WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Жданок Александр Иванович

КОНЕЧНО АДДИТИВНОЕ РАСШИРЕНИЕ МАРКОВСКИХ ОПЕРАТОРОВ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

01.01.01 математичесий анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2007

Работа выполнена на кафедре математического анализа и методики преподавания математики Тывинского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Малюгин Сергей Артемьевич академик Национальной Академии наук Украины, доктор физико-математических наук, профессор Скороход Анатолий Владимирович член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Ченцов Александр Георгиевич

Ведущая организация:

Томский государственный университет

Защита состоится 6 декабря 2007 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Гутман А. Е.

Общая характеристика работы



Актуальность темы.

Рассматривается произвольное множество X с некоторой алгеброй или -алгеброй его подмножеств , т. е. измеримое пространство (X, ).

В некоторых случаях X предполагается топологическим пространством с топологией и с борелевской алгеброй A = AX или -алгеброй B = BX, порожденными топологией . Используются следующие обозначения.

B(X, ) банахово пространство всех вещественных ограниченных -измеримых функций f: X R1 с sup-нормой.

C(X) банахово пространство всех вещественных ограниченных непрерывных функций f: X R1 с sup-нормой (для топологического X).

ba(X, ), ca(X, ) банаховы пространства вещественных ограниченных мер µ: R1 с вариационной нормой, соответственно конечно аддитивных и счетно аддитивных.

rba(X, ), rca(X, ) банаховы пространства подпространства регулярных мер, соответственно в ba(X, ) и ca(X, ) (для топологического X).

На измеримом пространстве (X, ) задается функция двух переменных: p : X R1, p (x, E), которая является -измеримой по первой переменной и счетно аддитивной мерой по второй переменной:

p: X [0, 1]; p(·, E) B(X, ), E ;

p(x, ·) ca(X, ), x X; p(x, X) = 1, x X.

Такая функция называется переходной функцией или переходной вероятностью для порождаемой ею классической цепи Маркова (ЦМ) на ”фазовом“ пространстве (X, ).

Переходная функция p (x, E), как интегральное ядро, однозначно порождает два линейных оператора T и A, которые мы будем называть марковскими операторами:

T : B(X, ) B(X, ), (T f)(x) = T f(x) = f(y)p(x, dy), f B(X, ), x X;

A : ca(X, ) ca(X, ), (Aµ)(E) = Aµ(E) = p(x, )µ(dx), µ ca(X, ), E .

В рамках настоящей работы цепи Маркова отождествляются с итерационной процедурой µn = Aµn-1 при той или иной начальной счетно аддитивной вероятностной мере µ0. Описание ЦМ на языке случайных величин (элементов) в работе не используется.

Марковский оператор A может быть продолжен (расширен) с сохранением своего аналитического вида с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер (сохраняем обозначение):

A: ba(X, ) ba(X, ), (Aµ)(E) = p(x, E)µ(dx).

Поскольку сопряженное пространство B(X, ) = ba(X, ), то продолженный оператор A является топологически сопряженным к опера тору T : T = A (этим свойством не обладает исходный оператор A на ca(X, )).

Переходная функция p(x, E) также может рассматриваться как конечно аддитивная мера по второму аргументу: p(x, ·) ba(X, ), x X.

Она также порождает пару марковских операторов T и A с тем же интегральным видом, причем T : B(X, ) B(X, ), A : ba(X, ) ba(X, ) и T = A. Конечно аддитивной переходной функции соответствуют конечно аддитивные цепи Маркова, также понимаемые как итерационные процедуры µn = Aµn-1, где µ0 ba(X, ), µ0 0, µ0(X) = 1.

Предметом изучения в работе являются марковские операторы, порождаемые переходными функциями на произвольных и топологических измеримых пространствах (X, ). Рассматриваются как счетно аддитивные, так и конечно аддитивные переходные функции, а также определяемые ими цепи Маркова (ЦМ) на фазовом пространстве (X, ).

Исследования в настоящей работе проводятся в рамках операторного подхода к изучению цепей Маркова, позволяющего использовать конструкции и методы функционального анализа, который был впервые в главных чертах разработан Иосидой и Какутани1 в 1941 году.

Задачей настоящего исследования является изучение асимптотического поведения ЦМ, понимаемого как описанные выше итерационные операторные процедуры в пространствах мер. К асимптотическому поведению последовательностей мер здесь относится также и поведение всевозможных средних, в частности, средних по Чезаро. Сходимость рассматривается в различных сильных и слабых топологиях.

Указанная проблема составляет существо классической эргодической теории для марковских операторов, т.е. для цепей Маркова, а конкретные теоремы, дающие решение относящихся сюда вопросов, называются эргодическими или предельными.

Эргодические теоремы обычно доказывают при тех или иных предположениях. Типичными являются следующие ограничения.

1. 0граничения на фазовое пространство – конечность, счетность, топологические свойства и т.п.

2. Условия на марковские операторы – компактность, квазикомпактность, феллеровость и т.п.

3. Предположение о существовании инвариантной вероятностной Yosida K., Kakutani S. Operator-theoretical treatment of Markoff’s process and mean ergodic theorem. – Ann. Math., v. 42, № 1, 1941. P. 188–228.

меры. Это предположение присутствует почти во всех основных эргодических теоремах, полученных Феллером и Иосидой2, и у многих других авторов. “Априорная” инвариантная вероятностная мера перешла из общей эргодической теории, где ее существование является естественной физической предпосылкой в статистической физике. С другой стороны, постулируемое существование инвариантной вероятностной меры µ позволяет рассматривать марковские операторы в пространствах Лебега Lp(X, , µ). Наличие хорошо развитой теории линейных операторов в пространствах Лебега и обеспечивает построение развернутой эргодической теории для таких ЦМ (см., например, статьи Хоровица3,4).

В настоящей работе в основных результатах почти нет ограничений на фазовое пространство. Некоторые результаты будут связаны с предположениями второго типа. Что же касается предположений третьего типа, то именно их критический пересмотр обусловил появление данного исследования.

В работе ставится и в определенной степени решается задача: изучить асимптотическое поведение итераций от марковских операторов, во-первых, вне носителей инвариантных вероятностных счетно аддитивных мер, а, во-вторых, при отсутствии таких мер.

Цель работы.

Разработать новые методы исследования марковских операторов, базирующихся на активном использовании общей теории конечно аддтивных мер.

Научная новизна.

1. Проведено продолжение марковских операторов со счетно аддитивным ядром основных классов счетно аддитивных цепей Маркова с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер и установлен методологически общий для всех таких операторов факт о существовании инвариантных конечно адитивных мер. Данный результат обобщает подобные полученные ранее результаты других авторов.

2. Рассмотрены марковские операторы с конечно аддитивным ядром и соответствующие им конечно аддитивные цепи Маркова. Доказаны новые общие теоремы о существовании инвариантных конечно аддитивных мер у всех таких операторов.

Иосида К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967. 624 с.

Horowitz S. L – Limit theorems for Markov processes. Israel J. of Math. V. 7, N 1, 1969. P. 60–62.

Horowitz S. Transition Probabilities and Contaction of L. – Z. Wahr. und verw.

Geb. B. 24, H.4, 1972. P. 263–274.

3. На основе известного представления банаховой алгебры B(X, ) через пространство C(Q), где Q ее пространство максимальных идеалов (или множество двузначных конечно аддитивных мер), введена гамма-компактификация X произвольного измеримого пространства (X, ). Исследовано топологическое строение гамма-компактификации исходного пространства. Изучены особенности продолжения измеримых ограниченных функций до непрерывных и конечно аддитивных ограниченных мер до счетно аддитивных при расширении исходного измеримого пространства до его гамма-компактификации. В частности, даны условия выметания носителей исходных мер в нарост гаммакомпактификации при продолжении мер.

4. Введено новое понятие гамма-расширение точки (не имеющее аналогов в общей топологии) при вложении топологического борелевского пространства в его гамма-компактификацию. Изучено устройство гамма-расширения точки и ее гамма-нароста для различных топологий в исходном пространстве, дано их представление в терминах двухзначных мер, и исследованы другие свойства. При некоторых условиях доказано, что гамма-компактификация исходного топологического пространства совпадает с объединением гамма-расширений всех его точек тогда и только тогда, когда X компактно.

5. Произвольной конечно аддитивной цепи Маркова на общем, вообще говоря, нетопологическом фазовом пространстве поставлена в соответствие некоторая феллеровская цепь Маркова на компакте - “гаммацепь Маркова на гамма-компактификации” исходного фазового пространства. Переход от исходной цепи к феллеровской и обратно хорошо оснащен набором соответствующих отображений, дающих явные формулы перехода. Полученная конструкция позволяет трансформировать различные утверждения, верные для феллеровских цепей Маркова на компакте, в соответствующие утверждения для произвольных цепей.

