WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НОВИКОВ Михаил Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ
ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ И УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации

(по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание степени
доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург- 2012

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН (ИДСТУ СО РАН).

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Утешев Алексей Юрьевич, СПбГУ

Официальные оппоненты:

1. доктор физико-математических наук, профессор
Андрианов Сергей Николаевич, СПбГУ

2. доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович, РГПУ им. А.И. Герцена

3. доктор физико-математических наук, профессор
Щенников Владимир Николаевич, Мордовский ГУ им. Н.П. Огарева

Ведущая организация:

Иркутский Государственный Университет Путей Сообщения.

Защита состоится  __ ________ 2012 г. в _____ часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург В.О., Университетская наб. 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург В.О., Университетская наб. 7/9.  Автореферат размещен на сайте ВАК.

Автореферат разослан  "  "  ___________ 2012 г.

Ученый секретарь
диссертационного Совета
д.ф.-м.н.
профессор                                                                                                Курбатова Г.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как отмечал академик Н.Н. Моисеев(1), процесс математического моделирования сложных систем (объектов) состоит из:

  • комплексного системного анализа, включающего сбор информации о системе, анализ ее причинно-следственных связей, обработку входных данных;
  • аналитических методов системного анализа;
  • оценки соответствия имитационных моделей реальным процессам.

Основой аналитических методов системного анализа исследуемого процесса является составление математической модели, для чего применяются методы теории систем и принятия решений, теории оптимального управления, функционального анализа, дифференциальных уравнений и т.д. К конструктивным методам системного анализа механических систем относятся методы их аналитического интегрирования, имеющие целью как выделение стационарных множеств механических и управляемых систем, так и исследование устойчивости этих множеств. Кроме того, особый интерес представляет исследование изменения свойств исследуемых систем в зависимости от динамики параметров, входящих в эту систему. На эффективность этих методов существенно влияет выбор подходящей замены входящих в систему переменных.

Известно, что многие уравнения аналитической механики могут быть получены из вариационных принципов Гамильтона(2) наименьшего действия Эйлера-Якоби(3), наименьшего принуждения и т.д. Так теория Гамильтона-Якоби с помощью производящей функции позволяет получить каноническое преобразование(2), применение которого приводит уравнения Гамильтона к виду допускающему интегрирование. В системах Лиувилля и Штеккеля(2) с полными интегралами допускается разделение переменных. Линейные механические системы могут быть легко проинтегрированы и при одновременном приведении к каноническим (в том числе – диагональным) видам матриц кинетической а также потенциальной энергий; и в зависимости от структуры других сил (диссипативных, гироскопических или каких-либо иных сил), матриц других видов.

В консервативных системах малой размерности эффективна теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ – теория), при использовании которой форма наименьшего (второго) порядка в разложении гамильтониана должна быть приведена линейной заменой переменных к нормальной форме.

В большинстве задач качественного анализа и устойчивости движения важную роль играет приведение к простейшему виду квадратичной части гамильтониана и линейной правой части системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Такими формами являются канонические формы Вильямсона(2), Жордана, Фробениуса.

Исследование нелинейных систем ОДУ часто требует применения нелинейной нормализации, основанной на нелинейной замене переменных: методом Пуанкаре в системах общего вида(3),  производящей функцией преобразования(4) в способе Биркгофа и методом Депри-Хори(4) в гамильтоновых системах. Как и в применении к задаче интегрирования систем, одновременное приведение линейным преобразованием к простейшему виду нескольких матриц квадратичных форм позволяет упростить анализ стационарных решений механических систем – особенно в плане исследования их устойчивости. Аналогичные задачи встречаются в квадратичном программировании при квадратичных ограничениях.

Эффективным методом исследования устойчивости является второй метод Ляпунова.
Основным вопросом в этом методе является построение знакоопределенной функции Ляпунова и ее производной, и этой проблеме посвящены многочисленные работы (Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский, А.М. Летов, А.И. Лурье, И.Г. Малкин, Г.В. Каменков, В.В. Румянцев, В.И.Зубов, В.Д. Иртегов и  др.). Распространенным видом функции Ляпунова для консервативных систем является связка Четаева из первых интегралов. При определенном наборе управлений и параметров системы квадратичная часть связки интегралов может вырождаться. По отношению к свойству устойчивости динамических систем этот случай – когда характеристическое уравнение матрицы линейного приближения правой части системы ОДУ обладает одним или несколькими нулевыми корнями – является критическим по Ляпунову. При его возникновении существенно усложняется построение функции Ляпунова даже в части проверки свойства знакоопределенности.

