WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Прохоров Дмитрий Владимирович

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ МЕРАМИ

01.01.01 математический анализ А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Хабаровск 2008

Работа выполнена в Вычислительном центре ДВО РАН Научный консультант доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор Степанов Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов Андрей Андреевич Ведущая организация Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 16 октября 2008 г. в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. академика Коптюга,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Автореферат разослан “ ” 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Гутман А.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Построение Л.Д. Кудрявцевым в 50 – 60-х годах XX века теории вложений весовых пространств С.Л. Соболева инициировало исследование весовых неравенств Харди с максимально ослабленными требованиями к весовым функциям. Эти неравенства изучались в работах Г. Таленти, Г. Томаселли, Б. Мукенхоупта, Дж.C. Брэдли, В.М. Кокилашвили, В.Г. Мазьи, А.Л. Розина, А. Куфнера, Э.T. Сойера, Г.П. Хейнига, Г. Синнамона, В.Д. Степанова и других авторов1, 2, а их дискретные аналоги Г. Беннетом и М.Л. Гольдманом. Наилучшим исходом в этом случае является характеризация неравенств в пространствах с мерами. Развитый технический аппарат позволил получить критерии выполнения (в разных формах) весовых неравенств Харди и их обобщений на интегральные операторы с ядром Ойнарова. При этом установился стандарт: форма критерия представляет собой константу, зависящую от весовых функций, конечность которой равносильна выполнению неравенства. Были получены также критерии выполнения неравенств Харди в пространствах с мерами, но сам оператор Харди оставался оператором интегрирования по мере Лебега и, используя такие естественные для пространств Лебега приемы как приближение абсолютно непрерывными функциями, интегрирование по частям, которые не работают в случае априори произвольных мер, полностью задачу характеризации неравенств Харди с мерами решить не удалось. В случае с обобщениями на интегральные операторы с ядром ситуация только усложняется.

В первой главе диссертации решена задача характеризации неравенств типа Харди в пространствах Лебега с произвольными мерами.

Opic B. and Kufner A. Hardy-type inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics Series V. 219, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990. – 129 p.

Kufner A. and Persson L.-E., Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. – 357 p.

Во второй главе аналогичная задача решается для неравенства 1 1 q p r |f|qd C |f|pdµ + |f|rd для всех f C0 (), выражающего непрерывность оператора вложения типа С.Л. Соболева. Мы рассматриваем случай произвольных мер и R. Здесь уже весовой случай, то есть когда мера µ абсолютно непрерывна отdµ носительно меры Лебега и производная Радона–Никодима неограdx ничена, вызывает трудности, связанные с неинвариантностью меры µ относительно сдвигов, поэтому в предыдущих работах В.Г. Мазьи, Э.Т. Сойера, Л.И. Хедберга и других авторов3 рассматривался только случай, когда µ мера Лебега.

Кроме этого в работе характеризуются неравенства с абсолютно непрерывными мерами для операторов дробного интегрирования Римана Лиувилля и его вариантов и оператора геометрического среднего.

Более подробно история каждого вопроса и литература приводится во введении каждой главы.

Цель работы. Получение критериев выполнения неравенств, выражающих непрерывность интегральных операторов и операторов вложения в функциональных пространствах со счетно конечными мерами.

Методика исследования. В работе используются методы общей теории меры, теории линейных операторов в банаховых пространствах и ряда других разделов функционального анализа.

Научная новизна.

1. Получены критерии выполнения неравенств Харди в функциональных пространствах со счетно конечными мерами. Также характеризованы весовые неравенства Харди с отрицательными показателями.

Maz’ya V.G. and Poborchi S.V. Differentiable functions on bad domains.

World Sci. Publ., 1997.

2. Установлены критерии ограниченности интегральных операторов с ядром Ойнарова в пространствах Лебега с произвольными счетно конечными мерами.

