WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

ПАНЧУК КОНСТАНТИН ЛЕОНИДОВИЧ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТОГО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В ИНЖЕНЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ

Специальность 05.01.01 Инженерная геометрия и компьютерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Омск 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования “Омский государственный технический университет” Министерства образования и науки Российской Федерации

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Волков Владимир Яковлевич

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Якунин Вячеслав Иванович доктор технических наук, профессор Рауба Александр Александрович доктор технических наук, доцент Юрков Виктор Юрьевич

Ведущая организация: Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Защита диссертации состоится 10 апреля 2009 г. в 14 00 на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 212.250.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования “Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия” по адресу:

644080, г. Омск, пр. Мира, 5, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия”, 644080, г. Омск, пр. Мира, 5.

Автореферат разослан 2009г.

Ученый секретарь объединенного диссертационного совета ДМ 212.250.кандидат технических наук М.Ю. Архипенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Теоретический аспект. Одной из составляющих теоретического базиса современной инженерной геометрии является линейчатая геометрия. Исследования линейчатого пространства, представляемого как четырехпараметрическое многообразие прямых расширенного трехмерного евклидова пространства, а также построения моделей этого пространства, известны в высшей и отчасти в начертательной геометриях. Если применения объектов линейчатого пространства (комплексов, конгруэнций, регулюсов) в качестве проецирующего аппарата при конструктивном геометрическом моделировании достаточно многочисленны и результативны (стереографические, косые, изотропные проекции), то проблема исследования и геометрического моделирования линейчатого пространства в целом, с учетом его метрической структуры, в начертательной и инженерной геометриях не решена.

Существующие направления геометрического моделирования четырехпараметрического многообразия прямых можно условно разделить на две группы:

1. Моделирование в самом расширенном трехмерном евклидовом пространстве, т.е. линейчатое многообразие и его модель подчинены метрической структуре этого пространства. К этой группе относятся: отображение прямых на квадратичную систему коник плоскости (Л. Кремона, Р. Штурм, А.А. Глаголев);

прямолинейно-сферическое отображение С. Ли - не “замечено” в начертательной геометрии, хотя ее основатель Гаспар Монж ввел геометрические методы в приложения этого отображения; отображение Майора; кинематическое отображение Бляшке-Грюнвальда; метод двух следов и другие отображения.

2. Моделирование в пространстве, отличном от расширенного трехмерного евклидова: в проективном пятимерном пространстве - отображение Плюккера; в неевклидовом пятимерном - отображения Б.А. Розенфельда; в евклидовом пространстве над алгеброй дуальных чисел - отображение Котельникова-Штуди.

Гиперквадрика Плюккера, предложенная Ф. Клейном в 1872 г., представляет собой изоморфную точечную модель рассматриваемого многообразия прямых. Аналитические исследования соответствия линейчатых прообразов их образам на гиперквадрике (Ф. Клейн, Б.А. Розенфельд и др.), интерпретация проективной геометрии трехмерного пространства на гиперквадрике, принятой в качестве абсолюта неевклидова пятимерного пространства, и другие исследования на основе отображения Плюккера (Б.А. Розенфельд), имеют соответствующие конструктивные интерпретации в начертательной геометрии и развиты обобщением на многомерные пространства (Ярославская геометрическая школа З.А. Скопеца). В конструктивных геометрических интерпретациях отображения Плюккера вопрос соответствия метрических структур линейчатого пространства и его модели - гиперквадрики Плюккера, не рассматривался.

Отображение Котельникова-Штуди основано на применении дуальных чисел для аналитического моделирования многообразия прямых и векторов трехмерного евклидова пространства в дуальном евклидовом пространстве. В начертательной геометрии это отображение не было рассмотрено по большей части из-за сложности математического аппарата бивекторного (винтового) исчисления и незавершенности самого отображения, если понимать под этим возможность развития в направлении получения более простых, чем известная в этом отображении дуальная единичная сфера, и более удобных для использования, плоскостных моделей линейчатого метрического пространства.

Прикладной аспект. В кинематической геометрии известны постановка задачи о моделировании пространственного движения абсолютно твердого тела или системы твердых тел на плоскости и ее решение применительно к пространственным зубчатым зацеплениям. Решение основано на установлении конструктивным способом взаимно однозначного соответствия между евклидовой плоскостью и сферой, а также на принципе Котельникова-Штуди перенесения геометрии связки прямых и плоскостей в линейчатое пространство. Стратегически верно ориентированный путь решения известной задачи содержит тактическую ошибку - метрика евклидовой плоскости не соответствует в целом метрике сферы с отождествленными диаметрально противоположными точками.

В методе Монжа отображение пространства на плоскость выполняется по методу двух изображений тремя связками прямых, центры которых принадлежат несобственной прямой - направляющей специального линейного комплекса прямых. Известны конструктивные и метрические свойства в целом аппарата этого линейного отображения, его свойства в бесконечно малом слабо изучены.

Непрерывными взаимосвязанными движениями двух абсолютно твердых тел, в каждый момент времени приводящими к мгновенному кинематическому винту (МКВ), можно образовать пару взаимоогибаемых поверхностей. Контактные нормали вдоль линии касания этих поверхностей являются лучами МКВ. Последний представляет собой нуль-систему (общий линейный комплекс прямых). Геометрическая интерпретация сложения движений двух абсолютно твердых тел, приводящих к МКВ, и разложения МКВ на составляющие; моделирование подмножеств МКВ на плоскости изображений; конструктивные алгоритмы выделения контактных нормалей из комплекса лучей МКВ по условию касания взаимоогибаемых поверхностей, реализуемые на плоскости изображений – эти операции могут быть положены в основу построения наиболее оптимальных геометрических моделей конструирования таких поверхностей применительно к проектированию металлорежущих инструментов.

Таким образом, очевидна проблема незавершенности и недостаточности теоретических разработок в области геометрического моделирования линейчатого пространства, выполнение которых необходимо как для исследования самого пространства в целом, с учетом его метрической структуры, так и для решения множества прикладных задач, имеющих место в этом пространстве.

Из анализа поставленной проблемы следуют объект и предмет исследования.

Объектом диссертационного исследования является совокупность пространств: трехмерные евклидово и проективное пространства, содержащие четырехпараметрическое многообразие прямых линий; трехмерное евклидово векторное пространство над алгеброй дуальных чисел.

Предметом диссертационного исследования является линейчатое метрическое пространство и его плоскостные модели, конструктивно-аналитическое оперирование на которых является целесообразным для исследования пространства с учетом его метрической структуры и решения прикладных задач.

Вышеизложенное позволяет определить цель и поставить задачи диссертационного исследования.

Цель диссертационного исследования. Разработка теории геометрического моделирования линейчатого метрического пространства, обеспечивающей возможность конструктивно-аналитического оперирования образами линейчатых объектов на плоскости, для решения теоретических и прикладных задач инженерной геометрии.

Достижение цели исследования требует решения следующих теоретических и прикладных задач:

- определить наиболее значимые теоретические и прикладные проблемы геометрического моделирования линейчатого метрического пространства на основе анализа основных, исторически сложившихся направлений исследования линейчатого пространства, анализа применений линейчатой геометрии в теории моделирования точечных пространств и в решении прикладных задач;

- расширить класс известных моделей эллиптической прямой за счет линейчатых моделей, построенных на основе установления соответствия метрик эллиптической прямой и ее модели;

- исследовать конструктивное метрическое соответствие эллиптической плоскости и линейчатого пространства;

- исследовать конструктивные и метрические свойства коник эллиптической плоскости как образов, соответствующих линейчатым прообразам;

- построить дуальную плоскостную модель линейчатого метрического пространства и на ее основе разработать теоретические положения проективной геометрии этого пространства;

- исследовать теоретические вопросы линейчатой и кинематической геометрий, необходимые для моделирования в эллиптической плоскости решений задач пространственной кинематики применительно к зубчатым зацеплениям;

- обосновать принятие эллиптической плоскости в качестве пространства геометрического моделирования зубчатых зацеплений с взаимоогибаемыми линейчатыми поверхностями зубьев колес;

- исследовать свойства в бесконечно малом аппарата линейного отображения в методе Монжа на основе установления соответствия дифференциальногеометрических характеристик кривой линии пространства и ее модели;

- разработать теорию геометрических моделей конструирования сопряженных (взаимоогибаемых) поверхностей класса винтовых, применяемых при проектировании режущих инструментов, на основе подмножеств комплекса прямых линий кинематического винта и их образов на плоскости;

- показать возможность практического использования геометрических моделей конструирования при профилировании металлорежущих инструментов.

Метод исследования. В качестве основного в диссертационной работе принят метод геометрического моделирования, основанный на установлении конструктивным и аналитическим способами соответствия между линейчатым метрическим пространством и его эллиптической и дуальной эллиптическими плоскостными моделями. Основу математического инструментария исследования этого соответствия составили: конструктивный и аналитический методы проективной геометрии плоскости и пространства, методы аналитической геометрии плоскости и пространства, методы дифференциальной геометрии плоскости и пространства, алгебра дуальных чисел и элементы теории винтов, методы векторного и винтового исчислений, конструктивные и аналитические интерпретации методов кинематической геометрии плоскости и пространства.

Теоретическую базу диссертационного исследования составили:

- по проективной геометрии труды Н.Ф. Четверухина, Н.А. Глаголева, Н.В. Ефимова, О.А. Вольберга, Г.Б. Гуревича и других ученых;

- по аналитической геометрии труды П.С. Александрова, М.М. Постникова, А.В. Погорелова, В.А. Ильина, Г. Дарбу и других ученых;

- по дифференциальной геометрии труды П.К. Рашевского, С.П. Финикова, А.В. Погорелова, С.С. Бюшгенса, В. Бляшке и других ученых;

- по линейчатой геометрии труды Ю. Плюккера, Ф. Клейна, Р. Штурма, К. Циндлера, Э. Штуди, А.П. Котельникова, Д.Н. Зейлигера, С.П. Финикова, Н.И. Кованцова, З.А. Скопеца, А.П. Нордена, А.П. Широкова, Ф.М. Диментберга, Г. Поттмана, Дж. Вальнера и других ученых;

- по неевклидовой геометрии труды Ф. Клейна, В.Ф. Кагана, С.А. Богомолова, Б.А. Розенфельда, И.М. Яглома, Н.В. Ефимова, Э. Мольнера, Э. Картана, Г. Либмана, Дж. Л. Кулиджа, Д.М.Ю. Соммервилля и других ученых;

- по теории начертательной геометрии, геометрическому моделированию и его приложениям работы Н.Ф. Четверухина, И.И. Котова, И.С. Джапаридзе, К.И. Валькова, З.А. Скопеца, П.В. Филиппова, В.А. Осипова, В.Н. Первиковой, А.М. Тевлина, Г.С. Иванова, В.И. Якунина, В.С. Полозова, С.И. Роткова, В.Я. Волкова, В.Ю. Юркова, О.А. Графского, Н.Д. Вертинской, В.Е. Михайленко, В.С. Обуховой, А.Л. Подгорного, Ж.М. Есмухана, Б.Н. Нурмаханова.

- по теории пространственных зубчатых зацеплений и ее приложениям работы Ф.Л. Литвина, В.С. Люкшина, Н.Н. Крылова, Л.В. Коростелева, Г.И. Шевелевой, М.Ф. Ленского, С.И. Лашнева и других ученых.

Научная новизна. Главным итогом диссертационного исследования, обладающим научной новизной и определяющим теоретическую значимость работы, является получение эллиптической и дуальной эллиптической плоскостных моделей линейчатого метрического пространства.

