WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

  На правах рукописи

 

Беркович Вячеслав Николаевич

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КЛИНОВИДНЫХ  ОБЛАСТЕЙ

 

 

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени  доктора

физико-математических наук

 

 

  Ростов-на-Дону – 2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета и в Ростовском филиале  федерального Московского  государственного университета технологий и управления

Научный консультант:  доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты:  доктор физико-математических наук,

профессор Александров Виктор Михайлович

 

доктор физико-математических наук,

профессор Пожарский Дмитрий Александрович 

 

доктор физико-математических наук,

профессор Чебаков Михаил Иванович

 

 

Ведущая организация – НИИ механики Нижегородского госуниверситета

  им. Н.И.Лобачевского

Защита диссертации состоится 22 ноября  2011 г. в 16-30 на заседании диссертационного совета  Д 212.208.06  по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете  по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова , 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211 .

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета  по адресу г. Ростов-на-Дону,  ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан  _____________2011 г.

 

Ученый секретарь

диссертационного совета  Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы теоретических исследований динамики упругих сред в клиновидных областях продиктована необходимостью более адекватного моделирования и анализа процессов распространения волн в неоднородных геофизических объектах, представляющих собой сочетание горизонтально-слоистых,  клиновидных и косослоистых областей, обусловлена возрастанием научно-теоретического и практического интереса к исследованию волновых процессов в композиционных и функционально-градиентных материалах, используемых  в машиностроении,  при  создании  высокочувствительных датчиков смещений и напряжений, основанных на использовании свойств поверхностно активных волн .

  Актуальность математического моделирования  процесса распространения  нестационарных возмущений  в клиновидной области со  случайными источниками  внутри  среды, либо  на  её границе,  обусловлена  возрастающим интересом к  использованию методов  акустической эмиссии для целей неразрушающего контроля  при оценке состояний предразрушения  изделий ответственного назначения.

Теоретическое изучение вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах актуально для оценки напряженного состояния в местах стыка разнородных сред,  оптимального сочетания материалов, в связи с развитием методов  контроля  прочности в конструкциях, содержащих  ребра и угловые точки.

Целью исследований является разработка методов  анализа плоских и антиплоских смешанных задач динамической теории упругости с разрывом граничных условий для  однородных и неоднородных клиновидных и косослоистых  упругих областей  на основе развития метода граничных интегральных уравнений (ГИУ), исследования  вопросов их разрешимости и разработки методов построения приближенных решений,  анализа  характера  формирования волнового поля, возбуждаемого источниками колебаний на границах, а также изучение вопросов  концентрации напряжений в окрестности угловых точек.

        Научную новизну  составляют:

– изучение  новых классов смешанных динамических задач теории упругости для клиновидных и косослоистых  областей, построение методов их решения, связанных с удовлетворением условиям сопряжения на границах раздела;

– теоретически установленный в работе и практически подтверждаемый результатами геофизических наблюдений факт локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной и косослоистой области при определенных условиях,  методика определения  скоростей возникающих при этом поверхностных волн в окрестности свободных границ, а также  интерфейсных (каналовых) волн в окрестности линий раздела; 

– решение смешанной задачи о возбуждении в клине внешними как детерминированными, так  случайными источниками на основе сведения начально-краевой задачи к эквивалентному  ГИУ  с исследованием вопросов его разрешимости и выявлением аналитической структуры решения;

  – изучение вопросов концентрации напряжений в угловых точках неоднородных  клиновидных областей  в случаях  произвольной зависимости механических характеристик от полярного угла.

Методика исследований

  В качестве основного метода исследования в диссертации выбран метод, состоящий в сведении рассматриваемых  краевых задач динамической теории упругости на основе методов интегральных преобразований к эквивалентным граничным интегральным уравнениям (ГИУ), в их  детальном исследовании, и на основе которых осуществляется процедура построения решений исходных задач.  В процессе  построения решений используются методы, традиционно применяемые в динамической теории  упругости и теории дифракции:  методы теории интегральных преобразований основных и обобщенных функций, методы теории потенциала, вариационные методы и  методы факторизации, методы теории аналитических функций, теории интерполяции целых функций  и функциональных пространств, теории аппроксимации,  теории случайных процессов, функционального и численного анализа.

       Достоверность полученных результатов обусловлена применением современных математических подходов при анализе динамических уравнений теории упругости  в клиновидных областях, использованием вариационных принципов,  строгими  постановками  краевых  задач теории упругости с их  детальным  исследованием  методом  ГИУ.  Особое внимание в работе уделено строгим доказательствам вопросов разрешимости поставленных задач и получающихся при этом  ГИУ. Достоверность результатов, полученных разработанными в диссертации методами, основана на сравнении в частных случаях  с решениями известных задач, полученных с помощью других подходов и методов.

НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

  1. Исследован новый  класс динамических смешанных задач для неоднородной упругой среды со сложной геометрией клиновидного типа на основе сведения к системам граничных интегральных уравнений.

2. Получены новые  функционально–инвариантные и интегральные представления общих решений динамической теории упругости.

  3. Сформулированы условия локализации волнового процесса в окрестности свободной поверхности однородной и в окрестности линий раздела кусочно-однородной упругой клиновидной области.

  4. Разработана методика расчета волновых полей смещений  в зонах локализации колебательного процесса однородной и кусочно-однородной клиновидной области.

5. Представлены методы определения показателя сингулярности напряжений в вершине клина и критических углов концентрации с произвольным (непрерывным и кусочно-непрерывным) распределением механических характеристик среды.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

  Излагаемые в диссертации  научные результаты докладывались на V Всероссийской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005г.), на IX,X,XII,XIII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» НИИ механики и прикладной математики им.акад.И.И.Воровича Южного федерального университета (Ростов н/Д, 2005,2006, 2008,2009 гг.), на Всероссийской конференции Института гидромеханики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006г.), на VIII Международной конференции АМАDE-2003 «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Беларусь, Минск, 2003 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти акад. Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.), на X, XII, XIV, XVI, XVIII, Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2002, 2004, 2006,2008, 2010 гг.)  на семинарах  кафедры теории упругости и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета (Ростов-на-Дону, 2004-2009 гг.), на семинаре кафедры физики и математики Ростовского филиала Московского университета технологий и управления (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на заседании семинара «Механика сплошной среды» им.Л.А.Галина в Институте проблем механики АН СССР (Москва,1990г.), в Центре Южного отделения РАН при  Кубанском госуниверситете по математическому моделированию и прогнозированию чрезвычайных ситуаций, экологических и техногенных катастроф (Краснодар, 2011г.), на городском семинаре «Дифракция и распространение волн» лаборатории математической геофизики Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова  РАН (Санкт-Петербург, 2011г.), на Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения»(Ростов-на-Дону, 2011г.).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ  РАБОТЫ

  Представляемая диссертация содержит оглавление, введение, 7 глав, заключение, приложения и список литературы.

  В оглавлении представлена структура диссертации с указанием глав и параграфов. Введение содержит детальный анализ состояния исследуемых  проблем  к  настоящему времени. Основное содержание работы представлено в 7 главах, разбитых на параграфы, в которых принята сквозная нумерация формул. Заключение содержит сводку основных результатов и выводов, сформулированных по результатам исследований. Список литературы дан в алфавитном порядке и насчитывает  243 наименования отечественных и 127 зарубежных источников.  Объем основного текста, включая список литературы, составляет  340 страниц.

