WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Коробков Михаил Вячеславович

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЖЕСТКОСТИ В АНАЛИЗЕ И ГЕОМЕТРИИ

01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск – 2008

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Копылов Анатолий Павлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пономарёв Станислав Петрович, доктор физико-математических наук, профессор Сабитов Иджад Хакович, доктор физико-математических наук, профессор Семёнов Владимир Иосифович

Ведущая организация:

Волгоградский государственный университет

Защита состоится 2008 г. в на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад.

Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Гутман А. Е.

Общая характеристика работы

Цель работы. Целью работы является получение теорем жесткости для C1-гладких решений v : Rn Rm дифференциальных соотношений вида Dv K в , (1) где K подмножество пространства Rmn вещественных mn-матриц, а символом Dv обозначена матрица дифференциала отображения v.

Также диссертация направлена на получение критерия однозначной определенности областей в евклидовых пространствах метрикой на границе, индуцированной внутренней метрикой области.

Постановка задач и актуальность темы диссертации.

Анализ требований гладкости в классических теоремах нередко служит плодотворным источником идей для современной математики, порождая подчас магистральные направления ее развития. Приведем два ярких примера. Согласно классической теореме Лиувилля, если f : Rn является конформным отображением класса C3 области Rn, то f представляет собой сужение на некоторого мёбиусова преобразования.



Стремление максимально ослабить требования гладкости в этой теореме привело Ю. Г. Решетняка к следующему замечательному результату (см. [21], [23]): всякое отображение f : Rn, принадлежащее соболевскому классу Wn,loc(, Rn) и удовлетворяющее дифференциальному соотношению Df(x) R+SO(n) для почти всех (п.в.) x , (2) является либо постоянным отображением, либо сужением на некоторого мёбиусова отображения. Здесь символом Df(x) обозначается обобщенный дифференциал, а символом SO(n), как и принято, обозначается множество ортогональных матриц с определителем 1, соответственно символом R+SO(n) обозначено множество матриц вида A, где 0, A SO(n).

Отметим, что условия гладкости в теореме Решетняка были еще более ослаблены Т. Иванцом и Г. Мартином в статье [28], где они для случая четных размерностей n = 2l доказали справедливость процитированного результата в предположении f Wl,loc(, Rn).

Ю. Г. Решетняк получил также глубокие результаты об устойчивости в теореме Лиувилля, более точно, об устойчивости класса конформных (мёбиусовых) отображений в классе отображений с ограниченным искажением [23]. Класс этих отображений, являющихся неоднолистным аналогом квазиконформных отображений, также был введен Ю. Г. Решетняком, который установил и их основные нетривиальные свойства, такие как открытость, изолированность и т. д., см. [21]. Отображения с ограниченным искажением быстро стали чрезвычайно популярным объектом исследования не только отечественных, но и зарубежных математиков (назвавших такие отображения квазирегулярными, см., например, монографию [41]). В свою очередь, методы теории отображений с ограниченным искажением нашли многочисленные приложения в геометрической теории функций, теории нелинейных уравнений с частными производными, механике сплошной среды и пр. (см., например, монографию [29]).

В связи с вопросами устойчивости особо следует отметить многочисленные работы А. П. Копылова (см., например, [13], [14]), который впервые предложил общую концепцию в изучении феномена устойчивости классов отображений, позволившую исследовать на устойчивость, помимо конформных, другие интересные для анализа и приложений классы отображений (таких, как многомерные голоморфные отображения, решения эллиптических систем д. у. с частными производными и др.).

А. П. Копыловым предложена также концепция устойчивости для классов липшицевых отображений (отправной точкой которой послужили работы Ф. Джона [30]–[32] по устойчивости изометрий), этой теме посвящен ряд работ его учеников (см., например, [9], [10]).

Тематика, о которой шла речь, имеет важные приложения не только в анализе, но и в геометрии. Так, квазиконформные отображения имеют глубокую связь с построенными Ю. Г. Решетняком изотермическими системами координат в двумерных пространствах Александрова ограниченной кривизны [22]. Из более современных работ, связывающих квазиконформный анализ и геометрию, отметим статью [26], посвященную квазиконформным структурам на многообразиях.

Вторым примером, когда изучение требований гладкости в классической теореме жесткости порождает целые направления в геометрии и в анализе, является следующая теорема: Если f : Sn Rn+1 есть C2-гладкое изометрическое погружение n-мерной сферы Sn, то множество f(Sn) конгруэнтно Sn. Поскольку в определении изометрического погружения участвуют лишь первые производные, естественно было предположить, что процитированная теорема останется верной и для C1-гладких отображений. Однако эта долго стоявшая гипотеза была опровергнута Дж. Нэшом [39] и Н. Кейпером [36], которые доказали, что для любого > 0 существует C1-гладкое изометрическое вложение сферы Sn в шар радиуса пространства Rn+1. Более точно, Дж. Нэш и Н. Кейпер установили, что всякое C1-гладкое локально L-липшицево погружение (вложение) f : V Rk n-мерного риманова пространства V с n < k и L < 1 можно аппроксимировать в C-норме последовательностью C1-гладких изометрических погружений (вложений).

Методы построения таких патологических погружений (вложений) были затем развиты М. Громовым [7], который назвал их выпуклым интегрированием (см. также [18]).

Используя метод выпуклого интегрирования, последние годы ряд известных зарубежных математиков (Дж. Болл, Ст. Мюллер, Вл. Шверак, Б. Кирхейм и др., см., например, [38]; из отечественных специалистов в данном направлении успешно работал М. А. Сычёв [42]) изучали следующую проблему: каким условиям должно удовлетворять множество K Rmn, чтобы дифференциальное соотношение Dv(x) K для п.в. x (3) имело нетривиальные липшицевы решения v : Rn Rm? Обзор результатов о липшицевых решениях соотношения (3) сделан в относительно недавней работе [33]. Из последних достижений в данной тематике, не вошедших в [33], упомянем красивые результаты, полученные венгерским математиком Л. Секельхиди с соавторами [34], [27] для случая размерностей n = m = 2. В частности, в работе [34] доказано, что rank-1 выпуклая оболочка множества значений градиента всякого липшицева отображения v : R2 R2 является связным множеством (определение rank-1 выпуклой оболочки см., например, в [38]). При доказательстве результатов в работе [34] используются как классические результаты Ю. Г. Решетняка [21], так и новый элегантный метод разделяющих квазиконформных кривых, разработанный Л. Секельхиди.

