WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Туляков Дмитрий Николаевич

Асимптотики решений рекуррентных соотношений

01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В. П. Спиридонов, доктор физико-математических наук И. И. Шарапудинов, доктор физико-математических наук, А. А. Шкаликов.

Ведущая организация: Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского.

Защита состоится 10 марта 2011 года в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан “ ” 2011 года.

Учёный секретарь Диссертационного совета Д 002.022.доктор физико-математических наук, профессор В. А. Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К рекуррентным соотношениям fn + 1,nfn-1 + · · · + k,nfn-k = 0, n = k, k + 1,..., (1) связывающим между собой элементы последовательности {fn}, приn=водят многие задачи анализа и теории чисел. В частности, индукцией по n легко проверяется, что последовательности числителей {pn} и n=знаменателей {qn} числовой непрерывной дроби n=aa0 + ab1 + b2+...

связаны между собой соотношениями pn = bnpn-1 + anpn-2, qn = bnqn-1 + anqn-2, n = 1, 2,..., и удовлетворяют следующим начальным условиям: p-1 = 1, p0 = a0 и q-1 = 0, q0 = 1.

Рекуррентные соотношения являются одним из древнейших математических объектов. С ними связаны непрерывные дроби, алгоритм Эвклида, числа Фибоначчи и другие математические артефакты. Рекурсии, возникающие при разложении некоторых классов аналитических функций в непрерывные дроби, впервые появились в работах Эйлера, а Гаусс разложил в непрерывную дробь отношение гипергеометрических функций. Исследования по теории непрерывных дробей и рекуррентных соотношений таких великих математиков, как Якоби, Риман, Стилтьес, Чебышев, Эрмит, Марков, Пуанкаре, Рамануджан, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Понятие рекуррентных соотношений не потеряло своей актуальности и в наше время.

Со второй половины 20-го века наблюдается новый рост интереса к рекуррентным соотношениям в связи с непрерывными дробям и конструкциями рациональных аппроксимаций аналитических функций. Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Эрмита, а затем Адамара и Паде, и получили общее название аппроксимаций Паде. Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом процесса обработки данных, определяющих аналитическую функцию. Другим современным приложением рекуррентных соотношений является теория разностных уравнений, особенно в случае, когда разностное уравнение появляется как результат аппроксимации дифференциального уравнения при численном решении последнего.

Теория асимптотик решений рекуррентных соотношений, включающая в себя асимптотическую теорию ортогональных многочленов и их обобщений, тесно связана с вопросами сходимости непрерывных дробей, рациональных аппроксимаций; другая область применения спектральные задачи разностных операторов, задача рассеяния. Среди многочисленных работ, внёсших за последнее время существенный вклад в развитие асимптотической теории рациональных аппроксимаций, ортогональных многочленов и рекуррентных соотношений, отметим работы А. Аптекарева, В. Буслаева, В. Буярова, А. Гончара, В. Данченко, В. Дзядыка, В. Калягина, Е. Никишина, В. Прохорова, Е. Рахманова, В. Сорокина, П. Суетина, С. Суетина, И. Шарапудинова, Б. Беккермана, В. Ван Аше, Р. Варги, Д. Геронимо, П. Дейфта, А. Куэлаарса, Г. Лопеса, Д. Любинского, А. Мартинеса, Дж. Наттолла, Э. Саффа, В. Тотика, Г. Шталя.

Нетрудно проверить, что всякая последовательность {fn}, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (1) с постоянными (не зависящими от n) коэффициентами 1,..., k, может быть записана в следующем явном виде m j-fn = n(Cj,1 + · · · + Cj,l nl ), n n0 - k (2) j j j=где 1,..., m корни характеристического многочлена h(z) = zk + 1zk-1 + · · · + k кратностей l1,..., lm соответственно, l1 + · · · + lm = k.

Из явного вида (2) последовательности {fn} следует, что если корn=ни характеристического многочлена h(z) различны по модулю, то существует предел lim fn+1/fn, и этот предел равен одному из корней харакn теристического многочлена. Оказывается, что это утверждение имеет место не только для рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, но и для рекуррентных соотношений с предельно постоянными коэффициентами, когда найти явный вид последовательности не представляется возможным. Соответствующее утверждение составляет содержание теоремы Пуанкаре – одной из самых тонких в теории рекуррентных соотношений.

Теорема (Пуанкаре1). Пусть последовательность {fn} удовлетвоn=ряет рекуррентному соотношению (1) с предельно постоянными коэффициентами, корни характеристического многочлена h(z) = lim zk + 1,nzk-1 + · · · + k,n (3) n H. Poincare, Sur les equations lineaires aux differentielles et aux differences finies// Amer. J. Math., 1885, v. 7, 203–258.

которого различны по модулю. Тогда либо fn = 0 при всех n n0, либо существует предел lim fn+1/fn, и этот предел равен одному из корней n характеристического многочлена.

