WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

На правах рукописи

Минаева Надежда Витальевна

Математическое моделирование

стационарных состояний механических систем

с распределенными параметрами

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т 

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Воронеж – 2008

Работа выполнена на кафедре высшей математики

ГОУ ВПО Воронежской государственной технологической академии

Научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор Чернышов Александр Данилович

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор

Радаев Юрий Николаевич,

Самарский государственный университет

Доктор физико-математических наук, профессор

Сапронов Юрий Иванович,

Воронежский государственный университет

Доктор физико-математических наук, профессор

Баскаков Владимир Александрович,

Воронежский государственный технический университет

Ведущая организация: ГОУ ВПО Липецкий государственный технический университет

Защита состоится «____»__________________ 200 г. В конференц-зале в _____ на заседании диссертационного совета Д212.035.02 в Государственном образовательном учреждении Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394017, г. Воронеж, проспект Революции, 19.

Текст автореферата и объявление о защите размещены на сайте  ВАК РФ http://vac.ed.gov.ru «____»__________________ 200 г.

Автореферат разослан «____»__________________ 200 г.

Ученый секретарь

специализированного совета

кандидат технических наук, доцент                       Хаустов И.А.

Актуальность темы. При изучении поведения объекта возникает необходимость в построении его математической модели. При этом принимается ряд предположений, выполнение каждого из которых будет необходимым условием правомерности ее применения. Например, в качестве геометрических и физических характеристик берутся их средние эмпирические значения. Решение полученной задачи должно достаточно адекватно описывать поведение изучаемого реального объекта с некоторой заданной точностью. Одним из предположений является непрерывность зависимости решения рассматриваемой задачи от характеристик объекта (исходных данных).

О выполнении этого требования отмечается во многих работах как технического, так и теоретического характера [В. В. Болотин, А. С. Вольмир, А. А.Самарский  и др.].

К работам по этому направлению можно отнести известные труды А. М. Ляпунова, О. Перрона, И. Г. Малкина, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева и др., в которых рассматривается математическая модель в виде  дифференциальных уравнений и анализируется устойчивость по Ляпунову решения дифференциального уравнения, т.е. непрерывность зависимости решения от исходных данных на бесконечном интервале.

Условия, при которых решение, определенное в ограниченной области, будет непрерывно зависеть от исходных данных, сформулированы в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов: алгебраические системы, дифференциальные уравнения, в которых исходными данными являются величины. Сложность их практической применимости в общем случае не позволила широко проводить изучение проблемы непрерывности зависимости решения от исходных данных, поэтому все еще остается не разработанной методика проведения таких исследований. В этой связи работ по данному направлению небольшое количество. К ним можно отнести труды на основе бифуркационного критерия [А.С. Вольмир, А. Н. Гузь, Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский и др.]. А также работы по теории катастроф (Р. Гилмор и др.), в которых исследование непрерывности зависимости от исходных данных проводится для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств  потенциальной функции.

Следовательно, получение практически пригодных критериев и разработка методики, математических моделей для проведения исследований непрерывности зависимости решений математических задач, описывающих стационарное состояние систем с распределенными параметрами, от исходных данных является актуальной проблемой.

Часто на практике возникает необходимость получения более точного решения, для этого нужно учитывать различного рода «несовершенства» изучаемого объекта. Найти точное решение такой задачи достаточно сложно, поэтому используются приближенные методы. Одним из них является метод возмущений. Он нашел широкое применение в различных научных областях: прикладной математике, механике, гидродинамике, колебаниях, электрофизике, экономике и т.д. Для метода возмущений важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи (А. Найфе, М. Ван-Дайк, А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев и др.). При решении задач методом возмущений вопрос об оценке погрешности метода рассматривался или в некоторых частных случаях (А. Пуанкаре, М. В. Келдыш, Ф. И. Франкль, И. Г. Малкин и др.), или путем сравнения с известными точными решениями (Л. А. Галин, Г. П. Черепанов и др.), поэтому дальнейшее изучение этой проблемы является актуальным.

Цель работы. Разработка научных основ, методологических принципов и математических моделей стационарных состояний систем с распределенными параметрами в механике упругопластических материалов, учитывающие отклонение характеристик от осредненных значений и исследование их свойств на основе анализа непрерывной зависимости решений от исходных данных.

Достижение указанной цели осуществляется посредствам решения следующих задач:

  • разработка новых и модификация известных математических моделей стационарных состояний механических систем с распределенными параметрами с учетом отклонений их характеристик от осредненных значений;
  • формулировка критерия непрерывности зависимости решений обыкновенного дифференциального уравнения и дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, от исходных данных;
  • получение критерия непрерывности зависимости решения вариационной задачи от исходных данных для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;
  • получение критериев аналитичности по малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных;
  • анализ некоторых математических моделей, описывающих поведение реальных объектов, на основе которых проводится исследование непрерывной зависимости;
  • построение математической модели линеаризованных граничных условий, заданных на подвижной границе, в декартовой и полярной системах координат;
  • нахождение решений задач, описывающих состояние деформируемого твердого тела, методом возмущений и их анализ на основе полученных критериев: продольный изгиб консольного стержня, напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы, поперечное сечение которой близко к круговому кольцу и др.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, функционального и математического анализов, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и метод возмущений.