6. Доказано, что классу всех феллероских цепей со счетно аддитивной переходной функцией на гамма-компактификации произвольного измеримого пространства биективно соответствует класс всех цепей Маркова на данном измеримом пространстве с конечно аддитивной переходной вероятностью, подкласс которого образуют классические цепи со счетно аддитивной переходной вероятностью. В терминах классов марковских операторов указанное соответствие является изометрическим изоморфизмом.

7. В рамках разработанного автором подхода доказан набор теорем эргодического типа с альтернативными условиями, в которых асимптотическое поведение в различных топологиях средних по Чезаро от марковских последовательностей мер при всевозможных предположениях увязывается со свойствами инвариантных конечно аддитивных мер марковских операторов.

8. Введено понятие семейства конечно-осредненных цепей Маркова (и их операторов) для исходной цепи. Это позволило на основе полученных автором теорем эргодического типа для произвольных цепей Маркова доказать ряд новых теорем об условиях сильной сходимости средних по Чезаро для конечно-осредненных и исходных цепей Маркова.

В частности, доказана эквивалентность следующих двух условий:

1)для произвольной цепи Маркова ее конечно-осредненная цепь удовлетворяет условиям Дуба-Деблина (т.е. соответствующие марковские операторы квазикомпактны);

2)все инвариантные конечно аддитивные меры (они всегда существуют) исходного марковского оператора счетно аддитивны (одновременно доказано, что в этом случае существует лишь конечное число линейно независимых инвариантных мер).

9. В последних теоремах работы даются необходимые и достаточные условия слабой сходимости средних по Чезаро для марковских операторов к счетно аддитивной вероятностной мере. Суть условий при тех или иных предположениях сводится к тому, чтобы все инвариантные конечно аддитивные меры попадали в один класс эквивалентности в слабой топологии с данной предельной счетно аддитивной мерой.

При этом учтены марковские операторы, не имеющие инвариантных счетно аддитивных мер. Их асимптотическое поведение (средних по Чезаро) характеризуется свойствами инвариантных чисто конечно аддитивных мер.

Методика исследований.

В работе используются методы теории линейных операторов в банаховых пространствах, теории компактных расширений топологических и измеримых пространств, общей теории меры, элементы теории банаховых алгебр и ряда других разделов функионального анализа.

Теоретическая и практическая значимость.

Представленная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем развитии теории марковских операторов и теории компактных расширений. Доказанные теоремы эргодического типа могут быть применены в эргодической теории цепей Маркова.

Апробация. Полученные в диссертации результаты докладывались автором в разное время на следующих научных семинарах и конференциях: на семинаре в ТашГУ по функциональному анализу (Ташкент, 1978, рук. академик АН УзССР Т. А. Сарымсаков); на семинаре в Институте математики АН УзССР по теории вероятностей (Ташкент, 1978, рук. академик АН УзССР С. Х. Сираждинов); на IV школе по теории операторов в функциональных пространствах (Новосибирск, 1979);

на семинаре Института прикладной математики и механики АН УкрССР "Поведение систем в случайных средах" (Донецк, 1980, рук. членкорреспондент АН УкрССР И. И. Гихман); на семинаре Института математики АН УкрССР по теории вероятностей (Киев, с 1980 по 19г., рук. академик АН УкрССР В. С. Королюк); на семинаре Института математики и кибернетики АН ЛитССР по теории случайных процессов (Вильнюс, 1981, рук. член-корреспондент АН ЛитССР В. И. Григелионис); на III Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981); на VIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983); на семинаре МГУ по общей топологии (Москва, 1985, рук.

д.ф.-м.н., профессор В. И. Пономарев); на Всесоюзной школе-семинаре (первой) по эргодической теории марковских процессов (Кызыл, 1987);

на семинаре Института математики АН УкрССР "Вероятностные распределения в бесконечномерных пространствах"(Киев, 1987, рук. академик АН УкрССР А. В. Скороход); на XIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1988); на выездной сессии Научной комиссии АН СССР по теории вероятностей и математической статистике (Юрмала, 1988, предс. академик АН СССР Ю. В. Прохоров); на V Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989); на II Всесоюзной школе-семинаре по эргодической теории марковских процессов (Черновцы, 1989); на семинаре Института математики и механики Уральского научного центра АН СССР по экстремальным задачам (Свердловск, 1989, рук. д.ф.-м.н., профессор, А. Г. Ченцов); на семинаре Рижского технического университета по теории вероятностей (Рига, 1991, рук. д.ф.-м.н., профессор, Е. Ф. Царьков); на семинаре Института математики СО РАН по теории вероятностей и математической статистике (Новосибирск, 1998, 2000, 2006, рук. академик РАН А. А. Боровков); на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири"(Улан-Удэ, 2000); на семинаре Института математики СО РАН по математическому анализу и геометрии (Новосибирск, 2006, рук.

академик РАН Ю. Г. Решетняк).

А также неоднократно докладывались на других различных семинарах и конференциях в разное время в Латвийском госуниверситете, Рижском техническом университете, Киевском госуниверситет, Тывинском госуниверситете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]–[11]. Более или менее полное изложение результатов автора, представленных в диссертации, а также исследования по ряду смежных вопросов, представлено в монографии автора [12] (рецензенты: д.ф.-м.н. С.Г. Фосс и д.ф.-м.н. А.Е. Гутман – ИМ СО РАН). Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и приложения. Нумерация определений, лемм, теорем и следствий тройная (номер главы, номер параграфа, порядковый номер внутри параграфа отдельно для определений, лемм, теорем и следствий). Библиография содержит 124 названия. Объем работы 217 страниц.





СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении описывается предмет изучения в диссертации, цель исследования и формулируется основная решаемая в работе проблема.

Подробно обсуждаются предпосылки и мотивы разрабатываемой в диссертации методологии решения поставленных задач. Дается исторический экскурс и анализ по уже существующим подходам в исследованиях в выбранном направлении. В неформальном виде приводятся основные результаты работы.

Во Введении даются также основные определения, обозначения и общеизвестные факты, часть из которых (в дополнение к указанным выше) нам понадобится в автореферате.

Чисто конечной аддитивной мерой ba(X, ), 0, называется такая мера, что из 0 µ , µ ca(X, ), следует µ = 0. Знакопеременная мера чисто конечно аддитивна, если обе ее компоненты в разложении Жордана чисто конечно аддитивны. Конечно аддитивная мера единственным образом разлагается в сумму счетно аддитивной и чисто конечно аддитивной составляющих.

pfa(X, ) подпространство чисто конечно аддитивных мер в ba(X, ).

Если M некоторое пространство мер, то SM = {µ M : µ(E) 0, E , µ(X) = 1}.

Если H топологическое векторное пространство, то H обозначает пространство, сопряженное к нему (или изоморфное H).

Имеют место изометрические изоморфизмы:

B(X, ) = ba(X, ) для произвольного (X, ), C(X) = rba(X, A) для нормального топологического X, C(X) = rca(X, B) для компактного хаусдорфового X.

Если M некоторое пространство мер, то обозначим M класс всех инвариантных для ЦМ мер M = {µ M : µ 0, µ(X) = 1, µ = Aµ}.

Глава I. Конечно аддитивные меры.

Основная часть Главы I содержит разрабатываемый автором технический аппарат, необходимый для исследований, представленных в последующих главах. Новые результаты из Главы I опубликованы в работах автора [4], [5], [7], [10].

§ 1.1 Чисто конечно аддитивные меры и интеграл по конечно аддитивной мере. В параграфе приводятся известные определения и сведения из общей теории меры и интеграла по конечно аддитивной мере, используемые в диссертации. Акцент делается на свойствах чисто конечно аддитивных мер, недостаточно освещенных в литературе.

§ 1.2 Регуляризация конечно аддитивных мер. В параграфе вводится новый объект (Теорема 1.2.2 и Определение 1.2.5): каждой конечно аддитивной мере ставится в соответствие некоторая единствен ная регулярная мера , называемая ее регуляризацией, неотделимая от исходной меры в слабой C-топологии. Устанавливаются общие свойства регуляризации меры.

§ 1.3 Регуляризация меры и граничные множества. Разложения меры. В параграфе проводится детальное исследование специальных свойств введенной выше регуляризации меры, доказывается ряд теорем. В частности, исследуется ”концентрация” регуляризации меры на граничных множествах. Результаты здесь опускаем. Приведем лишь определение, которое будем использовать в дальнейшем.

