WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Постников Евгений Борисович

Анализ многомасштабных структур и моделирование динамики их формирования на основе иерархического диффузионного подхода

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж – 2011

Работа выполнена в Курском государственном университете.

Научный консультант: докт. физ.-мат. наук, профессор Лоскутов Александр Юрьевич, МГУ им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: докт. физ.-мат. наук Романовский Михаил Юрьевич, Президиум РАН;

докт. техн. наук, профессор Ряжских Виктор Иванович, Воронежский гос. технол. ун-т;

докт. физ.-мат. наук, профессор Чуев Геннадий Николаевич, Ин-т теор. и экспер. биофизики РАН

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Защита состоится 14 сентября 2011 г. в 15.10 на заседании диссертационно го совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете, расположенном по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государ ственного университета.

Автореферат разослан 2011 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа тью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь к.ф.-м.н. С.А. Шабров диссертационного совета,

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одной из актуальных проблем математическо го моделирования является изучение нелинейных процессов “реакция-диф фузия”, ведущих к возникновению структур и распространению автоволн в сплощной среде. Использование единого математического аппарата позволя ет унифицированным способом подойти к постановке и решению задач физи ческой1, химической2 и биофизической кинетики3.

В частности, одной из важных примеров является процесс “диффузи онно-ограниченной агрегации” (Diffusion-Limited Aggregation, DLA), предло женный T. Виттеном и Л. Сандером, который служит универсальной моде лью формирования фрактальных структур при электро- и химической депо зиции микрочастиц из раствора, образования дендритных включений в мине ралах, электрического пробоя и других4. Наличие иерархии пространствен ных масштабов в конденсированных средах и описываемых по аналогии с ними, является предпосылкой одного из новейших подходов к их описанию – сетевого представления5, в рамках которого также отмечен аномальный динамический скейлинг.

Характерной чертой подобных процессов является возникновение рас пространяющихся фронтов реакции, формирующих бегущие автоволны. Клас сический подход к их описанию, заложенный работами А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова и Р.Э. Фишера, базируется на сосущество вании двух процессов – локальной реакции в любой точке пространства и переносе реагентов за счет свободной неограниченной диффузии. Однако он неприменим в случае плотной среды с затрудненным массопереносом, а так же взаимодействий, происходящих только на границе взаимно непроницае мых компонентов реакции. К подобным задачам реакционно-диффузионной кинетики конденсированных сред примыкают также и задачи о распростра нении контактных инфекций, в которых роль физико-химических реагентов играют маломобильные здоровые и инффицированные индивиды.

Эти факты привели ряд авторов к гипотезе о невозможности построе ния на основе дифференциальных уравнений в частных производных моде лей процессов, происходящих в средах с существенными ограничениями на случайные блуждания, и необходимости введения феноменологических пара метров обрезания функции плотности или использования интегро-дифферен А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. Основы теории сложных систем. М: РХД, 2007.

P. Gray, S. K. Scott. Chemical Oscillations and Instabilities: Non-linear Chemical Kinetics. Oxford University Press, 1994.

J. D. Murray. Mathematical Biology II. Springer, 2003.

T. C. Halsey. Diffusion-Limited Aggregation: A Model for Pattern Formation // Physics Today.

2000. Vol. 53. Pp. 36–41.

M. Newman, A.-L. Barabsi, D. J. Watts. The Structure and Dynamics of Networks. Princeton University Press, 2006.

циальных уравнений6, которые гораздо сложнее для качественного и количе ственного исследования.

Поэтому актуальной является задача детального исследования перехода от микроскопического стохастического описания (управляющее уравнение) к макроскопическому усредненному (уравнения типа Чепмена-Колмогорова Фоккера-Планка) в подобных средах, а также методов решения полученных таким образом нелинейных диффузионных уравнений.

Не менее важной является и обратная к рассмотренной проблема: выяв ление локальной структуры уже сформированных сложных пространствен ных и временных распределений. В настоящее время одним из мощных ин струментов для ее решения является непрерывное вейвлет-преобразование, которое нашло применение в самом широком круге задач физики и смеж ных наук7. Существующие методы расчета основаны на его непосредствен ном определении как интегрального преобразования свертки. Однако, такой подход содержит существенные трудности при обработке экспериментальных и модельных данных, представленных существенно неоднородными выборка ми, что требует выработки альтернативных подходов, базирующихся на тео рии многомасштабных диффузионных процессов.

Структуры, обладающие радиальной симметрией, требуют для анализа применения интегрального преобразования Ганкеля8. Однако существующий математический аппарат зачастую является недостаточным в случае данных, которые обладают выраженной иерархией пространственных или временных масштабов, на которых проявляются существенно различные свойства. В этом случае, вейвлет-преобразование, позволяющее проводить эффективную кратномасшабную декомпозицию выборки, представляется перспективным инструментом для проведения интегрального преобразования Ганкеля при его использовании для математического моделирования задач физики и об работки сигналов.

Цель и диссертационной работы. Анализ и моделирование сложных многомасштабных структур и динамики их формирования на основе последо вательного комплексного подхода, основанного на решении систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений диффузионного типа.

В рамках данной цели выделены следующие задачи: 1) построение но вых математических моделей контактных многомасштабных процессов роста фрактальных агрегатов, распространения автоволн в средах с ограниченным массопереносом и аномальной диффузии; 2) разработка новых методов анали V. A. Bogoyavlenskiy, N. A. Chernova. Diffusion-limited aggregation: A revised mean-field approach // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. Pp. 5422–5428.

S. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, 1999. S. Jaffard, Y. Meyer, R. D. Ryan. Wavelets. Tools for Science & Technology. SIAM, 2001. Wavelets in Physics, Ed. by J. C. van den Berg. Cambridge University Press, 1999.

The Transforms and Applications Handbook, Ed. by A. D. Poularikas. CRC Press, 2000.

за многомасштабных структур на основе вейвлет-преобразования и 3) разра ботка, тестирование и приложения численных алгоритмов на основе данных методов и их реализация в виде комплекса программ.

Научная новизна. Разработан переход от микроскопического описания к среднеполевому диффузионному на основе последовательного учета иерар хии пространственных и/или временных масштабов исследуемых структур, позволяющий единым образом получить новые:

• математические модели автокаталитических контактных процессов (фор мирование фрактальных кластеров и бегущих автоволн в средах с огра ниченным массопереносом) и аномальной диффузии (супердиффузии), основанные на введении иерархии операторов диффузии, действующих на областях, доступных для процессов переноса и реакциях, определен ных на их границах, а также аналитические аппроксимации и результа ты вычислительного эксперимента, полученные на основе разработан ных оригинальных программных решений; разработанные модели, в отличие от существующих, не требуют введения феноменологических подгоночных дробно-степенных функций и параметров обрезания для воспроизведения скейлинга, характерного для роста фракталов и ано мальной диффузии, а также впервые в явном виде учитывают разделе ние масштабов полного перемешивания и контактного взимодействия в задачах о моделировании реального химического реактора конечной толщины и распространения эпидемии в маломобильной популяции.

• методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования с практически значимыми вейвлетами (семейства Морле и Гаусса), основанные на его сведении к решению задачи Коши и начально-граничной задачи для системы диффузионных уравнений, расчета интегрального преобразо вания Ганкеля, базирующиеся на дискретном вейвлет-преобразовании;

• алгоритмы численного расчета предложенных вейвлет-методов, тести рование которых показало их преимущество по сравнению с существу ющими (использованными, в частности, в MATLAB Wavelet Toolbox, WaveLab) реализованные в виде программного комплекса (http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/), и успешно примененные к задачам выделения нестационарных периодических структур в конден сированных средах.

Практическая значимость состоит в разработке новых методов моде лирования и анализа многомасштабных структур, которые применимы для решения актуальных задач физики и смежных отраслей наук, в частности:

• формирование фрактальных и сетевых структур с заданными масштаб ными и динамическими свойствами в физико-химической технологии и биофизике;

• анализ структур и сигналов на основе высокопроизводительных и высо коточных вейвлет-алгоритмов, в том числе при помощи реализованного программного продукта.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Метод перехода от микроскопического к среднеполевому диффузион ному описанию, общий для моделирования широкого круга структур, порождаемых контактными автокаталическими процессами.

2. Расчет фрактальной размерности DLA-кластеров на основе диффузи онной модели их роста, согласующийся с данными эксперимента и ре зультатами прямого микроскопического численного моделирования.

3. Модели формирования бегущих волн автокаталитических контактных реакций в сплошной среде с затрудненным массопереносом, их анали тические и численные решения, подтвержденные прямым численным моделированием и сравнением с экспериментальными эпидемиологиче скими данными.

4. Диффузионные методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования на основе вейвлетов семейств Гаусса и Морле, обоснование их преиму ществ применительно к анализу сложных многомасштабных структур и реализованный на основе данных методов программный продукт.

5. Анализ нестационарных структур в гранулярных газах на примере ана лиза фотоизображений высокого разрешения главных колец Сатурна, полученных космическим аппаратом “Кассини”.

6. Выявление физического смысла синхронизации масштабов вейвлетных фаз связанных хаотических осцилляторов на основе диффузионного подхода к вейвлет-преобразованию.

7. Среднеполевой расчет релаксационных процессов в сети типа “small world”, объясняющий супердиффузионное поведение в натурном экспе рименте и при прямом микроскопическом численном моделировании.

8. Метод вычисления интегрального преобразования Ганкеля на основе дискретного вейвлет-преобразования и обоснование его преимуществ на тестовых примерах.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доло жены автором на научных конференциях: SampTA’03: International Workshop on Sampling Theory and Applications (Austria, Salzburg, Strobl, May 26-30, 2003); VII International Symposium on Orthogonal Polynomial, Special Functions and Applications. (Denmark, Copenhagen, August 18-22, 2003) (грант Оргкоми тета); Нелинейные волны – 2004 (Н.Новгород, 29 февраля -7 марта 2004);

VII международная школа “Хаотические автоколебания и образование струк тур”(Саратов, 1-6 октября 2004); III Всероссийская конференция “Необрати мые процессы в природе и технике” (Москва, 24-26 января 2005); ApplMath05:

Applied Mathematics and Scientific Computing (Croatia, Brijuni, June 19-24, 2005); WavE2006: Wavelet and Applications Conference (Switzerland, Lausanne, July 10-14, 2006) (грант Оргкомитета); XVIII сессия Российского акустиче ского общества (Таганрог, 11-14 сентября 2006) (диплом РАО за лучшую на учную работу молодого ученого); ESF-Workshop “PDE Approaches to Image Processing” (Germany, Kln, Oktober 7-10, 2006) (приглашенный пленарный доклад); IV Всероссийская конференция “Необратимые процессы в приро де и технике” (Москва, 29-31 января 2007); NBIC-ISBN 2007: Netherlands Bioinformatics Conference / Internationall Symposium on Networks in Bioinformatics (The Netherlands, Amsterdam, April 16-19, 2007); The Benelux Bioinformatics Conference (Belgium, Leuven, November 12-13, 2007); XV Международная кон ференция “Математика. Компьютер. Образование” (Дубна, 28 января - 2 фев раля 2008); 72. Jahrestagung der Deutsche Physikalische Gesellschaft und DPG Frhjahrstagung des Arbeitskreises Festkrperphysik mit anderen Fachverbnden und den Arbeitskreisen der DPG (Germany, Berlin, February 24-29, 2008); Dynamics Days Berlin - Brandenburg 2008 (Germany, Postdam, October 8-10, 2008) (участие поддержано грантом РФФИ 08-01-09297-моб-з); XVI Международ ная конференция “Математика. Компьютер. Образование” (Пущино, 19-24 ян варя 2009); Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frhjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Dresden, March 22-27, 2009). Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frhjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Regensburg, March 21-26, 2010).

Помимо этого, результаты работы докладывались на семинарах кафедр статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов Берлинского университета имени Гумбольдтов, кафедры нелинейной динами ки Института динамики и самоорганизации имени Макса Планка (Геттинген, Германия), Института высокопрозводительных вычислений Штуттгартского университета (Германия), Института математики Любекского университета (Германия), Пущинской радиоастрономической обсеватории Астрокосмиче ского центра ФИАН, кафедры функционального анализа Воронежского го сударственного университета.

Исследования были поддержаны грантами DAAD по программе “Михаил Ломоносов” (2005, 2007) и грантом РФФИ 09-01-12133-офи-м (2009).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 40 работах, из них 18 статей в журналах, рекомендованных ВАК [1–18], монография [19], главы в двух коллективных монографиях [20, 21], 14 статей в прочих жур налах, сборниках научных трудов и трудах конференций [22–37], 3 преприн та [38–40]. Кроме того, разработанный программный комплекс размещен в репозитории открытого программного обеспечения:

http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/.

Соответствие паспорту специальности. В соответствии с формулой специальности 05.13.18 – “Математическое моделирование, численные мето ды и комплексы программ” в диссертационном исследовании на базе единого подхода разработаны новые фундаментальные математические модели, мето ды и практически реализующие их алгоритмы и программы, примененные к широкому кругу задач физики конденсированного состояния, био- и астрофи зики. Диссертационное исследование соответствует пунктам 1 5, 7 паспорта специальности.

Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, получены либо автором самостоятельно, либо при его непосредственном, ак тивном и творческом участии. В работах, имеющих междисциплинарный ха рактер и выполненных с соавторами, автору принадлежит основная разра ботка вопросов, связанных с методами математического моделирования.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Текст изложен на 290 страницах, вклю чая 82 рисунка и 2 таблицы. Для сохранения последовательности изложения, обзоры существующих подходов, относящихся к каждому из направлений ис следований, вынесены во вводные параграфы каждой из глав. Список цити руемой литературы состоит из 312 наименований.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе рассматривается среднеполевая модель диффузионно ограниченной агрегации (DLA), сопровождаемой ростом фрактальных кла стеров (далее – ФК) при необратимом присоединении броуновских частиц к растущему агрегату при их контакте. В начале приведен обзор имеющихся проблем физики конденсированных сред, которые могут быть описаны дан ной моделью, а затем представлены результаты оригинальных исследований.

