WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 

На правах рукописи

Минаева Надежда Витальевна

Математическое моделирование

квазистационарных состояний

упругопластических тел

05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Самара – 2010

Работа выполнена на кафедре высшей математики

ГОУ ВПО Воронежской государственной технологической академии

Научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор

Чернышов Александр Данилович

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор

Ковалев Владимир Александрович,

Московский городской университет управления правительства Москвы

Доктор физико-математических наук, профессор

Сапронов Юрий Иванович,

Воронежский государственный университет

Доктор физико-математических наук, профессор

Блатов Игорь Анатольевич,

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Ведущая организация: ГОУ ВПО Московский государственный горный университет

Защита состоится «31» марта 2010 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ГОУ ВПО Самарский государственный университет по адресу: 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1, ауд. 505 м.

Автореферат разослан «___»__________ 2010г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.218.08,

к.ф.-м.н., проф.  Зайцев В.В.

Актуальность темы. При теоретическом рассмотрении различных процессов задаются параметры и функции, определяющие свойства изучаемого объекта, а также характер внешних и внутренних воздействий. Если исследование проводится на основе некоторой математической модели, то предполагается, что полученное решение приближенно описывает поведение реального объекта, т.е. предполагается непрерывная зависимость решения от исходных данных. Под исходными данными будем понимать характеристики самого объекта и внешнего воздействия на него.

Фундаментальные основы для исследования данной проблемы содержатся в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов, приведенные в классической литературе, в которых исходными данными являются параметры. К работам по этому направлению можно отнести труды на основе статических критериев (В.В. Болотин, А.С. Вольмир, А. Н. Гузь, Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский и др.), в которых анализируется поведение функции, характеризующей равновесное состояние системы. Исследованиям непрерывной зависимости решения от исходных данных на бесконечном интервале посвящены известные труды А. М. Ляпунова, И. Г. Малкина, О. Перрона, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева и др., в которых изучаются дифференциальные уравнения, и анализируется устойчивость решения дифференциального уравнения по Ляпунову. В работах по теории катастроф (Р. Гилмор, М.Голубицкий и др.) непрерывная зависимость от исходных данных рассматривается для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств  потенциальной функции. К трудам по этому направлению можно отнести и исследования по математической теории управления (Л.С. Понтрягин, Ж.-Л. Лионс, В.А. Ильин, Е.И. Моисеев и др.), в которых используются методы математической теории устойчивости, теории катастроф. Из анализа работ следует, что вопрос о непрерывной зависимости решения, описывающего поведение механической системы при стационарных состояниях, от исходных данных, являющихся непрерывными функциями, рассматривался лишь в некоторых частных случаях.

В связи с этим дальнейшее развитие методов исследования непрерывной зависимости решений математических задач, описывающих квазистационарное состояние систем с распределенными параметрами, от исходных данных является актуальной проблемой.

В случаях, когда необходимо получить более точные решения, как правило, учитывают различного рода «несовершенства» изучаемого объекта. Найти точное решение такой задачи достаточно сложно, поэтому используются приближенные методы. Одним из них является метод возмущений, который нашел широкое применение в различных научных областях: прикладной математике, механике, гидродинамике, колебаниях, электрофизике, экономике и т.д. Для метода возмущений важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи (А. Найфе, М. Ван-Дайк, А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев и др.). При решении задач методом возмущений вопрос об оценке погрешности метода рассматривался или в некоторых частных случаях (А. Пуанкаре, М. В. Келдыш, Ф. И. Франкль, И. Г. Малкин и др.), или путем сравнения с известными точными решениями (Л. А. Галин, Г. П. Черепанов и др.), поэтому дальнейшее изучение этой проблемы является актуальным. Помимо этого слабо разработано применение разложения по нескольким независимым параметрам.

Цель работы. Разработка условий для исследования математических моделей, учитывающих отклонения характеристик от осредненных значений, квазистационарных состояний упругопластических тел при потенциальных нагрузках.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

  • разработать новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел с учетом отклонений характеристик тела от осредненных значений;
  • получить условия непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенного дифференциального уравнения, дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, а также вариационной задачи для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;
  • построить математическую модель линеаризованных граничных условий в напряжениях, заданных на подвижной границе;
  • получить критерии аналитичности по независимым малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных;
  • применить полученные условия для исследования математических  моделей напряженно-деформируемого состояния некоторых упругопластических тел при комбинированном внешнем воздействии.
  • разработать численные схемы решения задачи, описывающей состояние тела при плоском напряженно-деформируемом состоянии.

