WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Сафаров Джумабой Двоякопериодические

обобщенные аналитические функции и их приложения

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальные управления

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Душанбе – 2010

Работа выполнена в Кургантюбинском государственном университете имени Носира Хусрава Республики Таджикистан

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Солдатов Александр Павлович, доктор физико–математических наук, профессор Килбас Анатолий Александрович доктор физико–математических наук, академик АН РТ, профессор Усманов Зафар Джураевич

Ведущая организация: Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится 20 октября 2010г. в 14ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан.

Автореферат разослан 2010г

Ученый секретарь диссертационного совета Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследования, имеющие целью различные обобщения и применения теории аналитических функций одного комплексного переменного встречаются у многих авторов (Д Гильберт, Т. Карлеман, И.Г.

Петровский и др.). Наиболее существенные из них, естественным образом, связаны с узловыми вопросами анализа, геометрии и механики.

В основополагающих работах М.А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Л.Берса, Ф.Д.Гахова, Б.В.Боярского, В.С.Виноградова и их последователей обобщены многие геометрические и аналитические свойства решений уравнений КошиРимана на весьма широкий класс линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа на плоскости. Глубокие результаты впервые были получены в исследованиях М.А.Лаврентьева по квазиконформным отображениям, которые связаны также с задачами газовой динамики. К этому кругу проблем относятся обобщения на решения линейных равномерно эллиптических систем уравнений wz - q1(z)wz - q2(z)wz + a(z)w + b(z)w = f(z), (1) где |q1(z)| + |q2(z)| q0 < 1.

Полная теория систем уравнений (1), когда q1 = q2 = 0 и коэффициенты принадлежат классу Lp, p > 2, построена И.Н.Векуа и Л.Берсом, которая известна под названием теории обобщенных аналитических функций.

В работах Л.Берса и Л.Ниренберга, Б.В.Боярского перенесены ряд важных свойств аналитических функций на решения уравнения (1).

Теория обобщенных аналитических функций и теория решений уравнения (1) получили дальнейшее развитие и нашли многочисленные приложения в работах В.С.Виноградова, Б.В.Боярского, И.И.Данилюка, А.Д.Джураева, В.Н.Монахова, С.Н.Антонцева, Л.Г.Михайлова, З.Д.Усманова, Н.К.Блиева, и др. В работах перечисленных авторов изучены краевые задачи Гильберта, а также задачи Римана. Установлена нетеровость этих краевых задач и получены формулы индекса. Краевые задачи в ограниченных областях для эллиптических уравнений, а также для уравнений с эллиптическими псевдодифференциальными операторами на компактном многообразии являются нетеровыми.

Свойства нетеровости краевых задач в неограниченных областях для уравнения (1) сохраняется, если коэффициенты принадлежат классу Lp, 2(C), p > ( множеству функций f(z) таких, что f(z) и |z|-2f(z) Lp(|z| < 1)). Если в неограниченных областях от коэффициентов уравнения (1) и многомерных эллиптических систем, состоящих из 2n уравнений (n > 1) wz + Q(z)wz + A(z)w + B(z)w = f, (2) где собственные значения матрицы Q(z) лежат внутри единичного круга, не потребовать условия суммируемости, то свойство нетеровости краевых задач не сохраняется. Этот вопрос для систем (1) и (2) равносилен (даже для их разрешимости в целом) справедливости или несправедливости теоремы Лиувилля. И.Н.Векуа было замечено, что если коэффициенты однородного уравнения (1) не принадлежат классу Lp, 2, то пространство ограниченных решений уравнения (1) может быть, как нулевым, так и конечномерным или бесконечномерным. В случае постоянных коэффициентов нарушение теоремы Лиувилля было указано В.С.Виноградовым. В этом случае пространство ограниченных решений уравнения (1) всегда конечномерно, а для системы (2) может быть и бесконечномерным. В.С.Виноградовым найдено необходимое и достаточное условие тривиальности, конечномерности и бесконечномерности пространства решений степенного роста для однородной системы (2) и дан алгоритм получения решений.

Изучение вопроса разрешимости и распространения свойств аналитических функций, а также связанные с ними краевые задачи для систем уравнений (2) изучались в работах А.Дугласа, Б.В.Боярского, А.И.Вольперта, В.С.Виноградова, А.П.Солдатова, Б.Гольдшмидта, Р.Гильберта, И.В.Вендланда, В.Н.Монахова, С.И.Антонцева, А.Д.Джураева, Э.Мухаммадиева, С.Байзаева и др.

Обобщенные аналитические функции с сингулярными коэффициентами впервые изучал Л.Г.Михайлов, который перенес многие свойства аналитических функций на этот случай. В монографии Н.К.Блиева изучены уравнения обобщенных аналитических функций, когда коэффициенты принадлежат пространству Бесова Bp, 1(G), 1 < p < 2, = (2 - p)/p.

В связи с этим важным становится изучение задач о нахождении ограниченных, в том числе, двоякопериодических решений для эллиптических систем первого порядка на плоскости. На важность изучения таких задач впервые указал В.С.Виноградов.

В монографии Л.Берса, Ф.Джона, М.Шехтера рассматривается специальная краевая задача, в которой требуется найти периодическое решение эллиптического дифференциального уравнения высокого порядка. Исследование проводится в гильбертовом пространстве Ht, t > 0. Функциональными методами вопросы о разрешимости сводятся к известной теореме ФредгольмаРисса-Шаудера об уравнениях в гильбертовом пространстве и доказывается фредгольмовость задачи. Э.Мухаммадиевым изучались вопросы разрешимости и фредгольмовости эллиптических уравнений в пространствах периодических функций, заданных во всем пространстве.

Уравнения обобщенных аналитических функций на замкнутой римановой поверхности (рода больше двух) изучены в работах Родина Ю.Л. Даны формулы представления решений и получены аналоги теоремы Абеля и РиманаРоха. Задача существования обобщенных аналитических автоморфных функций методами краевой задачи Карлемана исследована Показеевым В.И. Им же получены первые формулы представления решений через автоморфные функции и изучены задачи нахождения двоякопериодических обобщенных аналитических функций. Аналогичные представления решений для конечной области, на поверхностях более общих, чем риманова поверхность, получены Данилюком И.И.

В работе С.Байзаева для эллиптических систем первого порядка изучался вопрос об ограниченности решений (в том числе периодических) на всей плоскости. В случае линейных систем исследованы вопросы нормальной разрешимости, нетеровости, вычисления индекса задачи об ограниченных решениях в гельдеровых пространствах. Найдены признаки существования ограниченных на всей плоскости периодических решений квазилинейных эллиптических систем первого порядка с главной положительной однородной правой частью.

Задача нахождения двоякопериодических решений эквивалентна задаче нахождения решений на комплексном торе. Для системы (1) задача нахождения двоякопериодических решений является естественным развитием теории эллиптических функций.

Теория эллиптических функций создана в основном в XIX столетии совместными усилиями крупнейших математиков: И.Абелем, К.Якоби, Ж.Лиувиллем, К.Вейерштрассом. Эллиптические функции, как обращение эллиптических интегралов встречаются во многих задачах механики твердого тела, аэродинамики, электростатики, теория упругости и др. Теоретически более простое построение эллиптических функций с применением теории аналитических функций дано Вейерштрассом. Для описания таких функций он ввел функции (z) -дзета, (z)-сигма, (z)-пе. В качестве образующих поля эллиптических функций можно взять и .

В связи с вышесказанным весьма актуальным является разработка методов исследования эллиптических систем первого порядка в классах двоякопериодических функций, что является естественным развитием методов теории обобщенных аналитических функции И.Н.Векуа и теории эллиптических функций Вейерштрасса, когда коэффициенты системы принадлежат пространству Lp, p > 2.

Цель работы. Для эллиптических систем первого порядка (1) исследовать проблему построения теории двоякопериодических решений. Для уравнения обобщенных аналитических функций и более общей системы (1) с помощью эллиптических функций Вейерштрасса ставится задача построения двоякопериодических решений с заданными полюсами, а также с заданными нулями и полюсами. Нахождение приложения двоякопериодических обобщенных аналитических функций к многомерным эллиптическим системам и нелинейным уравнениям.

Методы исследования. В работе применяется и развивается аппарат, разработанный на базе эллиптических функций Вейерштрасса, который является естественным развитием методов теории обобщенных аналитических функций, основанный на соотношениях и формулах, связывающих класс двоякопериодических решений рассматриваемых эллиптических систем с классом эллиптических функций второго рода.

Научная новизна.

• Получены интегральные представления двоякопериодических функций первого и второго рода в функциональных пространствах Wp, p > 2, через дзета и сигма функции Вейерштрасса и изучаются основные свойства получаемых интегральных операторов в Lp, p > 2.