Для моделирования роста ФК на основе дифференциальных уравнений типа “реакция-диффузия” вводится так называемый “оператор контактной диффузии”. Его физический смысл состоит в переходе к распределенной си стеме от микроскопического описания процесса, которое задано дискретным управляющим уравнением (x, y) = (1) u(x, y) [((x + a, y) + (x - a, y) + (x, y + a) + (x, y - a)) /4] t, вводящим взаимодействие только при непосредственном контакте броунов ской частицы с частицей, принадлежащей кластеру. Здесь где u – плотность вероятности обнаружить броуновскую частицу, – плотность распределения частиц кластера в соседних “ячейках” с характерным размером a, равным диаметру частиц. В континуальном приближении при условии сохранения ненулевого значения диаметра частицы (первичное огрубление) искомая си стема диффузионных уравнений будет иметь следующий вид:

t = u + (a2/4)2 (2) tu = (a2/4)2u - u + (a2/4)2u, (3) где при выводе уравнения (3), описывающего плотность распределения блуж дающих частиц, учетена также их свободная диффузия вдали от кластера.

Исходя из микроскопической постановки задачи, в качестве граничных при r = R используются условия непроницаемости ru = ru = 0, что соотвеству ет тому, что блуждание свободных частиц и рост кластера происходит внут ри замкнутой окружности радиусом R. Соответственно, начальным условием для броуновской частицы, вбрасываемой на этой границе, является сосрдото ченное распределение в виде дельта-функции Дирака u(r) (r - R) и, ана логично, в начальный момент единственная частица-затравка расположена в центре рассматриваемого круга: (r) (r).

Однако система (2) – (3), как и близкая к ней система, предложенная в работе9, не дают решения с дробно-степенной зависисмостью плотности кластера от его радиуса, т.е. не описывают фрактальность объекта.

Поэтому ключевым моментом в дальнейшем построении модели являет ся введение вторичного (временн огрубления, далее ВО, основанного на ого) том, что прибавление единственной частицы к границе кластера равносильно ее “размазыванию” тонким слоем по всему периметру, что в модели среднего поля соответствует пренебрежимо малой флуктуации. Поэтому допускается, что плотность кластера меняется только после того как свободные частицы адсорбировались по всему периметру, т.е. полностью заполнили поверхност ный слой кластера. Таким образом удается избежать искусственных феноме нологических допущений, используемых обычно для описания фракталов.

R. Ball, M. Nauenberg, T. A. Witten. Diffusion-controlled aggregation in the continuum approximation // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29. Pp. 2017–2020.

В этом случае система (2) – (3) может быть представлена итеративной последовательностью дифференциальных уравнений n+1 = n + CU + (a2/4)2, (4) -u(r, 0) = 2U(r) - n(r) U(r) + (a2/4)2U(r), (5) где n номер итерации, соответствующий заполнению очередного слоя, и введена функция T U(r) = u(r, )d, T которая с точностью до нормировки дает усредненное по характерному вре мени существования свободной частицы T распределение свободных частиц в пространстве. Соотвествующее условие нормировки:

2r a C =.

a 2 U( + a22/4)rdr Численное решение (4) – (5) с тем же условиями непроницаемости на границе области (rU(r)|r=0,R = 0) подтверждает (рис. 1), что данный подход позволяет получить необходимую стпенную зависимость радиального распре деления средней плотности кластера, а также промоделировать характерную динамику его роста. Метод ВО позволил получить также и аналитическое ре шение системы, выражающееся через преобразование Ганкеля.

Помимо процесса агрегации частиц одного сорта на плоскости, описан ный подход обобщен на ФК в трехмерном пространстве (расчетная Df = 2.70, экспериментальная: Df = 2.49), а также ФК, образованных в системе невзаи модействующих частиц нескольких сортов. Последняя ситуация реализуется в молекулярной физике при формировании структур путем осаждения ча стиц на неоднородную подложку с заданной структурой.

В мультикомпонентном случае уравнение агрегации (4) записывается для каждого сорта частиц, а (5) принимает вид K a-ui(r, 0) = 1 - j(r) 2Ui(r) - Ui(r)i(r).

j=Суммирование по всем сортам частиц отвечает ограничению подвижности блуждающих частиц формирующимся ФК как целым. Проведенное числен ное моделирование для частиц двух сортов показало, что рассматриваемая модель адекватно воспроизводит особенности среднего распределения плот ности частиц в ФК: найденная Df = 1.75, что хорошо согласуется с опытным Рис. 1. Слева: схема среднеполевого сведения микроскопической структуры ФК угловым усреднением к аксиально-симметричному распределению, разбитому на слои с радиальной толщиной, равной диаметру частицы (ФК для наглядности изображен в уменьшенном масштабе). Справа: графики рассчитанной зависимости плотности кластера от радиуса в модели Ball et al (пунктирная линия, фрактальная размерность Df = 1) и модели с ВО (штриховая линия, Df = 1.78). Экспериментальное значение Df = 1.72.

значением 1.65 с учетом того, что среднеполевая модель априори подразуме вает более плотное заполнение плоскости частицами ФК.

Во второй главе рассматриваемый новый подход применен к решению задачи о генерации автоколебаний и распространении бегущих автоволн в конденсированных средах с автокаталитической реакцией и массопереносом, существенно различным на разных пространственных масштабах.

В обзоре, приведенном в начале главы, обосновано, что классические модели “реакция-диффузия” не отвечают физической картине переноса вза имодействия в случае контактных процессов.

Решению этой проблемы посвящена остальная часть главы, в которой из ложены результаты оригинальных исследований. Предлагаемый подход бази руется на методе, изложенном в первой главе. Вводится разбиение простран ства на ячейки с характерным размером a, как и в (1), каждая из которых рассматривается как содержащая группу частиц, которые могут реагировать путем автокаталитической реакции.

Первая часть результатов относится к рассмотрению индивидуальной ячейки, содержащих два реагента. Субстрат x поступает в ячейку через ее нижнюю границу и необратимо преобразуется в продукт y путем монотон ной необратимой тримолекулярной реакции. В свою очередь, продукт может быть удален из ячейки тоже только через нижнюю границу. Такая ситуация характерна, например, для экспериментов по изучению реакции гликолиза в гелевом реакторе, открытым для обмена веществом только с одной стороны (one-side fed gel reactor)10.

Предложена система уравнений, описывающая данный механизм с уче том диффузионного перераспределения вещества внутри ячейки, tx = nx - xy2, ty = ny + xy2, с граничными условиями (индекс n означает внешнюю нормаль):

nx|n=0 = -; ny|n=0 = wy.

Показано, что вертикальное стационарное распределение концентрации ys на отрезке [0, a], удовлетворяющее нелинейному уравнению на собственные значения 2 ny + (cs - ys)ys = 0 (6) с граничными условиями nys|n=0 = ; nys|n=a = 0; ys|z=0 = /w при 3ys(n) < 2cs для всех n теряет стабильность и возбуждаются автоко лебания, реализующие принципиально новый механизм, не требующий вве дения петли обратной связи в уравнениях, описывающих динамику реакции в толще среды. В случае пространственно-неоднородного по радиусу втока субстрата в системе возникают кинематические фазовые волны, распростра няющиеся за счет различной частоты локальных автоколебаний в радиаль ном направлении, см. рис. 2. Показано, что с увеличением размера ячейки собственные функции – решения (6) обладают свойством масштабной инва риантности ys L-2ys, n L2n.

