WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Шведов Игорь Александрович

ПРОБЛЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

01.01.01 математический анализ А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск – 2008

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Зарелуа Александр Владимирович доктор физ.-мат. наук, профессор Родионов Евгений Дмитриевич доктор физ.-мат. наук, профессор Тарханов Николай Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 5 декабря 2008 г. в 16-30 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Гутман А.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Тематика диссертации. Теория дифференциальных форм является одной из важнейших частей математического языка и аппарата современного естествознания, по существу это современное интегро-дифференциальное исчисление. Классический векторный анализ был полностью поглощен теорией дифференциальных форм. Использование дифференциальных форм привело к важным результатам в алгебраической топологии. Ярко проявляется значение внешних форм при исследовании оператора Лапласа и теории эллиптических дифференциальных комплексов.

Сформулируем главные понятия диссертации. На римановом многообразии M пространство Lk(M) состоит из дифференциальных p k-форм c интегрируемым в степени p модулем. Определим пространk ство Wp,q = { Lk | d Lk+1}. Символы Lp и Wp,q обозначают p q формы, локально лежащие в Lp (соответственно, в Wp,q). Положим d d d k-1 k также Wp = Wp,p. Последовательность · · · Wp (M) Wp (M) · · · образует комплекс де Рама. Гомологии этого комплекса называk ются Lp-когомологиями многообразия M и обозначаются Hp (M). В настоящей диссертации решен ряд задач, возникающих при исследовании Lp-комплексов де Рама дифференциальных форм.

Актуальность темы можно продемонстрировать, очень кратко указав связь с результатами других авторов.

В главе 1 получены результаты, которые могут быть интерпретированы как решение проблемы, поставленной Уитни: построение теории интегрирования Lp-форм по k-мерным поверхностям. В диссертации разработан аппарат обобщенной теории интегрирования в смысле Лебега k-форм по компактным k-мерным поверхностям, включающей с себя как теорию Уитни [10], так и теорию вложения Соболева (при k = n мы получаем теорию интегрирования Лебега в пространстве Rn).

Часть результатов главы 2 являются обобщениями результатов Доджика [15] об изоморфизме де Рама.

Главы 3–4 посвящены Lp-когомологиям, изучаются возникающие при этом вопросы, связанные с нормальной и компактной разрешимостью оператора внешнего дифференцирования. Вопросами, относящимися к нормальной и компактной разрешимости краевой задачи для уравнения du = f, занимались, например, Сакс [8], Телеман [27], Берхин [1], Хилсум [21]. Общий подход к серии краевых задач для оператора d позволил получить и интерпретировать результаты Кодаиры [24], Даффа и Спенсера [16], Дезина [4]. Задачи, которыми для p = 2 занимались, в частности Чигер [13], Доджик [14], Мюллер [25], оказались частными случаями задач про Lp-формы на искривленных цилиндрах (такие цилиндры естественно возникают в качестве концов многообразий). Результаты исследования компактной разрешимости оператора d для k-форм обобщают критерий А. Байдера [12] дискретности спектра оператора Лапласа для функций на римановом многообразии.

Результаты главы 5 об аппроксимации дифференциальных форм естественным образом обобщают как результаты Соболева [9] о плотности гладких финитных функций в функциональном пространстве s lp(Rn), так и результаты Масленниковой и Боговского [5], [6] об аппроксимации соленоидальных векторных полей соленоидальными финитными векторными полями. В этом же ключе могут быть интерпретированы и результаты Хейвуда [20]. Некоторые результаты можно рассматривать, как обобщения результатов Гаффни [19] и Чигера [13]. Часть результатов близка к результатам О. В. Бесова [2] и Р. Ойнарова (см. [7]).

В главе 6 исследуется одно из важнейших свойств функториальности Lp-когомологий формула Кюннета. Вариант этой формулы был установлен Цукером в [28] при дополнительных по сравнению с нашими предположениях.

Глава 7 посвящена исследованиям гомологического характера об абстрактных дифференциальных комплексах. Часть результатов является обобщением результатов Киченассами [22].

В главе 8 получены достаточные условия дискретности спектра оператора Лапласа на многообразии с цилиндрическими концами.

Для нуль-форм, т.е. для функций соответствующие результаты имеются у Регины Кляйн [23]. Полученные аддиционные теоремы для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа можно рассматривать, как принцип расщепления, см. Эйхорн [18].

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты диссертации.

В главе 1 установлен естественный топологический изоморфизм между пространствами локально бемольных форм по Уитни [10] и дифференциальными формами класса W,. Установлена теорема, аналогичная теореме вложения функций Соболева для форм Wp,q и построено интегральное представление интеграла дифференциальной формы по k-поверхности X в римановом многообразии Y.

