WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Cергеев Александр Николаевич

ИНВАРИАНТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К КВАНТОВЫМ ИНТЕГРИРУЕМЫМ СИСТЕМАМ

Cпециальность 01.01.01 – математический анализ aвтореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2008

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН Научный консультант :

доктор физико-математических наук, профессор А.М. Вершик

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Э.Б. Винберг доктор физико-математических наук П.П. Кулиш доктор физико-математических наук С.М. Хорошкин

Ведущая организация: Институт Проблем Передачи Информации им. А.А. Харкевича РАН

Защита состоится 2009 г. в часов на заседании диссертационного совета Д. 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико математических наук А.Ю. Зайцев 1.

Общая характеристика работы

Связь между классической теорией инвариантов и теорией представлений групп Ли впервые была открыта в первой половине 20-го века в фундаментальных работах И. Шура, Р. Брауэра и Г. Вейля и оказала огромное влияние на развитие как теории инвариантов, так и теории представлений. Итог первого этапа развития этой теории был подведен в основополагающей книге Г. Вейля "Классические группы их инварианты и представления". В этой книге были описаны инварианты, зависящие от произвольного числа векторов и ковекторов, а также централизаторные алгебры классических серий простых групп Ли и, вычислены характеры неприводимых представлений. Дальнейшее развитие теория инвариантов и терия централизаторных алгебр получили в работах Дж. Бирмана, Ч. Венцля, А. Рэма, Дж. Мураками, П. Ханлона Д. Валеса, Т. Аракавы, И. Макдональда, М. Назарова, К. Прочези, К. Кончини, Ж. Дьедоне и Р. Хау др. Особенно следует отметить работы Р. Хау. Его обобщение двойственности Шура–Вейля получило название метода дуальных пар.

Открытием в 80-х годах прошлого века квантовых групп ознаменовало новый этап в развитии этой теории, существенно расширив список централизаторных алгебр и дуальных пар. Примерно в это же время возникает и теория супемногообразий, что приводит к естественным попыткам обобщения двойственности Шура–Вейля и метода дуальных пар на "суперслучай". В работах автора теория двойственности была обобщена на случай как общей линейной супералгебры Ли, так и на случай ее нечетного аналога, что позволило сделать существенный прогресс в теории проективных представлений симметрических групп. Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работе А. Вершика и автора [16], на основе обобщения понятия алгебры и базиса Гельфанда–Цетлина.

Возникающие при этом естественные нечетные аналоги элементов Юнга– Юциса–Мерфи были ис-пользованы для более простого вывода ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп и постоения [4] проективных аналогов симметризаторов Юнга.

В работе [13] проективный вариант двойственности Шура–Вейля был использован для доказательства гипотезы Г. Ольшанского о возможности централизаторной конструкции Янгиана супералгебр Ли серии q.

Заметим, что в случае простых классических алгебр Ли двойственность Шура–Вейля равносильна описанию инвариантов зависящих от конечного числа векторов и ковекторов, т.е. так называемой классической теории инвариантов. Аналог такой теории для супералгебр Ли был развит в работах автора [1], [2], [6], [7]. Оказалось, что описание алгебр инвариантов в этом случае выглядит достаточно просто, что являются довольно неожиданными, так как в отличии от полупростых алгебр Ли, конечномерные представления простых супералгебр Ли не являются вполне приводимыми. Как и в случае полупростых групп Ли классическая теория инвариантов может быть рассмотрена как начало общей теории инвариантов для супералгебр Ли. В качестве известных примеров применения классической теории инвариантов для супералгебр Ли отметим описание сферических функций связанных с модулями Вейля и описание централизаторных алгебр. Централизаторные алгебры и дуальные пары Хау классических супералгебр Ли изучались в работах А.

Рэма, Д. Муна, М. Ямагучи, Х. Ванг, С. Ченг и В. Ванг и др. Доказательство того, что эти алгебры являются действительно централизаторными легко следует из супераналога классической теории инвариантов.

Следующей центральной темой диссертации является исследование связей между теорией представлений супералгебр Ли и теорий квантовых интегрируемых систем. Впервые наличие таких связей было открыто в работах [8] и [9]. Эти работы послужили началом ситематического исследования квантовых интегрирыемых систем с точки зрения супералгерб Ли и наоборот, использованию методов квантовых интегрируемых систем в теории представлений супералгебр Ли. В частности в диссертации строится теория супераналогов полиномов Макдональда и исследуются ее связи с теорией представлений классических супералгебр Ли.

Впервые предельные случаи таких аналогов (суперфункции Шура) появились в работах А. Вершика и С. Керова по асимтотической теории представлений симметрической группы и в более общем виде (суперполиномы Джека) в работе С. Керова, А. Окунькова и Г. Ольшанского.

Связь этих полиномов с теорией представлений была найдена в работах [8] и [9], где было показано, что при определенных значениях параметра суперполиномы Джека являются сферическими функциями на некоторых симметрических суперпространствах, а так же, что суперполиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Оказалось также, что некоторые частные случаи этого оператора были рассмотрены ранее в работах А. Веселова, М. Фейгина и О.Чалых под названием деформированных квантовых систем Калоджеро–Мозера. Аналогично, в работе [10] классические проективные функции Шура были интерпретированы как сферические и бисферические функции на определенных симметрических суперпространствах.