Новыми научными результатами являются:

- дополнен класс моделей эллиптической прямой ее линейчатыми моделями: алгебраическим коноидом третьего порядка и щеткой;

- установлено, что связка прямых и плоскостей трехмерного расширенного евклидова пространства; сфера с центром в центре связки и отождествленными диаметрально противоположными точками; плоскость, касательная к этой сфере и допускающая интерпретацию метризованной проективной плоскости; линейчатое пространство - это множества с взаимно соответственными метрическими структурами;

- установлено существование системы конструктивных и метрических свойств каждой кривой второго порядка эллиптической плоскости, основанной на метрических соотношениях между фигурами, которые конструктивно связа ны с кривой и абсолютом и к которым отнесены: общий с абсолютом автополярный координатный треугольник, общие абсолютные мнимые точки и касательные, центры кривых и их оси;

- доказано, что в евклидовом дуальном пространстве эллиптическая плоскость, касающаяся единичной сферы с отождествленными диаметрально противоположными точками и допускающая интерпретацию метризованной проективной плоскости, представляет собой гомеоморфную модель линейчатого метрического пространства;

- доказано, что проективному образованию квадратичных образов в дуальной метризованной проективной плоскости и их проективным свойствам соответствуют проективное образование линейчатых квадратичных образов в линейчатом пространстве и проективные свойства этих образов;

- установлено, что вещественная эллиптическая плоскость может быть принята в качестве пространства моделирования линейчатых зубчатых зацеплений;

- доказано существование взаимно-однозначного соответствия дифференциально-геометрических характеристик пространственной кривой и ее модели на чертеже Монжа, выявляющего свойства в бесконечно малом линейного проецирования в методе Монжа и расширяющего возможности чертежа при моделировании на нем нелинейных объектов евклидова пространства;

- установлено, что отдельные объекты линейчатого пространства: комплекс, конгруэнция, регулюс и их образы на чертеже Монжа могут быть положены в основу построения геометрических моделей конструирования взаимоогибаемых поверхностей класса винтовых с линейным и точечным контактом;

- доказано, что линейно-контактирующие взаимоогибаемые поверхности класса винтовых могут быть получены конструированием на основе цепи последовательных выделений линейчатых подмножеств: конгруэнции возможных контактных нормалей из комплекса прямых кинематического винта, регулюса контактных нормалей из конгруэнции таких нормалей;

- доказано, что возможные контактные нормали точечно-контактирующих взаимоогибаемых винтовых поверхностей образуют пучок, центр и плоскость которого соответственны в нуль-системе.

Практическая значимость. Практическая значимость заключается в применениях теоретических результатов, полученных при моделировании линейчатого метрического пространства эллиптической плоскостью и моделировании его объектов на чертеже Монжа, а именно:

- предложено выполнять на вещественной эллиптической плоскости конструктивные и аналитические решения задач исследования и синтеза пространственных линейчатых зубчатых зацеплений, то есть зацеплений с взаимоогибаемыми линейчатыми поверхностями зубьев колес и линейчатыми аксоидными поверхностями;

- предложен метод конструирования взаимоогибаемых поверхностей класса винтовых с линейным контактом, общий для всевозможных пар сочетаний поверхностей этого класса, применяемый при профилировании металлорежущих инструментов, при этом все геометрические модели имеют конструктивную и аналитическую реализацию;

- предложен метод конструирования взаимоогибаемых винтовых поверхностей с точечным контактом, применяемый при профилировании червячных фрез и винтовых зубчатых передач, при этом геометрическая модель конструирования также имеет конструктивную и аналитическую реализацию;

- разработаны алгоритмы вычислений и приведены блок-схемы, на основе которых созданы программы (на языке С ++ в оболочке Borland Builder c использованием Open GL) компьютерной реализации решений основных задач профилирования дискового и червячного режущих инструментов для обработки винтовых канавок деталей.

Реализация результатов исследования. Результаты теоретических исследований диссертационной работы внедрены или приняты к внедрению в виде методических материалов, содержащих реальные геометрические модели профилирования дискового и червячного режущих инструментов, а также алгоритмов и программ, обеспечивающих визуализацию процесса профилирования, на предприятиях г. Омска: ОАО НИИТКД (“Научно-исследовательский институт технологии, контроля и диагностики”); ФГУП ОМО им. П.И. Баранова (“Омское моторостроительное объединение им. П.И. Баранова”); ОАО “Омскагрегат”.

Результаты научных исследований внедрены в учебный процесс при чтении лекций и проведении практических занятий на факультете повышения квалификации при Омском государственном техническом университете для преподавателей высших и средних учебных заведений г. Омска.

Теоретические результаты диссертационного исследования и их технические приложения явились дополнительными аргументами для получения гранта № 2.1.2/5433 Министерства образования и науки Российской Федерации на проект “Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных многофакторных процессов” по программе “Развитие потенциала высшей школы (2009-2010 годы)” и будут частично включены в отчет по выполняемому проекту.

Апробация работы. Основные результаты исследований диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на республиканской конференции по проблемам комплексного применения технических средств на базе ЭВМ в учебном процессе. 27-30 июня 1977г., г. Омск;

- на пятой Омской областной математической конференции. 4-5 февраля 1987г., г. Омск;

- на 47-ой научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Ленинградского инженерно-строительного института.

6-8 февраля 1990г., г. Ленинград;

- на научно-методической Украинской конференции “Перспективы развития машинной графики в преподавании графических дисциплин”. 15-18 сентября 1992г., г. Одесса;

- на Международной научно-практической конференции, посвященной 200летию создания начертательной геометрии. Украина, 1998г., г. Харьков;

- на третьей Международной научно-технической конференции “Динамика систем, механизмов и машин”. 26-28 октября, 1999г., г. Омск;

- на четвертой Международной научно-технической конференции “Динамика систем, механизмов и машин”, посвященной 60-летию ОмГТУ. 12-14 ноября, 2002г., г. Омск;

- на 10-ой Интернациональной конференции по геометрии и графике. Украина, 28 июля - 2 августа 2002г., г. Киев (на англ. языке);

- на седьмой Международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. Украина, 17-20 июня 2003г., г. Мелитополь;

- на втором Международном технологическом конгрессе ”Военная техника, вооружение и технологии двойного назначения в 21 веке”. 2003г., г. Омск;

- на 11-ой Интернациональной конференции по геометрии и графике. Китай, 1-5 августа 2004г., г. Гуанчжоу ( на англ. языке);

- на Международной украинско-российской научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. Украина, 19-22 апреля 2005г., г. Харьков;

- на второй Международной украинско-российской научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. Украина, 24-27 апреля 2007г., г. Харьков;

- на Всероссийском совещании заведующих кафедрами графических дисциплин вузов РФ. 20-22 июня 2007г., г. Челябинск;

- на Международном конгрессе “Машины, технологии и процессы в строительстве”. 6-7 декабря 2007г., СибАДИ, г. Омск;

- на семинарах кафедры “Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика” и научных конференциях ОмГТУ, проведенных в период с 1978 г. по 2008 г.

На защиту выносятся:

- метод моделирования эллиптической прямой линейчатыми образами;

- метод моделирования линейчатого метрического пространства эллиптической плоскостью;

- система конструктивных и метрических свойств кривых второго порядка эллиптической плоскости;

- метод моделирования линейчатого метрического пространства дуальными эллиптической и метризованной проективной плоскостями;

- теоретические основы проективной геометрии линейчатого метрического пространства, моделируемого метризованной проективной плоскостью в дуальном евклидовом пространстве;

- метод моделирования в вещественной эллиптической плоскости пространственного зубчатого зацепления с линейчатыми взаимоогибаемыми поверхностями зубьев колес и линейчатыми аксоидными поверхностями;

- метод определения дифференциально-геометрических характеристик пространственной кривой линии и ее ортогональных проекций в методе Монжа, основанный на аналитическом описании проекционного отображения;

- метод конструирования взаимоогибаемых поверхностей класса винтовых с линейным и точечным контактом, основанный на выделении контактных нормалей из комплекса прямых кинематического винта.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 48 опубликованных работах, из которых 34 принадлежат лично автору, 12 работ опубликованы в изданиях из перечня ВАК, 3 монографии, 3 авторских свидетельства.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, 7 глав, основных результатов и выводов, заключения и приложений. Общий объем работы составляет 517 страниц, включая 182 рисунка, 5 таблиц, библиографический список (227 наименований), приложений (44 стр.).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность исследуемой проблемы с позиций современного уровня развития начертательной геометрии, являющейся теоретической основой инженерной геометрии, и определения ее как раздела геометрии, изучающего теорию методов моделирования пространств и многообразий различного числа измерений и различной структуры. Для каждой главы приведены сведения, касающиеся постановки задач теоретических исследований и достигнутых результатов, для приложений - сведения о результатах решений прикладных производственных задач.

В главе 1 выполнен анализ основных, исторически сложившихся направлений исследований линейчатого пространства и применения его объектов в теории геометрического моделирования точечных пространств и решения различных прикладных задач. Проведение анализа обусловлено необходимостью определения нерешенных вопросов в области геометрического моделирования линейчатого пространства и в области практических применений линейчатой геометрии для выбора направления дальнейших теоретических исследований и решений прикладных задач на основе результатов этих исследований.

В п.1.1-1.8 для этих целей подробно рассмотрены следующие отображения: отображение многообразия прямых линий трехмерного проективного пространства на гиперквадрику пятимерного проективного пространства, предложенное Ф. Клейном; соответствие Ф. Клейна между линейчатой геометрией и геометрией сфер; прямолинейно-сферическое преобразование С. Ли; отображение Б. Майора; отображение (принцип перенесения) Котельникова-Штуди; кинематическое отображение Бляшке-Грюнвальда; метод двух следов.

На основании проведенного анализа определена цель диссертационного исследования и очерчен круг теоретических и прикладных задач, решения которых приводят к достижению поставленной цели.

Сущность конструктивно-аналитического моделирования линейчатого метрического пространства эллиптической плоскостью заключается в следующем. Пусть M1 - множество точек эллиптической плоскости, M2 - множество троек вещественных чисел x1,x2,x3, удовлетворяющих уравнению x = r2.

i Одна и та же тройка чисел представляет собой однородные проективные координаты точки в плоскости M1 и декартовы координаты соответствующей точки на сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками, которая представляет собой модель M3 эллиптической плоскости и которой касательна M1. M1 и M3 имеют один и тот же радиус кривизны r. В таком случае имеет место гомеоморфное соответствие множеств:

M1 M2 M3. (1) Если M - метрическая структура пространства, определяемая его абсолютом, тогда M(M1) - метрическая структура эллиптической плоскости с абсолю- 2 - том k1 = K2 M1, где K2- изотропный конус связки прямых и плоскостей с вершиной в центре сферической модели M3, M(M3) - метрическая структура - 2 сферической модели M3 с абсолютом k3 = K2 M3. Имеет место изоморфное соответствие метрических структур: M(M1) M(M3), получаемое конструктивным перенесением одной метрической структуры на другую. Пусть M4 - множество троек дуальных чисел X1,X2,X3, где Xi = x0i + x1i, 2 = 0, удовлетворяющих уравнению X = 1. Тройка вещественных чисел – главных частей i тройки дуальных чисел, есть координаты точки сферической модели M3 эллиптической плоскости, они же – координаты вектора этой точки в связке с центром в центре сферической модели. Пусть M5 - многообразие линейчатых интерпретаций - прообразов в линейчатом пространстве, гомеоморфных дуальным образам на единичной дуальной сфере. Тогда имеет место последовательность соответствий:

М1М2М (2) М4М5, приводящая к гомоморфному соответствию M1 M5. Если M(M5) - метрическая структура линейчатого пространства с абсолютом K2, представляющем M собой специальный квадратичный комплекс изотропных прямых с несобствен- ной мнимой направляющей коникой k, то имеет место изоморфное соответствие метрических структур:

М(М1)М(М3) (3) М(М5), - 2 - 2 в котором абсолюты k1, k3, K2 соответствуют друг другу конструктивно по M - абсолюту k расширенного пространства R3. Главы 2 и 3 посвящены детальному исследованию гомоморфного соответствия M1 M5 с учетом изоморфного соответствия (3).

В главе 2 изложены аналитические исследования соответствий эллиптической прямой и ее линейчатых образов, а также исследования конструктивных и метрических свойств последних.

В п. 2.1 систематизированы для дальнейших исследований основные положения геометрии гомеоморфных моделей эллиптической прямой. Для этих целей рассмотрено соответствие (1) для случая одномерных множеств. При этом M3 - окружность с отождествленными диаметрально противоположными точками, представляющая собой модель эллиптической прямой. Известные конструктивные и метрические свойства этой модели: расстояние , определяемое формулой cos( r) = x y r2, где x и y- векторы из центра окружности радиуса r, соответствующие ее точкам X(x1,x2) и Y(y1,y2) такие, что x = y = r ; абсолют x =0; автоморфизмы эллиптической прямой M3 относительно ее абсолюта i (движение, отражение, двойные точки отражения); сложное отношение четырех точек; проективное выражение расстояния между двумя точками X и Y прямой M3 через ее абсолют – все эти свойства переносятся конструктивно на M1 - прямую, касательную к окружностной модели M3 эллиптической прямой, посредством пучка прямых с центром в центре модели M3 с сохранением изоморфного соответствия метрик M(M1) M(M3) моделей M1 и M3. В этом отображении расстояние между двумя точками на M3 и соответствующими им двумя точками на M1 равны. Поскольку расстояние между точками X (x1,x2) и Y (y1,y2) прямой M1, определяемое формулой cos(XY r) = yi r2, x i имеет проективную интерпретацию XY = (r 2i)ln(X,Y,I1,I2), где I1,I2 - изотропные точки, то прямая M1 интерпретируется как метризованная проективная прямая. Рассмотрены проективные преобразования прямой M1, не изменяющие ее абсолют: проективные движение и отражение. Показано, что две двойные точки проективного отражения являются полярно соответственными относительно абсолюта этой прямой.

