WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Брутян Мурад Абрамович

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ И МИКРОПОЛЯРНОЙ ЖИДКОСТЕЙ

01.02.05 – Механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Жуковский – 2011

Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии Центральном аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е. Жуковского («ФГУП ЦАГИ»)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гупало Юрий Павлович, доктор физико-математических наук, Галкин Владлен Сергеевич, доктор физико-математических наук, Дудин Георгий Николаевич Ведущая организация – Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 5 апреля в зале для конференций корпуса №30 на заседании диссертационного совета Д 403.004.01 в Центральном аэрогидродинамическом институте имени профессора Н.Е.Жуковского по адресу 140180, г. Жуковский, Московская область, ул. Жуковского, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Центрального аэрогидродинамического института имени профессора Н.Е.Жуковского.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 403.004.доктор технических наук, профессор В.М. Чижов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое использование полимерных и нанопорошковых присадок в целом ряде прикладных задач гидродинамики вновь вызвало интерес к динамике неньютоновской жидкости. Первые работы в этой области появились в 50-х годах прошлого века и были связаны с развитием биомеханики, бионики, биогидродинамики, пищевой промышленности и т.д. Специалисты классической гидромеханики заинтересовались неньютоновскими жидкостями главным образом в связи с проблемой уменьшения сопротивления, Toms (1948); Hoyt & Fabula (1964); Хью (1984); Корнилов (2005) и проблемой моделирования турбулентных течений, Rivlin (1957);

Николаевский (1970); Townsend (1976); Speziale (1987). Различным аспектам гидродинамического воздействия малых полимерных добавок посвящено большое число работ, главным образом, полуэмпирических и экспериментальных (см., например, вступительную статью Ишлинского (1973) и другие статьи ИФЖ, посвященного данной проблеме). Влияние высокомолекулярных добавок на реологические показатели крови изучается в работах Григоряна и др. (1986); Unthank et al. (1992), где получены убедительные доказательства проявления эффекта уменьшения гидродинамического сопротивления. Уравнения классической гидродинамики описывают огромный класс течений, имеющих практическое значение, однако они не могут дать адекватного описания явлений в реологически сложных течениях, когда нарушаются исходные “ньютоновские” предположения. Кроме того, классические жидкости на временах, сопоставимых со временем релаксации напряжений тоже могут проявлять неньютоновские свойства. Такие ситуации могут возникать, например, при кратковременном воздействии внешних сил на жидкость или при движениях жидкости в режиме развитой турбулентности, когда период мелкомасштабных пульсаций сопоставим со временем релаксации напряжений.

Поэтому с практической точки зрения исследования в этой области актуальны и совершенно необходимы. С чисто научной точки зрения изучение неньютоновских жидкостей также очень интересно и актуально, поскольку даже в простых течениях они могут проявлять поведение, качественно отличающееся от поведения обычной ньютоновской жидкости.

Практическая значимость работы заключается • В построении теоретической модели, объясняющей важный для практики «спурт-эффект» (эффект резкого увеличения расхода неньютоновской жидкости при течении в тонких трубках, когда градиент давления превышает некоторое пороговое значение).

• В нахождении аналитического критерия наступления нового, не свойственного ньютоновской жидкости, режима (затухание с колебаниями) схлопывания сферической полости, имеющего отношение к важному для практики эффекту кавитации.

• В установлении принципиальной возможности уменьшения сопротивления движущихся тел по сравнению с классической ньютоновской жидкостью даже при ламинарном течении.

• В приложении аналитических и численных результатов, полученных для пространственных вихревых течений микрополярной жидкости, к практически важной задаче теории смазки.

Целью работы является • Получение точных решений и на их основе аналитическое и численное исследование внутренних свойств (существование и устойчивость) уравнений вязкоупругой жидкости для качественного и количественного понимания и объяснения эффектов, необычных для классической ньютоновской жидкости, в частности, важного для практики «спурт-эффекта».

• Получение точных решений и на их основе аналитическое и численное исследование уравнений микрополярной жидкости, в частности, для изучения вопросов устойчивости и эффекта уменьшения сопротивления движущихся тел при использовании различных нанопорошковых и полимерных добавок.

Научная новизна работы состоит в том, что • Впервые установлен факт математической эквивалентности класса однонаправленных течений вязкоупругой жидкости и газодинамического течения некоторого фиктивного газа. Данный факт позволил построить различные решения, аналогичные известным решениям в газовой динамике, и дать новое объяснение важного для практики «спуртэффекта» без априорных предположений об условиях нарушения прилипания на границе потока.

• Впервые получено уравнение, описывающее эволюцию завихренности в вязкоупругой жидкости Олдройда, и дано его точное решение для случаев распада изолированного вихря и вихревой решетки.

Показано, что в случае релаксационной модели Максвелла решение кардинально отличается от классического и завихренность имеет конечную скорость распространения.

• В задаче о схлопывании сферического пузыря в безграничной вязкоупругой жидкости Олдройда впервые установлено, что в зависимости от значений параметров реологической модели среды реализуется качественно различное поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и качественно новое поведение - затухание с колебаниями.

• Впервые получено замкнутое выражение для критического числа Рейнольдса Re потери устойчивости для вязкоупругого аналога течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой). Показано, что устойчивость течения Колмогорова с увеличением времени релаксации возрастает.

• Получены модифицированные уравнения микрополярной жидкости и впервые дано сопоставление модифицированных и немодифицированных уравнений на примере точного численного решения трехмерной нелинейной задачи Кармана о вращении бесконечного диска. Численно и аналитически изучены двух и трехмерные вихревые течения микрополярной жидкости и дано приложение полученных результатов к теории смазки.

• Для течения Колмогорова в микрополярной жидкости получено точное аналитическое выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости. Впервые установлено, что поведение Re при изменении параметров задачи в общем случае не является монотонным.

Показано, что в реалистических случаях, когда внутренние длины очень малы, общее выражение для Re переходит в асимптотическую формулу, которая наглядно демонстрирует факт повышения устойчивости при возрастании "степени микрополярности".

Автор защищает следующие положения:

• Постановку задачи и установление факта математической эквивалентности однонаправленного несжимаемого течения вязкоупругой жидкости и некоторого течения сжимаемого фиктивного газа, что позволяет легко строить решения дуальные аналогичным решениям известным в газовой динамике.

• Новое теоретическое объяснение, не основанное на априорном предположении о проскальзывании, известному и важному для практики «спурт-эффекту» - эффекту резкого увеличения расхода жидкости в тонких трубках при скоростях сдвига, больших некоторого критического значения. Численную проверку и установление связи спурт-эффекта с гистерезисом кривых, характеризующих течение.

• Постановку и решение задачи о течении нелинейно-вязкой жидкости в трубах. Точные аналитические решения задач ХагенаПуазейля и Тейлора-Куэтта в рамках полной 8-константной модели Олдройда. Интерпретацию несуществования решения при числах Рейнольдса, превышающих некоторое критическое значение, как газодинамический эффект «запирания трубы».

