WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 

На правах рукописи

Ершов Эмиль Борисович

СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ

ИНДЕКСОВ ЦЕН И КОЛИЧЕСТВ

Специальность 08.0013 – Математические
и инструментальные методы экономики
(экономические науки)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора экономических наук

(представляемой в виде монографии)

Москва – 2011

Работа выполнена в Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ)

Официальные оппоненты:        Варшавский Александр Евгеньевич

       доктор экономических наук, профессор

       Данилов-Данильян Виктор Иванович

       член-корреспондент РАН,

       доктор экономических наук, профессор

       Суворов Анатолий Владимирович

       доктор экономических наук, профессор

Ведущая организация:        Учреждение Российской академии наук

       Вычислительный центр РАН

Защита диссертации, представляемой в виде монографии, состоится 10 октября 2011 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002. 013. 01 при Учреждении Российской академии наук Центральном экономико-математическом институте РАН по адресу: 117418, Москва, Нахимовский проспект, д. 47, аудитория 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН по адресу: 117418, Москва, Нахимовский проспект, д. 47.

Автореферат разослан «____» _______________ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат экономических наук        А.И. Ставчиков

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы исследования. Анализ данных, которыми оперирует практическая статистика, и целей, с которыми по таким данным рассчитываются индексы цен и количеств для операций, производимых на множестве товаров и услуг, позволяет выделить две концепции индексов:

статическую, имеющую целью сравнение уровней цен в двух сравниваемых периодах, как правило, коротких, для которых цены продуктов допустимо считать постоянными или рассматривать средние для периода цены как корректно определяемые наблюдениями за ценами в малое число моментов времени. Последние определяются заданным регламентом проведения статистических работ. Рассчитываемые так средние цены продуктов не зависят от динамик количеств продуктов в каждом из периодов;

динамическую, ставящую и решающую задачу пересчета потока стоимости для периода из текущих цен в цены другого периода, то есть расчета индексов цен-дефляторов для сравниваемых периодов, в каждом из которых цены не признаются постоянными, изменяются закономерным, подлежащим выявлению образом. Периоды в этой концепции принято представлять в виде последовательностей более коротких периодов со своими динамиками цен, для которых средняя цена продукта корректно рассчитана по имеющимся данным. Их можно считать «однородными», но для них средняя цена продукта зависит от ненаблюдаемой явно динамики количества. Индекс цен-дефлятор стоимости совокупности продуктов для неоднородных периодов должен быть определен с учетом доступных данных и может не совпадать с индексом, определяемым в статической концепции.

Необходимость различать теоретические конструкции и методы расчета статических и динамических индексов цен очевидна в связи с дифференциацией темпов изменения цен товаров и услуг в условиях существенной инфляции, влиянием на цены, внешних по отношению к экономической системе факторов. В таких условиях ужесточаются требования к регламенту проведения статистических наблюдений, но выполнение таких требований затрудняется. Действующая практика расчета индексов и используемая ею теория индексов тяготеют к использованию положений статической концепции и недостаточно приспособлены к современным особенностям изучаемого объекта. Классическая теория не содержит обосновываемые рекомендации в отношении формул для индексов цен-дефляторов стоимости в динамических ситуациях, с использованием которых анализируются, моделируются и прогнозируются макроэкономические, межотраслевые и отраслевые процессы в экономике.

Потребность в разработке более общей версии теории индексов, позволяющей согласовать исходные положения концепций и выявлять сферы их применения, развивать и адаптировать методы расчета индексов к условиям функционирования экономики, определяет актуальность исследования.

Степень разработанности проблемы. Переход от использования индексов как инструмента исследований к их рассмотрению в качестве объекта теории, начатый в работах И. Фишера, привел к созданию классической теории индексов. В ней сформировались и развивались конкурирующие направления: статистическое (представлено в основополагающих работах Боули, Уолша, Фишера, Борткевича, Фриша), экономическое (Конюс, Бюшгенс, Хаберлер, Фриш) и траекторное (Дивизиа, Торнквист, Монтгомери). Исходные идеи этих направлений развиты Алленом, Айхорном, Балком, Вартиа, Дивертом, Лау, Малмквистом, Поллаком, Рихтером, Самуэльсоном и Свами, Сато, Старовским, Стювелом, Тейлом, Халтеном.

Каждое направление столкнулось с непреодолимой для него трудностью, не позволяющей выбрать тип практически применяемых индексных формул, имеющих с позиций этого направления теоретическое обоснование, и указать сферу их применения. Не удалось обосновать выбор индексных формул с помощью задания аксиом-тестов, агрегаторной функции (производственной функции или функции полезности) и семейства траекторий, соединяющих сравниваемые состояния. Результатом явилось соглашение использовать эвристически введенные индексы для корзины товаров, индексы Ласпейреса, Пааше и Фишера, Торнквиста и Монтгомери.

Трудности направлений и противоречия между ними проявляются в том, что: в них используются различные понимания связей цен и количеств; с несогласованных позиций изучаются макроэкономические и микроэкономические объекты и процессы, что приводит к несовпадению целей исследований; не различается экзогенность и эндогенность используемых показателей; оказываются несовместными кажущиеся естественными аксиомы; регулярно используется гипотеза постоянства цен в течение периода при различии цен для сравниваемых периодов, которая представляется не соответствующей протекающим в экономике процессам; выявлена практическая невозможность статистического наблюдения постоянно изменяющихся количественных показателей, приводящая к вынужденному использованию их «суммарных» для периодов значений и «моментных» цен; игнорируется несовпадение используемых теорией понятий и их статистических аналогов (показателей)..

С конца прошлого века в классической теории индексов наметился застой, поиски выхода из которого не увенчались успехом. Не были получены новые результаты принципиального характера. Направления развития теории, включая идеи сближения направлений, не были определены. Сферы и условия применения индексов Ласпейреса, Пааше, Фишера, Торнквиста и Монтгомери не были охарактеризованы теоретически и сформировались, исходя из соображений простоты и удобства использования.

Исследования, предпринимавшиеся Африатом, Балком, Икле, Дивертом, Ван Изерном, Маланем, Пурсиайненом, Рихтером, Триплетом, Хансеном, Адамовым, Ванинским, Ершовым, Зоркальцевым, Клейнером, Кёвешем, Липовецким, Шананиным, имевшими целью преодоление разрывав и противоречий в классической теории индексов, свидетельствуют о необходимости выяснения того, что объединяет направления и концепции теории, какие стороны изучаемых объектов приводят к реализуемому в ней разнообразию постановок, формулировок и методов решения задач построения индексов по статистическим данным. Этим подтверждается актуальность создания общей по сравнению с классической, непротиворечивой и открытой к развитию теории индексов, логические основы и практические аспекты которой должны быть обоснованы и экспериментально проверены.

Цели и задачи исследования: выявление пробелов в конкурирующих направлениях классической теории индексов, противоречий и разрывов между ними и характером социально-экономических процессов, создание основ теории индексов, синтезирующей положения статической и динамической концепций, трансформирующей выявленные трудности в требующие решения задачи и их решение с позиций предложенной теории.

Объектом исследования является совокупность исходных положений теории индексов цен и количеств, её научных результатов, рекомендаций и их практических интерпретаций. Используется практика применения индексов, отраженная с необходимой полнотой в руководствах международных и национальных статистических организаций и в публикациях.

Предмет исследования – обоснованность и непротиворечивость конструкций индексов и порождаемых ими формул, рекомендуемых для использования в теоретических исследованиях и в практическом анализе социально-экономических процессов. Их соответствие характеристикам типовых ситуаций, возможность определения индексов, удовлетворяющих «бесспорным» требованиям и так называемым ситуационным аксиомам.

Научный аппарат исследования. Теоретической основой работы являются: классическая теория индексов цен и количеств; исходные предположения, содержавшиеся в публикациях специалистов, предпринимавших попытки преодолеть её противоречия и недостатки; системный подход, позволивший выявить многообразие проявлений изучаемого объекта; методы социально-экономической статистики; методы нахождения решений функциональных уравнений, выражающих требования к классам функций многих переменных; методы нахождения решений дифференциальных уравнений, содержащих определяемые параметры и удовлетворяющих граничным условиям; теория пространств аффинной связности; монографический метод, проявляющийся в детализированном изучении объекта и его отражения в совокупности выполненных исследований по теории индексов.

Информационную базу исследования составляют данные о ценах и количествах товаров, заимствованные из публикаций, получивших признание в мировой экономической и статистической науке, и из «Руководства по индексу потребительских цен: теория и практика», подготовленному Международной организацией труда, Международным Валютным фондом, Организацией экономического сотрудничества и развития, Статистическим бюро Европейских сообществ, Организацией Объединенных Наций, Международным банком реконструкции и развития и Всемирным банком.

Научная новизна исследования.

1. Разработаны и теоретически обоснованы положения ситуационной теории индексов цен и количеств, в которой преодолеваются выявленные противоречия классической теории индексов и ее направлений.

2. Предложена система понятий, объединяющая статическую и динамическую концепции теории индексов, позволяющая получать адаптируемые к типовым ситуациям индексы.

3. Для основных индексов статической концепции классической теории (индексов цен для первичной группы товаров, для корзины товаров и для индексов Ласпейреса–Пааше) получены определения, включающие аксиомы, отражающие свойства соответствующих типовых ситуаций.

4. Найдены траектории цен и количеств для скользящих периодов, на которых конструкция динамических индексов, предложенная Дивизиа, порождает индексы Фишера, Монтгомери–Вартиа и Торнквиста.

5. Сформулирована и решена общематематическая задача нахождения медиального факторного разложения конечного приращения гладкой и монотонной функции многих переменных. Сформулированы и доказаны свойства медиального разложения.

6. Дано определение однородности процесса перехода от базового к конечному состоянию, когда цены в сравниваемых однородных периодах не остаются постоянными. Для такой ситуации получено аксиоматическое определение индексов Монтгомери–Вартиа, представляющих собой решение задачи нахождения медиального разложения для функции ln(ipiqi). Доказано, что в силу свойств медиальных разложений эти индексы порождаются конкурирующими конструкциями индексов Дивизиа и Монтгомери.

7. Для ситуации, когда рассматриваются агрегированные, неоднородные периоды, образованные последовательностями однородных периодов с меньшими продолжительностями, обосновано использование введенных структурно-динамических индексов цен и количеств.

8. Индексы Дивизиа–Монтгомери (для однородного перехода из базового в конечное состояние) и структурно-динамические индексы Дивизиа–Монтгомери (для неоднородных периодов) обоснованы аксиоматически.

9. Предложено однопараметрическое семейство динамических индексов цен Дивизиа и имплицитных им индексов количеств, названных обобщенными индексами Дивизиа–Торнквиста. Индексы зависят от скалярного параметра, характеризующего динамичность перехода от базового состояния к конечному, но не предполагают задание траекторий цен и количеств. Значение любого индекса цен интерпретируется как значение обобщенного индекса Дивизиа–Торнквиста как эталонного динамического индекса.

Практическая значимость исследования. Теоретически обосновано

использование формул и конструкций индексов в зависимости от характеристик ситуации, для которой они рассчитываются и применяются.

Для ситуации, когда необходимо определить индексы цен для первичных групп товаров и услуг, обосновано применения индекса цен Джевонса и его интерпретация в качестве агрегатного индекса цен.

Для наиболее часто встречающейся при расчетах индексов ситуации двух предполагаемых однородными периодов, в которых цены не остаются постоянными, предполагаются изменяющимися закономерно и представляются в виде функций от средних (для периодов) цен и суммарных количеств товаров, обосновано использование в качестве цен для периода логарифмических средних из цен, получаемых из выборочных значений моментных цен на границах сравниваемых периодов, и динамических индексов Дивизиа–Монтгомери – в качестве искомых индексов. Предлагаемый метод расчета средней цены для периода не противоречит применяемому в статистической практике «интуитивному» методу и корректирует его в ситуации быстрого роста статистически наблюдаемых моментных цен. Получаемые для сравниваемых периодов индексы Дивизиа–Монтгомери удовлетворяют аксиоме-тесту обратимости во времени и являются согласованными относительно агрегирования. Это их характерное свойство обеспечивает совпадение индексов, рассчитываемых различными способами для вариантов выделения групп продуктов. Свойством согласованности относительно агрегирования, выполнения которого требует практика и теория исчисления индексов, определяемых на иерархической классификации групп продуктов, не обладают основные индексы, рекомендуемые для практического использования международными организациями, в том числе индексы Фишера и Торнквиста.

Доказано, что наиболее часто используемый моментный индекс для корзин товаров и услуг (индекс цен Лоу и его частный случай – линейный индекс цен Ласпейреса–Пааше) разлагается в сумму слагаемых, соответствующих вкладам в этот индекс аддитивных элементов цены (например, оптовой цены, торгово-посреднических и транспортных наценок, налогов). Предположение о том, что искомый индекс однороден по ценам, удовлетворяет аксиоме обратимости по состояниям и в факторном разложении индекса цен используется только класс функций, определяющих искомый индекс цен, однозначно определяет конструкцию «корзинного индекса цен». Использование линейного индекса цен Ласпейреса–Пааше в качестве эталонного индекса позволяет анализировать факторное разложение практически любых индексов цен IP по элементам цены.

Рекомендации по использованию научных выводов: при выборе формул применяемых индексов цен и количеств целесообразно и необходимо исходить из характерных, определяющих рассматриваемую ситуацию свойств, характеризующих изучаемый объект, использовать совокупность данных о нем, сведений о способе их получения, о цели, для достижения которой предполагается применять индексы, то есть использовать положения и результаты ситуационной теории индексов;

при динамичных изменениях цен и количеств продуктов игнорирование непостоянства и характерных изменений цен в сравниваемых периодах может приводить и, как правило, приводит к отклонениям значений статических индексов от значений динамических индексов, в которых учитываются динамика цен или неоднородность рассматриваемых периодов;

для сравниваемых однородных периодов с непостоянными ценами рекомендуется средние цены продуктов определять и вычислять по реально доступным статистическим данным о ценах и количествах товаров и услуг как логарифмические средние моментных цен на границах таких периодов;

для динамических ситуаций с двумя сравниваемыми состояниями, состоящими из последовательностей относительно однородных периодов с меньшими продолжительностями, для которых количества и средние цены статистически измеряются, теоретически обосновано и рекомендуется использование структурно-динамических индексов Дивизиа–Монтгомери.