3. Показано, что в случае ограниченности интегрального оператора, действующего из пространства функций суммируемых со степенью p (0, 1) относительно непрерывной (неатомической) меры в пространство Лебега со счетно конечной мерой, оператор суть нулевой.

4. Изучены свойства емкости capp,µ(g, G) в одномерном случае.

Показано, что в этом случае емкость игнорирует сингулярную часть меры µ и полностью определяется ее абсолютно непрерывной относительно меры Лебега частью µa. Дано явное выdµa ражение емкости через производную Радона Никодима.

dx 5. Используя результаты 4, доказаны критерии выполнения неравенств типа теорем вложения Соболева.

6. Установлены критерии ограниченности и компактности весового оператора Римана Лиувилля в пространствах Лебега.

Даны приложения этих результатов к разрешимости одного интегрального уравнения Абеля и ограниченности одной билинейной формы в пространствах Соболева.

7. Получены критерии ограниченности операторов Римана Лиувилля и геометрического среднего с переменными пределами интегрирования.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в исследованиях характеристических чисел интегральных операторов, теоpии интегpальных уpавнений и неравенств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельных ее частей докладывались на научных семинарах: по теории функции и функциональному анализу под руководством академика РАН С.М. Никольского (МИ им. В.А. Стеклова РАН), по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка (ИМ им.

С.Л. Соболева СО РАН), по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН В.Д. Степанова (ВЦ ДВО РАН), отделения математики университета г. Лулео (Швеция) под руководством профессора Л.Е. Перссона.

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на российских и международных конференциях, в частности: Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю.Г. Решетняка, Новосибирск 2004; Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященная столетию С.М. Никольского, Москва 2005; The 8th international Spring School on Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications (NAFSA 8), Прага 2006; Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, Владивосток 2006; Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения, Астана 2007; Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования, посвященная 85-летию членакорреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2008.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–17]. Из них работы [8–10] написаны совместно c В.Д. Степановым, [11,12] с Л.-Е. Перссоным. В диссертации использованы результаты непосредственно полученные автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 16 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, и списка литературы. Параграфы, формулы и пункты занумерованы двойным индексом: первая его часть представляет номер главы, вторая порядковый номер соответственно параграфа, формулы, пункта в данной главе. Так, например, (1.3) означает третью формулу в первой главе, а запись теорема 2.5 означает, что речь идет о теореме пункта 2.5. Библиография содержит 97 названия. Объем работы 197 страниц.

Содержание работы Пусть X R и под топологией на X понимаем топологию, индуцированную евклидовой топологией R. Обозначим через B := B(X), -алгебру борелевских подмножеств множества X. Символ M := M(X) обозначает -алгебру подмножеств множества X, содержащую B. Через {M}+ обозначим класс определенных на X, M всех измеримых функций f : X [0, +) {+}. Фраза µ есть мера на X означает, что существует -алгебра M такая, что µ суть счетноаддитивная функция, заданная на M, со значениями в расширенной полупрямой [0, +) {+}, при этом предполагаем, что существует хотя бы одно E M, на котором µ(E) < +. Для выделения той -алгебры, на которой задана мера , будем использовать запись M. Так символ Mmes обозначает -алгебру лебеговских подмножеств множества X, а {Mmes}+ обозначает класс неотрицательных измеримых по Лебегу функций. Также положим M,µ := M Mµ.

На расширенной полупрямой [0, +) {+} введены следующие аксиомы:

0 + (+) = a + (+) = a · (+) = +, при a (0, +) {+};

0 · (+) = 0; (1) (+) = 0- = +, (+)- = 0 = 0, при (0, +).

В первой главе рассматриваются неравенства типа Харди в пространствах с мерами вида 1 q q p v(x) k(x, y)f(y)u(y)d(y) dµ(x) C fpwd [a,b] [a,x] [a,b] для всех f {M}+, (2) где µ, и суть -конечные меры на [a, b], , определены на одной -алгебре M; u, w {M}+, v {Mµ}+, ядро k определено на [a, b]2, неотрицательно, (Mµ, Mµ,)-измеримо и удовлетворяет условию Ойнарова: существует константа D > 0 такая, что D-1(k(x, z) + k(z, y)) k(x, y) D(k(x, z) + k(z, y)) (3) при x z y.