• Точное аналитическое решение задачи Озеена о диффузии вихревой нити в вязкоупругой жидкости Максвелла и вывод замкнутой формулы, подтверждающей факт конечности скорости распространения завихренности при учете релаксации. В задаче о диффузии вихревой решетки Тейлора нахождение условия, при котором качественно изменяется характер решения.

• Асимптотический анализ финальной стадии коллапса сферического пузырька и определение значений параметров, при которых качественно изменяется поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и новый вид решения, не свойственный ньютоновской жидкости - затухание с колебаниями.

• Нахождение явной формулы для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой) в вязкоупругой жидкости. Установление факта повышения устойчивости течения при увеличении времени релаксации.

• Вывод модифицированных уравнений микрополярной жидкости.

Точное численное решение нелинейной задачи Кармана о вращении бесконечного диска в микрополярной жидкости и установление принципиальной возможности уменьшения сопротивления движущихся тел по сравнению с ньютоновской жидкостью даже при ламинарном течении. Теоретическое и численное исследование двух и трехмерных вихревых течений микрополярной жидкости и их связи с теорией смазки.

• Определение точного выражения для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в микрополярной жидкости. Установление факта немонотонного поведения величины критического числа Рейнольдса в некотором диапазоне изменения параметров модели. Обобщение результатов на случай широкого класса периодических однонаправленных течений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации содержатся в 20 статьях [1-20], опубликованных в ведущих отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Отдельные результаты докладывались на международных, всесоюзных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе: на конференциях ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (пос.

Володарского 2010-2007, 2002-1997), на международном симпозиуме «Second International Symposium on Advances in Structured and Heterogeneous Continua» (Moscow 1995), на международных конференциях ASME (Anaheim 1998, Hilton Head 1995 и Chicago 1994), на конференциях американского реологического общества (Philadelphia 1994 и Boston 1993), на международном симпозиуме «International Workshop on Advances in Analytical Methods in Aerodynamics» (Miedzyzdroje 1993), на IX Зимней школе по механике сплошной среды (Кунгур 1991), на конференции «Современные проблемы механики жидкости и газа» (Иркутск 1990), на международной конференции «Generation of large-scale structures in continuous media» (Moscow 1990), на конференции «Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса» (Казань 1989).

В диссертационную работу включены результаты исследований, поддержанные грантами РФФИ, проекты № 96-01-00210-а и № 96-0100210-л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения; семи глав, включающих 21 параграф и 35 страниц иллюстраций; выводов и списка литературы, состоящего из 265 наименований. Общий объем работы – 231 страница.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дано описание современного состояния гидродинамики вязкоупругой и микрополярной жидкостей. Формулируется научная и прикладная цель исследования. Обосновывается актуальность темы, аргументируется научная новизна и практическая значимость полученных результатов, представляются выносимые на защиту научные положения. Кратко излагается содержание глав. Приводится список работ автора по теме диссертации.

Для описания свойств неньютоновских жидкостей существуют, по крайней мере, две различных возможности:

(1) не вводя дополнительных характеристик среды, модифицировать D классическое уравнение состояния =2, где - тензор напряжений, a D - тензор скоростей деформаций;

(2) наряду с полем скоростей характеризовать среду дополнительным полем векторных или тензорных величин.

Опыт показывает, что в действительности реализуются обе эти возможности. Первая возможность, связанная с модификацией уравнения состояния, используется для моделирования как нелинейных, так и релаксационных свойств полимерной жидкости. Среди нелинейных моделей особой популярностью пользуются обобщенные ньютоновские жидкости, для которых тенз и D предполагаются связанными Dоры соотношением =f ( ). Вводя дополнительные предположения типа изотропности, Ericksen & Rivlin (1955) показали, что функция f является полиномом второго порядка D D =2 +µ, где и µ - скалярные функции от инвариантов тензора D. Эта модель описывает многие явления в полимерных жидкостях. Однако модель обобщенно ньютоновской жидкости не учитывает упругих свойств среды, что проявляется в предположении о том, что напряжение однозначно определяется мгновенной скоростью деформации. Этот недостаток особенно сильно заметен в нестационарных задачах, в которых учет упругих свойств играет важную роль. Первая попытка получить уравнение состояния вязкоупругой среды принадлежит Максвеллу (1867), который пришел к выводу, что в уравнении состояния наряду с напряжением должна присутствовать производная d/dt в той же самой точке и в тот же момент времени. Связь тензоров и D при этом остается линейной:

D d + =2, (B.1) dt где - время релаксации ("relaxation time"). Модель (В.1) играет ключевую роль в теории линейной вязкоупругости, однако расчеты по этой модели оказываются неадекватными многим опытным данным.

Развивая идеи Максвелла, Jeffreys (1929) предложил в качестве уравнения состояния использовать наиболее общее линейное соотношение первого порядка D D d d + =2 +, (В.2) dt dt где - время запаздывания ("retardation time"). Однако, обе модели (В.1) и (В.2), описывающие линейную вязкоупругость, не учитывают нелинейных эффектов в уравнении состояния и справедливы для течений с малыми градиентами.

Наиболее общее нелинейное обобщение уравнения состояния, содержащее квадратичные члены и удовлетворяющее принципу материальной независимости (см., например, Truesdell (1965); Wang (1975); Ryskin & Rallison (1980); Галкин и Носик (1985)), нашел, посуществу, Oldroyd (1958). В рамках полной 8-константной модели Олдройда соответствующее уравнение состояния имеет вид:

D D +Fabc( )=2[ +F ( )] (В.3) D D D D I D d Fabc ( )= + - -a( + )+b( : ) +c(Tr ) dt D D D D I D Dd F ( )= + - -2 +( : ), dt где a,b,c,, - безразмерные постоянные; - тензор завихренности с D компонентами ij =( Vi -iVj)/2 ; : - свертка тензоров и D; Tr j I I - след тензора ; - единичный тензор, ( )ij =ij. Опыт использования (В.3) показал, что довольно широкий класс неньютоновских жидкостей действительно хорошо описывается этой вязкоупругой моделью.

По сравнению со случаем классической ньютоновской жидкости в вязкоупругой модели возникают дополнительные параметры подобия.

Важнейшим из них является число Деборы De, которое равно отношению характерных релаксационных членов к инерционным. Очевидно, что вязкоупругие эффекты существенны при не слишком малых числах De.

Поэтому в ламинарных течениях они заметны только в быстропротекающих процессах при достаточно малых временных масштабах течения. В турбулентных течениях этот временной масштаб может быть очень мал, и значительные аномалии поведения наблюдаются даже для слабо упругих жидкостей, таких как разбавленные растворы полимеров. Турбулентные течения вязкоупругих жидкостей экспериментально изучались в работе Калашникова (1987). В связи с трудностью анализа общей 8-константной модели (В.3) в литературе рассматриваются различные частные случаи. Наиболее полную классификацию можно найти в первом томе фундаментальной монографии Bird et al. (1987). Различные линейные и нелинейные модели вязкоупругих сред рассматриваются в работах Басистова и Яновского (2005), Леонова и Прокунина (1994). В рамках нелинейной вязкоупругой модели Олдройда (B.3) и ведется рассмотрение в главах I-V.