В главе 2 строится и изучается изоморфизм де Рама в случае комплекса Lp-форм. Указаны условия на триангуляцию K многообразия M, при выполнении которых топологические векторные проk k странства когомологий Hp (M) и Hp (K) изоморфны.

В главе 3 исследована зависимость (для некомпактных многообразий) Lp-когомологий от параметра p. Приведены примеры подкомплексов W2(X), позволяющие интерпретировать результаты о краевых задачах для оператора d. Изучены Lp-когомологии цилиндров [a, b) X, снабженных римановой метрикой искривленного произведения (ds)2 = (dt)2 + f2(t)(dg)2. Получены результаты о плотности финитных k-форм в соответствующих пространствах, обобщающие результаты Соболева о плотности гладких финитных функций s в функциональном пространстве lp(Rn). Результаты также являются обобщением результатов Масленниковой и Боговского [5], [6] об аппроксимации соленоидальных векторных полей соленоидальными финитными векторными полями. Разработаны аддиционные методы вычисления редуцированных когомологий.

В главе 4 найдены условия нормальной и компактной разрешимости оператора d на подпространстве Wp(M), заданном некоторыми краевыми условиями. Построены примеры граничных условий на компактном многообразии, для которых оператор d не является нормально разрешимым, а также примеры условий , для которых оператор d нормально, но не компактно разрешим. Найдены как необходимые, так и достаточные условия нормальной разрешимости оператора d на искривленном цилиндре.

В главе 5 решен ряд аппроксимационных задач типа задач Соболева и Хейвуда для дифференциальных k-форм на многообразии с цилиндрическими концами.

В главе 6 доказана формула Кюннета, связывающая Lp-когомологии искривленного произведения с Lp-когомологиями сомножителей. Исследованы условия, при которой эта формула справедлива.

В главе 7 для (полу)точной последовательности комплексов банаховых пространств выяснено, как нормальная (компактная) разрешимость дифференциалов одного из комплексов влияет на свойства дифференциалов остальных двух комплексов. Предложен аналог вложения Киченассами для банаховых комплексов, в частности для дифференциальных эллиптических комплексов на замкнутом многообразии.

В главе 8 найдены условия, при которых дифференциалы эллиптического комплекса, действующие в весовых Lp-пространствах, компактно разрешимы. Установлена аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа, где вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа при разрезании и склеивании многообразий сводится к вопросам о компактной разрешимости операторов d. Получен также критерий дискретности спектра оператора Шредингера.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты могут использоваться в исследованиях по функциональному анализу и римановой геометрии.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на Ленинградской международной топологической конференции (1982), на V Тираспольском симпозиуме по общей топологии и ее применениям (1986), на международной топологической конференции (Баку, 1987), на Советско-Японском симпозиуме по теории размерности (Хабаровск, 1989), на научных семинарах в университетах Бар-Илан (Тель-Авив) и Бен-Гуриона (Беер-Шева) в 19г, на международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004), а также неоднократно докладывались на различных научных семинарах в Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

Публикации. Результаты опубликованы в работах 29–49. Результаты совместных публикаций, выносимые на защиту, получены в процессе неразделимой творческой деятельности соавторов.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав и списка литературы (88 наименований). Объём диссертации 314 стр.

КРАТКИЙ ОБЗОР ГЛАВ ДИССЕРТАЦИИ Глава 1. Исчисление дифференциальных форм соболевского типа.

§ 1.1 Дифференциальные формы на липшицевом многообразии.

На римановом многообразии M пространство Lk(M) образовано p дифференциальными k-формами c модулем, интегрируемым в стеk пени p; Wp,q(M) := { Lk | d Lk+1}. Символы Lp и Wp,q обознаp q чают пространства форм, локально лежащих в Lp (соответственно, в Wp,q). Коэффициенты внешнего дифференциала d формы являются некоторыми линейными комбинациями частных производных коэффициентов самой формы . Классы дифференциальных форм Wp,q оказываются инвариантными относительно билипшицевых замен координат и поэтому могут быть определены на любом липшицевом многообразии.

Условие суммируемости коэффициентов формы d проявляется в свойствах формы , связанных в основном с интегрированием. В связи с построением геометрической теории интегрирования Уолф и Уитни [10] рассматривали класс бемольных форм, инвариантный при липшицевых отображениях. Оказывается, что дифференциаль ные формы класса W, это в точности локально бемольные формы. В последнем пункте классы форм Wp,q использованы для переноса теории Чженя Вейля, описывающей характеристические классы расслоения в дифференциально-геометрических терминах, на случай расслоений над липшицевым многообразием.

§ 1.2. Об интегрировании дифференциальных форм класса Wp,q.