В настоящей диссертации вопрос о решениях дифференциального соотношения (3) исследуется в классической постановке для C1-гладких функций. Опишем, наконец, один из тех феноменов жесткости, которые изучается в данной работе. Известен классический результат, что если C2-гладкая функция v = v(x, t), определенная в области R2, удовлетворяет дифференциальному уравнению гамильтонова типа vt = (vx) в , (4) где : R R C1-гладкая функция, то через каждую точку z проходит прямая линия (характеристика), на которой градиент Dv const.

Поскольку в уравнении (4) участвуют только первые производные функции v, естественно возникает вопрос, сохранится ли указанное свойство, если предполагать только лишь C1-гладкость отображения v и, соответственно, лишь непрерывность функции ? Стремление к наиболее естественной постановке вопроса приводит к следующей более общей проблеме.

Проблема 1. Пусть C1-гладкая функция v : R области Rобладает свойством Int Dv() = , (5) где символом Int обозначена внутренность множества. Будет ли тогда выполнено следующее утверждение: существует не более чем счетное множество E такое, что для каждой точки z , удовлетворяющей условию Dv(z) E, (6) / найдется прямая линия L z такая, что Dv const на компоненте связности множества L , содержащей точку z? (Отметим, что не более чем счетное исключительное множество E появляется уже в C2-гладком случае, поэтому такая формулировка естественна.) На примере процитированных выше результатов мы видим, как драматически может меняться ситуация с решениями дифференциальных соотношений при уменьшении гладкости. Поэтому интуитивно складывается ощущение, что ответ в Проблеме 1, вообще говоря, должен быть отрицательный. Это ощущение владело и западными специалистами. Приведем один характерный пример. В недавней работе [35] Я. Колар и Я. Кристенсен пытались доказать, что непостоянная C1гладкая функция v : R2 R с компактным носителем обладает свойством Dv(R2) = Cl Int Dv(R2), где символом Cl обозначено замыкание множества. Это свойство, очевидно, является тривиальным следствием положительного ответа на вопрос в Проблеме 1. Но авторы [35] даже и не пытаются ставить такую проблему, а свой результат они доказывают только при дополнительных предположениях на модуль непрерывности градиента Dv (типа гёльдеровости).

На примере приведенного результата Я. Колара и Я. Кристенсена видно, что решение Проблемы 1 помогает получить информацию о множестве значений градиента функции v. Возникает Проблема 2. Каким условиям должно удовлетворять множество K Rmn, чтобы дифференциальное соотношение Dv(x) K для всех x (7) имело нетривиальные C1-гладкие решения v : Rn Rm? Фактически, поставленная проблема состоит в изучении аналитических и геометрических свойств множеств значений градиента C1-гладких отображений. Геометрические свойства множеств значений градиента всюду дифференцируемых (негладких) отображений изучались ранее, например, в работах [37], [15], [10].

Одна из принципиальных трудностей, которые возникают при исследовании Проблемы 1 (и Проблемы 2 для случая n = 2, m = 1) при переходе от C2 к C1-гладкости, заключается в том, что для C1-гладких функций в общем случае не выполняется условие теоремы Сарда. Напомним, что в применении к скалярным функциям двух переменных классическая теорема Сарда звучит следующим образом.

Теорема Сарда. Пусть v : R C2-гладкая функция на области R2. Тогда справедливо равенство meas v(Zv) = 0. (8) Здесь и в дальнейшем символом Zv обозначается множество критических точек функции v, т. е. Zv = {z | Dv(z) = 0}.

Как показал Уитни [43], условие C2-гладкости в данном результате опустить нельзя. А именно, Уитни построил C1-гладкую функцию v :

(0, 1)2 R со следующим свойством: множество критических точек Zv содержит дугу, на которой v = const.

Однако некоторые аналоги теоремы Сарда справедливы и для функций, не имеющих требуемой степени гладкости. Хотя равенство (8) тогда может уже и не выполняться, Дубовицким [8] были получены некоторые результаты о строении множеств уровня для случая пониженной гладкости (см. также [25]).

Другим направлением исследований было обобщение теоремы Сарда для пространств Гельдера, Соболева, а также для пространств функций, удовлетворяющих условию Липшица (см., например, [25]).

Авторы цитированной статьи [35] также устанавливают аналог теоремы Сарда при сделанных ими предположениях.

Получение аналога теоремы Сарда для случая Проблемы 1 (без добавочных предположений на модуль непрерывности градиента) является первым шагом к ее решению.

В последней главе 6 настоящей диссертации исследуется иной феномен жесткости геометрического характера. Тематика, которой посвящена указанная глава, хотя и является сравнительно молодой (она отдаленно восходит к процитированному результату Нэша – Кейпера), но непосредственно связана также с классическими задачами, имеющими двухсотлетнюю историю. Отправной точкой можно считать известную теорему Коши об однозначной определенности выпуклого многогранника своей разверткой. В дальнейшем проблемами однозначной определенности выпуклых поверхностей внутренней метрикой занимались Минковский, Гильберт, Вейль, Бляшке, Кон-Фоссен и другие известные математики. Но наибольших успехов в этом направлении добились академик А. Д. Александров и его ученики. Упомянем ставшую уже классической теорему А. В. Погорелова об однозначной определенности ограниченной замкнутой выпуклой поверхности в R3 ее внутренней метрикой (см., например, [20]). Этот результат был обобщен на случай выпуклых гиперповерхностей в Rn Е. П. Сенькиным [24]. Наиболее впечатляющий результат об устойчивости в теореме А. В. Погорелова был получен Ю. А. Волковым [6], нашедшим явную оценку деформации выпуклой поверхности в зависимости от изменения ее внутренней метрики.





В связи с успешным развитием теории однозначной определенности выпуклых поверхностей возник естественный вопрос: можно ли получить подобные результаты для невыпуклых поверхностей? Отдельные результаты для случая повышенной гладкости были получены (см., например, работы [1], [40], где доказаны теоремы жесткости для некоторого класса поверхностей в предположениях аналитичности и C4-гладкости соответственно). Однако в целом в свете процитированных результатов Нэша – Кейпера ответ на этот вопрос представлялся весьма пессимистичным. В самом деле, согласно указанным результатам всякая C1-гладкая поверхность в Rn не является однозначно определенной (в классе всех таких поверхностей) своей внутренней метрикой.

