WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

УДК 517.95 + 532

На правах рукописи

Родионов Александр Алексеевич

ПРИМЕНЕНИЕ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К МОДЕЛЯМ ГИДРОДИНАМИКИ

01.01.02 Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико–математических наук

Красноярск 2009

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск).

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор В.К. Андреев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Зайцев;

доктор физико-математических наук, профессор С.И. Сенашов;

доктор физико-математических наук, профессор А.П. Чупахин.

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт механики Уфимского научного центра Российской академии наук.

Защита диссертации состоится “ ” 2009 г. в на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26, ИКИТ СФУ, ауд. 115 (УЛК).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан “ ” 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент К.А. Кириллов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Как заметил ещё Софус Ли, знание группы преобразований, относительно которых инвариантна система уравнений, помогает в определенных случаях находить некоторые (инвариантные) решения этой системы в явном виде. Ли указал способ вычисления для заданных систем дифференциальных уравнений групп преобразований и привел примеры построения инвариантных решений. Новые проблемы современных прикладных наук порождают большое число новых математических моделей, для исследования которых нужно знать как можно больше конкретных решений. Метод группового анализа является одним из очень немногих методов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных безотносительно к их типу и происхождению.

Уравнения гидродинамики и газовой динамики были первым объектом приложения новых идей и методов группового анализа, развиваемых Л.В. Овсянниковым. Так основная алгебра Ли нестационарной системы уравнений Эйлера в R3 была вычислена А.А. Бучневым. Структура этой алгебры изучалась в работе С.В. Хабирова. Используя свойства инвариантности уравнений Эйлера, Н.Х. Ибрагимов нашел новые законы сохранения. Некоторые инвариантные решения уравнений Эйлера рассматривались в работах Л.В. Овсянникова, В.И. Налимова, В.В. Пухначева. Групповые свойства и решения уравнения Навье–Стокса исследовались В.О. Бытевым, Л.В. Капитанским, В.В. Пухначевым.

Известно со времен Коши, что некоторые уравнения гидродинамики интегрируются в лагранжевой системе координат. Новая система состоит из меньшего числа уравнений, содержит произвольные функции начальные данные исходной системы и может обладать более широкой группой преобразований в смысле Ли. Впервые группа Ли точечных преобразований в лагранжевых координатах была вычислена для уравнений газовой динамики с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами в работах В.К. Андреева. Полный групповой анализ уравнений плоского и вращательно-симметричного движения однородной и неоднородной жидкости в лагранжевых координатах проведен в работах /1-7, 14-18/. Там же построены новые точные решения.

Переход от эйлеровых к лагранжевым координатам нелокальное преобразование и между группами Ли изучаемых уравнений, вообще говоря, не должно быть изоморфизма. Поэтому группу Ли уравнений Эйлера в лагранжевых координатах необходимо вычислять независимо. Кроме того, в случае плоского и вращательно–симметричного движения уравнения Эйлера частично интегрируются. Новые системы состоят из меньшего числа уравнений, содержат произвольные функции, что делает актуальной задачу групповой классификации.

Задача классификации всего класса инвариантных и частично инвариантных решений уравнений гидродинамики ещё не решена. Она является комплексной и включает алгебраические и теоретико–групповые аспекты (построения, с точностью до подобия, всех подгрупп групп симметрий моделей и подмоделей), задачу групповой классификации и исследование фактор-систем. Для изучаемых здесь систем уравнений типична бесконечномерность допускаемых алгебр Ли, что сильно затрудняет изучение их структурных свойств.

Диссертация посвящена исследованию качественных свойств некоторых моделей гидродинамики на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Используется техника группового анализа дифференциальных уравнений, получивших систематическое изложение в работах Л.В. Овсянникова и Н.X. Ибрагимова.

Цель работы. Групповой анализ и групповая классификация уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии, уравнений вязкой жидкости в терминах скорость–завихренность, когда вязкость есть функция времени, уравнений микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна, построение оптимальных систем подалгебр, а также нахождение новых точных решений и их физическая интерпретации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах. Найдено преобразование эквивалентности, которое исключает из рассмотрения в уравнениях движения зависящие от времени внешние силы, однако оставляющее инвариантными условия на свободной границе. Впервые предпринято систематическое изучение групповых свойств уравнений идеальной однородной и неоднородной жидкости при наличии плоской и вращательной симметрии в лагранжевых координатах. Проведен групповой анализ уравнений новой модели конвекции и гидродинамической модели глаза тайфуна. Найдены классы новых точных решений указанных моделей гидродинамики.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:

проведен групповой анализ уравнений гидродинамики в координатах Эйлера при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, уравнений новой модели микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна;

построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков;

решена задача групповой классификации уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость–завихренность, когда коэффициент вязкости зависит от времени. Для каждого случая специализации вязкости найдена основная алгебра Ли базисных операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого порядка;

решена задача групповой классификации уравнений в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, а также для уравнений с осевой симметрией. Установлено, что уравнения в лагранжевых координатах обладают более широкой группой преобразований, чем уравнения в координатах Эйлера;

