WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

—3—

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Формальные математические методы обработки информации и анализа сложных динамических объектов заняли законное место в инструментарии решения разнообразных прикладных задач управления и оптимизации в технических, экономических, социальных и других реальных системах. Для их эффективного решения ключевым условием является выбор адекватной математической модели явлений, протекающих при наличии случайных воздействий и априорной неопределенности. Для ряда технических задач набор таких моделей и соответствующий математический аппарат уже существует. Наличие этих моделей определено высокой изученностью указанных систем и явлений, и наличием соответствующих детерминистических законов физики. Использование для решения задач анализа, оценивания и оптимизации в таких системах со случайными возмущениями классической теории стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с винеровскими процессами представляется исчерпывающим.

В то же время существует ряд явлений и порожденных ими задач анализа и управления, формальное описание которых с помощью известных математических моделей является недостаточным. Для них предложен некоторый набор моделей, однако они являются “локальными”, то есть условия их адекватности и применимости весьма обременительны. К подобным явлениям в области авиационной и ракетно-космической техники относится, например, движение маневрирующего летательного аппарата в турбулентной атмосфере в условиях неопределенных управляющих воздействий, и связанные с ним задачи слежения и наведения. К этому же классу принадлежат задачи обнаружения, распознавания и сопровождения множественных воздушных целей в условиях помех различного рода.

Случайные процессы такого вида обладают общей ключевой особенностью: они представляют собой “склейку” решений разных СДУ, проведенную в случайные моменты времени. При этом закон смены “локальных” моделей также случаен. Для обозначения таких систем одним из наиболее употребляемых является термин “системы со случайной структурой”. Исследование задач анализа, оценивания и оптимизации в этих системах различными математическими средствами выполнялось и ранее. В нашей стране идеи использования таких систем были изложены в 1961 г. в цикле статей1 в качестве возможного подхода к решению одной прикладной задачи стабилизации. Развернутое описание диффузионного процесса со случайной структурой и переключениями в виде марковского скачкообразного процесса (МСП) с конечным числом состояний было приведено в пионерской статье Р.Л. Стратоновича2, а затем и в его классической монографии3. С объектами такого рода автор связывал понятие условно-марковского процесса. В дальнейшем теоретические результаты по анализу, оцениванию и управлению, а также методы и численные алгоритмы решения различных прикладных задач были предложены Т.А. Авериной, В.М. Артемьевым, Р. Брокеттом, В.А. Бухалевым, В.А. Васильевым, Н.С. Деминым, А.В. Добровидовым, В.В.

Домбровским, С.В. Емельяновым, Т.В. Завьяловой, С.С. Ломакиной, И.Е. Казаковым, И.Я. Кацем, Г.М. Кошкиным, Н. А. Кузнецовым, Д. Либерзоном, П.В. Пакшиным, Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами, I–III. // Автоматика и телемеханика.— 1961.— Т. 22, No 9–11.

Стратонович Р.Л. Условные процессы Маркова // Теория вероятностей и ее применения.— 1960.— Т. 5, No 2.— С. 172–195.

Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления.— М.:

Изд-во МГУ, 1965.

—4— А.В. Пантелеевым, В.С. Пугачевым, В.Г. Репиным, К.А. Рыбаковым, И.Н. Синицыным, А.Н. и Ф.А. Скляревичами, В.И. Смагиным, И.Л. Сотсковой, Г.А. Тимофеевой, В.И. Уткиным и др.

В 1966 г.4 Л. Баум и Т. Петри ввели понятие “скрытой марковской модели” (СММ) как случайной функции от марковской цепи. Начиная с этого времени, исследования СММ разделилось на ряд направлений5,6. Это деление обусловлено подклассами исследуемых процессов, рассматриваемыми задачами, методами их решения и областями применения. Анализ СММ как частного случая временных рядов (включая вопросы эргодичности, стационарности и устойчивости), а также задачи оценивания/идентификации и статистических выводов о таких моделях исследовались И.А.

Богуславским, М.Ю. Бородовским, П. Бриантом, Дж. Вильямсоном, А. Витерби, Дж.

Гамильтоном,Г.К. Голубевым, О.Н. Граничиным, Р. Греем, В. Женон-Катало, О. Зейтони, Х. Ито, Дж. Киффером, К. Кобаяси, Т. Ковером, В. Кришнамурти, В. Ларедо, Б. Леруа, Г. Линдгреном, В.В. Моттлем, И.Б. Мучником, Ш. Мэйном, П. Нараяном, Л. Рабинером, М. Россиньолем, Дж. Томасом, Р. Фонтаной, К. Франком, Р.З. Хасьминским, У. Хольстом.

Другое ключевое направление исследований СММ было связано с процессами в непрерывном времени. Это свойство определило концепцию описания данных процессов в терминах стохастических динамических систем, что наиболее полно отражено в монографии Р. Эллиотта, Л. Аггуна и Дж. Мура.7 Задачи анализа и оценивания состояний в таких СММ, в том числе в условиях неопределенности, рассматривались в работах К. Барбозы, Т. Башара, Ф. Бернара, П. Бертрана, Т. Бьорка, Ф. Букаса, А.

Дембо, М. Джеймса, Ф. Дюфура, А. Германи, А. Жерарди, Э. Косты, Х. Мао, А.И.

Матасова, Б.М. Миллера, З. Пана, А.Б. Пиуновского, В. Рунггалдьера, К. Сеси, К. де Сузы, А. Трофино, М. Фрагозо, Л. Шайхета.

Многочисленные приложения теоретических результатов по анализу, оцениванию и оптимизации в СММ для решения практических задач навигации и слежения за воздушными и морскими судами, управления финансами и страхования, экономики и управления производством и телекоммуникационными системами, передачи информации и кодирования, обработки почерка, речи, сигналов и изображений, биологии и физиологии, климатологии и физики плазмы можно почерпнуть из работ К.В. Авраченкова, В. Анисимова, Я. Бар-Шалома, В. Блейра, Х. Блома, М. Гоша, Дж. Йина, Л. Кампо, Т. Кирубиджана, Р. Люгенбуля, Т. Жантье, С. Маркуса, Р. Мотвани, Р.Ш.

Липцера, В. Павловича, П. Перейры, Б. Розовского, С. Сатчела, Д. Смита, М. Солы, Ф. Спаньоло, Я. Цвитанича, А.Н. Ширяева, Д. Эйнгворда и др.

Анализ опубликованных результатов приводит к следующим выводам, определяющим направления исследований данной диссертации.

1. Отсутствует универсальный математический аппарат вероятностного описания и анализа стохастических дифференциальных систем со случайной структурой.

2. В подавляющем большинстве статей по СММ, в качестве переключающих выступали МСП с конечным числом состояний. Это обстоятельство сильно сужает класс реальных явлений, которые могут быть описаны с помощью таких моделей.

Baum L. E., Petrie T. Statistical inference for probabilistic functions of finite state Markov chains // Ann. Math.

Statist.— 1966.— Vol. 37.— Pp. 1554—-1563.

Capp O., Moulines V., Rden T. Inferences in Hidden Markov Models.— NY: Springer, 2005.

Ephraim Y., Merhav N. Hidden Markov processes // IEEE Trans. Inform. Theory.— 2002.— Vol. 116, no. 6.— Pp.

1518–1569.

Elliott R. J., Aggoun L., Moore J. B. Hidden Markov Models: Estimation and Control.— Berlin: Springer-Verlag, 1995.

—5— 3. Отсутствует формальное доказательство марковского свойства пары “диффузионный процесс с переключениями — процесс переключений”.

4. Не найден общий вид решения задачи оптимальной в среднеквадратичном смысле (СК-оптимальной) фильтрации состояний СММ. Исследования в этой области привели к пессимистичному результату: оптимальная оценка будет конечномерной только для весьма узкого класса систем без наблюдений диффузионной компоненты.

Тем не менее, вычисление СК-оптимальных оценок даже посредством решения уравнений Кушнера-Стратоновича или Закаи для условной плотности, является ключевым для решения последующих задач оптимального управления по неполной информации и разработки численных алгоритмов соответствующих оптимальных и субоптимальных процедур.

5. Исследование задач оценивания и управления в системах наблюдения со СММ в условиях априорной неопределенности зачастую ограничивалось рассмотрением линейных или кусочно-линейных систем. С другой стороны, множество допустимых оценок/управлений обычно постулировалось линейными функциями наблюдений. Наконец, в качестве показателей оптимальности выступали робастные H и Hкритерии, которые косвенно накладывали специфическое ограничения на вид неопределенности как параметров системы, так входных и воздействий/шумов.

Помимо этих выводов следует указать все термины, использующиеся для обозначения случайных процессов и динамических систем, структура которых подвержена марковским скачкообразным изменениям:

— условно-марковские процессы, — системы со случайной структурой, системы с изменяющейся структурой, — системы с марковскими переключениями, — системы в случайном (марковском) окружении, — кусочно-детерминированные процессы, гибридные системы, — скрытые марковские модели и процессы.

Множества объектов, соответствующих каждому термину, пересекаются, но не совпадают. В диссертации для этого “пересечения” вводится единый термин “скрытой марковской системы” (СМС), обозначающий любую динамическую систему наблюдения, в которой уравнения состояния и/или наблюдения определяют случайную функцию от внешнего ненаблюдаемого (скрытого) марковского скачкообразного процесса — субординатора. Если субординатор имеет конечное число состояний, то соответствующая скрытая марковская система называется традиционной (ТСМС), в противном случае будет использоваться термин “обобщенная скрытая марковская система” (ОСМС).

