WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Чесноков Александр Александрович

Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волн

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск – 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН В. В. Пухначев доктор физико-математических наук, профессор В. К. Андреев доктор физико-математических наук Г. А. Хабахпашев

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится « » 2010 года в часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу: проспект акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГиЛ СО РАН.

Автореферат разослан « » 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук С. А. Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Теория распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных средах является важным и активно развивающимся разделом механики жидкости и газа. Актуальность этой тематики связана с многочисленными приложениями теории длинных волн при моделировании крупномасштабных явлений в атмосфере и океане, имеющим практические приложения в метеорологии и геофизике. Приближенные длинноволновые модели играют важную роль в задачах гидродинамики открытых русел, гидродинамических проблемах транспортировки нефти и природного газа, в задачах гидроаэроупругости, связанных с конструированием судов и плавающих платформ. Широкое применение длинноволнового приближения в теоретическом анализе волновых процессов обусловлено тем, что длинные волны затухают медленнее коротких и именно они определяют асимптотику решения при больших временах. Кроме того, в этом случае упрощаются математические постановки задач, что позволяет более детально изучить нелинейные волновые процессы численными и особенно аналитическими методами. При этом гидродинамические модели теории длинных волн позволяют учитывать ряд важных физических факторов, такие как нелинейность, пространственная неоднородность (сдвиговой характер движения), стратификация, эффекты коллективного взаимодействия пузырьков, геофизический эффект вращения, оказывающих существенное влияние на распространение волн в жидкости.

Длинноволновые модели, описывающие пространственно-неоднородные движения жидкости, являются интегродифференциальными, что существенно осложняет их качественный анализ и требует применения самых современных подходов. Важнейшими элементами исследования гидродинамических моделей является вычисление скоростей распространения возмущений в жидкости, определение типа системы и изучение корректности постановки задачи Коши, построение классов точных решений уравнений, дающих представление о характерных режимах движения. Таким образом, изучение распространения волновых возмущений в неоднородной жидкости и развитие новых элементов теории нелинейных интегродифференциальных уравнений является актуальной задачей теоретической гидромеханики. Научные исследования по данной тематике, применительно к различным нелинейным длинноволновым моделям механики сплошной среды, ведутся в России и за рубежом.

Целью работы является развитие новых элементов теории гиперболических систем интегродифференциальных уравнений, построение и физическая интерпретация точных решений пространственных уравнений теории длинных волн, а также изучение распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных потоках жидкости и анализ устойчивости волновых процессов.

На защиту выносятся:

• Математические модели распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородной жидкости и результаты их теоретического анализа (обобщенные характеристики и условия гиперболичности интегродифференциальных моделей, точные решения, доказательство существования решений в классе простых волн, решение линеаризованных уравнений);

• Метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между интегральными инвариантами Римана;

• Новые элементы теории разрывных решений интегродифференциальных моделей и анализ сильных разрывов, не имеющих аналогов в классической теории гиперболических систем;

• Симметрии и новые точные решения пространственных уравнений теории длинных волн, полученные на основе систематического применения теоретико-группового подхода.

Научная новизна. Рассмотренные в диссертационной работе гидродинамические задачи теории длинных волн являются развитием классических постановок, связанным с более полным учетом реальных физических факторов, таких как нелинейность, пространственная неоднородность, стратификация и др. Основное отличие рассматриваемых математических моделей от обычных уравнений теории мелкой воды связано с необходимостью исследования нестандартных систем интегродифференциальных уравнений. До недавнего времени аналитические результаты для интегродифференциальных моделей механики были преимущественно связаны с линейной теорией и поиском законов сохранения.

Развитый В. М. Тешуковым новый теоретический подход к исследованию уравнений с операторными коэффициентами, основанный на обобщении понятий гиперболичности и характеристик, позволил продвинуться в понимании основных закономерностей протекания нелинейных волновых процессов. Тем не менее, теория нелинейных интегродифференциальных уравнений не является завершенной и выполненные в диссертации исследования вносят существенный вклад в ее развитие и обобщение, а также содержат решение ряда важных гидродинамических задач.

В диссертации получено решение спектральных задач для определенного класса операторов и построены обобщенные характеристики систем интегродифференциальных уравнений механики сплошных сред.

Предложен и впервые применен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между инвариантами Римана. Разработаны новые элементы теории разрывных решений для интегродифференциальных моделей. Впервые проведено систематическое исследование симметрийных свойств и классов точных решений пространственных уравнений длинных волн, учитывающих сдвиговой характер движения, неровность дна и геофизический эффект вращения. Результаты работы являются новыми, их достоверность устанавливается математическими доказательствами, иллюстрируется примерами точных и численных решений.

Теоретическая и практическая ценность. Выполненный в диссертации анализ обобщенных характеристик интегродифференциальных моделей пространственно-неоднородного движения идеальной однородной и стратифицированной жидкости в открытых каналах и упругих трубках позволил установить конечность скоростей распространения возмущений, выяснить влияние завихренности (потенциальной завихренности) на протекание нелинейных волновых процессов и исследовать их устойчивость. Теоретические подходы, разработанные для уравнений сдвигового движения жидкости, применены к кинетическим моделям разреженной пузырьковой жидкости, описывающим распространение волн концентрации с учетом эффекта коллективного взаимодействия пузырьков. Разработанный метод построения решений для обобщенногиперболических интегродифференциальных уравнений позволил существенно расширить запас точных решений уравнений вихревой мелкой воды и кинетической модели пузырьковой жидкости. При этом их интегрирование сведено к решению гиперболических систем дифференциальных уравнений. Большое значение имеет развитие теории разрывных решений интегродифференциальных уравнений, а предложенная специальная дискретизация, приводящая к “многослойным” гиперболическим системам дифференциальных уравнений, полезна для практики, поскольку позволяет применить известные численные методы и получить количественные результаты. Анализ симметрийных свойств пространственных моделей теории длинных волн позволил получить важный теоретический результат, имеющий прикладное значение: установлена эквивалентность обычных уравнений мелкой воды и уравнений, описывающих пространственные колебания вращающейся жидкости в круговом параболоиде (указанные модели связаны точечной заменой переменных).

Результаты работы, разработанные теоретические методы, численные и полуаналитические алгоритмы используются при выполнении научноисследовательских работ в ИГиЛ СО РАН, а также применяются в курсах лекций, читаемых в Новосибирском госуниверситете.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях по механике и математике, среди которых — VIII и IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006);

— Всероссийская конференция «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Пермь, 2000; Снежинск, 2002;

Абрау-Дюрсо, 2004; Санкт-Петербург, 2006);

— Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007);

— Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004, 2009);

— Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008);

— IV Международный конгресс по математике (Стокгольм, 2004);

— XI Международная конференция «Гиперболические уравнения: теория и приложения» (Лион, 2006);

— Международная конференция, посвященная 100-летию И. Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007);

— Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008);

— Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2008);

— Международная конференция «Симметрии в нелинейной математической физике» (Киев, 2007, 2009);

— Международная конференция «Современный групповой анализ дифференциальных уравнений» (Уфа, 2009).