Определение 1.3.2. Пусть µ rba(X, A), µ 0. Множество R(µ) = { ba(X, B) : 0, fd = fdµ, f C(X)} = { ba(X, B) : 0, = µ} будем называть классом C–эквивалентных мер для µ.

§ 1.4 Банаховы пределы числовых последовательностей.

Конструкция банаховых пределов является одним из основных технических средств при исследовании марковских операторов в пространствах мер в настоящей работе. Этим и обусловлено то, что банаховым пределам специально посвящено два больших параграфа работы (этот и следующий). Известно, что конструкция банахова предела Lim n числовой последовательности {n}, понимаемого как некоторый (неединственный) продолженный линейный функционал на тех или иных пространствах последовательностей, допускает самые различные реализации. Один из таких вариантов определения Lim n, удобный для наших целей, строится и исследуется в настоящем параграфе, для него доказывается ряд утверждений, которые мы здесь опускаем.

§ 1.5 Слабо предельные точки последовательностей мер и банаховы пределы.

На основе конструкции банахова предела числовых последовательностей, изученной в предыдущем параграфе, получаем следующее утверждение, приводящее к соответствующему определению.

Теорема 1.5.1. Пусть (X, ) произвольно, µn ba(X, ), µn M < , n = 1, 2,.... Тогда существует µ ba(X, ) такая, что для каждого E выполняется lim µn(E) µ(E) limµn(E).

Определение 1.5.1. Пусть (X, ) произвольно, µn ba(X, ), µn M < , n = 1, 2,.... Любую меру µ ba(X, ), построенную в теореме 1.5.1, будем называть банаховым пределом последовательности мер {µn} и будем обозначать LIM(µn). Множество всех банаховых пределов последовательности {µn} будем обозначать L{µn}.

Далее в параграфе проводится детальное исследование свойств банаховых пределов последовательностей мер. В частности, доказывается ряд теорем о взаимосвязях множества L{µn} и множеств M{µn} и N{µn} предельных точек последовательности мер µn в B - и C - топологиях соответственно.

Глава II. Гамма-компактификация измеримых пространств.

Гамма-компактификация произвольного измеримого или топологического борелевского пространства является одним из основных изучаемых в диссертации функциональных (или топологических) объектов. И, хотя гамма-компактификация первоначально и разрабатывалась автором для ее дальнейшего использования в теории марковских операторов, в конечном итоге она превратилась в самодостаточный и оригинальный объект, имеющий самостоятельное значение в функциональном анализе (и в настоящей диссертации).

Полученные автором новые результаты для гамма-компактификации пространств и составляют содержание Главы II. Все эти результаты опубликованы в работах автора [2], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

§ 2.1 Общие замечания.

В параграфе делается небольшой обзор предыдущих работ других авторов, посвященных цепям Маркова и порождаемым ими марковским операторам, в которых естественным образом возникала необходимость расширения исходного измеримого пространства до некоторой его компактификации. Это, прежде всего, работы Ле-Кама, Фогеля, Шура, Нагаева, Нумелина, Боровкова и других. Даны также некоторые замечания по поводу построения различных компактификаций топологических пространств в общей топологии.

§ 2.2 Компактные расширения и банаховы алгебры.

В качестве необходимой для наших целей компактификации измеримого пространства мы выбираем одну из известных конструкций в теории банаховых алгебр (или нормированных колец).

Определение 2.2.6. Пусть дано произвольное измеримое пространство (X, ), где алгебра содержит все одноточечные множества.

Назовем гамма-компактификацией пространства (X, ) множество X = X всех максимальных идеалов банаховой алгебры B(X, ) с тихоновской топологией, или, что эквивалентно, множество всех мультипликативных функционалов в пространстве B(X, ) в *- слабой топологии.

Будем употреблять также сокращенную запись “ -компактификация”. При взаимно однозначном вложении s : X X будем отождествлять X и s(X) X. Топологию в X обозначим = X.

Поскольку вложение s : X X не гомеоморфно, а само X может быть не топологическим, то компактификацию X в общей топологии, подробно не изучают. Отметим еще раз, что если топологическое пространство X имеет бесконечное число точек и недискретно, то компактификация X, как множество, строго больше, чем стоунчеховская компактификация X, которую в общей топологии называют максимальной.

Тем не менее, расширение X можно описать и в рамках гомеоморфных вложений даже и для нетопологических X. В частности, это делается при помощи уолмэн-шанинской компактификации Бандтом5. Уолмэновскую компактификацию X (в ее первоначальном определении) для совершенно нормальных пространств X использовал А.Д. Александровдля распространения регулярных конечно аддитивных мер с (X, A) до регулярных счетно аддитивных мер на (X, B).

Bandt C. On Walman-Shanin-compactification.- Math.Nachr, 77. 1977. P. 333–351.

Alexandroff A.D. Additive set-functions in abstract spaces. I. – Матем. сборник., 8(50), 2, 1940. С. 307–348.

Некоторая компактификация, сходная с нашей X, для изучения конечно аддитивных мер используется в работе Иосиды и Хьюитта7, чьими результатами мы постоянно пользуемся. Близкие к X компактификации используются в работе Кирка. В теории экстремальных задач А.Г.

Ченцовым (см., например, ) развивается новое направление, в котором основным инструментом исследований являются конечно аддитивные меры, продолженные на компактификации, частично близкие к нашей X. Компактификации, подобные гамма-компактификации, рассматриваются для упорядоченных K-пространств в книге А.В.Канторовича, Б.З.Вулиха, А.Г.Пинскера, а также в книге Б.З.Вулиха11. Основные теоремы для представлений пространств максимальных идеалов были получены одним из создателей общей теории нормированных колец И.М.Гельфандом еще в 1940-ые годы.

§ 2.3 Конструкция гамма-компактификации измеримого пространства.

Пусть дано произвольное измеримое пространство (X, ) и X = X – его гамма-компактификация. Вначале приведем общие сведения о построении расширения X, ориентируясь на Данфорда и Шварца(Гл. IV, 6, 9) ), где изометрический изоморфизм r : B(X, ) C(X) сопровождается двумя естественными отображениями.

Первое, – уже описанное в предыдущем параграфе взаимно однозначное плотное вложение s : X X. Его можно трактовать как сопоставление каждому x X меры Дирака x = s(x) ba(X, ) = B(X, ), вырожденной в точке x X. В –топологии s(X) = X. Для недискретного топологического (бесконечного) X и = B отображение s : X X разрывно и расширение X строго больше X.

Изометрия r : B(X, ) C(X) является также и алгебраическим изоморфизмом, т.е. r(f1 + f2) = r(f1) + r(f2) и r(f1 · f2) = r(f1) · r(f2).

Следовательно, изоморфизм r порождает некоторое отображение t множеств E из X в класс открыто-замкнутых множеств NX. При этом Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures. – Trans. Amer. Math. Soc., 72, I, 1952. P. 46–66.

Kirk R. B. Algebras of bounded real-valued functions, I–II. Indag. Math., 34, Mathematics, (1972). P. 443–463.

Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. Екатеринбург, Наука, 1993. - 232 с.

Канторович Л.В., Вулих Б.3., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.-Л., Физматгиз, 1950. 548 с.

Вулих Б.3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М., Физматгиз, 1961. 408 с.

Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория, М., ИЛ, 1962.

896 с.

r(E) = t(E) для всех E .

Там же доказывается, что отображение t является алгебраическим изоморфизмом -алгебры (или алгебры) на весь класс NX, который оказывается алгеброй в X и, более того, базой топологии в X. Таким образом, гамма-компактификация (X, ) является вполне несвязным (экстремально несвязным) пространством.

Для сопряженных пространств функций имеем изоморфизмы B(X, ) = ba(X, ), C(X) = rca(X, BX). Сопряженным к изоморфизму r : B(X, ) C(X) является изоморфизм r : C(X) B(X, ), т.е. r : rca(X, BX) ba(X, ). Следовательно, изоморфизм -r осуществляет единственное продолжение конечно аддитивных мер µ ba(X, ) с пространства (X, ) до регулярных счетно аддитивных -мер µ = r µ rca(X, BX) на пространстве (X, BX).

Теперь, после изложения известных конструкций, мы переходим к своему исследованию интересующих нас дальнейших вопросов по устройству гамма-компактификации. В частности, в Теореме 2.3.1. устанавливаются топологические свойства отображений s и t и их взаимосвязь, доказываются и другие утверждения (опускаем).

В этом же параграфе вводится и изучается новый объект, позволяющий исследовать локальные свойства гамма-компактификации.