Классы Wp,q дифференциальных форм на липшицевых многообразиях, введенные в § 1.1, представляют аналог функциональных классов Соболева Wq, loc для случая дифференциальных форм. В частно0 сти, формы класса Wp,p это просто функции класса Wp, loc. Функция f из Wp, loc(Rn), вообще говоря, определена в Rn лишь почти всюду и может быть разрывной. Согласно теореме вложения Соболева при p > n функцию f из Wp, loc(Rn) можно так переопределить на множестве меры 0, чтобы она стала непрерывной. В § 1.2 предлагается аналогичная теорема для дифференциальных форм классов Wp,q. В таком варианте теоремы вложения роль значений функции f в точках пространства Rn играют интегралы k-мерной формы по ориентированным k-мерным поверхностям в Rn. Непосредственно определение интеграла дифференциальной формы степени k, заданной на Rn, по k-мерной поверхности в Rn, параметризованной липшицевым отображением g в Rn области из Rk, сводится к определению формы g = adx ... dxk и интегрированию функции a по области U.

Такой интеграл определен не для каждой поверхности, посколь ку не для всех липшицевых отображений g и форм Wp,q форму g() можно определить. В этом параграфе для достаточно больk ших p и q определен интеграл произвольной формы Wp,q g по произвольной k-мерной поверхности, параметризованной липшицевым отображением g. Этот новый интеграл совпадает с непосредственным интегралом для почти всех поверхностей. Интеграл g непрерывно зависит от формы Wp,q, а также (в определенном смысле) от области интегрирования.

Теория интегрирования дифференциальных форм классов Wp,q в случае p = q = развита в книге Уитни [10], где изучаются бемольные формы. Совпадение класса W, с классом локальнобемольных форм установлено в § 1.1. Таким образом, интегрирование Уитни оказывается частным предельным случаем интегрирова ния форм классов Wp,q. Существенное отличие случая p < , q < от случая p = q = заключается в том, что для любого липшицева k отображения g: U Rn, U Rk и формы W,(Rn) интегрирование по поверхности в Rn, параметризованной отображением g, сводится к интегрированию в смысле Лебега некоторой ограниченной измеримой функции на U. В § 1.2 показано, что интегрирование форм класса Wp,q при p, q < не может быть сведено к интегрированию в смысле Лебега и приведены соответствующие примеры.

Установлен ряд свойств интеграла , в частности теорема Стокса g и теорема о замене переменной интегрирования.

§ 1.3. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы. Пусть X гладкая k-мерная компактная поверхность, лежащая в k + m-мерном римановом многообразии Y. Оказывается, на Y существуют такие дифференциальные формы степени m и степени m - 1, что для гладких ограниченных форм на Y = + d .

X Y Y Для форм степени 0 это представление совпадает с известным представлением Соболева функций Глава 2. Изоморфизм де Рама Lp-когомологий некомпактных римановых многообразий.

Классическая теорема де Рама устанавливает изоморфизм между когомологиями многообразия и гомологиями комплекса дифференциальных форм на этом многообразии. В этой главе аналогичный изоморфизм строится в случае комплекса дифференциальных форм класса Lp на римановом многообразии.

Предположим, что задана гладкая триангуляция : |K| M многообразия M. В пространстве коцепей симплициального комплек1/p k са K введем норму c = |c(T )|p. Пространство Cp (K) Cp (K) T K состоит из k-мерных коцепей c, у которых c < .

Cp (K) Комплекс K называется звездно-ограниченным, если количество симплексов в звезде каждой вершины комплекса K равномерно ограничено. Если комплекс K звездно-ограничен, то кограничный операk k+1 k k+тор d переводит Cp (K) в Cp (K), причем d : Cp (K) Cp (K) k ограниченный оператор. Обозначим Hp (K) когомологии комплекса {Cp (K); d}.

В главе 2 указаны условия на триангуляцию , при выполнении k k которых топологические векторные пространства Hp (M) и Hp (K) изоморфны. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм k k пространств Hp(M) и Hp(K). Последний изоморфизм был ранее установлен Доджиком [15] при p = 2 и дополнительных ограничениях на радиус инъективности и тензор кривизны многообразия M.

Метод Доджика существенно использует эти ограничения и приго ден (что отмечено в [15]) только для отделимых когомологий Hp.

Наш метод основан на другой конструкции.

Глава 3. Lp-когомологии римановых многообразий.

§ 3.1 называется так же, как и глава. Lp-когомологии компактного многообразия X не зависят от p и совпадают с его обычными когомологиями H(X, R). L2-когомологии римановых многообразий и, в частности, искривленных цилиндров изучали, в частности, Доджик [14], Мюллер [25], Чигер [13]. Последний подробно рассмотрел L2-когомологии многообразий с коническими особенностями. Для некомпактных многообразий Lp-когомологии могут зависеть от p. В § 3.исследована эта зависимость для конуса над римановым многообразием. Приведены примеры подкомплексов W2(X), позволяющие интерпретировать результаты о краевых задачах для оператора d, полученные ранее Кодаирой [24], Даффом и Спенсером [16], Дезиным [4].