Цели и задачи работы. Целью диссертации является разработка теоретических основ и методов вероятностного анализа и статистического оценивания процессов и параметров в скрытых марковских системах с непрерывным временем, при наличии различных комплексов априорной и статистической информации.

Для достижения выбранной цели необходимо:

1) сформировать комплексный систематический подход к определению и изучению ОСМС, включая выбор для них класса процессов переключений и вероятностного описания соответствующих стохастических дифференциальных систем со случайной структурой;

2) решить задачу анализа состояний ОСМС;

—6— 3) построить теорию оптимального линейного, условно-оптимального и оптимального нелинейного оценивания состояний в СМС по разнородным наблюдениям;

4) решить задачу байесовской идентификации параметров СМС;

5) построить теорию минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах в условиях априорной неопределенности их моментных характеристик, с приложениями к задачам оценивания состояний неопределенно-стохастических систем наблюдения, описываемых СДУ с мерой;

6) построить теорию минимаксного апостериорного оценивания в СМС по разнородным наблюдениям в условиях неопределенности;

7) продемонстрировать эффективность разработанных теоретических методов анализа и оценивания в СМС при решении практических задач системного анализа и обработки информации в области авиационной и ракетно-космической техники.

Методы исследования. В главах 1-4 используются современные методы теории вероятностей, математической статистики и стохастического анализа, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений с мартингалами в правой части, а также аппарат дифференциальных уравнений в частных производных и их стохастических аналогов. В главе 5, посвященной решению задач минимаксного оценивания, используются методы функционального и выпуклого анализа.

Научная новизна. В работе получены новые теоретические результаты в области анализа и оценивания в СМС, среди которых можно выделить следующие.

1. Предложен единый математический формализм для описания и анализа состояний ОСМС:

– выделен и проанализирован класс специальных МСП, служащих переключателями в ОСМС, – решена задача анализа ОСМС: получено обобщение уравнения ФоккераПланка-Колмогорова (уравнения ФПК) для переходной вероятности и плотности распределения, и определены условия существования и единственности их решений.

2. Представлены решения задач оптимального оценивания состояний и параметров СМС по разнородным наблюдениям:

– решены задачи оптимальной линейной, условно-оптимальной (полиномиальной) и оптимальной нелинейной фильтрации и сглаживания МСП;

– решены задачи оптимальной нелинейной фильтрации и сглаживания состояний ОСМС в форме обобщения уравнения Закаи для условной плотности распределения, и определены условия существования его решения;

– решена задача байесовской идентификации параметров СМС.

3. Найдено решение задачи минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах в условиях априорной неопределенности их моментных характеристик, получено условие минимаксности линейной оценки типа условия Винера-Хопфа.

4. Получено решение задачи минимаксной линейной фильтрации в неопределенно-стохастических системах, заданных СДУ с мерой.

5. Разработана теория минимаксного апостериорного оценивания состояний и параметров в СМС в условиях статистической параметрической неопределенности.

Практическая ценность работы состоит в том, что ее теоретические результаты могут служить основой для разработки программно-алгоритмического обеспечения решения прикладных задач анализа систем наблюдения, идентификации их —7— параметров и оценивания состояний, в областях авиационной и ракетно-космической техники, информационно-телекоммуникационных сетей и физики плазмы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах и сессии Института проблем информатики РАН; на научных семинарах кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, кафедры прикладной механики и управления Механико-математического факультета и Института механики Московского государственного университета, кафедры компьютерных методов физики Физического факультета Московского государственного университета, отдела физики плазмы Института общей физики РАН им. А.М. Прохорова, факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, кафедры кибернетики Московского государственного института электроники и математики, кафедры теории вероятностей Московского авиационного института. Материалы диссертации представлялись на международных конференциях: 30th, 31st, 34th, 43th Conferences of Decision and Control (CDC) (1991 Brighton, UK; 1992 Tucson, USA;

1995 New Orleans, USA; 2004 Nassau, Bahamas), IFAC Conference “System Structure and Control” (1995 Nantes, France), 3rd European Control Conference (ECC) (19Roma, Italy), IFAC Conference “Singular Solutions and Perturbations in Control Systems” (1997 Переславль-Залесский, Россия), International Conference “Rare Events” (19Riga, Latvia), 44th Conference on Decision and Control and the European Control Conference (ECC-CDC) (2005 Seville, Spain), IEEE Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON) (2007, Томск, Россия), IFAC Workshop “Adaptation and Learning in Control and Signal Processing” (ALCOSP) (2007 Санкт-Петербург, Россия), Х-й Международной конференции “Системный анализ и управление” (2005 Евпатория, Украина), 3-й, 5-й и 6-й международных конференциях “Идентификация систем и задачи управления” (SICPRO) (2004, 2006, 2007 Москва, Россия).

Работа поддержана грантами РФФИ (05-01-00508-a и 07-02-00455-а) и программой ОИТВС РАН “Фундаментальные алгоритмы информационных технологий” (проект 1.5).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 21 научной статье, опубликованной в журналах, входящих в список ВАК. Помимо этого, результаты частично опубликованы в других журналах, сборниках статей и трудах конференций на русском и английском языках, общее число публикаций — 65.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, шесть глав, заключение, приложение и список используемой литературы. Работа состоит из 327 страниц, включая 68 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащей 330 наименований. Приложение составляет 63 страницы.

Содержание диссертации Во введении дано обоснование актуальности выбранной автором темы диссертации, сформулирована цель работы, аргументирована ее научная новизна и практическая ценность, а также в сжатом виде изложено содержание глав диссертации.

В первой главе8 к рассмотрению представлен класс специальных скачкообразных процессов, используемых в дальнейшем в качестве переключателей в СМС.

Пусть — {t}t[0,T ] — МСП с конечным множеством состояний Sn = {e1,..., en}, (ek — k-й единичный вектор в Rn1) с начальным распределением p0, известной непреВ автореферате приведены только основные утверждения диссертации. Нумерация формул и утверждений в автореферате соответствует их нумерации в диссертации.

—8— рывной матрицей интенсивности переходов (t) и матрицей переходных вероятностей P(s, t);

— (t) = col(11(t),..., nn(t)) — столбец из диагональных элементов (t);

— (t) =(t) - diag((t)) — вспомогательная функция, — {n}nZ — последовательность марковских моментов - скачков процесса , 0 def =0, + — Nt — считающий процесс, соответствующий МСП , t —Ti(s, t)def {Nt - Ns =0 | s = ei}=exp ii(u)du, Ti(s, t, )def {Nt - Ns =0|s}, =P =P s def T (s, t) = col(T1(s, t),..., Tn(s, t)) — вектор вероятностей пребывания в каждом из состояний ei, def — = {Di}i=1,n — множество непересекающихся борелевских подмножеств R, E = nD Di, i=def — ID(x) — индикаторная функция множества D; I(x) = I[0,+)(x) — единичная ступенчатая функция, непрерывная справа; =(x) : E Sn — специальная индикаdef торная функция: (x) =col(ID (x),..., ID (x)), 1 n — {i(A)}i=1,n — набор вероятностных распределений на множествах Di: i(Di) = def def def для i = 1, n; (B) =col(1(B),..., n(B)); E {f(y)} = f(y)i(dy), E {f(y)} = i E f col(E {f(y)},..., E {f(y)}), E def diag{E {f(y)}}, = 1 n — {Xk}kZ — стохастическая последовательность независимых одинаково распреде+ ленных случайных векторов Xk =col(x1,..., xn), компоненты xi которых независимы k k k в совокупности и имеют распределения i(·), — 1 — вектор-строка, составленная из единиц.

Специальным скачкообразным процессом, порожденным марковским процессом и стохастической последовательностью X, называется процесс Yt def XN t.

= t Для данных процессов доказано марковское свойство, и в дальнейшем они называются специальными марковскими скачкообразными процессами (СМСП). Они образуют более широкий класс, чем МСП с конечным числом состояний. Определены характеристики СМСП: найден вид переходной вероятности, построен производящий оператор, определены свойства стохастической меры, порождаемой данными процессами.

Для функции от СМСП получено мартингальное представление в прямом времени. Пусть дан процесс ft def (Yt)f(Yt) =tf(Yt), где f(y) : E R — известная = функция.

Теорема 1.1. Если функция f удовлетворяет условию E {|f(y)|} < , (1.15) то процесс Zt def =col(ft, t) допускает представление t f ft = 0f(Y0) + diag (s)fs- + E(s)s- ds + Mtf, (1.16) t t = 0 + (s)s-ds + Mt, —9— f где Mf и M — мартингалы, M0 =0, M0 =0 п.н.; при этом f является специаль ным семимартингалом; если дополнительно E f2(y) < , то Mf является квадратично интегрируемым мартингалом.

Таким образом, функции от СМСП выражаются через решения замкнутых систем линейных СДУ с мартингалами в правой части.

Для СМСП получены вероятностные характеристики и мартингальное представление в обратном времени.