В параграфе § 1.3 устанавливаются критерии для случая k(x, y) (неравенство Харди).

1 1 Теорема 1.15. Пусть 1 < p < +, 0 < q < +, = - ;

r q p µ, и суть -конечные меры на [a, b], , определены на одной -алгебре M; u, w {M}+, v {Mµ}+; (a, s) разложение Лебега меры относительно , то есть = a + s, a , s , da и производная Радона Никодима a относительно .

d Если p q, то неравенство 1 q q p v(x) fu d dµ(x) C fpw d (4) [a,b] [a,x] [a,b] для всех f {M}+ выполнено тогда и только тогда, когда A < +, где 1 q 1-p p da A := sup v dµ up w d.

d t[a,b] [t,b] [a,t] Более того, для наименьшей константы C в неравенстве (4) справедливо C A.

Если q < p, то неравенство (4) выполнено тогда и только тогда, когда B < +, где r r 1-p p r p da B := up w d v dµ v(x)dµ(x).

d [a,b] [a,x] [x,b] Более того, для наименьшей константы C в неравенстве (4) справедливо C B.

Используя данный результат в параграфе § 1.4 характеризуется неравенство (2) для 1 < p, q < +.

1 1 Теорема 1.21. Пусть 1 < p, q < +, = -, µ, и r q p суть -конечные меры на [a, b], , определены на одной -алгебре M; u, w {M}+, v {Mµ}+; (a, s) разложение Лебега меры относительно , то есть = a + s, a , s , da и производная Радона Никодима a относительно ; k опреd делена на [a, b]2, неотрицательна, (Mµ, Mµ,)-измерима и удовле 1-p da творяет условию Ойнарова (3). Положим := up w.

d Если p q, то для существования константы C 0 такой, что выполнено неравенство (2) необходимо и достаточно, чтобы A < +, где A := max{A1, A2}, q p A1 := sup v(x)k(x, t)qdµ(x) d, t[a,b] [t,b] [a,t] 1 q p A2 := sup v dµ k(t, y)p (y) d(y).

t[a,b] [t,b] [a,t] Более того, A C для наименьшей возможной константы C в (2).

Если q < p, то для существования константы C 0 такой, что выполнено неравенство (2) необходимо и достаточно, чтобы B < +, где B := max{B1, B2}, r r q q r B1 := v(x)k(x, t)qdµ(x) d (t) d(t), [a,b] [t,b] [a,t] r p r r p B2 := v dµ k(t, y)p (y) d(y) v(t) dµ(t).

[a,b] [t,b] [a,t] Более того, B C для наименьшей возможной константы C в (2).

Отдельно в параграфе § 1.5 рассматривается случай p (0, 1).

Сначала устанавливается следующее свойство непрерывной меры.

Теорема 1.26. Пусть 0 < p < 1, 0 < q < +; и µ суть конечные меры на [a, b], непрерывная; k определена на [a, b]2, неотрицательна и (Mµ M)-измерима. Обозначим E = x [a, b] k(x, y)d(y) = 0.

[a,b] Для справедливости неравенства 1 q q p k(x, y)f(y) d(y) dµ(x) C fpd [a,b] [a,b] [a,b] для всех f {M}+, необходимо и достачочно, чтобы µ(E) = 0.

Для дискретной меры доказываем следующие критерии.