Определение 2.3.2. Пусть X топологическое пространство с топологией и x0 X. Обозначим U = U(x0) класс всех открытых окрестностей точки x0 : U(x0) = {U : x0 U}. Определим в BX def множество (x0) = t(U), которое назовем гамма-расширением UU(x0) точки x0 (относительно пространства (X, )), а множество (x0)\ {x0} назовем гамма-наростом точки x0.

Доказывается ряд теорем о свойствах (x).

§ 2.4 Продолжение мер на гамма-компактификацию.

В настоящем параграфе изучается процедура продолжения конечно аддитивных мер с исходного измеримого пространства на его гаммакомпактификацию и устанавливаются свойства продолженных мер.

Свойства мер, продолженных на стоун-чеховскую компактификацию X, при тех или иных условиях изучались, например, в13,14, а для уолмэновской компактификации – А.Д. Александровым. Начало изучения Варадарайн В.С. Меры на топологических пространствах. – Матем. сборник.

1961. 55(97), I. С. 35–100.

Терпе Ф., Флаксмайер Ю. О некоторых приложениях теории расширений топологических пространств и теории меры. – УМН, ХХХII, 5(197), 1977. С. 125–162.

мер на близкой к X компактификации было положено, как уже отмечалось, Иосидой и Хьюитом.

Пусть X – топологическое пространство и µ ca(X, B), µ 0.

Замкнутое множество Kµ = Kµ X будем называть носителем меры µ, если µ(X \ Kµ) = 0, и для любой открытой окрестности U(x) произвольного x Kµ выполняется µ(U(x)) > 0.

Если X локально компактно, то для любой µ ca(X, B), µ 0, существует носитель. В частности, существует носитель K для любой rca(X, BX), 0.

Приведем основные результаты, полученные автором в § 2.4.

Теорема 2.4.1. Пусть rca(X, BX), 0, и K – носитель меры . Тогда ({x}) > 0 для любого x K X, и множество K X не более чем счетно.

Теорема 2.4.2. Пусть (X, ) произвольно, µ ba(X, ), µ 0, µ(X) = 1, µ = [r]-1µ и Kµ – носитель меры µ в X. Тогда, если K , µ(K) = 1, Z = {x K : µ({x}) = 0}, то s(K \ Z) Kµ t(K) \ s(Z). Если при этом Z , то t(K \ Z) Kµ t(K) \ s(Z).

Теорема 2.4.3. Пусть µ ba(X, ), µ 0 и µ = [r]-1µ. Равенство µ(X \ X) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда µ чисто атомична.

Следствие 2.4.3. Пусть X = Rn, n N, и µ ba(Rn, µ), µ 0, и мера µ – абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на (Rn, B).

Тогда носитель меры µ целиком содержится в наросте Rn \Rn гаммакомпактификации пространства (Rn, B).

Определение 2.4.6. Назовем измеримое пространство (X, ) пространством Дирака, если любая двузначная счетно аддитивная мера на (X, ) является мерой Дирака, т.е. вырождена в некоторой точке x X.

Теорема 2.4.6. Гамма-компактификация X произвольного измеримого пространства (X, ) изоморфна множеству двузначных мер m(X, ) в B-топологии. Если (X, ) – пространство Дирака, то при этом изоморфизме X соответствует m(X, ) ca(X, ).

Теперь мы можем дать еще одно представление для гамма-компактификации X измеримого пространства (X, ). Множество X – это множество всех одноточечных носителей (атомов) всех двузначных мер Дирака из rca(X, B) (детали опускаем).

§ 2.5 Дальнейшие сведения о гамма-расширении точки.

Теорема 2.5.1. Пусть (X, ) нормально. Для любой x0 X ее гамма-расширение (x0), рассматриваемое как подмножество в (X, ), изоморфно множеству m(x0) всех двузначных конечно аддитивных мер в ba(X, BX), рассматриваемому в *-слабой топологии, и удовлетворяющих условию: для всех µ m(x0) и любой окрестности U(x0) точки x0 в -топологии µ(U(x0)) = 1.

При этом точке x0 (x0) соответствует счетно аддитивная мера Дирака x, а каждой точке x (x0)\{x0} соответствует двузначная чисто конечно аддитивная мера (при (x0) = {x0}).

Теорема 2.5.3. Пусть (X, ) хаусдорфово пространство. Если X компактно, то выполняется BX = (x).

xX Обратить утверждение Теоремы 2.5.3 нам удается только при дополнительном условии.

Теорема 2.5.4 Пусть (X, ) нормально и обладает счетной базой своей топологии (т.е. X – пространство со второй аксиомой счетности). Если выполняется BX = (x), то X – компактно.

xX Теорема 2.5.5. Пусть (X, ) нормально и точка x0 X такая, что замыкание X \ {x0} = X. Обозначим B суждение -алгебры B в X на X \ {x0}, т.е. B = B \ {x0} = {E \ {x0} : E B}.

Тогда BX = B [X \ {x0}] {x0}; BX \ X = B [X \ {x0}] \ X;

(x0) \ {x0} B [X \ {x0}].

Другими словами, гамма-нарост (x0) \ {x0} такой точки появляется в гамма-компактификации BX независимо от того, включаем мы x0 в X, или исключаем.

Глава III. Расширение марковских операторов на пространство конечно аддитивных мер.

Предлагаемый взгляд на марковские операторы, а также все новые результаты Главы III представлены в работах автора [7], [10], а также в более ранних публикациях [1], [2], [3], [5], [6].

§ 3.1 Двойственные пары марковских операторов.

В настоящем параграфе мы вначале излагаем в нужной для нас форме известные конструкции, а затем их достраиваем и развиваем.

В классической, уже упоминавшейся работе Иосиды и Какутани (19г.), рассматривается пара марковских операторов T : B(X, ) B(X, ) и A : ca(X, ) ca(X, ), т.е. привлекаются только счетно аддитивные меры. Естественно, и в последовавших затем работах других авторов, использующих операторный подход при изучении цепей Маркова, как правило, изучался оператор A именно на счетно аддитивных мерах.

Эти марковские операторы достаточно хорошо изучены. Они являются линейными, ограниченными, положительными и T = A = 1.

Любой марковский оператор T имеет в конусе неотрицательных функций KB внутреннюю неподвижную точку: f(x) 1 > 0 для всех x X, T f = f. Опреатор A изометричен в конусе Kca, т.е. если µ 0, то Aµ = µ = µ(X). Оператор A может не иметь неподвижных точек в конусе Kca, т.е. инвариантных мер.

Пусть µ0 Ssa и µn = Anµ0 = Aµn-1, n = 1, 2,.... ЦМ можно отождествить с последовательностью вероятностных мер {µn} = {µn(µ0)}, зависящей от начальной меры µ0, как от параметра. Таким образом, любую цепь Маркова можно рассматривать как некий итерационный процесс, порождаемый линейным нормированным положительным оператором в пространстве мер. Такой трактовки ЦМ мы и придерживаемся в настоящей работе.

Первые распространения (расширения) марковского оператора A на пространство конечно аддитивных мер появились в работах Фогеля16 (1962 г.), (1966г.), и Шидака (1962 г.). В дальнейшем идея о самоценности конечно аддитивных мер в теории вероятностей вообще, и в теории марковских операторов, довольно медленно пробивала себе дорогу в соответствующих исследованиях.

Следующее утверждение относится к разряду общеизвестного фольклора. Измеримое пространство (X, ) считаем произвольным.

Теорема 3.1.1. Для любой счетно аддитивной ЦМ марковский оператор A однозначно продолжим (расширяем) с пространства ca(X, ) до линейного оператора A на пространстве ba(X, ) c сохранением положительности, изометричности в конусе, ограниченности, нормы и аналитического вида. При этом оператор A является топологически сопряженным к оператору T, т.е. T = A, причем B(X, ) = ba(X, ).

Определение 3.1.4. Назовем оператор A, являющийся продолжением марковского оператора A из теоремы 3.1.1, конечно аддитивным расширением оператора A и также будем называть его марковским.

Далее мы часто будем отождествлять операторы A = A, не уточняя область их задания.

Пусть µ0 ba(X, ), µ0 Sba. Тогда оператор A порождает послеn довательность конечно аддитивных мер µn = A µn-1 = A µ0 Sba при n N. Следуя нашей идеологии, такой итерационный процесс можFoguel S.R. Existence of invariant measures for Markov processes: – Proc. Amer.

Math.Soc., 13, 6, 1962. P. 833–838.

Foguel S.R. Existence of invariant measures for Markov processes.II. – Proc. Amer.

Math. Soc., 17, 2, 1966. P. 387–389.

Sidak Z. Integral representations for transition probabilities of Markov chains with a general state space. – Czechoslovak Math. J., 12 (87), 4, 1962. P. 492–522.