Значение задачи установления коэффициентных критериев знакоопределенности полинома нескольких переменных и произвольной степени  не ограничивается только ее приложениями в теории устойчивости и в теории управления; она возникает и в задачах оптимизации. Ею занимался ряд исследователей, начиная с Д. Гильберта. Принципиально доказана  (Зайденберг, Тарский) алгебраическая разрешимость этой задачи, и в случае невырожденности младшей формы в разложении полинома по возрастающим степеням переменных, известны конструктивные алгоритмы ее решения. Вместе с тем случай вырожденности младшей формы до последнего времени не был исследован. К теореме Гильберта о корнях полиномов примыкает также и решенная в диссертации для ряда случаев  задача о нахождении точных граней множества значений полиномиальной функции.

Целью работы является нахождение преобразований, упрощающих аналитическое интегрирование систем ОДУ и качественное исследование свойств решений этих систем с помощью  метода функций Ляпунова

Методы исследования. В работе используются методы нелинейной нормализации систем ОДУ, методы матричного анализа (в том числе, в применении к задаче одновременной диагонализации вещественных симметричных матриц), а так же методы исследования нелинейных алгебраических уравнений нескольких переменных и систем таких уравнений (в частности – теория исключения).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Условия одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц в регулярном и сингулярном случаях.

2. Условия знакоопределённости пучков двух  и трех квадратичных форм нескольких переменных.

3. Алгоритм получения необходимого и достаточного критерия знакоопределенности полинома произвольного порядка от нескольких переменных . Условия существования точных граней множества значений полинома двух переменных и алгоритм нахождения этих граней.

4. Методика исследования задач устойчивости стационарных решений консервативных систем в критических по Ляпунову случаях с использованием полиномиальных функций Ляпунова, а также определения областей устойчивости в пространстве входящих в эти системы параметров.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и опубликованы в открытой печати. Вычислительные алгоритмы составлены и программно реализованы лично автором.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в диссертации методы позволяют упростить качественный анализ механических и управляемых систем, а также усовершенствовать методы их интегрирования и оценки свойств решений.

Достоверность и эффективность предложенных методов и алгоритмов позволяет использовать их в механике, космодинамике, теории управления, теории оптимизации, физической химии и биологии.

Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что на этапе построения математической модели объекта, они позволяют:

1. сократить время построения математической модели,

2. повысить качество выполняемых расчетов,

3. проанализировать динамику свойств (и адекватности) модели в зависимости от изменения параметров системы;

и, помимо этого, в том, что разработанные в ней методы и алгоритмы ориентированы на современные вычислительные средства. Реализованные в виде программного комплекса в среде аналитических вычислений Mathematica, они могут быть применены к многим прикладным задачам.

Результаты исследований прошли апробацию на следующих  конференциях:

  • “Математика, информатика и управление” (МИУ) (г. Иркутск, 2000),
  • 12-ая Международная конференция “Методы оптимизации и их приложения” (г. Иркутск, 2001),
  • 8-ой Съезд по теоретической и прикладной механике (г. Пермь, 2001),
  • 8-ая Четаевская Международная конференция “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением” (г. Казань, 2002),
  • Конференция IFAC “Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems” (г. Иркутск, 2003),
  • 9-ая Четаевская Международная конференция “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением” (г. Иркутск, 2007),
  • 3-я Всероссийская конференция с Международным участием “Математика, ее приложения и математическое образование” (г. Улан-Удэ, 2008),
  • 4-ый Международный симпозиум “Обобщенные решения в задачах управления” (г. Улан-Удэ, 2008),

а также на семинарах лаборатории Математических методов анализа свойств динамических систем Института динамики систем и теории управления СО РАН, и факультета прикладной математики – процессов управления С.-Петербургского государственного университета.

Публикации. По результатам диссертационных исследований  опубликовано 22 статьи, cписок которых приведен в конце реферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 194 наименований. Объем работы составляет 319 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, примыкающих к теме диссертации, подчеркнута значимость методов механики и вычислительных методов и средств в системном анализе. Выделена роль способов нормализации, одновременной диагонализации двух и трех вещественных симметричных матриц, знакоопределенности форм и пучков квадратичных форм в современных методах качественных исследований и задачах о существовании первых интегралов.

Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе приведены необходимые сведения о линейных автономных механических системах с степенями свободы, описываемые квадратичной функцией Лагранжа

,                        (1.1)

где – матрица кинетической энергии, – матрица силовой функции; – матрица неконсервативных сил, – вектор позиционных координат, – вектор скоростей координат. В формализме Гамильтона соответствующая система ОДУ записывается в виде:

,                                                (1.2)

где

, ,

символ –  знак транспонирования.

Характеристическое уравнение системы ОДУ, описываемой функцией (1.1), имеет вид

.                         (1.3)

В параграфе 2 установлено соответствие количества линейных первых интегралов системы (1.2) с числом нулевых корней характеристического уравнения.