Апробация результатов исследования. Научные и имеющие практическое значение результаты работы, отражены в публикациях диссертанта, заслушивались и обсуждались на семинаре «Количественный анализ в экономике» ГУ ВШЭ (3 октября 2001 г.), на научном семинаре ВЦ АН СССР (27 апреля 2005 г.; руководитель семинара академик Петров А.А.), научном семинаре «Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов» ЦЭМИ СССР (руководитель – д.ф.-м.н. Айвазян С.А.) и на его Международной юбилейной сессии (24 июня 2009 г.), на научной конференции «Стратегия выбора, выбор стратегии» (МГУ, 4 ноября 2003 г.), заседании Секции экономических наук РАН (под председательством академика-секретаря секции Львова Д.С., 19 января 2007 г.), научном семинаре кафедры математической экономики и эконометрики ГУ ВШЭ (27 мая 2010 г.), на Научной конференции «Фундаментальные исследования ГУ ВШЭ в 2009 г. (29 марта 2010 г.), на Российском Экономическом Конгрессе РЭК-2009), на IX-й Международной научной конференции «Применение многомерных статистических методов в экономике и оценке качества» (ГУ ВШЭ, ЦЭМИ РАН, Московская школа экономики, 24 августа 2010 г.), на Франко-российской научно-практической конференции «Экономика, политика, общество: новые вызовы, новые возможности» (ГУ ВШЭ, 29 октября 2010 г.).

Структура и объем монографии. Монография содержит 420 страниц, включает 37 таблиц, 14 рисунков, состоит из введения, 3 разделов, включающих каждый 4 главы, заключения, 9 приложений и библиографического списка источников, включающего данные о 265 работах. Монография содержит результаты исследования, выполненного лично диссертантом. По теме диссертации автором опубликованы монография и 18 работ, в том числе 11 статей в ведущих научных журналах.

II. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Теория индексов цен и количеств создавалась как реакция на разнообразие рекомендуемых для применения индексных формул. К началу XX в. число формул для индексов цен составляло несколько десятков. Они вводились в ходе расчетов, рассматривались как инструмент, а не как объект анализа. Обзор индексов, использовавшихся до возникновения теории, содержится в монографиях [Фишер, 1928], [Казинец, 1963], [Аллен, 1980], [Ковалевский, 1989], [Кёвеш, 1990], [Зоркальцев, 1996].

Первые попытки изучения индексов с теоретических позиций сделали Edgeworth, разрабатывавший вероятностную концепцию индексов, Westergaard, Walsh и Fisher, предлагавшие аксиомы, которым должны удовлетворять индексы. Базовой работой, положившей начало теории, стала монография Ирвинга Фишера [Fisher, 1922], оформившая статистическое направление теории и привлекшая внимание исследователей к проблеме обоснования индексных формул. В результате, в период с 1924 по 1929 г. были опубликованы работы А.А. Конюса, С.С. Бюшгенса и Хаберлера, в которых формулировались исходные позиции экономического направления теории индексов, Дивизиа и Монтгомери, предложивших принципиально новые, траекторные методы конструирования индексов. Направления развивались параллельно. Сторонники направлений критиковали друг друга, что обнажило слабые стороны версий теории, но не привело к пониманию причин появления конкурирующих и даже конфликтующих направлений.

1. Состояние классической теории индексов цен и количеств и ее проблемы

В Разделе I целью анализа является выявление принципиальных различий исходных позиций и целей, характеризующих названные направления теории индексов, трудностей и проблем, с которыми они столкнулись в своем развитии и при практическом применении полученных в этих направлениях важнейших результатов, а также подготовка условий для выделения ситуаций, для которых эта теория должна быть конкретизирована. Изучение публикаций показало, что в них отсутствует объективный анализ состояния теории, достигнутого к началу 21 века. В литературе нет работ, содержащих общий, могущий претендовать на полноту обзор идей и результатов этих направлений. Посвященные индексам монографии отечественных авторов ([Адамов, 1977], [Бакланов, 1972], [Казинец, 1963], [Костюхин, 1960], [Курешева, 1982], [Маслов, 1953], [Никитин, 1965], [Перегудов, 1960], [Плошко, 1958], [Югенбург, 1958]), как правило, не касались многих разделов и аспектов теории. Они предназначались для читателей–практиков, использующих элементарный математический инструментарий, и часто содержали весьма субъективные, даже не вполне профессиональные оценки. Обзорные монографии [Аллен, 1980] и [Кёвеш, 1990] не дают достаточно полного и адекватного изложения ключевых вопросов теории индексов и решения возникших в ней проблем. В них не нашли отражения важные результаты, полученные в работах Монтгомери, Поллака, Малмквиста, Лау, Балка, Стювела, Диверта, Рихтера, Вартиа, Сато, Халтена, Айхорна, Африата, Ванинского, Волконского, Ершова, Данилова-Данильяна, Зоркальцева, Липовецкого, Сайфулина, Суворова А.В., Трухаева, Шеремета, Шананина и ряда других исследователей.

Интерес к проблематике теории индексов возобновился в 90-х гг. XX в. Ведущими исследователями, в том числе Дивертом и Балком, опубликованы циклы работ, подводящие, по их мнению, итоги исследований, выполненных многими авторами. При их участии подготовлено «Руководство по индексу потребительских цен: теория и практика», где достижения теории индексов излагаются в расчете на практикующих статистиков. Изучение публикаций, в том числе использованных при подготовке «Руководства», показало, что в них состояние теории индексов отражено неполно, подчас односторонне, и по ряду позиций нуждаются в уточнении.

В этих условиях упомянутые три направления детально, с качественных позиций, анализируются в главах 1, 2 и 3. Приводятся необходимые понятия, определения и обозначения, решаемые задачи и основные полученные результаты. Характеризуются вероятностная, алгебраическая и аксиоматическая ветви экономического направления, подход Аллена и Тейла к конструированию индексов для последовательности состояний, параметрические подходы Конюса, Малмквиста и Аллена к построению индексов, соответствующих агрегаторным функциям, непараметрический подход Африата, траекторные конструкции индексов, предложенные Дивизиа и Монтгомери. В Приложении 1 систематизированы формулы для индексов цен и количеств, используемые в диссертации. В Приложении 2 охарактеризованы аксиомы, формулируемые для двусторонних индексов цен, в том числе предложенные диссертантом. В Приложении 3 дан анализ свойств «наилучших линейных индексов», предложенных Алленом и Тейлом.

Глава 4 подводит итоги анализа и определяет направления исследований, преодолевающих разобщенность, несогласованность и даже противоречивость доминирующих подходов к целям и методам индексной теории. Эти трудности и противоречия охарактеризованы в пункте «Степень разработанности проблемы» автореферата. Показано, что классическая теории индексов не представляет собой единое, непротиворечивое целое. Вывод из создавшегося положения предлагается искать, интерпретируя несовместность кажущихся очевидными требования к индексам как следствие отождествления различных условий (ситуаций), для которых определяются индексы, учитывать при выделении типовых ситуаций статичный или динамичный характер цен и его отражение в данных.

2. Ситуационная теория индексов для сравниваемых состояний изучаемой системы операций

В Разделе 2 характеризуются основания экономической теории индексов, для которой развивается её ситуационная версия (Глава 5). С позиций ситуационной теории решается ряд принципиальных проблем, характерных для классической теории индексов (Главы 6–8).

2.1. Ситуационные основания экономической теории индексов

Введены понятия, с помощью которых описывается класс изучаемых ситуационной теорией индексов объектов на теоретическом и на эмпирическом уровнях, определяются признаки, классифицирующие основные, стандартные, подлежащие детальному анализу задачи, решавшиеся или подлежащие решению с позиций этой теории.

Совокупность условий, для которых такие обобщенные классы задач формулируются и получаемые методы их решения должны признаваться соответствующими именно этим условиям, включая выполнение требований к решениям, идущим от целей, которые должны быть достигнуты, названы «ситуациями», рассматриваемыми теорией индексов цен и количеств или, в более общем виде, - экономической теорией индексов.

Система исходных понятий и решаемых с их использованием задач оказывается общей для более широкого класса объектов по сравнению с объектами, характеризуемыми в терминах понятий «цена» и «количество», но также имеющих непосредственное отношение к анализу экономических процессов. Исходные положения экономической теории индексов развиваются и применяются для наиболее представительного и важного для приложений случая - для индексов цен и количеств. Термины «количество» и «цена» используются как характеристики результатов некоторого класса «операций», реализуемых в изучаемой системе, имеющей структуру, выявленную в результате наблюдения за ней и теоретических обобщений.

Исходные положения ситуационной теории индексов состоят том, что рассматриваемая система имеет структуру и ее изучаемые состояния характеризуются показателями количества и качества результатов деятельности, называемой «операцией». Для имеющей структуру системы определена выполняемая в ней «операция», характеризуемая на уровне ее элементов показателем количественного результата «y» и показателем «качества» этого результата «z», представимого в виде z = x y, где x - коэффициент перевода показателя y в общую для системы или для ее подсистемы единицу измерения. Система предполагается состоящей из подсистем, понимаемых как виды экономической деятельности, отрасли, территориальные образования. В моносистеме подсистемы не выделяются. Для подсистем определен общий набор «элементов». Для s-го элемента -й подсистемы определены три показателя: xs(), ys(), zs() = xs() ys(). В подсистеме показатели zs() считаются выраженными в общей единице измерения и потому суммируемыми, но показатели ys() могут иметь различные единицы измерения. Для -й подсистемы качественные показатели могут быть выражены в различных единицах, например, в единицах национальных валют. Одна из задач теории состоит в определении коэффициентов к(), чтобы величины к() z(), ∈ , выражались в общей единице измерений.

Состояние системы определяется как набор показателей: {xs(), ys(), zs(), z(), s = 1, …, S,  ∈ }. Различают типы взаимоотношений между сравниваемыми состояниями системы. Если состояния допустимо рассматривать как не связанные процессами, влияющими на результаты операции, то систему считают системой с независимыми состояниями. Для таких систем вводило индексные формулы статистическое направление теории индексов. Противоположный случай - системы с взаимозависимыми состояниями. Для таких систем должно быть определено множество ее допустимых состояний, принадлежность к которому выражают взаимосвязи состояний.

Важный случай систем со взаимосвязанными состояниями имеем, если состояния упорядочиваются и предполагается, что состояние t получается из состояния (t – 1) некоторым преобразованием, допустимым при известных состояниях {1, 2, …, t – 1}. Такие системы называют динамически трансформируемыми системами. Допустимые преобразования определяются способами, изучаемыми при моделировании динамических процессов. Для состояний динамически трансформируемой системы Дивизиа определил такие преобразования в виде соединяющих состояния семейства путей.

Элементы подсистем могут рассматриваться как относительно независимые, автономные или как взаимодействующие, то есть такие, для которых результаты ys() и zs(). s = 1, …, S, удовлетворяют соотношениям, выражающим их взаимозависимости. Статистическое направление классической теории индексов рассматривает моносистему, для которой цены и количества не удовлетворяют ограничениям и связям. Экономическое направление предлагает понимать под элементами системы товары и услуги, для которых цены и количества связаны через агрегаторную функцию с закономерностями поведения производителей или потребителей, а цены на товары и услуги для производителей или потребителей заданы. Из опыта разработки и применения моделей экономики, следует, что характер взаимодействия элементов систем может быть существенно более сложным.

Для товаров предполагается задание иерархической структуры их групп с помощью графов-деревьев. Если для группы не определяются группы продуктов более низкого уровня, то она называется первичной группой.

Предъявляемые к индексам в различных ситуациях требования следуют не только из понимания того, какая рассматривается система, но и из того, для каких целей такие индексы предполагается использовать.

Характеристика ситуаций как пары «исследуемый объект (экономическая система и ее структура; операция, характеризуемая количественными и качественными показателями; иерархическая структура групп товаров и услуг) и «наблюдатель – исследователь – реагирующая система (субъект)» создает интеграционную основу теории индексов. Направления и задачи теории индексов интерпретируются как соответствующие типовым ситуациям, рассматриваемым с общих позиций.

C позиций ситуационной теории изучены возможности получения новых результатов при решении следующих проблем классической теории.

2.2. Индексы цен и количеств для первичных групп

В Главе 6 дано аксиоматическое определение индекса цен для первичных групп продуктов. Доказано, что индекс Джевонса единственным образом определяется свойстами-аксиомами для индексов первичных групп, которым должно удовлетворять семейство функций fn(t1; t2; …; tn), n = 1, 2, 3, … .

Аксиома I. Функция fn (t1; …; tn) непрерывна, возрастает по каждому аргументу и определена при всех ti > 0 (i = 1, 2, ..., n).

Аксиома II. Функция fn(t1; …; tn) симметрична по всем аргументам.

Аксиома III. Для функций fn(t1; ...; tn) выполнены тождества fn(t; t; ...; t) ≡ t.

Аксиома IV. Функции fn(t1; ...; tn) удовлетворяют соотношениям

fn (t1; …; tm; tm+1; …; tn) fn(t; ...; t; tm+1; …; tn),

где        t = fm(t1; …; tm) (m = 2, 3, …, n – 1).

Аксиома V. Функция fn(t1; …; tn) – положительно-однородная функция первой степени однородности, т.е. fn(k t) ≡ k fn(t) при k > 0).

Аксиома VI. Для функций fn(t1; ...;tn) выполняются соотношения fn(1/t1; ...; 1/tn) × fn(t1; ...; tn) = 1.

Известен результат А.Н. Колмогорова [Kolmogorov, 1930], согласно которому функции fn(t1; …; tn), удовлетворяющие аксиомам с I по IV и называемые правильными средними, имеют вид: , где g–1 – функция, обратная непрерывной, возрастающей функции g(t) одного аргумента. Добавление аксиомы V приводит [Nagumo, 1930] к степенным средним, для которых g(t) = tr. Добавленная Аксиома VI, формулирующая естественное при расчетах индексов требование, определяет среднюю геометрическую функцию .





Проблема определения индекса цен именно для первичной группы проявляется в том, что искомый индекс предполагается зависящим только от индивидуальных цен индексов и не может быть более адекватно определен с использованием разбиений товаров группы на подгруппы. Эта особенность первичных групп товаров характеризуется в виде Аксиомы IV.

В классической теории индексов геометрические индексы, использующие произведения индексов индивидуальных цен, противопоставляются агрегатным индексам, представимым в виде индекса Ласпейреса

и индекса, обратного к индексу Пааше

,

где (i = 1, …, n) - положительные веса и . Для первичной группы эти веса статистически не измеримы. Доказана возможность определения таких весов и (i = 1, …, n), что индексы IP0,1 и IP1,0 равны индексам Джевонса Gn(t1, …, tn), Gn(t1, …, tn)–1 и удовлетворяют требованиям, . Доказано, что использование среднего геометрического индекса цен может рассматриваться как оправданное, если приближенно идентичны «количественные» или стоимостные структуры изучаемого показателя для первичной группы, получающихся в результате объединения товаров с близкими отношениями цен в сравниваемых состояниях.

