WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Дроздов Сергей Михайлович

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Жуковский - 2009

Работа выполнена в Государственном унитарном предприятии Центральном аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е.Жуковского (ФГУП ЦАГИ) Научный консультант доктор физико-математических наук, с.н.с. Дудин Георгий Николаевич.

Официальные оппоненты:

д. ф-м. н., член-корреспондент РАН Гайфуллин Александр Марксович (ЦАГИ).

д. ф-м. н., профессор Ватажин Александр Бенцианович (ЦИАМ, г. Москва), д. ф-м. н., профессор Исаев Сергей Александрович (г. Санкт-Петербург) Ведущая организация – Институт Механики МГУ (г. Москва, Мичуринский проспект,1)

Защита диссертации состоится «___» ____________ 2009 г. в «___» часов на заседании диссертационного совета Д 403.004.01 при Центральном аэрогидродинамическом институте по адресу 140180, Московская обл., г.

Жуковский, ул. Жуковского,

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке ЦАГИ.

Автореферат разослан «___» __________ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. т. н., профессор В. М. Чижов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Вихревое течение самая распространенная форма движения жидкостей и газов - естественное состояние этого вида сплошной среды. Присутствие устойчивых или метастабильных, стационарных или дрейфующих вихревых образований следует считать характерной чертой любого потока. Разумеется существуют и безвихревые моды течения, которые изучены достаточно хорошо, так как легче поддаются расчетно-теоретическому исследованию. Но в большинстве практически важных случаев безвихревые моды течения не реализуются по причине неустойчивости, либо просто не могут существовать без специально созданных физических условий или наложенных предположений (например – отсутствие вязкости).

Таким образом актуальность выбора вихревых течений в качестве объекта исследований диссертации очевидна.

Главной целью диссертации является определение физических механизмов возникновения и поддержания пространственно упорядоченных вихревых структур и исследование их свойств применительно к нескольким актуальным проблемам течения жидкостей и газов.

Как правило, вихревое течение неразрывно связано с вязкостью жидкой или газообразной среды. Наличие вязкости является необходимым условием существования касательных напряжений в жидкой (газообразной) среде, а касательные напряжения порождают завихренность. Поэтому все применяемые методы и математические модели течений, рассмотренные в диссертации, базируются на уравнениях Навье-Стокса с обязательным сохранением вязких членов. В общем случае уравнения Навье-Стокса – нелинейные (за исключением Стоксовых течений (Re0) и узкого набора линейных решений) и вихревые структуры следует рассматривать как существенно нелинейные объекты. Поэтому во всех математических субмоделях, используемых в диссертации, сохраняются основные нелинейные члены уравнений НавьеСтокса.

Тип течения (Стоксовое, ламинарное, турбулентное) и соотношение между инерционными и вязкими силами в нем характеризуется числом Рейнольдса (Re) или его эквивалентами – число Тейлора (Та), число Грасгофа (Gr) и т.п.. В диссертации, главным образом, рассматривается диапазон сравнительно небольших и умеренных чисел 20 < Re < 8104 (исключение составляют некоторые экспериментальные режимы гиперзвукового обтекания цилиндра, где при M=6 числа Рейнольдса достигали Re=3.3105). В этом диапазоне происходит большинство качественных перестроек течения. Первичная мода течения, которая при Re0, обычно является единственной, стационарной и имеет сравнительно простую топологию, при некотором критическом числе Re=Re* теряет устойчивость с образованием вторичных, как правило - вихревых течений. При умеренных закритических числах Re* < Re < 1развитые вихревые структуры сохраняются в потоке сравнительно долго, а в ряде практически важных случаев они стационарны и устойчивы.

Поэтому актуально ограничить объект исследований диссертации именно предельными устойчивыми или метастабильными состояниями развитых вихревых структур.

Предметом исследований диссертации является группа частных случаев вихревых течений, где в одном из направлений (например z) геометрия области, граничные условия и все другие внешние факторы либо однородны (не меняются) либо изменяются специальным образом – периодически или квазипериодически. Соответственно рассматривается класс течений, удовлетворяющих такому же принципу построения пространственной структуры - периодичность или квазипериодичность вдоль переменной z.

Очевидно это тоже идеализация физической реальности, где не бывает бесконечно протяженных областей с однородными или специально меняющимися условиями. Однако для раскрытия и понимания общих физических механизмов и закономерностей вихреобразования, актуально рассмотреть такой класс течений.

Выбор периодического (или квазипериодического) класса течений определяет и выбор математической структуры решений и алгоритмов, где неизвестные функции (скорость, давление, температура и др.) рассматриваются периодическими (квазипериодическими) вдоль заданного направления z.

Причем в случае периодических решений неизвестные функции представляются обычными рядами Фурье, с главным периодом равным или кратным главному периоду изменения внешних факторов. Для квазипериодических решений, рассмотренных в главах 2 и 3, неизвестные функции представляются кратными рядами Фурье со спектром Фурье построенном на известном базисе спектра Фурье внешних факторов. По направлению нормали к твердым поверхностям (или ударной волне), которые ограничивают область течения, используется конечно-разностное представление неизвестных функций. Следовательно, применяемые в диссертации методы можно отнести к классу спектрально-конечноразностных.

В силу нелинейности определяющих течение уравнений и поскольку ищутся предельные состояния вихревых структур во времени, ряды Фурье оказываются бесконечными, даже если Фурье-представление геометрии области и других внешних факторов имеет конечный пространственный спектр. Поэтому данный подход может быть плодотворным, только если обеспечено свойство достаточно быстрой сходимости рядов Фурье.

Известно, что решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости имеют высокую степень гладкости - не ниже второй в случае разрыва в пространственном распределении внешних факторов, и бесконечную в случае аналитичности внешних факторов. В силу известных теорем, это гарантирует быструю сходимость рядов Фурье, начиная с некоторого, достаточно большого номера гармоник N>>1. Потребное число гармоник N зависит от числа Re и это ограничивает диапазон чисел Re доступных для расчетов. На режимах сверх и гиперзвукового обтекания тел сжимаемым газом (глава-4), примененный в диссертации метод расчета подразумевает выделение ударной волны, а область течения рассматривается только за ударной волной, которая является первой линией расчетной сетки. При таком подходе изменение течения вдоль периодического направления z не имеет разрывов, и ряды Фурье тоже обладают свойством быстрой сходимости.

Для квазипериодических решений свойство сходимости кратных рядов Фурье доказано лишь для ограниченного класса равномерно непрерывных квазипериодических функций (см. например Левитан Б.M.), которые и рассмотрены в главах 2 и 3 диссертации.

Таким образом ключевые положения математических методов, используемых в диссертации, имеют под собой достаточно строгое обоснование.

В диссертации значительное внимание уделено экспериментальному исследованию явлений, составляющих предмет изучения первой и четвертой глав (главы 2 и 3 содержат только расчетно-теоретические результаты).

Подробное описание экспериментальных установок, техники и методики проведения испытаний приведено в соответствующих разделах диссертации.

Здесь уместно отметить, что именно экспериментальные факты послужили отправной точкой для построения теории механизмов вихреобразования и на основе экспериментальных данных сделаны выводы об адекватности расчетнотеоретических результатов физической природе изучаемых явлений.

Научная новизна работы • На примере модифицированного течения Тейлора, обнаружено новое гидродинамического явление - бифуркация потери симметрии периодических вихревых структур с возникновением самоиндуцированного осевого градиента давления. Дано расчетно-теоретическое объяснение и экспериментальное доказательство существования этого явления.

• На примере стационарного течения жидкости в слое, бесконечно протяженном по координате х и ограниченном по координате у криволинейными поверхностями квазипериодической формы, впервые найдены квазипериодические решения двумерных уравнений Навье-Стокса. Для этого автором разработан метод, ключевым элементом которого является представление квазипериодических функций в виде абсолютно сходящихся кратных рядов Фурье с множеством показателей Фурье, генерируемых несколькими, рационально не связанными главными волновыми числами. Исследованы свойства квазипериодических решений, их спектров, интегральных характеристик и интенсивность вихревого течения в зависимости от числа Рейнольдса и геометрических параметров задачи.

• Разработанный метод поиска и исследования квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса применен к задаче о конвекции жидкости в плоском горизонтальном слое и впервые получены стационарные квазипериодические решения двумерных уравнений конвекции (в приближении Буссинеска), индуцированные квазипериодическим распределением температур на границах слоя. Исследованы свойства квазипериодических конвекционных структур, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Грасгофа и вида граничных условий задачи.

• Предложен и подтвержден расчетами новый механизм формирования пространственно периодических вихревых структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при их поперечном гиперзвуковом обтекании, когда искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму.

Научно-практическая ценность работы.

• На основе результатов исследований модифицированного течения Тейлора, предложена и оформлена в виде запатентованного устройства новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, согласно которой процесс смешивания компонент многофазной среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки. Установлено, что выбором формы и периода волнообразных поверхностей ротора и корпуса можно добиться значительно большей эффективности смешивания, чем в классическом течении Тейлора, при одинаковых затратах удельной мощности привода.

• Выдвинута и обоснована расчетами идея применения квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса в качестве модели течения жидкой среды в тонких слоях со сложной геометрией границ и пористых структурах.

• Определены условия возникновения вихревой пространственнопериодической моды гиперзвукового обтекания цилиндра, ее основные характеристики и, главное, на лобовой поверхности получены периодические пики теплового потока, которые значительно превышают тепловой поток в передней критической точке при плоской моде обтекания, что представляет серьезную опасность для теплозащиты гиперзвуковых летательных аппаратов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Экспериментальное обнаружение и расчетно-теоретическое объяснение нового гидродинамического явления - бифуркации потери симметрии периодических вихревых структур с возникновением самоиндуцированного осевого градиента давления в модифицированном течении Тейлора.

2. Новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, в которой основные элементы смесителя - ротор и корпус имеют осесимметричную форму, периодическую по оси вращения z, а процесс смешивания компонент многофазной жидкой среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки.

3. Метод расчета стационарных квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса, индуцированных квазипериодической формой границ двумерного слоя неограниченной протяженности, с наложенным средним градиентом давления.

4. Результаты расчетно-теоретического исследования свойств квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Рейнольдса и геометрических параметров задачи.

5. Метод расчета стационарных квазипериодических решений уравнений конвекции вязкой и теплопроводной жидкости, индуцированных квазипериодическим распределением температур на границах плоского горизонтального слоя.

6. Результаты расчетно-теоретического исследования свойств квазипериодических конвекционных течений, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Грасгофа и вида граничных условий задачи.

7. Формулировка и расчетно-теоретическое обоснование нового механизма формирования пространственно периодических структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при поперечном гиперзвуковом обтекании, согласно которому искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму.

8. Результаты численных исследований пространственнопериодической вихревой моды гиперзвукового обтекания цилиндра, определение условий ее возникновения, основных характеристик и главное - периодических пиков теплового потока, которые значительно превышают тепловой поток в передней критической точке, полученный для плоской моды обтекания.

Все вынесенные на защиту расчетно-теоретические результаты получены автором самостоятельно. Экспериментальное обнаружение бифуркации потери симметрии периодических вихревых структур в модифицированном течения Тейлора сделано в соавторстве с профессором S. Skali-Lami и доктором M.

Rafiqe в лаборатории LEMTA (UAP, INPL, Франция, г. Нанси).

Экспериментальные исследования вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра при поперечном гиперзвуковом обтекании выполнены в ЦАГИ в соавторстве с профессором Боровым В.Я., Струминской И.В. и Лариным Н.Б.

Апробация работы Результаты диссертационной работы и докладывались на семинарах в ЦАГИ (2000, 2002, 2003, 2004, 2006, 2007, 2008), НИИ Механики МГУ (2003, 2005, 2006, 2007, 2008), лаборатории LEMTA UAP, INPL, Франция, г. Нанси (2002, 2005, 2006, 2007). А также на следующих конференциях: научной школе НИИ Механики МГУ НеЗаТеГиУс (1994, 1996, 1998, 2000); второй Российской национальной конференции по тепломассообмену, МЭИ, 1998 ; “Sino-Russia Hypersonic Flow Conference”. Russia, Moscow, 2000; 12-th International conference on Gouette-Taylor flows. USA, Evanston, 2001; 13-th International conference on Gouette-Taylor flows. Spain, Barcelona, 2003. ; International conference “METHODS OF AEROPHYSICAL RESEARCH. (ICMAR'2007).” Russia, Novosibirsk, 2007.; WEST-EAST HIGH SPEED FLOW FIELD CONFERENCE 1922, NOVEMBER 2007 MOSCOW, 6 European Symposium on Aerothermodynamics for Space Vehicles. November 2008, Paris (France).

Публикации По теме диссертации опубликовано в рецензируемых изданиях автором лично - 10 работ и одна работа в соавторстве (см. раздел Список основных публикаций автора по теме диссертации).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы и содержащих 97 фигур и 19 таблиц, заключения и списка литературы, состоящего из 96 наименований. Полный объем диссертации 238 страниц.

Благодарность.

Автор благодарит руководство лаборатории LEMTA (Франция, г. Нанси) за предоставленную возможность научных исследований и, персонально, профессора S. Skali-Lami за организацию экспериментов, обучение методике проведения испытаний, численных исследований по программе "Fluent" и совместный цикл исследований вихревых течений в жидкости. Автор благодарит профессора Борового В.Я. за вовлечение в круг проблем гиперзвукового обтекания затупленных тел, организацию экспериментов и обучение методике проведения тепловых испытаний в ударной трубе ЦАГИ УТ-1М.

Автор благодарит своего друга Быкова Е.М. за материальную помощь при написании диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

.

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, обсуждается актуальность выбранной темы, указаны основные цели и методы исследований, отмечена новизна и практическая ценность работы, сформулированы положения, выносимые на защиту. Дан краткий обзор имеющихся научных результатов и вклада других авторов, основные ссылки на литературу (подробный обзор литературы и имеющиеся результаты естественным образом распределены по главам).

Глава-1 посвящена исследованию стационарных периодических вихревых структур в модифицированном течении Тейлора. В гидродинамике хорошо известно течение несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами, возникающее при вращении внутреннего цилиндра-ротора - классическое течение Тейлора. Модифицированное течение Тейлора реализуется в протяженной области, где одна или обе твердые поверхности имеют осесимметричную форму, с периодическим изменением радиуса вдоль оси вращения z (волнообразная форма). Впервые экспериментальные и численные исследования модифицированного течения Тейлора были выполнены во Франции (1999г.) профессором S. Skali-Lami и доктором M.

Rafiqe. Независимо, автором диссертации, были проведены (2000г.) численные исследования модифицированного течения Тейлора для общего случая обеих волнообразных поверхностей ротора и корпуса произвольной формы периодической вдоль оси z. В отличие от классического течения Тейлора, в модифицированном течении Тейлора вихревые структуры вызываются формой поверхностей ротора и корпуса и сохраняют свою пространственную периодичность (с периодом равным или кратным периоду поверхностей ротора и корпуса) в широком диапазоне изменения управляющего параметра - числа Тейлора (T) или Рейнольдса (Re).

В разделе 1.1 дано описание экспериментальной установки, методов и средств экспериментальных исследований, которые были проведены в лаборатории теоретической и прикладной механики и энергетики LEMTA (Laboratoire d'Energetique et de Mecanique Theorique et Appliquee), университета им. Анри Пуанкаре (UAP) и национального политехнического института (INPL, Франция, г. Нанси). Схема экспериментальной установки показана на рис.1.1. Установка состоит из прозрачного цилиндрического корпуса радиусом R=64.11 мм и длиной H=263 мм, внутри которого помещен ротор. Ось вращения ротора (z) совпадает с осью цилиндрического корпуса. В качестве ротора использовалось одно из шести тел вращения, изменение радиуса которых описывается гармонической функцией:

R1(z)=a0+a1cos(2z/) (1.1) Геометрические параметры роторов представленны в таблице-1.1.

H a b L B A корпус r R ротор R1(z) z Рис. 1.1 Схема установки, область течения и система координат.

Таблица- 1.ротор a0 a1 Безразмерные величины мм мм мм a0 a CR1 51.3 0 - 0.8002 0 WR2 51.3 7.83 71.75 0.8002 0.1221 1.11WR3 51.3 7.83 35.88 0.8002 0.1221 0.55WR4 51.3 3.91 71.75 0.8002 0.0610 1.11WR5 51.3 3.91 35.88 0.8002 0.0610 0.55WR6 51.3 1.96 71.75 0.8002 0.0306 1.11Здесь и далее обезразмеривание выполнено по радиусу корпуса R.

В экспериментах применялись следующие методы и средства исследований: Измерение скорости вращения ротора в диапазоне 3010об/мин с погрешностью не больше ±3 об/мин; измерение момента и мощности на оси вращения ротора с погрешностью не больше ±5% от этих величин при минимальной скорости вращения; измерение температуры жидкости в диапазоне 1540 0С с погрешностью не больше ±0.10С ; визуализация картины течения вблизи поверхности внешнего цилиндра с помощью индикаторных частиц калироскопа (диаметр 10-20 микрон); визуализация картины течения в сечении (r,z) с помощью записи на цифровую видеокамеру траекторий частиц калироскопа в плоскости узкого пучка света, созданного лазерным ножом;

измерение распределения радиальной (v) и осевой (u) компонент вектора скорости частиц в плоскости (r,z) лазерного ножа по методике Particle Image Velocimetry (PIV); измерение перепада давления в двух точках на корпусе по разности высот столбиков жидкости в измерительных трубочках ( погрешность не больше ±0.1 мм. водяного столба).

В качестве основного параметра, определяющего режим течения в установке, использовалось число Тейлора Т.

R T = Re a0 (1- a0 )3 / 2 ; Re = (1.2) Где a0 – средний радиус ротора (1.1), обезразмеренный по радиусу корпуса R, =[0.045 0.065]Pa/s – вязкость жидкости, =1.027g/cm3, - угловая скорость ротора.

В разделе 1.2 приведены математическая модель, основные уравнения и метод численного решения задачи. В цилиндрической системе координат рассматривается осесимметричная область, заключенная между внутренней поверхностью корпуса и поверхностью ротора (рис.1.1). Длинна H=a+L+b области вдоль оси z многократно превышает радиус внешнего цилиндра R и длину волны поверхностей (H >> R, H >> ). Область заполнена несжимаемой вязкой жидкостью. Вращение ротора с угловой скоростью вызывает движение жидкости в области. Математическая модель течения жидкости строится в рамках осесимметричных стационарных уравнений Навье-Стокса. Жидкость считается несжимаемой, ее вязкость постоянна, а поле течения – изотермическое. Давление может быть представлено в следующей форме P = P0 + (R)2[P(r, z) - Gz] (1.3) Здесь P0=const, а функция P(r,z) остается ограниченной при неограниченном увеличении длинны области H (рис.1.1). При сделанных предположениях, система уравнений движения жидкости может быть представлена в безразмерном виде:

u u P v + u = G - + 2u r z z Re v v w P 1 v v + u - = - + [2v - ] r z r r Re r w w vw 1 w (1.4) v + u + = [2w - ] r z r Re r (rv) (ru) + = r z 2 1 2 = + + r r r zЗдесь v, w, u – радиальная, окружная и осевая компоненты скорости жидкости. Граничные условия для v, w, u есть условия прилипания на твердых стенках области. На поверхностях ротора и корпуса:

r=R1(z): u=v=0, w= R1(z), r=R2(z) : u=v=w=0 (1.5) В краевых сечениях А, В: z=ZA, z=ZB : u=v=w=0 (1.6) Кроме этого нужно задать величину давления в одной произвольной точке внутри области P'(0, R (0)) = P0 или P(0, R (0)) = 0 (1.7) 2 Исходя из классической постановки задачи о движении несжимаемой жидкости (1.4-1.6), сформулирована задача поиска стационарных периодических решений в главной части L>>1 рассматриваемой области (рис.1.1), которая состоит из: представления функции давления в форме (1.3), системы уравнений (1.4), граничных условий (1.5), фиксации давления (1.7), условий периодичности по z c периодом, равным длине волны поверхности ротора (или целому их числу =m) и замыкающего уравнения фиксирующего интегральный осевой расход.