но также трактовать как счетно аддитивную ЦМ, расширенную на пространство конечно аддитивных мер.

Определение 3.1.5. ЦМ, заданую на топологическом (X, B) назовем феллеровской, если выполнено условие: T C(X) C(X). Соответствующие феллеровской ЦМ марковские операторы также будем называть феллеровскими.

Следующее утверждение, аналогичное теореме 3.1.1, также можно считать известным и несложно проверяемым (но нигде не представленным в деталях).

Теорема 3.1.2. Для любой счетно аддитивной феллеровской ЦМ марковский оператор A однозначно продолжим (расширяем) с прост ранства ca(X, B) = rca(X, B) до линейного оператора A на пространстве rba(X, A) c сохранением положительности, изометричности в конусе, ограниченности, нормы и аналитического вида. При этом, опе ратор A является топологически сопряженым к оператору T : C(X) C(X), т.е. T = A. Кроме того, оператор A из теоремы 3.1.1 является продолжением оператора A с пространства rba(X, A) на пространство ba(X, B).

Определение 3.1.6. Оператор A будем называть регулярным конечно аддитивным расширением феллеровского оператора A и отождествлять его с A.

§ 3.2 Инвариантные меры конечно аддитивных расширений марковских операторов (“Основные теоремы”).

На основании того, что оператор T : B(X, ) B(X, ) имеет в конусе KB внутреннюю неподвижную точку f(x) 1, из теоремы КрейнаРутмана18 (Теорема 3.1) сразу же (без каких-либо вспомогательных рассуждений) следует, что и сопряженный к нему оператор A имеет в конусе Kba неподвижную точку. Для нас это ключевой факт, что мы особо и выделим.

Теорема 3.2.1. Основная теорема I.

Для любой ЦМ на произвольном измеримом пространстве (X, ) существует инвариантная конечно аддитивная мера: ba(X, ), 0, (X) = 1, = A .

Настоящая теорема 3.2.1 была доказана Шидаком в работе19 (1962 г.), Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. - УМН, III, I (23), 1948. С. 3–95.

Sidak Z. Integral representations for transition probabilities of Markov chains with a general state space. – Czechoslovak Math. J., 12 (87), 4, 1962. P. 492–522.

который первый использовал продолжение традиционного марковского оператора на пространство конечно аддитивных мер. Однако, доказательство в этой работе довольно сложное и не использует положительность марковских операторов.

Указание на то, что Теорема 3.2.1 есть простое следствие теоремы Крейна-Рутмана, было сделано первый раз автором настоящей работы в статье [2] (1981 г.), а затем использовано в последующих его публикациях.

Рассмотрим теперь Феллеровскую ЦМ. Применяя к сопряженной па ре операторов T : C(X) C(X) и A : rba(X, A) rba(X, A) уже упомянутую теорему Крейна-Рутмана, получаем как прямое следствие следующее важное утверждение.

Теорема 3.2.3. Основная теорема II.

Для любой феллеровской ЦМ, заданой на нормальном топологическом пространстве (X, B), существует инвариантная регулярная ко нечно аддитивная мера: rba(X, A), 0, (X) = 1, = A .

Этот результат в явном виде отсутствует и у Шидака и в указанных выше работах Фогеля. Однако, он может быть получен как небольшая модификация результатов Фогеля и, фактически, им учитывается.

Указание на то, что теорема 3.2.3 также есть простое следствие теоремы Крейна-Рутмана было сделано также автором настоящей работы первый раз в [2] и в других публикациях.

Точно так же, как и для предыдущих двух “Основных теорем”, из теоремы Крейна-Рутмана автоматически получаем следующее утверждение.

Теорема 3.2.5. Основная теорема III.

Для любой феллеровской ЦМ, заданой на хаусдорфовом компакте (X, B), существует инвариантная регулярная счетно аддитивная мера: rca(X, B), 0, (X) = 1, = A.

Данное утверждение следует напрямую из “Основной теоремы II”. Содержание теоремы 3.2.5 восходит к одной работе Крылова и Боголюбова (1937 г.), и доказано (довольно сложно) для метрического компактного пространства Бебутовым20 (1942 г.).

§ 3.3 Конечно аддитивные цепи Маркова.

В предыдущих двух параграфах рассматривались цепи Маркова со счетно аддитивной переходной вероятностью p(x, E) по второму аргументу. И хотя мы и расширяли марковские операторы, т.е. цепи Маркова Бебутов М.В. Цепи Маркова с компактным пространством состояний. – Матем.сборник, 1942. № 10. С. 231–238.

на пространства конечно аддитивных мер, сами переходные вероятности и цепи Маркова оставались счетно аддитивными.

В 1965 году вышла книга Дубинса и Сэвиджа21, в которой, повидимому, впервые, конечно аддитивные меры получили смысловую “вероятностную” нагрузку. В книге конечно аддитивные меры рассматриваются на счетном произведении дискретных пространств и играют роль стратегий в задачах теории игр. Сама идея и ее обоснование принадлежит Карлину22.

Вполне закономерным было появление в 1981 году работы Раммакришнана23, в которой в рамках развития идей Дубинса и Сэвиджа уже в названии впервые появился термин “Конечно аддитивные цепи Маркова”. В этой работе на языке стратегий рассматриваются весьма специфические цепи Маркова с конечно аддитивной переходной функцией.

Фазовое пространство там является дискретным и для ряда утверждений счетным. В дальнейшем появился еще ряд работ в рамках подхода Раммакришнана, в т.ч. его же статья. Отметим, что методы работ Раммакришнана и примыкающих к ней довольно специфичны и не предусматривают их перенесение на более общие цепи Маркова, уже не связанные с теорией игр.

Автор настоящей работы еще в [1] (1981 г.) использовал конечно аддитивные меры для изучения ЦМ в качестве вспомогательного объекта, а собственные результаты непосредственно для конечно аддитивных ЦМ были позже представлены им в [5], [6], а также в [7], [8] и [10], [11]. Ниже мы распространяем операторный подход предыдущих двух параграфов на произвольные конечно аддитивные ЦМ. Сразу отметим, что для таких ЦМ возникают некоторые проблемы уже на стадии их определения, которые мы и решаем.

Определение 3.3.1. Конечно аддитивной переходной функцией (переходной вероятностью) p(x, E) на измеримом пространстве (X, ) назовем отображение p : X [0, 1], удовлетворяющее условиям:

p(·, E) B(X, ), E ;

p(x, ·) ba(X, ), x X;

Dubins L.E., Savage L.I. How to Gamble if You Must. Inequalities for Stohastic Processes. Mc Graw-Hill, New York, 1965.

Karlin S. Operator treatment of minimax principle. Contributions to the theory of games, 1, Princeton (1950), P. 133–1Ramakrishnan S. Finitely additive Markov chains.- Trans. Amer. Math. Soc. V. 265(1), 1981. P. 247–272.

Ramakrishnan S. A finitely additive generalization of Birkhoff’s ergodic theorem.Proc.Amer.Math.Soc., v.96, № 2, 1986. P. 299–305.

p(x, X) = 1, x X.

Конечно аддитивная переходная функция p(x, E) определяет два интегральных оператора:

(T f)(x) = T f(x) = f(y)p(x, dy) при f B(X, ), x X;

(Aµ)(E) = Aµ(E) = p(x, E)µ(dx) при µ ba(X, ), E .

При этом выполняется: T : B(X, ) B(X, ), A : ba(X, ) ba(X, ), операторы T и A являются линейными, положительными, огра ниченными, T = A = 1 и T = A.

Операторы T и A будем называть конечно аддитивными марковскими операторами.

Определение 3.3.3. Пусть X произвольное множество и некоторая алгебра его подмножеств, содержащая все одноточечтные множества. На (X, ) задана конечно аддитивная переходная функция p(x, E) и ей соответствует марковский оператор A : ba(X, ) ba(X, ).

Пусть µ0 Sba, µn = Aµn-1 = Anµ0 Sba, n = 1, 2,.... Конечно аддитивной цепью Маркова (ЦМ) на (X, ) будем называть итерационный процесс {µn} = {µn(µ0)}, зависящей от начальной меры µ0 как от параметра. Конечно аддитивную ЦМ будем отождествлять с самой итерационной процедурой, не учитывая начальную меру µ0.

Обратимся теперь к вопросу об инвариантных мерах для конечно аддитивной ЦМ. Соответствующий оператор T имеет неподвижную точку f(x) 1, являющуюся внутренней в конусе KB в B(X, ). Если ЦМ феллеровская, то f(x) 1 является внутренней неподвижной точкой оператора T и в конусе KC. Следовательно, как и для счетно аддитивных ЦМ, из той же теоремы Крейна-Рутмана автоматически получаем следующие утверждения (“основные теоремы”):

Теорема 3.3.3. Для любой конечно аддитивной ЦМ ba = .

