WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

ПРОВОТОРОВ Вячеслав Васильевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФАХ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕПЛОВЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность: 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени доктора физико–математических наук

Воронеж 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО Воронежский государственный университет

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Юрко Вячеслав Анатольевич;

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович;

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 2010 г. в 13.30 в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 при ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия и на сайте http://www.vgta.vrn.ru

Автореферат разослан 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета И.А.Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современные технические конструкции часто допускают структурную формализацию в виде одномерных континуумов, взаимодействующих через связующие их узлы. Протекающие в таких устройствах процессы, как правило, описываются классическими математическими моделями, реализуемыми на геометрических графах.

Важной прикладной задачей промышленной теплотехники, возникающей при исследовании математических моделей с использованием уравнений с распределенными параметрами, является задача оптимального нагрева (охлаждения) массивных тел. Основы математической теории наблюдения систем с распределенными параметрами и ее приложений в областях промышленной теплотехники заложены в работах А.И.Егорова, А.Г.Бутковского, Ю.И.Самойленко, В.И.Плотникова, Ю.Р.Андреева, С.А.Малого и др. Полученные ими результаты относятся к исследованию математических моделей для систем с заданными распределенными параметрами на классических интервалах. Ситуация, когда объект исследования оснащен системой контроля состояния температурного поля, приводящая к уточнению классических закономерностей распространения теплоты в континууме при замене интервала на объединение интервалов по типу простейшего графа, является новой и требует развития классических методов анализа. При этом возникает сопутствующая задача, относящаяся к обратным задачам математической физики: определение теплофизических характеристик с использованием, например, информации о температурных полях в некоторых точках объекта для обусловленного временного интервала. В работе исследуется математическая модель процесса нагрева конечного металлического слитка, имеющего форму стержня с неизвестными теплофизическими характеристиками. При этом исследуемый массив слитка имеет особенность - внедренные точечные неоднородности, реализуемые на практике как периферийные компоненты датчиков, измеряющих температуру стержня в местах их установки. Рассматриваемая ситуация является модельной при описании процесса температурной подготовки металлического слитка для адаптации его к процессу обработки прокатными устройствами (ограниченность температуры заготовки, снятия перепадов температур в массиве заготовки и связанных с ними температурных напряжений и т.д.).

Другая важная задача из области материаловедения связана с мониторингом колебательных процессов и состоянием материалообразующей основы сложных механических конструкций. Рассматривается упругая механическая система ”мачта-растяжки”, представляющая собой тело мачты с прикрепленными к нему мачтовыми растяжками, причем узлов прикрепления может быть как один, так и несколько. Указанные конструкции, как правило, работают в экстремальных режимах - перепады температур, внешние механические воздействия, сопровождающиеся искажением передающих (принимающих) сигналов. Непрерывное наблюдение за объектом, сопровождающееся анализом структурных изменений материала компонент системы, помогает совершенствовать конструкции различного рода внешних устройств с целью сгладить, либо нивелировать нежелательные явления. В работе предлагается исследование одного из вариантов математической модели такой системы, реализуемой на геометрическом графе-звезде (одноуровневая система) или на графе-цепочке (многоуровневая система), воздействие на упомянутую систему осуществляется только посредством задаваемых на границе функций.

К этому же классу задач относится задача гашения колебаний наполненного жидкой субстанцией трубопровода. Следует отметить, что исследованию задач граничного управления упругими колебаниями на классических интервалах посвящено большое число работ, среди которых особенную актуальность приобрели работы В.А.Ильина, А.Д.Акуленко, О.В.Васильева, Л.Н.Знаменской, П.А.Рево, В.В.Тихомирова, Г.Д.Чабакаури и др. Анализ колебательных процессов в состоящей из конечного числа струн механической системе, возникающих под воздействием граничных управляющих сил, приводит к задачам управления дифференциальными системами с носителем на геометрических графах (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, М.И.Белишев). В диссертационной работе для математических моделей с носителем на графе развиваются некоторые методы упомянутых авторов, в т.ч. метод моментов, разработанный А.Г.Бутковским для граничных задач на интервале.

Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей сетеподобных конструкций основано на анализе соответствующих прямых и обратных задач для систем уравнений с распределенными параметрами на графе, прежде всего, на анализе спектральной полноты и базисности собственных функций соответствующих краевых задач в пространстве функций с суммируемым квадратом, а также отыскании приемлимых для практической реализации условий единственности решения обратных задач. История развития теории дифференциальных уравнений (прежде всего обыкновенных дифференциальных уравнений) на сетях хотя и не велика, по-видимому, несколько более 20 лет, но уже имеет свои ярко выраженные тенденции и особенности. Большинство работ посвящено так называемым прямым задачам спектральной теории. К наиболее крупным результатам зарубежных математиков следует отнести работы G. Lumer, S.Nicaise, J.Below. В нашей стране основные исследования в этом направлении проводятся Ю.В.Покорным, А.В.Боровских, М.Г.Завгородним, К.П.Лазаревым, О.М.Пенкиным, В.Л.Прядиевым, С.А.Шабровым. Другое не менее важное направление - обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на компактных графах. История вопроса восходит, прежде всего, к основополагающим работам G.Borg’a, Б.М.Левитана, М.Г.Гасымова, М.Г.Крейна, N.Levihson’a, В.А.Марченко, Л.Д.Фаддеева, И.Г.Хачатряна, результаты которых относятся к случаям полуоси и конечного интервала. Появившиеся новые сферы приложений теории обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля, например, краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала, связаны с разрывными свойствами среды (М.М.Лаврентьев, В.Г.Васильев, К.Г.Резницкая, В.Г.Яхно, В.Г.Романов) и инициировали изучение обратных задач с особенностями (М.Г.Гасымов, В.А.Садовничий, В.А.Юрко), интерпретируемые в диссертационной работе как обратные спектральные задачи на простейших графах. Наконец, упомянутая выше теория дифференциальных уравнений на сетях, дала импульс для исследований в области теории обратных задач на геометрических графах. Современное состояние теории обратных задач на графах можно проследить по основным статьям и монографиям В.А.Юрко (монография Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач1 содержит подробную библиографию). В диссертации отражены новые результаты по исследованию обратных спектральных задач на графах.

В работе представлены новые качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей с носителями на геометрических графах. Решены актуальные задачи технической теплотехники, материаловедения с использованием глубоко развитых качественных и приближенных методов теории управления динамическими системами (работы В.И.Зубова, А.П.Жабко и их научного коллектива). В настоящее время численные методы для уравнений с распределенными параметрами на графах находятся в стадии формирования. В работе получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами уравнений на графе, а также дан анализ устойчивости и сходимости полученных разностных схем. Предложены алгоритмы решений граничных задач для уравнений параболического и гиперболического типов применительно к задачам технической теплотехники, упругости в случае сложных физических систем сетеподобной структуры.

Работа выполнена в ГОУ ВПО Воронежский государственный университет в рамках научной темы Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений, регистрационный № 0120.0853009.

Цель работы. Разработка новых качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей сложных физических систем сетеподобной структуры, реализуемых в виде граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на геометрических компактЮрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач.- М.: Физматлит, 2007. - 384 с.

ных графах; разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Реализация цели исследования осуществляется решением следующих задач как теоретического, так и прикладного характера:

- обоснование метода Фурье при отыскании решения граничных задач для систем уравнений с распределенными параметрами на графах, - исследование решений обратных задач с носителями на графе, - разработка эффективных численных методов решения граничных задач для уравнений математической физики на компактных графах (методы построения конечно-разностных аналогов уравнений математических моделей, вопросы аппроксимации конечно-разностными операторами, устойчивость разностных схем и сходимость разностного решения приближенной задачи к решению точной), - разработка эффективных алгоритмов решения граничных задач на графах, а также разработка комплексов проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах, - решение задач прикладного характера:

а) построение температурных полей при нагреве металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, оптимальный нагрев металлического слитка; б) описание изменений амплитуд колебаний сложносочлененных конструкций, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств; в) гашение колебаний заданной на графе-дерево системы уравнений с распределенными параметрами - основополагающего объекта в моделировании трубопроводов и антенных конструкций.

