WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

  На правах рукописи

Саваторова Виктория Леонидовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ФИЛЬТРАЦИИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ СО СТРУКТУРОЙ, БЛИЗКОЙ К ПЕРИОДИЧЕСКОЙ

  Специальность 05.13.18 -  «Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Москва 2011

Работа выполнена в  Московском государственном горном университете

Научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор

БЕЛЫЙ Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

ХАЙРУЛЛИН Рустам Зиннатуллович;

доктор физико-математических наук, профессор

СИДОРОВ Сергей Васильевич;

доктор физико-математических наук, профессор

МЕЛЬКЕР Александр Иосифович

Ведущая организация

Учреждение Российской академии наук  Институт прикладной механики РАН

       Защита состоится « » марта 2011  года в 15 час. на заседании диссертационного совета Д-212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинский проспект,6.

       С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета.

       Автореферат разослан «_____» _______ 2011г.

Ученый секретарь  диссертационного совета канд. техн. наук, доц.  А.Э.Адигамов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

       

Актуальность работы. При исследовании поведения и свойств геоматериалов, мерзлых пород, пористых сред, а также композиционных материалов становится очевидным тот факт, что структурная неоднородность подобных природных либо искусственно созданных материалов существенно влияет на их термодинамические, механические и другие физические характеристики. Многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что свойства неоднородных материалов могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Более того, помимо состава и концентрации, важным фактором может являться пространственная структура, компоновка  составляющих и состояние поверхностей, отделяющих различные компоненты.

        Исследование физических свойств структурно неоднородных материалов чрезвычайно актуально при решении практических задач, возникающих при проведении инженерно-геологических изысканий, нефтедобыче, а также при создании новых композиционных материалов с наперед заданными свойствами. 

       Экспериментальное определение характеристик структурно неоднородных материалов требует проведения комплекса дорогостоящих исследований, а большое разнообразие возможных условий внешнего воздействия не позволяет гарантировать предсказуемое поведение сложной гетерогенной среды, основываясь только на результатах лабораторных и натурных испытаний. Прямое численное моделирование физических процессов в структурно неоднородных материалах также сопряжено со значительными трудностями. Прежде всего это связано с необходимостью рассмотрения динамических процессов, происходящих на различных масштабных уровнях: от характерных размеров образца до размеров отдельных неоднородностей и даже размеров поверхностного слоя, разделяющего различные материалы, которые могут различаться на несколько порядков. Данную иерархию размеров необходимо учитывать при построении расчетных сеток для численного моделирования свойств структурно - неоднородных материалов. Кроме того, существенные различия свойств отдельных компонентов неоднородного материала могут при интенсивном внешнем воздействии приводить к возникновению структурных изменений на масштабном уровне размеров неоднородностей, которые трудно учесть при использовании прямого численного моделирования.

       Сложность теоретического описания свойств неоднородных сред с математической точки зрения связана с тем, что физические процессы в таких средах описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, коэффициенты которых быстро меняются на границах раздела различных компонентов материала. Кроме того, необходимо учитывать граничные условия на всех поверхностях контакта, которые, в свою очередь, также могут меняться в процессе внешнего воздействия.

       В связи с этим для теоретического описания свойств неоднородных материалов разрабатываются методы усреднения, основная идея которых сводится к замене реальной неоднородной среды однородной средой с эффективными характеристиками. Одна из основных трудностей разработки методов усреднения заключается в проведении корректной процедуры усреднения, учитывающей особенности взаимодействия неоднородностей на различных масштабных уровнях. Кроме того, в рамках традиционных методов усреднения не удается описывать характеристики сред при внешних воздействиях, приводящих к изменению структуры материала, и в случае нелинейных зависимостей материальных коэффициентов отдельных компонентов от параметров внешнего воздействия.

       Таким образом, актуальной задачей становится  разработка эффективной методики усреднения и создание программного комплекса для аналитического и аналитико-численного моделирования физических процессов, в том числе процессов теплопроводности и фильтрации, в  структурно неоднородных средах при внешнем механическом и температурном воздействии на различных масштабных уровнях  с учетом возможных нелинейностей, вызванных как зависимостью материальных коэффициентов отдельных компонентов среды от температуры и давления, так и возможными структурными изменениями, связанными, например, с локальными фазовыми переходами, чему и посвящена данная диссертация. Исследования, результаты которых представлены в настоящей работе, проводились при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках проектов № 96-05-65295 и №10–05–00687–а, что подтверждает их актуальность и фундаментальное значение.

       Предметом исследования являются процессы теплопереноса и фильтрации в структурно неоднородных материалах при внешнем температурном и механическом воздействии. Эти процессы исследуются с применением аналитических и численных методов математического моделирования. На основании исследований возможно прогнозирование эффективных  тепловых и фильтрационных характеристик структурно неоднородных сред при различных условиях внешнего воздействия.

       Цель диссертационной работы. Разработка математических моделей и методов аналитического и аналитико-численного  моделирования процессов теплопереноса и фильтрации в гетерогенных материалах  со структурой, близкой к периодической, в условиях внешнего теплового и механического воздействия. Определение эффективных характеристик неоднородных материалов с периодической структурой с учетом физических процессов, происходящих на различных масштабных уровнях. Использование полученных эффективных характеристик для описания процессов тепло-  и массопереноса в структурно неоднородных средах при комплексном термомеханическом воздействии.

       Основная идея работы. Свойства неоднородных материалов, как природных, так и искусственно созданных, могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Помимо состава и концентрации неоднородностей, важным фактором может являться пространственная структура, компоновка составляющих, а также состояние поверхностей, отделяющих различные компоненты гетерогенного материала. Близость структуры неоднородной среды к периодической позволяет применять методы многомасштабного усреднения  и строить адекватные и корректные математические модели тепло-  и массопереноса, заменяя реальный неоднородный материал однородным материалом с эффективными характеристиками, рассчитанными с учетом специфики структуры реальной среды, компоновки  и физических свойств ее отдельных компонентов, а также особенностей физических процессов, происходящих на различных масштабных уровнях.

       Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, математического моделирования, многомасштабного усреднения, а также численные методы и комплексы объектно-ориентированных программ.

       На защиту выносятся следующие положения:

  • Методы усреднения теплофизических свойств геологических и композиционных гетерогенных материалов с периодической структурой в условиях внешнего температурного и механического воздействия;
  • Результаты аналитического и численного математического моделирования процессов теплопроводности в структурно неоднородных средах, в том числе с  учетом зависимости материальных коэффициентов отдельных компонентов среды от температуры;
  • Результаты математического моделирования процессов теплопроводности и фильтрации в структурно неоднородных материалах, связанных с возможностью локальных фазовых переходов в отдельных компонентах при внешнем температурном и механическом воздействии;
  • Результаты численного моделирования локального плавления в неоднородной среде с изолированными включениями при механическом воздействии;
  • Постановка и методика решения задачи о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической. Результаты аналитического и численного решения задач о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической;
  • Результаты математического моделирования процесса фильтрации жидкости в структурно неоднородных средах с учетом зависимости вязкости жидкости от давления;
  • Постановка и методика совместного решения задачи тепло-  и массопереноса в структурно неоднородной среде с периодической структурой с учетом кондуктивного и конвективного механизмов теплопередачи.