Методы исследования. В данной работе для решения поставленных задач были использованы основные методы математического моделирования, функционального и математического анализов, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории упругости, пластичности и метод возмущений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

  • построены математические модели квазистационарных состояний некоторых упругопластических тел, учитывающие отклонения характеристик тела от осредненных значений;
  • получены новые условия непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных, от исходных данных, являющихся функциями;
  • показано, что если в математическую модель, на основе которой  предполагается проводить исследования непрерывной зависимости, входят граничные условия в напряжениях, то они должны быть заданы на деформированной границе;
  • в пространстве описывающих параметров найдены области, за пределами которых анализируемое решение уже не будет описывать поведение упругопластического тела при комбинированном нагружении. В некоторых случаях они также будут и областями применимости рассматриваемой модели;
  • на основе критериев непрерывной зависимости получены критерии аналитичности по независимым малым параметрам решений обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных, позволяющие находить границу области сходимости метода возмущений в пространстве параметров, характеризующих исходные данные;
  • разработан метод построения аналитической функции, приближенно описывающей границу тела в деформированном состоянии в декартовой и полярной системах координат;
  • создан комплекс программ для нахождения решения, описывающего поведение упругопластической трубы из несжимаемого материала при комбинированном нагружении;
  • с точностью до величин первого порядка малости найдены решения задач, описывающих напряженно-дефор­ми­ро­ван­ное состояние упругих идеально пластических твердых тел, с учетом начальных несовершенств.

Практическое значение. Полученные новые критерии позволяют проводить качественный, а в некоторых случаях и количественный анализ найденного решения, описывающего квазистатическое состояние упругопластических тел при комбинированном нагружении. Достигнутые в работе результаты могут быть использованы  заинтересованными учреждениями, предприятиями и научными коллективами соответствующих отраслей науки и производства в своей практической деятельности. Их можно рекомендовать распространить в НИИ авиационной, автомобильной, строительной отраслей промышленности, при рассмотрении стержневых и пластинчатых конструкций в машиностроении, при  определении прочностных характеристик горных выработок и т.д.

На защиту выносятся:

  • математическая модель для исследования непрерывной зависимости от исходных данных решения задач механики сплошных сред.
  • условия непрерывной зависимости решений, определенных в ограниченной области, обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной;
  • критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений, определенных на ограниченной области, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных;
  • критерий аналитичности по малым параметрам решений дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;
  • метод нахождения приближенного аналитического решения краевых задач с оценкой погрешности;

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах-семинарах и симпозиумах: 53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999; 12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999; Воронежской весенней математической школе, 1999; 7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000; международной конференции «Математика. Образование. Экология. Гендерные проблемы» г. Воронеж, 2000, 2003; математической школе «Понтрягинские чтения–ХII», Воронеж, 2001, 2007; II международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов н/Д, 2002, 2006, 2008; Х международной конференции «Математика. Экономика. Образование».  Пущино, 2003, 2005; международной научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке». С-Пб. 2003; всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 2003; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004, 2008; международной школе-семинаре по современным проблемам МСС. Воронеж, 2004, 2005, 2007, 2009; всероссийской научной конференции «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкции». Самара, 2007, 2008; международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, 2009; региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования в режим развития». Воронеж, 2007, 2008; ежегодных научно-технических конференциях ВГТА. Воронеж, 2001-2009.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 48 работ. Основные результаты отражены в 2 монографиях и 20 статьях, изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-мате­ма­ти­чес­ких наук.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 256 страницах, состоит из введения, шести глав, приложения, 23 рисунка и списка литературы, включающего 198 наименований.

Содержание диссертации. Во введении приведена общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, изложено ее краткое содержание.

В первой главе рассматривается проблема исследования непрерывной зависимости решения задачи, соответствующей некоторым видам математических моделей, от исходных данных. Проведен анализ различных условий, на основе которых возможно изучение этой зависимости. В общем виде они содержатся в важнейшей теореме функционального анализа – теореме о неявных функциях:

пусть – банаховы пространства, Y – окрестность точки и F – отображение Y в Z, обладающее следующими свойствами:

  1. F непрерывно в точке ;
  2. ;
  3. в Y и непрерывно в точке , а оператор имеет ограниченный обратный.

Тогда уравнение разрешимо в некоторой окрестности точки , т.е. и , определенное при и непрерывное в точке , что для : и будет выполняться и обратно каждая пара (), удовлетворяющая уравнению и условиям , , удовлетворяет и .