Следующим естестванным шагом было построение общей теории квантовых интегрируемых систем связянных с системами корней простых супералгебр Ли. Соответствующее обобщение понятия системы корней было введено В. Сергановой под названием обобщенной системы корней.

В работе [11] было показано, что по каждой обобщенной системе корней можно естественным образом построить квантовую интегрируемую систему. Высшие интегралы в этой работе были построены с помощью явной индуктивной процедуры. Другой способ построения интегралов был предложен в работах [12], [15]. В этих работах было показано, что деформированная квантовая интегрируемая система Калоджеро–Мозера типа A (включая и разностный аналог) может быть получена как ограничение соответствующей бесконечномерной системы. Естественной областью действия интегралов этих квантовых систем, является некоторое кольцо, которое является естественной деформацией кольца конечномерных представления соответствующей супералгебры Ли. Это последнее кольцо было описано в работе [14] (в качестве следствия получено описание кольца инвариантных полиномов [3]). При общем значении параметров структура деформированного кольца Гротендика как модуля над алгеброй интегралов допускает явное описание. Тем самым возникает естественнй базис в этом кольце, различные специализации которого могут быть связаны с важными классами конечномерных представлений супералгебр Ли.

Актуальность темы. В работе изучаются современные вопросы теории инвариантов и представлений супералгебр Ли, а также их связи с квантовыми интегрируемыми системами. Построен аналог классической теории инвариантов для неисключительных классических простых супералгебр Ли. Дано описание минимального множества образующих алгебр инвариантов. Для образующих типа скалярных произведений, приводится описание соотношений. Развивается общая теория базисов Гельфанда–Цетлина и на ее основе, с помощиью метода Вершика–Окунькова строится полунормальная и ортогональная формы Юнга для проективных представлений симметрической группы. Строятся также проективные аналоги симметризаторов Юнга, отличные от симметризаторов построенных М. Назаровым. Доказана гипотеза Г. Ольшанского о централизаторной конструкции Янгиана для супералгебр Ли серии q.

Показано, что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керовым, А. Окуньковым и Г. Ольшанским при значениях параметра 1, 1/2 могут быть интерпретированы как сферические функции на некоторых симметрических суперпространствах. Кроме того доказано, что сами полиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Дана интерпретация проективных функций Шура как сферических функций на некоторых симметрических суперпространствах. Построена алгебра дифференциальных операторов для которых эти фунции являются общими собственными. В частности, это дает есстественную интерпретация результатов полученных ранее Р. Стембриджем в контексте алгебр Гекке связанных с определенными парами Гельфанда.

Описаны кольца конечномерных представлений классических супералгебр Ли. В качестве следствия, приводится еще одно доказательство теоремы описывающей инвариантные полиномы на простых конечномерных классических супералгебрах Ли. По каждой обобщенной системе корней построен деформированный аналог оператора Калоджеро–Мозера, что является обобщением соответствующего результата М. Ольшанецкого и А. Переломова для полупростых алгебр Ли. Показано, что деформированные операторы Калоджеро–Мозера для систем корней типа A могут быть получены, как ограничения бесконечномерных классических систем того же типа. Это обстоятельство позволяет доказатъ еще одним способом интегрируемость соответствующей деформированной системы и получить все основные формулы для соответствующих собственных функций. В случае общего значения параметра получено описание идеалов в алгебре симметрических функций инвариантных относительно алгебры интегралов задачи Калоджеро–Мозера–Сазерленда.

Цель работы состоит в развитии теории представлений и теории инвариантов супеалгебр Ли и разработке связей этой теории с классическими задачами теории представлений и математической физики.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построен аналог классической теории инвариантов для классических неисключительных супералгебр Ли. Дано описание минимального множества образующих алгебр инвариантов и соотношений между ними.

2. Разработано обобщение классической теории базисов Гельфанда Цетлина на случай цепочки конечномерных полупростых Z2 градуированных алгебр. В качесстве приложения, на основе метода ВершикаОкунькова, строится теория проективных представлений симметрических групп. Построены аналоги симметризаторов Юнга для проективных представлений симметрических групп.

3. Проведена централизаторная конструкция Янгиана для супералгебр Ли серии q.

4. Дана интерпретация деформированных квантовых интегрируемых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда как радиальных частей операторов Лапласа на некоторых симметрических суперпространствах.

5. Дана интерпретация проективных функций Шура как сферических функций на определенных симметрических суперпространствах.

6. Описаны кольца Гротендика категории конечномерных представлений классических супералгебр Ли. Показано, что описание может быть задано в терминах инвариантов некоторого конечного группоида, который естественно считать аналогом группы Вейля в случае полупростых конечномерных алгебр Ли.

7. Предложена общая теория деформированных квантовых интегрируемых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда на основе понятия обобщенной системы корней. В случае классических серий приводится доказательство их интегрируемости.

8. Построены бесконечномерные аналоги систем Калоджеро-Мозера типа A. Показано, что деформированные системы типа A(n, m) могут быть получены как ограничения соответствующих бесконечномерных.