       Научная новизна:

  • Разработаны математические методы многомасштабного усреднения теплофизических свойств геологических и композиционных гетерогенных материалов с периодической структурой в условиях внешнего температурного и механического воздействия;
  • В рамках разработанной методики получено решение задач теплопроводности с учетом возможных видов зависимости физических характеристик (материальных коэффициентов) отдельных компонентов среды от температуры;
  • Разработана математическая модель описания тепловых и фильтрационных свойств структурно неоднородных материалов с учетом возможности локальных фазовых переходов в отдельных компонентах под действием механического и температурного воздействия;
  • Создан комплекс программ для моделирования процесса локального плавления в неоднородной среде с изолированными включениями в однородной матрице в условиях внешнего механического воздействия;
  • Проведено аналитико-численное моделирование процессов фильтрации в структурно неоднородных средах. В рамках разработанной математической модели решена задача о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической;
  • В рамках разработанной методики решения задач о фильтрации жидкости в структурно неоднородной среде исследовано влияние зависимости вязкости жидкости от давления  на распределение давления и скорости течения жидкости;
  • Для определения эффективных характеристик структурно неоднородных материалов был создан комплекс программ, основанный на объектно-ориентированном подходе в программировании, в котором была реализована модификация метода конечных элементов;
  • Разработаны методы математического моделирования для  совместного решения задач тепло- и массопереноса в структурно неоднородной среде с учетом кондуктивного и конвективного механизмов теплопередачи.

       Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается строгим соблюдением физических законов в определяющих соотношениях, грамотным применением математического аппарата, а также согласием результатов с известными теоретическими и экспериментальными результатами других исследователей, полученными другими методами.

       Научное значение работы состоит в создании математических моделей теплопереноса и фильтрации в структурно неоднородных средах в условиях внешнего теплового воздействия и механического нагружения; разработке аналитических и аналитико-численных методов, а также комплекса программ для определения эффективных характеристик структурно неоднородных сред на примере композиционных и геоматериалов.

       Практическое значение работы. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут служить основой для прогнозирования поведения структурно неоднородных геоматериалов, мерзлых пород, пористых сред и композитов в условиях внешнего нагружения и температурного воздействия. Разработанные методы и программы для расчета эффективных характеристик гетерогенных сред, распределений  давления, скорости жидкости, поля температур и т.п. могут быть использованы в инженерных расчетах и методических рекомендациях при проведении инженерно-геологических изысканий, нефтедобыче, а также при создании новых композиционных материалов с  заданными свойствами.

       Апробация результатов работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях: Втором международном симпозиуме по исследованию неоднородных сред (Москва, 1995г.),  Первой  конференции геокриологов России (3-5 июня 1996, Москва, МГУ),  международной конференции «Проблемы криологии Земли» (21-25 апреля, 1997г., Пущино), Второй  конференции геокриологов России (июнь 2001, Москва,.МГУ), Третьей  конференции геокриологов России (июнь 2005, Москва,  МГУ), X Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Сочи - Дагомыс, 1 - 8 октября 2009 г.), Всероссийской конференции, приуроченной к 20-летию Института прикладной механики РАН (30 ноября – 2 декабря 2009г.).

       Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры композиционных материалов Московского государственного университета, на научном семинаре «Механика горных пород» под руководством академика Е.И.Шемякина (Москва, МГГУ), на научно-методическом семинаре кафедры механики и инженерии Техасского университета под руководством проф. Раджагопала (Mechanical Engineering Department,  Texas A&M University, College Station, Texas, USA), семинаре «Конденсированные среды» кафедры физики университета CWRU (“Condensed Matter Seminar”, Department of Physics, Case Western Reserve University, Сleveland, Ohio,USA).

       В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научных семинарах Московского государственного горного университета.

       Публикации. По теме диссертации опубликованы 26 научных работ, в том числе 1 монография.

       Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка использованной литературы из 213 наименований, содержит 5 таблиц и 72 рисунка.

       Автор выражает признательность научному консультанту профессору А.А. Белому за его ценные советы и рекомендации, а также благодарит к.т.н. А.Н. Власова и к.ф.-м.н. Д.Б. Волкова-Богородского за их поддержку и полезные советы. 

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

       Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель исследования и положения, выносимые на защиту, отмечена новизна работы, изложено содержание работы по главам.

       В первой главе представлен обзор основополагающих работ и дан анализ современного состояния исследуемых вопросов по теме диссертации.  В этой главе обсуждаются особенности моделирования физических процессов в твердых телах со сложной структурой, приводится классификация гетерогенных сред по признаку особенностей их внутреннего строения, дается обзор существующих моделей и методов моделирования процессов в неоднородных средах.

Сложность теоретического описания процессов в неоднородных средах состоит в том, что их отдельные компоненты во многих случаях могут иметь различные геометрические конфигурации и существенный разброс значений физических характеристик. Вследствие этого процессы в таких средах описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, коэффициенты которых быстро меняются на границах раздела различных компонентов материала. Кроме того, необходимо учитывать контактные условия на поверхностях раздела и возможность того, что под влиянием внешнего воздействия в отдельных компонентах среды могут инициироваться процессы, например фазовые переходы, существенно влияющие на свойства и поведение материала в целом. В связи с этим для теоретического описания свойств неоднородных материалов были разработаны и получили широкое распространение различные методы усреднения, основная идея которых сводится к замене реальной неоднородной среды некоей однородной средой с эффективными характеристиками.

В настоящей главе приведено сравнение различных существующих методов усреднения, таких как усреднение по объему, энергетические методы усреднения, метод самосогласования, а также обсуждается возможность их применения в зависимости от характера неоднородностей, их концентрации и пространственного распределения.         Анализ литературных источников позволяет сделать вывод о том, что методы усреднения,  в рамках которых можно было бы при описании теплопроводности и фильтрации в структурно неоднородных средах учесть возможную нелинейность процессов при внешнем воздействии, практически не развиты.  Была показана необходимость разработки новых методов осреднения, позволяющих описывать процессы теплопроводности и фильтрации, принимая во внимание эффекты, связанные с возможными структурными изменениями в среде при внешнем воздействии, а также с  возможной зависимостью материальных коэффициентов отдельных компонентов от условий внешнего воздействия. 

Для проведения гомогенизации структурно неоднородной среды в указанных условиях было обосновано применение подхода, основанного на методе асимптотического усреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами.  Суть такого подхода заключается в том, что в изучаемом материале выделяются типовые структуры, которые принято называть «ячейками периодичности», и исследуемый материал моделируется средой, составленной из повторяющихся ячеек периодичности.

Асимптотический метод усреднения дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами позволяет свести исходные дифференциальные уравнения к уравнениям, коэффициенты которых не являются быстроосциллирующими, а их решения близки к решениям исходных уравнений на той же области при соответствующих граничных условиях. Эти новые уравнения называются усредненными уравнениями, а их коэффициенты - эффективными коэффициентами. Указанный метод дает возможность асимптотически правильно описывать локальную структуру процессов на основе решения локальных задач на ячейке периодичности, определяющих  усредненные характеристики и решение краевой задачи для эквивалентного однородного материала с полученными эффективными свойствами.

Разработка и математическое обоснование метода асимптотического усреднения представлены в работах Н.С.Бахвалова, Г.П.Панасенко, В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейника, Ха Тьен Нгоана, Э.Санчес-Паленсии, Ж.-Л.Лионса и др.

Применение метода асимптотического усреднения было продемонстрировано на примере дифференциального уравнения эллиптического типа, описывающего стационарное тепловое поле в неоднородной среде с периодической структурой, занимающей область . Без ограничения общности для упрощения изложения предполагалось, что при помощи линейной замены независимых переменных периодически повторяющийся элемент структуры может быть преобразован в единичный куб (квадрат), сторона которого равна . Предполагалось, что характерный размер области много больше размера периодической ячейки <<.

Метод усреднения дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами основан на том, что решение ищется в виде ряда по степеням малого параметра с коэффициентами, зависящими как от переменных (обычно называемых медленными), так и от переменных (быстрых),  (- размерность пространства). Медленные переменные соответствуют глобальной структуре процессов, а быстрые - их локальной структуре.

Предполагалось, что тензор теплопроводности в каждой точке среды задается матрицей-функцией (), элементы () которой являются -периодическими кусочно-гладкими функциями, бесконечно дифференцируемыми всюду вне некоторых гладких поверхностей , на которых они терпят разрывы первого рода. Матрица считалась симметричной и положительно  определенной в каждой точке .