В данной работе рассматриваются следующие виды математических моделей, которые обычно применяются при исследовании поведения механических систем: дифференциальные уравнения и вариационные задачи. В дальнейшем будем считать, что F: , где Y – область банахова пространства U (U ,Z – банаховы пространства), является нелинейным фредгольмовым отображением нулевого индекса, и наряду с этим выполнены условия:

а) – тройка непрерывно вложенных пространств (Н – гильбертово пространство).

б) U плотно в Н (это означает, что любой элемент из Н может быть представлен как предел последовательности из U). Кроме того, из плотности U в Н следует, что Z тоже плотно в Н.

Будем рассматривать только те банаховы пространства, в которых производная Фреше отображения F является изоморфизмом. Эти пространства с соответствующими нормами обычно используются, например, при решении задач механики сплошных сред, например, пространства Гельдера, гильбертово пространство, , , и др.

Во второй главе рассматривается математическая модель в виде обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной:

(1)

с граничными (начальными) условиями вида:

,  (i= 1, …, n), (2)

где и(х) описывает поведение изучаемого объекта, , f(х) характеризует объект или внешнее воздействие.

Предположим, что при задача (1), (2) допускает решение:

.

Тогда условие непрерывной зависимости решения и(х) от функции f(х) при заключается в выполнения требований:

Теорема 1. Пусть функции Ф и в задаче (1), (2) обладают следующими свойствами:

1) непрерывны при  вместе со своими частными производными и функция при х∈[а,b].

2)  тривиальное решение задачи (3), (4) – единственно

,         (3)

, (4)

Тогда существуют и такие, что

при , , т.е. решение уравнения (1) и= непрерывно зависит от f(х) при .

В частности, для задачи Коши требование 2) принимает вид ограничений на начальные условия: .

В качестве иллюстрационного примера рассмотрены линейные неоднородные уравнения второго порядка с граничными условиями, решение которых описывает ось изогнутого консольного стержня под действием двух сил (рис. 1) в линейной постановке. Подобные стержни используются, например, как элементы опор мостов, покрытий, купольных конструкций:

,  х∈[0,а];

(5)

               и(0)=и′ (1)=0,                         (6)

где , функция описывает форму оси стерж­ня в свободном состоянии.

К граничным усло­ви­ям (12) следует доба­вить условия сопряжения ре­шений урав­не­ний (5) при х=а.

В результате прове­ден­ных исследований получено, что решение непрерывно зависит от функции , описывающей начальное отклонение оси стержня, если значения параметров удовлетворяют найденным условиям:

1) (α1>0; α2>0); (α1>0; α2>0; )

       μ1tgμ1аtgμ2(1–а)=μ2; (7)

2)  (α1>0; α2<0; )

;                (8)

3) (α1<0;  α2>0; )

μ1thμ1аtgμ2(1–а)=μ2;                         (9)

4) (α1<0;  α2>0;  ), (α1<0;  α2<0) 

.  (10)

При α1 и α2 соответствующих кривым (7)-(10) непрерывность зависимости решения от в окрестности выбранных исходных нарушается. Поэтому решение, а в рассматриваемом примере и сама математическая модель (5)-(6), не будет адекватно описывать изгиб стержня (рис. 1) при  α1 и α2 принадлежащих данной кривой и области за ее пределами (область, лежащая за пределами кривой – заштрихована). На рис. 2 представлены частные случаи (7)-(10) в пространстве параметров внешних воздействий α1 и α2, где цифрой 1 обозначен график, соответствующий λ1=λ2=0, а=0,7, его асимптота α1=25π 2/49, и цифрой 2–λ1=π /4, λ2=π /3, а=0,7, его асимптота α1=25π 2/49 ((10) корней не имеет).

Рис. 2

В третьей главе рассматривается математическая модель стационарного состояния механической системы с распределенными параметрами в виде уравнения в частных производных:

, (12)

где – функция, характеризующая рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него, а , (i,j=0,1,2,…,п).

Граничные условия запишем в следующем виде:

;,        (k,i,j=1,…,п),  (13)

где γ∈Г; Г – граница области D.

Предположим, что при задача (12) – (13) допускает решение

.

Критерий непрерывной зависимости решения задачи (12)–(13), согласно теореме о неявных функциях, заключается в выполнении следующих условий:

Теорема 2. Пусть функции Ф и из (12)-(13) обладают следующими свойствами:

  1. непрерывны при (k,i,j=1,…,n) вместе с   и функция при х∈ D;
  2. тривиальное решение задачи (19) – единственно.