Теорема 1.27. Пусть 0 < p 1, p q < +; и µ суть -конечные меры на [a, b], дискретная мера и ее носитель счетное множество точек {cn} [a, b]; u {M}+, v {Mµ}+; k определена на [a, b]2, неотрицательна (Mµ M)-измерима и удовлетворяет условию: существует константа > 0 такая, что k(x, y1) k(x, y2) для y1 < y2. Неравенство 1 q q p v(x) k(x, y)f(y)u(y) d(y) dµ(x) C fpd [a,b] [a,x] [a,b] для всех f {M}+ (5) выполнено тогда и только тогда, когда F < +, где q F := sup v(x)k(x, t)q dµ(x) H(t), t[a,b] [t,b] H(x) := sup u(cn)({cn})p, x [a, b].

n: cn[a,x] Более того, для наименьшей константы C в неравенстве (5) справедливо F C F.

1 1 Теорема 1.28. Пусть 0 < q < p 1, = - ; и µ суть r q p конечные меры на [a, b], дискретная мера и ее носитель счетное множество точек {cn} [a, b]; u {M}+, v {Mµ}+, k 1.

Неравенство (5) выполнено тогда и только тогда, когда G < +, где r p r G := v(x) v dµ H(x)r dµ(x).

[a,b] [x,b] Более того, для наименьшей константы C в неравенстве (5) справедливо C G.

Далее представляя меру в виде суммы непрерывной и дискретной меры, получаем критерии выполнения неравенства (2).

1 1 Теорема 1.29. Пусть 0 < p < 1, 0 < q < +, = - ;

r q p µ, и суть -конечные меры на [a, b], , определены на одной -алгебре M, = c + d, где c непрерывная, а d дискретная составляющие ; u, w {M}+, v {Mµ}+; (a, s) разложение Лебега меры относительно , то есть = a + s, a , s , da и производная Радона Никодима a относительно ; k d определена на [a, b]2, неотрицательна, (Mµ M)-измерима и удовлетворяет условию: существуют константы 1 > 0, 2 > 0 такие, что k(x, y1) 1k(x, y2) для y1 < y2, k(x1, y) 2k(x2, y) для x1 < x2. Положим - da p (x) := u(x) w(x) (x), x [a, b], d E = {x [a, b] | v(x) k(x, y)(y) dc(y) = 0} и [a,x] H(x) := sup (t)d({t})p, x [a, b].

t[a,x],d({t}) =Если p q, то для выполнения неравенства (2) необходимо и достаточно, чтобы µ(E) = 0 и F < +, где q F := sup v(t)k(t, x)qdµ(t) H(x).

x[a,b] [x,b] Если q < p и k 1, то для выполнения неравенства (2) необходимо и достаточно, чтобы µ(E) = 0 и F < +, где r r p F := v(x) v dµ H(x)r dµ(x).

[a,b] [x,b] Более того, при p q наименьшая константа C в неравенстве (2) удовлетворяет оценке 1F C F, а при q < p выполнено C F.

В параграфе § 1.6 доказываются критерии выполнения неравенства p q b b x q f(x)pdx C v(x) f(y)u(y)dy dx (6) a a a для всех f {Mmes}+, для отрицательных степеней суммирования p, q, а также для степеней между 0 и 1 и устанавливается двойственность между этими случаями.

Теорема 1.30. Пусть - < q p < 0, u, v {Mmes}+. Для выполнения неравенства (6) необходимо и достаточно, чтобы A < +, где - 1 - t t q p A := sup A(t) := sup u(y) dy v(x)p dx.

a

1 1 Теорема 1.31. Пусть - < p < q < 0, := -, u, v r q p {Mmes}+. Тогда для выполнения неравенства (6) необходимо и достаточно, чтобы B < +, где - r p r r b x x p B := u(y) dy v(s)p ds u(x) dx.

a a a Более того, B C для наименьшей возможной константы C в (6).

1 1 Следствие 1.37. Пусть p, q (0, 1), := -, u, v {Mmes}+.

r q p Тогда для справедливости неравенства (6) необходимо и достаточ b но, чтобы v > 0 почти всюду на (a, b), u(y) dy > 0 для всех t t (a, b) и D < +, где - 1 - b b p q sup u(y) dy, p q, t(a, b) t v(x)p dx t D := - - r r - r b b b q q v(x)p dx u(y) dy v(t)p dt, p < q.

a t t Более того, D C для наименьшей возможной константы C в (6).