Объект исследований. Качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей технических устройств и систем, представляющих собой сложносочлененные конструкции, составленные из одномерных континуумов, взаимодействующих только через связующие их узлы.

Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы исследования математических моделей сложносочлененных конструкций основаны на фундаментальных методах современного анализа прямых и обратных задач математической физики. Методы построения разностных схем, их обоснование получены с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнений с распределенными параметрами на графах.

Научная новизна. В диссертационной работе предлагаются новые подходы при анализе математических моделей, основополагающим математическим объектом которых является система уравнений с распределенными параметрами на графе. Результаты диссертационной работы содержат подробное исследование серии прямых и обратных спектральных задач на графе: спектральные задачи на простейшем графе, звезде, цепочке, произвольном графе-дерево, графе с циклом. Изучены свойства спектральных характеристик этих задач, получены достаточные условия равномерной сходимости ряда по собственным функциям. При исследовании спектральных задач на графах сложной структуры (цепочка, несколько цепочек, произвольный граф-дерево) введено понятие составной звезды данного графа: структурирование исходного графа сложной конструкции составной звездой позволяет использовать результаты исследований задач на звезде для изучения задач на произвольном графе-дерево. Представлены постановки обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля на компактных графах (звезда, цепочка звезд), являющихся естественными обобщениями классических обратных спектральных задач на интервале. Доказаны теоремы единственности решения таких задач, для конкретных ситуаций дается конструктивная процедура определения решения в виде алгоритмов. Приводятся условия определения конечного числа мод теплового процесса по известной информации о сечении температурного поля (данные тепловых датчиков). Разработаны и обоснованы эффективные численные методы для математических объектов на графах, представлены алгоритмы решения эволюционных и динамических задач на графах. Получены решения актуальных задач прикладного характера, описывающих эволюционные теплофизические и колебательные процессы в сложносочлененных конструкциях, разработан пакет программ для приближенного решения таких задач. Эффективность полученных результатов подтверждена численным экспериментом тестовых задач.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария для исследования математических моделей с носителями на графах.

Разработаны и обоснованы новые качественные аналитические методы исследования математических моделей, которые формализованы в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах. При этом исследована структура спектра соответствующих краевых задач с носителями на графе-дерево и на графе с циклом, построены системы ортонормированных собственных функций, функции Грина, проведено исследование их по спектральному параметру и получены асимптотические формулы. Проведено исследование спектральной полноты и базисности систем собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе (графдерево, граф с циклом), получены достаточные условия разложимости заданной функции по таким системам собственных функций. Последнее является обоснованием метода Фурье для систем с распределенными параметрами на геометрических графе. Представлено исследование решений обратных задач на компактном графе-дерево: решена задача восстановления потенциала по двум спектрам, задача определения спектральных данных по сечению решения эволюционного уравнения, заданного на графе.

Разработаны эффективные численные методы применительно к математическим моделям с носителями на геометрических графах. Представлены новые методы построения и анализа конечно-разностных аналогов систем уравнений с распределенными параметрами на графах, включающие в себя условия аппроксимации таких систем конечно-разностными аналогами на сетке графа, проведено исследование порядка аппроксимации, доказательство устойчивости построенных разностных схем. Проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи, получены условия разрешимости конечно-разностных систем уравнений, возникающих в методе сеток. Представлены результаты тестирования полученных численных методов с применением ЭВМ.

В работе представлены решения следующих задач, актуальных в областях промышленной теплотехники и материаловедения:

1. Задача построения температурных полей при нагреве металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, определяемыми по наблюдаемым данным; оптимальный нагрев металлического слитка.

2. Задача описания изменений амплитуд колебаний сложносочлененных конструкций, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств; гашение колебаний сложносочлененных конструкций.

Для приведенных задач разработаны эффективные алгоритмы решения их конечно-разностных аналогов, представлены комплексы программ, проведено тестирование разработанных численных методов.

Наиболее существенные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. На защиту выносятся качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей, формализованых в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах, численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемноориентированных программ.

1. Обоснование метода Фурье при отыскании решения граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе-дерево и графе с циклом, включающее в себя исследование полноты и базисности систем собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе, достаточные условия разложимости заданной функции по системе собственных функций, непосредственно проверяемые при решении задач прикладного характера.

2. Новые аспекты теории обратных задач для уравнений с распределенными параметрами на компактном графе-дерево, связанные с восстановлением потенциалов на графе по спектральным характеристикам, которые определяются по наблюдаемым данным. Предложена конструктивная процедура решения в виде алгоритма.

3. Новые методы построения конечно-разностных аналогов граничных задач на графах. Аппроксимация дифференциальных операторов на графах конечно-разностными операторами на сетке, порядок аппроксимации, условия устойчивости построенных разностных схем. Анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи.

4. Решение граничных задач, лежащих в основе математической модели нагрева металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, а также моделей волновых процессов в трубопроводах и сложных антенных устройствах.

5. Численные методы, алгоритмы решения конечно-разностных задач на сетке графа, комплексы проблемно-ориентированных программ для решения задач прикладной теплотехники и материаловедения.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них Всесоюзные конференции по краевым задачам для дифференциальным уравнениям (г. Ижевск, г. Тамбов, г. Пермь, г. Магнитогорск, г. Уфа, 1979-1989г.г.), школы по моделированию теплофизических процессов (г. Минск, 1982г., г.

Тамбов, 1992г.), Всесоюзная конференция по краевым задачам для дифференциальных уравнений и их приложениям (г. Рига, 1989г.), Международные конференции по дифференциальным уравнениям и приложениям (Руссе, Болгария, 1987г., 1989г.), Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах (г. Тамбов, 1989г.), Международные конференции ”Современные проблемы теории функций и смежные вопросы” (г. Воронеж, 1992-2008г.г.), Международные конференции ”Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения” (г. Воронеж, 1993-2009г.г.), Международные конференции ”Общие проблемы управления и их приложения. Колмогоровские чтения” (г. Тамбов, 2006г.), Всероссийские конференции ”Теория конфликта и ее приложения” (г. Воронеж, 2000г.), Международные конференции ”Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования” (г. Воронеж, 2005г.), семинар профессора В.Н.Абрашина (г. Минск, 1982г.), семинар профессора C.В.Мищенко (г.

Тамбов, 1986-1991г.г.), семинары профессора Н.В.Азбелева (г. Пермь, 19811984г.г.), семинары профессоров А.И.Булгакова и Е.С.Жуковского (г. Тамбов, 1998г., 2006г., 2009г.), семинар профессора В.А.Юрко (г. Саратов, 2008г.), семинар профессора Ю.В.Покорного (г. Воронеж, 2009г.), семинар профессора А.П.Жабко (г. С.-Петербург, 2009г.), семинар профессора О.М.Пенкина (г. Белгород, 2009г.), семинары профессоров А.В.Глушко и В.И.Ряжских (г.

Воронеж, 2009г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 41 научных работах и приведены в конце автореферата, в том числе 13 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одной монографии. В работах [15-19, 23], опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат теоретические исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 147 наименований и приложений.

Работа изложена на 374 страницах и содержит 12 рисунков и 6 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются цель и задачи исследования, основные результаты, теоретическая и практическая значимость, положения, выносимые на защиту. Здесь же дается краткая историческая справка по исследуемой теме, описание современного состояния проблемы, в том числе, приводятся краткие характеристики важных прикладных задач промышленной теплотехники и задач материаловедения. Представлен обзор литературы по теме диссертации.

В главе I приведены основные понятия и наиболее употребительные обозначения для уравнений на графах в соответствии с монографией Ю.В. Покорного, О.М. Пенкина, В.Л.Прядиева, А.В. Боровских, К.П.Лазарева, С.А.

Шаброва2, приводятся математические модели эволюционных и волновых процессов, исследование которых является одной из задач работы.

