WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Носков Геннадий Андреевич

Алгоритмические и метрические проблемы в теории бесконечных групп

01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Омск – 2010

Работа выполнена в Омско м филиале Инстит ута Мате ма т ики им. С. Л. Собо лева СОРАН.

Официальные оппоненты:

д. ф. -м. н, профессор, Ро мановский Ни ко лай Се мёнович д. ф. -м. н, профессор, Саркисян Рафаэль Арташесович д. ф. -м. н, профессор, Тимошенко Евгений Иосифович

Ведущая организация: Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится 28-го апреля 2011 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.07 при Омском государ­ ственном университете им. Ф. М. Достоевского, расположенном по адресу:

пр. Мира,55-А, г.Омск, 644077.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского.

Автореферат разослан 27-го декабря 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м. н, доцент Семёнов А. М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В 1912 году М.Дэн сформулировал три фунда­ ментальные алгоритмические проблемы теории групп: проблема равенства, проблема сопряженности и проблема изоморфизма. Эти проблемы играют важную роль и в современной геометрической теории групп, являясь мерой сложности различных классов групп. Отметим, что проблема сопряженно­ сти содержит в себе проблему равенства, так как сопряженность единичному элементу равносильна его тривиальности. Проблемы сопряженности и изо­ морфизма, понимаемые в широком смысле, также связаны между собой. На­ пример, сопряженность матриц над некоторым кольцом эквивалентна изо­ морфности определенного типа модулей над кольцом многочленов. В свою очередь, проблема изоморфизма модулей ранга 1 над коммутативным целост­ ным кольцом A может быть сведена к проблеме равенства в группе Пикара кольца A.

Мотивация к изучению проблем М.Дэна исходит из алгебраической то­ пологии. Проблеме равенства для фундаментальной группы топологического пространства T соответствует топологическая проблема: стягиваема ли дан­ ная замкнутая петля в T ? Сопряженность элементов в группе 1(T ) соответ­ ствует свободной гомотопности двух замкнутых петель. Наконец, решение проблемы изоморфизма для фундаментальных групп дает метод для разли­ чения пространств (проблема гомеоморфизма).

В работе М.Дэна первые две проблемы были решены для фундаменталь­ ных групп компактных поверхностей. Но только в 1968 году Ф.Вальдхаузен сумел доказать разрешимость проблемы равенства для групп узлов, и по­ надобилось еще 22 года, прежде чем З.Села (1993) доказал разрешимость проблемы сопряженности.

Принципиальное решение проблем Дэна было получено благодаря про­ никновению в теорию групп идей и методов математической логики. Од­ ним из величайших достижений математики двадцатого века является уста­ новление точного смысла понятия «алгоритм». В 1936 г. были практически одновременно опубликованы работы А.Чёрча, С.К.Клини, А.М.Тьюринга и Э.Л.Поста, в которых эта проблема была решена. Появление первых результа­ тов о неразрешимости привело к идее о том, что фундаментальные проблемы М.Дэна рекурсивно неразрешимы. В частности, оказалось, что существует конечно заданная группа с неразрешимой проблемой равенства. Полное и де­ тальное доказательство этой теоремы было опубликовано ак. П.С.Новиковым в 1955 году. Вскоре после этого ак. С.И.Адян доказал неразрешимость пробле­ мы изоморфизма любой данной конечно определенной группе. Неразрешимость сопутствующей проблемы гомеоморфизма n-мерных топологических многообразий при n 4 доказал А.А.Марков (1958).

В многообразии всех абелевых групп A все проблемы Дэна и многие дру­ гие имеют очевидное положительное решение. Поэтому естественным пред­ ставляется вопрос об алгоритмических проблемах для разрешимых групп.

