WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Ткаченко Олег Павлович

ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ИЗОГНУТОГО ТРУБОПРОВОДА: ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИХ УРАВНЕНИЙ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Хабаровск 2012

Работа выполнена в Вычислительном центре Дальневосточного отделения РАН (ВЦ ДВО РАН)

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Виктор Анатольевич Рукавишников Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Александр Иванович Шашкин доктор физико-математических наук Алексей Андреевич Груздков доктор технических наук, профессор Валерий Иванович Одиноков

Ведущая организация: Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Защита состоится 27 апреля 2012 г. в 1000 часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу: 690041, Владивосток, ул. Радио, 5. E-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН.

Автореферат разослан " " 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук О.В. Дудко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации разработан новый подход к математическому моделированию трубопровода, при котором нелинейные уравнения движения трубы выведены на основе обобщения теории оболочек В.З. Власова, а описание движения жидкости основано на уравнениях Эйлера с учетом трения в шероховатых трубах. Построена математическая модель, универсальная по широте охвата исследуемых явлений: от медленных движений трубопровода во внешней среде до распространения гидроупругих колебаний и гидравлического удара. Создан обобщенный алгоритм редукции уравнений, основанный только на характерной геометрии трубопровода, позволивший свести все рассмотренные задачи к одномерным.

Актуальность проблемы. В результате различных внешних факторов (подвижки грунта, вибраций от техногенных процессов, сейсмической активности и других), а также собственной неустойчивости, трубопроводы отклоняются от своего проектного положения. Исследование процессов изменения трассы трубопроводов и разработка методов диагностики состояния профиля является одной из актуальных проблем современной механики сплошной среды. Это обусловлено интенсивным развитием сети подземных и подводных трубопроводов, необходимостью поиска новых подходов к методам их контроля, повышением требований к безопасности ввиду возросшей активности эксплуатации, а также тяжелыми последствиями возможных аварий. Прямой контроль состояния трубопровода путем прохождения его трассы практически единственный, очень дорогостоящий, метод диагностики.

Проблемы исследования движения жидкости в трубах и труб под воздействием жидкости являются классическими задачами механики, всегда привлекавшими внимание исследователей. К их решению в различных постановках обращались Н.Е. Жуковский1, В.З. Власов, Г.Т. Алдошин, И.П. Гинзбург, А.С. Вольмир, Л.Г. Лойцянский, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев, W.R. Dean и другие известные специалисты.

В.И. Феодосьев математически точно поставил задачу об устойчивости подземного трубопровода2. Неустойчивость является одной из причин опасного изменения профиля. Сейсмическая активность с точки зрения влияния на трубопроводы проанализирована в книге I. Towhata3. Поведение подводных трубопроводов исследуется научной школой В.А. Светлицкого в рамках теории гибких стержней. В таких задачах о движении трубы во внешней среде характерно проведение исследований в рамках теории стержней.

Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. – М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет.

лит., 1949.– 104 c.

Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб.

– 1951. – Т.10. – С. 169-170.

Towhata I. Geotechnical Earthquake Engineering. – Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2008. – 684 p.

Для диагностики состояния трубопровода предлагалось использование различных гидроупругих волн, вплоть до гидравлического удара, параметры которых должны отражать форму профиля. Вопросами распространения гидроупругих колебаний в трубе, заполненной жидкостью, занимались Л. Эйлер, Д. Бернулли, Н.Е. Жуковский и другие известные ученые. Исторический обзор исследований гидравлического удара сделан Г.Т. Алдошиным4, в этом обзоре отмечена глубокая взаимосвязь различных постановок задачи, от гемодинамики до волн в металлических трубах. Теория гидравлического удара и колебаний в прямых трубах5 хорошо разработана, но одномерность математических моделей не позволяет изучать влияние изгиба профиля трубопровода на распространение волн давления, кроме случая поворота профиля вокруг точки на угол /2. А.С. Вольмир исследовал взаимодействие цилиндрических оболочек с потоком жидкости, используя уравнения полной теории гидроупругости, но такой подход эффективен только для труб средней длины.

В монографии В.З. Власова6 изложен общий алгоритм перехода от уравнений равновесия трехмерного упругого тела к оболочке. Там же описано построение линейной теории полубезмоментных оболочек, хорошо описывающей поведение труб средней длины, для которых min L, h 0.1, 4, (1) R0 Rгде h – толщина, L – длина, R0 – радиус поперечного сечения, 0 – радиус кривизны профиля трубы. Эта теория работает в рамках приближения малых деформаций. В диссертации удалось учесть в рамках применимости условия (1) конечность продольных деформаций, вызванных изгибом осевой линии трубы, тем самым расширив теорию на протяженные трубы.

В связи с недостаточной изученностью уравнений Навье-Стокса, потребовались усилия ряда выдающихся ученых по нахождению полуэмпирических формул для сопротивления шероховатой трубы движению жидкости: И.А. Кибеля, Н.Е. Кочина, Л.Г. Лойцянского, Th. Karman, I. Nikuradse, W. Nusselt, L. Prandtl, T.E. Stanton и других. Эксперименты и их теоретическое обобщение И. Никурадзе7 приобрели современную завершенность и оформление в известном труде Л.Г. Лойцянского8. В основу описания двиАлдошин Г.Т. К истории гидроупругости от Эйлера до наших дней // Механика твердого тела. – 2007. – Вып. 27. – С. 184-191.

Алдошин Г.Т. Внутренние сопряженные задачи аэрогидроупругости // Модели механики сплошной среды: Сб. докл. и лекций XIV Междунар. школы по моделям механики сплошной среды (17-24 августа 1997, Жуковский, Россия). – М.: 1997. – С. 4-15.

Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. – Власов В.З. Избранные труды. – Т.1. – Москва: Издательство АН СССР, 1962. – С. 15-439.

Nikuradse I. Gesetzmssigkeiten der turbulent Strmung in glatten Rhren. – VDI, Forschungsheft, 1932, Bd. 356. Русский перевод: Проблемы турбулентности. – М.: ОНТИ, 1938. – С.75-150.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Дрофа, 2003. – 840 с.

жения жидкости в данной диссертации положены уравнения движения жидкости Эйлера, дополненные полуэмпирическими соотношениями НикурадзеЛойцянского для плотности силы сопротивления потоку.

На основе обобщения мирового опыта в книге I. Towhata изложен подход к математическому моделированию грунта как вязкой жидкости. Здесь этот подход использован для вычисления силы сопротивления внешней среды медленному перемещению трубопровода.

С.П. Тимошенко создал теорию конечного изгиба арки9, идейно повлиявшую на методику учета нелинейности изгиба оболочки автором диссертации.

Главными трудностями рассматриваемых задач являются: отсутствие ясного алгоритма непосредственного перехода от условий на поверхности твердого тела к силам, действующим на трубу как на стержень; ограниченность набора математических моделей трубопровода уравнениями движения стержней Эйлера-Бернулли; недостаточная изученность свойств уравнений Навье-Стокса в области больших чисел Рейнольдса, что затрудняет расчет динамики потока жидкости в трубах; необходимость учета явлений с характерным масштабом порядка радиуса трубы при анализе крупномасштабных гидроупругих волн.