Весьма важное уточнение теоремы Пуанкаре было сделано Перроном для невырожденных рекуррентных соотношений. Напомним, что рекуррентное соотношение (1) называется невырожденным, если k,n = 0 при всех n = k, k + 1,.... Невырожденность соотношений (1) означает возможность однозначного определения значения fn при известных значениях fn+1,..., fn+k.

Теорема (Перрон2). Пусть корни характеристического многочлена невырожденного рекуррентного соотношения (1) с предельно постоянными коэффициентами различны по модулю. Тогда для всякого корня характеристического многочлена найдётся последовательность {fn}, удовлетворяющая рекуррентным соотношениям (1) такая, что n=lim fn+1/fn = .

n Существенное продвижение в представлении решений рекуррентных соотношений было получено в цикле работ Биркгофа–Трыжинского3, в которых для любых полиномиальных по “n” коэффициентов {i,n}k i=разностного уравнения (1) доказывается существование асимптотических по “n” рядов для формальных базисных решений.

Теорема (Биркгоф, Трыжинский, 1932). Любое линейное разностное уравнение k-го порядка k ai(z)q(z+i) = 0; (a0 0, ak 0) (4) i=с полиномиальными коэффициентами ai имеет ровно k линейно независимых формальных решений следующего общего вида:

m p s i p p q(z) = eQ(z)zr z- Cs,j lnj z, Q(z) = µz ln z + iz ;

s=0 j=0 i=p N, µp Z, m N{0} O. Perron, Uber einen Satz des Herrn Poincare// J. Reine Angew. Math., 1909, v. 136, 17–37.// Uber die Poincaresche lineare Differenrengleichung// J. Reine Angew. Math., 1910, v. 137, 6–64.

D. G. Birkhoff, W. J. Trjitzinsky, Analytic Theory of Singular Difference Equations// Acta mathematica, 1932, vol. 60, pp. 1–89.// Formal Theory of Irregular Linear Difference Equations// Acta mathematica, 1930, vol. 54, pp. 205–246.

Если плоскость комплексного переменного z разбить на области кривыми Re(Qi(z)) = Re(Qj(z)), i, j = 1,..., k, то в каждой такой области, уходящей в бесконечность, существуют k линейно независимых аналитических решений уравнения (4), имеющих найденные асимптотики.

Особый интерес представляет случай, когда коэффициенты рекуррентного соотношения зависят от параметра (обозначим его x):

p-Qn+1(x) = aj(n, x)Qn-j(x), nN. (5) j=Именно такие рекуррентные соотношения приводят к ортогональным многочленам и их обобщениям. Асимптотику решений Qn(x) для случаев стремления к бесконечности аргумента соотношения (номера n) и параметра x при различных соотношениях между их ростом называют асимптотиками типа Планшереля–Ротаха. Впервые4 они появились для асимптотического описания многочленов Эрмита Hn при n и a) x = (2n + 1) , 1 + C ;

1 1 1 b) x = (2n + 1) - 2- 2 3 3- n- t, t K C ;

c) x = (2n + 1) , -1 + 1 - .

для фиксированных положительных , C и комплексного t. Напомним, что многочлены Эрмита можно определить рекуррентными соотношениями Hn+1(x) = 2x Hn(x) - 2n Hn-1(x), H0 = 1, H-1 = 0 nN.

Асимптотики многочленов Эрмита были получены Планшерелем и Ротахом методом перевала из интегральных представлений для Hn(x), и долгое время оставался открытым вопрос о получении подобных асимптотик для многочленов, не обладающих интегральными представлениями.

Последние две декады (в работах Любинского, Рахманова, Тотика и Дейфта с соавторами) было разработано несколько методик получения и доказательства асимптотических формул типа Планшереля–Ротаха для ортогональных на действительной оси многочленов, используя в качестве входных данных положительные веса ортогональности. В то же время в работах Шталя, Гончара, Рахманова, Аптекарева, С. Суетина, M. Plancherel, W. Rotach, Sur les valeures asymptotiques des polynomes d’Hermite// Commentarii Math. Helvetici, 1929, vol.1, 227–257.

Наттолла, а также Дейфта с соавторами был достигнут определённый прогресс в получении асимптотик многочленов, определяемых неэрмитовыми соотношениями ортогональности. Отметим, что именно неэрмитовы соотношения ортогональности сохраняют наличие рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов при рассмотрении комплексных весов ортогональности, сосредоточенных в комплексной плоскости.

Однако более или менее общие методики, позволяющие получать подобные асимптотики исходя из рекуррентных соотношений вида (5), ещё не так развиты. Первые глубокие результаты в этом направлении получены Геронимо с соавторами5. Также отметим отсутствие общих методов исследования сильных асимптотик для многочленов, ортогональных относительно дискретных весов.