Приложения содержат необходимые вспомогательные сведения, таблицы и доказательства некоторых промежуточных результатов, представляющих самостоятельный интерес и облегчающих чтение основного текста.  Объём приложений составляет 112 страниц.

По теме диссертации опубликовано 25 работ, в том числе 110  в изданиях для публикаций по докторским диссертациям из списка, рекомендованного в перечне ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата. Работы 3,4  выполнены в соавторстве с Трипалиным А.С., а работы  17,21,23 выполнены в соавторстве со Шварцманом М.М. В указанных выше работах соискателю принадлежит математическая постановка смешанных задач на основе их сведения к ГИУ, исследование вопросов разрешимости и разработка алгоритма построения решения.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему учителю, академику РАН, профессору Бабешко В.А. за постоянный интерес, внимание и поддержку настоящей работы, а также благодарит коллектив кафедры теории упругости Южного федерального университета за ценные замечания при обсуждении полученных результатов.        

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

  Введение содержит историю рассматриваемых в работе проблем  и детальный обзор отечественной и зарубежной литературы по состоянию в настоящее время вопросов, связанных с исследованием волновых процессов в клиновидных и косослоистых областях.

В качестве начальной и наиболее  распространенной модели приповерхностного фрагмента земной коры в математической  геофизике  для решения  задач сейсморазведки обычно  выбирается  горизонтально-слоистая структура, представляющая собой пакет горизонтально расположенных  однородных пластов, находящихся в различных условиях контакта.  Значительный  вклад в изучение указанного выше класса задач внесли отечественные  исследователи Александров В.М.,  Бабешко В.А., Ворович И.И., Белоконь А.В., Бреховских Л.М., Ватульян А.О., Глушков Е.В.,  Глушкова Н.В., Годин О. А., Калинчук В.В., Кучер В.И., Каштан Б.М., Молотков Л.А., Петрашень Г.И.,  Пряхина О.Д., Пузырев Н.И., Смирнова А.В.,  Селезнев М.Г.,  Чебаков М. И. и др. Аналогичным проблемам посвящены работы зарубежных авторов  Dunkin J.W.,  Harkrider D.G., Franssens G.A., Woodhouse J.H., Gilbert E., Backus G.E. и  др.

Несмотря на весьма детальную изученность основных и смешанных задач динамической теории упругости  неоднородной горизонтально-слоистой среды, возможности её использования все  же ограничены, поскольку далеко  не все фрагменты земной коры  могут быть смоделированы указанным образом.

  Следующей  по  сложности  и степени адекватности моделью фрагмента земной коры  в геофизике является косослоистая область, составленная из клиновидных и  усеченно-клиновидных однородных упругих компонент с различными механическими и геометрическими характеристиками. Указанные компоненты жестко сцеплены друг с другом  своими полубесконечными границами, а участки границы конечной длины образуют ломаную свободную поверхность.

В работе Петрашень Г.И. (Учен. зап. ЛГУ, №177. Л. 1954), по-видимому,  впервые было обращено внимание  на  проблему теоретического изучения процесса распространения возмущений  в косослоистой  области. Вопросы построения решений основных и смешанных  задач динамической теории упругости  в областях рассматриваемого  типа  до  сих  пор оставались открытыми, а  теоретические исследования отмеченных проблем не обнаружены в  открытой  печати , в отечественных работах  и справочных изданиях по вибросейсморазведке  Гурвич И.И., Боганик Г.И., Номоконов В.П.(ред.) Саваренский Е.Ф, Шнеерсон Б.М., Майоров В.В., Пузырев Н.Н., Чичинин И.С., Лёвшин А.Л. и др., в работах аналогичного направления и изданиях известных зарубежных авторов  Sheriff P., Geldard L., Payton C.E., Walton G.G., Neidell N.S. и др.

Смешанные задачи динамической теории упругости для однородных клиновидных областей на начальном этапе исследования изучались в антиплоской  постановке. Результаты в указанном направлении содержатся в работах отечественных авторов  Бабешко В.А., Бабича В. М., Бородачева Н.М., Рвачева В.М., Уфимцева П.Я., Шанина А.В., а также зарубежных авторов Achenbach J.D.,  Hudson J.A., Fuchs K., Craster R.V., Ellis Robert M. и др.

Рассмотрение плоских  краевых задач установившихся колебаний однородной клиновидной среды ранее  было в основном связано с изучением дифракции плоских волн от  угловых  областей. Впервые точное решение плоской задачи о дифракции нестационарной плоской  упругой волны на гладком твердом клине произвольного угла раствора было получено Костровым Б.В. (ПММ.1966. Т.30. Вып.1.)  Вопросам дифракции плоских волн от угловых  областей посвящены также работы Петрашень Г.И., Николаева Б.Г., Коузова Д.П.,  Поручикова В.Б., Исраилова М.Ш., Oberhettinger F. И др., в которых использован подход, основанный на  методе  функционально-инвариантных решений Смирнова-Соболева. В работах последующих лет авторы Шанин А.В., Budaev B.V., Bogy D.B., Norris A.N., Osipov A.V., Davis A.M.  исследовали задачи дифракции на клине методом динамических потенциалов в сочетании с использованием метода Зоммерфельда – Малюжинца  и метода факторизации. Описанию результатов применения этих же методов, а также  лучевого метода к изучению акустических волн в клиновидной области, вычислительным аспектам и вопросам разрешимости проблем дифракции на упругом клине посвящены работы Бабича В.М, Боровикова В.А., Лялинова М.А., Можаева В.Г., Смышляева В.П., Fradkin L.J., Gridin D., Kamotski V., и др.

  Рассмотрению плоской  основной краевой задачи теории упругости об установившихся колебаниях прямоугольного клина при наличии источников гармонических колебаний на его гранях  посвящены работы Bogy D.B., Wang K.C., Wong H.L., Luco J.E. и др., в которых  был применен  метод  суперпозиции решений соответствующих задач об установившихся  колебаниях 2-х упругих полуплоскостей. Метод суперпозиции  при решении основных краевых задач о плоских  и антиплоских колебаниях клиновидной среды был использован также  Селезневым М.Г., Ляпиным А.А. Плоские задачи динамического нагружения упругих областей  с угловыми точками контура  рассматривались в работах Морозова Н.Ф. и Суровцовой И.Л. методом динамических потенциалов для специальных случаев задания граничных условий. Значительный вклад в разработку методов решения задач  о колебаниях однородного клина внесен  Добрушкиным В.А.

Исследование волновых процессов  в кусочно-однородных клиновидных средах проведено в работах Улитко А.Ф., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Проблемы дифракции упругих волн для кусочно-однородной клиновидной среды в дальнейшем были рассмотрены в работах  Budaev B.V., Gaustesen A.K., Walton J.R. и др.

