколь угодно малую окрестность точки    и в дальнейшем в ней останется.

Понятие - стабилизируемостии позволяет моделировать режимы стабилизации ССИ в случаях, когда требуется успевать решать задачу стабилизации, пока не произошло изменение структуры. Это имеет большое практическое значение, например, при моделировании динамики процесса биологической очистки (модель построена в настоящей работе), когда из-за изменений типа и концентрации субстрата-загрязнителя на входе в аэротенк, приходится изменять структуру биомассы путем изменения времени ее пребывания в аэротенке. Оказывается,  что введенное  выше понятие -конуса, позволяет построить алгоритм - стабилизации в двумерном случае.

  Пусть – векторное поле в точке , соответствующее динамической системе  . 

Теорема 2.4.1. Точка -стабилизируема, если найдутся , такие, что  векторы  неколлинеарны. При этом стабилизация происходит в  конусе с вершиной .

Отметим, что теорема 2.4.1 позволяет решать одновременно две задачи: - и -стабилизации, что особенно важно в приложениях.

Для получения алгоритма -стабилизации в используется понятие положительного базиса (Ф.М.Кириллова, Р.Габасов,  Н.Н.Петров).

Определение 10. Совокупность векторов образует положительный базис, если  для любого  найдутся постоянные  , такие, что .

В работе доказывается ряд результатов, связанных с положительным базисом, которые в дальнейшем используются при построении стабилизирующего управления. Вводятся в рассмотрение следующие конусы. Пусть векторы линейно независимы;  – матрица  со  столбцами  ,  ,  – компоненты ,  – скалярное произведение векторов. Рассмотрим открытый конус

  ,

и сопряженный  открытый конус , –транспонированная матрица, – соответствующие замкнутые конусы; .

  Лемма 2.5.6. Пусть  . Тогда  для  любого  вектора найдется  вектор   такой,  что  . Если  , то  в  качестве   берем  .

  Лемма 2.5.7. Пусть– какой-либо  вектор  из  леммы 2.5.6,  т.е. ,  если  , или ,  если .  Тогда проекции линейно независимых векторов   на  гиперплоскость  ,  ортогональную  , образуют  положительный  базис  этой  гиперплоскости.

  Гиперплоскость играет достаточно большую роль в алгоритме - стабилизации. Как следует из леммы 2.5.7, эта гиперплоскость не единственна. Введем обозначение , понимая под этим одну из гиперплоскостей, рассмотренных в лемме 2.5.7. Будем называть гиперплоскостью, порожденной векторами . В  §2.6 доказывается несколько подготовительных результатов. Будем полагать, что – вкторное поле динамической полисистемы , , , пусть  . 

  Лемма 2.6.1. Пусть векторы образуют положительный базис в . Тогда найдется  такая  окрестность , что для любой точки векторы также образуют положительный базис в  .

  Пусть векторы образуют положительный базис в ; пусть – открытый многогранный конус,  являющийся положительной  выпуклой оболочкой векторов ,  – множество всех таких конусов. Будем считать, что наборы  упорядочены, т.е. , полагаем, что .

Конус с вершиной в точке образованный векторами , будем обозначать . Пусть K(M) =– множество всех конусов с вершиной в точке образованных векторами .  Основным инструментом в алгоритме -стабилизации является следующая цилиндрическая конструкция.

  Построение цилиндра Пусть  - начальная точка траектории системы ,  ­. Будем считать, что настолько мала, что в ней выполняется заключение леммы 2.6.1. Пусть  т.е. точка  O принадлежит внутренности конуса. Случай принадлежности точки O границе какого-либо конуса рассматривается аналогично. Пусть конус, полученный параллельным сдвигом конуса на вектор Будем считать, что окрестность настолько мала, что . Таким образом, вершина конуса совпадает с точкой , а  его ребра параллельны ребрам конуса . Итак, . Это предположение возможно в силу непрерывности векторных полей системы . Далее, пусть  - прямая,  проходящая  через  точку   и  ортогональная  гиперплоскости  ,  – точка  пересечения  прямой и гиперплоскости . Отрезок примем  за  образующую  цилиндра. Пусть  –  -  мерный замкнутый диск с центром  в  точке  ,  принадлежащий  и  такой,  что  точка    лежит  на  его  границе, т.е.  если  , то  Диск   будем  полагать  нижним  основанием  цилиндра.

  Рассмотрим  цилиндр .  Его  основания,    и , будем называть нижним и верхним основаниями, соответственно. Пусть:

  сфера  – граница диска ;  сфера  - граница диска ;

­–  - мерная  гиперплоскость,  параллельная    и  проходящая  через  точку ;

­–  – мерная  гиперплоскость,  принадлежащая и  касающаяся верхнего основания цилиндра    в  точке  ;

  Лемма 2.6.4. Найдется  , такое, что  траектория системы входит в цилиндр в момент времени , т.е. при . Здесь – некоторая положительная постоянная.

  Лемма 2.6.5.  Пусть ­– проекции (геометрические) векторов  на  прямую . Тогда найдется такая  постоянная  , что  для всех точек  .

  Лемма 2.6.6.  Найдется упорядоченное множество такое, что траектория за  конечное время попадет  на  нижнее  основание  цилиндра  ,  не  покидая  .

  Теорема 2.6.1. (О  стабилизации).  Пусть векторы  , образуют положительный  базис. Тогда для любого найдется окрестность такая, что для любой точки  найдется упорядоченное множество такое, что траектория за время, меньшее, чем , попадет в любую сколь угодно малую окрестность точки    и в дальнейшем в ней останется, т.е.  точка   - стабилизируема.