В связи с этим актуальной задачей является построение асимптотических разложений для базисных решений разностных уравнений (5) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях плоскости (n, x).

Согласование (“сшивка”) решений в пересечении рассматриваемых областей позволяет получить глобальную асимптотическую картину решений уравнений (5) в комплексной плоскости параметра x при выборе соответствующего масштаба, зависящего от n. Тем самым, искомый метод должен быть ориентирован на получение глобальных асимптотик решений (5), используя в качестве входных данных коэффициенты рекурсий, подобно тому, как метод наискорейшего спуска для матричной задачи Римана–Гильберта6 решает эту задачу для ортогональных многочленов, стартуя с весов ортогональности.

В некоторых ситуациях глобальное асимптотическое описание решения рекуррентных соотношений не обеспечивает точного описания решения в областях (n, x) при маленьких x. Например, речь может идти о локальной асимптотике многочленов Лагерра в окрестности точки x = 0.

Сформулируем общую актуальную задачу о локальных асимптотиках такого сорта. Рассматриваются разностные уравнения со спектральным J. Geronimo, O. Bruno, W. Van Assche, WKB and turning point theory for secondorder difference equations// Janas, Jan (ed.) et al., Spectral methods for operators of mathematical physics. Proceedings of the international conference on operator theory and its applications in mathematical physics, OTAMP, Bedlewo, Poland, 2002. Basel:

Birkhauser. Operator Theory: Advances and Applications (2004), 154, 101-138.

P. Deift and X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation// Ann. of Math. (2) 137 (1993), no. 2, 295–368.// P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T-R. McLaughlin, S. Venakides, and X. Zhou, Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights// Comm.

Pure Appl. Math. 52 (1999), no. 12, 1491–1552.

параметром x k Q(n, x) := f(n) x qn+r + ai(n) qn+i = 0, 0 r

Мотивацию этой задачи можно пояснить следующими качественными соображениями. Известно, что вне спектра решения разностных уравнений имеют экспоненциальный характер роста или убывания. На спектре можно говорить об осцилляционном, ограниченном характере решений.

Степенной рост вида (7) характерен для решений разностных уравнений (6) в концевых точек непрерывного спектра. Например, ортогональные многочлены, удовлетворяющие трёхчленному рекуррентному соотношению, имеют такой порядок роста в конце носителя веса ортогональности.

То же справедливо и для совместно ортогональных многочленов, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям высокого порядка. Первые результаты в этом направлении были получены Аптекаревым7.

Наконец, остановимся на приложениях асимптотической теории рекуррентных соотношений. Диофантовы приближения математических констант одно из наиболее важных приложений теории рекуррентных соотношений, непрерывных дробей и рациональных аппроксимаций аналитических функций. Многие из доказательств трансцендентности (иррациональности) знаменитых констант основываются на конструкциях аппроксимаций или интерполяций аналитических функций. Особый интерес вызывает задача о построении и изучении асимптотических свойств последовательностей рациональных приближений к постоянной Эйлера n := lim - ln(n).

n k k=А. И. Аптекарев, Асимптотика ортогональных полиномов в окрестности концевой точки интервала ортогональности// Мат. сб., 1992, т. 183 №5, стр. 43–62.

Постоянная Эйлера наиболее известная константа, связанная с эйлеровыми суммами (значениями дзета-функции Римана в натуральных точках) (s) :=.

ks k=Арифметическая природа постоянной и значений (s) в нечётных точках до сих пор не поддаётся исследованию (значения (s) в чётных точках были получены ещё Эйлером). Пока единственным конкретным результатом в этом направлении является доказательство Р. Апери в 19году иррациональности (3).

Теорема (Апери8). Пусть числа un и vn задаются следующим рекуррентным соотношением (n + 1)3un+1 = (2n + 1)(17n2 + 17n + 5)un - n3un-с начальными условиями v0 := 0, v1 := 6, u0 := 1, u1 := 5.

Тогда n N un, Dnvn Z (здесь Dn обозначает наименьшее общее кратное чисел {1, 2,..., n}), и справедливы асимптотические формулы |un|1/n = ( 2 + 1)4 + o(1), |vn - (3) un|1/n = ( 2 - 1)4 + o(1).

Тем самым, рекуррентное соотношение теоремы Апери не только определяет рациональные приближения (3) vn (3), un 1/n но и (в виду того, что Dn e, и e3( 2 - 1)4 0.591... < 1) доказывает иррациональность (3). Надо также отметить, что построение с помощью рекуррентных соотношений рациональных приближений к математическим константам имеет самостоятельный интерес, и известно всего лишь несколько результатов9 в этом направлении.

R. Apery, Irrationalite de (2) et (3)// Asterisque, 61, (1979), 11–13.// Uber die Poincaresche lineare Differenrengleichung// J. Reine Angew. Math., 1910, v. 137, 6–64.