В п. 2.2 исследована геометрия алгебраического коноида (АК) третьего порядка. Большая окружность сферы с отождествленными диаметрально противоположными точками и с центром в центре связки прямых и плоскостей представляет собой модель M3 эллиптической прямой. Линейной комбинации точек на M3 соответствует линейная комбинация векторов плоскости в связке. На основании принципа Котельникова-Штуди перенесения геометрии связки прямых и плоскостей расширенного пространства R3 на линейчатое пространство, линейной комбинации векторов плоскости в связке соответствует линейная комбинация винтов в евклидовом дуальном пространстве R3() :

X + Y = Z, (4) где 0 и 0 могут быть как вещественными, так и дуальными числами.

При вещественных и уравнение (4) определяет двухчленную двухосную группу винтов, оси которых при изменении и описывают поверхность АК.

Разделение главных и моментных частей дуального уравнения АК:

tg = e(P2-P1)tg0, где P2,P1 - параметры базисных винтов X и Y соответственно; = 0 + 1,2 = 0, и - угол и кратчайшее расстояние оси перемен0 ного винта Z группы (4) относительно оси базисного винта X ;0 0 , -a 1 a, a =(P2 -P1) 2 - это разделение приводит к двум вещественным уравнениям, одно из которых 1 =a sin20, позволяет получить представление о конструктивно-метрическом устройстве АК (рисунок 1). Дуальным уравнением X =0, i=1,2,3, определяется пара изотропных прямых во множестве обраi зующих АК, пересекающихся в центре 0 поверхности АК. Сложное отношение µ четырех образующих x,y,z,t поверхности АК определяется формулой:

sin(z - x )0 sin(t - x)µ = (x,y,z,t)= :, (5) sin(y - z)0 sin(y - t ) где в скобках содержатся главные части дуальных разностных углов в плоскости XY, проходящей через центр 0 поверхности АК. На основании известных свойств двухчленной группы винтов доказана теорема: для того, чтобы четыре прямые были образующими АК, необходимо и достаточно, чтобы их сложное отношение было вещественным числом. Исследованы автоморфизмы АК относительно его абсолюта X = 0: преобразования 2 Z Ai движения и отражения с двойными образующими. Доказано предложение: линейная комбинация двух 2=образующих АК есть образующая. На основании 45 вещественности параметра сложного отношения (5) o Y доказано предложение: три прямые одной щетки 45 определяют единственный АК, через них проходя1=1=X щий. Результаты исследований, изложенных в п.

2.2, позволяют сделать общее заключение о том, что поскольку множество образующих АК гомеоморфAно соответствует множеству точек моделей M1 и Рисунок 1 – Схема M3 эллиптической прямой, то АК представляет сообразования коноида бой гомеоморфную модель эллиптической прямой.

В п. 2.3 рассмотрено сложное отношение четырех точек эллиптической проективной прямой. Для четырех точек X,Y,Z,T окружностной модели эллиптической прямой M3, которым соответствуют прямые пучка с направляющими векторами x,y,z,t, может быть записано выражение сложного отношения:

sin(x,z) sin(x,t) µ= :

. (6) sin(y,z) sin(y,t) На основании равенства расстояния двух точек эллиптической прямой Mи соответствующих им двух точек эллиптической прямой M1, допускающей как и M3 проективную интерпретацию, выражение (6) преобразуется в формулу сложного отношения четырех соответствующих точек X,Y,Z,T прямой M1 радиуса кривизны r :

sin (XZ r) sin(XT r) µ=(X,Y,Z,T )= :, (7) sin (YZ r) sin(YT r) из которого следует выражение x1z2 - x2z1 x1t2 - x2t1 ctg (X r) - ctg (Z r) ctg (X r) - ctg (T r), (8) µ = : = :

y1z2 - y2z1 y1t2 - y2t1 ctg (Y r) - ctg (Z r) ctg (Y r) - ctg (T r) где x1 : x2;y1:y2;z1 : z2;t1 : t2 и X,Y,Z,T - соответственно однородные проективные координаты точек прямой M1 в системе проективных координат P1(1:0) и P2(0:1) на ней и расстояния этих точек от начала P1.

В п. 2.4 исследована геометрия щетки. При дуальных и уравнение (4) описывает четырехчленную двухосную группу винтов, оси которых образуют щетку – гиперболическую конгруэнцию Кг(1,1), одна из двух директрис которой – несобственная прямая. Формула (6) сложного отношения четырех прямых пучка в связке прямых и плоскостей расширенного пространства R3 на основании принципа перенесения Котельникова-Штуди преобразуется в формулу сложного отношения четырех прямых ,,, щетки:

sin(,) sin(,), (9) µ = (,,,) = :

sin(,) sin(,) где µ = µ0 + µ1,2 = 0. В правой части содержатся дуальные функции и дуальные аргументы - углы между прямыми. Формула (9) может быть преобразована к виду:

ctg - ctg ctg - ctg a1c2 - a2c1 a1d2 - a2d µ = : = :

, (10) b1c2 - b2c1 b1d2 - b2d1 ctg - ctg ctg - ctg где a1 :a2;b1:b2;c1 : c2;d1 : d2 - дуальные однородные декартовы координаты прямых линий ,,, щетки в системе координат щетки. Показано, что проективное соответствие прямых линий щетки задается тремя парами ее соответствен,,, ), в коных прямых , , . Исходя из равенства (,,,) = ( тором пара переменна, на основании (10) следует уравнение проективного преобразования прямых линий щетки, выраженное в дуальных декартовых неоднородных координатах с дуальными коэффициентами:

x ' = (mx + n) (kx + l), m l - k n 0. (11) Уравнением (11) по условию x=x исследованы различные виды проективного соответствия щетки с двойными прямыми. Условием l= - m исследована по уравнению (11) инволюция прямых щетки, а по дополнительному условию x=x - различные ее виды по двойным прямым. Определена центральная прямая инволюции и ей соответственная. Доказаны следующие предложения, характеризующие метрические свойства центральной прямой: произведение главных частей дуальных координат соответственных в инволюции прямых линий щетки, отсчитываемых от центральной прямой, имеет постоянное значение; модули главных частей дуальных координат двойных в инволюции прямых щетки, отсчитываемых от центральной прямой, равны. Исследованы метрические свойства щетки. Угол двух прямых и щетки имеет проективное выражение:

= (1 2i)lnµ = (1 2i)ln(A,B,I1,I2), (12) где A,B,I1,I2 - соответственно несобственные точки прямых и и пара - изотропных точек, определяемых пересечением прямой AB и абсолюта k в несобственной плоскости расширенного пространства R3.

Глава 3 посвящена исследованию конструктивно-метрического соответствия эллиптической плоскости и линейчатого пространства с применением результатов исследований, полученных в главах 1 и 2.

В п. 3.1 рассмотрены метрические свойства гомеоморфного соответствия (1) с учетом изоморфного соответствия метрических структур M(M3) M(M1).

В конструктивном варианте соответствие (1) представляет собой сферическое отображение, т.е. взаимно однозначное отображение моделей M3 и M1проецированием связкой прямых и плоскостей с центром в центре сферической модели M3. В этом отображении большие окружности модели M3 переходят в прямые линии модели M1. Из изометричности сферического отображения следуют равенства соответствующих координатных расстояний на сферической M3 и плоскостной M1 моделях, что позволяет ввести на эллиптической плоскости M1 декартову систему однородных координат, удовлетворяющих условию x = r2, i где r - радиус кривизны моделей M3 и M1. Декартовы координаты x1,x2,x3 точки сферической модели M3 - они же декартовы однородные координаты ее сферического отображения на M1в декартовой системе координат на M1с координатным треугольником, вершины которого и противоположные им стороны со- ответственны в метрической полярности относительно абсолюта k1 M1.

В п. 3.2 исследовано метрическое соответствие эллиптической плоскости и линейчатого пространства R3(), рассматриваемого как многообразие 4 прямых расширенного пространства R3. Многообразие M5 в схеме (2) и пространство R3() - одно и то же множество. Показано, что абсолютом пространства R3() является специальный квадратичный комплекс K2 изотропных прямых M - с несобственной направляющей мнимой коникой k, являющейся абсолютом - 2 - 2 пространства R3. Абсолюты k1 M1, k3 M3 и K2 R3() конструктивно M - взаимно однозначно соответствуют друг другу по абсолюту k при фиксированных M3 и M1. Соответствие абсолютов приводит к соответствию (3) метрических структур, основные проявления которого следующие: расстоянию двух точек X(x1,x2,x3) и Y(y1,y2,y3) эллиптической плоскости M1, определяемому x yi = xy, соответствует в пространстве R3() дуальi формулой cos = i i r rный угол = 0 + 1,2 = 0, двух прямых x(X1,X2,X3) и y(Y1,Y2,Y3), определяемый дуальным вариантом этой формулы, т.е. cos = XY ; уравнению i i прямой xi = 0 в плоскости M1соответствует уравнение щетки Xi =0 в a A i i пространстве R3().

В п. 3.3 исследована линейная комбинация двух прямых пространства R3(), представляющая собой щетку, и ее метрические свойства на основе соответствующих свойств образа этой комбинации – прямой в эллиптической плоскости M1. Срединным перпендикулярам двух отрезков, составляющих эллиптическую прямую, соответствуют срединные прямые для двух прямых x и у в щетке, ортогонально пересекающиеся в срединной точке на оси щетки. Доказано предложение о том, что если срединную прямую принять за ось некоторой щетки, то любая прямая этой щетки будет равноудалена от прямых x и у.

В п. 3.4 и 3.7 рассмотрено соответствие преобразований движения эллиптической плоскости и соответствующих им преобразований пространства R3(). Преобразованиям движения сферической модели M3 эллиптической плоскости с неподвижным ее центром на основании сферического отображения M3 M1, рассмотренного в п.п. 3.1, соответствуют преобразования движения в эллиптической плоскости M1, представляющие собой автоморфизмы относи- тельно абсолюта k1 :

xi = xk a, aik 0 ;0;

ik (x) =(x )2 = r2, i=1,2,3; (13) i i k=3 и образующие условиями =1; i=1,2,3; a = 0 ; i,j =1,2,3; ij трехпараa a ij ik jk j=1 k=метрическую группу. Преобразование (13) при aik =1 представляет собой вращение с инвариантными фигурами: точкой – центром вращения, прямой – поля- рой центра относительно абсолюта k1 и парой изотропных прямых, касательных к абсолюту в точках его пересечения с полярой центра и пересекающихся в центре. При aik = -1 имеет место эллиптическое отражение, получаемое в результате непрерывного вращения. Группе движений (13) соответствует в пространстве R3() шестипараметрическая группа винтовых движений:

при k=t Xi = Xk A, i=1,2,3; Aik 0; A Ait = 1 при k t , (14) ik ik k=1 i=1 где Xk,Aik - дуальные переменные координаты и коэффициенты соответственно.

Преобразования (14) являются автоморфизмами относительно абсолюта KM пространства R3(). Действительно. Неподвижной оси e винтового движения соответствует ее точка E на несобственной плоскости расширенного про- странства R3. Поляра e точки E относительно абсолюта k есть множество несобственных точек прямых щетки с осью e. В винтовом движении с осью e прямые линии щетки перемещаются внутри щетки, что приводит к перемещению точек на e и, следовательно, к угловому перемещению поляр этих точек в пучке (E). Угловому перемещению поляр пучка (E), пересекающих абсолют - k, соответствует перемещение всех точек абсолюта по нему, кроме двух изо- тропных, определяемых в пересечении e k. Таким образом, винтовому движению соответствует вращение в плоскости , инвариантными фигурами - которого являются: абсолют k с подвижными на нем точками, точка E - центр вращения, ее поляра e с подвижными на ней точками, кроме двух изотропных и пара изотропных прямых, проходящих через центр вращения E и - указанные изотропные точки. Инвариантности абсолюта k относительно вращения в плоскости взаимно однозначно соответствует инвариантность - - абсолюта K2 относительно винтового движения, поскольку коника k, будуM чи направляющей линией изотропного комплекса K2, полностью его опредеM ляет.

В п. 3.5 и 3.6 на основании сферического отображения M3 M1и принципа перенесения Котельникова-Штуди, положенного в основу последовательности соответствий (2), рассмотрены конструктивно-метрические соответствия окружности и эллипса в эллиптической плоскости M1 и их линейчатых образов в пространстве R3().