R Q = 2 u(r,z)rdr = 0 (1.8) RВ диссертации установлено, что при условии непротекания жидкости на бесконечно удаленных концах А,В (рис.1.1), априорно задаваемым параметром является нулевой расход (1.8), а градиент давления G - зависимый параметр, один из компонентов искомого решения.

Для преобразования сложной формы области течения (в плоскости r,z) к прямоугольной полосе введена следующая замена переменных:

r - R1(z) {r,, z} {y,, x}, x = z, y = (1.9) [R (z) - R1(z)] По координате x (или z) принято условие периодичности всех функций с периодом =2/s (s – главное волновое число) и функции системы (1.4) представлены в виде рядов Фурье u Un (y) v = Vn (y) exp(insx) (1.10) n=- w Wn (y) P P (y) n Предполагая достаточную гладкость функций u,v, w, P по продольной координате х, в рядах (1.10) взято конечное число членов N>>1. Далее подстановка (1.10) в (1.4) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для комплексных амплитуд гармоник. Система ОДУ решалась конечно-разностным методом, в котором аппроксимация производных выполнена по схеме центральных разностей второго порядка точности. Решение нелинейной алгебраической системы конечно-разностных уравнений производилось модифицированным методом Ньютона.

Раздел 1.3 посвящен анализу результатов экспериментальных и расчетнотеоретических исследований. Продемонстрировано хорошее соответствие результатов экспериментальных и численных исследований для стационарных режимов течения в широком диапазоне изменения числа Тейлора.

Установлено, что в отличие от классического течения Тейлора, модифицированное течение Тейлора, даже при малых числах T<<1, является трехмерным и осесимметричным. Оно имеет фиксированный пространственный период равный или кратный длине волны поверхности ротора . Стационарные режимы модифицированного течения Тейлора, как правило, сохраняют устойчивость в большем диапазоне чисел Т чем классическое течение Тейлора. При малых и умеренных величинах числа Тейлора стационарные вихревые структуры повторяют симметрию области течения, если таковая имеется (рис.1.2).

bb2 R2=1 R1(z) а) r z б) Рис.1.2 Симметричное течение в области с геометрией WR5 при Т=210.5.

а) Визуализация поля течения r, z в эксперименте, б) расчет течения Тейлора WR5, линии тока в плоскости (r, z). 1- ротор, 2 - корпус.

Основное внимание всей главы-1 диссертации уделено неизвестному ранее явлению потери симметрии периодического вихревого течения, которое сопровождается самопроизвольным возникновением осевого градиента давления. В экспериментах асимметричные вихревые структуры трансформировались из симметричных вихрей после превышения некоторого критического числа Т*250. На рис. 1.3a приведена картина траекторий индикаторных частиц в плоскости лазерного ножа при Т=325. Видно, что симметрия вихрей сильно нарушена – их размеры отличаются в полтора раза (сравнить с рис.1.2). На рис.1.3б приведены результаты расчетов асимметричной моды вихревого течения. Совпадение расчетных линий тока и траекторий частиц-трассеров очень хорошее.

bb2 R2=1 R1(z) а) r z б) Рис.1.3 Асимметричное течение в области с геометрией WR5 при Т=325.3.

а) Визуализация поля течения r, z в эксперименте, б) расчет течения Тейлора WR5, линии тока в плоскости (r, z). 1- ротор, 2 - корпус.

Важнейшим свойством асимметричных течений является самоиндуцированный градиент давления, который существует при нулевом расходе (1.8). С целью проверки факта возникновения градиента давления, экспериментальная установка была дооснащена средствами измерения давления в двух точках отстоящих друг от друга на четыре длинны волны .

Испытания показали, что при скорости вращения соответствующей числу Т230 появляется и начинает быстро расти разность давления, которая при скорости вращения соответствующей Т=335 достигла расчетной величины P'=20.1 мм. На рис. 1.4 результаты этих испытаний приведены в безразмерном виде, вместе с расчетной кривой бифуркации возникновения самоиндуцированного градиента давления G(T). В экспериментах устойчивые стационарные асимметричные вихревые структуры реализуются до Т350.

Асимметричные решения обладают свойством непрерывной зависимости от параметров задачи. Расчеты показывают, что асимметричная ветвь существует в довольно широкой области варьирования амплитуды а1 и периода волнообразного ротора.

Q, 10G D 6 0.0. 2 0.T 0 150 250 350 4-0.--0.-Рис.1.4 Бифуркационная диаграмма для модифицированного течения Тейлора WR5. 1 - Детерминант матрицы Вронского (левая шкала), 2 - функция расхода Q(T) (правая шкала), 3 и 4 - самоиндуцированный градиент давления, положительная G+ и отрицательная G- ветви (правая шкала), 5экспериментальные величины G.

В разделе 1.4 проведен линейный анализ обнаруженной бифуркации, позволивший получить точное критическое число Тейлора T*, указать причину возникновения и роль осевого градиента давления G, прояснить структуру и свойства ответвляющихся решений.

Пусть границы области течения обладают свойством симметрии R1(z) = R1(-z), R (z) = R (-z). С учетом периодичности поверхностей 2 ротора и корпуса (1.4), это приводит к действительному виду коэффициентов Фурье An = A-n = real, Bn = B-n = real (1.11) При сделанных предположениях у системы (1.4) имеются, так называемые, симметричные решения вида:

u(r, z) = -u(r,-z), v(r, z) = v(r,-z) (1.12) w(r, z) = w(r,-z), P(r, z) = P(r,-z) Предположим, что при некотором значении Т* в системе происходит бифуркация и в локальной окрестности симметричного решения (1.12) появляется новое асимметричное решение. Если бифуркация закритическая, то при (Т-Т*)<<1 ответвляющееся решение отличается от симметричного на малые величины. Далее система амплитудных уравнений линеаризуется на базе симметричного решения и из нее выделяется линейная подсистема относительно вектора асимметричных возмущений, коэффициенты которой зависят от компонент симметричного решения. В правой части этой системы имеется один неопределенный параметр – градиент давления G. Если предположить, что G=0 и его введение при отсутствии внешнего нагнетания жидкости было излишним, то получится однородная краевая задача на собственные значения параметра Т*. Хорошо известно, что необходимым условием существования нетривиальных решений однородной краевой задачи является обнуление детерминанта (D) матрицы Вронского. Матрица Вронского была численно найдена и обнаружено, что ее детерминант нигде не меняет знак и при всех исследованных параметрах остается существенной величиной (рис.1.4). Это означает, что при всех числах Т (в том числе и при Т250) в локальной окрестности симметричной ветви (1.12) у линеаризованной системы амплитудных уравнений с G=0 не существует других решений кроме симметричного. Но эксперимент и численные расчеты по полной нелинейной системе дают бифуркацию. Следовательно, необходимо рассмотреть случай G0, либо признать бифуркацию нелокальной.

Предположим первое и, пользуясь линейностью системы для возмущений, избавимся от неизвестного параметра G0 путем деления на него всех уравнений и приняв новый вектор неизвестных в виде (y) u (y) n n n (y) = vn (y) (1.13) G n (y) w (y) n n (y) g (y) n В результате получим линейную неоднородную систему относительно (1.13) с однородными граничными условиями. Расчеты показали, что детерминант матрицы Вронского для этой системы не имеет нулей (рис.1.4) и, следовательно, неоднородная краевая задача имеет единственное решение при всех значениях параметров. Однако для исходной задачи (1.4) это будет только потенциальное асимметричное решение. Поскольку любое истинное решение должно удовлетворять еще и условию нулевого расхода вдоль оси z (1.8). В точке Т=T*, где функция (1.8) проходит через нуль, потенциальное решение (1.13) совместимо с граничными условиями непротекания на удаленных концах A и B области (рис.1.1). Поэтому только в этой точке Т* может родиться асимметричное решение и самоиндуцированный градиент давления G. Причем из (1.13) и единственности решения неоднородной краевой задачи следует, что в системе рождается сразу два асимметричных решения с противоположными направлениями градиента давления G+ и G-. Расчеты показали, что для всех исследованных форм геометрии области функция Q(T) (1.8) не является тривиальной и проходит через нуль в единственной точке диапазона Т<600. В частности для ротора WR5, бифуркация потери симметрии происходит в точке Т*=247.72 (рис.1.4).

Раздел 1.5 посвящен инженерному приложению результатов исследований подобного рода вихревых течений в промышленных устройствах. Автором предложена новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, в которой основные элементы смесителя - ротор и корпус имеют осесимметричную, периодическую по оси вращения z (волнообразную) форму, а процесс смешивания компонент многофазной жидкой среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки.

Рис. 1.5 Одноблочный вариант смесителя: 1 - ротор, 2 - корпус.

