WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Солдатов Игорь Николаевич

ВОЛНОВЫЕ РЕЗОНАНСЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ РОТОРНЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ЖИДКОСТЬ

01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород, 2010

Работа выполнена в Нижегородском филиале Учреждения Российской академии наук “Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН” Научный консультант доктор физ.-мат. наук, профессор Николай Васильевич Дерендяев

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Виталий Александрович Самсонов доктор физ.-мат. наук, профессор Анатолий Александрович Абрашкин доктор физ.-мат. наук, профессор Валерий Вячеславович Новиков

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук “Институт проблем механики им.

А.Ю. Ишлинского РАН”

Защита состоится 14 октября 2010 г. в ___ часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете по адресу: 603950, ГСП 1000, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан “__” _________ 2010 года

Ученый секретарь диссертацион- ного совета, доктор физ.-мат. наук Игумнов Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Современные условия эксплуатации машин и механизмов диктуют повышенные требования к их надежности и устойчивости работы. Волновые процессы играют ключевую роль в задачах устойчивости вращения роторных систем, содержащих жидкость. Резонансное возбуждение волн во вращающемся слое жидкости – основная причина потери устойчивости режима стационарного вращения роторной системы.

Во вращающейся жидкости вследствие нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса могут возникать волновые движения, называемые инерционными (гироскопическими) волнами. Возбуждение гироскопических волн является основным механизмом, обеспечивающим обмен угловым моментом между твердой оболочкой и жидким содержимым. Преимущественно инерционные волны исследовались экспериментально (McEwan A.D, Aldridge K. D., Manasseh R., Kobine J.J. и др. ). Теоретическое рассмотрение указанного вида волновых движений ограничивалось до сих пор сравнительно простыми случаями (н-р, плоские волны в идеальной жидкости, S. Nigam P. Nigam1, R.R. Long2, см. также Гринспен3, Алексеенко С.В. с соавт.4 и др.5 ) и, чаще всего, без учета вязкости. Заметим, что учет вязкости жидкости в роторных системах принципиально необходим.

Так, например, потеря устойчивости режима стационарного вращения ротора с жидкостью, сопровождающаяся возникновением синхронной прецессии, не может быть объяснена на основе консервативных моде Nigam S.D., Nigam P.D. Wave propagation in rotating liquids // Proc. Roy. Soc., ser. A, 1962. V.

266. N. 1192. P. 55-69.

Long R.R. A theoretical and experimental study of the motion and stability of sustain atmospheric vortices // J. Meteorol. 1951. V. 8. P. 207-221.

Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей. –Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. –М.-Ижевск: ИКИ, 2005. -504с.

Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. - М.: Мир, 1986. 396с.

Ле Блон П.Х., Майсек Л.А. Волны в океане. Т. 1. - М.: Мир, 1981. 480 с.

Pedlosky J. Waves in the Ocean and Atmosphere: Introduction to Wave Dynamics. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 2003. 267p.

Госсард Э.Э., Хук У.Х. Волны в атмосфере. - М.: Мир, 1978. 532 с.

лей. Более того, сделать это правильно в случае, когда движение ротора близк к синхронной прецессии, оставаясь в рамках приближения пограничного слоя, невозможно.

В работах С.Л. Соболева и K. Stewartson было отмечено значение резонансного возбуждения волн для устойчивости стационарного вращения тела с полостью, содержащей идеальную несжимаемую жидкость. Большой вклад в разработку различных аспектов динамики тела с жидкостью внесли Н.Г. Четаев, Л.Н. Сретенский, В.В. Румянцев, Н.Н. Моисеев, Д.Е. Охоцимский, Г.С. Нариманов, А.Ю. Ишлинский, С.В. Малашенко, Ф.Л. Черноусько, Б.И. Рабинович, Г.И. Микишев, И.М. Рапопорт, В.А. Самсонов, Н.В. Дерендяев и другие.

Цель и задачи исследования.

Основная цель работы – исследование влияния волновых процессов на устойчивость режима стационарного вращения роторных систем, содержащих вязкую жидкость.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

– создание эффективного численного метода для решения гидродинамической задачи и нахождения сил и моментов, с которыми вязкая жидкость действует на ротор при его конической прецессии;

– определение условий устойчивости режима стационарного вращения роторов, закрепленных в опорах лавалевского типа, с полостью, частично заполненной: 1) проводящей вязкой несжимаемой жидкостью в магнитном поле; 2) вязкой жидкостью, на свободной поверхности которой плавают весомые частицы, мало взаимодействующие друг с другом; 3) вязкой несжимаемой жидкостью, в случае, когда стенки полости обладают вязко-упругой податливостью;

– определение характера границ (“опасные”, “безопасные”) области устойчивости в пространстве параметров рассматриваемых моделей роторных систем;

– определение условий устойчивости стационарного режима вращения ротора с закрепленной точкой, содержащего проводящую вязкую жидкость в магнитном поле;

– разработка и исследование дискретной математической модели ротора, содержащего несжимаемую вязкую жидкость;

Научная новизна работы.