• Доказана фредгольмовость задачи нахождения двоякопериодических решений системы (1), (2) в классе Wp, p > 2, когда коэффициенты принадлежать пространству Lp, p > 2.

• Для решения однородного уравнения обобщенных аналитических функций установлены аналог первой формулы представления и ее обращения, связывающие класс двоякопериодических обобщенных аналитических функций с классом эллиптических функций второго рода. Даны условия существования и формулы построения двоякопериодических обобщенных аналитических функций с заданными полюсами, а так же с заданными нулями и полюсами.

• Для неоднородного уравнения обобщенных аналитических функций найдены условия на коэффициенты при выполнении которых, в одном случае оно допускает решение при любой правой части, а в другом случае найдены условия разрешимости для правой части уравнения. В каждом случае даны описания ядра и коядра задачи.

• Построен некоторый квазипериодический гомеоморфизм уравнения Бельтрами, который на своей плоскости обеспечивает существование эллиптических функций Вейерштрасса. Найдены условия существования двоякопериодических решений уравнения Бельтрами и построены эти решения.

• Для системы (1) установлены аналоги формулы представления Б.В.Боярского, Л.Берса и Л.Ниренберга, связывающие класс двоякопериодических решений системы с классом эллиптических функций второго рода на плоскости квазипериодического гомеоморфизма уравнения Бельтрами. В некоторых частных случаях системы (1) найдены необходимые и достаточные условия разрешимости и полностью описаны ядра и коядра задачи. Для системы (1) общего вида указаны два способа получения двоякопериодических решений.

• Исследована задача нахождения двоякопериодических по каждому переменному (при фиксировании остальных) решений для переопределенной системы уравнений обобщенных аналитических функций со многими комплексными переменными. Даются приложения двоякопериодических обобщенных аналитических функций и полностью описаны ядро и коядро задачи.

• Найдены применения двоякопериодических обобщенных аналитических функций к описанию ядра и коядра задачи нахождения двоякопериодических решений для некоторых классов эллиптических систем вида (2) и эллиптических систем второго порядка, а также для нелинейных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. В работе построена теория двоякопериодических обобщенных аналитических функций и решений системы (1), представляющая собой существенное расширение классической теории эллиптических функций, но вместе с тем сохраняющая ее основные характерные черты. Разработан аналитический аппарат на базе теории эллиптических функций Вейерштрасса, который применяется к исследованию квазилинейных равномерно эллиптических систем вида (1), эллиптических систем второго порядка на плоскости (линейных и нелинейных).

Прикладное и теоретическое значение самих эллиптических функций и системы уравнения (1) могут определять применения полученных результатов к задачам анализа, геометрии и механики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара Института математики АН РТ, на семинаре отдела уравнений с частными производными АН РТ (рук. академик АН РТ А.Д.Джураев, 1981-2000г.), на семинаре отдела уравнений математической физики АН РТ (рук. академик АН РТ Л.Г. Михайлов) на семинаре отдела уравнений в частных производных МИРАН им. В.А.Стеклова (1977-1991г рук. чл. корр. РАН А.В.Бицадзе), на семинаре кафедры теория функции и математического анализа ТНУ (рук. академик АН РТ Н.Р.Раджабов), на семинаре кафедры математического анализа МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.И.Прилепко, 2009), на семинаре кафедры Высщей математики Вологодского государственного технического университета (рук. проф. Э.М.Мухамадиев, 2009), на семинаре кафедры математического анализа Курган-Тюбинского госуниверситета, на международной конференции “Обобщенные функции и приложения в математической физике“, Москва,1981г., на республиканской научной конференций по математической физике Душанбе, 1983г., на всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987г), на школе-семинаре “Актуальные вопросы комплексного анализа“ (Ташкент, 1989г.), на конференции “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики” - вторые Боголюбовские чтения (Душанбе, 1992г.), на международной конференции “Нелинейные уравнения математической физики и их приложения“ (Киев, 1996г.), на международной конференции “Современные проблемы математики, механики и их приложений“, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего (Москва, 2009г.), на ряде международных и республиканских конференциях по дифференциальным уравнениям и теории функции, проводившиеся в Таджикистане (1997, 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликованы около 38 работ. Основные результаты диссертации содержатся в 28 работах, список которых приведены в конце автореферата. Из работ, написанных совместно с И.В.Показеевым, в диссертации изложены результаты, которые получены непосредственно автором.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 2страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и 33 параграфа. Библиография содержит 124 источника на русском и иностранных языках. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и приводятся основные результаты диссертации.

l n Обозначим через L, Wp, C – класс двоякопериодических функций, с осp новными периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0, принадлежащих соответственно l классам Lp(), Wp(), Cn() Cn-1(), где один из параллелограммов периодов. Очевидно, что L Lp(C) =, p 1.

p В первой главе работы исследуется вопрос существования и нахождения двоякопериодических, с основными периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0, реше ний для уравнения обобщенных аналитических функций wz + a(z)w + b(z)w = f(z). (3) Двоякопериодическое решение уравнения (3) при a, b, f L, p > 2, поp нимается, как в обобщенном, так и в регулярном смысле И.Н.Векуа. Регуляр ные двоякопериодические решения – решения класса Wp, p > 2. Обобщенные двоякопериодические решения допускают конечное число полюсов в основном параллелограмме и принадлежат классу Wp (0), p > 2, где 0 – любая подобласть , не содержащая полюсов решения. Класс таких решений обо значается через W, p > 2, где r – число полюсов решения в с учетом p, r их кратности.

В §1.1 приведены основные свойства эллиптических функций и формулы их представления посредством функции Вейерштрасса (z) – дзета, (z) – сигма, (z) – пе.

В §1.2 приводятся свойства и формулы представления эллиптических функций второго рода, то есть класса мероморфных функций, удовлетворяющих условиям (z + h1) = µ1(z), (z + h2) = µ2(z), (4) hгде µ1, µ2 – постоянные множители, Im = 0. При исследовании уравнения h (1) в классе W возникает вспомогательная задача, связанная с классом p, r эллиптических функций второго рода, удовлетворяющих условию (z + h1) = (z)exp(1D), (z + h2) = (z)exp(2D), (5) где 1 = 2(h1/2), 2 = 2(h2/2), D некоторое число. Класс функций, удовлетворяющих условию (5), допускающих в r- внутренних точках параллелограмма полюсы, как у аналитических функций, и принадлежащих классу Wp (0), p > 2, 0 – любая подобласть области , не содержащая полюсов, D D обозначается через Mr. Число r называется порядком функций класса Mr.

D Если D = 0, r = 0, то M0 =Wp, p > 2. Когда D = [h2 ln µ1 - h1 ln µ2], 2i то условия существования и формулы представления мероморфных функций, удовлетворяющих условий (4) и (5), ничем не отличаются.

В случае D = {m1h1 + m2h2}, m1, m2 – целые числа, свойства мероD морфных функций класса Mr аналогичны свойству эллиптических функций, и r 2. Если же D , то в отличии от эллиптических функций, всегда можно построить эллиптические функции второго рода с заданными полюсами, а также с полюсами и нулями. В этом параграфе также приведен ряд свойств квазиэллиптических функций, то есть мероморфных функций, удовлетворяющих условию f(z + h1) = f(z) + A1, f(z + h2) = f(z) + B1, hгде A1, B1 – постоянные, Im = 0.

hВ §1.3 получены интегральные представления двоякопериодических функций первого рода (то есть двоякопериодические в обычном понимании) и вто 1 1 D рого рода, соответственно, в классах C, Wp, p > 2 и M0.

1 Лемма 1.3.1. Пусть w C. Тогда для любой точки z справедлива формула 1 h h 1 w(t)dt - 2 w(t)dt - w(z) = w( - z)d, 2i 0 0 где = 1 + i2, 1 = 2(h1/2), 2 = 2(h2/2), – параллелограмм с вершинами 0, h1, h1 + h2, h2, d-элемент площади .

Номера лемм и теорем соответствуют их номерам в диссертации.

Из этой формулы при wz = 0 следует утверждение теоремы Лиувилля, а в случае w(z) const получается соотношение Лежандра для величин h1, h2, 1, 2, то есть 1h2 - 2h1 = 2i.

Изучаются свойства интегрального оператора T = - ()( - z)d, L, p > 2.

p Доказывается, что T является вполне непрерывным оператором в L, p > 2;

p функция g(z) = T удовлетворяет условию g(z + hj) = g(z) + j0, 0 = d, j = 1, и допускает обобщенные производные (T)z = (z), (T)z = S, где S – сингулярный интеграл, который существует в смысле главного значения и S : L L, p > 1, причем S L = 1.

p p T : { : L, d = 0} W, p > 2.

p p Доказаны следующие теоремы:

D Теорема 1.3.3 Пусть w M0, D . Тогда существует постоянная c такая, что справедлива формула w(z) = e-bz c + T wzebz, где число b удовлетворяет уравнению exp(bh + D) = 1, а при D = 0, b = 0.