Теорема 3.3.4. Для любой феллеровской конечно аддитивной ЦМ rba = .

Теорема 3.3.5. Для любой феллеровской конечно аддитивной ЦМ на компакте rca = .

В упоминавшейся работе Раммакришнана утверждение теоремы 3.3.доказывается лишь для частного случая дискретного фазового пространства в технике банаховых пределов.

§ 3.4 Cвойства множеств инвариантных мер марковских операторов.

В параграфе доказывается ряд утверждений, из которых укажем лишь на следующие.

Пусть X произвольно и – некоторая -алгебра его подмножеств, содержащая все одноточечные множества. Всюду в параграфе на (X, ) задана счетно аддитивная ЦМ с переходной функцией p(x, E).

Теорема 3.4.5. Если dim ca = , то в ca существует счетная последовательность {µn} попарно сингулярных мер. При этом существует последовательность измеримых множеств {Kn} такая, что Kn Km = , n = m, µn(Kn) = 1 и p(x, Kn) = 1 для каждого x Kn при n = 1, 2,....

В Теореме 3.4.3 доказывается такой же по смыслу результат для случая dimca = n < .

Теорема 3.4.6. Пусть µ ba и для некоторой последовательности {Mn}, Mn , M1 M2 ..., lim Mn = Mn = выполняется µ(Mn) = 1 при всех n N. Тогда для произвольных чисел { }, n 0 < 1, n = 1, 2,..., существует множества {Kn}, Kn , n n = 1, 2,..., такие, что K1 K2 ..., lim Kn = , µ(Kn) = 1, p(x, Kn) 1 - для каждого x Kn+1 при всех n = 1, 2,....

n Мера µ в условиях теоремы 3.4.6. автоматически является чисто конечно аддитивной. В следующем параграфе будет дано некоторое обращение теоремы 3.4.6.

§ 3.5 Cлабо предельные точки средних по Чезаро и инвариантные меры.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ.

Введем обозначения средних по Чезаро для меры µ M, где M некоn торое пространство мер: n = µ = Akµ, n N.

n n k=Теорема 3.5.1. Пусть X нормально и на (X, B) задана феллеровская ЦМ, µ rba(X, A), µ Srba. Тогда каждая C-предельная мера последовательности {µ} в rba(X, A) является неподвижной точкой n оператора A, т.е. N{µ} rba, множество таких мер непусто и n C-компактно.

Теорема 3.5.2. Пусть на произвольном (X, ) задана произвольная ЦМ, µ ba(X, ), µ Sba. Тогда каждая B-предельная точка последовательности {µ} в ba(X, ) является неподвижной точкой оператора n A, т.е. M{µ} ba, множество таких мер непусто и B-компактно.

n Теорема 3.5.3. Пусть на произвольном (X, ) задана произвольная n ЦМ, µn ba(X, ), µn Sba и n = Akµn, n N.

n k=Тогда каждая B-предельная точка последовательности {n} является инвариантной для A, т.е. M{n} ba, множество таких мер непусто и B-компактно.

Теорема 3.5.4. Пусть на топологическом (X, B) задана феллеровская ЦМ, µn rba(X, A), µn Srba, и n построены также, как в Теореме 3.5.3. Тогда каждая C-предельная точка последовательности {n} является инвариантной для A, т.е. N(n) rba, множество таких мер непусто и C-компактно.

Теорема 3.5.6. Пусть на (X, B) задана феллеровская ЦМ и µ = Aµ Srba. Тогда A(R(µ)) R(µ).

Теперь мы можем дать обещанное некоторое обращение теоремы 3.4.6.

Теорема 3.5.8. Пусть на произвольном (X, ) задана ЦМ и выполнены условия: 0, 0 при n , Kn , Kn = при n n n N, K1 K2 ..., Kn = , такие, что p(x, Kn) 1 - при x n n=Kn+1, n N. Тогда для ЦМ существует инвариантная чисто конечно аддитивная мера µ ba, причем µ(Kn) = 1 при n = 1, 2,....

§ 3.6 Размерность множеств инвариантных мер.

Все теоремы принадлежат автору, не имеют прототипов, и опубликованы им в первой версии в [1] и [5]. В нынешнем виде результаты опубликованы автором в [7], [8], а также в [10], [11]. Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ.

Теорема 3.6.1. Пусть на произвольном (X, ) задана произвольная ЦМ. Тогда если dim ca = , то множество pfa непусто и dim pfa = .

Следующее утверждение является прямым следствием доказаной теоремы, но, подчеркивая его важность для дальнейшего, употребим слово теорема.

Теорема 3.6.2. Пусть на некотором (X, ) задана, произвольная ЦМ. Тогда, если ca(X, ), то dim < .

Ниже приводим обращения этой теоремы для n = 1.

Теорема 3.6.3. Пусть на некотором (X, ) задана, произвольная ЦМ. Если dim = 1, то ca(X, ), т.е. инвариантная мера µ счетно аддитивна. При этом для любой меры Sba имеет место сходимость µ в B-топологии n Глава IV. Эргодические теоремы для марковских операторов.

Эргодическая теория для феллеровских цепей Маркова на компакте достаточно хорошо развита, чего нельзя сказать о произвольных цепях на произвольном фазовом пространстве.

В § 4.1 мы построим некий изоморфизм между произвольными ЦМ и феллеровскими ЦМ на компакте. Эта конструкция позволяет в последующих параграфах главы некоторые факты из теории феллеровских ЦМ трансформировать в соответствующие утверждения для произвольных ЦМ. В результате будут получены эргодические теоремы нового типа с активным использованием чисто конечно аддитивных мер.

Основные результаты главы получены автором настоящей работы и опубликованы в его статьях [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], а также в [10], [11].

§ 4.1 Построение для произвольной конечно аддитивной цепи Маркова ее феллеровского продолжения на гамма-компактификацию фазового пространства.

В Главе II была построена гамма-компактификация (X, B) исходного фазового пространства (X, ). При этом устанавливался изометрический изоморфизм между пространствами B(X, ) = C(X), ba(X, ) = rca(X, B). Изоморфизмы r и r описаны выше в § 2.3. Следовательно, исходная произвольная конечно аддитивная ЦМ, в т.ч. классическая счетно аддитивная ЦМ, может быть продолжена с исходного произвольного фазового пространства (X, ) на компактное пространство (X, B).

Реализация этой программы и составляет основную методологическую идею настоящей работы.

Определение 4.1.1. Пусть на некотором (X, ) задана конечно аддитивная ЦМ с операторами T и A и переходной функцией p(x, E).

def def Определим два оператора T = rT r-1, A = [r]-1Ar, которые по построению действуют T : C(X) C(X), A : rca(X, B) rca(X, B).

Операторы T и A будем называть -операторами или операторами -ЦМ (которая еще не определена).

Теорема 4.1.4. Для любой конечно аддитивной ЦМ на (X, ) существует такая функция двух переменных q : X B [0, 1], что q(x, ·) rca(X, B), x X;

q(·, E) B(X, B), E BZ(X);

q(·, E) C(X), E NX;

q(x, X) = 1, x X.

При этом операторы T и A интегрально представимы через ядро q(x, E):

(Tf)(x) = Tf(x) = f(y)q(x, dy), f C(X), x X;

X (Aµ)(E) = Aµ(E) = q(x, E)µ(dx), µ rca(X, B), E B.

X Определение 4.1.2. Для произвольной конечно аддитивной ЦМ на (X, ) соответствующую ей ЦМ на (X, B) с переходной функцией q(x, E) и марковскими операторами T и A из теоремы 4.1.4 будем называть -ЦМ или феллеровским -продолжением ЦМ на гамма-компактификацию.

Обозначим Pca – класс всех счетно аддитивных ЦМ, Pba – класс всех конечно аддитивных ЦМ, Ppfa – класс всех чисто конечно аддитивных ЦМ на исходном фазовом пространстве (X, ).

Очевидно, Pca Pba. Поскольку при каждом x X переходная функция как мера однозначно раскладывается в сумму p(x, ·) = p1(x, ·) + p2(x, ·) своих счетно аддитивных и чисто конечно аддитивных составляющих, то можно говорить и о некотором разложении класса Pba в “некую” сумму классов Pca и Ppfa (здесь не конкретизируем).

Рассмотрим на борелевском (X, B) класс P всех счетно аддитивных феллеровских ЦМ со счетно аддитивными переходными функциями q(x, E) и соответствующими марковскими операторами T и A (формально, пока без связи с p(x, E), T и A).

