WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

На правах рукописи

Локтев Алексей Алексеевич

ДИНАМИЧЕСКИЙ КОНТАКТ УДАРНИКА И ТОНКИХ ТЕЛ С УЧЕТОМ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в

Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ)

Официальные оппоненты:        доктор физико-математических наук,

       старший научный сотрудник

       Айзикович Сергей Михайлович

       доктор технических наук,

       старший научный сотрудник

       Дементьев Вячеслав Борисович

       доктор физико-математических наук,

       профессор

       Коузов Даниил Петрович

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики имени Воровича И.И. Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Южный федеральный университет"

Защита состоится 14 октября 2010 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан 8 июля 2010 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук        В.В. Дубаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Использование в различных областях хозяйственной деятельности человека конструкций и их элементов сложной геометрической формы, композитных материалов заставляет исследователей идти по пути усложнения математических моделей процессов и объектов.

Наиболее интересными и сложными в механике деформируемых тел и ее инженерно-технических приложениях являются динамические задачи, в том числе связанные с ударным взаимодействием тел. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки зрения практического применения результатов их решения. С подобными задачами сталкиваются в строительной индустрии на этапе возведения зданий и сооружений, в машиностроении – при рассмотрении различных режимов работы механизмов, а также при эксплуатации механизмов в нормальных и экстремальных условиях.

Потребности инженерной практики заставляют совершенствовать реологические модели соударяемых тел, более детально описывать характер их ударного взаимодействия и учитывать волновые явления, происходящие в них, что, в свою очередь, приводит к созданию более совершенных средств противоударной защиты конструкций и их элементов, к выявлению таких управляемых параметров, изменение которых будет сказываться на конечных характеристиках динамического контакта.

Учет нелинейно упругих, вязкоупругих, термоупругих, пластических и анизотропных свойств соударяемых тел обуславливает более точное представление о характере протекания данного процесса.

Задачи о соударении двух тел решал Ньютон И., учитывая, что изменение количества движения за время удара равно ударному импульсу, приложенному к телу. Сен-Венан Б.Д. впервые рассмотрел задачу о продольном ударе двух стержней, он учел распространение волн в соударяемых телах, но не учел местное смятие материалов ударника и мишени. Основной вклад в теорию удара внес Герц Г., который распространил свою задачу о статическом контактном взаимодействии упругих тел на их ударное взаимодействие. Однако он не учитывал в процессе удара колебательные движения тел вне их области контакта. Это сделал Тимошенко С.П. в 1928 году, объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию удара. Zener С. в 1941 г. обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория удара типа Тимошенко развивалась для стержней и балок Crook А.W., Yamamoto S.A., Россихиным Ю.А., для пластин – Mindlin R.D., Conway H.D, Lee H.C., Уфляндом Я.С., Кильчевским Н.А., Филлиповым А.П., Филлиповым И.Г. Горшковым А.Г., Тарлаковским Д.В. и для оболочек – Hammel J., Kenner V.N., Koller M.G., Yang J. C. S., Сеницким Ю.Э., Кадомцевым И.Г. и др. учеными.

Волновой подход к теории поперечного удара был впервые предложен Филлиповым А.П. в 1968 году и получил дальнейшее развитие в последующие годы: были получены результаты решения задач ударного взаимодействия, связанных с учетом волновых свойств мишени (Филлипов А.П., Скляр В.Л. 1971), многослойности конструкции пластинки (Choi I.H., Lim C.H. 2004, Егорычев О.О. 2005), различных форм ударника и методов решения (Россихин Ю.А., Шитикова М.В. 1994), термоупругих свойств ударника (Гонсовский В.Л. и др. 1993), вязкоупругих свойств ударника (Сеницкий Ю.Э. 1982), наличия начальных напряжений на границе пластинки (Филиппов И.Г., Филиппов С.И. 2007, Товстик П.Е. 2008) и т.д.

Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с ударным взаимодействием, вопросы учета нелинейности, вязкости, анизотропии и предварительного напряжения, равно как и использование расчетно-обоснованных средств защиты от удара, до последнего времени являются недостаточно хорошо изученными. В связи с вышеизложенным, исследования, проведенные в рамках данной работы, по изучению влияния перечисленных факторов на процесс ударного взаимодействия твердых тел и пластинок и оболочек следует признать весьма актуальными.

Актуальной является также проблема создания достаточно простой методики решения задач ударного взаимодействия с учетом различных свойств и процессов в контактирующих телах, которой могли бы пользоваться инженеры-проектировщики при расчете конструкций и их элементов, а также для сравнения с результатами, полученными с помощью новейших программных комплексов.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) исследование ударного взаимодействия твердых тел с пластинками и оболочками с учетом волновых явлений;

2) изучение влияния вязкоупругих, термоупругих и анизотропных свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия;

3) исследование упругих, вязкоупругих, нелинейно упругих и упругопластических свойств буфера, который используется для моделирования контактной силы и может быть средством противоударной защиты;

4) изучение влияния предварительных напряжений мишени на процесс распространения волновых поверхностей в ней и на динамические характеристики удара;

5) создание методики расчета конструкций на ударное воздействие, которая может учитывать различные физические и геометрические свойства соударяющихся тел, на основе использования аналитических и численных методов.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан численный анализ следующих задач:

1) об ударном взаимодействии упругого, нелинейно упругого, упругопластического и вязкоупругого ударника с упругой изотропной пластинкой;

2) об ударном взаимодействии упругого, нелинейно упругого и вязкоупругого ударника с вязкоупругой изотропной пластинкой;

3) об ударном взаимодействии упругого цилиндрического и сферического ударника с упругой ортотропной пластинкой;

4) о распространении термоупругих волн в пластинке от нагретого ударника;

5) о динамическом контакте ударника и предварительно-напряженной пластинки, к которой приложены внешняя продольная сила, изгибающий и крутящий моменты;

6) о поперечном ударе твердого тела по сферической оболочке с учетом распространения волн.

Получены теоретические результаты, наиболее приближенные к данным экспериментов (Гольдсмит В. 1965, Зукас Д.А. и др. 1985). В совокупности выполненные исследования и проведенный анализ результатов позволили доработать системный волновой подход к задачам ударного взаимодействия.

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач, сравнении результатов аналитических решений и численных расчетов, сопоставлении теоретических решений с экспериментальными данными, применении современных программных вычислительных средств. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования плит и оболочек, на которые возможно действие ударной нагрузки. Результаты диссертационного исследования вошли в курс «Введение в волновую механику» кафедры теоретической механики Института фундаментального образования Московского государственного строительного университета.