доказано, что в лагранжевых координатах система уравнений модели глаза тайфуна интегрируется полностью (при вращательной симметрии) и частично (для общей модели);

для всех рассматриваемых систем уравнений построен ряд новых (или обобщающих известные) точных решений, имеющих физическую интерпретацию, описывающих нестационарные вихревые движения жидкости со свободными или твердыми границами;

найденные новые симметрии существенно расширяют знания о качественных свойствах уравнений гидродинамики, а построенные точные решения могут быть использованы как модельные, например – при сравнительном анализе численных методов.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были доложены на:

– VI Всесоюзной конференции “Качественная теория дифференциальных уравнений” (Иркутск, 1986);

– Всесоюзной конференции “Герценовские чтения” (Ленинград, 1987);

– международной конференции “Лаврентьевские чтения” (Новосибирск, 1990);

– международной конференции “Современный групповой анализ” (Баку, 1988; Уфа, 1991; Нижний Новгород, 1992);

– III Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993);

– Всесоюзной конференции “Современный групповой анализ и задачи математического моделирования” (Саратов, 1993);

– международной конференции “Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces” (Москва, 1994);

– международной конференции “2nd European Fluid Mechanics Conference” (Варшава, 1994);

– международной конференции “Математические модели и численные методы МСС” (Новосибирск, 1996);

– Сибирском конгрессе “ИНПРИМ-96”, “ИНПРИМ-2000” (Новосибирск, 1996, 2000);

– международной конференции “Математические модели и методы их исследования” (Красноярск, 1997, 2001);

– международной конференции “Симметрия в естествознании” (Красноярск, 1998);

– международной конференции “Симметрия и дифференциальные уравнения” (Красноярск, 2000, 2002);

– международной конференции “RDAMM-2001” (Новосибирск, 2001);

– Всероссийской конференции “Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение” (Новосибирск, 2004);

– международной конференции “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике” (Новосибирск, 2005);

– IV Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2006);

– международной конференции “Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения”, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007);

– Всероссийская конференции “Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение”, приуроченная к 90-летию академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2009);

– семинарах ИВМ СО РАН (Красноярск) под руководством профессора В.К. Андреева.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 41 работах, включая две монографии в соавторстве с В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, В.В.

Пухначевым.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, семи разделов, разделенных на 36 параграфов, заключения и двух приложений.

Текст изложен на 290 страницах, включая таблицы и рисунки. В списке литературы содержится 96 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первый раздел диссертации посвящен групповому анализу уравнений плоских движений идеальной жидкости в переменных Эйлера и Лагранжа, а также построению их точных решений.

Изучаются групповые свойства системы уравнений плоского движения в эйлеровых координатах t + ux + vy = 0, vx - uy = , ux + vy = 0, (1) где завихренность. Эта система получается из уравнений Эйлера путем исключения давления и является промежуточной при преобразовании к лагранжевым координатам. Для нее построен базис алгебры Ли операторов (теорема 1.2), содержащий оператор X5 = -tyx + txy - (tv + y)u + (tu + x)v + 2, который не “индуцируется” из исходной системы уравнений Эйлера. Для уравнений Эйлера (в терминах функции тока) он является оператором квазилокальной симметрии с нелокальной переменной – функцией тока.

Оператор X5 допускается также и системой Навье–Стокса, это отражено в разделе 3. Оказалось, что конечные преобразования, соответствующие X5, позволяют сводить двумерные уравнения вязкой несжимаемой жидкости во вращающейся с постоянной угловой скоростью системе координат к обычным уравнениям Навье–Стокса. Это позволяет дать групповую трактовку известных экспериментов Д. Тейлора по влиянию сил Кориолиса на движение твердых тел и вихревых колец при двумерных и трехмерных движениях.

В параграфе 1.2 при переходе к лагранжевым координатам (, , t) система (1) преобразуется к виду xxt - xxt + yyt - yyt = 0(, ), (2) xy - yx = 1, где 0 = при t = 0. Здесь в отличие от (1) необходимо решать уже задачу групповой классификации. Показано, что у (2) всегда есть бесконечномерный идеал, порожденный оператором Y = F (0) - F (0) с произвольной функцией F C. Установлено соответствие между группами Ли систем (1), (2). Показано, что Y переходит в эйлеровых координатах в идеал алгебр Ли всех операторов Ли–Беклунда системы (1). Групповая классификация уравнений (2) по функции начальной завихренности допускает два случая (теорема 1.3): 0 = 0 и 0 = 0 (в последнем случае, например, можно считать 0 = ).

В параграфе 1.3, в случае, когда завихренность равна нулю в (1), изучена система Коши–Римана с дополнительными связями (теорема 1.4).

В параграфе 1.4 решается задача групповой классификации уравнений (2) при условии инвариантности начальных условий. Все данные сведены в табл. 1.4.1. Всего имеется двенадцать случаев расширения основной алгебры Ли (теорема 1.5).