Результаты работы были представлены на научных семинарах под руководством академика Л. В. Овсянникова (ИГиЛ СО РАН), академика А. Г. Куликовского, д.ф.-м.н. А. А. Бармина и д.ф.-м.н. В. П. Карликова (ИМех МГУ), академиков А. В. Гуревича и В. Е. Захарова (ФИАН), чл.корр. РАН В. М. Тешукова и д.ф.-м.н. В. Ю. Ляпидевского (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН В. В. Пухначева (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН И. А. Тайманова (ИМ СО РАН), д.ф.-м.н. В. К. Андреева (ИВМ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю. А. Маркова (ИДСТУ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю. Д. Чашечкина (ИПМех РАН).

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 12 статьях в рецензируемых научных журналах [1]–[12], а также в трудах конференций [13]–[16]. Работы [4, 5] и [8, 9], выполненные совместно, получены в процессе неразделимой творческой деятельности авторов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 308 страницах текста, включая 57 рисунков и 6 таблиц, библиография содержит 1наименований.

Научная тематика диссертации в значительной мере сформирована под влиянием чл.-корр. РАН В. М. Тешукова, который заинтересовал автора теорией нелинейных длинных волн в неоднородной жидкости и оказывал всестороннюю поддержку в работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертации, дан обзор литературы, изложено краткое содержание работы. Существенное внимание уделено моделям теории длинных волн и, в частности, уравнениям вихревой мелкой воды. Именно на этой модели оттачивалась техника теоретического анализа интегродифференциальных уравнений на основе предложенного В. М. Тешуковым обобщения понятий характеристик и гиперболичности для систем с операторными коэффициентами вида Ut + AUx = G. (1) Здесь U(t, x, ) — вектор искомых величин, G(t, x, , U) — заданная функция, AUx — результат действия матричного оператора A на функцию Ux. Характеристическая кривая системы уравнений (1) определяется дифференциальным уравнением x(t) = k(t, x), где скорость распространения характеристики k(t, x) является собственным значением спектральной задачи (F, (A - kI)) = 0. Решение этого уравнения относительно функционала F ищется в классе локально интегрируемых либо обобщенных функций. Функционал F действует по переменной , переменные t и x рассматриваются как параметры; I — тождественное отображение; — пробная гладкая вектор-функция. В результате действия функционала F на уравнение (1) получаем соотношение на характеристике (F, Ut + kUx) = (F, G).

Система уравнений (1) является обобщенно-гиперболической, если все собственные значения k вещественные и совокупность соотношений на характеристиках эквивалентна исходным уравнениям (1).

При решении рассматриваемых задач широко применялась теория гиперболических уравнений и численные методы их решения, а также приведенное выше определение обобщенной гиперболичности для систем с операторными коэффициентами. Выяснение вопроса о гиперболичности интегродифференциальной модели является нетривиальным и требует привлечения теории сингулярных интегральных уравнений и обобщенных функций. Для построения точных решений моделей применялись методы группового анализа. Для проведения аналитических выкладок и получения графических результатов использовались системы компьютерной алгебры. Во введении также перечислены вопросы, представляющие интерес для развития теории нелинейных интегродифференциальных уравнений, решению которых посвящена диссертация.

В первой главе рассматриваются интегродифференциальные модели, обобщающие классические уравнения мелкой воды и приближенные модели двухфазных сред. Для более точного моделирования распространения возмущений в жидкостях и газах необходимо привлекать гидродинамические модели, учитывающие пространственно-неоднородный характер движения и эффекты коллективного взаимодействия в жидкости с пузырьками. Уравнения движения жидкости в приближении длинных волн, учитывающие эти эффекты, являются интегродифференциальными и попадают в класс систем с операторными коэффициентами (1).

В первом разделе главы выведена модель горизонтально-сдвигового движения идеальной несжимаемой жидкости в протяженном открытом канале переменного сечения с ровным дном в поле силы тяжести [8, 9] ut + uux + vuy + ghx = 0, hy = 0, (2) ht + (uh)x + (vh)y = 0, uYi(x) - v y=Y = 0.

i Здесь t — время, x, y и z — пространственные переменные, u, v — горизонтальные компоненты вектора скорости, уравнениями z = h(t, x), y = Y1(x) и y = Y2(x) заданы свободная граница и боковые стенки канала. Следствием модели является сохранение потенциальной завихренности = uy/h вдоль траекторий. Исследовать уравнения (2) удобно в полулагранжевых координатах, переход к которым осуществляется заменой переменной y = (t, x, ), где функция — решение задачи Коши t + u(t, x, )x = v(t, x, ), t=0 = Y2(x) + (1 - )Y1(x) Лагранжева переменная [0, 1]; значения = 0 и = 1 соответствуют боковым границам канала y = Y1(x) и y = Y2(x). Замена переменной обратима при условии > 0. Для определения функций u(t, x, ), H(t, x, ) = h получаем интегродифференциальную модель ut + uux + ghx = 0, Ht + (uH)x = 0, h = H d, (3) Y где Y (x) = Y2(x) - Y1(x) > 0 — заданная ширина канала. По структуре модель (3) близка к уравнениям вихревой мелкой воды, описывающей плоскопараллельные вертикально-сдвиговые движения жидкости (В. Е. Захаров, 1980; В. М. Тешуков, 1985). Далее предполагается монотонность изменения скорости по ширине канала (u > 0). Если удовлетворить этому условию в начальный момент t = 0, то в силу системы (3) оно будет выполнено при всех t > 0.

Спектральная задача для уравнений (3) имеет нетривиальные решения при выполнении характеристического уравнения g H d (k) = 1 - = 0, (4) Y (u - k)определяющего скорости распространения возмущений в жидкости. Это уравнение имеет два корня k = kj(t, x) = u(t, x, ), которым отвечают j j собственные функционалы Fj = (F1, F2 ) из класса локально интегрируемых функций:

( ) 1 g H1 d 2 d (Fj, ) = -.

Y (u - kj)2 u - kj 0 Имеется непрерывный характеристический спектр k = u(t, x, ), коj j торому соответствуют два собственных функционала Fj = (F1, F2 ) (действующих по переменной ) из класса обобщенных функций:

( ) 1 F, () = -1() + uH-12();

( ) 1 ( ) g ( - 1)H d d 2 1 F, () = 1() + -.

Y (u - u)2 u - u 0 Здесь f = f(t, x, ), f = f(t, x, ); = (1, 2). Действие собственных функционалов Fj, Fj на систему уравнений (3) приводит ее к характеристической форме (соотношениям на характеристиках) j j Rt + uRx = F (u), t + ux = 0, rt + kjrx = F (kj);

g H d u R = u -, =, Y u - u H 1 g H d gY (x) uH d rj = kj - ; F (z) =.

Y u - kj Y (x) u - z 0 Условия обобщенной гиперболичности уравнений (3) формулируются в терминах предельных значений комплексной характеристической функции (z) из верхней + и нижней - полуплоскостей на отрезке [u0, u1] (индексы 0 и 1 соответствуют значениям функций при = 0; 1).