1. Предложен эффективный метод решения задачи о малых волновых движениях вязкой несжимаемой жидкости в слое на стенке быстро вращающегося ротора. Метод позволяет единообразно описать разномасштабные движения жидкости (пограничные слои и крупномасштабное центральное ядро течения) и, в частности, получить точное выражение для дисперсионного уравнения. Исследованы основные свойства инерционно-гироскопических волн: дисперсия, коэффициенты затухания, частоты запирания поверхностных мод.

2. Предложена процедура построения решения задачи о малых волновых движениях в стратифицированной жидкости, когда жидкость может быть представлена как совокупность n-слоев из несмешивающихся и неэмульгирующих жидкостей. Рассмотрено влияние свободной инерционной поверхности жидкости на частоты запирания и дисперсионные характеристики волн. Выведены уравнения для определения амплитуд гироскопических мод во вращающемся роторе, совершающем прецессию малого радиуса.

3. Для трех моделей лавалевского ротора с полостью, частично заполненной несжимаемой вязкой жидкостью, определены условия устойчивости режима стационарного вращения в малом. В первой модели жидкость имеет проводящие свойства и находится в осевом магнитном поле. Во второй модели жидкость обладает инерционной поверхностью, а также учитываются вязко-упругие свойства стенок ротора.

4. Проанализированы условия возникновения автоколебаний в модели лавалевской роторной системы с проводящей жидкостью при приближении к границе области устойчивости в пространстве параметров.

5. Для ротора с закрепленной точкой, и полостью, содержащей проводящую жидкость в магнитном поле, найдены области устойчивости режима стационарного вращения в малом в пространстве параметров задачи. Показано, что при определенных условиях магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние, позволяя режим стационарного вращения перевести из неустойчивого в устойчивый.

6. Предложена дискретная модель лавалевского ротора, содержащего жидкость.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задач, применением классических математических методов и известных методов возмущений, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и механики деформируемого твердого тела.

Практическая значимость диссертации определяется возможностью использования её результатов при проектировании, разработке роторных систем и турбомашин.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2006);

I–YII Всероссийских конференциях “Нелинейные колебания механических систем” (Н. Новгород, 1987-2005); XXXI, XXXII, XXXVI конференциях-школах “Advanced Problems in Mechanics” (Петербург, Репино); V Международном совещании-семинаре “Инженернофизические проблемы новой техники” (Москва, 1998), Всероссийской конференции “Необратимые процессы в природе и технике” (Москва, 2001); и др. Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах в НФ Института машиноведения РАН.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано более 40 научных работ. Базовые результаты содержатся в работах [1 – 25]. Все основные положения диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. Исследование устойчивости роторных систем, содержащих жидкость, проводилось с использованием метода, принадлежащего научному консультанту Н.В. Дерендяеву, что специально оговорено в диссертации.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из предисловия, введения, пяти глав, заключения, списка литературы (167 наименований) и четырех дополнений. Общий объем диссертации составляет 201 страницу.

На защиту выносятся:

– распределенные и дискретная математические модели роторных систем, содержащих вязкую жидкость;

– способ описания инерционных волн малой амплитуды в вязкой жидкости, частично заполняющей цилиндрическую полость ротора, через суперпозицию винтовых полей с разными параметрами завихренности, позволяющий единообразно и компактно описывать разномасштабные движения вязкой жидкости в роторе, а также сравнительно просто получить точное дисперсионное уравнение;

– способ получения дисперсионного уравнения для многослойной неэмульгирующей жидкости;

– разложение по инерционным модам для волнового поля в жидком слое и квазиплоское (автомодельное) решение, позволяющие построить эффективную процедуру решения МГД задачи о малых колебаниях жидкости при конической прецессии ротора;

– условия устойчивости в малом режимов стационарного вращения, полученные для рассматриваемых моделей роторных систем с жидкостью;

– результаты исследования стабилизирующего влияния осевого магнитного поля на роторные системы с проводящей жидкостью.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В предисловии кратко изложено содержание диссертации по главам, сформулированы цели, перечислены основные результаты исследований, раскрыта их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

Во введении дана общая характеристика работы. Сделан сжатый обзор исследований, связанных с темой диссертации.

В работе Н.В. Дерендяева, В.М. Сандалова6, посвященной исследованию устойчивости стационарного вращения лавалевского ротора, содержащего вязкую жидкость, было отмечено, что при круговой прецессии ротора зависимость гидродинамических сил от отношения частоты прецессии к абсолютной угловой скорости вращения имеет Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью // ПММ. 1982. Т.46. № 4. С. 578-586.