, ;

, , (k=1, 2, …,n). (14)

Тогда существуют и такие, что

при , , т.е. решение уравнения (12) и= непрерывно зависит от f(х,у) при .

В основном граничные условия в задачах МСС формулируются относительно  перемещений или (и) в напряжениях. Прежде, чем рассматривать подобные задачи, проведем анализ математической модели, описывающей поведение деформируемого твердого тела, записаной в операторной форме

  (15)

В этом случае оператор соответствует уравнениям равновесия, – реологическим соотношениям, – граничным условиям в напряжениях, заданных на де­формированной границе, – характеристика физических свойств материала тела, f – характеристика границы тела, и – вектор перемещений, – вектор перемещений точек границы тела, – тензор напряжений, F и P – объемные (массовые) и поверхностные внешние силы.

Показано, что при построении математической модели, на основе которой планируется проводить исследования непрерывной зависимости, граничные условия должны ставиться на подвижной границе. В противном случае либо задача исследования непрерывной зависимости решения поставлена противоречиво – предполагается непрерывность зависимости на границе, либо получаем, что граница не деформируется, что противоречит постановке самой задачи.

Согласно требованиям из теорем 1, 2, необходимо рассмотреть линеаризованную вспомогательную задачу. Основной проблемой здесь является построение математической модели линеаризованных краевых условий, поставленных на подвижной границе. Пусть краевые условия заданы в декартовой системе координат:

(21)

где α – угол наклона нормали к оси Ох .

В результате проведенных преобразований получены следующие линеаризованные граничные условия при :

Здесь – вспомогательные функции, которые согласно теореме 2 определяются следующим образом

  (22)

,

где – функция, обратная функции , – решение задачи (15) при .

2. Аналогично проведена линеаризация граничного условия, задан­ного в интегральной форме

(24)

В результате получено условие (24) в следующем виде

где ;;  , граница рассматриваемого те­ла в деформированном состоянии описывается функциями (рис. 5): , а в ненагруженном состоянии  - .

В качестве иллюстрационного при­мера рассмотрена система диф­фе­ре­н­циаль­ных урав­нений первого порядка, которая описывает поведение упругой полосы в случае плоской деформации, которая по кромкам нагружена сжимающим давлением р, а по кромкам упруго подкреплена с коэффициентом жесткости основания k.Полосы такого рода ис­поль­зуются, например, в опор­ных ребрах с ме­тал­личес­ки­ми балками, ребрах жест­кости.

(25)

Граничные условия сформулируем в следующем виде

(26)

По­ка­за­но, что ре­ше­ние, со­от­вет­ст­вую­щее однород­но­му на­пря­жен­­но-деформиро­ван­­ному сос­тоя­нию

(27)

имеет физический смысл, если точка, определяемая параметрами и , не выходит за пределы области, ограниченной графиком функции, заданной в неявном виде

(28)

где .

Близость формы поперечного сечения полосы к прямоугольнику в этом случае сохраняется и в процессе деформирования.

Далее рассмотрено построение математической модели линеаризованных граничных условий для вспомогательной задачи, в случае, когда краевые условия заданы в полярной системе координат на подвижной границе

. (29)

В результате получены следующие соотношения

где - решение задачи (15) при , – вспомогательные функции, определяющиеся аналогично (22).

В качестве примера приведен частный случай математической модели, состоящей из системы линейных дифференциальных урав­нений и граничных условий. Решение этой задачи описывает поведение упругой толстостенной трубы, находящейся под воздействием внутреннего и внешнего давлений. Подобные трубы находят применение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов и т.д. В результате проведенных исследований для случая, когда в ненагруженном состоянии контуры сечения трубы имеют форму близкую к круговому кольцу, на плоскости параметров, соответствующим внешним воздействиям, найдена граница области непрерывной зависимости решения задачи от функции, описывающей форму сечения трубы. В ее пределах напряженно-деформированное состояние трубы будет близко осесимметричному. За пределами этой границы следует исследовать другое решение исходной задачи, соответствующее уже неосесимметричному состоянию.

Далее проанализированы два частных случая математических моделей, на основе которых можно проводить исследования  продольно-поперечного изгиба прямоугольной упругой пластины в линейной и нелинейной постановке соответственно. Пластины входят в состав многих конструкций, например, крыльев, корпусов самолетов, ракет, днищ, палуб, бортовых стенок кораблей, стенок цельнометаллических вагонов, ортотропных плит, используемых для укрепления конструкций и т.д.