Теорема 1.2. Пусть Yt, t [0, T] — СМСП, тогда 1) непрерывная слева версия процесса f, рассматриваемая как процесс в обратном времени, является решением СДУ T fr f ft = T f(YT ) + diag (s)fs + E (s)s ds + Mt, t T f f f где Mtfr def Mt - MT - diag[(s) +(s)]fs + E[ (s) + (s)]s ds является = t def мартингалом в обратном времени, а (t) = (t) + diag (t) является матрицей интенсивностей переходов процесса в обратном времени:

def def (t) = (diag p(t))-1 (t) diag p(t), (t) = -(t)1;(1.28) r 2) решения col(ft, t) системы (1.16) и col(fr, (t )) системы t T r r f r ft = T f(YT ) + diag (s)fs + E (s)s ds+ t T f f r f r +Mt - MT - diag (s) +(s) fs + E (s) + (s) s ds, t T T r r r t = T + (s)sds + Mt - MT - [(s) +(s)] sds, t t P-п.н. совпадают для любого t [0, T].

Таким образом, помимо марковского свойства, “симметричного” относительно прямого и обратного течения времени, СМСП обладают мартингальным представлением, также “симметричным” относительно направления течения времени, что существенно используется в главе 4 при решении задач обратной интерполяции.

Вторая глава посвящена построению ОСМС, использующих в качестве переключателей СМСП. Раздел 2.1 содержит основные определения и предположения относительно стохастических динамических систем, описывающих ОСМС.

На (, F, P, {Ft}t[0,T ]) рассматривается ОСМС t t xt = x0 + a(xu-, Yu-, u)du + b(xu-, Yu-, u)dwu, 0 t (2.1) Y Yt = Y0 + Yu-(u) +E{y} (u) (Yu-)du + Mt, —10— где xt R — диффузионный процесс с переключениями, Yt E R — процесс переключений — СМСП, заданный своим мартингальным представлением.

Относительно системы (2.1) сделаны следующие предположения.

2.1. Борелевские функции a = a(x, y, t), b = b(x, y, t) : R E [0, T] R являются липшицевыми по (x, y), и имеют скорость роста не выше линейной.

2.2. Функции a(·, ·, t) и b(·, ·, t) регулярны по t.

2.3. Распределения i, i = 1, n абсолютно непрерывны по мере Лебега:

def di def (y) = i(y), (y) = col 1(y),..., n(y), причем существуют константы , C > 0:

dµ E{|y|2+} < и i(y) C для y E, i = 1, n.

2.4. Начальные состояния x0 и y0 — F0-измеримы, y0 имеет плотность распределения py(y, 0) = p(y), а x0 имеет плотность распределения 0(x).

2.5. Начальное состояние x0, стандартный винеровский процесс w и СМСП Y независимы в совокупности.

2.8. Функции a, a, b, b, b Cb(R E [0, T]), а также непрерывны по x x xx Гельдеру с показателем (0 < < 1) по переменной x равномерно по паре (y, t).

Помимо этого, |b(x1, y1, t1) - b(x2, y2, t2)| C(|x1 - x2| + |t1 - t2|/2).

2.9. Существуют такие константы 0 < <, что для (x, y, t) R E [0, T] выполняется неравенство |b(x, y, t)| .

Лемма 2.1. Пусть для системы (2.1) выполняются предположения 2.1-2.5, тогда процесс zt def =col(xt, Yt) является марковским.

В разделе 2.2 рассмотрена задача описания переходной вероятности состояния ОСМС. Несмотря на то, что указанная вероятность не обладает плотностью, ее можно представить в виде суммы сингулярного и абсолютно непрерывного относительно меры Лебега слагаемых. Выведенная для этой пары система интегро-дифференциальных уравнений в частных производных являются обобщением классического уравнения ФПК.

Теорема 2.1. Пусть для системы (2.1) выполнены предположения 2.1-2.5, 2.и 2.9. Тогда ее переходная вероятность имеет вид def xs Pu,v,s(A, B, t) = P xt A, Yt B u, Ys = v = = (2.6) = T (s, t)(v)IB(v) qu,v,s(x, t)dx + ru,v,s(x, y, t)dxdy, A BA а пара (qu,v,s(x, t), ru,v,s(x, y, t)) является решением системы t qu,v,s(x, t) =u(x) + Lqu,v,s(x, )d, v t (2.7) ru,v,s(x, y, t) = Lru,v,s(x, y, ) +()(y)ru,v,s(x, y, )+ y +(y) () diag (v) T (s, )qu,v,s(x, ) + (h)ru,v,s(x, h, )dh d, E def где Lf(x, t) = - a(x, v, t)f(x, t) +1 b2(x, v, t)f(x, t).

v x 2 xx На основании теоремы 2.1 в разделе 2.3 получено уравнение, определяющее —11— эволюцию совместной плотности распределения (x, y, t) состояния zt системы (2.1):

t (x, y, t) =p(y)0(x) + L(x, y, ) +()(y)(x, y, )+ 0 y (2.8) +(y)() (h)(x, h, )dh d.

E В ТСМС в качестве переключателей используются не СМСП Y, а непосредственно МСП с конечным числом состояний . Поэтому система (2.1) в этом случае имеет вид t t xt = x0 + (xu-, u)u-du + b(xu-, u)u-dwu, 0 t t = 0 + (u)u-du + Mt, def def где (xt, t) = row a1(xt, t),..., an(xt, t), b(xt, t) = row b1(xt, t),..., bn(xt, t), def def ai(x, t) = a(x, et, t), bi(x, t) = b(x, et, t), i = 1, n. Тогда совместное распределение i i P {xt A, t = ej|xs = u, t = ei} = epu,s(x, t)ejdx может быть определено через i A решение pu,s(x, t) системы t pu,s(x, t) =u(x)Inn + - pu,s(x, ) diag (x, ) + x (2.11) + pu,s(x, ) diag b(x, ) + )() d.

pu,s(x, 2 xx Предложенные обобщения (2.7), (2.8) и (2.11) являются более сложными, чем собственно уравнение ФПК. В разделе 2.4 представлен частный случай ОСМС — так называемые системы с конечным числом скачков, для которых решение представленного обобщения выражается через решения классических уравнений ФПК с фиксированными траекториями переключающих процессов.

Третья глава посвящена различным задачам СК-оптимального оценивания состояний СМСП при наличии полной априорной информации о системе наблюдения.

Данные системы наблюдения являются частным случаем ОСМС.

Раздел 3.1 посвящен решению задачи СК-оптимальной (нелинейной) фильтрации состояний СМСП по непрерывным и считающим наблюдениям.

Дана система наблюдения t Y Y Y = 0Y0 + diag (s)Y + E (s)s- ds + Mt, t s t (3.21) t = 0 + (s)s-ds + Mt, t t t Ut = Asds + Csdws, Qt = µs-s-ds + MtQ, 0 0 где — Zt def col(Y, t) En Sn — ненаблюдаемое состояние системы: Yt —СМСП, t — = t порождающий его МСП;

—12— — Ut Rm1 — непрерывные наблюдения: w Rm1 — винеровский процесс, представляющий ошибки наблюдений, As = A(s, Zs) — план наблюдений, и Cs = C(s) — интенсивность шумов;

— Qt Z+ — считающие наблюдения, заданные своим мартингальным разложением.

В качестве сигнальных процессов, подлежащих оцениванию, выступают процессы ft1 def f(Yt) (функция f удовлетворяет (1.15)), задаваемые своим мартингальным = представлением t f ft1 = f(Y0) + fs-(s) +E {f(y)} (s) s-ds + 1Mt, (3.2) либо процессы ft2 def f2(t, Y, w) вида = t t t Z ft2 = f0 + asds + bdMs + cdws. (3.3) s s 0 0 Предложенный вид сигнальных процессов позволяет рассматривать как любые функции состояния системы, так и число попаданий СМСП Y в произвольные фиксированные подмножества, суммарное время пребывания Y в них и пр.

Относительно системы (3.2), (3.3) и (3.21) сделаны следующие предположения.

3.2. A(s, z) Cb([0, T] En Sn), Cs Cb([0, T]) и CsCs равномерно невырождена по s.

3.3. Вектор f0 и процессы Y, w независимы в совокупности.

3.4. Процессы as def a(s, Zs), bs def b(s, Zs-), cs def c(s, Zs); при этом функции = = = a(s, z), b(s, z), c(s, z) кусочно-непрерывны по s при z En Sn.

T 3.5. E a2 +tr bsb d MZ,MZ s +tr[csc] ds < .

s s s 0 ds 3.7. Плотности i(·) C1(E), а также min inf j(x) > 0.

b j xDj 3.8. Выполняется неравенство min inf ij(t) > 0.

i,j: i =j t[0,T ] Y Y 3.9. Мартингалы MQ и M сильно ортогональны (MQ M ), то есть Q Y M0 M0 =0 п.н., и любого марковского относительно {Ft} момента верно ра для Q Y венство E M M =0.

3.10. Интенсивность считающих наблюдений µs = µ(s, y) Cb([0, T] En).

T T 1 3.11. Верно равенство E exp - A (CsCs )-1dWs - A (CsCs )-1As-ds s- s0 2 T T ln(µs-)dQs + (µs- - 1)ds =1.

0 Пусть {Ot}tR : Ot def {Us, Qs : 0 s t} — естественный поток -алгебр, = + порожденный наблюдениями Ot def Qt), полученными за время [0, t].

=(Ut, Задача 3.1. Задача СК-оптимальной фильтрации сигнальных процессов fi, i = 1, 2 (3.2) и (3.3) по непрерывным и считающим наблюдениям заключа ется в нахождении таких Ot-согласованных процессов fti = fti(Ot), что fti(·) i Argmin E fti - ft(Ot) 2, где множество Mt допустимых оценивателей включает i ft(·)Mt все Ot-согласованные процессы второго порядка.