Пусть - произвольный компактный связный граф, ребра графа обозначаются через k, узлы - через (здесь k, - номера, причем нумерация ребер предполагается независимой от нумерации узлов); , J( ) - множества граничных и внутренних узлов, соответственно. Для ребер графа выбирается удобная ориентация и параметризация, определяющиеся, прежде всего, видами графа: граф-звезда, граф-цепочка, граф-дерево, произвольный граф.

Скалярная функция f(x) на графе - отображение f : R, сужение функции f(x) на ребро обозначается через f(x).

Множество непрерывных на графе функций обозначается через C( ), C[ ] - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными, функции не приписывается никакого значения в узле), C2[ ] - множество функций, на каждом ребре два раза непрерывно дифференцируемых вплоть до границы (т.е. все производные до второго порядка включительно принадлежат C[ ], в концевой точке ребра применяется одностороннее дифференцирование).

Рассмотрим упрощенный процесс нагрева массивного тела в проходной многозонной нагревательной печи3. Многозонность печи (т.е. наличие Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л, Боровских А.В, Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах.- М.: Физматлит, 2004. - 272 с.

Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. - Изд-во ”Металлургия”, 1972. - 440 с.

нескольких зон печи с различными температурными фонами) требует достаточно точного контроля температурного режима тела объекта, что реализуется в модели наличием точек приложения периферийных компонент температурных датчиков. Математическую модель процесса рассмотрим на функциях с носителем на простейшем графе (последовательно соединенные ребра).

Пусть - простейший геометрический граф с ребрами k (k = 1, m) и узлами k (k = 0, m). Каждое ребро k ориентировано ”к узлу k” и параметризовано отрезком [(k - 1)L/m, kL/m] (k = 1, m), внутренним узлам k (k = 1, m - 1) ставятся в соответствие числа kL/m (k = 1, m - 1), граничным 0, m - числа 0, L, соответственно.

Распределение температуры Q(x, t), (x, t) [0, T ] подчиняется уравнениям (1) Q(x, t) = Q(x, t) - q(x) Q(x, t) k k k k t xна каждом ребре k (k = 1, m) и при фиксированной параметризации соотношениям Q(x, t)x=k L = Q(x, t)x=k L, k k+m m (2) Q(x, t)x=k L - Q(x, t)x=k L = kQ(x, t)x=k L k x k+1 k+x m m m в каждом узле k (k = 1, m - 1)4.

Соотношения (1),(2) назовем уравнением переноса тепла на графе . Коэффициенты k (k = 1, m - 1) характеризуют степень неидеального теплового контакта сопряженных зон, образуемых периферийными компонентами датчиков5. Присоединяя к уравнению (1),(2) начальные Q(x, 0) = (x), x , (3) и неоднородные граничные условия Q(x, t)x=0 - hQ(x, t)x=0 = µ(t), 1 x (4) Q(x, t)x=L + HQ(x, t)x=L = (t), m m x Закон Фурье распространения тепла на ребре описывается функцией температур U(, t), , t [0, ] [0, T ], которая удовлетворяет уравнению теплопроводности U (, t) = a () U (, t) + b()U(, t), t положительные функции a(), b() характеризуют теплофизические свойства материала. Если предположить, что a() имеет непрерывную вторую производную, то с помощью преобразования Лиувилля 1 1 1 x = d, c =L a() d, Q(x, t) = a()1/4U(, t), c a( ) 0 уравнение теплопроводности принимает вид (1), интервал [0, ] преобразуется в интервал [0, L], условия (2)-(4) своего вида не меняют.

Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности, Ч.1. М.: Высшая школа, 1982.- 327 с.

(здесь положительная функция q(x) C(), (x), µ(t), (t) - заданные неотрицательные функции, k (k = 1, m - 1), h, H - фиксированные положительные постоянные), получаем граничную задачу (1)-(4) на [0, T ].

Интересующие нас приложения механического характера касаются изучения колебательных процессов сложносочлененных механических конструкций, возникающих при моделировании антенн типа ”мачта-растяжки”, а также различного рода сетчатых антенных устройств. В первом случае одним из вариантов математической модели подобной системы является граничная задача для уравнения с распределенными параметрами, задаваемого на геометрическом графе-цепочке. Пусть система ”мачта-растяжки” имеет L узлов закрепления растяжек к телу мачты, при этом считаем, что фрагмент мачтового континуума, находящийся выше последнего узла закрепления растяжек (в наших обозначениях это узел 1) имеет массу несравнимо меньшую, чем масса остальной части мачты, что дает возможность интерпретировать его в модели как массу M сосредоточенную в узле 1; континуум, находящийся ниже этого узла, испытывает продольные колебания, растяжки - поперечные колебания.

Граф-цепочка состоит из звезд ( = 1, L) с узлами и ребрами k (k = 1, m ) (ребра m ( = 1, L - 1) соединяют узлы звезд ). Для каждой звезды ( = 1, L) ориентация ребер k (k = 1, m - 1) ”к узлу ”, ребер m - ”от узла ” ( = 1, L); каждое ребро k (k = 1, m - 1) параметризовано отрезком [( - 1)/2, /2], ребро m - [ /2, ( + 1)/2] ( = 1, L); каждому узлу ставится в соответствие число /2 ( = 1, L).

Пусть (x, t) - распределение амплитуд колебаний системы в точке x и во времени t. Колебательный процесс при (x, t) [0, T ] описывается уравнениями 2 (x, t) = (x, t) - q(x) (x, t) (5) t2 xk k k k на каждом ребре k (k = 1, m, = 1, L), соотношениями в узлах , = 2, L:

(, t) = (, t), k = 1, m - 1, 2 2 m k m -(6) -1 m (, t) -1 + k (, t) = (, t).

-1 x 2 m -1 x 2 x 2 m k k=В узле 1 приложена сосредоточенная сила F (t) (сила инерции): F (t) = -M (, t), уравнение колебаний системы в узле 1 принимает вид t2 2 m1 (, t) = (, t), k = 1, m1 - 1, 2 2 mk m1-1 1 2 1 1 1 1 m (, t) - k (, t) - Mq() (, t) = M (, t).

1 x 2 m1 x 2 2 m1 2 m1 t2 2 mk k=(7) Для получения математической модели физического процесса к соотношениям (5)-(7) добавляются начальные условия при x , t = 0:

(x, 0) = (x), (x, 0) = (x), (8) t и граничные условия в граничных узлах графа (t [0, T ]):

(( - 1)/2, t) - h (( - 1)/2, t) = µ k(t), x k k (k=1,m -1, =1,L) (9) ((L + 1)/2, t)L + H((L + 1)/2, t)L = (t).

x mL mL Здесь положительная функция q(x) C( ), функции (x), (x), µ k(t), (t) – неотрицательные; h ( = 1, L), H – фиксированные положительные постоянные. Соотношения (5)-(7) назовем уравнением колебания на графе-цепочке, соотношения (5)-(9) - граничной задачей на.

Изучение колебательных процессов в сетчатых антенных устройствах основывается на анализе граничной задачи на графе с циклом. Рассмотрим граф с 2m одинаковыми ребрами длиною 1: ребра k (k = 1, m) образуют цикл и соединяют последовательно внутренние узлы k (k = 1, m), ребра k (k = 1, m) являются концевыми и соединяют граничные узлы k c внут ренними k (k = 1, m). Концевые ребра k, ориентированы "от k к k" при (k = 1, m - 1), и "от m к m" при k = m. Ребра цикла k ориентированы "от k-1 к k" при k = 2, m и "от 1 к m" при k = 1. Все ребра параметризованы отрезком [0, 1].