Следовательно, развитый в диссертации подход к исследованию трубопровода как протяженной оболочки кольцевого поперечного сечения с изогнутой образующей, нагруженной внутренним потоком и внешней средой, актуален. Этот подход позволяет преодолеть вышеупомянутые трудности, а новый алгоритм преобразования решений редуцирует задачу к одномерной системе уравнений.

Комплекс математических моделей, представленный в данной работе, позволяет решить и прикладные задачи: спрогнозировать положение профиля при заданном начальном отклонении, определить параметрические зависимости распространяющихся внутренних волн и выбрать методику дистанционного контроля.

Целью работы является разработка и анализ математической модели трубопровода как геометрически нелинейного упругого тела, содержащего поток жидкости и окруженного внешней средой, разработка алгоритмов построения комплексов математических моделей для классов частных задач и редукции их уравнений к задачам меньших размерностей, асимптотический и численный анализ построенных моделей.

Научные результаты, выносимые на защиту.

• Построена математическая модель трубопровода как деформируемого твердого тела специальной геометрии, нагруженного внутренним потоТимошенко С.П. Выпучивание пологих стержней и слегка искривленных пластин // В кн.: Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. – М.: Наука. – 1971. – С.662–669.

ком жидкости и сопротивлением внешней среды. В уравнениях модели учтена геометрическая нелинейность задачи, возникающая из-за конечных поперечных перемещений осевой линии трубопровода, и трение потока о стенки шероховатой трубы. Общий вид краевых условий на поверхности твердого тела сужен на задачи динамики трубопровода.

• Для внешней задачи о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде при условии конечности перемещений построена математическая модель, которой являются обобщенные путем учета геометрической нелинейности уравнения движения оболочки В.З. Власова, нагруженной потоком жидкости и силами от внешней среды.

• Для внутренней задачи о квазилинейных колебаниях в изогнутом трубопроводе построена цепочка упрощающихся математических моделей, приводящая к уравнениям совместного движения потока сжимаемой жидкости и полубезмоментной оболочки, с учетом трения, давления и упругого сопротивления внешней среды.

• Создан обобщенный алгоритм построения приближенного решения как внешней, так и внутренней задачи. На его основе для этих задач выведены упрощенные уравнения, содержащие одну пространственную переменную.

• Показано, что предложенные математические модели обладают б ольшей общностью по сравнению с существующими моделями. Найдены численно-аналитические решения уравнений этих моделей и дана интерпретация результатов расчетов. Установлена согласованность численных решений с известными результатами.

• Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью, по аналогии с теорией гравитационных волн. Для слабо изогнутой трубы найден метод редукции нелинейных уравнений модели к задаче меньшей размерности. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения.

Научная новизна. В уравнениях технической оболочки для внешней задачи учтены нелинейные слагаемые, описывающие зависимость деформации растяжения от изгиба осевой линии трубы. Эти уравнения получены как результат последовательного упрощения уравнений движения трехмерного твердого тела, которое находится под действием сил трения и давления со стороны внутреннего потока жидкости, давления и сопротивления внешней среды. Учет совокупности этих сил в такой постановке задачи также является новым.

Численным экспериментом показано, что поперечные сечения протяженной изогнутой трубы под действием внутреннего потока испытывают депланацию. Искажение формы поперечного сечения цилиндрической полубезмоментной оболочки (при условии (1)) под действием бимоментной нагрузки в натурном эксперименте описано В.З. Власовым10. Но, как правило, в приложениях при построении математических моделей трубопроводов используется гипотеза плоских сечений.

Для внутренней задачи получены общие трехмерные уравнения совместного движения трубопровода и потока сжимаемой жидкости с учетом влияния внешней среды в специальных ортогональных криволинейных координатах, что является обобщением существующих подходов и позволяет в дальнейшем строить цепочки математических моделей на основе полных уравнений, с учтенной единым образом геометрией механической системы.

Создан обобщенный алгоритм снижения размерности задачи на единицу, основанный только на геометрических параметрах трубопровода и не зависящий от вида задачи, внешней или внутренней.

Новым является математическое описание нелинейных волн в трубопроводе, заполненном несжимаемой жидкостью. Ранее такой подход применялся только к гравитационным волнам, здесь он стал возможен благодаря найденным асимптотическим разложениям и заменам переменных.

Практическая ценность. Математическая модель движения трубопровода позволяет спрогнозировать положение профиля при заданном начальном отклонении. Поскольку характерные параметры модели соответствуют параметрам промышленных трубопроводов, то на основе расчета возможно провести планирование экспериментальных исследований.

Математическая модель внутренней задачи о распространении гидроупругих колебаний позволяет получать действительные значения давлений в случае возникновения гидравлических ударов, и спроектировать корректные режимы остановки и запуска перекачки жидкости по трубопроводу.

На основе полученных формул можно анализировать зависимость характера распространения волны давления в подземном трубопроводе от кривизны его оси. Это дает возможность для разpаботки системы контроля состояния трубопровода путем зондирования акустическим сигналом.

Созданный комплекс программ позволяет численно анализировать процесс распространения гидроупругих колебаний в трубопроводах с различным профилем и прогнозировать динамику деформирования трубы.

Власов В.З. Принципы построения общей технической теории оболочек. – Власов В.З. Избранные труды. – Т.2. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – С. 467-503.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах ИАПУ ДВО РАН, проводившихся под руководством академика В.П. Мясникова (1991–2002), на III Всесоюзной школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Абрау-Дюрcо, 1991), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Находка, 1992, 1994; Владивосток, 1998, 2001, 2002, 2004, 2007, 2010;

Хабаровск, 2005, 2009), на III Межреспубликанском совещании по математическому моделированию природных и антропогенных катастрофических явлений (Новосибирск, 1995), на Far-Eastern School-Seminar on Mathematical Modeling and Numerical Analysis (Находка, 1999, 2001), на Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2004), на Всероссийской конференции Фундаментальные и прикладные вопросы механики, посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2006), на 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки (Хабаровск, 2007), на Международной конференции Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании (Алматы, Казахстан, 2008), на Всероссийской конференции Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение, приуроченной к 90-летию академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2009), на Всероссийской конференции Успехи механики сплошных сред, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина (Владивосток, 2009), на Всероссийской конференции Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления, посвященной 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих периодических изданиях [1]–[13] и материалах международных и всероссийских конференций [14]–[19]. Прочие публикации приведены в списке литературы в тексте диссертации, всего 40 печатных работ.

Личный вклад автора. В работах, написанных в соавторстве, автором построены и теоретически обоснованы математические модели, проведен асимптотический анализ их уравнений, выполнены расчеты на компьютере.

Создан алгоритм редукции уравнений к задачам меньшей размерности. В текст диссертации включены только те результаты, которые получил автор.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Объем работы составляет 332 страницы, включая 60 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 181 наименование.

Выражаю признательность своему Учителю, ныне покойному, академику РАН, лауреату Государственной премии РСФСР (1988) и ряда других правительственных и научных наград, заслуженному профессору МГУ Вениамину Петровичу Мясникову. Вениамину Петровичу принадлежит формулировка научной проблемы, исследованию которой посвящена диссертация.