Алгоритм - стабилизации  строится при  доказательстве теоремы.  Пусть траектория попадает на нижнее основание цилиндра в точку , которая  полагается начальной и строится новый цилиндр алогично цилиндру и т.д. Получаем последовательность цилиндров , стягивающихся к точке , являющейся центром их нижних оснований. Траектория последовательно переходит из в , осуществляя - стабилизацию точки . Следует отметить, что традиционная стабилизация точки при условии теоремы 2.6.1 очевидна. Предлагаемый метод рассчитан именно на решение задачи - стабилизации.

В §2.7 в случае моделируется режим точечной стабилизации автоколебания в - конусе. В §2.8 при некоторых условиях решена задача – стабилизации линейной нестационарной системы . Этот результат в некотором смысле созвучен результату Г.А.Леонова, решившему проблему нестационарной стабилизации Р.Брокетта. 

Предлагаемый в главе 1 подход к построению математических моделей ССИ позволяет  в ряде случаев исследовать аналитически динамику сложных экологических систем, изучаемых в теории метапопуляций (Gilpin M.E., Gyllenberg M., Hanski I., Hastings A., etc), разбивая их на последовательности более простых. Будем полагать, что если , то популяция - го вида присутствует в ареале, если то – нет. В  главе 3 рассматривается развитие системы В.Вольтерра «хищник-жертва», в которой  хищник может мигрировать в другие ареалы в случае недостатка жертв. Для преодоления сложности применения аналитических методов предлагается разбивать процесс на стадии миграции хищника, взаимодействия «хищник-жертва»  и роста популяции жертв. Построенная модель относится к классу последовательных ССИ с непрерывным изменением структуры. Структура принимает два значения: , если хищник отсутствует в ареале обитания жертвы(стадия роста популяции жертвы), , если происходит миграция хищника или его взаимодействие с жертвой.  Такой подход позволяет решать задачу исследования устойчивости структур. Это отличает настоящую модель от традиционных моделей, в которых исследуется устойчивость состояний равновесия. В §3.1 дается подробная мотивация и обоснование условий изменения структуры рассматриваемой системы. В результате предлагается следующая модель хищник-жертва с миграцией, являющаяся ССИ с непрерывным изменением структуры, заданная в пространстве переменных :

: , , , (8) 

  :  ,  ,  ,  (9)

:    (10) : ,  (11)

:    (12) 

где – некоторые положительные постоянные, - непрерывная пороговая функция, удовлетворяющая условиям: при . В дальнейшем в качестве возьмем  функцию  при  при  , – заданная постоянная, 

  Поясним экологический смысл данной модели. Введем следующие названия и обозначения режимов,описываемых системами (8)-(12). Будем говорить, что система (8) описывает полный режим , (9) – переходный , (10) – минус-скачок , (11) – нулевой , (12) – плюс-скачок . Полный режим соответствует наличию в сообществе и хищника, и жертвы, динамка взаимодействия которых задается уравнениями В.Вольтерра. Переходный режим – миграция хищника, причем отношения хищник-жертва несущественны. Минус-скачок – режим полного исчезновения хищника из сообщества, настолько быстропротекающий, что при этом не учитывается изменение переменных . Нулевой режим описывает динамику жертвы без самолимитирования в отсутствие хищника. Самолимитирование  учитывается в §3.8. Плюс-скачок – инвазия хищника в сообщество. Изменение обеспечивает смену режимов . В работе показано, что выполнение неравенства можно считать признаком наличия достаточного количества жертв  для удовлетворения потребностей популяции хищников, и, наоборот, неравенство означает, недостаток ресурса питания для популяции хищников. При этом, решение об изменении режима принимается не мгновенно, а с учетом предыстории, так как

.

И, действительно, «важное решение» об изменении структуры не должно быть подвержено влиянию мгновенных значений фазовых переменных , оно должно носить инерционный характер, что и обусловило введение в настоящую модель дифференциального уравнения относительно для описания процессов смены режимов. Таким образом, переменная является эволюционным  временем, введенным в первой главе. Отметим, что величина как фактор, влияющий на динамику хищника, была использована в модели Лесли  «хищник-жертва».

  Лемма 3.2.1. Системы (8)-(9) имеют линейный интеграл

    причем для системы (8) это имеет место тогда и только тогда, когда .

Можно показать, что поведение траекторий построенной системы (8)-(12) зависит от того, в какую точку плоскости попадет траектория. Плоскость поэтому называется  дискриминантной. В §3.3 получен ряд результатов, характеризующих  дискриминантную плоскость.  В силу того, что в правые части первых двух уравнений системы (8) не входит ,  траектории этой системы в пространстве будут располагаться на цилиндрах с основаниями, лежащими на плоскости , образующими, параллельными оси , и направляющими, которые являются замкнутыми проекциями траекторий на плоскость .  Цилиндры лежат в полуплоскости . Множество этих цилиндров траекторий можно упорядочить. Будем обозначать , если цилиндр лежит внутри цилиндра .  Доказана лемма о том, что траектория системы (9), начавшаяся на цилиндре , возвращается на плоскость (сразу из режима ) в точку, принадлежащую некоторому цилиндру так, что при ; при ;  при .

  При , в силу выпуклости траекторий системы Вольтерра, найдется цилиндр траекторий , касающийся плоскости . Назовем касательным цилиндром.

Лемма 3.3.1. Пусть и при этом не касается плоскости . Пусть начальная точка принадлежит или лежит внутри него. Тогда при в системе устанавливается режим  ; при система переходит в режим .

  Исследуются предельные множества построенной модели. Показано, что предельные цилиндры не существуют. В §3.4-3.6 проводится качественное исследование построенной модели. В §3.7 доказываются основные теоремы о глобальном поведении траекторий системы (8)-(12). Обозначим через точку с координатами , а через луч: .