2.3. Моментные индексы цен и количеств

В Главе 7 с позиций ситуационной теории характеризуются важнейшие ситуации, постулируемые и изучаемые статистическим и экономическим направлениями классической теории.

2.3.1. Аксиоматическое определение индекса цен для корзины товаров и услуг

Дано аксиоматическое определение агрегатного индекса цен для корзины продуктов, называемого индексом цен Лоу и определяемого формулой с фиксированными весами-количествами аi > 0 (i = 1, …, n). Этот и только этот индекс удовлетворяет трем требованиям [Eichhorn, 1978]: IP(p, p) = 1 (аксиома идентичности), IP(p0, p1 + p2) = IP(p0, p1) + IP(p0, p2), 1/IP(p01 + p02, p) = 1/IP(p01, p) + 1/IP(p02, p). Первое из требований не нуждается в комментариях, но два других требования, должны быть пояснены с использованием реалий, связанных с ценами.

В цене pi i-го продукта выделяются ее элементы, например, оптовая цена, торгово-посреднические и транспортные наценки, налоги. Цены представляются в виде сумм элементов: , (α = 1, …, m). Проанализировано то, как за счет составляющих цену элементов образуется искомый индекс цен. Для получено разложение по элементам цен , где IPB(p0α, pα) - индекс α-го элемента цен, U(0; α) - доля α-го элемента цен в стоимости корзины в базовом состоянии. Доказано, что разложение искомого индекса цен по элементам цен, представимое в виде аксиомы

,

в которой используется только искомая функция IP(p0, p) в сочетании с аксиомами однородности первой степени по p и обратимости индекса цен по состояниям, однозначно определят индекс IPB. В Аксиоме разложения индекса по элементам цены выражена цель, с которой применяется индекс для корзины.

2.3.2. Моментные индексы Ласпейреса и Пааше и их свойства

Пара индексов цен Ласпейреса IPL и Пааше IPP систематически применялась и применяется статистическими органами СССР и России. Целесообразно найти достаточно простое аксиоматическое определение класса индексов цен, включающего эти индексы как «мгновенные» индексы по корзине с количествами аi, i = 1, …, n, которые являются функциями только от количеств и , j = 1, …, n, в сравниваемых состояниях. Индексы Ласпейреса и Пааше естественно рассматривать как индексы по корзине. Аксиома 1 постулирует представление искомого индекса цен в виде индекса цен по корзине с количествами аi = hi(q0, q1): IP0,1(p0, q0; p1, q1) = . Она предложена Функе [Funke, 1988], назвавшим такие индексы индексами цен, линейными относительно цен. Аксиоматическое определение этого класса индексов дано теоремой [Balk, 1995]: Функция IP(p0, q0; p1, q1) 4n положительных переменных pi0, qi0, pi1, qi1 (n 2) удовлетворяет Аксиоме идентичности P(p0, q0; p0, q1) = 1 и уравнениям

IP(p0, q0; p1 + p2, q1) = IP(p0, q0; p1, q1) + IP(p0, q0; p2, q1),

1/IP(p0 + p2, q0; p1, q1) = 1/IP(p0, q0; p1, q1) + 1/IP(p2, q0; p1, q1)

тогда и только тогда, когда принадлежит классу линейных индексов цен.

Аксиому 2 сформулируем в виде требования к функциям hi(q0, q1) ≡ hni(q0, q1) от 2n аргументов, обобщая то, как индексы цен Ласпейреса IPL и Пааше IPP зависят от количеств в сравниваемых состояниях. Предполагаем, что семейство функций hi(q0, q1), i =1, …, n, n = 2, 3, …, определяется выбором функции двух аргументов: hi(q0, q1) ≡ h(qi0, qi1). От функции h(x1, x2) естественно требовать положительности при положительных аргументах и дифференцируемости. Аксиомам 1 и 2 удовлетворяют многие индексы, для которых функция h(qi0, qi1) - некоторая средняя для величин qi0 и qi1.

Предложена Аксиома согласованности индекса цен относительно агрегирования (Аксиома 3), которая определяет вместе с Аксиомами 1 и 2 именно индексы цен Ласпейреса–Пааше. Пусть множество номеров товаров и услуг Ω ≡ {1, 2, …, n} представлено в виде объединения двух непустых и непересекающихся множеств таких, что dim (Ω1) = n(1), dim (Ω2) = n(2) и n(1) + n(2) = n. Для наборов товаров и услуг с номерами i, принадлежащими множествам Ω, Ω1 и Ω2, по известным ценам и количествам p0, q0; p1, q1 и заданным индексным формулам найдены индексы IPn(p0, q0; p1, q1) ≡ IPn(Ω), IPn(1)(p0, q0; p1, q1) ≡ IPn(1)(Ω1) и IPn(2)(p0, q0; p1, q1) ≡ IPn(2)(Ω2), а также стоимости V0(Ω), V1(Ω), V0(Ω1), V1(Ω1), V0(Ω2), V1(Ω2), индексы стоимостей IV0,1(Ω) ≡ V1(Ω)/V0(Ω), IV0,1(Ω1), IV0,1(Ω2) и индексы количеств IQn(Ω) ≡ IV0,1(Ω)/IPn(Ω), IQn(k)(Ωk) ≡ IV0,1(Ωk)/IPn(k)(Ωk), k = 1, 2. Для состояний с t = 0 и t = 1, вводятся количества Qk0, Qk1 и цены Pk0, Pk1 для двух «агрегированных» товаров (k = 1, 2), сопоставляемых множествам товаров с номерами i ∈ Ωk. Цены P0k, P1k и количества Qk0, Qk1 определяются в следующих двух вариантах Аксиомы 3: Вариант «L»: Pk0 = 1, Qk0 = Vk0, Pk1 = IPn(k)(Ωk), Qk1 = Vk1/IQn(k)(Ωk:); Вариант «P»: Pk1 = 1, Qk1 = Vk1, Pk0 = 1/IPn(k)(Ωk), Qk0 = Vk0 × IPn(k)(Ωk). В варианте «L» количества Qk0 и Qk1 измеряются в ценах базового состояния, а в варианте «P» - в ценах текущего состояния.

Аксиома 3 состоит в том, что при любых допустимых исходных данных, то есть положительных ценах pi0, pi1 и количествах qi0, qi1 (i = 1, …, n), при любом n ≥ 2 и при любом представлении множества Ω в виде Ω = Ω1 ∪ Ω2 значение индекса цен IPn(p0, q0; p1, q1) ≡ IPn(Ω), вычисляемого непосредственно по исходным данным, равно индексу цен IP2(P10, Q10; P11, Q11), вычисляемому по данным для «агрегированных товаров»: IPn(p0, q0; p1, q1) ≡ IP2(P10, Q10; P11, Q11). Если аксиома выполняется в такой формулировке, то она выполняется и в предположении о выделении m групп товаров (1 < m < n). Отличие этой Аксиомы от определения согласованности индексов при агрегировании [Balk,1996] рассмотрено в Приложении 4. Доказано, что Аксиомы 1–3 определяют семейство линейных индексов цен Ласпейреса–Пааше, определяемое формулой

.

В Аксиоме согласованности индексов относительно агрегирования отражается практическая необходимость использования для ряда групп товаров не натуральных единиц измерения, а некоторых задаваемых цен, и расчета согласованной иерархической системы индексов.

2.3.3. Аксиоматические и эвристические определения моментных индексов Фишера и их свойства

Использование в статистике индексов Фишера потребовало объяснить то, почему корень квадратный из произведения двух простейших индексов может рассматриваться как заменяющий их моментный индекс. Аксиоматическое определение индекса цен Фишера дал Ван Изерен [Van Ijzeren, 1952]. Он доказал, что положительная функция f(p0, q0; p1, q1) 4n положительных переменных, удовлетворяющая Аксиомам линейной однородности по ценам текущего периода и обратимости факторов, представимая в виде функции F(x1, x2, x3, x4) четырех переменных (при n ≥ 2), аргументами которой являются стоимости x1 = v0,0 = p0 q0, x2 = v0,1, x3 = v1,1, x4 = v1,0 – это индекс цен Фишера f(p0, q0; p1, q1) = IPF, и только этот индекс.

Иное определение индекса цен Фишера предложено в [Ершов, 1965]. Первый вариант постулировал то, что искомый индекс цен IP представляется в виде положительной функции двух положительных переменных f(x1, x2), аргументами которой являются индекс цен Ласпейреса x1 = IPL и индекс количеств Пааше x2 = IQP (Аксиома 1).Функция f предполагалась положительно однородной первой степени (Аксиома 2). Аксиома 3 выражала свойство индекса быть обратимым относительно состояний. Доказано, что этим аксиомам удовлетворяет только функция f(x1, x2) = (x1 x2)0,5. Аналогично формулируются аксиомы, определяющие индекс количеств Фишера. При таких определениях Аксиома стоимости является их следствием.

Второй вариант аксиоматического определения индексов Фишера постулирует (как Аксиому 1) представление искомого индекса цен IP в виде положительной функции четырех положительных переменных F(x1, x2, x3, x4), где x1 = v0,0 = p0 q0, x2 = v0,1, x3 = v1,1, x4 = v1,0. Аксиома 2 выражает требование положительной однородности функции F(x1, x2, x3, x4) относительно пропорционального и автономного изменения цен и количеств. Аксиома 3 выражает требование обратимости состояний. Это определение индексов Фишера более естественно по сравнению с определением Ван Изерена, поскольку оно использует «бесспорную» Аксиому обратимости состояний, а не спорную Аксиому обратимости факторов.

Обнаружено свойство индексов Фишера: индекс цен IPF не изменяется, если в сравниваемых состояниях поменять местами количества; индекс IQF не изменяется при обмене ценами. Аргументация, обосновывающая это свойства, в работах по теории индексов отсутствует. В статье Балка [Balk, 1995] приведены еще шесть альтернативных определений индексов цен Фишера. Почти во всех определениях используются спорные свойства индексов при обмене состояний ценами или количествами, фактически являющиеся «следствиями» из Аксиомы 1, и «тест» обратимости факторов.

В коллективном труде «Consumer price index manual: Theory and practice» Диверт привел 20 аксиом, которым удовлетворяют только индексы Фишера. Этот набор аксиом включает следствия из подмножеств аксиом набора и не должен рассматриваться в качестве аксиоматического определения индексов. В число аксиом включены спорные Аксиомы инвариантности относительно обмена значениями цен или количеств. Следовательно, в ситуационной и статической теории индексов отсутствует обоснование индексов Фишера, поскольку не удается определить ту ситуацию, которой они соответствуют.

2.4. Эвристико-аксиоматические обоснования формул моментных индексов

Подход к аксиоматическому определению индексных формул, характерный для классической теории индексов, не учитывает для какой ситуации формулу предлагается применять. Определяющие индекс аксиомы рассматриваются независимо от определения ситуации. Ситуационная теория предполагает, что определяющий данный индекс минимальный набор аксиом, соответствующий его применению в рассматриваемой ситуации, не включает аксиомы, противоречащие определению или характеристике ситуации. Среди минимальных наборов аксиом должны быть выделены наборы, которые не противоречат выбранной ситуации. В Приложении 5 для семи индексов цен предложен такой набор, состоящий из шести аксиом, что каждый индекс характеризуется своим перечнем выполняемых требований.

Рядом исследователей рассматривались свойства индексов, казалось бы определяющие выбранную индексную формулу. На следующих примерах показано, что «псевдо-обоснования» действительно предлагались.

2.4.1. Эвристико-аксиоматические обоснования моментных индексов, являющихся функциями от индексов Ласпейреса и Пааше

Фишер положил начало поиску индексных формул, представленных в виде функций от индексов Ласпейреса и Пааше, но удовлетворяющих предъявляемым к ним требованиям. Кёвеш [Кёвеш, 1990] показал, что индекс цен Маршалла–Эджворта может рассматриваться как функция от также моментных индексов Ласпейреса и Пааше, поскольку IPME = (1 + IQL)–1IPL + {IQL (1 + IQL)–1}IPP. Но при этом выбор «весов» при индексах цен IPL и IPP не обосновывался.

Идея конструирования индексов в виде функций от индексов Ласпейреса и Пааше, применяемая к известному индексу, может приводить к «псевдо-обоснованиям» такого индекса. Так в [Кёвеш, 1990] индекс IQF представлен в виде взвешенного среднего арифметического индеексов

IQL и IQP: IQF = (IQF – IQP) (IQL – IQP)–1 IQL + (IQL – IQF) (IQL – IQP)–1 IQP.

Аналогичная формула получена для индекса цен IPF. Но эти представления не определяют индексы Фишера, так как при попытке найти их из этих соотношений получаются только тождества IQF = IQF, IQF = IQF.

2.4.2. Стохастические интерпретации моментных индексов цен

Статистическое направление классической теории индексов исходит из детерминированных представлений об экономике. Но предпринимаются попытки обосновать моментные индексы цен с позиций стохастического подхода. Джевонс и Эджорт предполагали, что индивидуальные индексы цен – это независимые и одинаково распределенные случайные величины, представимые в виде или , где а или exp(b) –оцениваемый общий темп инфляции, ei – случайные ошибки с нулевыми математическими ожиданиями и общей дисперсией 2. Таким предположениям соответствуют индексы цен Карли и Джевонса . Нереалистичность использования «невзвешенных» индексов при оценке темпа инфляции была отмечена Кейнсом и Уолшем.

«Взвешенный» вариант стохастического подхода предложили Уолш [Walsh, 1921] и Тейл [Theil, 1967]. Были введены индексы, где индексам индивидуальных цен ставились в соответствие веса, определяемые по долям расходов sit = pit qit/Vt: логарифмический индекс цен Ласпейреса (геометрический индекс цен с весами базисного периода) ; логарифмический индекс цен Пааше (с весами текущего периода) ; индекс цен Тейла–Торнквиста . Веса в этих индексах предлагалось рассматривать как вероятности, с которыми дискретная случайная величина принимает детерминированные значения . Эвристичность введения вероятностей как долей расходов очевидна.