На защиту выносятся:

1) метод решения задач ударного воздействия, основанный на представлении динамического контакта как суперпозиции двух задач: местного смятия в зоне взаимодействия и деформирования тел вне ее с учетом волновых процессов;

2) результаты исследования ударного воздействия ударника на пластину с учетом распространяющихся в последней волновых поверхностей;

3) результаты исследования влияния линейно упругих, вязкоупругих, нелинейно упругих и упругопластических свойств ударника на динамические характеристики удара;

4) результаты изучения влияния вязкоупругих свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия;

5) результаты изучения влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб;

6) результаты анализа влияния термоупругих свойств пластинки на динамические характеристики удара, определение скорости температурной волны;

7) результаты анализа влияния предварительного напряжения пластинки на динамические характеристики удара и скорости распространения продольных и поперечных волн в ортотропной пластинке;

8) результаты анализа значений напряжений на фронтах волн в различных точках мишени, определение их максимальных значений;

9) результаты исследования динамического контакта ударника и сферической оболочки с учетом продольной волны растяжения-сжатия в ней.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в 2003-2004 годах; на семинаре по теоретической и прикладной механике Воронежского государственного технического университета в 2003 году; на Воронежских школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2002 и 2004 годах; на 4-ом Международном симпозиуме по строительству среди аспирантов «4th International Ph.D. Symposium in Civil Engineering”. Мюнхен. Германия. 2002; на Международной конференции «34th Solid Mechanics Conference». Закопан, Польша, 2002; на Международной конференции по проблемам механики «6th International Conference on Vibration Problems 2003». Либерец. Чехия. 2003; на 11-й, 12-й и 13-й Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» в 2004, 2005 и 2006 годах в г. Дубна и г. Пущино; на Международной конференции «4-ые Окуневские чтения». Санкт-Петербург. 2004; на Международных конференциях «Days of Diffraction». Санкт-Петербург. 2004, 2005; на Международных летних школах «Advanced Problems in Mechanics» в 2004, 2005, 2006, 2007, 2008 годах в п. Репино г. Санкт-Петербург; на Международной научно-технической конференции «Научная работа в университетских комплексах». Воронеж. 2005; на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2005; на Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Молодые исследователи – регионам». Вологда. 2005; на Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления». Санкт-Петербург. 2005; на Международной конференции по вычислительной пластичности. Основы и приложения «Computational plastisity VIII. Fundamentals and applications». Барселона. Испания. 2006; на 14-й и 15-й зимних школах по механике сплошных сред. Пермь. 2005, 2007; на Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике». Новосибирск. 2005; на Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения». Москва. 2005, 2007; на Международной финно-угорской конференции по механике «Finno-Ugric international conference of mechanics». Ракив. Венгрия. 2005; на Международном форуме молодых ученых (6-ая Международная конференция). Актуальные проблемы современной науки. Самара. 2005; на Международной конференции «Авиация и космонавтика 2006». Москва. 2006; на Международном форуме молодых ученых (7-ая Международная конференция) «Актуальные проблемы современной науки». Самара. 2006; на Международном конгрессе Сербского общества механики «International Congress of Serbian Society of Mechanics». Капаоник. Сербия. 2007; на 3-й Тематической конференции интеллектуальных конструкций и материалов «III ECCOMAS Thematic Conference Smart Structures and Materials». Гданьск. Польша. 2007; на Всероссийских научно-практических конференциях «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе». Москва. 2007, 2009; на Международных научно-практических конференциях «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». Москва. 2008, 2009; на Двенадцатой межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов. Москва. 2009; на семинарах Донского государственного технического университета в 2006 и 2008 годах. Ростов-на-Дону; на городских семинарах по механике в г. Санкт-Петербурге в 2007, 2008; на 16-ом симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем». Звенигород. 2009; на семинаре Института механики сплошных сред. Пермь. 2009; на семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета. Москва. 2009; на VII Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве». Москва. 2010; на XVI Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Ярополец. 2010.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 59 печатных работ, в том числе одна монография и 32 статей в отечественных и зарубежных журналах и сборниках научных трудов и материалов конференций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 271 странице машинописного текста, содержит 68 рисунков, 3 таблицы, список использованных источников из 260 наименований.

Поддержка. Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ. В 2003 году автор стал лауреатом именной стипендии Правительства РФ.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации. Приводится краткий исторический обзор решения задач, связанных с ударным взаимодействием и распространением волн в контактирующих телах, описываются этапы эволюции теории удара и отдельных ее направлений для стержней, балок, пластин и оболочек, основные элементы волнового подхода к задачам динамического контакта твердых тел, методы определения характеристик взаимодействия внутри контактной области и вне ее, методы исследования распространяющихся волновых поверхностей и определения их параметров, вопросы, недостаточно хорошо изученные при решении задач ударного взаимодействия тел с разными свойствами и различными начальными условиями; также приводятся некоторые приложения решаемых задач в строительстве и машиностроении. Указаны основные цели работы, кратко изложена структура диссертации, охарактеризована ее научная новизна, научная и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, а также показаны результаты различных частей и всей работы в целом, представленные научной общественности на конференциях, семинарах и симпозиумах.

В первой главе описывается общая постановка задач ударного взаимодействия твердых тел, одно из которых – тонкое, используемые методы, начальные и граничные условия, их влияние на процесс решения, приводятся основные положения подходов к задачам динамического контакта с точки зрения фундаментальных исследований по механике деформируемого твердого тела и инженерных приложений в различных отраслях хозяйственной деятельности человека.

В §1 приводятся основные вехи в развитии теории удара с указанием имен и работ отечественных и зарубежных ученых, внесших наиболее весомый вклад в построение единой стройной теории. Указываются трудности, с которыми сталкиваются инженеры проектных и изыскательских организаций при постановке задачи, выборе расчетной модели, методов и средств расчета конструкций и их элементов, в том числе связанные с отсутствием достаточной нормативной базы для проведения полноценного анализа динамических задач. Для классификации существующих подходов может быть выбрано множество критериев: в данной работе основными считаются: контактная сила, действующая в месте взаимодействия тел, и уравнения движения точек мишени вне этой области. Здесь также указываются методы, наиболее подходящие для каждого подхода.

В §2 описываются все приведенные ранее подходы с указанием характерных особенностей в постановках задач и методах решения. В качестве модели, описывающей контактное взаимодействие тел, используются: модель Герца, упругопластические модели Кильчевского и Александрова-Кадомцева, линейно упругая, нелинейно упругая, вязкоупругая модели, а также некоторые иные модели. В качестве уравнений, описывающих динамическое поведение мишени, используются уравнения Бернулли-Эйлера и Тимошенко – для балок, Кирхгофа-Лява и Уфлянда-Миндлина – для пластинок, для оболочек уравнения рассматриваются также с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения поперечных сечений и без них.

В качестве определяющего в данной работе используется следующий подход: предполагается, что в результате поперечного удара по мишени в ней распространяются продольные и сдвиговые волны, фронты которых являются поверхностями сильного разрыва. Отметим, что в изотропной пластинке поверхности сильного разрыва представляют собой цилиндрические поверхности-полоски, образующие которых параллельны нормали к срединной поверхности, а направляющие, расположенные в срединной плоскости, представляют собой окружности, расширяющиеся с нормальными скоростями (рис.1). Для остальных типов мишеней вид волновых поверхностей определяется геометрией самой мишени и свойствами ее материала. Ударник моделируется как груз некоторой массы и буфер, свойства и геометрия бьющего конца которого определяет контактную силу в месте удара. В общем случае процесс ударного взаимодействия представлен на рис. 1.

Фактически выбор подхода зависит от начальной скорости взаимодействия тел, свойств их материалов, геометрии области контакта. После начала процесса взаимодействия практически во всех подходах перемещение ударника характеризуется известным функциональным уравнением

       ,        (1.1)

где - полное перемещение ударника, αimp(t), αtag(t)  – местные смятия материалов ударника и мишени в месте контакта соответственно, P(t) – контактная сила, m – масса ударника, t – время, отсчитываемое с момента соприкосновения ударника и мишени, t1 – переменная интегрирования.

При небольших скоростях удара (меньших или равных 5 м/с) считается, что местное смятие материала пластинки происходит квазистатическим образом, т.е. можно использовать результаты решения контактной задачи для случая статического взаимодействия тел. В случае больших скоростей необходимо учитывать динамическую составляющую контактного процесса.

В зависимости от рассматриваемого типа мишени волны поперечного сдвига и продольного растяжения-сжатия распространяются либо с бесконечно большой скоростью (балка Бернулли-Эйлера, пластинка Кирхгоффа-Лява), либо с конечной скоростью (балка Тимошенко, пластинка Уфлянда-Миндлина).