резонансный характер, связанный с возбуждением волн на свободной поверхности жидкости. Типич- F ная зависимость компоненты гидродинамической силы F, касательной к окружности, описываемой в возмущённом движении точкой пересечения оси ротора с 0.7 1 0.8 1 1./ плоскостью, перпендикулярной оси стационарного вращения, от отношения частот / представлена на рис. 1. Значения резонансных частот прецессии 1,весьма близки к частотам волн, Рис. распространяющихся по свободной поверхности слоя вращающейся жидкости:

2 m 2(1- 2 ) 1,2 , 1+ где = b / a – отношение радиуса свободной поверхности жидкости при стационарном вращении к радиусу цилиндрической полости ротора. На частоте 1< сила F стремится увеличить угловую скорость прецессии, а на частоте 2> – уменьшить. Часть “D-кривой” на плоскости параметров закрепления оси ротора – жёсткости и вязкости опор, соответствующая первому резонансу формирует границу области устойчивости режима стационарного вращения.

В связи со сказанным имеет смысл решать задачу об отыскании парциальных частот волновых движений в полости вращающегося ротора в ситуациях, осложнённых наличием магнитного поля, упруговязкой податливостью стенок полости ротора, микрополярными свойствами жидкости и т.д. Если в результате решения такой задачи будет получено соотношение, связывающее частоту волны и её длину, то подставляя в него длину волны ~ 2b, получим оценку частоты волны.

Условие совпадения этой частоты с частотой прецессии (в случае, когда частота волны меньше частоты вращения ротора ), даёт оценку критических значений параметров закрепления оси цилиндра. При этом, в первом приближении, справедливом, если масса ротора велика по сравнению с массой жидкости, для оценки частоты прецессии можно взять частоту собственных колебаний ротора в опорах его оси.

Знание парциальных частот волновых движений жидкости в полости вращающегося ротора важно также при построении дискретных моделей роторных систем с жидкостью, т.к. позволяет правильно выбирать параметры этих моделей.

В первой главе рассматриваются волновые процессы малой амплитуды в слое вязкой несжимаемой жидкости в полости быстровращающегося цилиндра. Резонансное возбуждение волн во вращающемся слое жидкости играет ключевую роль в развитии неустойчивости роторных систем, содержащих жидкость.

В п. 1.1 рассмотрены основные свойства инерционногироскопических волн во вращающейся несжимаемой жидкости.

Влиянием силы тяжести пренебрегается. В системе координат, связанной с равномерно вращающейся средой, в уравнения движения жидкости добавляются два члена: центробежный и кориолисов. Центробежная сила может быть представлена в виде градиента ([,r]2) и объединена с давлением. Кориолисова сила 2[v,] в рассматриваемых задачах играет ключевую роль: из-за нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса в несжимаемой жидкости могут распространяться инерционные волны. Показано, что распространение произвольного малого возмущения давления описывается уравнением 2 2 + 42 - 2 2 + 2 3 p = t2 z2 t (Заметим, при =0 (идеальная жидкость) это уравнение превращается в уравнение Соболева.) Уравнениям движения вязкой жидкости во вращающейся цилиндрической системе координат удовлетворяют частные решения в виде винтовых гармоник v = rotv v = v(r)ei(t +kz+m), m = 0,±1,±2,...

если циклическая частота , параметр завихренности и аксиальное волновое число k связаны между собой соотношением - 2k - i3 = 0.

Радиальная u, азимутальная v компоненты вектора скорости v и давление p связаны с осевой компонентой скорости w соотношениями im ik w mk w u = w +, v = - w -, p = -2-1w, (1) 2r 2 r 2r 2 r а уравнение для амплитуды осевой компоненты скорости приводится к простому виду, а именно, к уравнению Бесселя d 1 d m2 + + + 2 = 0, 2 = 2 - k2.

dr2 r dr r2 В разделе 1.2 исследуются дисперсионные характеристики волн во вращающемся цилиндрическом слое идеальной жидкости в приближении твердой крышки (т. е. граничное условие на свободной поверхности заменяется граничным условием на твердой цилиндрической поверхности). Дисперсионная кривая имеет счетное число ветвей, каждой ветви соответствует определенная распространяющаяся мода (форма) колебаний. С увеличением толщины слоя жидкости ветви дисперсионной кривой располагаются более плотно. Волновые числа всех мод, за исключением низшей, быстро растут к бесконечности при приближении к 2 модуля отношения частоты волны к частоте вращения.

В п. 1.3 показано, что если азимутальное волновое число m0, то в слое жидкости со свободной поверхностью при определенных условиях может существовать поверхностная (низшая) распространяющаяся мода. Для этой моды определены критические частоты (частоты запирания7) -1 и 2. Построены зависимости этих частот от коэффициента заполнения и азимутального волнового числа. На интервале (1,2) существует мода с чисто мнимым волновым числом. Дисперсионное уравнение для волн в слое со свободной поверхностью в безразмерных переменных имеет вид 2 J ()Ym-1() - m - 2m () - m1- + 4 - 2 Ym () Jm-1 m (2) 2 Y ()Jm-1() - m - 2m - () - m1- + 4 - 2 Jm () = Ym-1 m 1 2 – во вращающейся жидкости имеет место расщепление частот для волн с ненулевым азимутальным волновым числом.