Ю. В. Нестеренко, Некоторые замечания о (3)//, Матем. заметки, 59 - (6), (1996), 865–880.//T. Rivoal, W. Zudilin, Diophantine properties of numbers related to Catalan’s constant//, Math. Annalen, 326 - (4), (2003), 705–721. //В. Н. Сорокин, Об одном алгоритме быстрого вычисления 4// Препринт Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша РАН, №28, 2002.

Цель работы. Целью работы является:

исследование решений рекуррентных (по n) соотношений с параметром x и коэффициентами от (n, x) общего вида (см. (5) ) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях пространства (n, x);

нахождение глобальных асимптотических разложений конкретных систем многочленов, генерируемых рекуррентными соотношениями с рациональными по (n, x) коэффициентами (включая многочлены, ортогональные относительно дискретного веса);

нахождение локальных асимптотик решений степенного роста рекуррентных соотношений со спектральным параметром;

исследование асимптотических и арифметических свойств рекуррентных соотношений, генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера.

Основные методы исследования. В основе проведённого в диссертации исследования лежат методы теории функции, комплексного анализа, специальных функций, обыкновенных дифференциальных уравнений и элементы теории динамических систем.

Научная новизна. Все приведённые в диссертации результаты являются новыми. Основные полученные результаты таковы:

1) предложен и обоснован метод получения глобально согласованных разложений базисных решений рекуррентных соотношений с рациональными от номера и полиномиальными от параметра коэффициентами;

2) получены и доказаны формулы сильной асимптотики (типа Планшереля–Ротаха) для многочленов Мейкснера.

3) описан класс рекуррентных соотношений, базисные решения которых имеют степенной рост; для решений этих рекуррентных соотношений доказаны асимптотики, равномерные по спектральному параметру, взятому в соответствующих масштабах;

4) найдена асимптотика базиса решений рекуррентных соотношений, генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера; доказана целочисленность числителей и знаменателей этих аппроксимаций.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут найти применение в научно-исследовательской работе специалистов по теории непрерывных дробей и аппроксимаций Паде Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Результаты диссертации уже используются другими авторами в их исследованиях. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для аспирантов и студентов университетов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались в Институте Прикладной Математики им. М. В. Келдыша РАН на семинаре математического Отдела под руководством д.ф.-м.н. А. И. Аптекарева, в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН на семинаре Отдела комплексного анализа под руководством академика А. А. Гончара, члена-корреспондента РАН Е. М. Чирки и д.ф.-м.н. А. И. Аптекарева, в Московском государственном университета им. М. В. Ломоносова на семинаре Избранные вопросы теории функций под руководством профессоров А. И. Аптекарева и В. Н. Сорокина и доцента В. С. Буярова, в Нижегородском Техническом Университете на семинаре под руководством профессора В. А. Калягина, на научном семинаре ИНСА г. Руана (Франция) под руководством профессора А. Дро, а также на следующих международных конференциях:

. Международная 6-ая ИНТАС конференция по Рациональным аппроксимациям и конструктивному комплексному анализу, Нижний Новгород – Москва, Россия, август 2005.

. Международная конференция “Спектральные задачи и связанные тематики”, Москва, Россия, ноябрь 2009.

. Международная конференция “Современные проблемы анализа и преподавания математики”, посвящённая 105-летию академика С. М. Никольского, Москва, Россия, май 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]–[10], список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура диссертации. Диссертация изложена на 2страницах и состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 138 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Во введении рассказывается об истории вопроса, приводится обзор классических и современных результатов по теме диссертации, даётся краткое изложение работы.

В первой главе рассматриваются линейные рекуррентные соотношения (5), которые удобно переформулировать в векторном виде Fn+1 = An(x)Fn, nN, (8) где An(x) матрица p p, элементы которой есть полиномы по x с рациональными по n коэффициентами.

Здесь решается задача построения (в виде асимптотических рядов) базисных решений уравнения (8) в областях плоскости (n, x) и их согласование в переходных зонах.

Построение базиса решений будет состоять из решения двух задач.

1. Задача нахождения диагонализующего преобразования Vn. С помощью перехода к другому базису, зависящему от n, можно перейти к задаче, подобной исходной:

-Fn = VnUn Un+1 = (Vn+1AnVn)Un.

Наша цель подобрать подходящие матрицы Vn (зависящие от x), для -которых новая матрица перехода Vn+1AnVn близка к диагональной.

-1 -(Vn+1AnVn) Dn := Diag[Vn+1AnVn].

Здесь Diag[B] обозначает диагональную часть матрицы B. Подходящие -матрицы Vn, кроме условия близости новой матрицы перехода Vn+1AnVn к диагональной, должны обладать следующими свойствами:

Vn, 1/| det(Vn)| = O(n), R.

-Степенной рост позволит оперировать с разложениями Vn и Vn по степеням n.