Адекватный подход к проблеме однозначной определенности для невыпуклого случая был найден А. П. Копыловым [11] (см. также обзорную статью [12]). В подходе А. П. Копылова задача (в несколько упрощенной формулировке) ставится следующим образом.

Проблема 3. Пусть U и V две области в Rn (n 2), внутренние метрики которых продолжаются по непрерывности в замыкания этих областей. Предположим, что границы этих областей изометричны в относительных метриках, т. е. метриках, индуцируемых на границах внутренними метриками областей. Выяснить, являются ли сами области евклидово изометричными (т. е. конгруэнтными).

Данная проблема включает в себя упомянутую задачу об однозначной определенности выпуклых поверхностей как частный случай. В предложенном А. П. Копыловым подходе возникает также целый ряд новых и очень интересных задач, в исследовании которых в разное время принимали участие А. Д. Александров, А. В. Кузьминых, В. А. Александров, М. К. Боровикова и др. (см., например, обзорную статью [12]).

Оказалось, что однозначная определенность областей относительными метриками их границ имеет место не только в классическом случае, когда их дополнения ограниченные выпуклые множества, но, например, и в следующих случаях: область U строго выпуклая, область V любая (А. Д. Александров); область U выпуклая и отличная от полупространства, область V любая (А. В. Кузьминых); области U и V ограничены и обладают кусочно гладкими границами (В. А. Александров); области U и V обладают непустыми ограниченными дополнениями и C1-гладкими границами, причем n 3 (В. А. Александров) и др.

Однозначная определенность в классе областей с аналитическими границами изучалась в [2]. Интересные результаты по однозначной определенности областей условием локальной изометричности их границ в относительных метриках были получено в работах [17], [5], [4]. Новым и многообещающим является предложенный в [12] подход к однозначной определенности конформного типа.

Однако во всех перечисленных результатах, в соответствии с формулировкой Проблемы 3, предполагалось, что внутренние метрики областей U и V продолжаются по непрерывности в замыкания этих областей. Возникает следующий вопрос: нельзя ли отказаться от этого предположения и получить результаты об однозначной определенности, справедливые для всех областей, без каких бы то ни было априорных предположений о регулярности? Хотя далеко не каждая область удовлетворяет предположениям о регулярности в формулировке Проблемы 3, но зато абсолютно любая область U Rn допускает продолжение по непрерывности своей внутренней метрики на свою хаусдорфову границу1. Возникает следующая модификация исходной Проблемы 3.

Получить которую можно, пополнив область U по Хаусдорфу (относительно внутренней метрики) и удалив из полученного пополнения точки самой области.

Проблема 4. Пусть U и V две области в Rn (n 2). Предположим, что хаусдорфовы границы этих областей изометричны в относительных метриках. Выяснить, являются ли евклидово изометричными сами области.

По данной проблеме был опубликован результат В. А. Александрова [3] для случая, когда границы областей U, V суть полиэдры, а также результат А. П. Копылова для ситуации, когда n = 2 и область U ограниченная и выпуклая, V любая [12]. В личном сообщении автору А. П. Копылов также сообщил решение этой задачи для случая, когда область U строго выпукла, V любая.

В настоящей работе получено полное решение проблем 1, 3–4, а также получен ряд результатов по проблеме 2.

Основные результаты диссертации.

1. Найдены необходимые и достаточные условия на непрерывную функцию : R R с тем, чтобы уравнение гамильтонова типа на плоскости vt = (vx) имело нетривиальные (т. е. неаффинные) C1гладкие решения. Доказано, в частности, что функция (a priori предполагаемая лишь непрерывной) должна быть дважды дифференцируема почти всюду.

2. Полностью изучен случай произвольной вещественной C1-гладкой функции v двух переменных, у которой внутренность множества значений градиента пуста. В этом случае установлено, что линии уровня градиентного отображения являются прямолинейными отрезками. Отсюда выведено, что множество значений градиента функции v локально представляет собой кривую, которая имеет в каждой точке касательные в некотором слабом смысле, и направление этих слабых касательных меняется как функция ограниченной вариации. В то же время удалось построить вещественную C1-гладкую функцию двух переменных, у которой множество значений градиента является дугой, не имеющей касательной (в обычном смысле) ни в одной точке.

3. Установлен аналог теоремы Сарда для C1-гладких функций двух переменных.

4. Результаты 1–3 перенесены на случай C1-гладких отображений v :

Rn Rm, множество значений градиента которых одномерно.

5. Найдены необходимые и достаточные условия однозначной определенности областей в Rn метрикой хаусдорфовой границы, индуцированной внутренней метрикой области, при этом на области не налагается никаких априорных требований регулярности.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований дифференциальных соотношений с частными производными и при изучении жесткости римановых многообразий. Результаты диссертации также могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области анализа и геометрии.

Методы исследования. Одним из основных методов для решения поставленных задач является концепция изэнтропических решений дифференциальных уравнений, введенная в [19]. Определение изэнтропического решения можно получить из классического (данного академиком С.Н. Кружковым [16]) определения энтропийного решения, если в последнем знак неравенства заменить знаком равенства (см. также [51]).

В диссертации также активно применяется аппарат теории функций вещественных переменных. В частности, используется теорема Сарда, точнее, ее аналог для C1-гладких функций, доказанный в главах 2, 5. Для получения результатов последней главы 6 используется техника теории однозначной определенности областей относительными метриками их границ (см. [12]).

Апробация работы. Результаты работы докладывались в Оксфорде (в январе 2007 в Математическом Институте на семинаре Applied Analysis and Mechanics), в Лозанне (Швейцария, XX Rolf Nevanlinna Colloquium, с 8 по 13 августа 2005), в Мадриде (Испания, International Congress of Mathematicians, 22-31 августа 2006), в Бендлево (Польша, на конференциях Self-similar solutions in nonlinear PDEs, с 4 по 9 сентября 2005 г.; Analysis and Partial Differential Equations Conference, 1923 июня 2006; Geometric Analysis and Nonlinear PDEs Conference, 3-июня 2007), в Лоте над Рохановым (Чехия, на конференциях 35th Winter School in Abstract Analysis 2007, 13-20 января 2007; и на 36th Winter School in Abstract Analysis 2007, 12-19 января 2008), в Слупске (Польша, в Институте математике на семинаре кафедры анализа и топологии, в сентябре 2005 и в июне 2006), в Новосибирске (на Общеинститутском семинаре Института математики СО РАН; на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН; на Международной школеконференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка, с 23 августа по 2 сентября 2004 г.; на Международной конференции Математика в современном мире, посвященной 50-летию Института математики СО РАН, 17-23 сентября 2007).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в форме статей в ведущих отечественных журналах [44]–[53].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав, включая введение, указателя терминов, предметного указателя и литературы. Она изложена на 160 страницах текста, набранного в реA дакционно-издательской системе LTEX 2, библиография содержит наименование.

