WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

АСХАБОВ СУЛТАН НАЖМУДИНОВИЧ

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ С МОНОТОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Белгород - 2010

Работа выполнена в Чеченском государственном университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ШАБАТ Алексей Борисович, доктор физико-математических наук, профессор КИЛБАС Анатолий Александрович, доктор физико-математических наук, профессор ГЛУШАК Александр Васильевич.

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов.

Защита диссертации состоится 15 июня 2010 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 Прядиев В.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Решение нелинейных краевых задач и многих других задач современной математики, физики и биологии приводит к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям, нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным уравнениям типа свертки и их дискретным аналогам. Все эти уравнения объединяет то, что их ядра зависят от разности аргументов. Интерес к нелинейным уравнениям с разностными ядрами вызван не только их многочисленными и разнообразными приложениями, но и тем, что методы и результаты теории линейных уравнений с разностными ядрами, которая достаточно хорошо разработана1 2 3, не распространяются на соответствующие им нелинейные уравнения, т.е. имеются принципиальные различия как по методам исследования, так и по характеру получаемых результатов. В случае линейных уравнений основные результаты имеют место сразу для целой серии пространств (Lp, C, C0, M и др.),2 4 так как локальные свойства линейных операторов фактически полностью определяют их свойства во всем пространстве. В случае нелинейных уравнений картина принципиально меняется и зависит не только от выбора рассматриваемого пространства, но и от характера допускаемой нелинейности4, причем для них, в отличие от линейных уравнений, единственность решений неестественна. Как правило, однородное нелинейное уравнение всегда имеет одно очевидное (тривиальное) решение, а интерес (теоретический и практический) представляют другие решения. Например, в теории волн на поверхности идеальной несжимаемой тяжелой жидкости, разработанной А.И. Некрасовым, решения соответствующего нелинейного интегрального уравнения описывают поверхность движущейся жидкости. При этом тривиальное решение соответствует движению жидкости без волн, а условия существования нетривиальных непрерывных решений являются условиями, при которых могут возникать волны.

Существует большое число работ по нелинейным интегральным уравнениям, в основном относящихся к уравнениям типа Вольтерра, Гаммерштейна и Урысона. Значительно меньше работ посвящено нелинейным сингулярным интегральным уравнениям и, особенно, нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным и дискретным уравнениям типа свертки. В этих работах, в зависимости от характера допускаемой нелинейности, исследование основано, как правило, либо на принципе Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Наука, 1968. - 512 с.

Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. - 496 с.

Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 296 с.

Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. СМБ.

М.: Наука, 1968. - 448 с.

Шаудера или принципе сжимающих отображений, либо на теореме существования неявной функции или на некоторых их модификациях. При этом на нелинейность и параметры приходится накладывать жесткие ограничения. Например, при исследовании нелинейных сингулярных интегральных уравнений с помощью принципа сжимающих отображений или принципа Шаудера предполагают, что нелинейность удовлетворяет условию Липшица, а параметр перед ней является достаточно малым по абсолютной величине. В результате линейный случай если и охватывается, то лишь частично (ограничения на параметр зачастую оказываются излишними).

Если же такие уравнения исследовать на основе теоремы о неявной функции, то необходимое для ее применения условие о дифференцируемости нелинейности в случае пространств Лебега приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера приводит к жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность5. В некоторых случаях приходится даже согласовывать рост нелинейности и характер особенности ядра.

Таким образом, естественно возникает проблема установления для нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и их дискретных аналогов нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений, охватывающих, в частности, линейный случай. В этой связи представляется также весьма актуальной задача выделения из них таких классов нелинейных уравнений, которые могут быть исследованы единым методом. Решение этой задачи позволяет выявить их общие свойства и отличительные особенности, а также в определенной степени систематизировать и классифицировать результаты в этой области.

Цель работы. Целью диссертационной работы является установление единым методом нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки при достаточно широких и легко обозримых предположениях относительно нелинейности без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений. В этой связи изучаются важные (в том числе для гармонического анализа) вопросы о положительности, симметричности или кососимЗабрейко П.П. Неявные функции и монотонные по Минти операторы в банаховых пространствах. Докл. АН Беларуси. 1995. Т. 39, N 2. С. 17-21.

метричности сингулярных интегральных операторов, операторов с ядрами типа потенциала, операторов дробного интегрирования, интегральных операторов свертки и их дискретных аналогов.

Методика исследования. Ранее нелинейные сингулярные интегральные уравнения, нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала, нелинейные интегральные и дискретные уравнения типа свертки исследовались, как правило, либо на основе топологического принципа Шаудера, либо на основе принципа сжимающих отображений Банаха при наличии малого параметра перед нелинейной частью. В данной работе исследование проводится на основе метода монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, метода весовых метрик (аналог метода Белецкого) и некоторых их модификаций. Благодаря тому, что монотонные операторы (подобно монотонным функциям) обладают только им присущими свойствами (обратимость, сюръективность, потенциальность и др.), метод монотонных операторов обладает, по сравнению с другими, тем преимуществом, что позволяет, при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейность, доказать существование и единственность решения различных классов уравнений без ограничений на область существования решений и абсолютную величину параметров, что имеет важное значение для приложений. Полученные результаты отличаются от ранее известных как по характеру вводимых ограничений, так и по структуре доказательств. В отличие от традиционных методов, основанных на обращении линейных интегральных операторов, обращаются нелинейные операторы суперпозиции, входящие в эти уравнения. Такой подход позволяет минимизировать ограничения на ядра рассматриваемых уравнений за счет дополнительных ограничений на их нелинейности, что в свою очередь позволяет выявить общие свойства нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных и дискретных уравнений типа свертки. Вместе с этим, теории таких уравнений имеют и существенные особенности, связанные прежде всего с тем, что сингулярные операторы являются положительными и кососимметрическими, операторы типа потенциала являются строго положительными и симметрическими, а операторы типа свертки, вообще говоря, не обладают ни одним из перечисленных свойств.

Известно6 7 8, что метод монотонных операторов является одним из наиГаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. - 416 с.

Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

более плодотворных методов нелинейного анализа и нашел широкое применение в различных вопросах математики и ее приложений. Важными и основополагающими в этой области являются исследования Г. Минти, Ф.

Браудера, Ж. Лере и Ж.-Л. Лионса. Следует отметить также исследования М.И. Вишика, который еще до построения этой теории использовал свойство монотонности сильно эллиптического оператора, М.М. Вайнберга и Р.И. Качуровского, получивших основные результаты этой теории при дополнительном условии потенциальности операторов, и многих других (см.6-8). В настоящее время, теория монотонных операторов разделилась на два параллельных направления: уравнения с коэрцитивными операторами, обладающими свойством (М)6, и уравнения с нечетными (по С.И.

Похожаеву) возрастающими операторами9.

Научная новизна.

1. Построены новые классы сингулярных интегральных операторов, действующих из (вещественных и комплексных) весовых пространств Лебега 1-p Lp( ), p > 1, не в себя, а в сопряженные с ними пространства Lp ( ) и обладающих свойством положительности. Такого вида операторы имеют важные приложения, например, в теории дифференциальных уравнений (уравнение Пенлеве V) и определителей Фредгольма, теории случайных матриц (модели случайно-матричного типа) и других10 11 12 13.

2. Без ограничений на абсолютную величину параметров доказаны глобальные теоремы существования и единственности для трех различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений в (вещественных и комплексных) пространствах Lp( ) с общим (не обязательно степенным) весом (x) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контура интегрирования. Условия, накладываемые на нелинейность, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы порождаемый ею оператор суперпозиции был непрерывным и монотонным.

3. Впервые доказано, что решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши могут быть найдены в пространствах L2() (как в вещественных, так и в комплексных) методом последовательных приближений пикаровского типа при любых (по абсолютной величине) значениях параметров. Без дополнительных ограничений Лаптев Г.И. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве. Матем. заметки. 2002. Т. 71, N 2. C. 214-2Mehta M.L. Random matrices. Acad. Press, Boston, MA, 1991. - 562 p.

Tracy C.A., Widom H. Fredholm determinants, differential equations and matrix models. Comm.