В ограниченной -мерной области с бесконечно гладкой границей рассмотрим уравнение эллиптического типа

(1)

с граничным условием равенства нулю температуры на границе :

  .  (2)

Кроме того, на поверхностях , где терпят разрыв функции , должны выполняться условия непрерывности температуры и плотности теплового потока:

, (3)

Квадратные скобки в (3) означают скачок функции при  переходе через поверхность контакта, а nk - косинус угла между нормалью к поверхности и k-м координатным направлением.

Асимптотическое решение задачи (1) - (3) следует искать в виде ряда

    (4)

где - гладкие по , - периодические функции .

       Подставим разложение (4) в уравнение (1) и граничные условия (2)-(3), учитывая правила дифференцирования сложной функции и группируя слагаемые при одинаковых степенях . Потребуем, чтобы слагаемые порядков обратились в нуль. Тогда слагаемые порядков и составят невязку уравнения. При этом будет удовлетворять исходному уравнению с точностью до членов порядка . Функции будут решениями следующих  задач:

,

  (5)

  (6)

(7)

(8)

, (9)

где и считаются независимыми переменными, и введено обозначение .

       Воспользуемся выведенной в работе Н.С.Бахвалова леммой, согласно которой, если - -периодические кусочно-гладкие функции, удовлетворяющие условиям симметричности и положительной определенности, то для существования -периодического решения уравнения

(10)

при необходимо и достаточно, чтобы среднее по периоду от функции , определяемое как

    (11)

равнялось нулю:  . При этом общее -периодическое решение уравнения (10)  записывается в виде , где - решение (10) с нулевым средним по периоду: , - не зависит от .

При выполнении условий  леммы  l-периодическое решение первого уравнения системы (5)-(9) не зависит от , т.е.

  , (12)

а решение может быть представлено в виде:

, (13)

где , (i1=1,...,) – матрицы-функции,  l-периодические решения уравнений

  или ,  (14)

,   (15)

Уравнение (14) называется уравнением на периодической ячейке. Его решение необходимо для определения эффективных коэффициентов.

Усредняя последнее уравнение системы (5) с учетом (12)-(13), соответствующих граничных условий и леммы, получим уравнение для определения вида

  ,  (16)

где  – матрицы, элементы которых постоянны;

из граничного условия (6) с учетом (12) получим условие

. (17)

Элементы матриц определяют эффективный тензор теплопроводности. Уравнение (16) с граничным условием (17) естественно называть осредненным, а коэффициенты - эффективными коэффициентами.

Аналогично тому, как это делалось в случае построения , получим

где – l-периодические решения уравнений

(18)

с  условиями

,   (19)

Таким образом, с точностью до членов порядка решением  задачи (1)-(3) будет функция

  . (20)

Если продолжить далее разложение (4) по степеням , то можно получить функцию, удовлетворяющую (1)-(3) с точностью до любого наперед заданного порядка .

Во второй главе метод асимптотического усреднения был использован при моделировании процессов передачи тепла в структурно неоднородной среде. В этой главе рассматривались такие диапазоны температур и давлений, при которых возможно не принимать во внимание нелинейности, связанные со структурными изменениями в среде при внешнем воздействии, а также с зависимостью материальных коэффициентов отдельных компонентов от условий внешнего воздействия.        

Было рассмотрено две модели. Для первой модели, представляющей собой полубесконечную среду, составленную из ряда периодически чередующихся слоев различных материалов различной толщины, было получено аналитическое решение. Для второй модели, являющейся периодической средой, содержащей большое число цилиндрических включений, отделенных от матрицы контактным слоем, аналитически были выведены определяющие соотношения, и далее использовался комплекс программ, в котором была реализована модификация метода конечных элементов.

       В случае, когда неоднородная среда содержит только твердые фазы, и в процессе воздействия на среду не происходят фазовые переходы первого рода в отдельных компонентах материала, в качестве определяющего механизма можно рассматривать кондуктивную теплопроводность. Тогда процесс переноса тепла в неоднородной среде  определяется  уравнением

,  (21)

где плотность , теплоемкость и компоненты тензора  теплопроводности   являются функциями координат .

       Уравнение (21) дополняется граничными и начальными условиями, которые могут быть записаны в виде:

  (22)

где - свободная поверхность среды, на которой заданы граничные условия; - границы разделов различных компонентов материала; - компоненты нормали к свободной поверхности; - компоненты нормали к поверхности раздела различных компонентов материала. При постановке задачи (21)-(22) было сделано предположение о том, что объемные источники тепла отсутствуют, равно как и поток тепла через поверхность .

       Для среды с периодической структурой неоднородностей в рамках метода асимптотического усреднения асимптотика решения задачи (21)-(22)  искалась в виде ряда

  . (23)

       Подстановка разложения (23) в  уравнение (21) и каждое из условий (22) после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра дает нам рекуррентную цепочку задач для определения поправок к температуре в разложении (23). Переменные и при этом рассматриваются как независимые. Задачи о нахождении  поправок к температуре решаются с применением процедуры усреднения (11) по ячейке периодичности.

       В диссертации для уравнения (21) с граничными условиями (22) была доказана нечувствительность первого члена в разложении (23) к локальной структуре материала, т.е. независимость функций от переменной :

  (24)

и показано, что второй член в разложении (23) имеет вид:

    ,  (25)

где периодические по быстрой переменной функции  определяются решением задачи на ячейке периодичности:

(26)

       Для определения функции решалось усредненное уравнение вида

  (27)

с начальным и граничными условиями

,  (28)

где величину   можно рассматривать как компоненту тензора теплопроводности эффективной среды.

        После того как усредненная задача (27)-(28) решена и функция получена, соотношение (25) позволяет найти следующий член разложения (23), зависящий от структуры ячейки периодичности.

       В рамках изложенного метода асимптотического усреднения было получено аналитическое решение о распространении тепла в полубесконечной среде, представляющей собой ряд периодически чередующихся ячеек периодичности, составленных из слоев различных материалов различной толщины. В этой модели слои располагались параллельно свободной поверхности. Для заданной геометрии решалась задача о распространении тепла вглубь среды в случае, когда в момент времени температура на свободной поверхности становилась равной   и поддерживалась постоянной при .  Предполагалось, что температура была выше начальной температуры , но не превышала температур плавления материалов отдельных слоев. Считалось, что  в полубесконечной среде отсутствуют объемные источники тепла. При этом в соответствии с (21)-(22) распределение температуры в одномерной среде определялось нестационарным уравнением теплопроводности:

  (29)

с начальным и граничным условиями: 

(30)

       В рамках метода асимптотического усреднения асимптотика решения задачи (29)-(30) искалась в виде ряда (23). Было получено аналитическое решение задачи о распространении тепла в периодической слоистой среде в виде:

  (31)

  (32)

где определяются рекуррентными соотношениями:

       Учет нужного числа поправок в разложении (31) позволяет с  помощью соотношений (31)–(32) определить распределение температуры в периодической слоистой среде с любой степенью точности.

       Еще одна рассмотренная модель представляла собой периодическую среду, содержащую большое число цилиндрических включений, отделенных от матрицы  контактным слоем (рис.1). Для решения задачи (21)-(22) был применен метод асимптотического усреднения. Асимптотика решения искалась в виде ряда (23).  Аналитически были получены определяющие соотношения для вычисления и . Для определения эффективного коэффициента теплопроводности была численно решена задача на ячейке периодичности (26). Ячейка периодичности в сечении представляла собой квадрат размером , который намного меньше характерного размера среды (см. рис.2).

       Для решения задачи (26) была разработана программа, реализующая модификацию метода конечных элементов, именуемую блочным аналитико-численным методом. Метод заключается в разбиении области на более простые перекрывающиеся подобласти-блоки, построении локальных решений в каждом из блоков на основе специальной системы функций, аналитически удовлетворяющей  исходному уравнению, и в объединении всех локальных решений в глобальное решение исходной задачи. В структуре аппроксимирующих функций учитывались  особенности геометрии области, что сделало аппроксимацию эффективной.