Пусть R произвольное открытое подмножество действительной оси, , µ и суть локально конечные меры на , мера µ определена на Mmes(). Во второй главе рассматривается неравенство 1 1 q p r |f|qd C |f|pdµ + |f|rd (7) для всех f C0 (), где 0 < p, r, q < + и f произвольная бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем в , а положительная константа C не зависит от f. Данное неравенство при µ = mes изучалось (причем в многомерном случае) в работах В.Г. Мазьи4, В.Г. Мазьи Мазья В.Г. – О некоторых интегральных неравенствах для функций многих переменных – Проблемы матем. анализа Л., Т. 3, 1972. С. 33–и О.Г. Парфенова5. Стандартный подход в этом случае использует понятие емкости: пусть g, G открытые подмножества множества такие, что замыкание g компактно в G (в этом случае пишем g G);

F (g, G):= f C0() | 0 f 1 в , f 1 в g, f 0 в \ G ;

емкостью называется число capp,µ(g, G) := inf |f|pdµ f F (g, G).

В параграфе § 2.2 выявлены особенности емкости в одномерном случае и получены два важных результата:

Следствие 2.4. Пусть p > 0, g, G открытые множества и g компактно в G; (µa, µs) суть разложение Лебега меры µ относительно меры Лебега, то есть µ = µa + µs, µa mes, µs mes.

Тогда capp,µ(g, G) = capp,µa(g, G).

Теорема 2.5. Пусть 0 < p < +, g := (a, b), G := (A, B) пара интервалов из такая, что g G. (µa, µs) суть разложение Лебега меры µ относительно меры Лебега, то есть µ = µa + µs, µa mes, µs mes, dµa и v := производная Радона – Никодима меры µa по мере Лебега.

dx Тогда capp,µ(g, G) = p,µ(g, G), где p,µ(g, G) = 0, 0 < p < 1.

Maz’ya V.G. and Parfenov O.G. Two-weight criteria of boundedness for Sobolev embedding operator in one-dimensional case. Linkping University, 19 1-p 1-p a B 1 p,µ(g, G) := v(x)1-p dx + v(x)1-p dx, 1 < p < +, A b -1 - (A,a) (b,B) 1,µ(g, G) :=.

+ v v Следствие 2.4 говорит, что емкость игнорирует взаимносингулярную с мерой Лебега часть меры, а теорема дает явное выражение емdµa кости через функцию. На основании этих результатов получены dx следующие критерии выполнения неравенства (7).

Теорема 2.9. Пусть q (0, +) и p, r (0, q]. Тогда неравенство (7) выполнено, если и только если A := sup tq (t)-1 < +, t>где p (t) := inf capp,µ(g, G) + (G)r g G, (g)t и инфимум берется по всем открытым множествам g, G из та ким, что g G и (g) t. Более того, A C A для наименьшей возможной константы C из (7).

1 1 Теорема 2.10. Пусть 0 < q < p < +, p = r 1 и = -.

s q p Тогда неравенство (7) выполнено, если и только если s () s D := tp (t)-1 dt < +, Более того, C D для наименьшей возможной константы C из (7).

Теорема 2.11. Пусть 1 p q < + и 0 < r q. Тогда неравенство (7) выполнено, если и только если -1 q p A := sup (g) p,µ(g, G) + (G)r < +, g G где супремум берется по всем конечным интервалам g и G, удовле творяющим g G , а величина p,µ(g, G) определена в теореме 2.5. Более того, A C A.

Результат теоремы 2.5 также применен для характеризации следующего мультипликативного неравенства 1 1- q p r |f|qd C |f|pdµ |f|rd (8) для всех f C0().

Теорема 2.12. Пусть p 1, [0, 1] и r, q (0, +).