Math. Phys. 1994. V. 163, N 1. P. 33-Wolfersdorf L.v. Eininge klassen quadratischer integralgleichungen. Sitz. Sach. Akad. Wiss.

Leipzig. Math.-naturwiss. Klasse. 2000. B. 128, H 2. S. 1-34.

Faour N.S. The Fredholm index of a class of vector-valued singular integral operators. Indian J.

Pure and Appl. Math. 1980. V. 11, N 2. P. 135-146.

получены также оценки скорости сходимости последовательных приближений. Эти результаты охватывают и линейные сингулярные интегральные уравнения (в частности уравнения, возникающие при описании процесса обтекания двух проницаемых профилей потоком несжимаемой жидкости).

4. В случае вещественных и комплексных пространств Lp(R1) теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решения для всех рассматриваемых классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений доказаны различными методами, имеющими самостоятельный интерес. При этом, в отличие от случая отрезка [a, b], последовательные приближения и оценки скорости их сходимости получены в терминах -исходного нелинейного оператора F, а не обратного к нему оператора F.

5. Получены новые теоремы о строгой положительности операторов b b(t) u(t) Bu = b(x) dt, 0 < < 1, P u = (|x - t|) u(t)dt, |x - t|1- a где - a < b , частными случаями которых являются риссовы потенциалы и логарифмические потенциалы. При этом обобщаются некоторые результаты С. Геллерстедта, Ф. Трикоми и А.М. Нахушева14, имеющие важные приложения в теории рядов Фурье и дробном исчислении, и дополняются некоторые результаты К. Андерсена, Э. Сойера15, Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова16, касающиеся операторов Римана-Лиувилля.

6. Доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений для трех различных классов нелинейных интегральных уравнений, содержащих операторы типа потенциала B, P и операторы дробного интегрирования Римана-Лиувилля. При этом ограничения на нелинейность, касающиеся строгой монотонности, снимаются, а оставшиеся имеют тот же вид, что и в случае соответствующих нелинейных сингулярных интегральных уравнений, однако ограничения на p меняются на противоположные.

7. Установлена потенциальность операторов B, P (т.е. что они являются градиентами некоторых функционалов), на основании чего исследован вопрос об оптимизации приближенных методов решения уравнений, содержащих эти операторы. В результате удалось, в частности, улучшить, по сравнению с нелинейными сингулярными интегральными уравнениями, оценки скорости сходимости последовательных приближений.

Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

Andersen K.F., Sawyer E.T. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 308. N2. P. 547-558.

Прохоров Д.В., Степанов В.Д. Весовые оценки операторов Римана-Лиувилля и приложения // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2003. Т. 243. С. 289-312.

8. Впервые без ограничений на параметры доказано, что решения нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала могут быть найдены приближенными методами градиентного типа не только в L2(a, b) (как в случае нелинейных сингулярных интегральных уравнений), но и в Lp(a, b), и даже в Lp( ) с общим (не обязательно степенным) весом (x).

9. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых операторы свертки по оси R1, полуоси [0, ) и отрезку [a, b] являются положительными, строго положительными и потенциальными в Lp.

10. Впервые методом монотонных операторов без ограничений на параметры доказаны теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки. Из этих теорем следует, что по своим свойствам такие уравнения ближе к нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала, нежели к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям.

11. Методом весовых метрик в конусах пространства C[0, ) изучены интегральные уравнения со степенной нелинейностью в случаях вырожденных и невырожденных, монотонных и почти монотонных, разностных, суммарных и общего вида ядер. Впервые рассматриваются такие уравнения с почти монотонными (по С.Н. Бернштейну) ядрами и используются неравенства Чебышева. Получены точные нижние и верхние оценки решений и на их основе без ограничений на область существования решения доказаны теоремы о приближенном решении таких уравнений. Показана необходимость как нижних, так и верхних априорных оценок в определении классов решений для корректности вводимых метрик.

12. Доказана непрерывная зависимость решений уравнений типа свертки со степенной нелинейностью относительно изменений ядер и правой части в терминах одной и той же, в отличие от других работ, метрики.

13. Впервые методом монотонных операторов исследованы конечные системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки в пространствах вектор-функций Лебега. В случае систем уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных вектор-функций, показано, что решение является неубывающим (а не почти возрастающим) и получены неулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16] показано, что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.

14. Впервые методом монотонных операторов изучены различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах. Найдены необходимые и достаточp ные условия положительности дискретных операторов типа свертки. Такие условия возникают при решении задач статистической физики.

15. Получены оценки решений нелинейных (интегральных и дискретных) неравенств, отличающиеся от известных (Willett-Wong, Pachpatte и др.), как по виду, так и по методу их доказательства.

Приведены конкретные примеры ядер, нелинейностей и пространств, удовлетворяющих предъявляемым требованиям, и тем самым иллюстрирующие все полученные в диссертации результаты.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней единым методом получены новые нелокальные теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных и дискретных уравнений, а также найдены условия положительности операторов, содержащихся в этих уравнениях. Методы и результаты работы позволили построить достаточно полную теорию уравнений с монотонными нелинейностями и разностными ядрами. Такие уравнения и операторы возникают как при решении задач из многих разделов самой математики (нелинейные краевые задачи, конформные отображения, теория вероятностей, гармонический анализ, дробное исчисление и др.), так и при решении прикладных задач гидравлики (определение дебитов нефтяных скважин), гидроаэродинамики (определение распределения скоростей фильтрации на поверхности цилиндра при его обтекании потоком жидкости, поля возмущенных скоростей и давлений вокруг крыла самолета, распространения ударных волн в трубах, наполненных газом), теории упругости (определение контактного давления жесткого штампа на упругую полосу, деформации кругового цилиндра двумерным потоком жидкости, упруго-жестко-пластичного кручения цилиндрического стержня), теории сервомеханизмов (следящих систем), биологии, статистической физики и других.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались:

на международном Российско-Китайском симпозиуме Комплексный анализ и его приложения (Белгород, 2009), на международной конференции Дифференциальные уравнения и топология, посвященной столетию академика Л.С. Понтрягина (Москва, МГУ, 2008), на I, II, III и IV международных конференциях Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания (Обнинск, 2002, 2004, 2006 и 2008 гг.), на международной конференции Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященной столетию академика С.М. Никольского (Москва, МИ РАН, 2005), на международных Российско-Узбекском, Российско-Казахском, Российско-Азербайджанском и Российско-Абхазском симпозиумах Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики (НальчикЭльбрус, 2003, 2004, 2008 и 2009 гг.), на международной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений (Воронеж, 2003 г.), на международных конференциях Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XII и Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XV (Воронеж, 2001 и 2004 гг.), и на семинарах академика РАН С.М. Никольского и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2009), профессора А.Л. Скубачевского (РУДН, 2009), профессора А.П. Солдатова и профессора А.М. Мейрманова (БелГУ, 2009), профессора А.Б. Шабата (КЧГУ, 2007 и 2009), профессора А.М.

Нахушева (НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2004 и 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[37]. Из результатов, полученных в совместных работах [8-13, 15, 16, 18, 19, 21-24], на защиту выносятся только полученные лично автором. Работы [4, 8-11, 13, 16, 18-21, 23, 33, 37] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 294 страницы состоит из введения, восьми глав, разбитых на 41 параграф, списка литературы из 235 наименований и набрана с использованием пакета LaTeX.

Содержание работы Введение содержит обоснование актуальности темы, постановку задач и формулировки основных результатов.

В краткой первой главе (§§1-5), во избежание повторов, приводятся все ограничения, накладываемые на нелинейности в последующих главах.

Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы порождаемые ими операторы суперпозиции действовали17 непрерывно из соответствующего весового пространства Лебега в сопряженное с ним пространство и былимонотонными. Приводятся также, используемые в диссертации, результаты из теории монотонных операторов и интегральных операторов вида:

u(s) ds u(s) ds Su=, Iu=, Hu= h(x - s) u(s) ds, 0 < < 1.

s - x |s - x|1- - - - Глава 2 (§§6-11) посвящена нелинейным сингулярным интегральным уравнениям с ядрами Коши и Гильберта, рассматриваемым в весовых веAppel J., Zabrejko P.P. Nonlinear superposition operators. Cambridge Univ. Press, 1990. - 311 p.