 

рис.1 Периодическая среда, содержащая цилиндрические  включения, отделенные от матрицы контактным слоем

  рис. 2  Ячейка периодичности

       Для конфигураций с включением из материала с коэффициентом теплопроводности, который на два порядка меньше, чем коэффициент теплопроводности контактного слоя и матрицы, график  функции представлен на рис. 3а. Для конфигураций, в которых слой выполнен из материала с низким коэффициентом теплопроводности, аналогичный график представлен на рис. 3б.

       Было исследовано влияние физических и геометрических характеристик тонкого слоя в системе матрица – слой - включение на распределение температуры в неоднородной среде. Для этого рассматривалось несколько различных конфигураций, где менялись материалы матрицы, слоя и включения, а также радиус цилиндрических включений и толщина слоя (см. рис.2).

рис. 3а График  функции   рис. 3б  График  функции  

Ниже приведены результаты расчета распределения температуры в первых десяти ячейках периодичности размером м каждая через время ч после того, как среда с начальной температурой К начала нагреваться. При этом на границе поддерживалась температура К.

       На рис. 4 приведены графики, построенные для конфигурации 1.1, материал включения в которой имел коэффициент теплопроводности, на два порядка меньше, чем коэффициенты теплопроводности контактного слоя и матрицы. Первый член в ряду разложения температуры (23) плавно и монотонно изменялся с изменением координаты , постепенно выходя на стационарную температуру К. Эта кривая не "чувствовала" включений, в отличие от графика распределения температуры с учетом двух первых членов в разложении температуры (23), также приведенного на рис. 4.

   

рис. 4. График распределения  T с учетом двух первых членов в разложении (23)

рис. 5. Распределение температуры

  Поправка к температуре являлась периодической функцией с периодом, равным размеру ячейки периодичности  м,  и амплитудой, монотонно убывающей до нулевого значения в десятой ячейке (см. рис. 6).

 

рис. 6. Второй член разложения температуры (конфигурация 1.1)

рис. 7.Температурное распределение (конфигурация 1.1)

       Поскольку температура являлась периодической функцией координаты с периодом, равным размеру ячейки периодичности (см. рис.5), в дальнейшем рассматривалась только одна ячейку периодичности по оси (см. рис.7).

В конфигурации 1.2 по сравнению с конфигурацией 1.1 был уменьшен диаметр включения и увеличена толщина контактного слоя  при условии рассмотрения тех же материалов. Эффективный коэффициент теплопроводности с уменьшением диаметра включения увеличивался. Температурные зависимости качественно не изменились, однако сократились области с большими градиентами температур на включениях и увеличились области с меньшим градиентом температур в контактном слое и матрице. В конфигурациях 2.1–2.3 материал матрицы остался тем же, а материалы включения и контактного слоя поменялись местами. Диаметр включения не изменялся, а толщина контактного слоя увеличивалась от м  до м.

В силу того, что коэффициент теплопроводности контактного слоя в конфигурациях 2.1-2.3 стал на два порядка меньше коэффициента теплопроводности включения и матрицы, изменения в распределении температуры в ряду конфигураций 2.1–2.3 значительнее, чем это было для конфигураций 1.1 и 1.2. Эффективный коэффициент теплопроводности уменьшается с 216.292  Вт/(мград) при толщине  контактного слоя м до 78.205 Вт/(мград) при толщине слоя м. 

Температурное распределение, полученное с учетом двух первых членов разложения температуры для конфигурации 2.1,  практически совпадает с графиком первого члена температурного ряда (23) для данной конфигурации в силу того, что только тонкий контактный слой в ячейке занят материалом с резко отличающимся коэффициентом теплопроводности (рис. 8). 

 

рис. 8.Температурное распределение (конфигурация 2.1)

рис. 9.Температурное распределение (конфигурация 2.2)

рис. 10.  Температурное распределение (конфигурация 2.3)

        Аналогичные распределения для конфигураций 2.2 и 2.3, отличающихся толщиной контактного слоя, носят ступенчатый характер с резкими перепадами температуры на контактном слое (рис.9 и рис.10). При этом с увеличением толщины контактного слоя кривая температуры спадает круче и на меньшей глубине выходит на стационарное значение  температуры, что видно из сравнения рис.11 и рис.12, на которых представлены графики второго члена разложения (23). 

 

рис. 11. Второй член разложения температуры (конфигурация 2.2)

рис. 12. Второй член разложения температуры (конфигурация 2.3)

       Таким образом, проведенный анализ показал, что для сред, в которых используются в качестве покрытия на волокнах материалы с коэффициентом теплопроводности, который намного меньше по сравнению с коэффициентом теплопроводности матрицы и волокна, толщина покрытия сильно влияет на эффективный коэффициент теплопроводности.

       В третьей главе была показана возможность применения методов усреднения для решения нелинейных задач. В частности, были решены задачи, в которых процессы передачи тепла в структурно неоднородной среде моделировались с учетом нелинейных эффектов, связанных как с учетом зависимости материальных коэффициентов отдельных компонентов среды от температуры, так и с возможностью локальных фазовых переходов.

       Разработанный метод усреднения был обобщен на случай, когда при решении задачи (21)-(22) плотность , теплоемкость и компоненты тензора теплопроводности   рассматривались как величины, зависящие не только от координат , но и от температуры   Асимптотика решения искалась в виде ряда (23). При этом теплоемкость, плотность и компоненты тензора теплопроводности были представлены в виде разложений в ряд по малому параметру :

  (33)

       Было показано, что выражения (24)-(25) для двух первых членов разложения (23) в рассматриваемом случае также могут быть применимы. Однако изменится задача на ячейке периодичности, и определяющие уравнения для функций теперь имеют вид

  (34)

       В общем случае задача на ячейке решалась численно с учетом конкретного вида зависимости компонент тензора теплопроводности от температуры.

Для того чтобы получить распределение температуры в пространстве с течением времени, требовалось сделать некоторые предположения относительно вида температурных зависимостей теплоемкости , плотности и компонент тензора теплопроводности . В качестве примера рассматривалась среда, представляющая собой ряд периодически чередующихся ячеек периодичности, составленных из слоев различных твердых материалов различной толщины. Слои располагались параллельно свободной поверхности, а тепло распространялось вглубь среды в направлении , перпендикулярном слоям. Предполагалось, что при и при . Температуры и считались превышающими температуру Дебая, что в соответствии с законом Дюлонга и Пти означало независимость теплоемкости от температуры. Температурный диапазон и материалы выбирались так, чтобы зависимостью плотности от температуры также можно было пренебречь.

В случае, когда неоднородная среда представляет собой чередующиеся слои твердых диэлектрических материалов, температурная зависимость коэффициента теплопроводности k при температурах, превышающих температуру Дебая, может быть представлена выражением вида

  (35)

где  – периодические функции, определяемые физическими параметрами неоднородной среды.  В случае в рамках разработанного метода усреднения было найдено аналитическое решение задачи (29)-(30). Сравнение распределений температуры, вычисленных с помощью формул, являющихся аналитическими решениями задачи (29)-(30), с результатами численных расчетов, проделанных с помощью метода конечных разностей, показало совпадение с точностью до 0,5% .

               В диссертации также рассматривался случай, когда зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имела степенной характер:

    (36)

где – периодические функции, определяемые физическими параметрами неоднородной среды. Подобные температурные зависимости характерны для многих конструкционных и геоматериалов, таких как алюминий, карбид силикона, оксид циркония, сплав титана, алюминия и вольфрама и др. В случае температурной зависимости коэффициента теплопроводности (36) были получены определяющие соотношения для компонент эффективного тензора теплопроводности и для распределения температуры в среде. В случае неоднородной слоистой полубесконечной среды с периодической структурой было проведено аналитико-численное исследование влияния температурных зависимостей  коэффициентов теплопроводности отдельных слоев на характер распространения тепла в слоистом материале в целом.