Окружность радиуса с центром в начале 0(0,0,r) декартовой 0 < r системы в плоскости M1 описывается уравнениями:

x1 = cos( r)sin( r), x = sin( r) sin( r), x3 = cos( r), 2 (x) =1, (15) i где r =; 0, r – радиус кривизны плоскости M1, - угол двух прямых, пересекающихся в центре 0, которому соответствует расстояние =r между полюсами этих прямых на прямой – поляре полюса 0 относительно абсолюта -. Уравнениям (15) отвечают в дуальные параметрические уравнения:

k1 R3() X1 = cossin;X2 = sinsin;X3 = cos, (X) =1, (16) i где =0 +1, 2 = 0, 0<0 < - постоянный параметр (дуальный аналог вещественного угла r в уравнении (15) окружности), =0 +1,, 0 0 - 2 = переменный параметр (дуальный аналог вещественного угла r в уравнении той же окружности). Показано, что уравнения (16) описывают конгруэнцию Кг(2,2), прямые которой образуют неизменный дуальный угол с некоторой прямой пространства R3().

Эллипс с центром в начале 0(0,0,r) декартовой системы координат в плоскости M1, построенный на основе двух окружностей с общим центром 0, описывается параметрическими уравнениями:

x1 = a( r) cos( r) ; x2 = b( r) sin( r) ; x3 = c( r) ;

(x) =1, (17) i где r = ; 0 - угловой параметр, имеющий тот же смысл, что в уравнении (15) окружности. Уравнениям (17) в пространстве R3() соответствуют дуальные параметрические уравнения X1 = A() cos; X2 = B() sin; X3 = C(); (X )2 = 1, (18) i в которых угол = 0 + 1; 2 = 0,0 0 2 соответствует углу r в уравнениях эллипса (17). Показано, что уравнения (18) описывают специальную конгруэнцию Кг(2,2) прямых.

В п. 3.8 проведены дифференциально-геометрические исследования линии в эллиптической плоскости M1. Необходимость в таких исследованиях обусловлена невозможностью обойтись без теоретического материала для моделирования в эллиптической плоскости пространственных линейчатых зубчатых зацеплений. Основы дифференциальной геометрии неевклидовых пространств заложены в классических трудах Э. Картана, Б.А. Розенфельда, Дж. Л. Кулиджа и других ученых. В них с позиций общего подхода рассмотрена дифференциальная геометрия линии в эллиптическом и гиперболическом пространствах.

Вместе с тем, дифференциально-геометрические исследования линии эллиптической плоскости имеют свои особенности и тонкости - их результаты важны при рассмотрении решений прикладных задач в этой плоскости.

Для аналитической кривой xi =xi(t), где i=1,2,3; t0 t tn, в эллиптической плоскости получена формула кривизны, в которой r – радиус кривизны плоско - производные соответственно по вещественному параметру t сти M1; xt,xt и x и по дуге s кривой:

t t 1 (x, x ) 1. (19) = - = (x, x) t t 2 (x, x )2 r2 r Формула (19) с производными xt,xt представляет собой частный плоскостной случай формулы Дж. Л. Кулиджа для кривой неевклидова пространства.

Для плоской эллиптической кривой в каждой ее обыкновенной точке существует автополярный треугольник TXZ (рисунок 2), вершины T(ti), X(xi), Z(zi)которого попарно ортогональны в метрической полярности относительно абсолюта - k1, при этом вершины T и Z принадлежат соответственно касательной и нормали к кривой в обыкновенной точке X. На основании свойства автополярного треугольника получены формулы Френе для эллиптической кривой:

i = dti = zi - xi zi = dzi = - ti ; , (20) t ds r ds также представляющие собой частный плоскостной случай формул Дж. Л. Кулиджа для кривой неевклидова пространства. Исследования соответствия геометрий линии и ее эволюты в эллиптической плоскости позволили получить формулу r = tg((+C) r), которая при определяет однопараметриче0<+C

Для двух кривых в эллиптической плоскости исследованы условия соприкосновения. На основании уравнений этих кривых, полученных разложением в ряд Тейлора по степеням s координат точки, и формулы расстояния (s) (x,x ) ,, для двух точек A и A на кривых, полученных cos = 0 < r r rсмещением на равную длину дуги s от точки пересечения A (рисунок 4), определена формула разложения функции расстояния в ряд Тейлора:

X X s s A || A|| X X A A T T || || T T a a X X Z Z s Z Z A | a | A| a| T T Рисунок 2 - Автополярный Рисунок 3 - Эволюта Рисунок 4 – Пересечение треугольник эллиптической эллиптической кривой эллиптических кривых кривой s2 s (21) f()=[(x,x )+(x,x )]s+[(x,x )+2(x,x )+(x,x )] +[(x,x )+3(x,x +3(x,x )+(x,x )] +..., 2 3! (s) где f() = f((s))=1 - cos - функция расстояния . Очевидно, при =0имеет r место f()=0 и наоборот. На основании анализа формулы (21) сделан следующий вывод: соприкосновение кривых линий в эллиптической плоскости будет порядка n в том и только в том случае, если n последовательных производных (n) x,x,..., x совпадут для обеих кривых в их общей точке.

В п. 3.9 исследовано соприкосновение регулюсов на основе дуального векторного представления, впервые примененного Д.Н. Зейлигером и В. Бляшке для исследования линейчатых множеств. В соответствии с этим представлением уравнение регулюса имеет вид: А1 t = a01 t +a11 t = ix(t)+ jy(t)+kz(t), ; где 2 = ( ) ( ) ( ) a01 t - единичный вектор образующей прямой;

( ) a 0 a11 t - момент вектора a01 относительно начала ко( ) / a 0 a ординат системы отнесения; А1(t) - дуальный еди0 ничный вектор;

x =1; t0 t tn – вещественный a dsds параметр, x,y,z – декартовы дуальные координаты.

a 0 Исследование ведется при помощи подвижного dsdsтрехгранника (a01,a02, a03), где a02 и a03 - централь/ a 0 ные нормаль и касательная регулюса. Исходя из этоa a 0 го рассматриваются регулюсы А1(t) и А1() с общей t Рисунок 5 - Пересечение регулюсов образующей а01 = а01 (рисунок 5). Прямые а01 и а01- соседние с прямой а01 =а01 образующие регулюсов, обладающие равными дуаль t t t ными дугами s(t)=s(t), при этом ds = ds0 + ds1,2 =0;0 n. Показано, что в (t) этом случае существует вещественная функция t = t, непрерывная и дифференцируемая необходимое число раз на отрезке t0 t tn. Последнее позволяет * выразить дуальную вектор-функцию А1() = А1((t)) = A1 t. На основании разt t ( ) * ложения дуальных вектор-функций А1(t) и A1 t в ряд Тейлора по степеням ( ) 0 (t0) соответственно, введения дуальноt в окрестности образующих t0 и t = t * го вектора G t =A1 t t расхождения и введения понятия порядка соприкос( ) ( )-A( ) новения регулюсов, получены результаты, которые, с одной стороны представляют собой “образы” результатов в эллиптической плоскости, а с другой - развивают существующее направление исследования регулюсов в малом на основе дуального векторного и винтового исчислений.

* * Например, введение следующих условий:,…, , А1(t0) = A1 t0 А1(t0) A1 t( ) ( ) * * где..., последовательные производные дуА1 (t ), А ( t ), A1 t0, A1 t0,...

( ) ( ) 0 1 альных вектор-функций в общей образующей t=t0, определяет соприкосновение регулюсов точно второго порядка. В этом случае совпадают элементы ду альных дуг регулюсов, образованных центральными касательными а03 и а03 ;

совмещены трехгранники линейчатых эволют первого порядка исходных регулюсов; существует общий соприкасающийся винт, обеспечивающий перемещение первого порядка малости общего трехгранника исходных регулюсов вдоль их стрикций и ; равны дуальные радиусы кривизн соприкасающихся регулюсов.

Исследовано поведение стрикций для различных порядков соприкосновения регулюсов. Показано наличие соответствия алгоритмов исследования соприкосновения кривых линий эллиптической плоскости и регулюсов линейчатого пространства.

Глава 4 посвящена конструктивно-аналитическому исследованию свойств коник эллиптической плоскости, к которым, в силу особенности – мнимости абсолюта этой плоскости, относятся лишь эллипс и окружность. Необходимость в таком исследовании имеет следующее обоснование. В теории неевклидовой геометрии рассмотрены свойства коник неевклидовой плоскости, которые являются общими для гиперболической и эллиптической плоскостей. Вместе с тем, особенности абсолюта в каждой плоскости определяют особенные свойства ее коник. Известные в научной геометрической литературе результаты исследований конструктивных и метрических свойств коник эллиптической плоскости не дают достаточно полного представления об этих свойствах для каждой коники в отдельности. Если к сказанному добавить тот факт, что в соответствии с п.п. 3.5 и 3.6 главы 3 коникам эллиптической плоскости соответствуют линейчатые образы, то очевидна актуальность темы исследования главы 4.

В п. 4.1 на основании известного представления эллиптической плоскости как метризованной проективной, рассмотрены свойства проективных координат в этой плоскости. Доказано предложение: однородные проективные координаты точки, при радиусе кривизны эллиптической плоскости r=1, пропорциональны отношениям синусов расстояний этой точки к синусам расстояний единичной точки до сторон координатного треугольника. Аналог этого утверждения геометрии известен в проективной плоскости P2.

В п. 4.2.1 исследованы конструктивные и метрические свойства эллипса в эллиптической плоскости. В п.п. 3.6 дисF F- сертации отмечена возможность получеk kния канонического уравнения эллипса по P его параметрическим уравнениям. В этой связи из совместного рассмотрения каk k нонических уравнений абсолюта 2 2 F 1 x = 0 и эллипса a1x1 + a2x2- a3x3 = i P Pможно получить конструктивные свойF - 2 ства эллипса (рисунок 6): k2 и k1 переF 3 F 3 секаются в четырех мнимых (абсолютных) точках 1,2,3,4, образующих попарP но шесть фокальных линий; три пары фокальных линий (одна пара действительных и две пары мнимосопряженных) F FРисунок 6 – Общие элементы эллипса и абсолюта эллиптической плоскости пересекаются в трех вещественных точках P1(1: 0 : 0), P2 (0 :1: 0) и P3 (0 : 0 :1) - центрах эллипса, образующих единственный автополярный относительно коник - k2 и k1 координатный треугольник декартовой и проективной систем однородных координат, в которых уравнение эллипса имеет канонический вид; один из центров принадлежит внутренней области эллипса; трем центрам соответствуют три полярные им оси – стороны координатного треугольника. Совместное - рассмотрение уравнений коник k2 и k1 в тангенциальных однородных коор2 2 динатах 1a2a3 + 2a1a3 - 3a1a2 = 0 и 2 = 0, позволяет получить конструктивi - ные свойства эллипса, двойственные вышеприведенным: k2 и k1 имеют четыре общих мнимых (абсолютных) касательных, образующих шесть фокусов F1,...,F6, два из которых действительные, принадлежащие внутренней области эллипса, и четыре мнимых; шесть фокусов по два распределены на сторонах автополярного треугольника; поляры фокусов – директрисы, по две проходят через вершины этого треугольника; двум действительным фокусам соответствуют две действительные фокальные линии. Метрические свойства эллипса являются следствием его конструктивных свойств и представляются в двойственных формах. Например, пусть 1 и 2 - расстояния от точки эллипса до его вещественных фокусов F1 и F2. Тогда, учитывая значения однородных координат этих фокусов 0: a3(a1 - a2) : ± a2(a1 + a3), можно получить уравнение с постоянной 1 2 a3 -acos( + ) = правой частью и соответствующее свойство эллипса, аналог r r a2 +aкоторого известен для плоскости R2.

Свойству эллипса, двойственному рассмотренному, соответствует предложение: сумма косинусов углов, образуемых касательной к эллипсу с двумя действительными фокальными прямыми, есть величина постоянная. Аналог этого утверждения в плоскости R2 отсутствует. В п. 4.2.1 рассмотрены и доказаны множество двойственных предложений, характеризующих конструктивнометрические свойства эллипса в эллиптической плоскости.

В п. 4.2.2 исследованы конструктивно-метрические свойства окружности k2 и пучков окружностей в эллиптической плоскости. Из совместного рассмотрения уравнения окружности xi = ±r2 cos( r), i=1,2,3, где - ее радиус, и a i абсолюта x = 0, выявляются следующие конструктивные особенности: k2 и i - k1 пересекаются в двух двойных мнимосопряженных точках; у автополярного координатного треугольника одна вершина действительная (центр окружности), две другие - указанные мнимосопряженные точки, принадлежащие оси окруж- ности – поляре ее центра относительно k2 и k1 ; центр и ось окружности являются общими для пучка концентрических окружностей. Показано, что конструктивные особенности окружности эллиптической плоскости определяют многообразие ее метрических свойств, многими из которых она отличается от окружности евклидовой плоскости. Из совместного рассмотрения уравнений двух окружностей эллиптической плоскости следует, что в общем случае они пересекаются в четырех действительных точках, образующих полный четырехвершинник и имеют четыре общих касательных, образующих полный четырехсторонник.