а) до взаимодействия

б) после взаимодействия

в) вид сверху

Рис. 1 Схема ударного взаимодействия твердого тела с буфером и мишени

В данной работе основными являются подходы, учитывающие влияние волновых явлений на деформирование контактирующих тел, т.е. используются волновые уравнения, описывающие динамическое поведение мишени.

Решение за фронтом волны сильного разрыва Σ строится при помощи лучевого ряда

       (1.2)

где Z – искомая функция, Z,(k) = ∂kZ/∂tk, , знаки «+» и «-» относятся к значениям производной Z,(k) , подсчитанным перед волновой поверхностью Σ и за ней соответственно, G – нормальная скорость волны Σ , Н(t-s/G) – единичная функция Хевисайда, s – длина дуги, отсчитываемая вдоль луча, t – время.

Если время протекания процесса очень мало, то в степенном ряде по времени и поверхностной координате (1.2) можно ограничиться только первым членом. В этом случае задача сводится к решению одного нелинейного дифференциального уравнения относительно величины, характеризующей местное смятие материалов пластинки и тела, или относительно контактной силы. Чтобы уточнить и детализировать решение, полученное этим способом, учитывают последующие члены лучевого ряда. Для этого определяющие уравнения контактирующего тонкого тела дифференцируют k раз по времени, записывают на различных сторонах волновой поверхности и берут их разность. Затем используют условие совместности

               (1.3)

где γ (γ = r, θ) – пространственные координаты, одна из которых направлена вдоль прямого луча, а другая является одновременно и поверхностной координатой на волновой поверхности, при этом обе координатные линии являются взаимно ортогональными, (,) – компоненты вектора нормали к волновой поверхности, δ /δ t – δ-производная по времени.

Другой модификацией метода асимптотических разложений является представление искомых функций в пространстве изображений в виде степенного ряда по полиномам Лежандра

       ,        (1.4)

где - некоторая функция, связывающая координату точки на мишени с размерами этой мишени, p – параметр пространства изображений.

Можно также использовать представление неизвестных функций в виде разложений в ряды по функциям Бесселя или численные методы совместно с программно-аппаратными вычислительными комплексами.

В §3 приводятся выводы о границах и условиях применимости тех или иных подходов и методов, а также демонстрируются их преимущества при решении практических задач с различной степенью точности.

Вторая глава посвящена методам решения задач ударного взаимодействия ударника и тонкой мишени. Большинство таких задач может быть разделено на две части: построение решений внутри контактной области (контактная задача) и вне ее (задача распространения волн). В случае использования аналитических методов можно получить искомые функции в виде конечных выражений, но при этом практически всегда необходимо использовать дополнительные условия, которые накладывают ограничения на область применения полученных результатов. При использовании численных методов и современных вычислительных комплексов можно уменьшить количество дополнительных условий, но при этом конечные характеристики динамического контакта тел будут представлены либо в виде таблиц, либо в виде графиков, что не позволит проектировщикам при решении практических задач пользоваться конечными формулами, а результаты предыдущих расчетов могут быть использованы только как тестовые данные. Поэтому различные методы и их группы нужно рассматривать в комплексе применительно к конкретной задаче.

В §1 проводится классификация методов решения внутри контактной области и вне ее. Для определения искомых функций часто используются асимптотические разложения в степенные ряды по функциям Бесселя (Филлипов А.П. 1971), полиномам Лежандра (1.4) (Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. 2002), по пространственной координате и времени (1.2) (Россихин Ю.А., Шитикова М.В., 1992). Для представления неизвестной нагрузки можно использовать двойные ряды Фурье по координате и времени (Malekzadeh K. et.al 2007), после определения входящих в них коэффициентов находится контактная сила и напряжение в различных точках многослойной пластинки. Поскольку в волновых уравнениях мишени присутствуют производные и по времени, и по поверхностным координатам, то для их замены используется преобразование Лапласа и условия совместности (Томас, 1961) соответственно. Результатом решения уравнений, описывающих динамическое поведение, является определение скоростей волн, неизвестных перемещений и напряжений (в зависимости от того, в каком базисе записаны первоначальные уравнения) с точностью до постоянных интегрирования. Они, в свою очередь, находятся при приравнивании решений, полученных внутри и вне контактной области на ее границе; также используются граничные условия. Для определения неизвестных величин в произвольных точках мишени можно использовать метод регуляризации асимптотических разложений (Россихин Ю.А., Шитикова М.В. 1994) или разложение искомых величин в ряды Лорана вблизи данной точки.

§2 посвящен лучевому методу, в нем приведены волновые уравнения, описывающие динамическое поведение упругой изотропной, вязкоупругой изотропной и упругой ортотропной пластинок с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Используя описанную в первой главе процедуру, из уравнений движения получим систему рекуррентных уравнений, которая для упругой изотропной пластинки примет вид:

                       

                       (2.1)

                       

где ω(k)=[βr,(k+1)], X(k)=[W,(k)],  b=KμhD -1, r = r0+Gt, ρ - плотность материала пластинки, r – полярный радиус, r0 – радиус буфера,         , , Е и σ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластинки соответственно, μ - модуль сдвига пластинки, – угловая скорость вращения нормали к пластинке в направлении r, W – скорость поперечных перемещений точек срединной плоскости (скорость прогиба), D = Е′h3/12– цилиндрическая жесткость, (i = 1,2) – функции, зависящие от скачков искомых величин k–1 – го и более низких порядков, точка над величинами означает производную по времени.

Для вязкоупругой изотропной пластинки система рекуррентных дифференциальных уравнений записывается следующим образом:

       (2.2)

где        – ядро релаксации, g (t) – функция релаксации для модели Максвелла,        – ядро релаксации в начальный момент времени.

Аналогичные соотношения для упругой ортотропной пластинки принимают вид:

       

       

где Dr - жесткость изгиба для направления r, Еr, Еθ и σr, σθ  - модули упругости и коэффициенты Пуассона для направлений r, θ , Grz – модуль сдвига в плоскости rz, w(r,θ) – нормальное перемещение срединной плоскости, φ (r,θ) – угол поворота нормали в направлении радиуса r.

Если рассматривать распространение термоупругих волн в мишени от нагретого ударника, то в систему (2.3) добавляются слагаемые, учитывающие температурные свойства мишени, и рекуррентное соотношение, полученное из уравнения теплопроводности гиперболического типа

               (2.4)

где , k – коэффициент теплоотдачи между пластиной и средой в месте нагрева, с – удельная теплоемкость, τq – время запаздывания в установлении теплового потока.

Если в качестве мишени рассматривать сферическую оболочку, то система рекуррентных определяющих уравнений примет вид

               (2.5)

Здесь , R1 – радиус оболочки.

В результате решения систем уравнений (2.1) – (2.5) находятся с точностью до произвольных постоянных интегрирования разрывы величин , и , которые являются коэффициентами лучевого ряда (1.2). Выражения для искомых функций W и Qr можно привести в виде лучевых рядов:

– для упругих изотропной и ортотропной пластинок

       ,        (2.6)

       ,        (2.7)

– для вязкоупругой изотропной пластинки (W определяется формулой (2.6))

,        (2.8)

– для термоупругой пластинки скорость изменения температуры определяется следующим степенным рядом

       ,        (2.9)

– для сферической оболочки к выражению (2.6) добавляются

       ,        (2.10)

, (2.11)

, (2.12)

где        , величины , и подсчитываются при yα=0, , и - растягивающие усилия в оболочке, индекс указывает на порядковый номер волны: =1 – квазипродольная волна, =2 – квазипоперечная, и - для упругой изотропной и вязкоупругой пластинок, и - для ортотропной пластинки; упругие модули, входящие в формулу (2.8), являются нерелаксированными.