Лемма 1. Пусть u(t, x, ), H(t, x, ) удовлетворяют условиям +(u) arg = 0, ± = 0 (5) -(u) (arg± — приращение аргумента комплексной функции ± при изменении от нуля до единицы при фиксированных t, x). Тогда характеристическое уравнение (4) имеет только вещественные корни.

Лемма 2. Пусть функции S1, S1, S2 удовлетворяют условию Гёльдера по переменной и для вектор-функции S с компонентами S1, Sвыполнены соотношения (Fj, S) = 0, (Fj, S) = 0, (j = 1, 2). При этом для функций u(t, x, ), H(t, x, ) выполнены условия (5). Тогда S 0.

Леммы 1, 2 и определение обобщенной гиперболичности позволяют сформулировать следующий результат.

Теорема 1. Для течений с монотонным по ширине канала профилем скорости условия (5) являются необходимыми и достаточными для гиперболичности уравнений (3), если функции u, H, дифференцируемы, u, удовлетворяют условию Гёльдера по переменной .

Теорема 1 использована для выяснения устойчивости решений уравнений (3). Установлено, что на классе решений u = (x + C())t-1, H = t-1, (Y = const) при определенном задании функции C(), отвечающей за сдвиг скорости, в процессе эволюции течения от непрерывного характеристического спектра отделяются комплексные корни, соответствующие возникновению длинноволновой неустойчивости.

Для анализа стационарных решений в качестве лагранжевой координаты выберем функцию тока, вследствие чего H = hy = h/y = 1/u.

Рассмотрим течения, в которых u > 0. Интегрирование уравнений (3) дает u = 2(C() - gh), H = 1/ 2(C() - gh). (6) Здесь C() > 0 — произвольная возрастающая функция, а глубина слоя жидкости h(x) находится из замыкающего соотношения:

d K(h) = Y (x)h, K(h) = . (7) 2(C() - gh) Функция K(h) > 0 определена на интервале h [0, hb), hb = C(0)/g — максимальная глубина потока. Существуют единственные значения h = h < hb и Y = Ym > 0, определяемые из условий K(h) = Ymh, K(h) = Ym. На интервале h (0, hb) уравнение (7) при Y (Ym, Yb) имеет два корня h = h1 < h и h = h2 > h; при Y > Yb = K(hb)/hb — один корень h = h1 < h (см. рис. 1). Течение, на котором выполнено неравенство K(h) g H d 1 - = 1 - < 0 (8) Y Y uбудем называть докритическим, а течение, на котором выполнено обратное неравенство — сверхкритическим. Критическому течению соответствует достижение знака равенства в (8). Согласно определению, решение h1 уравнения (7) является сверхкритическим, а решение h2 — докритическим. В случае Y = const и отсутствия сдвига скорости получаем классические условия докритичности |u| < gh и сверхкритичности |u| > gh потока. В силу (7), (8) в докритическом режиме течения глубина слоя жидкости h(x) возрастает (убывает) при возрастании (убывании) поперечного сечения канала Y (x), а в сверхкритическом режиме h(x) убывает (возрастает) при возрастании (убывании) Y (x).

2.y y=Y (x) K 0.-1.0 -0.5 0.5 1.0 x 1.-0.y=Y (x) -1.0.4 0.h Рис. 1: Сплошная линия — характерный Рис. 2: Линии тока в докритическом вид зависимости K = K(h); пунктир и стационарном течении с рециркуляциштрих-пунктир — прямые с угловым ко- онной зоной. Пунктир — слой торможеэффициентом Ym и Yb, соответственно. ния.

Исследованы стационарные течения, возникающие при локальном изменении поперечного сечения канала. Остановимся на докритическом обтекании локального расширения канала: Y (x) = Y0 = const для |x| d;

Y (x) > 0 для x (-d, 0) и Y (x) < 0 для x (0, d). Продолжение решения в область, где Y (x) > Kb/hb становится невозможным, так как уравнение (7) не имеет докритической ветви решения. При Y (x) Kb/hb происходит замедление потока, а в слое = 0 его остановка. Построим стационарное течение другой структуры, включающее рециркуляционные зоны с замкнутыми линиями тока. Пусть в точках x = x1 и x = x(-d < x1 < x2 < d) выполняются равенства Y (x1) = Y (x2) = K(hb)/hb.

На интервалах x (-d, x1) и x (x2, d) решение задается формулами (6), где h(x) — докритический корень уравнения (7). Существует продолжение решения в область x > x1, такое что при x1 < x < x2 часть канала по ширине Y1(x) < y < Yr(x) занимает рециркуляционная зона, а в области Yr(x) < y < Y2(x) решение по прежнему задается соотношениями (6). В рециркуляционной зоне функция u обращается в нуль на линии y = Yc(x), при этом горизонтальная компонента скорости отрицательна для y (Y1, Yc) и положительна для y (Yc, Yr). Для решения в рециркуляционной зоне имеем представление u = 2(G() - gh), H = 1/ 2(G() - gh).

Непрерывность скорости при переходе через границу y = Yr(x) влечет равенство C(0) = G(0). Функция G() определена для (c, 0), где c(h) < 0 — корень уравнения G() - gh = 0. Линия = c(h) задает слой торможения, в котором скорость равна нулю. Граница рециркуляционного течения y = Yr(x) и линия торможения задаются уравнениями 2 d Y1(x) + Yr(x) Yr(x) = Y1(x) + , Yc(x) =.

h(x) 2(G() - gh) c(h) Глубина слоя жидкости h(x), на интервале течения с рециркуляционной зоной, связана с функциями C(), G() и Y (x) соотношением ( ) 1 1 d d h = + 2 .

Y 2(C() - gh) 2(G() - gh) c(h) Множество решений задачи о течении в рециркуляционной зоне имеет произвол в одну функцию одной переменной. Для построения решения необходимо задать функцию h(x), либо G(). При этом функция G() (либо h(x)) определяется в ходе построения решения задачи. Линии тока в точном решении с зоной возвратного течения показаны на рис. 2.

Во втором разделе главы выведена и исследована нелинейная модель сдвигового осесимметричного течения идеальной несжимаемой жидкости в протяженной цилиндрической трубке с упругими изотропными стенками [1, 13]. Преобразованиями эта модель сводится к уравнениям, описывающим плоскопараллельные вертикально-сдвиговые движения тонкого слоя жидкости в канале с твердым дном y = 0 и упругой верхней границей y = h(t, x) ( ) h y ( ) ut + uux + vuy + p(h) = 0, ht + u dy = 0, v = - ux dy, x x 0 где p(h) заданная функция, определяющая эластичные свойства канала (Т. Педли, 1983). В полулагранжевых переменных модель сводится к интегродифференциальной системе уравнений сдвигового движения тонкого слоя баротропной жидкости со свободной границей ( ) ut + uux + p(h) = 0, Ht + (uH)x = 0, h = H d, (9) x условия гиперболичности которой уже известны (В. М. Тешуков, 1995).