Показано, что, по сравнению с существующим прототипом, заданный уровень однородности распределения примеси в новом устройстве достигается при существенно меньших затратах удельной мощности. Предложены два варианта конструкции смесителя для технического воплощения новой концепции смешивания (рис.1.5) и разработана конструкция лабораторного стенда для экспериментальной отработки новой концепции смешивания.

Основные положения новой концепции смешивания защищены патентом РФ № 2186615 “Роторный смеситель для жидких сред”. Изобретение относится к устройствам для перемешивания различных жидких сред, диспергирования и гомогенизации жидкостей в виде суспензий и эмульсий, для экстрагирования целевого компонента. Оно может быть использовано в химической, нефтеперерабатывающей, лакокрасочной, пищевой, микробиологической отраслях промышленности, а также в ядерной энергетике.

Главы 2 и 3.

В гидродинамике имеется значительное количество важных для теории и практики примеров, где протяженность области течения в одном из направлений во много раз превышает характерные размеры по другим направлениям и в этом направлении внешние условия с высокой точностью однородны. И тогда, для описания всего поля течения, часто применяют периодическое продолжение решений, полученных на ограниченном отрезке - периоде (длине волны ). Однако принцип периодичности слишком примитивен для адекватного представления ограниченных решений уравнений механики жидкости или газа в неограниченной области. В этом смысле квазипериодические функции являются более общим средством описания нефинитного поведения физических явлений во времени и пространстве неограниченной протяженности.

Одна из первых попыток поиска квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса была предпринята в работах проф. Герценштейна С.Я., где в плоском вращающемся слое рассмотрена эволюция по времени начального возмущения, состоящего из двух мод с иррациональным отношением периодов. В данной диссертации, на новом этапе исследований, было важно и интересно понять, как квазипериодическая форма условий на границах области отражается на предельной структуре вихревого течения жидкости.

Цель исследований главы 2 состоит в том, чтобы на примере конвекции жидкости в плоском горизонтальном слое, получить стационарное квазипериодическое течение, индуцированное квазипериодическим распределением температуры на границах.

В разделе 2.1 сформулирована постановка задачи и построена математическая модель течения. В приближении Буссинеска, рассматривается конвекция вязкой (вязкость ) и теплопроводной (теплопроводность ) жидкости в двумерной области (слое), имеющей бесконечную протяженность по координате х и ограниченной по координате у горизонтальными прямыми (плоскостями) расположенными на расстоянии h. Плотность жидкости линейно зависит от температуры = 0[1 - (T - T0 )] (2.1) где 0 – плотность при некоторой базовой температуре T0. На твердых поверхностях y=0 и y=h для скорости ставятся условия прилипания, а для температуры - ее значения Т1 и Т2, которые могут быть функциями координаты х. Давление внутри области может быть представлено в виде градиентного члена и ограниченной функции : P'= P(x, y) - G' x. Для приведения уравнений к безразмерному виду геометрические размеры нормируются на зазор слоя h, температура на средний перепад SТ между нижней и верхней поверхностями, давление на масштаб Sp, скорость на масштаб SV, время на масштаб St.

ST = Lim L(T'1-T'2 )dx ;

L L 0gSTh SV = ; SP = 0gSTh ; St = 0h 0gSTh3 G' c Gr = Re = ; G = ; Pr = (2.2) 0gST Основным параметром, определяющим режимы конвекции является число Грасгофа Gr, которое при выбранном масштабе скорости (2.2) равно формальному числу Рейнольдса Re. Далее используются только безразмерные величины и число Re в качестве управляющего параметра. В итоге система уравнений конвекции примет вид.

u u u P 2u u + Re[u + v ] = G - + + t x y x x yv v v P 2v 2v + Re[u + v ] = T - + + t x y y x y (2.3) T T T 2T T Pr + Pr Re[u + v ] = + t x y x yu v + = x y С граничными условиями y=0: u=v=0 ; T=T1(x) ; y=1: u=v=0 ; T=T2(x) ; P(0,1)=0 (2.4) Система (2.3) в бесконечном по координате х слое может иметь различные решения. Мы будем рассматривать стационарные режимы конвекции с нефинитным поведением решений по координате х. Известно три класса ограниченных решений с нефинитным поведением: периодические, равномерные квазипериодические и хаотические режимы течения.

Периодические режимы течения известны хорошо и постоянно используются для представления решений в протяженных областях. Квазипериодический режим течения есть первый пример действительно нетривиального поведения ограниченного решения в неограниченной области. Поэтому главная задача этой работы – поиск и исследование квазипериодических течений. Однако, для полноты картины, необходимо рассмотреть и периодическую конвекцию.

В разделе 2.2 рассмотрены стационарные периодические режимы конвекции.

Пусть зависимости температуры на ограничивающих слой плоскостях Т1(x) и Т2(x) являются непрерывными периодическими функциями с одинаковым периодом =2/S. Эти функции представимы в виде сходящихся рядов Фурье T1(x) = An exp(inSx), T2 (x) = Bn exp(inSx) (2.5) n=- n=- Если хотя бы одна из граничных функций Т1(x), Т2(x) не константа, то в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0

Раздел 2.3 посвящен поиску и исследованию стационарных квазипериодических режимов конвекции. Пусть изменение температуры на ограничивающих слой плоскостях Т1(x) и Т2(x) описывается равномерными квазипериодическими функциями с линейно-независимым базисом своих показателей Фурье s1, s2 где отношение главных волновых чисел есть иррациональное число 2 2 s1 s1 = ; s2 = ; = = ;Sn,m = ns1 + ms2 где n, m - целые (2.7) 1 2 s2 Согласно известным теоремам, квазипериодические функции Т1(x) и Т2(x) представимы в виде абсолютно сходящихся двойных (кратных) рядов Фурье N M T1(x) = An,m exp(ixSn,m ), Т2(x)-аналогично. (2.8) n=-N m=-M Коэффициенты Фурье имеют вид < T1 >n,m = An,m = Lim L T1(x)exp(-ixSn,m )dx, для <Т2>n,m L L аналогично. Согласно выбору масштабов (2.2) A0,0=1, B0,0=0.

Предположим, что в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0

& dUn,m - S2,mUn,m - iSn,mPn,m = n dy (2.11) i & = Re Sn,mUk, jUn-k,m- j + Uk, jVn-k,m- j k=- j=- dPn,m & + iSn,mUn,m + S2,mVn,m - Tn,m = n dy (2.12) = Re [iSk, j(Uk, jVn-k,m- j - Vk, jUn-k,m- j)]= k=- j=- & dTn,m & - S2,mTn,m = Re Pr [iSk, jTk, jUn-k,m- j + Tk, jVn-k,m- j] (2.13) n dy k=- j=- dVn,m + iSn,mUn,m = 0 (2.14) dy Блок для нулевых гармоник n=m=0 имеет вид:

& dU0,& + G = 2Re real(Uk, jV-k,- j) dy k=0j= (2.15) & dT0,& = 2 Re Pr [real(Tk, jV-k,- j) - Sk, j Im(Tk, jU-k,- j)] dy k=0j=Граничные условия y=0: Un,m= Vn,m =0 ; Tn,m = An,m ; y=1: Un,m= Vn,m =0 ; Tn,m = Bn,m (2.16) Из уравнения неразрывности и граничных условий следует что V0,0 0.

Уравнение для нулевой гармоники давления P0,0 может быть решено отдельно, после получения решений системы (2.10)-(2.15). Отметим, что для квазипериодических режимов с K-мерным линейно-независимым базисом показателей Фурье Sn,m,...k = ns1 + ms2 +...+ ksK система уравнений сохранит вид (2.10)-(2.15) с заменой двукратного суммирования на K-кратное.

В диссертации аналитически показано, что при Re=0 возможно только вынужденное граничными условиями стационарное периодическое или квазипериодическое решение системы амплитудных уравнений (2.10)-(2.15) и оно единственно. Если граничные условия для некоторой гармоники нулевые An,m=Bn,m=0, то эта гармоника отсутствует в решении.

Для того, чтобы систему (2.10)-(2.15) можно было решить при произвольном Re>0, необходимо ограничить число ее уравнений, ограничив порядки гармоник некоторыми предельными числами |n|N, |m|M. В отличие от периодических решений, здесь необходимо предположить, что члены рядов (2.8) и (2.9) достаточно быстро убывают при возрастании порядков гармоник n, m, независимо от величины соответствующего волнового числа Sn,m. Краевая задача для системы (2.10)-(2.15) решалась конечноразностным методом с использованием полностью неявной схемы центральных разностей второго порядка точности. В расчетах число учитываемых гармоник по каждой компоненте варьировалось от N=M=4 до N=M=8. При наибольших N=M=8 число одновременно решаемых уравнений системы (2.10)-(2.15) составляло 1192. По вертикальной координате проводилось равномерное разбиение на 50, 100 шагов.

В качестве примера рассмотрим стационарные режимы конвекции в слое, на нижней границе которого задано косинусоидальное распределение температуры Т1(x) с периодом 1=2 и амплитудой Фурье A1,0=0.1, а на верхней границе - косинусоидальное распределение температуры Т2(x) с периодом 2=22 и амплитудой B0,1=0.1 (граничные условия QW1). Результаты расчетов квазипериодических режимов конвекции для чисел Re=[100 ; 600] приведены на рис.2.1.

y x а) y 4 x б) Рис.2.1 Линии тока квазипериодической конвекции для граничных условий QW1 при а)Re=100, б) Re=600.