(a) Если выполнено неравенство (8), то 1 -p r A2 := sup (g)q p,µ(g, G)- (G) < + (9) g G для всех открытых конечных интервалов g и G, при этом A2 C.

1 1- (b) Если + и выполнено (9), то имеет место (8) с q r p константой C A2.

В главе 3 рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий Lp - Lq ограниченности и компактности интегральных операторов (Rf)(x) := v(x)[I(fu)](x), где u и v неотрицательные измеримые по Лебегу функции, а I, > дробный интеграл Римана – Лиувилля x (If)(x) := (x - y)-1f(y) dy, x > 0.

() Параграф § 3.1 содержит обзор известных результатов. В параграфе § 3.2 получены критерии ограниченности, а в § 3.3 критерии компактности оператора R в предположении монотонности одной из весовых функций.

Для 0 < s < t < +, 0 < < 1 положим p p - t t t q u(y)p dy v(x)qdx v(x)qdx A(s, t) :=, (y - s)1- (x - y)1- (x - s)1- s y s 1 1 1 где + = 1, + = 1. Кроме того, обозначим через P(a, b) оператор p p q q сужения (P(a, b)f)(x) := f(x)(a, b)(x), 0 a < b < + и будем использовать сокращение T |(a, b) := P(a, b)T P(a, b) для любого оператора T. Пусть, также, 1 p + a q v(x)qdx Da := u(y)p dy, a > 0.

x(1-)q 2a Теорема 3.11. Пусть 0 a < b +, 1 < p q < +, q (1-)p 1 - < 1, 1 - :=, а функция u(y) положительна и не p q убывает на (a, b). Тогда для ограниченности оператора R|(a, b) из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы b v(x)qdx < + для почти всех y (a, b) (x - y)1- y и Aa,b := ess sup A(s, b) < +.

a

q Теорема 3.14. Пусть 1 < p q < +, 1 - < 1, 1 - := p (1-)p, а функция u(y) положительна и не убывает на R+. Для q компактности оператора R из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы A0, + < +, + v(x)qdx < + для почти всех s (0, +) (x - s)1- s и lim Aa, + = lim Da = 0, lim sup Ad, d+h = 0.

a+ a+ h+d(0, +) Пусть 0 < < 1. Положим q q - p t x t v(x)qdx u(y)p dy u(y)p dy A(s, t) :=.

(t - x)1- (x - y)1- (t - y)1- s s s Теорема 3.12. Пусть 0 a < b +, 1 < p q < +, p (1-)q 1 - < 1, 1 - :=, а функция v(x) положительна и не q p возрастает на (a, b). Тогда для ограниченности оператора R|(a, b) из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы t u(y)p dy < + для почти всех t (a, b) (t - y)1- a и Aa,b := ess sup A(a, t) < +.

a

p Теорема 3.16. Пусть 1 < p q < +, 1 - < 1, 1 - := q (1-)q, а функция v(x) положительна и не возрастает на R+. Для p компактности оператора R из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы A0, + < +, t u(y)p dy < + для почти всех t (0, +) (t - y)1- и lim Aa, + = lim Da = 0, lim sup Ad, d+h = 0.

a+ a+ h+d(0, +) В параграфе § 3.4 получены некоторые приложения.

1. Доказан критерий разрешимости в малом уравнения x F (x) = (x - y)-1F (y)pdy + W (x), x (0, a). (10) () 1 Теорема 3.19. Пусть (0, 1], 1 < p < +, + = 1, a p p (0, +), C(p) = p-p(p)p(1-p) и W измеримая, неотрицательная на (0, a) функция. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(i) Существует > 0 и измеримая, неотрицательная, конечная почти всюду на (0, a) функция F такие, что для почти всех x (0, a) выполнено (10).

(ii) Существует константа C1 > 0 такая, что для всех f выполнено p p a a a p f(s) ds W (x)p dx C1 f(x)p dx.

(s - x)1- 0 x (iii) Существует константа C2 > 0 такая, что для почти всех y (0, a) выполнено 1 p p p y x y dx W (s)p ds W (x)p dx C2 < +.