Здесь y = (t, x, ), H = > 0 — якобиан перехода к полулагранжевым переменным. Следствием уравнений является сохранение завихренности = uy = u/H вдоль траекторий. Рассматриваемая задача имеет непрерывный k = u и дискретный k1 < u0 = u(t, x, 0) и k2 > u1 = u(t, x, 1) характеристический спектр, определяемый уравнением ( ) 1 H d (k) = 1 - P H d = 0 (10) (u - k)0 (предполагается, что u > 0; P (h) = p (h)). Для гладкого решения h u(t, x, ), H(t, x, ) условия обобщенной гиперболичности уравнений (9) имеют вид (5) с функцией , определенной в (10).

Простыми волнами будем называть решения системы уравнений (9) вида u = u((t, x), ), H = H((t, x), ). Согласно (9) функции u(, ), H(, ) определяются из уравнений ( ) 1 (u - k)u + P H d H d = 0, (11) 0 (u - k)H + Hu = 0, k = -t/x.

Нетривиальные решения (11) существуют когда k совпадает с одним из корней характеристического уравнения (10) (k = k1(), k = k2()) или принадлежит отрезку [u0(), u1()]. Пусть k = k2() > u; в качестве переменной (t, x) возьмем функцию h(t, x). Рассмотрим задачу о примыкании простой волны к заданному сдвиговому потоку u = u0(), H = H0() по характеристике h = h0. Из системы уравнений простых волн (11) и уравнения (10) получаем задачу Коши для определения четырех функций u(h, ), H(h, ), u(h, ) и k(h):

P (h) P (h)H P (h)u uh = -, Hh =, uh =, u - k (u - k)2 (u - k)( )( )-1 3P (h) H d Ph H d (12) kh = - +, 2 (u - k)4 P (u - k)3) 0 u h=h = u0(), H h=h = H0(), u h=h = u (), k h=h = k2.

0 0 0 Здесь k2 > u0() — корень уравнения 1 H() d P (h) = 1; h0 = H0() d.

(u0() - k)0 Отметим свойство простых волн: если u(h0, 1) = u(h0, 2), то всюду в области определения решения u(h, 1) = u(h, 2). Если при h = hвыполняется неравенство u () = 0, то u(h, ) = 0 в области волны.

Теорема 2. Пусть u0() — непрерывно дифференцируемая, H0() — непрерывная на отрезке [0, 1] функции такие, что u () > 0, H0() > > 0, k2 > u0(1) + , H0()/u () a > 0, 0 и выполнены условия (5). Тогда система уравнений (12) имеет единственное решение на любом интервале h (0, b] (h0 (0, b]), причем u(h, ) — дифференцируемая, H(h, ) — непрерывная функции.

В случае замыкания модели по закону p(h) = C1h + C2 вычислена 5-параметрическая группа допускаемых преобразований, состоящая из двух переносов, галилеева переноса и двух растяжений (при = имеется проективное преобразование). С использованием одномерных представителей оптимальной системы подалгебр выписаны подмодели и некоторые из них проинтегрированы. Построены автомодельные решения, выражаемые через неполные бета-функции.

В третьем разделе исследованы характеристические свойства уравнений длинных волн, описывающих плоскопараллельные сдвиговые движения двухслойной стратифицированной идеальной жидкости над ровным дном со свободной границей в поле силы тяжести [3]. В полулагранжевых переменных интегродифференциальные уравнения движения имеют вид 1 gu1t + u1u1x + g H1x d + H2x d = 0, 0 Hit + Hiuix + uiHix = 0, (i = 1, 2) (13) 1 u2t + u2u2x + g H1x d + g H2x d = 0 (индекс 1 относится к нижнему слою, 2 — к верхнему; 2 < 1). В предположении монотонности профиля скорости (ui > 0, u20 = u2|=0 > u11 = u1|=1) определены скорости распространения возмущений (имеется непрерывный и дискретный характеристический спектр), вычислена характеристическая форма системы и сформулированы необходимые условия гиперболичности модели (13).

В отличие от предыдущих моделей в данном случае характеристическое уравнение имеет достаточно сложный вид 1 H1 d H2 d (k) = 1 - g - g + (u1 - k)2 (u2 - k)0 (14) 1 ( H1 d H2 d 2) +g2µ = 0 µ = 1 -.

(u1 - k)2 (u2 - k)2 0 В безвихревом случае уравнения двухслойной мелкой воды являются гиперболическими, если на решении существует четыре вещественных корня характеристического уравнения (Л. В. Овсянников, 1979). Для обобщенной гиперболичности системы (13) также необходимо существование четырех вещественных корней уравнения (14).

Лемма 3. Если на заданном решении ui, Hi (i = 1, 2) выполняется одно из следующих условий:

1) q1 < µ, p1 > - µ; 2) q2 > µ, p1 > - µ;

3) q1 < µ, p2 < - µ; 4) q2 > µ, p2 < - µ, p2(k) + q2(k) µ;

2 2 ( u20 + u11) 5) p2(k) > 1 +, q2(k) > 1 + k =, 1 1 то уравнение (14) имеет четыре вещественных корня. Условие отсутствия комплексных характеристик имеет вид (5) с функцией , определенной формулой (14). Приращение аргумента вычисляется при изменении u от u10 до u11 и от u20 до u21.

Получение достаточных условий гиперболичности уравнений движения оказалось сопряжено с принципиальными трудностями, связанными с анализом однозначной разрешимости сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах, содержащих как характеристическую часть, так фредгольмов оператор первого рода.

В четвертом разделе главы проведен теоретический анализ одномерного кинетического уравнения пузырьковой жидкости [2, 14] ft + (p - l)fx + (p - l)lxfp = 0, l = (1 + )-1j (15) (Б. Пертам и др., 1999). Здесь f(t, x, p) — плотность распределения пузырьков по декартовой координате x и импульсам пузырьков p в момент времени t 0; (t, x), j(t, x) — нулевой и первый моменты функции распределения. Уравнения (15) преобразованы к виду (1) и подвергнуты * Рис. 3: Характеристики уравнения (16) Рис. 4: Заданный фон (кривая 1), бегу(кривые = const). щая волна (кривая 2).

характеристическому анализу. Имеется только непрерывный вещественный характеристический спектр k = p - l в области, где f > 0.

Теорема 3. Пусть функция f дифференцируема по всем переменным, fp гёльдерова по переменной p, функции f и fp обращаются в нуль при |p| . Тогда условия fp (t, x, p) dp arg ± = 0, ± = 1 + (p - l)2 ± i(p - l)2fp = p - p - являются необходимыми и достаточными для обобщенной гиперболичности системы уравнений (15). Приращение аргумента вычисляется при изменении p от - до для фиксированных значений t, x.