Так как одним из решений задачи СК-оптимального оценивания является условное математическое ожидание относительно имеющихся наблюдений, то при решении —13— задачи 3.1, равно как и в последующих задачах оценивания исследуется возможность характеризации условного распределения, в частности его описание с помощью различных обобщений уравнения Закаи.

На (, F) вводится новая вероятностная мера P с помощью производной dP Радона-Никодима =T, где dP t t t =exp A (CsCs )-1dUs - A (CsCs )-1As-ds s- s0 t t exp ln(µs-s-)dQs - (µs-s- - 1)ds.

0 Пусть ft def E {tft|Ot} — ненормированное условное математическое ожида= ние. Согласно абстрактному варианту формулы Байеса имеется связь между нормиро ванными и ненормированными условными средними: ft = ft/ где 1t def E {t1|Ot}.

1t, = Теорема 3.1. Пусть для системы наблюдения (3.2), (3.3), (3.21) выполнены предположения 3.2—3.5, 3.7-3.11. Тогда верны следующие утверждения.

1) Ненормированные условные средние ft1 и ft2 являются решениями уравнений t ft1 = pE {f(y)} + (s)sfs +(E f1(y) ) (s)s ds+ t t + fs A(CsCs )-1dUs + [f1µ]s- - f1 (dQs - ds), s s0 t t 2 ft2 = E f0 + + (fs A + Cs)(CsCs )-1 dUs+ asds cs s 0 t + [f2µ]s- - f2 (dQs - ds), s 2) Нормированная условная плотность распределения (y, t) процесса Y относительно Ot существует и удовлетворяет системе t (y, t) =p(y) + (y, s-)(s)(y) +(y)(s)s- ds+ t + (y, s-)A(s, (y)y, (y))(CsCs )-1dUs+ 0 t + (y, s-)(µ(s, (y)y)(y) - 1) (dQs - ds), (y, t) t = (y, t)(y)dy, (y, t) =, E (z, t)dz E где (y, t) — ненормированная условная плотность.

—14— В разделе также рассмотрена задача оптимальной фильтрации относительно непрерывно-дискретных наблюдений. На конечном отрезке [0, T] дана система t Y Y = Y + [diag (s)Y + EY (s)s-]ds + Mt, t 0 s- t t = 0 + (s)s-ds + Mt, (3.27) t t Ut = A(Y, s-, s)ds + Csdws, s 0 Vk = k(Y, t, Wk), tk k где {tk}k=0,M, 0 =t0

3.12. Случайные величины {Wk}k=0,M, Wk RD1 являются Ft -измеримыми и k независимы в совокупности.

3.13. Y, w и W независимы в совокупности.

3.14. Функции {k}k=0,M, k : En Sn RD1 Rd1 детерминированы и известны.

3.15. Для ti {tk}k=0,M условное распределение Vi относительно Yt известно i и имеет плотность i(v|y).

Пусть Ot def {Us, Vk : 0 s t, 0 tk t} — поток -алгебр, порожденный = наблюдениями U и V, полученными на [0, t], а ft1 = f1(Yt) — оцениваемый сигнальный процесс (3.2).

Задача 3.2. Задача СК-оптимальной фильтрации процесса ft1 по непрерывно дискретным наблюдениям состоит в нахождении ft1 def E f1(Yt)|Ot.

= Теорема 3.2. Если для системы (3.2), (3.27) выполнены предположения 3.2— 3.9, 3.12—3.15, то оптимальная оценка фильтрации ft1 определяется формулой ft1 = f1(y)(y, t)dy, где (y, t) — условная плотность распределения, определяE емая рекуррентной системой t (y, t) = (y, tk) + (y, s)(s)(y) +(y)(s)s ds+ tk t + (y, s) A(s, (y)y, (y)) - As (CsCs )-1(dUs - Asds), tk t (tk, tk+1), k = 0, M - 1, k+1(Vk+1|y)(y, tk+1-) p(y)0(V0|y) (y, tk+1) =, k = 1, M, (y, t0) =.

k+1(Vk+1|v)(v, tk+1-)dv p(v)0(V0|v)dv E E В разделе 3.2 решена смежная задача одновременной фильтрации состояния МСП с конечным числом состояний и оценивания параметров системы наблюдения:

матрицы интенсивности МСП, матрицы плана непрерывных наблюдений и интенсивностей считающих наблюдений. Полученные байесовские оценки используются далее —15— для решения задачи минимаксного оценивания в условиях априорной неопределенности параметров СМС, представленной в разделе 5.3.

Оценки СК-оптимальной фильтрации состояний СМСП определяются посредством решений обобщений уравнений Закаи. В общем случае оно не представимо в аналитическом виде, а соответствующие численные методы всегда являются сложными и ресурсоемкими. Поэтому актуальными являются задачи построения условнооптимальных оценок фильтрации. Это значит, что оптимальный фильтр ищется в более узком классе допустимых оценивателей. Построенные таким образом оценки имеют приемлемую точность при умеренных затратах на их вычисление. Этим задачам посвящены следующие два раздела главы.

В разделе 3.3 решена задача СК-оптимальной линейной фильтрации состояний СМСП. В разделе 3.4 решена задача СК-оптимальной полиномиальной фильтрации.

Доказано, что эта задача полиномиальной фильтрации сводится к линейной задаче путем подходящего расширения состояния системы и наблюдаемого процесса.

На отрезке [0, T] рассматривается система наблюдения t Y Y Y = 0Y0 + diag (s)Y + E (s)s- ds + Mt, t s t (3.33) t = 0 + (s)s-ds + Mt, t t Ut = A(Y, s-)ds + C(Y, s-)dws, s- s0 где функции A = A(y, ) и C = C(y, ) удовлетворяют условиям T E {AAt} + E C(Y, t)C(Y, t) dt < , t t t (3.34) µ>0 : t [0, T] µImm E{C(Y, t)C(Y, t)}.

t t Задача 3.5. Задача СК-оптимальной полиномиальной фильтрации порядка k def состояния Z(t) =col(Y, t), t [0, T], заключается в нахождении оценки вида t k t Zk(t) =(t) + p(t, u)dUp(u), p= ((t), p(t, u), p = 1, k — искомые функции), минимизирующей критерий J(Zk(t)) = E{ Z(t) - Zk(t) 2}. В случае k =1 оценка Z1(t) является СК-оптимальной линейной.

Предполагается, что распределения i, i = 1, n, а также функции A(·) и C(·) в наблюдениях удовлетворяют неравенству E y2k + E A2k(y) + E C2k(y) < . (3.40) В этом случае корректно определены матрицы Gq,r,s def diag (E {Aq(y)Cr(y)ys}), для = def s q, r, s 0: q + r + s 2k, а процессы Y (t) = (t)Up(Y (t))Aq(Y (t))Cr(Y (t))Y (t) p,q,r,s являются специальными квадратично интегрируемыми семимартингалами для p, q, r, s 0: p + q + r + s k, и допускают представление с помощью линейных —16— СДУ dY (t) = diag (t)Y (t-) +pY (t-)+ p,q,r,s p,q,r,s p-1,q+1,r,s p(p - 1) + Y (t-) +Gq,r,s (t)Y (t-) dt + dVp,q,r,s(t), p-2,q,r+2,s p,0,0,где Vp,q,r,s(t) являются квадратично интегрируемыми мартингалами — процессами с ортогональными приращениями. Оказывается, что расширенный вектор состояния def Y (t) =col{Y (t), Y (t), Y (t) : p + q + r k, p, q, r 0}, 0,0,0,0 0,0,0,1 p,q,r,def совместно с обобщенным процессом наблюдений U(t) = col(U(t),..., Uk(t)) описываются некоторой замкнутой системой линейных СДУ с процессами, имеющими ортогональные приращения t Y (t) =Y (0) + a(u)Y (u-)du + V (t), (3.51) t U(t) = A(u)Y (u-)du + V (t).

Лемма 3.8. Пусть для исходной системы наблюдения (3.33) выполняются условия (3.34), (3.40), а матрица дифференциальной ковариации шумов V2(t) в на блюдениях равномерно невырождена. Тогда оценка Zk(t) СК-оптимальной полиномиальной фильтрации состояния Z(t) и матрица ковариации ошибок данной оценки задаются соответствующими блочными компонентами оптимальной линейной оценки и ковариации ошибки оценки состояния Y расширенной системы наблюдения (3.51), вычисленных по формулам алгоритма Калмана-Бьюси.

Полиномиальные оценки, очевидно, занимают по точности промежуточное положение между оптимальными линейными и оптимальными нелинейными оценками.

Возникает очевидный вопрос о сходимости оптимальных полиномиальных оценок с ростом их порядка к оптимальным нелинейным оценкам. Положительный ответ удалось получить не в исходном, но во вспомогательном вероятностном пространстве.

На (, F) вводится новая вероятностная мера P с помощью производной t t dP 1 Радона-Никодима: =T, где t def =exp A(CsCs )-1dUs - A(CsCs )-1Asds.

s s 0 2 dP Система (3.51) рассматривается относительно P, и строятся СК-оптимальные полиноdef миальные оценки нарастающего порядка {zk(t)}kZ состояния z(t) =tZ(t).

+ Теорема 3.3. Имеет место следующие сходимости СК-оптимальных полино миальных оценок {zk(t)}kZ состояния z(t) к ненормированному условному сред+ def нему Z(t) = E{Z(t)|Ot}: E{ zk(t)-Z(t) 2} 0, zk(t) Z(t) P-п.н. при k .