1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка

        (32)

с граничными условиями

(33)

Его решение w(х,у) описывает форму изогнутой упругой пластины (по линейной теории жестких пластин), шарнирно закрепленной по всем краям с начальным прогибом, описываемым функцией f(х,у). Пластина находится под действием поперечной нагрузки интенсивности r(х,у), а на краях – продольными распределенными усилиями интенсивности q  и р  (рис. 7), h – толщина пластины; D – цилиндрическая жесткость.

Пусть при задача (31), (32) имеет решение:

.

В результате про­веденного иссле­до­вания получаем следующее ус­ло­вие не­три­виаль­но­сти решения вспомогательной задачи:

               ,               (34)

где . Например, при k = 2 (34) имеем:

.       (35)

На рис. 8 приведены графики, определяющие гра­ни­цу области непре­рывной зависимости решения w от f(х,у) при , со­ответствующие соотношению (35). В силу линейности за­дачи (32), (33) эти линии будут ограни­чи­вать область, за пределами которой используемая мате­ма­тическая модель непригодна.

Показано, что условие (34) определяет границу в пространстве параметров внешних нагрузок α и β, в пределах которой тривиальное решение, описывающее поведение рассматриваемой пластины в нелинейной постановке при r(х,у)=0,  непрерывно зависит от f(х,у) при f(х,у)≡0, т.е. форма пластины остается близкой к плоской. За этой границей при f(х,у)≡0 следует рассматривать другие решения нелинейной задачи.

В четвертой главе рассматривается математическая модель в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида, также часто встречающаяся в приложениях

        (38)

с граничными условиями

,  (i=1,2,…,m; m≤ 2п),  (39)

где (j=0,1,…,п); функция f(х) характеризует рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него.

Пусть при задача (38), (39) допускает решение

.

Используя условия теоремы 1, получен критерий непрерывной  зависимости решения вариационной задачи от исходных данных:

Теорема 3. Пусть функции Ф и в задаче (37), (38) обладают следующими свойствами

  1. непрерывны при вместе со своими частными производными   и функция при х∈[а,b];
  2. вариационная задача

;

,        (i=1,2,…,m);        (40)

имеет только тривиальное решение;

Тогда существуют и функция , являющаяся решением вариационной задачи (37), (38) при , , т.е. решение и= непрерывно зависит от f(х) при .

В качестве иллюстративного примера рассмотрим вариационную задачу для частного случая функционала интегрального вида

               (41)

                       и(0)=и()=0.                                (42)

Решение и(х) описывает продольно-поперечный изгиб упругого стержня (рис. 9) переменного сечения длины , шарнирно закрепленного на концах и нагруженного распределенной поперечной нагрузкой интенсивности f2(х) и продольной силой Р, функция f1(х) характеризует изменения жесткости стержня (EI=const). Такой стержень можно рассматривать, например, как элемент фермы покрытия, моста при комбинированном нагружении.

Рис. 9

В результате получено, что для однородного стержня постоянного сечения (f1(х) =f10(х) ≡ 1), при α >α*, где (), соответствующее решение вариационной задачи (41), (42) не имеет физического смысла. Следовательно, при исследовании вариационным методом состояния стержня, находящегося под действием нагрузок, соответствующим этим значениям параметра α, при построении функционала следует учесть величины более высокого порядка малости.

Далее рассматривается математическая модель механической системы с распределенными параметрами в виде вариационной задачи для функционала, зависящего от функции нескольких переменных. Пусть поведение исследуемого объекта описывается решением вариационной задачи:

,,  (43)

где функция f(х,у) характеризует рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него, с граничными условиями

, (i=1,…,m; m≤ 2п), (44)

где , (k,l=1,…,п; i=1,…,m; m≤ п), γ∈Г, Г – граница области D.

Пусть при задача (43), (44) допускает решение

.

На основе условий теоремы 2, получен критерий непрерывной зависимости решения вариационной задачи (43), (44) от исходных данных:

Теорема 4. Пусть функции Ф и в задаче (43), (44) обладают следующими свойствами

  1. непрерывны при вместе со своими частными производными и функция при (х,у)∈D;
  2. вариационная задача (45) имеет только тривиальное решение.

(45)

(i=1,2,…,m; m≤ 2 п)

Тогда существуют и функция, являющаяся решением вариационной задачи (43), (44) при , , т.е. решение и= непрерывно зависит от f(х,у) при .