В § 3.2 (редуцированные Lp-когомологии искривленных цилиндров) и § 3.3 (Lp-когомологии искривленных цилиндров) изучаются Lp-когомологии цилиндров [a, b)X, снабженных римановой метрикой искривленного произведения (ds)2 = (dt)2 + f2(t)(dg)2.

В § 3.2 описываются редуцированные Lp-когомологии искривленных цилиндров. Результаты обобщают на случай произвольного p результат Доджика про поверхности вращения из [14], результаты о цилиндрах являются новыми и для p = 2.

Приведем один из результатов параграфа 3.2. Рассмотрим в пространстве Rn+1 полярные координаты: t = |y|, x = y/|y| Sn. Обозначим Rn+1 риманово многообразие, получающееся в результате заf дания в Rn+1 римановой метрики, совпадающей вне некоторого шара с метрикой искривленного произведения (ds)2 = (dt)2 + f2(t)(dx)2.

Такие метрики могут быть охарактеризованы как метрики, которые в окрестности бесконечности инвариантны относительно группы вращений SO(n + 1).

Теорема 3.2.5 Пусть k0 = [n/p] + 1. Тогда k 1) Hp(Rn+1) = 0 при k {0, k0, n + 1};

/ f k2) Hp (Rn+1) = 0 тогда и только тогда, когда f n n 1 p p f({ }-1)p(t)dt < , f-{ }p (t)dt < + = 1, p p a a 0 n+1 kв этом случае Hp(Rn+1) = Hp (Rn+1) = 0 и dim Hp (Rn+1) = ;

f f f 0 n+ 3) если vol Rn+1 < , то Hp(Rn+1) Hp (Rn+1) R;

= = f f f 0 n+если vol Rn+1 = , то Hp(Rn+1) = Hp (Rn+1) = 0.

f f f § 3.4. Аддиционные формулы для редуцированных Lp-когомологий. Гармонические k-формы на компактном многообразии M изоморфны k-мерным когомологиям M. Для некомпактного M Атья в [11] предложил описывать гармонические L2-формы при помощи редуцированных L2-когомологий. Чигер в [13] установил, что L2когомологии и редуцированные L2-когомологии компактного псевдомногообразия совпадают. В общем случае применение аддиционных методов вычисления редуцированных когомологий затруднено неточностью соответствующих когомологических последовательностей. В § 3.4 предлагается способ преодоления этих трудностей. Полученные результаты применяются для вычисления редуцированных Lp-когомологий многообразий специального вида, которые могут быть охарактеризованы как многообразия, квазиизометричные вне некоторого компакта искривленному цилиндру. Lp-когомологии таких многообразий выражаются с помощью гомологических последовательностей в зависимости от ограниченности или неограниченности следующих интегралов, которые играют важную роль и в следующих главах. Для цилиндра [a, b) f X они таковы (i веса b на [a, b) R): Ik = (fn/p-kk)p dt при 0 k n, Ik = a b при k n + 1, Ik = 0 при k < 0; Jk = (fn/p-k+1k)-p dt при a 1 k n + 1, Jk = при k 0, Jk = 0 при k > n + 1. Результаты носят исчерпывающий характер в том смысле, что в ней учтены все комбинации значений констант Ik, Jk, Ik-1. Некоторые частные случаи были установлены в [14], [13], [25], [26], [35].

Глава 4. Нормальная и компактная разрешимость оператора внешнего дифференцирования.

Замкнутый оператор T : X Y, действующий на банаховых пространствах, нормально (компактно) разрешим, если непрерывен (компактен) "обратный" оператор из Im T в domT/ ker T. Замкнутость образа T эквивалентна нормальной разрешимости T, поэтому k k пространство Hp (M) совпадает с пространством Hp(M) в том и только в том случае, когда оператор внешнего дифференцирования dk-1 : Lk-1(M) Lk(M) нормально разрешим.

p,M p p § 4.1. О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях.

Здесь найдены условия нормальной и компактной разрешимости оператора d на подпространстве , заданном некоторыми краевыми условиями, Vp(M) Wp(M) (символ Vp(M) обозначает замыкание в Wp(M) множества форм с компактными носителями, зануляющимися на крае M). Задача на компактном M сводится к окрестности края, т.е. к цилиндру I M. Построены примеры граничных условий на компактном многообразии, для которых оператор d не является нормально разрешимым, а также примеры условий , для которых оператор d нормально, но не компактно разрешим.

Вопросы нормальной и компактной разрешимости краевой задачи для уравнения du = f, близкие к теме § 4.1, рассматривались в работах [17], [4], [8], [27], [1], [21], из них можно извлечь доказательство компактной разрешимости dV k и dW k.