Распределение амплитуд колебаний (x, t), (x, t) [0, T ] описывается следующей граничной задачей:

2 (x, t) = (x, t) - q(x)(x, t), = k, k (k = 1, m), t2 x (1, t) = (0, t) = (0, t), (1, t) = (0, t) + (0, t), 1 1 x 1 2 1 x x (1, t) = (0, t) = (0, t), (1, t) + (0, t) = (0, t), k k x k k+1 k k+x x (k=2,m-1) (1, t) = (1, t) = (0, t) x(1, t) + (1, t) = (0, t), m, m 1 m 1 m x x (x, 0) = (x), (x, 0) = (x), t (0, t) - hk(0, t) = µk(t), (1, t) + H(1, t) = (t).

k k m m x x (k=1,m-1) Глава II посвящена развитию качественных аналитических методов, являющихся инструментом исследования математических моделей прикладных задач. Представлено исследование спектральных задач на графе (простейший граф, звезда, цепочка, дерево, граф с циклом): структура множеств собственных значений, спектральная полнота и базисность в пространстве функций с суммируемым квадратом L2( ) ортонормированной системы собственных функций, теоремы разложимости. Основополагающими являются исследования спектральных задач на графе-звезде (графе-дерево) и графе с циклом.

Рассмотрим спектральную задачу на звезде . Пусть имеет m ребер k (k = 1, m) и узел ; ориентация и параметризация ребер приведена на стр.

12 (L = 1).

Задача Штурма-Лиувилля для функций y(x) C() C2[] - это набор уравнений -y + q (x) y = y, x k, (10) на ребрах k (k = 1, m), соотношение в узле (условие согласования) m-y (/2) = y (/2) (11) k m k=и краевые условия y (0) - hky(0) = 0 (k = 1, m - 1), y () + Hy() = 0, (12) k k m m здесь - спектральный параметр. Всюду далее будем предполагать выполненными условия: hk (k = 1, m - 1), H - вещественные; функция q(x) C() - вещественнозначная.

Определим функции Qk(x), x [0, ] (k = 1, m - 1): Qk(x) q(x), x k [0, /2] (k = 1, m - 1), Qk(x) q(x), x [/2, ] и для любого фиксироm ванного k = 1, m - 1, рассмотрим уравнения -zk + Qk(x)zk = zk. (13) Пусть для каждого фиксированного k (k = 1, m - 1) функции uk (x, ), vk (x, ) C1 [0, ]C2 (0, ) являются решениями уравнения (13) с начальными условиями uk (0, ) = 1, u k (0, ) = hk, vk (, ) = 1, vk (, ) = -H. При каждом фиксированном функции uk (x, ), vk (x, ) являются целыми аналитическими по , при этом u k(0, ) - hkuk(0, ) = 0, vk(, ) + Hvk(, ) = 0 и vk(x, ) при x [/2, ] не зависят от индекса k: vk(x, ) v(x, ) (k = 1, m - 1), x [/2, ]. Рассмотрим систему функций:

uk (/2, ) µi (x, ), x i (i = 1, m - 1, i = k), k (x, ) = uk (x, ), x k m, k=1,m-( ) v (/2, ) µi (x, ), x i i = 2, m - 1, m (x, ) = v (x, ), x 1 m;

Функции k (x, ) (k = 1, m) являются линейно независимыми решениями уравнения (10),(11) и удовлетворяют краевым условиям: k(0, ) k hkk(0, ) = 0 (k = 1, m - 1), m(, ) + Hm(, ) = 0.

k m m Для задачи (10)-(12) имеют место утверждения, аналогичные классическим: собственные значения и собственные функции вещественные, собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны в L2().

Структура спектра задачи (10)-(12) представлена теоремой 1(2.2.4)6. Рассмотрим зависимое от числовое множество () = {uk(/2, ) (k = 1, m - 1)}, где m()- количество нулевых элементов множества (): 0 m() m - 1.

Пусть - множество собственных значений краевой задачи (10)-(12), I, II, III - множества чисел вида:

I = { : v(/2, ) = 0, m() = 0}, II = { : v(/2, ) = 0, m() = } ( = 2, m - 1), III = {v(/2, ) = 0, m() = } ( = 1, m - 1);

и пусть m-1 m-1 m-D() = v(/2, ) {u k(/2, ) ui(/2, )} - v (/2, ) ui(/2, ) k=1 i=1 i=(i =k) (характеристическая функция задачи (10)-(12)).

Теорема 1(2.2.4). Собственные значения краевой задачи (10)-(12) совпадают с нулями функции D(). Имеет место m-1 m- = I ( II) ( III) =2 =(множества I, II, III не имеют общих элементов). При этом:

1) если собственное значение 0 I II III, то оно простое, 2 2) если 0 II ( = 3, m - 1), то его кратность равна - 1, 3) если 0 III ( = 2, m - 1), то его кратность - .

Обоснованием метода Фурье при отыскании решения граничных задач вида (5)-(9) при L = 1 для уравнений с распределенными параметрами на звезде является теорема 2(2.2.7, 2.2.8).

в скобках указаны номер теоремы в тексте диссертации Пусть {n}n1- множество всех собственных значений 1 2 ... краевой задачи (10)-(12), при этом, учитывая их кратность, каждое собственное значение присутствует в множестве {n}n1 столько раз, какова его кратность. Пусть {yn(x)}n1 - множество собственных функций yn(x), соответствующих собственным значениям n (одинаковым - т.е. кратным - собственным значениям, упомянутым в теореме 1(2.2.4), соответствуют собственные функции, взятые в произвольном порядке).

Теорема 2(2.2.7, 2.2.8). 1. Система собственных функций краевой задачи (10)-(12) полна и образует ортогональный базис в L2().

2. Для любой абсолютно непрерывной функции f (x), x имеет место разложение в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям {yn(x)}nкраевой задачи (10)-(12):

f (x) = anyn (x), an = f (t) yn (t) dt, n = yn(t)dt, n n= причем ряд сходится равномерно на .

Замечание. При изучении граничной задачи на звезде , имеющей в узле особенность, интерпретируемую в приложениях как наличие в этом узле сосредоточенной массы M, условие (11) спектральной задачи (10)-(12) заменяется условием m--y (/2) + y (/2) + M(q(/2) - )y(/2) = 0.

m k m m k=Утверждения теоремы 2(2.2.7, 2.2.8) имеют место и для такой краевой задачи.

Произвольный граф сложной структуры (цепочка, несколько цепочек, дерево) всегда можно представить в виде объединения конечного числа звезд. Построена линейно независимая система решений уравнения на дереве методом, названный методом ”склейки” линейно независимых систем решений уравнения на звездах дерева. Определим составную звезду дерева как граф с ребрами, являющимися ребрами-входами дерева (ребра, соединяющие внешние узлы дерева с его внутренними узлами), узловым местом U (подграф дерева с ребрами, соединяющими только внутренние узлы ) и ребром-выходом (ребро, соединяющее внутренний узел дерева с внешним узлом); ориентации и совпадают. Показано, что собственные функции краевой задачи на дереве совпадают с собственными функциями краевой задачи на составной звезде . Для собственных функций на составной звезде имеют место утверждения, аналогичные утверждениям для собственных функций на звезде, в том числе теорема 2(2.2.7, 2.2.8) о спектральной полноте и базисности множества собственных функций и о разложимости заданной функции в ряд Фурье по системе собственных функций.

Эти утверждения имеют место для собственных функций краевой задачи на произвольном дереве.

Граф с циклом. Вначале изучается спектральная задача на графе с циклом из трех ребер, затем - на графе с циклом, состоящим из конечного числа ребер. Спектральные задачи на графе с большим числом циклов исследуются на основе предыдущих. Особенностью спектральной задачи с носителем на графе с циклом(ами) является зависимость представления фундаментальной системы решений уравнения на графе от спектрального параметра ; при некоторых условиях на потенциал q(x) в число функций фундаментальной системы решений добавляется решение, которое аннулируется на ребрах, содержащих граничные узлы.