Новый этап в стохастическом подходе представлен в работах [Clements, Izan, 1981, 1987], [Selvanathan, Rao, 1994] и [Diewert, 1995, 2004]. Они основываются на предположении о существовании закона распределения вероятностей для отношений индивидуальных цен pit/pi0 (i = 1, …, n; t = 1, …, T), где t – номер периода. Относительные цены pit/pjh при всех i, j, t, h (i ≠ j, t ≠ h) предполагаются независимыми. При некоторых предположениях о законе распределения вероятностей находятся несмещенные оценки его параметров. Если среди параметров имеется общее для всех товаров математическое ожидание случайных величин pit/pi0, i = 1, …, n, или оно вычисляется по оценкам параметров распределения, то в качестве искомого индекса цен IP0,t рассматривается оценка математического ожидания E(pit/pi0). Реалистичность предположения о равенстве всех математических ожиданий для отношений цен pit/pi0 или для их логарифмов не обсуждается. Гипотезы равенства математических ожиданий для ln(pit/pit–1) при всех i и постоянства дисперсий i2 во времени не имеет оправдания. В монографии проанализированы 7 предложенных упомянутыми учеными моделей, в которых делаются попытки преодолеть не реалистичность и противоречивость предположений стохастического подхода. Его кардинальным недостатком является предположение, что темп инфляции не представляет собой результат совместного движения количеств, цен и стоимостей, а действует на цены экзогенно, не влияя на динамику количеств и долей расходов на товары и услуги. Стохастические интерпретации моментных индексов цен, в том числе индексов Джевонса, Карли, логарифмических индексов Ласпейреса и Пааше, индекса Тейла–Торнквиста, не представляют собой теоретические обоснования рассматриваемых индексов, так как исходят из предполагаемых, но не являющихся реалистическими ситуаций.

2.4.3. Микроэкономические интерпретации моментных индексов

Экономическое направление теории индексов позволяет по выбранной агрегаторной функции (AF) конструировать индексы цен и количеств. Статистическое направление теории ставит задачу расчета индекса цен именно для совокупности домашних хозяйств, которую в общем случае следует признавать неоднородной. Без учета такой неоднородности результаты экономического направления теории оказываются несопоставимы по объекту и целям исследований со статистическим направлением.

Рассмотрены основные случаи моментных индексов, соответствующие параметрическим функциям полезности, а именно индексы количеств и цен Фишера, Уолша, Торнквиста и Ллойда–Моултона. Возможность получения этих индексов трактуется рядом авторов как обосновывающее их применение к однородным группам потребителей. Эти результаты предлагается понимать только как гипотетические интерпретации известных индексов. В теории индексов количества рассматриваются как агрегированные величины, например, как покупки товаров группой домашних хозяйств. Потребитель определяет использование финансовых ресурсов, в том числе потребительские расходы, с учетом цен на товары, прогнозов цен и доходов. Цены, по которым приобретаются товары по группам, оказываются различными для домохозяйств из разных однородных групп потребителей ([Варшавский, 2009], [Ершов, Матыцин, 2009]). Потребитель выбирает приобретаемые продукты с учетом их цен. Средние цены приобретения для групп товаров являются результатом его выбора. Если средние цены по первичной группе товаров для периода и однородной группы потребителей считать экзогенными, то экономическое направление дает определение индекса цен именно для таких групп потребителей. Но перед теорией стоит более общая задача: определить индекс цен для неоднородной совокупности потребителей. Поэтому экономический подход, даже в варианте со многими однородными группами потребителей, не позволяет обосновать выбор моментных индексов.

3. Ситуационная теория индексов для динамических описаний сравниваемых состояний системы

В Разделе III монографии характеризуются исходные представления и показатели, задачи и основные результаты динамической ситуационной теории индексов. Анализируются попытки преодолеть статичность моментных цен, предпринимавшиеся рядом исследователей в рамках рассмотрения дискретных последовательностей состояний с постоянными ценами. Формулируются и решаются две взаимосвязанные постановки проблемы обоснованного выбора семейства траекторий цен и количеств в условиях, когда цены изменяются, но наблюдаются только для дискретных моментов.

3.1. Основания и задачи динамической теории индексов

В Главе 9 характеризуются варианты введения траекторных индексов вообще и, в частности, индексов Фишера, Торнквиста и Монтгомери–Вартиа.

3.1.1. Определения и статистические измерения моментных и средних для периодов цен

Для динамической версии теории индексов основным является предположение о том, что цены товаров и услуг изменяются во времени вместе с их количествами и стоимостями. Количества и стоимости благ представляют собой потоковые величины, определяемые для периода времени, имеющего начальный (t0) и конечный (t1) моменты. Количество и стоимость i-го товара для периода с τ ∈ [t0; t1] обозначим соответственно Qi(t0; t1) ≡ Qi(t0), Vi(t0; t1) ≡ Vi(t0). Средняя цена для i-го товара в период с τ ∈ [t; t + H] равна Pi(t) = Vi(t)/Qi(t).

Тройка показателей {Qi(t), Vi(t), Pi(t)} рассматривается как имеющая непрерывный аргумент – момент времени t, предполагая, что H = 1 и выполнены соотношения Qi(t)=, Vi(t)=, в которых функции qi*(τ) и vi*(τ) – соответствующие плотности и vi*(τ)/qi*(τ) ≡ pi*(τ) – цена в момент времени τ. Таким образом, теория рассматривает как функции непрерывного времени два разных объекта – тройки взаимосвязанных показателей: {Qi(t), Vi(t), Pi(t)} и {qi*(t), vi*(t), pi*(t)}.

Статистическая практика не наблюдает такие показатели как функции непрерывного времени. Она не для любой группы товаров способна статистически наблюдать показатели {Qi(t), Vi(t), Pi(t)} для дискретной последовательности значений t. Если известны величины Qi(t), Vi(t), то средняя цена Pi(t) рассчитывается. Если из величин Qi(t), Vi(t) известна одна, например, Vi(t), то величины Qi(t), Pi(t) могут быть определены при использовании дополнительных предположений. В тройке» {qi*(t), vi*(t), pi*(t)} только цена pi*(t) может статистически наблюдаться как средняя цена для периода малой продолжительности, для которого цену можно предполагать постоянной.

Динамические конструкции индексов, предложенные Дивизиа и Монтгомери, постулируют использование троек показателей {qi(t), vi(t), pi(t)}, i = 1, …, n, являющихся непрерывными функциями времени t. Анализ работ авторов, рассматривавших индексы Дивизиа, показал, что в них под такими показателями понимались, в основном, показатели тройки {Qi(t), Vi(t), Pi(t)}. Но другие авторы понимали под функциями {qi(t), vi(t), pi(t)} моментные показатели {qi*(t), vi*(t), pi*(t)} и на этом основании характеризовали индексы Дивизиа как теоретическую конструкцию, которую невозможно наполнить реальными данными. Существование не согласующихся интерпретаций индексов Дивизиа делает проблему определения показателей, используемых в конструкциях индексов, важнейшей для динамической версии теории.

Определение средней цены по группе продуктов для периода, в течение которого цены заведомо изменялись, и метод ее расчета по данным статистики, заслуживает изучения независимо от того, какая версия теории индексов принимается за основу.

3.1.2. Динамические индексы для дискретных последовательностей состояний

Необходимость учета динамики цен и количеств в течение периода достаточной продолжительности признается в рамках классической теории, когда она рассматривает цепные индексы, определяемые для дискретной последовательности состояний. Периоды могут трактоваться как последовательности периодов меньшей продолжительности. Это приводит к тому, что индексы Дивизиа предлагалось понимать как предельный случай цепных индексов для периодов со стремящимися к нулю продолжительностями. При этом используется трактовка индексов Дивизиа, базирующаяся на плотностях. Трактовка, связанная с потоками для скользящих периодов, игнорируется.

При анализе цепных индексов выяснено, что их некорректно использовать, «когда цены колеблются или скачут», и их применение допустимо, «когда речь идет о примерно монотонных изменениях цен и количеств» [Hill, 1988. 1993]. Применение цепных индексов приводит к необходимости учета ограничений на динамику цен и количеств, при выполнении которых индексы согласуются с целями их расчета.

Подход к исчислению индексов, состоящий в использовании цепных индексов, столкнулся с определенными трудностями. Практика имеет дело с ситуациями, когда она не располагает частью данных из троек {qit, vit, pit}. Поэтому приходится искать конструкции индексов, в которых используются только имеющиеся в данной ситуации данные. На эту проблему первым обратил внимание Триплет [Triplett, 1989], предложивший «Обобщенный индекс цен Фишера для временных рядов», обозначаемый IPFTG(t; 0; T), если он рассчитывается для пары сравниваемых состояний в периоды с τ=0 и τ=t по данным для периодов с τ = 0, 1, …, T. Триплет предполагал, что известны цены pit, t = 1, …, T, и количества qi0, qiT, но не наблюдались количества qiτ при 0 < t < T. В аналогичной ситуации Балк [Balk, 1990] предположил, что ненаблюдаемые доли расходов sit = pit qit/Vt при 0 < t < T хорошо аппроксимируются линейными комбинациями долей si0, siT и ввел рассчитываемые по имеющимся данным доли si*t = [t siT + (T – t) si0]/T, t = 0, 1, …, T. Это позволило определить квази-индекс цен Фишера и квази-индекс цен Торнквиста , где s(t; i; *) ≡ 0,5(si0 + si*t).

Авторы работы [de Haan, Balk, Hansen, 2009] заменили среднее взвешенное геометрическое средними взвешенными арифметическими индексов цен для товаров и ввели квази-арифметический индекс цен Фишера

,

аппроксимирующий динамику обычных индексов Фишера.

Индексы цен, аппроксимирующие цепные индексы, вводились потому, что предположение о возможности использования статистических данных для последовательности периодов, соединяющих базовое и текущее состояния, далеко не всегда оказывается оправданным. В этих условиях делаются попытки недостающие данные заменить искусственно конструируемыми данными. Исходные предположения о характере данных для промежуточных периодов при статическом подходе и при динамическом подходе близки, признают существование ситуаций, в которых отсутствует часть необходимых данных. Поэтому важно выявление и учет отклонений реально доступных, предполагаемых известными статистических данных от характера рассматриваемых теорией величин.

3.1.3. Динамические индексы для непрерывных траекторий цен и количеств: конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери

Для траекторий цен pi(t) и количеств qi(t), i = 1, …, n, соединяющих задаваемые начальную и конечную положительные точки (p0, q0) ≡ (pi0, qi0) и (p1, q1) ≡ (pi1, qi1), и являющихся дифференцируемыми функциями параметра t, интерпретируемого как время, Дивизиа [Divisia, 1925–1926] предложил следующее определение индексов цен IP(p0, q0; p1, q1) и количеств IQ(p0, q0; p1, q1):

IPD(p0, q0; p1, q1) =,

IQD(p0, q0; p1, q1) =

Путь π(t) ≡ π(t; p0, q0; p1, q1) ≡ {p0(t), q0(t); p1(t), q1(t)} в этом определении соединяет два сравниваемых состояния изучаемой системы, реализующиеся в периоды или даже моменты времени, которым сопоставлены значения непрерывного параметра t. Возможна иная параметризация траекторий, то есть переход к параметру τ = g(t), где g(t) – монотонная и функция действительного переменного, удовлетворяющая условиям g(0) = 0, g(1) = 1.

Монтгомери [Montgomery,1929] в качестве исходного тождества рассматривал следующее представление для разности V(1) – V(0):

,

в котором производные от логарифмов переменных суммируются со стоимостями vi(t) ≡ pi(t) qi(t), а не с долями расходов si(t) ≡ vi(t)/V(t).

Второе тождество Монтгомери выбрал в виде

ln{V(1)/V(0)} = {V(1) – V(0)}/ L(V(1), V(0)),

где непрерывная функция L(x, y) = L(y, x)) положительных переменных x,y определена следующим образом: L(x, y) = (x – y)/ln(x/y), если x ≠ y, и L(x, x) = x.

Монтгомери отождествил слагаемые в тождестве ln IP + ln IQ = [V(1) – V(0)]/ / L(V(1), V(0)) и получил определение индекса цен в предлагаемой конструкции:

ln IPM = .

При V(1) ≠ V(0) имеем ln IPM = (pV/V) ln IV, ln IQM = (qV/V) ln IV и логарифм индекса стоимости ln IV разделяется на слагаемые ln IPM и ln IQM с помощью долей факторов цен и количеств в V = V(1) – V(0). {IPM, IQM} – это семейство индексов, в котором формулы получаются при задании граничных состояний и траекторий.

Обоснование отождествлений слагаемых в использующих интегралы разностях [ln V(1) – ln V(0)] и [V(1) – V(0)]/L(V(1), V(0)) было дано Мэланеем [Malaney, 1996] и Балком [Balk, 2005].

Показано, что, конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери порождают индексные формулы, обладающие различающимися свойствами. Следовательно, в рамках динамического направления теории требуется решить проблему выбора и траекторий и конструкции индексов.

3.1.4. Динамические индексы для кусочно-постоянных траекторий с граничными значениями цен и количеств

Постоянство цен при переходе от базового состояния (p0, q0) к конечному или текущему состоянию (p1, q1) воспринималось многими экономистами и статистиками как удобное допущение, помогающее интерпретировать предложенные «моментные» индексные формулы. Рассмотрение «псевдо-динамических» индексов для дискретных последовательностей состояний представляет собой попытку преодолеть такое предположение. Другое направление такого преодоления было намечено в динамической теории. Оно допускало возможность того, что рассматриваемый период состоит из последовательности периодов, в каждом из которых искомые индексы определяются непрерывными траекториями цен и количеств. Но траектории могут не быть дифференцируемыми.

Переход к не дифференцируемым в конечном числе точек траекториям приводит к существенному расширению индексных формул, порождаемых конструкциями индексов Дивизиа и Монтгомери. Но остается необходимым так выбрать траектории цен и количеств для периодов меньшей продолжительности, чтобы получить приемлемые и интерпретируемые результаты.

Полученные в этом подходе результаты были систематизированы Балком [Balk, 2005]. В периоде с t∈[0;1] предполагались заданными два момента времени t(1) и t(2) такие, что 0 < t(1) < t(2) < 1. Чтобы определить траектории цен и количеств при t ∈ [0; t(1)], t ∈ [t(1); t(2)] и t ∈ [t(2); 1], вводятся специальные векторы цен p* = (pi*) и количеств q* = (qi*), используемые в конструкциях индексов Лоу.

Траектории цен и количеств при 0 ≤ t ≤ 1 определяются следующим образом:

путь С(p*), соответствующий задаваемым ценам p* = (pi*);

для t ∈ [0; t(1)] pi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям pi(0) = pi0, pi(t(1)) = pi*, qi(t) = qi0 (i = 1, …, n);

для t ∈ [t(1); t(2)] qi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям qi(t(1)) = qi0, qi(t(2)) = qi1, pi(t) = pi* (i = 1, …, n);

для t ∈ [t(2); 1] pi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям pi(t(2)) = pi*, pi(1) = pi1, qi(t) = qi1 (i = 1, …, n);

путь С(q*), соответствующий задаваемым количествам q* = (qi*),

для t ∈ [0; t(1)] qi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям qi(0) = qi0, qi(t(1)) = qi*, qi(t) = qi0 (i = 1, …, n);

для t ∈ [t(1); t(2)] pi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям pi(t(1)) = pi0, pi(t(2)) = pi1, qi(t) = qi* (i = 1, …, n);

для t ∈ [t(2); 1] qi(t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям qi(t(2)) = qi*, qi(1) = qi1, pi(t) = pi1 (i = 1, …, n).