Лемма 1.1. Характеристическое уравнение (1.3) линейной системы (1.2) при существовании циклических координат имеет не менее нулевых корней.

Лемма 1.2. Характеристическое уравнение (1.3) линейной системы (1.2), допускающей линейно независимых линейных однородных первых интегралов с постоянными коэффициентами

имеет не менее нулевых корней.

Лемма 1.3. Характеристическое уравнение (1.3) линейной системы (1.2), допускающей линейно независимых линейных неоднородных первых интегралов с постоянными коэффициентами

имеет не менее нулевых корней.

Доказана

Теорема 1.1. Общее количество линейных по импульсам p (циклических, однородных, неоднородных) с постоянными коэффициентами интегралов системы (1.2) равно дефекту матрицы .

В третьем параграфе рассмотрена нелинейная система с    степенями свободы:

.                                 (1.4)

и для нее установлен следующий результат

Теорема 1.2. При приведении линейной части нелинейной гамильтоновой системы (1.4) к нормальной форме линейным симплектическим преобразованием все линейные по импульсам с постоянными коэффициентами интегралы, как однородные, так и неоднородные, обращаются в циклические.

Вторая глава посвящена вопросам одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц.

В первом параграфе содержатся сведения об одновременном приведении к диагональным двух симметричных матриц и линейным вещественным конгруэнтным преобразованием. К известным условиям одновременной диагонализации двух вещественных симметричных матриц и относятся:

  1. существование знакоопределенной квадратичной формы ,
  2. коммутируемости матриц и .

В работе найден новый случай одновременной приводимости к диагональным двух матриц, основой для которого является

  1. Теорема 2.1(5
  2. ) . Если связка двух вещественных квадратичных (не обязательно знакоопределенных) форм и может быть знакоопределенной при некоторых вещественных значениях , то матрицы и одновременно приводятся к диагональным линейным вещественным неособым конгруэнтным преобразованием.

В первом и третьем случаях всегда существуют диагонализирующие конгруэнтные преобразования, во втором случае – ортогональное. В первом случае может вырождаться матрица , в остальных – обе матрицы.

Показано, что приведение к диагональным в первом и третьем случаях осуществляются главной матрицей преобразования. Кроме перечисленных случаев имеет место общеизвестное утверждение

Теорема 2.2. Для одновременной приводимости к диагональным двух вещественных симметричных матриц и (при ) одним и тем же вещественным линейным невырожденным конгруэнтным преобразованием, необходимо и достаточно выполнения условий:

1. уравнение имеет только вещественные корни;

2. матрица имеет  только простые элементарные делители.

Часто в качественных исследованиях и интегрировании по Лиувиллю систем ОДУ возникает необходимость диагонализации трех вещественных матриц. Одновременное предварительное приведение нескольких матриц к каноническому виду значительно упрощает анализ известной задачи Лагранжа об условном экстремуме ( ) при ограничениях: , являющихся квадратичными формами.

Известны условия одновременной диагонализации трех эрмитовых матриц(6). В развитие результата К. Митры, в диссертации получен следующий критерий одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц ,,:

Теорема 2.3. Для одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметричных матриц , и одним и тем же вещественным

линейным неособым конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно выполне-ния условий:

1. уравнение имеет только вещественные корни и матрица имеет все только простые элементарные делители;

2.  уравнение допускает только вещественные корни, и матрица имеет все только простые элементарные делители;

3. .

Матрицы и могут быть особыми. Если вырождены все три матрицы, то для сингулярного пучка матриц находится пространство , для которого определяется дефектом расширенной матрицы . В подпространстве размерности задача диагонализации сводится к случаю регулярного пучка матриц. Так, для выбора в качестве матрицы единичной матрицы, в диссертации получен следующий критерий:

Теорема 2.4. Для одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметричных матриц , ,   одним и тем же вещественным линейным невырожденным конгруэнтным преобразованием, необходимо и достаточно выполнения условий: .

Приведен пример, в котором рассматривается линейная механическая системы, описываемая функцией Лагранжа (1.1). Ставится задача о декомпозиции системы на подсистемы меньшей размерности (в предположении, что матрица кососимметрична, т.е. ). Линейным неособым вещественным конгруэнтным преобразованием матрицы , , приводятся к ,,. Тогда с помощью теоремы 2.4 при и условии

                                                (2.1)

имеет место декомпозиция системы на двумерные подсистемы с матрицами:

, ,   .

Для каждой подсистемы указаны необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения в виде

       ().                               (2.2)

Совокупность необходимых и достаточных условий устойчивости всех таких подсистем  ()  дает такие же условия устойчивости нулевого решения системы.