(M) (M) В § 4.2 (нормальная разрешимость оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре) и § 4.3 (о нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях) найдены как необходимые, так и достаточные условия нормальной разрешимости оператора dk на искривленном p,M цилиндре. Сходные вопросы возникали, например, у Чигера [13], он доказал нормальную разрешимость операторов dk на многообра2,M зиях M, которые можно получить из замкнутых псевдомногообразий удалением особенностей. В частности, в параграфе 4.3 предлагается метод получения ненулевых элементов Lp-когомологий, позволивший к тому же получить ряд необходимых условий нормальной разрешимости оператора d на искривленном произведении. Для риманова многообразия X и двух весовых функций и на X мы i определяем коцепной комплекс Rp(X, , ), ):

i Rp(X, , ) = Li-1(X, ) Li (X, ), (1, 2) = (2 - d1, d2), p p i Dom i = (1, 2)Rp(X, , ) : 2-d1 Li (X, ), d2 Li+1(X, ).

p p Найдены некоторые условия нормальной разрешимости оператора i i+ : Rp(X, , ) Rp (X, , ), построена точная последовательность, связывающая когомологии комплекса Rp(X, , ) с когомологиями комплексов де Рама Lp(X, ) и Lp(X, ), вычислены когомологии и редуцированные когомологии комплекса Rp(X, , ) для X = [a, b).

Установлена связь вопроса о нормальной разрешимости оператора d на искривленном цилиндре [a, b)f Y с теоремами вложения весовых пространств Соболева на полуинтервале [a, b).

§ 4.4. О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования. Здесь найдены разнообразные условия компактной разрешимости оператора d, действующего в пространствах Lk(M, ).

p Полученные условия для искривленных цилиндров и поверхностей вращения эффективны, т.е. их проверка сводится к вычислению и оценкам конкретных интегралов. Наши исследования компактной разрешимости оператора d имеют прямое отношение к результатам А. Байдера [12] о дискретности спектра оператора Лапласа на римановом многообразии. Рассмотрим оператор dD : L0(X, ) L1(X, ), 2 область задания Dom dD = D(X) которого состоит из гладких финитных функций. Пусть d : L1(X, ) L0(X, ) оператор, соD 2 пряженный оператору dD, c(x) гладкая функция на M, A самосопряженное расширение по Фридрихсу оператора d dD + c D и dV замыкание оператора dD. Спектр самосопряженного оператора дискретен тогда и только тогда, когда его ядро конечномерно и он компактно разрешим. Используя это, нетрудно доказать, что при c(x) 0 спектр оператора A дискретен тогда и только тогда, когда оператор dV компактно разрешим. Условия компактной разрешимости оператора dV : Lk(X, ) Lk+1(X, ) из теоремы 2 § 4.p p в частном случае k = 0 и p = 2 совпадают с критерием Байдера [12, теорема 2.2] дискретности спектра оператора A. Решение задачи о компактной разрешимости оператора d, действующего в пространствах дифференциальных форм, позволяет указать условия дискретности спектра оператора Лапласа dd+dd, действующего в пространствах L(X, ) дифференциальных форм.

Глава 5. Финитная аппроксимация дифференциальных форм.

§ 5.1. Финитная аппроксимация замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях специального вида. Возможность аппроксимации в Rn потенциальных векторных полей градиентами финитных функций вытекает из результатов Соболева [9]. Аппроксимируемость в Rn соленоидальных векторных полей финитными установлена Хейвудом в [20]. Но потенциальные векторные поля можно трактовать как точные дифференциальные формы степени 1, а соленоидальные как замкнутые формы степени n - 1. В § 5.1 мы исследуем задачи финитной аппроксимации в Lp-норме замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях и предлагаем решение ряда аппроксимационных задач типа задач Соболева и Хейвуда для дифференциальных k-форм на многообразии с цилиндрическими концами.

§ 5.2. Финитная аппроксимация дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа. Здесь мы изучаем, каким условиям должна удовлетворять форма , чтобы она принадлежала Wp-замыканию множества гладких финитных форм, т.е. подпространству Vp Wp. Эти вопросы связаны с выполнением на многоk образии M формулы типа Стокса. А именно: форма Wp (M, ) k принадлежит подпространству Vp (M, ) тогда и только тогда, когда m-k-для каждой формы u Wp (M, ), равной 0 на M, выполнено равенство d( u) = 0. Полученные в параграфе результаты M можно рассматривать, как обобщения результатов Гаффни [19] и Чигера [13]. При l = 1 задача о плотности финитных функций в (l) весовых пространствах Соболева Wp (M, ) для областей M евклидова пространства это задача о совпадении пространств Wp (M, ) и Vp (M, ). Мы получаем условия принадлежности формы подпроk странству Vp (M, ) для искривленного цилиндра M = [a, b) f X над компактным X. Наши результаты о финитной аппроксимации в k Wp (M, ) для случая k = 0 близки к результатам О. В. Бесова [2] и Р. Ойнарова (см. [7]). В § 5.2 усилены результаты В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского [6] об аппроксимации соленоидальных и потенциальных векторных полей.