2. Задача построения базиса решений (8) при условии, что подходящие Vn существуют и найдены.

Обе перечисленные задачи решаются с помощью некоторых итерационных процедур над степенными разложениями. При этом процедура решения задачи 2 имеет универсальный характер (её обоснование составляет содержание Теоремы 1 главы 1), а решение задачи 1 существенно зависит от динамики изменения собственных значений i матрицы A как функций от n, x.

Будем называть областями хорошей диагонализуемости связные компоненты в пространстве (n, x), в которых выполнено условие |i| + |j| := { (n, x) : max < C, 1 i, j p} (9) i =j - j| |i для некоторого фиксированного C > 1. Связные компоненты, в которых неравенство (9) нарушается, будем называть переходными зонами c.

В свою очередь, решение задачи 1 в области хорошей диагонализуемости имеет также универсальный характер, что сформулировано и доказано в достаточно общих Теоремах 2 и 3 для этого случая.

Таким образом, в зонах хорошей диагонализуемости (9) теоремы 1 и дают для базисных решений рекуррентных соотношений (5) разложения в формальные ряды, мажорируемые асимптотическими рядами вида s (j j(x, n)=j(x, n) 1 + m)(x, n) + o (x, n)s(x, n), j = 1,..., p, m=(10) (j которые можно обрывать с оценкой остаточного члена m) = O s.

Также теоремы дают описание процедуры нахождения членов ряда (10) и их оценки, причём из теоремы 3 следует, насколько частные суммы ряда (10) близки к соответствующему базисному решению ( зависит от выбора области в пространстве (n, x)).

В то же время построение диагонализующего преобразования в переходных зонах c носит специальный характер. Здесь разностная задача по переменной n трансформируется (см. Теорему 4) в дифференциальную задачу по новой переменной z := z(n, x), связанной с масштабом переходной зоны. Дальнейший анализ зависит от типа получаемой дифференциальной задачи. В главе 1 мы рассматриваем более детально лишь случаи, когда p = 2 и дифференциальная задача сводится к уравнению Айри. В этом случае рекуррентное соотношение (5) в переходных зонах имеет два базисных решения вида G(z, x)Ai(h(z, x)) и G(z, x)Bi(h(z, x)), (11) где Ai и Bi функции Айри, а процедура Теоремы 4 и свойства уравнения Айри позволяют найти явный вид членов рядов G(z, x) = G0(z, x) 1 + m(z, x), h(z, x) = m(z, x), (12) m=1 m=которые в том же смысле, что и в (10), мажорируются асимптотическими 1 рядами. Но в этих случаях и имеют более простой вид: |z|r |x|r (r1, rдля и для зависят только от задачи).

Наконец, основная задача требует согласования решений, построенных в различных областях пространства (n, x). Это оказывается возможным благодаря тому, что формальные ряды (10), представляющие базисные решения в , имеют смысл и в более широкой области: если в (9) заменить C на |x| для некоторого > 0. Тем самым, в подобластях переходных зон c, граничащих с , справедливы оба представления базисных решений, поэтому существует функция, не зависящая от n, но зависящие от x (ввиду однородности (8) по F ) K(x) = m(x), (13) m=умножение на которую одного из решений не только выравнивает рост обоих решений, но и обеспечивает равенство последующих членов их асимптотических рядов. Успешное нахождение такой функции (в примерах применения рассматриваемого метода) является дополнительным контролем правильности найденных разложений решений (8) в различных областях (n, x).

Затем в первой главе описанный выше метод применяется к рекуррентным соотношениям некоторых классических ортогональных многочленов. Рассмотрены многочлены Эрмита (Теорема 5) и Мейкснера.

Асимптотика многочленов Мейкснера является одним из основных результатов диссертации.

Многочлены Мейкснера {Qn(x)} ортогональны относительно дискрет ной меры n()n (x - n), n! n=c параметрами и , удовлетворяющими >0; 0< <1. Переобозначим параметры и сделаем замену переменной c := 1/, b := - 1, x := ( -1)x-. (14) В новых обозначениях имеем следующие рекуррентные соотношения для многочленов Мейкснера Qn+1 x-(c +1)n -cn(n+b) Qn Q0 =, :=, (15) Qn 1 0 Qn-1 Q-1 В диссертации применением описанного выше общего метода найдены асимптотики многочленов Мейкснера. Конкретно:

1) Получены в явном виде несколько членов асимптотического разложения (10) базисных решений 1(x, n) и 2(x, n) в области – (9).

Общий член имеет оценку k+1 k+ 2 |x|k+1 |x| |x| (1) k (x, n) = O max,, 3k+1 3k+n2k+1 |n-n1(x)| |n-n2(x)| 2 k+1 k+ 2 |x| |x| (2) k (x, n) = O max |x|-k,, 3k+1 3k+2 |n-n1(x)| |n-n2(x)| Оценка остаточного члена такая же, как у первого отброшенного члена.