В следующем параграфе изучены групповые свойства системы, полученной из (2) дифференцированием по t (теоремы 1.6, 1.7). В этом случае вместо оператора Y допускается оператор - с произвольной (, ), что позволяет строить более общие точные решения задачи со свободной границей. Рассмотрена система (2) в произвольных криволинейных лагранжевых координатах, группа Ли преобразований которой подобна группе для уравнений (2). Здесь же доказано,что знаменитые трохоидальные волны Ф. Гёрстнера на поверхности бесконечно глубокой жидкости являются инвариантными решениями.

В параграфе 1.6 даны примеры нестационарных точных инвариантных решений для (1), (2): вихревые движения плоского слоя, птоломеевские течения. Приведем одно из них. Возьмем подгруппу , x. Тогда d x = a(, t) + b(, t), y =, a(, t) att = µ(t)a, b(, 0) = 1, at(, 0) = a0(), (3) btt = µ(t)b, b(, 0) = 0, bt(, 0) = b0() с произвольными функциями µ(t), a0(), b0(), при этом в (2) 0 = -a 0 - b 0. Таким образом, решение задачи Коши x = , y = для системы (2) неединственно. Оно обобщает известные решения с линейным полем скоростей: движение полосы и эллипса. Частные случаи могут описывать движения с твердыми стенками. Заметим, что решение (2) невозможно, вообще говоря, представить в эйлеровых координатах, т. е. (2) есть решение в параметрической форме.

Во втором разделе рассматриваются уравнения плоского движения неоднородной несжимаемой жидкости. Для уравнений движения неоднородной жидкости ( = const) в поле силы тяжести, g = (0, 0, -g), g = const, в трехмерном случае ut + u · u + p = g, t + u · = 0, div u = базис операторов Ли представлен в работе. Соответствующие базисы допустимых операторов для уравнений Эйлера в плоском случае просто “индуцируются” из базиса допустимых операторов для трехмерного движения.

Выяснено групповое происхождение преобразования И Цзя-шуня, применяемого для описания стационарных движений стратифицированной жидкости. Стационарные решения системы неоднородной жидкости получаются из решений для однородной жидкости преобразованием u = U(x, y, z), p = P (x, y, z).

В параграфе 2.2 для базисных операторов уравнений Эйлера в плоском случае построена оптимальная система подалгебр первого порядка (теорема 2.2). Построение оптимальных систем подалгебр 1 и 2 для трехмерной системы Эйлера идеальной жидкости ( = const) приведено в работе. Изучение оптимальных систем подалгебр для неоднородной жидкости ( = const) ранее не проводилось. На каждом операторе из 1 в параграфе 2.3 построены фактор-системы.

При переходе к лагранжевым координатам (, , t) в параграфе 2.4 следует сохранение плотности частицы вдоль траектории:

(x(, , t), y(, , t)) = 0(, ) R-1(, ). Оставшиеся три уравнения плоского движения жидкости образуют замкнутую систему относительно функций x(, , t), y(, , t), p(, , t):

xtt + R(, )(yp - yp) = 0, ytt + R(, )(xp - xp) = 0, (4) xy - yx = 1.

В уравнениях (4) предполагается, что ускорение силы тяжести равно нулю, g = 0.

Для системы уравнений (4) проведена групповая классификация уравнений по функции начального распределения плотности в общем случае и при требовании инвариантности начальных условий (теоремы 2.3, 2.4).

Сводный результат групповой классификации дан в табл. 2.4.1 и табл. 2.4.2.

В случае учета инвариантности начальных условий имеется семь вариантов расширения основной алгебры Ли системы (4).

В параграфе 2.5 приведен ряд точных инвариантных решений в эйлеровых координатах на операторах из оптимальной системы подалгебр 1. Это решение, описывающее внутренние волны в жидкости с прямыми линиями равной плотности; решения, описывающие течения с различными видами твердой границы. В примере 4 на операторе -1y + + pp, = const, решается фактор-система p0 p0P Ut + Px = 0, Vt + UVx + = -g, 0R 0R (5) Rt + URx + V R = 0, U = U(t, ) где u = U(t), v = V (x, t), p = p0eyP (x, t), = 0eyR(x, t). Пример интересен тем, что при введении новых переменных (, ) по формулам t x = U(t) dt+, t = и новой функции B(, ) : R = exp[B(, )+g2/2] система (5) сводится к одному уравнению третьего порядка B + BB = -2U, (6) где U() известная функция. Уравнение (6) можно считать неклассическим уравнением математической физики, ранее в литературе оно не встречалось. Уравнения аналогичной структуры появляются и при интегрировании систем уравнений при вращательной симметрии.

По физическому смыслу к (6) ставится задача Коши и приводятся некоторые точные решения уравнения: решение с постоянным ускорением вдоль оси x; решение, описывающее нелинейные внутренние волны.

В параграфе 2.6 даны примеры точных решений уравнений (4) в лагранжевых координатах для различных представлений (из табл. 2.4.2) функции начального распределения плотности R(, ). Это решения, описывающие движения неоднородной жидкости со свободными границами: вихревое течение в полосе; движение вращающегося кольца жидкости; в произвольных лагранжевых координатах построено решение, обобщающее волны Гёрстнера на неоднородную жидкость.

Третий раздел диссертации посвящен изучению уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость– завихренность.