Также анализирется связь данного явления с феноменом переворота фа зы и изменения направления фазовой волны в системе Селькова с диффузией и Брюсселятор, а а также впервые показана изомрофность математических моделей этих систем.

Вторая часть главы посвящена моделированию автоволн в неограничен ной среде, представимой как совокупность ячеек, передача взаимодействия между которыми может осуществляться только на линия контакта их границ.

В данной части работы рассматривается квадратичная автокаталическая ре акция, которая отвечает не только важным физико-химических процессам в конденсированной среде (модели Лоттки, Филда-Короша-Нойеса), но и мо жет быть использована как модель биофизических задач популяционной ди намики. Каждая ячейка в рассматриваемой модели может находиться одном S. Vermeer (geb. Bagyan). Spatio-temporal dynamics of glycolysis in an open spatial reactor: Ph.D.

thesis / Magdeburg Univ. 2008.

10 5 Y 0 Y -5 --10 --10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 X X 10 5 Y 0 Y -5 --10 --10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 X X Рис. 2. Сравнение экспериментальных фотографий распространения сходящейся кинема тической гликолитической волны в геле [S. Vermeer, 2008] (слева) и ее численной модели на основе предложенного в данной работе подхода (справа).

из трех состояний: S (восприимчивое), I (активное) или R (рефрактерное).

Так как основной целью является анализ распространения волны на рассто яния, существенно превышающие характерный размер ячейки, и времена, превышающие время релаксации распределения внутри ячеек, то принимает ся, что внутри каждой ячейки выполняется условие полного перемешивания.

При условии нормирования парциальных значений указанных плотностей, когда S + I + R = 1, S, I и R интерпретируются как вероятности того, что данная ячейка примет одно из трех возможных состояний.

Исходя из того, что некоторая произвольная ячейка способна быть ак тивированной (“инфицированной”) одной из соседних за единичное время с вероятностью /4, независимо от ориентации, переход от микроскопического управляющего уравнения к среднеполевому дифференциальному уравнению в частных производных аналогичен выводу (4) – (5):

t = S I + (a2/4)2I. (7) Добавляя к (7) релаксационный член, соответствующий среднему време ни релаксации и вводя транспортный коэффициент D = a2/4, при условии соблюдения закона сохранения полного числа частиц, получаем систему tI = (1 - R - I)I + D(1 - R - I)2I - -1I, (8) tR = -1I.

Показано, что при переходе в сопутствующую систему координат (где v – скорость распространения бегущей автоволны), x = x - vt, для системы Рис. 3. Слева: форма автоволны для различного числа внутрених состояний ячейки (r = 1 (крестики), r = 5 (плюсы), r = 10 (звездочки)) при = 6 при микроскопическом моделировании методом Монте-Карло и решении (11), (12) (сплошная линия). Справа:

пространственно-временная динамика эпиозотии (звездочки – первые записи о заболева нии, кружки – моменты 50%-й смертности) и автоволны на основе сооттветствующей мо дели автокаталической реакции (штриховая наклонная линия и вертикальный сплошной отрезок задают рассчитанные скорость автоволны и ее характерную полуширину).

(8) существует дополнительный инвариант d2R ln S + R + D = 0. (9) dxТогда пространственная плотность S удовлетворяет автономному уравнению:

dS d2S v = S(1 - S) - DS + S ln S. (10) dx dx2 Исследование уравнения (10) показало, что его структура допускает при ближенные аналитические решения в явной форме для переднего 1 v S(x) = 1 + tanh (x - x ), (11) 2 8D и заднего x S(x) = exp C exp - k, (12) v фронтов волны, где x, C – константы, определяемые начальными условиями.

Совместное использование (11), (12) с инвариантами (9) и S + I + R = дает аналитическую форму волны:

I(x) = 1 - S(x) + ()-1 ln S(x).

Сравнение с результатами прямого численного моделирования методом Монте-Карло показало, что полученные аппроксимации обладают высокой точностью для весьма широкого набора параметров, см. рис. 3. Видно, что согласие достаточно быстро улучшается при росте числа внутренних состоя ний ячейки, что согласуется с исходным допущением о переходе к контину альному описанию с помощью уравнений в частных производных на основе приближения локального среднего поля.

Практическая применимость разработанной математической модели про демонстрирована на примере биофизической задачи моделирования эпиоозо тии 1988 года phocine distemper virus среди тюленей Северного и Балтийского морей, временная и пространственная динамика которой подробно докумен тирована11. В данном случае три типа взаимодействующих частиц ассоцииро ваны с восприимчивыми, инфицированными и переболевшими особями. На рис. 3 представлено сравнение результатов расчетов на основе уравнений (8) с экспериментальными данными. Видно, что модельные расчеты согласуются с природными наблюдениями с достаточно высокой точностью.

В третьей главе с точки зрения теории диффузионных процессов рас сматривается новый подход к непрерывному вейвлет-преобразованию, опре деляемому как свертка исследуемой функции f(t) с комплексным сопряже нием вейвлета ():

+ t - b w(a, b) = C(a) f(t) dt, (13) a - Здесь t и b – временные (или, в зависимости от физической постановки за дачи, координатные) переменные, a – масштаб, т.е. переменная, пропорцио нальная текущему периоду сигнала, C(a) – нормирующий множитель.

Разработанные методы применены к анализу структурообразования в неупорядоченной среде на примере радиального распределения вещества в главных кольцах Сатурна. Последняя задача является одной из наиболее ак туальных проблем изучения специфической формы конденсированных сред – гранулярных газов – активное исследование которых ведется в настоящее время12.

Во вводной части главы приводится обзор свойств вейвлетных функций, входящих в преобразования – вейвлетов, построенных на основе гауссианы, в частности, наиболее важного для анализа функций, содержащих локальные периодичности, стандартного вейвлета Морле () = ei e- 2, C(a) = 1/a 2, (14) R. Dietz, M.-P. Heide-Jrgenson, T. Harknen. Mass death of harbour seals Phoca vitulina in Europe // Ambio. 1989. Vol. 18. Pp. 258–264.

Granular Gases, Ed. by T. Pschel, S. Luding. Springer, 2001.

в амплитудной (модули базисных функций на всех масштабах ограничивают одинаковую площадь) нормировке, которая обеспечивает наиболее эффектив ный анализа сигналов.

Предложенный метод интерпретирует вейвлет-преобразование на основе выводов теории диффузии. Представление (13) c (14) виде + ((t-b)+i0a) 2aew(a, b) = e- f(t) dt, (15) 2a- может рассмотрено как решение дифференциального уравнения в частных производных aw = ab w - i0bw, (16) выраженное через функцию Грина. В пределе a 0 ядро преобразования (15) переходит в дельта-функцию Дирака. Как следствие, показано, что иско мое вейвлет-преобразование является решением задачи Коши для уравнения (16) с начальным условием w(0, b) = f(b) exp(-0/2).