Пусть - граф с 2m ребрами единичной длины. Ребра k (k = 1, m) образуют цикл (ориентация и параметризация ребер приведена на стр.13). Для функций y(x) C1() C2[] рассмотрим спектральную задачу, задаваемую совокупностью уравнений -y + (q(x) - )y = 0, = k, k, k = 1,..., m (14) на ребрах k, k, c условиями согласования y (1) = y (0) + y (0), 1 y (1) + y (0) = y (0), k k k+(15) (k=2,m-1) y (1) + y (1) = y (0), m 1 m во внутренних узлах k, (k = 1, m) и краевыми условиями в граничных узлах y (0) - hky (0) = 0, k k (k=1,m-1) (16) y (1) + Hy(1) = 0, m m здесь - спектральный параметр, q(x), hk (k = 1, m), H - вещественные;

q(x) C().

Для краевой задачи (14)-(16) строится функция D() (аналог характеристической функции краевой задачи на графе-звезде (стр.15)).

Пусть µk(x, ) (k = 1, m) – решения уравнений (14) на ребрах k, удовлетворяющие условиям µk(1, ) = 1, µ k(1, ) = 0 (k = 1, m - 1), µm(0, ) = 1, m-µ m(0, ) = 0, и пусть () = µk(0, ) - µ1(0, )µm(1, ). Обозначим через k=k (k = 1, m) спектры задач Дирихле для уравнений (14) на ребрах k цикла.

Пусть множество K = {k1, k2,..., k } {1, 2,..., m} – набор индексов длиною : |K| = (1 m); K = k, ki K (i = 1, ).

i i=Теорема 3(2.6.4). Собственные значения краевой задачи (14)-(16) совпадают с нулями функции D().

1. Если собственное значение 0 K, оно простое, собственная |K|=функция отлична от нуля в узлах k (k = 1, m).

2. Если 0 K для некоторого K, |K| =, и 0 K для любого K, |K| > ( – фиксированное: 1 m - 1), то существует одна собственная функция, отличная от нуля в узлах k (k = 1, m), при этом:

а) если m - 2, число собственных функций, равных нулю в узлах k -1, k (i = 1, ), определяется числом различных узлов k -1, k (i = 1, );

i i i i б) если = m-1, существуют m-1 собственных функций, равных нулю в узлах k (k = 1, m).

3. Если 0 K, |K| = m, тогда а) при (0) = 0 существует одна собственная функция, отличная от нуля в узлах k (k = 1, m), и m - 1 собственных функций, равных нулю в узлах k (k = 1, m), б) при (0) = 0 существует m собственных функций, равных нулю в узлах k (k = 1, m).

Замечание. В случае 3а существует собственная функция, которая аннулируется на всех концевых ребрах графа .

Следующие утверждения, аналогичные утверждениям теоремы 2(2.2.7, 2.2.8), являются обоснованием метода Фурье при отыскании решения граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе с циклом.

Теорема 4(2.6.5). 1). Система собственных функций {yn(x)}n1 краевой задачи (14)-(16) полна в L2(). 2). Для любой абсолютно непрерывной на функции имеет место разложение в обобщенный ряд Фурье по системе {yn(x)}n1, ряд сходится равномерно на .

Глава III посвящена исследованию решений обратных спектральных задач на компактных графах (простейшем графе, звезде, составной звезде), лежащих в основе задач наблюдения за состоянием материала технических конструкций.

Пусть L (q (x), k, h, H) - спектральная задача (10)-(12) на звезде с потенциалом q(x) C(): q(x) = q(x) =... = q(x) и hk = h (k = 1 2 m-1, m - 1). Условимся, что наряду с краевой задачей L (q (x), k, h, H) рас сматривается краевая задача L(q, k, h, H) того же вида, но с другими (x) потенциалом q и коэффициентами k, h, H. Если некоторый символ обо(x) значает объект, относящийся к задаче L (q (x), k, h, H), то символ будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче L(q, k, h, H).

(x) Обратная задача (10)-(12). По информации о спектральных данных краевой задачи (10)-(12) восстановить потенциал q(x) и числа h, H.

Cпектральными данными краевой задачи (10)-(12) являются множество собственных значений, норм собственных функций и их компонент [9].

Теорема 5(3.2.6). Обратная задача (10)-(12) имеет единственное ре шение: если спектральные данные задач L(q(x), h, H) и L(q(x), h, H) сов падают, то L(q(x), h, H) = L(q(x), h, H), т.е. q(x) = q(x), п.в. на , h = h, H = H.

Граф-дерево с определенной на нем спектральной задачей можно структурировать составной звездой . В этом случае также имеет место теорема единственности обратной задачи на дереве, аналогичная теореме 5(3.2.6).

Глава IV посвящена исследованию конечно-разностных аналогов, рассмотренных выше краевых задач на графах, разработке и обоснованию эффективных численных методов для эволюционных и волновых уравнений с распределенными параметрами на графах.

Обозначим через множество функций y(x) C( ) C2[ ], первая 0 производная которых в каждом внутреннем узле i J( ) (i = 1, M - 1) удовлетворяет условиям:

i i i y (M ) - y (M ) = iy(M ), i = 1, M - 1. (17) i i+1 i+Пусть - множество функций y(x) C( ) C2[ ], удовлетворяю L L L щих условиям во внутренних узлах j J( ) (j = 1, L) вида:

L m1-1 y (/2) = y (/2), mi i=(18) mj-j-1 j j y (j/2) + y (j/2) = y (j/2) (j = 2, L);

mj-1 m i i=пусть - множество функций y(x) C( ) C2[ ], удовлетворяющих следующим условиям в узлах J( ) дерева :

m-(19) y (a) = y (a), m k k= где m - число ребер k, примыкающих к узлу , a - фиксированное число, соответствующее узлу в силу выбранной параметризации.

На функциях y(x), принадлежащих многообразиям,,, опре0 L делим дифференциальные операторы , , , порожденные дифферен0 L dциальным выражением -dx y(x) + q(x)y(x). Областью определения операторов , , являются соответствующие им линейные многообразия 0 L L2( ), L2( ), L2( ), элементы y(x) которых удовле0 L 0 L творяют граничным условиям y (b) - hy(b) = 0, , (20) здесь b - числовой параметр, соответствующий узлу ребра-входа графа ( - один из,, ) и 0 L y () + Hy() = 0, (21) число соответствует граничному узлу, принадлежащему ребру-выходу графа .

Таким образом, операторы , , определены в пространствах 0 L L2( ), L2( ), L2( ).

0 L Теорема 6(4.2.1). Операторы , , симметричны в простран0 L ствах L2( ), L2( ), L2( ), соответственно.

0 L Теорема 6(4.2.1) имеет место, если заменить граничные условия (20),(21) на условия Дирихле, достаточно часто встречающиеся в приложениях:

y(b) = 0, , (22) b - числовое значение параметра, соответствующее узлу , граф - один из,,. Через 0, 0, 0 обозначим операторы с областями определения 0 L 0 L 0, 0, 0, описываемыми соотношениями (22). Будем считать, что q(x) > 0 L 0, x , h, H - положительные постоянные.

Теорема 7(4.2.2) Операторы 0, 0, 0 и , , являются 0 L 0 L положительно определенными.

Пусть y(x) 0 и пусть yh - сеточная функция, определенная на сетке h ={xi = kh, h =, k = 0, n, i = 1, M} с компонентами (yh)i = y(xi ), 0 k k k nM h k = 0, n, i = 1, M. Обозначим через множество сеточных функций, удовлетворяющих условиям (i = 1, M - 1):

(yh)i = (yh)i+1, n 1 ((yh)i+1 - (yh)i+1) - ((yh)i - (yh)i ) = i(yh)i+1, 1 0 n n-1 h h являющимися разностными аналогами условий (17).

h Пусть, далее, y(x) 0. Множество сеточных функций yh на сетL L h ке определяется соотношениями, являющимися разностными аналогами L условий (18):

(yh)i 1 = (yh)m 1, i = 1, m1 - 1, n m1-1 ((yh)i 1 - (yh)i 1 ) = (yh)m 1 - (yh)m 1).

n n-1 1 i=j (yh)i j = (yh)m j, i = 1, mj - 1, j = 2, L, n mj-j-1 j-(yh)m j-1 - (yh)m j-1 + ((yh)i j - (yh)i j ) = n n-1 n n-i=j j = (yh)m j - (yh)m j, i = 1, mj - 1, j = 2, L.