       Разработанный метод усреднения был обобщен на класс задач теплопроводности в периодической среде с учетом возможных фазовых переходов первого рода в отдельных компонентах неоднородного материала. В качестве модельной была решена задача о плавлении в периодической слоистой среде, геометрия которой была описана во второй главе. Плавление рассматривалось как мгновенный процесс, происходящий, как только температура достигала температуры фазового перехода . В рамках такого подхода граница раздела фаз представляла собой движущуюся поверхность. В этом случае исходная задача (29), помимо условий (30), была дополнена граничными условиями, заданными на фронте плавления:

(37)

где – удельная теплота плавления,  – координата фронта плавления, закон изменения которой определялся в ходе решения задачи.

       Первое из условий (37) следовало из неизменности температуры на границе фазового перехода, а второе являлось уравнением теплового баланса.

       Асимптотическое решение задачи (29) с условиями (30), (37) искалось в виде ряда (23).  Для удобства были введены следующие обозначения: характеристики  среды  за  фронтом  плавления обозначались , , , а перед фронтом плавления – ,, .

       Было показано, что первый член разложения температуры не зависит от «быстрой» переменной т.е. . Задача, полученная для определения , была аналогична известной задаче Стефана и представляла собой уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, являющимися эффективными коэффициентами температуропроводности среды   и по разные стороны фронта. Положение фронта плавления изменялось со временем по закону . Постоянная определялась из численного решения трансцендентного уравнения, полученного из граничного условия на скачок потока тепла при переходе через границу  (второе из условий (37)):

  (38)

На рис.13 приведена зависимость параметра от температуры на свободной поверхности .

рис. 13  Зависимость параметра от температуры .

       Решение задачи  (29) с условиями (30), (37) было получено аналитически и имело вид :

(39)

На рис.14 и рис.15 показаны температурные распределения и для слоистой среды, моделирующей мерзлый грунт. Зависимость от носит плавный характер, и даже положение фронта фазового перехода не является точкой излома. Учет приводит к появлению изломов на границах слоев и на фронте плавления.

Сравнение результатов расчета распределения температуры в периодической среде, выполненных с помощью метода асимптотического осреднения и численных методов, показало совпадение с точностью до 2%, что свидетельствует об эффективности использования метода осреднения.

  рис. 14 Температура при: рис. 15  Температура при t = 72 ч

  t = 72 ч; t =120 ч 

Существенным преимуществом предложенного способа моделирования процесса теплопроводности в структурно неоднородной среде является возможность учета большого числа слоев в пределах одной ячейки периодичности с произвольным соотношением их размеров и физических характеристик.

       При внешнем нагружении материала наличие неоднородностей в виде включений в однородной матрице может приводить к существенной неравномерности распределения напряжений. При этом локальные  напряжения максимальны на границе раздела между матрицей и включением. В диссертации было проведено моделирование процессов локального фазового перехода в окрестности твердого включения в ледяном массиве, нагруженном на бесконечности сжимающим напряжением. Общая постановка задачи включала в себя уравнения теории упругости о равновесии изолированного включения в упругой среде с учетом температурного расширения, уравнение теплопроводности, уравнение Клаузиуса-Клапейрона, граничные условия на бесконечности, на границе между включением и упругой матрицей, на границе зоны фазовых переходов, начальные условия. В результате была получена самосогласованная задача определения напряженного состояния в окрестности включения с учетом локальных фазовых переходов, которая решалась с использованием численных методов.

       Напряженное состояние в упругой матрице и во включении рассчитывалось с помощью метода конечных элементов. В качестве основного элемента использовался четырехугольный конечный элемент с узлами, расположенными в его вершинах. По мере развития процесса плавления сетка перестраивалась, и число элементов в зоне фазового перехода изменялось. Для расчета конкретной задачи был выбран случай одноосного вдоль оси z нагружения упругой среды с изолированным упругим цилиндрическим включением. Предполагалось отсутствие проскальзывания между включением и матрицей. Решение двумерной осесимметричной задачи в рамках метода конечных элементов проводилось с помощью разработанной программы “ESHLB”. Для учета динамики процессов теплопроводности и плавления наряду с программой “ESHLB” использовалась программа, позволяющая решать уравнение теплопроводности. Результатом вычислений с использованием программ являлось определение распределения поля напряжений, температуры плавления и процентного содержания жидкости в окрестности включения (см. рис.16-18).

рис.16а. Пространственное распределение  температуры фазового перехода

( часов)

рис. 16б.  Пространственное распределение доли расплавленного льда  (t=15 часов)

а) часов

б ) часов

в) часов

рис. 17.  Пространственное распределение температуры фазового  перехода на различные моменты времени.

       Анализ распределения первого инварианта , а значит, и температуры фазового перехода  на разные моменты времени позволял сделать вывод о том, что со временем происходит локализация зоны плавления вблизи границы раздела включение - матрица (рис.19).

рис.18.  Температура фазового перехода T* (начало плавления)

  рис.19.  Граница области возможного плавления: 1) начало плавления;

  2) t= 10ч; 3) t= 20ч

В четвертой главе было осуществлено математическое моделирование процессов распространения тепла в неоднородных средах с периодической структурой с учетом конвективного механизма теплопередачи.

При описании теплофизических свойств неоднородных многофазных сред необходимо учитывать различные механизмы передачи тепла. Прежде всего это кондуктивный механизм передачи тепла, не сопровождаемый переносом вещества, и конвективный механизм, при котором перенос тепла обусловлен движением жидкой или газообразной фазы в порах твердого материала. Стремление учесть конвективную теплопередачу ведет к необходимости рассмотрения взаимосвязи процессов теплопроводности и фильтрации, а значит совместного решения соответствующих уравнений. В диссертации разработанный метод усреднения использовался при совместном решении задач теплопроводности и фильтрации для слоистой неоднородной среды. Были получены общие уравнения и решение задачи о процессе передачи тепла в ходе просачивания влаги сквозь слоистый пористый материал, сделаны выводы относительно роли конвективного механизма теплопередачи в сравнении с кондуктивным, было исследовано влияние на рассматриваемые процессы исходного градиента температуры и градиента давления жидкости. 

Рассмотрим неоднородную среду с периодической структурой, содержащую жидкую фазу. Будем учитывать возможность просачивания жидкости сквозь поры в твердом материале и  моделировать процессы  передачи тепла с учетом как кондуктивного, так и конвективного механизмов. Для этого уравнение теплопроводности (21) следует записать в более общем виде, добавив в него конвективный член:

  (40)

Заметим, что плотность , теплоемкость и компоненты тензора теплопроводности в уравнении (40) в общем случае зависят от температуры и координат. Таким образом, в каждой точке с координатами заданы свои значения характеристик среды. Примем, что скорость твердой фазы . Зависимость скорости фильтрации  жидкости от температуры определяется несколькими факторами. Во-первых, вязкость жидкости может меняться при изменении температуры. Во-вторых, изменение температуры в неоднородной среде может приводить к изменению конфигурации порового пространства (например, за счет процессов локального фазового перехода в среде). В случае,  когда пористость и проницаемость среды остаются без изменений при изменении температуры, и вязкость жидкости в заданном температурном интервале остается практически постоянной, для скорости фильтрации жидкой фазы в неоднородной среде может быть записан закон Дарси :

                          (41)

Граничные условия для уравнения (40) могут быть записаны в виде:

  , ,                                (42)

где - компоненты нормали к поверхности ; - заданная температура на границе ; - заданный поток тепла через границу . Квадратные скобки обозначают скачок функции при переходе через поверхность .

       Наличие в среде неоднородностей приводит к необходимости дополнить граничные условия (42) условиями на контактах:

,                        (43)

где - границы разделов различных компонент материала; - компоненты нормали к поверхности раздела различных материалов.