щественных пространствах Lp(). Теория таких уравнений тесно связана с нелинейными краевыми задачами теории аналитических функций. Впервые возможность применения метода монотонных операторов к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям была отмечена в 1968 году в работе Х.Аманна18. В ней приведены два примера, в которых указано, что нелинейные уравнения с ядром Гильберта (мы сохраняем обозначения цитируемых работ):

1 x - y u(x) + 1 + ctg · f(y, u(y)) dy = 0, - x , (2.1) 2 - x - y u(x) + ctg · f(y, u(y)) dy = 0, - x , = ±1, (2.2) 2 - имеют единственное решение в гильбертовом пространстве L2[-, ].

В 1977 году Г.М.Магомедов19 рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида a a 2 F [s, u(s)] u(s) u(x)+ ds = g1(x), u(x)+·F x, ds = g2(x) (2.3) s - x s - x -a -a в пространствах Лебега Lp(-a, a).

В 1979 году вышла работа А.И.Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова20, в которой было доказано, что уравнение вида b 1 u(s) u(x) + ds + · F [x, u(x)] = f(x) (2.4) s - x a имеет решение в пространстве Лебега Lp() со степенным весом (x) = (x - a)(p-1)(b - x)(p-1), 0 , <, 1 - 1 - p p > 2 max,, f(x) Lp (1-p ), p =.

1 - 2 1 - 2 p - В монографии21, опубликованной в 1980 году, приводится лишь один (из упомянутых) результат, касающийся уравнения (2.4), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана (см.21) для сведения уравнений вида (2.3) к уравнению вида (2.4) не привела к желаемым результатам.

Amann H. Uber die existenz und iterative berechnung einer losung der Hammerstein’schen gleichung. Aequat. Math. 1968. V. 1. P. 242-2Магомедов Г.М. Метод монотонности в теории нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, N 6. C. 1106-112.

Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Применение метода монотонных операторов к одному классу интегральных уравнений. Докл. АН Азерб. ССР. 1979. Т. 35, N 8. C. 3-6.

Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1980. - 416 с.

В 1979-1981 годах были опубликованы статьи автора [1]-[5], в которых рассмотрены уравнения более общего вида (2.5), (2.7) и (2.9):

2 b K(x, s) · u(s) 1u(x) + ds + 3 · F [x, u(x)] = f(x) (2.5) s - x a в пространстве Lp(), p 2, с весом (x) = (x - a)(b - x), где p -1 < , < - 1 при p > 2 и - 1 < , 0 при p = 2 ; (2.6) b K(x, s) · F [s, u(s)] u(x) + ds = f(x) (2.7) s - x a в пространстве Lp() с тем же весом, но при условии, что 1 < p 2 и p - 1 < , < p - 1 при 1 < p < 2 и 0 , < 1 при p = 2 ; (2.8) b K(x, s) · u(s) u(x) + · F x, ds = f(x), (2.9) s - x a в пространстве Lp(), p 2, при условии (2.6).

Из результатов автора как прямое следствие вытекает, что в книгеможно брать и отрицательные и . Более того можно брать p = 2 и условие коэрцитивности на нелинейность при этом является излишним.

Поэтому этот результат автора охватывает в рамках пространства L2(a, b), в отличие от21, и случай линейных сингулярных интегральных уравнений.

Позже, как отметил Л.Д. Кудрявцев22, в нашей совместной с Х.Ш. Мухтаровым работе и в23 независимо было доказано, что и в случае уравнения (2.7) условие коэрцитивности является излишним. В этой работе L.v.Wolfersdorf’a23 (и в ряде других его работ) широко использовались найденные автором условия (2.6) и (2.8). Важность этих условий состоит в том, что, например, если K(x, s) = K(s, x) H, 0 < 1, где H - класс Гельдера, и выполнено условие (2.6), то b b K(x, s) · u(s) ds u(x) dx = 0, u(x) Lp( ), p 2. (2.10) s - x a a Обсуждению равенства (2.10) при K(x, s) = 1, (x) = 1 и p = 2 посвящеРеферативный журнал. Математика, 1983, N12Б629. С. 93.

Wolfersdorf L.v. Monotonicity methods for nonlinear singular integral and integro-differential equations. ZAMM. 1983. V. 63, N 6. P. 249-2ны работы24 25 26 27, причем в27 разобраны три задачи гидродинамики в анализе которых существенно используется указанное равенство.

Основные результаты полученные в главе 2 состоят в следующем:

1) построены новые классы сингулярных интегральных операторов, действующие из весовых пространств Лебега не в себя, а в сопряженные с ними пространства и обладающие свойством положительности.

2) без ограничений на абсолютную величину параметра доказаны глобальные теоремы существования и единственности решения в Lp() для нелинейных сингулярных интегральных уравнений (2.5), (2.7) и (2.9) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контуров интегрирования. При дополнительных ограничениях на нелинейность получены оценки норм этих решений. Из этих оценок вытекает, что соответствующие однородные уравнения (f = 0) имеют в Lp() лишь тривиальное решение u = 0.

3) при p = 2 и любых значениях параметров комбинированием метода монотонных операторов и принципа сжимающих отображений показано, что решения уравнений (2.5), (2.7) и (2.9) можно найти методом последовательных приближений пикаровского типа, причем в случае, когда роль сингулярного оператора S играет интегральное преобразование Гильберта G, итерационные формулы и оценки скорости сходимости последовательных приближений получены в терминах исходных операторов G и F.

До сравнительно недавнего времени подобные результаты удавалось получить лишь в случае малых по модулю значений параметра .

Аналогичные результаты получены автором и для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта в Lp(-, ), p > 1. Из них, в частности, вытекает, что результат Х. Аманна18 для уравнения (2.2) справедлив при любом (-, ), а не только = ±1.

В главе 3 (§§12-15) рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси R1 в комплексных пространствах Lp() с общим (не обязательно степенным) весом (x), т.е. (x) есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на R1 измеримая функция. В случае оси R1 возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства Lp(R1) не являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.

Tuck E.O. A double integral that should (?) vanish but doesn’t. Austral. Math. Soc. Gaz. 1995.

V. 22, N 2. P. 58.

McLean W. A double integral that usually vanishes. Austral. Math. Soc. Gaz. 1995. V. 22, N 3. P. 114-115.

Love E.R. Tuck’s double integral which should (?) vanish but doesn’t. Austral. Math. Soc. Gaz.

1996. V. 23, N 1. P. 9-12.

Fitt A.D. When Tuck’s double integral which should (?) vanish does. Austral. Math. Soc. Gaz.

1997. V. 24, N 1. P. 22-25.

Лемма 12.1. Пусть p 2 и b(x), w(x) L2p/(p-2)(2/(2-p)). Тогда сингулярный оператор 1 [b(x) · w(s) + b(s) · w(x)] · u(s) (Qu)(x) = ds s - x - действует из Lp() в Lp (1-p ), непрерывен и положителен, причем Qu, u = -2 i · Im (w u, S(b u)), Re Qu, u = 0, u(x) Lp().

Лемма 12.2. Пусть p 2, вес (x) = |x|, -1 < < p - 1, и функция w(x) Lp/(p-2)(-2/(p-2)). Тогда сингулярный оператор 1 [w(x) + w(s)] · u(s) (W u)(x) = ds s - x - действует из Lp() в Lp (1-p ), ограничен и положителен, причем:

W u, u = 2 i · Im Su, w u, Re W u, u = 0, u(x) Lp().