Доказаны следующие предложения: диагональные (радикальные) прямые четырехвершинника и оси окружностей образуют гармоническую четверку прямых пучка; точки пересечения касательных – радикальные точки и центры окружностей образуют гармоническую четверку точек на линии центров. Исследованы условия ортогонального пересечения и условия касания двух окружностей. Исследованы конструктивные и метрические свойства пучка окружно 1- стей с общей радикальной осью. Получена формула степени точtg tg = r r 1+ ки относительно окружности эллиптической плоскости, где < r 2 и < r 2 - расстояния данной точки от двух точек пересечения прямой, проходящей через эту точку, и окружности; - коэффициент, зависящий от взаимного положения точки и окружности и от ее радиуса. Исследована взаимосвязь пучка окружностей эллиптической плоскости и проективного инволюционного соответствия точек прямой этой плоскости.

В п. 4.3 последовательно рассмотрены геометрические построения в эллиптической плоскости, выполT T няемые на основе ее окружности:

p p построение оси окружности по ее a a b F F центру, построение полюса пряE мой, деление отрезка пополам, поM строение перпендикуляра к пряN N P P t t мой, деление угла пополам, удвоеn n k k ние угла. На рисунке 7 приведено решение задачи: даны прямые a и Рисунок 7 – Решение задачи деления угла b, требуется разделить угол ab пополам в эллиптической плоскости пополам.

Решение выполняется в следующей последовательности: строится окружность k2 радиуса < с центром в точке P = a b; определяются точки пере сечения k2 a = E, k2 b = F ; строится ось p окружности как поляра ее центра P относительно k2 ; определяется точка пересечения EFp=N; строится поляра n точки N ; определяется точка пересечения M=nEF. В этих построениях треугольник NPT является автополярным, поэтому NM n и EF есть хорда окружности, перпендикулярная ее диаметру на прямой n. Последний, по свойству окружности, делит эту хорду пополам. Треугольники эллиптической плоскости PME и PMF конгруэнтны по трем сторонам. Поэтому EPM =FPM и n есть биссектриса угла ab.

Глава 5 посвящена моделированию линейчатого метрического пространства в евклидовом дуальном пространстве. Сущность моделирования заключается в следующем. Пусть M6 - множество пропорциональных шестерок чисел pij;

i,j=1,2,3,4; i j- плюккеровых координат прямой линии расширенного пространства R3, удовлетворяющих уравнению p41p23 + p42p31 + p43p12 = 0. Пусть также M7 - множество троек дуальных чисел – координат точки единичной дуальной сферы, главные и моментные составляющие которых состоят из плюккеровых координат, при этом M6 M7. Введены обозначения: M3() - сферическая модель дуальной эллиптической плоскости, представляющая собой единичную сферу с отождествленными диаметрально противоположными точками в дуальном пространстве R3() ; M1() - плоскостная модель дуальной эллиптической плоскости, полученная сферическим отображением модели M3() на касательную к ней плоскость. Имеет место последовательность взаимно однозначных соответствий множеств: M5 M6 M7 M3() M1(), из которой следует соответствие M5 M1(), т.е. линейчатое метрическое пространство R3(), обозначенное в этой схеме как M5, и дуальная эллиптическая плоскость, гомеоморфно соответственны.

Пусть M(M3()) - метрическая структура модели M3(), определяемая абсо- 2 - 2 - лютом k3() = K() M3(), где K() - дуальный изотропный конус с вершиной в центре сферической модели M3(), представляющий собой, в соответствии с принципом перенесения Котельникова-Штуди, дуальный образ изотропного конуса K2 в связке прямых и плоскостей расширенного пространства R3. Пусть также M(M1()) - метрическая структура плоскости M1(), определяемая абсолю- 2 - том k1() = K() M1(). Имеет место изоморфное соответствие метрических структур M(M5) M(M3()) M(M1()), из которого следует M(M5) M(M1()).

Конструктивно-аналитическое исследование гомеоморфного изометрического соответствия множеств M5 и M1() на основе результатов исследований, полученных в главах 1- 4, составляет основное содержание главы 5.

В п. 5.1 исследовано соответствие между пространством R3() и плоскостью M1(). Прямой пространства взаимно однозначно соответствует пара противоположно направленных единичных дуальных векторов ±P, где P P1,P2,P3, P1 = p41 + p23; P2 =p42 +p31; P3 = p43 +p12; 2 = 0, при этом (P,P) ={ } есть уравнение единичной дуальной сферы. Из представления этой сферы как модели M3() дуальной эллиптической плоскости, с учетом непрерывности функций дуальных координат P1,P2,P3, обеспечиваемой непрерывностью соотpij ветствующих плюккеровых координат, следует гомеоморфизм известного отображения Котельникова-Штуди многообразия 4 прямых пространства Rна единичную дуальную сферу M3().

Логичным развитием этого отображения является предложенное в работе сферическое отображение дуальной модели M3() на касательную к ней плос кость M1() с учетом изоморфного соответствия метрических структур M(M3()) M(M1()), что позволяет в итоге получить гомеоморфное изометрическое отображение R3() M1().

Исследование этого отображения выявило следующие его конструктивные и метрические свойства: прямой линии пространства R3() соответствует точка в плоскости M1() ; комплексному углу (кратчайшее расстояние и угол скрещивания) двух прямых соответствует дуальное расстояние двух точек; АК, рассмотренному в п.п. 2.2, соответствует прямая нить, т.е. уравнение A Xi(0) = 0, i=1,2,3, где Ai - одновременно дуальные координаты фиксироi ванной прямой в R3() и точки в M1(), 0- вещественный параметр, - это уравнение описывает прямую нить; щетке соответствует прямая линия, т.е. уравнение Xi() = 0, где =0 +1,2 =0, одновременно определяет щетку и A i прямую линию; множеству конгруэнтных и конгруэнтно расположенных АК, оси которых образуют АК, т.е. “коноиду коноидов”, соответствует ниточный пучок первого порядка прямых нитей; “коноиду щеток” соответствует ниточный пучок первого порядка прямых линий; “щетке коноидов” соответствует линейный пучок первого порядка прямых нитей; “щетке щеток” соответствует линейный пучок первого порядка прямых линий и др. соответствия.

В п. 5.2 на основе винтового представления и геометрической интерпретации групп винтов рассмотрены в дуальном пространстве R3() винтовые образы прямых и плоскостей пространства R3, не принадлежащие связке прямых и плоскостей. Показано, что прямой линии пространства R3, описываемой век торным уравнением r = r +tr1, соответствует винтовой образ - множество винтов R, описываемое винтовым уравнением R = R +TR1, гдеT= t0 + t1,2 = 0 - дуальный параметр, при этом винты R принадлежат, по классификации А.П. Ко тельникова, трехчленной двухосной группе R +T0R1 + T1R1,2 =0, а их оси образуют щетку. Исследованы свойства этого множества. Показано также, что плоскости пространства R3, описываемой уравнением r = r +m r1 + n r2, соответствует винтовой образ - множество винтов R, описываемое винтовым уравне нием R = R+MR1+NR2, где M и N - дуальные параметры, при этом винты R при надлежат пятичленной трехосной группе R +M0R1 + N0R2 +M1R1 +1R2,2 =0.

Также исследованы свойства этого множества. Дальнейшим развитием винтового представления в пространстве R3() образов объектов пространства R3 может быть определение и исследование винтовых образов кривых линий, поверхностей и их множеств.

В п. 5.3 рассмотрены геометрические формы дуальной эллиптической плоскости и соответствующие им линейчатые образы. Предложено к формам первой ступени отнести: прямую нить – однопараметрическое множество точек, которой соответствует АК в линейчатом пространстве; ниточный пучок первого порядка прямых нитей, которому соответствует “коноид коноидов”, т.е. АК, по верхность которого есть множество осей других АК; ниточный пучок первого порядка прямых линий, которому соответствует “коноид щеток”, т.е. АК, поверхность которого есть множество осей щеток; прямая линия, как множество 1 нитей, которому соответствует множество 1 АК в составе щетки. К формам второй ступени предложено отнести: прямую линию, как множество 2 точек, которой соответствует щетка в пространстве R3() ; линейный пучок первого порядка прямых нитей, которому соответствует “щетка коноидов”- множество 2 АК, оси которых образуют щетку; линейный пучок первого порядка прямых линий, которому соответствует “щетка щеток”, т.е. щетка, образующими прямыми которой являются оси других щеток и др. формы. Одна из форм третьей ступени может быть получена следующим образом. Если уравнение A (0) Xi = 0, i=1,2,3, где Xi =const, определяет ниточный пучок первого i порядка прямых линий, т.е. “коноид щеток” в пространстве R3(), а уравнение B () Xi = 0, где Xi =const, = 0 + 1, 2 = 0, определяет линейный пучок i первого порядка прямых нитей, т.е. “щетку коноидов”, то дополнительным условием (0) () = 0 определяется ниточный пучок первого порядка A B i i линейных пучков первого порядка прямых нитей, которому в пространстве R3() соответствует 3 коноидов, т.е. ось “щетки коноидов” описывает поверхность коноида. К формам четвертой ступени отнесены поле дуальных точек плоскости M1(), которому соответствует все множество прямых линий пространства R3(), и поле прямых линий, которому соответствует 4 щеток. Формы внутри каждой ступени обладают двойственностью, при этом точка и прямая нить, точка и прямая линия - это пары двойственных объектов в плоскости M1(), которым отвечают пары соответствующих двойственных объектов в пространстве R3().

В п. 5.4 исследуется возможность построения аксиоматических основ проективной геометрии линейчатого метрического пространства R3(). Известное в неевклидовой геометрии представление эллиптической плоскости M1 как метризованной проективной плоскости позволяет на основе конструктивнометрического соответствия этой плоскости и пространства R3(), рассмотренного в главах 2 и 3, перенести в “линейчатой” интерпретации систему аксиом плоскости M1, состоящую из групп аксиом связи, порядка, непрерывности и конгруэнтности, на пространство R3().

На основе аксиом связи и привлечения аналитической теории винтов выполнено доказательство для пространства R3() одной из основных теорем проективной геометрии – теоремы Дезарга. На рисунке 8 приведено конструктивное представление этой теоремы в плоскости M1(), при этом тонированная точка есть образ прямой линии и соответствует ортогональному пересечению двух прямых в пространстве R3(), прямая линия есть образ щетки.

Теорема Дезарга для пространства R3() может быть сформулирована следующим образом: если три щётки, содержащие соответственные вершины – прямые линии двух линейчатых треугольников, проходят через одну прямую ((, )1,(,)1,(, )1)s), то три прямые линии, принадлежащие соответственным сторонам – щёткам этих линейчатых треугольников, принадлежат одной и той же щётке ((,)1( ,)1 =0;(,)1 (, )1 = 0;(,)1 (, )1 =0;(0,0,0) 1).

В плоскости M1() рассмотрено конS S структивное представление образа полного линейчатого четырехвершинника | | | | (g,a ) (g,a ) и исследованы его проективные гармо| | | | (b,g) (b,g) нические свойства. Введены понятия | a | операций проецирования и сечения в b плоскости M1() и их аналогов в про| | | | (a,b) (a,b) | g странстве R3().

d d g g a b a b 0 0 Операция проецирования заключаb b g ется в проведении проецирующих пря(a,b) мых линий - щеток из заданного центра (b g) 1 - прямой линии через заданные точки - (b,g), (g a), 1 прямые линии (рисунок 9 а, б).

| | | (b b) (b,b),, a (g g) Операция сечения позволяет опре| (a a ), делить точки - прямые линии пересечения по заданным прямым - щеткам и Рисунок 8 – Конструктивное представление прямой линии - щетке (рисунок 10 а, б).