где = / – отношение частоты волны к частоте вращения, = k, = 4 / 2 -1, k – безразмерное аксиальное волновое число, = b / a – отношение внутреннего радиуса b к внешнему радиусу a центрифугированного слоя жидкости, Jm (r), Ym (r) – функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Показаны изменения в дисперсионных свойствах высших мод, связанные с учетом граничных условий свободной поверхности.

Соотношения (1) позволяют преобразовать граничные условия к виду, включающему только осевую компоненту скорости w, затем вся задача сводится к определению w. Каждая волновая мода во вращающемся слое вязкой жидкости, как показано в §1.4, может быть представлена в виде суперпозиции шести винтовых гармоник с разными параметрами завихренности. Две гармоники формируют центральное ядро течения жидкости, а остальные четыре – пограничные слои около твердой стенки и свободной поверхности. Для параметров завихренности получены аналитические выражения. Эти выражения довольно громоздки и не могут быть здесь приведены, но при малых числах Экмана E = /(a2) <<1 достаточно точны приближенные формулы 2 8E 3 j +- i - k + O(E) 1 = k + i k + O(E2 ), = (-1) +, j 4 2E j = 2,3. Два последних параметра 2 и 3 имеют большие мнимые части (и большие по модулю значения в сравнении с 1 ) и связаны с винтовыми гармониками, описывающими пограничные слои. (Пограничные слои на твердой стенке и на свободной поверхности имеют композиционную структуру и, по сути, формируются из двух (один внутри другого) слоев каждый). Граничные условия записаны в виде (m) (m-1) (ljZ ({ d(l)) + ljZ ({ j}d(l)))C = 0, l =1,6 (3) j j} j j j =где 1 j = i m({ j} - k) 2 j} 1 j = ik { j} и т. д. j =1,6, { 1, l j (m) ( Z = Hm3/ 2+(-1) / 2) ({ j}d) – цилиндрические функции, d(l) =, , l > j фигурная скобка обозначает следующую функцию от j j {j}= (2 j +1- (-1) ), 2j = 2 - k, Cj – константы. Из условия разреj шимости системы (3) относительно произвольных постоянных следует дисперсионное уравнение. Плохая обусловленность матрицы при вычислениях преодолевается переопределением части коэффициентов Cj.

В п. 1.4 исследованы дисперсионные свойства волн, проанализированы зависимости ветвей Re(kn()), Im(kn()) дисперсионной кривой от коэффициента заполнения полости ротора , вязкости жидкости и азимутального волнового числа m. На рис. 2 представлены зависимости действительных частей аксиального волнового числа k для первых пяти мод n = 0..4 при E = 0,5 10-4, m = 1 и =0.7.

Re k n=20 n= 0.5 1 1.Рис. Для сравнения на рис. 2 пунктиром приведены дисперсионные кривые при нулевой вязкости. Чем выше номер моды n, тем сильнее сказывается влияние вязкости на коэффициенте затухания (мнимой части волнового числа k): увеличение номера влечет усложнение пространственной структуры моды и увеличение потерь.

В п. 1.5 проведено обобщение результатов предыдущего раздела на случай центрифугированного слоя проводящей вязкой жидкости в аксиальном магнитном поле. Инерционная мода в безындукционном приближении представлена в виде суперпозиции восьми винтовых гармоник: появляются две дополнительные винтовые гармоники (с S параметром завихренности 4 i k, где S = B2 /() – малое число Стюарта), позволяющие удовлетворить граничному условию непротекания тока через изолирующую границу.

В п. 1.6 исследовано влияние стратификации жидкости по плотности на инерционные волны. Предполагается, что в слое жидкости можно выделить N отдельных подслоев, различающихся по плотности.

Жидкости подслоев считаются несмешивающимися (не растворяющимися и не эмульгирующими). Предложен матричный метод построения решения. В случае идеальной жидкости значение вектора ~( U+ r =n+1 -0 = (u - 0),(n+1 - 0))T на внешней стороне n+1-го подn+1 n+слоя ( r = n+1 ) связано со значением вектора ~( U- r =n +0 = (u + 0),(n + 0))T на внутренней стороне n-го подслоя n n соотношением U+ = PnU- n+1 n ~(r) где подслои пронумерованы от центра к периферии, u = -i(r), 4 (r) k (r) = - - i, p(r) 1 Pn = A(n+1)A-1(n )nA(n )A-1(n-1), n = 0 n n+1 , 4 2m 4 2m Jm-1(r) + Jm (r) Ym-1(r) + Ym (r) (2 + )r (2 + )r.