Содержание диссертации.

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Основные результаты каждой главы (теоремы и их следствия) явным образом сформулированы в первых параграфах главы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий), а также определений и замечаний сквозная внутри параграфа и состоит из трех цифр: первая цифра номер главы, вторая номер параграфа и третья порядковый номер внутри параграфа. Нумерация формул двойная: первая цифра номер главы, а вторая порядковый номер внутри главы. (Нумерация формул и утверждений в автореферате не совпадает с нумерацией в диссертации.) Глава 1. Введение В данной главе приведена характеристика основных результатов работы, а также определения и обозначения, используемые далее на протяжение всей диссертации. Укажем некоторые из используемых далее обозначений, еще не поясненных выше. Символом Dv-1(A) обозначается прообраз Dv-1(A) = {x | Dv(x) = A}. Областью мы называем открытое связное множество. Всюду в дальнейшем Conv E выпуклая оболочка множества E, dim E размерность множества E, meas(E) мера Лебега множества E, Hk(E) k-мерная мера Хаусдорфа множества E. Символом a · b мы обозначаем скалярное произведение векторов a,b. Символом compz E обозначается компонента связности множества E, содержащая точку z.

Пусть Q : Rn Rn изометрическое преобразование пространства Rn (не обязательно линейное). Тогда для x Rn символом Qx мы будем обозначать значение отображения Q в точке x (обычно так пишут для линейных отображений Q, но по техническим причинам нам будет удобно так писать и для аффинных отображений).

Глава 2. Об одном аналоге теоремы Сарда для C1-гладких функций v : R2 R Основным результатом главы является следующая Теорема 1. Пусть v : R C1-гладкая функция на области R2. Предположим, что 0 Cl Int Dv(). Тогда выполнено равенство / meas v(Zv) = 0.

Результаты данной главы опубликованы в работе [44].

Глава 3. О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась множеством значений градиента C1-гладкой функции v : R2 R В третьей главе найдены необходимые и достаточные условия на непрерывную кривую, чтобы она была множеством значений градиента вещественной C1-гладкой функции двух переменных. Доказано, что у этой кривой имеются касательные в некотором слабом смысле, и направление этих слабых касательных меняется как функция ограниченной вариации (см. ниже Теорему 7). В то же время, такая кривая не обязательно будет регулярной в классическом смысле: у нее может не существовать касательных (в обычном смысле) ни в одной точке (Теорема 4).

В качестве приложения указанных результатов получены необходимые и достаточные условия на непрерывную функцию с тем, чтобы уравнение (4) имело нетривиальные (т. е. неаффинные) C1-гладкие решения.

В последнем уравнении производные vt, vx лишь непрерывны и, как может показаться сначала, это соотношение не может дать ничего больше естественного свойства непрерывности функции . Оказалось, однако, что функция должна быть локально липшицевой на открытом множестве полной меры, а ее производная на этом множестве должна иметь локально ограниченную вариацию (Теорема 5). В частности, должна быть дважды дифференцируема почти всюду.

Аналитические условия на кривую содержатся в следующем утверждении.

Теорема 2. Пусть : R R2 непрерывное инъективное отображение (дуга), и пусть v : R C1-гладкая функция на области R2.

Предположим, что выполнены следующие включения:

Dv() (R), (9) (J) Dv(), (10) где J некоторое связное подмножество R. Тогда обладает следующим свойством:

(1) для каждой точки u0 J существует окрестность V = V (u0) и непрерывная слева функция l : V R ограниченной вариации такие, что после соответствующей линейной ортонормированной замены координат в плоскости R2 имеет место следующая формула:

u2-2 [u1, u2] V J 2(u) |u = 1(u)l(u) |u - 1(u) dl(u), (11) u1 uuгде интеграл понимается в смысле Лебега-Стилтьеса по полуоткрытому интервалу [u1, u2), и используется стандартное обозначение f(u) |u := uf(u2) - f(u1).

Теорема 2 допускает обращение.

Теорема 3. Пусть : R R2 непрерывное отображение, не постоянное ни на каком интервале. Пусть, далее, на некотором связном множестве J R отображение обладает свойством (1). Тогда найдутся область R2 и функция v C1() такие, что выполнены включения (9)-(10). Более точно, существует функция u(z) C() такая, что справедливы равенства Dv(z) (u(z)) при z , u() = J.

Теоремы 2, 3 позволяют построить несколько характерных примеров.

Теорема 4. Существуют дуга (непрерывное инъективное отображение) : R R2, не имеющая касательной ни в одной точке u R (в частности, не спрямляема ни на каком интервале), и C1-гладкая функция v : R области R2 такие, что Dv() = (R).

Далее рассмотрен случай, когда кривая является графиком некоторой непрерывной функции : R R, т. е. (u) (u, (u)). В этом случае включения (9)-(10) для функции v = v(x, t) эквивалентны следующим соотношениям:

vt = (vx) в , (12) J vx(). (13) Теорема 5. Пусть v : R C1-гладкая функция в области R2, удовлетворяющая соотношениям (12)-(13), где = (u) непрерывная функция из R в R. Тогда обладает следующим свойством.

(2) Существует замкнутое относительно интервала J множество F нулевой меры, такое, что функция удовлетворяет условию Липшица локально на U = J \ F. Более того, функция дифференцируема на U всюду за исключением не более чем счетного множества точек E,U U.

Далее, если формально доопределить производную на весь интервал J по правилу (u), u U \ E,U ;

lim (), u E,U ;

(u) = u- , u F, то полученная функция будет иметь локально ограниченную вариацию на U. Кроме того, для любой точки u0 J найдется ее окрестность V = V (u0) и число R такие, что функция : V J R будет - являться функцией ограниченной вариации на V.