Теорема 3.7.1. Пусть .  Тогда для любой начальной точки найдется такой момент времени , что при в системе (8)-(12) установится режим .

Теорема 3.7.2. Пусть, . Тогда для любой начальной точки , кроме точек лучей 

  ,

,

найдется такой момент времени , что при в системе (8)-(12) установится периодический режим одного из двух типов: или . Точки лучей и являются положениями равновесия.

Теорема 3.7.3. Пусть . Тогда, если начальная точка принадлежит лучу , то в системе (8)-(12) устанавливается неустойчивый скользящий режим, и при этом для точек луча

  .  (13)

Для остальных начальных точек будет происходить бесконечное чередование режимов с возможным выходом на режим при достаточно малых , и при этом также выполняется (13).

Предложена экологическая интерпретация полученных результатов. Построенная модель обладает большим разнообразием режимов. При этом режим  , соответствующий классической модели В.Вольтерра, является одним из возможных частных случаев и осуществляется лишь при определенных условиях. В §3.8 рассматривается модель, в которой в отсутствие хищника рост численности особей жертвы сдерживается конкуренцией. В этом случае первое уравнение в системе (11), т. е. уравнение, задающее динамику жертвы в отсутствие хищника,  имеет  вид , где постоянная . Исследуется влияние этого изменения модели на ее динамику, доказываются теоремы, дающие условия вторичной миграции. Найдены условия существования периодического структурного режима , т.е. периодической структурной орбиты . Таким образом, построенная модель хищник – жертва с миграцией демонстрирует более разнообразные режимы поведения, чем классическая модель В.Вольтерра, что делает ее более адекватной.

  В главе 4 на основе подхода, предложенного в главе 1, строится и исследуется математическая модель развития экономической производственной  системы с учетом природоохранных затрат в виде ССИ. Рассматривается  некоторое производственное объединение (ПО), в состав которого входит конечное,  но  изменяющееся  количество одновременно функционирующих  предприятий: , если - е предприятие входит в состав ПО, – в противном случае. Изменение этого количества  происходит  согласно правилам, устанавливаемым  некоторым центром.  Центр должен  распределить  инвестиции  по  предприятиям  для их развития. Цель  развития  состоит  в достижении  предприятиями  некоторых  заданных  уровней  в  течение  заданного  промежутка  времени  .  При  этом  центр  может  закрыть  какое-либо  предприятие  или  возобновить  его  работу  в  зависимости  от  эффективности его производственной и природоохранной  деятельности,  а  также может  открыть  новое  предприятие  при  условиях эффективной работы ПО. Задача  состоит в построении функции распределения  инвестиций  по  предприятиям,  обеспечивающей  их  рост  к  нормативным  уровням с учетом природоохранных затрат. Пусть  количественная  характеристика состояния - ого  предприятия  в  момент  времени    определяется  функцией  , . Скорость  прироста  инвестиций  в  предприятие   в  момент   обозначим  через  ,  . Далее,  пусть  – скорость  прироста  уровня  развития  предприятия    на  единицу  капитала,  вложенного  в  него,  – ограниченная, кусочно-непрерывная функция. Тогда  дифференциальное уравнение,  задающее  динамику  развития - го  предприятия,  имеет  вид

  (14)

Заметим,  что  количество  предприятий,  функционирующих  в  составе  ПО,  не  задано. Будем  считать,  что  инвестиции, направляемые центром на  развитие  - го  предприятия,  состоят  из  части  собственных  средств  и  кредитов  банка,  которые  получает  ПО,  а  центр  распределяет  по  предприятиям. Таким  образом,  можно ввести  условие

  ,  (15)

где – коэффициент,  характеризующий  скорость  прироста  собственных  средств  предприятия  на  единицу  объема  его  продукции; – скорость  прироста  инвестиций  за  счет  кредита  банка. При этом , , – кусочно-непрерывны. Введем функцию – количество  функционирующих предприятий,  входящих  в  состав  ПО в  момент  времени  , – кусочно-постоянная  функция,  множество  значений  которой  ,  - заданное  натуральное  число.  Если  в  момент  времени объединение  состоит  из  предприятий ,  то  . Если  ,  то  в  момент ПО  не функционирует.

  Теперь  рассмотрим  условия  изменения  количества предприятий  в  составе  ПО, т.е. условия изменения структуры. Предположим,  что  центр  может  закрывать  неэффективные  предприятия  или,  наоборот,  открывать  новые  в  случае  успешной  деятельности  ПО. Построим  модели  процессов  сокращения  и  расширения  производства  при  различных  предположениях. При  этом будем использовать метод  построения  моделей ССИ,  предложенный в главе 1. 

Процесс  сокращения  производства. Пусть момент  начала  функционирования  ПО  и  на  некотором  промежутке времени  объединение  состоит  из  предприятий с номерами , т.е.  при . Тогда  уравнения  (14), (15)  примут  вид

(16)

    (17)

Будем считать, что  при  принятии  решения  о  закрытии  предприятия  центр руководствуется  анализом эффективности  его функционирования, в которой отражается его производственная и природоохранная деятельность  на  некотором  промежутке времени . Пусть

 

где – скорость прироста инвестиций за счет кредита банка, идущих на развитие производства,  – скорость прироста инвестиций за счет кредита банка, идущих на природоохранные затраты, – кусочно-непрерывные функции,  . Введем  переменные   

  (18)

где – заданные пороговые  функции, ограниченные, кусочно-непрерывные, принимающие  неотрицательные  значения; – заданные  постоянные,  . Продифференцировав  равенство  (18), получим систему уравнений,  которой  удовлетворяют  переменные 

(19)