Полученные лучевые ряды и скачки искомых величин используются в последующих главах при решении задач об ударном воздействии твердого тела на тонкую мишень.

В §3 решение системы уравнений, описывающих динамическое поведение мишени, предлагается искать в виде разложения в ряды по полиномам Лежандра (1.4), где искомая величина х может представлять собой любое линейное или угловое перемещение, входящее в первоначальную систему; для круглой пластинки , для сферической оболочки , R – радиус пластинки, φ 0 – угол раскрытия оболочки.

Нагрузка от сосредоточенной силы взаимодействия в месте контакта P(t) также представляется в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра

       ,        (2.13)

где r1 – координата точки, в которой происходит динамический контакт.

Выражения (1.4) и (2.13) подставляются в определяющие уравнения, и с учетом свойств ортогональности системы косинусов на отрезке [-π, π] получается система уравнений относительно . Для определения коэффициентов рядов (1.4) воспользуемся их представлением вблизи искомой точки в виде рядов Лорана

       ,        (2.14)

здесь , р – параметр Лапласа.

Выражения для вычисляются для конкретного места удара и точки определения неизвестных величин, т.е. r и θ принимают определенные значения. После обратного преобразования Лапласа перемещения можно записать как функцию времени, двух координат и силы воздействия на пластинку

В §4 описываются некоторые численные методы, используемые в задачах ударного взаимодействия, и процедуры для решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, полученных из уравнений движения точек мишени при помощи динамических условий совместности. В данной работе используется итерационная схема Тимошенко, реализованная на ЭВМ, которая предполагает, что в пределах одного интервала контактная сила изменяется линейно:

       ,        (2.16)

где τ - шаг интегрирования.

Результаты, полученные с помощью методов конечных и граничных элементов, используются только для сравнения полученных характеристик контактного взаимодействия.

В третьей главе содержатся результаты решения задач ударного взаимодействия твердого тела с линейно упругим буфером (§1), вязкоупругим буфером (§2, 3), нелинейно упругим буфером (§4) и упругой изотропной и вязкоупругой изотропной пластинкой с помощью многочленных лучевых разложений.

Для определения постоянных интегрирования в выражениях (2.6) – (2.8) необходимо составить систему уравнений, характеризующую поведение ударника и контактной области после начала взаимодействия. Движение ударника после его касания мишени описывается уравнением (1.1), уравнение движения контактной области имеет следующий вид:

       (3.1)

Зависимость контактной силы от местного смятия материала мишени принимает следующий вид:

для линейно упругой модели взаимодействия

       P(t)= E1 (α - w),        (3.2а)

для вязкоупругого буфера

               (3.2б)

для нелинейно упругого буфера

       P(t)= E1 (α - w)+E2 (α - w)3 ,        (3.2в)

где E1 и Е2 – упругие модули пружины, τ1 – время релаксации демпфера.

Для определения динамических характеристик удара к выражениям (1.1) и (3.1) необходимо добавить условие непрерывности тангенса угла наклона касательной при переходе через границу области контакта

               (3.2)

и начальные условия

       .        (3.3)

Величина местного смятия не определяется из решения системы уравнений, определяющих динамическое поведение мишени, – для нее необходимо использовать отдельное степенное разложение

       ,        (3.4)

где - пока неизвестные константы.

Подставляя формулы (2.6), (3.4) и (2.7) или (2.8), а также выражение для контактной силы в уравнения (1.1), (3.1), (3.2) и приравнивая в полученных соотношениях коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем на каждом шаге три алгебраических уравнения для определения трех неизвестных констант: две константы при каждом t входят в лучевые ряды W и Qr и одна константа при каждом t содержится в выражении (3.4). Зная перечисленные константы с учетом (3.3), можно определить контактную силу, которая записывается с точностью до t5 в следующем безразмерном виде:

– для упругой изотропной пластинки и линейно упругого буфера

       (3.5)

– для вязкоупругой изотропной пластинки и линейно упругого буфера

               (3.6)

– для упругой изотропной пластинки и вязкоупругого буфера

– для вязкоупругой изотропной пластинки и вязкоупругого буфера

       

               (3.8)

       

– для упругой изотропной пластинки и нелинейно упругого буфера

               (3.9)

– для вязкоупругой изотропной пластинки и нелинейно упругого буфера

       (3.10)

где , , , , , , , , , , - безразмерный параметр вязкости пластинки.

На рис. 2 исследуется зависимость безразмерной контактной силы от безразмерного времени и безразмерных параметров, входящих в выражения (3.5) – (3.10). На рис. 2а приводятся зависимости максимальной контактной силы от безразмерного параметра при различных значениях безразмерной скорости удара , указанных цифрами у кривых, при этом сплошной линией показаны значения максимальной контактной силы для стальной пластинки, а пунктиром – для алюминиевой. На рис. 2б показывается зависимость контактной силы от времени для различных значений параметра вязкости пластинки , которые указаны цифрами у кривых.

Остальные параметры принимают следующие значения: =25, σ = 0.3, =1, =1.1⋅10-6, =8.5⋅10-3. Рис. 2в и рис. 2г иллюстрируют зависимость контактной силы от времени при разных значениях безразмерных параметров и соответственно. На рис. 2д изображена нелинейная зависимость максимальной контактной силы от скорости удара: кривая 1 подсчитана при , кривая 2 – при , кривая 3 – при , кривая 4 – при (эта кривая соответствует линейно упругому буферу), кривая 5 – при , кривая 6 – при . На рис. 2е изображена зависимость максимальной контактной силы от обобщенного параметра нелинейно упругого буфера для разных параметров вязкости пластинки : кривая 1 подсчитана при , кривая 2 – при , кривая 3 – при , кривая 4 – при , кривая 5 – при .

Как показали исследования, максимум контактной силы увеличивается при увеличении безразмерного параметра , скорости удара и плотности материала пластинки (рис. 2а). Из рис. 2б можно увидеть, что максимальная контактная сила уменьшается с увеличением безразмерного параметра вязкости пластинки . При его неограниченном уменьшении кривая контактной силы бесконечно близко приближается к кривой, построенной для случая упругой пластинки.

а)        б)

в)        г)

д)        е)

Рис. 2 Зависимость контактной силы от различных параметров взаимодействия

При воздействии на пластинку массивного тела () контактная сила увеличивается, при воздействии легкого тела значение контактной силы уменьшается по сравнению со значениями на кривой, соответствующими равным массам контактной области и ударника (рис. 2в). Максимальная безразмерная контактная сила уменьшается с уменьшением безразмерного времени релаксации, при неограниченном увеличении времени кривая контактной силы приближается к кривой, которая соответствует максимальной контактной силе линейно упругого буфера (рис. 2г). При увеличении K (для жестких нелинейных характеристик буфера) максимум контактной силы увеличивается, а при уменьшении K (для мягких нелинейных характеристик буфера) – уменьшается по сравнению с максимумом для линейно упругого буфера (рис. 2д). Из рис. 2е видно, что с уменьшением обобщенного параметра нелинейно упругого буфера контактная сила уменьшается. Как следует из рис. 2е, при увеличении параметра максимальные значения контактной силы уменьшаются для любых K и характеристика нелинейности смягчается.

Для мягких нелинейных характеристик (К < -1.59⋅10-6) максимальная контактная сила уменьшается, для жестких характеристик (К > -1.59⋅10-6) максимальная контактная сила увеличивается по сравнению с контактной силой для линейно упругого буфера, которому соответствует значение К = -1.59⋅10-6.