Для конечной выборки, соответствующей случаю реальных экперимен тальных данных о структуре конденсированных сред или временных рядов, отражающих их динамику, данная задача сводится к начально-граничной.

Сравнение численной реализации предложенного метода, проведенное на те стовых примерах (простая гармоника с различным сотношением длины ин тервала/периода; экспоненциально затухающая синусоида, сложенная с си нусоидой постоянной амплитуды, отличной от нуля на ограниченном отрезке внутри полного интервала, представленного выборкой с равноотстоящими и существенно неравноотстоящими узлами), с известными методами вычис ления вейвлет-преобразования (использование Быстрого преобразования Фу рье в качестве промежуточного шага, использование предвычисленных филь тров), обосновывает следующие преимущества нового подхода: i) число узлов выборки, отличное от степени двойки или другого разложения на сомножите ли, не ограничивает скорость и точность расчетов; ii) благодаря существова нию устойчивых конечно-разностных алгоритмов, применимых для числен ного решения (16) и простых для расчетов на неравномерной сетке, при вы числениях автоматически достигается адаптация к локальным особенностям данных; iii) независимое задание граничных условий на концах интервала позволяет компенсировать краевые эффекты.

Метод обобщен на полные семейства вейвлетов Морле и Гаусса с выс шими исчезающими моментами, определяемых как производные от (14) и гауссианы () = exp(-2/2) соотвественно. В этих случаях искомое преоб разование является суперпозицией решений дифференциальных уравнений вида aWl = ab Wl - i0bWl a) b) c) Рис. 4. Вейвлет-детектирование волн в щели Энке кольца А Сатурна (a) – фото, б) гра фик радиального распределения вещества), порождаемых резонансным взаимодействием гранулярного газа со спутниками. Начало отсчета практически совпадает с положением резонанса 11:10 с Пандорой. Следующая волнообразная структура генерируется резонан сом 15:14 с Прометеем. Первый цуг волн после щели порождается резонансом 12:11 с Пандорой. Наклонные черными линиями показаны соответствующие линии максимумов модуля вейвлет-преобразования (с).

с начальными условиями Wl(0, b) = f(t)tl; индекс l принимает значения от до N, где N – число исчезающих моментов. Для действительных вейвлетов гауссова семейства, служащих одним из основных средств анализа фракталь ных и мультифрактальных свойств кластеров, образуемых при агрегации в коллоидных системах, электродепозиции и т.п., в том числе при DLA-процес се следует положить 0 = 0.

Разработанным методом проведена обработка фотоизображений высоко го разрешения, полученных космическим аппаратом “Кассини” в 2004–2005 гг для выделения и исследования периодических структур вещества в кольцах Сатурна A, B, C. Обсуждается их принадлежность к различным классам, свя занных с характерными физическими причинам их формирования: резонанс ные волны, порождаемые гравитационным взаимодействием вещества кольца со спутниками планеты, см. например, рис. 4 (особо исследован вопрос об их перекрытии и сосущестовании, возможность решения которого обусловлена высокой точностью разработанного алгоритма вейвлет-анализа); квазигидро динамические волны, порождаемые эффектом вязкой надстабильности веще ства кольца, рассматриваемого как сплошная конденсированная среда и т.д.

В частности, результаты, представленные в диссертации и опубликованные в статье [12] являются перспективными для исследования взимодействия пы левых структур с межпланетной плазмой, как отмечено в обзоре13.

В четвертой главе исследуются два направления, объединенные ме тодом учета различных пространственных масштабов в пространственной структуре и/или временной динамике.

В первой части главы вводится еще один новый подход к непрерывно му вейвлет-преобразованию со стандартным вейвлетом Морле, ориентирован ный на изучение явлений хаотической синхронизации, важных в изучении ав токолебательных процессов в динамике конденсированных сред. Он основан на введении переменной центральной частоты, входящей в качестве незави симой переменной в уравнение диффузии -1 u = 222 b u, (17) где введено обозначение = 0/a. Искомый вейвлет-образ связан с ре шением (17) взятым “в момент времени” = 0 при начальном условии u(0, b) = f(b) exp(-ib), как w(a, b) = u(, b) exp(ib).

Метод применяется к изучению вопроса о физическом смысле понятия хаотической синхронизации на примере связанных осцилляторов Ресслера 1,2 = -1,2y - z1,2 + (x2,1 - x1,2), 1,2 = -1,2x1,2 + a0y1,2 - z1,2 + (y2,1 - y1,2), (18) 1,2 = p + z1,2(x1,2 - c) с 1 = 0.98, 2 = 1.03, a0 = 0.22, p = 0.1 c = 8.5, = 0.05.

Интерес к системе (18), являющейся одним из классических модельных уравнений, описывающих хаотическую динамику ряда лазерных систем, про являющих иррегулярную последовательность импульсного излучения. Важ ной проблемой при изучении подобных конденсированных сред является во прос о наличии синхронизации отдельных осцилляционных источников при наличии их связи в распределенной среде. При этом для системы Ресслера в настоящее время была выдвинута гипотеза о наличии нового типа хаотиче ской синхронизации – “синхронизации временных масштабов”. Она базиру ется на факте, что несмотря на несинхронность фаз ее решений, определяе мых классическими методами (угловая переменная на фазовой плоскости, фа за преобразования Гильберта), при использовании фазы (a, b) комплексного вейвлет-образа w(a, b) = |w(a, b)| exp(i(a, b)) модуль разности мгновенных значений фаз остается ограниченным во времени |1(a0, b)-2(a0, b)| < const для всех b.

P. K. Shukla, B. Eliasson. Fundamentals of dust-plasma interactions // Rev. Mod. Phys. 2009.

Vol. 81. Pp. 25–44.

A. E. Hramov, A. A. Koronovskii. Time scale synchronization of chaotic oscillators // Physica D.

2005. Vol. 206. Pp. 252–264.

Рис. 5. Временная эволюция разности фаз связанных хаотических осцилляторов Ресслера, вычисленной для следующих значений базисной частоты 0: 0.5, , 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4. Видно, что для первые четыре кривые с течением времени нарастают, а вторые – остаются ограничеными сверху.

В данной работе проанализированы причины, вызывающие такую син хронизацию и выявлен параметр регуляризации – базисная частота 0, превы шение которой определенного порога приводит к подавлению расходимости разности фаз, см. рис. 5.

Показано, что при 0 0 имеет место предельный переход к исходным фазовых кривым, т.е. стандартным определениям фазы. При малых вели чинах базисной частоты вейвлета Морле преобразование детектирует лока лизацию всплеска характерной протяженностью в один период. При этом в силу хаотичности сигнала, точная локализация всплесков x1,2(t) флуктуиру ет и, соответственно, разность фаз накапливается. При росте 0 временне разрешение вейвлета ухудшается, на его характерной ширине укладывается большее число периодов колебаний и флуктуации сдвига фаз между двумя сигналами за счет такого диффузионного усреднения сглаживаются по мере расширенния гаусова окна. Однако, при таких условиях становятся неразли чимыми фазовые траектории, находящиеся внутри одного ограничивающего тора – более грубой топологической структуры. В результате детектирется синхронизация, однако не исходных хаотических сигналов, а усредненных движений по торам, ограничивающим аттракторы Ресслера в фазовом про странстве. Наконец, предельный переход 0 приводит к преобразова нию Фурье, которое выявляет несущие частоты сравниваемых сигналов, но полностью теряет информацию об их временной динамике.