Таким  образом,  динамика  ПО  на  задается  уравнениями  (16), (17), (19). Введем  в  рассмотрение нижние пороговые  значения, кусочно-непрерывные  функции  , причем положим,  что  существуют постоянные  такие,  что  непрерывны при . Пусть  – заданные  постоянные. Аналогично введем  в  рассмотрение верхние  пороговые  значения, кусочно-непрерывные  функции  , и пусть существуют постоянные  такие,  что  непрерывны  при  .  Пусть  – заданные  постоянные. Добавим  еще  одно  условие,  характеризующее  взаимосвязь  порогов. Пусть  при всех и Тогда в  силу  непрерывности и  на имеем,  что    на  ,  где  . Предположим,  что  найдется  первый момент  времени , ,  такой, что 

.  (20)

Тогда  полагаем,  что в  момент    происходит  закрытие  предприятия с  номером  . При  этом  переменные  мгновенно (скачком)  изменяют  свои  значения на  некоторые заданные  меньшие  значения . Далее,  при  ,  т.е.  после  закрытия - го предприятия  динамика  ПО  будет  задаваться  системой

   

,  . 

При этом

  . В работе обосновывается экономический  смысл  предложенной модели. Показано, что выполнение  неравенства  означает низкую  эффективность работы предприятия и недофинансирование им природоохранных затрат, что  приводит к его  замораживанию или закрытию.  При этом наличие интеграла в условии (20) придает инерционность процессу принятия решения о закрытии предприятия, что позволяет избежать необоснованности этого решения. Переменная играет роль эволюционного времени для предприятия . Далее в работе моделируется процесс расширения  производства. Рассмотрены различные сценарии этой процедуры. Предлагаются также модели на  основе  последовательной  ССИ  и модели  с  непрерывным изменением  структуры.

В четвертой главе также решается задача моделирования процесса инвестирования одного  предприятия и построения кредитной функции ,  позволяющей  предприятию, динамика которого задается системой

,

достичь уровня развития  .  Проведено исследование задачи в двух случаях: при закрытии  и замораживании предприятия. Исследован случай, когда процесс  замораживания-размораживания  происходит  раз,  где заранее  не  задано. Дается конструкция кредитной управляющей функции, решающей задачу перевода предприятия  на  заданный уровень развития.

В  §4.4  рассмотрены  задачи моделирования процесса инвестирования ПО с переменным количеством предприятий. В частности, ставится и решается задача:  построить кредитную функцию ,  при которой вектор состояний  ПО  попадает в целевую область  , где  ,  , – заданная  постоянная. При этом количество предприятий  может изменяться в процессе функционирования. Далее исследуется  задача развития при  недостатке  собственных  средств, имеющихся в распоряжении одного  предприятия, для ее решения. При этом возникает вопрос: может ли  ПО  за  счет  открытия  дополнительного  предприятия  достичь  заданного  уровня развития  к  моменту  времени ?  По сути, это вопрос о том, может ли и при каких условиях реструктуризация повысить эффективность ПО. Положительный ответ на поставленный вопрос при некоторых условиях дает теорема  4.4.2.

Теорема  4.4.2.  Пусть ;  ; пусть для постоянных  выполняются  условия  недостатка кредитного ресурса для  одного  предприятия 

, ,

пусть выполняется  условие сохранения  двух функционирующих предприятий  при  : , – момент открытия второго предприятия; пусть выполняется  целевое  условие

  ;

  удовлетворяет условию . 

Тогда  кредитная функция такая, что ,   при  ,  ,    при  , решает  задачу  развития ПО  до заданного уровня. При  этом  на  промежутке ПО  состоит  из одного  предприятия

,  , 

, ,  ,

а  на  промежутке  – из  двух  предприятий 

  , ,  , 

, ,  ,

при этом  .

Далее исследуются условия, при которых открытие дополнительного предприятия расширяет возможности развития ПО. Доказывается теорема, в которой формулируются условия, обеспечивающие это расширение. В §4.5 решена задача развития ПО при ограниченном  объеме инвестиций.  В §4.6.  предлагается подход к исследованию задачи развития ПО с переменной  структурой  взаимосвязей  экономических  подсистем. Этот подход можно использовать к обобщению модели В.Леонтьева “затраты-выпуски”.

  В главе 5 на основе методов, разработанных в главе 2,   рассматриваются задачи моделирования режимов стабилизации в динамических системах  рационального природопользования. В §5.1-5.3 на основе метода - конуса  решены задачи глобальной и локальной стабилизации режимов некоторых химических реакторов при ограничениях на допустимые тепловые выбросы в окружающую среду, находятся множества точек, которые могут быть  стабилизируемы и области стабилизируемости (притяжения). Преимуществами метода стабилизации с помощью - конуса является его грубость по отношению к возмущениям параметров системы, простота реализации, возможность учитывать ограничения. При этом решаются задачи - и  - стабилизации.  В §5.4  предложена модель и  метод  стабилизации системы  В.Вольтерра с переменной структурой. Рассмотрена  система    где – плотности  популяции  хищника и жертвы,  соответственно;    –  скорость  отбора  в  популяции  жертв. При этом  - я  часть  энергии,  полученной  хищником  с  биомассой  жертвы,  расходуется  на  воспроизводство его  численности,  -я часть  энергии расходуется на  поиск  добычи, . Естественно  предположить,  что  при  увеличении  отбора  жертв,  популяция  хищников  затрачивает  больше  энергии  на  добывание  пищи. Тогда положим 

  = 

где  ,   –  постоянные,  . Таким образом, становится функцией  скорости отбора. Строятся алгоритмы глобальной и локальной стабилизации.