На защиту выносятся:

  • критерии непрерывности зависимости решений, определенных на ограниченной области, обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной;
  • критерии непрерывности зависимости от исходных данных решений, определенных на ограниченной области, вариационной задачи для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;
  • критерий аналитичности по малым параметрам решений дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;
  • метод нахождения приближенного решения краевых задач с оценкой погрешности;
  • математическая модель для исследования непрерывности зависимости от исходных данных решения задач механики сплошных сред;

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

  • построены математические модели стационарных состояний механических систем с распределенными параметрами, на основе которых возможно проведение исследования непрерывной зависимости решений соответствующих задач от исходных данных;
  • на основе теоремы о неявных функциях сформулированы критерии непрерывности зависимости от исходных данных (функций) решений обыкновенных дифференциальных уравнений,  уравнений в частных производных, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных. Применяя эти условия, найдены границы областей непрерывности зависимости решений, определенных на ограниченной области, в пространстве описывающих параметров;
  • показано, что для задачи Коши этот критерий имеет вид ограничений только на начальные условия;
  • на основе критериев непрерывности зависимости получены критерии аналитичности по малым параметрам решений обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных, позволяющие находить границу области сходимости метода возмущений в пространстве параметров, характеризующих исходные данные. Используя эти условия, решения поставленных задач можно искать в виде степенных рядов по любому количеству независимых малых параметров с необходимой точностью, т.к. оценка погрешности совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора;
  • используя результаты проведенного анализа различных математических моделей, описывающих поведение твердых тел в механике сплошных сред, показано,  что для исследования непрерывности зависимости на основе сформулированных критериев необходимо использовать математическую модель граничных условий в виде задания их на границе тела в деформированном состоянии;
  • разработан приближенный метод отыскания функции, описывающей подвижную границу;
  • проведены исследования непрерывности зависимости решений от функций, входящих в математическую модель деформируемого твердого тела при комбинированном нагружении;
  • найдены решения задач, описывающие напряженно-деформированное состояние упруго идеально пластических твердых тел, с точностью до величин первого порядка малости.

Практическое значение. Полученные критерии непрерывности зависимости решения от исходных данных для рассмотренных математических моделей позволяют найти границу области, в пределах которой или сама модель или решение соответствующий задачи имеют физический смысл. Эта граница в большинстве случаев является также и границей области аналитичности решений рассмотренных задач по малым параметрам. Более точное решение, найденное с помощью метода возмущений, позволяет оценить учет влияния различного рода неоднородностей. Полученные результаты могут быть использованы для анализа математических свойств моделей и уточнения решения соответствующих задач различных отраслей науки и техники.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах-семинарах и симпозиумах:

  • 53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999;
  • 12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999;
  • Воронежской весенней математической школе, 1999;
  • 7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000;
  • международной конференции «Математика. Образование. Экология. Гендерные проблемы» г. Воронеж, 2000, 2003;
  • математической школе «Понтрягинские чтения–ХII», Воронеж, 2001, 2007;
  • II международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов н/Д, 2002;
  • Х международной конференции «Математика. Экономика. Образование».  Пущино, 2003, 2005, 2006, 2008;
  • международной научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке». С-Пб. 2003;
  • всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 2003;
  • международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004, 2008;
  • международной школе-семинаре по современным проблемам МСС. Воронеж, 2004, 2005, 2007;
  • всероссийской научной конференции «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкции». Самара, 2007, 2008;
  • региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования в режим развития». Воронеж, 2007, 2008;
  • ежегодных научно-технических конференциях ВГТА. Воронеж, 2001-2008.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 46 работ. Основные результаты отражены в 2 монографиях и 24 статьях, изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 224 страницах, состоит из введения, шести глав, приложения, 20 рисунков, и списка литературы, включающего 194 наименования.

Содержание диссертации. Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, изложено ее краткое содержание.

В первой главе анализируются различные условия, обеспечивающие проведение исследований непрерывности зависимости решения задачи, соответствующей некоторой математической модели, от исходных данных. Они содержатся в важнейшей теореме функционального анализа – теореме о неявных функциях:

пусть – банаховы пространства, Y – окрестность точки и F – отображение Y в Z, обладающее следующими свойствами:

  1. F непрерывно в точке ;
  2. ;
  3. в Y и непрерывно в точке , а оператор имеет ограниченный обратный.

Тогда уравнение разрешимо в некоторой окрестности точки , т.е. и , определенное при и непрерывное в точке , что для : и будет выполняться и обратно.

Проводить исследования на основе приведенных условий достаточно сложно, поэтому были сформулированы частные случаи этой теоремы для некоторых видов математических моделей (алгебраические уравнения, дифференциальные уравнения). Рассмотрим алгебраическое уравнение

F(λ1,λ2,u) = 0, (1)

определяющее в неявном виде функцию u = u(λ1,λ2):

Если F(λ1,λ2,u) определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки (λ10, λ20, u0), F(λ10, λ20, u0) ≡ 0, а F′u (λ10, λ20, u0) ≠ 0, то в некоторой окрестности точки (λ10, λ20, u0): D0 (λ10±1, λ20±2, u0±3) уравнение (1) определяет u как однозначную функцию от λ1,λ2:

u = u (λ1,λ2).

Для системы из двух алгебраических уравнений

F1 (u1, u2, λ) = 0, (2)

F2 (u1, u2, λ) = 0

однозначные функции

u1= u1 (λ) ,  u2= u2 (λ) (3)

будут существовать, если выполняются условия следующей теоремы: предположим, что:

  1. F1 (u1, u2, λ), F2 (u1, u2, λ) определены и непрерывны вместе со всеми свои­ми частными производными в некоторой  δ-окрестности точки (u10, u20, λ0);
  2. F1 (u10, u20, λ0) ≡ 0,

  F2 (u10, u20, λ0) ≡ 0;

3) .

Тогда в δ-окрестности точки (λ0, u10, u20) система уравнений (2) определяет (3) как однозначные функции λ, причём u1 (λ0) = u10; u2 (λ0) = u20 и в окрестности точки λ=λ0 функции u1, u2 непрерывны вместе со своими первыми производными.