Обозначим через C множество всех комплексных чисел. Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции (F u)(x) = F [x, u(x)], порожденный комплекснозначной функцией F (x, z) : R1 C C, удовлетворяющей условиям Каратеодори и, в зависимости от класса нелинейных уравнений, либо условиям 13.1)-13.3), либо условиям 13.4)-13.6):

13.1) существуют c(x) L+(1-p ) и d1 > 0 такие,что для почти всех p x R1 и любого z C: |F (x, z)| c(x) + d1 · (x) · |z|p-1;

13.2) для почти всех x R1 и всех z1, z2 C выполняется неравенство:

Re [F (x, z1) - F (x, z2)] · [z1 - z2] 0;

13.3) существуют D(x) L+(R1) и d2 > 0 такие, что для почти всех x R1 и всех z C: Re {F (x, z) · z} d2 · (x) · |z|p - D(x);

13.4) существуют g(x) Lp() и d3 > 0 такие,что для почти всех 1/(p-1) x R1 и любого z C: |F (x, z)| g(x) + d3 · [(x)]-1 · |z| ;

13.5) для почти всех x R1 и всех z1, z2 C выполняется неравенство:

Re [F (x, z1) - F (x, z2)] · [z1 - z2] > 0;

13.6) существуют D(x) L+(R1) и d4 > 0 такие, что для почти всех 1/(p-1) x R1 и всех z C: Re {F (x, z) · z} d4 · [(x)]-1 · |z| · |z| - D(x).

Заметим, что если выполнены условия 13.1)-13.3), то оператор F действует из Lp() в Lp (1-p ), непрерывен, монотонен и коэрцитивен. Если же выполнены условия 13.4)-13.6), то оператор F действует обратно из Lp (1-p ) в Lp(), непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен.

Следующие три теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.

Теорема 13.1. Пусть p 2 и a(x) L+ (2/(2-p)) почти всюду 2p/(p-2) отличная от нуля на R1 функция. Если b(x), w(x) L2p/(p-2)(2/(2-p)), а F (x, z) удовлетворяет условиям 13.1)-13.3), то уравнение 2 [b(x) w(s) + b(s) w(x)] u(s) 1 a(x) u(x) + ds + 3 F [x, u(x)] = f(x) s - x - имеет решение u(x) Lp() при любых f(x) Lp (1-p ), 1 C и 2, 3 R1 таких, что 3 · Re 1 0, 3 = 0. Кроме того, если в условии 1/(p-1) 13.3) D(x) = 0, то ||u||p, d-1 · |3|-1 · ||f||p,. Решение единственно, если выполнено условие 13.5) или 3 · Re 1 > 0.

Теорема 13.2. Пусть 1 < p 2. Если b(x), w(x) L2p/(2-p)(2/(2-p)), а F (x, z) удовлетворяет условиям 13.1), 13.3) и 13.5), то уравнение [b(x) · w(s) + b(s) · w(x)] · F [s, u(s)] u(x) + ds = f(x) s - x - имеет единственное решение u(x) Lp() R1 и f(x) Lp(). Если в условиях 13.1) и 13.3) c(x) = D(x) = 0, то ||u||p, d1 · d-1 · ||f||p,.

Теорема 13.3. Пусть p 2. Если b(x), w(x) L2p/(p-2)(2/(2-p)), а F (x, z) удовлетворяет условиям 13.4)-13.6), то f(x) Lp() уравнение 1 [b(x) · w(s) + b(s) · w(x)] · u(s) u(x) + · F x, ds = f(x) s - x - имеет единственное решение u(x) Lp() при любом R1. Кроме того, если g(x) = D(x) = 0, то ||u - f||p, d3 · d-1 · ||f||p,.

Далее в главе 3 показано, что при p = 2 решения могут быть найдены методом последовательных приближений при любых, в том числе и комплексных, значениях параметров. Например, справедливы следующие две теоремы (в которых u0(x) L2(R1) - начальное приближение).

Теорема 15.1 Пусть z1, z2 C и п.в. x R1 выполняются условия:

15.1) Re [F (x, z1) - F (x, z2)] · [z1 - z2] 0 ;

15.2) существует M > 0 такое, что |F (x, z1) - F (x, z2)| M · |z1 - z2|.

Если b(x), w(x) L(R1), то при любом f(x) L2(R1) и любых 1 C, 2, 3 R1 таких, что Re 1 > 0, 3 0 уравнение 2 [b(x) w(s) + b(s) w(x)] u(s) 1 u(x) + ds + 3 F [x, u(x)] = f(x) s - x - 28 -1/при p = 2 это условие принимает вид a(x) (x) L+ (R1); знак + означает, что функция неотрицательна.

имеет единственное решение u(x) L2(R1). Это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле:

un = un-1 - µ · (1 un-1 + 2 Qun-1 + 3 F un-1 - f), n N, где µ 0, 2 Re 1/[|1| + 2 |2| · ||b|| · ||w|| + 3 · M]2 - любое число, причем справедлива следующая оценка погрешности:

n ||un - u||2 µ · · ||1 u0 + 2 Qu0 + 3 F u0 - f||2, 1 - где = 1 - 2 Re 1 · µ + M0 µ2, M0 = |1| + 2 |2| · b · w + 3 · M.

Теорема 15.2. Пусть F (x, z) удовлетворяет условию 15.2) и условию:

15.3) Re [F (x, z1) - F (x, z2)] · [z1 - z2] m · |z1 - z2|2, m > 0.

Тогда при любом R1 и любом f(x) L2(R1) уравнение F [s, u(s)] u(x) + ds = f(x) s - x - имеет единственное решение u(x) L2(R1). При = 0 его можно най ти методом последовательных приближений по формуле:

un = un-1 - µ · F un-1 - -1 · Sun-1 + -1 · Sf, n N, n с оценкой погрешности: ||un - u||2 µ · · ||F u0 - -1 · Su0 - f||2, где 1- µ 0, 2 m/[M + ||-1]2, = 1 - 2 µ m + µ2[M + ||-1]2.

В связи с результатами глав 2 и 3 следует отметить, что к нелинейным интегральным уравнениям с ядрами Гильберта и Коши в случае малых по модулю значений параметров применялись и другие различные методы исследования (в том числе и приближенные методы) такие как принцип сжимающих отображений и принцип Шаудера (А.И. Гусейнов, Б.И. Гехт, В.К. Наталевич, W. Pogorzelski), метод Ньютона-Канторовича (Л.С. Бабинчук, В.И. Иваницкий), метод механических квадратур (А.А. Бабаев, В.В. Салаев), метод осреднения функциональных поправок Ю.Д. Соколова (Х.Ш. Мухтаров, Э.И. Эфендиев), квадратурно-итерационный метод (Б.Г. Габдулхаев, И.В. Бойков) и др. (подробнее см.21 29).

Результаты автора, приведенные в главах 2 и 3, особо отмечены в монографии E. Wegert29.

Глава 4 (§§16-20) посвящена нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала. Подобные уравнения достаточно хорошо изучены Wegert E. Nonlinear boundary value problems for holomorphic functions and singular integral equations. Berlin: Acad. Verlag, 1992. - 240 p.

лишь в вольтерровском случае30 31. Сформулируем основные результаты данной главы. Пусть есть либо вся действительная ось R1, либо полуось [0, ) или отрезок [a, b], и b(x) = 0 почти всюду на .

Tеорема 17.1. Пусть p 2 и b(x) Lp·r(-r), r = 2/[p (1 + ) - 2].

Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет условиям:

17.1) |F (x, t)| c(x) + d1(x) |t|p-1, где c(x) L+(1-p ), d1 > 0;

p 17.2) F (x, t) не убывает по t почти при каждом фиксированном x;

17.3) F (x, t) · t d2(x) |t|p - D(x), где D(x) L+(), d2 > 0;

то уравнение b(s) u(s) ds F [x, u(x)] + b(x) = f(x) (17.1) |x - s|1- имеет единственное решение u Lp() при любом f Lp (1-p ). Кроме 1/(p-1) того, если D(x) = 0, то ||u||p, d-1 ||f||p, .

Аналогичный результат получен и при 1 < p < 2 для специального вида, из которого вытекает Следствие 17.1. При любом > 0 и любом f(x) L4() уравнение u(s) u(x) + · ds = f(x) |s - x| имеет единственное решение u(x) L4/3(), причем ||u||4/3 ||f||3.

Рассмотрим теперь другие классы нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала. Поскольку произведение монотонных операторов не является, вообще говоря, монотонным оператором, то к ним применить непосредственно теорему Браудера-Минти нельзя.