Разделы 3.5 и 3.6 посвящены СК-оптимальной нелинейной и линейной интерполяции (сглаживанию) состояний СМСП: представлены решения задач сглаживания в фиксированной точке и на фиксированном интервале. Для СК-оптимальной нелинейной оценки сглаживания на фиксированном интервале доказана справедливость ее представления в “двухфильтровой” форме, то есть в виде некоторой симметричной функции оценок фильтрации в прямом и обратном времени.

—17— На конечном отрезке [0, T] рассматривается система наблюдения (3.21), содержащая только непрерывные наблюдения U.

Задача 3.7.Задача оптимального нелинейного сглаживания на фиксированном интервале [0, T] состояния СМСП Yt заключается в нахождении условной плот ности (y, t, T ) распределения состояния Yt, t [0, T] относительно UT def {Us, s = [0, T]}.

Пусть заданы линейные операторы def L(x, t) = (x, t)(t)(x) +(x)(t) (z)(z, t)dz, E def L(x, t) = (x, t)(t)(x) +(x) (t) (h)(h, t)dh, (3.66) E def L(x, t) = (x, t)(t)(x) +(x) (t) (h)(h, t)dh, r E где и определены (1.28).

Теорема 3.5. Ненормированная условная плотность (x, t, T ) СМСП Yt относительно UT имеет два представления:

1) (x, t, T ) = (x, t) t, T ), где (x, t) и g(x, t, T ) — решения следующих g(x, стохастических уравнений в прямом и обратном времени:

t t (x, t) =(x)p0 + L(x, s)ds + (x, s)A(s, (y)y, (y))(CsCs )-1dUs, 0 T T g(x, g(x, t, T ) =1 + L s, T )ds + g(x, s, T )A(s, (y)y, (y))(CsCs )-1 • dUs, t t где символ “•” означает интеграл Ито в обратном времени;

(x, t)r(x, t) 2) (x, t, T ) =, где (x, t) — безусловная плотность распределе(x, t) ния СМСП Yt, а (x, t) и r(x, t) являются решениями следующих стохастических уравнений в прямом и обратном времени:

t t (x, t) =(x)p0 + L(x, s)ds + (x, s)A(s, (y)y, (y))(CsCs )-1dUs, 0 T T r(x, t, T )=(x)p(T ) + Lr(x, s, T )ds + r(x, s, T )A(s, (y)y, (y))(CsCs )-1•dUs.

r t t Для линейной СК-оптимальной оценки сглаживания на фиксированном интервале в разделе 3.6 также получен симметричный “двухфильтровый” вид.

В четвертой главе результаты, полученные в главах 1 и 2 в области анализа состояний ОСМС и оценивания в системах наблюдения со СМСП, применены для решения ключевых задач оценивания состояния ОСМС по разнородной статистической информации.

—18— Раздел 4.1 посвящен решению задачи фильтрации состояния ОСМС по непрерывным и считающим наблюдениям. На (, F, P, {Ft}t[0,T ]) дана система наблюдения t t xt = x0 + a(xs-, Ys-, s)ds + b(xs-, Ys-, s)dws, 0 t Yt = Y0 + Ys-(s) +E{y}(s) (Ys-)ds + MtY, (4.7) t t Ut = A(xs-, Ys-, s)ds + BsdWs, 0 t Qt = (xs-, Ys-, s)ds + MtQ.

Здесь — xt R — ненаблюдаемый диффузионный процесс с переключениями, — Yt E R — ненаблюдаемый процесс переключений, являющийся СМСП, — Ut Rm1 — непрерывные наблюдения, — Qt Z+ — считающие наблюдения.

Относительно (4.7) выполняются следующие предположения.

4.1. Уравнения (4.7), представляющие состояние zt def =col(xt, Yt), удовлетворяют условиям теоремы 2.1.

4.2. Начальное условие x0, СМСПY, винеровские процессы w и W независимы в совокупности.

T 4.3. Функция A : R E [0, T] Rm1 такова, что A(ut, vt, t) dt < для u C[0, T] и v BE([0, T]), где BE([0, T]) — пространство Блекуэлла функций со значениями в E.

4.4. Матричнозначная функция B L2([0, T]), иBtBt равномерно невырождена по t.

T T 4.5. E { A(xt, Yt, t) } dt < и P AAtdt < = 1, где At def = t 0 E {A(xt, Yt, t)|Ot}, Ot def {Us, Qs : 0 s t}.

= 4.7. Известная интенсивность считающих наблюдений Cb(R E [0, T]) такова, что 0, 1: 0 <0 1 < , 0 (x, y, t) 1 для (x, y, t);

Y 4.8. Мартингалы MQ и .

M сильно ортогональны: MQ MY T T 1 4.9. Верно равенство E exp - A (BsBs)-1dWs - A (BsBs)-1As-ds s- s0 2 T T ln(s-)dQs + (s- - 1)ds =1.

0 Задача 4.2. Задача СК-оптимальной фильтрации сигнального процесса ft def = f(zt) по непрерывным и считающим наблюдениям заключается в нахождении ft def = E {ft|Ot}.

Теорема 4.1. При выполнении предположений 4.1-4.5, 4.7-4.9 верны следующие утверждения:

1) если ft = f(zt) — такой сигнальный процесс, что f C2,1(R E), то его b —19— оптимальная оценка фильтрации ft является решением уравнения t ft = E {f(z0)} + Lfs + (s)fs + (u) (s)f(xs, u)du ds+ 0 E t t fs- - fs-s + [fA - fsA ](BsBs)-1/2ds + d s, s s s 0 где 1 Lft def E fx(xt, Yt)a(xt, Yt, t) + fxx(xt, Yt)b2(xt, Yt, t)|Ot, = def ft def E {(Yt)f(xt, Yt)|Ot}, f(xt, u) = E {(Yt)f(xt, u)|Ot}, = fA def E {f(xt, Yt)A(xt, Yt, t)|Ot}, t def (xt, Yt, t|Ot), At def A(xt, Yt, t|Ot), = = = t t t def t(BsBs)-1/2(dUs - Asds), t = (dQs - s-ds);

= 0 2) ненормированная условная плотность (x, y, t) существует, является обобщенным решением уравнения (x, y, t) =0(x)(y)p0+ t + L(x, y, s) +(s)(y)(x, y, s) +(y) (s) (u)(x, u, s)du ds+ y 0 E t t + (x, y, s)A(x, y, s)(BsBs)-1dUs + (x, y, s-)((x, y, s) - 1)(dQs - ds), 0 и связана с нормированной условной плотностью (x, y, t) соотношением нормиров ки (x, y, t) = (x, y, t) (u, v, t)dvdu.

RE В этом же разделе решена задача оптимальной фильтрации состояния ОСМС по непрерывно-дискретным наблюдениям. Дана система наблюдения t t xt = x0 + a(xs-, Ys-, s)ds + b(xs-, Ys-, s)dws, 0 t Yt = Y0 + Ys-(s) +E{y}(s) (Ys-)ds + MtY, (4.12) t t Ut = A(xs-, Ys-, s)ds + BsdWs, 0 Vk = k(xt, Yt, Wk), k k где {tk}k=0,M, 0 =t0

Пусть Ot def {Us, Vk : 0 s t, 0 tk t} — поток -алгебр, порожден= ный наблюдениями U и V, полученными на [0, t], а ft = f(zt) — полезный сигнал — функция от текущего состояния zt.

—20— Задача 4.3. Задача СК-оптимальной фильтрации процесса ft = f(zt) по непрерывно-дискретным наблюдениям состоит в нахождении ft def E {f(zt)|Ot}.

= Теорема 4.2. Оптимальная оценка фильтрации f процесса ft по непрерывно t дискретным наблюдениям определяется формулой ft = f(x, y)(x, y, t)dxdy, где ER (x, y, t) — условная плотность распределения, являющаяся обобщенным решением рекуррентной системы (x, y, t) = (x, y, tk)+ t + L(x, y, s) +(s)(y)(x, y, s) +(y) (s) (u)(x, u, s)du ds+ y tk E t + (x, y, s)(A(x, y, s) - As)(BsBs)-1/2ds, tk t (tk, tk+1), k = 0, N - 1, k+1(Vk+1|x, y)(x, y, tk+1-) (x, y, tk+1) =, k = 1, N - 1, k+1(Vk+1|u, v)(u, v, tk+1-)dudv ER (x)p(y)0(V0|x, y) (x, y, 0) =.

(u)p(v)0(V0|u, v)dudv ER В разделе 4.2 решена задача СК-оптимальной прямой интерполяции состояния ОСМС по непрерывным наблюдениям. Раздел 4.3 содержит решение задачи совместной фильтрации состояния и идентификации параметров системы наблюдения с ТСМС по непрерывным и считающим наблюдениям.

Пятая глава посвящена распространению одного из направлений теории гарантирующего оценивания — минимаксного подхода, на решение задач оценивания в СМС в условиях априорной неопределенности.

Концептуально глава делится на две части. Первая часть посвящена задачам минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах и их приложениям при оценивании состояний динамических систем. Неопределенность в этих задачах связана с неточным знанием моментных характеристик. В разделе 5.1 исследуется задача минимаксного линейного оценивания случайного элемента с неопределенными математическим ожиданием и ковариационным оператором, известным с точностью до принадлежности некоторому множеству с максимальным элементом. В качестве допустимых оценок выступают не только результаты линейных ограниченных преобразований наблюдений, но и их СК-пределы. В качестве результата доказаны утверждения об условиях существования решения задачи минимаксного оценивания, виде искомых оценок, а также критерии минимаксности оценок, являющегося обобщениями классического условия Винера-Хопфа СК-оптимальности линейной оценки.

Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства, и H0 def H1 H2. На (, F, P) = задан частично наблюдаемый случайный элемент µ() = col(u(), ()), µ : —21— H0, причем вероятностная мера Pµ, порожденная µ, имеет сильный второй порядок.

u Элемент u(), u : H1 таков, что математическое ожидание E { } = mu Hи ковариационный оператор cov(u, u) = Kuu L+(H1) существуют, но неизвестны.

Элемент (), : H2 таков, что E {} = 0, а относительно ковариационного оператора cov(, ) = K известны лишь его верхняя и нижняя границы, то есть 0 K K K, где K, K L+(H2) — известные операторы. Элементы u и некоррелированы.

Модель наблюдений имеет вид =u +, (5.15) где линейные операторы L(H1, H3) и L(H2, H3) известны, а псевдообратный оператор + является непрерывным, то есть + L(H3, H1).

Модель оцениваемого случайного элемента имеет вид = Au + B, (5.16) где A L(H1, H4), B L(H2, H4) — известные линейные операторы.

Множество случайных элементов µ обозначается через µ. Множество допустимых оценивателей формируется всеми такими последовательностями операторов {n(·)}nN, n(·) L(H3, H4), что для µ µ существует ((µ)) = l.i.m.n n((µ)). В качестве функционала качества, определенного на µ , ис def пользуется J(µ, ) = E - () 2.

HЗадача 5.2. Задача минимаксного линейного оценивания элемента по на блюдениям заключается в нахождении такой оценки = (), (·) , что (·) Argmin sup J(µ, ).

µµ Теорема 5.1. Пусть для системы (5.15)-(5.16) выполнено условие идентифицируемости A+=A, тогда верны следующие утверждения.

1. Оценка = ():

def def () =l.i.m.n n(), n() = A+ + GK P (PDP + nI)-1 P, (5.20) def def def D =K , G = B - A+, P = I - +, в которой последовательность {n}, n > 0, такова, что n 0 при n , n= является решением задачи 5.2. Ковариационный оператор K def cov( - , - ) = ошибки оценки удовлетворяет ограничению K K K, где K def G K - KT K - K TK + K TKT K G, = def def K = G(K - K T K )G, T =(PDP)+.

def 2. Пусть µ = col(u, ) µ — элемент, для которого cov(, ) = K, а def def невязка ((µ)) = l.i.m. n((µ)), n((µ)) = (I - n)(µ) с известной последоваn тельностью операторов {n(·)}nN, n(·) L(H3, H3), такова, что E {((µ))} =0.

—22— Оценка = (), (·) является минимаксной тогда и только тогда, когда вы полнены условия: E (µ) - ((µ)) =0, cov((µ) - ((µ)), ((µ))) = 0.

Полученный критерий дает эффективный метод решения различных задач минимаксного оценивания в динамических системах. В разделе 5.2 рассматривается задача минимаксной линейной фильтрации состояний неопределенно-стохастических систем, описываемых СДУ с мерой. Часть входных воздействий в них имеют неопределенное среднее, а часть — неопределенную, но ограниченную сверху интенсивность.

Решение данной задачи — минимаксный фильтр, который может рассматриваться как минимаксное обобщение классического фильтра Калмана-Бьюси.

Дана дифференциальная неопределенно-стохастическая система (t) =0 + da()(-) + db()u() +w(t), (5.25) (0,t] (0,t] (t) =A00 + W0 + dA()(-) + dB()u() +W (t).

(5.26) (0,t] (0,t] Процесс = {(t)}t[0,T ], (t) Rn1 — ненаблюдаемое состояние системы, def = {(t)}t[0,T ], (t) Rm1 — наблюдения. Процесс = {(t)}t[0,T ], (t) = col(w(t), W(t)) R(n+m)1 — центрированный квадратично интегрируемый мартингал с характеристикой R(t), P-п.н. ограниченной сверху и снизу известными матричнозначными функциями:

0 R(t) R(t) R(t) (5.27) для t [0, T], причем R(0) = R(0) = 0, tr[R(T )] < и R() R(t) для t.

Начальное условие 0 — случайный вектор с неизвестными средним E {0} = m, def m < и ковариационной матрицей 0 cov(0, 0) = R. Случайный век0 тор W0 — центрированный с неизвестной ковариацией R0 = cov(W0, W0), ограниченной сверху и снизу известными матрицами: R0 R0 R0. Случайный процесс u = {u(t)}t[0,T ], u(t) Rk1 квадратично интегрируем на [0, T], имеет непрерывные траектории, неизвестные среднее E {u(t)} = mu(t) и ковариационную функцию cov(u(t), u()) = Ru(t, ). Векторы 0, W0 и процессы u и некоррелированы. Известные детерминированные функции a(·), A(·), b(·), B(·), R(·) и R(·) регулярны и имеют конечные вариации на [0, T]. Все они представляют собой сумму функций, непрерывных относительно меры Лебега, и кусочно-постоянных функций, имеющих на [0, T] конечное число скачков.

Для системы наблюдения (5.25), (5.26) выполнены условия согласованности:

для t [0, T] существуют такие матричнозначные функции s(·) и q(·), что dA(t) =[dRW (t)]s(t), db(t) =q(t)[dB(t)], A+A0 = I. (5.28) def Множество неопределенности (t) содержит все случайные элементы (t) = (0, {u(s)}s[0,t], W0, {(s)}s[0,t]), описанные выше.

В качестве допустимых оценок фильтрации (t) состояния (t) выступают лиdef нейные функционалы (·) от наблюдений t((t)) = {()}[0,t] вида def (t(), t) = 0(t)(0) + (t, )d(), (t, ·) VB[0, T], (0,t] —23— такие, что sup E (t( ), t) 2 < . Множество оценивателей такого рода (t) определяется парой t def (0(·), (t, ·)) детерминированных функций. В качестве = функционала качества на , рассматривается J(, t) =E (, t) - (t(), t) 2.

Задача 5.3. Задача минимаксной линейной фильтрации состояния (t) по наблюдениям t заключается в нахождении такой оценки (t) = (t), что t Argmin sup J(, t).

(t) Выбирается новая мера µ(t), относительно которой абсолютно непрерывны все меры, встречающиеся в интегралах системы (5.25), (5.26). После приведения к этой мере и “ортогонализации” мартингалов в уравнении состояния и наблюдениях система принимает вид (t) =0 + a1()(-)dµ() + b1()u()dµ() + c1()d() +w1(t), (0,t] (0,t] (0,t] (t) =A00 + W0 + A1()(-)dµ() + B1()u()dµ() +W (t).

(0,t] (0,t] Теорема 5.2. Минимаксная линейная оценка (t) является решением стохастического уравнения (t) = 0 + a1()(-)dµ() + c1()d()+ (0,t] (0,t] + + b1() B1() + () d() - A1()(-)dµ(), (0,t] где + def () = I + a1() - b1() B1() A1() µ() k(-)(A1()) - b1()(B1())+RW () (P ()z()P ())+, def def P () = I - B1()(B1())+, z() = A1()k(-)(A1())µ() +RW (), а функция k(t) — верхняя граница для ковариационной матрицы ошибки оценки —24— фильтрации, является решением уравнения Риккати k(t) =k0 + a1() - b1()(B1())+A1() k(-)+ (0,t] + k(-) a1() - b1()(B1())+A1() + Rw()+ + b1()(B1())+RW ()(b1()(B1())+) - ()z()() dµ()+ + a1(i) - b1(i)(B1(i))+A1(i) k(i-) a1(i) - b1(i)(B1(i))+A1(i) µ2(i).

i t Начальные условия 0 и k0 равны + 0 = A+ - A+R0 P0R0P0 (0), 0 k0 = A+R0(A+) - A+R0(P0R0P0)+R0(A+), P0 def I - A0A+.

= 0 0 0 0 Далее в разделе решена задача линейного минимаксного сглаживания на фиксированном интервале состояния дифференциальной системы наблюдения с неопределенными входными воздействиями. Примечательно, что полученная минимаксная оценка имеет двухфильтровую форму, то есть выражается через оценки минимаксной фильтрации в прямом и обратном времени. Таким образом задачи минимаксного сглаживания примыкают к стохастическим задачам, изложенными в разделах 3.5 и 3.6.

Вторая часть главы представляет совершенно новые постановки задач оценивания, сформулированные в рамках традиционного минимаксного подхода. Их ключевыми отличительными чертами являются, во-первых, критерии качества в форме условных математических ожиданий квадратичных функций оценок, и, во-вторых, класс допустимых оценивателей, включающий в себя нелинейные преобразования наблюдений. Оцениванию подвергаются ненаблюдаемый сигнальный процесс — функция состояния системы и вектора неопределенных параметров. В разделе 5.3 рассматривается задача минимаксной фильтрации/идентификации в системе наблюдения, содержащей МСП с конечным числом состояний в условиях априорной параметрической статистической неопределенности.

На отрезке [0, T] рассматривается система наблюдения t t = 0 + (s-)s-ds + Mt, t = , (5.67) t t Qt = µ(s-)s-ds + MtQ,Ut = A(s-)s-ds + Wt, 0 где t Sn — ненаблюдаемый МСП c конечным числом состояний, Qt Z+ — считающий процесс наблюдений, Ut Rm1 процесс непрерывных наблюдений.

Матрица интенсивностей =(()), матрица плана A = A(()) и вектор интенсивностей считающих наблюдений µ = µ(()) являются известными функциями ненаблюдаемого случайного векторного параметра () Rk1.