Проблема равенства для разрешимых групп. Проблема равенства реша­ ется положительно в классе полициклических групп ввиду их матричной представимости. В силу теоремы Ф.Холла (1954) конечно порожденная ме­ табелева группа финитно аппроксимируема, поэтому проблема равенства в многообразии A2 решается положительно. Прямой алгоритм для проблемы равенства в A2 указал Е.И.Тимошенко (1973). Проблема равенства в многооб­ разии ZA2 центрально-метабелевых групп решена положительно Н.С.Романовским (1982). Результат затем был усилен О.Г.Харлампович (1987), дока­ завшей, что в многообразии N2A, как и в любом его подмногообразии, про­ блема равенства разрешима.

Н.С.Романовский доказал, что проблема вхождения решается положи­ тельно для конечно порожденных AN -групп (1980). По-видимому, теорема Романовского справедлива и для конечно порожденных полициклических­ над-абелевыми групп.

Проблема сопряженности. М.И.Каргаполов и В.Н.Ремесленников (1966) доказали разрешимость проблемы сопряженности в классе всех конечно по­ рождённых свободных разрешимых групп. Проблема сопряженности в сво­ бодных поли-нильпотентных группах решена P.A.Саркисяном (1972). Из тео­ ремы В.Н.Ремесленникова (1973) следует, что при n 5 существуют примеры конечно определенных в многообразии An групп, для которых она решается отрицательно. С другой стороны, Р.А.Саркисян (1972) указал алгоритм ре­ шения проблемы сопряженности для свободных полинильпотентных групп, а Дж.Болер (1976) – для одного конкретного класса метабелевых групп.

Проблема изоморфизма. В.Н.Ремесленников и А.С.Киркинский постро­ или для каждого n 7 такую конечно определенную в An группу G, что не существует алгоритма, выясняющего для любой конечно определенной в An группы, изоморфна она G или нет. Здесь интересной нерешенной задачей остается проблема изоморфизма для метабелевых групп. Напомним, что в классе всех групп отрицательно решается проблема изоморфизма единичной группе, в то время как в многообразии An эта проблема имеет положительное решение. Проблема изоморфизма для нильпотентных групп решена положи­ тельно Ф.Грюневальдом и Д.Сегалом (1980). Отметим, что близкая к ней по постановке проблема эпиморфизма неразрешима уже в классе 2-нильпотент­ ных групп. Неразрешимость проблемы эндоморфной сводимости в свободных нильпотентных группах большого ранга доказал В.А.Романьков (1997). Эта работа имеет важные следствия, в том числе её идеи привели к доказатель­ ству неразрешимости проблемы тождества в теории групп (Ю.Г.Клейман).

Альтернативный подход к алгоритмическим проблемам для линейных алгеб­ раических групп был развит в 80-х годах прошлого столетия Р.А.Саркисяном.

Этот подход также даёт положительное решение проблемы изоморфизма для конечно порожденных нильпотентных групп по модулю выполнимости «прин­ ципа Хассе» для односвязных полупростых алгебраических групп, опреде­ ленных над полем рациональных чисел. Выполнимость «принципа Хассе» долгое время оставалась доказанной для всех односвязных полупростых ал­ гебраических групп, кроме группы E8 (Г.Хардер). Случай E8 был рассмот­ рен В.И.Черноусовым (1989) и, таким образом, решение Саркисяна стало без­ условным. Проблема изоморфизма для полициклических групп была решена Д.Сегалом (1990).Один из возможных подходов к проблеме изоморфизма ос­ нован на понятии рода. Для произвольной группы G обозначим через FG мно­ жество конечных гомоморфных образов группы G, рассматриваемых с точ­ ностью до изоморфизма. Р од G(G) группы G – это множество всех групп H, таких, что FG = FH (снова рассматриваемых с точностью до изоморфизма).

Вопрос о мощности (G) множества G(G) известен как проблема рода. Извест­ но, что почти полициклические группы G, H принадлежат одному роду в том и только том случае, когда их пополнения в проконечной топологии тополо­ гически изоморфны. Легко видеть, что (G) = 1 в случае абелевой группы G. В то же время существуют достаточно простые примеры неизоморфных нильпотентных групп одного рода. Для класса нильпотентных групп функ­ цию (G) исследовали Ф.Харари и П.Пикель, Г.Мислин, К.Лемер и другие (1970-е годы). Для этих групп Ф.Грюневальд и Р.Шарлау показали, что функ­ ция (G) не ограничена даже на классе нильпотентных групп класса 2 (1979).