D Теорема 1.3.4 Пусть w M0, D . Тогда имеет место 1 ( - z - D) w(z) = w d T(wz), (-D)( - z) где (z) – сигма-функция Вейерштрасса.

Интегральный оператор T обладает свойствами:

1) T является вполне непрерывным оператором в Lp(), p > 2;

2) функция (z) = T(z) удовлетворяет условию (z + h) = (z)exp(D), h = m1h1 + m2h2, = m11 + m22, m1, m2 – целые числа;

3) (T)z = (z), (T)z = S, где S – сингулярный интеграл, который существует в смысле главного значения и S : Lp() Lp(), p > 1;

D 4) T : { : Lp()} M0, p > 2.

В §§1.4-1.5 находятся решения неоднородного уравнения Коши-Римана wz = f(z) (6) D в классе Mr, где f(z) удовлетворяет условию (4) и f Lp(), p > 2.

D В §1.4 выписываются все решения уравнения (6) в классе M0 и доказываD ется, что уравнение (6) фредгольмово в классе M0.

D В §1.5 отыскиваются решения уравнения (6) из класса Mr, r 1, с заданными полюсами b1, b2, · · ·, br и главными частями вида mk Ak A(l-1)(l - 1)! + (-1)l-1 k. (7) z - bk l=2 (z - bk)l Показано, что при D уравнение (6) всегда имеет решение с главными частями вида (7), а при D разрешимо лишь при условии r Akexp(bbk) = f(z)exp(bz)d, k= где число b удовлетворяет уравнению exp[bh + D] = 1.

В §1.6 исследуются задача нахождения решений однородного уравнения (3) из класса W, p > 2, r 0, при a, b, f L, p > 2. Доказывается один доp, r p статочный признак об отсутствии ненулевых решений однородного уравнения +в классе C, 0 < < 1 (теорема 1.6.1).

Рассматривается сначала уравнение вида wz + a(z)w = 0, (8) все решения которого из класса W даются формулой p, r w(z) = (z)exp{-Ta}, (9) D где (z) – эллиптическая функция второго рода из класса Mr, D = a0 = a(z)d.

Теорема 1.6.2. 1) Пусть N и P число нулей и полюсов решений уравнения (8), лежащие внутри параллелограмма . Тогда необходимо N = P.

2) Если b1, b2, · · ·, br – полюсы и a1, a2, · · ·, ar – нули решений уравнения (8), то для существования таких решений уравнения (8) необходимо и достаточно, чтобы r (bi - ai) a0mod(h1, h2).

i=При этом все его решения выражаются формулой (z - - a2) · · · (z - ar) a)(z w(z) = c exp[-Ta], (10) (z - b1)(z - b2) · · · (z - br) где = a1 + mh1 + nh2, m, n – некоторые целые числа, c – произвольная a постоянная.

Теорема 1.6.3. Пусть w(z) – решение уравнения (8) из класса W с p, r главными частями вида (7). Тогда при a0 для его существования необходимо и достаточно, чтобы r Ak = 0, A(j) = A(j)exp[bbk + Ta(bk)], A(0) = Ak.

k k k k=При этом решение представимо в виде r w(z) = c + Ak(z - bk) + A(l-1)(l-2)(z - bk) k k=1 k,l exp [-bz - Ta], (11) где c – произвольная постоянная, а число b удовлетворяет уравнению exp[bh + a0] = 1. При a0 = 0, b = 0.

Из теоремы 1.6.2 и 1.6.3 при a(z) 0 получаются условия существования эллиптических функций и известные формулы их выражения через и функции Вейерштрасса.

Теорема 1.6.4. Пусть a0 и выполнены все условия теоремы 1.6.3. Тогда уравнение (8) всегда допускает решение с заданными главными частями вида (7) и оно задается формулой r (z - z0) w(z) = c1 + d1(z - z0) + Bk(z - bk)+ (z - z1) k= (l-1) + Bk (l-2)(z - bk) exp (-Ta), (12) k,l(l) где z1 - z0 = a0, постоянные c1, d1, Bk, Bk связаны условиями r (bk - z1) (j) (0) d1 + Bk = 0, Bk = A(j)expTa(bk), Bk = Bk, k (bkz - z0) k=r (l-1) c1 + d1(z1 - z0) + Bk(z1 - bk) + Bk (l-2)(z1 - bk) = 0, k=1 k,lbk - z0, bk - z1 , k = 1, 2, · · ·, r.

Теорема 1.6.5. Пусть w(z) – решение однородного уравнения (3) из класса W, p > 2. Тогда имеет место представление p, r w(z) = (z)exp(z), (13) D где (z) эллиптическая функция второго рода класса Mr, (z) = w = -T a + b, w 1 w D = a + b d, w удовлетворяющая условию (z + h) = (z)exp[D], (14) h = m1h1 + m2h2, = m11 + m22, m1, m2 – целые числа.

В работах Данилюка И.И., Родина Ю.Л. и Показеева В.И. получены формулы представления решений вида (13) для случая римановых поверхностей и автоморфных обобщенных аналитических функций, в котором ядро подинтегрального выражения является инвариантным относительно z, или автоморфным, соответственно. В нашем случае ядро не является двоякопериодическим.

В равенстве (14), принимая числовое значение D в виде 1 w D = a0 = a(z)d, b(z) d = 0, (15) w из нелинейного интегрального уравнения (13) однозначным образом опредеD ляется решение однородного уравнения (3) по заданной функции (z) Mr при D = a0.

Теорема 1.6.6. Пусть v(z) – произвольное решение уравнения (8) из клас са W, p > 2, r 0, имеющее те же особенности, что и w(z) – решение p, r однородного уравнения (3) и z0 – фиксированная точка, w(z0) = v(z0). Тогда при выполнении условия v(z) b(z) V (z)d = 0, (16) v(z) где v v V (z) = 1 + S1(t, z)d + S2(t, z)d, (17) v v S1, S2 – резольвенты интегрального уравнения V (z)+ ( )0 = bV T = T(z) - T(z0), b(z) = b(z)v(z)/v(z), решение уравнения (3) одноT значно представляется в виде w(z) = v(z)V (z), v(z) = (z)exp(-Ta). (18) Отправляясь от формулы (18) по заданной эллиптической функции из D класса Mr, D = a0, можно найти решения однородного уравнения (3) с заданными полюсами, а также с полюсами и нулями.

Следствие 1.6.2. Всякое решение однородного уравнения (3) из класса Wp, p > 2, при выполнении условия теоремы 1.6.6, представимо в виде cexp(-dz - Ta)V (z), если a0 , w(z) = 0, если a0 , где c – некоторая постоянная, а постоянная d удовлетворяет уравнению exp[dh + a0] = 1, V (z0) = 1, w(z0) = cexp[-dz0 - Ta(z0)].

Это следствие подтверждает ранее полученные Родиным Ю.Л аналогичные результаты в случае замкнутых римановых поверхностей.

В §1.7 находятся решения неоднородного уравнения (1) из класса W, p > 2, r 0 при a, b, f L, p > 2.

p, r p Вначале выписывается все решения модельного уравнения wz + a(z)w = f(z) (19) из класса W. Показано, что в случае a0 уравнение (19) при любой p, r правой части имеет решение с главными частями (7) (теорема 1.7.2). При a0 найдены необходимые и достаточные условия разрешимости и выписаны все решения (теорема 1.7.1).

Когда решение уравнения допускает нули и полюсы, то справедлива Теорема 1.7.3. Пусть полюсы b1, b2, · · ·, br и нули a1, a2, · · ·, ar решения уравнения (19) связаны условием b1 + b2 + · · · + br = a1 + a2 + · · · + ar + a0, r и r (z - ak) (z) = ; -1(z)exp[Ta]f(z) L, p > 2.

p (z - bk) k= Тогда для разрешимости уравнения (19) в классе W, p > 2, r 2 с заp, r данными нулями и полюсами необходимо и достаточно, чтобы -1(z)exp[Ta]f(z)d = 0.

При этом любое его решение выражается формулой w(z) = (z)exp(-Ta) c + T(-1(z)exp[Ta]f(z)), где c – произвольная постоянная.

Следствие 1.7.3. Уравнение (19) в классе Wp, p > 2, фредгольмово.