Система (5.67) и вероятностная мера PF, определенная на (, F), удовлетворяют следующим предположениям.

—25— 5.17. PF { : () L} = F (L), где F (·) — неизвестное априорное распределение , сосредоточенное на известном выпуклом компакте C Rk1.

5.18. Функции A = A(q) : C Rnm, = (q) : C Rnn и µ = µ(q) :

n C R1n известны; при этом ij(q) 0 если i = j, ij(q) 0, и µi(q) 0 для j= i = 1, n и q C.

5.19. 0(), () и W () независимы в совокупности.

5.20. Мартингалы MQ и M сильно ортогональны: MQ M.

5.21. Для q C верно равенство t t E exp - sA(q)()-1dWs+ sA(q)()-1A(q)sds0 t t - ln(µ(q)s-)dQs + (µ(q)s- - 1)ds =1.

0 В качестве множества неопределенности F выступает набор всех распределений F параметра (), удовлетворяющих предположению 5.17.

Оцениваемый сигнальный процесс ht def h(zt) =h(t)t Rl1 является функ= цией состояния системы zt def =col(t, t), причем sup EF ht 2 < .

F F Множество допустимых оценивателей Ht образуют все измеримые функции наблюдений ht = ht(u, v) : Cm[0, t]B[0, t] Rl1 такие, что sup EF h(Ot) 2 < , F F где Ot def {Us, Qs : 0 s t} — реализовавшаяся траектория наблюдений.

= Пусть a : C Rr1 — некоторая известная ограниченная функция. Задана фиксированная “опорная” оценка at = at(Ot) вектора a(()), то измеримая функция есть at : Cm[0, t] B[0, t] Rr1, для которой sup EF at(Ot) 2 < .

F F t Рассматривается семейство целевых функций JO, параметризованное Ot def Ot t JO (F, ht) = EF ht - ht(Ot) 2 - a() - at(Ot) 2.

Задача 5.5. Задача минимаксного апостериорного оценивания в системе наблюдения с МСП с конечным числом состояний заключается в нахождении такой t оценки ht, что ht Arg min sup JO (F, ht) для PF -почти всех траекторий Ot одновреhtHt F F менно для всех распределений F F.

Доказано утверждение, описывающие искомую нелинейную минимаксную оценку в терминах решения двойственной оптимизационной задачи, а также характеризующее наихудшее распределение параметров.

Теорема 5.3. Пусть для системы (5.67) верны предположения 5.17-5.21, тогда 1) если существует решение двойственной задачи F F F F Arg max ht 2 - ht 2 - at 2 - F 2 - at - F 2, (5.80) at at F F t то целевая функция JO (F, ht) при PF -почти всех Ot (F F — любое допустимое распределение) имеет седловую точку (F, ht) на множестве F H: наихудшее рас—26— пределение F является решением (5.80), а ht = ht(Ot) = hF(Ot) — решение задачи t 5.5, являющееся байесовской оценкой для наихудшего распределения F, вычисляемое с помощью формул t t(q) =p0 + (q)s(q)ds+ t t + diag(s(q))A(q)()-1dUs + [diag µ(q) - Inn]s-(q)(dQs - ds), 0 - F ht = 1t(q)F(dq) h(q)t(q)F(dq);

C C 2) если функция hq(Ot) непрерывна по q, то решение задачи (5.80) гарантироt ванно существует; при этом имеется вариант наихудшего распределения F, сосредоточенного не более чем в l + r +4 точках множества C.

В разделе 5.4 исследуется аналогичная задача минимаксного апостериорного оценивания в ТСМС. На отрезке [0, T] дана система наблюдения t t xt = x0 + a(xs-, s-)s-ds + b(xs-, s-)s-dws, x0 0(x);

0 t t = 0 + (s-)s-ds + Mt, 0 p0;

(5.81) t = , F (·);

t t Ut = A(xs-, s-)s-ds + Wt; Qt = µ(xs-, s-)s-ds + MtQ, 0 где xt R — ненаблюдаемый диффузионный процесс с переключениями, t Sn — ненаблюдаемый МСП переключений, Ut Rm1 — непрерывные наблюдения, Qt Z+ — считающие наблюдения.

def def def Функции a(y, q) = ai(y, q) i=1,n, b(y, q) = bi(y, q) i=1,n, A(y, q) = def Aij(y, q), µ(y, q) = µi(y, q) i=1,n определяют, соответственно, возможные снос и i=1,m j=1,n диффузию процесса x, план непрерывных наблюдений U и интенсивности считающих наблюдений Q для каждого возможного состояния переключающего процесса . Все эти объекты зависят от случайного параметра ().

Для системы (5.81) выполняются предположения, аналогичные 5.18-5.21 в задаче 5.5 минимаксной апостериорной фильтрации МСП с конечным числом состояний.

Вероятностная мера PF такова, что PF { : () L} = F (L), где F (·) — неизвестное априорное распределение параметра , сосредоточенное на известном выпуклом компакте C Rk1. Множество неопределенности F формируется всеми такими распределениями F При этом матрица (·) и вектор µ(·) таковы, что ij(q) 0, для n.

любых i = j, ij(q) 0, и µi(y, q) 0 для любых (y, q) R C.

j=В качестве оцениваемого сигнала выступает процесс ht = h(zt) =h(xt, t)t Rl1, являющийся такой функцией состояния zt def col(xt, t, t) системы (5.81), что = sup EF ht 2 < .

t[0,T ], F F —27— Множество допустимых оценивателей Ht образуют такие измеримые функ ции наблюдений ht = ht(u, v) : Cm[0, t] B[0, t] Rl1, что sup EF h(Ot) 2 < .

F F Пусть : C Rr1 — известная ограниченная функция. Задана фиксированная “опорная” оценка t = t(Ot) вектора (()), то есть измеримая функция t : Cm[0, t] B[0, t] Rr1, для которой sup EF t(Ot) 2 < .

t[0,T ], F F t Рассматривается семейство целевых функций JO def Ot t JO (F, ht) = EF ht - ht(Ot) 2 - () - t(Ot) 2, параметризованное траекторией наблюдений Ot.

Задача 5.6. Задача минимаксного апостериорного оценивания в ТСМС за t ключается в нахождении такой оценки ht, что ht Arg min sup JO (F, ht) для PF htHt F F почти всех траекторий Ot одновременно для всех распределений F F.

Теорема 5.4. Верны следующие утверждения.

1) если существует решение двойственной задачи F F F F Arg max ht 2 - ht 2 - () 2 - t 2 - t - t 2, (5.88) F F F F t то целевая функция JO (F, ht) при PF -почти всех Ot (F F — любое допустимое распределение) имеет седловую точку (F, ht) на множестве F Ht: наихудшее рас пределение F является решением (5.88), а ht = ht(Ot) = hF(Ot) — решение задачи t 5.6, являющееся байесовской оценкой для наихудшего распределения F:

- F ht = 1(u, v, t)duF(dv) h(y, q)(y, q, t)dyF(dq), RC RC и выражающееся через (обобщенное) решение уравнения t (y, q, t) = diag(p0)0(y) - diag a(y, q)(y, q, s) ds+ y t + diag b(y, q) (y, q, s) +(q)(y, q, s) ds+ 2 yy t t + diag (y, q, s)A(y, q)()-1dUs + (diag µ(y, q) - Inn)(y, q, s-)(dQs - ds), 0 2) если функция hq(Ot) непрерывна по q, то решение двойственной задачи t (5.88) гарантированно существует; при этом имеется вариант наихудшего распре деления F, сосредоточенный не более, чем в l + r +4 точках множества C.

Шестая глава посвящена приложениям разработанных методов анализа и оценивания в скрытых марковских системах в практических задачах.

Глава делится на три крупные раздела. Раздел 6.1 посвящен использованию методов анализа и оценивания в области авиационной и ракетно-космической техники.

—28— П. 6.1.1 содержит решение задачи оценивания локальной горизонтальной скорости ветра по косвенным зашумленным измерениям скорости метеорологического зонда.

П. 6.1.2 посвящен применению методов байесовской идентификации и минимаксного оценивания для калибровки характеристик шумов траекторных измерительных средств в процессе их нормальной эксплуатации. Предложенные процедуры идентификации позволяют существенно уточнить по сравнению с паспортными значениями метрологические характеристики измерительных средств: систематическую погрешность, дисперсии номинальных шумов и выбросов, показатели интенсивности появления выбросов и их длительности.

В разделе 6.2 рассмотрена задача, имеющая отношение к области телекоммуникаций. Необходимо осуществлять мониторинг состояния TCP-соединения по статистической информации о времени подтверждения получения пакетов и потоку потерь пакетов при различной априорной информации о характеристиках канала. В пп. 6.2.и 6.2.2 предполагается, что все вероятностные характеристики канала известны, и мониторинг сводится к решению задачи СК-оптимальной фильтрации состояния СМСП. В п. 6.2.3 мониторинг осуществляется в условиях априорной неопределенности характеристик канала. В этом случае он сводится к решению задачи минимаксного апостериорного оценивания состояний МСП с конечным числом состояний.