(y - x)1- (x - s)1- (y - x)1- 0 0 2. Определим пространства потенциалов Римана – Лиувилля Hp := {F : F = If, f Lp}, с нормой F H := f p. (11) p Пусть Lq(v) – весовое пространство Лебега с нормой g Lq := (v) gv q. Из теорем 3.11 и 3.14 вытекает следующий критерий ограниченности и компактности оператора вложения id: Hp Lq(v), (12) q Теорема 3.20. Пусть 1 < p q < +, 1 - < 1, 1 p (1-)p =. Тогда для ограниченности оператора вложения (12) q + v(x)qdx необходимо и достаточно, чтобы < + для почти s (x-s)1- всех s (0, +) и A0, + < +, при этом id H A0, +.

Lq(v) p Для компактности оператора (12) необходимо и достаточно еще добавить условия lim Aa, + = lim Da = lim sup Ad,d+h = 0.

a+ a+ h+d(0,+) 3. Обозначим Hp := {F Hp : F = If, supp f компакт в [0, +)}.

Теорема 3.21. Пусть n N, 1 < p q < +; V (x) комплекснозначная локально суммируемая на [0, +) функция. Предположим, что существуют пределы b Vk(x) := lim (y - x)n+k-1V (y)dy, k = 0, 1,..., n - b+ x при любом x > 0. Тогда неравенство b C F Hp G Hn, n lim V (x)F (x)G(x)dx q b+ n n для всех F Hp, G Hq, выполняется тогда и только тогда, когда A := A + A < +, где A := A0 + A1 + · · · + An-1, A := A + A + · · · + A, 0 1 n- + q p Ak := sup tk+ |Vn-k-1(x)|qdx, k = 0, 1,..., n - 1, t>t p + A := sup tk+ q |Vn-k-1(x)|p dx, k = 0, 1,..., n - 1.

k t>t Более того, C A.

В параграфе § 3.5 рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий Lp - Lq ограниченности операторов Римана Лиувилля с переменными пределами интегрирования (x) f(y)u(y) dy (Ta, bf)(x) := v(x)(a, b)(x), (13) (x - y)1- (x) где > 0, u, v неотрицательные измеримые весовые функции, а граничные функции , предполагаются абсолютно непрерывными строго возрастающими на [a, b] и удовлетворяющими условию 0 (x) < (x) x, x (a, b). Получены следующие результаты.

Теорема 3.25. Пусть 0 a < b +, 1 < p q < +, 1 q/p < 1; и абсолютно непрерывные строго возрастающие на [a, b] функции, удовлетворяющие условиям (a) = (a), (b) = (b), 0 (t) < (t) t, t (a, b) и на каждом отрезке [c, d] (a, b) (c) + x -1(x) - x 2(-1(y) - y), (c) y x (d);

функция v(x) неотрицательна и измерима на (a, b), а u(y) положительна конечна и не убывает на ((a), (b)). Тогда для ограниченности оператора Ta, b из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы для любого t (a, b) t v(x)qdx < + для почти всех s ((t), (t)) (x - s)1- -1(s) и ATa, b < +, где ATa, b := sup [AR-1((t)), t + AWt, -1((t))].

a

функция u(y) неотрицательна и измерима на ((a), (b)), а v(x) положительна конечна и не возрастает на (a, b). Тогда для ограниченности оператора Ta, b из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы для любого t (a, b) (s) u(y)p dy < + для почти всех s (-1((t)), t) (s - y)1- (t) и Ta, b < +, где Ta, b := sup [R-1((t)), t + AWt, -1((t))].

a

Тогда для ограниченности оператора (x) f(y)dy (Hf)(x) := v(x)(a, b)(x) |x - y|1- (x) из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы для любого t (a, b) t v(x)qdx < + для почти всех s ((t), t) (x - s)1- s и s v(y)qdy < + для почти всех s (-1(t), t), (s - y)1- -1(t) и, кроме того, sup [AR(t), t + AWt, -1(t)] + sup [R t + AWt, (t)] < +.