Вторая принципиальная возможность описания неньютоновских свойств, как мы уже отмечали, заключается в том, что наряду с полем скоростей вводится в рассмотрение дополнительное поле векторных или тензорных величин. Например, для описания нематических жидких кристаллов вводится дополнительное поле единичного вектора (директора), который локально направлен вдоль осей длинных полимерных молекул. Гидродинамика нематиков и другие их физические свойства описаны в монографии П. де Жена (1977). Аналогичное неньютоновское поведение в жидкости может быть вызвано действием электрического или магнитного поля, Куликовский и Любимов (1962).

Эффекты, проявляющиеся в этих случаях весьма близки по своей природе. Другим важным примером такого сорта является микрополярная жидкость, в которой наряду с полем скоростей вводится поле угловых скоростей микровращения. Жидкость такого типа впервые рассматривали братья Cosserat & Cosserat (1909). Во всех этих средах модифицируется связь тензоров и D. В микрополярной жидкости тензор напряжений становится несимметричным (поэтому уравнения движения такой среды часто называют уравнениями асимметрической гидродинамики) и имеет вид: V D =2 +k( - ), V V где - тензор градиента скорости с компонентами ( )ij = Vi, - j тензор микровращения, а дополнительный диссипативный коэффициент k (коэффициент вихревой вязкости) характеризует меру сцепления полимерных молекул со своим окружением. Различные варианты уравнений микрополярной жидкости представлены в работах Eringen (1964), Аэро и др.(1965), Брутяна и Крапивского (1989). Описанию и развитию общего метода, позволяющего на основании минимального числа допущений физического характера устанавливать для моделей сред с внутренними степенями свободы замкнутые системы уравнений, посвящена работа Седова (1968). Довольно большое число работ связано с описанием некоторых турбулентных течений ньютоновской жидкости с помощью моделей турбулентности, близких к уравнениям микрополярной жидкости. Много работ в этом направлении выполнено Николаевским (см., например, 1980). Обзор многочисленных работ по микрополярной жидкости приведен в монографиях Мигуна и Прохоренко (1984), Петросяна (1984). Исследованию уравнений, вихревых течений и устойчивости периодических течений в микрополярной жидкости посвящены две заключительные главы VI и VII.

Глава I написана по результатам работ [7], [11] и [26]. В ней рассматривается класс стационарных несжимаемых течений вязкоупругой жидкости с одной нетривиальной компонентой скорости w(x,y), зависящей от двух независимых переменных. Показано, что в плоскости перпендикулярной вектору скорости течения вязкоупругой 4константной жидкости Олдройда задача сводится к уравнению газовой динамики q q ( )=0, =w (1.1) для некоторого фиктивного сжимаемого газа. Потенциалом течения газа является w =w(x,y), а плотность и модуль скорости q связаны соотношением:

1+cq=. (1.2) 1+c2qПринимая для удобства c2 =1, из (1.1) и (1.2) находим q 2 ( )=2(1-)(1+q2 )-2[(C2 -w )w -2w w w +(C2 -w )w ]=0, (1.3) x xx x y xy y yy где C2 - квадрат скорости звука в газе, равный (1+q2)(1+q2 ) C2 =. (1.4) 2(1-) Математический факт эквивалентности этих двух течений позволяет провести классификацию областей эллиптичности и гиперболичности в зависимости от значений параметров модели и, в частности, построить решения аналогичные известным в газовой динамике решениям типа ударной поляры и волны разрежения Прандтля-Майера.

Тип квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка (1.3) определяется знаком величины (1+q2 )(1+q2 ) =(C2 -w2)(C2 -w )-w2 w2 = [1+(3-1)q2 +q4].

x y x y 4(1-) Таким образом, все определяется знаком =1+(3-1)q2 +q4, так что области эллиптичности и гиперболичности расположены:

(a) = : при 0

/ (b) < < : при 0

/ (с) > : в этом случае уравнение =0 не имеет действительных корней и течение всюду эллиптическое.

Как и в обычной газовой динамике, после введения в рассмотрение числа Маха M=q/C 2q2 (1-) M2 = (1+q2)(1+q2 ) замечаем, что областям гиперболичности, как и следовало ожидать, соответствует условие M >1, а областям эллиптичности M<1. На Рис.1.a,b приведены графики зависимости M =M(q) для различных моделей жидкости Олдройда. Для релаксационной модели Максвелла =0 эта зависимость является монотонно возрастающей функцией, причем максимальная величина числа Маха ограничена, M= 2. В общем случае зависимость M=M(q) имеет в точке q=1/4 максимум, равный M= 2(1- )/(1+ ). Заметим, что для известного в газовой динамике газа Трикоми, число Маха также ограничено. Оно не превосходит значения 1,14 и стремится к единице, когда скорость становится бесконечной.

М М =0 0<<1/=1/ЭллипЭллипти- тичесГиперболический Гиперболический Эллиптический ческий кий 5 q 02 4 q Рис.1a – Максвелловский газ Рис.1b – Общий случай Известно, что решение квазилинейного дифференциального уравнения (1.3) в гиперболической области может иметь разрывы производных второго порядка, т.е. разрывы производных скорости qx и qy фиктивного газа. Можно рассмотреть также другой род разрыва, при переходе через который вектор скорости q и плотность испытывают скачок, который управляется соотношением (1.1). В случае прямого скачка уравнение неразрывности потока q дает:

1+qq=J=const. (1.5) 1+qПри >1/9 существует ровно одно решение уравнения (1.5) при произвольном J, так что скачки уплотнения невозможны. Этот вывод согласуется с представлениями традиционной газовой динамики, поскольку в дозвуковых течениях (М<1, см. Рис.1b) скачков не возникает. При =0 (релаксационная модель Максвелла) уравнение (1.5) имеет два решения при всех JI/2 невозможен). Обозначая через q1 скорость перед скачком, а через q2 скорость за скачком, из (1.5) получаем "теорему Прандтля" для максвелловского газа q1q2 =1.

Установленная математическая эквивалентность двух течений позволяет перенести все известные результаты классической газовой динамики на фиктивный максвелловский газ, который в свою очередь дуален релаксационной модели Максвелла для течений вязкоупругой жидкости.

Рассмотрено однонаправленное течение в трубе, сечение которой представляет собой бесконечный клин и показано, что в случае максвелловского газа имеются решения двух типов:

-f =A1cos(+A2) и f =(De) sh(±+A3) Общее решение получается после склейки решений разных типов;

при этом значения постоянных A находятся из условий сращивания и j граничных условий. Анализ показывает, что вблизи центра =реализуется решение первого типа, а решения второго типа примыкают к границам клина. Таким образом, получаем f =Acos() при -, -f =(De) sh(-+arshDe)при , -f =(De) sh(++arshDe)при --.