Пусть оператор F является дифференциальным. Рассмотрим случай обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

(4)

с начальным условием

.  (5)

Решение задачи (4), (5) будет непрерывно зависеть от параметра λ при λ = λ0 и начальных значений  x0, u0, если выполняются условия следующей теоремы:

пусть f (x,u,λ) непрерывна по всем своим переменным в δ-окрестности точки (x0, u0, λ0) и удовлетворяет условию Липшица

| f (x, u1, λ) – f (x, u2, λ)| N | u1– u2|,

где N – постоянная, независящая от λ. Тогда решение u (x,λ) задачи (4), (5) непрерывно зависит от λ и начальных значений.

Условие Липшица является слишком ограничительным, для того чтобы решение непрерывно зависело от λ достаточно выполнения следующих условий:

предположим, что  f (x,u,λ) непрерывна, ограничена в окрестностях точки x0 ∈[x1, x2] и . Пусть при задача (4), (5) на [x1, x2] имеет решение , где x∈[x1, x2]. Тогда ∃ δ > >0 такое, что для любого фиксированного λ, удовлетворяющего < δ  ∃ решение равномерно на [x1, x2].

Рассмотрим систему n дифференциальных уравнений, в которой участвуют l параметров:

Для удобства будем использовать векторную форму записи

, (6)

где определена на открытом множестве пространства переменных .

Тогда теорему о непрерывности зависимости решения от исходных данных можно сформулировать следующим образом:

пусть непрерывны в по совокупности переменных, а – непродолжаемые решения уравнения (6) с начальными значениями .

Тогда функция определена на некотором открытом множестве пространства переменных и непрерывна на нем.

Известны и другие различные модификации этих теорем, а также их частные случаи. Но некоторые условия из сформулированных выше утверждений достаточно сложны для практического использования, поэтому работ по этому направлению немного, а случай, когда характеристика является не параметром или величиной, а функцией остается мало изученным.

Если в результате проведения исследований непрерывности зависимости оказалось, что она нарушается при взятых значениях исходных данных, то необходимо брать либо другое решение поставленной задачи, либо строить другую, более сложную математическую модель. Или необходимо получить решение с заданной точностью. И в том и в другом случае нужно решить достаточно сложные уравнения.

Часто при изучении явлений используется математическая модель в виде дифференциальных уравнений. Одним из методов нахождения решения соответствующих этим моделям задач является метод возмущений. Сходимость метода малого параметра проводилась или в некоторых частных случаях (Пуанкаре, Келдыш, и др.) или иллюстрировалась путем сравнения точных решений с приближенными. При этом авторы ограничивались, как правило, только одним параметром. Идея нахождения решения путем разложения по двум и более малым параметрам применялась при исследовании колебаний квазилинейных систем (Проскуряков).

Во второй главе рассматривается математическая модель в виде обыкновенного дифференциального уравнения.

На основе теоремы о неявных функциях сформулирован критерий непрерывности зависимости решения от исходных данных системы алгебраических уравнений. Для этого предлагается одно из условий известной теоремы о неявных функциях заменить другим условием, требующим построения вспомогательной системы алгебраических уравнений:

В результате условие неравенства нулю определителя заменено требованием существования только тривиального решения у вспомогательной линейной однородной системы уравнений:

Используя эти результаты, сформулирован критерий непрерывной  зависимости решения от исходных данных обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной:

(7)

с граничными (начальными) условиями вида:

,  (i= 1, …, n), (8)

где и(х) описывает поведение изучаемого объекта, , f(х) характеризует объект или внешнее воздействие.

Предположим, что при задача (7), (8) допускает решение:

.

Тогда условие непрерывности зависимости решения и(х) от функции f(х) при заключается в выполнения требований:

Теорема 1. Пусть функции Ф и в задаче (7), (8) обладают следующими свойствами:

1) непрерывны при  вместе со своими частными производными и функция при х∈[а,b].

2)  тривиальное решение задачи (9), (10) – единственно

,       (9)

,(10)

Тогда существуют и такие, что

при , , т.е. решение уравнения (7) и= непрерывно зависит от f(х) при .

В частности, для задачи Коши требование 2) принимает вид ограничений на начальные условия:

.

В качестве иллюстрационного примера рассмотрена система линейных неоднородных уравнений второго порядка с граничными условиями, решение которой описывает ось изогнутого консольного стержня под действием двух сил (рис. 1) в линейной постановке. Подобные стержни используются, например, как элементы опор мостов, покрытий, купольных конструкций:

,  х∈[0,а];

(11)

               и(0)=и′ (1)=0,                         (12)

где , функция описывает форму оси стержня в свободном состоянии.

Рис. 1

К граничным условиям (12) следует добавить условия сопряжения решений уравнений (11) при х=а. Пусть при и задача (11)–(12) допускает решение

.

В результате проведенных исследований получено, что решение непрерывно зависит от функции, описывающей начальное отклонение оси стержня, если значения параметров удовлетворяют найденным условиям. Граница области в пространстве параметров, найденная на основе этих условий, будет и границей применимости самой модели:

1) μ1tgμ1аtgμ2(1–а)=μ2;

(α1>0; α2>0); (α1>0; α2>0; );        (13)

2)  ;

(α1>0; α2<0; );                        (14)

3) μ1thμ1аtgμ2(1–а)=μ2;

(α1<0;  α2>0; );                        (15)

4) ;

(α1<0;  α2>0;  ), (α1<0;  α2<0).  (16)

На рис. 2 представлены качественные графики зависимостей между величинами α1 и α2, где цифрой 1 обозначен график, соответствующий λ1=λ2=0, а=0,7, его асимптота α1=25π 2/49, и цифрой 2–λ1=π /4, λ2=π /3, а=0,7, его асимптота α1=25π 2/49 ((16) корней не имеет).

Рис. 2

Далее рассмотрены линейные уравнения второго порядка с однородными граничными условиями.