Остановимся на алгоритме построения решений модели (15) в классе бегущих волн f = f(, p), l = l(), = x - Dt. Кинетическое уравнение (p - l - D)fl + (p - l)fp = 0. (16) интегрируется в явном виде f = (), = p2/2 - (D + l)p + l2/2, а зависимость l() = const задается произвольно. Рассмотрим задачу Коши ( )- f(l0, p) = f0(p), l0 = 1 + f0(p) dp pf0(p) dp (17) - - для уравнения (16). Условия (17) обеспечивают непрерывное примыкание бегущей волны к заданному стационарному однородному по пространству решению f = f0(p). Как видно из рис. 3, для l > l0 решение задачи Коши однозначно определяется по начальным данным в областях 1 и 2. В области 3 (куда не приходят характеристики пересекающие прямую l = l0), ограниченной кривой = s0 = -D2/2-Dl0, решение находится из дополнительного интегрального уравнения. Для построения решения в области 3 преобразуем соотношение ( )- l = 1 + f dp pf dp (18) - - в интегральное уравнение для определения функции () на интервале (s, s0), где s = -D2/2-Dl. Для этого в (18) перейдем к переменной .

В результате получаем интегральное уравнение Абеля для определения функции () в области 3. В бегущей волне концентрация пузырьков возрастает (рис. 4). Особенностью решения является возможность произвольно задать гладкую функцию l = l().

Во второй главе предложен новый подход к построению решений обобщенно-гиперболических систем с операторными коэффициентами, которые приводятся к интегральным инвариантам Римана. Метод основан на функциональной зависимости между инвариантами Римана и позволяет свести решение исходной интегродифференциальной модели к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Метод использован для построения решений уравнений вихревой мелкой воды и одномерного кинетического уравнения Руссо — Смереки.

В первом разделе второй главы построен специальный класс решений уравнений вихревой мелкой воды ( ) h y ut + uux + vuy + ghx = 0, ht + u dy = 0, v = - ux dy (19) x 0 (Д. Бенни, 1973), а также выполнены численные расчеты непрерывных и разрывных сдвиговых движений тонкого слоя тяжелой идеальной жидкости со свободной границей [4]. Уравнения (19) удобно преобразовать к “кинетическому” виду u Wt + uWx - ghxWu = 0, h = W du, (20) uu1t + u1u1x + ghx = 0, u0t + u0u0x + ghx = 0. (21) Здесь W = -1 (аналог функции распределения, = uy) является искомой функцией переменных t, x и u. Функции u0(t, x) и u1(t, x) — горизонтальные скорости на дне и свободной границе. Уравнения (20), (21) формируют замкнутую систему интегродифференциальных уравнений для определения искомых функций W (t, x, u), u1(t, x) и u0(t, x).

Введем новую функцию u W (t, x, u) du R(t, x, u) = u - g.

u - u uНа решениях уравнений (20), (21) величина R удовлетворяет такому же уравнению, как и W. Действительно, Rt + uRx - ghxRu = 0. Величины W (t, x, u) и R(t, x, u) будем называть интегральными инвариантами Римана. Рассмотрим решения с функциональной зависимостью между W и R. Пусть W = (R), где произвольная гладкая функция. Выражение ( ) u W du W = (R) = u - g (22) u - u uпредставляет нелинейное интегральное уравнение для определения неиз вестной функции W = W (u0, u1, u). Предположим, что это интегральное уравнение решено и функция W (u0, u1, u) известна. Используя второе уравнение (20), определяем зависимость h(t, x) = h(u0, u1), подстановка которой в уравнения (21) дает замкнутую систему дифференциальных уравнений ( ) ( ) u1t + u1u1x + g h(u0, u1) = 0, u0t + u0u0x + g h(u0, u1) = 0. (23) x x для функций u0 и u1. Предположим, что система (23) также решена и функции u0(t, x), u1(t, x) определены. В этом случае, при выполнении условий обобщенной гиперболичности модели, функция W (t, x, u) = W (u0(t, x), u1(t, x), u), найденная из уравнения (22), удовлетворяет кинетическому уравнению (20).

Пусть зависимость между инвариантами Римана W и R линейная:

W = (R) = a(R - b), a-1 = gctg(µ), b и µ — произвольные постоянные (µ (0, 1), µ = 1/2). Тогда (22) яв ляется линейным сингулярным интегральным уравнением, решение которого (в классе функций ограниченных при u = u0 и неограниченных при u = u1) находится в явном виде )( - u0)µ sin(µ)( u W (u0, u1, u) = u - b - µ(u1 - u0). (24) g u1 - u h 0,y t=0,t=1 t=0,0,y=h 0,0,0,0, x 3,0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,5 4,0 0 5 10 Рис. 5: Свободная граница y = h() и Рис. 6: Глубина слоя жидкости: сплошвектор скорости (u(, y)-, v(, y)) в ав- ная линия — многослойная модель (28), томодельной простой волне. пунктир — специальный класс (27).

Подстановка (24) в (20) позволяет выразить глубину слоя жидкости h(t, x) в терминах u0 и u1:

( ) h(u0, u1) = µg-1(u1 - u0) 2-1(1 - µ)(u1 - u0) + u0 - b.

В результате этого исходная интегродифференциальная модель сведена к решению системы из двух дифференциальных уравнений (23), допускающих формулировку в инвариантах Римана ( )µ ( ) u0 - ci rit + cirix = 0; ri = b - ci - b - µ(u1 - u0) (25) u1 - ci (i = 1, 2), где gh 1 - µc1,2 = + µ(u1 - u0) + b gh + (u1 - u0)2.

µ(u1 - u0) Получены точные решения уравнений (25), соответствующие автомодельным простым волнам: r2(u0, u1) = r20 = const, c1(u0, u1) = = x/t.

Пример такого решения при следующих значениях параметров (µ = 0, 6;

b = -3; r20 = -10; g = 9, 8) приведен на рис. 5.

Для моделирования разрывных решений уравнений вихревой мелкой воды использованы интегродифференциальные законы сохранения ut + uux - u0t - u0u0x = 0, Ht + (uH)x = 0, ( ) ( ( )2) 1 1 (26) g uH d + u2H d + H d = 0, t x 0 0 записанные в полулагранжевых переменных (В. М. Тешуков, 1995), где y = (t, x, ), H = > 0 — якобиан перехода к лагранжевой переменной . Если перед разрывом имеется решения из специального класса (с линейно-зависимыми инвариантами Римана), то за скачком решение не принадлежит этому классу. Но поскольку величина W на разрыве сохраняется, а инвариант R имеет второй порядок малости по сравнению с амплитудой скачка = [h], то с точностью до O(2) за скачком решение также из специального класса. Описание разрывных решений в специальном классе основывается на законах сохранения массы и импульса ( ) ht + mx = 0, mt + n(h, m) + gh2/2 = 0, (27) x где m и n первый и второй моменты функции W.

Для применения стандартных численных подходов, основанных на различных модификациях метода С. К. Годунова, уравнения (26) необходимо преобразовать к системе дифференциальных законов сохранения.