Для нахождения решений уравнения (3) общее его решение представляется в виде w(z) = w0(z) + w1(z), (20) где w0(z) – решение однородного уравнения, которое найдено в §1.6, а w1(z) – частное решение неоднородного уравнения (3), которое требуется найти. При этом выделяются два случая: 1) решение уравнения (3) имеет только полюсы;

2) решение имеет полюсы и нули.

В первом случае частное решение уравнения (1) ищется в классе Wp, p > 2, а во втором случае в классе W, p > 2, r 1.

p, r Теорема 1.7.4. Пусть решение уравнения (3) из класса, p > 2 имеW p, r ет полюсы b1, b2, · · ·, br, а v(z) – решение уравнения (8) с этими полюсами.

Пусть z0 – фиксированная точка , а для решения соответствующего однородного уравнения (1) выполнены условия теоремы 1.6.6 и a0 . Тогда уравнение (3) в классе, p > 2, r 2 имеет решение, представимое в W p, r виде w(z) = w0(z) + v1(z)exp[-dz - Ta], если выполняется условие -f1(t) + b1(t)v1(t) d = 0, где w0(t) – решение однородного уравнения с полюсами b1, b2, · · ·, br, постоянная d удовлетворяет уравнению exp[dh+a0] = 1, b1(z) = b(z)exp[-dz - Ta+ +dz + Ta], f1(z) = f(z)exp[dz + Ta], а v1(z) имеет вид v v v1(z) = Tf1 + S1(t, z)Tf1d + S2(t, z)Tf1d, v v S1, S2 – резольвенты интегрального уравнения v1(z)+ (b1v1) = Tf1, v1(z0) = Tf1(z0).

T Теорема 1.7.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.7.4 и a0 . То гда уравнение (3) в классе W, p > 2, r 1 при любой правой части p, r допускает решение вида w(z) = w0(z) + v2(z), где w0(z) – решение однородного уравнения с полюсами b1, b2, · · ·, br, а v2(z) представимо в виде 1 v2(z) = F1(z) + S(t, z)F1(t)d + S(t, z)F1(t)d, 1 S, S – резольвенты интегрального уравнения v2(z) + exp[-Ta]T( = exp[-Ta]Tf = F1(z), b1v2) b1(z) = b(z)expTa, f = f(z)expTa.

Теорема 1.7.6. Пусть b1, b2, · · ·, br – полюсы и a1, a2, · · ·, ar – нули решения уравнения (3), связанные условием теоремы 1.6.2, а v(z) – решение уравнения (8) с этими полюсами и нулями. Пусть z0 – фиксированная точка области , а для решения соответствующего однородного уравнения (3) выполнены условия теоремы 1.6.6 и v-1f(z) L, p > 2. Тогда при выполнеp нии условия b1(z)v3(z)d = f1(z)d, где b1(z) = b(z)v(z)/v(z), f1(z) = f(z)v-1(z), v v v3(z) = Tf1 + S1(t, z)Tf1d + S2(t, z)Tf1d, v v S1, S1 – резольвенты интегрального уравнения v3(z)+ ( = Tf1, v3(z0) = Tf1(z0), b1v3) T решение уравнения (3) с заданными нулями и полюсами представляется в виде w(z) = v(z)[v0(z) + v3(z)], а v0(z) имеет вид (17) и v0(z0) = 1.

Во второй главе (§§2.1 – 2.7) исследуются задачи существования и нахождения двоякопериодических решений с основными периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0 для уравнения Бельтрами wz - q(z)wz = 0, (21) где q(z) – двоякопериодическая функция с периодами h1, h2, и |q(z)| q0 < 1.

Уравнение Бельтрами представляет самостоятельный интерес и имеет важные приложения к задачам анализа, геометрии и механики. В связи с этим уравнение (21) изучалось в работах И.Н.Векуа, Л.Альфорса, Л.Берса, Б.В.Боярского, Н.И.Положего, Н.К.Блиева и др.

В первом параграфе (§2.1) этой главы привед ряд свойств решений уравен нения Бельтрами. Для этого уравнения основным вопросом является построение некоторого его гомеоморфизма (z), реализующего топологическое отображение плоскости Cz на плоскость C.

Определение. Гомеоморфизм (z) плоскости Cz на плоскости C уравнения (21) называется основным квазипериодическим гомеоморфизмом с периодами h1, h2, если (z) удовлетворяет условиям (0) = 0, (z + h) = (z) + h, (22) где h = m1h1 + m2h2, h = m1 + m2 m1, m2 – целые числа, h1, h2 – числа, h1 h2, h такие, что Im = 0. Случай h1 = h1, h2 = h2 не исключается.

hТеорема 2.2.1. Пусть q(z) – двоякопериодическая функция с периhодами h1, h2, Im = 0, измеримая в основном параллелограмме и h|q(z)| q0 < 1. Тогда существует единственное регулярное (из Wp ()) решение уравнения (21), удовлетворяющее условию (22), причем z L, p p > 2. Такое решение уравнения (21) имеет вид w(z) = z+ , = T(z) - T(0), (23) T T где – решение сингулярного интегрального уравнения (z) - qS = q(z), = (1 - qS)-1q L, p > 2.

p Теорема 2.2.2. Пусть q(z) Wp, p > 2 и |q(z)| q0 < 1. Тогда квазипериодическое решение уравнения Бельтрами w(z) Wp (), p > 2 является гомеоморфизмом всей плоскости с якобианом I(z) > 0.

Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.1. Тогда основной квазипериодический гомеоморфизм (z) уравнения Бельтрами является гомеоморфизмом всей плоскости Cz.

Гомеоморфизм (z) обладает свойствами:

1) при отображении (z) решетка периодов = {m1h1 + m2h2} плоскости Cz переходит в решетку = () = {m1 + m2 m1, m2 – целые числа;

h1 h2}.

2)конгруэнтные по модулю точки z1, z2 переходят в конгруэнтные по модулю точки (z1), (z2);

3) при q0 = z(z)q(z)d = все точки решетки являются неподвижными точками отображения (z), () ;

l l 4) если q(z) Wp, то z, z Wp, p > 2, l 1.

В §2.3, на основе формулы Грина, доказан ряд соотношений для основного квазипериодического гомеоморфизма (о.к.г.) (z), которые носят вспомогательный характер.

В §§2.4 – 2.6 отыскиваются двоякопериодические решения уравнения (21).

Согласно теореме о представлении, обобщенные двоякопериодические решения уравнения (21) с периодами h1, h2 представляются в виде, w(z) = ((z)), (24) где (u) – эллиптическая функция на плоскости о.к.г. (z) с основными пе риодами h1, h2.

Обобщенные двоякопериодические решения уравнения (21), представимые в виде (24), называются обобщенными эллиптическими функциями с периодами h1, h2. Иначе говоря, обобщенные эллиптические функции – мероморфные двоякопериодические функции на плоскости о.к.г. (z) уравнения Бельтрами.

Множества всех обобщенных эллиптических функций образуют некоторое по ле K.

В §2.4 исходя из формулы (24) найдены условия существования функции w(z) K. Порядок функции w(z) K определяется порядком эллиптической функции (z). Если число r – порядок функции поля K, то r 2. Число нулей и полюсов функции w(z) K внутри параллелограмма периодов одина ково и если b1, b2, · · ·, br – полюсы и a1, a2, · · ·, ar – нули функции w(z) K, то r ((bk) - (ak)) 0mod( (25) h1, h2).

k=В случае q(z) 0 формула (25) совпадает с известной формулой теории эллиптических функций (частный случай теоремы Абеля).

В §2.5 определяются эллиптические функции Вейерштрасса (u), (u), (u) на плоскости о.к.г. (z) уравнения Бельтрами, как обобщенные решения уравнения (21).

Обобщенная дзета-функция (z) = ((z)) определяется в виде 1 1 (z) ((z)) = + + +, (26) (z) (z) - h h hгде штрих означает, что суммирование ведется по не равным нулю периодам h h = m1 + m2 m1, m2 = 0, ±1, ±2,, · · ·, Im > 0.

h1 h2, hФункция ((z)) имеет свойства:

1) ((z)) - 0 при z 0;

(z) 2) (z + h) = ((z) + h) = ((z)) + = (z) + , h = m1h1 + m2h2, h = m1 + m2 = m11 + m22, 1 = ( 2 = ( h1 h2, h1)/2, h2)/2;

3) величины h1, h2, 1, 2 связаны между собой соотношением Лежандра 1 - 2 = 2i. (27) h2 hОбобщенная сигма-функция (z) = ((z)) определяется соотношением ((z)) = ((z)), ((z)) и обладает свойствами:

1) ((z)) является решением уравнения Бельтрами и имеет простые нули в точках решетки (или );

2) lim ((z))/(z) = 1;

z h 3) (z + h) = ((z) + h) + (z) exp (z) +, где h = m1h1 + m2h2, h = m1 + m2 = m11 + m22. = 1, если h/2 , = -1, если h1 h2, h/2 ;

4) (z) является функцией общего вида, в то время, как (u) – нечетная.