Изучению процессов возникновения и распространения поверхностных и интерфейсных (каналовых) волн  в упругих телах посвящено значительное число работ. Начало исследований в этих направлениях было заложено в работах  Rayleigh J.W., Stonely R., Love А. и др. Детальное исследование процессов  возникновения поверхностных  и интерфейсных волн в горизонтально-слоистых средах содержится в монографиях Бабешко В.А., Глушкова Е.В., Зинченко Ж.Ф., Бабича В.М., Молоткова И.А., Вильде М.В., Гринченко В.Т., Мелешко В.В., Гетмана И. П., Устинова Ю.А. и др. В работах академика РАН Бабешко ВА. выдвинут «принцип локализации» волнового процесса  при установившихся колебаниях упругих полубесконечных однородных  или кусочно-однородных сред, детально обоснованный для задач динамики горизонтально-слоистой среды.  Для случая кусочно–однородной  клиновидной среды этот принцип нашел еще одно подтверждение в  настоящей диссертации. Исследование интерфейсных явлений на границе упругой клиновидной и жидкой среды имеется в работах  Croisille J.-P., Lebeau G., Shanin,A.V, Krylov,V.V.,  Piet J.F., de Billy M.и др.

Исследованию вопросов  концентрации напряжений  в окрестности угловой точки однородной упругой клиновидной среды в условиях статического нагружения посвящено большое число работ, начиная с работ Williams M. L., Zak A.R. , Аксентян О. К., Александрова В.М., Воровича  И. И., Сметанина Б.И., Лурье А.И., Матвеенко В.П.,  Партона В.З., Перлина П.И., Уфлянда Я.С.,  Пожарского Д. А. и др. Отмечено существование критического угла концентрации , начиная с которого в его  вершине появляется степенная особенность напряжений . При этом критический показатель сингулярности находится из некоторого трансцендентного уравнения. Задачи концентрации напряжений для двухслойного клина исследовали Вайшельбаум В.М., Гольдштейн Р.В., Холмянский М.Л., Bogy D.B, Hein V.L., Erdogan F., Theocaris P.S., Gdontos E.E., Thireos C.G.и др. Вычисление и исследование  критического показателя сингулярности как при статических, так и при динамических режимах нагружения кусочно-однородной клиновидной среды дано в работах Аксентян О.К., Лущик О.Н.,  Вовк Л.П., Соболь Б.В.,  где изучены области изменения параметров, для которых характерно появление бесконечных напряжений в вершине составной 2-х, 3-х и 4-х компонентной клиновидной среды.

  Исследование нестационарной и стохастической динамики упругой среды для классических областей проводилось как отечественными авторами Болотиным В.В., Волоховским Ю.В., Гончаренко В.М., Диментбергом М.Ф. Сеймовым В.М., Пальмовым В.А., Чигаревым А.В. и др., так и зарубежными авторами Shaw R.P., Grandall S.H., Iwan W.D., Lutes L.D., Karnopp D., Scharton T.D., Schmidt G., Stassen H.G. и др. Исследование проблемы стохастического возбуждения  клиновидной среды представлено в ряде работ Бабича В.М, Budaev B.V., Bogy D.B. и др. в связи с задачами дифракции на клине.

Вопросы разрешимости  краевых задач I,II,III рода для дифференциальных уравнений эллиптического типа  в областях с кусочно-гладкой границей рассмотрены в работах Андряна А.А., Заргаряна С.С. , Мазьи В.Г., Назарова С.Ф., Пламеневcкого Б.А. и др.

Ниже дается  краткое содержание основных результатов диссертации.

В  ГЛАВЕ I  в классической форме даны математические  постановки всех основных рассматриваемых в настоящей  диссертации  классов смешанных  задач о  колебаниях упругих клиновидных и косослоистых областей в условиях  плоской  или  антиплоской деформации. Колебания возбуждаются источниками смещений, находящимися на части свободной поверхности клина. В случае кусочно-однородной клиновидной или косослоистой  области к граничным условиям добавляются условия жесткого контакта на границах раздела  областей.

В §1 даны  постановки  смешанных задач об  установившихся антиплоских колебаниях  однородной клиновидной области,  одна из граней которой свободна или жестко закреплена, а на другой заданы  источники колебаний. При этом ставятся следующие задачи:  колебания однородной клиновидной среды (задача 1А); колебания клиновидной среды с радиальным  дефектом J конечной длины, на котором заданы источники колебаний (задача 2А);  крутильные колебания сдвига конической упругой среды (задача 3А); колебания усеченной клиновидной среды (задача 1Б). 

В §2  даны  постановки смешанных задач об  установившихся антиплоских колебаниях  неоднородных клиновидных областей с условиями §1. Ставятся следующие  задачи:  колебания кусочно-однородной клиновидной среды (задача 2С); колебания неоднородной клиновидной области с непрерывным распределением упругих механических параметров (задача 2Д); колебания косослоистого полупространства (задача2Б).

В §3 приведены постановки смешанных задач установившихся колебаний клиновидной среды в условиях плоской деформации.  Рассмотрены следующие задачи: плоские колебания однородной клиновидной среды (задача 4А); колебания кусочно-однородной клиновидной среды (задача 4С); колебания косослоистого полупространства (задача 3Б).

Для всех вышеперечисленных классов задач ставятся проблемы перехода от их классических постановок к граничным интегральным уравнениям (ГИУ) с изучением вопросов их разрешимости,  исследованием характера формирования волновых полей в рассматриваемых средах и изучением вопросов концентрации напряжений в угловых точках.

В §4 дается постановка задач  анализа процессов  локализации колебательного процесса в клиновидной области в условиях плоской деформации:  проблема существования поверхностных волн и анализ поля смещений на границе однородной  клиновидной области (задача 4Ап);  проблема существования интерфейсных (каналовых) волн и анализ поля смещений на границе раздела сред кусочно-однородной клиновидной области (задача 4Си).

  В §5 рассматривается постановка нестационарной  смешанной задачи  динамики  клиновидной области  при  ее возбуждении стохастических источниками смещений сдвига на границе, задаваемыми в форме винеровского случайного процесса:  стохастическое  возбуждение упругой клиновидной области (задача 5А).

  ГЛАВА II посвящена вопросам сведения краевых задач динамики антиплоского сдвига  1А, 2А, 3А, 1Б,  сформулированных в §1, главы I  для однородных клиновидных областей, к эквивалентным ГИУ и изучению вопросов их разрешимости. Указанные краевые задачи формулируются для уравнения Гельмгольца. При получении ГИУ применяются методы интегральных преобразований Фурье, Лапласа  и Конторовича-Лебедева. Рассмотрены случаи,  когда источники на границе рассматриваемых сред, реализуют как установившиеся колебания, так и стохастическое возбуждение.

В §1 для задач установившихся колебаний антиплоского сдвига в однородной  клиновидной среде дано построение функции Грина на основе методов интегрального преобразования  Фурье и Конторовича-Лебедева. Тогда  интегральное представление регулярного решения уравнения Гельмгольца с помощью построенной функции Грина для задачи  (2А) приводит к  ГИУ  следующего вида :

  K (1) 

   

Здесь вектор амплитуд смещений, заданных в полосе   на верхней грани клина и на разрезе J , компонентами вектора являются амплитуды неизвестных напряжений  в области задания источников колебаний на грани клина и их скачка на разрезе J, функции Iv(z), Kv(z) - модифицированные функции Бесселя. Матрица-функция 2-го порядка K(z) является четной, положительной определенной на вещественной оси и мероморфной в комплексной плоскости z с полюсами и нулями zk (к = 1, 2,…)  в области Im z > 0.  Предполагается также у матрицы-функции K(z) наличие П- полосы регулярности в окрестности вещественной оси , и выполнение асимптотической оценки . Контур интегрирования расположен в полосе регулярности Г2 П  и  в задачах стационарной динамики определяется условиями излучения.