Показано, что условие для декомпозиции системы на двумерные подсистемы является следствием условия (2.1).

Во втором параграфе рассматриваются случаи невозможности одновременной диагонализации матриц и , и вводится понятие взаимно упрощенных матриц и , вид которых существенно зависит от характера нарушения условий теоремы 2.2:

1) при наличии комплексных корней характеристического уравнения ,

2) при наличии вещественных кратных корней с непростыми элементарными делителями матрицы .

Взаимно упрощенные для вещественных матриц и относятся к трем видам.

К первому виду относятся матрицы при комплексных корнях , ,  уравнения :

.                                       (2.3)

В случае кратного вещественного корня уравнения с непростыми элементарными делителями матрицы можно выделить другие два вида взаимно упрощенных матриц:

1.                        (2.4)

где ; (),

2.                                        (2.5)

                       где 

Составлен алгоритм приведения матриц и к, cоответственно взаимно упрощенным, матрицам и линейным неособым вещественным конгруэнтным преобразованием.

В третьей главе обсуждается знакоопределенность пучков квадратичных форм.  В первом параграфе доказаны  следующие результаты

Теорема 3.1. Достаточными условиями невозможности построения знакоопределенной связки двух вещественных квадратичных форм является одновременная неприводимость матриц и к диагональным.

Теорема 3.2. Необходимые и достаточные условия одновременной диагонализируемости двух вещественных симметричных матриц являются необходимыми условиями знакоопределенности построенной на этих матрицах связки квадратичных форм.

Для приведенных к полным квадратам двух квадратичных форм , , где (), записывается характеристическое уравнение . Корни уравнения могут быть разделены на две группы: к первой (обозначаемой ) относятся все корни , для которых (в количестве , так что , ); ко второй (обозначаемой ) относятся все корни для которых (в количестве , ), и введены обозначения: , при и . Из анализа достаточных условий знакоопределенности пучка форм, в частности, следует критерий, фактически доказанный П.А. Кузьминым (хотя и явно им не сформулированный):

Теорема 3.3.(5)  Для знакоопределенности связки квадратичных форм двух вещественных знакопеременных квадратичных диагональных форм и достаточно выполнения одного из условий:

1. (для положительно определённой при );

2. (для отрицательно определённой при ).

Справедливо

Замечание 3.1. При знакоопределенной форме связка квадратичных форм знакоопределена в случае выбора значений .

Для форм двух переменных имеет место доказанный в диссертации результат

Теорема 3.4. Связка двух бинарных квадратичных форм диагональных матриц и знакоопределена тогда и только тогда, когда: .

Во втором параграфе исследуется знакоопределенность пучка трех квадратичных форм . Показано, что знакоопределенность связки форм может иметь место и в случае, когда матрицы , , не приводятся одновременно к диагональным. Именно, доказана

Теорема 3.5. Для невозможности составления знакоопределенной связки из трех квадратичных форм достаточно одновременного  выполнения трех условий:

1. матрицы и одновременно не приводятся к диагональным,

2. матрицы и одновременно не приводятся к диагональным,

3. .

Для связок трех тернарных квадратичных форм получен следующий результат

Теорема 3.6. Для диагональных матриц , , из соответствующих им квадратичных форм трех переменных всегда можно составить знакоопределенную связку если выполнено одно из условий:

1) ;

2) и решения , , системы имеют значения  разных  знаков.

Составлен алгоритм исследования знакоопределенности пучков двух и трех квадратичных форм.

В четвертой главе приведены необходимые и достаточные условия знакоопределенности полиномов нескольких переменных

,                               (4.1)

где , целые , , ; – положительно определенная форма низшего порядка; многоточием обозначены одночлены порядков выше . Знакоопределенность (4.1) эквивалентна отсутствию вещественных решений уравнения в окрестности начала координат.  Указанные решения можно искать в параметрическом виде:

               (4.2)

где  – компоненты мультииндекса  – целочисленные неотрицательные показатели; – многомерный параметр; кроме того, полагается    только для четных    при    и    в остальных случаях; а натуральные значения и подбираются в процессе построения разложения (4.2).

В результате подстановки (4.2) в    получается ряд

,                               (4.3)

где – полином наименьшего порядка относительно многомерного параметра , коэффициенты которого зависят от коэффициентов полинома и параметризации (4.2).  В диссертации доказана

Теорема 4.1. Представим отношение в виде несократимой дроби . Тогда в случае:

1) если        а) число q - нечетное, или        б) число q - четное  и полином – знакопеременный при некоторых вещественных , то функция – знакопеременна;

2)если        число q - четное  и полином положительно определен при  всех , то функция положительно определена;

3) если число q - четное  и полином при всех , то для исследования знакоопределённости функции необходимо привлечение членов порядка выше в разложении (4.2).