Здесь n1(x), n2(x) обозначают корни многочлена (x-(c +1)n)2 -4cn(n+b) x и имеют асимптотику +O(1).

( c±1)2) Система (15) имеет две переходных зоны. В них найдены (в явном виде) несколько членов асимптотических разложений G1(z, x), h1(z, x) и G2(z, x), h2(z, x) (см. (12)) для базисных решений (11). Оценки имеют вид |z|+ m |z|+ m m(z, x) = O , m(z, x) = O |z|+ .

3 x x Здесь |z|+ = max(|z|, 1), и снова оценка остаточного члена такая же, как у первого отброшенного члена.

3) Затем, найдено разложение функции K0(x) нормировочного множителя решения 1(x, n), обеспечивающего согласование его роста и роста полиномиального решения (15) с соответствующими старшими коэффициентами.

4) Наконец, найдены (в явном виде) несколько членов асимптотических разложений K1(x) и K2(x) для функций (см. (13)), сшивающих решения (10) и (11) в переходных зонах.

В результате, в этих терминах для многочленов Мейкснера получаются следующие асимптотические разложения.

Теорема 6. Для многочленов Мейкснера (определяемых (15)) справедливы следующие асимптотические разложения при фиксированном + >0 и 0 Im(x) |x| :

|x| + a) при n < - |x| ( c + 1)Qn-1(x) = K0(x) 1(x, n) ; (16) x 1 - 3 b) при n = + zx, |z| |x| ( c + 1)K0(x) Qn-1(x) = G1(z, x) Ai h1(z, x) ;

K1(x) |x| 1 |x| + + 3 c) при + |x| < n < - |x| ( c + 1)2 ( c - 1)Qn-1(x) = K0(x) (1(x, n) + i 2(x, n)); (17) x 1 - 3 d) при n = + zx, |z| |x| ( c - 1)Ai (h2) - i Bi (h2) Ai (h2) + i Bi (h2) Qn-1(x) = K0(x) G2(z, x) + ;

2K2(x) 2K2(x) |x| + e) при n > + |x| ( c - 1)K2(x) Qn-1(x) = K0(x) 1 - 1(x, n) + i 2(x, n). (18) K2(x) Замечание. Теорема 6 демонстрирует, как при фиксированном x меняются представления многочленов Мейкснера с ростом n от а) – (16) к е) – (18), причём соседние представления согласованы в переходных зонах. Отметим, что при увеличении Im(x) > 0 в формуле (17) член будет доминировать над 2, в результате чего формула (17) превратится в формулу (16). То же самое произойдёт с формулой (18), в которой также K2 будет доминировать над K2. Также отметим специальный вид формулы (18) при Im(x) = 0. В этом случае из полученного явного вида для K2 и K2 следует K2 2x + (b +1)(c +1) = exp{-i(b - 1 - )}, K2 c - поэтому при x = k(c - 1)-b-c, k N, k 0, (19) коэффициент при доминирующем члене 1 зануляется, и многочлены (для любых n) становятся малыми в окрестностях этих точек, что отражает тот факт, что в этой зоне нули ортогональных многочленов притягиваются к точкам x – (19), в которых сосредоточены массы меры ортогональности. (При обращении преобразования (14) точки (19) переходят в натуральные.) Во второй главе диссертации исследуются асимптотики решений степенного роста рекуррентных (по n) соотношений (6) со спектральным параметром x. Сначала, при x = 0, характеризуется класс разностных уравнений таких, что существует базис их решений со степенным ростом (при n ). А именно: описываются асимптотические свойства коэффициентов разностных уравнений, гарантирующих существование таких базисов.

Теорема 1. Рекуррентное соотношение вида k ai(n)qn+i = 0, ak 1, a0(n) = 0, (20) i=коэффициенты которого удовлетворяют асимптотическим условиям k i Aj(n) :def ai(n) = (-n)j-k cj + o(n-), 0< <1, (21) = j i=имеет решения со степенным поведением на бесконечности. А именно:

для каждого комплексного , являющегося корнем многочлена E() :

k : E() := (-)ici = 0, i=существует последовательность {qn}, которая удовлетворяет соотношению (20) и имеет асимптотику qn n при n.

Если кратный корень, то существует решение с асимптотикой qn n lns-1 n для каждого натурального s от 1 до кратности . Всего получается k различных асимптотик, и набор решений с такими асимптотиками образует базис решений соотношения (20).