Вторая часть главы посвящена иерархической по коэффицентам диффу зии модели дифузионных процессов в сети типа “small world” (далее SW-сеть), предложенной в работе. Данная модель является эффективным представ лением структуры ряда неупорядоченных систем с существенным вкладом различных масштабов связей: высокомолекулярных соединений, (например, белков в глобулярном состоянии), ферромагнитного упорядочивания в систе мах с примесями (модель Изинга с малым вкладом взаимодействия удален ных спинов), нейронный биологисеких сетей, социальных структур. Статисти ка натурных процессов и прямое численное моделирование показывают, что случайные блуждания на данной структуре проявляют свойства супердиф фузии, когда среднеквадратичное смещение < x2(t) > t с 0 < < 2, ско рость релаксации изначально локализованного распределения быстрее нор мальной (временная зависимость от t-0.52 до t-0.6 в отличие от нормаль ной t-0.5).

Рассматривается SW-сеть, сконструированная на основе регулярной од номерной решетки с периодическими граничными условиями, путем введения новых связей, каждая с вероятностью p может быть соединена с любым из других узлов и ее отображение в иерархическую распределенную систему, см. рис. 6a.

Полная вероятность обнаружить частицу в j-м узле на k-шаге подразде ляется на парциальные таким образом, что nmax U(j, k) = un(j, k). (19) n=В этом случае управляющее уравнение для каждой группы узлов:

un(j, k + 1) - un(j, k) = (un(j + 1, k) + un(j - 1, k)) /2+ nmax + (p/nmax) (ui - un), (20) i=где выполняется следущие возможности для блуждающей частицы: 1) шаг с равной вероятностью в один из ближайших соседних узлов вдоль концен трической подрешетки, другими словами, переход j j + 1 для группы, маркированной индексом n в (20), соответствует переходу j j + n ; 2) изменение принадлежности к группе с вероятностью p/nmax, где 1/nmax – D. J. Watts, S. H. Strogatz. Collective dynamics of ‘small-world’ networks // Nature. 1998. Vol.

393. Pp. 440–442.

нормализующий множитель, учитывающий число “коротких путей”. Таким образом, p/nmax объединяет все Wij для связей с длинами, отличными от n. Как следствие, nmax слагаемых pun/nmax дает вероятность оттока из n-й группы, равную pun.

Рис. 6. Cреднеполевое моделирование диффузии на SW-сети: а) Отображение в иерархи ческую решетку: каждому узлу оригинальной сети (слева) сопоставляется система узлов, расположенных вдоль радиальных линий (справа). Штриховые линии одного оттенка от мечают начальные и конечные точки путей с различной длиной шага. b) Зависимость рас четного среднеквадратичного смещения (сплошная линия) от времени, показывающая переход от нормальной диффузии (пунктирная линия, = 1) к супердиффузии (штрихо вая линия, = 1.62). Экспериментальные значения [Almaas et el, 2003] = 1.55 - 1.60.

c) Релаксация локализованного в начальный момент времени распределения плотности блуждающих частиц: сплошная линия, соответствующая рассчитанной плотности блужда ющих частиц в начальной точке стремится к степенной зависимости с показателем степени -0.6, что согласуется с экспериментальными значениями [Jespersen et al, 2000], лежащими в пределах от -0.52 до -0.6.

Если число узлов в основной регулярной решетки достаточно велико, то после перехода к непрерывному пределу соотношение (20) принимает вид уравнения “реакция-диффузия” tun = Dnxun + p n-1 U - un (21) max с периодическими граничными условиями.

Здесь суммирование в реакционном члене производится с использовани ем определения (19), Dn – коэффициенты диффузии континуальной апрокси мации на непрерывных окружностях, которая заменяет в таком приближении круговые подрешетки (см. рис. 6a, справа). Они имеют значения Dn = n2Dвследствие формулы для среднеквадратичного смещения < x2 > t, где Dсоответствует случайному блужданию по основной регулярной решетке. Кро ме этого, вводится допущение, что перераспределение по радиальным лини ям, соединяющим окружности, не требует времени, так как каждый данный отрезок соотвествует одному узлу как целому. Полная плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x в момент времени t определя ется выражением (19) с заменой (j, k) (x, t).

На рис. 6 представлены результаты расчетов характеристик релаксации, проведенные на отрезке [-200, 200] с непроницаемыми границами при значе нии p = 0.01, соответствующем данным16, nmax = 8, D1 = 1 и начальных 2 условиях u1(x, 0) = (1 - p) exp(-x2/D1), un>1(x, 0) = [p/nmax] exp(-x2/D1).

В пятой главе основное внимание уделено математическим вопросам, связанным с использованием дискретного вейвлет-преобразования для учета локальных масштабных свойств функции при ее интегральном преобразова нии Ганкеля Fn(p), определяемого со своим обращением как Fn(p) = f(r)Jn(pr)rdr, fn(p) = F (p)Jn(pr)pdp. (22) 0 где Jn() – функция Бесселя. В работе исследованы случаи n = 0, 1.

Во введении к главе приведен обзор области применения в области ме тематического моделирования и чиленных методов, в том числе в задачах физики и техники (распространение акустических и электромагнитных волн в слоистых средах и аксиально-симметричных волноводах; радиальный рост агрегатов, в частности, аналитическое среднеполевое описание DLA-класте ров, описанное в первой главе), что связано с тем, что в аксиально-симметрич ной геометрии оператор диффузии преобразованием (22) сводится к просто му алгебраическому виду. На основе обзора известных методов его обоснова на необходимость разработки новых подходов, ориентированных на работу с функциями, обладающими различным локальным поведением на различных интервалах области определения, таких как среда с различной стратифика цией на различных участках и многомасштабные фрактальные объекты.

Основная идея предложенного метода состоит в том, что для лучшего учета локальных свойств преобразуемой функции, “гладкий” сомножитель S. Jespersen, I. M. Sokolov, A. Blumen. Relaxation properties of small-world networks // Phys. Rev.

E. 2000. Vol. 62. Pp. 4405–4408. E. Almaas, R. V. Kulkarni, D. Stroud. Scaling properties of random walks on small-world networks // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. P. 056105.

g(r) = f(r)r подвергается многомасштабному разложению по функциональ ному базису, состоящему из вейвлетов jk(r) = 2j/2 2jr - k с шагом k и масштабом j, построенных на полиномиальных сплайнах:

-j 2 (k+ ) 2-j (k+1) g(r) = djkjk(r), где djk = 2j/2 g(r)dr - g(r)dr.

jZkZ 2-jk 2-j k+ ( ) При этом пространственной локализации и самоподобия при изменении масштаба достигается путем сжатия и сдвига единственной функции , на пример, для простейшего члена семейства – вейвлета Хаара (t) = 1, t (0, 1/2), (t) = -1, t (1/2, 1), (t) = 0, t (0, 1).