В качестве иллюстрационного примера рассмотрим частный случай функционала интегрального вида

,        (46)

;

. (47)

Вариационная задача (46), (47) опи­сы­вает состояние уп­ру­гой прямоугольной пластины (рис. 10) с шар­нирно закреплен­-ными нагруженными кромками и жестко – ненагруженными, на­хо­дящейся под действием поперечной распределенной нагрузки . Функция характеризует цилиндрическую жесткость пластины.

Подобные пластины будут, например, моделью элементов перекрытий покрытий зданий, стенками балок со сплошными стенками в опорах мостов.

Пусть при и задача (46), (47) допускает решение и0(х,у). При проведении исследования непрерывной зависимости и(х,у) от f(х,у) при было получено условие существования нетривиального решения линеаризованной задачи (44) относительно вспомогательной функции ζ(х,у) в виде:

.  (48)

Например, при , т.е. для однородной пластины постоянной толщины, получаем при п=1 из (48), что

где v = .

На рис.11 представлены графики зависимости γ от для разных значений величины m.

Итак, если значения параметров таковы, что точка, соответствующая им, находится в заштрихованной области плоскости на графике рис. 11, то решение вариационной задачи (46), (47) не имеет физического смысла, т.е. при исследовании напряженно-деформи­рован­но­го состояния пластины вариационным методом при построении функционала следует учесть величины более высокого порядка малости.

Если в результате исследования возникла необходимость использовать более сложную математическую модель или необходимо найти решение с заданной точностью. Во всех этих случаях нужно решить достаточно сложные уравнения.

Часто при изучении явлений используется математическая модель в виде дифференциальных уравнений. Одним из методов нахождения решения соответствующих этим моделям задач является метод возмущений. С его помощью исходная задача сводится к последовательному решению более простых задач и можно получить решение, удовлетворяющее практику.

В пятой главе рассматривается применение метода возмущений к нахождению решения обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной

,        х∈[а,b]                (49)

с граничными (начальными) условиями

, (i=1,…,п). (50)

На основе условий из теоремы 1 и требования аналитичности формулировки задачи (49)-(50) по малым параметрам, получен критерий аналитичности решения обыкновенного дифференциального уравнения (49), неразрешенного относительно старшей производной, по малым параметрам в окрестности нуля. Если все условия критерия выполняются, то решение является аналитической функцией, и его можно искать в виде степенного сходящегося ряда по ,   (ряда Тейлора), например, методом малых параметров.

.                        (51)

Поскольку ряд (51) при достаточно малых и сходится, то, следовательно, и метод малых параметров в этом случае, т.е. при выполнении условий критерия непрерывной зависимости решения и аналитичности функции Ф и Fk, также будет сходящимся. В качестве оценки погрешности найденного решения можно брать один из видов оценок ряда Тейлора.

Используя полученные выше результаты, при помощи метода возмущений найдено решение нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами ε1 и ε2

      (52)

и(0)=и′(0)=0.

Функция и(х) описывает изгиб упругого консольного стержня длины , нагруженного на свободном конце продольной силой Р, приложенной с некоторым эксцентриситетом (рис.12).

Рис. 12

где , EI = =const – жесткость стержня, характеризует начальный прогиб.

Задача (52) при ε1=ε2=0 допускает решение:

               .                         (53)

При проведении исследований было получено, что при решение (53) имеет физический смысл и, следовательно, его можно брать в качестве нулевого приближения.  Функции Ф и Fi, соответствующие задаче (52) при u0=0, ε1= ε2=0, дифференцируемы сколько угодно раз. Значит, все условия критерия аналитичности выполняются. Для частного случая начального прогиба () найдено решение поставленной задачи с точностью до величины первого порядка малости, так как остаточный член будет величиной не менее второго порядка малости

u(х)= ε1u10(х) + ε2 u01(х) ,

В шестой главе рассматривается применение метода малых параметров для нахождения решения уравнения в частных производных.

,  (х,у)∈ D,       (54)

где , (i,j =1,2,…,п), а параметры и характеризуют рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него.

Граничные условия запишем в виде:

,         (55)

где ,  (k,i,j=1,2,…,п), Г – граница области D.

Пусть при ==0 задача (54), (55) допускает решение

.

Используя условия из теоремы 2 и требования аналитичности формулировки самой задачи по малым параметрам, получен критерий аналитичности по малым параметрам в окрестности нуля решения краевой задачи (54), (55). На его основе можно искать в виде сходящегося ряда по степеням , , например, методом возмущений, а в качестве оценки погрешности также можно брать один из видов оценок ряда Тейлора.