Теорема 4.1.6. Для любой счетно аддитивной феллеровской ЦМ из класса P, определенной на (X, B) с переходной функцией q(x, E) и операторами T и A, существует такая функция двух переменных p : X [0, 1], что p(x, ·) ba(X, ), x X;

p(·, E) B(X, ), E ;

p(x, X) = 1, x X.

При этом операторы T = r-1Tr и A = rA[r]-1 действуют следую щим образом: T : B(X, ) B(X, ), A : ba(X, ) ba(X, ) и T = A.

Операторы однозначно интегрально представимы через ядро p(x, E):

(T f)(x) = T f(x) = f(y)p(x, dy), f B(X, ), x X;

X (Aµ)(E) = Aµ(E) = p(x, E)µ(dx), µ ba(X, ), E .

X Таким образом, теорема 4.1.6 является обратной к теореме 4.1.5. Объединяя их, мы получим следующее окончательное утверждение, играющее центральную методологическую роль в настоящей работе.

Теорема 4.1.7. Пусть (X, ) произвольное измеримое пространство.

Между всеми конечно аддитивными ЦМ из класса Pba на (X, ) и всеми счетно аддитивными феллеровскими ЦМ из класса P на гаммакомпактификации (X, B) существует взаимнооднозначное (биективное) соответствие. При этом между всеми марковскими операторами конечно аддитивных ЦМ на (X, ) и всеми марковскими операторами счетно аддитивных феллеровских ЦМ на (X, B) существует изометрический и алгебраический изоморфизм.

В Теореме 4.1.8 дается набор конкретных формул, связывающих две переходные функции p(x, E) на (X, ) и q(z, G) на (X, B).

§ 4.2 Эргодические альтернативы.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ на исходном (X, ).

Теорема 4.2.1. Пусть на некотором (X, ) задана произвольная ЦМ.

Для любого E выполняется 1 2 3 rn(E) = rn(E) = rn(E) = rn(E), при n = 1, 2,..., где 1 rn(E) = sup µ(E); rn(E) = sup µ(E);

n n µSba µSca n n 1 3 4 k rn(E) = sup pk(x, E); rn(E) = T E, n n xX k=1 k=B(X,) Для топологического пространства X вводятся также аналогичные 5 величины rn(E) и rn(E), формулы для которых мы опускаем.

Теорема 4.2.3. Пусть X нормальное пространство и на (X, B) задана феллеровская ЦМ. Тогда для любого замкнутого множества F X всегда выполняется либо (A1), либо (B1):

(A1) µ Srba, µ(F ) 0, n .

n (B1) µ Srba, µ = Aµ, µ(F ) > 0.

Теорема 4.2.4. Пусть X нормальное пространство и на (X, B) задана феллеровская ЦМ. Тогда для любого компактного множества F X условие (A1) эквивалентно условию (A2), и всегда выполнено либо (A1)–(A2), либо (B2):

i (A2) rn(F ) 0, n , i = 1,..., 6, (для i = 1,..., 6), (B2) µ Srca, µ = Aµ, µ(F ) > 0.

Утверждения последней доказанной нами теоремы частично содержатся в работах Фогеля25 и. В этих статьях устанавливается эквивалентность условий (A1) и (A2) при i = 3 и формулируется альтернатива (B2) для компактного бэровского множества. Однако, приведенные там доказательства содержат некорректность: подразумевается, что C- предельная мера для последовательности мер {n} является C-пределом Foguel S.R. Existence of invariant measures for Markov processes.II. – Proc. Amer.

Math. Soc., 17, 2, 1966. P. 387–389.

Foguel S.R. Positive operators on C(X). – Proc. Amer. Math. Soc., 22, 1, 1969. P. 295– 297.

для некоторой подпоследовательности n. Но это может быть не так даi же для плотной последовательности мер, если на компакты не накладывается никаких дополнительных условий (теорема Прохорова справедлива не для всех пространств). Поэтому требуется специально доказывать, что C-предельные меры средних µ (вообще говоря, не являющиn еся пределом какой-либо подпоследовательности µ ) будут инвариантni ными. Этот факт доказан у нас в теореме 3.5.1, которая опосредованно используется в доказательстве теоремы 4.2.4.

Гамма-компактификация X пространства (X, ) является хаусдорфовым компактом и, следовательно, нормальным пространством.

Изоморфная ЦМ является феллеровской на (X, BX). Это обстоятельство позволяет использовать доказанные теоремы 4.2.3 и 4.2.4 для изучения общего случая, что и делается при доказательстве следующих теорем.

Теорема 4.2.5. Пусть на некотором (X, ) задана произвольная ЦМ.

Тогда для любого E условие (A3) эквивалентно условию (A4), и всегда выполнено либо (A3)–(A4), либо (B3):

(A3) µ Sba, µ(E) 0, n ;

n i (A4) rn(E) 0, n , i = 1, 2, 3, 4;

(B3) µ Sba, µ = Aµ, µ(E) > 0.

Теперь мы можем для произвольной ЦМ выделить в X аналог диссипативной части. Из теоремы 4.2.5 сразу получаем следующее утверждение.

Следствие 4.2.2. Пусть на (X, ) задана произвольная ЦМ и K такое множество, что µ(K) = 1 для каждой µ . Тогда при n n sup (X \ K) = sup (X \ K) = pk(·, X \ K) 0.

n n k= n Sba Sca Теорема 4.2.11. Пусть X нормально, ЦМ произвольна, µ Srca и – B-предельная точка для {µ} (а значит, ba). Тогда существуn ет Srba такая, что = и является C-предельной точкой для {µ}. Если при этом ЦМ феллеровская, то = A, т.е. rba.

n Теорема 4.2.12. Пусть X метрическое, ЦМ произвольна, µ Srca и последовательность мер {µ} плотна. Тогда для любой B-предельной n (а значит, принадлежащей ba) меры существуют {ni} и база исходной топологии пространства X такие, что µ (E) (E) для ni каждого E . При этом регуляризация rca(X, B) является C предельной для {µ} и µ в C-топологии. Если ЦМ феллеровская, n ni то = A .

§ 4.3 Сильные предельные теоремы.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ на исходном (X, ).

С момента появления работ Деблина в 1930-е годы не прекращаются поиски удобных условий на произвольные ЦМ, при которых они обладают достаточно хорошим асимптотическим поведением: марковские последовательности мер или их средние сходятся в метрической топологии к комбинациям инвариантных мер. Наиболее общим и известным условием такого рода является условие (D) Дуба-Деблина (см. Дуб Дж.Л.27).

Позже, Иосида и Какутани28 и другими авторами, была установлена эквивалентность условия (D) условиям квазикомпактности (K1) (K3) марковских операторов. Напомним, что оператор T называется квазикомпактным (квази-вполне непрерывным), если существуют такие компактный (вполне непрерывный) оператор T1 и целое число k 1, k что T - T1 < 1. Отличное изложение этого вопроса на языке функционального анализа в рамках операторного подхода дано в книге Данфорда и Шварца29.

Сформулируем упомянутые эквивалентные условия для произвольной ЦМ на произвольном фазовом пространстве (X, ):

(D) ca(X, ), 0, > 0, k 1, такие, что из (E) , E , следует pk(x, E) 1 -, x X;

(K1) оператор T : B(X, ) B(X, ) квазикомпактен;

(K2) оператор A : ba(X, ) ba(X, ) квазикомпактен;

(K3) оператор A : ca(X, ) ca(X, ) квазикомпактен.

Если на (X, ) задана ЦМ с переходной функцией p(x, E) и марковскими операторами T и A, то для любого m 1 можно определить новую ЦМ с переходной функцией qm(x, E) и операторами Tm и Am по правилам m m m 1 1 k qm(x, E) = pk(x, E), Tm = T, Am = Ak.

m m m k=1 k=1 k=Назовем определенные выше ЦМ конечно-осредненными ЦМ.

Сформулируем условия (D) для семейства конечно-осредненных ЦМ.

(D) ca(X, ), 0, > 0, m 1, такие, что из (E) , E , следует qm(x, E) 1 -, x X.

Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ, 1956. 606 с.

Yosida K., Kakutani S. Operator-theoretical treatment of Markoff’s process and mean ergodic theorem. – Ann. Math., v. 42, № 1, 1941. P. 188–228.

Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория, М., ИЛ, 1962.

896 с.

Очевидно, что (D) является условием Дуба-Деблина (D) для конечноосредненной ЦМ (при фиксированном m 1) с параметром k = 1. Следовательно, если выполнено условие (D), то операторы Tm и Am квазикомпактны, т.е. для них выполнены условия (K1)–(K3).