П. Пикель доказал, что род свободной группы в любом нильпотентном мно­ гообразии тривиален (1976). Глубокий результат Ф.Грюневальда и Д.Сегала утверждает конечность (G) для произвольной полициклической группы G (1978). Из этого результата следует, что для фиксированной полициклической группы G существует алгоритм, распознающий, изоморфна ли произвольная полициклическая группа группе G.

Проблема рода усложняется при переходе к метабелевым группам. Ос­ новываясь на результатах Х.Басса и П.Мурти о группе Пикара группово­ го кольца абелевой группы, П.Пикель построил пример метабелевой группы бесконечного рода и доказал, что род произвольной группы не содержит соб­ ственного гомоморфного образа этой группы. Наконец, все еще неизвестно, тривиален ли род абсолютно свободной группы Fn ранга n 2. Аналогичный вопрос для группы SLn(Z) также все еще открыт.

Предположим, что C есть класс групп, имеющий «локально-глобальное свойство для изоморфизма», т.е. для G и H в C имеет место изоморфизм G H тогда и только тогда, когда F(G) = F(H). Используя «челночный» алгоритм, легко убедиться, что проблема изоморфизма для конечно опреде­ ленных групп из C имеет положительное решение. Хотя локально-глобальное свойство не имеет места для полициклических групп, его более слабый вари­ ант все же справедлив: для данного множества X конечных групп существу­ ет лишь конечное множество изоморфных классов почти полициклических групп, таких, что F(G) = X (Грюневальд – Пикель – Сегал (1980)).

Порождающий ранг. Понятие размерности в линейной алгебре имеет естественный аналог в теории групп. Порождающи м рангом d(G) группы G называется минимальная мощность ее порождающего множества. П.Линнел и Дж.Вархюрст доказали, что для полициклической группы G выполняется неравенство d(G) d() + 1 (1981). Здесь d() обозначает минимальное чис­ ло топологических порождающих проконечного пополнения группы G, так что теорема утверждает, что если все конечные факторы группы G порож­ даются d элементами, то сама группа G порождается d + 1 элементами. Для абелевой группы G имеет место равенство d(G) = d().

Элементарные теории. Алгоритмические проблемы в многообразиях структур глубоко связаны с фрагментами элементарных теорий этих много­ образий. Так проблема равенства в многообразии эквивалентна проблеме раз­ решимости его универсальной теории (Дж.Мак-Кинси ). Пусть K – класс ал­ гебраических структур определенной сигнатуры . Сигнатуре известным образом сопоставляется язык первого пор ядка L. Множество T всех предло­ жений сигнатуры , справедливых в некотором классе структур сигнатуры , называется элементарной теорией данного класса. Теория называется раз­ решимой, если существует алгоритм, позволяющий по любому предложению определить, принадлежит ли оно теории или нет. Первым фундаментальным результатом явилась теорема Геделя – Россера (1936) о неразрешимости ариф­ метики. С другой стороны, А.Тарский доказал разрешимость теории поля комплексных чисел (1948). Он же придумал методы определимости и интер­ претируемости для доказательства неразрешимости теорий. В самой общей форме основной метод доказательства неразрешимости – метод относитель­ ной элементарной определимости – был изобретен и сформулирован ак. Ю.Л.

Ершовым. Пусть S – структура сигнатуры . Пусть S – сигнатура, получае­ мая из добавлением констант, по одной для каждого элемента из S. Подмно­ жество L Sn, n 1, (относительно) опр еделимо, если существует формула (x), x = (x1,..., xn) сигнатуры S, такая, что L = {s Sn : S |= (s)}.