Глава 6. Формула Кюннета.

§ 6.1 формула Кюннета для редуцированных L2-когомологий.

Для L2-когомологий произведения выполнена формула Кюннета:

j k i если Y компактно, то H2 (XY ) = H2(X)H2(Y ). Для искривi+j=k ленных произведений X f Y справедливо следующее: если искривляющая функция f ограничена и для каждого 1 j n = dim Y оператор dY : Lj-1(Y ) Lj(Y ) нормально разрешим, то 2 k i H2 (X f Y ) = H2(X, fn/2-j; Hj(Y )).

i+j=k Эта формула, выражающая L2-когомологии искривленного произведения X f Y через весовые когомологии многообразия X с весами fn/2-j и коэффициентами в гильбертовых пространствах Hj(Y ), была установлена С. Цукером в [28] при некотором дополнительном предположении об области задания оператора dX Y. Без этого доf полнительного ограничения формула доказана в [37], причем в случае Lp-когомологий при 1 < p < . Топологический изоморфизм индуцирует изоморфизм редуцированных L2-когомологий k i j H2(X f Y ) = H2 X, fn/2-j; H2(Y ).

i+j=k Цель данного параграфа доказать последнюю формулу в случае ограниченной искривляющей функции f, не требуя нормальной разрешимости dY. Доказательство использует спектральную теорему для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве и поэтому не переносится на случай Lp-когомологий при p = 2.

§ 6.2. Lp-когомологии искривленных произведений липшицевых римановых многообразий. Пусть X и Y римановы многообразия размерностей m и n соответственно, f гладкая положительная функция на X. Пусть (x) и (y) весовые функции на X и Y. В работе [37] доказано, что если p (1, ), функция f ограничена и Lp-комплекс де Рама Lp(Y, ; R) расщепляем (т. е. подпространства Im dj и ker dj+1 дополняемы в пространстве Lp(Y, , R) при j N), то имеет место векторный топологический изоморфизм k i j Hp (X f Y, ; R) = Hp X, fn/p-j; Hp(Y, ; R).

i+j=k Там же было установлено, что Lp-комплекс де Рама гладкого компактного многообразия расщепляем, если 1 < p < . Нам неизвестно, расщепляем ли этот комплекс при p [1, ]. Кроме того, даже если Lp-комплекс де Рама многообразия Y расщепляем, метод доказательства формулы Кюннета, предложенный в [37], не переносится на случай p [1, ], так как пространства дифференциальных форм при p {1, } нерефлексивны. Метод, развитый в настоящем параграфе, позволяет установить формулу Кюннета для любого p [1, ) в том случае, когда либо многообразие Y компактно, либо его Lp-комплекс де Рама расщепляем. Более того, стало возможным отказаться от условия гладкости многообразий, заменив его предположением о том, что X и Y липшицевы римановы многообразия.

Глава 7. Банаховы комплексы и дифференциальные формы. Банахов комплекс это коцепной комплекс банаховых пространств и замкнутых линейных операторов.

В § 7.1 (гомологические аспекты теории банаховых комплексов) изучаются последовательности комплексов. Одна из задач выяснить, как нормальная (компактная) разрешимость одного из комплексов влияет на свойства остальных дифференциалов.

i Для банахова комплекса A = (Ai, T )iZ и целого числа k определены топологическое векторное пространство гомологий HkA и k банахово пространство редуцированных гомологий H A. Пространk ства HkA и H A совпадают тогда и только тогда, когда оператор k-T нормально разрешим.

Короткой точной последовательности банаховых комплексов 0 A B C 0 (1) соответствуют точная последовательность гомологий i-1 Hi Hi i · · · - Hi-1C - HiA - HiB - HiC - · · · (2) и полуточная последовательность редуцированных гомологий i-1 i Hi i Hi i i-1 i · · · - H C - H A - H B - H C - · · · (3) Мы выясняем, как сказывается на поведении последовательностей (2) и (3) предположение о том, что один из дифференциалов комплексов A, B и C нормально разрешим.

Другая задача, с которой мы имеем дело, состоит в том, чтобы выяснить, как влияет предположение о нормальной (компактной) разрешимости одного из дифференциалов комплексов A, B и C, образующих короткую точную последовательность (1), на свойства других дифференциалов этих комплексов.

Методы банаховых комплексов оказываются полезными в § 7.(теорема компактности для дифференциальных форм) при исследовании свойств вложений комплексов дифференциальных форм.