Достоверность полученных результатов обеспечивается полнотой и строгостью приводимых доказательств, апробацией результатов работы на многочисленных конференциях и семинарах, проверкой части результатов работы в работах других авторов.

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты применимы в теории представлений, теории интегрируемых систем, теории специальных функций, математической физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Математическом Инститите Стокгольмского Университета (Швеция), Математическом Институте Ньютона в Кэмбридже (Англия), Университете Манчестера (Англия), Университете Глазго (Англия), Университете Лавборо (Англия), на семинаре Э. Винберга в Московском Государственном Университете, на семинаре А.М. Всршика в ПОМИ, на семинаре Дж. Фелдера (Цюрих);

на международных конференциях:

- Теоретико- групповые методы в физике (Дубна,1999) - Специальные функции 2000 (Аризона, 2000) - Некоммутативные структуры в математике и физике (Киев, 2000) - Полиномы Джека, Холла–Литтлвуда и Макдональда (Эдинбург, 2003) - Квантовые симметрии и суперсимметрии (Дубна, 2005) - Алгебраические аспекты интегрируемых систем (Глазго, 2007) Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ.

Структура и объем диссертации. Дисертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на секции и списка литературы. Работа занимает 252 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 1наименований.

Основное содержание работы

Во введении подробно изложены мотивировки данного исследования, дан краткий литературный обзор, описано содержание диссертации по главам и приведены формулировки основных результатов. Сформулированы гипотезы и перспективы дальнейших исследований.

Содержание главы 1. Эта глава посвящена построению "супераналога" классической теории инвариантов. Предметом классической теории инвариантов является описание инвариантных (относительно заданной группы) полиномиальных функций зависящих от заданного числа векторов и ковекторов из некоторого фиксированного прдставления. Для супералгебр Ли естественной является следующая постановка задачи.

Пусть V будет конечномерным суперпространством над C и g произвольная матричная супералгебра Ли, т.e., подсупералгебра Ли в gl(V ).

Под классической теорией инвариантов для g мы подразумеваем описание g-инвариантных элементов алгебры p k Ap,q = S(V (V )q V (V )l), k,l где для g модуля L, Lp обозначает прямую сумму p копий L. На алгебре Ap,q естественным образом действует супералгебра Ли gl(U)gl(W ) и ее k,l обертывающая алгебра B = U(gl(U)gl(W )), где dim U = (p, q), dim W = (k, l). Элементы из B коммутируют с естественным действием gl(V ). Они будут называться операторами поляризации. Следовательно алгебра инвариантов (Ap,q)g является модулем над алгеброй B. Так как алгебра k,l Ap,q является полупростым B модулем, то и алгебра инвариантов также k,l является полупростым B модулем. В каждом случае мы явно описываем разложение алгебры инвариантов на простые B модули, и оказывается, что это разложение всегда имеет простой спектр. Мы также описываем минимальное множество образующих. Для классических серий простых алгебр Ли минимальное множество образующих M обладает тем свойством, что его линейная оболочка является модулем над B. В случае супералгебр Ли, не всегда удается описать в простом виде минимальное множество образующих. Поэтому, в случае супералгебр Ли мы даем описание минимальных B подмодулей порождающих алгебру инвариантов. Оказывается, что в качестве минимального множества образующих можно взять любой базис этого модуля. Таким образом в каждом случае вместо описания множества образующих мы описываем некоторый модуль на алгеброй операторов поляризации, который порождает алгебру инвариантов. Явное описание образующих основанное на симметризаторах Юнга приведено в работах [2],[7]. Но это описание выглядит все еще недостаточно простым. Интересной представляется задача описания инвариантов в полном кольце частных алгебры Ap,q.

k,l В качестве примера, приведем описание алгербы инвариантов для ортогонально симплектической супералгебры Ли. Существование четной osp(V )-инвариантной формы определяет изоморфизм алгебр и osp(V )модулей Ap,q Ap+k,q+l. Следовательно мы можем ограничиться случаем k,l p = q = 0 и рассматривать только алгебру Ak,l. Далее, поскольку все рассматриваемые g модули являются тензорными, то они допускают продолжение действия so(V0) до действия ортогональной группы O(V0), что позволяет определить Z/2Z градуировку на алгебре инвариантов (Ag )0 = {f Ag | gf = f, g O(V0)} k,l k,l (Ag )1 = {f Ag | gf = det(g)f, g O(V0)} k,l k,l Как уже говорилось выше,описание алгебры инвариантов удобно да вать в терминах модулей со старшим весом. Обозначим через W супермодуль Вейля над алгеброй операторов поляризации Ak,l отвечающий разбиению . Заметим, что модуль W определен только в случае когда k+1 l но, для удобства формулировок мы рассматриваем этот модуль и в том случае, когда k+1 > l, считая, что что W = 0.

Теорема 1.1. Пусть g = osp(V ). Тогда:

(2) i) aлгебра (Ag )0 содержит единственный подмодуль изоморфный W k,l и порождена этим подмодулем. Любой базис этого модуля является минимальным множеством образующих, ii) подпространство (Ag )1 содержит единственный подмодуль изоk,l (m+1)n (2) (m+1)n морфный W ; aлгебра Ag порождена подмодулем W W и k,l любой базис этого модуля является минимальным множеством образующих.