В главе 4 рассматриваются вязкоупругая и упруго-пластическая модели взаимодействия ударника и пластинки. В §1 описывается постановка задачи, а для представления неизвестных величин используется первый член лучевых рядов (2.6) – (2.8), что позволяет избежать разложения в ряд экспоненциальной функции ядра релаксации. Также в этом случае можно обойтись без граничного условия (3.2).

В §2 рассматривается контакт ударника с вязкоупругим элементом Максвелла и упругой изотропной пластинки. Из определяющих уравнений для мишени при предположении абсолютной твердости контактного диска и учете только нулевых членов ряда (1.2) можно получить не только скорость сдвиговой волны, но и динамическое условие совместности для перерезывающей силы и скорости прогиба:

       .        (4.1)

Подставляя в уравнения (1.1) и (3.1) выражения (3.2б) и (4.1), получим систему интегро-дифференциальных уравнений относительно α и w, которая в пространстве Лапласа примет вид:

               (4.2)

Решая данную систему, находим выражения для смятия и прогиба мишени в пространстве изображений. Для перехода к оригиналам необходимо решить характеристическое уравнение

       (4.3)

в котором . Данное уравнение может иметь два комплексно сопряженных и один действительный корень или три действительных корня. В зависимости от этого будут меняться конечные выражения для прогиба и местного смятия и, соответственно, для контактной силы.

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим численный пример и исследуем зависимость контактной силы от вязкоупругих свойств ударника. Параметры взаимодействия в примере принимают следующие значения: m=10г, h=13мм, V0=10м/с, Е1=250кН/м. На рис. 3а построены зависимости контактной силы от времени для различных значений времени релаксации вязкоупругого элемента, которые указаны цифрами у кривых. На рис. 3б представлены зависимости контактной силы от времени для следующих частных случаев динамического взаимодействия: 1) ударник является упругим телом; полагая τ→∞, получим кривую 1 для упругой контактной силы; 2) пренебрегая инерцией контактного пятна (в уравнении (3.1) отсутствует левая часть), получим кривую 2 при τ=0.001; 3) пренебрегая инерцией контактной области и считая ударник упругим, получим зависимость 3; кривая 4 построена для общего случая вязкоупругого ударника при τ=0.001; кривая 5 построена при учете 5-ти членов лучевого ряда (1.2).

а)        б)

Рис. 3 Зависимость контактной силы от времени

В §3 рассматриваются следующие модели контакта для сферического ударника:

– упругая модель Герца

       ,        (4.4)

– упругопластическая модель Александрова-Кадомцева

               (4.5)

– упругопластическая модель Кильчевского:

               (4.6)

где , , , , m – наименьшая из пластических констант взаимодействующих тел, , λ=5.7, , , , , , , , σ1 – коэффициент Пуассона ударника, E1 – модуль упругости ударника.

Используя выражения (1.1), (3.1) и (4.1), приходим к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно α и Р:

       .        (4.7)

После подстановки выражений (4.4)-(4.6) в формулу (4.7) получаем интегро-дифференциальные уравнения относительно контактной силы, которые решаются численно с помощью ЭВМ и итерационной схемы, описанной в главе 2.

На рис. 4а кривые 1, 2, 3 построены при использовании соотношений (4.4), (4.5) и (4.6) соответственно, а кривая 4 взята у Голдсмита, начальная скорость удара 10 м/с. На рис. 4б кривые 1,2 соответствуют 20 м/с, кривые 3, 4 - 15 м/с, кривые 5,6 - 10 м/с, кривые 1, 3, 5 были посчитаны при помощи соотношений (4.4), а кривые 2, 4, 6 - при помощи соотношений (4.5). Из рис. 4а видно, что модель (4.5) дает наилучшее приближение к результату эксперимента и что при скоростях 10 м/с упругопластические свойства мишени заметно влияют на контактную силу. Из рис. 4б следует, что при увеличении начальной скорости воздействия разница между значениями максимальных контактных сил, полученных при использовании зависимостей (4.4) и (4.5), растет.

а)        б)

Рис.4 Зависимость контактной силы от времени

§4 содержит численные исследования полученных аналитических выражений для контактной силы, при этом параметры конструкции принимаются как в некоторых экспериментальных исследованиях, после сравнения делаются выводы о влиянии параметров взаимодействия и модели на точность решения.

В пятой главе рассматривается динамический контакт ударника и ортотропной пластинки, обладающей криволинейной анизотропией. В §1 исследуется влияние анизотропии на динамический прогиб и контактную силу, выражения в безразмерном виде для которых получаются после подстановки (2.6), (2.7), (3.4) и (3.2а) в систему уравнений (1.1), (3.1) и (3.2):

       (5.1)

где , , .

На рис.5а приведены зависимости максимального прогиба от соотношения для различных значений : кривая 1 – для =3.4⋅10-6, кривая 2 – для =2.3⋅10-6, кривая 3 – для =1.1⋅10-6; другие параметры в расчетах принимают следующие значения: =25, =1, =8.5⋅10-3. На рис. 5б показаны зависимости максимального прогиба от соотношения скоростей скачков сильного разрыва , которое пропорционально отношению для различных значений , указанных цифрами у кривых.

Анализируя рис. 5а,б, можно сделать вывод об уменьшении максимального прогиба при увеличении соотношений и , а также о том, что максимальный прогиб увеличивается при увеличении линейной жесткости буфера .

В §2 исследуется влияние термоупругих свойств ортотропной пластинки на контактную силу и динамический прогиб, определяются параметры температурной волны с помощью многочленных лучевых разложений, как и в §1.

а)        б)

Рис. 5 Зависимость динамических характеристик от параметров анизотропии

На рис. 6а и на рис. 6б приведены зависимости контактной силы и динамического прогиба соответственно от времени для различных значений обобщенного температурного коэффициента аТ, которые указаны цифрами у кривых. Кривые при аТ = 0 соответствуют ударному воздействию без учета распространения тепла. Остальные параметры изучаемой конструкции принимают следующие значения: m = 0.3 кг, r0=100 мм, h=200 мм, E1=25 кН/м, ГПа, V0 =10 м/с, , кг/м.

а)        б)

Рис. 6 Зависимость динамических характеристик от температурного коэффициента

Из рис. 6а,б видно, что увеличение температурного коэффициента, т.е. увеличение температуры ударника, приводит к росту динамического прогиба и контактной силы в месте взаимодействия. Также можно увидеть, что изменение аТ сильнее влияет на динамический прогиб, чем на контактную силу.

Из анализа полученных зависимостей следует, что температурная волна опережает упругие ударные волны, процессы распространения тепла в мишени вначале влияют на продольную волну растяжения-сжатия и, только при последующих приближениях, на поперечную волну сдвига. Процесс распространения тепла в мишени значительно влияет на динамические характеристики контактного взаимодействия: при учете распространения термоупругой волны динамический прогиб в месте контакта и контактная сила увеличиваются, но сила увеличивается менее интенсивно.

В §3 рассматривается математическое моделирование ударного воздействия шара на ортотропную пластинку, обладающую криволинейной анизотропией и предварительно-напряженную продольной силой N, изгибающим Mr и крутящим Mz моментами. Исследуется влияние предварительного напряжения на скорости распространения продольных и поперечных волн, на контактную силу и динамический прогиб. Принимаются во внимание пять уравнений движения для трех линейных и двух угловых перемещений мишени, поскольку удар является неосесимметричным.