Основываясь на результатах третьей главы, предложен один из способов разложения граничных условий в ряды по малым параметрам в декартовой системе координат, а также, получен способ нахождения функции, описывающей подвижную границу, основанный на методе малого параметра.

Пусть граница тела, находящегося в ненагруженном состоянии, описывается следующей функцией в декартовой системе координат:

,        

где ε  – малый параметр.

В деформированном состоянии граница будет описываться следующей функцией у=g(х,ε). Будем искать ее в виде .

В результате разложения в ряд по ε левых и правых частей всех соотношений и при­рав­ни­ва­ния выражений при одинаковых степенях параметра ε, получены коэффициенты

где – функция, обратная функции , – решение исходной задачи при , , .

Для плоской задачи найдено разложение в степенной ряд по малому параметру функции, описывающей подвижную границу, и разложение самих граничных условий до второго приближения.

Аналогично тому, как это было сделано для декартовой системы, проведено разложение граничных условий в ряд по малым параметрам в полярной системе координат и получена функция, описывающая подвижную границу.

В качестве примера рассмотрена задача определения напряженно-деформированное состояние упругопластической трубы из несжимаемого материала, находящейся под воздействием внутреннего давления и внешнего . Подобные трубы находят при­ме­нение в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок.

Первая система соответствует пластической области:

  (67)

с граничными условиями

(68)

где ; все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю упругости G, функция описывает внутренний контур поперечного сечения трубы в деформированном состоянии.

В упругой области напряженно-деформированное состояние будет описываться решением второй системы:

(69)

с граничными условиями

  (70)

здесь функция описывает внешний контур поперечного сечения трубы в деформированном состоянии, а в недеформированном – и соответственно, где , – малые параметры.

К (67)–(60) следует добавить условия сопряжения решений задач (67), (68) и (69), (70) на контуре , отделяющем пластическую зону от упругой.

Как следует из аналитичности выражений в (67)–(70), решение будет аналитическими функциями параметров в окрестности точки . При проверке условий непрерывной зависимости решения задачи (67)-(70) от при была получена область в пространстве параметров внешних воздействий, ограниченная линиями

.

Если значения не выходят за пределы этой области, то осесимметричное решение  можно брать в качестве нулевого приближения при решении поставленной задачи методом возмущений (функции заданы с точностью до параметров). Для таких и было построено решение с точностью до величин первого порядка малости с помощью разработанного программного комплекса на основе пакета Maple

где в качестве нулевого приближения взято осесимметричное решение.

В приложении приведено описание реализация алгоритма для нахождения решения в виде степенных рядов по малым параметрам рассмотренной выше задачи.

Основные результаты:

  1. Построены новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел с учетом их физических и геометрических неоднородностей, на основе которых возможно проведение исследования непрерывной зависимости решений от исходных данных. Показано, что если используются граничные условия в напряжениях, то их нужно задавать только на границе тела в деформированном состоянии.
  2. На основе теоремы о неявных функциях получены критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной. Показано, что для задачи Коши эти условия принимают вид требования разрешимости начальных условий относительных производных, входящих в них.
  3. Используя условия для дифференциальных уравнений, доказаны критерии, позволяющие исследовать непрерывную зависимость решений вариационных задач для функционалов интегрального вида, зависящих от функции одной и нескольких переменных.
  4. Разработан метод нахождения функции, приближенно описывающей границу твердого тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат.
  5. Проведено исследование непрерывной зависимости решений, описывающих поведение одно- и двумерных тел при комбинированном внешнем воздействии, от функций, описывающих их геометрические формы и физические свойства. Получены области за пределами которых анализируемые решения, а в некоторых случаях и сама математическая модель, уже не будут приближенно описывать напряженно-деформированное состояние рассматриваемых тел.
  6. Получен критерий аналитичности по независимым малым параметрам решений дифференциальных уравнений, позволяющий находить решения с требуемой погрешностью. Используя эти условия, решения поставленных задач можно искать в виде степенных рядов по любому количеству независимых малых параметров с необходимой точностью, т.к. оценка погрешности совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора.
  7. Разработаны численные схемы решения задачи, описывающей состояние упругопластического тела при плоском напряженно-деформируемом состоянии.
  8. Найдены решения, описывающие напряженно-деформирован­ное состояние идеально упругопластических тел при комбинированном нагружении с точностью  до величин первого порядка малости.