Отметим, что в частных случаях n = 0 или m = 0, теорема дает описание инвариантов ортогональной или симплектической алгебры Ли в тензорном произведение симметрической и внешней алгебры нескольких копий стандартного представления. В общем случае описание базиса (2) (m+1)n в модуле W и элементов модуля W (так же как и их условия обращения в нyль) зависят от n, m, k, l. Приведем описание в случае k n. Для этого выберем базис {wt} в модуле W так, что wt для 1 t k является базисом подпространства W0, и wt для k < t k + l является базисом подпространства W1. Согласно пункту i) преыдущей теоремы определены скалярные произведение "векторов" (2) (vt, vs) W (Ak,l)g, 1 t, s k + l которые порождают алгебру (Ak,l)g. Кроме того, можно показать, что det |(vt, vs)|m+1, 1 t, s n (m+1)n является полиномом и принадлежит модулю W. Отметим также, что для m = 0 предыдущее утверждение хорошо известно и соответствующий полином является определителем составленным из координат векторов. Следующая теорема описывает соотношения между скалярными произведениями.

(2) Теорема 1.2. i) Алгебра S(W ), как модуль над gl(W ), содержит µ единственный подмодуль изоморфный W, где µ = (n + 1)(m+2).

(2) ii) Ядро естественного гомоморфизма S(W ) (Ak,l)g как идеал, µ порождено подмодулем W и любой базис этого модуля является минимальным множеством соотношений.

Так же как и в случае предыдущей теоремы, координатное описание соотношений (или их отсутствие) зависит от n, m, k.l. В случае l m + одно из таких соотношений имеет вид det |(vs, vt)|n+1, n < s, t n + m + Отметим, что вопрос об описании соотношений между образуюими алгебры Ag = (Ag )0 (Ag )1 остается открытым.

k,l k,l k,l Содержание главы 2. Главный результат этой главы состоит в перенесении индуктивного метода построения теории представлений, - метода алгебр Гельфанда–Цетлина, - развитого в работах А. Вершика и А.

Окунькова на случай Z2-градуированных алгебр, и в частности, позволяет использовать этот метод для построения полунормальной и ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп. Проективные представления симметрических групп изучались многими авторами; мы используем этот пример для иллюстрации нового подхода к задаче о представлениях Z2-градуированных цепочек алгебр. Прежде всего, определяются условия простоты ветвления представлений цепи полупростых Z2-градуированных алгебр. Наиболее существенную роль играет обобщение понятия алгебры Гельфанда–Цетлина, для цепи A = A(1) A(2) · · · A(n) полупростых Z2-градуированных алгебр. Прежде всего, следует обобщить понятие центра и определить, так называемый, суперцентр Z2-градуированной алгебры.

Понятие алгебры Гельфанда–Цетлина цепи расслаивается для Z2-градуированных алгебр на несколько понятий, поскольку в отличие от неградуированного случая алгебра SGZ(Y), порожденная суперцентрализаторами последовательных подалгебр цепи, называемая далее супералгеброй Гельфанда–Цетлина не совпадает с алгеброй SZ(Y), порожденной суперцентрами алгебр A(k). Алгебры SGZ(Y), вообще говоря, не коммутативны даже в случае простого ветвления, но их структура оказывается стандартной: это есть тензорное произведение коммутативной алгебры и алгебры Клиффорда. Между алгебрами SGZ(Y) и SZ(Y) находится место для обычной алгебры Гельфанда–Цетлина - GZ(Y) - четной части цепи Y. Анализ представлений и характеров этих алгебр составляет суть метода. Аналогично методу работ A. Вершика и A. Окунькова находится спектр (перечень неприводимых представлений) алгебры SGZ(Y), это делается по существу таким же приемом - сведением к описанию спектра аналога алгебры Гекке, что в свою очередь позволяет описать неприводимые представления алгебры A(n). Этот способ используется для описания проективных представлений симметрической группы, построения аналога форм Юнга, базисов и т.д. Как и в работе A. Вершика и A.

Окунькова параметризующие базис в представлениях так называемые строгие таблицы Юнга оказываются точками спектра надлежащей алгебры Гельфанда–Цетлина, а неприводимые проективные представления Sn параметризуются строгими диаграммами, т.е. орбитами допустимых подстановок точек спектра. Это описание проективных представлений и явля-ется одной из целей работы. Более точно, пусть Sk - симметрическя группа, Clk - алгебра Клиффорда порожденная k образующими p1,..., pk подчиненными соотношениям p2 = -1, pipj + pjpi = 0 для i = j.

i Симметрическая группа действует на Cln переставляя образующие, поэтому мы можем образовать полупрямое произведение Hk = Sk Clk.

Положим i = (pi-pi+1)sii+1 и обозначим через Ak подалгебру порожденную этими элементами. Чтобы описать действие этих элементов в неприводимых модулях, рассмотрим цепь Z2-градуированных алгебр C H1 H2 · · · Hk.