Обобщенная пе-функция (z) = ((z)) определяется равенством d ((z)) = - ((z)) =.

d и обладает следующими свойствами:

1) ((z)) – является обобщенной эллиптической функцией второго рода, то есть (z) K;

2) lim ((z)) - = 0;

z2(z) 3) (z) удовлетворяет дифференциальному уравнению 2 = z(43 - g2 - g3), z где g2, g3 – инварианты и 1 g2 = 60, g3 = 140.

h4 h В §2.6 даются формулы представления произвольной функции w(z) K посредством функций ((z)), ((z)), ((z)). Эти формулы обобщают известные формулы из теории эллиптических функций.

Теорема 2.6.2 Пусть известны полюсы b1, b2, · · ·, br обобщенной эллиптической функции w(z) внутри параллелограмма , с главными частями вида mk Ak (l - 1)!A(l-1) k + (-1)l-1, (28) (z) - (bk) ((z) - (bk))l l=r причем Ak = 0 и каждый полюс считается столько раз, какова его кратk=ность. Тогда функция w(z) представляется в виде r mk w(z) = A + Ak((z) - (bk)) + A(l-1)(l-1)((z) - (bk)), (29) k k=1 l=где A – произвольная постоянная.

Теорема 2.6.4. Всякая обобщенная эллиптическая функция w(z) представима в виде w(z) = R1[((z))] + R2[((z))] ((z)), где R1, R2 – рациональные функции своих аргументов.

В §2.7 находятся условия существования и формулы представления обобщенных эллиптических функций второго рода, то есть мероморфных решений уравнения Бельтрами, удовлетворяющих условиям w(z + h1) = µ1w(z), w(z + h2) = µ2w(z), (30) где µ1, µ2 – постоянные множители, Im(h2/h1) = 0.

Пусть (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами с периодами h1, h2, Im(h2/h1) = D 0. Обозначим через Mr класс функций, удовлетворяющих условиям (z + h1) = (z)exp[1D], (z + h2) = (z)exp[2D], (31) имеющих в r точках, лежащих в параллелограмме периодов , полюсы, как у решений уравнения Бельтрами, и (z) Wp (0), p > 2, где 0 любая подобласть области , не содержащая полюсы (z), 1 = 2( h1/2), 2 = 2( hh2/2), D – некоторое число. При D = [ ln µ1 - h1 ln µ2], условия су2i ществования и формулы представления обобщенных эллиптических функций удовлетворяющих условиям (30) и условиям (31), друг от друга не отличаются.

D Поэтому достаточно дать описание функций класса Mr. Доказаны следующие теоремы, которые являются обобщением теорем гл.I, §1.2.

Теорема 2.7.1. 1) Пусть N – число нулей и P – число полюсов обобщенD ной эллиптической функции класса Mr. Тогда необходимо, чтобы N = P.

2) Если b1, b2, · · ·, br – полюсы и a1, a2, · · ·, ar – нули обобщенной эллипD тической функции (о.э.ф) w(z) класса Mr, то для существования функции w(z) необходимо и достаточно, чтобы r [(bk) - (ak)] Dmod( h1, h2).

k=При этом функция w(z) представляется в виде ((z) - (a))((z) - (a1)) · · · ((z) - (ar)) w(z) = C, ((z) - (b1))((z) - (b2)) · · · ((z) - (br)) где C – произвольная постоянная, (a) = (a1) + m + n m, n – некоh1 h2;

торые целые числа, а при D , r 2.

D Теорема 2.7.2. Пусть w(z) – о.э.ф. класса Mr имеет полюсы b1, b2, · · ·, br с главными частями вида (28) и D . Тогда для ее существования необходимо и достаточно, чтобы r Ak = 0, A(j) = A(j)exp[b(bk)], A(0) = Ak.

k k k k=При этом все такие функции имеют вид w(z) = ((z))exp[-b(z)], где число b удовлетворяет уравнению exp[b + D = 1, а ((z)) имеет h ] вид (29) с коэффициентами A(j).

k Теорема 2.7.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.7.2 и D . ТоD гда существует о.э.ф. класса Mr с главными частями вида (28), которая выражается формулой ((z) - (z0)) w(z) = µ((z)), ((z) - (z1)) где (z1) - (z0) = D, µ((z)) – о.э.ф. вида r µ((z)) = c1 + d1((z) - (z0)) + Bk((z) - (bk))+ k= (l-1) + Bk (l-2)((z) - (bk)).

k, l(j) Постоянные c1, d1, Bk связаны условиям r ((bk) - (z1)) (j) (0) d1 + Bk = 0, Bk = A(j), Bk = Bk, k ((bk) - (z0)) k=µ((z1)) = 0, (bk) - (z0), (bk) - (z1) .

Эти теоремы обобщают известные теоремы для эллиптических функций второго рода. Из теорем 2.7.1. – 2.7.2 следует D Следствие 2.7.1. Пусть w(z) – о.э.ф. из класса M0. Тогда имеет место представление cexp[-b(z)], если D , w(z) = 0, если D , где c – произвольная постоянная, а константа b такая же, как в теореме 2.7.2.

Также в этом параграфе получены условия существования и формулы представления обобщенных квазиэллиптических функций с периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0, то есть мероморфных решений уравнения Бельтрами, удовлетворяющих условиям w(z + h1) = w(z) + A, w(z + h2) = w(z) + B, A, B - const, с заданными главными частями вида (28).

В главе III (§§3.1 – 3.10) результаты главы I распространяются для равномерно эллиптического уравнения (1). В §3.1 привед ряд свойств решений ен однородных уравнений вида (1), которые носят вспомогательный характер. В §3.2 доказывается один достаточный признак отсутствия решений класса C для однородного уравнения (1), когда q2(z) = 0.

В §3.3 изучается вопрос разрешимости уравнения (1) в классе Wp, p > 2.

При довольно общих предположениях относительно коэффициентов q1, q2, a, b и правой части f доказывается Теорема 3.3.1. Уравнение (1) фредгольмово в классе, p > 2.

W p В §§3.4 – 3.5 получены интегральные представления функций классов 1 1 D C, Wp, p > 2 и M0 посредством оператора Бельтрами B = z - q(z)z, где q(z) C, 0 < < 1, |q(z)| q0 < 1, через обобщенные функции Вейерштрасса ((z)) и ((z)), где (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами B 0.

Теорема 3.4.2. Пусть w(z) C и (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами с периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0. Тогда для любой точки z справедлива формула 2 h h 1 w(t)d(t) - 2 w(t)d(t) w(z) = 2i 0 - t(t)((t) - (z))B[w(t)]d, где 1, 2 – циклические постоянные функции ((z)) (обобщение леммы 1.3.1.).

Из этой формулы при w(z) = const получается соотношение Лежандра для величин h1, h2, 1, 2. Если B[w] = 0, то w(z) = const (теорема Лиувилля).

Доказано, что интегральный оператор T = - t(t)(t)((t) - (z))d, (32) где L, p > 2, обладает свойством p T : : L, t(t)(t)d = 0 , p > W p p и функция g(z) = T допускает обобщенные производные по z и z, которые вычисляются формулами T = (z) + zS, T = z(z)S, z z где S – сингулярный интеграл, который существует в смысле главного зна чения и S : L L, p > 1.

p p D В §3.5 даны интегральные представления функций класса M0 (см.гл.II) Теорема 3.5.2. Пусть (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами с периодами D h1, h2 и D . Тогда для функции w(z) M0 справедлива формула w(z) = exp[-d(z)] c + T (expd(z)B[w]), где c – произвольная постоянная, а постоянная d удовлетворяет уравнению exp[d + D = 1.

h ] При D = 0, d = 0 из этой формулы получается представление функций из , p > 2.

W p D Теорема 3.5.3. Пусть D и w(z) M0. Тогда для любой точки z имеет место формула 1 ((t) - (z) - D) w(z) = - t(t) B[w]d TB[w], (-D)((t) - (z)) где ((z)) – сигма – функция Вейерштрасса, (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами.

Эти теоремы являются обобщением теорем 1.3.3 и 1.3.4.

Изучаются свойства интегрального оператора T. Доказывается, что D T : { : Lp()} M0, p > и производные функции g(z) = T вычисляются формулами T = (z) + z(z)S, T = z(z)S, z z где S – сингулярный интеграл, который существует в смысле главного зна чения, S : Lp() Lp() и удовлетворяет условию (31).