A = 1 2m J 1 2m Y m m m-1 m m J (r) - r - + 4 - 2 (r) Ym-1(r) - r - + 4 - 2 (r) Для всей жидкости справедливо + U = PU1, P = PN -1...P2PN Дисперсионное соотношение получается приравниванием нулю первого элемента верхней строчки матрицы P.

Влияние инерционной свободной поверхности жидкости на распространение гироскопических волн рассмотрено в п. 1.7. Для описания волновых движений в жидкости на свободной поверхности которой плавают весомые частицы некоторого вещества, пренебрежимо мало взаимодействующие друг с другом в процессе колебаний используется модель флотирующей жидкости, иначе называемой жидкостью с инерционной свободной поверхностью. Наличие плавающих частиц на свободной поверхности преимущественно влияет на характеристики поверхностной моды и, в частности, снижает её частоту запирания.

Преобразование неоднородных уравнений движения жидкости в прецессирующем роторе к однородной системе уравнений с неоднородными граничными условиями сделано в п. 1.8. Исходная неодно родная задача с помощью подстановки v = v -V, где (r)zei, (r)ei), P = P(r)zei, V =( (r)zei, V сведена к однородной системе ~ p rot[v, v0]= - + v + 2[v,], div v = с граничными условиями на торцах цилиндра v = -V.

(r), (r),V (r), P(r) выражаются через линейную комбинацию ( функций r- ( = -2,..,1 ) и r-H) (kr) (, = 0,1, =1,2, k = -i(1- ) / E ).

В п. 1.9 получены соотношения, связывающие коэффициенты винтовых гармоник, формирующих инерционную моду. В п. 1.9 также выводятся некоторые соотношения для волновых инерционных мод в слое вращающейся жидкости, упрощающие построение решений граничных задач гидродинамики роторных систем. Если пренебречь вязкостью жидкости, то оператор, описывающий движение жидкости, частично заполняющей полость цилиндрического ротора, является самосопряженным, а его собственные функции ортогональны с весом r на отрезке [,1]. Учет вязкости жидкости приводит к несамосопряженному оператору, громоздким выражениям для дисперсионного уравнения и собственных функций а, также их неортогональности (что создает значительные трудности при решении практических задач).

Теоретически, если найдена счетная система линейно независимых собственных функций, то можно перейти, применяя процедуру ортогонализации Грама-Шмидта, к ортогональной системе функций. На практике процесс ортогонализации чувствителен к вычислительным погрешностям и часто оказывается неустойчивым. В п. 1.8 предложен альтернативный способ определения амплитуд инерционных мод.

Таким образом, на основе разложений по винтовым полям с разными параметрами завихренности получено единообразное описание разномасштабных движений вязкой жидкости в роторе и определены основные характеристики инерционных мод. Полученные дисперсионные соотношения первой главы использованы для оценки частот вращения ротора, при которых возможны волновые резонансы.

Вторая глава посвящена исследованию распространения волн во вращающейся упругой среде и упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость.

В п. 2.1 рассмотрено распространение объемных волн малой амплитуды во вращающейся упругой среде в случае, когда ось вращения составляет произвольный угол с волновым вектором. Некоторые характеристики волн, распространяющихся в изотропном упругом однородном вращающемся теле подобны тем, что свойственны волнам в анизотропных упругих средах. Так, в общем случае, не совпадают направления распространения волны и потока энергии. Помимо анизотропных, упругая среда, приведенная во вращение, приобретает дисперсионные свойства. Дано описание поведения квазипродольной (ql) и двух квазипоперечных волн (qt и m) в зависимости от угла , образуемого волновым вектором с осью вращения, от частоты волны (точнее от отношения частоты волны к угловой скорости вращения ) и коэффициента Пуассона . Под влиянием силы Кориолиса поле смещений в квазипродольной волне приобретает сдвиговую составляющую, а в квазипоперечной – дилатационную, причем величина этих составляющих сильно меняется в зависимости от отношения частот / . Таким образом, влияние вращения не сводится только к изменению фазовых и групповых скоростей упругих волн, оно проявляется также в изменении поляризации волн и появлении угла между волновым вектором и вектором групповой скорости.

В §2.2 рассмотрено распространение поверхностной волны вдоль поверхности вращающегося упругого тела, когда ось вращения составляет произвольный угол с волновым вектором. Так же как и объемные волны, поверхностная волна на границе вращающегося упругого тела (в отличие от классической волны Рэлея) является диспергирующей. Приведено дисперсионное уравнение. Показано, что с уменьшением отношения частоты волны к угловой скорости вращения уменьшается фазовая скорость поверхностной волны. Это уменьшение носит монотонный характер. Проведен детальный анализ дисперсионного уравнения.