Следующий  доказанный в работе результат позволяет определить младшие степени в разложениях (4.2).

Теорема 4.2. В случае  при анализе знакоопределенности функции в разложении (4.2) можно полагать , ().

В пятой главе проводится исследование задачи существования и определения точных граней полинома двух переменных, представленного суммой форм

.                                 (5.1)

В первом параграфе получены условия, при которых существуют точные грани множества значений полинома – в виде конечных величин. В дальнейшем, для краткости, о них говорится как о точных гранях полинома. Показана возможность существования нескольких локальных точных граней в некоторых областях  (). Отыскание точных граней сводится к анализу системы:

.                                       (5.2)

В диссертации доказаны теоремы

Теорема 5.1. В случае знакопеременности старшей формы , полином,  заданный формулой (5.1),  в бесконечно удаленных точках не достигает своих точных граней.

Теорема 5.2. В случае знакоопределенности старшей формы, полином,  заданный формулой (5.1), в бесконечно удаленных точках не допускает  точных граней.

В последнем случае значение границы области допустимых значений полинома совпадает со значением этого полинома в одной из стационарных точек.

Во втором параграфе находятся условия, которые требуется наложить на степени мономов и коэффициенты полинома для того, чтобы у него  существовали локальные точные грани. Показано, что локальные точные грани могут существовать в бесконечно удаленных точках одного из видов: 1) ; 2)  ; 3)  , где , – вещественные конечные величины.

Точная грань полинома , как и для локальных экстремумов, находится из решения системы (5.2). Только для локальных точных граней решение ищется в виде одного из формальных рядов:

,                                                (5.3)

где , , целочисленная величина является наибольшей степенью выражения , , а находится из многоугольника Ньютона полинома ,

,                                                (5.3′)

а величины определяются аналогично с помощью представления

, .

В третьем параграфе установлен критерий существования точных граней полинома . Доказана

Теорема 5.3.  Для существования в бесконечно удаленной точке локальной точной грани полинома необходимо и достаточно выполнения для системы (5.2) условия: ряд (5.3) обрывается членом , при этом , ,  = .

Значения функции , соответствующие локальной точной грани, вычисляются предельным переходом при .

В четвертом параграфе установлен следующий алгебраический критерий существования точных граней в терминах результантов полиномов , относительно каждой из переменных.

Теорема 5.4. 1) Если  для  результанта  выполняется неравенство 

,         (5.4)

то точная грань полинома  в бесконечно удаленной точке существует, и для её вычисления выбирается формальный ряд (5.3).

2) Если  для результанта  выполняется неравенство

,         (5.4′)

то точная грань полинома  в бесконечно удаленной точке существует, и для её вычисления выбирается формальный ряд (5.3′).

3)        Если не выполняются неравенства (5.4) и (5.4′), то точной грани полинома в бесконечно удаленной точке не существует.

В шестой главе разработанные в предшествующих главах алгоритмы применяются для решения  ряда прикладных задач. В приведенных задачах проводится исследование устойчивости стационарных решений систем ОДУ, которые являются автономными, нелинейными и относятся к критическим по Ляпунову случаям. При использовании второго метода Ляпунова производные от полиномиальных функций Ляпунова, вычисленные в силу таких систем, являются, как правило, полиномами выше второй степени. Выбор функций Ляпунова для упомянутых систем существенно усложняется исследованием знакоопределенности производных от этих функций.

Решение рассмотренных задач производилось развитием формализма второго метода Ляпунова в следующих направлениях:

1) поиск функций Ляпунова в виде связок из первых интегралов по методу Четаева,

2) в виде квадратичных функций с неопределенными коэффициентами.

Разработанные в предыдущих главах аналитические критерии знакоопределенности пучков квадратичных форм, а также знакоопределенности полиномов выше второго порядка позволяют выводить достаточные условия устойчивости, наиболее близкие к необходимым.

Помимо этого, в ряде рассмотренных задач были проиллюстрированы методы поиска замен переменных, существенно упрощающих вид и анализ исследуемых математических моделей. Следует заметить, что преобразования строились в аналитическом (символьном) виде с помощью составленного соискателем пакета программ. Последнее обстоятельство было вызвано тем, что несмотря на наличие современных пакетов аналитических вычислений, особенности решаемых задач потребовали создания специализированного программного комплекса, поскольку алгоритмы второго метода Ляпунова и анализа знакоопределенности оказались весьма ресурсоемкими.