В параграфе 3.1 для системы уравнений t + ux + vy = (xx + yy), (7) ux + vy = 0, vx - uy = с = const найдена бесконечномерная алгебра Ли базисных операторов, допускаемых уравнениями (теорема 3.1) X1 = t, X2 = yx-xy +vu-uv, X3 = 2tt+xx+yy -uu-vv -2, X4 = -tyx + txy - (tv + y)u + (tu + x)v + 2, (8) X5(f) = f(t)x + f(t)u, X6(g) = g(t)y + (t)v.

Оператор X4 является новым оператором, он не “индуцируется” из исходной системы уравнений Навье–Стокса и связан с инвариантностью уравнений двумерных течений жидкости относительно перехода во вращающуюся с постоянной угловой скоростью систему координат.

В параграфе 3.2 для этих операторов получена оптимальная система подалгебр первого порядка 1 (теорема 3.2). Далее, для каждого из операторов оптимальной системы подалгебр получены фактор-системы уравнений (7).

В параграфе 3.4, рассматривая уравнения (7), считаем, что коэффициент вязкости является функцией времени = (t). Чаще всего исследуется зависимость вязкости среды от температуры. Но, в свою очередь, можно считать, что температура среды есть функция времени. Данная модель может описывать, например, движение в тонких пленках, когда вязкость жидкости меняется одновременно во всех точках плоскости за счет подогрева подложки (T = T1(t), T1(t) заданная функция). Возможно описание движения жидкости в плоском слое за счет внутренних источников тепла.

Здесь проведена групповая классификация уравнений по функции вязкости (t). При произвольном выборе функции (t) базис ядра алгебры Ли операторов для системы (7) состоит из X2, X4, X5(f), X6(g) из (8). Получены четыре случая специализации функции: (t) = ts, s = 0, (t) = e2kt, k = 0, (t) 1, (t) 0, при которых ядро алгебры Ли расширяется (тео рема 3.3). В теореме 3.4 получены оптимальные системы подалгебр первого порядка 1 для всех случаев представления функции вязкости (t).

В параграфе 3.5 приводятся некоторые точные решения уравнений (7).

В четвертом разделе проводится групповой анализ уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости.

В параграфе 4.1 для уравнений в цилиндрических координатах du v2 dv uv dw u u w - + pr = 0, + = 0, + pz = 0, + + = 0, (9) dt r dt r dt r r z d = + u + w dt t r z найден базис алгебры Ли операторов (теорема 4.1). Этот базис содержит оператор X3 = -v/r2v + 1/r2, который не “индуцируется” из алгебры Ли трехмерной системы Эйлера. Он связан с дополнительной инвариантностью системы (9) относительно преобразований t = t, r = r, z = z, u = u, v = ±(v2 - 2ar-2)1/2, w = w, p = p + ar-с произвольным параметром a.

В параграфе 4.2 система (9) представлена в лагранжевых координатах V (, ) r rtt - + zztt + p = 0, rV (, ) r rtt - + zztt + p = 0, (10) rr(rz - rz) = , где V (, ) 2v0(, ) квадрат момента импульса жидкой частицы в начальный момент времени. Система (10) обладает более широкой группой преобразований по сравнению с (9). Для уравнений проведена групповая классификация относительно функции V (, ), определены базисные операторы. В теореме 4.2 представлены три случая классификации: V (, ) – произвольная функция, V = 0 (или V = const), V = 0 (или V = 0).

Если наряду с инвариантностью уравнений (10) относительно допустимых групповых преобразований потребовать инвариантности и начальных условий, то имеется восемь случаев расширения основной алгебры в зависимости от выбора V (, ) (теорема 4.3).

Аналогичная задача решена в параграфе 4.3 для уравнений осесимметричного движения, когда имеет место закон сохранения 1(t, r, z) 10(, ) =, r где 1 завихренность. В теореме 4.4 определяется базис основной алгебры Ли операторов для уравнений. В теореме 4.5 представлены четыре случая классификации системы уравнений в лагранжевых координатах относительно функции 0(, ) = 10/. А в теореме 4.6 с учетом инвариантности начальных условий имеется пять случаев расширения основной алгебры в зависимости от выбора 0(, ).

В заключительном параграфе этого раздела приведены восемь примеров инвариантных решений, описывающих движение жидкости со свободной границей. В решения входят произвольные функции, а отображение лагранжевых координат в эйлеровы не является линейным. Приведем одно из решений системы (10) с V = V (). Частично инвариантное решение ранга 2 и дефекта 2 на трехпараметрической подгруппе , z, p имеет вид (снова параметрическое представление решения) 1/d r = 2 + C(t), C(0) = 0, z = a(, t), a(, t) V () ap = r rtt - d - µ(t) 2 + (t), r3 att = µ(t)a, a(, 0) = 1, at(, 0) = a1() c произвольными функциями V (), µ(t), a1(), (t), C(t). Это решение может быть интерпретировано, например, как движение с конической свободной границей, или свободной границей в форме однополостного гиперболоида, цилиндрической границы или эллипсоида вращения. Оно является вихревым.