Аналогично вводятся определимые предик аты, к онгруэнции, факторструктуры.

i Назовем структуру S0 предикатной сигнатуры (Pim ) определимой (с парамет­ рами) в S, если имеются определимое в S подмножество S1, определимая i конгруэнция K на S1, определимые предикаты Pim на S1, согласованные с конгруэнцией K и такие, что факторструктура S1/K изоморфна S0. Оказы­ вается, что если в структуре S определима структура S0 с наследственно неразрешимой элеменатарной теорией, то элементарная теория S также на­ следственно неразрешима. В качестве S0 часто используется стандартная мо­ дель арифметики, а также группа Новикова. Метод определимости широко применялся в работах Р.Робинсона и Дж.Робинсон, где, в частности, доказа­ но, что если R – кольцо полиномов на полем нулевой характеристики или p-адических чисел, то существует p R, такой, что pN определимо в R. При отождествлении pN N умножение в N определимо в R, и, следовательно, R неразрешимо. До сих пор неизвестен ответ на вопрос: разрешима ли дио­ фантова проблема над бесконечным конечно порожденным коммутативным кольцом? Разрешима ли диофантова проблема на полем рациональных чи­ сел? В случае кольца Z диофантова проблема, известная как 10-я проблема Гильберта, неразрешима (ак. Ю.В.Матиясевич (1970)).

В области теории групп исходным был вопрос А.Тарского (1945) : раз­ решима ли элементарная теория свободной неабелевой группы? Положитель­ ный ответ дан А.Г.Мясниковым и О.Г.Харлампович.

Широкое внимание привлек класс разрешимых групп. А.И.Мальцев до­ казал неразрешимость элементарной теории конечно порожденной свобод­ ной разрешимой неабелевой группы (1960). В статье чл. корр. АН СССР М.И.Каргаполова и его учеников была выдвинута гипотеза: элементарная тео­ рия конечно порожденной нильпотентной группы разрешима тогда и только тогда, когда группа почти абелева (1969).Гипотеза была доказана Ю.Л.Ершовым (1972). М.И.Каргаполов в докладе на международной конференции по теории групп (Канберра, 1973 г.) обобщил гипотезу на конечно порож­ денные почти разрешимые группы. Н.С.Романовский доказал гипотезу для почти полициклических групп (1980).

Условия конечности для метабелевых групп. Свойства конечной порож­ денности и конечной определенности являются фундаментальными свойства­ ми в теории бесконечных групп. Для группы G в многообразии групп V свойство конечной определенности приобретает новый смысл – мы называ­ ем G конеч н о определенной в V, если G имеет код, являющийся объединени­ ем конечного числа соотношений и всех тождеств V. Естественный вопрос, когда эта «относительная» конечная определенность влечет «абсолютную», привлек широкое внимание. Уже в случае многообразия метабелевых групп вопрос оказался в высшей степени нетривиальным и привел к открытию за­ мечательного «инварианта Бири–Штребеля», позволяющего эффективно ре­ шить алгоритмическую проблему распознаваемости конечной определенно­ сти. Пусть Q – конечно порожденная абелева группа, и Q* = Hom(Q, R){0} – множество ненулевых характеров из Q в аддитивную группу R. Инвари­ ант Бири–Штребеля c конечно порожденного ZQ-модуля M состоит из всех M характеров Q*, для которых M не является конечно порожденным над полугрупповым кольцом ZQ полугруппы Q = {q Q: (q) 0}. Назо­ вем инвариант m-асимметричным, если любое m-точечное подмножество в c содержится в открытом полупространстве пространства Q*. Произволь­ M ная конечно порожденная метабелева группа является расширением вида M Q с абелевыми группами M, Q, причем M обладает естествен­ ной структурой конечно порожденного ZQ-модуля. Теорема Бири–Штребе­ ля утверждает, что конечно порожденная метабелева группа конечно опре­ делена тогда и только тогда, когда c является 2-асимметричным, т.е. не M содержит пары диаметрально противоположных точек. Из конструктивного описания c следует алгоритмическая разрешимость проблемы распознавае­ M мости конечной определенности в многообразии метабелевых групп. Свойства конечной порожденности и конечной определенности являются лишь первы­ ми двумя в бесконечной цепочке «гомологически-топологических» свойств конечности. По опрeделению группа имеет тип F Pn, если тривиальный Z-модуль Z обладает проективной pезольвентой P : · · · Pn · · · P1 P0 Z, в которой Z-модули Pn,..., P1, P0 конечно порождены. Хорошо известно,что класс F P1-групп совпадает с классом всех конечно порожденных групп, и что конечная определенность влечет F P2.