Их решение и(х) может описывать, например, продольно-поперечный изгиб стержня на упругом основании в линейной постановке. Здесь с – коэффициент жесткости основания, α – параметр продольной силы, – характеризуют изгибающие моменты, приложенные на концах, функция f(x) – описывает начальное отклонение формы от прямолинейной.

Стержни на упругом основании широко применяются при моделировании понтонных мостов, фундаментов высотных зданий (ленточный фундамент), сооружений в сейсмически опасных зонах и т.п.

В пространстве параметров, характеризующих величину продольной нагрузки и жесткости основания, найдена граница области непрерывности зависимости решения рассматриваемой задачи и от функции f(x), описывающей начальное отклонение формы стержня от прямолинейной.И в этом случае эта граница является также границей применимости рассматриваемой математической модели. На основе проведенных исследований получаем, что если величина внешней нагрузки α и коэффициента жесткости с0 таковы, что соответствующая  им точка на плоскости рис. 3 лежит за пределами графика, то следует рассматривать задачу определения напряженно-деформированного состояния стержня в нелинейной постановке.

В третьей главе рассматривается математическая модель стационарного состояния механической системы с распределенными параметрами в виде уравнения в частных производных.

Пусть исследуемый объект описывается решением уравнения в частных производных:

, (17)

где – функция, характеризующая рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него, а , (i,j=0,1,2,…,п).

Граничные условия запишем в следующем виде:

;         (18)

,        (k,i,j=1,2,…,п),

где γ∈Г; Г – граница области D.

Предположим, что при задача (17) – (18) допускает решение

.

Критерий непрерывности зависимости решения задачи (17)–(18), согласно теореме о неявных функциях, заключается в выполнении следующих условий:

Теорема 2. Пусть функции Ф и из (17)-(18) обладают следующими свойствами:

  1. непрерывны при (k,i,j=1,…,n) вместе с   и функция при х∈ D;
  2. тривиальное решение задачи (19) – единственно.

, ;

, , (k=1, 2, …,n). (19)

Тогда существуют и такие, что

при , , т.е. решение уравнения (17) и= непрерывно зависит от f(х,у) при .

В основном граничные условия в задачах МСС формулируются относительно  перемещений или(и) в напряжениях. Прежде, чем рассматривать подобные задачи, проведем анализ различных математических моделей, описывающих поведение деформируемых твердых тел. Пусть модель, на основе которой исследуется реальный объект, записана в операторной форме

  (20)

В этом случае оператор соответствует уравнениям равновесия, – реологическим соотношениям, – граничным условиям в напряжениях, заданных на де­формированной границе, – характеристика физических свойств материала тела, f – характеристика границы тела, и – вектор перемещений, – вектор перемещений точек границы тела, – тензор напряжений, F и P – объемные (массовые) и поверхностные внешние силы.

Показано, что при построении математической модели, на основе которой планируется проводить исследования непрерывности зависимости, граничные условия должны ставится на подвижной границе, т.к. в противном случае либо задача исследования непрерывности зависимости решения системы уравнений (20) от исходных данных поставлена противоречиво – предполагается непрерывность зависимости на границе, либо получаем, что граница не деформируется, что противоречит постановке самой задачи.

Согласно требованиям из теорем 1, 2, необходимо рассмотреть линеаризованную вспомогательную задачу. Основной проблемой здесь является построение математической модели линеаризованных краевых условий, поставленных на подвижной границе. Пусть краевые условия заданы в декартовой системе координат. Предположим, что граница тела, находящегося в нагруженном состоянии, описывается функцией (рис. 4)

.

Рис. 4

В деформированном состоянии эта граница будет описывать­ся, например, следующим образом в параметрической форме

  . (21)

Если из соотношений (21) исключить параметр t, то функция, описывающая границу тела в деформированном состоянии, вообще-то, будет записана в явном виде

. (22)

Пусть при получено некоторое решение задачи (20) и . Для того, чтобы провести исследование непрерывности зависимости решения задачи (20) от при , согласно сформулированному выше критерию, необходимо построить задачу относительно вспомогательных функций . Тогда из соотношений (21) получим следующие выражения

  (23)

а вместо (22)

.  (24)

Подставляя (23) в (24) и линеаризовывая полученные соотношения по , получаем: 

(25)

где – функция, обратная функции .

Рассмотрим граничное условие, заданное в напряжениях на границе тела, описываемой функцией (22). Известно, что его можно записать в виде

(26)

где α – угол наклона нормали к оси Ох .

Согласно критерию непрерывности зависимости вместо функции (27), определяющей границу тела в деформированном состоянии, надо применять в (26) функцию вида (24), а компоненты тензора напряжений должны быть такими:

. (27)

В результате подстановки (23)-(25), (27) в (26) получаем следующие линеаризованные граничные условия при :

В качестве иллюстрационного при­мера рассмотрена система диф­фе­ре­н­циаль­ных уравнений первого порядка, которая описывает напряженно-де­фор­ми­ро­ванное состояние полосы при сжатии распределенными усилиями ин­тен­сив­ности р в условиях плоской деформации.

Полосы такого рода ис­поль­зуются, например, в опор­ных ребрах с ме­тал­личес­ки­ми балками, ребрах жест­кости Отклонение не­наг­ру­жен­­ных верх­ей ниж­ней кромок сечения полосы от пря­мо­ли­ней­но­го ха­рак­­те­ри­зуется функцией (G – модуль упругости). По­ка­за­но, что ре­ше­ние, со­от­вет­ст­вую­щее однород­но­му на­пря­жен­­но-деформиро­ван­ному сос­тоянию

имеет физический смысл лишь при величине внешнего давления, не превосходящем некоторое критическое значение р*. В противном случае надо рассматривать другие решения исходной нелинейной задачи.