Доказывается, что супералгебра Гельфанда–Цетлина этой цепи порождена p1,..., pk и следующими антикоммутирующими аналогами элементов Юнга–Юциса–Мерфи 1 = 0, 2 = 12,..., k = ik.

i

Теорема 1.3. Пусть строгое разбиение и, T любая таблица формы . Тогда, действие i An задается следующими формулами:

i) eсли ai + ai+1 = (ai - ai+1)2, тогда i - i+iPT = PT, ai - ai+ii) если ai + ai+1 = (ai - ai+1)2 и l(siT ) > l(T ), тогда i - i+1 iPT = PT + (pi - pi+1) PsiT, ai - ai+iii) если ai + ai+1 = (ai - ai+1)2 и l(siT ) < l(T ), тогда i - i+1 1 ai + ai+ iPT = PT + (pi - pi+1) 1 - PsiT.

ai - ai+1 (ai + ai+1)В пятой секции строятся аналоги симметризаторов Юнга для проективных представлений симметрических групп. Заметим, что аналоги симметризаторов Юнга для алгебры Hk были построены в работе М.

Назарова, следуя идеям И. Чередника в случае обычных симметризаторов Юнга. Здесь предлагается другая конструкция таких аналогов основанная на предыдущей теореме. Фиксируем строгое разбиение и пусть T0 как и прежде будет строгой таблицей формы заполнен-ной по строкам. Положим k c = (i - ai), r = i=1 RTгде RT0 является строковым стабилизатором таблицы T0 в группе S.

Теорема 1.4. Элемeнт e = cr является с точностью до ненулевого множителя идемпотентом в алгебре Hk и алгебра eHke изоморфна алгебре Клиффорда порядка равного числу ненулевых частей строгого разбиения .

В частности из утверждения теоремы следует, что модуль Hke равен прямой сумме определенного числа (которое несложно подсчитать явно) копий модуля V и его противоположного модуля P (V ). Отметим, что предложенный метод построения идемпотентов годится по видимому и во многих других ситуациях, когда известна полунормальная форма Юнга.

Оставшаяся часть второй главы посвящена централизаторной конструкции Янгиана, для супералгебр Ли серии q. Это возможно наиболее интересный супераналог общей линейной супералгебры. Рассмотрим комплексную матричную супералгебру Ли gl(N, N) со стандартными образующими Eij и определим инволютивный автоморфизм gl(N, N) по формуле (Eij) = E-i,-j. Супералгебра q(N) является неподвижной подалгеброй в gl(N, N) относительно . Рассмотрим скрученную супералгебру Ли полиномиальных токов g = { X(t) gl(N, N)[t] : (X(t)) = X(-t) }.

Обертывающая алгебра U(g) супералгебры Ли g имеет деформацию, называемую Янгианом Y (g). Для каждого M = 1, 2... обозначим через AN централизатор q(M) в ассоциативной супералгебре U(q(N)). Мы M строим последовательность сюрьективных гомоморфизмов U(q(N)) A1 A2 ... и описываем обратный предел последовательности N N централизаторных алгебр A1, A2,... в терминах Янгиана Y (g).

N N Теорема 1.5. Обратный предел последовательности алгебр A1, A2,...

N N антиизоморфен алгебре Y (q(N)), где Y (q(N)) - Янгиан супералгебры q(N), а - свободная коммутативная алгебры со счетным числом независимых образующих.

Содержание главы 3. Одним из наиболее важных результатов теории конечномерных представлений полупростых конечномерных алгебр Ли является следующее утверждение:

Кольцо конечномерных предсталеий R(g) полупростой комплексной алгебры Ли g изоморфно кольцу Z[P ]W W -инвариантов целочисленного группового кольца Z[P ], где P - соответствующая решетка весов и W группа Вейля. Изоморфизм задается отображением, которое каждому модулю сопоставляет его характер Ch : R(g) Z[P ]W.

Основная цель этой главы обобщить этот результат на комплексные классические супералгебры Ли. Мы предполагаем, что знание структуры кольца представлений поможет пролить дополнительный свет на проблему вычисления характеров конечномерных представлений, которая до сих пор остается не полностью решенной.

Пусть g будет основной классической супеалгеброй Ли отличной от A(1, 1) и h будет ее подалгеброй Картана (которая в этом случае является также подалгеброй Картана алгебры Ли g0). Пусть P0 h будет группой весов g0, W0 будет группой Вейля g0 и Z[P0]W0 будет кольцом W0-инвариантов в целочисленном групповом кольце Z[P0]. Разложение g относительно присоединенного действия h, дает (обобщенную) систему корней R супералгебры Ли g. По определению g имеет невырожденную билинейную форму на h и следовательно на h. В отличие от теории полупростых алгебр Ли некоторые корни R являются изотропными: (, ) = 0.

Для изотропных корней невозможно определить отражение в обычном смысле, что объясняет трудность с понятием группы Вейля в этом случае.

Определим кольцо экспоненциальных суперинвариантов J(g), заменяющее кольцо инвариантов группы Вейля в случае классических алгебр Ли:

J(g) = {f Z[P0]W0 : Df (e-1) для любого изотропного корня } где (e - 1) обозначает главный идеал в Z[P0]W0 порожденный e - 1 и производная D определяется свойством D(e) = (, )e. Это кольцо является вариантом кольца инвариантных полиномов для супералгебр Ли расмотренном в работах Ф. Березина, автора и В. Каца. Для специального случая супералгебры A(1, 1) необходимо слегка изменить определение, так как в этом случае изотропные корни имеют кратность 2.