В п. 2.3 рассмотрены волновые процессы в вязкой жидкости, содержащейся во вращающейся упругой замкнутой цилиндрической оболочке с учетом демпфирования в материале оболочки. Для описания движения круговой цилиндрической оболочки в равномерно вращающейся системе отсчета использованы уравнения линейной теории тонких упругих оболочек в перемещениях Donnell-Mushtari 2 hs2 4 2 4 1 4 s + + + + - + + t2 12e z4 a2 z22 a4 4 e t ea ( 1 p u + + - 2s - s2 = hs-1 - ea2 ea z t r r =a ( ( 2 1 2 (1- ) 2 (1+ ) 2 1 s 2 - - - - + 2s t ea2 2 2e z2 2ea z ea2 t 1 u v v 2a - s2 = -hs-1 + - - hs- r r r 2 r =a r =a ( ( ( 2 1 2 (1- ) 2 (1+ ) 2 s 2 - - - - = t e z2 2ea2 2 2ea z ea z w u 2a2 = -hs-1 + - hs- r z 2 z r =a r =a где s – плотность материала оболочки, , , – осевое, азимутальное и нормальное перемещения оболочки, соответственно, ( ( e = (1- ) /(2), – коэффициент Пуассона, – коэффициент конструкционного демпфирования, – модуль сдвига. В случае идеальной жидкости и = 0 дисперсионное уравнение по форме отличается от (2) измененным первым сомножителем в обоих слагаемых:

2 m m -1 + GRh-122 Z (k) + kZm-1(k) где под Zm() понимается функция Бесселя 1-го или 2-го рода, -( h2 2 (2 - m)1 + k2 = (k2 + m2) + iB - G2 -, G = se2a2, 1+ 3 Leissa A.W. Vibration of Shells //Amer.Acoust.Soc., 1993. 434p.

– функции от k и ; = / s, h = hs / a, = / – безразмерные j параметры. Влияние оболочки проявляется, прежде всего, в появлении новых низкоскоростных мод, сходных с поверхностной.

Третья глава посвящена исследованию влияния волновых процессов на устойчивость лавалевских роторных систем, содержащих жидкость. Под лавалевским ротором понимается ротор (рис. 3) с закреплениями, обеспечивающими пренебрежимо малые угловые перемещения оси ротора.

Отличительной особенностью задач устойчивости, рассматриваемых в диссертации, является их неконсервативность: в системе есть внешней источник энергии, за счет которого скорость вращения твердого тела поддерживается постоянной (вследствие чего кинетическая энергия жидкости, содержащейся в полости, может возрастать во времени из-за взаимодействия со стенками полости), жидкость предполагается вязкой и т.д. Для подобного типа неконсервативных задач удобен метод исследования устойчивости, предложенный Н.В. Дерендяевым. Краткое изложение метода дано п.3.1. Метод опирается на свойства симметрии задачи и закон изменения энергии жидкости. Этот метод можно рассматривать как вариант развития метода D-разбиения, не предполагающий знание характеристического уравнения. После линеаризации около режима стационарного вращения уравнения движения и граничные условия допускают решения пропорциональные exp(t), где – характеристическое число. Режим стационарного вращения устойчив, если все имеют отрицательные действительные части и неустойчив, если хотя бы одно из возможных значений имеет положительную действительную часть. При непрерывной зависимости от параметров задачи изменение степени неустойчивости в системе происходит, когда хотя бы одно характеристическое число пересекает мнимую ось. По сути, в этом основная идея метода "Dразбиения". В рассматриваемых ниже задачах можно показать, что мнимые характеристические числа существуют тогда и только тогда, когда система допускает решение типа круговой прецессии. Следовательно, значения параметров, при которых происходит изменение степени неустойчивости в системе, могут быть найдены из условия существования круговой прецессии. При этом нахождение условий осуществимости круговой прецессии существенно облегчает то обстоятельство, что движение жидкости при круговой прецессии описывается функциями, не зависящими от времени, в системе отсчета Резаля. В этом отличие используемого метода от традиционной процедуры метода "D-разбиения".

В п. 3.2 содержится постановка задачи исследования устойчивости стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью в магнитном поле.

Как уже отмечалось выше, неxустойчивости режима стационарного вращения ротора, частично заполненного жидкостью, обусловлены, в первую B очередь, резонансным возбужa дением волн в жидкости. Поb скольку жидкости в роторе xO1 часто обладают той или иной степенью проводимости, предx2 ставляется возможным использовать для демпфирования B волновых резонансов проводящей жидкости магнитное поле и получить дополнитель ное средство стабилизации режима стационарного вращения Рис. роторной системы.

Рассмотрен один из простых вариантов приложения магнитного поля:

однородное постоянное магнитное поле B, направленное вдоль оси вращения ротора. Стенки полости ротора предполагаются непроводящими.

В п.3.3 показано, что свойства симметрии системы позволяют воспользоваться методом исследования устойчивости, изложенным в п.

3.1, и сформулирована линеаризованная гидродинамическая задача.