1 h Для функций y(x) множество сеточных функций yh со значеh ниями на сетке определяется аналогично соотношениями, являющимися разностными аналогами условий (19):

(yh)i = (yh)m , i = 1, m - 1, n m- ((yh)i - (yh)i ) = (yh)m - (yh)m , n n-1 1 i=для всех внутренних узлов J( ).

h h h Пусть h = {yh : yh , yh = 0 на }, h = {yh : yh , 0 0 L L h h h yh = 0 на }, h = {yh : yh , yh = 0 на }. Введем разностные L выражения 1 h (hyh)i = ((yh)i - (yh)i ), ( yh)i = ((yh)i - (yh)i ), k k k-1 k k+1 k h h операторы h (0 hyh)i = -( hyh)i + (qh)i (yh)i, yh 0 h, k k k k 0 (k=1,n-1,i=1,M) h (0 hyh)i = -( hyh)i + (qh)i (yh)i, yh 0 h, k k k k L L (23) (k=1,n-1,i=1,m) h (0 hyh)i = -( hyh)i + (qh)i (yh)i , yh 0 h, k k k k (k=1,n-1,i=1,m) являются конечно-разностными аналогами операторов 0, 0, 0, соответ0 L ственно. Здесь qh - сеточные функции, соответствующие функциям q(x) C( ), q(x) C( ), q(x) C( ). Аналогично строятся операторы h, h, 0 L 0 L h на множествах h, h, h 0 L Для функций h, h 0 h, h, h 0 h, h, h 0 h построим соответ0 L ствующие им функционалы:

M n-1 M n-h (0 hh, h) = - ( hh)i (h)i + (qh)i (h)i (h)i, k k k k k i=1 k=1 i=1 k=mj mj L n-1 L n-h (0 hh, h) = - ( hh)i j(h)i j + (qh)i j(h)i j(h)i j, k k k k k L j=1 i=1 k=1 j=1 i=1 k=m n-h (0 hh, h) = - ( hh)i (h)i + k k i=1 k=J( ) m n-+ (qh)i (h)i (h)i .

k k k i=1 k=J( ) Теорема 8(4.2.3-6). Имеют место тождества:

M n-1 M n-h h - ( hh)i (h)i = - ( hh)i (h)i.

k k k k i=1 k=1 i=1 k=M n-1 M n-1 M-h - ( hh)i (h)i = (hh)i (hh)i + i(h)i (h)i, k k k k n n h i=1 k=1 i=1 k=1 i=(24) для функций h, h 0 h, mj mj L n-1 L n-h h - ( hh)i j(h)i j = - ( hh)i j(h)i j, k k k k j=1 i=1 k=1 j=1 i=1 k=(25) mj mj L n-1 L n-h - ( hh)i j(h)i j = (hh)i j(hh)i j, k k k k j=1 i=1 k=1 j=1 i=1 k=для функций h, h 0 h, L m n-1 m n-h h - ( hh)i (h)i = - ( hh)i (h)i , k k k k i=1 k=1 i=1 k=J( ) J( ) (26) m n-1 m n-h - ( hh)i (h)i = (hh)i (hh)i , k k k k i=1 k=1 i=1 k=J( ) J( ) для функций h, h 0 h.

Следствие. 1) Из первого тождества (24) следует самосопряженность, из второго - положительность оператора 0 h. 2) Из первого тождества (25) следует самосопряженность, из второго - положительность оператора 0 h.

L 3) Из первого тождества (26) следует самосопряженность, из второго - положительность оператора 0 h. 4) Отметим также, что полученные результаты переносятся и на дифференциальные операторы, рассматриваемые на функциях с носителем на .

Для дифференциальных операторов 0, 0, 0 получены ошибки ап0 L проксимации конечно-разностными операторами (23).

Далее рассматривается задача аппроксимации на сетке h [0, T ] уравнений с распределенными параметрами вида 2 (27) + 0 = f, + 0 = f, t tи им соответствующих граничных задач на [0, T ] (граф - один из,,, оператор 0 - один из 0, 0, 0 ; h, - шаги сетки).

L 0 L Разностные схемы с операторами 0, 0, 0 исследованы на устойчи0 L вость (спектральная устойчивость по Нейману, устойчивость по норме), получены условия устойчивости по норме разностных схем для операторов 0, 0, 0. Доказаны теоремы сходимости на основе классических результатов L А.Ф.Филиппова7.

В главах V и VI полученные теоретические результаты использованы в качестве математической основы для разработки средств специального программного обеспечения при изучении математических моделей, описывающих тепловые и волновые процессы в промышленных конструкциях.

Обратимся к задаче нагрева металлического слитка для адаптации его к процессу обработки прокатными устройствами (ограниченность температуры заготовки, снятия перепадов температур в массиве заготовки и связанных с ними температурных напряжений и т.д.). В работах Ю.Н. Андреева, А.Г. Бутковского, С.А.Малого8 изучались сходные процессы, при этом не учитывалась информация о температуре по длине слитка (короткие слитки). Ниже предполагается наличие мест установки периферийных компонент теплового датчика (длинные слитки) для наблюдения за теплофизическими характеристиками материала. Рассматривается граничная задача (1)-(4), лежащая в основе математической модели процесса. Исследование состоит из двух частей: 1) решение обратной задачи на простейшем графе для определения теплофизических характеристик заготовки по состоянию температурного поля в фиксированной точке пространственной переменной (данные датчика), 2) нагрев материала с найденными теплофизическими параметрами перевод системы (1)-(4) из состояния (3) в состояние Q(x, T ) = (x), x . (28) Остановимся на основных этапах решения. Будем считать, что граничная задача (1)-(4) допускает преобразование Лапласа, а именно, все функции, входящие в запись граничной задачи (1)-(4) по переменной t 0 не более чем экспоненциального роста. Кроме того предполагаем не являющуюся ограничительной с прикладной точки зрения возможность перемены местами операции преобразования Лапласа, с одной стороны, и операции дифференцирования с другой.

Для граничной задачи (1)-(4) рассмотрим спектральную задачу на простейшем графе , которая состоит из уравнений -y + q(x) y = y, x k, k = 1, m, (29) k k k k на ребрах k при фиксированной параметризации (стр.11), соотношений kL y kL - y kL = ky, k = 1, m - 1, (30) m m m k k+1 k+Филлипов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений // Доклады РАН - 1955 - Т.100, № 6. С.81-87.

1.Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. - Издво ”Металлургия”, 1972. - 440 с. 2.Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

в узлах k (k = 1, m - 1) и краевых условий y (0) - hy(0) = 0, y (L) + Hy(L) = 0, (31) 1 1 m m здесь - спектральный параметр.

Теорема 9(6.1.3). Полюсы аналитического продолжения преобразоваL ния Лапласа функции Q k0 m, t (k0 - фиксировано: 1 k0 m - 1) являются собственными значениями задачи (29)-(31), взятыми с противоположными знаками.

Пусть {n}n1 и 0 - собственные значения задачи (29)-(31) и той n nже задачи со вторым условием Дирихле в (31): y(L) = 0.

Теорема 10(6.1.4). Задание двух спектров {n}n1, 0 однозначно n nопределяет функцию q (x) в (1) и постоянные h, H в (4).