Далее рассмотрено построение математической модели линеаризованных граничных условий для вспомогательной задачи, в случае, когда краевые условия заданы в полярной системе координат на подвижной границе. Пусть граница тела, находящегося в недеформированном состоянии, описывается следующей функцией (рис. 6)

.

В деформированном состоянии она будет характеризоваться функ­цией, заданной в параметрической форме

Проводя линеаризацию по вспомогательным функциям, подобно тому, как это делалось в декартовой системе, получаем

,

а –функция, обратная функции .

Пусть на рассматриваемой границе тела в деформированном состоянии заданы нормальные и касательные усилия

. (28)

Переходим от нормальных и касательных напряжений к компонентам основной системы координат. Получаем, что граничные условия (28) запишутся в виде требования выполнения при соотношений:

где точка наверху обозначает дифференцирование по .

Поставляя полученные выше результаты и проводя линеаризацию по вспомогательным функциям , приходим к условиям

В качестве примера приведен частный случай математической модели, состоящей из системы  линейных дифференциальных урав­нений. Решение этой задачи может описывать, например, поведение упругой толстостенной трубы, находящейся под воздействием внутреннего и внешнего давлений:

; ;

;         (29)

; ;

(30)

где функции и описывают соответственно внутренний и внешний контуры поперечного сечения трубы в нагруженном состоянии, а в ненагруженном и соответственно, – модуль сдвига (G = const).

Подобные трубы находят применение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов, в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок и т.д. В результате проведенных исследований для случая, когда в ненагруженном состоянии контуры сечения трубы имеют форму близкую к круговому кольца, на плоскости параметров, соответствующим внешним воздействиям, найдена граница области непрерывности зависимости решения задачи (29), (30) от функции, описывающей форму сечения трубы

где  (i=1,2), – наибольший отрицательный, а – наименьший положительный корни уравнения, полученного на основе (20).

В ее пределах напряженно-деформированное состояние трубы будет близко осесимметричному

,

где  , А и В – произвольные постоянные, определяемые из (30). За пределами этой границы следует исследовать другое решение исходной задачи, соответствующее уже неосесимметричному состоянию.

Далее проанализированы два частных случая математических моделей, на основе которых можно проводить исследования  продольно-поперечного изгиба прямоугольной упругой пластины в линейной и нелинейной постановке соответственно. Пластины входят в состав многих конструкций, например, крыльев, корпусов самолетов, ракет, днищ, палуб, бортовых стенок кораблей, стенок цельнометаллических вагонов, ортотропных плит, используемых для укрепления конструкций и т.д.

1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка

        (31)

с граничными условиями

(32)

Решение w(х,у) может описывать, например, форму изогнутой упругой пластины (по линейной теории жестких пластин), шарнирно закрепленной по всем краям с начальным прогибом, описываемым функцией f(х,у). Пластина находится под действием поперечной нагрузки интенсивности r(х,у), а на краях – продольными распределенными усилиями интенсивности q  и р  (рис. 7), h – толщина пластины; D – цилиндрическая жесткость.

Пусть при задача (31), (32) имеет решение:

.

Удовлетворяя граничным условиям вспомогательной задачи (19), ищем ее решение в виде:

,

где d – произвольная постоянная. В результате проведенного исследования получаем следующее условие нетривиальности решения вспомогательной задачи:

               ,               (33)

где . Например, при k = 2 (33) имеем:

.       (34)

Рис. 8

На рис. 8 приведены графики, определяющие границу области непрерывности зависимости решения w от f(х,у) при  , соответствующие соотношению (34). в силу линейности задачи (31), (32) эти линии будут ограничивать область, за пределами которой используемая математическая модель непригодна.

2. Рассмотрим систему, состоящую из нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка

(35)

с граничными условиями (32) для функции w и дополнительными  условиями для функции напряженной серединной поверхности Ф:

(36)

Решение задачи w будет описывать в нелинейной постановке поведение рассмотренной выше пластины при r(х,у)≡0 .

Очевидно, что при ≡0 она имеет решение w(х,у)≡0. Проводя исследования непрерывности зависимости w(х,у) от при , получаем, условие нетривиальности ре­ше­ния задачи относительно вспомогательных функций ζi(х,у) также имеют вид (33).

Таким образом, условие (33) определяет границу в пространстве параметров внешних нагрузок α и β, в пределах которой решение задачи (35), (36) непрерывно зависит от f(х,у) при f(х,у)≡0, т.е. w0(х,у)≡0 имеет физический смысл (форма пластины остается близкой к плоской). За этой границей при f(х,у)≡0 следует рассматривать другие решения задачи (35), (36).

В четвертой главе рассматривается математическая модель в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида, также часто встречающаяся в приложениях

        (37)

с граничными условиями

,  (i=1,2,…,m; m≤ 2п),  (38)

где (j=0,1,…,п); функция f(х) характеризует рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него.

Пусть при задача (37), (38) допускает решение

.

Рассмотрим непрерывность зависимости решения задачи (37), (38) от f(х) при . Следуя изложенному выше, построим вариационную задачу относительно функции ζ(х):

;

,(i=1,…,m),

где .

Показано, что решение вариационной задачи относительно квадратичного функционала, зависящего от вспомогательной функции ζ(х,у) также является решением уравнения Эйлера–Лагранжа. Используя условия непрерывности зависимости решения дифференциального уравнения в частных производных, получен критерий непрерывности  зависимости решения вариационной задачи от исходных данных:

Теорема 3. Пусть функции Ф и в задаче (37), (38) обладают следующими свойствами

  1. непрерывны при вместе со своими частными производными   и функция при х∈[а,b];
  2. вариационная задача

;

,        (i=1,2,…,m);        (39)

имеет только тривиальное решение;

Тогда существуют и функция , являющаяся решением вариационной задачи (37), (38), такие, что , , т.е. решение и= непрерывно зависит от f(х) при .