В разделе 6.3 математический аппарат анализа и оценивания в СМС применен при феноменологическом исследовании явлений в турбулентной плазме. В пп. 6.3.16.3.3 проводится физический анализ СМС, то есть выделяются те их свойства, которые близки реальным явлениям, протекающим в опытных установках по удержанию плазмы. Оказывается, что распределения состояний СМС обладает “тяжелыми хвостами”, а также имеют “долгоживущую корреляцию”, как и флуктуации плотности плазмы, измеряемые на плазменных установках. Данные выводы позволяют рассматривать СМС как альтернативы известным вероятностным моделям описания плазменных явлений. В п. 6.3.4 решена задача идентификации параметров плазменной турбулентности, причем эффективность ее численной реализации проверена как на искусственно смоделированных данных, так и на измерениях, полученных на сталлараторе TJ-II (СИЕМАТ, г. Мадрид). Математические результаты идентификации полностью соответствуют выводам физиков о турбулентных процессах, протекающих в “спокойной” плазме.

Результаты, выносимые на защиту

В диссертационной работе представлена единая теория анализа и оценивания состояний и параметров диффузионных процессов со скачками, описываемых скрытыми марковскими системами, при наличии различных комплексов априорной и статистической информации.

1) Универсальное математическое описание стохастических дифференциальных систем наблюдения со случайной структурой в форме скрытых марковских систем.

2) Определение класса специальных марковских скачкообразных процессов для использования в качестве переключающих процессов в скрытых марковских системах.

Методы анализа специальных марковских скачкообразных процессов; вывод их производящих операторов, компенсаторов порожденных стохастических мер и мартингальных представлений в прямом и обратном времени.

3) Методы анализа обобщенных скрытых марковских систем, порожденных специальными марковскими скачкообразными процессами; вывод обобщения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для переходной вероятности и плотности распределе—29— ния.

4) Теория оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции в системах наблюдения со специальными марковскими скачкообразными процессами по непрерывным, считающим и дискретным наблюдениям.

5) Теория оптимального линейного и условно-оптимального (полиномиального) оценивания в системах наблюдения со специальными марковскими скачкообразными процессами.

6) Теория оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции состояний в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям; вывод обобщенного уравнения Закаи и анализ условий существования его решения.

7) Теория байесовской идентификации параметров в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям.

8) Теория минимаксного линейного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах, имеющих неопределенное среднее и ограниченный ковариационный оператор; вывод обобщения условия Винера-Хопфа минимаксности линейной оценки. Решение задачи минимаксной линейной фильтрации в неопределенно-стохастических системах, заданных стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой.

9) Теория минимаксного апостериорного оценивания состояний и параметров в скрытых марковских системах в условиях статистической параметрической неопределенности по разнородным наблюдениям.

10) Применение методов анализа и оценивания в скрытых марковских системах при решении прикладных задач: определения горизонтальной скорости ветра по зашумленным измерениям скорости метеорологического зонда; калибровки траекторных измерительных средств в режиме нормальной эксплуатации; мониторинга состояния TCP-соединения по различной априорной и статистической информации;

анализа и идентификации феноменологических моделей явлений в турбулентной плазме.

Публикации по теме диссертации в изданиях, входящих в список ВАК 1. Борисов А. В., Панков А. Р., Сотский Н. М. Фильтрация и сглаживание в неопределенно-стохастических системах с частично наблюдаемыми входными воздействиями // Автоматика и телемеханика. — 1991. — № 3. — С. 85–95.

2. Борисов А. В., Панков А. Р., Сотский Н. М. Минимаксное оценивание линейных дифференциальных неопределенно-стохастических систем // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 4. — С. 57–63.

3. Борисов А. В., Панков А. Р. Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 6. — С. 61–75.

4. Панков А. Р., Борисов А. В. Минимаксные процедуры статистического оценивания в гильбертовых пространствах // Доклады РАН. — 1996. — № 6. — С. 61–75.

В [1, 2] автор готовил материалы численных примеров и проводил расчеты на компьютере.

В [3, 4] автор доказал обобщение условий минимаксности линейной оценки типа условия Винера-Хопфа в задаче оценивания центрированного случайного элемента с неизвестным, но ограниченным ковариационным оператором.

—30— 5. Борисов А. В., Панков А. Р. Минимаксное линейное оценивание в обобщенных неопределенно-стохастических системах I. оценивание случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 5. — С. 102–111.

6. Борисов А. В., Панков А. Р. Минимаксное линейное оценивание в обобщенных неопределенно-стохастических системах II. минимаксная фильтрация в динамических системах, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой. // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 5. — С. 139–152.

7. Борисов А. В. Оптимальная фильтрация с вырожденными шумами в наблюдениях // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 11. — С. 32–46.

8. Борисов А. В. Анализ и оценивание состояний специальных скачкообразных марковских процессов I: мартингальное представление // Автоматика и телемеханика. — 2004. — Т. 65, № 1. — С. 45–60.

9. Борисов А. В. Анализ и оценивание состояний специальных скачкообразных марковских процессов II: оптимальная фильтрация в присутствии винеровских шумов // Автоматика и телемеханика. — 2004. — Т. 65, № 5. — С. 61–76.

10. Борисов А. В. Предварительный анализ распределения состояний специальных управляемых систем случайной структуры // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2005. — № 1. — С. 48–62.

11. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени I: Мартингальное представление // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 6. — С. 114–125.

12. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени II: Оптимальная фильтрация // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 7. — С. 112–125.

13. Борисов А. В. Анализ состояний скрытых марковских моделей, порожденных специальными скачкообразными процессами // Теория вероятностей и ее применения. — 2006. — Т. 51, № 3. — С. 1–16.

14. Борисов А. В. Минимаксный фильтр Вонэма // Обозрение прикладной и промышленной математички. — 2006. — Т. 13, № 6. — С. 1021–1022.

15. Борисов А. В. Представление марковских скачкообразных процессов в обратном времени и смежные вопросы I: оптимальное линейное оценивание // Автоматика и телемеханика. — 2006. — Т. 67, № 8. — С. 51–76.

16. Борисов А. В. Представление марковских скачкообразных процессов в обратном времени и смежные вопросы II: оптимальное нелинейное оценивание // Автоматика и телемеханика. — 2006. — Т. 67, № 9. — С. 120–141.

17. Борисов А. В., Стефанович А. И. Оптимальная фильтрация состояний специальных управляемых систем случайной структуры // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 3. — С. 16–26.

B [5, 6] автор решил поставленные задачи минимаксного линейного оценивания.

В [11, 12] автору принадлежит мартингальное представление марковского скачкообразного процесса в прямом и обратном времени, постановка задачи оптимальной фильтрации и сведение к ней задачи мониторинга состояния сетевого TCP-соединения.

—31— 18. Борисов А. В. Условно-оптимальное оценивание специальных марковских скачкообразных процессов // Автоматика и телемеханика. — 2007. — Т. 68, № 9. — С. 47–65.

19. Борисов А. В. Минимаксное апостериорное оценивание в скрытых марковских моделях // Автоматика и телемеханика. — 2007. — Т. 68, № 11. — С. 31–45.

20. Борисов А. В. Минимаксное апостериорное оценивание марковских процессов с конечным числом состояний // Автоматика и телемеханика. — 2008. — Т. 69, № 2. — С. 64–79.

21. Борисов А. В., Стефанович А. И., Скворцова Н. Н. Информационные технологии идентификации в скрытых марковских моделях процессов плазменной турбулентности // Вестник МАИ. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 17–27.

Избранные публикации по теме диссертации в иностранных изданиях 1. Borisov A. V. Fokker-Plank like equation for hidden Markov models governed by special jump processes // Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control. — Paradise Island: Omnipress, 2004. — Pp. 4151–4156.

2. Borisov A. V., Korolev V. Y., Stefanovich A. I. Hidden Markov Models of Plasma Turbulence // Stochastic Models of Structural Plasma Turbulence / Ed. by V. Y. Korolev, N. N. Skvortsova. — Leiden-Boston: VSP, 2006. — Pp. 345–400.

3. Borisov A. V., Miller G. B. Hidden Markov model approach to TCP link state tracking // 43-th Conference on Decision and Control. — Bahamas, Nassau: December 14-17, 2004. — Pp. 3126–3137.

4. Borisov A. V., Pankov A. R. Conditionally-minimax filtering for infinite-dimensional nonlinear stochastic systems // 3rd European Control Conference, Proceedings. — Roma, Italy: 1995. — Pp. 2154–2159.

5. Borisov A. V., Pankov A. R. Minimax statistical estimation procedures in infinite dimensional spaces // System Structure and Control, Preprints. — Nantes, France:

1995. — Pp. 49–54.

6. Pankov A. R., Borisov A. V. Process estimation in uncertain-stochastic systems // Advances in Modelling & Simulation. — 1992. — Vol. 32. — Pp. 1–16.

7. Pankov A. R., Borisov A. V. Optimal filtering in stochastic discrete-time systems with unknown inputs // IEEE Transactions on Automftic Control. — 1994. — Vol. 39, no. 12. — Pp. 2461–2464.

8. Pankov A. R., Borisov A. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic linear dynamic systems // International Journal of Control. — 1994. — Vol. 60. — Pp. 413–423.

9. Borisov A. V., Stefanovich A. I. Optimal filtering for HMM governed by special jump processes // 44-th Conference on Decision and Control and the European Control Conference. — Seville, Spain: December, 12-15 2005. — Pp. 5935–5940.

В [17,21] автору принадлежат постановка и теоретическое решение задачи оценивания состояний и параметров в скрытых марковских системах.

Борисов Андрей Владимирович Методы анализа и оценивания в скрытых марковских системах при обработке разнородной информации Специальность 05.13.Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника) Подписано к печати Формат бумаги 60 90 1/16 Объем 2 печ. л.

Заказ Тираж — 100 экз.

Типография МАИ, 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе,




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.