В разделе 5 рассматриваются уравнения вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости. Так же, как и в предыдущем разделе, в пункте 5.1 для уравнений в цилиндрических координатах v2 1 uv ut + uur + wuz - + pr = 0, vt + uvr + wvz + = 0, (11) r r 1 u wt + uwr + wwz + pz = 0, t + ur + wz = 0, ur + + wz = r найден базис допустимых операторов Ли (теорема 5.1) X1 = z, X2 = tz + w, X3 = t, (12) X4 = 2rr + 2zz + tt + uu + vv + ww + 2pp, X5 = rr + zz + tt, 1 X6 = + pp, X7 = - v + p, X8() = (t)p.

r2v rБазис (12) содержит новый оператор X7, аналогичный оператору X3 для уравнений (9) и связанный с инвариантностью системы (11) относительно преобразований v = ± v2 - 2a/r2 -1/2, p = p + a/r2, a параметр.

В параграфе 5.2 с целью выделения классов существенно различных инвариантных решений уравнений (11) для базисных операторов (12) построены оптимальные системы подалгебр первого (теорема 5.2) и второго порядка (теорема 5.3).

В лагранжевых координатах уравнения (11) принимают вид V rR rR rtt - + (zp - zp) = 0, ztt - (rp - rp) = 0, r3 (13) r(rz - rz) = , где V (, )=2v0(, ) квадрат момента импульса, а R(, )=1/0(, ) функция распределения плотности в жидкой частице в начальный момент времени. Параграф 5.3 посвящен групповой классификации этих уравнений относительно уже двух функций V, R. В теореме 5.4 представлены семь вариантов классификации в общем случае, при которых происходит расширение ядра алгебры Ли операторов. Рассмотрен также случай инвариантных начальных условий, десять вариантов классификации даны в теореме 5.5.

В параграфе 5.4 представлены девять примеров построения точных инвариантных решений. В одном из примеров инвариантное решение системы (11) ищем на операторе X1 + X8() = z + (t)p из оптимальной системы подалгебр первого порядка. В результате найдено решение исходной системы (11):

t u = r-1C(t), v = V0()r-1, w = - () d + W0(), R0() = R0(), p(, t) = z(t) - R0()r rtt - 2V02()r-3 d, (14) t 1/ = r2 - 2 C() d с произвольными гладкими функциями (t), C(t), R0(), W0(), V0().

При C(t) = 0 решение (14) описывает нестационарное вихревое движение струи со свободной границей r(t) = 1 = const (либо движение в трубе), вдоль которой приложено давление q(z, t) = z(t)+P (1, t). Если C(t) = 0, то получим описание движения цилиндрической оболочки со свободными границами r1(t) = r(1, t), r2(t) = r(2, t), 1 > 2, а r(, t) определяется из t 1/r = 2 + 2 C() d. В обоих случаях плотность жидкости распределена по произвольному закону по радиусу: = R0().

Девятый пример показывает, что поиск инвариантного решения может привести к противоречию в фактор-системе, хотя необходимые условия существования инвариантного решения выполняются. Пример реализуется для уравнений (13) на операторе Y () = -1[(R) - (R)].

При поиске инвариантного решения на операторе растяжения по плотности и давлению и сдвига по пространственной переменной возникает уравнение третьего порядка (пример 5.6 данного раздела) uttx + uxutt = f(t, x). (15) Аналогичное уравнение возникало в примере 2.4. Это уравнение является нелинейным неклассическим уравнением математической физики и раньше в литературе не рассматривалось. В параграфе 5.5 проведена групповая классификация полученного уравнения по произвольной функции правой части, зависящей от двух переменных (теорема 5.6). Получены шесть случаев классификации уравнения (15): f(t, x) произвольная функция, f = 0, f = f(t) = 0 произвольная функция, f = C exp(-t), C = 0, f = C(t + )-2-, C = 0, = -2, f = f(x) = 0 произвольная функция.

Для каждого случая определена алгебра Ли допустимых операторов.

В разделе 6 проведен групповой анализ уравнений конвективного движения жидкости при пониженной гравитации. Движение жидкости, вызванное тепловой гравитационной конвекцией, обычно моделируется системой уравнений Обербека–Буссинеска. Эта модель, хорошо описывающая конвективные течения в естественных земных условиях, перестает работать в очень слабых силовых полях. В.В. Пухначевым предложена новая модель тепловой конвекции при пониженной гравитации, когда плотность жидкости зависит от температуры по закону = 0(1 + )-1.

В первом параграфе этого раздела для системы уравнений микроконвекции (произведена замена 1 + ) wt + w · w + ( · w - w · ) + 2( - ||2/2) = = (-q + w) + g, (16) t + w · + ||2 = , div w = получен базис бесконечномерной алгебры Ли операторов (теорема 6.1) X1 = x, X2 = y, X3 = z, X4 = tx + u, X5 = ty + v, X6 = tz + w, X7 = t, X8 = xx + yy + zz + uu + vv + ww + 2, X9 = xx + yy + zz + tt + - qq, X10 = zy - yz + wv - vw, X11 = xz - zx + uw - wu, X12 = yx - xy + vu - uv, X13() = (t)q.