Для определения скоростей упругих волн с учетом внешних сил определяющие уравнения дифференцируются k раз по времени, записываются в скачках неизвестных величин на волновой поверхности, и для перехода от производных по поверхностным координатам к производным по времени используется условие (1.3); Z принимает значения ϕ, ψ, w, u, v; величина γ принимает значения r, θ . Используя процедуру, описанную в главе 3, от полученных уравнений при k = -1 приходим к системе относительно перемещений и скоростей волн. Результат решения данной системы представлен на рис. 7 в виде графических зависимостей .

На рис. 7а изображены графические зависимости скоростей упругих волн от внешней продольной силы. Номера 1, 2 соответствуют продольным волнам растяжения-сжатия, распространяющимся в направлениях r и θ соответственно, номер 3 соответствует волне сдвига продольных сечений в плоскости rθ , номера 4, 5 соответствуют поперечным волнам сдвига в плоскостях rz, θz соответственно. Видно, что сила N практически не влияет на скорости продольных волн 1 и 2, связанных с перемещениями φ, ψ , и существенно влияет на скорости поперечных волн 3,4,5. Если увеличивать внешнюю сжимающую продольную силу, то скорости поперечных волн уменьшаются до нуля, т.е. волны запираются. Если же увеличивать внешнюю растягивающую силу, то скорости волн растут, т.е. волны разгоняются, причем скорость пятой волны увеличивается до некоторого критического значения, определяемого свойствами материала мишени.

На рис. 7б представлены графические зависимости скоростей упругих волн от внешнего изгибающего момента. Изгибающий момент Mr на скорости волн, связанных с перемещениями u, v, оказывает практически одинаковое влияние. При увеличении абсолютного значения момента поперечные волны запираются, продольные волны практически не зависят от значения Mr.

       а)

б)

в)

Рис.7 Зависимость скоростей волн от предварительно приложенных усилий

Для определения контактной силы и динамического прогиба пластинки в месте ударного взаимодействия система определяющих уравнений записывается в пространстве Лапласа. Для ее решения используется схема, описанная в §3 третьей главы и основанная на использовании разложений неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра и в ряды Лорана. После подстановки выражений для прогиба мишени в заданной точке, т.е. при фиксированных значениях координат r, θ , и местного смятия в уравнение (1.1) получим нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно контактной силы, которое можно решить, используя итерационную схему, описанную в §4. Результаты решения этого уравнения представлены на рис. 8 в виде графических зависимостей контактной силы и динамического прогиба от времени для различных значений предварительных усилий.

На рис. 8а и на рис. 8б показаны зависимости от времени контактной силы и прогиба соответственно. Кривая 1 построена при отсутствии предварительного напряжения пластинки, кривые 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответствуют следующим значениям начальных внешних усилий: , , , , , , неуказанные усилия при построении данных кривых принимались равными единице. Из рис. 8а видно, что наибольшее влияние на контактную силу оказывает внешний крутящий момент (кривая 7), знак которого не влияет на значение силы взаимодействия; растягивающая продольная сила уменьшает контактную силу (кривая 2) менее интенсивно, чем сжимающая продольная сила увеличивает контактную силу (кривая 3). В случае, когда происходит запирание поперечной волны (кривая 4), контактная сила существенно возрастает, а время возникновения ее максимума уменьшается. Из рис. 8б следует, что наибольшее влияние на прогиб оказывает внешняя продольная сила, которая в случае сжатия (кривая 3) существенно увеличивает прогиб, а в случае растяжения (кривая 2) - уменьшает его, но не так интенсивно. В случае запирания поперечной волны прогиб быстро нарастает (кривая 4). Внешний крутящий момент (кривая 7) мало влияет на прогиб мишени, внешний же изгибающий момент оказывает большее воздействие на прогиб, причем, в зависимости от своего знака, он может как уменьшать его, так и увеличивать.

В §4 определяются напряжения на фронтах упругих волн в различных точках ортотропной пластинки. Процесс распространения волновых поверхностей условно можно разделить на четыре этапа:

1) После динамического контакта от области взаимодействия отрываются и начинают распространяться по всем направлениям продольные и поперечные волны (рис. 9), количество которых зависит от динамических уравнений мишени; отражаясь от нижней поверхности пластинки, они взаимодействуют между собой. Наиболее интересно определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, в местах взаимодействия прямых и отраженных волн, особенно в тех точках, где встречается большое количество фронтов отраженных волн.

а)        б)

Рис. 8 Зависимость динамических характеристик от времени для различных значений предварительных напряжений

2) После некоторого количества отражений k фронты волн отдаляются от контактной области и из сферических становятся цилиндрическими (рис. 9); это будет происходить на расстоянии от места удара, т.е. появление в пластинке цилиндрических волн-полосок возможно при соблюдении следующего условия

       .        (5.3)

Для этого этапа характерно, что напряжения на фронтах цилиндрических волн тем больше, чем они ближе к контактной области.

3) Упругие волны отражаются от границ пластинки и взаимодействуют с прямыми волнами, при этом возможно появление значительных напряжений недалеко от точек крепления.

4) Отраженные от границ пластинки цилиндрические волны доходят до контактной области и взаимодействуют с существующими там сферическими волнами, при этом возможно появление достаточно больших напряжений под областью контакта.

На рис. 9 приняты следующие обозначения: I – ударник, FR – фрагмент пластинки, V – скорость падения ударника, h – толщина пластинки, α - местное смятие в зоне контакта. Сплошные круговые линии обозначают фронт продольной волны, а пунктирные – поперечной; стрелками указано направление распространения волн.

Наиболее интересно определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, которая лежит на жестком основании, в местах взаимодействия прямых и однократно отраженных волн от нижней и боковой поверхности плиты, а также в точках взаимодействия многократно отраженных волн от верхней и нижней границы мишени. Отраженные от нижней поверхности пластинки волны взаимодействуют с прямыми волнами на расстоянии . Отраженные от края мишени цилиндрические волны встречаются с прямыми на расстоянии . Первый индекс у величины r обозначает номер отраженной волны, второй индекс – номер прямой волны, Gi – скорость соответствующей волны.

Рис. 9 Схема распространения волн в пластинке

Для иллюстрации полученных результатов приведем графические зависимости максимальных напряжений от времени в зоне контакта и на нижней поверхности пластинки для всех волн (рис. 10а); максимальных напряжений от времени в точках взаимодействия 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4 волн (рис. 10б); максимальных напряжений в точке под областью контакта от расстояния для различных соотношений Grz/Er с учетом взаимодействия отраженных волн от нижней и верхней поверхности пластинки (рис. 10в); максимальных напряжений в точках взаимодействия прямых и отраженных от границ пластинки цилиндрических волн (рис. 10г). Кривые на рис. 10а,б, полученные для зоны контакта, обозначаются ca, для нижней поверхности пластинки – bs, цифры у кривых определяют номера волн, двузначные числа – номера отраженной и прямой волн. На рис. 10в,г цифры у кривых обозначают соответствующее значение отношения Grz/Er. Пунктиром показана кривая зависимости напряжения от расстояния при отсутствии отраженных упругих волн.

Из рис. 10а видно, что максимальное напряжение в рассмотренных вариантах возникает непосредственно в месте контакта. Наибольшие напряжения на фронтах волн в точке на нижней поверхности мишени и время их возникновения зависят от упругой характеристики материала в данном направлении, т.е. чем больше модуль упругости или сдвига, тем больше значение максимального напряжения, меньше время до появления максимума и тем интенсивнее убывает зависимость напряжения после прохождения своего пика.