Такой выбор путей, для которых при всех остающихся постоянными на выделяемых периодах ценах или количествах изменяются все количества и цены, не согласуется с исходными предположениями экономического и траекторного направлений классической теории индексов, в которых отражаются связи между этими показателями. Постулируемые траектории оказываются не соответствующими существу динамичесской концепции индексной теории, хотя предлагаются для использования в динамической конструкции индексов.

Заметим, что пути интерпретируются как траектории мгновенных показателей цен и количеств (плотностей) и при t = 0, t(1), t(2) и 1 используемые данные именно к моментам времени, а не к периодам. Тем не менее важным представляется то, что индексы Дивизиа для путей C(p*) и С(q*) в следующих частных вариантах специальных цен и количеств, совпадают с индексами, рассматриваемыми моментной теорией индексов: IPD{С(p1)} = IPD{C(q0)} = IPL – индекс Ласпейреса; IPD{C(p0)} = IPD{C(q1)} = IPP – индекс Пааше; – индекс Бенерджи (Banerjee); – индекс Маршалла–Эджворта; – индекс Уолша.

В качестве специальных цен p*, было предложено использовать функции от p0, p1 и даже от искомого индекса цен IP. Для индекса цен Дивизиа IPD{C(p*)} Балк [Balk, 2005] предложил использовать среднее арифметическое цен (pi0) и цен , в котором цены конечного состояния (p1i) дефлируются с помощью неизвестного индекса цен. В этом случае искомый индекс оказывается индексом цен Фишера. В [Van Ijzeren, 1952] показано, что индекс цен Фишера совпадает с индексом цен Дивизиа IPD{C(q*)}, если . Икле [Ikl, 1972] предложила подход к определению индекса цен, в котором использовался вектор специальных цен .

Отказ от рассмотрения только дифференцируемых траекторий имел следствием то, что формулы моментной теории индексов можно интерпретировать как динамические индексы, порождаемые специальными траекториями. Выбор функций, задающих непостоянные «куски» траекторий, не отражается в получаемых индексах. Но проблема обоснования выбора путей С(p*), C(q*) и специальных значений цен и количеств не исследовалась.

Охарактеризованные результаты полезны в свете сближения цепного варианта теории с динамической теорией индексов. В них содержится идея, состоящая в том, что выделяемые подпериоды целесообразно характеризовать в терминах постоянства свойств, присущих неизвестным траекториям цен и количеств. Целесообразно так определить характерные свойства траекторий цен и количеств на однородных периодах, чтобы они позволяли находить их траектории по доступным данным.

3.1.5. Моментные индексы Фишера и Монтгомери–Вартиа как динамические индексы Дивизиа и Монтгомери

Интеграция статистического, экономического и траекторного направлений в теории индексов, начинается с ответа на следующий вопрос: являются ли известные индексы траекторными индексами Дивизиа или Монтгомери? Эта проблема решена для индексов Фишера и Монтгомери–Вартиа.

Известно, что индексы Фишера порождаются как индексы Дивизиа разными путями. Следовательно, мало показать, что выбранные индексы есть индексы Дивизиа. Целесообразно иметь задачу, которая определяет семейство путей, порождающих выбранные индексы как динамические индексы.

Семейство путей S(π), порождающее индексы Фишера IPF и IQF, найдено в виде дифференцируемых функций pi(t), qi(t) параметра t, t ∈ [0; 1], удовлетворяющих очевидным граничным условиям. Параметризация пути выбирается так, что t представляет собой долю прироста стоимости в текущих ценах по сравнению с V0 в таком же приросте, но при t ∈ [0; 1]. Такой выбор возможен, если стоимость является монотонной функцией от w. Монотонность стоимости представляется естественным предположением, когда период считается однородным.

Для того чтобы семейство путей порождало индексы Дивизиа, должны выполняться при заданных граничных точках уравнения

,

,

относительно 2n функций pi(t), qi(t). Эта система дополненная соотношением
V(t) – V0 = (V1 – V0)t при любом имеет неединственное решение, так как допускает задание части траекторий {pi(t), qi(t)} в виде произвольных, но дифференцируемых, положительных и удовлетворяющих граничным условиям функций от t. Среди решений следует искать те, которые удовлетворяют требованиям, естественным в контексте теории индексов. Поскольку индексы Дивизиа и только они удовлетворяют системе аксиом, предложенной Рихтером [Richter, 1966], то требования к S(π) со стороны экономического направления можно считать учтенными. Требования со стороны статистического направления естественно формулировать, используя тесты Фишера. Эти тесты не выражаются в терминах траекторий и не определяют, какими свойствами должно обладать семейство путей S(π). Но содержательная сторона тестов Фишера сохранена в формулировках 5 предложенных траекторных аксиом. Семейство путей S(π), удовлетворяющих этим аксиомам, и порождаемые ими индексы Дивизиа и Монтгомери названы совершенными (perfect). При поиске семейства S(π), порождающего индексы, предлагается ограничиться совершенными путями.

Для преодоления противопоставления статистического и экономиче-кого направлений траекторному направлению ключевую роль играет следующее утверждение: Индексы Фишера, Торнквиста и Монтгомери–Вартиа являются совершенными, так как порождаются задаваемой совершенной системой путей. Для индексов Фишера доказательство сводится к проверке того, что семейство путей , задаваемое следующими формулами для траекторий {pi(t); qi(t)}, t ∈ [0; 1],

,

где vi(t) =, является совершенным и порождает индексы IPF и IQF [Ершов, 1990, 2003]. Характерное свойство этих путей состоит в том, что вдоль них постоянны значения логарифмических производных (по параметру t) отношений индивидуальных цен p1(t) и количеств qi(t) для каждого продукта

, , .

Другое свойство этих путей, присущее не только им, выражается в том, что для суперсовершенных по определению путей имеем

, , ,

и параметр представляет собой равное для всех продуктов отношение прироста стоимости к приросту .

Доказано, что индексы Монтгомери являются совершенными индексами Дивизиа и порождаются суперсовершенным семейством путей SDME{π}

где i(p) + i(q) = 1 и i(p) = ln(pi1/pi0)/ln[(pi1 qi1)/(pi0 qi0)].

3.1.6. Индексы Торнквиста как динамические индексы

Изучена возможность представления индексов цен и количеств Торнквиста в виде индексов Дивизиа. Наибольший интерес представляет индекс цен Торнквиста IPTo ≡ IPTo(p0, q0; p1, q1), определяемый как взвешенное среднее геометрическое индексов цен товаров весами si = –0,5 [vi0/V0 + vi1/V1]. Специфика вопроса заключается в том, что индекс количеств Торнквиста IQTo(p0, q0; p1, q1) ≡ IPTo(q0, p0; q1, p1), получаемый из индекса IPTo в предположении выполнения теста обратимости факторов в сильной форме, образует вместе с индексом IPTo пару индексов, не удовлетворяющих Аксиоме стоимости. Такая пара не может быть получена в виде индексов Дивизиа и Монтгомери. Но, если индексу IPTo сопоставлять имплицитный ему индекс количеств IQToP ≡ [V1/V0]/IPTo, то пара индексов (IPTo; IQToP) удовлетворяет аксиомам стоимости и обратимости факторов в слабой форме и для нее вопрос о представлении в виде индексов Дивизиа может рассматриваться.

Для индексов Торнквиста (IPTo, IQToP) найдена система путей, порождающих их как индексы Дивизиа: qi(t) = qi0(qi1/qi0)h(t), pi(t) = pi0(pi1/pi0)h(t), i = 1, ..., n, где h(t) = t V1/V(t) ≡ t V1/{V0 + t(V1 – V0)}.

3.1.7. Индексы Дивизиа с позиций экономического направления теории индексов

Представление индексов, традиционно рассматриваемых статистическим направлением теории в виде динамических индексов Дивизиа и Монтгомери, позволило преодолеть противопоставление этих двух направлений. Многие моментные индексы оказываются соответствующими исходным положениям экономического направления с его агрегаторными функциями. Потребовалось дать динамическое обобщение постановок задач, образующих основу экономического направления теории индексов, то есть описать переход от сравнения базового и конечного состояний к рассмотрению непрерывной последовательности состояний, характеризуемых ценами pi(t), количествами qi(t), i = 1, …, n, и агрегаторной функцией F(q(t)).

Такое обобщение с позиций теории индексов изложено Дивертом в «Руководстве по индексу потребительских цен» (Приложение 15.4.) и в статье Балка [Balk, 2005]. Целью распространения схем получения индексов из задач оптимизации на случай непрерывного времени состояла в том, чтобы показать, что конструкция Дивизиа не противоречит идеям экономического направления. Рассматривалась задача минимизации линейной по ценам и количествам функции затрат потребителя, имеющего положительную, линейно однородную функцию полезности U(q), при заданных для t-го периода ценах pit, i = 1, …, n, и уровне полезности ut: при условии U(qt) = ut, qit ≥ 0. Для ее оптимального решения qit* имеем ≡ С(1; pt)ut, где С(1; pt) ≡ с(pt) – затраты на «единицу полезности».

Такое представление функции затрат потребителя С(ut; pt) постулируется Дивертом и Балком сначала для дискретной последовательности периодов с t = 1, …, T, а затем распространяется на случай непрерывного времени. Поскольку при целых значениях t за всеми переменными сохраняются их определения, то фактически рассматриваются скользящие периоды, для которых параметр t интерпретируется как момент начала периода. Для «скользящих периодов» с начальными моментами времени t ∈ [0; 1], предполагаются заданными траектория полезности u(t) и цены pi(t) как функции времени.

При каждом t∈[0;1] «потребитель» минимизирует затраты в текущих ценах при заданном уровне полезности. Диверт и Балк формулируют соответствующие задачи в их статической постановке, то есть для каждого t-го периода. При этом не учитывается, что периоды с и t = t1 и t = t2 при условии 0 ≤ t1 < t2 < 1, имеют непустое пересечение, и соответствующие задачи не могут решаться как независимые. Недостаток этого подхода к интерпретации связи экономического и траекторного направлений теории преодолевается в следующей простой модели, соединяющей черты статистического, экономического и динамического направлений в их дискретных вариантах.

Поведение потребителя моделируется в период времени, для которого непрерывное время изменяется от 0 до T (∈[0;T]). Этот «агрегированный» период представим в виде последовательности T периодов равной продолжительности с ∈ [t – 1; t], t = 1, ..., T. В качестве функции полезности используется однородная первой степени, дифференцируемая функция f(x) ≡ f(x1,. …, xn), определенная при xi 0, i = 1, ..., n, для которой матрица вторых производных с элементами 2f(x)/xixj отрицательно определена и потому не вырождена.

Решение «динамизированной» оптимизационной задачи при ограничениях , xti 0, t = 1, ..., T, i = 1, ..., n, в которых цены pit и параметры At, Vt заданы и положительны, находится. Задача распадается на T несвязанных между собой задач, их единственные оптимальные решения = (t/At) hi(pt), i = 1, ..., n, существуют как решения систем уравнений fi(xt1 At/t, ..., xtn At/t) = pit, i = 1, ..., n. Функции hi(p), i = 1, ..., n, существуют в силу невырожденности матрицы (2f(x)/xixj) и определяются только агрегаторной функцией f(x). Множитель t находится: = At Vt/(pt), (pt) ≡; находится и оптимальное решение задачи для t-го периода ≡ Vt i(pt) и txoptti=tVti(pt), где i(p) = hi(p)/(p) – доли затрат, определяемые только ценами и не зависящие от суммарных расходов. Эти доли традиционно вводятся для линейных однородных функций полезности. Тогда и найдено максимальное значение критерия как функция от экзогенных параметров задачи A = (At), V = (Vt) и (pt) = (pit). Аналогичная задача рассматривается для агрегированного периода с  ∈ [0; T]. В такой однопериодной, то есть статической, задаче максимизируется критерий f(X1, ..., Xn) при ограничениях Xi 0 и , в которых цены и V заданы. Её решение очевидно: , .

Сравнение решений этих двух задач при упрощающих предположениях о постоянстве цен (pit = pi) и равенстве функций полезности Ft(xt) = At(t) f(xt) в агрегируемых периодах At(t) = A, t = 1, ..., T; t – набор экзогенно заданных параметров), показывает, что при таких предположениях сумма (по периодам) оптимальных решений многопериодной задачи совпадает с решением однопериодной задачи, если в этих задачах совпадают суммарные расходы.

Предположение о линейной однородности и неизменяемости в агрегированном периоде функции полезности вместе с постоянством цен приводит при заданной сумме расходов и допустимых динамиках расходов к совпадению «интегрального» поведения потребителя в однопериодной и многопериодной моделях. Так обосновывается возможность рассматривать индексы для агрегированного периода без учета динамик цен и расходов.

Из решений для многопериодной и однопериодной задач видны различия экономического, по своей сущности статического направления, и траекторного, принципиально динамического направления теории индексов. Траекторное направление считает необходимым рассматривать ситуации, в которых цены для периодов могут не оставаться постоянными и учитывать динамику расходов даже в случае использования функции полезности, которая не изменяется. Если цены не постоянны, то становится очевидна необходимость учета динамического характера изучаемых процессов.

3.2. Аксиоматическое определение согласованных траекторий стоимостей, количеств и средних для периодов цен

По отношению к конструкциям динамических индексов, критическая по- зиция сторонников классического направления теории индексов базировалась на казавшейся им очевидной невозможности обоснованного выбора непрерывных и дифференцируемых траекторий цен и количеств. Проблема выбора семейства траекторий, решение которой приводит к обоснованию выбора динамических индексов, оставалась нерешенной. Она не имела простой формулировки, выходящей за рамки рассмотрения противоречивых систем тестов, предъявляемых к индексным формулам. Трудности поиска такой формулировки были осознаны, когда были обнаружены примеры существования нескольких семейств траекторий, порождающих имплицитную пару индексов цен и количеств. Выбор путей оказался более общей проблемой, чем выбор индексных формул, поскольку необходимо выбрать конструкцию индексов. В этих условиях обоснование выбора путей, определяющих динамические индексы как индексы Дивизиа или Монтгомери, естественно связывать с неявным постулатом классической теории о том, что искомые индексы для сравниваемых периодов могут быть определены и рассчитаны с использованием только «итоговых» данных для однородных периодов. Предложена следующая формулировка этого предположения, позволяющая не иметь дело с наблюдениями за непрерывными траекториями цен и количеств.