Теорема 17.3. Пусть 1 < p 2 и b(x) Lp·q(q), q = 2/[2 - p(1 - )].

Если F (x, t) удовлетворяет условиям 17.1), 17.3) теоремы 17.1 и строго возрастает по t, то при любом f Lp() уравнение b(s) F [s, u(s)] u(x) + b(x) ds = f(x) (17.3) |x - s|1- имеет единственное решение u Lp(), причем, если c(x) = D(x) = 0, то u d1d-1 f.

p, p, В следующей теореме p > 2 и имеет специальный вид.

Gorenflo R., Vesella S. Abel integral equations. Analysis and Applications. Berlin: SpringerVerlag, 1991. - 215 p.

Zabrejko P., Rogosin S. Nonlinear Abel equation with monotone operators. J. Electrotechn.

Math. 1997. N 1. P. 53-65.

Теорема 17.4. Пусть p (2, ) и нелинейность F (x, t) строго возрастает по t и удовлетворяет условиям 17.1) и 17.3) при (x) = 1. Тогда при любом > 0 и любом f(x) Lp() уравнение F [s, u(s)] u(x) + · ds = f(x) |s - x|2/p имеет единственное решение u(x) Lp(), причем, если c(x)=D(x)=0, то u d1d-1 f.

p p Следствие 17.2. При любом > 0 и f(x) L4() уравнение u3(s) ds u(x) + · = f(x) |s - x| имеет единственное решение u(x) L4(), причем ||u||4 ||f||4.

Tеорема 17.5. Пусть p 2 и b(x) Lp·r(-r), r = 2/[p (1 + ) - 2].

Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет условиям:

17.4) |F (x, t)| g(x) + d3 · (-1(x) |t|)1/(p-1), g(x) L+(), d3 > 0;

p 17.5) F (x, t) строго возрастает по t почти при каждом x;

17.6) F (x, t) · t d4 · (-1(x) |t|)1/(p-1) · |t| - D(x), D(x) L+(), d4 > 0;

то при любом f(x) Lp() уравнение b(s) u(s) ds u(x) + F x, b(x) = f(x) (17.6) |x - s|1- имеет единственное решение u(x) Lp().

Аналогичный результат получен и при 1 < p < 2 для специального вида, из которого вытекает Следствие 17.3. При любом > 0 и f(x) L4/3() уравнение u(s) ds u(x) + · = f(x) |s - x| имеет единственное решение u(x) L4/3().

Если использовать результаты работы32, то существование и единственность решения в теоремах 17.3 и 17.4 можно доказать без условия 17.3).

Brezis H., Browder F. Some new results about Hammerstein equations. Bull. Amer. Math. Soc.

1974. V. 80, N 3. P. 567-572.

Далее в §17 теоремы 17.1-17.5 обобщаются на случай уравнений с операто ром (P01u) (x) = (|x - t|) u(t) dt, изученным в33, где доказано, что опе ратор P01 является строго положительным в L2(0, 1), если (x) C1(0, 1] неотрицательна, интегрируема и не возрастает, а (x) возрастает. Следующие леммы обобщают результаты на случай пространств Lp(0, 1) и не обязательно неотрицательных дифференцируемых функций (x).

Скажем, что (x) (0, 1], если (x) невозрастающая непрерывная выпуклая в промежутке (0, 1] функция такая, что (x) dx Лемма 17.1. Если f(x) C[0, 1] (0, 1], то an = f(x) cos nx dx 0, причем an > 0, n N, если f(x) строго выпуклая убывающая функция.

Лемма 17.2. Пусть 1 < p 2, p = p/(p-1) и (x) Lp /2(0, 1) (0, 1].

Тогда оператор P01 действует непрерывно из пространства Lp(0, 1) в сопряженное с ним пространство Lp (0, 1) и положителен.

Используя лемму 17.2, получены аналоги теорем 17.1-17.5. Например:

Теорема 17.9. Пусть 1 < p 2 и (x) Lp /2(0, 1) (0, 1]. Если F (x, t) удовлетворяет условиям 17.4)-17.6) при (x) = 1, то уравнение u(x) + · F x, (|x - s|)u(s)ds = f(x) имеет единственное решение в Lp(0, 1) при любых > 0 и f(x) Lp(0, 1).

Так как операторы B и P01, в отличие от сингулярных операторов, являются потенциальными (т.е. градиентами некоторых функционалов), то в случае уравнений с такими операторами удалось улучшить оценки скорости сходимости последовательных приближений в L2(). Эти результаты не охватывают степенные нелинейности и получены методами не применимыми в случае пространств Lp(), который оказался значительно труднее.

В §19 доказано, что в случае пространства Lp() и нечетностепенной нелинейности применим градиентный метод. А именно, справедлива Теорема 19.1. Пусть p 4 - четное число, 0 < < 1 и функция b(x) Lp·r(-r), где r = 2/[p (1 + ) - 2]. Тогда уравнение b(s) u(s) (x) up-1(x) + b(x) ds = f(x) (19.1) |s - x|1- имеет единственное решение u(x) Lp() при любом f(x) Lp (1-p ).

Это решение можно найти градиентным методом по формуле:

un+1 = un - n ||Aun - f||2-p 1-p |Aun - f|p -2[Aun - f], (19.2) Lp () Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

где n = 0, 1, 2, 3,..., u0(x) Lp() - любая функция, Au = · up-1 + Bu, n вычисляются по специальной формуле.

Следствие 19.2. Пусть p 4 - четное число и 0 < < 1. Тогда u(s) при любом f(x) Lp () уравнение up-1(x) + ds = f(x) имеет |s-x|1- единственное решение u(x) Lp() и его можно найти по схеме (19.2).

В §20 уравнения вида (17.1), (17.3) и (17.6) изучаются в комплексных пространствах Lp(R1). Для них получены аналоги теорем 17.1-17.5.

Теоремы §§17-20 при p = 2 охватывают, в частности, и случай линейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала.

В связи с результатами главы 4 следует отметить работы П.П. Забрейко, А.А. Килбаса, В.Б. Мороза, Д.В. Прохорова, В.Д. Степанова, С.В. Рогозина, R. Gorenflo и др. (см. книги [28, 37]).

В главе 5 (§§21-26) изучаются нелинейные интегральные уравнения типа свертки в вещественных и комплексных пространствах Лебега Lp, как в периодическом, так и не периодическом случаях. Здесь найдены условия на ядро оператора свертки H, при которых этот оператор обладает свойствами положительности, строгой положительности и потенциальности. Это позволило для различных классов нелинейных уравнений типа свертки получить аналоги результатов, приведенных в предыдущих главах для нелинейных сингулярных интегральных уравнений и уравнений с ядрами типа потенциала. Следует отметить, что в случае нелинейных интегральных уравнений типа свертки ограничения на p существенно отличаются от соответствующих ограничений для нелинейных сингулярных интегральных уравнений и уравнений с ядрами типа потенциала, однако условия накладываемые на нелинейность F имеют тот же вид.

Лемма 21.1. Пусть 1 < p 2, ядро h(x) L1(R1) Lp /2(R1) и hc(x) = h(t) · cos (x · t) dt 0 при x [0, ). (21.1) 2 - Тогда оператор свертки (Hu)(x) = h(x - t) · u(t) dt действует непре- рывно из Lp(R1) в Lp (R1), p = p/(p - 1), и является положительным.

Если же hc(x) > 0, то оператор H является строго положительным.

Условие (21.1) не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы оператор свертки H был положительным в Lp(R1) при 1 < p 2. Этому условию удовлетворяют многие функции, представляющие собой плотности распределения вероятностей, например, такие как нормальное, треугольное и двустороннее показательное распределения, распределение Коши и другие. Условие вида (21.1) хорошо известно в теории непрерывных положительно-определенных по Бохнеру на конечном промежутке функций, играющих центральную роль в гармоническом анализе34 35 36.

Следующая теорема дает простой признак, по которому можно выделить достаточно широкие классы ядер h(x), удовлетворяющих условию (21.1).