В §§3.6. – 3.7 исследуется вспомогательная задача отыскания решений неоднородного уравнения Бельтрами wz - q(z)wz = f(z) (33) D из класса Mr, r 0, q(z) C, 0 < < 1, f(z) – удовлетворяет условию (31) и f(z) Lp(), p > 2.

1.Пусть (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами и решение уравнения (33) в полюсах b1, b2, · · ·, br имеет соответственно главные части вида (28).

Приведем результаты §3.7 из которых следуют результаты §3.6 при D = 0.

Показано, что при D уравнение (33) имеет решение с главными частями вида (28) лишь при выполнении условия r = z(z)f(z)exp[d(z)]d, ck k= где число d то же самое, что и в теореме 3.5.2, (j) = A(j)expd(bk). При ck k D уравнение всегда имеет решение с главными частями вида (28) для любой правой части.

2. Пусть теперь решение уравнения (33) допускает полюсы b1, b2, · · ·, br и нули a1, a2, · · ·, ar внутри параллелограмма и выполнены условия теоремы 2.7.1. Тогда функция ((z) - (a))((z) - (a2)) · · · ((z) - (ar)) (z) =, (34) ((z) - (b1))((z) - (b2)) · · · ((z) - (br)) где (z) = (a1) + m + n m, n – некоторые целые числа, причем при h1 h2, D , r 2 удовлетворяет однородному уравнению (33).

Теорема 3.7.2. Пусть b1, b2, · · ·, br – полюсы и a1, a2, · · ·, ar – нули реD шения уравнения (33) из класса Mr, r 2 и -1(z)f(z) L, p > 2, (z) p D имеет вида (34). Тогда для разрешимости уравнения (33) в классе Mr, r с заданными нулями и полюсами, необходимо и достаточно, чтобы z(z)-1(z)f(z)d = и все его решения представляются в виде w(z) = (z) c + T(-1(z)f(z)), где c – произвольная постоянная.

D Следствие 3.7.3. Уравнение (33) фредгольмово в классе M0.

В §3.8 изучается вопрос существования и нахождения двоякопериодических решений класса W для однородного уравнения вида p, r wz - q(z)wz + a(z)w + b(z)w = 0, (35) где q(z) C, 0 < < 1, a, b L, p > 2.

p Теорема 3.8.6. Для всякого решения уравнения (35) из класса W, p, r p > 2, справедлива формула представления w w(z) = ((z))exp -T a + b, (36) w D где (z) = ((z)) – обобщенная эллиптическая функция класса Mr, 1 w D = z a(z) + b(z) d, если w = 0, при w = 0, w D = z[a(z) + b(z)]d.

Формула (36) устанавливает, с точностью до постоянного множителя, взаимное однозначное соответствие между решениями уравнения (35) и обобD щенными эллиптическими функциями класса Mr, где число D определено в теореме 3.8.5. Связь, осуществляемая формулой (36), является нелинейной, если b(z) = 0.

Если b(z) 0, то формула (36) дает общее представление всех решений уравнения wz - q(z)wz + a(z)w = 0 (37) из класса W, p > 1, r 0. С помощью теорем 2.7.1 – 2.7.3 выписываются p, r все решения уравнения (37) посредством обобщенных эллиптических функций D второго рода класса Mr, где D = a0 = z(z)a(z)d.

Как в главе I, формула (36) записывается в виде w w(z) = v(z)exp -T b, w где v(z) = ((z))exp(-Ta) является решением уравнения (37), имеющим те же особенности, что и w(z) – решение уравнения (35) из класса W, p > 2, r 0, и к функции V (z) = exp -T bw, где p, r w T()0 = T(z) - T(z0), V (z0) = 1, строится двоякопериодическая функ ция класса Wp, p > 2. При этом в формуле (36) предполагается, что D = aи w(z) z(z)b(z) d = 0.

w(z) Теорема 3.8.7. Пусть v(z) – решение уравнения (37), имеющее те же особенности, что и w(z) – решение уравнения (35) из класса W. Пусть p, r z0 – фиксированная точка из области , w(z0) = v(z0) и выполнено условие v(z) z(z)b(z) V (z)d = 0, v(z) где v v V (z) = 1 + S1(t, z)d + S2(t, z)d, (38) v v S1, S2 – резольвенты интегрального уравнения V (z) + T( )0 = 1.

bV v(z) Здесь T0 = T(z) - T(z0), b(z) = b(z). Тогда решение уравнения (35) v(z) из класса W представляется в виде p, r v v w(z) = v(z) + S1(t, z)d + S2(t, z)d, (39) v v где S1(t, z0) = S2(t, z0) = 0.

Эта теорема является обобщением теоремы 1.6.6.

С помощью формулы (39) по заданной обобщенной эллиптической функции D класса Mr, D = a0, можно построить решение уравнения (35) с заданными полюсами, а также с полюсами и нулями.

Следствие 3.8.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.8.7. Тогда всякое решение уравнения (35) из класса Wp, p > 2 представимо в виде cexp[-d(z) - Ta]V (z), если a0 , w(z) = 0, если a0 , где c – некоторая постоянная, а постоянная d удовлетворяет уравнению exp[d + a0] = 1, V (z) имеет вид (38), V (z0) = 1, w(z0) = cexp[-d(z0) h Ta(z0)], v = cexp[-d(z) - Ta].

В §3.9 описываются ядра и коядра задачи для неоднородного уравнения wz - q(z)wz + a(z)w + b(z)w = f(z). (40) Сначала рассматривается уравнение вида wz - q(z)wz + a(z)w = f(z) (41) и выписываются все решения этого уравнения в классе W, p > 2. Формула p, r w(z) = (z)exp(-Ta) устанавливает эквивалентность между решениями уравнения (41) из класса 1 D W и решениями уравнения (33) из класса Mr, где D = a0. Поэтому теоp, r ремы 3.7.1 – 3.7.3 справедливы и для решений уравнения (41) (теоремы 3.9.– 3.9.3). Из этих теорем при r = 0, D = a0 следует Следствие 3.9.1. Пусть a0 . Тогда однородное уравнение (41) в клас се Wp, p > 2 имеет ненулевое решение (z) = -d(z) - Ta, где d удовлетворяет уравнению exp[d + a0] = 1, а для разрешимости неоднородного h уравнения (41) необходимо и достаточно, чтобы t(t)f(t)-1(t)d = 0.

При этом все решения уравнения (41) выписываются формулой w(z) = (z)[c + T(f(z)-1(z))], где c – произвольная постоянная.

Следствие 3.9.2. Пусть a0 . Тогда уравнение (41) при любой правой части f L имеет единственное решение из класса Wp, p > 2, в виде p w(z) = exp(-Ta)T(fexpTa)).

2. При b(z) = 0 общее решение уравнения (40) из класса W, p > p, r представляется в виде w(z) = w0(z) + w1(z), (42) где w0(z) – решение однородного уравнения, построенного в теореме 3.8.7, а w1(z) – искомое частное решение неоднородного уравнения. Если решение уравнения (40) допускает только полюсы, то частное решение неоднородного уравнения находится в классе Wp, p > 2. При этом для решения соответствующего однородного уравнения предполагается, что выполнены условия теоремы 3.8.7 и доказывается аналоги теоремы 1.7.4 – 1.7.5. В случае a0 находится достаточное условие разрешимости на правые части уравнения. Когда a0 , доказывается, что неоднородное уравнение (40) разрешимо для любой правой части f L, p > 2, а однородное уравнение имеет нетривиp альные решения.

Пусть теперь решение уравнения (40) допускает нули и полюсы. Тогда справедлива Теорема 3.9.6. Пусть (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами, b1, b2, · · ·, br – полюсы и a1, a2, · · ·, ar – нули решения уравнения (40) связаны условием r ((bk) - (ak)) = ak=и v(z) – решение уравнения (37) с этими полюсами и нулями. Пусть z0 фиксированная точка, а для решения соответствующего однородного уравнения (40) выполнены условия теоремы 3.8.7, v-1(z)f(z) L, p > 2, и, p кроме того, выполняется условие t(t)b1(t)v3(t)d = t(t)f1(t)d.

Здесь b1(z) = b(z)v(z)/v(z), f1(z) = v-1(z)f(z), v v v3(z) = Tf1 + S1(t, z)Tf1d + S2(t, z)Tf1d, v v где S1, S2 – резольвенты интегрального уравнения v3(z) + T(b1v3)0 = Tf1, v3(z0) = Tf1(z0), T()0 = T(z) - T(z0).

Тогда уравнение (40) в классе W с заданными полюсами и нулями имеет p, r решение вида w(z) = v(z)[V (z) + v3(z)].

Здесь V (z), как в теореме 3.8.6.