теоремы Дезарга в дуальной эллиптической Введено понятие разделенности плоскости двух пар прямых линий в щетке и на его основе определены аксиомы порядка прямых щетки, соответствующие аксиомам порядка точек на прямой линии метризованной проективной плоскости M1. Показано, что разделенность двух пар прямых щетки есть свойство, инвариантное относительно операций проецирования и сечения. На основе понятия разделенности двух пар прямых щетки введено понятие класса ее прямых и, как следствие, понятие линейчатого отрезка - отсека щетки между двумя ее выделенными прямыми, включая последние.

e d e (e,d ) 1 d 1 t e f (e,d ) 1 e e g g g d (e, g ) d b g g b t a (e, g ) a b h f 1 h m l b ) (e, a ) 1 (e, a h m a ab b (e, a ) 1 (e, ) а) б) a) б) Рисунок 9 – Операция проецирования в Рисунок 10 – Операция сечения в дуальной дуальной эллиптической плоскости и в эллиптической плоскости и в линейчатом линейчатом пространстве пространстве Введено понятие линейчатого угла - фигуры, двойственной по отношению к линейчатому отрезку. Если линейчатый отрезок определяется осью щетки и двумя ее прямыми, то линейчатый угол определяется осями двух щеток и их общей прямой. Во множестве собственных прямых пространства R3() введено понятие “конгруэнтность” для линейчатых отрезков и линейчатых углов. Два линейчатых отрезка конгруэнтны, если существует движение во множестве собственных прямых пространства R3(), в результате которого происходит наложение этих отрезков, при этом выделенные граничные прямые линии одного отрезка налагаются соответственно на выделенные граничные прямые линии другого. Введение понятия “между” на множестве прямых щетки на основе разделенности двух пар ее прямых, одна из которых (прямая) несобственная, позволяет упорядочить собственные прямые щетки и ввести аксиому непрерывности Дедекинда для пространств R3(), являющуюся “линейчатым” аналогом этой теоремы для плоскости M1. Аксиома непрерывности прямых линий щетки может быть перенесена на щетку второго порядка (“щетку щеток”) посредством проецирования щетки прямых из произвольной прямой, а также на множество прямых другой щетки при помощи операции сечения щетки второго порядка.

Если принять прямую линию и щетку в качестве основных объектов многообразия R3() с его метрической структурой и аксиомами связи, порядка, непрерывности и конгруэнтности, то можно утверждать о том, что многообразие R3() является метризованным проективным линейчатым пространством.

В п. 5.5 и 5.6 исследованы проективные соответствия щеток первого, а затем второго порядков. Если сложное отношение четырех прямых (,,,) одной щетки равно сложному отношению четырех прямых ( ,,, ) другой щетки, то такие щетки называются проективными. Проективное преобразование прямой (x) одной щетки в прямую (x ) другой выражается дуальной дробноmx + n - линейной функцией x =, где x и x дуальные декартовы координаты kx + соответственных прямых проективных щеток в своих системах координат, коэффициенты m,n,k, зависят от выбора тройки пар соответственных прямых в щетках. Доказана теорема: для того, чтобы две проективные щётки первого порядка были перспективными, необходимо и достаточно, чтобы их общий элемент сам себе соответствовал. Доказано предложение: если две щётки проективны, то они образуют перспективное соответствие с одной и той же щёткой.

Обратное предложение также имеет место: если две щётки образуют перспективное соответствие с одной и той же щёткой, то они проективны.

На основании операций проецирования, сечения и теоремы о перспективности двух щеток предложен алгоритм конструктивного определения соответственных прямых двух проективных щеток. Поскольку щетке второго порядка соответствует в плоскости M1() линейный пучок первого порядка прямых линий, то в этой плоскости рассмотрено проективное соответствие двух таких пучков и, следовательно, проективитет двух щеток второго порядка в пространстве R3(). Доказано, что для двух линейных пучков первого порядка прямых - линий 1 = 1 + 1 = 0 и 1 = 1 + 1 = 0, где и дуальные параметры, 1,1,1, 1 - левые части дуальных уравнений базисных прямых линий пучков, A + B выполнение условия необходимо и достаточно для проективности = C + D этих пучков. В этом условии дуальные коэффициенты A,B,C,D определяются заданием тройки соответственных прямых линий в рассматриваемых пучках.

В п. 5.7 рассмотрена теорема Штейнера для эллиптической плоскости и ее аналог в пространстве R3(). Из проективного соответствия двух линейных пучков первого порядка прямых линий следует однородное, квадратное относительно дуальных декартовых координат Xi, уравнение, описывающее линейный ряд второго порядка k в плоскости M1() :

A XiXk = 0; i,k=1,2,3; Aik =Aki.

ik i,k Этому ряду соответствует в пространстве R3() конгруэнция Кг2 прямых линий.

Дуальный аналог теоремы Штейнера для эллиптической плоскости M1, имеющий место в плоскости M1(), на основании гомеоморфизма R3() M1(), перенесен на линейчатое пространство: геометрическое место прямых линий пересечения соответственных щёток первого порядка двух проективных щёток второго порядка есть конгруэнция второго порядка; если щётка первого порядка, принадлежащая обеим проективным щёткам второго порядка, сама себе соответствует, то конгруэнция распадается на две щётки первого порядка, одна из которых есть самосоответственная щётка. Исследованы свойства дуальной линейной коники k и перенесены на Кг2 : произвольная щетка первого порядка не может иметь с Кг2 более двух общих прямых; Кг2 полностью определяется любыми своими пятью прямыми; через каждую прямую линию в Кг2 проходит единственная щетка второго порядка, касательная к Кг2. Принятие в условии проективности двух рассматриваемых пучков вещественности чисел , , A,B,C,D приводит к проективности двух ниточных пучков первого порядка прямых линий (“коноид щеток” в пространстве R3()) в составе линейных пучков и, как следствие, к проективному образованию нити второго порядка kt в составе линии k. Доказано, что нити k2 соответствует в пространстве R3() t линейчатая поверхность шестого порядка.

В п. 5.8 исследовано полярное соответствие относительно линейной коники k в дуальной эллиптической плоскости. Исходя из вышеприведенного дуального уравнения коники k показано, что произвольной точке (Y1,Y2,Y3) соответствует единственная прямая линия 1(U1:U2:U3 = A1kY :A2kY :A3kY ) - k k k поляра точки относительно k, а произвольной прямой линии 1(U1:U2:U3) соответствует единственная точка (Y:Y2:Y3 = 1 A1kU :A2kU :A3kU ) в этой k k k полярности. На основании гомеоморфизма R3() M1() следует, что задание конгруэнции Кг2 в линейчатом пространстве индуцирует в нем полярное соответствие прямых линий и щеток первого порядка.

В п. 5.9 на основании рассмотрения ниточных пучков дуальных коник k доказаны прямая и обратная теоремы Паскаля для плоскости M1() и их аналоги для пространства R3(). Прямая теорема Паскаля для линейчатого пространства имеет следующее выражение: прямые пересечения трёх пар противоположных сторон-щёток линейчатого шестивершинника, вписанного в линейчатую конгруэнцию K, принадлежат одной щётке первого порядка.

В п. 5.10 исходя из дуального уравнения A XiXk = 0 коники k и услоik i,k вия принадлежности точки этой коники ее полярной линии, получено в дуаль ных тангенциальных координатах уравнение i,j=1,2,3; Aij = Aji A UiUj = 0;

ij i,j линейной коники второго класса. В пространстве R3() этому уравнению соответствует конгруэнция второго класса. На основе полярного соответствия доказана теорема Брианшона для плоскости M1() и ее аналог в пространстве R3(), а именно: три щётки первого порядка, проходящие через пары противоположных вершин-прямых линий линейчатого шестисторонника, стороны-щётки первого порядка которого касаются линейчатой конгруэнции K, пересекаются по одной прямой линии.

В п. 5.11 исследована возможность представления дуальной эллиптической плоскости как дуальной метризованной проективной плоскости. Показано, что YZ1 +Y2Z2 +Y3Zформула, определяющая дуальное расстояние cos = 2 2 2 R Y12 +Y2 +Y3 Z1 +Z2 +Zмежду двумя точками y(Y1,Y2,Y3) и z(Z1,Z2,Z3) плоскости M1() дуального радиуса кривизны R, позволяет получить проективное выражение этого расстояния = (R 2i)ln(y,z,i1,i2), где (y,z,i1,i2 ) - сложное отношение четырех точек прямой yz, пересекающей абсолют X = 0 плоскости M1() в мнимых дуальных i точках i1 и i2. Анализ формул координатного и проективного представления дуального расстояния показывает, что при cos( R)=0 имеет место гармоническая четверка дуальных точек, принадлежащая прямой нити в составе прямой линии, поскольку (y,z,i1,i2) = -1. Если (y,z,i1,i2) =1, то =0 для изотропной прямой нити.

Глава 6 посвящена исследованию взаимосвязи элементов линейчатой и кинематической геометрий применительно к задачам синтеза линейчатых зубчатых зацеплений и ортогональному отображению в методе Монжа с применением результатов исследований, полученных в главах 1 и 3.

В п. 6.1 рассмотрены элементы кинематической геометрии кривой линии.

Трехгранник Френе (ТФ) пространственной кривой при его перемещении вдоль нее совершает сложное движение, представляемое в мгновенный момент време ни дуальным вектором r (t) = r0(t) + r1(t), 2 = 0, приложенным в точке кривой.

При этом его векторная компонента - вектор Дарбу, определяется как ds ds ds, а моментная - как, где s(To) s s(T); To t T;

r0(t) = + k r1(t) = dt dt dt s = s(t) – длина дуги кривой; , – орты касательной и бинормали; и k – соответственно кручение и кривизна кривой в точке приложения вектора r (t).

Мгновенный дуальный вектор r (t) однозначно приводим к мгновенному винту.

Многообразие осей мгновенных винтов, образуемое при перемещении ТФ вдоль кривой линии, в локальной системе координат ,, есть подвижный аксоид, представляющий собой прямой коноид с осью , а в неподвижной декартовой – неподвижный аксоид. Исследование дуального вектора r (t) для случая плоской кривой линии позволило сформулировать предложение: эволюта плоской кривой есть множество точек-центров мгновенных вращений сопровождающего репера Френе этой кривой.

В п. 6.2 исследована возможность представления известного в кинематической геометрии построения Бобилье как гео метрической модели плоского зубчатого зацеP t t пления. В теории плоских зубчатых зацепле t t ний известно, что если линия – подвижный F F a a профиль, т.е. совершающий мгновенное враr щение относительно центра O1 кривизны ценn S n a троиды c1, то геометрическое место оснований c c нормалей к подвижному профилю a при их R t t1 прохождении через полюс зацепления R на ли R b c cнии центров O1O2, есть линия зацепления ЛЗ e (рисунок 11). Установлено, что в мгновенный a момент времени нормаль ЛЗ к ЛЗ проходит e eчерез точку S пересечения соответственных прямых, проходящих через центры кривизны Рисунок 11 – Схема построения Oa и Ob взаимоогибаемых профилей a и b (не Бобилье в евклидовой плоскости показан на рисунке) и принадлежащих двум перспективным пучкам прямых с центрами O1и O2. Введение ЛЗ в построение Бобилье расширяет его возможности и придает ему новое качество. Принятие расширенного построения Бобилье в качестве геометрической модели образования плоского зубчатого зацепления и выполнение на основании этой модели исследования движений подвижного ТФ ( ): относительного - вдоль линии F,, a ; переносного - в жесткой связи с ТФ ( ) вдоль центроиды c1; абсолютноR,1,го - вдоль ЛЗ с ориентацией орта в полюс зацепления R, - позволило получить следующую систему дифференциальных уравнений - de - k ds = 0, (22) d ds - P1sin de - r k ds = 0, (23) , (24) r d - P1cos de = где r () - радиус-вектор точки на ЛЗ; ds и k – элемент дуги и кривизна профиля a ; P1- радиус кривизны центроиды c1; de - элемент угла поворота радиусвектора P1 центроиды. Система дифференциальных уравнений позволяет определять: ЛЗ по заданному профилю a или b ; профили a, b и их кривизны по заданной ЛЗ, т.е. система описывает взаимосвязь геометрий ЛЗ и взаимоогибаемых профилей a и b, связанных с центроидами c1 и c2 соответственно. Интегральное выражение параметра e из уравнения (24) представляет собой известную в теории плоских зубчатых зацеплений формулу М.Ф. Ленского, а в преобразованном виде - формулу Л.К. Куликова.