Теорема 21.1. Пусть 1 < p 2 и ядро h(x) представимо в виде h(x) = g(x + t) · g(t) dt, где g(x) L1(R1) Lp /2(R1). (21.2) - Тогда оператор свертки (Hu)(x) = h(x - t) · u(t) dt действует непре- рывно из Lp(R1) в Lp (R1), положителен и потенциален, причем ||Hu||p ||g||1·||g||p/[2(p-1)]·||u||p, Hu, u = g(x + t) · u(t) dt dx.

- - Положительная определенность функции h(x) C[-, ] вида (21.2) в случае 2-периодической функции g(x) L2(-, ) отмечена в34, а ее четность в случае функции g(x) L2(R1) доказана Н.Н.Лузиным37.

В периодическом случае на ядро h(x) накладывается условие:

h(x) Lp /2(-, ), hc(k) = h(t) cos (k ·t) dt 0, k = 0, 1, 2,.... (25.1) - Тогда оператор свертки (Hu)(x) = h(x-t) u(t) dt действует из Lp(-, ) - в Lp (-, ) и положителен. Доказательство основано на равенстве Hu, u = 2 hc(0) |u0|2 + 4 hc(k) |uk|2, uk = u(x) e-i k xdx.

2 k=- Заметим, что если функция h(x) выпукла в промежутке (-, ) и h(t) dt 0, то hc(k) 0, т.е. выполняется условие (25.1).

- Используя эти результаты, в §§22-26 при условии (21.1) получены глобальные теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений для различных классов нелинейных уравнений (в частности, для нелинейных интегральных уравнений Винера-Хопфа) вида:

·F [x, u(x)]+ h(x-t) u(t) dt = f(x), u(x)+ h(x-t) F [t, u(t)] dt = f(x), Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Тома 1 и 2. М.: Мир, 1985.

Nohel J.A., Shea D.F. Frequency domain methods for Volterra equations. Advanc. Math. 1976.

V. 22. P. 278-304.

Staffans O.J. Nonlinear Volterra integral equations with positive definite kernels. Proc. AMS.

1975. V. 51, N 1. P. 103-108.

Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.: ГИТТЛ, 1951. - 552 с.

u(x) + · F x, h(x - t) u(t) dt = f(x), где > 0, есть либо ось R1, либо полуось [0, ), либо отрезок [-, ]. При p = 2 эти теоремы охватывают и линейный случай. Известно, что разрешимость линейного уравнения Винера-Хопфа связана с величиной индекса = ind[ - h(x)]. Условие (21.1) означает, что в линейном случае будем иметь дело с индексом = 0.

В случае уравнений вида (x) · u(x) + h(x - t) u(t) dt = f(x), 2, (26.10) установлены не только теоремы существования и единственности решения, но и доказано, что решения могут быть найдены градиентным методом.

Изученные в §§22-26 уравнения часто встречаются в приложениях. На пример, уравнения вида u(x)+ h(x-t) F [t, u(t)] dt = f(x) возникают в - теории сервомеханизмов (следящих систем)38, в теории электрических сетей39, при описании модели распространения эпидемии40 и других41. Уравнение вида (26.10) при (x) = 1, 2, h(x) = - exp(-x2), f(x) = изучалось В.С. Владимировым и Я.И. Воловичем в связи с описанием динамики открытой p-адической струны для скалярного поля тахионовГлава 6 (§§27-33) посвящена интегральным уравнениям типа свертки со степенной нелинейностью, рассматриваемым, в отличие от главы 5, в конусе Q0 = {u(x) : u(x) C[0, ), u(x) > 0 при x > 0}. Такие уравнения возникают, в частности, при описании процессов инфильтрации жидкости через стенки цилиндрического резервуара43 и распространения ударных волн в трубах, наполненных газом44. Исследование основывается на методе весовых метрик (аналог метода А.Белецкого45), позволяющем при Bene V.E. A nonlinear integral equation from the theory of servomechanisms. Bell. System.

Techn. J. 1961. V. 40, N 5. P. 1309-1321.

Bene V.E. A nonlinear integral equation in the Marcinkiewicz space M2. J. Math. Phys. 1965.

V. 44, N 1. P. 24-35.

Diekman O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection. J. Math.

Biol. 1978. V. 6, N 2. P. 109-130.

Cooke K.L., Kaplan J.L. A periodicity threshold theorem for epidemics and population growth.

Math. Biosci. 1976. V. 31. P. 87-104.

Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны // Теорет. и матем. физика. 2004. Т. 138, N 3. C. 355-368; Владимиров В.С. Об уравнении p-адической открытой струны для скалярного поля тахионов // Известия РАН. Сер.

матема. 2005. Т. 69, N 3. C. 55-80; Владимиров В.С. О нелинейном уравнении p-адической открытой струны для скалярного поля // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, вып. 6. С. 73-88.

Okrasinski W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolation.

Annal. Polon. Math. 1980. V. 37, N 3. P. 223-229.

Keller J.J. Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction. ZAMP. 1981.

V. 32, N 2. P. 170-181.

Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.:Мир, 1969. - 1072 с.

удачном выборе метрики доказывать глобальные теоремы существования и единственности без ограничений на область определения решений.

Рассмотрим в классе Q0 уравнение x u(x) = k(x - t) u(t) dt, > 1, x > 0, (29.3) (x) k(x) = p · x + (x), p > 0, > -1, (x) Q0 и lim = 0. (29.26) xx Теорема 29.3. Если выполнены условия (29.26), то уравнение (29.3) имеет единственное решение u(x) Q0. Это решение b > 0 принадлежит классу b = {u(x) C[0, b] и L(x) u(x) R(x)}, где 1/(-1) x 1/(-1) + L(x) p B + 1, x(+1)/(-1), R(x) k(t)dt - и может быть найдено в b методом последовательных приближений.

В отличие от других работ, доказательство теоремы 29.3 использует различные метрики, в зависимости от того > 0 или (-1, 0]. В основе доказательства оценки u(x) L(x) лежит метод работы46 и использует, в отличие от и других работ, теорему Теплица.

В §33 результаты §§27-32 обобщаются на случай уравнений x u(x) = k(x, t)u(t)dt + f(x), > 1, x 0, (33.1) где ядро k(x, t) 0 при 0 t x, непрерывно и не убывает по x.

Теорема 33.1. Если u(x) Q0 есть решение уравнения (33.1) при f(x) = 0, то u(x) не убывает на [0, ) и для любого x [0, ):

1/(-1) 1/(-1) x x - 1 - k(t, t)dt u(x) k(x, t)dt 0 Следствие 33.147. Если u(x) Q0 есть решение уравнения u(x) = 1/(-1) x x 1/(-1) -1 -k(x - t)u(t)dt, то k(0)x u(x) k(t)dt.

0 Следствие 33.248. Если u(x) Q0 есть решение уравнения u(x) = x 1/(-1) 1/(-1) -1 -e-2t[1/2 + (x - t)]u(t)dt, то (1 - e-2x) u(x) x.

4 2 Schneider W.R. The general solution of a nonlinear integral equation of the convolution type.

ZAMP. 1982. V. 33, N 1. P. 140-142.

Okrasinski W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain non-linear convolution equation. Ann. Pol. Math. 1979. V. 36, N 1. P. 61-72.

Okrasinski W. On subsolutions of a nonlinear nonlinear diffusion problem. Math. Meth. Appl.

Sci. 1989. V. 11, N 3. P. 409-416.

В случае когда f(x) Q0 и не убывает, доказано, что любое решение u(x) Q0 уравнения (33.1) удовлетворяет неравенствам:

1/(-1) 1/(-1) x x - 1 - k(t, t)dt + g(0) u(x) k(x, t)dt + g(x), 0 где g(x) = f(-1)/(x). Используя эти оценки доказана устойчивость решения уравнения (33.1) относительно возмущений k(x, t) = k(x - t) и f(x) в терминах одной и той же, в отличие от47 и других работ, метрики.

В связи с результатами главы 6 следует отметить работы Н.К. Карапетянца, А.А. Килбаса, З.Б. Цалюка, P. Bushell, W. Mydlarczyk, W. Okrasinski, M. Saigo и др. (см. монографии [24, 28, 37]).