При использовании интегрального преобразования Конторовича-Лебедева применен метод Фока, основанный на  предварительном рассмотрении случая  .  Переход к случаям    и, в частности, , где волновое число в задачах колебаний упругой среды,  осуществляется  методами аналитического продолжения.

  При отсутствии разреза J клиновидная область становится однородной, а  матрица-функция K(z) превращается в скалярную функцию K(z),  положительную на вещественной оси  Im z =0 и мероморфную  в комплексной плоскости z с сохранением всех остальных свойств, описанных выше.

       К скалярному ГИУ с главной частью типа  (1) и указанными свойствами ядра в данном параграфе приведены смешанные задачи 1А,2А, 3А, 1Б.  Оператор K левой части (1) оказывается главной частью ГИУ всех остальных рассматриваемых в данной работе задач и в дальнейшем называется базовым. 

В §2 детально изучены вопросы обратимости базового оператора в скалярном и матричном случаях. Для этого в уравнении (1) контур интегрирования Г2 П  деформируется в полосе регулярности в действительную ось , что позволяет ввести пространство обобщенных решений  уравнения (1) с нормой:

    (2)

 

Исследование вопросов обратимости оператора K  эквивалентно исследованию вопросов разрешимости ГИУ (1). Условие разрешимости устанавливается на основе использования классического результата Рисса о единственности представления линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве со скалярным произведением, порождающим норму (2). Далее доказывается ряд вспомогательных результатов на основе непосредственных оценок, устанавливающих эквивалентность пространства    пространству дробной гладкости  Соболева-Слободецкого  , что позволяет сформулировать  основной результат этого параграфа.

 

Теорема 1. Оператор однозначно обратим, как  оператор,

действующий в пространствах Соболева-Слободецкого

K

В §3 дается вывод ГИУ задачи (5А) и осуществлено исследование вопросов его разрешимости. Указанные вопросы возникают при математическом моделировании процесса нестационарных колебаний, связанных с появлением случайных источников границе области, где они задаются в форме аналитической функции от винеровского случайного процесса wt. В математической  постановке при этом возникают начально-краевые задачи со  случайными условиями. В настоящем параграфе рассмотрена смешанная задача динамики клиновидной среды с граничными условиями, частично носящими случайный характер. На основе применения интегрального преобразования Лапласа по временной координате к волновому уравнению и начально-граничным условиям задачи, а затем преобразования Конторовича-Лебедева с последующим обращением этих преобразований,  получено скалярное ГИУ стохастических колебаний задачи:

    (3)

 

  В соотношениях (3) функция Лежандра, момент выхода винеровского wt случайного процесса на границу, неизвестное случайное поле контактных напряжений, аналитическая функция w, параметр скорость распространения волн сдвига. Функция четна, мероморфна  в комплексной  плоскости z ,  имеет в ней однократные нули и полюса с конечной плотностью  распределения. При этом и обладает асимптотикой . В окрестности действительной оси существует полоса регулярности функции ,  содержащая контур  ( ).

Исследованы вопросы разрешимости ГИУ (3) и свойства случайного поля его решений (контактных напряжений). Результаты исследований сформулированы в виде теоремы, аналогичной теореме 1, в терминах пространств со смешанной нормой  , где норма пространства средней ограниченной осцилляции берется по временной координате t . 

 

  В §4 разработан метод точного обращения базовых операторов, основанный на теореме, устанавливающей структуру решения ГИУ.

 

Теорема 2.  ГИУ (1)имеет единственное решение, представимое в виде:

  (4)

  ,

Контур Г2 лежит вышеГ1П,  матрица результат факторизации .

  Доказательство теоремы основано на сведении ГИУ к некоторой треугольной системе интегральных уравнений II рода относительно неизвестных  вектор-функций   с помощью метода факторизации, развитого в работах академика РАН Бабешко В.А.

Для задач об антиплоских гармонических колебаниях упругого клина с за­крепленной или свободной нижней гранью (2А), а также крутильных колебаниях упругого конуса (3А), функция K(z) имеет соответственно вид:

 

В целях проверки достоверности результата рассмотрена смешанная задача об антиплоских колебаниях упругого полупространства под действием симметричной или антисимметричной нагрузки, соответствующая  случаям 1), 2) при .  Методы работ Бородачева Н.М. (Прикл. мех. 1973. Т.9. вып.5. С. 231-234)., Рвачева В.М. (Прикл.матем. и механ.1956. Т. 20.  № 2. С.248-254.)  позволяют построить точное  решение указанной задачи. Непосредственная проверка устанавливает его совпадение с (4).

Аналогичный результат получен и в случае нестационарного возбуждения клиновидной области (задача 5А).

В ГЛАВЕ III представлены 2 новых подхода, позволяющие осуществить построение  аналитических  решений  задач  2С, 2Д для неоднородных клиновидных областей.

В §1 рассмотрен 1-й из них, названный  методом сингулярных интегральных соотношений, который связан с удовлетворением условиям сопряжения на границе раздела сред и  основан на следующем ниже результате.

  Введем классы Смирнова Ер(П), р>0, функций Ф(z), суммируемых в полосе  регулярности П, содержащей  действительную ось R1,  и удовлетворяющих условию :

  Теорема 3. Если в классе  Е1(П)  имеет место равенство

(7)

  ,   (8)

  то почти всюду на  имеет  место равенство: 

 

Доказательство вытекает из асимптотических свойств интеграла (8), результатов работы Forristall G.Z., Ingram J.D.(SIAM J.Math.Anal.1972.No.3.P.561-566.) теорем  об  убыва­нии  целых  функций и формул Сохоцкого в классах Е1(П).  Применение результата  теоремы   приводит к получению некоторых линейных соотношений между преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений, которые возникают в результате удовлетворения условиям сопряжения. На основе этого подхода получено ГИУ смешанной  задачи (2С). 

Второй подход является более общим и основан на методах интегральных преобразований обобщенных функций. При этом подходе к решению задач динамики составной клиновидной области  уравнения колебаний, граничные условия и условия сопряжения на границах раздела сред с различными упругими и волновыми характеристиками рассматриваются как следствия  вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В формулируемой ниже теореме установлен  специальный математический результат, с помощью которого оказалось возможным  трансформировать условия сопряжения в форму линейных соотношений между интегральными преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений в специально выбранных пространствах обобщенных функций. Пространство обобщенных функций, сопряженное к пространству основных функций, помечено штрихом.

Теорема 4.  Для выполнения соотношения

(1)F1()d = (2)F2()d , ,  1,2 >0  (9)  необходимо и достаточно выполнения условия

1-i F1() = 2-i F2() ,   (10)

понимаемого в смысле равенства обобщенных функций из  ,

построенных на пространстве основных функций  (A,B >0) :

 

 

где  (z)- преобразование Меллина функции .

 

  В §2  в целях проверки результата  проводилось сравнение обоих подходов на примере решения  смешанной (контактной) задачи (2С) об антиплоских колебаниях 2-х компонентной  клиновидной среды . При этом оказывается, что ГИУ относительно неизвестных контактных напряжений, полученные с помощью обоих подходов, полностью совпадают .

  В §3 на основе последнего из  подходов §2 разработан метод операторных пропагаторов, позволяющих связать граничные значения смещений и напряжений на соседних границах составной клиновидной среды. Рассмотрена смешанная  задача  (2С)  о колебаниях n-компонентного клиновидной среды с жестко закрепленной (либо свободной) нижней гранью. При этом пропагатор оказывается матрицей, позволяющий получить скалярный вариант ГИУ (1) с параметром и  подынтегральной функцией , определяемой следующим рекуррентным соотношением:

(11)

В соотношении (11) углы определяют последовательные границы клиновидных компонент,  - углы раствора  компонент.