Часть исследуемых задач составлена из ранее известных механических систем дополнением нелинейных управлений с целью выявить влияние введенных параметров в условия устойчивости, и для гамильтоновых систем проследить возможность сохранения гамильтоновой структуры. Другая часть задач, опираясь на знакоопределенность форм и полиномов выше второго порядка, дает возможность сопоставить достаточные условия устойчивости, получаемые вторым методом Ляпунова, с необходимыми. Ряд известных задач механических и управляемых систем, таких как твердое тело с неподвижной точкой в центральном поле сил, спутник с гироскопом на круговой орбите, приведен в периодических изданиях. В свое время они не были доведены до окончательного решения. В диссертации удалось получить существенные продвижения в их решении.

В первой задаче рассмотрена механическая консервативная управляемая система с двумя степенями свободы, описываемая функцией Гамильтона:

       (6.1)

где обозначено (величина  имеет здесь конкретное значение для исследования резонанса четвертого порядка), и – вещественные коэффициенты управляющих воздействий.

Целью является определение с помощью КАМ-теории области допустимых значений параметров и , при которых тривиальное решение системы, определяемой гамильтонианом (6.1), будет устойчиво.

В исследуемой системе при заданном значении имеется резонанс четвертого порядка , квадратичная часть гамильтониана является знакопеременной. Для решения этой задачи выполнена линейная нормализация, затем нелинейная нормализация методом  Пуанкаре. Ввиду несостоятельности анализа сходимости рядов нормализующего преобразования(3) устойчивость нормализованной системы принято считать “формальной”(2,4). Методом  КАМ теории с учетом внутреннего резонанса до четвертого порядка(4) получена область изменения параметров и (вещественные величины вычислены приближенно и приведены с точностью ):

,

в которой тривиальное решение формально устойчиво.

Во второй задаче рассмотрена нелинейная механическая консервативная система с двумя степенями свободы, описываемая функцией Гамильтона:

        (6.2)

Требуется подобрать значения коэффициентов , , , обеспечивающие устойчивость тривиального решения гамильтоновой системы.

В исследуемой системе имеется резонанс , управления заданы нелинейно, и квадратичная часть гамильтониана является знакопеременной формой. Для решения поставленной задачи применяется метод Биркгофа нормализации гамильтоновых систем до членов четвертого порядка включительно, в результате которой записан квадратичный первый интеграл и нормализованный до членов четвертого порядка (включительно) гамильтониан. Дальнейшее исследование формальной устойчивости тривиального решения проводится прямым методом Ляпунова с использованием двух первых интегралов нормализованной системы. Критерий знакоопределенности полиномов, приведенный в четвертой главе, позволяет получить  следующие достаточные условия формальной устойчивости тривиального решения.

Эти неравенства задают “область устойчивости” в пространстве управляющих параметров.

В третьей задаче рассмотрена нелинейная система с тремя нулевыми простыми корнями характеристического уравнения

                               (6.3)

где – вещественный параметр управления.

Ставится задача определения с помощью квадратичных функций Ляпунова наибольшей области устойчивости для параметра , т.е. тех значений параметра, для которых тривиальное решение системы (6.3) асимптотически устойчиво.

Искомой функцией Ляпунова выбрана отрицательно определенная квадратичная форма . Неопределенные вещественные положительные коэффициенты и находятся из условия “наилучшего” выбора функции , для которой устанавливаются необходимые и достаточные условия положительной определенности производной в силу системы (6.3). Исследование знакоопределенности этой производной с помощью теоремы 4.1 сводится к анализу положительной определенности формы четвертого порядка двух переменных. В свою очередь, использование необходимых и достаточных условий знакоопределенности таких форм, приведенных в приложении, позволило свести задачу определения  к задаче поиска экстремума

.

В качестве решения этой задачи получена допустимая область значений параметра , в которой тривиальное решение системы (6.3) асимптотически устойчиво. Необходимые условия устойчивости исследовались с помощью теоремы Каменкова о неустойчивости. Получена область значений параметра (вещественные величины значений параметра    областей асимптотической устойчивости и неустойчивости вычислены приближенно и приведены с точностью ), в которой тривиальное решение системы (6.3) неустойчиво.

По аналогии с предыдущей задачей, в четвертой задаче рассмотрена система ОДУ

,                                       (6.4)

для которой оценивается область устойчивости для параметра .

Для исследования устойчивости использована квадратичная функция , в которой  коэффициент подбирается так, чтобы область значений параметра была наибольшей. Положительная определенность для производной в силу уравнений движения (6.4) проверяется с помощью теоремы о знакоопределенности формы четвертого порядка двух переменных из приложения. В результате проведенного анализа для асимптотической устойчивости тривиального решения (6.4) найдены допустимые значения параметра при величине (здесь значения и границы интервала вычислены точно). С помощью теоремы Каменкова о неустойчивости указана область неустойчивости нулевого решения системы (6.4) при значениях параметра . Следовательно, значения параметра дают достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейной системы (6.4) и одновременно являются необходимыми условиями асимптотической устойчивости нулевого решения этой же системы.