Р.Бири (1981) высказал гипотезу, описывающую структуру метабелевых F Pn-групп в терминах инварианта c. Произвольная конечно порожденная M метабелева группа является расширением вида M Q с абелевыми группами M, Q, причем M обладает естественной структурой ZQ-модуля.

Гипотеза (Р.Бири ). Конечно порожденная метабелева группа пpинад­ лежит классу F Pm пpи m 2 в том и только том случае, когда инвариант c является m-асимметричным.

M Р.Бири и Р.Штребель доказали сформулированную гипотезу при m = 2.

Гипотеза была доказана также для метабелевых групп конечного ранга (Х.

Оберг (1986)). Бири и Гровз доказали, что «F Pm над Q» влечет m-асимметричность инварианта модуля Q Z M. Техника доказательства включает гомологическую алгебру.

Автоматные группы. Существование алгоритма, решающего проблему равенства в данной группе G, еще не означает возможность проводить реаль­ но эффективные вычисления. Нужды теории 3-мерных многообразий приве­ ли Кеннона, Тёрстона и Эпстина к созданию теории автоматных групп. В процессе исследования авторы пришли к замечательному определению ав­ томатности, представляющему собой сплав свойства «рекурсивности» нор­ мальных форм и чисто геометрического свойства «устойчивости». Пусть A* – свободный моноид над конечным алфавитом A. Мы предполагаем, что A со­ держит «формально обратные» элементы, т.е состоит из пар символов a, a-1.

Будем говорить, что группа G порождается множеством A, если задано отоб­ ражение a a G, a A, индуцирующее эпиморфизм ”-” : A* G. Граф Кэли C = CA(G) состоит из множества вершин V C = G и ребер (= дуг ) из a g в ga (g G, a A). Всякое ребро g - ga имеет метку a. Каждое слово w = a1a2a3... A* имеет значение w G. Кроме того, w определяет путь из g G в gw:

a1 a2 ag - ga1 - ga1a2 - ga1a2a3...

Подмножество L A* называется нормальной формой в G, если L = G.

Нормальная форма L определяет комбинг ( = причёсывание) графа Кэли, а именно, для любой пары g, h G и любого слова w L, такого, что w = g-1h, однозначно определён путь gh из g в h с меткой w. Подмножество L A* на­ зывается регулярным (рациональным) языком, если L распознается конечным автоматом над A или, эквивалентно, L получается из конечного множества применением конечного числа операций объединения, произведения и порож­ дения.

Нормальная форма L устойчива (fellow traveller property), если существу­ ет константа k = k(L), такая, что любые пути с метками v, w L, общим началом и с концами на расстоянии 1 являются k-близкими в том смыс­ ле, что выполняется неравенство d(v(t), w(t)) k, t = 0, 1,... Если, бо­ лее того, неравенство выполняется для путей, начала и, соответственно, кон­ цы которых находятся на расстоянии 1, то L называется биустойчивой.

(Би)автоматная струк тур а на группе G – это (би)устойчивая регулярная нор­ мальная форма на G. В то время как автоматность дает эффективное ре­ шение проблемы равенства, биавтоматность дает эффективное решение про­ блемы сопряженности. Примерами автоматных групп являются гиперболи­ ческие группы (М. Л. Громов (1987)). Примером неавтоматных групп явля­ ются все группы SLn(Z)(n 3). В задаче классификации автоматных ариф­ метических групп получены значительные продвижения, но окончательное решение до сих пор не получено. В качестве подзадачи здесь содержится проблема автоматности групп, действующих на билдингах. В самом деле, на­ пример, всякая дискретная подгруппа группы SLn(Qp) действует собственно на ассоциированном билдинге Брюа – Титса. Более общо, пусть – кусочно евклидов стягиваемый комплекс неположительной кривизны (=CAT(0) ком­ плекс). Пусть G : – собственное кокомпактное изометрическое действие.