На рис. 2.2 приведены спектры теплового потока на нижней стенке канала для различных чисел Re. Поскольку в граничных условиях для температуры присутствуют только две гармоники (n,m)=(1,0) и (n,m)=(0,1), то при Re=никаких других гармоник не возбуждается. При Re>>1 квадратичная нелинейность уравнений (2.10)-(2.15) производит гармоники со всеми комбинациями целых чисел (n,m), однако до Re300 все они не превосходят 0.01 то есть существенно меньше тех двух гармоник, которые заданны граничными условиями. При Re=300 лидирующая группа состоит уже из пяти гармоник, а при Re=600 число значимых гармоник (амплитуды которых составляют более 0.01) достигает семнадцати (рис. 2.2).

S/S& Tn,mLgA0 02y= Re=Re=3Re=60.0.000.0000Рис.2.2 Спектр теплового потока на нижней стенке канала при разных Re (граничные условия QW1).

Зависимость числа Нуссельта, осредненного по всей длине слоя, от числа Re показана на рис.2.3 (кривая-1). Для сравнения, на этом же рисунке помещены кривые Nu(Re), полученные для периодических режимов конвекции с теми же периодами и амплитудами, как и в квазипериодическом случае QW1.

Из рис.2.3 видно, что в случае периодической конвекции, тепловой поток очень сильно зависит от взаимного сдвига фазы между функциями Т1(x) и Т2(x). А для квазипериодического режима получена единая кривая Nu(Re), для любых величин сдвига фазы, хотя картина течения, безусловно, зависит от . Такой консерватизм средних характеристик является одним из фундаментальных свойств квазипериодических течений. В главе 2 рассмотрены также квазипериодические течения, индуцированные более сложными функциями Т1(x) и Т2(x), каждая из которых образована пятью гармониками (рис.2.кривая-2).

Nu 1.1.0400 8Re Рис.2.3 Число Нуссельта в зависимости от Re. 1, 2 - квазипериодические режимы QW1 и QW5; 3, 4, 5, 6 - периодические режимы с 1=2 ; 7 - периодический режим с 2=22.

Глава 3 посвящена поиску и исследованию стационарных квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса, индуцированных квазипериодической формой границ двумерной области течения. Прикладной задачей работы является попытка применить принцип пространственной квазипериодичности для моделирования течений в тонких слоях со сложной геометрией границ - фрактальных слоях и других видах пористых сред.

В разделе 3.1 сформулирована постановка задачи и построена математическая модель течения. Рассматривается двумерное стационарное течение жидкости в двумерной области (рис.3.1) бесконечной протяженности по координате х и ограниченной по координате у криволинейными поверхностями y'1(x) и y'2(x) (штрихом обозначены размерные величины).

Предполагается, что функции y'1(x) и y'2(x) и их первые производные непрерывны и ограничены на всей действительной оси, а зазор ' между поверхностями слоя никогда не исчезает. '(x) = y'2 (x) - y'1 (x) > 0 ;

< '>= Lim L'dx = h (3.1.1) 0 L L y' 2 yhV 048 12 x 8h y1 12h -1 4h x' Рис.3.1 Фрагмент 2D слоя и система координат.

Плотность и вязкость жидкости - постоянные. Течение в слое вызвано приложенным из вне градиентом давления, средняя величина которого равна:

P'(x, y) - P'(x + L, y) G = Lim = const (3.1.2) L L Для приведения уравнений Навье-Стокса к безразмерному виду геометрические размеры нормируются на средний зазор в слое h и подходящим образом выбранные масштабы давления и скорости. Без ограничения общности давление может быть представлено в виде градиентного члена и ограниченной функции P'= Gh[P(x, y) - x]. В итоге система уравнений НавьеСтокса примет следующий вид:

u u P 2u 2u Re[u x + v y] =12(1 - ) + ( 2 + ) x x y v v P 2v 2v Re[u + v ] = -12 + ( + ) (3.1.3) x y y x y u v + = x y Svh Ghгде Re = = (3.1.4) 12На твердых поверхностях y1(x) и y2(x) ставятся условия прилипания и в одной внутренней точке области фиксируется давление. Одной из важнейших характеристик течения является интегральный поток через поперечное сечение слоя.

yGhq = Svh udy = SvhQ = Q (3.1.5) 12 yГде Q - безразмерный поток, а его обратная величина R=1/Q есть безразмерный коэффициент сопротивления слоя. Масштабы выбраны так, что для слоя, ограниченного двумя параллельными плоскостями (течение Пуазейля) Q=R=1. Наряду с формальным числом Re (3.1.4) используется расходное число Рейнольдса Re*=QRe. С помощью замены переменных (x, y) (,) сложная внутренняя область слоя приводится к прямоугольной полосе - < < +, 01.

= x = y - y1(x) y - y1(x) (3.1.6) = [y2 (x) - y1(x)] (x) После замены (3.1.6) система уравнений Навье-Стокса (3.1.3) примет соответствующий вид в криволинейных координатах , (см. раздел 3.диссертации).

В разделе 3.2 рассмотрены стационарные периодические течения в области с периодической формой границ. Пусть поверхности ограничивающие слой являются периодическими функциями с одинаковым периодом =2/s.Эти функции представимы в виде сходящихся рядов Фурье.

y1() = Anlins, y2 () = Bnlins, () = Cnlins (3.2.1) n=- n=- n=- Тогда, в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0Re*

u(, ) = U()n lisn, где U()n = u(,)l-isnd (3.2.2) n=- Остальные компоненты v, P решения имеют аналогичное представление.

Подстановка (3.2.1) и (3.2.1) систему (3.1.3) дает бесконечную систему зацепляющихся ОДУ относительно комплексных амплитуд гармоник (см.

раздел 3.2 диссертации), где все члены представляются в явном виде через коэффициенты Фурье (3.2.1) и (3.2.1).

Краевая задача для системы ОДУ относительно комплексных амплитуд гармоник решалась конечно-разностным методом с использованием полностью неявной схемы центральных разностей второго порядка точности. В расчетах число учитываемых гармоник по каждой компоненте варьировалось от N=10 до N=70, причем установлено, что во всех исследованных случаях достаточно N=15. По вертикальной координате проводилось равномерное разбиение на 50, 100 шагов.

С целью последующего сравнения периодических и квазипериодических решений, были выполнены расчеты течения в слое с гармонической формой поверхностей y1(x) и y2(x). Рассмотрено два значения длины волны 1=2 и 2=22=2.828427… с амплитудой гармоник A1=B1= 0.12205. Расчеты показали, что при Re=0 линии тока отслеживают форму поверхностей канала.

Приблизительно при Re*=20 на стенке появляются отрывы потока и возникают периодические вихревые структуры, которые при дальнейшем увеличении Re* расширяются и занимают почти весь объем каверн, оставляя потоку лишь среднюю часть канала. Как можно было предположить, картина течения и величина коэффициента сопротивления R сильно зависят от фазового сдвига dX между верхней и нижней границами слоя, причем минимальное сопротивление имеет канал с одинаковой фазой волн поверхностей, а максимальное когда волны в противофазе. Увеличение числа Re* приводит к монотонному возрастанию R(Re*), причем всегда R>1.

В разделе 3.3 построен метод расчета и проведено исследование стационарных квазипериодических течений, индуцированных квазипериодической формой границ области. Пусть ограничивающие слой поверхности y1(x) и y2(x) являются равномерными квазипериодическими функциями с линейно-независимым базисом своих показателей Фурье (волновых чисел). Sn,m = ns1 + ms2, где n, m - целые, 2 2 s1 s1 = ; s2 = ; = = - иррациональное число. (3.3.1) 1 2 s2 Тогда, согласно известным теоремам, квазипериодические функции y1(x) и y2(x) представимы в виде двойных рядов Фурье.

N M N M n,m n,m y1() = An,mliS, y2 () = Bn,mliS, (3.3.2) n=-N m=-M n=-N m=-M N M n,m () = Cn,mliS, где Cn,m= Bn,m - An,m n=-N m=-M Коэффициенты Фурье имеют следующее представление:

n,m < y1 >n,m = An,m = Lim L y1()l-iS d, n,m - аналогично. (3.3.3) L L Максимальные порядки N, M членов в рядах (3.3.2) могут быть конечными или даже бесконечными, поскольку при сделанных предположениях, двойные ряды Фурье абсолютно сходятся к функциям y1(x), y2(x) на всей действительной оси х.

Предположим, что в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0Re*

n,m u(, ) = U()n,m liS (3.3.4) n=- m=- Функции u, p и их коэффициенты Фурье Vn,m, Pn,m имеют аналогичное представление.

Подстановка (3.3.2) и (3.3.4) в (3.1.3) дает, с учетом замены переменных (3.1.6), систему ОДУ относительно комплексных амплитуд гармоник, все члены которой представляются в явном виде через коэффициенты Фурье (3.3.2) и (3.3.4). Амплитудная система состоит из бесконечного числа зацепляющихся блоков уравнений, каждый из которых соответствует паре номеров (n, m) и состоит из Фурье-образов уравнений неразрывности, x-импульса и у-импульса (см. раздел 3.3 диссертации). Нелинейные члены завязывают между собой блоки гармоник с разными номерами.

Для того, чтобы эту систему можно было решить, необходимо ограничить число ее уравнений, ограничив порядки гармоник некоторыми предельными числами |n|N, |m|M. Здесь, также как и в задаче о квазипериодических режимах конвекции (см. раздел 2), в дополнение к свойству абсолютной сходимости рядов (3.3.2), (3.3.4), необходимо предположить, что члены этих рядов достаточно быстро убывают при возрастании порядков гармоник n, m, независимо от величины соответствующего волнового числа Sn,m. Краевая задача для системы ОДУ решалась конечно-разностным методом с использованием полностью неявной схемы центральных разностей второго порядка точности. В расчетах число учитываемых гармоник по каждой компоненте варьировалось от N=M=4 до N=M=9. При наибольших N=M=число одновременно решаемых уравнений системы составляло 1085. По вертикальной координате проводилось равномерное разбиение на 50, 1шагов. Полученная в результате дискретизации нелинейная алгебраическая система решалась модифицированным методом Ньютона. При написании программ активно использовалась "Библиотека программ для решения задач механики сплошной среды" разработанная в НИО-8 ЦАГИ.