Основным результатом является следующая теорема Теорема 1.6. Кольцо Гротендика K(g) конечномерных представлений основной классической супералгебры Ли g изоморфно кольцу J(g). Изоморфизм задается отображением взятия суперхарактера Sch : K(g) J(g).

Тот факт, что суперхарактер принадлежит кольцу J(g) относительно прост. Доказательство сюрьективности гораздо более сложное и основывается на нетривиальной геометрической интерпретации результатов В.

Каца об ограничениях на старший вес конечномерного модуля. Затем доказывается, что множество сташих весов описанное В. Кацем и множество максимальных показателей кольца K(g) относительно некоторого естественного упорядочения совпадают. Элементы J(g) могут быть также описаны как инварианты действия некоторого группоида W, который естественно назвать группоидом Вейля. Он определяется как несвязное объединение W(R) = W0 W0 Tiso, где Tiso - группоид с базой Riso состоящей из всех изотропных корней g и множество морфизмов является непустым если и только если = ± и в этом случае состоит из единственного элемента . Мотивировкой понятия группоида здесь является работа [11] описывающая деформированные квантовые системы Калоджеро связанные с обобщенными системами корней. Группа W0 действует на Tiso естественнм способом, тем самым определено полупрямое произведение W0 Tiso. Можно также определить естественное действие W на h так, что действует посредством сдвига на в гиперплоскости (, x) = 0. Если исключить специальный случай A(1, 1), то предыдущая теорема может быть переформулирована в виде аналогичном класическому:

Кольцо Гротендика K(g) категории конечномерных представлений основной классической супералгебры Ли g изоморфно кольцу Z[P0]W инвариантов группоида Вейля W.

Как следствие мы получаем описание кольца инвариантных полиномов [3] для классических простых конечномерных супералгебр Ли и, следовательно описание центров обертывающих алгебр для основных классических супералгебр Ли. Приведем теперь описание инвариантных полиномов на рассматриваемых супералгебрах Ли. Для этого рассмотрим следующее кольцо I(g) = {f S(b)W0 : Df () для любого изотропного корня }, где () обозначает главный идеал в S(b)W0 порожденный и производная D определяется свойством D() = (, ).

Теорема 1.7. Кольцо инвариантных полиномов S(g) основной классической супералгебры Ли g изоморфно кольцу I(g). Изоморфизм задается отображением ограничения res : S(g) I(g).

Заметим,что В. Кацем был предложен совершенно другой метод описание центров обертывающих алгебр основных классических супералгебр Ли (полное докзазательство справедливости этого метода для супералгебр Ли было недавно дано М. Горелик). Следует также отметить, что кольца Гротендика основных классических супералгебр Ли допускают естественную деформацию с точки зрения квантовых интегрируемых систем. Инересным преставляется вопрос о примененимости такой деформации к методу В. Каца.

Содержание главы 4. В этой главе строится общая теория деформированных квантовых операторов Калоджеро–Мозера–Сазерленда (КМС).

Эта задача, в ее первоначальном виде описывает поведение частиц на прямой попарно взаимодействующих с потенциалом g2U(x1,..., xn) =.

sin2 (xi - xj) 1i

Первая серия таких "деформированных"обобщений An(m) была найдена А. Веселовым, М. Фейгином и О. Чалых. Позже теми же авторами была найдена другая серия Cn(m, l). Хотя эти деформации появились также в контексте WDVV уравнения, их алгебраическая природа оставалась неясной. Важный шаг в выяснении природы этих деформаций был сделан автором в работах [8, 9]. В этих работах было доказано, что деформированный квантовый оператор КМС типа An(m) для специальных значений параметра может быть интерпретирован как радиальная часть оператора Лапласа–Бельтрами на определенном симметрическом суперпространстве. В четвертой главе систематически развивается теория деформированных квантовых операторов КМС связанных с системами корней простых конечномерных супералгебр Ли обладающих матрицей Картана. Описание основано на понятии обобщенной системы корней, которое было введено В. Сергановой. Все такие системы корней имеют частичную симметрию описываемую группой Вейля W0 соответствующей отражениям в неизотропных корнях. Для каждой такой системы корней R строится семейство деформированных квантовых КМС операторов следующим способом. Система корней остается прежней R, меняется скалярное произведение и кратности корней так, что:

1) новая билинейная форма B и кратности остаются инвариантными относительно W0, 2) кратности всех изотропных корней равны 1, 3) соответствующий оператор Шредингера имеет радиальную форму.