Отметим, что многочлен E() является аналогом характеристического многочлена (3) в приводимых выше теоремах Пуанкаре и Перрона (т.е. многочлена с коэффициентами–пределами коэффициентов разностного уравнения (20)). При этом вклад в асимптотику решения общего положения вносят корни E(t) с максимальной действительной частью k k-E(t) = ci·(-t)i = (-t+i) ; Re(i) Re(j) при i

Основным результатом главы 2 является теорема о локальной асимптотике решений степенного роста при введении в разностное уравнение спектрального параметра. Справедлива Теорема 2. Пусть рекуррентное соотношение вида (20), (21) модифицированно с помощью параметра x, линейно возмущающего r-й коэффициент, 0 r

k f(n)x qn+r + ai(n)qn+i = 0, f(n)=n C+o(n- ), C=0, (23) i=при этом (ввиду теоремы 1) j qn x=0 = n pj(ln n) + o(nb), j где j – корни многочлена E(t) (22) кратности j с (одинаковыми) действительными частями Re(j) = b, pj – многочлены, deg(pj) j -1, а параметр в (23) подчинён условию b ++k >B, B = Re(k-1). (24) Тогда для x=zn--k с равномерными по z K C оценками верно равенство j-j qn = n yji(1) lnin + o(nb) i=j где yji решения уравнения k-d Cz t+k + t - j y(t) = 0, (25) dt j=удовлетворяющие краевым условиям j yji(t)=t p(i)(ln t)+o(tB) при t0.

j i! Неравенство (24) обеспечивает единственность выбора yji.

Дифференциальное уравнение (25) относится к гипергеометрическому типу и имеет частные решения, представимые через обобщённую гипергеометрическую функцию Fq:

p (a1)n · · · (ap)n Fq([a1,..., ap]; [b1,..., bq], x) := xn.

p n! (b1)n · · · (bq)n n=Далее во второй главе, применением общей теоремы 2 к конкретным системам ортогональных и совместно ортогональных многочленов, получаются новые результаты. Первый пример имеет очень интересное поведение меры ортогональности на стыке непрерывной и дискретной составляющей.

Теорема 3. Пусть система многочленов {Qn} определена рекуррентными соотношениями (nN; b, sR) n2+ sQ0(x) = 1; Q1(x) = x - b; Qn+1(x) = xQn(x) - Qn-1(x).

4n2-Тогда 1) Многочлены {Qn} ортогональны относительно меры (x), состоящей из непрерывной компоненты w(x)dx на (-1; 1) 1 s sh(s) w(x) =. (26) s (s2+b2)[ch(s) - cos(2s arcth x - 2 arcth )] b а вне (-1; 1) мера имеет счётное число масс: в точке Xk расположена масса Mk для всех k Z, где k 1 s Xk = cth + arctg, Mk =.

k 1 s s s b (s2+b2) sh2 + arctg s s b 2) Справедлива следующая асимптотическая формула в окрестности концевой точки 1 (равномерно по z K C):

n s+ib 2n2 is s-ib 2n2 -is 2 z Qn 1- = Jis 2z + J-is 2z +o(1).

z z n2 2n 2s 2s Обратим внимание на поведение веса ортогональности (26) в концевых точках своего носителя. Например, при x +Cw(x) .

C2 - cos(s ln(1 - x) + C3) То есть точка x = +1 является предельной точкой как дискретных масс меры ортогональности, так и осцилляций непрерывной части меры (заCжатых между горизонтальными прямыми y = ).

C2 ± Второй пример касается локальной асимптотики совместно ортогональных многочленов, введённых В. А. Калягиным10. Пусть многочлены {Pn}, deg[Pn] = 2n, совместно ортогональны относительно веса 1 w(x) := |x|p(1 + x) (1 - x), 1, 2, p > -1, (27) на каждом из отрезков 1 := [-1; 0] и 2 := [0; 1] Pn : Pn(x) x w(x) dx = 0, = 0,..., n, i = 1, 2. (28) i Интересной спецификой этих многочленов является то, что плотность меры распределения их нулей имеет сингулярность вида |1/x(2/3)| в начале координат. Такое, необычное, распределение нулей вызывало вопрос о локальной асимптотике многочленов {Pn} в окрестности точки x = 0.

Справедлива В. А. Калягин, Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности,// Мат. сб., 1979, т. 110 (152) №4, стр. 609–6Теорема 4. Пусть система многочленов {P } определена соотношеn ниями ортогональности (28) с весовыми функциями (27). Тогда справедливы следующие асимптотические формулы в окрестности начала координат (равномерно по z K C):

p +1 p +np -z Pn z = F2 [ ];, ; + o(np).

n n (p +1) 2 2 Третья глава диссертации посвящена приложениям к теории диофантовых приближений. В ней исследуются рекуррентные соотношения, генерирующие рациональные аппроксимации постоянной Эйлера := - ln x e-xdx, арифметическая структура которой до сих пор не выяснена.

Пусть fn последовательность форм относительно константы , которые генерируются по формулам fn := pn - qn := Qn(x) ln x e-xdx, pn, qn Q (29) где Qn(x) многочлен, задаваемый обобщённой формулой Родрига (1-x)-1ex dn dn Qn(x) = xn (1-x)2n+1xne-x.