/ При этих условиях явная формула для преобразования Ганкеля первого порядка имеет вид F1(p) = c0k [J0 (pk) - J0 (p(k + 1))] + p kZ, (23) djk 2J0 p(k + )2-j - J0 p(k + 1)2-j - J0 pk2-j j=0 kZ где коэффициенты c0k имеют смысл среднего значения функции g(r) = f(r)r на отрезке [k, k +1], а djk – коэффициенты детализации, определенные выше.

Одной из существенных сторон такого представления является то, что (23) – точное, а не приближенное выражение. Соответственно, в силу орто гональности функций и относительно простых для вычисления интегралов, входящих в данные ряды, (23) может быть использовано при проведении аналитических преобразований, таких как среднеполевое описание динамики роста фрактальных кластеров.

Кроме того, так как коэффициенты детализации djk убывают весьма быстро на участках, где функция g(r) является достаточно гладкой и их можно считать отличными от нуля только на участках резкого ее изменения, то выражение (23) упрощает и численного моделирование в аксиально-сим метричных задачах физики сплошных сред.

При при заданном уровне точности (ненулевыми считаются только djk > ) точность аппроксимации функции g усеченной функцией g задана 1/оценкой = g - g 2 n1/2, где n0 – количество выброшенных коэф фициентов. Один из тестовых примеров показан на рис. 7. Видно, что даже первые несколько уровней вейвлет-разложения дают приближение исходной функции с достаточно высокой точностью.

Предложенный подход, как это отмечено в, послужил основой нача лу ведущейся в настоящее время активной разработки вейвлет-методов для численного преобразования Ганкеля.

V. K. Singh, O. P. Singh, P. K. Pandey. Efficient algorithms to compute Hankel transforms using wavelets // Comp. Phys. Comm. 2008. Vol. 179. Pp. 812–818.

Рис. 7. Верхний рисунок: исходная функция (слева), ее преобразование Ганкеля (справа):

точное – сплошная линия и приближенное (пунктир) с использование вейвлет-алгоритма на уровне J = 3. Нижний рисунок слева: абсолютная ошибка преобразования для раз личных максимальных уровней промежуточного разложения по базису Хаара – J = (сплошная линия), J = 3 (штриховая линия), J = 4 (пунктирная линия), а также на большем интервале при J = 3 (справа).

В Заключении приводятся основные выводы:

Построены следующие принципиально новые модели:

• Динамическая модель диффузионно-ограниченной агрегации, которая впервые позволила получить корректное значение фрактальной размер ности DLA-кластера и промоделировать его рост на основе диффереци альных уравнений в частных производных типа “реакция-диффузия”.

• Модель автоколебаний в химическом реакторе конечного объема, раз деляющая основные факторы, обуславливающая их существование, на однонаправленную автокаталитическую реакцию в толще среды и пет лю обратной связи (потокам обмена реагентами с внешеней средой), вы несенную в граничные условия, что соотвествует реалистичным услови ям физико-химического эксперимента. Данная модель позволила впер вые объяснить формирование сходящихся гликолитических автоволн, наблюдаемых экспериментально и показать существование автоколеба ний в системах с однонаправленной химической реакцией.

• Модель распространения контактной инфекции в маломобильной попу ляции, позволишая объяснить все типы эпидемических волн Кендалла в данной системе и подтвержденная сравнением с микроскопическим мо делированием и воспроизводящая природные эпидемиологические дан ные.

• Среднеполевая модель релаксации и аномальной диффузии на сети ти па “small world”, впервые позволившая воспроизвести данные процессы в такой структуре на основе дифференциальных уравений в частных производных без привлечения аппарата дробных производных с фено менолочическими степенными показателями.

Разработаны новые методы:

• Метод вторичного огрубления, впервые позволивший учесть конечный объем частиц, формирующих фрактальные агрегаты, что позволяет по лучить дробную фрактальную размерность с модели, основанной на переходе к дифференциальным уравениям в частных производных.

• Метод расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанный на его сведении к задаче Коши для дифференциальных уравнений в част ных производных, показавший свою эффективность как на тестовых примерах, так и при обработке современных экспериментальных дан ных о структуре колец Сатурна, полученных аппаратом “Кассини”.

• Метод использования дискретного вейвлет-преобразования в качестве промежуточного шага при расчете преобразования Ганкеля, обоснован ный на тестовых примерах и заложивший основу для дальнейших со временных исcледований в данном направлении.

Реализованы новые алгоритмы:

• Алгоритм численного расчета вейвлет-преобразования с вейвлетом Мор ле, основанный на дискретизации системы уравнений метода расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанного на его сведении к задаче Коши, и его программная реализация в виде программного ком плекса (http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/).

Список публикаций Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] E. B. Postnikov, A. B. Ryabov, A. Yu. Loskutov. Analysis of patterns formed by two-component diffusion limited aggregation // Phys. Rev. E. 2010.

Vol. 82. P. 051403.

[2] E. B. Postnikov, E. A. Lebedeva. Decomposition of strong nonlinear oscillations via modified continuous wavelet transform // Phys. Rev. E.

2010. Vol. 82. P. 057201.

[3] E.B. Postnikov, A. Yu. Verisokin, D. V. Verveyko, A. I. Lavrova. Self sustained biochemical oscillations and waves with a feedback determined only by boundary conditions // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 052901.

[4] E. B. Postnikov. Hierarchical mean-field model describing relaxation in a small-world network // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 80. P. 062105.

[5] E. B. Postnikov. Wavelet phase synchronization and chaoticity // Phys. Rev.

E. 2009. Vol. 80. P. 057201.

[6] А. И. Лаврова, Е. Б. Постников, Ю. М. Романовский. Брюсселятор абстрактная химическая реакция? // УФН. 2009. Т. 179.

С. 1327–1332.

[7] A. I. Lavrova, L. Schimansky-Geier, E. B. Postnikov. Phase reversal in the Selkov model with inhomogeneous influx // Phys. Rev. E. 2009.

Vol. 79. P. 057102.

[8] U. Naether, E. B. Postnikov, I. M. Sokolov. Infection fronts in contact disease spread // Eur. Phys. J. B. 2008. Vol. 65. Pp. 353–359.

[9] Е. Б. Постников. Представление вейвлет-преобразования с вейвлетами гауссова семейства суперпозицией решений дифференциальных уравне ний в частных производных // Вычислительные методы и программи рование. 2008. Т. 9. С. 84–89.

[10] E. B. Postnikov, A. B. Ryabov, A. Loskutov. Generalization of the DLA process with different immiscible components by time-scale coarse graining // J. Phys. A. 2007. Vol. 40. Pp. 12033–12042.

[11] Е. Б. Постников. О точности синхронизации вейвлетной фазы хаотиче ских сигналов // ЖЭТФ. 2007. Т. 132, № 3. С. 742–745.

[12] Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Вейвлет-анализ тонкой структуры колец B и C Cатурна по данным аппарата “Кассини” // ЖЭТФ. 2007.

Т. 131, № 3. С. 752–759.