Показано, что если вектор массовых сил зависит от времени g = g(t), тогда преобразования t t t = t, x = x + g() dd, u = u + g() d, p = p (17) 0 0 являются преобразованиями эквивалентности для (16), а также для уравнений Эйлера и Навье–Стокса. В уравнениях можно считать g = 0. Относительно преобразования (17) остаются инвариантными условия на свободной поверхности. Более того, преобразования (17) справедливы для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей при наличии поверхности раздела /10/.

В параграфе 6.2 построена оптимальная система подалгебр первого порядка 1 (теорема 6.2) X1 + X6 + X13(), X3 + X12 + X13(), X6 + X12 + X13(), X8 + X13(), X1 + X8 + cX12 + X13(), X4 + X8 + cX12 + X13(), 1X6 + X7 + 2X12, X1 + X7 + X8 + cX12, 1X4 + 2X7 + X8 + cX12, X7 + X8, X6 + X9, 1X1 + 2X6 + X9 + cX12, X3 + X8 - X9, X8 + bX9, X3 + X8 - X9 + cX12, X3 + X4 + X8 - X9 + cX12, 1X1 + 2X4 + X8 + bX9 + cX12.

А в параграфе 6.3 построена оптимальная система подалгебр второго порядка 2 (теорема 6.3), представленная в таблице 6.3.1 в виде 76 двумерных подалгебр.

В последнем параграфе раздела 6 в пяти примерах найдены точные инвариантные решения. Например, на операторах X2; X5; X7; X3 + X13(0) получено частично инвариантное решение, в котором u = U0, q = 0z +Q0.

Система (16) расщепляется относительно функций , w, v и имеет два решения:

1 C1U0x U0x 1(x) = + C2 exp, 2(x) = 0 -, C1 где C1, C2, 0 = const, C1 = 0. Частный случай v = const = 0 является решением. Если взять функцию 2(x), то найдем 1 x2 g2 U0x U0x w(x) = 0 + c1x + c2 + 0 - ln 0 - - 1.

2 U0 Полученное решение существенно отличается от известного решения стационарной задачи в приближении Обербека–Буссинеска gUwоб(x) = - x(a2 - x2), 6 именно, нарушается антисимметричность профиля скорости по оси x.

В разделе 7 рассматривается нестационарная модель глаза тайфуна, предложенная в работах Е.М. Добрышмана. Поскольку глаз тайфуна занимает большую часть тропосферы, то стратификация атмосферы изменение плотности с высотой должна играть существенную роль. В уравнении сохранения массы вводится параметр , определяющий среднее значение логарифмической производной плотности по высоте.

В первом параграфе для системы уравнений вращательносимметрической модели глаза тайфуна v2 uv ut + uur + wuz - = 0, vt + uvr + wvz + = 0, r r (18) u ur + + wz - w = r получена наиболее широкая группа Ли преобразований переменных t, r, z, u, v, w, допускаемая системой уравнений (18) и представленная базисными операторами (теорема 7.1) X1 =, X2 =, X3 = t + r - w, t z t r w X4 = u + v + r, u v r 2t 2 X5 =t2 + tr + - tv + -2tw + + (-tu + r), t r z v w u t2 t2 2t 1 t2 2t X6 = + - u + + u2 - u + 1, (19) r r r2 r u v r2 r v t t 1 1 t 1 X7 = + - u + + u2 - u, r r r2 r u v r2 r v 1 1 1 X8 = - u + u2, r r r2 u vr2 v X9(f(t, r)) = f(t, r)ez + ez(f(t, r)w + ufr(t, r) + ft(t, r)).

z w Группа Ли оказалась бесконечномерной и по пространственным эйлеровым координатам. На каждом из вычисленных операторов (19) построены фактор-системы.

В параграфе 7.2 представлены пятнадцать примеров точных инвариантных решений. Это ранее известные стационарные решения, квазидисковые и затухающе-взрывной тип решения, но большинство решений являются новыми или обобщают известные. Во многих примерах выделяется влияние стратификации в глазе тайфуна. Например, на операторе X6 из (19) построено следующее точное решение:

r 1 f2(J) u = + f2(J)dt + (J), v = - f2(J)dt + (J), t r t2 rw = + ezt2g(t), где J = t2e-z + t2g(t)dt.

t Заметим, что скорость w существенно зависит от произвольной функции g(t). Если взять g(t) = -2/(t3), то при z = 0 выполняется граничное условие w = 0, причем вертикальная компонента скорости затухает со временем.

В третьем параграфе в системе (18) сделан переход к лагранжевым координатам r t=0 = , z t=0 = . Предварительно замечаем, что система (18) эквивалентна системе с = 0, для этого достаточно ввести новые переменные по формулам z = - e-z, w = e-zw. (20) Уравнения могут быть проинтегрированы, так r = 2 ± 2Ct + 2E0t2 1/2, где C = ± 2E02 - M0 ; M0(, ), E0(, ) функции начального распределения момента импульса и кинетической энергии. Ясно, что для существования решения начальный момент импульса не должен быть слишком большим: M0(, ) 2E02. Функция z(t, , ) определяется из линейного относительно z уравнения неразрывности r(rz - zr) = . (21) Решение уравнения (21) находим в квадратурах: z = (rr)-1 d+ +f(t, r(, , t)) с произвольной функцией f, f(0, r) = 0, r(, , t) известна, r = 0.