Благодарю своего научного консультанта, доктора физико-математических наук, профессора Виктора Анатольевича Рукавишникова за многие полезные советы, которые способствовали написанию диссертации и подготовке ее к защите.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цель и основные задачи исследования, сделан обзор литературы по теме диссертации, отражающий современное состояние рассматриваемой проблемы. Приведен обзор результатов диссертации по главам. Сформулированы основные научные результаты, представленные к защите.

В главе 1 определены основные понятия для изучения движения трубопровода, проложенного неидеально во внешней среде. Введены необходимые системы координат и приближения для построения математических моделей, обоснованы исходные предположения о поведении трубопровода под действием имеющих место нагрузок. Построена математическая модель деформирования стенки трубопровода как трехмерного упругого тела, представляющая собой нелинейную краевую задачу.

В пункте 1.1 дана физическая постановка задачи, введены основные системы координат и проанализирована геометрия механической системы.

В подпункте 1.1.1 приведены основные предположения при построении математической модели и сформулирована физическая задача. В подпункте 1.1.2, согласно общей методике геометрического анализа задач механики сплошных сред11, введены три системы координат: глобальная система отсчета, начальная лагранжева система координат и сопутствующая лагранжева система координат. Последние две системы координат являются новыми и специальными для геометрии изогнутого трубопровода, впервые опубликованными в [2]. Похожие криволинейные координаты опубликованы в, основаны на работе, и обладают меньшей общностью.

Геометрия трубопровода и системы координат изображены на рисунке 1. Начало лагранжевой системы координат выбрано в той же точке O, что и декартовой системы отсчета. Пусть длина дуги осевой линии трубопровода в его начальном ненапряженном состоянии определяется заданной функцией s = s(x, y). В каждой точке O осевой линии проведена плоскость, перпендикулярная касательной к этой линии. В этой плоскости построена Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. – Т. 1. СПб.: Лань, 2004. – 528 с.

Sasic R., Sasic S. A new approach to the velocity field investigation in case of the entry flow in curved pipes with circular cross section // Acta Mechanica, Springer-Verlag. – 2000. – V.140. – P.103-117.

Dean W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe // Phil. Mag. – 1927. – Vol. 4. – P. 208-223.

z y O R O’ s x O’ Рисунок 1. Геометрия трубопровода и системы координат полярная система координат {O; , R}, рис. 1. Три числа {s, , R} и начало координат O однозначно определяют точку стенки трубы до деформации, если выполнено условие R < min |0(s)|, где 0(s) – радиус кривизны осевой линии трубопровода в начальном состоянии.

В подпункте 1.1.3 выведены геометрические соотношения для начальной лагранжевой ортогональной системы координат (O; s, , R), необходимые для выполнения операций ковариантного дифференцирования и записи основных операторов математического анализа:

0 0 g11= 1 + R ; g22= R2; g33= 1;

sin 0(s) 0 0 0 g11 = 1 + R ; H2= g22 = R; = R - R0, (2) = sin H 0(s) R0 sin 0 A0 = 1 + sin ; B0 = R0; k1 = ; k2 =.

0(s) 0(s) + R0 sin R0 gii Здесь – компоненты метрического тензора, – коэффициенты Ламе, ki H i – главные кривизны срединной поверхности трубы.

В подпункте 1.1.4 сопутствующая лагранжева система координат заменена близкой к ней "актуальной" ортогональной системой координат, указаны пределы применимости этого приближения. Эта замена основана на том, что перемещение сечения трубы как целого в поперечном направлении намного больше, чем изменение ее радиуса и продольное перемещение.Для этих координат найдены геометрические соотношения, необходимые для выполнения операций дифференцирования и других действий математического анализа. Эти соотношения идентичны (2) без индексов 0, кроме R0. В этом случае (t, s) – текущая кривизна осевой линии.

В пункте 1.2 рассматривается связь перемещения стенок трубы и вызванного им изменения положения осевой линии и векторов базиса сопутствующей системы координат. Введены физические компоненты вектора перемещений и перемещение срединной поверхности трубы, найдена связь перемещений в начальной и актуальной конфигурациях.

В подпункте 1.2.3 анализируется кинематика перемещения осевой линии трубы. Введен важный для всей работы малый параметр R = 1, (3) min |0(s)| характеризующий малость начального изгиба профиля трубопровода.

В подпункте 1.2.4 получены кинематические соотношения, связывающие физические компоненты вектора перемещений срединной поверхности трубы в начальных и актуальных координатах:

0 u u v u 0 u = A - - v cos - - w u sin ;

A0 s R0 A 0 1 v w u v 0 v v v = 1 - - - - u cos - w ;

R0 R0 A0 s R 0 u 0 w v w w w = - - u sin - - v ;

A0 s R0 а также формулы, определяющие текущее положение осевой линии трубы:

2 2 1 dx0 0 1 dy0 0 w x(s, t) = x0(s) + u d + v cos + sin d;

2 ds 2 ds 0 2 2 1 dy0 0 1 dx0 0 y(s, t) = y0(s) + u - v cos + sin d;

d w 2 ds 2 ds 0 -d2y dx (s, t) =.

ds2 ds Здесь обозначено: – текущая кривизна осевой линии; u, v, w – перемещения срединной поверхности в актуальных координатах относительно направле0 0 u v w ний s, , R соответственно;,, – перемещения в начальных координатах;

x0(s), y0(s) – декартовы координаты начального положения осевой линии ;

x(s, t), y(s, t) – координаты текущего положения .

В пункте 1.3 выписаны уравнения движения трубопровода как трехмерного упругого тела с учетом конечности деформаций. Выведены краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубы.

В подпункте 1.3.1 зафиксированы общие уравнения движения стенки трубы как трехмерного упругого тела в инвариантном относительно выбора системы координат виде, известные в других обозначениях. В подпунктах 1.3.2, 1.3.5 получены некоторые технически необходимые формулы. В подпункте 1.3.3 выведены краевые условия на внешней и внутренней поверхностях трубы. Величины внешнего давления pe и скорости обтекания v на границе труба-внешняя среда для использования в краевых условиях найдены в подпункте 1.3.4. Метод их вычисления основан на известном решении задачи обтекания бесконечного цилиндра вязкой жидкостью14.

Подпункт 1.3.7 посвящен окончательной формулировке математической модели движения трубопровода как трехмерного упругого тела специальной геометрии, нагруженного изнутри потоком жидкости, а снаружи – давлением и сопротивлением трения сильно вязкой внешней среды:

pss 1 1 2ws R + (g11ps) + (g11RpsR) = t g11R ;

s g11 g11 R t g ps 1 2w ( g11p) - pss + R + g11R2pR = t g11R ;

s R R t g ( g11RpRR) - Rpss - g11p+ R R psR 2wR +R + ( g11pR) = t g11R ; (4) s tp = I1() + 2µ; p = 2µ, = ; , = s, , R;

1 ws 1 w I1() = + w cos + wR sin - + g11 s 2 g11 s 2 wR 1 w wR + + + wR + ;

s R R Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. – М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

– 612 с.