Для описания фильтрации несжимаемой жидкости в условиях справедливости закона Дарси распределение давления определяется уравнением вида:

    (44)

с граничными и контактными условиями

              (45)

где -модуль всестороннего сжатия твердой фазы, - границы разделов различных компонентов материала, содержащих жидкую фазу; - компоненты нормали к  поверхности ; - компоненты нормали к поверхности раздела различных компонентов материала; - заданная скорость потока жидкости через границу S2;  - заданное давление жидкости на поверхности . На границе с непроницаемой для вязкой жидкой фазы средой контактное условие имеет вид:

,                                         (46)

       В рамках метода асимптотического усреднения решение задачи (40)-(46) для периодической среды искалось в виде разложения давления р и температуры в ряд по степеням малого параметра ( - размер ячейки периодичности, - характерный размер задачи) с коэффициентами, зависящими как от переменных , так и от переменных :

    (47) 

  С учетом зависимости характеристик неоднородного  материала от температуры, плотность, теплоемкость и тензор теплопроводности были представлены в виде разложений (33) в ряд по параметру .

       В результате подстановки соотношений (47)-(33) в уравнения (40), (41), (44), а также в каждое из условий (42)-(43), (45)-(46) и приравнивания коэффициентов при  одинаковых степенях была получена рекуррентная цепочка задач, позволяющих при заданных функциях в общем случае определить распределение температуры и давления в неоднородной периодической среде при наличии в ней жидкой фазы.  Эти задачи и их решение приведены в тексте диссертации. Здесь в качестве модельной задачи рассмотрим просачивание жидкости, сопровождающееся переносом тепла, в случае полубесконечной среды, представляющей собой ряд периодически чередующихся ячеек периодичности, составленных из слоев различных материалов различной толщины. Слои располагались параллельно свободной поверхности, и каждый -ый слой () в ячейке периодичности характеризовался своей проницаемостью и пористостью . Система координат была выбрана таким образом, чтобы свободная поверхность лежала в плоскости , а ось была направлена перпендикулярно слоям. На свободной поверхности все время поддерживались постоянное давление жидкости и температура ,  начальное давление жидкости и начальная температура составляли .

       Для первых членов разложений температуры и давления в ряды (47) была доказана их независимость от переменной

  .  (48)

       Для вторых членов разложений (47) были получены соотношения

  ,  (49)

где  , а - периодическая по быстрой переменной функция.

       Функция определялась путем аналитического решения усредненной        задачи:

    (50)

(51)

где угловые скобки означают усреднение по ячейке периодичности в соответствии с (11).

       Распределение давления жидкости в пористой слоистой среде с периодической структурой, учитывающее первый и второй члены в разложении (47), было получено аналитически в виде:

  (52)

       Результаты, полученные для распределений давления, были подставлены в соответствующие рекуррентные уравнения, полученные из (41), и использованы при решении рекуррентных уравнений, полученных из уравнения теплопроводности (40).  В случае, когда зависимость коэффициента теплопроводности слоистой среды от температуры позволяла представить его в виде: , функция зависела только от переменной , что позволило получить  аналитическое выражение для температурного распределения в пористой слоистой среде с периодической структурой, учитывающее первый и второй члены в разложении (47), в виде

где ,

       В диссертации был произведен расчет процессов теплопереноса и фильтрации воды в периодической среде, состоящей из чередующихся слоев песчаника и известняка, поры которых заполнены водой. Результаты расчетов показали, что учет конвективного механизма теплопередачи может приводить к заметным изменениям температуры уже при учете первого члена в разложении температуры. Присутствие второго члена в разложении температуры позволяло в рамках метода асимптотического усреднения  учесть влияние отдельных слоев.        Следует отметить, что вклад конвективного механизма теплопередачи в изменение температуры неоднородного слоистого материала, поры которого были насыщены жидкостью, зависел от разности давлений жидкости на свободной поверхности и в среде, а также от проницаемости отдельных слоев.

       С использованием результатов третьей главы была решена задача о фильтрации воды в ограниченной зоне протаивания, возникающей в мерзлых грунтах с периодической структурой в результате таяния порового льда.

В предположении распространения фронта плавления, на котором происходит мгновенный фазовый переход, уравнение для определения давления жидкой фазы в зоне фильтрации и граничные условия записываются в виде:

  , (53)

где – граница слоев различных материалов; – объемный модуль сжатия твердой фазы; – координата  фронта плавления.

       В данной постановке задачи предполагалось, что наличие льда в порах и трещинах материала делает невозможным фильтрацию воды в ту область пространства, которая расположена перед фронтом плавления. Поэтому смысл последнего из граничных условий задачи (53) состоял в том, что на границе фронта плавления скорость его продвижения должна быть больше или равна скорости фильтрации воды.

       В мерзлых грунтах часто реализуется ситуация, когда перепад температур на свободной поверхности и фронте плавления невелик. Тогда при условии, что масса талой воды мала по сравнению с массой твердого  скелета грунта, можно не учитывать теплообмен между водой и льдом на границе плавления, и положение фронта плавления будет меняться со временем по корневому закону , выведенному в третьей главе.

       В диссертации в рамках метода асимптотического усреднения было получено аналитическое решение задачи (53)  в виде:

В области жидкости нет, поэтому там

       Таким образом, было показано, что даже при наличии в твердом теле локальных фазовых переходов можно получить простое решение задачи о распределении давления жидкой фазы в структурно неоднородной слоистой среде.

       В пятой главе осуществлялось моделирование процессов фильтрации. При этом пористые материалы рассматривались как гетерогенные среды с множеством неоднородностей в виде пор. Было получено решение задачи о фильтрации несжимаемой и сжимаемой баротропной жидкости в недеформируемой среде, структура пор в которой предполагалась периодической.  Метод усреднения был применен для исследования среды, в которой может быть выделено несколько характерных масштабных уровней. Для каждого из этих масштабных уровней были выведены определяющие уравнения. Вычисление усреднённых фильтрационных характеристик среды, а также скорости и давления жидкости свелось к решению соответствующих периодических задач на ячейке. В главе также исследовалось влияние зависимости вязкости жидкости от давления на распределение давления и скорости течения жидкости. Было получено аналитическое решение для одномерного случая фильтрации жидкости в пористой среде с периодической структурой. В более общем случае определение эффективной проницаемости среды производилось с помощью численного моделирования. Для этого был использован программный комплекс, основанный на методе конечных элементов, специально разработанный для решения задач теплопроводности и фильтрации.

Положим, что в гетерогенной пористой среде можно выделить несколько характерных масштабных уровней: макроуровень с характерным размером , миниуровень с характерным размером и микроуровень с характерным размером , таких, что на микро- и мини- уровнях среда характеризуется периодической структурой. Такой средой является, например, пористая среда, представляющая собой периодически чередующиеся слои различных материалов, каждый из которых характеризуется своей собственной пористостью и проницаемостью (рис.20).

рис.20. Неоднородная периодическая среда пористой структуры.

Начнём с рассмотрения фильтрации несжимаемой вязкой жидкости на уровне масштаба пор, т.е. в пределах представительного элементарного объёма (играет роль ячейки периодичности) с характерным размером O(l). Обозначим границу ячейки периодичности как ,  её часть, занятую жидкостью, как и границу раздела твёрдое тело - жидкость в пределах ячейки периодичности как . Процесс фильтрации будем описывать системой уравнений:

  в ,                                        (54)

  в ,                                        (55)

  ,                                                    (56)

где -компоненты скорости жидкости, - давление жидкости, - динамическая вязкость, - коэффициент проницаемости. В уравнении Бринкмана (54) гравитационные эффекты включены в слагаемое, содержащее давление, уравнение (55) представляет собой условие несжимаемости, а граничные условия (56) есть условия прилипания.

       Проведём процедуру обезразмеривания, введя следующие переменные:

.                        (57)

       Считая, что движение жидкости управляется градиентом давления, который по порядку величины равен O(P/L), предположим справедливость соотношения .Тогда характерную скорость жидкости можно оценить как ,        а число Рейнольдса оценить выражением .

       Введём обозначение , где безразмерный малый параметр и предположим, что число Рейнольдса настолько мало, что выполняется соотношение .

       Подставляя (57) в систему уравнений (54), (55) и граничные условия (56),  получим безразмерный аналог задачи (54)-(56) в виде:

(58)

где и для простоты обозначений опущен символ «′». 