Анализируя графические зависимости, представленные на рис. 10б, можно сделать вывод, что наибольшее напряжение возникает в точке взаимодействия продольной волны в направлении r и поперечной волны в плоскости rz, т.е. на суммарное напряжение большее влияние оказывает поперечная волна в направлении большего модуля сдвига. Касательные напряжения в плоскости пластинки существенно влияют на напряжения, хотя удар является поперечным. При взаимодействии двух продольных волн наблюдается два экстремума напряжений, и результирующая величина уменьшается медленнее, чем при остальных комбинациях взаимодействующих прямой и отраженной волн.

а)        б)

в)        г)

Рис. 10 Зависимость максимальных напряжений от времени и пройденного волной расстояния

Из рис. 10в видно, что при учете отражения волн от верхней и нижней поверхности пластинки появляются локальные пологие максимумы и минимумы для расстояний, пройденных упругими волнами и кратных . Появление локальных экстремумов обусловлено разницей в скоростях волн. Когда расстояние между волнами становится кратным h, часть волн компенсируют друг друга, поскольку их фронты направлены навстречу друг другу. Если же расстояние между волнами кратно 2h, то происходит увеличение суммарного напряжения на фронтах волн. Пунктирная кривая на рис.10в позволяет оценить количественно вклад наложения отраженных волн с разницей пробегов h и 2h.

На рис. 10г приведены зависимости наибольших напряжений от расстояния, пройденного волнами вдоль пластинки, с учетом взаимодействия прямых и отраженных от внешнего края волн для различных соотношений Grz/Er. Видны локальные максимумы вблизи внешней границы пластинки в точке взаимодействия фронтов волн. При увеличении значения отношения упругих характеристик в поперечном и продольном направлении напряжения убывают более интенсивно, а экстремумы в местах взаимодействия отраженных волн становятся круче.

В шестой главе рассматривается шарнирно-опертый круговой сектор сферической оболочки, испытывающий нормальное ударное воздействие упругого цилиндрического тела, с учетом распространения продольных волн, которые влияют на деформацию мишени вне области контакта (рис. 11). В качестве метода решения используется лучевой метод, описанный в §2 главы 2, а также процедура сращивания асимптотических решений, полученных в зоне контакта и вне ее (глава 3).

Рис. 11 Схема ударного взаимодействия ударника и сферической оболочки

В §1 строятся отрезки лучевых рядов для неизвестных величин на основании выражений (2.6), (2.10) – (2.12). В §2 происходит сращивание решений вне контактной области на основе лучевых представлений неизвестных величин и решений внутри области контакта на основе уравнения движения ударника (1.1) и контактного пятна

       .        (6.1)

После определения постоянных интегрирования контактную силу и динамический прогиб записываются в виде:

       

               (6.2)

       

       .        (6.3)

где , , .

Используя соотношения (6.2), (6.3), в §3 построены зависимости контактной силы (рис. 12а,б) и динамического прогиба (рис. 12в,г) от времени для стальной (сплошные линии) и алюминиевой (пунктирные линии) оболочек для различных толщин мишени (рис. 12а,в) и радиусов оболочки (рис. 12б,г), значения которых указаны цифрами у кривых. Толщина мишени приводится в миллиметрах, а ее радиус – в метрах.

Из рис. 12а видно, что величина максимальной контактной силы увеличивается с увеличением толщины мишени, при одинаковых значениях максимум контактной силы для пластинки, выполненной из более твердого материала (сталь), больше максимума контактной силы для пластинки из более мягкого материала (алюминий). Кривая зависимости контактной силы от времени несимметрична относительно своего максимума. При линейно упругой контактной силе треть времени контакта графики ведут себя линейно и углы наклона касательной ко всем кривым совпадают. Это объясняется тем, что на первом этапе значительное влияние оказывает первое слагаемое соотношения (6.2). Рис. 12б демонстрирует нелинейное уменьшение максимального значения контактной силы при увеличении радиуса оболочки. Из рис. 12в видно, что при уменьшении толщины мишени максимальное значение прогиба увеличивается, также увеличивается разница между значениями w для стальной и алюминиевой оболочки, т.е. при увеличении толщины свойства материала оказывают меньшее влияние на динамический прогиб. При увеличении радиуса оболочки прогиб нелинейно увеличивается (рис. 12г), стремясь к максимальному значению, соответствующему случаю, когда мишенью является пластинка.

а)        б)

в)        г)

Рис. 12 Зависимость от времени: а), б) контактной силы;

в), г) динамического прогиба

Основные результаты и выводы

1) В рамках волновой теории удара доработана методика, хорошо приспособленная для описания кратковременных процессов и позволяющая учесть при расчете волновые явления в мишени, ее геометрические и реологические свойства, различные модели контакта взаимодействующих тел, граничные и начальные условия. Это подтверждается наилучшим приближением полученных результатов к результатам экспериментов при использовании волнового подхода.

2) Доказано, что, изменяя упругие, вязкоупругие и нелинейно-упругие свойства буфера, используемого в качестве средства противоударной защиты, можно добиться уменьшения динамических характеристик удара. Причем наибольшее влияние на них оказывают вязкоупругие свойства буфера, при некотором значении которых ударник не совершает отскока от мишени; контактная сила в месте взаимодействия при этом существенно уменьшается. Нелинейные свойства ударника могут как увеличивать максимальную контактную силу (при жесткой характеристике нелинейности), так и уменьшать ее (при мягкой характеристике нелинейности) по сравнению со значением для линейно-упругого ударника.

3) Показано, что вязкоупругие свойства буфера доминируют в начале процесса ударного взаимодействия тела с вязкоупругой пластинкой, а вязкость пластинки начинает оказывать влияние в конце первой половины процесса взаимодействия. При скоростях, больших 10 м/с, упругопластические свойства контакта заметно влияют на силу взаимодействия.

4) В ходе проведения исследований установлено, что при учете распространения термоупругой волны динамический прогиб в месте контакта и контактная сила увеличиваются, но сила увеличивается менее интенсивно. Процесс распространения тепла может существенно влиять на динамические характеристики удара.

5) Численный анализ полученных зависимостей показал, что при увеличении толщины мишени, плотности и модуля упругости ее материала максимальная контактная сила увеличивается, а максимальный динамический прогиб уменьшается. При увеличении радиуса кривизны и размеров мишени контактная сила уменьшается, а динамический прогиб увеличивается.

6) Установлено, что максимальное напряжение при ударе возникает непосредственно в месте контакта. Наибольшие напряжения на фронтах волн и время их возникновения зависят от упругой характеристики материала в данном направлении, т.е. чем больше модуль упругости или сдвига, тем больше значение максимального напряжения, меньше время до появления максимума и тем интенсивнее убывает зависимость напряжения после прохождения своего пика.

7)  Доказано, что на суммарное напряжение в месте взаимодействия прямых и отраженных волн большее влияние оказывает поперечная волна в направлении большего модуля сдвига. Продольный сдвиг в плоскости пластинки может существенно влиять на напряжения, даже если удар является поперечным. Наиболее вероятные места возникновения наибольших напряжений в конструкциях, испытывающих ударное воздействие, – контактная область, точки под ней на всю толщину конструкции с шагом, зависящим от скоростей взаимодействующих волн, и места вблизи точек крепления.

8) Использование предложенной методики показало, что внешняя продольная сила существенно влияет на скорости поперечных волн, запирая их, если она сжимающая, и разгоняя - если растягивающая. При увеличении абсолютных значений внешних изгибающего и крутящего моментов поперечные и продольные волны, соответственно, запираются.