2 2 1 ws 1 w wR ss = + w cos + wR sin - + ;

g11 s 2 g11 s s 1 w wR wR = + ; RR = ;

R R R 1 1 w 1 ws s = + - ws cos ; (5) 2 g11 s R gна внутренней поверхности трубы, при R = R0 - h/2:

psR = -t(vs0), pR = 0, pRR = -p;

R0 2 0f t(vs0) = vs0, =, 2 4R Re если Re < 20, 0 = 0, 0032 + 0, 2, если Re 2000;

Re0,22vs0 R0 (s, t) Re =, f(s, t) =, f max |0(s)| 2 p = pa + vs0(L - s) + R0(s, t)fvs0 sin ; (6) на внешней поверхности трубы, при R = R0 + h/2:

2u cos psR = 0; pR = - ;

R0 0, 5 - ln R gru 4 R0 2u sin pRR = -pe = -grgh0 1 - cos - R0 ;

hR0 0, 5 - ln 4 gru 2 0 wn 1 v w u = = cos + sin d. (7) t 2 t t Математическая модель состоит из системы дифференциальных уравнений в частных производных (4), (5), краевых условий на внутренней поверхности (6) и условий на внешней поверхности (7). Здесь обозначено: ws, w, wR – перемещения точек стенки трубы вдоль s, , R; pij, ij – физические компоненты тензоров напряжений и деформаций стенки; – плотность силы сопротивления стационарному потоку; vs0 – физическая скорость стационарного потока вдоль оси s; p – давление жидкости; pe – давление внешней среды; gr, f, t – плотности внешней среды, жидкости и трубы; , µ – параметры Ламе материала трубы.

В краевые условия (6) вошли упомянутые ранее соотношения Никурадзе-Лойцянского для коэффициента сопротивления 0.

В главе 2 рассматривается внешняя задача о медленном движении изогнутого трубопровода как оболочки в вязкой среде. Поставлена нелинейная начально-краевая задача о движении срединной поверхности трубы, проведен ее асимптотический анализ, создан и реализован алгоритм численного решения поставленных задач на ЭВМ. Рассчитаны деформации стенки трубы, установлено, что поперечные сечения трубопровода испытывают депланацию даже при малых деформациях.

В результате асимптотического разложения решения и последующего выбора его вида внешняя задача динамики трубопровода редуцирована к одномерной, при сохранении общности расчета трубы как оболочки.

Проведен анализ движения трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде. Найдены приближенные формулы для силы сопротивления среды, влияние изгиба оси стержня на осевое напряжение, построена математическая модель движения. Найдены численные оценки величины напряжения в стенке трубы.

В пункте 2.2 выполнен переход от уравнений движения трехмерного упругого тела к уравнениям для общей моментной оболочки, затем к уравнениям технической оболочки, затем – к упрощенным уравнениям медленного движения.

В подпункте 2.2.1 получены соотношения между физическими компонентами векторов перемещений срединной поверхности и главными деформациями трубы как оболочки. Выведены уравнения, являющиеся исходными для вывода общих уравнений движения в моментной теории оболочек и записанные в принятых здесь координатах.

В подпункте 2.2.2 получены уравнения для общей моментной оболочки. В подпункте 2.2.3 найдены усилия, возникающие в оболочке от действия сил инерции, их моментов и поверхностных сил на внешней и внутренней поверхностях трубопровода. Итоговая система уравнений описывает процесс деформирования стенки трубы как общей моментной оболочки с учетом геометрической нелинейности в рамках принятых приближений.

В подпунктах 2.2.4, 2.2.5 выполнен переход к уравнениям медленного движения стенки трубопровода как полубезмоментной оболочки.

В подпункте 2.2.6 полученные уравнения упрощаются. В выражениях для сил также отброшены слагаемые, порожденные моментными членами. В результате получена система уравнений, которая, дополненная уравнениями вычисления текущей кривизны и положения осевой линии, является математической моделью медленных движений трубопровода в сильно вязкой среде при условии конечности перемещений:

I(0) X0 w (1 - f sin ) - (1 - ) + (1 - ) fu sin - (1 - f sin ) = 1 - = - X;

Eh I(0) X0 w 1 - + (1 - )(1 - f sin ) + (1 - )f sin v - = - Y ;

Eh u u -(1 + f sin )I(0) + (1 - ) + (1 - )f 2w sin - sin + v cos + v h2 1 - 2 + sin - w + w = - Z;

12 Eh 2· 2· (, ) · = 2 + ; f(, ) = ;

2 2 max |0()| 2 u v 2 w v I(0) = (1 - f sin ) + + w - + + 2 2 w v +f v cos + w sin + 2 sin + ;

1 v u 1 v X0 = - - f sin + u cos ;

2 2 1 2u 1 1 2w 2 X = -t2R0 + t(vs0); Z = -t2R0 + (p - pe);

h 2 h h 2 h 1 2v 1 2u cos Y = -t2R0 - ;

h 2 h R0 0.5 - ln gru R 4 0 2 R0 w v u = cos + sin d. (8) 2 Здесь , – безразмерные длина дуги и время, u, v, w – искомые безразмерные перемещения срединной поверхности.

В пункте 2.3 установлено, что уравнения (8) допускают редукцию к одномерному виду, указаны условия применимости этой редукции и физический смысл коэффициентов асимптотических разложений.

В подпункте 2.3.1 принято ограничение перемещений стенки, а именно, их малость по сравнению с минимальным начальным радиусом кривизны осевой линии трубопровода, поскольку эта величина, как правило, большая (min |0| 300 м).

В подпунктах 2.3.2, 2.3.3 выполнено асимптотическое разложение решений полученных уравнений, и выбран вид приближенного решения:

u = u0 + u1 + O(2), v = v0 + v1 + O(2), w = w0 + w1 + O(2), u = u + O(2); (9) u1 = u1(, ) sin , v1 = v1(, ) cos , w1 = w1(, ) sin . (10) В результате получены системы уравнений, неизвестные функции в которых зависят только от одной пространственной переменной:

2u0 w0 w0 2w0 2 + - 3 = - t(vs0);

2 2 Eh h2 2w0 4w0 u0 2 ww0 + 2 + 4 + - = 12 2 4 2 1 L = pa + vs0 - - grgh0. (11) Eh 2u1 1 - 1 + v1 w1 1 - 2u2 - u1 - + + f u0 - 22 + 2 2 2 2 w0 w1 2w0 w0 2w+(1 - ) - 3 + + 2 w0 2w0 t2R0 2u+33f · = ;

2 E 1 - 2v1 1 2u 1 + u 2 - v1 - + + w1+ gr 2 2 Eh R0 0, 5 - ln u 2 R 4 3 - u0 w0 w1 t2R0 2v+f w0 - - 2 = ;

2 E h2 4w1 2w1 uw1 + 4 - 2 + - v1+ 12 4 2 u0 w0 w1 2 w+f 2w0 + (1 - ) - 2 + f = 2 1 2u t2R0 2wfvs0f =. (12) gr Eh 1 E R0 0, 5 - ln R u 4 dx0 dyx(, ) = x0() + u0 + (v1 + w1) ;

d 2 d dy0 dxy(, ) = y0() + u0 - (v1 + w1) ;

d 2 d 1 d2y dx R0 v1 w(, ) = ; u = +. (13) d2 d 2 Решения уравнений (11) являются нулевым приближением по решения внешней задачи, решения уравнений (12), (13) – первым приближением.