  В §4 для задачи 1Б  построен интегрально-матричный операторный пропагатор P  усеченно-клиновидной области с внутренними углами   в условиях антиплоских колебаний, который связывает на ее полубесконечных границах 1,2 трансформанты Конторовича-Лебедева векторов , составленных из компонент смещений и напряжений сдвига  на каждой из этих границ соответственно:

(P )

  (P ) (12)

 

В §5 с помощью пропагатора (12) получено ГИУ задачи 1Б с оператором (1).

В §6 получено ГИУ смешанной  задачи  об  области, составленной из клина и усеченного клина с общей вершиной,  а затем для общей косослоистого полупространства (задача 2Б) с помощью построения интегрально-матричного пропагатора  §4 и удовлетворения условиям сопряжения с помощью метода §1. Отыскание неизвестных граничных напряжений для косослоистой среды в виде суммы приводит к однотипным  ГИУ  относительно каждого слагаемого :

  Kj q( j) = ,  (13)

  ,  j=1,2

(r)() Mj ( ) sh d 

  (r)() Hj (,') sh dd' 

Hj (,') =[ ejT• Q( | -N+1 , N )• He2 ]•[ ejT• Q(| -N+1 , N )• e1] -1

 

Mj () =[ ejT• Q( | -N+1 , N )• e2 ]•[ ejT• Q( | - N+1 , N )• e1] -1

 

  e1T=(1,0) .  e2T=(0,1),  j=1,2 

В формулах (13) матрица Q(|-N+1 , N )  вычисляется с помощью интегрально-матричного пропагатора P, описанного выше, а матрица H находится из  некоторого рекуррентного интегрально-матричного соотношения.

  Изучены вопросы разрешимости  построенных ГИУ (13) и указан способ построения их приближенного решения.

В §7 рассмотрена задача 2Д для неоднородно – упругой  градиентной клиновидной  среды  при установившихся  колебаниях  её границы.  Для её  решения предложена  схема дискретизации, превращающая градиентную среду  в кусочно-однородную, состоящую из  n  клиновидных компонент, с кусочно-постоянным модулем сдвига и  плотностью . Получено ГИУ дискретизированной задачи 2Дд методом §3 и дано обоснование предельного перехода в пространствах Соболева-Слободецкого от задачи 2Дд  к исходной 2Д.

 

  В ГЛАВЕ IV рассмотрены не изучавшиеся ранее в общей постановке  плоские смешанные задачи установившихся колебаний  однородных и кусочно-однородных клиновидных областей. В §1 получено специальное матричное представление фундаментального тензора колебаний в полярной системе координат:

 

  (14) Здесь — угол между контуром разреза и направлением от точки источ­ника в точку наблюдения , расстояние между этими точками, функция Ханкеля, коэффициент Пуассона, волновое число для упругих поперечных волн. Выражение (14) позволяет  получить используемое далее интегрально–матричное представление  фундаментального тензора, связанное с преобразованием Конторовича-Лебедева.

  В §2 получены основные ГИУ плоских смешанных задач (4А) для однородной  клиновидной упругой среды  с закрепленной или свободной нижней гранью на основе использования тензора Грина,  удовлетворяющего тем же граничным условиям. При этом оказывается, что главная составляющая оператора левой части получающихся при этом граничных интегральных уравнений совпадает с базовым оператором,  изученным в  главе II и допускающим  точное обращение. Результаты  базируются  на использовании представлений общих решений  динамической теории упругости типа Папковича–Нейбера,  полученных в работе  Зильберглейта А.С. и  Златиной И.Н. (Докл. АН СССР. 1976. Т.227.№1.С.71-74.), которые в случае установившихся колебаний принимают вид  :

    (15)

   

,  ,

  ,

  (16)

 

В формулах (16) волновые числа продольных и поперечных упругих волн соответственно,  контур  лежит выше  .  Неизвестные функции в подынтегральных выражениях (16) регулярны и убывают при в полосе комплексной плоскости , на границах которой  выполняются соотношения:

  ,    (17)

Контуры интегрирования расположены в полосе и удовлетворяют условиям излучения. При таком выборе неизвестных функций условия в нуле и на  бесконечности уже удовлетворены.  Удовлетворение граничным условиям и использования результата  теоремы 4  приводит к линейным  соотношениям между трансформантами Конторовича-Лебедева от векторов амплитуд смещений и напряжений при  в форме векторной  краевой задачи теории аналитических функций со сдвигом в комплексной плоскости. Решение этой краевой задачи  порождает  ГИУ типа (1) с подынтегральной матрицей-функцией ядра вида:

  ,  (18)

Матрицы-функции в (18)  имеют одинаковую структуру, а их элементы являются суммами произведений гиперболических, тригонометрических и степенных функций. В частности, матрица  имеет следующее представление:

 

 

  (19)

  , 

  Матрицы-функции имеют вид, аналогичный матрице ,  матрица-функция имеет вид, аналогичный матрице , матрицы - постоянные. Матрица-функция в равенстве (18) имеет своими элементами функции, действительные на действительной оси и  мероморфные в комплексной плоскости . В случае отсутствия нулей и полюсов функции на действительной оси для исследования вопросов разрешимости ГИУ с матрицами-функциями (18), (19) применимы все результаты главы II, а его решение  будет иметь вид (4).  При этом первоначально рассматривается случай  . Затем это условие удается ослабить до условия   с помощью методов аналитического продолжения. Установлено наличие конечного числа нулей и полюсов на действительной оси для некоторого критического угла раствора клина, методика отыскания которого описана в главе VI. Решение ГИУ в этом случае сводится к применению методов факторизации, детально разработанных в работах Бабешко В.А.

Результаты §§1,2 проиллюстрированы в процессе исследования ГИУ смешанной задачи о колебаниях массивного тела с наклонным излучающим включением в связи с математическим моделированием явления акустической эмиссии в упругой среде.

В §3 построены матричные пропагаторы для получения ГИУ колебаний  составных клиновидных сред в условиях плоской деформации. Установлено, что при формировании этих пропагаторов достаточно рассмотреть отдельно 2 задачи для однородной клиновидной среды: 1) задачу с закрепленной нижней гранью; 2) задачу со свободной нижней гранью. При этом пропагаторы оказываются блочными матрицами вида: 

    (20)

Матрицы определяются в задаче 1), а матрицы в задаче 2). Для получения (20) существенно использован результат теоремы 4. При этом общая структура указанных матриц имеет вид (19), ГИУ смешанной  задачи (4С) имеет вид (1). В частности, для 2-х компонентного клина  с закрепленной нижней гранью, углами раствора компонент и параметрами матрица   имеет следующие составляющие:

    (21)

  (22)

где единичная и нуль-матрицы соответственно.

  В §4 с помощью интегрального представления тензора Грина (14)  и пропагатора (20)  построен  пропагатор  P , аналогичный (12), для установившихся плоских колебаний  усеченной клиновидной среды с внутренними углами в виде блочного интегрально-матричного оператора. На основе  построенного операторного пропагатора (20) с использованием матриц (21), (22) получено ГИУ смешанной задачи о плоских колебаниях косослоистого полупространства (задача 3Б) , имеющее  вид,  аналогичный (12).