Применим процедуру усреднения к среде, в которой можно выделить иерархию характерных размеров микроуровня, характеризуемых координатами , мини-уровня, характеризуемых координатами и макроуровня, характеризуемых координатами . Предположим, что справедливы следующие соотношения:

                                                       (59)

Далее будем предполагать, что рассматриваемая среда имеет периодическую структуру на микро- и мини-масштабных уровнях. Соответствующие ячейки периодичности обозначим (микроуровень) и (мини-уровень) соответственно. В рамках метода асимптотического усреднения, считая, что переменные независимы, решение задачи (58) будем искать в виде рядов

,                (60)

Подстановка разложения (60) в уравнения и граничные условия задачи (58) после приравнивая к нулю слагаемых при одинаковых степенях малого параметра даёт рекуррентную цепочку уравнений и граничных условий для определения и , из которых следует, что ,, т.е. есть функция только глобальной переменной , а - функция глобальной переменной и быстрой переменной на мини-уровне. Последующие члены разложения (60) искались в виде:

                                               (61)

где функции и   определяются из решения следующей  задачи на ячейке периодичности ( – символ Кронекера):

                                                       (62)

Обозначим среднее по  ячейке периодичности на микроуровне следующим образом:

,                                                                (63)

где - ячейка периодичности на микроуровне, а – её часть, занятая жидкостью.

Определим среднее по ячейке периодичности на уровне структуры материала на мини-уровне в виде

,                                                                (64)

где обозначает ячейку периодичности на мини-уровне.

       Применение оператора усреднения (63) к рекуррентным соотношениям, полученным в результате подстановки рядов (60) в первое и второе уравнения задачи (58), дает для выражение

    (65)

где  определяется из решения уравнения

                                       (66)

в котором - элементы симметричного и положительно определённого тензора второго ранга , не зависящего от . Тензор имеет смысл эффективного тензора проницаемости элементов структуры неоднородного материала мини-масштабного уровня.

       Применение оператора усреднения (64) к рекуррентным соотношениям, полученным в результате подстановки рядов (60) в первое и второе уравнения задачи (58), дает выражение для компонент средней скорости в виде 

    .             (67)

а также  усреднённое уравнение фильтрации:

  .  (68)

Зная граничные условия (например, условия прилипания), в результате интегрирования уравнения (68), было получено выражение для макроскопического распределения давления жидкости . Это давление, в свою очередь, использовалось для определения скорости по формуле (65). Но вначале из решения задачи на ячейке (62) были найдены , затем находились из уравнения (66) и с их помощью были определены компоненты эффективного тензора проницаемости среды .

       Таким образом, нахождение эффективных характеристик среды (тензора проницаемости) свелось к решению задач на ячейках периодичности (62) с соответствующими граничными условиями. В общем случае такие задачи на ячейках решались численно, для чего был использован разработанный программный комплекс. Аналитическое решение было получено для частного случая фильтрации несжимаемой жидкости в жёсткой среде, представляющей собой периодически чередующиеся слои, состоящие из тонких проницаемых каналов. Используемый метод усреднения можно применять к рассмотрению и других задач, в которых присутствует несколько характерных пространственных масштабов периодичности.

Предыдущая задача была рассмотрена также при условии фильтрации баротропной вязкой жидкости. В стационарном случае, когда плотность жидкости не меняется со временем, и поток устойчив, уравнение непрерывности имеет вид . В этом случае вместо системы уравнений (54), (55) с граничными условиями (56) решалась аналогичная задача с той только разницей, что уравнение (55) в ней было заменено на . Как и в случае фильтрации несжимаемой вязкой жидкости, был применен метод усреднения, в рамках которого, наряду с разложениями для скорости и давления (60),  использовалось асимптотическое разложение для плотности жидкости в виде ряда

В диссертации было показано, что в условиях, когда структура материала на микроуровне остаётся прежней, решение задачи на микроячейке периодичности не меняется, однако вид усредненного макроскопического уравнения становится иным, и вместо (68) мы имеем уравнение для определения функции следующего вида:

(69)

Решение усредненного уравнения  (69) полностью определяется видом соотношения между давлением жидкости и её плотностью. Для баротропной вязкой жидкости были рассмотрены несколько примеров зависимости плотности от давления,  для которых были получены аналитические выражения, определяющие распределение давления жидкости с точностью до второго члена в разложении (60).

       Описанный выше метод усреднения был обобщен на класс задач о моделировании фильтрации вязкой жидкости в недеформируемой пористой среде с учетом нелинейности, связанной с зависимостью вязкости жидкости от давления.  Рассматривались случаи как несжимаемой, так и баротропной жидкости.  Предполагалось, что на уровне  размера порового пространства среда может рассматриваться как периодическая. Были выписаны определяющие уравнения и получены усредненные макроскопические соотношения, определяющие скорость и давление жидкости. Нахождение эффективных характеристик среды (тензора проницаемости) свелось к решению задач на ячейках периодичности с соответствующими граничными условиями. В отличие от решений задачи (62) решения задач на ячейке в данном случае определялись конкретным видом зависимости  вязкости от давления.  Были рассмотрены несколько видов возможной зависимости вязкости жидкости от давления. Было показано, что в случае, когда зависимость вязкости от давления не учитывается, рассчитанные величины давления и скорости жидкости получаются завышенными в сравнении с аналогичными результатами, полученными с учетом этой зависимости.  Давление и скорость жидкости, вычисленные с учетом нелинейности, связанной с зависимостью вязкости от давления, находились в лучшем согласии с данными экспериментов.

       В диссертации было получено аналитическое решение для частного случая фильтрации  жидкости в недеформируемой среде, состоящей из тонких проницаемых каналов, и были получены выражения для определения распределения давления и скорости жидкости. Исходя из анализа полученных результатов был сделан вывод о том, что, чем сильнее зависимость вязкости от давления жидкости, тем больше будет кривизна графика распределения давления, и тем меньше будет величина давления в точке с фиксированной координатой в пределах рассматриваемой области.

       Для сжимаемой баротропной жидкости был рассмотрен пример, когда зависимость плотности жидкости от давления определялась формулой Доусона и Хиггинса, а соотношение между давлением и вязкостью определялось эмпирическим экспоненциальным соотношением. Сравнение вычисленных распределения давления и скорости жидкости с аналогичными результатами, полученными для несжимаемой жидкости, показывает, что учет зависимости вязкости жидкости от давления оказывает гораздо более сильное влияние на исследуемые величины, чем учет зависимости плотности от давления, что хорошо согласуется с  экспериментальными данными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

       В диссертации, представляющей собой научно-квалификационную работу, на основе выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, которые можно квалифицировать как крупное научное достижение в области исследования математических моделей процессов теплопроводности и фильтрации в неоднородных средах со структурой, близкой к периодической, при внешнем температурном и механическом воздействии с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Полученные результаты имеют важное значение для проведения инженерно-геологических изысканий, нефтедобычи, прогнозирования эффективных свойств и поведения геоматериалов, мерзлых пород, пористых сред и композитов, а также для создания новых материалов с заданными способностями проводить тепло и влагу.