Отсюда видно, что плохая дуга из Теоремы 4 не может быть графиком некоторой непрерывной функции . Справедлива обратная к Теореме Теорема 6. Пусть непрерывная функция : R R обладает свойством (2) на некотором интервале J R. Тогда найдутся область R2 и функция v(x, t) C1() такие, что выполнены соотношения (12)-(13).

Обозначим через RP множество прямых линий плоскости R2, проходящих через точку 0, т. е. RP есть одномерное проективное пространство. Иногда мы будем естественным образом отождествлять прямую из RP с вектором из R2, параллельным этой прямой.

Определение 1. Пусть : R R2 непрерывное отображение (кривая), не постоянное ни на каком интервале. Будем говорить, что прямая p RP является -касательной справа к кривой в точке u0 (обозначается p = +(u0)), если для любой последовательности u u0 + 0, такой, что |(u) - (u0)| sup sup < , |(u) - (u0)| u[u0,u] имеет место сходимость (понимаемая в естественном смысле) (u) - (u0) p.

|(u) - (u0)| Аналогично вводится понятие -касательной -(u0) слева в точке uи просто -касательной (u0) в точке u0. Очевидно, что если кривая имеет обычную касательную в точке, то эта касательная будет также и -касательной. Однако обратное утверждение неверно (это следует, например, из Теоремы 4 и сформулированной ниже Теоремы 7).

Теорема 7. Пусть : R R2 непрерывное инъективное отображение (дуга), и пусть v : R C1-гладкая функция на области R2.

Предположим, что выполнены включения (9)-(10). Обозначим a = inf J, b = sup J. Тогда, помимо свойства (1), дуга обладает также следующим свойством:

(3) для каждой точки u0 J существует окрестность V = V (u0) и непрерывная слева функция l : V R ограниченной вариации такие, что после соответствующей линейной ортонормированной замены координат2 в плоскости R2 справедливы следующие равенства:

u V J \ {b} +(u) = (1, l(u + 0)), u V J \ {a} -(u) = (1, l(u)), (14) т. е., вышеупомянутые односторонние -касательные существуют и параллельны векторам (1, l(u + 0)), (1, l(u)) соответственно3. Таким образом, +(u) непрерывна справа в каждой точке u J \ {b}, а -(u) непрерывна слева в каждой точке u J \ {a}, причем +(u) = -(u) = (u) для всех точек u (a, b)\E, где исключительное множество E не более чем счетно.

Результаты главы 3 получены в неразрывном соавторстве с Е. Ю. Пановым и опубликованы в работах [50]–[53].

Глава 4. Свойства C1-гладких функций v : R2 R, множество значений градиента которых нигде не плотно В данной главе исследована более сложная проблема: случай произвольной C1-гладкой функции v : R2 R, у которой внутренность множества значений градиента пуста. Этот случай сведен к рассмотренному в предыдущей главе (см. Теоремы 9, 10). При этом получен Здесь окрестность V, функция l и замена координат те же самые, о которых шла речь в свойстве (1).

Мы обозначаем через l(u+0) соответствующий односторонний предел функции l.

положительный ответ в Проблеме 1 (Теорема 8). В качестве одного из следствий, доказана справедливость утверждения процитированной выше теоремы Я. Колара и Я. Кристенсена для произвольной C1-гладкой функции v двух переменных, носитель которой является непустым компактным множеством (без дополнительных предположений на модуль непрерывности градиента).

Теорема 8. Пусть v : R C1-гладкая функция на области R2.

Предположим, что Int Dv() = . (15) Тогда для любой точки z , такой, что meas Dv-1(Dv(z)) = 0, найдется прямая L = L(z) z такая, что compz(L ) = compz Dv-1(Dv(z)).

Следствие 1. Пусть v : R2 R непостоянная C1-гладкая функция с компактным носителем. Тогда Dv(R2) = Cl Int Dv(R2).

Напомним, что носителем функции v : Rn R называется замыкание множества {z Rn | v(z) = 0}.

Теорема 9. Пусть v : R C1-гладкая функция на области R2.

Предположим, что справедливо равенство (15). Тогда для любой точки z0 найдутся ее открытая связная окрестность 0, непрерывные функции u : 0 R, : R R2 такие, что функция непостоянна ни на каком интервале, и Dv(z) (u(z)) при z 0.

Из Теоремы 9 и результатов предыдущей главы непосредственно вытекает следующий результат.

Теорема 10. Пусть выполнены условия Теоремы 9. Тогда функция обладает свойствами (1) и (3) из Теорем 2, 7 на множестве J = u(0).

Результаты главы 4 опубликованы в работах [45], [46].

Глава 5. Свойства C1-гладких функций v : Rn Rm, множество значений градиента которых одномерно В данной главе получены аналоги предыдущих результатов для C1гладких отображений v : Rn Rm, множество значений градиента которых одномерно. В частности, найдены необходимые и достаточные условия на кривую в Rmn, чтобы она была множеством значений градиента C1-гладкой функции v : Rn Rm. Показано, что у этой кривой имеются касательные в слабом смысле, эти касательные являются rank-1-матрицами, и направление этих касательных есть функция ограниченной вариации (Теорема 16). Также доказано, что в этом случае для функции v справедливо утверждение теоремы Сарда (Теорема 17), а множества уровня градиентного отображения Dv : Rmn суть гиперплоскости (см. Теорему 11).

Определение 2. Множество E Rk называется -одномерным, если для любого линейного отображения L : Rk R2 образ L(E) является нигде не плотным множеством в R2, т. е. Int L(E) = .

В случае, когда Rk есть плоскость (т. е. k = 2), -одномерность множества E эквивалентна тому, что топологическая размерность E не превосходит 1. Далее, при произвольных размерностях k если H2(E) = 0, то множество E -одномерно. Однако, если k > 2, то в пространстве Rk существуют множества, гомеоморфные отрезку из R, но не являющиеся -одномерными. К таким множествам относятся, например, графики кривых Пеано.

Теорема 11. Пусть v : Rm C1-гладкая функция на области Rn. Предположим, что множество Dv() -одномерно. Тогда для любой точки x такой, что meas Dv-1(Dv(x)) = 0, найдется гиперплоскость H = H(x) x такая, что compx(H ) = compx Dv-1(Dv(x)).

Следствие 2. Пусть v : Rm C1-гладкая функция на области Rn. Предположим, что множество Dv() -одномерно. Тогда для любой точки x0 найдутся ее открытая связная окрестность 0, непрерывные функции u : 0 R, : R Rmn такие, что функция непостоянна ни на каком интервале, и Dv(x) (u(x)) при x 0.