В §5.4 на основе метода динамической декомпозиции предлагается модель динамики экологически безопасного функционирования  группы периодических химических реакторов. При  производстве  целлюлозы  периодическим  способом  варочные  котлы  объединяются  в  технологическую  линию  с  последовательным  их обслуживанием  на  стадиях загрузки  щепой  и  химикатами  и  выгрузки  целлюлозной  массы. Для  того  чтобы  материальные  потоки,  входящие в  отдел  варки  и  выходящие  из  него, имели  постоянные временные  характеристики, обычно составляется  циклограмма,  т.е.  график  работы  котлов,  который  обеспечивает  их  последовательный  выход  на стадии  загрузки  и  выгрузки.  Задача  системы  обслуживания  состоит  в выдерживании  этого  графика. Но  действие  возмущений,  таких  как  падение  давления  греющего  пара,  вынужденные  задержки  процесса  варки  при  отказах  оборудования  смежных  производств,  нарушения  технологического  регламента,  изменение  характеристик  сырья  и  химикатов  приводит к  нарушению  графика  работы  варочных  реакторов,  что  снижает  производительность  варочного  отдела и может привести к аварийной ситуации с опасными для окружающей среды последствиями. В связи  с  этим  предлагается  новый  метод  моделирования режима стабилизации  процесса,  основанный  на  рассмотрении  последовательности  реакторов как  параллельной  ССИ, введенной в гл.1. Пусть  система  уравнений,  описывающих процесс химических  превращений  в  м  реакторе имеет вид

, ,  ,  ,

где  , - концентрация  реагента и температура в  - м  реакторе;  – скорость поступления  пара  в  - й реактор; - количество  реакторов, – температура стенки в - м  реакторе, , -  некоторые  постоянные, ,.  Будем полагать, что процесс  варки в - м  реакторе  продолжается  до  тех  пор,  пока  выполняется  условие

  . (21)

При  достижении  переменной    значения    процесс варки  прекращается,  и  реактор  выходит  на  разгрузку. Таким образом, –эволюционное время - го котла. Смысл этого условия: в начальный момент времени имеем . Далее в силу первого уравнения переменная убывает к нулю, и с некоторого момента времени разность станет и останется отрицательной. Тогда переменная также будет убывать и достигнет  значения . Если вместо (21) использовать условие , при котором осуществляется стадия химических превращений,  и условие , при котором она заканчивается, то незначительные  помехи и неточности в знании параметров могут привести к прекращению этой стадии и выгрузке неготового продукта. Наличие интеграла в (21) обеспечивает инерционность при принятии решения о завершении стадии химических превращений. Введем вектор структуры следующим образом: , если  - й  реактор находится в стадиях осмотра, загрузки и  химических превращений; , если - й  реактор находится в стадии разгрузки. Показано, что безопасное функционирование системы котлов соответствует осуществлению периодической - структурной орбиты

  ,

где , причем 0 находится  на - м месте, При этом будем полагать, что . Здесь – начальное состояние системы реакторов. Решена задача об определении области параметров , таких, что -структурная траектория ,  которой соответствует - периодическая - структурная орбита, будет - устойчива. Показано, что тогда в системе будет происходить последовательная разгрузка котлов, причем  в режиме разгрузки будет находиться только один из них.

  В главе 6 разработанные в главах 1,2 методы применяются к моделированию режима стабилизации процесса биологической очистки сточных вод.  Сточные воды,  представляющие  собой  многокомпонентный субстрат-загрязнитель,  в  совокупности  с  активным  илом,  состоящими  из  многочисленных групп  микроорганизмов,  представляют  собой  сложную  иерархическую  систему.  В §§6.1-6.2 построена модель режима стабилизации на основе функции  Моно. Трудность решения  задачи  обусловлена  нелинейностью  системы и  наличием  ограничений. При этом строится соответствующий - конус, стабилизация в котором позволяет удовлетворить ограничениям. Решаются задачи моделирования режимов локальной и глобальной стабилизации. Рассмотрена задача - стабилизации.

Одной из проблем, усложняющих моделирование процесса биоочистки,  является изменчивость структуры активного ила (В.А.Вавилин. Время оборота биомассы и деструкция органического вещества в системах биологической очистки. М.: Наука, 1986.). При  небольшом  времени  оборота  биомассы  в микрофлоре  активного  ила  преобладают  быстрорастущие  виды,  приспособленные  к потреблению  легкоокисляемых  соединений. При этом медленнорастущие  группы,  потребляющие  трудноусвояемые  соединения, не успевают закрепиться в реакторе, в результате чего  эти соединения попадают в стоки, не разлагаясь. Если время  оборота  биомассы достаточно велико, в очистной системе закрепляются  медленнорастущие  группы. При этом увеличивается разнообразие закрепившихся видов биомассы и идет процесс глубокой очистки. Существующие динамические модели  не отражают указанные закономерности, а поскольку при стабилизации процесса биоочистки изменяется скорость оборота биомассы, то возникает проблема построения модели, учитывающей  непостоянство  видового состава сообщества микроорганизмов  активного  ила. Предлагается подход к решению данной проблемы  на основе  разработанного в первой главе  метода  динамической  декомпозиции. Пусть – подсистема ил-субстрат - го вида

  (22)

где , ­– концентрации - го вида субстрата загрязнителя и -го вида микроорганизмов. Стабилизация процесса биоочистки осуществляется  за  счет  изменения  скорости    рециркулирующего  потока. Пусть ­– постоянные параметры, удовлетворяющие условию:  Будем считать, что для закрепления микроорганизмов - го вида в аэротенке требуется, чтобы  скорость рециркулирующего потока удовлетворяла неравенству . Это значит, что с увеличением номера    уменьшается необходимость в присутствии медленно растущих микроорганизмов в аэротенке, что вызывается  уменьшением количества трудноусвояемых  видов субстрата. Таким образом, для того чтобы в системе присутствовали виды  микроорганизмов, достаточно подчинить  условию , где . При этом в аэротенке не будут присутствовать  виды микроорганизмов с номерами, меньшими , что позволит, помимо увеличения скорости процесса биоочистки, сделать этот процесс более экономным.