3.2.1 Проблема факторного разложения конечного приращения функции многих переменных и ее медиальное решение

Пусть F(X) = F(x1, ..., xm) – гладкая и монотонная функция m действительных переменных, не являющаяся сепарабельной и определенная на Rm. Требуется представить конечное приращение ΔF(x0; x1) ≡ F(x1) – F(x0) в виде m слагаемых называемых вкладами аргументов в ΔF(x0; x1), то есть определить факторное разложение ΔF(x0; x1) =F(x0; x1). Воспользуемся тождеством , если задан соединяющий точки x0 и x1 путь π(t) = {x(t)} с дифференцируемыми функциями xk(t), k = 1, ..., m. Это тождество выполняется при всех допустимых функциях F(X) и путях и допускает единственную интерпретацию: Если путь π(t) выбран, то . Необходимо предложить принцип задания пути или использующую функцию F задачу, решением которой будет семейство S(π) путей. Предлагается выбор семейства S(π) основывать на формализации следующего Тезиса: Искомое факторное разложение применяется только при условии отсутствия какой-либо информации о процессе фактического или гипотетического преобразования исходного состояния x0 в состояние x1. Этот Тезис назовем аксиомой ненаблюдаемости путей. Аксиому ненаблюдаемости путей предлагается понимать не как недостаток используемой системы мониторинга за рассматриваемым процессом, анализируемым в терминах переменных xi и y=F(X)), и не как неполноту существующей теории этого процесса, а как свидетельство того, что процесс проходил без существенных отклонений от реализующихся тенденций или не полностью известных закономерностей, без отклонений, свидетельствующих о непредсказуемых воздействиях на него и требующих проведения нерегламентных наблюдений и измерений. Если нет сведений о том, как происходила трансформация состояния x0 в x1, то предлагается согласиться с тем, что для получения факторного разложения они не нужны, и промежуточные состояния между x0 и x1 равноправны.

Гипотезу равноправия точек искомого пути, не совпадающих с исходной точкой x0, предлагается формализовать следующим образом. Для при заданном пути π(t; x0; x1) определим 2m функций от : 

, ,

где i(τ) – доля вклада -го фактора в ΔF(x0; x1).

Гипотеза равноправия точек пути интерпретируется как имеющая следствием постоянство вектора-функции (τ) = (i(τ)). Факторное разложение для функции F(x), соответствующее аксиоме ненаблюдаемости путей и гипотезе равноправия его точек, предлагается искать, используя гипотезу di(τ)/dt = 0, , как решение следующей задачи: найти вектор = (i), , такой, что система дифференциальных уравнений для функций xi(t)

, ,

где параметр t, t ∈ [0; 1], связан с функцией F(x) соотношением

,

имеет решение{; xi(t; x0; x1)}, удовлетворяющее граничным условиям xi(0) = xi0, xi(1) = xi1, i = 1, ..., m. Вектор обозначим (x0,x1)F. Такой выбор параметра t возможен, если функция F(x) монотонна как функция одного аргумента, задающего параметризацию пути. π(τ) = {xi(τ)}. В таком случае переменная t определяется как следующая явная функция от τ:

t =≡ g().

Факторное разложение названо медиальным разложением (медиалом), чтобы отличать его от других возможных факторных разложений. При естественных предположениях доказаны следующие свойства медиальных факторных разложений.

А. Существование для монотонных функций. Медиальное решение существует, если , , , – гладкая монотонная функция и : , .

В. Инвариантность относительно выбора параметризации пути. Медиальный вектор инвариантен относительно взаимно-обратного преобразования параметра t в параметр u, то есть при t = g(u).

С. Инвариантность относительно монотонного преобразования функции F(x). Медиальное решение (, x(t))F является медиальным решением (; x(t))H для функции H(x) = G(F(x)), если G(z), z∈R1, гладкая монотонная функция, для которой F(x) ∈ G при x ∈ F, F – нормальное множество для F(x), и F является нормальным множеством для H(x).

D. Инвариантность относительно взаимно-обратных преобразований переменных, образующих обобщенные аргументы функции F(x). Предполагается, что переменные x1, …, xm разделены на K непересекающихся групп с номерами k (k = 1, …, K; 1 K m). В k-й группе переменным xi даны обозначения: xik, i = 1, …, m(k). Набор переменных xi при i ∈ (k), где (k) – множество номеров переменных из k-й группы, обозначен Xk.

Функция F(x) ≡ F(X1, …, Xk, …, XK) предполагается представленной в виде F(x) ≡ G(g1(X1), …, gk(Xk), …, gK(XK)), где gk(Xk) –гладкая функция от m(k) переменных. Переменные zk = gk(Xk) называют обобщенными аргументами для F(x). Предполагается, что для функции F(x) и точек x0 ≡ (X10, …, Xk0, …, XK0) ∈ F, x1 ≡ (X11, …, Xk1, …, XK1) ∈ F, где F – нормальное множество для F(x), существует медиал (; x(t))F. На множестве F рассматривается взаимно-однозначное, гладкое преобразование x = f(u), u = h(x) переменных xi, включенных в каждую из K групп, то есть Xk=fk(Uk), Uk=hk(Xk) или , , k = 1, …, K, i = 1, …, m(k). Тогда величины k ≡, k = 1, …, K, инвариантны относительно согласованных с обобщенными аргументами, взаимно-однозначных преобразований переменных.

Свойства A–D названы медиальной инвариантностью. Возможность нахождения медиала, соответствующего Аксиоме ненаблюдаемости путей, дает апостериорное обоснование отождествлению вклада Fi(x0, x1) с i-м слагаемым в интегральном тождестве для (F(x1) – F(x0)). Доказательства формулируемых утверждений приводятся в Приложении 6.

Медиальное факторное разложение для функции F(x) определяет факторное представление темпа изменения функции F(x) в следующем виде: .

3.2.2. Аксиоматическое определение суперсовершенных траекторий  цен и количеств для скользящих периодов, порождающих совпадающие индексы Дивизиа и Монтгомери

Для семейства медиальных путей, соответствующих функциям F(p, q) =≡ p q и ln F(p, q), получены формулы, совпадающие с формулами траекторий цен и количеств для семейства путей SDME{π), рассмотренного в пункте 3.1.5. Найдены медиальные доли факторов:

gi, gi,

где        gi = .

В силу свойства С медиального факторного разложения индексы Монтгомери-Вартиа, одновременно являются суперсовершенными индексами Дивизиа, соответствующими той же системе путей. Это позволяет индексные формулы Монтгомери–Вартиа называть индексами Дивизиа–Монтгомери и считать, что именно эти индексы представляют собой для такой ситуации решение проблемы выбора путей и конструкции индексов.

В Приложении 7 доказывается, что из медиальной инвариантности индексов Дивизиа–Монтгомери следует их согласованность при агрегировании.

3.2.3. Единственность факторно-идентичных индексов Дивизиа и Монтгомери

Проанализировано существование семейств путей, для которых полностью совпадали бы индексы, порождаемые конструкциями Дивизиа и Монтгомери. Определено то, как предлагается понимать полное совпадение траекторных индексов. Доказано, что этим требованиям удовлетворяет только семейство путей, порождающих индексы Монтгомери–Вартиа.

3.2.4. Цепные индексы Дивизиа–Монтгомери для последовательностей состояний

В теории индексов обсуждается обоснованность применения индексных формул для сравнения состояний системы цен и количеств в двух достаточно далеко отстоящих друг от друга периодах. Граничные периоды будем различать по начальным моментам времени: t = 0 – для начального периода с параметром времени ∈ [0; 1], t = T – для конечного периода с ∈ [T; T + 1]. Рассматривается последовательность промежуточных состояний с начальными моментами времени t1 < t2 < … < tT–1 (0 < t1, tT–1 < T) и для них рассчитываются цепные индексы цен и количеств. Принимается tk = k, k = 1, …, T – 1.

Для соседних состояний рассчитываются обычные или сцепленные индексы
IP(k – 1; k), IQ(k – 1; k), а затем соответствующие им цепные индексы

k = 1, …, T.

При расчетах сцепленных индексов фактически используется предположение об однородности процесса перехода от k-го состояния в (k + 1)-е.

Анализ выполнения Аксиомы транзитивности (циркулярности) для индексов Дивизиа–Монтгомери должен базироваться на строгом определении этого свойства для траекторных индексов. Достаточно рассмотреть определение для трех состояний, характеризуемых известными значениями n цен и количеств: (p0, q0), (p1, q1) (p2, q2). Индексы Дивизиа и индексы Монтгомери превращаются в индексные формулы, если при любых положительных значениях переменных (p*, q*) и (p**, q**) определен соединяющий эти два состояния, положительный и дифференцируемый путь (t; p*, q*; p**, q**) из семейства путей S. Для путей из S используются упрощающие обозначения:

(t; p0, q0; p1, q1) = 0;1, (t; p0, q0; p2, q2) = 0;2, (t; p1, q1; p2, q2) = 1;2.

Траекторные индексы IP, IQ, порождаемые семейством путей S, удовлетворяют аксиоме транзитивности, если для любых допустимых состояний (p0, q0), (p1, q1) (p2, q2) выполняются соотношения

IP(0;1) IP(1;2) = IP(0;2), IQ(0;1) IQ(1;2) = IQ(0;2).

Для семейства путей S, не удовлетворяющего специальным ограничениям, они не выполняются. Но можно ограничиться рассмотрением только транзитивных семейств путей, для которых путь 0;2 является объединением путей (t; p0, q0; p*, q*) и (t; p*, q*; p2, q2), если точка-состояние (p*, q*) принадлежит пути 0;2. Тогда условия транзитивности будут выполняться для индексов Дивизиа, порождаемых семейством транзитивных путей, при условии, что состояние (p1, q1) принадлежит пути (t; p0, q0; p2, q2) = 0;2. Такое свойство траекторных индексов названо условной транзитивностью относительно семейства транзитивных путей S. Показано, что индексы Монтгомери не являются условно транзитивными относительно любого семейства порождающих их путей, но семейство путей SDME{} транзитивно. Поэтому индексы Дивизиа–Монтгомери, являясь частным случаем индексов Дивизиа, условно транзитивны относительно этого семейства.

Однако индексы IP[0; T], IQ[0; T], получаемые из индексов Дивизиа–Монтгомери IPDM(k; k + 1) и IQDM(k; k + 1) и обозначаемые IPDM[0; T] и IQDM[0; T], не являются индексами Дивизиа, поскольку в общем случае последовательность состояний (pk, qk+1), k = 0, 1, …, T, не принадлежит пути (t; p0, q0; pT, qT). Формулы базируются на тождестве

в котором используются пути , генерирующие индексы Дивизиа–Монтгомери. В нем реализуется конструкция индексов Дивизиа, применяемая к последовательности состояний {(p0, q0), (p1, q1), …, (pT, qT)}, соединяемых путями . Поэтому индексы IPDM[0; T] и IQDM[0; T] можно называть цепными индексами Дивизиа и обозначать IPD•[0; T], IQD•[0; T].

Для той же последовательности состояний и путей конструкция индексов Монтгомери базируется на другом тождестве

V(T) – V(0) =

и определяет индексы IPM•[0; T] и IQM•[0; T]. Следовательно, конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери при их распространении на последовательность состояний {(p0, q0), …, (pT, qT)}, определяют различные пары индексов цен и количеств: IPDM[0; T] = IPD•[0; T]  IPM•[0; T], IQDM[0; T] = IQD•[0; T]  IQM•[0; T]. Индексы Монтгомери IPM•[0; T], IQM•[0; T] для последовательностей {R0T} не удовлетворяют Аксиоме условной транзитивности, Но цепные индексы Дивизиа–Монтгомери IPDM[0; T], IQDM[0; T] или индексы IPD•[0; T], IQD•[0; T] удовлетворяют этой Аксиоме и их применение в рассматриваемых ситуациях этим оправдано.

3.2.5. Гипотеза однородности периода с непостоянными ценами и аксиоматическое определение средних для периода цен

Для рассматриваемых периодов-состояний теория и статистическая практика полагают известными количества и средние для периода цены товаров и услуг. В ситуациях, когда цены не постоянны, средняя для периода цена зависит от динамики его количества, которая, как правило, не наблюдаема статистически. Для такой ситуации решена задача нахождения средних для периодов цен по статистическим данным.

Рассматривается ситуация, в которой базовой период с t ∈ [0; 1] предполагается однородным и статистическими методами получены граничные (при t = 0 и t = 1) значения pi0 и pi1 цены i-го товара и его суммарная для периода стоимость Vi[0]. По этим данным требуется, используя выдвигаемые гипотезы, определить количество i-го товара Qi[0] и его среднюю для периода цену Pi[0], удовлетворяющие аксиоме стоимости Qi[0]  Pi[0] = Vi[0]. Величины Vi[0] и Qi[0] предполагаются представимыми в интегральном виде Vi[0] ≡ V[0; 1] = Qi[0] = где vi(t) и qi(t) – соответствующие функции плотности. Предполагается, что vi(t) = qi(t)  pi(t), где pi(t) – так называемые мгновенные цены, и pi(0) = pi0, pi(1) = pi1.

Гипотезу однородности двух периодов c t = 0 и t = 1 предлагается понимать так, что при определении индексов цен и количеств для сравниваемых состояний не требуется другая информация, кроме величин Vi[0], Qi[0], Pi[0],

Vi[1] ≡ V[1; 2] = Qi[1] = Pi[1] = Vi[1]/Qi[1], i = 1, …, n.

Гипотезу однородности базового периода (или текущего периода с t = 1) в ситуации изменяющихся цен, то есть при pi(t) ≠ const, pi0 ≠ pi1, предлагается формализовать как аксиоматический выбор функций плотности vi(t), qi(t) и функции мгновенной цены pi(t) в том виде, в котором получены траектории количеств и средних цен, порождающих индексы Монтгомери.

Однородность периода предлагается определять одним из двух способов. Первый вариант основывается на том, что однородность определяется как постоянство долей факторов количества и цены в изменениях плотности для стоимости {vi(t) – vi0} и для её логарифма {ln vi(t) – ln vi0}. В этом случае используются при 0 ≤ t ≤ 1 уравнения vi(t) = vi0 + t(vi1 – vi0), в которых αi(q) = , αi(p) =. Наблюдаемыми считаются цены pi1, pi0 и стоимость Vi[0]. Интегрированием получаем:

Vi[0] = 0,5(vi0 + vi1), Qi[0] =,

Pi[0] =

В этих формулах используются неизвестные значения qi1, qi0 или vi1, vi0. Они связаны соотношением 2Vi[0] = vi0 + vi1. Чтобы по данным Vi[0], pi0 и pi1 рассчитать величины qi0, qi1, сформулирована гипотеза, позволяющая получать еще одно соотношение для параметров и исходных данных.