Пусть M замкнутое ориентируемое гладкое n-мерное многообразие. Киченассами [22] доказал, что если 1 < p < , 1 q < , 1 1 1 k - <, то пространство Wp (M) компактно вложено в потоки p q n с нормой inf { - d + }. В § 7.2 установлено, что конLq Lq Lq струкция Киченассами связана со свойством рефлективности подкатегории банаховых комплексов с непрерывными дифференциалами в категории всех банаховых комплексов. Предложен аналог вложения Киченассами для банаховых комплексов, в частности для дифференциальных эллиптических комплексов на замкнутом многообразии.

Глава 8. Эллиптические дифференциальные комплексы и многообразия с цилиндрическими концами.

§ 8.1. Компактная разрешимость дифференциалов эллиптического дифференциального комплекса. Интерес к компактно разрешимым операторам вызван, в частности, тем, что дифференциалы эллиптического дифференциального комплекса на компактном многообразии без края являются компактно разрешимыми операторами. Кроме того, свойство компактной разрешимости оператора имеет прямое отношение к дискретности спектра этого оператора, а именно самосопряженный оператор T, действующий в гильбертовом пространстве, имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда он компактно разрешим и dim Ker T < .

Если дифференциальный эллиптический комплекс задан на некомпактном многообразии, то его дифференциалы не обязательно компактно разрешимы. Простейший пример оператор дифференцирования, действующий в L2(R). Компактная разрешимость дифференциалов эллиптического комплекса на компактном многообразии с краем зависит от выбора граничных условий.

В § 8.1 найдены условия, при которых компактно разрешимы дифференциалы эллиптического комплекса, действующие в весовых Lp-пространствах. Детально разобран случай дифференциала d0 комплекса де Рама на многообразии с цилиндрическими концами. Наши результаты позволяют исследовать некоторые вопросы дискретности спектра оператора Шредингера. Для нуль-форм, т.е. для функций соответствующие результаты имеются у Регины Кляйн [23].

§ 8.2. Аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа. Пусть риманово многообразие X разбито поверхностью Y на две области X+ и X-. Представляет интерес задача о том, как соотносятся между собой спектральные свойства операторов Лапласа, действующих в пространствах дифференциальных форм на многообразиях X, X+ и X-. В случае 0-форм эта задача тесно связана с так называемым принципом расщепления в качественной спектральной теории дифференциальных операторов [3].

В качестве лапласианов в указанной задаче естественно рассматривать самосопряженные расширения минимального оператора k, min порожденного дифференциальной операцией k. Если многообразие X полно (без края), то расширение единственно. В общем случае это не так. Поэтому нужно указывать, какие именно лапласианы, действующие на многообразиях X, X+ и X-, имеются в виду. Мы рассматриваем операторы k = D D, D замкнутый оператор, порожденный дифференциальной операцией d , d операция внешнего дифференцирования, операция кодифференцирования.

Ключевой момент в исследовании следующий факт: спектр оператора D D дискретен тогда и только тогда, когда оператор D компактно разрешим и dim Ker D < . Это позволяет свести вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа при разрезании и склеивании многообразий к аналогичным вопросам о компактной разрешимости операторов внешнего дифференцирования и на этой основе найти условия, при выполнении которых дискретность спектра оператора Лапласа на многообразии X равносильна дискретности спектров соответствующих операторов Лапласа на обоих многообразиях X+ и X-. Полученные аддиционные теоремы для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа можно рассматривать, как принцип расщепления, см. Эйхорн [18].

Все результаты параграфа о спектре операторов относятся к самосопряженным операторам, действующим в гильбертовом пространстве. В то же время вспомогательные результаты о компактной разрешимости относятся к операторам, действующим в банаховых пространствах. Нам представляется, что в этой большей общности вспомогательные результаты приобретают самостоятельное значение.

Список литературы [1] Берхин П. Н. Самосопряженная краевая задача для системы du + u = f // Докл. АН СССР. 1975. Т. 222, № 1. С. 15–17.

[2] Бесов О. В. О плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983.

Т. 161. С. 29–47.

[3] Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963.

[4] Дезин А. А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1962. Т. 68.

С. 3–88.

[5] Масленникова В. Я., Боговский М. Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24, № 5. С. 140–171.

[6] Масленникова В. Я., Боговский М. Е. Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1986. С. 129–137.

[7] Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.

[8] Сакс Р. С. Нормальные разрешимые и н краевые задачи для етеровы системы уравнений Максвелла в случае установившихся процессов // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, № 2. С. 308–312.

[9] Соболев С. Л. Плотность финитных функций в пространствеL(m)(En) p // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, № 3. С. 673–682.

[10] Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 534 с.

[11] Atiyah M. F. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras. Analise et topologie // Astrisque. 1976.V. 32/33. P. 43–72.

[12] Baider A. Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J. Differential Geom. 1979. V. 14, № 1. P. 41–58.

[13] Cheeger J. On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds // Proc.

Symp. Pure Math. 1980. V. 36. Р. 91–146.