Рассмотрим результаты расчетов для слоя напоминающего нерегулярную фрактальную форму (обозначение - QG5V) (рис.3.1, 3.4). Здесь каждая из поверхностей образована пятью гармониками. Квазипериодические границы слоя y1(x), y2(x) и все функции входящие в систему (3.1.6) имеют единый линейно независимый базис главных волновых чисел (3.3.5).

Sn,m = ns1 + ms2 : где n, m - целые 2 2 s1 s1 = ; s2 = ; = = 2 (3.3.5) 2 s2 2 Линии тока полученного квазипериодического решения показаны на рис.3.4 для чисел Re0 и Re*=151. Видно, что при Re0 линии тока строго следуют форме границ слоя. Начиная примерно с Re*=10 появляется заметное искажение линий тока, а при Re*40 в каждой каверне возникает отрыв потока и вихревое течение. Основной поток спрямляется и концентрируется в середине канала. Появление вихрей приводит к возрастанию диссипативных потерь и полного сопротивления канала. Кривая возрастания коэффициента сопротивления канала R при увеличении числа Re* приведена на рис.3.5.

Видно, что при малых Re*<15 коэффициент сопротивления R возрастает примерно по квадратичному закону, следовательно само сопротивление растет (Re*)3, что полностью согласуется с результатами работы [3.6], где кубическая зависимость сопротивления получена методом асимптотических разложений. В диапазоне 802000.

Несмотря на то, что в спектрах граничных функций y1(x), y2(x) имеется всего 5 гармоник, в спектрах полученных решений сохранялось более сотни гармоник по каждой компоненте, причем ведущая группа состоит примерно из 25 гармоник, амплитуды которых существенны и сопоставимы друг с другом.

y X а y 0 X б Рис.3.4 Линии тока квазипериодического течения в слое QG5V:

a - Re*0, Q=0.4415 ; б - Re*=151, Q=0.2492.

R 3.2.0 40 80 120 1Re* Рис.3.5 Коэффициент сопротивления канала R в функции числа Re*.

Таким образом результаты расчетов показывают, что квазипериодические течения имеют более сложную пространственную структуру чем породившая их форма границ слоя. Навязывание единого базиса волновых чисел (3.3.1) оказывается не очень жестким ограничением, и (особенно при повышенных Re*>80) жидкость проявляет свой "характер" путем значительного усиления или даже генерации тех гармоник, которые не присутствуют явно в геометрии слоя. Например, комбинационная гармоника S2,-3 с длинным периодом 2,-3=16.485, которой нет в геометрии слоя и которая при Re=0 тоже практически нулевая (амплитуда 0.003), при Re*=151 достигает величины 0.18 и существенно определяет поведение течения. Полученные результаты позволяют рекомендовать квазипериодические решения уравнений НавьеСтокса в качестве модели течения жидкой среды в тонких слоях со сложной геометрией границ и пористых структурах.

Особый механизм вихреобразования имеется в сжимаемых сверхзвуковых течениях. Хорошо известно (см., например работы Майкапара Г.И.), что даже невязкий газ при прохождении искривленного фронта ударной волны приобретает завихренность в силу условий Рэнкина-Гюгонио.

В главе 4, в диапазоне больших сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей, исследуется проблема возникновения периодических вихревых структур на лобовой поверхности тела с цилиндрическим затуплением, расположенного перпендикулярно набегающему потоку. В несжимаемой жидкости и дозвуковом потоке сжимаемого газа подобное явление хорошо известно и обычно ассоциируется с вихрями Гертлера. В работах Гольдштейна М. Е. и Устинова М. В. показано, что причиной разрушения двумерной моды обтекания и появления 3х мерных вихревых структур, периодических вдоль трансверсальной координаты z, является деформация и значительное усиление малых вихревых возмущений, приходящих из внешнего потока. При больших числах M>>1, появление пространственно-периодических вихрей в ударном слое между головным скачком уплотнения и поверхностью обтекаемого тела вызывает значительные колебания распределения температуры и теплового потока на теле. Научно-техническая актуальность этой проблемы определяется тем, что передние кромки крыльев и воздухозаборников всех гиперзвуковых летательных аппаратов представляют собой затупленные тела типа цилиндра, и именно здесь реализуется наибольший уровень теплового нагружения.

Глава 4 начинается разделом 4.1, где приведены основные экспериментальные результаты других авторов и дано описание целевых экспериментов, выполненных автором в ЦАГИ в коллективе сотрудников под руководством профессора Борового В.Я.

В экспериментальных исследованиях, проведенных при умеренных и больших числах Re, на лобовой поверхности цилиндра обнаружены пики теплового потока, значительно превышающие тепловой поток qo в передней критической точке при плоской (двумерной) моде обтекания. Например в работе Лапиной Н. Г. и Башкина В. А. (ЦАГИ) приведены результаты экспериментальных исследований структуры течения и распределения теплового потока на лобовой поверхности цилиндра при его поперечном обтекании со сверх и гиперзвуковыми скоростями (М=3, 5, 6). Характерной особенностью полученных картин предельных линий тока является их пространственная периодичность вдоль линии растекания. Такая же периодичность имела место и при анализе распределения теплового потока, амплитуда колебаний которого достигала ±25% и выше. В ЦАГИ за период 1980-1995 гг коллективом под руководством Борового В.Я. исследован теплообмен на модели цилиндра с углами скольжения от =0 до =750 при числах Маха 6, 8 и 15.5. Тепловой поток измерялся с помощью термоиндикаторных покрытий и дискретными датчиками, установленными вдоль линии растекания цилиндра. Некоторые результаты, полученные Боровым В.Я. (с коллегами) в аэродинамической трубе при М=6 Re=7.91приведены на рис. 4.1. Последовательность фотографий лобовой поверхности модели цилиндра, покрытой термоиндикатором плавления, демонстрирует, как в начале проявляются узкие линии пиковых значений теплового потока q/qo=1.76, которые расширяются со временем обратно пропорционально местному тепловому потоку. Интересно, что подобные вихревые структуры регистрируются не всегда. Авторы высказывают предположение, что периодическая структура теплового потока может определяться вихрями Гертлера или быть вызвана неоднородностью набегающего потока.

t=1 ms, q/qo=1.76 t=2 ms, q/qo=1.t=t=3 ms, q/qo=t=4 ms, q/qo=0.t=6 ms, q/qo=0.Рис.4.1 Динамика плавления термоиндикатора и тепловой поток на лобовой поверхности цилиндра. Эксперимент при M=6, L/R=5.7, Re=7.9105.

В 2003 году коллективом Боровой В.Я, Дроздов С.М. Струминская И.В., Ларин Н.Б. выполнено экспериментальное исследование распределения теплового потока на лобовой поверхности цилиндра в гиперзвуковом потоке.

Испытания проведены в ударной трубе ЦАГИ УТ-1М при числе М=6.1 в диапазоне чисел Re =[0.49 - 3.3]105 с моделью цилиндра (радиус R=15мм.), оснащенной 85 датчиками теплового потока, установленными на линии растекания с высоким пространственным разрешением (1мм). Исследования показали, что на лобовой поверхности цилиндра образуется стационарная картина пространственных колебаний теплового потока с амплитудой до ±20% от средней величины и характерным периодом примерно равным радиусу цилиндра R. Некоторые результаты этих испытаний представлены на рис.4.2 в виде зависимости от координаты z/R (z направлена вдоль линии растекания) величины теплового потока отнесенной к qo. Наиболее интенсивная и ярко выраженная волновая картина распределения теплового потока имеет место при средних числах Re 1.7105.

q/qo 1.z/R 0.-4 -2 0 2 Рис. 4.2. Распределение теплового потока Q=q/qo на передней линии растекания цилиндра. Эксперимент при М=6.1, Re 1.71Если кратко обобщить экспериментальные результаты, то можно утверждать, что в широком диапазоне сверхзвуковых и гиперзвуковых режимов поперечного обтекания цилиндра, при достаточно больших числах Re, картина линий тока и распределение теплового потока существенно не однородны вдоль лобовой линии растекания. То есть плоская (двумерная) мода течения либо не реализуется, либо искажена пространственными возмущениями, которые значительно усиливаются при обтекании цилиндра.

В разделе 4.2 рассмотрены основные механизмы образования вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра: I - внешнее возбуждение вихревых структур, вызванное пространственной неоднородностью набегающего потока или граничных условий на обтекаемом теле, II - внутреннее возбуждение вихревых структур, обусловленное развитием поперечной неустойчивости потока в области передней критической точки, III - самогенерация периодических по размаху вихревых структур при однородных внешних условиях, вызванная сильным взаимодействием ударной волны с вихревым течением в ударном слое.

Механизм-I представляет собой известный эффект деформации и значительного усиления малых вихревых возмущений при обтекании затупленной поверхности. В диссертации его исследование основано на решении задачи восприимчивости, с тем отличием, что рассматривается вся область течения (а не только пограничный слой) и ищутся установившиеся нелинейные вихревые структуры.

В большинстве известных работ механизм образования пространственных вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра связывают с каким либо видом неустойчивости плоской моды обтекания (т.е. с механизмом-II).