В пункте 2.4 найдены формулы, выражающие компоненты тензора деформаций стенки трубы через искомые функции математической модели.

В пункте 2.5 разработаны методы решения уравнений математической модели (11), (12), (13), как численные, так и аналитические. Построены необходимые разностные схемы, изложены алгоритмы решения их уравнений на ЭВМ. Найдены, где это возможно, аналитические решения.

В подпункте 2.5.1 система нулевого приближения (11) линеаризована.

Ее решение найдено в системе аналитических вычислений Mathematica.

В подпункте 2.5.2 система дифференциальных уравнений в частных производных (12), (13) дополнена начальными и краевыми условиями. В подпункте 2.5.3 на основе интегро-интерполяционного метода15 и численных методов газовой динамики16 построена трехслойная разностная схема для нахождения численного решения поставленной начально-краевой задачи.

В пункте 2.6 поставлены численные эксперименты, направленные на верификацию математической модели и исследование движения изогнутого трубопровода. Рассмотрено шесть различных профилей трубопровода и обширный набор комбинаций внешних и внутренних условий, а также геометрических параметров для них. На основе выполненных расчетов и анализа деформаций стенки сделаны выводы: (а) построенная математическая модель обоснована и дает адекватное описание медленного движения и деформирования изогнутого трубопровода; (б) существуют точки, в большой окрестности которых деформации стенки трубы не малы; (в) при выполненном условии (1) необходим учет депланации поперечного сечения трубы.

В пункте 2.7 рассматривается медленное движение изогнутого трубопровода как стержня под действием потока жидкости и нелинейного сопротивления внешней среды. При этом перемещения могут быть конечными, но деформации считаются малыми. Новизна работы заключается в том, что при выводе уравнений движения учитывается сила продольного натяжения T, возникающая в результате поперечного перемещения трубопровода, учтено Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. – 432 c.

Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992. – 424 c.

вязкое сопротивление среды. Численный эксперимент показал, что величина растягивающих напряжений в стенке трубопровода может иметь порядок предела прочности стали.

В главе 3 решена внутренняя задача о гидроупругих колебаниях в изогнутом трубопроводе, погруженном во внешнюю среду. Выведены уравнения движения трубопровода и жидкости, проведен асимптотический анализ этих уравнений. На основании этого анализа построена одномерная математическая модель изучаемого механического процесса, получены новые формулы связи давления в жидкости и перемещения стенки трубы.

Алгоритм редукции уравнений математической модели к одномерному виду является аналогичным алгоритму главы 2. Эта общность обусловлена геометрией исследуемой механической системы.

В пункте 3.1 дана физическая постановка задачи, изложены основные предположения, принятые для ее решения. Главные из этих предположений:

малость деформаций стенки трубы, малость параметров и = R0/l, пренебрежение трением в колебательных процессах в жидкости, линеаризация уравнений движения жидкости в окрестности стационарного течения.

В пункте 3.2 выведены уравнения движения трубопровода как оболочки, нагруженной внутренним нестационарным потоком сжимаемой жидкости и реакциями внешней среды.

Метод вывода уравнений полубезмоментной оболочки идентичен, но применен к длинной изогнутой трубе с учетом ее специальной геометрии.

В результате получены оригинальные уравнения теории оболочек, ориентированные на задачи о протяженных трубопроводах и охватывающие более широкий класс задач, чем обычные стержневые математические модели.

Базовые уравнения движения трехмерного упругого тела и замыкающие их соотношения приведены в подпункте 3.2.1 и соответствуют (4), (2).

В (5) опущены нелинейные члены. В подпункте 3.2.2 из общих соотношений на границе среды выведены краевые условия на внешней и внутренней поверхностях трубопровода. В подпункте 3.2.3 выведены уравнения движения стенки трубы как оболочки, нагруженной внутренними колебаниями потока жидкости и вязкоупругим сопротивлением внешней среды. В подпункте 3.2.накладываются два различных вида краевых условий на торцах трубы: естественные условия и условия жесткой заделки.

В пункте 3.3 из уравнений гидродинамики Эйлера, с учетом силы сопротивления стационарному потоку, получены системы уравнений стационарного и нестационарного движения жидкости с тремя пространственными переменными. Как стационарные, так и нестационарные уравнения допускают выбор приближенного решения, при котором число независимых переменных уменьшается на единицу. После этой редукции найдено приближенное решение стационарной задачи, нестационарная задача сведена к одномерной.

В подпункте 3.3.1 из уравнений движения жидкости получены две системы уравнений: система для нахождения стационарного движения и система, описывающая колебательные процессы в жидкости. Для замыкания уравнений принят закон сопротивления стационарному потоку для шероховатых труб (см. Лойцянский Л.Г. ) и линейное уравнение состояния сжимаемой жидкости.

В подпункте 3.3.2 введены безразмерные переменные и функции:

vso vo v po Ro = s/l, r = R/R0, = t; vso =, vo =, vro =, po = ;

l l l pa vs1 v1 v p1 pa Rvs =, v =, vr =, p = ; a2 =.

l l l pa f2lУравнения стационарного и нестационарного движения жидкости приведены к безразмерному виду, наложены краевые условия:

v vso vo vso vro vso f() · + · + · + · · vso vo cos + vro sin = so g11 r r g a2 po l (vso), = - · - · g11 f v vo vo vo vro vo f() vrovo a2 po · + · + · - · ·(vso)2 ·cos + = - ·, so g11 r r g11 r r v vro vo vro vro vro (vo)2 f() a2 po · + · + · - - · · (vso)2 · sin = - ·, so g11 r r r g11 r 1 vso 1 vo 1 vro vro · + · + + + g11 r r r f() + · · vo cos + vro sin = 0; (14) g vso(0, , r) = vo, vro(, , 1) = 0, po(L, , r) = 1; (15) vs v vs vo vs vro vs f() + · + · + · + vso · · v cos + vr sin + so g11 r r g f() a2 p F(, ), +vs · · vo cos + vro sin = - · + · g11 g11 f2l v v v vo v vro v f() + · + · + · - 2vsovs · · cos + so g11 r r g vvro vovr a2 p + + = - ·, r r r vr v vr vo vr vro vr f() + · + · + · - 2vsovs · · sin so g11 r r g vov a2 p - = - ·, r r p v p vo p vro p 1 vs 1 v a2 · + · + · + + · + · + so g11 r r g11 r 1 vr vr f() + + + · v cos + vr sin = 0; (16) r r gµ1vs(0, , r, ) + µ2p(0, , r, ) = Fo(), p(L, , r, ) = 0, w vr(, , 1, ) = · (, , ). (17) В подпункте 3.3.3 изложен асимптотический анализ краевой задачи о стационарном движении жидкости (14), (15). Прямое разложение в степенной ряд по малому параметру привело к решению нулевого приближения и системе уравнений первого приближения. Вид стационарного решения:

(1) (2) vsvs0(, , r) = (, r) + vs0 (, r) sin + vs0 (, r) cos + O(2), (1) (2) vv0(, , r) = (, r) + v0 (, r) sin + v0 (, r) cos + O(2), (1) (2) vrvr0(, , r) = (, r) + vr0 (, r) sin + vr0 (, r) cos + O(2), p (, , r) =p0 (, r) + p(1)(, r) sin + p(2)(, r) cos + O(2).