Для векторов a Rm, b Rn символом ab обозначим mn матрицу (aibj).

i = 1,..., m j = 1,..., n Теорема 12. Пусть v : Rm C1-гладкая функция на области Rn. Предположим, что множество Dv() -одномерно, 0 подобласть , а непрерывные функции u : 0 R, : R Rmn удовлетворяют условиям Следствия 2. Тогда обладает следующим свойством на интервале J = u(0):

(M1) существует непрерывная слева функция l = (l1,..., ln):JS(0, 1) локально ограниченной вариации такая, что S(0, 1) [s1, s2] J s2-l(s) l(s) 2 0 Cl{l(s)· | s[s1, s2]} (s) |s = [(s)] |s - [(s)]d / s1 sl(s) · l(s) · s(16) где интегрирование ведется в смысле Лебега-Стилтьеса по полуоткрытому интервалу [s1, s2), a S(0, 1) есть единичная сфера в Rn.

Более того, если u(x) = s J и meas u-1(s) = 0, то гиперплоскость H(x) из Теоремы 11 ортогональна вектору l(s).

Справедлива обратная к Теореме Теорема 13. Пусть : R Rmn непрерывная функция, непостоянная ни на каком интервале. Предположим, что функция имеет свойство (M1) на связном подмножестве J R. Тогда существует область Rn, C1-гладкая функция v : Rm и непрерывная функция u : R такие, что Dv(x) (u(x)) для x , u() = J.

Следующие теоремы посвящены изучению функциональной зависимости частных производных. Рассмотрим сначала случай вещественнозначных функций (m = 1). Предположим, что для непрерывной функции = (1,..., n) : R Rn выполнено соотношение 1(s) s, (17) тогда дуга является графиком некоторой непрерывной функции из R в Rn-1. Из Теоремы 12 можно вывести, что кривая в этом случае имеет регулярность в классическом смысле.

Теорема 14. Пусть v : R C1-гладкая функция в области Rn, удовлетворяющая соотношениям v v j = 2,..., n = j в , xj xгде = (s) непрерывная функция из R в Rn со свойством (17).

v Положим J = (). Тогда для каждого j = 2,..., n координатная xфункция j обладает свойством (2) из Теоремы 5 на интервале J.

Теорема 14 допускает обращение при n = 2 (см. Теорему 6); при n > 2 это уже неверно. Если мы рассмотрим случай вектор-функций (m > 1), то ситуация существенно меняется: можно рассчитывать только на регулярность, описанную в предыдущих параграфах данной главы.

Теорема 15. Пусть : R s (ij(s)) Rmn есть непрерывное отображение, 11(s) s, (18) и пусть v : Rm C1-гладкая функция области Rn. Предположим, что выполнены соотношения vi vi = 1,..., m j = 1,..., n = ij в . (19) xj xvОбозначим J = (). Тогда выполнены утверждения теорем 11 и 12, xт. е. обладает свойством (M1) на J, а множества уровня градиентного отображения Dv суть гиперплоскости.

Обращаем внимание читателя на то, что в теоремах 15, 14 мы не предполагаем, что множество Dv() -одномерно.

Хотя кривые из Теоремы 12 могут не иметь касательной в классическом смысле ни в одной точке, они имеют некое слабое подобие касательных в каждой точке.

n-Обозначим символом RP вещественное (n - 1)-мерное проективn-ное пространство, т. е. RP есть множество прямых линий пространства Rn, проходящих через точку 0. Иногда мы будем естественным обn-разом отождествлять прямую из RP с ненулевым вектором из Rn, параллельным этой прямой. Следующее определение является обобщением на многомерный случай Определения 1.

Определение 3. Пусть : R Rmn непрерывное отображение (кривая), не постоянное ни на каком интервале. Будем говорить, что n-прямая p RP является -касательной справа к кривой в точке s0 (обозначается p = +(s0)), если для любой последовательности |(s)-(s0)| s s0 + 0, удовлетворяющей условию sup sups[s,s ] |(s )-(s0)| < , найдется последовательность векторов a Rm такая, что имеет место (s )-(s0) сходимость - a l 0, где l S(0, 1) есть вектор, парал|(s )-(s0)| лельный прямой p.

Аналогично вводится понятие -касательной -(s0) слева в точке s0 и просто -касательной (s0) в точке s0. Очевидно, что если кривая имеет обычную касательную в точке, и эта касательная является rank-1 матрицей a b, то у этой кривой будет также существовать и -касательная, параллельная вектору b. Однако обратное утверждение неверно.

Теорема 16. Предположим, что условия Теорем 11-12 выполнены. Обозначим J = u(0), a = inf J, b = sup J. Тогда помимо свойства (M1) функция обладает также следующим свойством:

(M3) существует непрерывная слева функция l = (l1,..., ln) : J S(0, 1) локально ограниченной вариации такая4, что s J \ {b} +(s) = l(s + 0), s J \ {a} -(s) = l(s), т. е. указанные -касательные существуют и параллельны векторам l(s+ 0), l(s) соответственно. Таким образом, +(s) непрерывна справа в каждой точке s J \ {b}, а -(s) непрерывна слева в каждой точке s J \{a}, причем +(s) = -(s) = (s) для всех точек s (a, b)\E, где исключительное множество E не более чем счетно. Более того, имеет место включение E Eu, где Eu = {s J | meas u-1(s) > 0}.

Для функции v : Rn Rm будем обозначать через Zv множество критических точек: Zv = {x | rankDv(x) < m}. Следующий результат является многомерным обобщением Теоремы 1.

Теорема 17. Пусть v : Rm C1-гладкое отображение области Rn, для которого выполнены предположения Теорем 11 или (т. е. множество Dv() -одномерно или частные производные функции v удовлетворяют уравнениям (19)). Тогда meas v(Zv) = 0. (20) Напомним, что в классической теореме Сарда для функций v : Rn Rm для справедливости равенства (20) требуется Cr-гладкость, где r = max(0, n - m) + 1.

Результаты главы 5 являются дальнейшим развитием идей, опубликованных в работах [44]–[46], [53].

Здесь функция l та же самая, о которой шла речь в свойстве (M1).

Глава 6. Однозначная определенность областей в Rn метрикой границы, индуцированной внутренней метрикой области Сначала напомним необходимые определения теории однозначной определенности областей (см., например, [12]).