В п. 6.3 исследована возможность геометрического моделирования пространственного линейчатого зацепления на основе построения Бобилье в эллиптической плоскости. В сферической кинематике известны уравнения ЭйлераСавари и соответствующее ему построение Бобилье, составляющие основу решения задач синтеза конических зубчатых зацеплений. Если учесть существование гомеоморфного соответствия (1) моделей M1и M3 эллиптической плоскости, устанавливаемого сферическим изометричным отображением M3 M1, то в эллиптической плоскости M1можно получить образ сферического построения Бобилье (рисунок 12,а). Известная формула Эйлера-Савари для сферического построения Бобилье преобразуется на основе сферического отображения в соответствующую формулу для эллиптической плоскости M1:

FOa + RF FOb - RF RO1 RO[ctg( ) ± ctg( )]cos = ctg ± ctg, (25) r r r r где r- радиус кривизны плоскости M1, - соответствующие расстояния между точками. Сферической конструкции построения Бобилье, на основании принципа перенесения Котельникова-Штуди, соответствует линейчатая конструкция в пространстве R3() (рисунок 12,б), которая, в соответствии с вышеизложенным, представляет собой линейчатый прообраз построения Бобилье в эллиптической плоскости. Формула (25) в результате применения принципа перенесения преобразуется в известное дуальное уравнение Эйлера-Савари для линейчатого пространства:

[ctg(B1 + A) ± ctg(B2 - A)] cos = ctg1 ± ctg2. (26) Это уравнение и соответствующее ему линейчатое построение Бобилье, которое может быть расширено введением в него поверхности зацепления, могут быть положены в основу синтеза пространственных линейчатых зацеплений путем геометрического моделирования в эллиптической плоскости M1. На рисунке 12 принято следующее соответствие обозначений: c1 1,c2 2,R R (единичный винт общей образующей аксоидов 1и 2 ); O1R1,O2 R2,R1 и R2- единичные винты бинормалей аксоидов; a ,b,FP (единичный винт общей образующей взаимоогибаемых регулюсов и ); e11,e2 2,Oa P,ObP2, P1и P2- единичные винты бинормалей регулюсов и ; u1,1,1,µ1,f - соот ветствующие щетки; A,B1,B2,1,2, - соответствующие дуальные углы;

S S (единичный винт общей прямой щеток u1и 1).

a a e eO Oa b b a w g ge eF F O O1 a g a w w R Q b Q b P P S S B S S A R R c cP P m B m m R c cO Ob O Ob Q e u e e2 u m m u 1 P R f f f f f а) б) Рисунок 12 – Схемы построения Бобилье в эллиптической плоскости и в линейчатом пространстве В п. 6.4 исследованиями установлено соответствие дифференциальных геометрических характеристик кривой линии пространства и ее проекций в методе Монжа. Ортогональные проекции a1 и a2 пространственной кривой линии a (рисунок 13) имеют уравнения:

2 A A r1 = r - ( r k)k ; r2 = r - ( r j) j, (27) где r = r (s), s0 s sn – длина дуги кривой a.

a ar r На основе (27) получены формулы кривизны k k a a r r проекций a1 и a2 в точках, соответствующих A точке кривой a. Эти формулы совпадают с j j i i точностью до обозначений с существующей в r r дифференциальной геометрии формулой криa aвизны плоской кривой, при этом роль пара A 1 1 1 1 метра последней исполняет длина дуги s исРисунок 13 – Ортогональные проекции ходной кривой a. Предположим, что заданы кривой линии кривые a1 и a2, рассматриваемые как ортогональные проекции некоторой кривой a. Пусть уравнения этих кривых имеют вид: r1 = r1(s1), s01 s1 sn1; r2 = r2(s2), s02 s2 sn2. В таком случае из проекционной схемы на рисунке 13 следует:

r1 i = r2 i = r i ; r = r1 + ( r2 k)k = r2 + ( r1 j) j. (28) Уравнения (27), (28) и условия достаточного признака существования обыкновенных точек на проекциях a1 и a2 позволяют получить формулу кривизны искомой кривой a в пространстве: k = (A2 + B2 + C2)2, в которой приняты d2s2 dsd2s1 dsобозначения: ;= 2k; =2 k ; k1, k2 - криA = ; B = k1( )2; C = + k2( )ds ds ds2 dsds1 ds2 d2s1 d2sвизны линий a1 и a2, при этом первые и вторые производные,, ds ds ds2 dsимеют конкретные выражения и определяются геометрией заданных взаимосвязанных ортогональных проекций a1 и a2. Рассмотрен пример определения кривизны цилиндрической винтовой линии по ее ортогональным проекциям, подтверждающий справедливость формулы кривизны k. В работе исследована логическая схема пути определения кручения кривой по ее кривизне k и геометрии одной из ее ортогональных проекций на основе взаимосвязи ТФ кривой и проекции. Полученные результаты исследований выявляют свойства в бесконечно малом аппарата линейного проецирования в методе Монжа, основанном на специальном линейном комплексе прямых с несобственной направляющей прямой.

Глава 7 посвящена разработке метода конструирования сопряженных (взаимоогибаемых) поверхностей класса винтовых, предназначенного для профилирования режущих инструментов, на основе линейного комплекса прямых с применением результатов исследований, полученных в главах 2 и 6.

Непрерывными движениями двух твердых тел, в каждый момент времени приводящими к мгновенному кинематическому винту (МКВ), можно образовать пару сопряженных поверхностей, по одной для каждого тела. Линия мгновенного касания сопряженных поверхностей обладает тем свойством, что общие нормали в ее точках к обеим поверхностям являются лучами МКВ. Многообразие 3 лучей МКВ представляет собой нуль-систему, т.е. общий линейный комплекс прямых. Операции получения МКВ сложением движений твердых тел и разложение МКВ на составляющие, геометрические интерпретации этих кинематических операций на основе нуль-системы положены в основу построения геометрических моделей для решения задач конструирования сопряженных поверхностей класса винтовых. В главе принято, что в класс винтовых поверхностей (ВП) входят: собственно ВП (рисунок 14,а); поверхность вращения (ПВ, винтовой параметр h = 0, рисунок 14,б); цилиндрическая поверхность (ЦП), отнесенная к аксоидной поверхности вращения ( h = , рисунок 14,в); ЦП, отнесенная к аксоидной поверхности – плоскости (рисунок 14,г).

i i i i i i ) ) ) ) ) ) ) ) Рисунок 14 - Винтовая поверхность и ее вырожденные случаи В п. 7.1 рассмотрены различные, имеющие практический смысл, пары сочетаний линейно-контактирующих сопряженных поверхностей класса винтовых.

При этом установлено, что возможные контактные нормали в парах образуют гиперболическую конгруэнцию Кг(1,1), входящую в нуль-систему, фокальными фигурами которой служат пара прямых – осей вращений, приводящих к МКВ.

Заданием одной из двух сопряженных поверхностей пары выделяется мгновенная поверхность контактных нормалей из Кг(1,1), одной из направляющих линий которой является характеристика.

В п. 7.2 рассмотрено конструирование сопряженных ВП детали и ЦП реечного инструмента (рисунок 15). Геометрическая модель решения прямой задачи конструирования ВПЦП, т.е. определение ЦП реечного инструмента по заданной ВП детали, включает задание: аксоидной цилиндрической поверхности ЦПR вращения радиуса R; аксоидной поверхности искоX мой ЦП, которой служит плоскость, касательZ ная к ЦПR; торцового профиля f исходной Y f f ВП в плоскости, перпендикулярной ее оси;

R R гиперболической конгруэнции Кг(1,1) возi i можных контактных нормалей, фокальными фигурами которой являются прямая касания Рисунок 15 - Сопряженные ВП и ЦП аксоидной ЦПR и аксоидной плоскости, а также несобственная прямая , перпендикулярная направлению хода винтовой линии на ЦПR. Введение декартовой системы координат, аппликата которой совпадает с осью ВП, и задание в этой системе уравнений профиля f :

x =x(), y =y(), где 0 , позволяет получить уравнения неизменной по форме характеристики рассматриваемых сопряженных ВП и ЦП m m x = [mcos2+ R2 -mcos2sin] y = [ R2 - mcos2 - msin]cos;

;

R R m y z = h[arccos( cos) - - arctg ], (29) R x где h- винтовой параметр заданной ВП, m= x2 + y2, =()- угол между ра диус-вектором точки на линии f и касательной к f в этой точке. Характеристика (29) и направление нормали к плоскости, содержащей несобственную фокальную прямую гиперболической конгруэнции Кг(1,1), определяют искомую ЦП. Рассмотрено решение обратной задачи ЦПВП, которое может служить способом проверки решения прямой задачи конструирования.

В п. 7.3 рассмотрено конструирование сопряженных ВП детали и ПВ дискового инструмента с параллельными (//) осями. Показано, что предыдущая геометрическая модель решения задачи конструирования ВПЦП может быть положена в основу решения прямой задачи конструирования ВППВ(//), если принять R = a, где a - расстояние между параллельными осями сопряженных поверхностей ВП и ПВ. В этом случае уравнение характеристики для пары ВП-ПВ(//) примет вид (29) с учетом того, что R = a. Полученное уравнение характеристики и заданная ось искомой ПВ определяют эту поверхность. Рассмотрено решение обратной задачи ПВ(//)ВП с получением параметрических уравнений характеристики этой пары сопряженных поверхностей.

В п. 7.4 рассмотрено конструирование сопряженных ВП детали и ПВ дискового инструмента со скрещивающимися осями (рисунок 16). Геометрическая модель решения прямой задачи конструирования ВППВ включает: ВП с ее торцовым профилем f, пару фокальных прямых и k гиперболической Кг(1,1) возможных контактных нормалей. Одной из этих прямых является ось искомой ПВ. Обе оси и k пересекают одну и ту же прямую их X Z кратчайшего расстояния с осью i заданной ВП. Сущность определения произвольной Y f f точки характеристики для рассматриваемой i i пары ВП-ПВ заключается в следующем. ПроРисунок 16 - Сопряженные ВП и ПВ ведем через любую точку оси прямую t //i.

Задание ВП и оси t соответствует геометрической модели решения прямой задачи конструирования сопряженных поверхностей ВППВ(//) с параллель ными осями, рассмотренной в п.п. 7.3. Поскольку характеристика этой пары поверхностей представляет собой ортогональную проекцию прямой t на ВП, полученную нормалями последней, то учитывая, что плоскость , определяемая точкой t и прямой k есть полярная плоскость ее полюса t относительно винта исходной ВП, можно получить точку характеристики пары ВП ПВ в пересечении . Выбирая новое положение прямой t //i, t , получаем на основе вышесказанного новую точку характеристики и т.д. Таким образом, характеристика по существу есть ортогональная проекция оси искомой ПВ на заданной ВП, полученная нормалями последней. Очевидно, модель решения рассматриваемой задачи ВППВ представляет собой непрерывное множество моделей решения задачи ВППВ(//).

Если ввести подвижную декартову систему координат, аппликата которой совпадает с осью i исходной ВП и положение которой определяется некоторым параметром , то в неподвижной системе координат с аппликатой также по оси i получим на основании (29) в общем виде параметрические уравнения x = x(,);y = y(,);z = z(,), которые описывают множество ортогональных проекций подвижной линии t на ВП. Характеристика определится при совместном рассмотрении пучка полярных плоскостей с осью k A()x+By+Cz+D() =0 и этого множества:

A() x(,) + B y(,) + C z(,) + D() = 0.

Это уравнение связи параметров и является трансцендентным и для его решения необходим численный метод. При рассмотрении примера решения прикладной задачи в приложении данной работы для этих целей оказалось достаточным применить метод половинного деления. Геометрическая модель решения обратной задачи ПВВП позволяет получить параметрические уравнения характеристики с вычислением координат ее точек в режиме прямого счета.

В п. 7.5 на основании решений основных задач конструирования сопряженных поверхностей, рассмотренных в п.п. 7.2, 7.3, 7.4, выполнено обобщение предложенного метода конструирования для других, имеющих практический смысл, пар сочетаний сопряженных поверхностей класса винтовых.

В п. 7.6 исследовано распределение контактных нормалей для сопряжен ных ВП с точечным контактом, имеющих общую производящую ЦП реечного инструмента (рисунок 17). В соответствии с первым способом Т. Оливье образование двух точечно-контактирующих сопряженных поверхностей возможно при помощи третьей вспомогательной поверхности, образующей с каждой из двух указанных Z Y 2 пару поверхностей с линейным контактом.

X Применительно к двум сопряженным ВП это Z означает, что их точечный контакт может i быть получен при помощи вспомогательной Y X ЦП с аксоидной поверхностью - плоскостью.