Основные публикации по теме диссертации:

Монографии:

  1. Минаева, Н. В. Метод возмущений в механике деформируемых тел [Текст] /  Н. В. Минаева. - М.: Научная книга, 2002. - 156 с.
  2. Минаева, Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел [Текст] / Н. В. Минаева. - М.: Научная книга, 2006. - 236 с.

Статьи, изданные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук:

  1. Минаева, Н. В. О существовании состояния упругого консольного стержня, соответствующего решению дифференциального уравнения [Текст] / Н. В. Минаева, Н. А.  Барченкова // Изв. РАН МТТ.- 2000.-  № 5. - С. 175-178.
  2. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии толстостенной трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. РАН МТТ.- 2002.-  № 3. - С.72-77.
  3. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругопластической трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. РАН МТТ.- 2004.-  № 1.  - С. 167-173.
  4. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругопластических тел, близких к однородным [Текст] / Н. В. Минаева, Н. Б. Костырин, Ю. М.  Мяснянкин // Изв. РАН МТТ.- 2004.-  № 5. - С. 150-159.
  5. Минаева, Н. В. О напряженно-деформируемом состоянии полосы, близком к однородному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. РАН МТТ.- 2006.-  № 5. -.С. 61-67.
  6. Минаева, Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемых тел [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. РАН МТТ.- 2008.-  № 1. -.С. 37-39.
  7. Минаева, Н. В. Напряженно-деформированное состояние упругой неоднородной толстостенной трубы, близкое к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2003. -  № 9. - С. 17-20.
  8. Минаева, Н. В. О математической модели в виде вариационной задачи и продольно-поперечном изгибе упругой пластины [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. - № 1. -С. 24-29.
  9. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии неоднородной упругопластической трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. -  № 4. - С. 18-24.
  10. Минаева, Н. В. Продольный изгиб прямоугольной пластины [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. -  № 7. - С. 28-30.
  11. Минаева, Н. В. О формулировке граничных условий при изучении влияния учета несовершенств на напряженно-деформированное состояние твердых тел [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. -  № 5. - С.31-34.
  12. Минаева, Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упруго подкрепленной толстостенной трубы, близком к осесимметричному [Текст] / Н. В. Минаева, Н. Б. Костырин //Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. -  № 4. - С. 3-11.
  13. Минаева, Н. В. Об изгибе составного консольного  упругого стержня [Текст] / Н. В. Минаева, Н. Б. Костырин //Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. -  № 8. - С. 74-77.
  14. Минаева, Н. В. Об исследовании продольно-поперечного изгиба упругого стержня на основе решения вариационной задачи [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. - № 4. - С.11-16.
  15. Минаева, Н. В. О поперечном изгибе упругой пластины, форма которой близка к эллиптической [Текст] / Н. В. Минаева, А. Д. Чернышов // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. -  № 11. - С. 13-16.
  16. Костин, В. А. О необходимом условии адекватности математических моделей механических систем [Текст] / Н. В. Минаева, В. А. Костин // Изв. вузов. Машиностроение. - 2005. - № 2. - С. 5-8.
  17. Минаева, Н. В. Адекватность решения вариационной задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб упруго подкрепленной прямоугольной пластины [Текст] / Н. В. Минаева, С.А.  Соколов // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2005. -  № 3. - С. 3-5.
  18. Сафронов, В. С. Об адекватности математических моделей механических систем [Текст] / В. С. Сафронов, Н. А.  Барченкова, Н. В. Минаева // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2005. -  № 5. - С. 17-23.
  19. Минаева, Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемого твердого тела [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2005. -  № 8. - С. 14-17.
  20. Минаева, Н. В. Исследование адекватности математической модели статики стержневой системы при действии следящей силы [Текст] / Н. В. Минаева, Ю.Г.  Морозов // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2004. -  № 6. - С. 7-11.
  21. Минаева, Н. В. О критерии адекватности математических моделей консервативных и неконсервативных систем [Текст] / Н. В. Минаева // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2006. - № 1. -С.10-14.
  22. Минаева, Н. В. Исследование напряженно-деформи­ро­ванного состояния упругой полосы при сжатии [Текст] / Н. В. Минаева, Ю. Г.  Морозов // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2007. -  № 7. - С. 23-26.
  23. Минаева, Н. В. О предельных состояниях упруго подкрепленной пластины при продольно-поперечном изгибе [Текст] / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2008. -  № 5. - С. 25-28.
  24. Минаева, Н. В. Об исследовании квазистатического поведения деформируемых систем и адекватности решений уравнений статики [Текст] / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, А. В. Гриценко. //Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2009.-№3.- С.17-21.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.