Заметим, что для закреплений лавалевского типа обычно принимают, что частицы жидкости и ротора движутся в плоскостях, перпендикулярных оси стационарного вращения. Однако при плоскопараллельном движении проводящей жидкости в магнитном поле, коллинеарном оси вращения, результирующая пондеромоторная сила равна нулю и никакого влияния на устойчивость ротора магнитное поле оказать не может [7]. Необходимо учесть, как это и сделано в работе, что, по крайней мере, вблизи торцов движение жидкости существенно отличается от плоскопараллельного. Движение жидкости вблизи торцов цилиндрической полости ротора, как показано в п. 3.4, может быть описано системой уравнений b u1 b 2u1 B2 b 0 = 2v1 + - u 2 b b v1 2u1 B2 b b 0 = -2u1 + - v 2 b b где u1, v1 – радиальная и азимутальная компоненты вектора скорости, 0 – угловая скорость собственного вращения ротора, – абсолютная угловая скорость, – кинематическая вязкость жидкости, – коэффициент проводимости.

В п. 3.5 решена общая МГД-задача и с учетом реакции торцов найдены силы, с которыми проводящая жидкость действует на стенки ротора. Зависимость гидродинамических сил от отношения частоты прецессии к абсолютной угловой скорости имеет резонансный характер, обусловленный возбуждением поверхностных мод.

В п. 3.6 исследуется влияние резонансного возбуждения волн на устойчивость стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью в магнитном поле. Построено D-разбиение плоскости параметров вязкоупругих закреплений оси ротора на области с различной степенью неустойчивости D(n) (n – степень неустойчивости). Пример разбиения приведен на рис. 4. По осям рис. 4 отложены безразмерные значения коэффициента жесткости K = K / m2 и демпфирования H = H / m ; взят случай, когда число Гартмана B a /() = 1.4 104, число Экмана / a2 = 5 10-5, M/m=1.4, b/a=0.92, d/a=2. Здесь M, m – массы ротора и жидкости; a, b – радиус цилиндрической полости ротора и радиус цилиндрического слоя жидкости в режиме стационарного вращения; d – высота полости ротора. Для сравнения представлено также Dразбиение при выключенном магнитном поле (пунктирная кривая).

Штриховка D-кривых проведена общепринятым способом: переход в плоскости параметров со штрихованной стороны кривой на нештрихованную соответствует увеличению степени неустойчивости на два.

Штриховка на пунктирную кривую не нанесена, чтобы не перегружать рисунок. Стрелка указывает направление возрастания параметра =/ (отношения угловой скорости прецессии к угловой скорости вращения). Существуют две области устойчивости D1(0) и D2(0) (в масштабе рис. 4 область D2(0), примыкающая к началу координат, малозаметна). Магнитное поле сложным образом влияет на D-разбиение:

деформируя всю фигуру влево с незначительным сжатием вдоль оси абсцисс, оно расширяет области устойчивости по некоторым направлениям.

Рис. 4.

Раздел 3.7 посвящен исследованию характера границы области устойчивости лавалевского ротора с проводящей жидкостью в магнитном поле. Если граница "опасна", то режим стационарного вращения может потерять устойчивость при значениях параметров из области устойчивости в малом. Определение характера границ является весьма важным дополнением исследования устойчивости. Для определения типа границ ("опасные" или "безопасные") в уравнениях удержаны главные нелинейные члены. Показано, что в рассматриваемой модели ротора при выходе (входе) из области устойчивости происходит закритическая (докритическая) бифуркация Андронова-Хопфа. При закритической бифуркации (т.е. рождении периодического движения от режима стационарного вращения при выходе из области устойчивости) возбуждение автоколебаний при переходе через границу происходит мягко, поэтому такие участки границы принято называть «безопасными». Определены «опасные» и «безопасные» участки границы для различных значений параметров.

В п. 3.8 исследуются те изменения в границах областей различной степени неустойчивости, что вносит учет инерционности свободной поверхности жидкости. Область устойчивости D(0) становится односвязной в отличие от случая несжимаемой вязкой жидкости с классическим граничным условием на свободной поверхности. Вся фигура, образованная D-кривой, претерпевает определенный сдвиг вправо.

В п. 3.9 проводится исследование устойчивости режима стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, ограниченной упруго податливыми стенками и частично заполненной вязкой несжимаемой жидкостью. Решена общая гидродинамическая задача и найдены силы, с которыми жидкость действует на ротор. Построено Dразбиение плоскости параметров задачи на области с различной степенью неустойчивости.

В четвертой главе рассмотрена задача об устойчивости в ма- лом стационарного вращения осеB симметричного ротора с закрепленной точкой на оси симметрии, xx/ имеющего цилиндрическую по лость, частично заполненную проводящей вязкой несжимаемой жидкостью в магнитном поле (рис. 5).

Стенки полости ротора предполагаются непроводящими.

lВнешнее постоянное однородlное магнитное поле направлено вдоль оси симметрии. Проекция xугловой скорости вращения ротора на ось стационарного вращения поддерживается постоянной. При x1 отклонениях оси ротора от оси стационарного вращения на ротор Рис. действую внешние упругодемпфи b a рующие моменты.