В главе 7 (§§34-37) результаты глав 2-6 обобщаются на случай соответствующих конечных систем нелинейных интегральных уравнений. Эти системы методом монотонных операторов впервые были изучены автором [5], [14], [40]. Такие системы уравнений возникают в теории магнитного поля49, а также при описании процесса возрождения и торможения нейронов в нейронной сети50 и других51. В случае систем интегральных уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных векторфункций, показано, что решение является неубывающим (а не почти возрастающим) и получены неулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16], показано что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.

В главе 8 (§§38-41) изучаются различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки в вещественных и комплексных пространствах, а также в различных конусах пространства s. Интерес к p таким уравнения вызван их многочисленными и разнообразными приложениями в различных разделах математики и физики: конформные отображения52, стохастические задачи53, гидродинамика и другие54.

Friedman M.J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation.

I. SIAM J. Appl. Math. 1980. V. 39, N 1. P. 14-20.

Ermentrout G.B., Cowan J.D. Secondary bifurcation in neuronal nets. SIAM J. Appl. Math.

1980. V. 39, N 2. P. 323-340.

Pogorzelski W. Integral equations and their applications. Pergamon Press Oxford and PWN-Pol.

Sci. Publ. Warszaw, 1966. - 228 p.

Каландия А.И. Математические методы двумерной теории упругости. М.:Наука, 1973. 304 с.

Дедагич Ф., Забрейко П.П. Об операторах суперпозиции в пространствах. Сибирский p матем. журн. 1987. Т. 28, N 1. С. 86-98.

Crisci M.R., Kolmanowskii V.B., Russo E., Vecchio A. A priori bounds on the solution of a nonlinear Volterra discrete equation. Sacta. 2000. V. 3, N 1. P. 38-47.

Пусть конус s+ состоит из всех неотрицательных числовых последовательностей u = {un}, un 0. Рассмотрим в s+ нелинейное уравнение n=n u = hn-k · uk, n = 0, 1, 2,..., > 1. (38.1) n k=Чтобы задачу отыскания нетривиальных решений уравнения (38.1) в s+ сделать корректной предположим, что 1 = h0 h1 h2 ... и будем разыскивать решения в классе s+ = {u : u s+, un 1 n}.

Легко проверить, что если u s+ есть решение уравнения (38.1), то 1/(-1) 1/(-1) n - · n + 1 vn un hk, n = 0, 1, 2,..., (38.5) k=n где v s+ есть единственное решение уравнения vn = vk.

k=Пусть + = {u : u s+ и удовлетворяет неравенствам (38.5)}.

Теорема 38.2. Уравнение (38.1) имеет в s+ счетное число решений вида u = 0, u = u, = 0, 1, 2,..., где u - единственное решение урав нения (38.1) в +, u = 0, 0,..., 0, u0, u1, u2,..., 0u = u.

Аналогично изучено соответствующее нелинейное уравнение ВинераХопфа в конусе c+ и дана характеристика возможных типов решений.

Эти результаты получены в наших совместных работах [11], [12] и, как отмечено в [12, с. 9], принадлежат авторам в равной мере.

Наиболее трудным для исследования оказался случай невозрастающего ядра, рассмотренный автором в [37]. Пусть ядро h = {hn} положительn=но, т.е. hn > 0, n Z+. Будем искать решения уравнения (38.1) в классе s+ = {u : u = {un} и un > 0, n Z+}.

0 n=Лемма 38.4 Пусть h = {hn} - любая положительная числовая n=последовательность. Если w s+ есть решение уравнения n wn = hk · wk, n Z+, > 1, (38.9) k=1/(-1) n -то оно строго возрастает, причем wn · hk + h0.

k=Лемма 38.5 Если 0 < hn h0 = 1, n Z+, то уравнение (38.9) имеет в конусе s+ единственное решение.

Теорема 38.3. Пусть 0 < hn h0 = 1, n Z+. Если u s+ есть решение уравнения (38.1), то n Z+ справедливы неравенства:

1/(-1) 1/(-1) n n - · hk + 1 wn un hk + 1, (38.11) k=1 k=где w s+ есть единственное решение уравнения (38.9).

Введем обозначения: u(l) = {u0, u1,..., ul-1} и s+(l) = {u(l) : un n = 0, 1,..., l - 1}, где l N. Введем в s+(l) метрику |un - vn| l(u, v) = sup, где = n. (38.12) e·n - 0nl-Пусть + = {u : u s+ и удовлетворяет оценкам (38.11)} и +(l) есть сужение + на s+(l) с той же метрикой.

Теорема 38.4. Пусть > 1, 1 = h0 h1 h2 ... hn > n Z+. Тогда уравнение (38.1) имеет в s+ счетное число решений вида u = 0, u = u, = 0, 1, 2,..., где u есть единственное решение уравнения (38.1) в +. Сужение u на +(l) может быть найдено методом последовательных приближений в +(l) со сходимостью по метрике l.

В §§39-40 впервые методом монотонных операторов изучаются нелинейные дискретные уравнения типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах. Приводимые ниже результаты получены в p наших совместных работах [13], [21], [22] и являются дискретными аналогами результатов автора [4]-[6].

Лемма 39.1. Пусть 1 p 2, ядро h , 1 s min (2, p /2) и s hc() = hk · cos (k · ) 0, [0, ]. (39.5) k=- Тогда оператор свертки H = hn-k · k, n Z, действует непреk=- рывно из в и является положительным.

p p Условие (39.5) является не только достаточным, но и необходимым для положительности оператора свертки H.

Пусть вещественная функция F (k, t) определена при k Z, t R1 и является непрерывной по t при каждом фиксированном k.

Теорема 39.1. Пусть 1 < p 2, ядро h , где 1 s min (2, p /2), s и удовлетворяет условию (39.5). Если F (k, t) удовлетворяет условиям:

39.1) |F (k, t)| ak + b1 · |t|p-1, 39.2) F (k, t1) F (k, t2) при t1 < t2, 39.3) F (k, t) · t b2 · |t|p, где a , b1 > 0, b2 > 0 ;

p то при любом f нелинейное дискретное уравнение типа свертки p F (n, un) + hn-k · uk = fn, n Z, (39.6) k=- имеет решение u . Решение единственно, если F (k, t) строго возрасp 1/(p-1) тает по t. Кроме того, имеет место оценка: ||u||p b-1 · ||f||p.

Теорема 39.3. Пусть p 2, ядро h , 1 s min (2, p/2), и s удовлетворяет условию (39.5). Если нелинейность F (k, t) удовлетворяет условиям 39.1), 39.3) теоремы 39.1 и строго возрастает по t при каждом k Z, то при любом f нелинейное дискретное уравнение p un + hn-k · F (k, uk) = fn, n Z, (39.10) k=- имеет единственное решение u . Кроме того, если в условии 39.1) p a = 0, то имеет место оценка: ||u||p b1 · b-1 · ||f||p.

Аналог теоремы 39.3 доказан и в случае 1 < p 2 для уравнения un + cn ck · hn-k · F (k, uk) = fn, где h , а c 2p/(2-p).

k=- Теорема 39.5. Пусть 1 < p 2, h , где 1 s min (2, p /2), и s удовлетворяет условию (39.5), а нелинейность F (k, t) - условиям:

39.4) |F (k, t)| gk +b3 ·|t|1/(p-1) ; 39.5) F (k, t1) < F (k, t2) при t1 < t2 ;

39.6) F (k, t) · t b4 · |t|p/(p-1), где g , b3 > 0, b4 > 0 ;

p то при любом f нелинейное дискретное уравнение типа свертки p un + F n, hn-k · uk = fn, n Z, (39.17) k=- имеет единственное решение u . Кроме того, если g = 0, то:

p 1/(p-1) ||u - f||p bp · b-1 · ||h||s · ||f||p, ||u - f||p b3 · b-1 · ||f||p.

3 4 В случае комплексных пространств сначала выясняется вопрос при p каких условиях оператор свертки H : является положительным.

p p Лемма 40.2. Пусть 1 p 2, q [p, p ], r-1 = 1 + q-1 - p-1 и h , где 1 s min (2, r). Для того чтобы оператор свертки H был s положителен необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Re h() 0 для почти всех [-, ]. (40.9) Заметим, что условие вида (40.9) использовалось в ряде работ55 56 57 в связи с решением одной задачи статистической физики.