Определение 4. Пусть U область в Rn, n 2, и U ее внутренняя метрика5. Пополним метрическое пространство (U, U ) по Хаусдорфу. Отождествляя точки построенного пополнения, соответствующие точкам области U, с самими этими точками и удаляя их из пополнения, мы получим метрическое пространство (HU, H,U ), совокупность HU элементов которого называется хаусдорфовой границей области U, а H,U относительной метрикой ее хаусдорфовой границы. Расстояние в этой метрике между элементами x, HU будем обозначать также |x - |H,U.

Пусть U, V области в Rn. Будем говорить, что отображение f :

HU HV является изометрией (в относительных метриках) хаусдорфовых границ областей U,V, если отображение f биективно и x, HU справедливо равенство |x - |H,U = |f(x) - f()|H,V ; при наличии такой изометрии будем говорить также, что хаусдорфовы границы областей U,V изометричны в относительных метриках.

Определение 5. Будем говорить, что область U Rn однозначно определяется относительной метрикой своей хаусдорфовой границы, если каждая область V Rn, хаусдорфова граница которой изометрична в относительных метриках аналогичной границе области U, сама изометрична U (в евклидовых метриках).

Определение 6. Пусть U область в Rn такая, что Rn \ U есть непустое выпуклое множество. Тогда хаусдорфова граница HU называется замкнутой выпуклой поверхностью в Rn, а соответствующая метрика H,U внутренней метрикой указанной поверхности.

В условиях последнего определения в том случае, когда Cl U = Rn, хаусдорфова граница HU совпадает с обычной границей U, и сформулированное определение эквивалентно обычному понятию замкнутой выпуклой поверхности и ее внутренней метрики. Но оно охватывает также вырожденный случай, когда Cl U = Rn, и потому нам удобно им пользоваться.

Напомним, что расстояние по внутренней метрике области U между точками x, y U равно инфимуму длин кривых, лежащих в U и соединяющих x, y.

Для области U обозначим FU = U \ Cl Conv U, а через Ui будем обозначать компоненты связности открытого множества U Int Conv U.

Теорема 18. Пусть U область в Rn. Тогда справедливы следующие утверждения.

(I) Если dim Conv U

(II) Если dim Conv U = n, то область U не является однозначно определенной в том и только том случае, когда существует неизометричная ей область V, семейство изометрических отображений Qi : Rn Rn и гомеоморфизм : FU FV со свойствами:

(IIa) Для каждой компоненты Ui справедливо равенство QiUi = Vi.

Это же равенство справедливо и для каждой компоненты Vi.

(IIb) Включение x U Ui выполняется тогда и только тогда, когда справедливо включение Qix V Vi; далее, в случае выполнения этих включений справедливо также равенство (x) = Qix.

(IIс) Гомеоморфизм является изометрией во внутренних метриках замкнутых выпуклых поверхностей FU, FV.

Из Теоремы 18 непосредственно вытекает Следствие 3. Пусть область U Rn удовлетворяет хотя бы одному из следующих двух условий:

1) область U ограничена;

2) n 3 и множество Rn \ U ограничено.

Тогда область U однозначно определяется относительной метрикой своей хаусдорфовой границы.

Я благодарен своему научному консультанту профессору А. П. Копылову. Его вклад в моё развитие как математика, а также постоянная поддержка неоценимы. Я особо признателен академику Ю. Г. Решетняку, пробудившему во мне интерес к современному анализу. Также я особо благодарен профессору Е. Ю. Панову, который предложил концепцию изэнтропических решений дифференциальных уравнений, явившуюся красивым и эффективным инструментом для решения включенных в диссертацию задач. Наконец, благодарю всех остальных своих старших коллег, которые в разное время делились со мною своими соображениями по поводу задач, включенных в диссертацию: В. А. Александрова, С. К. Водопьянова, А. В. Грешнова, Н. С. Даирбекова, А. А. Егорова, Н. Н. Романовского, М. А. Сычёва.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 02-01-01009-а, 0501-00482-а, 08-01-00531-а), грантов Президента РФ для поддержки молодых кандидатов наук (МК-3778.2004.1, МК–5366.2008.1) и ведущих научных школ РФ (НШ-311.2003.1, НШ-8526.2006.1, НШ-5682.2008.1), гранта Фонда содействия отечественной науке для молодых кандидатов, Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН (№ 117, 2006) и грантов Лаврентьевского конкурса молодежных проектов СО РАН.

Часть работы была выполнена во время моего визита в Международный Банаховский Центр в Бендлево (Польша), и я благодарен всем сотрудникам этого центра и, особенно, академику ПАН профессору Б. Боярскому за гостеприимство.

Литература [1] Александров А. Д. Об одном классе замкнутых поверхностей // Матем. сборник. 1938. T. 4, № 46. С. 69-77.

[2] Александров В. А. Об областях, однозначно определяемых относительной метрикой своей границы, в: Тр. Ин-та математики/АН СССР. Сиб. отд-ние. 1987. Т. 7: Исследования по геометрии и математическому анализу. С. 5-19.

[3] Александров В. А. Однозначная определенность областей с нежордановыми границами // Сиб. мат. журн. 1989. T. 30, № 1. С. 3-12.

[4] Александров В. А. Об изометричности многогранных областей, границы которых локально изометричны в относительных метриках // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 2. С. 3-9.

[5] Боровикова М. К. Об изометричности многоугольных областей, границы которых локально изометричны в относительных метриках // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33. № 4. С. 30-41.

[6] Волков Ю. А. Оценка деформации выпуклой поверхности в зависимости от изменения ее внутренней метрики, в: Укр. геометр. сб.

Харьков: Изд-во ХГУ, 1968. Вып. 5/6. С. 44-69.

[7] Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. М.: Мир, 1990.

[8] Дубовицкий А. Я. О строении множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в k-мерный куб // Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Мат. 1957. Т. 21. С. 371-408.

[9] Егоров А. А. Об устойчивости классов аффинных отображений // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1081–1095.

[10] Егоров А.А., Коробков М.В. Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества // Сиб.

мат. журн. 2000. Т. 41, № 5. С. 1046-1059.

[11] Копылов А. П. О граничных значениях отображений, близких к изометрическим // Сиб. мат. журн. 1984. T. 25, № 3. С. 120-131.