В §3.10 указываются способы построения двоякопериодических решений общего уравнения (1). Сначала для уравнения (1) доказывается теорема о представлении решения в классе W, p > 2, с помощью которой для одp, r нородного уравнения устанавливаются необходимые условия существования решения. В этом случае о.к.г. уравнения Бельтрами нельзя считать фиксированным. Поэтому предложены два способа получения двоякопериодических решений уравнения (1): 1) с помощью о.к.г. некоторого уравнения Бельтрами задача нахождения двоякопериодических решений уравнения (1) приводится к задаче нахождения двоякопериодических обобщенных аналитических функций (теорема 3.10.7). 2) при помощи невырожденного аффинного преобразования, уравнение (1) приводится к уравнению вида (40).

Теорема 3.10.1. Пусть функция w(z) является двоякопериодическим ре шением уравнения (1) из класса W, p > 2, r 0. Тогда p, r 1) при 1 w A0 = t(t) a + b d w справедлива формула w(z) = exp(-d(z) - TA) ((z)) + T fexp(d(z) + TA), где ((z)) – обобщенная квазиэллиптическая функция, удовлетворяющая условию ((z) + h) = ((z)) + f0, f0 = - t(t)f(t)exp(d + TA)d, h = m1 + m2 = m11 + m22, постоянная d удовлетворяет уравнению h1 h2, exp[d + A0] = 1, (z) – о.к.г уравнения Бельтрами h wz w z - q(z)z = 0, q(z) = q1(z) + q2(z), A = a + b.

wz w 2) при A0 имеет место формула w(z) = exp(-TA) 1((z)) + T(fexpTA), где 1((z)) – обобщенная эллиптическая функция второго рода, удовлетворяющая условию 1((z) + h) = exp(A0)1((z)).

Четвертая глава посвящена приложениям результатов глав I–III к задаче нахождения двоякопериодических решений для некоторых классов многомерных эллиптических систем и нелинейных уравнений.

В §§4.1 – 4.5 решается задача нахождения двоякопериодических по каждой переменной (при фиксировании остальных) решений переопределенной системы w = ajw + bjw + cj, j = 1, 2, · · ·, n, (43) zj где aj, bj, cj – заданные двоякопериодические по каждой переменной функции, а w – искомая функция. Построения периодических решений для системы (43) в случае aj = bj = cj = 0 даны в монографии А.И.Маркушевича, когда матрица периодов есть матрица Римана. Система (43) изучена Л.Хермандером (в случае aj = bj = 0), Л.Г.Михайловым, В.Н.Паламодовым и Г.А.Магомедовым, В.Тучке.

m Обозначается через C пространство функций заданных на Cn, удовлетворяющих условию hj f(z1, · · ·, zj + m1h1 + m2h2, · · ·, zn) = f(z1, · · ·, zj, · · · zn), Im = 0, j = 1, n j j hj (m1, m2 – целые числа) и принадлежащих классу Cm() Cm-1(), m 1, где = 1 2 · · · n, j – параллелограммы периодов на плоскости Cz.

j При условии, что aj, bj, cj C и удовлетворяются те необходимые условия, когда система может иметь нетривиальные многообразия решений, отыскиваются решения системы (43) из класса C. В случае матрицы Римана общего вида (матрица периодов) вопрос о нахождении решений системы остается открытым. В случае постоянных коэффициентов для однородной системы (43) нами было дано распространение теоремы Лиувилля из которых следует, что многообразие решений C тривиальное и может принимать следующие размерности: 0,1,2. Показано, что это утверждение справедливо и для переменных коэффициентов.

При исследовании системы (43) выделяют два случая: 1) ak = 0 для всех k; 2) ak = 0 хотя бы для одного k, k = 1, 2, · · ·, n.

В §§4.1 – 4.2, которые носят вспомогательный характер, строятся многомерный аналог формулы представления функций класса C, а также двоякопериодических функций второго рода, с помощью эллиптических функций Вейерштрасса j = (zj), j = (zj), j = 1, 2, · · ·, n. Даются условия существования и формулы представления решений класса C для переопределенной неоднородной системы уравнений Коши-Римана.

В §4.3 рассматривается случай, когда ak = 0 для всех k и полностью выписываются решения в зависимости от того, что b0 или b0 , где b0 = (b0, b0, · · ·, b0), = 12· · ·n, j = {m1h1+m2h2}, j = 1, 2, · · ·, n.

1 2 n j j b0 = bj(z1, · · ·, , · · ·, zn)dj j j - постоянные числа.

В §§4.4.-4.5 доказывается фредгольмовость задачи нахождения решения системы (43) в классе C. Когда b0 , однородная система имеет только нулевое решение, а неоднородная система всегда имеет решение.

В §§4.6-4.7 изучается вопрос существования и нахождения двоякопериодических обобщенных голоморфных векторов с периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0, то есть двоякопериодических решений системы уравнения (2), где Q C, 0 < < 1, A, B, f L, p > 2. Решение уравнения (2) ищется в классе p Wp, p > 2.

В §4.6 поставленная задача эквивалентным образом сводится к сингулярному интегральному уравнению. Применяя методику, разработанную В.С.Виноградовым, удается доказать, что индекс сингулярного интегрального уравнения равен нулю.

Теорема 4.6.3. Уравнение (2) фредгольмово в классе Wp, p > 2.

В §4.7 в классе Wp, p > 2, даются описание ядра и коядра задачи для уравнения вида Lw = wz + Aw = f(z), (44) где A, f L, p > 2. Сначала для постоянной матрицы A, на основе резульp татов главы I, полностью описывается ядро и коядро уравнения (44). Затем для переменной матрицы A(z) доказывается Теорема 4.7.4. Пусть U(z) – фундаментальная матрица двоякопериодических регулярных решений однородной системы (44). Тогда для разрешимости неоднородной системы необходимо и достаточно, чтобы U-1(z)f(z)d = 0.

При этом все ее решения выражаются формулой w(z) = U(z)[c + T(U-1f)], где c – произвольный постоянный вектор.

В частности, если матрица A(z) удовлетворяет условиям A(z1)A(z2) = A(z2)A(z1), z1, z2 , A(z)d = 0, (45) то фундаментальная матрица U(z) имеет вид U(z) = exp(- A(z)), U(0) = E, T где E – единичная матрица, (z) = T(z) - T(0).

T Теорема 4.7.5. Пусть матрица A(z) L, p > 2 удовлетворяет услоp вию (45) и 1, 2, · · ·, m – собственные значения матрицы A0 = A(z)d.

Тогда при 1, 2, · · ·, l , l m, однородная система (44) имеет ровно l линейно независимых решений в классе Wp, p > 2.

Теорема 4.7.6. Пусть выполнены условия теоремы 4.7.5 и j , j = 1, 2, · · ·, m. Тогда однородная система (44) имеет только ну левое решение в классе Wp, p > 2.

В §4.8 в классе Wp, p > 2, доказывается фредгольмовость эллиптического уравнения второго порядка wzz + a(z)wz + b(z)wz + c(z)w = f(z), a, b, c, f L, p > 2.

p К такому уравнению можно привести, с помощью квазипериодического гомеоморфизма некоторого уравнения Бельтрами (глава II), некоторую систему равномерно эллиптических уравнений второго порядка общего вида.

В §4.9 даются приложения функции Вейерштрасса ((z)), (z) – о.к.г.

уравнения Бельтрами к нахождению решений некоторых нелинейных уравнений.

1. Рассматривается квазилинейное уравнение wz - q1(z, w)wz - q2(z, w)wz = A(z, w)w, (46) где функции q1, q2 и A двоякопериодические по z с основными периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0 при каждом фиксированном двоякопериодическом w(z) с периодами h1, h2, причем в основном параллелограмме периодов и |w(z)| [0, ], |q1(z, w)| + |q2(z, w)| q0 < 1, (47) A(z, w) L, p > 2.

p Теорема 4.9.1. Пусть w(z) обобщенное двоякопериодическое решение уравнения (46) с периодами h1, h2, Im(h2/h1) = 0 и после подстановки реше ния в коэффициенты q1, q2 и A, полученные функции q1(z), q2(z) удовлетво ряют условию (47) и q1(z), q2(z), A(z) C, 0 < < 1. Тогда существует обобщенная эллиптическая функция () такая, что справедливо представление w(z) = ((z))eT A, где (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами wz - q(z)wz = 0, wz 1A q = q1(z) + q2(z) = q1(z, w) + q2(z, w). ( + h1) = e- (), wz 2A ( + h2) = e- (), A0 = z(z)Ad.