Исследованы два случая, в которых эта задача должна быть решена. Для типичного случая начальное значение количеств qi0 можно считать найденным в результате решения аналогичной задачи, но для предшествующего периода с t ∈ [–1; 0]. Если для такого периода найдены величины Qi[–1], Pi[–1], то по известным величинам уже рассчитаны qi–1 и qi0. Поэтому Qi[0] и Pi[0] вычисляются. В особом случае значение qi0 неизвестно, поскольку отсутствуют данные для периода, предшествующего рассматриваемому состоянию. Для этого случая представим Pi[0] как функцию переменных pi0, pi1, qi0, qi1. Перейдя к переменной xi = 2 zi – ai, где ai = ln(pi1/pi0), и опуская для упрощения индекс товара у показателя ai и переменной xi, получаем

Таким образом, отношение средней и начальной для периода цены в принимаемых предположениях определяется отношениями vi1/vi0 и (pi1/pi0).

В качестве характерного значения аргумента x для функции f(x; a) при a 0 предлагается рассматривать x* - решение уравнения d2f(x; a)/dx2 = 0 или его приближенное значение x = 0. Аргументу x* соответствует точка перегиба функции f(x; a) и наибольшее значение первой производной этой функции. В Приложении 8 рассмотрены свойства функции f(x; a) и показано, что d2f(0; a)/dx2 ≠ 0. Для применения предлагаемого способа оценивания средней цены Pi[0] важно, что x* не зависит от параметра ai и очень мало. Это позволяет использовать значение exp(x*) ≈ 1, x* = 0.

Для функции F(x; a) = sign(a)[f(x; a) – 1]/(ea – 1), интерпретируемой (при a  1) как функция распределения для случайной величины x, значение x* определяет ее моду. Доказано, что функция F(x; a) монотонно возрастает и её можно рассматривать как функцию распределения случайной величины x, принимающей значения от до . В случае, когда используется приближенное значение x* ≅ 0, получаем zi = (pi1/pi0)0,5 и Pi0[0] =
= (pi1 – pi0)/ln(pi1/pi0). При найденном значении x* величины qi0 и qi1 находятся.

Второй вариант определения однородного периода с изменяющимися ценами связан с традиционной для экономической теории и статистики гипотезой постоянства темпов роста для рассматриваемых показателей. Траектории моментных количеств, цен и стоимостей задаются в виде

qi(t) = qi0 (qi1/qi0)t, pi(t) = pi0 (pi1/pi0)t, v(t) = vi0(vi1/vi0)t ≡ pi0 qi0{(pi1 qi1)/(pi0 qi0}t,

где 0 t 1, i = 1, …, n. Величины Vi[0] и Qi[0] находятся интегрированием

Vi[0] = (vi1 – vi0)/ ln(vi1/vi0), Qi[0] = (qi1 – qi0)/ ln(qi1/qi0)

и для средней (для периода) цены получаем

Pi[0] = .

В этой формуле предполагаются известными мгновенные цены pi0, pi1 и статистически не наблюдаются мгновенные количества qi0, qi1. Вводя параметр a = ln(pi1/pi0) и переменную x = ln(qi1/qi0), получаем формулу P[0]/pi0 = f(x; a), которая совпадает с формулой, полученной в первом варианте. Это позволяет, используя результаты анализа свойств функции f(x; a), выбрать для переменной x значение x*, являющееся решением уравнения d2f(x; a)/dx2 = 0, и его приближение x = 0. Если используется значение x = 0, то qi1 = qi0, Qi[0] = qi0, Pi[0] = (pi1 – pi0)/ ln(pi1/pi0) и qi0 = Vi[0]/Pi[0]. Выбор варианта определения однородности периодов не влияет на Pi[0] и Qi[0], так как используется общие значения стоимости Vi[0] и параметра ai = ln(pi1/pi0).

Традиционно применяемая в практической статистике формула для средней (для периода) цены Pi[0] ≈ 1/2(pi0 + pi1) представляет собой приближение к полученному, исходя из теоретических соображений, значению. Для оценок средних цен при pi1 > pi0 выполняется неравенство Pi[0] ≡ (pi1 – p0i/ ln(pi1/pi0) < 1/2(pi0 + pi0). В начальном периоде при использовании оценки Pi[0] = 1/2(pi0 + pi1) происходит занижение оценки количества Qi[0] по сравнению с оценкой Vi[0]/{(pi1 – pi0)/ ln(pi1/pi0)}. Предложенный метод расчета средней цены не противоречит применяемому в статистической практике методу, корректируя его в ситуации быстрого роста моментных цен.

3.2.6. Индексы для периодов, состоящих из однородных периодов меньших продолжительностей

Соседние периоды, для которых уже определены сцепленные индексы, названы первичными периодами. Под первичными периодами можно понимать, например, месяцы или кварталы, объединяемые в периоды большей продолжительности – кварталы или годы. Такие периоды назовем агрегированными периодами или А-периодами. Для них определяются те же показатели стоимостей и количеств, что и для первичных периодов. Допустимо считать, что они равны суммам показателей для входящих в А-периоды первичных периодов. Для соседних А-периодов оказываются определенными те же индексы, что и для первичных периодов. Но требует ответа вопрос: можно ли ограничиваться для двух соседних А-периодов, которым присвоены шифры «0» и «1», расчетом индексов, в которых используются только суммарные показатели стоимости V(0), Q(0), V(1), Q(1) и средние цены P(0) ≡ V(0)/Q(0), P(1) ≡ V(1)/Q(1)? В этих индексах не используются сведения о совместной динамике показателей для первичных периодов. Такую возможность классическая теория принимает на веру, постулируя, что индексы IQ(0; 1) и IP(0; 1) представляют собой функции от 4n аргументов Pi(0), Pi(1), Qi(0), Qi(1). Для первичных периодов это предположение оправдывается. Но применение индексов, оперирующих суммарными показателями для А-периодов, означает согласие оставаться в рамках статического подхода. Использование данных для первичных периодов, а не только их сумм, означает переход к реализации динамического подхода.

Предполагается, что для соседних первичных периодов с шифрами (t – 1) и (t), включенных в сравниваемые А-периоды, уже выбраны индексные формулы IP(t – 1; t), IQ(t – 1; t) и IP(t; t – 1), IQ(t; t – 1). И для этих индексов выполняются Аксиома стоимости и Аксиома обратимости во времени. Пусть базовый А-период имеет шифр «0», а следующий за ним А-период – шифр «1». А0- и А1-периоды состоят из T первичных периодов с номерами t = 1, ..., T, T+1, ..., 2T. Стоимости, количества и цены для i-й группы продуктов в t-м первичном периоде будем обозначать vit, qit, pit, считая, что pit =vit/qit. Используются обозначения: , , , , . Цепные индексы для базового периода и текущего периода t определяются обычным способом. Для них выполняются соотношения IP[; t] IQ[; t] = Vt/V, IP[t; ] IQ[t; ] = V/Vt и определены стоимость V[t; ] ≡ IP[; t] V = Vt/IQ[; t] = V/IP[t; ] = Vt IQ[t; ] для периода в ценах периода t и стоимость V[; t] для периода t в ценах периода .

Рассмотрены следующие варианты индексов цен IP(0; 1) и количеств IQ(0; 1) для двух А-периодов. В традиционном варианте индексов i-й продукт в каждом из T первичных периодов рассматривается как один из Tn «продуктов». Получаемые индексы используют данные для всех продуктов и всех первичных периодов. Очевидным недостатком этого подхода является то, что такие индексы не изменяются при любой перестановке Tn «продуктов», в том числе при изменении порядка следования первичных периодов. В ситуации, когда порядок периодов отражает процесс совместного изменения стоимостей, количеств и цен продуктов, такая инвариантность является недостатком, не имеющим оправдания. Проанализированы возможности использовать пересчет количеств для первичных периодов из А1-периода в цены А0-периода или какого-нибудь другого периода и получить на этом пути индекс количеств IQ(0; 1), а затем имплицитный ему индекс цен IP(0; 1). Такой пересчет возможен в нескольких вариантах.

Во-первых, объемы Qi(1) можно рассчитать в ценах А0-периода, используя среднюю цену i-го продуктов Vi(0)/Qi(0). Тогда индекс IQ(0; 1)I естественно определить как отношение . В этом варианте получаем индекс количеств Ласпейреса IQL и индекс цен Пааше IPP для А-периодов. Они не изменяются при перестановке первичных периодов и не учитывают динамический характер ситуации. Если пересчитывать объемы А0-периода в средние цены товаров А1-периода, то получаемые индексы IQP, IPL также определяются суммами стоимостей и количеств продуктов.

Во втором варианте количества qiT+t пересчитываются в цены периода t и в качестве индекса получим отношение . Но эти индексы не равны индексам, получаемым при переводе количеств qit в цены периода (T + t). Зависимость индексов от выбора А-периода, в цены которого пересчитываются стоимости, имеет следствием то, что индексы не удовлетворяют Аксиоме обратимости состояний. Поэтому этот вариант отвергается.

Третий вариант индексов для агрегирующих периодов сконструирован, используя цепные индексы цен IP[; t], получаемые из сцепленных индексов IP(t;t+1) для первичных периодов. Выберем первичный период, а именно период (1 2T), считая его «базовым» и пересчитывая в его цены с помощью цепных индексов суммарные стоимости всех n продуктов для первичных периодов. Из получаемых так стоимостей Vt IP[t; ] образуем суммарные стоимости для А0- и А1-периодов в ценах периода . Их отношение предлагается рассматривать как третий вариант индекса количеств IQ(0; 1):

IQ(0; 1)III =.

Важнейшим свойством этого индекса является его независимость от выбора базисного периода. Это свойство выполняется при любом выделении из последовательности первичных периодов двух агрегированных периодов. Оно названо свойством согласованности индексов относительно агрегирования состояний. Индексы IQ(0; 1)III и IP(0; 1)III ≡ {V(1)/V(0)}/IP(0; 1)III названы структурно-динамическими индексами.

Индекс IP(0; 1)III не инвариантен относительно «перемешивания» первичных периодов, не определяется суммарными стоимостями и количествами продуктов в сравниваемых А-периодах, удовлетворяет Аксиоме обратимости состояний и отражает динамику цен и количеств в них.

Индексы IP(0; 1)III и IQ(0; 1)III, в которых сцепленные индексы – это индексы Дивизиа–Монтгомери, названы структурно-динамическими индексами Дивизиа–Монтгомери IPSDM(0; 1) и IQSDM(0; 1) или IPSDM и IQSDM. Важно, что первичные периоды, образующие агрегированные и неоднородные периоды, рассматриваются как однородные. Следовательно, корректно реализована идея введения динамических индексов для неоднородных периодов, в которых подпериоды связываются естественным образом с имеющимися данными о ценах и количествах, а не выбираются произвольным образом. Это отличает структурно-динамические индексы Дивизиа–Монтгомери от индексов Дивизиа для путей C(p*) и C(q*).

3.3. Инвариантные свойства семейств суперсовершенных путей, порождающих индексы Фишера, Монтгомери–Вартиа и Торнквиста как индексы Дивизиа

Теория столкнулась с трудностями сравнения экономических структур, представляемых точками пространства состояний. Если структуры различаются существенно, это может интерпретироваться как свидетельство произошедших изменений в изучаемом объекте и, следовательно, неполноты характеризующего объект набора показателей. Наряду с точками в пространстве состояний можно рассматривать соединяющие их траектории. Но необходимо обоснованно наделить пространство состояний особым геометрическим объектом – аффинной связностью, определяющей геодезические линии как траектории естественного движения объекта.

3.3.1. Пути семейств, порождающих индексы Фишера, Монтгомери и  Торнквиста, как геодезические линии пространств со связностью

Для семейств путей, порождающих индексы Фишера (SDFE), Монтгомери–Вартиа (SDME) и индекс цен Торнквиста вместе с имплицитным ему индексом количеств (SDToE), получены дифференциальные уравнения как уравнения геодезических линий пространств, наделённых аффинной связностью. В переменных, ln pi и ln qi, производные которых интерпретируются как темпы изменения, они представляются в виде:

для π(t) ∈ SDFE{π}

=, ;

для π(t) ∈ SDME{π}

, .

Доказано, что индексам Фишера соответствует плоское риманово (евклидово) пространство нулевой кривизны с абсолютным параллелизмом.

Для траекторий, порождающих индексы Торнквиста, имеем:

где pq ≡ V(t) – общая стоимость товаров.

3.3.2. Проблема выбора между динамическими индексами цен и количеств Фишера, Дивизиа–Монтгомери и Торнквиста

С использованием свойств индексов Фишера, Монтгомери и Торнквиста обосновано теоретические и практические преимущества индексов Дивизиа–Монтгомери перед другими индексами. Они заключаются в том, что: индексы Дивизиа–Монтгомери имеют аксиоматическое обоснование, основанное на определении однородного процесса перехода от базового к текущему состоянию; они медиально инвариантны относительно преобразований переменных, согласованы относительно агрегирования; являются индексами, порождаемыми конструкциями индексов Дивизиа и Монтгомери, и, следовательно, обладают свойствами таких индексов; аппроксимируют любые суперлативные индексы, не нуждаясь в обосновании выбора аппроксимируемой агрегаторной функции; их значения изменяются при обмене состояний ценами, количествами или расходами для товаров. Индексы Фишера и Торнквиста не изменяются при таких подобных обменах. Для индексов Дивизиа–Монтгомери доли факторов в изменении стоимости совпадают с долями вкладов факторов в темпе прироста стоимости.

В Приложении 7 сравниваются и анализируются значения 12 индексов цен и количеств, рассчитанных по данным из получивших международное признание работ, развивающих и иллюстрирующих индексную методологию. Источники данных: Глава 19 «Построение индексов цен с использованием набора условных данных» из «Руководства по индексу потребительских цен: теория и практика» (2004, 2007); Ирвинг Фишер. «Построение индексов» (ЦСУ СССР, 1928; данные о ценах и количествах 36 товаров в экономике США за 1913–1918 гг.); Пал Кёвеш. «Теория индексов и практика экономического анализа» (М.: Финансы и статистика, 1990;. данные о ценах и количествах 39 продовольственных товаров на рынках Будапешта за 1961–1970 гг.); Yuskavage R.E. Improved Estimates of Gross Product by Industry, 1959–1994. Survey of Current Business, 1996, August (данные о произведенных в период 1987–1994 гг. 66 отраслями экономики США объёмах ВВП в текущих ценах и долларах 1992 г.). В Приложении 9 приводятся результаты расчета структурно-динамических индексов для агрегированных периодов (используются данные первого источника).