[12] Копылов А. П. Об однозначной определенности областей в евклидовых пространствах // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. T. 22. С. 139-167.

[13] Копылов А. П. Устойчивость в C-норме классов отображений // Новосибирск: Наука, 1990.

[14] Копылов А. П. Устойчивость в Cl-норме классов решений систем линейных уравнений с частными производными эллиптического типа // Сиб. мат. журн. 1998. T. 39, № 6. С. 1304-1321.

[15] Коробков М. В. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай // Сибирский мат. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 118-133.

[16] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Матем. сборник. 1970. Т. 81, № 2. С. 228-255.

[17] Кузьминых А. В. Об изометричности областей, границы которых изометричны в относительных метриках // Сиб. мат. журн. 1985.

T. 26, № 3. С. 91-99.

[18] Мишачев Н. М., Элиашберг Я. М. Введение в h-принцип. М.: МЦНМО, 2004.

[19] Панов Е.Ю. Обобщенные решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения. Дисс.... канд. физ.-мат. наук. Москва: МГУ, 1991.

[20] Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.:

Наука, 1969.

[21] Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.

[22] Решетняк Ю. Г. Двумерные многообразия ограниченной кривизны // Геометрия-4: Нерегулярная риманова геометрия. – М., 1989. – С. 8-189. – (Итоги науки и техники. Соврем. пробл. математики.

Фундам. направления; Т. 70).

[23] Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1996.

[24] Сенькин Е. П. Неизгибаемость выпуклых гиперповерхностей, в:

Укр. геометр. сб. Харьков: Изд-во ХГУ, 1972. Вып. 12. С. 131-152.

[25] Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces // Manuscripta Math. 2005. V. 118. P. 383397.

[26] Donaldson S. K., Sullivan D. P. Quasiconformal 4-manifolds // Acta Math. 1989. V. 163, № 3-4. P. 181–252.

[27] Faraco D., Szkelyhidi L. Tartar’s conjecture and localization of quasiconvex hulls in R22. Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences. 2006. Preprint № 60.

http://www.mis.mpg.de/jump/publications.html [28] Iwaniec T., Martin G. Quasiregular mappings in even dimensions // Acta Math. 1993. V. 170, № 1. P. 29–81.

[29] Iwaniec T., Martin G. Geometric function theory and nonlinear analysis. Oxford Mathematical Monographs. New York: The Clarendon Press Oxford University Press, 2001.

[30] John F. Rotation and strain // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14, № 3. P. 391–413.

[31] John F. On quasi-isometric mappings. I // Comm. Pure Appl. Math.

1968. V. 21, № 1. P. 77-110.

[32] John F. On quasi-isometric mappings. II // Comm. Pure Appl. Math.

1969. V. 22, № 2. P. 265-278.

[33] Kirchheim B., Mller S., verk V. Studying nonlinear PDE by geometry in matrix space. In Geometric analysis and Nonlinear partial differential equations. S. Hildebrandt and H. Karcher, Eds. SpringerVerlag. 2003. P. 347-395.

[34] Kirchheim B., Szkelyhidi L. On the gradient set of Lipschitz maps.

Preprint № 16, MPI-MIS. 2007.

[35] Kolar J., Kristensen J. Gradient Ranges of Bumps on the Plane // Proceedings of the AMS. 2005. V. 133, № 5. P. 1699-1706.

[36] Kuiper N. H. On C1-isometric imbeddings. I // Nederl. Akad. Wetensch.

Proc. Ser. A. 1955. V. 58. P. 545–556.

[37] Mal J. The Darboux property for gradients // Real Anal. Exchange.

1996/97. V. 22, № 1. P. 167–173.

[38] Mller S. Variational Models for Microstructure and Phase Transitions. Leipzig: Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences, 1998. (Lecture Notes, № 2.

http://www.mis.mpg.de/jump/publications.html).

[39] Nash J. C1 isometric imbeddings // Ann. of Math. 1954. V. 60. P. 383396.

[40] Nienberg L. Rigidity of a class of closed surfaces. In Nonlinear Problems (Proc. Sympos., Madison, Wis., 1962). Univ. of Wisconsin Press, Madison, Wis., 1963. P. 177-193.

[41] Rickman S. Quasiregular mappings. Vol. 26 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

[42] Sychev M. A. A few remarks on differential inclusions // Proc. R. Soc.

Edinb., Sect. A, Math. 2006. V. 136, № 3. P. 649-668.

[43] Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points // Duke Math. J. 1935. V. 1. P. 514-517.

Работы автора по теме диссертации.

[44] Коробков М.В. Об одном аналоге теоремы Сарда для C1-гладких функций двух переменных // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 5.

С. 1083-1091.

[45] Коробков М. В. Свойства C1-гладких функций, образ градиента которых является нигде не плотным множеством // Докл. АН. 2006.

Т. 410, № 5. С. 596-598.

[46] Коробков М.В. Свойства C1-гладких функций, множество значений градиента которых является нигде не плотным множеством // Сиб.

мат. журн. 2007. Т. 48, № 6. С. 1272-1284.

[47] Коробков М. В. Необходимые и достаточные условия однозначной определенности плоских областей // Доклады Академии Наук.

2007. T. 416, № 4. С. 443–445.

[48] Коробков М.В. Пример C1-гладкой функции, множество значений градиента которой является дугой, не имеющей касательной ни в одной точке // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 134-144.

[49] Коробков М. В. Необходимые и достаточные условия однозначной определенности плоских областей // Сиб. мат. журн. 2008. T. 49, № 3. С. 548-567.

[50] Коробков М.В., Панов Е.Ю. К теории изэнтропических решений квазилинейных законов сохранения // Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 33. С. 69-78.

[51] Коробков М.В., Панов Е.Ю. Об изэнтропических решениях квазилинейных уравнений первого порядка // Матем. сборник. 2006.

Т. 197. № 5. С. 99-124.

[52] Коробков М.В., Панов Е.Ю. О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась образом градиента C1-гладкой функции // Докл. АН. 2006. Т. 410, № 4. C. 449-452.

[53] Коробков М.В., Панов Е.Ю. О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась образом градиента C1-гладкой функции // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. С. 789-810.

Коробков Михаил Вячеславович Некоторые теоремы жесткости в анализе и геометрии Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Подписано в печать 11.07.08. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 1,8. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 90 экз. Заказ №1Отпечатано в ООО Омега Принт 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева,






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.