Например, в пограничном слое, вниз по потоку от линии растекания может развиться неустойчивость Гертлера. Однако, при сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях, у такого теоретического объяснения имеются явные трудности. Прежде всего, это большой размер (период) вихрей в поперечном направлении (порядка 2–3 толщин ударного слоя). Кроме того при M>>неустойчивость Гертлера имеет место только в сравнительно малой окрестности передней точки торможения.

Механизм-III предложен автором и основан на сильном взаимодействии вихревых структур с головной ударной волной, приводящем к периодическому искривлению ее формы, что в свою очередь, служит энергетической подпиткой для вихрей.

В разделе 4.3 излагается и обосновывается теоретическая база нового подхода к рассмотрению проблемы вихреобразования при гиперзвуковом обтекании затупленных тел. С целью обоснования предложенного механизмаIII, автором разработан и программно реализован расчетно-теоретический метод исследования течения вблизи лобовой поверхности тела с цилиндрическим затуплением. Метод основан на трехмерных уравнениях Навье-Стокса, при использовании некоторых упрощающих предположений, характерных для гиперзвуковых течений: толщина ударного слоя мала по сравнению с радиусом затупления тела R, форма отошедшей ударной волны близка к форме лобовой поверхности тела, отношение удельных теплоемкостей газа близко к 1, плотность газа const за ударной волной в малом секторе в окрестности плоскости симметрии цилиндра (плоскость проходящая через ось цилиндра параллельно вектору скорости набегающего потока). В цилиндрической системе координат (r,,z) с центром на оси цилиндра z, рассматривается гиперзвуковое поперечное обтекание цилиндрического тела с характерным радиусом затупления лобовой поверхности R. Предположим, что в некотором диапазоне параметров (M>>1, Re>>1), вблизи лобовой поверхности цилиндра установилось стационарное вихревое течение, периодическое вдоль оси цилиндра. Пусть профиль сечения ударной волны плоскостью растекания описывается функцией R2(z) - радиус отошедшей волны (рис.4.3). Тогда местный угол между направлением набегающего потока и нормалью к поверхности волны будет определяться выражением:

dR tg() = (4.3.1) dz M>> r/R 1.(z) z/R 0.2 0.Рис.4.3. Структура вихревого потока на плоскости растекания между ударной волной (1) и передней кромкой затупленного тела (2) : расчет при Re=5000, =0.34R и Cp/Cv=1.2.

Суть новой гипотезы генерации вихревых структур такова: Из граничных условий Рэнкина-Гюгонио следует, что при М>>1 и 1.4 в лобовой области цилиндра, нормальная к ударной волне компонента вектора скорости набегающего потока уменьшается почти на порядок, а касательная компонента сохраняется. В результате, после прохождения ударной волны, поток приобретает сильную завихренность даже при небольшом искажении формы волны (рис.4.3). Кроме того, величина модуля скорости на линии тока, прошедшей через искривленную часть скачка, будет существенно превышать модуль скорости на линии тока прошедшей через скачок нормально. Если вязкая диссипация мала (Re>>1), то поток, взаимодействуя со стенкой, способен развернуться против набегающего течения и оттеснить ударную волну дальше от тела. При этом возникает вторая точка полного торможения между телом и скачком. В результате может установиться сбалансированное состояние, когда искривленная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму. Энергетическая подпитка такой вихревой системы осуществляется из-за разности потерь импульса (полного давления) у частиц газа, прошедших через скачок нормально и под некоторым, пусть даже небольшим, углом к нормали.

Проверим реализуемость данной гипотезы с помощью численного моделирования. Обезразмерим координаты (r,z) по величине R, а радиальную v, азимутальную w, и осевую u компоненты скорости по величине скорости набегающего потока V. Плотность и давление представим в виде:

( -1) = = << 1; P = PsMP(r, , z) (4.3.2) ( +1) s Если дополнительно предположить, что в малой окрестности линии растекания вязкость постоянна и равна некоторой средней вязкости s (например – вязкости при температуре за скачком Ts или температуре торможения T0 ), то система уравнений для течения газа в ударном слое примет следующий вид v w v v w P 1 v 2 w v + + u - = - + [2v - - ] r r z r r Re r2 r2 w w w w vw 1 P 1 w 2 v v + + u + = - + [2w - + ] (4.3.3) r r z r r Re r2 r u w u u P v + + u = - + 2u r r z z Re (rv) (ru) w + + = r z 2 1 1 2 Где 2 = + + +, Re - число Рейнольдса, r r r2 r2 2 zвычисленное по скорости набегающего потока и параметрам течения за ударной волной (в отличие от Re, которое определяется по параметрам набегающего потока).

sVR Re = = Re s (4.3.4) s s На поверхности цилиндра ставятся условия :

r = 1 : u = v = w =0. (4.3.5) При Re>>1 за ударной волной, которая в общем случае, тоже имеет волнообразную форму R2(z), выполняются условия Рэнкина-Гюгонио. В принятом предположении о совпадении формы ударной волны с формой лобовой поверхности тела, они принимают следующий безразмерный вид:

dR dR dR 2 2 s (v - u ) = - cos ; sin = w u + v = -cos ;

dz dz dz dR cos2 sP(1 + ) + = cos2 (4.3.6) dz s Система (4.3.3) с граничными условиями (4.3.5), (4.3.6) может рассматриваться только в окрестности плоскости растекания <<1. Причем из условий симметрии относительно этой плоскости, следует вид функциональной зависимости решений по углу :

v(r,,z)=V(r,z)+…+o(2k) ; w(r,,z)=W(r,z)+…+o(2k+1) (4.3.7) u(r,,z)=U(r,z)+…+o(2k) ; P(r,,z)=P(r,z)+ 2Q(r,z)+…+o(2k+2) Сохраняя в (4.3.3) члены главных порядков по получим:

V V P 1 V + 2W V + U = - + [V - ] r z r Re rW Q = r r W W W + WV 2Q 1 W (4.3.8) V + U + = - + [W - ] r z r r Re r U U P V + U = - + U r z z Re (rV) (rU) 2 1 + + W = 0 ; = + + r z r r r zЗаметим, что в представлении давления (4.3.7) необходимо сохранить член с 2. Иначе исчезает производная давления по , а с ней и причина, заставляющая газ растекаться по лобовой поверхности тела. Граничные условия на поверхности тела:

r =1 : U=V=W=0 (4.3.9) От гиперзвуковой природы исходного течения сжимаемого газа остаются только граничные условия за ударной волной r = R2(z):

dR dR dR 2 2 ; W = 1 ;

s (V - U ) = -1 U + V = - (4.3.10) dz dz dz 2 dR s -1 dR s -2 sP(1 + - = 0; sQ(1 + ) + = ) dz s dz s Изложенная выше модель течения (4.3.8) – (4.3.10) является квазитрехмерной, но в ней сохраняется возможность для описания сильного взаимодействия течения в ударном слое с головной волной – необходимого условия генерации вихревых структур. Такая модель заметно проще трехмерной системы Навье-Стокса, решение которой при больших числах Рейнольдса Re>104 представляет серьезную проблему, как с точки зрения математической корректности применяемых численных алгоритмов, так и с точки зрения достаточного пространственного разрешения сетки.

Для того, чтобы ограничить область интегрирования (4.3.3) ударной волной и поверхностью цилиндра введем новые переменные:

r - = z; = ; - < < 0 1 (4.3.11) [R (z) -1] Пусть течение в окрестности плоскости растекания на лобовой поверхности цилиндра периодическое по z с некоторым периодом =2/s.

Тогда радиус ударной волны и ее отход от тела тоже становятся периодическими функциями z, которые могут быть представлены сходящимися рядами Фурье:

R () = Bn exp(ins); () = R () -1 (4.3.12) 2 n=- Периодические решения (4.3.9) – (4.3.11) тоже могут быть представлены рядами Фурье:

U iUn () V Vn () W = Wn () exp(ins) (4.3.13) n=- P Pn () Q Q () n U0 () Подстановка (4.3.13) в (4.3.8) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд гармоник. Коэффициенты Фурье нелинейных членов представляются в явной аналитической форме.

Амплитудная система формально состоит из бесконечного числа блоков, каждый из которых, представляет баланс членов уравнений (4.3.8), соответствующих гармонике с номером n. Нелинейные члены завязывают блоки с различными n между собой. Предполагая достаточно быструю сходимость рядов Фурье, можно во всех рядах априори ограничиться конечным числом членов N>>1.

Решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье осуществлялось конечноразностным методом, в котором аппроксимация производных выполнена по схеме центральных разностей второго порядка точности. Решение нелинейной алгебраической системы конечно-разностных уравнений производилось модифицированным методом Ньютона. Все вычисления выполнялись с двойной точностью. Правильность расчетов проверялась по быстрой сходимости итераций в методе Ньютона, быстрой сходимости результатов при увеличении числа гармоник в рядах Фурье (4.3.13) и пренебрежимо малой погрешности интегрального баланса сил и моментов, действующих на один период течения. Основной объем расчетов произведен при следующем пространственном разрешении: число гармоник на один период N=30, число узлов сетки по радиальной координате - 201.

Результаты численных исследований показали, что при однородном поле набегающего потока, в окрестности плоскости растекания перед цилиндром постоянного радиуса r=1, из однородного по оси z начального приближения формируется только однородное по z течение, в котором все гармоники (4.3.13), кроме нулевых (n=0), тождественно равны нулю. Нулевые гармоники и величина отхода ударной волны тождественны решениям двумерного варианта системы (4.3.8). Этот факт естественен, поскольку плоское решение является первой ветвью решений пространственной задачи. Суть проблемы состоит в том, чтобы найти пространственную ветвь или доказать, что она не существует.