Производя сращивание компонент скорости фиктивного газа f и f при =±, устанавливаем, что при =± возможен слабый разрыв. В результате сращивания получаем:

sh(-+arshDe), tg()th(-+arshDe)=1 (1.6) A= Decos При достаточно малых углах уравнение (1.6) не имеет решения.

Это означает, что во всей области течения реализуется «ньютоновское» решение. Решение второго типа («неньютоновское» решение) впервые возникает при некотором критическом значении угла =arctg 1+De-Заметим, что величина угла не превосходит критического значения . Отсюда заключаем, что при , то реализуется композитное решение: внутри ядра ||< имеет место ньютоновское решение, а вне - неньютоновское. Найденное решение, таким образом, не содержит сингулярностей при всех значениях , другими словами учет вязкоупругих свойств жидкости устраняет известный парадокс типа Стернберга-Койтера.

Рассмотрена газовая динамика максвелловского газа. Если ввести скорость звука по формуле (1.4), то для ньютоновского решения (течения в ядре) скорость оказывается постоянной по абсолютной величине и по направлению. Вычислим при критическом угле = число Маха для этого потока: M2 =M2 +M r De 1+2DeM =1, Mr =, M = >1.

1+De2 1+DeОткуда видим, что решение типа однородного потока существует, пока компонента скорости q не достигнет критического значения, то есть число M не станет равным единице. Для решения второго типа имеем M =1. Таким образом, решение первого типа при = = переходит в решение второго типа, для которого перпендикулярная к радиусу вектору составляющая скорости q фиктивного газа в каждой точке равна по величине местной скорости звука. Вычисляя угол наклона характеристик при = получаем, что угол Маха равен , а угол наклона линий тока на границах клина оказывается постоянным и равным -. Проведенный анализ весьма близок к анализу волн разрежения в классической газовой динамике, а построенное решение можно считать аналогом известного решения Прандтля-Майера.

Аналогичное исследование проведено для стационарного однонаправленного течения неньютоновской жидкости с нелинейной вязкостью или обобщенной ньютоновской жидкости, для которой D =2(q). Уравнение (1.3) в этом случае принимает вид:

q dq div( )=-1[(-w2)wxx -2w w w +(-w2)w ]=0, где =-q, x x y xy y yy d откуда заключаем, что при >0, что соответствует псевдопластическим жидкостям нам вновь оказывается полезной газодинамическая аналогия:

потенциал скорости q течения фиктивного газа представляет компонента w(x,y) скорости течения жидкости, а роль плотности газа выполняет коэффициент динамической вязкости . Скорость звука С в фиктивном газе в этом случае определена формулой C= . Рассмотрены некоторые конкретные модели жидкости с нелинейной вязкостью: степенная жидкость модель жидкости Прандтля-Эйринга и модель ЦванцигаХонькина. В последнем случае число Маха фиктивного газа оказывается ограниченым величиной: M<2 3 1.1547. Аналогичное свойство имеет газ Трикоми: M<1.14, а для совершенного газа с показателем адиабаты <1 также имеем ограничение (M< 2/(1-)).

Глава II написана по результатам работ [5], [6] и [10]. Даны точные решения задач Хагена-Пуазейля и Тейлора-Куэтта для полной 8константной модели Олдройда (В.3). Установлено, что течение вязкоупругой жидкости в трубе произвольного сечения, вызванное продольным градиентом давления dp/ dz существует в ограниченном диапазоне чисел Деборы 1 2S 1 dp 0

Установлено, что для течения в круглой трубе условие (2.1) является не только необходимым, но и достаточным условием существования пуазейлевского течения. Это следует из явного решения уравнения движения (2.1), которое в полярных координатах имеет вид:

- 1 Rc 2 Rc c2 dp q= -1-, где Rc = dz c2 r r Таким образом, решение существует только в ограниченном диапазоне изменения радиуса трубы R, R Rc. Заметим, что число Маха М для течения фиктивного максвелловского газа при критическом радиусе трубы равно единице, так что обнаруженное явление несуществования решения при радиусе R >Rc аналогично известному в газовой динамике эффекту запирания трубы.

Аналогичные результаты получены для течения Тейлора-Куэтта вязкоупругой жидкости. Решение вновь существует в ограниченном диапазоне чисел Деборы 0De -1A-1/2, А =1-(a-b)(a-c).

Отношение крутящего момента к соответствующему значению в классической жидкости Навье-Стокса при малых значениях чисел De M ADe=1- +O(A2De4) MNS иллюстрирует эффект уменьшения сопротивления в вязкоупругой жидкости. Любопытно, что минимальная величина безразмерного момента не зависит от параметров реологической модели.

Для того, чтобы выяснить поведение решения при r >Rc рассмотрена задача устойчивости однонаправленного течения вязкоупругой жидкости. В малой окрестности произвольной точки можно записать следующее представление решения:

u =u0 +constei(t+µx). (2.2) Подставляя (2.2) в нестационарные уравнения движения уравнения находим условие коротковолновой неустойчивости однонаправленного течения 4-константной жидкости Олдройда 4 q0 +(3-1)q0 +1<0. (2.3) Заметим, что условие гиперболичности определяющих уравнений имеет тот же вид (2.3). Таким образом, найдено, что в диапазоне (qmin,qmax ), т.е. в области гиперболичности, однонаправленное течение вязкоупругой жидкости Олдройда неустойчиво относительно коротковолновых возмущений, сохраняющих направление скорости.

Если течение стационарно, то зависимость (q) имеет S-образный вид, Рис.2а. Неустойчивость возникает в тех случаях, когда зависимость (q), полученная для стационарного течения, такова, что <0. Используя результаты теоретического анализа устойчивости квазистационарных течений, в качестве примера рассмотрен, так называемый спурт-эффект, который представляет собой разновидность неустойчивости течения вязкоупругой жидкости в узких трубках. Этот тип неустойчивости важен не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку является лимитирующим фактором во многих промышленных процессах.

Резюмируя многочисленные экспериментальные наблюдения можно отметить следующие характерные особенности спурт-эффекта, Vinogradov et al. (1972): (1) скорость течения скачкообразно увеличивается всякий раз, когда градиент давления превышает некоторое пороговое значение; (2) профиль скорости при этом становится близким к прямоугольному (стержнеобразному); (3) наблюдается гистерезис кривых, характеризующих течение.