Задача нагрева с определенными теплофизическими характеристиками q (x), h, H и граничными воздействиями µ(t), (t) сводится к задаче управления конечномерным объектом. Решение граничной задачи (1)-(4) представимо в виде ряда по собственным функциям {n (x)}n1 краевой задачи (29) (31): Q (x, t) = un (t) n (x). Для функций un (t) (n = 1, 2,...) получаем n=бесконечную систему уравнений:

u n (t) = -µ2un (t) + (t)n(L) - µ(t)n(0), n = 1, 2,..., n положительность собственных значений обусловлена положительностью функции q(x) на . Начальные условия un (0) = n (n = 1, 2,...) определяются коэффициентами Фурье n функции (x) = Q (x, 0) при разложении ее в ряд Фурье по системе {1/nn ()}n1, n = n(x). В практиL2() ческой теплофизике рассматриваются лишь первые несколько мод, т.к. при больших n вклад членов un (t) n () незначителен. Показано, что числа µn удовлетворяют неравенствам (n - 1) µn nL и, следовательно, величиL на µ2 быстро возрастает с возрастанием номера n. Таким образом, распреn деленная система (1)-(4) достаточно точно описывается своими первыми N модами и задача перевода системы (1)-(4) в состояние (28) сводится к управлению конечномерной системой, к ней применимы методы теории управления линейными дифференциальными системами (работы В.И. Зубова, А.П. Жабко и их научного коллектива9). Приводится алгоритм управляемого нагрева стержня с неизвестными теплофизическими характеристиками, в главе IV обсуждаются вопросы аппроксимации и погрешности алгоритмов.

Граничная задача, лежащая в основе моделирования колебаний трубопровода, возникающих при движении по нему жидкой субстанции, аналогична (1)-(4). Уравнения (1) заменяются уравнениями 2 (32) Q(x, t) = Q(x, t) - q(x) Q(x, t) k k k k t2 xнапример, Зубов В.И. Колебания и волны. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. - 416 с.

на каждом ребре k (k = 1, m) для функции изменения амплитуд колебаний Q(x, t), (x, t) [0, T ]. В узлах k (k = 1, m - 1) установлены периферийные компоненты датчиков, фиксирующих амплитуды колебаний (соотношения (2)), коэффициенты k (k = 1, m - 1) характеризуют влияние масс компонент датчиков. Предположим, что в начальный момент времени t = имеется некоторое возбужденное состояние среды:

Q (x, 0) = Q0 (x), Q (x, 0) = Q0(x). (33) x Пусть воздействие на колеблющуюся среду осуществляется векторфункцией u(t) = (u1(t), u2(t)): граничные условия (4) заменяются Q(0, t) = u1(t), Q(L, t) = u2(t). (34) Задача гашения колебаний. Найти функцию воздействий u(t), такую, что max |u(t)| C (C > 0 - заданная постоянная), которая необt[0,T ] ходима для успокоения системы (32),(2),(33),(34) за возможно короткий промежуток времени T, т.е. необходимо получить за минимальное время T нулевое распределение как амплитуд, так и их скоростей изменения.

Задача гашения колебаний упругой среды сводится к соответствующей проблеме моментов. Система для моментов функции воздействий имеет бесконечное число уравнений. С целью расчета практически приемлемых законов воздействия рассматривается ”усеченная” система (конечная проблема моментов). Анализ приближенного решения приведен в § 6.4.

При исследовании упругой антенной системы типа ”мачта-растяжки” используется граничная задача (5)-(9). Пусть функции µ k(t) (k = 1, m - 1, = 1, L) в граничных условиях (9) непрерывны на отрезке [0, T ] и осуществляют воздействие на систему (5)-(9), обозначим u(t) = (µ1(t),..., µ1 (t),..., µL(t),..., µL (t)). Задача гашения колебаний системы 1 m1-1 1 mL-(5)-(9) состоит в определении функции воздействия u(t), | |u(t)||C[0,T ] M, такой, чтобы при минимальном значении времени T имело место (x, T ) = 0, (x, T ) = 0.

t Для решения задачи используется метод моментов, который дает единую вычислительную процедуру вне зависимости от сложности и порядка линейного объекта и числа функций воздействия. Требуется лишь знание собственных значений и собственных функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

В приложениях представлены доказательства технически громоздких утверждений, относящихся к численным методам анализа разностных схем на графах (приложения 1-6), а также результаты численного эксперимента (приложение 7) и листинги программ (приложение 8). На рис. 1-представлена геометрическая интерпретация некоторых фрагментов численных расчетов.

Рис. 1. Нестационарное распределение температур на ребрах k(k = 1, 2, 3) простейшего графа при различных значениях t: 1 0; 2 0.02; 3 0.045;

4 0.07; 5 0.095.

Отметим эффект "оттока"тепла в узлах 1, 2 простейшего графа (рис.1), определяемый соотношениями (2) и коэффициентами 1 = 1, 2 = 2(m = 3).

Рис. 2. Нестационарное распределение температур на ребрах k(k = 1, 2, 3) звезды при различных значениях t: 1 0; 2 0.02; 3 0.045; 4 0.07.

В узле звезды (рис.2) имеет место равенство температур и соотношение для тепловых потоков Q x(1, t) +Q x(1, t) =Q x(1, t).

1 2 Рис. 3. Распределение температур Q(x, t) на ребрах k(k = 1, 2, 3, 4) графа с циклом при различных значениях t: 1 0; 2 0.02; 3 0.045; 4 0.07;

5 0.095.

Значения температур на графе с циклом (рис.3) в каждом из узлов 1, 2 одинаковые и имеют место соотношения для тепловых потоков:

Q x(1, t) =Q x(1, t) +Q x(1, t), Q x(2, t) +Q x(2, t) =Q x(2, t).

1 2 3 2 3 Рис.4. Распределение амплитуд поперечных колебаний на ребрах k(k = 1, 2, 3, 4) звезды при различных значениях t: 1 0; 2 0.01;

3 0.03; 4 0.07.

Значения амплитуд колебаний (x, t) на звезде (рис.4) в узле одинаковые, баланс сил натяжений определяется соотношением x(1, t) + x(1, t) + 1 x(1, t) = x(1, t).

3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Основные результаты диссертационного исследования заключаются в следующем.

1. Разработаны и обоснованы новые качественные аналитические методы исследования математических моделей, формализованных в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах: изучена структура спектров краевых задач на графе, построены системы собственных функций, получены асимптотические формулы по спектральному параметру для собственных значений, собственных функций и функций Грина краевых задач на графе, проведено исследование полноты и базисности системы собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе, получены достаточные условия разложимости заданной функции по системе собственных функций, непосредственно проверяемые на практике. Проведено обоснование метода Фурье при решении граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе.

2. Развиты аналитические методы исследования математических моделей с носителями на графе, включающих в себя элементы обратных задач технической теплофизики. Решена задача восстановления спектральных характеристик краевой задачи, соответствующей граничной задаче для эволюционного уравнения на простейшем графе, по некоторой априорной наблюдаемой информации. Решена задача восстановления потенциала по двум спектрам в задаче определения теплофизических или иных характеристик промышленного объекта.

3. Представлены новые приближенные аналитические методы построения конечно-разностных аналогов граничных задач на графах: получены условия аппроксимации дифференциальных операторов на графах конечноразностными операторами на сетке, исследован порядок аппроксимации, доказана устойчивость построенных разностных схем, проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи. Получены условия разрешимости конечно-разностных систем уравнений, возникающих в методе сеток, представлен алгоритм для вычисления границ положительного спектра положительного оператора, являющегося конечномерным аналогом системы уравнений с распределенными параметрами на графе.

4. Разработаны математические методы, используемые при анализе математических моделей нагрева металлического слитка со встроенными периферийными компонентами датчиков, переноса тепла по антенной конструкции типа ”мачта-растяжки” и сетчатой антенной конструкции, колеблющейся субстанции трубопровода, а также методы, используемые для анализа математических моделей, описывающие колебательные процессы сложных антенных конструкций.

5. Численно проинтегрированы граничные задачи, лежащие в основе математических моделей процессов промышленной теплотехники и материаловедения: нагрев металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, построение температурных полей в сетеподобных промышленных конструкциях, задачи гашения колебаний в сложносочлененных устройствах.

6. Разработаны и реализованы численные методы и алгоритмы решения разностных аналогов указанных прикладных задач, комплексы программ, выполненные в среде Delphi 7 и C++. Представлены результаты численных экспериментов тестовых задач.

Список основных публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Провоторов В.В. Полнота системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с особенностями / В.В. Провоторов // Вестник Тамбов.