Уравнения движения ротора с проводящей жидкостью в подвижной системе координат, связанной с телом, как показано в п. 4.1, имеют вид dK +[c,K]= h + dr + s, dt de = [e3,c], (0 + c,e3)= const, dt v p + (v)v = - + v + [E +[v,B],B]+ t dc + 2[v,c]-[c,[c,]]-,, dt divv = 0, divE + (B,rotv)= 0, rotE = где K – кинетический момент твердого тела, c – угловая скорость подвижного трехгранника осей координат, h – момент сил относительно точки O, действующих на ротор со стороны жидкости, dr – момент, создаваемый приводом, s – момент, создаваемый вязкоуп ругими закреплениями оси ротора, e3 – единичный орт вдоль оси стационарного вращения, – радиус-вектор из начала координат, E – вектор напряженности электрического поля, остальные обозначения стандартные. В п. 6.2 сформулирована линеаризованная магнитогидродинамическая задача о движении проводящей жидкости в цилиндрической полости ротора с закрепленной точкой на оси симметрии. В системе отсчёта Резаля движение ротора и проводящей жидкости при круговой конической прецессии описывается функциями, не зависящими от времени (п.6.3).

В п. 4.4 показано, что неоднородные МГД-уравнения допускают автомодельное решение (r)zei, V = ( (r)zei, V (r)ei), = [V,B]- iBr (r)eiez, P = P(r)ei, = (r,,z ) (2) ( (r) = c1 + c2r-2 + ic3r-1H1 (kr) + ic4r-1H11)(kr) (2) ( (r) = c1 + c2r-2 + ic3r-1H1 (kr) + ic4r-1H11)(kr) (r) V = ic1 - c2r-2 - kZ0(kr) + r-1Z1(kr), 2 - 0 2 + 0 (r) = - rc1 - r-1c2 + rZ0(kr) + r-1Y(kr) - ir, 0 0 k P(r) = {i(2 - 0)rc1 + i(2 + 0)r-1c2 - 2Z1(kr) + 2r} (2) (1) (2) ( где Z (kr) = c3H (kr) + c4H (kr), Y(kr) = c5H1 (kr) + c6H11) (kr), j j j (1) (2) k2 = -i0 / ; H (kr), H (kr) (j =1,2) – функции Ганкеля j-ого поj j рядка первого и второго рода соответственно. Коэффициенты cn находятся из линейной алгебраической системы, получаемой из граничных условий на боковых стенках полости ротора.

Автомодельное (квазиплоское) решение удовлетворяет граничным условиям на боковых стенках полости, но не удовлетворяет граничным условиям на торцах. Автомодельное решение позволяет свести исходную неоднородную МГД систему к следующей системе однородных дифференциальных уравнений в частных производных p rot[v, v0]= - + v + [E +[v,B],B]+ 2[v,] (4) divv = 0, divE + (B,rotv)= 0, rotE = с неоднородными граничными условиями на торцах полости ротора.

Аналогия между стационарными однородными МГД уравнениями (4) и уравнениями, рассматривавшимися в предыдущей главе, позволяет использовать результаты четвертой главы и представить решение уравнений (4) в виде суммы инерционно-гироскопических мод с азимутальным волновым числом равным единице m=1. Все моды являются затухающими из-за диссипации, однако в сумме мод можно выделить моды «квазираспространяющиеся» (имеющие большую реальную часть волнового числа и в силу этого влияющие на поле скоростей во всем объеме жидкости, заключенной в полости ротора) и быстрозатухающие, определяющие поле течений около торцов.

В п.4.5 определены моменты сил, действующие на ротор со стороны жидкости. Приведены уравнения, определяющие границы областей различной степени неустойчивости в пространстве параметров задачи.

Представлены результаты вычислений и построения D-разбиения для некоторых случаев. Показано, что, в отличие от лавалевского ротора, для ротора с закрепленной точкой влияние магнитного поля проявляется значительно сильнее. В ряде случаев для проводящих жидкостей магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние, позволяя неустойчивый без поля режим стационарного вращения сделать устойчивым.

Математические модели роторных систем с жидкостью, включающие в себя уравнения Навье–Стокса, достаточно сложны для анализа устойчивости, еще более трудно ответить на вопросы, связанные с учетом нелинейных факторов. Указанные трудности побуждают к построению дискретных моделей, и такая модель предложена и рассмотрена в пятой главе.

В п. 5.1 приводится описание дискретной модели ротора с жидкостью и дан вывод уравнений движения. Модель содержит вращающийся диск, прямо симметрично посаженный на жесткой оси, расположенной в изотропном вязкоупругом закреплении, и кольцо, скользящее с трением по диску (рис. 6).

Центры диска и кольца вязкоупруго соединены. Диск моделирует ротор, кольцо - жидкую массу заполнения. При скольжении кольца по диску возникают силы взаимодействия, направленные под углом к относительной






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.