0 0 Найдено решение уравнений стационарного движения жидкости:

0 0 p0= 1 + l 2 L - .

vs0 v0 vr0 · v= v0 ; = = 0;

fa f() r v0 2f l f p(1) = r · · v0 + 2 · · (3 - r2) · · + · ;

a2 8 a2 2 f rv0 2f l f l (1) vs0 = -rfv0 - 2 · · (3 - r2) · + · - r v0 · f d;

8 2 f f 3 f l (1) vr0 = - v0(1 - r2) · + · f ;

8 f v0 f l (2) v0 = - · (3 - r2) · + · f. (18) 8 f В подпункте 3.3.4 предложен вид приближенных решений уравнений движения стенки трубы и жидкости:

0 1 u u u u = (, ) + (, ) sin + (, ) cos + O 2, 0 1 v v v v = (, ) + (, ) sin + (, ) cos + O 2, 0 1 w w w w = (, ) + (, ) sin + (, ) cos + O 2 ; (19) 0 1 vs vs vs vs(, , , r) = (, , r) + · (, , r) sin + · (, , r) cos + O 2, 0 1 v v v v(, , , r) = (, , r) + · (, , r) sin + · (, , r) cos + O 2, 0 1 vr vr vr vr(, , , r) = (, , r) + · (, , r) sin + · (, , r) cos + O 2, 0 1 p p p(, , , r) =p (, , r) + · (, , r) sin + · (, , r) cos + O 2. (20) На основе этих разложений и предположений о пренебрежении моментами инерции стенки и медленном изменении кривизны оси трубы получены упрощенные уравнения движения стенки, зависящие только от одной пространственной переменной:

0 0 w 2 u tRo2 2 u 2 + - 1 - 2 + 2 E t(vso) 1 h kpa 0 h w 1 h + 1 + pe u - - 1 - = 0, h 2 tR0 2 h 2 t 0 0 u w 0 h2 2 2 0 tRo2 w w + + 2 2 + + 1 - 2 + w 12 2 2 E 0 (1 - 2) pa h 0 h p w + 1 + pe +K - 1 - p + + h E 2 h kpaR0 0 h w + 1 + (1 - 2) pe u - = 0; (21a) 2 2 E 2 1 1 2 w v 2 u 1 + 1 - 1 1 - 0 2 u 2 + - - u +f · u -22 + 2 2 2 2 w 1 - +(1 - ) = - X, E 2 1 v u 1 - 2 1 + 2 1 0 3 - u 1 - 2 + - v w w = - Y, + +f · - 2 2 2 2 E 1 1 u w 1 2 h2 2 2 1 0 h2 4 w w + - v + 2 2 - w + f · 2 - 4 + w 12 2 2 3 u 1 - +(1 - ) - Z= 0, E 2 2 w v 2 u 1 + 1 - 2 1 - 2 + + - u - X, = 2 2 2 E 1 v u 1 - 2 1 + 1 2 1 - 2 - - v - w - Y, = 2 2 2 E 2 u w 2 1 h2 2 2 2 1 - w + + + 2 2 - w - Z= 0;

v 12 2 2 E 1 1 u w 2 1 h 1 h h w X= -tRo2 - kpaRo 1 + pe u - + f · + 2 h 2 2 2 h 0 h w 1 + 1 + pe +hf pe u - - ft(vso), 2 2 u 2 1 h X= -tRo2 - 1 + kpaRo pe u 2 h 2 2 h w 0 h w - + pe u -, 2 2 v 2 1 h 1 h Y = -tRo2 - 1 + h kpaRo pe 1 + v w, 1 2, + 2 h 2 1 1 0 w 2 pa h h p p Z= -tRo2 + 1 - + p - f · + p 2 h 2 h 1 h 1 w w - 1 + pe +K - f · pe +K + 2 1 h h 2 h + kpaRo 1 + pe · 1 + v - w 2 2 2 1 w h 1 h h w - kpaRo 1 + pe u - + f · + 2 2 2 2 0 0 h w 0 h w h 1 + pe u - - f pe u - + ft(vso), 2 2 2 w 2 pa h h p Z= -tRo2 + 1 - + p - 1 + pe +K w 2 h 2 1 h h 1 h 2 0 - kpaRo 1 + pe · 1 + v w pe u + + 2 2 2 2 2 h w 0 h w - + pe u -. (21b) 2 2 В подпункте 3.3.5 путем подстановки в задачу о нестационарном движении жидкости (16), (17) решений (20) получены системы уравнений, не содержащие угловой координаты . Разложением решений полученных уравнений в степенные асимптотические ряды по малому параметру получены упрощенные уравнения нулевого по приближения:

o vso vso p0 p0 p0 vso w + vo = -a2 + F (, ); a2 + vo + + 2 = 0;

(µ1vso + µ2p0) = Fo(); p0 = 0; vso = p0 = 0. (22) =0 =L =0 =В подпункте 3.3.6 анализируется задача первого приближения по , состоящая из системы уравнений движения трубы (21b) с однородными краевыми условиями, и системы уравнений движения жидкости с входящими в нее краевыми условиями, при однородных начальных условиях. Решения начально-краевой задачи движения жидкости разложены в ряд по , полученные уравнения решены при условии, что перемещения стенки известны.

В результате найдены формулы для поправок первого приближения к давлению жидкости:

o 1 p2= r v0 3f + l fd 2 w 1 w w 1(r2 3)F (, ) ;

- + v0 + a2 f v0 2 1 1 2 2 2rv0 r w w p p= 2 p2. (23) = fvso + 2 p2; p2= - + v0 ;

a2 a2 Все слагаемые из (20) выражены через известные из предыдущего материала функции и поправки первого порядка к радиальному смещению стенки 1 w w трубопровода,. Задачи поиска давления в жидкости и движения стен1 w w ки разделяются. После нахождения, и подстановки их величин в (23) динамика давления в жидкости определена полностью.

В главе 4 решаются задачи об анализе малых колебаний внутри потока жидкости, заключенного в гибкую упругую трубу, поставленные в главе 3. Исследуется как отклонение стенок трубы под влиянием стационарного потока жидкости, так и распространение нестационарных внутренних волн.

Построены разностные схемы для численного анализа стационарных и нестационарных решений уравнений математической модели. Проведена верификация математической модели на основе литературных данных.

В пункте 4.1 ставится и решается задача о перемещениях стенки трубы под действием стационарного потока жидкости, определенного формулами (18). Это необходимо для постановки начальных условий в задаче о нестационарных колебаниях трубопровода.

В пункте 4.2 сначала ставится и решается начально-краевая задача нулевого приближения по на основании соотношений (21a), (22), затем начально-краевая задача первого приближения на основании формул для давления в жидкости (23) и уравнений колебаний стенки трубы (21b).

В подпункте 4.2.1 начально-краевые задачи нулевого приближения преобразованы к виду, удобному для численного решения. Полученные начально-краевые задачи аппроксимированы разностными схемами, аналогичными главе 2.

В подпункте 4.2.2 упрощаются уравнения и соотношения (21b), и ставится задача поиска волновой динамики в первом приближении. Для численного решения этой задачи в подпункте 4.2.3 построена разностная схема.