В параграфе построены два точных решения, например, для M0 = 0, 2E0(, ) = 2U0 () получаем решение вида d r = [1 + U0()t], z = + f(t, r(t, , )).

[1 + U0()t]При U0 = const имеем решение системы (18) в эйлеровых координатах U0r 2U0(z - f(t, r)) u =, w = - + ft(t, r) + ufr(t, r), f(0, r) = 0.

1 + U0t 1 + U0t В параграфе 7.4 рассматривается общая гидродинамическая модель глаза тайфуна в координатах (r, , z). Предполагается, что давление p в глазе не зависит от радиуса r и угла . Тогда в системе три уравнения представляют замкнутую систему относительно функций u, v, w. Кроме того, используются преобразования эквивалентности (20), что приводит к системе с = v vut + uur + u + wuz - = 0, r r v uv (22) vt + uvr + v + wvz + = 0, r r u ur + + v + wz = 0.

r r Для уравнений (22) вычислен базис алгебры Ли операторов:

X1 =, X2 =, X3 = t + r - w, t t r w X4 = r + u + v, X5 = z + w, r u v z w X6 = tr - 2tz + t2 + (-tu + r) - tv - (4tw + 2z), r z t u v w cos v u X7 = sin + + cos - cos , r r r u r v sin v u X8 = cos - - sin + sin , (23) r r r u r v t vt X9 = t sin + cos + cos + sin + r r r u ut + - cos + cos , r v t vt X10 = t cos - sin + - sin + cos + r r r u ut + sin - sin , r v X11 = r sin 2 + cos 2 + (u sin 2 + 2v cos 2) - v sin 2, r u v X12 = r cos 2 - sin 2 + (u cos 2 - 2v sin 2) - v cos 2, r u v g v g g X13(g) = g(t, r, ) + u + +, z r r t w где g(t, r, ) произвольная функция.

На операторах (23) в параграфе 7.5 построены четыре примера точных решений: спиральное движение, перенос возмущений по вертикали, две модели вторичных течений. Все решения являются новыми или существенно обобщают известные. Например, если решение уравнений искать на операторах X9, X10, то получим точное решение в физических переменных вида r 1 u = + [f() sin + g() cos ], v = [f() cos - g() sin ], t t t 2 (t) tw = + ez, = e-z + (t). (24) t t2 Если для решения (24) потребуем выполнения граничного условия w = при z = 0, то (t) = -t2/ + 0, 0 = const. Если функции f(), g() считать ограниченными, то скорости u, v, w стремятся к нулю при t .

Движение вдоль оси z всегда направлено вниз, w = 2(1 - ez)/t 0.

Функции f(), g() произвольные по аргументу = t2-1(e-z - 1)+ +0. Выбрав f(), g() периодическими функциями, получим периодическое по вертикали решение.

В параграфе 7.6, как и в п. 7.3, в системе (22) делается переход к лагранжевым координатам r t=0 = , t=0 = , z t=0 = . Вводя M0(, , ), E0(, , ) функции начального распределения момента импульса и кинетической энергии, проинтегрируем уравнения для азимутального угла и радиуса M0t 1/ = + arctg, r = 2 ± 2Ct + 2E0t2, 2 ± Ct где C = ± 2E02 - M0. Функция z(t, , , ) находится из уравнения сохранения массы (r - r)z + (r - r)z + (r - r)z =.

r Здесь же даны три примера точных решений: когда M0 и E0 постоянны, когда E0 = const, M0 = 2E0 , когда M0 = 0, 2E0(, ) = 2U0 ().

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Для уравнений различных моделей гидродинамики найдено преобразование эквивалентности, которое позволяет исключить внешние массовые силы, зависящие от времени. Более того, относительно этого преобразования остаются инвариантными условия на свободной границе и на поверхности раздела для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей.

2. Впервые проведено систематическое исследование групповых свойств уравнений однородной и неоднородной жидкости для плоских и вращательно-симметричных движений в переменных Лагранжа. Установлено, что основная группа является бесконечномерной и по пространственным координатам. Решена задача групповой классификации и получены исключительные значения произвольных функций в лагранжевых координатах (завихренности, момента импульса и плотности), при которых происходит дальнейшее расширение группы.

3. Для уравнений в лагранжевых координатах найдены новые точные решения. В представления для решений входят произвольные функции времени и пространственных координат. Это позволяет рассматривать различные начально-краевые задачи: со свободной границей, твердыми стенками. Большинство полученных решений в лагранжевых координатах вряд бы удалось найти, рассматривая уравнения гидродинамики в переменных Эйлера. Доказано, что знаменитые трохоидальные волны Ф. Гёрстнера на поверхности бесконечно глубокой жидкости являются инвариантным решением.