      Таким образом, в соответствии с развитым общим подходом, модель процесса биоочистки ­– сложная система , в состав которой могут входить подсистемы , динамика которых задается уравнениями (22). Далее, для организации изменения состава системы вводим функции, задающие эволюционное время

  , если ,

  ,  если  ,

где ­– заданные положительные  постоянные. Переменная   задает уровень накопления субстрата вида в аэротенке. Будем считать, что – кусочно-постоянные функции времени. Изменение структуры  системы происходит следующим образом. Пусть ­– заданные постоянные (пороги).

Увеличение размерности . Пусть . Тогда  в состав входят подсистемы с номерами, не меньшими :  .  Это значит, что при Если в некоторый момент времени   для некоторого то в этот  момент времени принимает значение в промежутке , и к системе подключаются подсистемы , для чего используется одна из описанных выше процедур подключения.

Уменьшение размерности . Пусть .  Если в некоторый момент времени ,  то в этот  момент принимает значение в промежутке , и от системы отключается подсистема , для чего используется одна из описанных выше процедур отключения.

На основе построенной модели решается задача моделирования режима  стабилизации процесса биоочистки. Пусть .  Это означает, что . Рассмотрим задачу определения скорости потока рециркуляции, при которой выполняется условие ограниченности субстрата-загрязнителя  на выходе из аэротенка:

, , (23)

где - заданная положительная постоянная.

Теорема 6.3.1.  Если  удовлетворяет условиям

  ,  ;  ,

то, начиная с некоторого момента времени выполняются ограничения  (23).

Данный метод моделирования позволяет осуществлять двухуровневую стабилизацию. На верхнем уровне решается задача стабилизации  структуры системы, а на нижнем ­– некоторой области фазовых состояний. Решение задачи -стабилизации с помощью -конуса позволяет учитывать временные ограничения на процесс стабилизации, связанные с изменение структуры ила.  В §6.4  разработана модель режима стабилизации процесса  биоочистки, подверженного  нестационарным  возмущениям. Предложена  процедура  стабилизации,  основанная  на использовании системы с переменной структурой. Исследованы условия его существования. Некоторые результаты, относящиеся к этому циклу исследований, использовались в виде комплекса программ при создании систем управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге.

  В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе.

 

СПИСОК ТРУДОВ 

Статьи  в  изданиях, рекомендованных ВАК

1. Кириллов А.Н. Одна  математическая  модель  распределения  капитальных  вложений / А.Н.Кириллов //  Экономика и математические методы. – 1982. –  Т.18,  вып.5. –  С.922 – 925.

2. Кириллов А.Н. Задачи  стабилизации  экологических  систем / А.Н.Кириллов //  Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 1994. – Т.1,  вып.6. – С.883 - 892.

3. Kirillov A.N. The  Stabilization  Problem  for Certain >

  4. Кириллов А.Н. Экологические  системы  с переменной  размерностью / А.Н.Кириллов  // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. –1999. – Т.6,  вып.2. – С.318 - 336.

  5. Тихонов Ю.А. Новая конструкция  ротора  сортировок  с  гидродинамическими  лопастями / Ю.А.Тихонов, О.А.Терентьев, В.С.Куров, А.Н.Кириллов, А.А.Гаузе, А.Г. Андреев, Ю.Г.Якимов, С.А.Рыбаков //  Известия  вузов. Лесной  журнал. – 2000. –  №4. –С.66–69.

  В работе  [5] автором проводилось математическое моделирование режима стабилизации.

6. Кириллов А.Н. Управление  многостадийными  технологическими  процессами/ А.Н.Кириллов //  Вестник Санкт-Петербургского Университета.  Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы  управления. – 2006. –  Вып. 4. – С.127 – 131.

  7. Кириллов А.Н. Модель инвестирования экономической системы с переменной структурой/ А.Н.Кириллов //  Труды института системного анализа РАН. – 2007. – С.281-287.

  8. Кириллов А.Н. Нелинейная стабилизация динамических систем управления / А.Н.Кириллов // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2008. –  № 12. –  С.6 -11.

  9. Кириллов А.Н. Динамическое моделирование и стабилизация процесса биологической очистки сточных вод /А.Н.Кириллов //  Целлюлоза. Бумага. Картон. – 2008. –  №5. – С.66.

  10. Кириллов А.Н. Метод динамической декомпозиции в моделировании систем со структурными изменениями / А.Н.Кириллов // Информационно – управляющие системы. – 2009. – №1. –  С.20 - 24.

  11. Кириллов А.Н. Динамические системы с переменной структурой и размерностью / А.Н.Кириллов //  Известия вузов. Приборостроение. – 2009. – Т.52,  №3. – С.23 – 28.

  Статьи  в других научных изданиях

12. Кириллов А.Н. Об  оценке адекватности  моделей  объектов в задачах управления / А.Н.Кириллов, Р.М.Юсупов // Труды ВИКИ им.А.Ф.Можайского. –  1979. – Вып.592. – С.18–21.

13. Кириллов А.Н. Программные  движения  в  системах  с  неголономными  связями/А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов “Вопросы  синтеза  динамических  систем”. ЛИАП. – 1982. – С.147–149.

14. Кириллов А.Н. Применение  математических  методов  в  распределении  капитальных  вложений в  условиях  региона/ А.Н.Кириллов // Сборник научных трудов “Совершенствование  региональной  системы  управления  строительством”. ЛИЭИ им.Пальмиро Тольятти. – 1982. – С.90–94.