В подпункте 4.2.4 решен тестовый пример, установлена качественная согласованность решения с известными результатами механики.

В пункте 4.3 предложенная математическая модель верифицирована на основании сравнения с литературными источниками теоретического вывода ее уравнений и результатов численных экспериментов. Рассмотрены задачи о гидравлическом ударе в полимерной изогнутой трубе, об акустических колебаниях коленообразного трубопровода, о гидравлическом ударе в трубопроводе с коленами.

Перечислим источники численных экспериментальных данных, с которыми сравнивались результаты расчета по построенной математической модели. В подпункте 4.3.2 расчет проводился по данным17 о гидравлическом ударе в полимерном трубопроводе. В подпункте 4.3.3 сравнивались данныепо малым акустическим колебаниям криволинейного трубопровода. В подпункте 4.3.4 рассчитывался трубопровод с коленом, в соответствии с данными19. В подпункте 4.3.5 анализируются параметры реальных трубопроводKulikov Yu.A., Loskutov Yu.V., Maksimov M.A., Zdanovich Yu.K. Numerical-experimental investigation of the elastic deformation of a polymeric pipeline under impact // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2001. – Vol. 42. – № 2. – P.294-299.

Миронова Т.Б., Прокофьев А.Б., Шахматов Е.В. Разработка конечноэлементной модели виброакустических процессов в трубопроводе с пульсирующим потоком рабочей жидкости // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. Авиационная и ракетно-космическая техника. – 2008.

– № 3. – C.157-162.

Wiggert D.C., Otwell R.S., Hatfield F.J. The Effect of Elbow Restraint of Pressure Transients // Journal ных систем20.

По данным расчетов сделан вывод о согласованности математической модели распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе с известными результатами вычислительной механики. В то же время, предложенная модель охватывает все перечисленные частные случаи, а значит, является более общей, чем модели из использованных источников.

В главе 5 на основе модели несжимаемой жидкости, движущейся в полностью заполненной трубе, построены математические модели распространения внутренних нелинейных гидроупругих волн. Для волн в прямой трубе выведено уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ). Показано, что поправка к потенциалу скорости в изогнутой трубе подчиняется уравнению КлейнаГордона-Фока. Доказана достаточность этого уравнения для описания волн первого приближения по кривизне в изогнутой трубе. Дано обобщение метода учета геометрии изогнутого трубопровода, позволяющее свести задачу к одномерной по пространству.

Пункт 5.1 посвящен построению и анализу математической модели распространения нелинейных волн в прямолинейном трубопроводе.

Главным результатом подпункта 5.1.1 является математическая модель распространения нелинейных волн:

R0 = · – безразмерный потенциал;

a lR0 a = 1, µ = 1 – малые параметры;

l2 RW w = – прогиб стенки трубы; a – амплитуда начального прогиба;

a z R =, =, = t – координаты и время;

l R2 2 1 + + = 0;

2 2 = 0 при = 0;

w w 1 + 2µ = при = 1 + µw;

2 µ µ + + + w = 0 при = 1 + µw. (24) 2 2 of Fluids Engineering. – Vol. 107, 1985. – P. 402–406.

Клейн Г.К. Расчет подземных трубопроводов. – М.: Стройиздат. – 1969. – 240 c.

В подпункте 5.1.2 получено асимптотическое разложение потенциала скорости жидкости:

20 2 4(, , ) = 0(, ) - 2 + 4, 4 2 64 из уравнений (24) выведены уравнения мелкой воды.

В подпункте 5.1.3 получено уравнение, описывающее движение жидкости с волнами, бегущими в двух направлениях:

20 1 20 1 40 0 20 1 0 20 1 4- = - 3 - -.

2 2 2 4 22 2 2 16 Далее серией замен переменных выведено уравнение КдВ:

g g 3g + 6g + = 0.

t1 x1 xВ подпункте 5.1.4 приведены частные решения КдВ и показано, как из них найти потенциал скорости жидкости. В подпункте 5.1.5 анализируется нелинейная волна, образуемая срединной поверхностью трубы, изучается скорость этой волны и сравнивается со скоростью гидравлического удара. Доказано, что нелинейная волна опережает гидравлический удар.

В подпункте 5.1.6 изучается поведение механической системы при различных соотношениях между малыми параметрами в уравнениях (24). Рассмотрены два предельных случая µ; µ.

Особое внимание уделено первому случаю, так как для него выполнены уравнения мелкой воды. Проведено сравнение с данными натурного эксперимента, научная значимость этого сравнения в том, что некоторые волновые явления в трубах могут быть теоретически исследованы без привлечения математических моделей сложных физических процессов, таких как кавитация и течение газожидкостной смеси.

В пункте 5.2 изучается случай, когда осевая линия трубы слабо изогнута, что вносит в задачу асимметрию. Определено такое приближенное решение для случая малой кривизны оси, при котором из уравнений исчезает угловая координата. Установлено, что в нулевом по кривизне оси приближении, по аналогии с п. 5.1, волновая динамика трубопровода описывается уравнением КдВ. После замены неизвестной функции в первом приближении получено известное в математической физике уравнение Клейна-ГордонаФока, как следствие только геометрии трубы, и показана его достаточность в рамках принятой точности. Найдено его численное решение для исследуемой задачи, дана физическая интерпретация искомых функций.

В подпункте 5.2.1 построена математическая модель распространения нелинейных волн в идеальной несжимаемой жидкости внутри изогнутого трубопровода:

2 0 f sin g11 2 + + + 2 0 g11 2 g11 g2 + g11 + f cos + (1 + 2f sin ) = 0;

2 (25) w 2µ w 2µ w 1 + + =, (1 + f sin )2 2 2 2 µ µ µ + + + + w = 0.

22 2 2 (1 + f sin )2 В подпункте 5.2.2 найден вид приближенного решения уравнений (25), позволивший упростить их:

= 0(, , ) + 1(, , ) sin + O 2, (26) w = w0(, ) + w1(, ) sin + O 2.

Из уравнений нулевого приближения для 0, w0 при условии µ = al2 = R0 (27) получается уравнение КдВ. Соотношение (27) является условием существования уединенной волны в цилиндрическом трубопроводе.

Далее найдена замена неизвестной функции (28), позволившая после асимптотического разложения (29) свести уравнения первого приближения к неоднородному уравнению Клейна-Гордона-Фока (30):

z = ; 1 = · z; (28) 2z0 5 20 2 4z0 40 z = z0(, ) + 2 - + f + 4 - 7f ; (29) 8 2 2 2 192 4 2z0 3 2z0 15 20(t1, 1) - + z0 = - f(1). (30) 2 t2 8 1 16 В подпункте 5.2.3 доказана достаточность (30) для решения исследуемой задачи в рамках принятых приближений. В подпункте 5.2.4 сформулирована начально-краевая задача для полученного уравнения Клейна-ГордонаФока. Эта задача решена численно для двух тестовых профилей трубопровода. В подпункте 5.2.5 изложен физический смысл результатов.