  В ГЛАВЕ V исследуется проблема концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородного клина (4Ск) с произвольным (гладким или кусочно-непрерывным) законом изменения модулей  по угловой координате. Изучается характер зависимости показателя сингулярности напряжений   в вершине клина от его угла раствора ,  при этом асимптотика напряжений имеет вид полярный радиус). Для исследования  поставленных задач и получения уравнения относительно параметра   предложены  3 подхода.        

В §1 описан 1-й подход,  основанный на методе дискретизации, состоящем в аппроксимации неоднородного клина кусочно – однородным, составленным из однородных клиновидных компонент, и дано построение ГИУ смешанной задачи методом интегральных преобразований. 

На основе этого подхода  методом ГИУ рассмотрена задача о концентрации напряжений  в кусочно-однородной  клиновидной среде при наличии колебаний антиплоского сдвига. Левая часть  уравнения для определения параметра порождается знаменателем (11)  подынтегральной функции ядра  ГИУ.

  В параграфе дано исследование критических углов раствора  , начиная с которых в вершине угла появляется особенность у напряжения. Как показывают результаты численного анализа для 3-х компонентной клиновидной среды  (Рис.1) критический угол раствора    существенно  зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины. В частности, для однородной клиновидной среды в условиях колебаний антиплоского сдвига получается известное значение  критического угла раствора

  

 

 

 

Рис.1. (=Imz  , k = max / min)

В §2 описан  2-й подход, основанный на вариационном методе  и состоящий в  сведении  исходной проблемы  к некоторой нелинейной спектральной задаче для  квадратичного пучка операторов:

.  (23)

  Последующее применение прямых численных методов, связанных с вариационным подходом, приводит к  приближенному уравнению относительно параметра сингулярности напряжений  .  Рассмотрены  задачи о концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородно  упругого клина с произвольным законом изменения упругих модулей по угловой координате . Исследованы  особенности появления концентрации напряжения для различных углов и различных законов изменения упругих модулей от (кусочно–постоянный, линейный, квадратичный). В частности, детально проанализирована структура напряжений в окрестности вершины составного клина из материалов с различными упругими свойствами.  Представлены результаты численного анализа. Показано, что в условиях плоской  деформации критический угол раствора неоднородной клиновидной среды также зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины.

  Предложен 3-й подход, основанный  на  непосредственном сведении исходной проблемы к спектральной задаче для системы интегральных операторов Фредгольма II рода с их последующей конечномерной  аппроксимацией.

  Сравнение результатов решения одних и тех же задач,  полученных с помощью рассмотренных методов,  обнаруживает  их совпадение.  Численно исследованы  особенности появления концентрации напряжений для произвольных законов изменения упругих модулей, получены величины критических углов раствора клина, отделяющих области с наличием и отсутствием концентрации напряжений  в угловой точке.

  В §3 дано аналитическое исследование вопроса о существовании критических углов раствора неоднородной клиновидной среды, удовлетворяющих условию . Доказан результат, устанавливающий факт существования вышеупомянутых критических  углов при выполнении некоторых условий.

В ГЛАВЕ VI изучен характер формирования волнового поля  смещений  в  упругой  клиновидной среде.  Дано аналитическое исследование условий возникновения поверхностных волн при плоских установившихся колебаниях клиновидной среды. Установлена математическая корректность факта существования  интерфейсной (каналовой)  волны в кусочно-однородной клиновидной среде.

В §1 получены функционально-инвариантные решения динамических уравнений теории упругости в клиновидной среде с помощью формул Зильберглейта А.С., Златиной И.Н. для общего решения в случае произвольного возбуждения упругой клиновидной среды:

    (24а)

  (24b)

где произвольные аналитические функции, фазовые скорости поперечных и продольных  волн соответственно. Если аналитические функции в (24) имеют вид , то построенные решения локализуются в окрестности линии .

  В §2 на основе метода вариационных неравенств доказан результат, являющийся  математическим отражением известного физического принципа предельной амплитуды.

  Доказана основная теорема, устанавливающая факт существования решений (24b), отвечающих поверхностным волнам типа Релея в клиновидной среде при определенных критических значениях  угла её раствора в условиях установившихся колебаний. 

Теорема 5. Пусть операторы уравнений динамической теории упругости в однородной  клиновидной  области   с углом раствора  и границами   действуют  в гильбертовом пространстве   со скалярным произведением , порождающим смешанную норму пространства   Тогда для обобщенной краевой задачи:

(25)

всегда найдётся такое что , для которого  существует соответствующее  решение вида (24b).

Доказательство теоремы основано на свойствах голоморфности билинейных форм (25)  как  функций   и известных результатов в области

спектральных задач теории  колебаний.

В §3  предложен  метод изучения характера формирования волнового поля  смещений свободной поверхности при установившихся плоских колебаниях клиновидной среды (задача 4Ап) , соответствующих функциям в формулах (24b). С помощью выражений (24a,b) для определения фазовой скорости поверхностной волны получено уравнение, которое оказывается уравнением Релея.

  Решение этого уравнения в случае клиновидной среды имеет смысл лишь  при условии существования критических углов раствора , для которых возможен отыскиваемый режим колебаний. На основе использования вариационного принципа Гамильтона-Остроградского и принципа предельной амплитуды в формулировке §2 для случая установившихся колебаний получено уравнение, из которого определяются  критические углы раствора :

  (26)

  В процессе применения вариационного подхода осуществлялось разложение искомого решения по  системе функций, удовлетворяющих уравнениям (24а,b) и заданным граничным условиям,  полнота которой была предварительно установлена в следующей ниже теореме.

  Теорема 6.  Система   полна  в пространстве ,  ,  .

Доказательство основано на результатах по теории аппроксимации функций в комплексной плоскости.

  Ниже для некоторых геологических пород приведена сравнительная Таблица 1  фазовых скоростей s волн сдвига и скоростей  поверхностных волн Релея в клине, а также найденные по формулам (26) с помощью математического пакета Maple-8 критические углы раствора клина,  при которых эти  поверхностные волны могут наблюдаться.

  Таблица 1

Материал

Скорость волны сдвига

s,  км/с

Скорость поверхностной  волны Релея в  клине 

, км/с

Критический

угол раствора клина  , град

1.

Почвы песчано-глинистые,  сухие

0,100

0,150

0,200

0,300

0, 092

0,138

0,184

0,276

81,9

81,2

80,6

79,4

2.

Мерзлота, лед

1,250

1,350

1,450

1,150

1,242

1,334

70,6

69,9

69,1

  3.

  Известняк

1,300

1,420

1,520

1,196

1,306

1,394

70,2

69,3

68,5

  4.

Глина водонасыщенная

1,750

1,850

1,610

1,702

66,8

66,0

При этом фазовые скорости  указанных в таблице волн  и критические  углы раствора удовлетворяют соответственно  неравенствам:  .

  В §4  исследован вопрос о возможности локализации волнового процесса в составной клиновидной среде,  составленной из 2-х упругих клиньев  с углами раствора и общим ребром (задача 4Аи). Исследована проблема существования режима  колебаний, порождающих интерфейсную (каналовую) волну типа Стоунли, не обладающую дисперсией. Указанная волна локализована в окрестности линии раздела клиновидных компонент. 