Обычный путь описания спурт-эффекта сводится к отмене классических гидродинамических условий прилипания потока на стенке трубы. В диссертации показано, что все основные особенности (1)-(3) спурт-эффекта могут быть поняты и объяснены в рамках классических гидродинамических представлений, без отмены общепринятого граничного условия прилипания.

q Q* qmax 0.qmin 0.P* min max Рис.2а – Зависимость скорости Рис.2b – Зависимость расхода сдвига от напряжения от градиента давления Установлено, что при 0<<1/9, т.е в области гиперболичности, существуют два критических значения P1 и P2, которые соответствуют экстремальным значениям qmax и qmin. При P P2 решение разрывное и профиль скорости имеет вид, близкий к прямоугольному. При этом секундный расход Q жидкости резко возрастает и становится в десятки раз больше соответствующего расхода ньютоновской жидкости. В промежуточной области P1

Данный вывод был сделан на основании подробного анализа результатов численного моделирования определяющих уравнений методом конечных разностей. Рассматривался квазистационарный процесс. Скорость изменения градиента давления выбиралась малой, так что на каждом шаге по времени параметры течения полностью устанавливались. В противном случае временной шаг автоматически уменьшался. Оказалось, что если градиент давления постепенно нарастает от некоторого значения PP2, то процесс идет непрерывно до точки P1, а затем происходит скачок на нижнюю ветвь с меньшими скоростями сдвига. Подобное поведение решения естественно приводит к явлению гистерезиса и в случае возрастания градиента давления к резкому увеличению расхода при P>P2, что достаточно хорошо заметно по зависимости безразмерного секундного расхода жидкости Q =Q/(R4P/) от безразмерного градиента давления P (Рис.2b). На Рис.3a и 3b для сравнения приведены экспериментальная и теоретическая зависимости скорости сдвига от напряжения при возникновении «спурта». Отметим, что при описании такого сложного явления как «спурт-эффект» теоретическая и экспериментальная зависимости качественно выглядят одинаково.

q q эксперимент «спурт» слабый раствор «спурт» полиэтилена qmax 1qmin 1Kalika & Denn [J. Rheol., 1987] Брутян & Куликовский [Известия РАН МЖГ, 1996] 1 105 106 min max Рис.3а – Эксперимент Рис.3b – Теория Глава III написана по результатам работ [23] и [26]. Рассматривается течение вязкоупругой жидкости, индуцированное плоским или пространственным источником, либо стоком. В рамках полной 8константной модели Олдройда выписаны определяющие уравнения, получены асимптотики решений на больших и на малых расстояниях r от источника (стока). Для течения типа источника (стока) в вязкоупругой жидкости можно выделить ядро размером O((Qr1/2)) в плоском случае и O((Qr1/3)) в пространственном, где существенны вязкоупругие эффекты.

Поведение решения вблизи от источника (стока) в релаксационных (максвелловских) моделях существенно отличается от ретардационных моделей, для которых >0. Подобная качественная зависимость решения от вида модели весьма характерна для вязкоупругой жидкости, Joseph (1990). Одной из целей введения релаксационных моделей было устранение бесконечной скорости распространения возмущений в классической вязкой жидкости. Стационарные уравнения вязкоупругой жидкости, вообще говоря, не являются эллиптическими, а могут содержать области гиперболичности, Регирер и Руткевич (1968); Joseph & Saut (1986); Dupret & Marshal (1986). Численный расчет задач, в которых сосуществуют области эллиптичности и гиперболичности, а граница между ними заранее неизвестна, довольно сложен. При использовании конечно-разностных методов, вероятно, следует заимствовать идеи Мурмана, Коула и Джеймесона, на основе которых созданы эффективные методы численного расчета трансзвуковых течений. В целом ситуация напоминает ту, с которой сталкиваются при изучении трансзвуковой аэродинамики, но является более сложной.

Сопоставление релаксационных и ретардационных моделей на примерах точных решений показывает, что возможные в максвелловской жидкости разрывы сглаживаются в полных моделях Олдройда, подобно тому, как ударные волны и другие разрывы в невязком газе сглаживаются в модели Навье-Стокса.

Для данного класса течений проведена классификация областей эллиптичности и гиперболичности. Особое внимание уделено модели Джонсона-Сегалмана (-1

Глава IV написана по результатам работ [4], [8], [13], [16] и посвящена нестационарным течениям вязкоупругой жидкости.

Рассмотрены два классических примера: задача о диффузии завихренности и задача о схлопывании сферического пузыря. В задаче о диффузии завихренности получено определяющее уравнение 1+ =1+, (4.1) t t t описывающее эволюцию завихренности . Математически задача свелась к нахождению функции Грина уравнения (4.1). Применяя преобразование Фурье по пространственным переменным, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решается при произвольных и . В практически важном случае максвелловской жидкости время ретардации =0 и уравнение (4.1) переходит в телеграфное уравнение, решение которого имеет замкнутый вид:

C ch C2t2 -r2 2 C t (r,t)= exp- H(Ct-r). (4.2) 2 2 C2t2 -rЗдесь C = / - конечная скорость распространения завихренности, Г – циркуляция, а через Н обозначена функция Хэвисайда. Из (4.2) следует, что в точке расположения вихря, завихренность дается формулой t (0,t)= 1+exp- .

4t Заметим, что в отличие от ньютоновской среды (решения Озеена), в релаксационной модели решение кардинально отличается от классического и завихренность за время t распространяется на конечное расстояние r =Ct. Изучена также задача Тейлора о диффузии вихревой решетки в вязкоупругой жидкости и дано ее точное решение. Вновь оказывается, что в зависимости от реологической модели среды наблюдается различное динамическое поведение. Модель жидкости второго порядка не дает качественно новых результатов, в то время как релаксационная модель Максвелла ведет к результатам, кардинально отличающимся от классических. Найдено условие: De>Re/82, при котором качественно изменяется характер решения, а именно на экспоненциальный распад накладываются колебания с частотой, зависящей от числа Деборы.

Рассмотрен коллапс сферического пузыря в безграничной вязкоупругой среде в рамках 8-константной модели Олдройда. Для двух предельных случаев модели Олдройда: =0 (релаксационная модель) и =0 (ретардационная модель) подробно изучена асимптотика финальной стадии коллапса. Для обоих случаев получены обыкновенные дифференциальные уравнения для радиуса пузырька R(t). При =уравнения редуцируются к хорошо известному уравнению Релея, а при , =0 оно переходит в уравнение Забабахина. Теоретически и численно установлено, что в зависимости от значений параметров реологической модели среды реализуется качественно различное поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и новый вид - затухание с колебаниями.

В частности, для ретардационной модели условие вязкого затухания имеет вид:

ReDe<, 3+2 в противном случае имеет место затухание с колебаниями. Численный расчет при значении параметра =1 показал (Рис.4а), что осцилляции существуют только в длинной и узкой области изменения параметров в плоскости (De,Re), а именно, 0.3

Re* Re* Коллапс за конечное время Коллапс за конечное время 5 Затухание с колебаниями Экспоненциальное Экспоненциальное затухание затухание De k 0 0 0. Рис.4а – Вязкоупругая жидкость Рис.4b – Степенная жидкость Изучен также коллапс сферического пузырька в жидкости с D нелинейной вязкостью =( ). Для степенной зависимости коэффициента вязкости (q)0q-k аналитически и численно установлено, что в зависимости от величины параметра k наблюдаются два различных типа динамического поведения – коллапс пузырька за конечное время и вязкое затухание за бесконечное время (Рис4.b).