Далее выясняются условия монотонности и коэрцитивности дискретного оператора суперпозиции F, порожденного комплекснозначной функцией Владимиров В.С. Уравнение Винера-Хопфа на полуоси в алгебрах Неванлинны и Смирнова. Изв. АН СССР. 1987. Т. 51, N 4. С. 767-784.

Владимиров В.С. Уравнение Винера-Хопфа на полуоси в алгебрах Неванлинны и Смирнова. Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, N 4. С. 278-283.

Владимиров В.С., Волович И.В. Об одной модели статистической физики. Теор. и матем.

физика. 1983. Т. 54, N 1. С. 8-22.

F (k, z), определенной при k Z, z C и непрерывной по z при каждом фиксированном k. Используя эти условия доказываются теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений нелинейных уравнений вида (39.1)-(39.3) в комплексных пространствах.

p В последнем §41 изучаются нелинейные дискретные неравенства вида µ n- un an + bn · hk · u n Z+ (u0 a0), (41.13) k k=где {an}, {bn}, {hn} - заданные последовательности неотрицательn=0 n=0 n=ных чисел, Z+ = {0, 1, 2,...}, а и µ - любые положительные числа. При этом, в отличие от других работ (B. Pachpatte, D. Willett, J. Wong и др.), используется метод сведения этих неравенств к линейным неравенствам.

Теорема 41.5. Если 0 < < 1, 0 < µ 1/ и выполнено (41.13), (1-) µ n-1 n-1 n-то un cn +mn ck [1+ms], где mn = µ bn h1/(1-), k k=0 s=k+1 k=(1-) µ n-cn = an + (1 - µ) bn h1/(1-).

k k=Теорема 41.6. Если 1 < < , µ = 1/ и выполнено (41.3), то 1/ n-1 n-un pn + rn pk hk [1 + rshs], где pn = an (an + bn)-1, k=0 s=k+rn = bn (an + bn)-1.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Функциональный анализ, теория функций и их приложения: Сб. науч. тр. - Махачкала: Даг. ун-т, 1979. - Вып. 4. - С. 43-50.

2. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных / С.Н. Асхабов // Изв. Сев.-Кавк. научн.

центра высшей школы. Естеств. науки. - 1980. - N2. - С. 3-5.

3. Асхабов, С.Н. О применимости метода монотонных операторов к нелинейным сингулярным уравнениям в L2(-, ) / С.Н. Асхабов // Докл.

АН Азерб. ССР. - 1980. - Т. 36. - N7. - С. 28-31.

4. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к некоторым нелинейным уравнениям типа свертки и сингулярным интегральным уравнениям / С.Н. Асхабов // Изв. ВУЗов. Матем. - 1981. - N9. - С. 64-66.

5. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к некоторым классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений и их системам в Lp,n() / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 12 февраля 1981, N684-81. - 28 с.

6. Асхабов, С.Н. Исследование некоторых нелинейных уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Математический анализ и его приложения: Сб.

науч. тр. - Грозный: Чеч.-Инг. ун-т, 1984. - С. 37-46.

7. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) с ядром Гильберта методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Известия Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Естеств.

науки. - 1986. - N3. - С. 33-36.

8. Асхабов, С.Н. Оценки решений некоторых нелинейных уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений / С.Н. Асхабов, Х.Ш.

Мухтаров // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 288. - N2. - С. 275-278.

9. Асхабов, С.Н. Об одном нелинейном уравнении типа свертки / С.Н.

Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Дифференц. уравнения. - 1986.

- Т. 22. - N9. - С. 1606-1609.

10. Асхабов, С.Н. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений типа свертки / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N9. - С. 512-514.

11. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл.

АН СССР. - 1987. - Т. 296. - N3. - С. 521-524.

12. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения Винера-Хопфа / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Деп. в ВИНИТИ 25.11.88, N8341. - 144 с.

13. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - N10. - С. 1777-1784.

14. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 04.12.89, N7198-В89. 75 с.

15. Askhabov, S.N. Nonlinear convolution type equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Seminar Analysis Operat. Equat. Numer. Anal. 1989/90.

Karl-Weierstras-Institut fur Mathematik. Berlin. - 1990. - P. 1-30.

16. Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью и их системы / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 311. - N5. - С. 1035-1039.

17. Askhabov, S.N. Integral equations of convolution type with power nonlinearity / S.N. Askhabov // Colloq. Math. - 1991. - V. 62. - N1. - P. 49-65.

18. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки с почти возрастающими ядрами в конусах / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27. - N2. - С. 321-330.

19. Askhabov, S.N. A-priori estimates for the solution of a class of nonlinear convolution equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Z. Anal. Anwend.

- 1991. V. 10. - N2. - Р. 201-204.

20. Askhabov, S.N. Singular integral equations with monotone nonlinearity in complex Lebesgue spases / S.N. Askhabov // Z. Anal. Anwend. - 1992. V. 11. - N1. - Р. 77-84.

21. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью в комплексных пространствах / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц // Доклады РАН. - 1992. - Т. 322. - N6. - С. 1015-1018.

22. Askhabov, S.N. Convolution type discrete equations with monotonous nonlinearity in complex spaces / S.N. Askhabov, N.K. Karapetian // J. Integral Equations Math. Phys. - 1992. - V. 1. - N1. - Р. 44-66.

23. Асхабов, С.Н. Априорные оценки решений нелинейного интегрального уравнения типа свертки и их приложения / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Математ. заметки. - 1993. - Т. 54. - N5. - С. 3-12.

24. Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев. - Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2001. - 154 с.

25. Асхабов, С.Н. Решение нелинейных интегральных уравнений с операторами типа потенциала методом последовательных приближений / С.Н.

Асхабов // Труды Физ. общ-ва респ. Адыгея. - 2002. - N7. - С. 43-48.

26. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Там же. - 2003. - N8. - С. 22-39.

27. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала в комплексных пространствах Лебега / С.Н. Асхабов // Там же. - 2004. - N9. - С. 25-30.

28. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов. - Майкоп: Майкопский государственный технологический университет, 2004. - 387 с.

29. Асхабов, С.Н. Неравенства Чебышева и их приложения к нелинейным дискретным уравнениям типа свертки / С.Н. Асхабов // II Междун.

конф. Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания. - Обнинск, 2004. - С. 4-7.

30. Асхабов, С.Н. Нелокальные задачи для нелинейных интегральных уравнений с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Междун. конф. Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященная столетию С.М.Никольского. - Москва, МИ РАН, 2005. - С. 35.

31. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала на отрезке / С.Н. Асхабов // III Междун. конф. Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания. - Обнинск, 2006. - С. 4-7.

32. Askhabov, S.N. Nonlinear equations with integrals of fractional order in weighted Lebesgue spaces / S.N. Askhabov // Материалы междун. конф.

Дифференц. уравнения, теория функций и прил., посв. 100-летию со дня рожд. акад. И.Н. Векуа. - Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г. С. 389-390.

33. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки на отрезке / С.Н. Асхабов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест. науки. - 2007.

- N1. - С. 3-5.

34. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения с интегралами дробного порядка / С.Н. Асхабов // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2007. - Т. 9. - N1. - C. 9-14.

35. Askhabov, S.N. Nonlinear equations with Riemann-Liouville operators of fractional integration on segment / S.N. Askhabov // IV Междун. конф.

Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания. - Обнинск, 2008. - С. 8-9.

36. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью в весовых пространствах Лебега / С.Н. Асхабов // Материалы междун. конф. Дифференциальные уравнения и топология, посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. М.: ВМиК МГУ, 2008. С. 91-92.

37. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки / С.Н. Асхабов.

- М.: Физматлит, 2009. - 304 с.

Подписано в печать 19.01.2010. Гарнитура Times New Roman.

Формат 60 84/16. Усл. п. л. 1,9. Тираж 100 экз. Заказ N 5.

Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы,







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.