  Удовлетворение условиям сопряжения при решении краевой задачи с помощью (24a,b) для составной клиновидной среды с однородными краевыми условиями приводит к уравнению для определения фазовой скорости распространения интерфейсных волн на границе раздела сред: 

  (27)

 

  Аналитическое исследование  уравнения (27) позволяет установить наличие у него  действительного корня при определенных соотношениях между отношениями волновыми сопротивлений поперечных волн,  отношениями скоростей поперечных волн,  отношениями механических жесткостей   контактирующих сред. Ниже приведена сравнительная Таблица 2 фазовых скоростей   интерфейсных волн в 2-х компонентной клиновидной среде и волн Стоунли в 2-х компонентном пространстве. В качестве материалов контакта выбраны реальные геологические породы.

Таблица 2

Материалы

контакта

Скорости волн сдвига

s,  км/с

Отношение

волновых сопротивлений,

Скорость

волны Стоунли

, км/с

Скорость

интерфейсной  волны в 2-х компонентном

клине

,  км/с

1.

Водонасыщенные грунты-

-мерзлота, лед

1,35

1,25

0,7

1,190

1,000

2.

Известняк-

- водонасыщенная

глина

1.75

1.52

0.82

1.519

1.516

1,85

1,80

0,83

1,740

1,390

1,85

1,75

0,88

1,750

1,450

3.

  Доломит-

-гранит

3,60

3,60

0,98

3,530

3,460

При этом фазовая скорость интерфейсной волны в таблице 2 оказывается меньше скорости волны Стоунли при контакте полупространств из тех же материалов.  Как и в случае факта  существования поверхностных  волн типа Релея,  интерфейсные волны в составной клиновидной среде появляются лишь при критических углах раствора клиновидных компонент,  которые определяются из уравнения типа (26) и удовлетворяют условию .

На Рис.2 представлены результаты численного анализа зависимости действительного корня уравнения  (27), определяющего относительную фазовую  скорость  интерфейсной волны ,  от отношения  волновых сопротивлений контактирующих клиновидных сред в окрестности границы  раздела сред L  для различных значений коэффициентов Пуассона . Точками на графиках помечены результаты, вычисленные на основе реальных данных из таблиц геофизических наблюдений, сплошная линия на графиках – результат полиномиального сглаживания.

  В излагаемом параграфе сформулирован также  результат, устанавливающий факт существования критических углов раствора клиновидных компонент,  для которых на границе раздела сред составной клиновидной среды появляется интерфейсная волна. В рассматриваемой ситуации доказана теорема, аналогичная теореме 5.

Рис.2.

На основе численного анализа с использованием  математического пакета Maple-8 составлена  таблица контактного соответствия  реальных геологических пород клиновидной формы. В этой таблице наряду с указанием основных волновых характеристик  контактирующих пород приведены  расчетные значения максимальных критических углов раствора клиновидных компонент , на  границах контакта которых  появляется каналовая волна. Её фазовая скорость   подсчитана и помещена в таблице для случаев контакта ряда различных геологических сред  клиновидного типа. Описанная  таблица не приведена в автореферате ввиду её громоздкости. Как следует из справочных материалов по сейсморазведке под ред. Номоконова В.П. (М.Недра.1990.), полученные выше результаты согласуются с имеющимися данными геофизических наблюдений.

  ГЛАВА VII  посвящена описанию методики  исследования волновых  полей смещений  в зонах локализации колебательного процесса при возбуждении клиновидной среды внешними источниками, расположенными на её гранях.  При этом задача описания  волнового поля сводится к решению граничных интегральных уравнений, относящихся  к классу,  детально изученному в главах II,III, где указан метод построения их эффективного приближенного решения.

  В  §1 с помощью решений, полученных  в главе VI  для случая  сплошной  и  составной  клиновидной  области с  критическими углами

раствора клиновидных компонент, построен тензор Грина, удовлетворяющий требуемым граничным условиям и имеющий вид:

(29)

   

 

В представлении (29) левая часть уравнения Релея. В результате

вычисления  интеграла (29)  по  теории вычетов  получено выражение вектора амплитуд смещений свободной поверхности:

  (30)

В выражении (30) действительный корень уравнения Релея, действительные полюсы функции   для критических углов раствора клина, - векторы амплитуд  поперечных (s), продольных (p), поверхностных волн Релея и волн типа Релея, сосредоточенных между ребром клина и источником колебаний соответственно. 

  В §2 рассмотрен случай появления интерфейсных (каналовых) волн на границе раздела сред  для 2-х компонентной кусочно-однородной клиновидной среды. Построенные  поля смещений выражаются контурным интегралом типа (29) в указанной зоне, который затем вычисляется по вычетам подынтегральной функции. Контур интегрирования Z замыкается в верхнюю полуплоскость полуокружностью и 4-мя вертикальными разрезами, обходя снизу 4 точки ветвления.  Окончательное выражение вектора амплитуд смещений на линии раздела сред  содержат продольные,  поперечные волны  и незатухающие интерфейсные волны типа Стоунли, локализованные в окрестности границы  раздела :

  (31) 

В соотношении (31) действительный корень уравнения (27), определяющий фазовую скорость  интерфейсных волн типа Стоунли на границе L раздела сред, - вектор амплитуды  этих волн, векторы амплитуд поперечных (s), продольных (p)  волн 1-й и 2-й клиновидных компонент соответственно, критические углы раствора клиновидных компонент.  Критические углы раствора в соотношениях (30), (31), соответствующие случаям появления  поверхностных и интерфейсных  волн в зонах  локализации колебательного процесса, вычисляются на основе методов главы VI.

  Исследование характера локализации волнового процесса в однородном и составном клине  позволяет  детализировать описание волновых полей в  областях, содержащих компоненты клиновидного типа,  и  внести  существенные  уточнения в  методики расчетов при  разработке численных методов  решения прикладных задач, связанных с распространением волн в вышеуказанных областях.

 

  ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  Основные полученные результаты сводятся к следующему:

  1. Дано аналитическое исследование методом ГИУ нового  класса смешанных задач  об установившихся колебаниях и распространении волн в клиновидных и косослоистых областях.

2. Построено новое представление общих решений динамической теории упругости для клиновидных и косослоистых областей, рассмотрены не изучавшиеся ранее в общей постановке  плоские смешанные задачи динамики  при установившихся колебаниях.

  3. Разработаны методы сведения смешанных краевых задач  динамической теории упругости в неоднородных клиновидных и косослоистых областях к системам  ГИУ. Предложен  новый подход для удовлетворения условиям сопряжения при наличии жесткого контакта на границах раздела сред,  основанный на применении метода интегральных преобразований Конторовича-Лебедева в классах обобщенных функций, который  позволяет осуществить построение аналитических решений смешанных задач теории упругости для  неоднородных клиновидных и косослоистых областей. Разработана техника применения интегрального преобразования Конторовича-Лебедева  для постановки и решения смешанных задач динамики неоднородных клиновидных и  косослоистых сред в традиционной форме ГИУ. 

4. Дано детальное аналитическое исследование классов ГИУ  смешанных задач динамики клиновидных и косослоистых областей в условиях детерминированных либо стохастических колебаний.

  5. Разработаны методы определения показателя сингулярности напряжений в клиновидной области с произвольным непрерывным либо кусочно-непрерывным  законами распределения модулей упругости в окрестности вершины клина. Установлено существование зависимости между углами раствора и  характером распределения упругих модулей, порождающей наличие или отсутствие концентрации напряжений в угловой точке.