4. Найдены новые симметрии в эйлеровых координатах (для плоского движения в терминах скорость–завихренность и для вращательно – симметричного движения жидкости), им дана физическая интерпретация. Дано групповое обоснование известных экспериментов Дж. И. Тейлора по влиянию сил Кориолиса на движение твердых тел и вихревых колец при двумерных и трехмерных движениях. Для неоднородной жидкости выяснено групповое происхождение преобразования И Цзя-шуня, применяемого для описания стационарных движений стратифицированной жидкости.

Построены новые точные решения, имеющие физическую интерпретацию.

5. Показано, что анализ некоторых моделей неоднородной жидкости приводит к исследованию нелинейного неклассического уравнения математической физики третьего порядка. Проведена его групповая классификация по произвольной функции правой части. Получены некоторые точные решения уравнения, в определенной ситуации уравнение линеаризуется.

6. Для уравнений новой модели тепловой конвекции при пониженной гравитации, получен базис бесконечномерной алгебры Ли операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков. Найден ряд точных решений уравнений, иллюстрирующих новые качественные свойства, отличные от свойств классических решений уравнений ОбербекаБуссинеска.

7. Проведен групповой анализ уравнений вращательно-симметрической и общей гидродинамической моделей глаза тайфуна в цилиндрических координатах. Вычислены базисы основной алгебры Ли операторов, бесконечномерные и по пространственным переменным. Построены новые точные решения, описывающие вихревые движения и имеющие физическую интерпретацию. Показано, что в лагранжевых координатах исходные уравнения полностью интегрируются в квадратурах для вращательносимметрического движения и сводятся к одному линейному уравнению первого порядка от трех переменных в общем случае.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифф. уравнения. – 1988. – Т. 24, № 9. – С. 1577-1586.

2. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл.

АН СССР. – 1988. – Т. 298, № 6. – C. 1358-1361.

3. Андреев В.К., Родионов А.А. Неустойчивость при растяжении цилиндрического слоя жидкости // ПМТФ. – 1992. – № 4. – С. 100-107.

4. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация вращательносимметричных движений неоднородной жидкости // Вычислительные технологии. – 1993. – Т. 2, № 7. – С. 5-16.

5. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. – Новосибирск:

ВО “Наука”, 1994. – 320 с.

6. Андреев В.К., Родионов А.А. Группы Ли и точные решения уравнений плоских течений неоднородной жидкости в лагранжевых координатах // Вычислительные технологии. – 1995. – Т. 4, № 6. – С. 11-18.

7. Андреев В.К., Родионов А.А. О некоторых нелинейных волнах в неоднородной жидкости // Вычислительные технологии. – 1997. – Т. 2, № 6. – С. 3-11.

8. Андреев В.К., Родионов А.А. Инвариантные подмодели ранга два для уравнений неоднородной тяжелой жидкости // Диф. уравнения. – 1998. – Т. 34, №8. – С. 1082-1091.

9. Андреев В.К., Родионов А.А. Инвариантные решения ранга два для уравнений вращательно-симметричных движений неоднородной жидкости // ПММ. – 1999. – Т. 63. – Вып. 3. – С. 1082-1092.

10. Андреев В.К., Родионов А.А. Инвариантные решения уравнений микроконвекции, описывающие движения с поверхностью раздела // Труды междунар. конф. RDAMM-2001. – Новосибирск. – 2001. – Т. 6. – Ч. 2. – Спец. выпуск. – С. 54-58.

11. Родионов А.А. Групповой анализ и точные решения уравнений микроконвекции // Вычислительные технологии. – 2001. – Т. 6, № 3. – C. 51-63.

12. Родионов А.А. Групповой анализ и точные решения уравнений плоского движения вязкой жидкости в терминах скорость–завихренность // Вычислительные технологии. – 2003. – Т. 8, № 3. – С. 107-118.

13. Андреев В.К., Родионов О точных решениях уравнений гидродинамической модели “глаза” тайфуна // Вычислительные технологии. – 2005. – Т. 10, – № 5. – С. 3-11.

14. Андреев В.К., Родионов А.А., Шанько Ю.В. Об интегрированиии уравнений осесимметрической модели “глаза” тайфуна // Диф. уравнения. – 2005. – № 5. – С.1-4.

15. Родионов А.А. Применение метода группового анализа к уравнениям гидродинамики // Вестник Красноярского гос. университета. Физ.мат.науки. – 2006. – № 4. – C. 142-146.

16. Andreev V.K., Rodionov A.A. Instability in the Tension of a Cylindrical Layer of Fluid // Plenum Publisihing Corporation, 1992.

17. Andreev V.K., Rodionov A.A. On the axisymmetric motion of nonhomogeneous fluid // Modelling, Measurement and Control, B, AMSE Press, v. 55, № 4, 1994.

18. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Puckhnachov V.V., Rodionov A.A. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. – Netherlads.

Kluver Academic Publishers. – 1998. – 408 p.

19. Andreev V.K., Rodionov A.A. Invariant Solutions of Rank Two of the Equations of the Rotationally-symmetric Motions of an Inhomogeneous Liquid // Pergamon. Elsevier Science Ltd. Great Britain. 0021-898/99. – 1999. – P. 359-368.

Подписано в печать 2009 г.

Формат 60 841/16.

Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036 Красноярск, Академгородок




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.