[14] Dodziuk J. L2-harmonic forms on rotationally symmetric Riemannian manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. V. 77, № 3. Р. 395–401.

[15] Dodziuk J. Sobolev spaces of differential forms and de Rham Hodge isomorphism // J. Different. Geom. 1981. V. 16. Р. 63–73.

[16] Duff G. F., Spencer D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary // Ann. Math. 1952. V. 56. P. 118–157.

[17] Duff G. F., Spencer D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds (generalized potential theory) // Ann. Math. 1949. V. 50. P. 587–665.

[18] Eichhorn J. Spektraltheorie offener Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit einer rotationssymmetrischen Metrik // Math. Nachr. 1983. Bd 144.

S. 23–51.

[19] Gaffney M. P. A special Stokes’s theorem for complete Riemannian manifolds // Ann. of Math. 1954. V. 60, № 1. P. 140–145.

[20] Heywood J. G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow // Acta Math. 1976. № 1–2. P. 61–102.

[21] Hilsum M. Signature operator on Lipschitz manifolds and unbounded Kasparov bimoduls. Berlin etc.: Springer, 1985. Р. 254–288. (Lecture Notes in Math.; 1132).

[22] Kichenassamy S. Compactness theorems for differential forms // Comm.

Pure Appl. Math. 1989. V. 42, № 1. P. 47–53.

[23] Kleine R. Discreteness conditions for the Laplacian on complete, noncompact Riemannian manifolds // Math. Z. 1988. Bd 198, N 1. S. 127– 141.

[24] Kodaira K. Harmonic fields in Rimanian manifolds (generalized potential theory) // Ann. Math. 1949. V. 50. P. 587–665.

[25] Muller W. Spectral geometry and non-compact Riemannian manifolds // Proc. Intern. Congr. of Mathematics, August, 16-24, 1983. Warszawa, 1984. V. 1. P. 565–587.

[26] Rosenberg S. Harmonic forms and L2-cohomology on manifolds with cylinders // Indiana Univ. Math. J. 1985. V. 34, № 2. P. 355–373.

[27] Teleman N. The index of signature operators on Lipschitz manifolds // Publ. IHES. 1983. V. 58. Р. 39–78.

[28] Zucker S. L2-cohomology of warped product and arithmetic groups // Invent. Math. 1982. V. 70, № 2. P. 169–218.

Работы автора по теме диссертации [29] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Дифференциальные формы на липшицевом многообразии // Сиб. мат. журн. 1982.

Т. 23, № 2. C. 16–30.

[30] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Об интегрирова нии дифференциальных форм классов Wp,q // Сиб. мат. журн. 1982.

Т. 23, № 5. С. 63–79.

[31] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы // Функциональный анализ и математическая физика // Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985. С. 53–87.

[32] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Lp-когомологии римановых многообразий // Исследования по геометрии и математическому анализу: Тр. Ин-та математики /АН СССР. Сиб. отд-ние.

Новосибирск: Наука, 1987. Т. 7. C. 101–116.

[33] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 4. С. 82–96.

[34] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Изоморфизм де Рама Lp-когомологий некомпактных римановых многообразий. // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 2. С. 34–44.

[35] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Редуцированные Lp-когомологии искривленных цилиндров // Сиб. мат. журн. 1990.

Т. 31, № 5. С. 10–23.

[36] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Lp-когомологии искривленных цилиндров // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 6. С.

55–63.

[37] Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О формуле Кюннета для Lp-когомологий искривленных произведений // Сиб. мат.

журн. 1991. Т. 32, № 5. С. 29–42.

[38] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре // Сиб.

мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. C. 85–95.

[39] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях специального вида // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 3. С. 102–117.

[40] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 6. С. 91–112.

[41] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Аддиционные формулы для редуцированных Lp-когомологий // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №2, С.

380 388.

[42] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О формуле Кюннета для редуцированных L2-когомологий // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, №1, С. 1110.

[43] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 2. С. 324–337.

[44] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 573–590.

[45] Сторожук К. В., Шведов И. А. Lp-когомологии искривленных произведений липшицевых римановых многообразий // Сиб. мат. журн.

1998. Т. 39, № 3. С. 633-–649.

[46] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 893–904.

[47] Кузьминов В. И., Шведов И. А. К теореме компактности для дифференциальных форм // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 1. С. 132–142.

[48] Кузьминов В. И., Шведов И. А. О компактной разрешимости дифференциалов эллиптического дифференциального комплекса // Сиб.

мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1280–1294.

[49] Кузьминов В. И., Шведов И. А. Аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа // Сиб. мат. журн.

2006. Т. 47, № 3. С. 557–574.

Шведов Игорь Александрович Проблемы исчисления дифференциальных форм на римановых многообразиях Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Подписано в печать 26.08.08. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №147.

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева,







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.