В качестве иллюстративного примера рассмотрим вариационную задачу для частного случая функционала интегрального вида

               (40)

                       и(0)=и()=0.                                (41)

Решение и(х) может описывать, например, продольно-поперечный изгиб упругого стержня (рис. 9) переменного сечения длины , шарнирно закрепленного на концах и нагруженного распределенной поперечной нагрузкой интенсивности f2(х) и продольной силой Р, функция f1(х) характеризует изменения жесткости стержня (EI=const).

Рис. 9

Такой стержень можно рассматривать, например, как элемент фермы покрытия, моста при комбинированном нагружении.

Пусть при и задача (40), (41) допускает решение . Как следует из полученного выше критерия, необходимо построить вспомогательную вариационную задачу с граничными условиями (39):

;

.

В результате получено, что, например, при f10(х) ≡ 1, т.е. для однородного стержня постоянного сечения, если значения параметра α таковы, что α >α*, где, , то решение вариационной задачи (40), (41) не имеет физического смысла. Следовательно, при исследовании вариационным методом состояния стержня, находящегося под действием нагрузок, соответствующим этим значениям параметра α, при построении функционала следует учесть величины более высокого порядка малости.

Далее рассматривается математическая модель механической системы с распределенными параметрами в виде вариационной задачи для функционала, зависящего от функции нескольких переменных. Пусть поведение исследуемого объекта описывается решением вариационной задачи:

,,  (42)

где функция f(х,у) характеризует рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него, с граничными условиями

, (i=1,…,m; m≤ 2п), (43)

где , (k,l=1,…,п; i=1,…,m; m≤ п), γ∈Г, Г – граница области D.

Пусть при задача (42), (43) допускает решение

.

Исследуем непрерывность зависимости решения и(х,у) от f(х,у) при . Показано, что решение вариационной задачи относительно квадратичного функционала, зависящего от вспомогательной функции ζ(х,у), также является решением уравнения Эйлера–Пуас­со­на. Используя условия непрерывности зависимости решения дифференциального уравнения в частных производных, получен критерий непрерывности зависимости решения вариационной задачи (42), (43) от исходных данных:

Теорема 4. Пусть функции Ф и в задаче (42), (43) обладают следующими свойствами

  1. непрерывны при вместе со своими частными производными и функция при (х,у)∈D;
  2. вариационная задача (44) имеет только тривиальное решение.

; (44)

, (i=1,2,…,m; m≤ 2 п)

Тогда существуют и функция, являющаяся решением вариационной задачи (42), (43), такие, что , , т.е. решение и= непрерывно зависит от f(х,у) при .

В качестве иллюстрационного примера рассмотрим частный случай функционала интегрального вида

,        (45)

;

. (46)

Вариационную задачу (45), (46) можно рассматривать как задачу, описывающую состояние упругой прямоугольной пластины (рис. 10) с шарнирно закрепленными нагруженными кромками и жестко – ненагруженными, находящейся под действием поперечной распределенной нагрузки.

Рис. 10

Подобные пластины будут, например, моделью элементов перекрытий покрытий зданий, стенками балок со сплошными стенками в опорах мостов.

Пусть при и задача (45), (46) допускает решение и0(х,у). При проведении исследования непрерывности зависимости и(х,у) от f(х,у) при было получено условие существования нетривиального решения линеаризованной задачи (44) относительно вспомогательной функции ζ(х,у) в виде:

откуда

.  (47)

Например, при , т.е. для однородной пластины постоянной толщины, получаем при п=1 из (47), что

;

;         v = .

На рис.11 представлены графики зависимости γ от для разных значений величины m.

Итак, если значения параметров таковы, что точка, соответствующая им, находится в заштрихованной области плоскости на графике рис. 11, то решение вариационной задачи (45), (46) не имеет физического смысла, т.е. при исследовании напряженно-деформи­рован­но­го состояния пластины вариационным методом при построении функционала следует учесть величины более высокого порядка малости.

Если в результате проведения исследований непрерывности зависимости оказалось, что она нарушается при взятых значениях исходных данных, то необходимо брать либо другое решение поставленной задачи, либо строить другую, более сложную математическую модель. Или станет проблема получения решения с заданной точностью. И в том и в другом случае нужно решить достаточно сложные уравнения.

Часто при изучении явлений используется математическая модель в виде дифференциальных уравнений. Одним из методов нахождения решения соответствующих этим моделям задач является метод возмущений. С его помощью исходная задача сводится к последовательному решению более простых задач и можно получить решение, удовлетворяющее практику.

В пятой главе рассматривается применение метода возмущений к нахождению решения обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной

,        х∈[а,b]                (48)

с граничными (начальными) условиями

, (i=1,…,п). (49)

На основе условий из теоремы 1 и требования аналитичности формулировки задачи (48)-(50) по малым параметрам, получен критерий аналитичности решения обыкновенного дифференциального уравнения (48), неразрешенного относительно старшей производной, по малым параметрам в окрестности нуля. Если все условия критерия выполняются, то решение является аналитической функцией, и его можно искать в виде степенного сходящегося ряда по ,   (ряда Тейлора), например, методом малых параметров.

.                        (50)

Поскольку ряд (50) при достаточно малых и сходится, то, следовательно, и метод малых параметров в этом случае, т.е. при выполнении условий критерия непрерывности зависимости решения от и аналитичности функции Ф и Fk, также будет сходящимся. В качестве оценки погрешности найденного решения можно брать один из видов оценок ряда Тейлора.