  6. Исследованы особенности формирования волновых полей в косослоистой среде. На основе полученных новых представлений функционально-инвариантных решений динамических задач теории упругости исследованы вопросы локализации волнового процесса в рассматриваемой области. Установлена математическая корректность известного ранее факта существования поверхностных волн на гранях клиновидной среды и известного лишь эмпирически факта существования в составной клиновидной среде незатухающих интерфейсных (каналовых) волн, не имеющих  дисперсии и распространяющихся  вдоль линии раздела контактирующих сред. Сформулированы условия возникновения  этих волн в виде соотношений между скоростями,  волновыми сопротивлениями и углами раствора контактирующих сред.

  7.  Разработан метод описания волновых полей смещений  в зонах локализации колебательного процесса при возбуждении клиновидной области внешними источниками, расположенными на её гранях.  Представлены асимптотики волновых полей, причем в зонах локализации волнового процесса составляющими поля являются как продольные и поперечные волны, так и поверхностные для однородной клиновидной среды, а также интерфейсные  волны, если клиновидная среда кусочно-однородна.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

а) в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК  РФ

  1. Беркович В.Н. О точном решении одного класса интегральных  уравнений смешанных задач упругости и математической физики. // Докл. АН СССР.1982. T.267. №2.C.327-330.

2.  Беркович В.Н. К теории смешанных задач динамики клиновидных композитов. // Докл. АН СССР. 1990. Т.314. №1.  С.172-175.

3. Беркович В.Н., Трипалин А.С. Излучение волн сдвига трещиной, выходящей на границу массивного тела. // Известия Сев.-Кавказск. научн. центра Высшей школы . Сер. ест.наук.1981. №3. С.10-13.

   4. Беркович В.Н., Трипалин А.С. Математическая модель акустической эмиссии в массивном теле с линейным дефектом // Изв.Сев.-Кавказск. научн. центра Высшей школы . Сер. ест.наук.1986. №4.С.10-16.

5. Беркович В.Н. Нестационарная смешанная задача динамики неоднородно упругой клиновидной среды. // Экол. вестник научн.центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар. 2005. №3. С.14-20.

6.  Беркович В.Н. Некоторые математические вопросы смешанных задач динамики неоднородной клиновидной среды. // Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест.науки. 2005. №4. С.15-19.

7.  Беркович В.Н.  К теории смешанных задач динамики наклонно-слоистой  среды. // Экол. вестник научн. центров ЧЭС. КубГУ.  Краснодар. 2006. №2.С.16-22.

  8. Беркович В.Н. Плоские установившиеся колебания упругой клиновидной среды. // Экол. вестник научн.центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар. 2008. №3. С. 27-36.

9. Беркович В.Н. О локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной среде. // Экол. вестник научн. центров ЧЭС. КубГУ.  Краснодар. 2010. № 3.С.26-32.

  10. Беркович В.Н. Особенности концентрации напряжений в неоднородно упругих клиновидных средах. // Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест.науки. 2011. №.3.  С.9-11.

б) в других изданиях

  11.  Беркович В.Н. Об одном эффективном методе в смешанных задачах динамики градиентных сред.// Тр. Междун. симпоз. "Ряды Фурье и их приложения" в г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). ЮФУ.  Изд. ВГУ. Воронеж: 2002 . Т.10. Вып.2. С.94-98.

12.  Berkovich V.N. On the dynamic mixed boundary value problem for the elastic half-space with inclined stratification.// Abstr. of  reports of Int. conf. “Analytic Methods of Analysis and differential equations” (AMADE) Minsk. Belarus. 2003. P.34.

13.  Беркович В.Н. Об одном классе смешанных задач динамики наклонно-слоистой среды // Тр. IX  Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им.акад. И.И.Воровича Южного Федерального ун-та  . Ростов- на-Дону. 2005 г. С.25-30.

14. Беркович В.Н. Об одном интегральном уравнении нестационарных смешанных задач динамики упругой среды. //Тез.докл. XIII Междун.конф. «Матем. Экон. Образование.» разд. «Мат. модели в ест. науках, технике, экономике и экологии» в г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). Южный федеральный ун-т. Ростов-на-Дону. 2005. С.97-98.

  15. Беркович В.Н. Смешанная задача динамики наклонно-слоистой среды с негладкой границей. / В сб. «Математика в образовании» разд. Матем.модели в ест.науках и техн.Чув.гос.ун-т.Чебоксары. 2005.С.171-176.

16. Беркович В.Н. Смешанная задача динамики наклонно-слоистой среды.// Тр. V Российской конф.с междун. участием. «Смеш.зад.мех.деф. тела». Изд-во СГУ.Саратов.2005.С.65-67.

17. Беркович В.Н., Шварцман М.М. Анализ особенности напряженного состояния среды в смешанной задаче динамики клиновидного композита. // Тр.XIV Междун.конф. «Математика. Экономика. Образование.» в г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). ЮФУ. Изд-во ЦВВР. Ростов-на-Дону. 2006.С.92-99.

18. Беркович В.Н. Смешанная задача динамики неоднородной клиновидной и косослоистой упругих сред.// Тез. докл. Всерос. конф. «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных  сред и конструкций» Ин-т гидромеханики им. акад. М.А. Лаврентьева СО РАН. Новосибирск: 2006. С.22.

19. Беркович В.Н. Плоская смешанная задача динамики упругой клиновидной среды.// Тр.X Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им.акад. И,И,Воровича Южного Федерального ун-та. Ростов-на-Дону. Т.2. 2006 г. С.64-69.

  20. Беркович В.Н. Особенности формирования волнового поля при плоских установившихся  колебаниях клиновидной среды.// Тр. XII  Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им. акад. И.И,Воровича Южного Федерального ун-та. Ростов-на-Дону.Т.2.2008 г. С.39-43.

21. Беркович В.Н., Шварцман М.М. Особенности волновых полей при колебаниях составной клиновидной среды //Тр. XVI Междун.конф. «Матем. Экон. Образование.» разд. «Мат. модели в ест. науках и экологии». Ростов- на-Дону. 2008. С.81-88.

22. Беркович В.Н. Особенности концентрации напряжений в задачах теории упругости для неоднородных клиновидных сред. //Тр. XIII  Междун. конф. «Соврем. пробл. мех. сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им. акад. И.И. Воровича Южного федерального ун-та. Ростов-на-Дону. 2009.Т.2. С.36-39.

23.  Беркович В.Н., Шварцман М.М. Эффекты локализации волнового процесса при колебаниях упругой клиновидной среды./ В сб. научн. тр. Морской гос.Академии им. адм. Ф.Ф.Ушакова. Вып.13.2009.С.307-309.

24.  Беркович В.Н. Вопросы концентрации напряжений в неоднородно упругих клиновидных средах.// Тез. докл. XVIII Междун. конф. «Матем. Экон. Образование.» разд. «Мат. модели в ест. науках, технике, экономике и экологии». в г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). ЮФУ. Ростов- на-Дону. 2010. С.116.

25.  Беркович В.Н. Некоторые математические аспекты в задачах установившихся колебаний упругой кусочно-однородной клиновидной среды.// Тез. докл. Междун. семин.«Совр.методы и пробл.теории операторов и гарм. анализа и их прилож». ЮФУ. Ростов- на-Дону. 2011. С.59.

 



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.