Глава V написана по результатам работ [15], [17] и [18]. Уравнения вязкоупругой жидкости заметно сложнее уравнений Навье-Стокса, что затрудняет построение точных решений и особенно анализ их устойчивости. Те немногие работы, в которых исследуются простейшие задачи устойчивости течений вязкоупругой жидкости, выполнены исключительно с помощью численных методов, поэтому точные результаты в этой области являются уникальными и представляют особую ценность.

Рассмотрена задача устойчивости вязкоупругого аналога течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения u =sin(y), индуцированного периодической внешней силой). Определение величины критического числа Рейнольдса основывается на предположении, что вблизи порога устойчивости 0

Решение ищется в виде асимптотических рядов по малому параметру.

Замкнутое выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости найдено для ряда моделей вязкоупругой жидкости, включая верхнеконвективную модель Максвелла и В-модель Олдройда.

Точное выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в вязкоупругой жидкости с учетом релаксационных и ретардационных свойств имеет вид:

3(-) (-)(13-) Re = + 2+. (5.1) 2 В качестве частных случаев полученная формула (5.1) содержит:

верхнеконвективную модель Максвелла ( =0 ); формулу Мешалкина и Синая Re = 2, полученную в рамках классической модели НавьеСтокса ( = ); и, наконец, ретардационную модель Джеффри ( =0 ).

Отметим, что устойчивость рассматриваемого течения повышается при увеличении и, напротив, уменьшается при увеличении . Возможно, этот качественный вывод справедлив и для более широкого класса течений. В рамках верхнеконвективной модели Максвелла, решена также более общая задача устойчивости целого класса периодических течений:

=f (y), где - функция тока.

Глава VI написана по результатам работ [1-3], [9] и [19].

Предложены модифицированные уравнения микрополярной жидкости (ММПУ), в которых микроинерционные члены получены с учетом требований, накладываемых аксиального вектора угловых на эволюцию скоростей микровращения. Конвективная часть модифицированных уравнений имеет вид:

V d J -( ) ="вязкие члены". (6.1) dt Здесь J - плотность микромомента инерции. Подчеркнем, что с точностью до вязких членов уравнение (6.1) формально совпадает с V уравнением Гельмгольца для эволюции вектора завихренности =rot в классической гидродинамике. Заметим также, что наличие в левой части уравнения, описывающего эволюцию аксиального вектора, члена типа V ( ) обязательно и встречается не только в уравнении Гельмгольца, но и, например, в уравнении Бэтчелора для разбавленных суспензий, Batchelor (1970). Сопоставление уравнений ММПУ и МПУ проведено на примере точного решения трехмерной нелинейной задачи Кармана о вращении бесконечного диска. Основное отличие проявляется при определении поля вектора угловых скоростей микровращения. Что касается поля вектора скоростей V, то оно оказывается очень близким при расчетах по ММПУ и МПУ. Расчеты также показали, что в обоих случаях, в определенном диапазоне значений параметров задачи, в нелинейных трехмерных задачах возможно уменьшение крутящего момента по сравнению с известным значением в классической ньютоновской жидкости даже при ламинарном течении.

В рамках уравнений микрополярной жидкости найдены решения, описывающие вихревые течения, аналогичные известным точным решениям Озеена, Тейлора и Бюргерса, полученным в рамках классической ньютоновской жидкости. Показано, что задача Озеена о диффузии прямолинейной вихревой нити в микрополярной жидкости не является автомодельной и не имеет точного решения. Дано ее численное решение методом Келлера (1978) второго порядка точности и сравнение с известным решением Озеена. Для этой цели система уравнений сначала приводится к системе первого порядка, а затем, после конечноразностной аппроксимации, сводится к системе алгебраических уравнений, которая решается методом блочной прогонки.

В задаче о диффузии вихревой решетки Тейлора по аналогии с классическим случаем ньютоновской жидкости решение ищем в виде:

=acosxcosyexp(-mt), =bcosxcosyexp(-mt), где постоянные a и b определяются из начальных условий. Для коэффициента затухания окончательно получаем k+ k+ 2k m=µ+k+ + µ+k- +, (6.1) J J J где - коэффициент вращательной вязкости, k – коэффициент вихревой вязкости, характеризующий меру «сцепления» частицы со своим окружением. В целом решение (6.1) качественно подобно решению Тейлора (1923) и описывает экспоненциальное затухание завихренности.

На Рис.5а представлена зависимость параметра m/m0 от безразмерного коэффициента вихревой вязкости =k/(µ+k). Величина m0 =2µ/ соответствует значению коэффициента затухания в решении Тейлора.

Видно, что при увеличении «степени микрополярности» распад вихревой решетки происходит быстрее, чем в классической ньютоновской жидкости.

Рис.5а – Зависимость коэффициента Рис.5b – Зависимость перепада затухания от степени давления от степени микрополярности микрополярности В отличие от задачи Озеена о диффузии вихревой нити, решение задачи о пространственном стационарном вихре Бюргерса в микрополярной жидкости сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это стало возможным из-за того, что в данном случае, в отличие от вихря Озеена, изначально имеется размерная длина и появление «внутренней длины» не нарушает вид решения.

Определены интегральные инварианты и дано численное решение задачи при различных значениях параметров.

В работе Краснова (1987) на основе классического решения Бюргерса сделана оценка силы, которая действовала бы на сферическую частицу полимера со стороны вихреобразной структуры, возникающей в смазочном слое между трущимися поверхностями. Сравнение с силой необходимой для вырывания частицы полимера показало, что эти силы одного порядка, но оценка, сделанная на основе классического «ньютоновского» вихря дает несколько заниженное значение. На Рис.5b показан результат численного расчета зависимости относительного перепада давления ( рВ соответствует значению перепада давления в решении Бюргерса) от безразмерного коэффициента вихревой вязкости.

Заметим, что влияние степени микрополярности среды приводит к увеличению отрывающих усилий и, тем самым, приближает сделанную оценку к нужному значению.