Расчеты подтвердили: неприспособленность «граничных» индексов Ласпейреса, Пааше и их геометрических аналогов для анализа динамик цен и количеств по реальным статистическим данным; близость значений основных динамических и моментных индексов, исключающую выбор из них на основании прагматических соображений; обоснованность выбора индексных формул, в том числе индексов Дивизиа–Монтгомери и структурно-динамических индексов Дивизиа–Монтгомери, в результате анализа рассматриваемых ситуаций; целесообразность использования «эталонных характеристик» индексов, получаемых для однопараметрических семейств индексов, в том числе введенных в следующем пункте, для выделения периодов, однородность которых заслуживает анализа.

3.4. Обобщенные индексы Дивизиа–Торнквиста

Конструкция индексов Дивизиа позволяет вводить в рассмотрение новые индексные формулы. Предложен новый класс индексов Дивизиа, называемых h-индексами, для которых траектории цен задаются в виде hi(t) = pi0 (pi1/pi0)h(t), где монотонная функция h(t) удовлетворяет условиям h(0) = 0, h(1) = 1. Для любой функции h(t) индекс цен IPDh определяется формулой:

,

где A и B – найденные элементарные функции цен и количеств в граничных состояниях, F(h)– число, вычисляемое по функции h(t) и стоимостям v0 ≡ p0 q0, v1 ≡ p1 q1. Из монотонности функции h(t), отражающей однородность совместной динамики цен и количеств, следует, что интеграл F удовлетворяет неравенству [max(v0, v1)]–1 < F(h) < [min(v0, v1)]–1. Значения индексов цен и количеств можно получить при известных граничных состояниях, задавая значение F как параметр F*. Индексы, определяемые при задаваемом значении параметра F*, названы обобщенными динамическими индексами Дивизиа–Торнквиста. Вместо параметра F* рассматривается относительный параметр u

В случае, когда V0 = V1 для допустимой функции h(t) имеем F{1; h(τ)} = 1/V0 = 1/V1 и u = 1. Эту ситуацию естественно характеризовать как наименее динамичную. В качестве показателя динамичности перехода из начального состояния в конечное, используется показатель W = 1 – u. Для индекса Торнквиста u = 0,5 Показатель W для h-индексов удовлетворяет неравенству 0 < W < 1. Значениям W, равным 0 и 1, соответствуют логарифмические индексы цен Ласпейреса и Пааше. Выход показателя W за границы неравенства может трактоваться как следствие специфической динамики показателей, в том числе нарушения монотонности траекторий цен и количеств.

Введение семейства обобщенных динамических индексов Дивизиа–Торнквиста решает задачу расширения множества индексов, представимых в виде элементарных функций от цен и количеств товаров и услуг в сравниваемых состояниях.

4. Заключение. Выводы и основные научные положения и результаты выполненного исследования

1. В результате анализа направлений классической теории индексов показано, что она не представляет собой единое, непротиворечивое целое. Разработаны и теоретически обоснованы положения ситуационной теории индексов цен и количеств, в которой преодолеваются выявленные противоречия классической теории индексов и ее направлений. Введена система понятий, объединяющая статическую и динамическую концепции теории индексов, позволяющая получать адаптируемые к типовым ситуациям индексы, решать задачи выбора индексов для ситуаций, используемых в статистической практике и теоретических исследованиях.

2. В типовых ситуациях, изучаемых классической теорией, применяемые в статистической практике индексы цен для первичной группы товаров и услуг, индексы для корзины и индексы Ласпейреса–Пааше определены минимальными системами их свойств-аксиом. В число аксиом включены безусловно признаваемые свойства индексов и «ситуационные аксиомы», характеризующие рассматриваемые ситуации. Сформулированы и интерпретируются ранее не рассматривавшиеся ситуационные аксиомы, в том числе аксиома разложения индекса цен по элементам цены и аксиома согласованности индексов относительно агрегирования. Первая из аксиом определяет важный для приложений прием анализа влияния на индексы цен динамик их составляющих, в том числе оптовых цен, торгово-посреднических и транспортных наценок, налогов. Выполнения второй аксиомы естественно требовать при расчетах индексов для иерархической системы продуктов, не имеющих на уровне групп общей единицы измерения количеств.

3. Для основных применяемых индексов цен (индекса Лоу, линейного индекса Ласпейреса–Пааше, индексов. Маршалла–Эджворта, Стювела, Фишера, Торнквиста, Монтгомери–Вартиа) найдены характерные множества их свойств. Эти наборы аксиом могут использоваться при определении ситуаций, для которых применение индекса признается естественным.

4. Для индексов Фишера и Торнквиста, рекомендуемых международными организациями и отдельными учёными для использования, выявлены свойства, не имеющие содержательных интерпретаций в классической и ситуационной теории. Эти свойства являются следствиями из не критически выбранных требований к индексам, необоснованно постулируемой «равноценности» аксиом, определяющих индексы, и отказа от поиска и содержательного анализа ситуаций, которым индексы соответствуют.

5. Выявлена необходимость рассмотрения в теории индексов двух различных возможных определений показателей стоимостей количеств и цен, используемых в динамических конструкциях индексов, а именно моментных показателей и показателей, вводимых для скользящих периодов с непрерывно изменяющимися граничными моментами. Преимущество второго определения состоит в том, что оно обобщает определения индексов, применяемые статическим и экономическим направлениями теории.

6. Обнаружено и доказано, что индексы Фишера, Торнквиста и Монтгомери–Вартиа являются частными случаями индексов Дивизиа. Найдены системы дифференциальных уравнений для путей, порождающих эти индексы, интерпретируемые как уравнения геодезических линий пространств аффинной связности. Уравнения могут использоваться при моделировании происходящих в экономике процессов, когда моменту времени сопоставляется скользящий период. Выбор семейства динамических индексов трактуется как выбор естественной совместной динамики цен и количеств

7. Дано определение однородного процесса перехода от базового к конечному состоянию, позволившее найти траектории цен и количеств для скользящих периодов, на которых предложенные Дивизиа и Монтгомери конкурирующие конструкции динамических индексов генерируют совпадающие индексы цен и количеств. Цены в однородных периодах не предполагаются постоянными. Доказана единственность семейства путей, для которых конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери порождают совпадающие индексы. Полученные индексы Дивизиа–Монтгомери обоснованы аксиоматически, удовлетворяют аксиоме согласованности относительно агрегирования) и совпадают с известными логарифмическими индексами Монтгомери–Вартиа.

В определении однородности периода формализовано принимаемое классической теорией индексов предположение о возможности введения индексов в виде функций от цен и количеств в двух сравниваемых состояниях, без знания процесса перехода от начального состояния к конечному. Нахождение траекторий основано на предложенной задаче получения факторного разложения конечного приращения гладкой и монотонной функции многих переменных и на доказанных свойствах ее решений.

8. Предложена формулировка и найдено решение задачи конструирования индексов для пары сравниваемых состояний в динамических ситуациях, когда рассматриваются неоднородные периоды-состояния, образованные последовательностями однородных первичных периодов с меньшими продолжительностями. Структурно-динамические индексы для агрегированных периодов, получаемые дефлятированием стоимостей для первичных периодов в цены выбранного элементарного периода, не зависят от его выбора. В них учитывается динамика цен, количеств и стоимостей для совокупности товаров в агрегированных периодах, а не только их суммарные для периодов количества и стоимости (в текущих, не предполагаемых постоянными ценах).

9. Сформулирована и решена задача оценки по статистическим данным средней для периода цены товара, когда период предполагается однородным. Оценка такой цены необходима при расчетах любых индексов. В условиях существенной динамики цен в течение периода полученная оценка корректирует традиционную оценку средней цены, определяемую как среднее арифметическое моментных цен в его граничные моменты.

10. С использованием конкретных статистических и конструируемых данных о ценах и количествах товаров, заимствуемых из работ авторитетных специалистов и ученых, иллюстрирующих и развивающих индексную методологию, и подготовленного международными организациями методического руководства по индексу потребительских цен, показано, что не являющиеся граничными индексы цен Маршалла–Эджворта, Уолша, Тейла Стьювела, Фишера, Торнквиста, Монтгомери–Вартиа и Сато–Вартиа могут различаться столь незначительно, если принимать во внимание неточности используемых данных, что выбор между ними не может базироваться на сравнительном анализе их значений. Поскольку сравниваемые индексы характеризуются наборами свойств, выявляемых ситуационной теорией индексов, то проблема выбора индекса должна решаться и в диссертации решается с позиций этой теории. Последняя предполагает обоснование выбора ситуационных аксиом, соответствующих рассматриваемой типовой ситуации.

11. В результате анализа индексов Фишера, Монтгомери–Вартиа и Торнквиста, определяемых как моментные индексы и индексы Дивизиа, обоснованы теоретические и практические преимущества индексов Дивизиа–Монтгомери перед другими динамическими индексами.

12. Сконструировано однопараметрическое семейство динамических индексов цен Дивизиа и имплицитных им индексов количеств. Индексы зависят от задаваемого параметра, характеризующего степень динамичности перехода от базового состояния к конечному. Эти индексы не предполагают знание траекторий цен и количеств товаров как функций времени. Индекс цен Торнквиста является частным случаем индексов этого семейства. Значения индексов, названных обобщенными индексами Дивизиа–Торнквиста, лежат между значениями логарифмических индексов цен Ласпейреса и Пааше, Любой индекс цен, вычисляемый по заданным значениям цен и количеств товаров, интерпретируется как обобщенный индекс Дивизиа–Торнквиста, и его значение может рассматриваться как значение этого эталонного индекса. Это свойство семейства создает новые возможности анализа совместной динамики цен и количеств товаров.

II. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА
ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монографии (и главы в монографиях):

  1. Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств. М.: РИОР, 2011.– 420 с. (Научная мысль). ISBN 978-5-369-00765-5.– 26,5 п. л.
  2. Ершов Э.Б. (в составе авторского коллектива). Глава 4 «Использование вычислительной техники и математических методов в расчетах по международным сопоставлениям экономических показателей» и Приложение 7 «Некоторые методические вопросы международных сопоставлений и их решение математическими методами» в монографии «Сопоставление уровней экономического развития социалистических стран». М.: Экономика, 1965 – С. 110–124, 269–281 (общий объём монографии – 15,54 п.л.; вклад автора – 1,7 п.л.).
  3. Ершов Э.Б. (в составе авторского коллектива). Межотраслевой баланс и проблемы ценообразования. Глава в монографии «Методы планирования межотраслевых пропорций». М.: Экономика, 1965 (соавтор по главе – Белоусов Р. А.). С. 204–20; общий объём монографии – 22,0 п.л.; объём главы 1,0 п.л.; вклад автора – 0,5 п.л.

Статьи в журналах по списку ВАК:

  1. Зайцева А., Ершов Э., Белоусов А., Поляков И. Методология исчисления вынужденных сбережений и подавленной инфляции: новый подход // Вестник статистики, 1991. № 9. С. 31–42. – 1,3 п .л. (вклад автора – 0.5 п. л.).
  2. Ершов Э.Б. Индексы цен и количеств Фишера и Монтгомери как индексы Дивизиа // Экономика и математические методы. 2003. Т. 39. № 2. С. 136–154. – 1,9 п.л.
  3. Ершов Э.Б. Линейные связности в пространстве цен и количеств, индуцируемые индексами Фишера и Монтгомери // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41. № 4. С. 53–67. – 1,0 п.л.
  4. Ершов Э.Б. Имплицитно-суперсовершенные индексы цен и количеств Дивизиа // Экономика и математические методы. 2006. Т. 42. № 3. С. 68–85. – 1,1 п.л.
  5. Ершов Э.Б. Теория клювов и моделирование. // Экономика и математические методы. 2007. Т. 42. № 1. С. 52–67. – 1,7 п.л.
  6. Ершов Э.Б. Межотраслевые модели и теория клювов // Экономика и математические методы. 2007. Т.42. № 2. С. 57–75. – 2,0 п.л.
  7. Ершов Э.Б. Развитие и реализация идей модели межотраслевых взаимодействий для российской экономики // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2008. Т. 12. № 1. С. 3–28. – 1,7 п.л.
  8. Шугаль Н.Б., Ершов Э.Б. Теоретическая модель взаимосвязи элементов добавленной стоимости и конечного продукта // Проблемы прогнозирования. 2008. № 1 (106). С. 33–54. – 1,4 п.л. (вклад автора – 0,8 п.л.).
  9. Шугаль Н.Б., Ершов Э.Б. Эмпирическая модель взаимосвязи добавленной стоимости и конечного продукта в российской экономике // Проблемы прогнозирования. 2008. № 2 (106). С. 19–48. – 1,8 п.л. (вклад автора – 0,8 п.л.).
  10. Ершов Э.Б. Факторная идентичность траекторных индексов порождаемых конструкциями Дивизиа и Монтгомери как определяющее свойство логарифмических индексов цен и количеств // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2010. Т. 14. № 1. С. 70–87. – 1,2 п.л.
  11. Ершов Э.Б. Структурно-динамические индексы цен и количеств для агрегированных периодов и средние цены для однородных периодов // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2010. Т. 14. № 4. С. 440–467. – 1,8 п.л.

Зарубежные публикации:

  1. Strnad Vladimir, Yershov Emil. Some mathematical problems arising in international comparison of economic indicators // Czechslovak Economic Papers. 1965. № 5. P. 91–105. – 1,0 п.л. (вклад автора – 0,5 п.л.).

Публикации в других изданиях:

  1. Ершов Э.Б. Математические вопросы международных сопоставлений экономических показателей (тезисы доклада). М.: НИЭИ Госплана СССР (препринт), 1965. – 1,0 п.л.
  2. Ершов Э.Б. Вступительная статья и дополнение к переводу монографии Пал Кёвеш «Теория индексов и практика экономического анализа». М.: Финансы и статистика, 1990. С. 5–34, 291–297. – 2,5 п.л.
  3. Ершов Э.Б. Современное состояние теории индексов цен и количеств. Международный Научный семинар «Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов». Труды. М.: ЦЭМИ РАН, 2009. С. 51–59. – 0,5 п.л.

Тезисы докладов на научных конференциях, семинарах и конгрессах:

  1. Ершов Э.Б., Матыцин М.С. Экономическая теория и статистическая практика анализа потребительского поведения домашних хозяйств (Адрес в Интернете: http://www.econorus.org/congress/phtm; Первый Российский Экономический Конгресс РЭК-2009, Программная секция 31 «Экономическая статистика», Сессия 2, Доклад 3; 09. 12. 2009; файл 87p6; 6 с.). – 0,3 п.л. (вклад автора – 0,15 п.л.).

Ершов Эмиль Борисович

СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ

ИНДЕКСОВ ЦЕН И КОЛИЧЕСТВ

Специальность 08.0013 – Математические
и инструментальные методы экономики
(экономические науки)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора экономических наук

(представляемой в виде монографии)

Заказ №        Объем 2,6 п.л.        Тираж 100 экз.

ЦЭМИ РАН






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.