       Основные выводы и результаты, полученные автором, заключаются в следующем:

  1. Проведен анализ применимости различных методов усреднения для описания физических процессов в неоднородных средах. Показана эффективность использования метода асимптотического усреднения для описания процессов тепло-  и массопереноса в неоднородных средах с периодической структурой.
  2. Разработаны методы многомасштабного усреднения теплофизических свойств геологических и композиционных гетерогенных материалов с периодической структурой в условиях внешнего температурного и механического воздействия.
  3. В рамках построенной математической модели было проведено исследование процессов передачи тепла в структурно неоднородной среде. Для линейной задачи теплопроводности построено асимптотическое разложение, дающее возможность определять эффективные коэффициенты теплопроводности с заданной точностью.
  4. Для определения эффективных характеристик структурно неоднородных материалов был разработан комплекс программ, основанный на объектно-ориентированном подходе в программировании, в котором была реализована модификация метода конечных элементов.
  5. Применение разработанной методики к решению задач теплопроводности позволило учесть влияние зависимости физических характеристик (материальных коэффициентов) отдельных компонентов среды от температуры.
  6. Разработан подход, позволяющий в рамках  метода усреднения описывать процессы теплопроводности в неоднородных периодических средах с учетом локальных фазовых переходов первого рода в отдельных компонентах неоднородного материала. Было построено решение задачи о фильтрации воды в зоне протаивания, следующей за фронтом плавления.
  7. Составлен алгоритм и  разработан комплекс программ для математического моделирования процесса локального плавления в неоднородной среде с изолированными включениями в однородной матрице в условиях внешнего механического воздействия.
  8. Было проведено аналитико-численное моделирование процессов фильтрации в структурно неоднородных средах. В рамках построенной математической модели была решена задача о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической.
  9. В результате применения разработанной методики решения задач о фильтрации было учтено влияние зависимости вязкости жидкости от давления на распределение давления и скорости течения жидкости. Были рассмотрены несколько видов возможной зависимости вязкости жидкости от давления. Было показано, что в случае, когда зависимость вязкости от давления не учитывается, рассчитанные величины давления и скорости жидкости получаются завышенными в сравнении с аналогичными результатами, полученными с учетом этой зависимости и в сравнении с результатами экспериментов.
  10. Разработаны методы математического моделирования для  совместного решения задач тепло-  и массопереноса в структурно неоднородной среде с учетом кондуктивного и конвективного механизмов теплопередачи. Были сделаны выводы относительно роли конвективного механизма теплопередачи в сравнении с кондуктивным, было исследовано влияние на рассматриваемые процессы исходного градиента температуры и градиента давления жидкости. 

               Основные положения и научные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

  1. Власов А.Н., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Асимптотическое усреднение для решения задач теплопроводности с фазовыми переходами в слоистых средах // Журнал «Прикладная механика и техническая физика».-1995.-Т.36.-№5.-С.155-163.
  2. Власов А.Н., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Аналитические методы исследования фазовых переходов в средах с неоднородной структурой //Механика композиционных материалов и конструкций.-1995.-Т.1.- №2.- С.134-140.
  3. Саваторова В.Л., Талонов А.В. Использование метода асимптотического усреднения для решения задач теплопроводности с учетом фазовых переходов //Вестник Московского университета. - Сер.1. Математика. Механика.-1995.-№4.-С.108.
  4. Vlasov A.N., Savatorova V.L., Talonov A.V. Analytical methods of phase transition investigation in media with inhomogenious structure //Second Symposium: Advances in Structured and Heterogeneous Continua.- Moscow, Russia- 1995.-p.16.
  5. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Некоторые основные процессы, определяющие реологическое поведение грунтов под нагрузкой // Материалы Первой  конференции геокриологов России. Секция «Физико-химия и механика мерзлых пород». 3-5 июня 1996.- Москва, МГУ.- С.193-204.
  6. Ухов С.Б., Власов А.Н., Мерзляков В.П., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Некоторые процессы, определяющие реологическое поведение мерзлых грунтов под нагрузкой //Основания, фундаменты и механика грунтов.-1996.-№2.-С.14-19.
  7. Власов А.Н., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Локальные фазовые переходы в неоднородной среде под действием внешнего поля напряжений //Механика композиционных материалов и конструкций.-1996.-Т.2.-№2.-С.125-137.
  8. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Саваторова В.Л., Талонов А.В., Ухов С.Б. Локальные фазовые переходы и фильтрация как процессы, определяющие реологию пластично-мерзлых грунтов //Доклады Академии наук.-1996.-Т.349.-№6.-С.758-760.
  9. Власов А.Н., Лисин Л.Д., Мерзляков В.П., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Фильтрация и консолидация пластично-мерзлых супесей // Материалы Международной конференции «Проблемы криологии Земли», 21-25 апреля, 1997 г.- С.266-267.
  10. Ухов С.Б., Власов А.Н., Лисин Л.Д., Мерзляков В.П., Саваторова В.Л. Плавление льда в несвязных мерзлых грунтах, обусловленное локальными давлениями //Криосфера Земли.-1997.-Т.1.-№3.-С.35-38.
  11. Саваторова В.Л., Талонов А.В. Исследование влияния внешнего напряжения на эффективные деформационные свойства мерзлых грунтов // Материалы Второй  конференции геокриологов России.-июнь 2001.-Москва, МГУ.-Т.1.
  12. Саваторова В.Л., Талонов А.В. Влияние поля напряжений на процессы локального фазового перехода в структурно неоднородных средах //Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвузовский научный сборник.-  Саратов: СГТУ.- 2003.-С. 149-156.
  13. Саваторова В.Л., Талонов А.В. Исследование влияния периодических температурных изменений на структуру мерзлых пород // Материалы Третьей  конференции геокриологов России.-июнь. 2005.-М.: МГУ.-Т.1.-С.103-107.
  14. Власов А.Н., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Описание физических процессов в структурно неоднородных средах . - М.:РУДН,.2009.- 258 с.
  15. Власов А.Н., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Усреднение уравнений теплопроводности с учетом конвективного механизма теплопередачи.// Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009.- Т.15.- №1.- С.17-31.
  16. Балуева М.А, Блохин Д.И., Саваторова В.Л., Талонов А.В., Шейнин В.И. Моделирование влияния микротрещин в  геоматериалах на изменения их температуры при деформировании // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- 2009.- N6. - С.55-60.
  17. Власов А.Н., Маркелов П.Е., Саваторова В.Л. Исследование деформационных свойств системы «матрица-слой-включение» // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2009.-Т.17.-Вып.1- С.100-102.
  18. Саваторова В.Л., Талонов А.В., Широчин Д.Л.  Решение уравнения теплопроводности в неоднородной среде с учетом температурной зависимости коэффициента теплопроводности // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2009.-Т.17.-Вып.1- С.135-137.
  19. Власов А.Н., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Учет нелинейной теплопроводности при моделировании термомеханического поведения композиционных материалов со слоистой структурой. Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред. //Материалы Всероссийской конференции, приуроченной к 20-летию Института прикладной механики РАН, 30 ноября-2 декабря 2009г, М.: 2009.- С.30.
  20. Vlasov A.N., Savatorova V.L., Talonov A.V. Averaging of the heat conduction equations with account for the convective mechanism of heat transfer //Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International Journal.-2010.- v.1.- N2.- p.1-21.
  21. Savatorova V.L., Talonov A.V., Shirochin D.L. Propagation of melting front in structurally heterogeneous media having phase transitions of inhomogeneities.//ZAMM Z.Angew.Math. Mech.-2010.- v.90.- N4.- p.309-322.
  22. Саваторова В.Л., Белый А.А. Математическое моделирование процессов кондуктивной теплопередачи в гетерогенных средах с периодической структурой // Горный информационно-аналитический бюллетень. Препринт. -2010.- №9.-98с.
  23. Саваторова В.Л. Моделирование фильтрации жидкости сквозь пористую среду с периодической структурой // Горный информационно-аналитический бюллетень. Препринт.-2010.- №9.- 61с.
  24. Саваторова В.Л. Усреднение уравнений фильтрации жидкости в недеформируемой среде с периодической структурой пор// Вестник Тихоокеанского государственного университета.-2010.-№4(19).- С.83-92.
  25. Саваторова В.Л. Решение задачи теплопроводности и фильтрации в слоистой неоднородной среде // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.-2010.-№4. – С.75-84.
  26. Саваторова В.Л., Талонов А.В., Волков-Богородский Д.Б., Власов А.Н.  Математическое моделирование процесса теплопроводности в периодической среде  с цилиндрическими включениями, отделенными от матрицы тонким  слоем //Вестник  Нижегородского  Университета им. Н.И.Лобачевского. - 2010.- №6.- С.168-179.

       




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.