Конструирование сопряженных поверхностей Рисунок 17 - Сопряженные ВП1 и ВП ВП1ЦП и ЦПВП2 было рассмотрено в п.п. 7.2. Пусть ЦП в этих парах будет общей. Тогда в геометрическую модель конструирования точечно-контактирующих сопряженных поверхностей ВП1 и ВП2 будут входить: пара аксоидных ЦП вращения A1 и A2 со скрещивающимися осями i1 и i2, совпадающими с осями ВП1 и ВП2 соответственно, при этом A1 и A2 касаются в точке О на прямой кратчайшего расстояния осей i1 и i2 ; аксоидная плоскость Q вспомогательной ЦП, которая касается обеих A1 и A2, проходя через точку O. Фокальными фигурами гиперболической конгруэнции Кг(1,1) возможных контактных нормалей в паре ВП1-ЦП являются образующая a1 аксоидной поверхности A1такая, что a1 //i1,Oa1 и несобственная прямая b плоскости , проходящей через линию кратчайшего расстояния осей i1 и iперпендикулярно общей касательной в точке О двух винтовых линий, по одной на ВП1 и ВП2. Фокальными фигурами конгруэнции возможных контактных нормалей в паре ЦП-ВП2 являются та же прямая b и образующая a2 аксоидной поверхности A2 такая, что a2 //i2,Oa2. Очевидно, что a1a2 =O, a1 Q,a2 Q.

Анализ контактирования ВП1 и ВП2 в процессе их взаимного огибания показывает, что возможные контактные нормали для точечно-контактирующих сопряженных поверхностей ВП1 и ВП2 образуют пучок прямых (О) в плоскости , при этом точка О и плоскость пучка являются полюсом и полярной плоскостью в нуль-системах, индуцируемых винтами этих поверхностей.

В п. 7.7 рассмотрено конструирование сопряженных ВП с точечным контактом. На основании результатов, полученных в п.п. 7.6, точка касания пары сопряженных поверхностей ВП1-ВП2 представляет собой точку пересечения характеристик t1 и t2 в парах ВП1-ЦП и ЦП-ВП2 соответственно. Поскольку контактные нормали принадлежат общей полярной плоскости винтов этих ВП, то множество точек контакта поверхностей в неподвижной системе координат образует в этой плоскости линию зацепления (ЛЗ). Для ее получения достаточно рассмотреть лишь одну из пар ВП1-ЦП или ЦП-ВП2. Пусть это будет первая пара. В таком случае характеристикой t1можно образовать ЦП(i1,t1) путем непрерывного смещения t1вдоль оси i1поверхности ВП1. При этом ЛЗ есть линия пересечения ЦП(i1,t1) и плоскости . Параметрические уравнения ЦП(i1,t1) могут быть получены в общем виде на основе уравнений (29) характеристики tв неподвижной системе координат, отнесенной к неподвижной ВП1:

x1 = x1(); y1 = y1();z1 =z1()+s, где s- вещественный параметр непрерывного множества конгруэнтных линий t1. Тогда параметрические уравнения ЛЗ будут иметь вид: x1 = x1(); y1 = y1(); z1 = - y1 tg1, где 1- угол между осью i1и плоскостью . Учитывая формулы перехода от неподвижной системы координат, в которой получена ЛЗ, к подвижным, отнесенным к движущимся ВП1 и ВП2, можно получить координаты контактной точки на ВП1 и ВП2. Множество таких точек на каждой поверхности образует рабочую линию, которая может быть принята в качестве образующей линии этой поверхности. В отличие от известных вычислительных алгоритмов, относящихся к данной задаче и основанных на определении промежуточной поверхности инструментальной рейки, предложенный в работе алгоритм позволяет определять координаты контактных точек на взаимоогибаемых винтовых поверхностях в режиме прямого счета.

Приложения содержат результаты решений производственных задач по профилированию металлорежущих инструментов - дисковой и червячной фрез для обработки винтовых канавок деталей. На основе полученных в диссертации геометрических моделей разработаны вычислительные алгоритмы и блок-схемы, которые позволили создать программы на языке C++ в оболочке Borland Builder с использованием Open GL для профилирования указанных инструментов. В программах предусмотрена возможность визуализации профилирования, поРисунок 18 - Дисковая фасонная и червячная фрезы зволяющая за счет изменения для обработки винтовых канавок деталей исходных данных отслеживать и качественно оценивать по графическому отображению ход процесса профилирования. По результатам профилирования выполнено объемное моделирование фрез в программе КОМПАС-3D V10 (рисунок 18).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Доказано существование линейчатых моделей эллиптической прямой:

алгебраического коноида и щетки. Эти модели могут быть использованы в исследованиях соответствия между многообразием прямых расширенного евклидова пространства и эллиптической плоскости.

2. Установлено, что связка прямых и плоскостей расширенного пространства R3 ; сфера с центром в центре связки и отождествленными диаметрально противоположными точками; плоскость, касательная к этой сфере, допускающая интерпретацию в виде метризованной проективной плоскости; линейчатое пространство, рассматриваемое как многообразие прямых расширенного пространства R3 - это множества с взаимно соответственными метрическими структурами. Установлено, что соответствие абсолютов эллиптической плоскости и линейчатого пространства индуцирует изоморфизм метрических характеристик соответственных объектов этих двух пространств. Это позволяет рассматривать эллиптическую плоскость как модель линейчатого метрического пространства.

3. Доказано существование системы конструктивных и метрических свойств каждой коники эллиптической плоскости, основанной на метрических соотношениях между фигурами, конструктивно связанными с коникой и абсолютом этой плоскости. Тем самым заложены основы для изучения соответствующих конструктивных и метрических свойств линейчатых образов этих коник.

4. Доказано, что в евклидовом трехмерном пространстве над алгеброй дуальных чисел дуальная эллиптическая плоскость представляет собой гомеоморфную модель линейчатого пространства. Доказано, что проективному образованию квадратичных образов в дуальной метризованной проективной плоскости и их проективным свойствам соответствуют проективное образование линейчатых квадратичных прообразов в линейчатом метрическом пространстве и проективные свойства этих прообразов. Следовательно, исследования конструктивных и метрических свойств объектов линейчатого пространства могут быть выполнены в дуальной эллиптической плоскости.

5. Установлено, что на эллиптической плоскости можно выполнять геометрическое моделирование пространственных линейчатых зубчатых зацеплений. Это позволяет свести решения пространственных задач синтеза зацеплений к решениям на плоскости.

6. Доказано существование взаимно однозначного соответствия дифференциально-геометрических характеристик пространственной кривой и ее плоскостного образа. Тем самым выявлены свойства в бесконечно малом линейного проецирования в методе Монжа, которые могут быть использованы при моделировании поверхностей на чертеже Монжа.

7. Установлено, что отдельные объекты линейчатого пространства: комплекс (нуль-система), конгруэнция и регулюс могут быть применены для конструирования взаимоогибаемых поверхностей класса винтовых с линейным и точечным контактом при профилировании режущих инструментов. Выявлены закономерности в распределении контактных нормалей таких поверхностей, которые позволили разработать универсальную систему геометрических моделей их конструирования на основе нескольких базовых моделей.

8. Разработаны алгоритмы вычислений и блок-схемы на основе предложенных в работе геометрических моделей конструирования взаимоогибаемых поверхностей. Они позволили создать программы компьютерной реализации решений основных задач профилирования дискового и червячного режущих инструментов для получения поверхностей винтовых канавок деталей. Вычислительные алгоритмы и программы получили производственное внедрение. Наличие общего геометрического метода конструирования всевозможных пар сочетаний взаимоогибаемых поверхностей класса винтовых с компьютерной реализацией решений задач профилирования может служить основой для создания универсальной подсистемы профилирования в САПР режущего инструмента.

Заключение. Проведенные исследования показали, что геометрическое моделирование линейчатого пространства с учетом его метрической структуры представляет собой новую область исследований в инженерной геометрии. Конструктивно-аналитический метод исследований, принятый в диссертационной работе, позволил выполнить построение плоскостных моделей линейчатого метрического пространства и тем самым, как показано в работе, свести оперирование линейчатыми объектами в пространстве к оперированию их образами на плоскости. Это открывает перспективные возможности для более полного и глубокого теоретического исследования самого линейчатого пространства и для решения множества прикладных задач, имеющих в нем место.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Панчук, К.Л. Алгоритмы конструктивного определения множества пересечения: учеб. пособие / К.Л. Панчук. Омск: ОмПИ, 1993. 68с.

2. Панчук, К.Л. Винтовые образы прямой и плоскости / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. – 2006. – №2(35). – С. 93-95.

3. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук. – Омск: ОмПИ, 1987. – 11 с. – Деп. в ВИНИТИ 22.05.87, №4496 – В87.

4. Панчук, К.Л. Геометрическое моделирование сопряженных (взаимоогибаемых) поверхностей класса винтовых при проектировании металлорежущих инструментов / К.Л. Панчук. – Омск: ОмГТУ, 2008. – 91с. – Деп. в ВИНИТИ 15.07.08, №618-В2008.

5. Панчук, К.Л. Геометрический синтез плоского зубчатого зацепления / К.Л. Панчук // Известия вузов. Машиностроение. – 1982. – №6. – С. 35-39.

6. Панчук, К.Л. Дифференциальные геометрические параметры кривой линии и её ортогональных проекций / К.Л. Панчук // Современные проблемы геометрического моделирования: матер. Украино-Российской науч.-практ. конф., 19-22 апреля 2005. – Харьков, 2005. – С. 238-244.

7. Панчук, К.Л. Дуальная модель и проективная геометрия линейчатого пространства / К.Л. Панчук. – Омск: ОмГТУ, 2007. – 113с. – Деп. в ВИНИТИ 12.12.07, №1161-В2007.

8. Панчук, К.Л. Кинематический метод профилирования дисковых инструментов / К.Л. Панчук // Известия вузов. Машиностроение.–1979.–№11.– С. 125-129.

9. Панчук, К.Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатого пространства / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. – Кузбасс, 2007. - №6. – С. 55-58.

10. Панчук, К.Л. Кривые второго порядка эллиптической плоскости / К.Л. Панчук. - Омск: ОмГТУ, 2007. – 83с. – Деп. в ВИНИТИ 12.12.07, №1160-В2007.

11. Панчук, К.Л. Линейчатые модели эллиптической прямой / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. – Кузбасс, 2007. - №6. - С. 52-54.

12. Панчук, К.Л. Метрические свойства коники эллиптической плоскости / К.Л. Панчук // Современные проблемы геометрического моделирования: матер. второй украинскороссийской науч.-практ. конф., 24-27 апреля 2007. – Харьков, 2007. – С. 178-183.

13. Панчук, К.Л. Моделирование линейчатого пространства дуальной эллиптической плоскостью / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник СибГАУ им.

акад. М.Ф. Решетнева. – Красноярск, 2007. – Вып. 4(17). - С. 54-56.

14. Панчук, К.Л. О метрической структуре линейчатого пространства / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. – 2008. - №2(68). – С. 37-39.

15. Панчук, К.Л. О принципе перенесения Котельникова-Штуди / К.Л. Панчук // Геометрическое моделирование в практике решения инженерных задач:

межвуз. темат. сб. науч. тр. – Омск, 1991. – С. 18-23.

16. Панчук, К.Л. Об условиях задания коллинеации многообразия прямых пространства Р3 /К.Л. Панчук//Омский научный вестник.–2006.–№1(34).–С.66-67.

17. Панчук, К.Л. Проективитет щётки / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. – 1999. – Вып. 8. – С. 78-80.

18. Панчук, К.Л. Проективитет щёток в конструировании линейчатых поверхностей и их множеств в изделиях машиностроения / К.Л. Панчук // Динамика систем, механизмов и машин:

матер. 4 междун. науч.-техн. конф., 12-14 ноября / ОмГТУ. – Омск, 2002. – Кн. 2. - С. 88-91.

19. Панчук, К.Л. Проективные свойства и конструктивные особенности дуальных рядов и пучков второго порядка / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. – 2003. – №2(23). – С. 47-50.

20. Панчук, К.Л. Профилирование дискового инструмента для обработки винтовых канавок детали / К.Л. Панчук, Ю.Н. Вивденко, А.В. Климов // Омский научный вестник. – 2008. – №1(64). – С. 35-40.

21. Панчук, К.Л. Соприкосновение кривых в эллиптической плоскости и их аналогов в линейчатом пространстве / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Омский научный вестник. – 2006. – 10(48). – С. 35-39.

22. Панчук, К.Л. Уравнение Эйлера-Савари для эллиптической плоскости и его интерпретация в линейчатом пространстве / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. – 2008. – №1(64). – С. 31-34.

23. Aspects of geometrical simulation of space and its properties / L. Kulikov, K. Panchuk, A. Liashkov, V. Volkov // Proceedings of the 10th International Conference on Geometry and Graphics. Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 – August 2. – Kyiv, Ukraine, 2002. – V.1. - P. 99-103.

24. Panchuk, K. Constructional and analytical investigations of the space and some figures / K. Panchuk, A. Liashkov, L. Kulikov // Proceedings of the 11th International Conference on Geometry and Graphics. Guangzhou, China, 2004, August 1 – August 5. – Guangzhou, China, 2004. – P. 82-86.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.