В пятой задаче исследуется устойчивость перманентного вращения в задаче Бруна-Тиссерана(7) – движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Уравнения движения здесь имеют вид:

где , , – главные моменты инерции твердого тела (); , , – переменные Пуассона; проекции угловой скорости на оси, связанные с телом; – некоторая положительная постоянная, характеризующая поле тяготения. В качестве стационарного движения рассматривается семейство перманентных вращений

.                       (6.5)

Необходимые условия устойчивости перманентных вращений вокруг наименьшей главной оси (6.5) получаются по известной теореме Пуанкаре для консервативных систем из требования существования чисто мнимых корней характеристического уравнения линейной части дифференциальных уравнений возмущенного движения, и сводятся к неравенству:

.                               (6.6)

Достаточные условия устойчивости (6.5) получены В.В. Белецким(7) в виде строгого неравенства с помощью

второго метода Ляпунова; при этом функция Ляпунова выбирается в виде знакоопределенной связки из четырех первых интегралов задачи:

в возмущенном движении. В диссертации исследуется граница полученной области устойчивости: .

С использованием критерия знакоопределенности полиномов из четвертой главы, установлена устойчивость перманентного вращения на границе (6.5). Именно, справедлива доказанная в диссертации

Теорема 6.1. Достаточные условия устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг наименьшей главной оси инерции в задаче Бруна - Тиссерана совпадают с необходимыми: .

В шестой задаче проведено исследование границ асимптотической устойчивости перманентного вращения спутника с гироскопом на круговой орбите с постоянной угловой скоростью . Уравнения движения спутника имеют вид(8):

.                 (6.7)

Система уравнений (6.7) имеет стационарное решение:

.                (6.8)

Управление движением гироскопа задано уравнениями:

,

где () – некоторые постоянные положительные величины.

Достаточные условия устойчивости решения (6.8) получены(8) с использованием теоремы Барбашина-Красовского в виде:

.         (6.9)

При исследовании границ устойчивости использован критерий знакоопределенности неоднородных полиномов нескольких переменных и теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости.

Анализ границы в случае нарушения первого условия (6.9)

с помощью указанного подхода позволяет получить следующие достаточные условия асимптотической устойчивости:

Аналогичный анализ границы в случае нарушения второго условия (6.9)

приводит к следующим достаточным условиям асимптотической устойчивости:

Анализ границы в случае нарушения первого и второго условий (6.9) помощью упомянутого подхода позволяет получить достаточные условия асимптотической устойчивости одним из двух возможных видов:

1)        ,

2)        .

В приложение вынесены известные положения, формулировки, методы, которые были использованы в диссертации для анализа прикладных задач.

Каждая из глав сопровождается кратким вступлением, обзором литературы и поясняющими примерами.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Условия одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц в регулярном и сингулярном случаях.

2. Для линейных гироскопических систем получены условия декомпозиции линейной заменой переменных  на подсистемы меньших размерностей, каждая из которых зависит от одной переменной.

3. Установлено, что при приведении линейной части системы ОДУ к нормальной форме линейным неособым преобразованием все линейные с постоянными коэффициентами интегралы нелинейной гамильтоновой  системы преобразуются в циклические.

4. Необходимые и достаточные условия знакоопределённости пучка двух квадратичных форм. Достаточные условия отсутствия знакоопределенности пучка трёх квадратичных форм.

6. Алгоритм получения необходимых и достаточных условий знакоопределенности полиномов произвольного порядка (алгебраических относительно коэффициентов полинома).

7. Условия существования и алгоритм нахождения точных граней полиномов двух переменных.

8. Решение с помощью разработанных алгоритмов ряда задач космодинамики, стабилизируемости управляемых систем, устойчивости консервативных систем, и оценки областей устойчивости в пространстве параметров, входящих в систему..