15. Кириллов А.Н. Суриков В.Н. К  вопросу  о  дополнительных  условиях существования  скользящих  режимов  в  системах  управления  технологическими  объектами  в  ЦБП / А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков //  Межвузовский сборник научных трудов “Химия  и  технология  бумаги ”. ЛТА. – 1987. –  С.92–95.

16. Кушков Н.Н. Бифуркационный  метод  исследования  работы  оборудования  целлюлозно-бумажного  производства /Н.Н.Кушков, А.Н.Кириллов, В.А.Доронин, В.А. Втюрин // Межвузовский сборник научных трудов “Машины  и аппараты  целлюлозно-бумажного производства ”. ЛТИЦБП. – 1988. –  С.139 –143.

17. Доронин В.А.Необходимые  и  достаточные  условия  адекватности  моделей  инерционных  объектов  / В.А.Доронин, Н.Н.Кушков, А.Н.Кириллов,  А.В.Доронин// Межвузовский сборник научных трудов “Машины  и аппараты  целлюлозно-бумажного производства ”. ЛТИЦБП. – 1989. –  С.93 – 96.

  18. Кириллов А.Н. Синтез  инвариантной  системы  управления  процессом  обработки  осадка  сточных  вод  на основе  построения  скользящих  режимов/А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков // Математические  методы  рационального природопользования / под.ред. В.В.Пененко [и др.]. – Новосибирск, 1989. – С.38 – 46.

  19. Кириллов А.Н. К  вопросу  об  оптимальном  управлении  технологическими  процессами  обработки осадков  сточных  вод  в  системах  со  скользящими  режимами /А.Н.Кириллов А.Н., В.Н.Суриков //  Межвузовский сборник научных трудов “Охрана  окружающей  среды”. ЛТИЦБП. – 1990. – С.97 – 100.

  20. Кириллов А.Н. Математическая  модель  управления  неизотермическим  химическим  реактором  при  ограничении  тепловых  выбросов  в  окружающую  среду /А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов “Охрана  окружающей  среды”, ЛТИЦБП. – 1990.– С.72 – 76.

  21. Кириллов А.Н. Точечная  стабилизация  автоколебаний  машин  и  аппаратов  ЦБП / А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов  “Машины  и аппараты  целлюлозно-бумажного производства ”. ЛТИЦБП. – 1990. –  С.119 – 122.

  22. Кириллов А.Н. Об  управлении  проточным  реактором  идеального  смешения  при  ограничении  на  допустимый  выброс  в  окружающую  среду / А.Н.Кириллов// Моделирование  природных  систем  и  задачи  оптимального  управления / под.ред. Л.А.Петросяна [и др.]. –  Новосибирск, 1993. –  С.32 – 35.

  23. Кириллов А.Н. Динамика  структур  сложных  систем  машин  и  аппаратов  ЦБП/ А.Н.Кириллов, В.М.Буре// Межвузовский сборник научных трудов  “Машины  и аппараты  целлюлозно-бумажного производства ”. СПбГТУРП. – 1996. –  С.132 – 134.

  24. Кириллов А.Н. Об  одной  математической  модели  управления  запасами  целлюлозно-бумажного  производства / А.Н.Кириллов, В.М.Буре, Б.К.Кирпичников // Межвузовский сборник научных трудов “Машины  и аппараты  целлюлозно-бумажного производства ”. СПбГТУРП. – 1998. – С.137 – 139.

  25.  Кириллов А.Н. Об  управлении  сложными  системами  с  переменной  структурой  в  ЦБП/А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов “Машины  и аппараты  целлюлозно-бумажного производства ”. СПбГТУРП. – 1999. – С.136 – 137.

  26. Кириллов А.Н. Устойчивость  структур  сложных  систем  в  ЦБП /А.Н.Кириллов // – Межвузовский сборник научных трудов  “Машины  и аппараты целлюлозно-бумажного производства”.  СПбГТУРП. – 2000. – С. 107 – 108.

  27. Кириллов А.Н. Конус  стабилизации  в задачах  управления  оборудованием ЦБП /А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов  “Машины  и  аппараты  целлюлозно-бумажного  производства”. СПбГТУРП. – 2004. –  С.131 – 134.

  28. Кириллов А.Н.Об  управлении  многостадийными  процессами/ А.Н.Кириллов, В.М.Буре, Д.А.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов  “Машины  и аппараты целлюлозно-бумажного производства”.  СПбГТУРП. – 2005. –  С.130 – 132.

  29. Кириллов А.Н. Управление  многостадийными  технологическими  процессами / А.Н.Кириллов // Труды  международной  конференции “Устойчивость  и  процессы  управления”.  СПбГУ. – 2005. –  С.1400 –1406.

  Научно-методическое издание

  30. Кириллов А.Н. Системы  управления  с  переменной  структурой  технологическими  объектами  в  ЦБП / А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков. – Л.:  ЛТИЦБП, 1989. – 52 с.

  Тезисы докладов на научных конференциях

  31. Кириллов А.Н. Об оптимизации  скользящих  режимов  в  системе  управления  с  переменной  структурой  процессом  обработки  осадка  сточных  вод /А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков// Первая Всероссийская  школы “Математические  проблемы  экологии”. Тезисы докладов. – Чита, 1986. –  С.29 – 30.

32. Кириллов А.Н. К  вопросу  об  управлении  процессом  обработки  осадка  сточных  вод/ А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков// Всероссийская  школа “Математические  проблемы  экологии”. Тезисы докладов. – Чита, 1986. – С.18 – 19.

33. Кириллов А.Н. Стабилизация  систем  биологической  очистки  сточных  вод / А.Н.Кириллов // Третья Всероссийская  школа “Математические  проблемы  экологии”. Тезисы докладов. –  Чита, 1990. – С.27 – 30.