[13] E. B. Postnikov, I. M. Sokolov. Continuum description of a contact infection spread in a SIR model // Mathematical Biosciences. 2007. Vol. 208.

Pp. 205–215.

[14] Е. Б. Постников. Вычисление непрерывного вейвлет-преобразования как решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных // Журн. выч. мат. и мат. физики. 2006.

Т. 46, № 1. С. 77–82.

[15] Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Анализ мелкомасштабных волновых структур кольца А Сатурна по данным межпланетного аппарата “Касси ни” // ЖЭТФ. 2005. Т. 128, № 4. С. 752–759.

[16] А. Б. Рябов, Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Модель DLA в контину альном среднеполевом приближении // ЖЭТФ. 2005. Т. 128, № 2.

С. 292–299.

[17] П. С. Зыков, Е. Б. Постников. Применение вейвлет-преобразования с кусочно-линейным базисом для вычисления преобразования Ганкеля // Журн. выч. мат. и мат. физики. 2004. Т. 44, № 3. С. 421–425.

[18] E. B. Postnikov. About calculation of the Hankel transform using preliminary wavelet transform // J. Appl. Math. 2003. no. 6. Pp. 319–325.

Прочие публикации:

[19] Е. Б. Постников. Методы математической физики в обработке сигналов и изображений. Mnchen: GRIN Verlag, 2009.

[20] E. B. Postnikov. Partial Differential Equations as a Tool for Evaluation of the Continuous Wavelet Transform // Mathematical Physics Research Developments / Ed. by M. B. Levy. Nova Science Publishers, 2009.

Pp. 1–36.

[21] E. B. Postnikov, A. Yu. Loskutov. Continuous Wavelet Transform as an Effective Tool for the Detecting of Saturn Rings’ Structure // Space Exploration Research / Ed. by J. H. Denis, P. D. Aldridge. Nova Science Publishers, 2009. Pp. 341–360.

[22] E. B. Postnikov, I. M. Sokolov. Anomalous lateral diffu-sion in a layered medium // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. 2010. Vol. 45, no. 3. P. 281.

[23] A. Yu. Verisokin, D. V. Verveyko, E. B. Postnikov, A. I. Lavrova. Model of Glycolytic Traveling Waves Control in 3D Spatial Reactor // IEEE Control Applications, (CCA) & Intelligent Control, (ISIC). 2009. Pp. 194–198.

[24] Е. Б. Постников. Вейвлет-преобразование с вейвлетом Морле: мето ды расчета, основанные на решении диффузионных дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование. 2009.

Т. 1, № 1. С. 5–12.

[25] Е. Б. Постников. Непреывное вейвлет-преобразование сигналов, пред ставленных выборкой с неравноотстоящими узлами: применение диф фузионных дифференциальных уравнений // Математика. Компьютер.

Оборазование: Сб. научных трудов. Т. 2/ Под ред. Г.Ю.Ризниченко и А.Б.Рубина. М.-Ижевск:: РХД, 2008. С. 211–218.

[26] E. B. Postnikov. The hierarchical system of PDE ana a diffusive anomalous spread in media with multiscale connections // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. 2009. Vol. 44, no. 5. P. 233.

[27] Е. Б. Постников. Среднеполевые модели диффузионных процессов в системах с контактным взаимодействием и на сети с дальними связя ми // Сборник материалов научного семинара программы "Михаил Ло моносов"2007/2008 гг. (Москва, 18-19 апреля 2008). М.: DAAD, 2008.

С. 169–172.

[28] Е. Б. Постников. Современные методы численнного вычисления преоб разования Ганкеля // Ультразвук и термодинамические свойства веще ства. Т. 34-35. Курск: Изд-во КГУ; Российское Акустическое обще ство, 2008. С. 148–158.

[29] Р. В. Киселев, Е. Б. Постников. Компьютерная реализация вейвлет-ана лиза акустических сигналов на основе алгоритма, использующего числен ное решение дифференциальных уравнений в частных производных // Акустические измерения и стандартизация. Электроакустика. Ультра звук и ультразвуковые технологии. Атмосферная акустика. Акустика океана. Сборник трудов XIX сессии Российского акустического обще ства. Т. 2. М.: ГЕОС, 2007. С. 7–9.

[30] Е. Б. Постников. Моделирование процессов диффузии в сетях типа small world связанными дифференциальными уравнениями в частных произ водных // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвер той Всероссийской конференции. 29-31 января 2007. МГТУ, ФИАН, 2007. С. 48–51.

[31] Е. Б. Постников. Частотно-временной анализ нестационарных сигналов при помощи интегрального вейвлет-преобразования, основанного на ре шении дифференциальных уравнений в частных производных // Аку стические измерения и стандартизация. Электроакустика. Ультразвук и ультразвуковые технологии. Атмосферная акустика. Акустика океа на. Сборник трудов XVIII сессии Российского акустического общества.

Т. 2. М.: ГЕОС, 2006. С. 46–48.

[32] Е. Б. Постников. Модифицированная континуальная SIR-модель рас пространения контактной инфекции // Сборник материалов научного семинара программы "Михаил Ломоносов"2005/2006 гг. (Москва, 24-апреля 2006). М.: DAAD, 2006. С. 159–162.

[33] А. Б. Рябов, Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Среднеполевое описание агрегации с ограниченной диффузией в пространстве различной размер ности // Необратимые процессы в природе и технике: III Всероссийская конференция (Москва, 24-26 января 2005). М.: Изд-во МГТУ, 2005.

С. 43–45.

[34] Е. Б. Постников. Проведение преобразования Ганкеля с использова нием вейвлетов и перспективы его применения для решения акустиче ских задач // Ультразвук и термодинамические свойства вещества.

Т. 30-31. Курск: Изд-во КГУ; Российское Акустическое общество, 2004. С. 120–124.

[35] E. B. Postnikov. Using Wavelets Based on B-splines for Calculation of the Hankel Transform // WSEAS Trans. Math. 2004. Vol. 3, no. 1.

Pp. 250–253.

[36] А. Б. Рябов, Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Fractal growth dynamics of DLA-clusters in a mean field approximation // Хаотические автоколеба ния и образование структур: Материалы VII международной школы.

Саратов: Изд-во ГосУНЦ “Коледж”, 2004. С. 167–168.

[37] Е. Б. Постников, А. Б. Рябов, А. Ю. Лоскутов. Использование диф ференциальных уравнений в частных производных для изучения ирре гулярных структур путем непрерывного вейвлет-преобразования // Хао тические автоколебания и образование структур: Материалы VII между народной школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ “Коледж”, 2004. С. 28–29.

[38] E. B. Postnikov, A. Loskutov. Analysis of Saturn main rings by continuous wavelet transform with the complex Morlet wavelet // arXiv:astro-ph/0502375. 2006. Pp. 1–23.

[39] E. B. Postnikov, A. Loskutov. Wavelet transform and diffusion equations:

applications to the processing of the “Cassini” spacecraft observations // arXiv:astro-ph/0502375. 2005. Pp. 1–9.

[40] E. B. Postnikov, A. Y. Loskutov, S. A. Larionov et al. Analysis of DNA structure as a 2D random walk by complex wavelet transform // Nature Precedings . 2007.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.