Используя полученные выше результаты, при помощи метода возмущений найдены решения дифференциальных уравнений второго порядка с двумя малыми параметрами с точностью до величин первого порядка малости. Они могут, описывать, например, изгиб стержня при комбинированном нагружении. Подобные стержни используются как элементы ферм мостов, покрытий, опорных столбах купольных покрытий и т.д.

1. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя малыми параметрами ε1 и ε2

      (51)

с начальными условиями

               и(0)=и′(0)=0.                        (52)

Решение и(х) может описывать, например, изгиб упругого консольного стержня длины , нагруженного на свободном конце продольной силой Р, приложенной с некоторым эксцентриситетом (рис.12).

Рис. 12

где , – функция, описывающая ось стержня в свободном состоянии, EI =const – жесткость стержня.

Задача (51) при ε1=ε2=0 допускает решение:

               .                         (53)

При проведении исследований было получено, что при решение (53) имеет физический смысл и, следовательно, его можно брать в качестве нулевого приближения.  Функции Ф и Fi, соответствующие задаче (51), (52) при u0=0, ε1= ε2=0, дифференцируемы сколько угодно раз. Значит, все условия критерия аналитичности выполняются. Используя эти результаты, для частного случая начального прогиба найдено решение поставленной задачи с точностью до величины первого порядка малости, так как остаточный член будет величиной не менее второго порядка малости

u(х)= ε1u10(х) + ε2 u01(х) ,

В шестой главе рассматривается применение метода малых параметров для нахождения решения уравнения в частных производных.

,  (х,у)∈ D,       (54)

где , (i,j =1,2,…,п), а параметры и характеризуют рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него.

Граничные условия запишем в виде:

,         (55)

где ,  (k,i,j=1,2,…,п), Г – граница области D.

Пусть при ==0 задача (54), (55) допускает решение

.

Используя условия из теоремы 2 и требования аналитичности формулировки самой задачи по малым параметрам, получен критерий аналитичности по малым параметрам в окрестности нуля решения краевой задачи (54), (55). На его основе можно искать в виде сходящегося ряда по степеням , , например, методом возмущений, а в качестве оценки погрешности также можно брать один из видов оценок ряда Тейлора.

При проверке условий непрерывности зависимости необходимо линеаризировать граничные условия, заданные на границе нагруженного тела. Это представляет собой достаточно сложную задачу. Основываясь на результатах третьей главы, предложен один из способов разложения граничных условий в ряды по малым параметрам в декартовой системе координат. Найдено для плоской задачи разложение в степенной ряд по малому параметру функции, описывающей подвижную границу, и разложение самих граничных условий до второго приближения.

Применение этого способа было проиллюстрировано на задаче, соответствующей математической модели в виде системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с граничными условиями:

(56)

;        (57)

, (58)

Решение задачи (59)-(58) может описывать, например, поведение полосы в случае плоской деформации. Верхний и нижний края описываются функциями у=±h±εf(х), она нагружена при х=0 и х=а сжимающими усилиями интенсивности р, а функции ψ1(х) и ψ2(х) описывают соответственно верхний и нижний края в деформированном состоянии. Полосы такого рода используются в опорных ребрах с металлическими балками, ребрах жесткости.

При ε=0 она допускает решение:

, (59)

где Е – модуль упругости.

В результате проведенных исследований оказалось, что при р<р* условия критерия аналитичности удовлетворяются и решение (59) можно брать в качестве нулевого приближения. Для функции было найдено решение задачи (56)-(58) с точностью до величин первого порядка малости.

Далее рассмотрено разложение граничных условий в ряд по малым параметрам в полярной системе координат. Для плоской задачи найден степенной ряд по малым параметрам функции, описывающей подвижную границу тела. Проведено разложение граничных условий до второго приближения.

В качестве иллюстрационного примера рассмотрены две системы линейных дифференциальных уравнений. Их решения будут описывать, например, напряженно-деформированное состояние упругопластической трубы из несжимаемого материала, находящейся под воздействием внутреннего давления и внешнего . Подобные трубы находят при­ме­нение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов, в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок.

Первая система соответствует пластической области:

  (60)

с граничными условиями

(61)

где ; все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю упругости G, функция описывает внутренний контур поперечного сечения трубы в деформированном состоянии.

В упругой области напряженно-деформированное состояние будет описываться решением второй системы:

(62)

с граничными условиями

  (63)

здесь функция описывает внешний контур поперечного сечения трубы в деформированном состоянии, а в недеформированном – и соответственно, где , – малые параметры.

К (60)–(63) следует добавить условия сопряжения решений задач (60), (61) и (62), (63) на контуре , отделяющем пластическую зону от упругой.

Как следует из аналитичности выражений в (60)–(63), решение будет аналитическими функциями параметров в окрестности точки . При проверке условий непрерывности зависимости решения задачи (60)-(63) от при была получена область в пространстве параметров внешних воздействий, ограниченная линиями

.

Если значения не выходят за пределы этой области, то осесимметричное решение  можно брать в качестве нулевого приближения при решении поставленной задачи методом возмущений (функции заданы с точностью до параметров). Для было найдено решение с точностью до величин первого порядка малости

где в качестве нулевого приближения взято осесимметричное решение.