Последнее условие приводит к определенным соотношениям между кратностями и параметрами формы. Как показывает прямой анализ все допустимые формы зависят от одного дополнительного деформационного параметра (в случае D(2, 1, ) существует три параметра, но два из них входят в определение этой супералгебры). Будем называть такие операторы деформированными КМС операторами связанными с обобщенными системами корней R. Согласно классификации В. Сергановой имеется две бесконечные серии таких операторов связанных с обобщенными системами корней R типа A(n, m) и BC(n, m), и три исключительных случая, соответствующих исключительным системам корней G(1, 2), AB(1, 3) и D(2, 1, ). Система типа A(n, m) может быть рассмотрена как взаимодействие двых типов частиц с массами 1 и соответственно и k параметром взаимодействия зависящим от k. Когда m = 1 (т.е. когда вторая группа частиц состоит только из одной частицы) такая система была впервые рассмотрена А. Веселовым, М. Фейгиным и О. Чалых.

В случае общих n и m соответствующий оператор был впервые введен в [8] но рациональный предел этого оператора был рассмотрен ранее Ю. Берестом и А. Якимовым, когда они искали преобазования типа Дарбу для систем Калоджеро–Мозера. Система BC(n, m) может быть интерпретирована подобным же путем с предположением симметрии системы относительно начала координат. Хотя она зависит от 5 параметров только три из них независимы. Система BC(n, m) с m = 1 и p = была впервые рассмотрена в А. Веселовым М. Фейгиным и О. Чалых.

Случай m = 1 является специальным, так как только в этом случае все параметры могут быть целыми. Оператор BC(n, m) для общих m, n так же как и деформированные системы относящиеся к исключительным системам G(1, 2), AB(1, 3) и D(2, 1, ) прежде нe рассматривались. Введем алгебру R,B состоящую из полиномов p(x) на V которые инвариантны относительно отражений соответствующим неизотропным корням (т.е. W0-инвариантны) и удовлетворяют условиям 1 p(x + ) p(x - ) 2 на гиперплоскости B(, x) = 0 для каждого изотропного корня .

Теорема 1.8. Для классической обобщенной системы корней R и общего значения параметра k в форме B существует мономорфизм из коммутативной алгебры R,B в алгебру диференциальных операторов на V такой, что (x2) является соответствующим КМС оператором для R.

Далее в этой главе дается интерпретация общей теории в случае симметрических суперпространств. В настоящее время не существует развитой теории такого типа несмотря на то, что классификация симметрических суперпространств была получена В. Сергановой около 20 лет назад.

Работы [8] и [9] можно рассматривать как первый этап в построении такой теории. В этих работах были рассмотрены некоторые суперпространства связaнные с супералгеброй Ли gl. Методы этих работ являются естественным развитием методов работ П. Этингофа и А. Кириллова (мл.), в которых дана интерпретация полиномов Джека и Макдональда с точки зрения теории представлений алгебр Ли. В работах [8], [9] были вычислены также сферические функции связянные с модулями Вейля и показано, что они являются собственными функциями для алгебры радиальных частей опереаторов Лапласа. Оказалось, что оператор второго порядка совпадает с деформированным оператором Калоджеро– Мозера при значениях параметра k = 1, 1/2. Кроме того доказывается, что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керовым, А. Окуньковым и Г. Ольшанским являются собственными функциями этого оператора. Показано также, что при значениях параметра k = 1, 1/2 эти полиномы можно интерпретировать как сферические функции связанные с модулями Вейля.

В оставшейся части главы рассматриваются симметрические суперпространства связанные с супералгеброй q. В работе [10] рассмотрены два таких суперпространства и построены две алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Доказывается, что эти алгебры изоморфны и минимальный порядок дифференциального оператора входящего в эти алгебры равен трем. Полиномиальные общие собственные фукции этих опера-торов совпадают с проективными функциями Шура. Эти функции также интерпретируются как бисферические и сферические функции для неприводимых представлений появляющихся в разложении тензорной алгебры тождественного представления. Как следствие мы получаем есстественную интерпретацию результатов полученных ранее Р. Стембриджем в контексте алгебр Гекке.

Содержание главы 5. Главный результат этой главы состоит в том, что мы интерпретируем деформированные квантовые системы Калоджеро–Мозера типа A как ограничения недеформированных бесконечномерных систем того же типа. В частности, это позволяет получить более концептуальное доказательство интегрируемости квантовых деформируемых систем Калоджеро–Мозера типа A(n, m). Первая половина главы основана на разультатах работы [12]. В этой работе было показано, что оператор типа A(n, m) может быть описан как ограничение обычного оператора Калоджеро–Мозера от бесконечного числа перемен-ных на определенное подмногообразие. Более точно, пусть будет алгеб-рой симметрических функций от бесконечного числа переменных, будет n,m алгеброй полиномов которые симметричны отдельно относительно x1,..., xn и y1,..., ym и удовлетворяют условиям f f xi - yi = xi yj на гиперплоскости xi = yj. Рассмотрим гомоморфизм : n,m действующий на степенных суммах по правилу n m r (pk) = xr + yj.

i i=1 j=Пусть L бесконечномерный Калоджеро–Мозера оператор введенный И.