Это достигается разбиением по лагранжевой переменной на M слоев и осреднением уравнений в предположении линейности профиля скорости в каждом из слоев. В результате получена дифференциальная система законов сохранения для полной модели вихревой мелкой воды hi + (ucihi) = 0, (ihi) + (uciihi) = 0, t x t x ( ( ) ( )2) (28) M M m i h3 g i + u2 hi + + hi = 0.

ci t x 12 i=1 i=Здесь hi(t, x), i(t, x) = uy и uci — глубина, вихрь и средняя скорость в i-ом слое; m(t, x) — полный горизонтальный импульс жидкости;

) ( )-1( ( ) i M M i M ihi uci = jhj - + hi m - hi jhj + ih2.

i 2 j=1 i=1 i=1 j=1 i=Для вычислений использована центральная схема второго порядка точности (Х. Нессьяху, Э. Тэдмор, 1990), не требующая решения задачи Римана и поэтому эффективная в случае большого числа уравнений в системе. Результаты расчета распада начального разрыва, полученные по моделям (27) и (28), представлены на рис. 6. Как видно из графиков, имеется достаточно хорошее совпадение даже в случае значительной амплитуды разрыва. Рис. 7, 8 иллюстрируют влияние завихренности на распространение волн. Пусть b = -12, а параметр µ меняется в интервале [0, 1; 0, 7]. Как видно из рис. 8, сдвиг скорости увеличивается при 0,7 y h =0,0,0,0,0, =0,0,0,0,0,0,0, =0,0,0,u x -1,5 -1,0 -0,5 0 0,-2 -1 0 1 Рис. 7: Глубина h при t = 0 (линия 0) и Рис. 8: Начальный профиль скорости t = 0, 5 (линия 1 — модель мелкой воды, при разных значениях параметра сдви2 и 3 — многослойная модель (28)). га µ.

уменьшении µ. Если параметр µ > 1/2, то глубина h, вычисленная по многослойной модели, близка к результатам, полученным по классическим уравнениям мелкой воды (рис. 7, сплошная линия 1). Значительное расхождение в вычислениях по полной и осредненной моделям наблюдается при µ = 0, 25 и µ = 0, 1 (пунктирные линии 2 и 3 на рис. 7). Разрывы, распространяющиеся влево и вправо, симметричны относительно оси x = 0 в случае использования классических уравнений мелкой воды.

При расчете по многослойной модели (28) прерывные волны, двигающиеся в противоположных направления, свойством симметрии не обладают, что обусловлено влиянием неоднородности потока.

Во втором разделе главы аналогичные результаты получены для одномерной кинетической модели пузырьковой жидкости [5] ft + (p - j)fx + pjxfp = 0, pit + (pi - j)pix - pijx = 0. (29) (Дж. Руссо, П. Смерека, 1996). Здесь f(t, x, p) — функция распределения пузырьков, t — время, x — пространственная переменная, p — импульс пузырьков, j(t, x) — первый момент функции распределения. Предполагается, что f отлична от нуля только на интервале p (p1, p2). Установлено, что система (29) приводится к интегральным инвариантам Римана (В. М. Тешуков, 1999). Поиск решений с линейно-связанными инвариантами Римана приводит к представлению ( )( )µ sin(µ) 1 - µb(p2 - p1) p - pf = + b.

p p2 - p При этом интегрирование исходной кинетической модели (29) сводится к решению системы дифференциальных уравнений для функций p1(t, x), (p1, p2(t, x) с известной зависимостью j = j p2). Другие решения модели Руссо — Смереки получены в [12].

В третьей главе рассматривается задача о распаде произвольного разрыва для уравнений длинных волн под крышкой, а также задача о распространении бора на сдвиговом потоке со свободной границей. Построены новые типы разрывов, сочетающие свойства прерывной волны и контактного разрыва.

В первом разделе третьей главы исследована задача о распаде произвольного разрыва для нелинейных уравнений, описывающих плоскопараллельное вертикально-сдвиговое движение идеальной несжимаемой жидкости, полностью занимающей протяженный канал [6] y h ut + uux + vuy + p = 0, v = - ux dy, ux dy = 0. (30) x 0 Здесь u, v — проекции вектора скорости на оси x и y, направленные вдоль и по глубине канала, p — давление на верхней стенке y = h0 = const, нижняя стенка — y = 0. Без ограничения общности полагаем, что расход жидкости Q = 0. Для уравнений (30) рассмотрим задачу Коши { ur(y) = 1(y - h0/2), x > u t=0 = ul(y) = 2(y - h0/2), x < Уравнения (30) для двухслойного движение жидкости с кусочно-постоянной завихренностью (i = const) преобразуются к виду ( ) h 1 - 2 1 2h+ = 0, (h) = h3 + 2 - h2 - h, (31) t x 2h0 2 где h(t, x) — граница раздела потоков с завихренностями 1 и 2. По известной функции h однозначно восстанавливается непрерывный кусочнолинейный профиль скорости u(t, x, y). Условие сильной нелинейности уравнения (31) имеет вид 1/2 < 1/2 < 2. При выполнении этого условия решение задачи Римана дается простой волной (рис. 9) (22 - 1)h0 (22 - 1)2h2 h0(2k + 2h0) x h(k) = - + +, k =.

3(1 - 2) 9(1 - 2)2 3(1 - 2) t Вдоль линии раздела потоков формируется струйное течение, направленное к верхней границе канала (0 < 2 < 1).

При нарушении условий сильной нелинейности характеристик решение задачи включает сильный разрыв и примыкающую к нему автомодельную простую волну. Скорость D и амплитуда h разрыва определяются из системы (h) = Dh, (h) = D. Получение разрывного решения основано на построении “выпуклого” расширения для закона сохранения (31) с учетом условий устойчивости (О. А. Олейник, 1958).

y y G B h0 C 0,0,ur ul 4 h* 2 0,0,k -2 2 A F D F k Рис. 9: Траектории частиц в волне Рис. 10: Траектории частиц в разрывном взаимодействия сдвиговых потоков. решении (0 < 2 < 1, 1/2 > 2).

Траектории движения частиц в построенном разрывном решении показаны на рис. 10, полученном при 1 = 10, 2 = 1, h0 = 1. Сдвиговой поток с завихренностью 2, занимающий перед разрывом k = D - всю глубину канала 0 y h0, за разрывом занимает лишь его часть h y h0 (траектории 1–3 на рис. 10). В области k > D, 0 y h частицы совершают возвратное относительно волны движение, т.е. величина u - k меняет знак (траектории 4–7 на рис. 10). Построенное решение содержит особенность, в которой частицы приходят на линию разрыва из области k > D и, изменив на разрыве эйлерову координату y и вектор скорости, возвращаются в область k > D. Таким образом, разрывное решение сочетает свойства прерывной волны (имеются частицы, которые пересекают фронт разрыва) и контактного разрыва (имеются частицы, которые скользят вдоль фронта). Для определения соответствия частиц жидкости перед и за разрывом использовано соотношение [(u - D)dy] = 0, вытекающее из локального закона сохранения массы.

На построенном решении выполнены соотношения [] = 0 и [Q] = 0, выражающие сохранения вихря и расхода, формирующие вместе с предыдущим равенством соотношения Гюгонио для модели (30). При переходе через разрыв энергия слоя жидкости убывает.

Во втором разделе главы получена последовательность гладких решений уравнений вихревой мелкой воды (19) сходящаяся к разрывному решению, моделирующему распространение бора [15]. Для построения решений в классе бегущих волн использована кинетическая формулировка модели и метод, изложенный в четвертом разделе первой главы. Проанализировано поведение жидких частиц в окрестности резкого изменения глубины и показано, что новый тип разрыва является характерным для длинноволновых моделей сдвигового движения жидкости.