(n!)2 dxn dxn Применением метода перевала доказано11, что pn - = (2) e-2 2n 1 + O n-1/2.

qn Первая теорема главы 3 описывает рекуррентные соотношения для этих аппроксимаций постоянной Эйлера.

Теорема 1. Рациональные коэффициенты pn, qn форм (29) удовлетворяют рекуррентному соотношению (16n-15)qn+1 = (128n3+40n2-82n-45)qn(30) - n2(256n3-240n2+64n-7)qn-1 + n2(n-1)2(16n+1)qn-А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Асимптотика -форм, генерируемых совместно ортогональными многочленами, // Совр. пробл. матем., 2007, 9, стр. 55–с начальными условиями p0 = 0, p1 = 2, p2 = 31, q0 = 1, q1 = 3, q2 = 50.

Далее в главе 3 решается задача нахождения асимптотического разложения для базисных решений разностного уравнения (30).

Теорема 2. Существует базис из трёх решений {qj(n)}3 разj=ностного уравнения (30) со следующими асимптотиками:

n 2n q1(n) 4n e 97 2207 133081= 1+ - - + O n-2, n! e n 36864n 96 2n 53084160n 2n n q2(n) 4n e- 2n 97 2207 133081= 1- - + + O n-2, n! e n 36864n 96 2n 53084160n 2n n q3(n) e 1 77 9745 75430= 1- + - + O n-4.

n! 16n n n 96n 18432n2 26542080nОсновным результатом главы 3 является доказательство целочисленности pn, qn коэффициентов -форм (29)–(30). Это делается с помощью нахождения новых рекурсий со старшим коэффициентом единица.

Теорема 3. Пусть последовательность чисел pn и qn определена системой рекуррентных соотношений q4n-1 = nq4n-3 + q4n-2, q4n = nq4n-4 - nq4n-3 + 3q4n-2, , n = 1, 2, 3,..., q4n+1 = nq4n-1 + (n+1)q4n, q4n+2 = nq4n-2 + (2n+1)2q4n - nq4n+1, с начальными условиями p0 = 0, p1 = 1, p2 = 1, q0 = 1, q1 = 1, q2 = 1.

Тогда для pn и qn из (29)–(30) справедливо pn = p4n, qn = q4n.

В заключение третьей главы рассматриваются трёхмерные решётки L целочисленных векторов { x} решений диофантовой системы сравнений x, p(n) 0 mod Dn x L :, (31) x, q(n) 0 mod Dn где координаты векторов p(n) := (pn, pn-1, pn-2), q(n) := (qn, qn-1, qn-2), являются числителями и знаменателями рациональных аппроксимаций для , генерируемыми (29)–(30). Также в (31) Dn есть некоторая фиксированная последовательность натуральных чисел, n N, а ·, · скалярное произведение в R3. В третьей главе найдено явное выражение для определителя решётки (31), что позволило получить условные результаты об арифметической природе постоянной Эйлера.

Работы автора по теме диссертации 1. Д. Н. Туляков, Асимптотика типа Планшереля–Ротаха для линейных рекуррентных соотношений с рациональными коэффициентами, Матем. сб., 2010, 201:9, 111–158.

2. Д. Н. Туляков, Разностные уравнения с базисами степенного роста, возмущенные спектральным параметром, Матем. сб., 2009, 200:5, 129–158.

3. Д. Н. Туляков, Система рекуррентных соотношений для рациональных аппроксимаций постоянной Эйлера, Матем. заметки, 2009, 85:5, 782–787.

4. Д. Н. Туляков, О некоторой процедуре нахождения асимптотических разложений для решений разностных уравнений, Совр. пробл.

матем., 2007, 9, 45–53.

5. Д. Н. Туляков, Об одном свойстве условно сходящихся рядов, Матем. заметки, 2007, 81:2, 317–320.

6. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Об определителе целочисленной решетки генерируемой рациональными аппроксимациями постоянной Эйлера, Труды ММО, 70, 2009, 329–345.

7. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Четырёхчленные рекуррентные соотношения для -форм, Совр. пробл. матем., 2007, 9, 37–43.

8. А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Д. Н. Туляков, Глобальный режим распределения собственных значений случайных матриц с ангармоническим потенциалом и внешним источником, ТМФ, 2009, 159:1, 34–57.

9. A. I. Aptekarev, V. A. Kalyagin, V. G. Lysov and D. N. Tulyakov, Equilibrium of vector potentials and uniformization of the algebraic curves of genus 0, Journ. of Computational and Appl. Math., 233 (2009), 602–616.

10. A. I. Aptekarev, A. Draux, D. N. Tulyakov, Discrete spectra of certain corecursive Pollaczek polynomials and its applications, Function Theory and Computational Methods, 2002, 2(2), 519–537.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.