На новую ветвь можно выйти при решении эволюционной задачи, стартуя с неоднородного поля начального приближения. В первой серии расчетов задавался поток с ±1% пилообразными пространственными колебаниями скорости V. Расчеты показали, что величины возмущений скорости в ударном слое на лобовой поверхности цилиндра существенно возрастают и появляется пространственная картина линий тока. Однако устранение внешних возмущений возвращает течение на плоскую ветвь. И только при 2% начальное поле возмущений трансформируется в систему стационарных периодических вихрей, которые не исчезают после снятия возмущений граничных условий набегающего потока. На рис.4.3 показана структура течения в плоскости симметрии перед цилиндром (r,z). Расчеты выполнены для = 1.2, Re = 5000, =0.34. Видно, что один период течения состоит из двух спаренных вихрей с противоположными скоростями вращения большой интенсивности. Как и предполагалось, ударная волна приняла искривленную по z форму, поток за ней приобрел завихренность, а вектор скорости между центрами вихрей направлен против набегающего потока. Вихревое течение интенсифицирует процесс передачи тепла от потока к стенке цилиндра, поэтому периодической структуре линий тока будет соответствовать периодическое изменение теплового потока на стенке. Однако в рамках данной модели уравнение энергии не используется и нельзя получить величину теплового потока на стенке. Расчеты, проведенные в диапазоне параметров Re=[500 - 8104], = [1.1 - 1.4], =[0.3 - 1] показывают, что пространственнопериодическая мода гиперзвукового обтекания цилиндра действительно существует при однородном набегающем потоке и однородных граничных условиях. Таким образом подтвержден физический механизм генерации вихревых структур на лобовой поверхности затупленного тела, когда искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму. Однако построенная модель течения содержит ряд допущений, которые снижают точность полученных результатов. Поэтому требуется дополнительная проверка реализуемости обнаруженного явления с помощью независимого вычислительного средства.

Основная задача раздела 4.4 - получить независимое подтверждение существования вихревой пространственно-периодической моды гиперзвукового обтекания цилиндра с помощью широко известного программного комплекса FLUENT. В настоящей работе пакет FLUENT использовался для 3х-мерного моделирования течения совершенного, вязкого и теплопроводного газа около лобовой поверхности цилиндра. Расчетная область показана на рис.4.4, сетка содержит около 600000 ячеек правильной шестигранной формы. На передней границе области расчета заданы условия невозмущенного потока M, P, T, а на выходной поверхности – не отражающие граничные условия. На цилиндре заданы условия прилипания и температура стенки Tw, причем сетка имеет 10 дополнительных рядов ячеек для разрешения пограничного слоя. На горизонтальной плоскости симметрии у=0 заданы условия симметрии. В поперечном направлении z область ограничена плоскостями z=0 и z=/2, где заданы условия симметричного продолжения. Длинна волны выбрана из экспериментальных наблюдений (=1.07). В первую очередь была получена плоская мода гиперзвукового обтекания цилиндра и проведено ее сравнение с результатами других авторов, которое показало хорошее совпадение. Вихревая мода течения была инициирована с помощью такой же процедуры, как примененная выше, в расчетно-аналитическом методе. Некоторые результаты, полученные при М=6.1, Re=3240, =1.4 (температурный фактор Tw/T0=0.49), представлены на рис.4.4 - 4.6. Видно, что перед цилиндром присутствует сильная вихревая структура в виде спаренных периодических вихрей. Давление в ядрах вихрей падает более чем в 2 раза, а обратная струя достигает сверхзвуковой скорости М1.3.

y P/Ps уд. волна M, P, x Цилиндр Рис.4.4 Схема расчетной области и поле давления P/Ps (плоскость z=0) М=6.1, Re=3240, Re=2700, =1.P/Ps M =6.1 Re =32ударная -x волна =1.передняя кромка цилиндра z Рис.4.5 Схема расчетной области и поле давления P/Ps (Ps - полное давление за прямым скачком) (плоскость y=0) М=6.1, Re=3240, Re=2700, =1.q/qo Цилиндр =1.Рис. 4.6. Тепловой поток на цилиндре q/qo М=6.1, Re=3240, Re=2700, =1.4 (вид спереди).

Интенсивное вихревое течение увеличивает теплообмен на поверхности цилиндра. Как видно из рис. 4.6, величина пиков теплового потока в 1.7 раза превышает тепловой поток в передней критической точке при плоской (двумерной) моде обтекания, что хорошо согласуется с результатами экспериментов проф. Борового В.Я. (рис. 4.1).

Расчеты проведенные для воздуха (= 1.4) при М=6.1 в диапазоне Re=[1000 - 4000] показывают, что пространственно-периодическая мода гиперзвукового обтекания цилиндра существует при Re>2000 в однородном набегающем потоке и однородных граничных условиях. Вихревая мода обтекания цилиндра получена также и при большой гиперзвуковой скорости M=12 для газа с эффективным показателем адиабаты = 1.19 (условия приблизительно соответствующие натурному обтеканию на больших высотах и параметрам аэродинамических труб ЦАГИ Т-117 и ИТ-2М). В этом случае пики теплового потока в 3-4 раза превышают тепловой поток в передней критической точке при плоской моде обтекания.

Заключение Представленные результаты теоретических, численных и экспериментальных исследований позволяют сделать вывод, что достигнута главная цель диссертационной работы - определение физических механизмов возникновения и поддержания пространственно упорядоченных вихревых структур и исследование их свойств, применительно к рассмотренным актуальным проблемам течения жидкостей и газов.

А именно:

• На примере модифицированного течения Тейлора, впервые обнаружено новое гидродинамического явление - бифуркация потери симметрии периодических вихревых структур с возникновением самоиндуцированного осевого градиента давления. Дано расчетнотеоретическое объяснение и экспериментальное доказательство существования этого явления.

• На основе результатов исследований модифицированного течения Тейлора, предложена и оформлена в виде устройства новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, согласно которой процесс смешивания компонент многофазной среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки.

• На примере стационарного течения жидкости в слое, бесконечно протяженном по координате х и ограниченном по координате у криволинейными поверхностями квазипериодической формы, впервые найдены квазипериодические решения двумерных уравнений Навье-Стокса.

Исследованы свойства квазипериодических решений, их спектров, интегральных характеристик и интенсивность вихревого течения в зависимости от числа Рейнольдса и геометрических параметров задачи. Выдвинута идея применения квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса в качестве модели течения жидкой среды в тонких слоях со сложной геометрией границ и пористых структурах.

• Разработанный метод поиска и исследования квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса применен к задаче о конвекции жидкости в плоском горизонтальном слое и впервые получены стационарные квазипериодические решения двумерных уравнений конвекции, индуцированные квазипериодическим распределением температур на границах слоя. Исследованы свойства квазипериодических конвекционных структур, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Рейнольдса и вида граничных условий задачи.

• Предложен и подтвержден расчетами новый механизм формирования пространственно периодических вихревых структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при их поперечном гиперзвуковом обтекании, когда искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму. Показано, что пространственно-периодическая мода гиперзвукового обтекания цилиндра действительно существует при однородном набегающем потоке и однородных граничных условиях на цилиндре. Установлено, что обнаруженные периодические решения не являются вихрями Гертлера и не связаны с потерей устойчивости плоской моды обтекания цилиндра.

• С помощью широко известного программного комплекса FLUENT получено независимое подтверждение существования вихревой пространственно-периодической моды гиперзвукового обтекания цилиндра.

Определены условия ее возникновения, основные характеристики и главное - на лобовой поверхности получены периодические пики теплового потока, которые значительно превышают тепловой поток в передней критической точке при плоской моде обтекания. Такой уровень теплового нагружения, представляет серьезную опасность для теплозащиты гиперзвуковых летательных аппаратов.

Список публикаций автора по теме диссертации в рецензируемых изданиях 1. Дроздов С.М. Теоретическое и экспериментальное исследование конвекции вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Ученые записки ЦАГИ. 1993, том 3, № 6.

2. Дроздов С.М. Хаотические и периодические решения задачи о конвекции вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Известия АН СССР.

МЖГ, 1993, № 6.

3. Дроздов С.М. Экспериментальное исследование конвекции жидкости в замкнутом тороидальном канале. Известия РАН, МЖГ 1995, N 4, стр. 20-28.

4. Дроздов С.М. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы. Известия РАН, МЖГ, No1, pp. 31-45, 2001.

5. Drozdov, S. M., "A Numerical Investigation of a Modified Couette-Taylor Apparatus with Application to Industrial Mixing": Springer. Theoret. and Comput.

Fluid Dynamics, 2002,v 16 (1), P. 17-28.

6. Дроздов С.М. Патент № 2186615 Россия, "Роторный смеситель для жидких сред", МПК B01 F7/00 / Заявл. 24.07.2001; Опубл. 10.08.2002, Бюл. № 22.

7. Skali-Lami S., Drozdov S., Rafique M. An asymmetrical periodic vortical structures and appearance of the self-induced pressure gradient in the modified Taylor flow. // Springer. Theoret. and Comput. Fluid Dynamics, 2004, v.18, N 2-4, P. 137-150.).

8. Дроздов С. М. Бифуркация возникновения асимметричных периодических структур и самоиндуцированного градиента давления в модифицированном течении Тейлора. Известия РАН, МЖГ, №3, pp. 44-59, 2004.

9. Дроздов С. М. Квазипериодические решения уравнений Навье-Стокса, индуцированные квазипериодической формой границ двумерной области течения.//Изв. РАН. МЖГ. 2008. №2. с. 70-82.

10. Дроздов С. М. Квазипериодические структуры в задаче о конвекции жидкости между горизонтальными плоскостями. Изв. РАН. МЖГ, 2009. № 2, с. 33-45.

11. Дроздов С. М. Генерация вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра, поперечно обтекаемого гиперзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ.

2006. № 6.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.