Из этой формулы следует ряд свойств двоякопериодических решений уравнения (46):

1) если N – число нулей, P – число полюсов решения уравнения (46), то необходимо N = P ;

2) при A0 , = {m1 + m2 порядок полюсов решения r 2, а h1 h2}, при A0 , r 1;

3) для регулярных решений уравнения (46) справедлива формула cexp(TA0 + d(z)), если A0 , w(z) = 0, если A0 , где c – некоторое постоянное число, а постоянная d удовлетворяет уравнению exp(d + A0) = 1.

h 2. Рассматривается, так называемое, уравнение Вейерштрасса-Бельтрами (wz - q(z)wz)2 = f2(z)(a0w4 + 4a1w3 + 6a2w2 + 4a1w + a4), (48) где q(z), f(z) – заданные двоякопериодические функции с периодами h1, h2, Im(h2/h1) > 0, причем |q(z)| q0 < 1. Многочлен в правой части (a0, a1, a2, a3, a4-постоянные) не имеет кратных корней. Показывается, что если периоды функции (u) h1, h2 являются решениями системы 60 (m1h1 + m2h2)-4 = g2, 140 (m1h1 + m2h2)-6 = g3, g2 = a0a4 - 4a1a3 + 3a2, g3 = a0a2a4 - 2a1a2a3 - a3 - a0a2 - a2a4, q(z), 2 2 3 f(z) C, 0 < < 1, (z) –о.к.г. уравнения Бельтрами с периодами h1, hи выполнены условия z(z)q(z)d = z(z)f(z)d = 0, то уравнение (48) имеет решение вида ((z) + c) + w(z) =, ((z) + c) + с периодами h1, h2, где c – некоторая постоянная, а постоянные , , , выбраны так, чтобы - = 1, (z) = z + T(q + f).

T – как в главе III.

3. Находится решение нелинейного обобщенного стационарного КдФуравнения wz z z = a(z)wwz + b(z)wz + c(z)w2 + f(z), (49) где a(z), b(z), c(z), f(z) – заданные двоякопериодические функции с периодами h1, h2, Im(h2/h1) > 0. Для постоянного a(z) и b = c = f = 0, получим стационарное КдФ-уравнения. Показывается, что если 12f(z) = -dc(z), d = – постоянная, а периоды функции (u) h1, h2 определены формулами dh4 = 60 (m1 + m2i)-4, h1 = h2i, (z) – о.к.г. уравнения Бельтрами, построенный на периодах h1, h2, (0) = 0, (z +h) = (z)+h и коэффициенты уравнения (49) и (z) связаны некоторыми соотношениями, то функция w(z) = ((z) + c) является решением уравнения (49). c – некоторая постоянная.

4. Показывается, что уравнение с постоянными коэффициентами w = aw3 + bw2 + cw + d, w = 4wzz – оператор Лапласа, когда a = 0, |b3 + 27a2d| = 216|a|2, b2 = 3ac допускает решение вида 1 b w(z) = -, (z + qz) 3a 1 - q1 2 - qс периодами h1 =, h2 =, 1 - |q|2 1 - |q| 2240q 1 = - (m1 + m2exp[2i/3])-6, 2 = 1e2i/a где q = b3 + 27a2d/216a2, (u) – имеет периоды 1, 2.

5. Показано, что нелинейное уравнение вида wz + a(z)w(z + h1) + b(z)w(z + h2) + c(z)w(z + h1)w(z + h2) = 0, где h1, h2 – постоянные, когда Im(h2/h1) = 0 можно интегрировать с помо щью двоякопериодических обобщенных аналитических функций с периодами h1, h2 (см. гл.I).

Публикации по теме диссертации В рецензируемых изданиях из списка ВАК 1. Сафаров Д.С. Периодические решения эллиптических систем первого порядка // Дифференц. уравн. 1981г., т.17.№8. с.1468-1477.

2. Сафаров Д.С. О теореме Лиувилля для обобщенных аналитических функций многих комплексных переменных// Мат. заметки. 1982, т.31, №1, с.33-42.

3. Сафаров Д.С. Двоякопериодичекие обобщенные аналитические функций // Дифференц. уравн. 1991г., т.27.№4. с.656-664.

4. Safarov D.S. On Double-Periodic Solution of First Order elliptic System// Complex Variables. 1994, vol.26, pp.117 – 181.

5. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения равномерно эллиптической системы первого порядка// Доклады РАН, 2010г, т.430, №4, с.454 – 457.

6. Сафаров Д.С. Двоякопериодические обобщенные аналитические функции // ДАН Тадж.ССР, 1981г., т.25,№3. с.535-538.

7. Сафаров Д.С. О двоякопериодических обобщенных аналитических векторах // ДАН Тадж.ССР, 1982г., т.24,№9. с.141-144.

8. Сафаров Д.С. Периодические решения эллиптических систем первого порядка на плоскости // ДАН Тадж.ССР, 1985г., т.28,№12. с.692-694.

9. Сафаров Д.С. О нулях периодических решений уравнения Бернулли // ДАН Тадж.ССР, 1986г., т.29,№12. с.721-724.

10. Сафаров Д.С. Простые обобщенные аналитические функции, автоморфные относительно элементарных групп. 1. Двоякопериодические решения // Изв. АН РТ, отд. физ.-мат., хим. наук, 1992г., №4(4), с. 15 – 21. (Показеев В.И. – соавтор) 11. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения уравнения Бельтрами // ДАН РТ, 2007г., т.50,№4, с.301-305.

12. Сафаров Д.С. Об обобщенных эллиптических функциях//ДАН РТ, 2008г., т.51,№5, с.331-339.

13. Сафаров Д.С. Об одном классе периодических обобщенных аналитических функций многих комплексных переменных//ДАН РТ, 2008г., т.51,№6, с.403-411.

14. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения равномерно эллиптической системы первого порядка// ДАН РТ, 2009г, т.52, №6, с.425 – 430.

В других изданиях 15. Сафаров Д.С. Теорема Лиувилля для обобщенного голоморфного вектора// Труды международной конференции “Обобщенные функции и их приложения в математической физике“ Москва, 1981г., с.482.

16. Сафаров Д.С. Периодические решения нелинейных эллиптических систем первого порядка // Материалы конференции “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики – вторые Боголюбовские чтения“. Киев, 1992г. с. 167.

17. Сафаров Д.С. Об одном признаке отсутствия периодических решений эллиптических систем первого порядка // Материалы международной конференции “Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами”. Душанбе, 1996г., с. 81.

18. Сафаров Д.С. Об одном обобщении КдФ-уравнения // Сб. научных трудов “Нелинейные краевые задачи и их приложения”. Киев, 1996г., с. 240.

19. Сафаров Д.С. Периодические решения переопределенных систем уравнений Коши-Римана // Сб. “Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения”. Душанбе, 1997г., с.103 – 107.

20. Сафаров Д.С. О двоякопериодических обобщенных голоморфных векторах с переменной матрицей // Труды международной научной конференции “Дифференциальные уравнения и их приложения”. Душанбе, 1998г., с. 78.

21. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения многомерных систем обобщенных уравнений Коши-Римана // Материалы Международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту, посвященной 50-летию ТГНУ. Душанбе, 1998г., с.73.

22. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения для одного класса эллиптических систем второго порядка// Материалы международной конференции ”“Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа“. Душанбе, 2005г., с. 174 - 175.

23. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения одного класса нелинейных эллиптических систем второго порядка // Материалы Международной конференции “Математика и информационной технологии” посвященной 15-летию независимость РТ. Душанбе, 2006г., с. 74 – 75.

24. Сафаров Д.С. Интегральные представления двоякопериодических функций // Материалы международной научной конференции. Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики”, посвященной 70-летию академика Усманова З.Д. ИМ АН РТ, Душанбе, 2007г., с. 115 – 117.

25. Сафаров Д.С. О многообразие периодических обобщенных аналитических функций со многими независимыми переменными // Материалы республиканской научной конференции “Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений” посвященной 75-летию со дня рождения академика Джураева А.Д. ИМ АН РТ, Душанбе, 2007г., с. 67 – 68.

26. Сафаров Д.С. Об обобщенных эллиптических функциях// Материалы республиканской научной конференции “Дифференциальные и интегральные уравнения” посвященной 60-летию образования ТГНУ и 70летию академика Раджабова Н.Р. Душанбе, 2008г., с. 76 – 77.

27. Сафаров Д.С. К теории обобщенных эллиптических функций// Материалы международной конференции “Современные проблемы математики, механики и их приложения//, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего. Москва, МГУ, 2009г., с.203 – 204.

28. Сафаров Д.С. О решении обобщенных нелинейных систем уравнений Коши – Римана в форме Вейерштрасса// Материалы тринадцатой международной научной конференции имени академика М. Кравчука. Киев, 2010г., с. 362.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.