Макдональдом и Ln,m, деформированный оператор Калоджеро–Мозера введенный в [8] n m xi + xj Ln,m, = xi + yj - xi - xj xi j=1 yj 1i

Для доказательства используется теория полиномов Джека и теория сдвинутых полиномов Джека развитая в недавних работах А. Окунькова, Г. Ольшанского, Ф. Кноппа и С. Сахи. Доказывается также, что квантовые интегралы построенные в работе [11] могут быть получены как ограничение определенных интегралов обычной задачи Калоджеро–Мозера от бесконечного числа переменных. Рассматривается также более общая задача об описании идеалов в алгебре симметрических функций инвариантных относительно всех квантовых интегралов. Оказывается, что прямоугольные диаграммы выделяются тем свойством, что соответствующая фактор алгебра не имеет делителей нуля. Приводятся также комбинаторные формулы для суперполиномов Джека и их сдвинутых аналогов. В общем случае доказывается, что инвариантные идеалы находятся в биекции с фильтрами в множестве диаграмм Юнга. Понятие фильтра было введено А. Регевом в связи с исследованием идеалов в тензорной алгебре. В частности множество диаграмм содержащих данную диаграмму является фильтром. Обозначим соответствующий идеал в алгебре через I(). Доказывается, что алгебра /I() является конечно порожденной, поэтому X() = Spec (/I()) является афинным алгебраическим многообразием.

Теорема 1.10. Неприводимыми компонентами многообразия X() являются подмногобразия вида X(), где пробегает множество максимальных прямоугольников содержащихся в диаграмме .

Во второй части этой главы исследуется аналогичная задача для деформированного Макдональда–Рудженариса оператора введенного в [11] n m 1 Mn,m,q,t = Ai(Tq,xi - 1) + Bj(Tt,yj - 1), 1 - q 1 - t i=1 j=где n m n m (xi - txk) (xi - qyj) (yj - txi) (yj - qyl) Ai =, Bj = (xi - xk) (xi - yj) (yj - xi) (yj - yl) k =i j=1 i=1 l =j и Tq,xi, Tt,yj являются операторами сдвига:

(Tq,xif)(x1,..., xi,..., xn, y1,..., ym) = f(x1,..., qxi,..., xn, y1,..., ym) (Tt,yj f)(x1,..., xn, y1,..., yj,..., ym) = f(x1,..., xn, y1,..., tyj,..., ym).

Этот параграф основан на результатах работы [15], которая является естественным обобщение результатов работы [12]. Показывается, что деформированный оператор Макдональда–Рудженариса может быть описан как ограничение обычного оператора Макдональда–Рудженариса от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие. Так же как и работа [12] эта работа основана на теории полиномов Макдональда развитой Кнопом, Сахи и Окуньковым.

Список литературы [1] Сергеев А.Н. Аналог классической теории инвариантов для супералгебр Ли.

Функцион. анализ и его приложения, т.26 (1992), в. 3, 88–90.

[2] Сергеев А.Н. Векторные и ковекторные инварианты супералгебр Ли. Функцион.

анализ и его приложения, т.30 (1996), в. 3, 90–93.

[3] Sergeev A. The invariant polynomials on simple Lie superalgebras. Represent. Theory 3 (1999), 250–280 (electronic).

[4] Sergeev A. The Howe duality and the projective representations of symmetric groups.

Represent. Theory 3 (1999), 416–434 (electronic).

[5] Sergeev A. Irreducible representations of solvable Lie superalgebras. Represent. Theory 3 (1999), 435–443.

[6] Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie superalgebras. I. Michigan Math. J. 49 (2001), no. 1, 113–146.

[7] Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie superalgebras. II. Michigan Math. J. 49 (2001), no. 1, 147–168.

[8] Sergeev A. Superanalogs of the Calogero operators and Jack polynomials. J. Nonlinear Math. Phys. 8 (2001), no. 1, 59–64.

[9] Сергеев А.Н., Оператор Калоджеро и супералгебры Ли. Теоретичекая и математическая физика, т.131 (2002), no. 3, 355–376.

[10] Sergeev A. Projective Schur functions as bispherical functions on certain homogeneous superspaces. The orbit method in geometry and physics (Marseille, 2000), 421–443, Progr. Math., 213, Birkhuser Boston, Boston, MA, 2003.

[11] Sergeev A.N., Veselov A.P. Deformed quantum Calogero-Moser problems and Lie superalgebras. Comm. Math. Phys. 245 (2004), no. 2, 249–278.

[12] Sergeev A.N.,Veselov, A.P. Generalised discriminants, deformed Calogero-MoserSutherland operators and super-Jack polynomials. Adv. Math. 192 (2005), no. 2, 341–375.

[13] Nazarov M., Sergeev A. Centralizer construction of the Yangian of the queer Lie superalgebra. Studies in Lie theory, 417–441, Progr. Math., 243, Birkhuser Boston, Boston, MA, 2006.

[14] Sergeev A.N., Veselov A.P. Grothendieck rings of basic classical Lie superalgebras.

Loughborough University preprint 07-35. arXive: 0704.2250.

[15] Sergeev A.N., Veselov A.P. Deformed Macdonald-Ruijsernaars operator and super Macdonald polynomials. Loughborough University preprint 07-36. (принято к публикации в Communication in Mathematical Physics).

[16] Vershik A.M., Sergeev A.N. A new approach to the representation theory of the symmetric groups. IV. Z2-graded groups and algebras. Moscow Mathematical Journal, v.8 (2008), no. 4, 1–30.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.