Глава VII написана по результатам работ [12] и [14]. В ней исследуется задача устойчивости течения Колмогорова в микрополярной жидкости. Аналогично рассмотренному в главе V случаю вязкоупругой жидкости, вводится соответствующая деформация пространственновременных координат и решение ищется в виде асимптотических рядов по малому параметру . Получено аналитическое выражение для критического числа Рейнольдса 2- Re =(1-)-1. (7.1) j A A1 - -a1 l2 +2 Здесь постоянные A1 =1+2a1, a1 =(l2 +2+ j)/(l2 +2)/(l2 +2-2 ) ; l и j - безразмерные «внутренние» длины, вычисленные по кинетическим коэффициентам и микромоменту инерции соответственно. В случае ньютоновской жидкости, =0, формула (7.1) переходит в известную формулу Мешалкина-Синая Re = 2. Заметим, что при некоторых значениях параметров 1 и j зависимость Re =Re() оказывается немонотонной и устойчивость течения микрополярной жидкости может понижаться. В области малых внутренних длин l<<1, j<<1 это возможно, когда j>>l2. В самом деле, когда степень микрополярности имеет порядок j, из (7.1) получаем -1/1/ 3 j+2 j2 Re 21+, 1+ 4 + 8 откуда видно, что в диапазоне 0<< j/2 действительно происходит понижение устойчивости, Re < 2. Отметим, что максимальное понижение Re по сравнению с 2 есть малая величина порядка О(j).

Кроме того, внутренняя длина j имеет порядок характерного размера микроструктуры в микрополярной жидкости, в то время как другая внутренняя длина 1, которая вычисляется по кинетическим коэффициентам, обычно заметно больше, чем j. Детальный анализ (7.1) при l>> j показывает, что в этой области поведение Re =Re() оказывается стандартным и устойчивость течения Колмогорова с ростом параметра повышается. В целом немонотонное поведение характеристик микрополярной жидкости отражает сложную внутреннюю структуру этой среды. Решена также задача устойчивости для широкого класса периодических однонаправленных течений микрополярной жидкости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Установлена математическая эквивалентность класса однонаправленных несжимаемых течений вязкоупругой жидкости и классической газовой динамики сжимаемого фиктивного газа в плоскости, перпендикулярной вектору скорости течения. Проведена классификация областей эллиптичности и гиперболичности в зависимости от значений параметров реологической модели Олдройда.

Установлено, что эта классификация зависит исключительно от отношения времени запаздывания к времени релаксации . При /=0 в плоскости годографа имеется одна область эллиптичности и одна область гиперболичности; при 01/9 имеется одна область эллиптичности (течение фиктивного газа всюду дозвуковое). С помощью установленной дуальности построены решения, аналогичные известным в газовой динамике решениям типа прямых и косых скачков уплотнения.

2. Найдено точное решение задачи о течении вязкоупругой жидкости в трубе клиновидного сечения и показано, что в отличие от ньютоновской жидкости, парадокс типа Стернберга-Койтера в вязкоупругой жидкости отсутствует. Решение существует при всех значениях угла раствора при вершине клина. Установлено, что, начиная с некоторого критического значения угла, решение кардинально перестраивается: кроме расположенного в ядре клина течения, качественно совпадающего с ньютоновским, вблизи твердых границ клина возникают дополнительные "неньютоновские" решения. Показано, что скорость фиктивного газа в ядре течения постоянна и направлена по оси клина, вблизи твердых границ она меняется так, что на линии сращивания этих решений нормальная скорость фиктивного газа оказывается равной местной скорости звука. В целом построенное решение является "вязкоупругим" аналогом классического решения Прандтля-Майера.

3. Установлена дуальность стационарного однонаправленного течения несжимаемой нелинейно-вязкой жидкости и некоторого течения сжимаемого фиктивного газа в плоскости, перпендикулярной вектору скорости течения. Функциональная зависимость плотности фиктивного газа от скорости при этом совпадает с зависимостью вязкости от скорости сдвига. Найдено точное аналитическое решение задачи Пуазейля и обнаружено, что решение не существует при числах Рейнольдса, превышающих некоторое критическое значение. На основании установленной дуальности несуществование решения интерпретируется как газодинамический эффект «запирания трубы», поскольку в этом случае число Маха фиктивного газа на стенке трубы становится равным единице.

4. Даны точные решения задач Хагена-Пуазейля и Тейлора-Куэтта в рамках полной 8-константной модели Олдройда. Подробно рассмотрены предельные частные случаи релаксационной и ретардационной моделей.

Для течения типа Хагена-Пуазейля в трубе произвольного сечения найдено необходимое условие существования решения, связывающее параметры реологической модели с периметром сечения и площадью сечения трубы. Показано, что в случае трубы круглого сечения решение существует только при радиусе трубы, меньшем критического значения, причем при критическом радиусе трубы число Маха фиктивного газа оказывается равным единице. Установлено, что цилиндрическое течение типа Тейлора-Куэтта тоже существует в ограниченном диапазоне чисел Деборы, а крутящий момент, действующий на цилиндр всегда меньше соответствующего классического значения в ньютоновской жидкости.

5. Дано новое объяснение, не основанное на априорном предположении о проскальзывании, известному явлению («спуртэффекту») резкого увеличения расхода жидкости при скоростях сдвига, больших некоторого критического значения. Правильное понимание этого эффекта важно не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку его наступление является лимитирующим фактором во многих промышленных процессах. Аналитически и численно установлено, что с этим «спурт-эффектом» тесно связано явление гистерезиса. Установлена связь задачи устойчивости данного течения с задачей единственности стационарного решения. Предложена модификация стандартной модели Олдройда и определены соответствующие условия, устраняющие особенности, связанные с несуществованием и неединственностью стационарного решения.

6. В рамках релаксационной модели вязкоупругой жидкости получен общий критерий эллиптичности (гиперболичности) течений. Применение этого критерия к задаче о плоском (пространственном) источнике (стоке) позволило выявить эффект чередования областей эллиптичности (гиперболичности) течения в зависимости от значения параметра а исходной реологической модели. Установлено, что для конвективной модели Максвелла существует одна область эллиптичности и одна область гиперболичности, а для модели Джонсона-Сегалмана в окрестности источника (стока) возникает дополнительная область эллиптичности. Получены асимптотические формулы, описывающие положение областей эллиптичности (гиперболичности) при всех значениях определяющего параметра задачи.

7. Дано точное аналитическое решение задачи о диффузии завихренности в вязкоупругой жидкости Максвелла. Показано, что скорость распространения завихренности в этом случае конечна в отличие от классической ньютоновской жидкости, в которой она бесконечна. В задаче о диффузии вихревой решетки Тейлора найдено условие, при котором качественно изменяется характер решения, а именно на экспоненциальный распад вихрей накладываются колебания с частотой, зависящей от числа Деборы. В рамках двух типов неньютоновской жидкости – вязкоупругой жидкости и жидкости с нелинейной вязкостью проведен асимптотический анализ финальной стадии коллапса сферического пузырька. Теоретически и численно установлено, что в зависимости от значений параметров модели реализуется качественно различное поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и затухание с колебаниями. Получены соответствующие аналитические критерии.

8. Найдена явная формула для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой) в вязкоупругой жидкости. Найденный результат обобщает известную формулу Мешалкина-Синая для несжимаемой ньютоновской жидкости. Установлено, что устойчивость течения Колмогорова возрастает при увеличении времени релаксации и уменьшении времени запаздывания. Из проведенного анализа следует, что в случае малой надкритичности в течении возникает продольная вихревая структура.