гос. ун-та. Сер. Естествен. науки. - 2006. - Т. 11. Вып. 2. - С. 129-136.

2. Провоторов В.В. Задачи управления нагревом стержня с неизвестными теплофизическими характеристиками / В.В. Провоторов // Вестнник Воронеж. гос. техн. ун-та. - 2006. - Т. 2. № 5. - С. 31-37.

3. Провоторов В.В. Задача гашения продольных колебаний стержня с особенностями / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2006. - № 1(23). - С. 98-101.

4. Провоторов В.В. Математическое моделирование колебательных процессов поддерживающих растяжек упругой мачты / В.В. Провоторов // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии. - 2006. - № 2. - С. 28-35.

5. Провоторов В.В. Единственность решения обратной задачи теплопроводности с особенностями / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.1(31). - С. 178-182.

6. Провоторов В.В. Моделирование колебательных процессов ”мачтарастяжки” / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.2(31). - С. 272-277.

7. Провоторов В.В. Гашение колебаний континуума с особенностью / В.В.

Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2008.

- № 1.3(31). - С. 394-397.

8. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы ”мачта-растяжки” / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.2(32). - С.

293-297.

9. Провоторов В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде / В.В. Провоторов // Математический сборник. - 2008. - Т.

199, № 10. - С. 105-126.

10. Провоторов В.В. Управление колебаниями механической системы ”мачта-растяжки” / В.В. Провоторов // Вестник Воронеж. гос. техн. ун-та.

- 2009. - Т. 5. № 2. - С. 57-61.

11. Провоторов В.В. Оптимальное управление непрерывно распределенной колеблющейся средой / В.В.Провоторов // Вестник Воронеж. гос. техн. унта. - 2009. - Т. 5. № 2. - С. 138-141.

12. Провоторов В.В. Разностные схемы граничных задач на графе/ В.В.Провоторов // Вестник Воронеж. гос. техн. ун-та. - 2009. - Т. 5. № 10. - С. 14-18.

13. Провоторов В.В. Устойчивость разностных схем граничных задач на графе / В.В.Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - № 2.2(36). 2009. - С.280-285.

Книги 14. Провоторов В.В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения: монография: монография / В.В.Провоторов. - Воронеж : Научная книга, 2008. - 247 с.

Статьи и материалы конференций 15. Провоторов В.В. О применении методов оптимизации в химической технологии / В.В. Провоторов, Е.Н. Малыгин // Труды Московского ин-та хим.машиностроения. - Москва, 1975. - № 64. - С. 161-165.

16. Провоторов В.В. Обратная задача восстановления коэффициентов параболического уравнения / В.В. Провоторов, Ю.С. Шаталов // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь, 1978. - С. 119-129.

17. Провоторов В.В. О восстановлении спектра краевой задачи теплопроводности при неизвестных коэффициентах / В.В. Провоторов, Ю.С.Шаталов // Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи: межвуз.

сб. науч. тр. - Пермь, 1979. - С. 108-115.

18. Провоторов В.В. О восстановлении спектра дискретного аналога краевой задачи теплопроводности / В.В. Провоторов, Ю.С. Шаталов // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь, 1979. - С. 123-127.

19. Провоторов В.В. О восстановлении переменных параметров переноса / В.В. Провоторов, Ю.С. Шаталов // Тепломассообмен - IV: тез. докл. Всесоюз.

конф. - Минск, 1980. - С. 163-167.

20. Провоторов В.В. Решение одной обратной задачи для уравнения параболического типа / В.В. Провоторов // Краевые задачи: межвуз. сб. науч.

тр. - Пермь, 1980. - С. 85-89.

21. Провоторов В.В. Интегральные неравенства при решении обратной задачи / В.В. Провоторов // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь, 1981. - С. 107-111.

22. Провоторов В.В. Оценки погрешности решения обратной задачи / В.В.

Провоторов // Краевые задачи : межвуз. сб. науч. тр. - Пермь, 1982. - С.

125-129.

23. Провоторов В.В. Теплообмен в процессах желатинирования- вулканизации латексной пены / В.В. Провоторов, М.В. Несмеянов, С.П. Рудобашта, // Каучук и резина. - 1984. - № 6. - С. 99-102.

24. Провоторов В.В. Об операторе преобразования для граничных задач с особенностью / В.В. Провоторов // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. Пермь, 1985. - С. 99-103.

25. Провоторов В.В. Оператор преобразования для граничных задач с особенностью / В.В. Провоторов // Дифференциальные уравнения и их применение : труды III Междунар. конф. - НР Болгария, Руссе, 1987. - Ч. I. С. 267.

26. Провоторов В.В. Об операторе преобразования одной краевой задачи / В.В. Провоторов // XII школа по теории оператров в функциональных пространствах: тез. докл. - Тамбов, 1987. - Ч. II. - С. 146.

27. Провоторов В.В. Одна обратная задача для уравнения ШтурмаЛиувилля с разрывом / В.В. Провоторов // Дифференциальные уравнения и их применение: труды IY Междунар. конф. - НР Болгария, Руссе, 1989. С. 248.

28. Провоторов В.В. Существование оператора преобразования для операторов Штурма-Лиувилля с краевыми условиями внутри интервала / В.В.

Провоторов // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь, 1989. - С.

117-122.

29. Провоторов В.В. К решению обратной задачи для оператора ШтурмаЛиувилля с краевыми условиями внутри интервала / В.В. Провоторов // Функционально-дифференциальные уравнения: межвуз. сб. науч. тр. Пермь, 1989. - С. 98-103.

30. Провоторов В.В. Одна обратная задача для уравнения ШтурмаЛиувилля с разрывом / В.В. Провоторов // Краевые задачи: межвуз. сб.

науч. тр. - Пермь, 1990. - С. 129-133.

31. Provotorov V.V. Sturm-Liouville-type operators that are generated by a selfadjoint differential expression with a singularity / V.V. Provotorov // Methods of applied functional fnflysis, 62-69, Gor’kov. Gos. Univ., Nizhnii Njvgorod, 1990;

MR 94i:34159.

32. Провоторов В.В. Обратная задача по спектральной функции в классе разрывных функций / В.В. Провоторов // Функциональнодифференциальные уравнения: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь, 1991. - С.

127-132.

33. Провоторов В.В. Один новый подход при решении обратных спектральных задач / В.В. Провоторов // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. Пермь, 1991. - С. 142-147.

34. Провоторов В.В. Принцип максимума для задачи распространения тепла водоиспарительных охладителей / В.В.Провоторов // Математическое моделирование информационных и технологических систем. - 2000. - № 4. С. 239-242.

35. Провоторов В.В. К вопросу о решении обратной спектральной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на графе / В.В.Провоторов // Вестник Тамбов. гос. ун-та. Сер. Естеств. наук. - 2003.

- Т.8. Вып.3. - С.436-438.

36. Провоторов В.В. Полнота системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке в пространстве функций с суммируемым квадратом / В.В. Провоторов // Вестник Тамбов. гос. ун-та. Сер. Естеств.

науки. - 2007. - Т. 12. вып. 4. - С. 515-516.

37. Провоторов В.В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке / В.В. Провоторов // Известия вузов.

Серия математика. - 2008. - № 3 (550). - С.50-62.

38. Провоторов В.В. Единственность решения обратной задачи ШтурмаЛиувилля на звезде / В.В. Провоторов // Актуальные проблемы математики и информатики: труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2008.

- № 4. - С. 42-60.

39. Провоторов В.В. Конечно-разностные аналоги дифференциальных операторов на графе-дерево / В.В. Провоторов // Актуальные проблемы математики и информатики: труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2009. - № 1. - С. 66-76.

40. Провоторов В.В. О методе моментов для граничных задач на графедерево / В.В. Провоторов // Актуальные проблемы математики и информатики: труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2009. - № 2. С. 55-64.

41. Провоторов В.В. Спектральные характеристики краевой задачи на графе с циклом / В.В. Провоторов // Актуальные проблемы математики и информатики: труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2009. - № 3. - С. 27-42.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.