В четвертой главе рассматриваются уравнения пространственного движения тонкого слоя идеальной тяжелой жидкости с учетом сдвига скорости по глубине, геофизического вращения и неровности дна.

В первом разделе главы исследованы симметрии и классы точных решений уравнений длинных волн на пространственном сдвиговом потоке со свободной границей [7] ut + uux + vuy + wuz + ghx = 0, vt + uvx + vvy + wvz + ghy = 0, ux + vy + wz = 0; ht + uhx + vhy - w z=h = 0, w z=0 = 0.

Найдены допускаемые операторы, формирующие 9-и мерную алгебру Ли L9, изоморфную алгебре Ли операторов уравнений обычной мелкой воды (Л. В. Овсянников, 1958), для которой известна оптимальная система подалгебр (А. С. Павленко, 2005). С использованием двумерных представителей оптимальной системы подалгебр построены и интерпретированы новые классы точных решений. Получены стационарные вращательносимметричные решения, описывающие движение жидкости с зонами возвратного течения. Найдены устойчивые нестационарные решения, описывающие растекание (схлопывание) параболической полости.

Во втором разделе методы группового анализа применены к геофизической модели вращающейся мелкой воды [10, 11] ut + uux + vuy - fv + ghx = 0, vt + uvx + vvy + fu + ghy = 0, ht + (uh)x + (vh)y = 0.

(А. Гилл, 1986; А. Майда, 2003; Дж. Педлоски, 1987). Вычислена 9-и мерная алгебра Ли допускаемых операторов Lf и установлен ее изоморфизм с предыдущей алгеброй Ли L9. С использованием симметрий выполнено групповое размножение решений, а также построение и физическая интерпретация вращательно-симметричных решений. Принципиальным результатом раздела является нахождение точечного преобразования, связывающего эту модель с обычными уравнениями мелкой воды.

Третий раздел главы, на котором остановимся более подробно, обобщает предыдущие результаты [10, 16]. Рассмотрим нелинейные пространственные колебания тонкого слоя идеальной жидкости в круговом параболическом бассейне, вращающемся с постоянной угловой скоростью f/относительно вертикальной оси z. В цилиндрической системе координат (r, , z) движение жидкости описывается системой уравнений ( ) U U V U V f2r + U + - - fV - + g h + Z = 0, t r r r 4 r ( ) V V V V UV g (32) + U + + + fU + h + Z = 0, t r r r r h 1 (rUh) 1 (V h) r+ + = 0; Z =.

t r r r Здесь U, V — радиальная и окружная компоненты вектора скорости; h — глубина жидкости; положительные постоянные g, f и f2/(4g) — ускорение свободного падения, параметры Кориолиса и рельефа дна.

Алгебра Ли L симметрий уравнений (32) изоморфна алгебре Ли Lсимметрий обычных уравнений мелкой воды, которая разлагается в прямую сумму 6-мерного радикала и простой алгебры Ли sl(2). Известно, что простая алгебра Ли sl(2) для уравнений мелкой воды состоит из оператора переноса по времени, проективного оператора и растяжения:

X7 = t, X8 = t2t + trr + (r - tU)U - tV V - 2thh, X9 = 2tt + rr - UU - V V - 2hh.

Соответствующая простая алгебра Ли sl(2) симметрий уравнений (32) формируется следующими нетривиальными операторами ( ) F7 = 2-1t - f-1 - F8, = 2 g ( ) ( ) F8 = -1 1 + cos(t) t - 2-1r sin(t)r - f(2)-1 1 + cos(t) + ( ) ( ) +2-1 U sin(t) - r cos(t) U + 2-1 V + fr sin(t)V + +h cos(t)h, F9 = -2-1 sin(t)t - r cos(t)r + f-1 sin(t)+ ( ) ( ) + U cos(t) + r sin(t) U + V + fr cos(t)V + +2h cos(t)h, которые будут использованы ниже для генерации решений. Анализ симметрийных свойств модели (32) позволяет сформулировать теорему.

Теорема 4. Уравнения (32), описывающие в приближении мелкой воды движение идеальной жидкости во вращающемся круговом параболическом бассейне, и обычные уравнения мелкой воды (уравнения (32) при f = 0, = 0) связаны точечным преобразованием / 2 t t ft t = tg, r = r cos, = + , 2 2 ( t r t fr) t (33) U = U cos + sin, V = V + cos, 2 2( 2 2 ) t h = h cos2 = 2 g.

Действительно, если функции U(t, r, ), V (t, r, ) и h(t, r, ) удовлетво ряют уравнениям (32), то функции U(t, r, ), V (t, r, ) и h(t, r, ), определяемые формулами (33), являются решением обычных уравнений мелкой воды.

Замечание. В осесимметричном случае при любой функции Z = Z(r) замена переменной V = V - fr/2 исключает из уравнений (32) слагаемые, отвечающие за силу Кориолиса и центробежную силу. Этого можно добиться и в пространственном случае с произвольной функцией Z = Z(r, ) с помощью преобразования (33) при = f, дополненного ( ) соотношением Z = Z - f2r2/(8g) cos2(ft/2).

Конечные преобразования, соответствующие операторам F7, F8 и Fиспользованы для группового размножения решений.

Теорема 5. Если совокупность функций U = (t, r, ), V = V (t, r, ), h = h(t, r, ) удовлетворяет системе уравнений (32), то той же системе уравнений удовлетворяет совокупность функций ( ) r - 1) (2 2 + U(t, r, ) = (t, r, ) +, 2 2 + 2 (1 2) + ( ) fr - 1)(2 - ) 2 + ( (34) V (t, r, ) = V (t, r, ) -, 2 2 + 2 (1 + 2) 2 + 2 t h(t, r, ) = h(t, r, ); = tg, (1 + 2) где величины t, r и определены формулами 2 (1 + 2) t = arctg() + (t), r = r, ( )1 + 2f t = - arctg() - arctg() ; = tg.

y y a b 1.0 1.0.5 0.x x -1.0 -0.5 0.5 -1.0 -0.5 0.5 1.-0.-0.3 -1.-1.Рис. 11: Деформация материального контура при движении жидкости по формулам (35): a — контуры 0 - 4 соответствуют t = 3n/, n = 0 - 4; b — окружности 1, 2 — t = 0; спирали 3, 4 — t = 25/.

Здесь = exp(-2a) > 0; a — групповой параметр; (t) = 2n/, где n ( ) — целое число, такое что t = t|a=0 (2n - 1)/, (2n + 1)/.

Применим теорему к стационарным вращательно-симметричным ре шениям U = = 0, V = V (r) (глубина слоя жидкости восстанавли вается по заданной функции V (r) с использованием третьего уравнения системы (32)). Преобразование (34) приводит к классу осесимметричных периодических по времени решений системы уравнений (32) (1 + 2) r (2 - 1) ( ) h = h r, U =, 1 + 2 2 1 + 2 (35) ( ) (1 + 2) fr ( - 1)(2 - 1) V = V r -.