9) Доказано, что внешняя растягивающая сила уменьшает максимум контактной силы в месте взаимодействия, остальные внешние усилия увеличивают ее. Динамический прогиб уменьшается при действии на пластинку внешней растягивающей силы и изгибающего момента, который растягивает верхние волокна мишени. Наибольшее влияние на прогиб оказывает внешняя сжимающая сила.

10) Развивая предложенную методику и полученные результаты, можно сделать вывод, что, выбирая непрямолинейную форму поверхностей мишени, можно добиться уменьшения напряжений в местах взаимодействия прямых и отраженных волн за счет их рассеяния. При использовании предварительно-напряженной мишени можно добиться локализации дефектов, появляющихся после удара, за счет запирания волн.

11) Показано, что анизотропия в плоскости мишени влияет на динамические характеристики удара значительнее, чем в перпендикулярной плоскости. Увеличение упругих характеристик материала мишени в тангенциальном и нормальном к срединной поверхности мишени направлениях существенно влияет на контактную силу и динамический прогиб.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография:

1. Локтев А.А. Динамический контакт ударника и пластинки с учетом волновых процессов. М.: Компания Спутник +. 2007. 116 с.

Статьи:

2. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев А.А. Расчёт тонкой плиты на ударное воздействие // Сб. науч. тр. Международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж: ВГУ. 2002. С. С. 622-634.

3. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V., Loktev A.A. The analysis of thin-walled building structures subjected to impact excitation // Proceedings of the 4th International PhD Symposium in Civil Engineering, Munich, Germany. Vol.1. 2002. P.487-492.

4. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев А.А. Расчёт вязкоупругой пластинки на ударное воздействие // Объединенный научный журнал. № 20(78). 2003. С. 60-67.

5. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V., Loktev A.A. The analysis of a thin viscoelastic plate subjected to impact excitation // Proceedings of the 6th International Conference on Vibration Problems ICOVP-2003, Liberec, Czech Republic. 2003. P.40-46.

6. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев А.А. Удар твердого тела о трансверсально изотропную пластинку посредством буфера // Сб. науч. тр. Международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж: ВГУ. 2004. С. 424-427.

7. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев А.А. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия // Известия вузов. Строительство. № 11. 2004. С.16-22.

8. Локтев А.А. Упругий поперечный удар по круглой ортотропной пластинке // Письма в журнал технической физики. Том 31, В.18. 2005. С. 4-9.

9. Локтев А.А. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропной пластинки // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 11 N 4. 2005. С. 478-492.

10. Локтев А.А. Волновой подход при расчете плиты на ударное воздействие // Сб. науч. тр. Международной научно-технической конференции «Научная работа в университетских комплексах», М.: Машиностроение. 2005. С. 55-60.

11. Локтев А.А. Упругий удар противовеса лифта по перекрытию // Тр. Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2005. С. 185-188.

12. Локтев А.А. Исследование нелинейности ударника на процесс ударного взаимодействия твердого тела и тонкой пластинки // Сб. тр. Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления». СПб.: СПбГУ. 2005. С. 1283-1292.

13. Локтев А.А., Локтева И.А. Проверка локальной прочности плиты в месте ударного воздействия // Тр. 1-го Международного форума молодых ученых (6-ой международной конференции). Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Ч.3,4., 12-15 сентября 2005г. Самара. 2005. С. 51-54.

14. Локтев А.А., Локтева И.А. Упругопластический контакт стержня и тонкой пластинки // Тр. 2-го Международного форума молодых ученых (7-ой международной конференции). Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Ч.1-3., 20-23 ноября 2006г. Самара. 2006. С. 186-190.

15. Loktev A.A., Lokteva I.A. Еlastoplastic impact of the sphere upon the nonclassical plate // Proceeding of 1st International Congress of Serbian Society of Mechanics, 10-13th April, Kopaonik , Serbia. 2007. C. 264-269.

16. Локтев А.А. Удар вязкоупругого тела по упругой изотропной пластинке // Механика композиционных материалов и конструкций, Т. 13. N 3. 2007. C. 170-178.

17. Loktev A.A., Lokteva I.A. Viscoelastic and elastoplastic models of impact solid body on an Uflyand-Mindlin plate // Prosseding of III ECCOMAS Thematic Conference Smart Structures and Materials, 9-11 July. Gdansk, Poland. 2007. P. 154-168.

18. Локтев А.А. Ударное взаимодействие вязкоупругого тела и пластинки Уфлянда-Миндлина // Вестник Воронеж. гос. универ. Серия: Физика. Математика. № 1. 2007. С. 167-173.

19. Локтев А.А., Локтева И.А. Упругопластическая модель взаимодействия ударника со сферическим бойком и пластинки // Сборник статей 15-й зимней школы по механике сплошных сред, Ч.2. Пермь. 2007. С. 96-99.

20. Локтев А.А. Упругопластическая модель взаимодействия цилиндрического ударника и пластинки // Письма в журнал технической физики. Том 33, В.16. 2007. С. 72-77.

21. Локтев А.А., Локтев Д.А. Решение задачи ударного взаимодействия твердого тела и сферической оболочки лучевым методом // Вестник Воронеж. гос. универ. Серия: Физика.Математика. № 2.2007. С. 128-135.

22. Локтев А.А. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн // Прикладная математика и механика. Т.72.В.4. 2008. С. 652-658.

23. Локтев А.А., Локтев Д.А. Поперечный удар шара по сфере с учетом волны в мишени // Письма в журнал технической физики. Т.34, В.22. 2008. С. 21-29.

24. Локтев А.А., Локтев Д.А. Неосесимметричный динамический контакт твердого тела и ортотропной неклассической пластинки // Сборник трудов Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы», 12 ноября 2008г. М.:МГСУ. 2008 С. 214-224.

25. Локтев А.А., Локтев Д.А. Определение напряжений на фронтах ударных волн в ортотропной пластинке // Научные труды двенадцатой межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов, М.: МГСУ, 15-22 апреля. 2009. С. 472-479.

26. Локтев А.А., Локтев Д.А. Влияние предварительных напряжений на скорости упругих волн в ортотропной пластинке // Сборник трудов Второй Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы», 18 ноября 2009г. М.:МГСУ, 2009. С. 228-232.

27. Локтев А.А., Локтев Д.А. Численные и аналитические методы в динамических задачах прикладной механики // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе», 16-17 ноября. М.: МФЮА, 2009. С. 91-96.

28. Локтев А.А., Локтев Д.А. Влияние предварительных напряжений ортотропной пластинки на динамические характеристики ударного воздействия // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова, 15-19 февраля. М.:МАИ, 2010. С. 119-120.

29. Локтев А.А., Черников И.Ю. Расчет упругой изотропной пластинки на ударное воздействие // Труды VII Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве», 31 марта. М.: МГСУ, 2010. С. 196-201.

30. Локтев А.А., Залетдинов А.В. Математическое моделирование процесса распространения от точечного источника упругих волн в пластинке с помощью фракталов // Труды VII Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве», 31 марта. М.: МГСУ, 2010. С. 183-190.

31. Локтев А.А., Локтев Д.А. Решение задачи ударного взаимодействия упругого тела и пластинки Уфлянда-Миндлина с помощью лучевого метода / Вестник МГТУ им. Баумана. Серия Естественные науки. N2(37). 2010. С. 94-102

ЛОКТЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

ДИНАМИЧЕСКИЙ КОНТАКТ УДАРНИКА

И ТОНКИХ ТЕЛ С УЧЕТОМ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 01.02.04

Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Подписано в печать 18.06.10.  Тираж 150 экз.

Формат бумаги 60х84/16 Объем 1,5 п.л. Заказ №138

127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр.9,ГСП-4, Типография МИИТа






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.