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

  1. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм // Вестник Иркутского Государственного Технического Университета. – Иркутск, 2005. № 4 (24). С.  160–166.
  2. Новиков М.А. О наибольших и наименьших значениях полиномов // Вестник Иркутского Государственного Технического Университета. – Иркутск, 2006. № 4 (28). С.  84–91.
  3. Новиков М.А. О точных гранях полиномов // Сибирский Журнал Вычислительной Математики. – Новосибирск, 2007. Т. 10, № 2. С.  195–208.
  4. Новиков М.А. Знакоопределенность и теорема Финслера // “Современные технологии. Системный анализ. Моделирование”. – Иркутск, 2008. Спецвыпуск. С.  126–132.
  5. Новиков М.А. Определители в вычислениях точных граней полиномов // “Современные технологии. Системный анализ. Моделирование”. – Иркутск, 2009. № 1 (21). С.  135–140.
  6. Новиков М.А. Об исследовании границ устойчивости стационарных движений спутника с гироскопом на круговой орбите // Автоматика и телемеханика. – М., 2009. № 4, С.  163–171.
  7. Новиков М.А. О приложении форм выше второго порядка в задачах устойчивости движения // “Современные технологии. Системный анализ. Моделирование”. – Иркутск, 2009. № 2 (22). С.  114–119.
  8. Новиков М.А. О границах устойчивости стационарного движения спутника с гироскопом. – М.: Прикладная математика и механика, 2010. Т. 74, Вып. 2. С.  230– 238.
  9. Новиков М.А. О приведении матриц квадратичных форм к взаимно упрощенным // “Современные технологии. Системный анализ. Моделирование”. – Иркутск, 2010. № 2 (26). С.  181–187.
  10. Новиков М.А. О связи диагонализации и знакоопределенности пучка двух квадратичных форм // “Современные технологии. Системный анализ. Моделирование”. – Иркутск, 2010. № 3 (27). С.  233–241.
  11. Новиков М.А. О диагонализации и знакоопределенности пучка трех квадратичных форм // “Современные технологии. Системный анализ. Моделирование”. – Иркутск, 2010. № 4 (28). С.  100–107.
  1. Новиков М.А.  О диагонализации матриц трех квадратичных форм. – Иркутск: Оптимизация, управление, интеллект.,2000, № 5, Часть 1, С.  150–156
  2. Новиков М.А.  О знакоопределенности форм двух переменных. //В кн. Функции Ляпунова и их применения. – Новосибирск: Наука, 1987, С.  169–179
  3. Новиков М.А.  О знакоопределенности аналитических функций. //В кн. Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. – Новосибирск: Наука, 1988, С.  256–261.
  4. Новиков М.А.  Об устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг неподвижной точки в задаче Бруна. – М.: Прикладная математика и механика, 1994 Т. 58. Вып. 5. С.  261–265.
  5. Новиков М.А. О стабилизации механических Гамильтоновых систем нелинейным управлением. – Иркутск: Труды XII Байкальской Международной конференции, т. 6, вып. 6, 2001, С.  198–202.
  6. Новиков М.А.  Исследование устойчивости консервативных систем с применением аналитических вычислений. – Улан–Удэ: Труды Международной конференции “ Математика, её приложения и математическое образование”, ч. 2, 2002. С.  15–22.
  7. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных. //Материалы XIV- Байкальской школы-семинара “Методы оптимизации и их приложения” (ИСЭМ СО РАН, ISBN 978-5-93908-052-1) 2008, С.  134–141.
  8. Novickov M.A. An Investigation into Stability of Conservative Mechanical Systems Using Analytic Calculations. – In: Computer Algebra in Scientific Computing. CASC ’99, V.G. Ganzha, E.V. Mayr and Vorozhtsov (Eds), Berlin: Springer– Verlag, 1999, P.  317–322.
  9. Novickov M.A. Symbolic Computations in Problems of Stabilization. – In: Algebra in Fundamental and Applied Researches and Education. 99, Minsk.: BSU, 1999, P.  66–69.
  10. Novickov M.A. Parametric Analysis for a Nonlinear System. – In: Computer Algebra in Scientific Computing. CASC ’00, V.G. Ganzha, E.V. Mayr and Vorozhtsov (Eds), Munich: Springer, 2000, P.  315–321.
  11. Новиков М.А. О приведении матриц к нормальной форме Жордана. – М.: Депон. ВИНИТИ, N 277-В98, 1998. С.  3–21.

1 Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.: Наука, 1981, 487 с.

2  Итоги науки и техники, серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы – 3.
Т. 3. – М.: ВИНИТИ, 1985, сс. 9-303 (авторы: Арнольд В.И., Козлов В.В.,Нейштадт А.И Математические аспекты классической и небесной механики)

3  Брюно А Д . Аналитическая форма дифференциальных уравнений. – М.:Труды Московского математического общества,  1971, сс. 119-262

4  Итоги науки и техники, серия: Общая механика, том 4. – М.: ВИНИТИ, 1979, сс. 58-139 (авторы: Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях)

5  Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. – М.: Наука, 1973, 206 с.

6  Mitra K. Simultaneous Diagonalization of  Rectangular Matrices. // Linear Algebra and  its Applications, 1982, pp. 139-150

7        В.В. Белецкий. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновом поле сил. – М.: ПММ.1957, т. 21, вып. 6, сс. 749-758

8  Сазонов В.В. Гравитационная ориентация искусственных спутников с гиродинами. - М.: Космические Исследования, 1988, т. 26, вып. 2, сс. 315-317




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.