Определены характерные размеры вихревой структуры. Дано обобщение полученных результатов для течения Колмогорова на случай широкого класса периодических течений.

9. Выведены модифицированные уравнения микрополярной жидкости, в которых микроинерционные члены получены с учетом необходимых требований на эволюцию аксиального вектора угловых скоростей микровращения. Показано, что при определенной связи параметров реологической модели эти уравнения сводятся к уравнениям Навье-Стокса с ренормированной вязкостью. Проанализирована возможность построения автомодельных решений. На примере точного численного решения задачи Кармана о вращении бесконечного диска показано, что в нелинейных задачах даже при ламинарном течении возможно уменьшение сопротивления по сравнению с классической ньютоновской жидкостью.

10. В рамках уравнений микрополярной жидкости найдены решения, описывающие вихревые течения, аналогичные известным точным решениям Озеена и Бюргерса, полученным в рамках классической ньютоновской жидкости. Показано, что задача Озеена о диффузии прямолинейной вихревой нити в микрополярной жидкости не является автомодельной и не имеет точного решения. В отличие от нее задача о пространственном стационарном вихре Бюргерса в микрополярной жидкости сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для обеих задач определены интегральные инварианты и дано численное решение.

11. Найдено точное выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в микрополярной жидкости.

Установлено, что в общем случае при произвольном изменении параметров модели, поведение критического числа Рейнольдса является немонотонным. В реалистических ситуациях, при малых значениях внутренних длин, величина критического числа Рейнольдса возрастает по сравнению с классической жидкостью Навье-Стокса и становится тем больше, чем больше "степень микрополярности". Дано обобщение результатов на случай широкого класса периодических однонаправленных течений.

Таким образом, сделан крупный вклад в гидродинамику неньютоновской жидкости. Достоверность полученных результатов основана на использовании строгого математического аппарата и хорошо зарекомендовавших себя вычислительных методов. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, обоснованными, исследования выполнены на высоком научном уровне, имеют значительную научную и практическую ценность.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ:

(в научных журналах, рекомендованных ВАК) 1. Брутян М.А. Диффузия вихрей в микрополярной жидкости // Известия НАН РА. Механика. 2010. N4, 16-22.

2. Брутян М.А., Ковалев В.Е. Вихревые течения микрополярной жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2010. XLI. N4, 52-61.

3. Брутян М.А. Вихрь Бюргерса в микрополярной жидкости // Доклады НАН РА. 2010. 110. N1, 35-41.

4. Брутян М.А. Об одном свойстве сохранения для магнитогидродинамических течений вязкой несжимаемой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2008. XXXIX. N1-2, 108-110.

5. Брутян М.А. Диффузия завихренности в вязкоупругой жидкости // Изв.

РАН МЖГ. 1997. N5, 18-23.

6. Андриенко Ю.А., Брутян М.А., Образцов И.Ф., Яновский Ю.Г. Спуртэффект для вязкоупругих жидкостей в 4-константной модели Олдройда // Доклады РАН. 1997. 352. N3, 327-330.

7. Брутян М.А., Куликовский А.Г. Неустойчивость и неединственность квазистационарных течений вязкоупругой жидкости // Изв. РАН МЖГ.

1996. N6, 29-39.

8. Брутян М.А. Однонаправленные течения нелинейно-вязкой жидкости в трубах // ПММ. 1996. 60, 47-52.

9. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Collapse of spherical bubbles in fluids with nonlinear viscosity // Quart. Appl. Math. 1993. LI. N4, 745-749.

10. Брутян M.А., Крапивский П.Л. Обобщение теоремы Бернулли на случай течения вязкой жидкости со сложной реологией // ИФЖ. 1992. 63. N.2, 220-222.

11. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Внутренние свойства некоторых реологических моделей вязкоупругой жидкости // ПММ. 1992. 56, 381385.

12. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Unidirectional flows of viscoelastic fluids and their gasdynamic counterpart // ZAMP. 1992. 43, 745-725.

13. Brutyan М.А., Krapivsky P.L. On the stability of periodic unidirectional flows of micropolar fluid // Lett. Appl. and Eng. Sci. 1992. 30, 401-407.

14. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Схлопывание пузырьков в неньютоновских жидкостях // Мат. моделир. 1992. 4. N3, 53-61.

15. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Устойчивость периодического течения в микрополярной жидкости // ИФЖ. 1991. 60, 670-679.

16. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Исследование устойчивости периодических течений вязкой жидкости // ПММ. 1991. 55, 928-933.

17. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Collapse of spherical bubbles in viscoelastic 1iquids // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1991. 44, 549-557.

18. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Устойчивость течения Колмогорова в вязкоупругой жидкости // Изв. АН СССР МЖГ. 1991. N4, 17-24.

19. Brutyan М.А., Krapivsky P.L. Stability of a periodic unidirectional flow of viscoelastic fluids // J. Rheology. 1991. 35, 467-476.

20. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Об эффекте уменьшения сопротивления в микрополярной жидкости // ИФЖ. 1989. 57, 213-219.

ПРЕДСТАВЛЕНЫ В ИНЫХ НАУЧНЫХ ИЗДАНИЯХ:

21. Brutyan M.A. Collapse of spherical bubbles in liquids with complex rheology // Inter. Conference of ASME. 1995. USA. Chicago, 221-222.

22. Brutyan M.A. Unidirectional flows of simple fluids and their gasdynamic description // Second International Symposium on Advances in Structured and Heterogeneous Continua. 1995. Moscow, 72-73.

23. Brutyan M.A., Kosykh S.R., Krapivsky P.L., Gasdynamic description of nonNewtonian fluid flows in tubes. ASME-publications. 1994. USA, 81-86.

24. Брутян М.A., Крапивский П.Л. Гидродинамика неньютоновских жидкостей - Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Комплекс, и спец.

разделы мех. 1991. 4, 3-98.

25. Брутян М.A., Крапивский П.Л. Течение Тейлора - Куэтта в вязкоупругой жидкости - Тр. IX зимней школы по механике сплошных сред. Кунгур.

1991, 31-32.

26. Brutyan М.А. Analytical investigations of the stability of periodic unidirectional flows - In: Generation of large-scale structures in continuous media. Moscow. 1990, 62-63.

27. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Теоретическое исследование течений неньютоновской жидкости // Труды ЦАГИ. 1990. N 2484, 2-103.

28. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. On the stability of periodic unidirectional flows in micropolar fluid // In: Generation of large-scale structure in continuous media. Moscow. 1990, 64-65.

29. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Аналитическое исследование устойчивости периодических однонаправленных течений - В сб.:

Современные проблемы механики жидкости и газа. Иркутск. 1990, 7374.

30. Брутян М.А. Об уравнениях асимметрической гидромеханики - В сб.:

Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса. Казань. 1989, 11-12.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.