-1(t), a

и непрерывны и строго возрастают на (0, +), (x) < (x) для всех x (0, +), (16) (0) = (0) = 0, (+) = (+) = +.

Для характеризации неравенства (14) предварительно доказывается критерий для соответствующего оператору (15) оператора Харди с переменными пределами интегрирования (x) (H f)(x) := f(t) dt, x > 0. (17) (x) - (x) (x) Теорема 4.4. Пусть 1 < p q < +, w неотрицательная измеримая по Лебегу функция на (0, +); функции , удовлетвоp ряют условиям (16). Тогда wH L Lq A, где q -1((s)) p A := sup w(x)qdx ((s) - (s))- (18) s>-1((s)) (t)+(t) с (t) =.

Теорема 4.5. Пусть 0 < p q < +; u, v неотрицательные измеримые по Лебегу функции на (0, +); функции , удовлетворяют условиям (16). Тогда для выполнения неравенства (14) необходимо и достаточно, чтобы A < +, где A определено соотношением (18) с w := vGu. Более того, для наименьшей возможной константы C в (14) выполнено C A.

Работы автора по теме диссертации 1. Прохоров Д.В., Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов // Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 98/33, 1998. 20 с.

2. Прохоров Д.В., Об операторах Римана Лиувилля с переменными пределами // Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2000/44, 2000. 28 с.

3. Прохоров Д.В., Об операторах Римана-Лиувилля с переменными пределами // Сибирский матем. журнал, Т. 42, № 1, 2001. С. 156–175.

4. Прохоров Д.В., Весовые оценки операторов Римана Лиувилля с переменными пределами // Сибирский матем. журнал, Т. 44, № 6, 2003. С. 1049–1060.

5. Прохоров Д.В., Неравенство Харди с тремя мерам // Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2005/94, 2005. 13 с.

6. Прохоров Д.В., Неравенства Харди с тремя мерами // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 255, 2006.

С. 233–245.

7. Прохоров Д.В., Неравенства Харди с мерами, случай 0 < p < // Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2007/112, 2007. 12 с.

8. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., Об операторах Римана Лиувилля // Доклады АН, Т. 382, № 4, 2002. С. 452–455.

9. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., О неравенствах с мерами типа теорем вложения Соболева на открытых множествах действительной оси // Сибирский матем. журнал, Т. 43, № 4, 2002.

С. 864–878.

10. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., Весовые оценки операторов Римана Лиувилля и приложения // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 243, 2003. С. 289–312.

11. Persson L.-E. and Prokhorov D.V., Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits // Lule University of Technology, Department of Mathematics, Research Report 9, 2003. 11 p.

12. Persson L.-E. and Prokhorov D.V., Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits // Archives of Inequalities and Applications, V. 2, 2004. P. 465–473.

13. Prokhorov D.V., On the boundedness and compactness of a class of integral operators with variable upper limit // Khabarovsk:

Computing Centre FEB RAS, Research Report № 99/40, 1999.

18 p.

14. Prokhorov D.V., On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc., V. 61, 2000. P. 617– 628.

15. Prokhorov D.V., Weighted Hardy’s inequalities for negative indices // Lule University of Technology, Department of Mathematics, Research Report 10, 2003. 19 p.

16. Prokhorov D.V., Weighted Hardy’s inequalities for negative indices // Publicacions Matematiques, V. 48, 2004. P. 423–443.

17. Prokhorov D.V., Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures // Analysis Mathematica, V. 33, 2007.

P. 199–225.

Прохоров Дмитрий Владимирович Точные оценки операторов в пространствах Лебега с произвольными мерами Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Подписано к печати.. Формат 6084 1/Усл. п.л. Уч-изд. 0.9. Тираж 100 экз.

Отпечатано Вычислительным центром ДВО РАН






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.