34. Кириллов А.Н. Системы  с  переменным  фазовым пространством  в  моделировании  процессов  биологической  очистки / А.Н.Кириллов // Всероссийская  школа-коллоквиум “Математические  проблемы  экологии”. Тезисы докладов. – Душанбе, 1991. – С.44.

35. Кириллов А.Н. Саморазвивающаяся  система  Вольтера /А.Н.Кириллов // Всероссийская  конференция “Теоретические  и  прикладные  вопросы  экологии”. Тезисы докладов. – Бухара, 1992. – С.40.

36. Кириллов А.Н. Модель  возрастной  структуры  популяции  с  переменной  размерностью /А.Н.Кириллов //  Всероссийская  школа-коллоквиум “Математические  проблемы  экологии”. Тезисы докладов.  –  Чита, 1994. – С.52.

37. Кириллов А.Н. Дифференциальные  уравнения  на  симплексах  с  переменной  размерностью / А.Н.Кириллов // Вторая Всероссийская  школа-коллоквиум по стохастическим  методам. Тезисы докладов. – М.: Изд-во ТВП,  1995. – С.68.

38. Кириллов А.Н. Об  оценивании  адекватности  линейных  моделей  в  условиях  неопределенности / А.Н.Кириллов // Третья Всероссийская  школа-коллоквиум по стохастическим  методам. Тезисы докладов. –  М.:  Изд-во “ТВП”, 1996. – С.73.

39. Кириллов А.Н. Символическая  динамика  для  систем  с  переменной  размерностью /А.Н.Кириллов //  Четвертая Всероссийская  школа-коллоквиум по стохастическим  методам. Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 1999.  – Т.4,  вып.3. – С.352.

40. Кириллов А.Н. Модель  инвестирования  с  переменной  структурой /А.Н.Кириллов //  Пятая Всероссийская  школа-коллоквиум по стохастическим  методам. Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 1998. – Т.5,  вып.2. – С.225.

41. Кириллов А.Н. Об  устойчивости  экономических  систем  в  переходный  период /А.Н.Кириллов //  Шестая Всероссийская  школа-коллоквиум по стохастическим  методам. Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. –1999. – Т.6,  вып.1. – С.151 - 152.

  42. Кириллов А.Н.  О  стабилизации  системы  биологической  очистки  с  переменным  видовым  составом /А.Н.Кириллов //  Первый  Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (осенняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики.2000. – Т.7,  вып.2. –  С.363.

  43.  Кириллов А.Н. Устойчивость  структур  сложных  систем  управления /А.Н.Кириллов // Первый Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (осенняя  сессия). Тезисы докладов //  Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. –2000. – Т.7,  вып.2. – С.364.

  44. Кириллов А.Н. Системы  с  переменной  структурой  в  моделировании  метапопуляций /А.Н.Кириллов //  Второй Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (летняя  сессия). Тезисы докладов  // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики.– 2001. –Т.8,  вып.1. – С.208 - 209.

  45. Кириллов А.Н. Нелинейная  стабилизация  экологических  систем /А.Н.Кириллов // Второй Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (зимняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 2001. – Т.8,  вып.2. –С.606 - 607.

  46. Кириллов А.Н. Модель  миграции  и  взаимодействия  в  двухвидовой  популяционной  системе /А.Н.Кириллов //  Всероссийская  научная  школа “Математические  методы  в  экологии”. Тезисы докладов. –  Петрозаводск, 2001. –  С.131 – 132.

  47. Кириллов А.Н. Адекватность  систем  управления  в  задачах  стабилизации/А.Н.Кириллов //  Третий Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (весенняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 2002. – Т.9,  вып.1. – С.204.

  48. Кириллов А.Н. Грубые  структуры  в  системах  с  переменной  размерностью /А.Н.Кириллов //  Третий Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (осенняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. –2002. – Т.9,  вып.2. –  С.389 – 390.

  49. Кириллов А.Н. Стабилизация  структуры  сложной  системы /А.Н.Кириллов //  Четвертый Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (весенняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. –2003. – Т.10,  вып.1. – С.170 – 171.

  50.  Кириллов А.Н. Стабилизация  структур  саморазвивающихся  систем/А.Н.Кириллов //  Международная  конференции “Девятая  Белорусская  математическая  конференция”. Тезисы докладов. –  БГУ, Гродно, 2004. –  С.

  51. Кириллов А.Н. Конус  стабилизации  в  задачах  управления  экологическими  системами /А.Н.Кириллов // Пятая  Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (осенняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 2004. – Т.11,  вып.4. – С.832 - 833.

  52. Кириллов А.Н.  Многоуровневое  управление  системой  химических  реакторов /А.Н.Кириллов // Шестая Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (осенняя  сессия). Тезисы докладов //  Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 2005. – Т.12,  вып.4. –  С.983 – 984.

  53. Кириллов А.Н. Управление  структурой  линейной  системы  с  переменной  размерностью /А.Н.Кириллов // Шестая Всероссийский симпозиум  по  прикладной  и  промышленной  математике (осенняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. – 2005. – Т.12,  вып.1. –  С.156.

  54. Кириллов А.Н. Моделирование динамики развития производственного объединения /А.Н.Кириллов // Девятая Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя  сессия). Тезисы докладов // Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики. –  2008. – Т.15,  вып.5. – С. 887.

  55. Кириллов А.Н. Модель биологической очистки с переменной структурой биомассы /А.Н.Кириллов // Математические методы в экологии. Третья Всероссийская научная школа. Тезисы докладов. – Петрозаводск, 2008. – С. 79 – 80.

  56. Кириллов А.Н. Некоторые методы кусочно-постоянной стабилизации нелинейных динамических систем / А.Н.Кириллов // Вторая российская мультиконференция по проблемам управления. Доклады. – СПб,  2008. –  С.70 – 71.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.