Основные результаты:

  1. Построены математические модели стационарных состояний механических систем с распределенными параметрами, на основе которых возможно проведение исследования непрерывной зависимости решений соответствующих задач от исходных данных;
  2. Предложен критерий непрерывности зависимости от исходных данных решения с ограниченной областью определения, системы алгебраических уравнений, позволяющий сформулировать аналогичные критерии для некоторых других задач.
  3. Приведена формулировка критериев непрерывности зависимости от исходных данных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной. Показано, что для задачи Коши условия непрерывности зависимости решения принимают вид требования разрешимости начальных условий относительных производных, входящих в них. Рассмотрены примеры нахождения областей практической пригодности решений и, в некоторых случаях, самих математических моделей.
  4. Получены условия, позволяющие исследовать непрерывность зависимости решений вариационных задач для функционалов интегрального вида, зависящих от функции одной и нескольких переменных, используя которые можно находить области практической применимости этих решений и, в некоторых случаях, самих математических моделей.
  5. Показано, что при построении математической модели в задаче исследования непрерывности зависимости решения, описывающего поведение деформируемого тела, граничные условия в напряжениях необходимо ставить на подвижной границе.
  6. Разработан приближенный метод нахождения функции, описывающей границу твердого тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат.
  7. Получен критерий аналитичности по независимым малым параметрам решений дифференциальных уравнений, позволяющий находить эти решения с требуемой погрешностью.
  8. Найдены решения, описывающие напряженно-деформирован­ное состояние идеально упруго пластических тел при комбинированном нагружении с точностью  до величин первого порядка малости.

Основные публикации по теме диссертации:

Монографии:

  1. Минаева, Н. В. Метод возмущений в механике деформируемых тел [Текст] /  Н. В. Минаева. - М. : Научная книга, 2002. - 156 с.
  2. Минаева, Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел [Текст] / Н. В. Минаева. - М. : Научная книга, 2006. - 236 с.

Статьи, изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК:

  1. Минаева, Н. В. О существовании состояния упругого консольного стержня, соответствующего решению дифференциального уравнения [Текст] / Н. В. Минаева, Н. А.  Барченкова // Изв. РАН МТТ.- 2000.-  № 5. - С. 175-178.
  2. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии толстостенной трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. РАН МТТ.- 2002.-  № 3. - С.72-77.
  3. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругопластической трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. РАН МТТ.- 2004.-  № 1.  - С. 167-173.
  4. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругопластических тел, близких к однородным [Текст] / Н. В. Минаева, Н. Б. Костырин, Ю. М.  Мяснянкин // Изв. РАН МТТ.- 2004.-  № 5. - С. 150-159.
  5. Минаева, Н. В. О напряженно-деформируемом состоянии полосы, близком к однородному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. РАН МТТ.- 2006.-  № 5. -.С. 61-67.
  6. Минаева, Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемых тел [Текст] / Н. В. Минаева // Изв Изв. РАН МТТ.- 2008.-  № 1. -.С. 37-39.
  7. Минаева, Н. В. Напряженно-деформированное состояние упругой неоднородной толстостенной трубы, близкое к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2003. -  № 9. - С. 17-20.
  8. Минаева, Н. В. О математической модели в виде вариационной задачи и продольно-поперечном изгибе упругой пластины [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. - № 1. -С. 24-29.
  9. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии неоднородной упругопластической трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. -  № 4. - С. 18-24.
  10. Минаева, Н. В. Продольный изгиб прямоугольной пластины [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. -  № 7. - С. 28-30.
  11. Минаева, Н. В. О формулировке граничных условий при изучении влияния учета несовершенств на напряженно-деформированное состояние твердых тел [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. -  № 5. - С.31-34.
  12. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упруго подкрепленной толстостенной трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева, Н. Б. Костырин //Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. -  № 4. - С. 3-11.
  13. Минаева, Н. В. Об изгибе составного консольного  упругого стержня [Текст] / Н. В. Минаева, Н. Б. Костырин //Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. -  № 8. - С. 74-77.
  14. Минаева, Н. В. Об исследовании продольно-поперечного изгиба упругого стержня на основе решения вариационной задачи [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. - № 4. - С.11-16.
  15. Минаева, Н. В. О поперечном изгибе упругой пластины, форма которой близка к эллиптической [Текст] / Н. В. Минаева, А. Д. Чернышов // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. -  № 11. - С. 13-16.
  16. Костин, В. А. О необходимом условии адекватности математических моделей механических систем [Текст] / Н. В. Минаева, В. А. Костин // Изв. вузов. Машиностроение. - 2005. -  № 2. - С. 5-8.
  17. Минаева, Н. В. Адекватность решения вариационной задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб упруго подкрепленной прямоугольной пластины [Текст] / Н. В. Минаева, С.А.  Соколов // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2005. -  № 3. - С. 3-5.
  18. Сафронов, В. С. Об адекватности математических моделей механических систем [Текст] / В. С. Сафронов, Н. А.  Барченкова, Н. В. Минаева // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2005. -  № 5. - С. 17-23.
  19. Минаева, Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемого твердого тела [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2005. -  № 8. - С. 14-17.
  20. Минаева, Н. В. Об адекватности математической модели в виде дифференциальных уравнений и продольно-поперечном изгибе балки на упругом основании [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2006. -  № 7. - С. 19-24.
  21. Минаева, Н. В. Исследование адекватности математической модели статики стержневой системы при действии следящей силы [Текст] / Н. В. Минаева, Ю.Г.  Морозов // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2004. -  № 6. - С. 7-11.
  22. Минаева, Н. В. О критерии адекватности математических моделей консервативных и неконсервативных систем [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2006. -  № 1. - С. 10-14.
  23. Минаева, Н. В. Исследование напряженно-деформи­ро­ванного состояния упругой полосы при сжатии [Текст] / Н. В. Минаева, Ю. Г.  Морозов // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2007. -  № 7. - С. 23-26.
  24. Минаева, Н. В. О предельных состояниях упруго подкрепленной пластины при продольно-поперечном изгибе [Текст] / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2008. -  № 5. - С. 25-28.

Подписано в печать  . .2008.  Формат 60 х 84  1/16.

Усл. печ. л.  .  Тираж 120 экз.  Заказ .

ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

(ГОУВПО «ВГТА»)

Адрес академии и отдела полиграфии ГОУВПО «ВГТА»:

394000,  Воронеж, пр. Революции, 19




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.