В пункте 5.3 установлено, что метод упрощения математической модели внутренних волн в трубопроводе, использованный в данной диссертации, может быть применен только благодаря геометрии трубы, а именно: труба является изогнутым каким-либо образом цилиндром. При этом сечение трубы плоскостью, перпендикулярной осевой линии, имеет форму кольца.

Вследствие этого существует такая криволинейная система координат, конструктивно построенная в главе 1, в которой уравнения движения трубы и жидкости имеют вид, допускающий редукцию задачи к одномерной.

Основные научные результаты • Построена математическая модель трубопровода как деформируемого твердого тела специальной геометрии, нагруженного внутренним потоком жидкости и сопротивлением внешней среды. В уравнениях модели учтена геометрическая нелинейность задачи, возникающая из-за конечных поперечных перемещений осевой линии трубопровода, и трение потока о стенки шероховатой трубы. Общий вид краевых условий на поверхности твердого тела сужен на задачи динамики трубопровода.

• Для внешней задачи о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде при условии конечности перемещений построена математическая модель, которой являются обобщенные путем учета геометрической нелинейности уравнения движения оболочки В.З. Власова, нагруженной потоком жидкости и силами от внешней среды.

• Для внутренней задачи о квазилинейных колебаниях в изогнутом трубопроводе построена цепочка упрощающихся математических моделей, приводящая к уравнениям совместного движения потока сжимаемой жидкости и полубезмоментной оболочки, с учетом трения, давления и упругого сопротивления внешней среды.

• Для всех рассмотренных моделей найден общий метод редукции уравнений к задачам меньшей размерности:

– для модели медленного движения (8) найден вид решений (9), (10), вследствие чего получены уравнения (11)–(13);

– для квазилинейных уравнений распространения гидроупругих колебаний найден вид решений (19), (20), который привел к уравнениям (21)–(23);

– для уравнений распространения нелинейных волн (25) найден вид решений (26), позволивший уменьшить размерность задачи.

• Показано, что предложенные математические модели обладают б ольшей общностью по сравнению с существующими моделями. Найдены численно-аналитические решения уравнений этих моделей и дана интерпретация результатов расчетов. Установлена согласованность численных решений с известными результатами.

• Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью, по аналогии с теорией гравитационных волн. Для слабо изогнутой трубы найден метод редукции нелинейных уравнений модели к задаче меньшей размерности. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения.

• Установлено, что примененный в данной работе алгоритм редукции задачи к одномерной обусловлен только геометрией механической системы и поэтому является универсальным для механики трубопроводов.

Основные публикации по теме диссертации 1. Ткаченко О.П. Построение математической модели распространения гидроупругих колебаний в длинной изогнутой трубе // Вычислительные технологии. – Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. – 1993. – T.2, № 6. – C. 112-122.

2. Ткаченко О.П. Математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода // Вычислительные технологии. – 1996. – Т.1, № 3. – С. 78-86.

3. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Прикладная механика и техническая физика. – 2000. – Т. 41, № 6. – С. 161-169.

4. Ткаченко О.П. Движение подземного трубопровода с учетом конечности его перемещений // Вычислительные технологии. – 2001. – Т.6, ч.2. – Спец. выпуск: RDAMM-2001. – С. 628-631.

5. Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения подземного трубопровода // Вычислительные технологии. – Т.7. – Вестник КазНУ им. АльФараби, Серия математика, механика, информатика.– № 4(32). – Совместный выпуск. – Алматы-Новосибирск. – 2002. – Часть 4. – С. 188-195.

6. Ткаченко О.П. Кинематика и динамика подземного трубопровода при конечных перемещениях // Вычислительные технологии. – 2003. – Т. 8, № 4. – С. 97–107.

7. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения растяжимого подземного трубопровода: вывод и численное исследование // Прикладная механика и техническая физика. – 2003. – Т.44, № 4.

– С. 144-150.

8. Ткаченко О.П. Асимптотическое представление и численный расчет конечных деформаций криволинейного подземного трубопровода // Вычислительные технологии. – 2006. – Т.11, № 1. – С. 95–105.

9. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Об уравнении Кортевега-де Вриза в цилиндрическом трубопроводе // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2008. – Т.48, № 1. – С. 146–153.

10. Ткаченко О.П. Процессы конечного деформирования и нелинейная волновая динамика трубопровода // Вычислительные технологии. – Т.13. – Вестник КазНУ им. Аль-Фараби, Серия математика, механика, информатика.– № 4(59). – Совместный выпуск. – Алматы-Новосибирск.

– 2008. – Т.3. – С. 243-248.

11. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Влияние изгиба профиля трубопровода на распространение внутренних гидроупругих волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2010. – Т.50, № 11. – С. 1988-1997.

12. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Приближенное решение нелинейной задачи о деформировании подземного трубопровода // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2010. – Т.13, № 4(44). – С. 97-108.

13. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численный анализ математической модели гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Математическое моделирование. – 2011. – Т.23, № 1. – С. 51-64.

14. Ткаченко О.П. Влияние изгиба оси трубопровода на распространение уединенной волны // Математическое моделирование и краевые задачи.

– Труды V Всероссийской научной конференции с международным участием. – Самарский технический университет, Самара, 29-31 мая 2008.

– Часть 1. – Самара: СамГТУ, 2008. – С. 321-323.

15. Ткаченко О.П. О математическом моделировании гидравлического удара в изогнутом трубопроводе // Труды X Всероссийской конференции Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики. – СПб.: Наука, 2010. – С. 281-284.

16. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // The Far-Eastern School-Seminar on Mathem. Modeling and Numerical Analysis. – Khabarovsk: Publishing of FESTU. – 1999. – P. 144-154.

17. Ткаченко О.П. Движение изогнутого трубопровода в вязкой среде // Proceedings and Abstracts of 2001 Far-Eastern School-Seminar on Mathem.

Modeling and Numerical Analysis. – Khabarovsk: Publishing of FESTU. – 2001. – P. 195-200.

18. Rukavishnikov V.A., Tkachenko O.P. The numerical modeling of a thinwalled curved underground pipeline by finite strains // Международная конференция по вычислительной математике. Труды: часть 2. – Новосибирск, 2004. – C. 922-926.

19. Ткаченко О.П. Внешняя и внутренняя задачи динамики трубопровода // Международный симпозиум "Образование, наука и производство:

проблемы, достижения и перспективы": материалы Всероссийской конференции "Школа по фундаментальным основам моделирования обработки материалов" и научно-технической конференции "Математическое, вычислительное и информационное обеспечение технологических процессов и систем". – Т.4. – Комсомольск-на-Амуре: ГОУ ВПО КнАГТУ, 2010. – С. 147-150.

ТКАЧЕНКО ОЛЕГ ПАВЛОВИЧ Внешняя и внутренняя задачи динамики изогнутого трубопровода:

построение математических моделей и приближенное решение их уравнений А В Т О Р Е Ф Е Р А Т Подписано в печать 25.01.20Формат бумаги 60 90 1 16 Объем 2 п.л., 2,08 уч.-изд.л.

Заказ Тираж 100 экз.

Издано ВЦ ДВО РАН. Хабаровск, ул.Ким-Ю-Чена, 65.

Отпечатано в Вычислительном центре Дальневосточного отделения РАН 680000, Хабаровск, ул.Ким-Ю-Чена, 65.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.