1 + 22 2 1 + 2Нелинейные колебания жидкости, описываемые классом решений (35), обладают свойством изохронности. Период решения 2 T = = g определяется только кривизной параболоида в полюсе и не зависит от амплитуды колебания. Аналогичные решения были получены и экспериментально подтверждены при анализе осесемметричных решений уравнений (32) (П. Н. Свиркунов, 1996; М. В. Калашник и др., 2004).

Траектории движения частиц на решении (35) имеют вид ( ) 1 + 22 f r(t) = r0, (t) = 0 + arctg() - arctg() + 1 + 2 ) V (r0 )( + arctg() + (t), r0 где (t) определенная выше функция; постоянные r0, 0 задают начальное положение частицы. Траектории частиц являются эргодическими (для любого > 0 существует t > 0, что при t = t частица находится на расстоянии не более от начального положения при t = 0).

Деформация материального контура в процессе эволюции течения (35) показана на рис. 11. Графики получены при V (r) = lr2; g = f = 1;

= 5; l 0, 27; = 3/2. На рис. 11, a материальный контур показан при t = 3n/ (n принимает значения 0 - 4, что соответствует линиям 0 - 4). Пунктир — траектория движения частицы. С ростом времени рассматриваемый контур закручивается в спираль (рис. 11, b). Здесь окружности 1 и 2 — материальные контуры при t = 0; спирали 3 и 4 — соответствующие материальные контуры при t = 25/ 35, 12.

Полученные результаты, в частности, теоремы 4 и 5 обобщены на случай пространственных вертикально-сдвиговых нелинейных колебаний тонкого слоя вращающейся жидкости в круговом параболоиде, описываемых интегродифференциальными уравнениями движения.

Основные научные результаты диссертации.

• Определены скорости распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородной жидкости на основе применения теории обобщенных характеристик к интегродифференциальным системам уравнений движения. Построены обобщенные характеристики и сформулированы условия гиперболичности для:

– модели горизонтально-сдвигового движения тонкого слоя идеальной жидкости в открытом канале переменного сечения;

– уравнений сдвигового осесимметричного движения жидкости в протяженной упругой трубке;

– модели завихренного плоскопараллельного движения двухслойной стратифицированной жидкости со свободной границей;

– одномерного кинетического уравнения разреженной пузырьковой жидкости.

Для рассмотренных интегродифференциальных моделей построены классы точных решений и исследована их устойчивость; доказано существование решений в классе простых волн, непрерывно примыкающих к заданному сдвиговому потоку; дано решение линеаризованных уравнений.

• Предложен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между инвариантами Римана. Применение метода к уравнениям вихревой мелкой воды и кинетическому уравнению Руссо — Смереки разреженной пузырьковой жидкости позволило получить следующие результаты:

– построен специальный класс решений моделей, характеризующийся линейной зависимостью между интегральными инвариантами Римана и описываемый гиперболической системой двух дифференциальных уравнений с двумя параметрами;

– выполнено численное моделирование распространения непрерывных и разрывных длинноволновых возмущений, продемонстрировано влияние пространственной неоднородности потока на распространение волн.

• Выполнен анализ разрывных решений интегродифференциальных моделей сдвигового движения жидкости, в том числе:

– решена задача о распаде произвольного разрыва для уравнений вертикально-сдвигового движения жидкости под крышкой в классе течений с постоянной завихренностью;

– построены последовательности гладких решений уравнений вихревой мелкой воды, сходящиеся к разрывным решениям.

При этом установлено, что сильный разрыв в рамках моделей мелкой воды для сдвиговых движений сочетает свойства ударной (прерывной) волны и контактного разрыва.

• Найдены симметрии и классы точных решений пространственных длинноволновых моделей с учетом эффектов вращения, сдвига скорости и рельефа дна:

– получено точечное преобразование, приводящее уравнения, описывающие пространственные колебания тонкого слоя вращающейся жидкости в круговом параболоиде, к обычным уравнениям мелкой воды;

– построены классы точных решений пространственных уравнений теории длинных волн (периодические по времени решения, стационарные решения с рециркуляционными зонами, а также вращательно-симметричные решения, описывающие различные режимы растекания и схлопывания жидкого кольца).

Основные публикации по теме диссертации [1] Чесноков А. А. Осесимметричные вихревые движения жидкости в длинной эластичной трубе // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 4. С. 76–87.

[2] Чесноков А. А. Характеристические свойства и точные решения кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ. 2003.

Т. 44, № 3. С. 41–50.

[3] Чесноков А. А. О распространении длинноволновых возмущений в двухслойной завихренной жидкости со свободной границей // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2. С. 99–110.

[4] Teshukov V., Russo G., Chesnokov A. Analytical and Numerical Solutions of the Shallow Water Equations for 2-D Rotational Flows // Math.

Models Methods Appl. Sci. 2004. V. 14, № 10. P. 1451–1479.

[5] Руссо Дж., Тешуков В. М., Чесноков А. А. Специальный класс решений кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ.

2005. Т. 46, № 2. С. 33–43.

[6] Чесноков А. А. О взаимодействии сдвиговых потоков идеальной несжимаемой жидкости в канале // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 6. С. 34– 47.

[7] Чесноков А. А. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке // ПМТФ. 2008. Т. 49, № 5. C. 41–54.

[8] Чесноков А. А., Ляпидевский В. Ю. Волновые движения жидкости в узком открытом канале // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 2. С. 61–71.

[9] Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А. Докритические и сверхкритические горизонтально-сдвиговые течения в открытом канале переменного сечения // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 6. С. 123–138.

[10] Chesnokov A. A. Symmetries and exact solutions of the rotating shallowwater equations // Europ. J. Appl. Math. 2009. V. 20. P. 461–477.

[11] Чесноков А. А. Симметрии уравнений теории мелкой воды на вращающейся плоскости // СибЖИМ. 2008. Т. 11, № 3. С. 135–146.

[12] Чесноков А. А. Распространение волн концентрации в пузырьковой жидкости // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, Ч. 2. Спец.

вып. С. 680–685.

[13] Чесноков А. А. Простые волны на сдвиговом потоке идеальной жидкости в удлиненном эластичном канале // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 172–177.

[14] Чесноков А. А. Характеристики, точные и численные решения одномерного кинетического уравнения пузырьковой жидкости // Сб.

трудов IX Всероссийской конференции “Современные проблемы математического моделирования”, Дюрсо: ЮГИНФО, 2001. С. 397–404.

[15] Чесноков А. А. Бегущие волны на сдвиговом потоке идеальной жидкости // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной школы-конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 322–327.

[16] Чесноков А. А. Волновые движения жидкости во вращающемся параболическом бассейне // Сб. трудов XIII Всероссийской конференции “Современные проблемы математического моделирования”, Дюрсо: ЮГИНФО, ЮФУ, 2009. С. 442–449.

Подписано в печать « » 2010 г. Заказ № Формат бумаги 60 84 1/16 Объем 2 п. л.

Тираж 100 экз. Бесплатно Отпечатано в полиграфическом участке ИГиЛ СО РАН 630090 Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева,






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.