Легко видеть, что для произвольной ЦМ выполнение условия ДубаДеблина (D) влечет выполнение условия (D). Если исходная ЦМ квазикомпактна, то квазикомпактны и все ее конечно-осредненные ЦМ начиная с некоторого номера.

Следующее утверждение является одним из наиболее интересных в настоящей работе.

Теорема 4.3.2. Для произвольной ЦМ условие (D) эквивалентно следующему условию:

ba ca(X, ), ( ) т.е. конечно-осредненная ЦМ (при некотором m 1) квазикомпактна тогда и только тогда, когда все инвариантные конечно аддитивные меры исходной цепи являются счетно аддитивными, или, другими словами, когда исходная ЦМ не имеет инвариантных ненулевых чисто конечно аддитивных мер.

Следствие 4.3.2. Пусть для ЦМ выполнено условие (D). Тогда для нее выполнено условие ( ).

Из доказаной теоремы и теоремы 3.6.3 сразу вытекает следующая.

Теорема 4.3.3. Пусть для произвольной ЦМ dim ba = 1. Тогда выполнено условие (D), т.е. конечно-осредненная ЦМ квазикомпактна начиная с некоторого номера m, причем ba = ca = {µ} ca(X, ).

В книге Ревуза30 (Гл. 6, § 3, Теорема 3.10) приводится результат, восходящий к Хоровицу31, в котором предельное поведение ЦМ также увязывается с инвариантными конечно аддитивными мерами. Однако, в указанной работе на ЦМ заранее накладываются жесткие условия: на сепарабельном (X, B) задана цепь Харриса с уже имеющейся инвариантной счетно аддитивной мерой. Доказывается, что в этом случае квазикомпактность ЦМ эквивалентна отсутствию у него инвариантных чисто конечно аддитивных мер (при этом имеющаяся инвариантная мера оказывается единственной). Как видим, в наших теоремах 4.3.2 и 4.3.3 не предполагается выполнения ни одного из перечисленных условий.

Теорема 4.3.4. Пусть на произвольном (X, ) задана произвольная ЦМ. Для того чтобы конечно-осредненная ЦМ не являлась квазикомRevuz. D. Markov Chains. Amsterdam- Oxford. North Holland, Math. Libr. 1975.

338 p.

Horowitz S. Transition Probabilities and Contaction of L. – Z. Wahr. und verw.

Geb. B. 24, H.4, 1972. P. 263–274.

пактной (при любом m), необходимо и достаточно выполнения следующих условий, при любом m N:

существуют > 0, 0 при n , n n существуют Kn , Kn = при n N, K1 K2 ..., Kn = , n=(¬) такие, что qm(x, Kn) 1 - при x Kn+1, n N.

n Следствие 4.3.3. Пусть для ЦМ выполнено условие (¬). Тогда ЦМ не является квазикомпактной.

В конце данного параграфа приводятся комментарии по поводу работы Э. Ю. Емельянова32, чьи результаты (опубликованные позже наших) имеют точки соприкоснования с нашим исследованием, но с ними не пересекаются.

§ 4.4 Слабые предельные теоремы.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ на исходном (X, ).

Сходимость ЦМ в C-топологии, т.е. слабая сходимость в вероятностной терминологии, тесно связана с инвариантными чисто конечно аддитивными мерами. В настоящем параграфе приводятся соответствующие результы. Следующая теорема имеет столь же важное значение для слабой сходимости ЦМ, какое имеет теорема 4.3.2 для сильной сходимости.

Главной особенностью теоремы 4.4.1 является то, что в ней не предполагается существование у ЦМ инвариантной счетно аддитивной меры, т.е. классической “вероятностной”.

Теорема 4.4.1. Пусть X нормальное топологическое пространство, на (X, B) задана произвольная ЦМ и µ Sba некоторая счетно аддитивная (“вероятностная”) мера. Для того, чтобы для любой начальной конечно аддитивной меры Sba, последовательность средних {} n “слабо” сходилась к µ, т.е. в C-топологии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

, fd = fdµ, f C(X), ( ) или в других символах, R(µ), т.е. все инвариантные меры имеют µ своей регуляризацией.

Следствие 4.4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.4.1. Для того, чтобы для любой начальной счетно аддитивной (“вероятностной”) Емельянов Э.Ю. Условия регулярности марковских полугрупп на абстрактных L1-пространствах. – Математические труды, 2004, Т. 7, № 1. С. 50–82.

меры Srca последовательность {} слабо сходилась к счетно адn дитивной (“вероятностной”) мере µ Srca, достаточно, чтобы было выполнено условие ( ).

Если ЦМ феллеровская, то из ( ) следует µ rca т.е. µ является инвариантной мерой.

В общем же случае теоремы 4.4.1, мера µ может быть и “точкой выброса”для оператора A, т.е. не инвариантной.

Теорема 4.4.2. Пусть X – хаусдорфов компакт, ca(X, B) = = rca(X, B) и на (X, B) задана феллеровская ЦМ. Тогда следующие три условия эквивалентны:

1. dim ca = 1, т.е. ЦМ имеет единственную инвариантную счетно аддитивную меру µ Srca;

2. существует µ Srca такая, что µ в C-топологии для всех n Srca;

3. существует µ Srca, удовлетворяющая условию (), т.е. R(µ), или, иными словами, = µ для всех .

Напомним, что феллеровская ЦМ, заданная на хаусдорфовом компакте, всегда имеет инвариантную счетно аддитивную (вероятностную) меру.

Следствие 4.4.3. Пусть выполнены условия теоремы 4.4.1. Если для любой Srca µ в C-топологии и хотя бы для одной Srca n µ в одной из B-, ba или ba-топологии, то ЦМ имеет инвариn антную чисто конечно аддитивную меру.

В Приложении даются анонсы ряда работ автора, имеющих отношение к основной тематике диссертации, но находящихся несколько в стороне от ее основной линии. Упоминаемые там результаты не выносятся на защиту диссертации.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Жданок А.И. Инвариантные конечно аддитивные меры и предельное поведение марковских процессов с дискретным временем. - ДАН Укр ССР, N 3, 1981. С. 11–13.

[2] Жданок А.И. Эргодические теоремы для негладких марковских процессов. - В сб.: Топологические пространства и их отображения.

Рига, изд-во ЛатвГУ, 1981. С. 18–33.

[3] Жданок А.И. Необходимые и достаточные условия квазикомпактности марковскогоо оператора. В сб.: VIII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Рига, изд-во ЛатвГУ, 1983. С. 84–85.

[4] Жданок А.И. Регуляризация конечно аддитивных мер. - Латвийский матем. ежегодник, вып.28. Рига, “Зинатне”, 1984. С. 234–248.

[5] Жданок А.И. Конечно аддитивные меры и метод расширения в эргодической теории. // Распределение на функциональных структурах. - Препринт 87. 27. Киев, Институт математики АН УССР, 1987. С. 19–37.

[6] Жданок А.И. Конечно аддитивные меры и метод расширения в теории цепей Маркова. - В сб.: Пятая Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике.

Тезисы докладов, том 3. Вильнюс, изд-во АН ЛитССР, 1989. С. 217– 218.

[7] Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. I. - Математические труды. Том 4, N 2, июль-декабрь, 2001. (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 53– 95.

[8] Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. II. - Математические труды. Том 5, N 1, январь-июнь, 2002. (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 46– 65.

[9] Жданок А.И. Гамма-компактификация измеримых пространств.

Сибирский математический журнал, том 44, N 3, 2003. С. 587– 605. (Английский перевод: Zhdanok A.I. Gamma-Compactification of Measurable Spaces. – Siberian Mathematical Journal. v. 44, N 3, 2003.

P. 463–476. (USA, Kluwer Academic/Plenum Pyblishers)).

[10] Zhdanok A.I. Finitely additive measures in ergodic theory of Markov chains I. - Siberian Advances in Mathematics. v. 13, N 1, 2003. P. 87– 125. (USA, Allerton press inc.) [11] Zhdanok A.I. Finitely additive measures in ergodic theory of Markov chains II. - Siberian Advances in Mathematics. v. 13, N 2, 2003. P. 108– 125. (USA, Allerton press inc.) [12] Жданок А.И. Конечно аддитивное расширение цепей Маркова и эргодические теоремы (монография). Кызыл, изд-во ТывГУ, 2005.

– 219 с.

Жданок Александр Иванович Конечно аддитивное расширение марковских операторов и эргодические теоремы Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Подписано в печать 2007 г.

Формат 60 84 1/16. Офсетная печать.

Усл.-печ. л. 1,9. Тираж 100 экз.

Заказ № отпечатано в редакционно-издательском отделе Тывинского госуниверситета, 667000, Россия, Республика Тыва, г. Кызыл, ул. Ленина, 5.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.