Верно ли, что G биавтоматна? Ответ неизвестен даже в случае евклидовых билдингов. В двумерном случае проблема детально рассмотрена С.Герстеном и Х.Шортом, доказавшими биавтоматность фундаментальной группы конеч­ ного кусочно евклидова 2-комплекса неположительной кривизны, имеющего тип A1 A1, A2, B2 или G2. В качестве следствия они получили биавтомат­ ность группы без кручения, действующей собственно и кокомпактно на евкли­ довом билдинге типа A2. Близкие результаты были получены В.Бальманом и М.Брином, Д.Картрайтом и М.Шапиро, Я.Святковским. Важным общим ре­ зультатом является теорема Г.Нибло и Л.Ривза о биавтоматности кубических групп.

Связный граф C обладает свойством ограниченного ук орачивания ес­ ли существует k > 0, такое, что для любого негеодезического пути v(t) в C существует k-близкий путь w(t) c теми же концами, что и v(t), но короче, нежели v(t). Важность свойства ограниченного укорачивания для изучения функций роста объясняется теоремой Дж.Кеннона: если группа G порожда­ ется конечным множеством A, и CA(G) обладает F F T - свойством, то язык геодезических в этом графе регулярен. Кроме того, функция роста |Bn|tn группы G относительно A рациональна.

Свободные подгруппы. Нахождение свободных неабелевых подгрупп иг­ В англоязычной литературе «falsification by fellow traveller property» или «FFT–property».

рает важную роль в изучении парадокса Банаха – Тарского, функций роста и алгебраической энтропии.

Автоморфизмы. Изучение групп автоморфизмов алгебраических струк­ тур важно с алгоритмической точки зрения. Например, пусть G и H — ко­ нечно порожденные нильпотентные группы. Изоморфизм мальцевских попол­ нений GQ и HQ имеет место в том и только том случае, когда изоморфны соответствующие Q-алгебры Ли g, h. Решая вопрос об изоморфизме g, h, мы можем считать, что эти алгебры изоморфны над полем комплексных чисел, так как элементарная теория этого поля разрешима. В этом случае можно применить теорию неабелевых когомологий, из которой следует, что алгебра h изоморфна алгебре g тогда и только тогда, когда построенный по h ко­ цикл из множества H1(Gal(Q/Q), Autg) тривиален. P.A.Саркисян доказал, что тривиальность коцикла можно алгоритмически распознать при условии выполнимости «принципа Хассе» для односвязных полупростых алгебраи­ ческих групп, определенных над Q. Таким образом, группа автоморфизмов Aut(g) появляется в проблеме изоморфизма.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, яв­ ляются новыми на момент их публикации.

Объект исследования. Объектами исследования являются разреши­ мые группы, коммутативные кольца, группы Ли, кусочно евклидовы ком­ плексы (включая евклидовы билдинги), группы когомологий.

Методы исследования. В работе используются методы геометриче­ ской и комбинаторной теории групп (включая вложение Магнуса и кусочно евклидову геометрию), коммутативной алгебры, алгебраической геометрии (включая примарное разложение и группы классов дивизоров) и гомологи­ ческой алгебры (включая спектральную последовательность Хохшильда – Серра).

Цель и задачи диссертации. Изучение алгоритмических свойств раз­ решимых групп и групп, действующих на комплексах неположительной кри­ визны. Решение ряда проблем теории групп: проблемы Каргаполова о раз­ решимости элементарной теории разрешимой группы, проблемы сопряжен­ ности в метабелевых группах, проблемы рода для свободных метабелевых групп. Построение биавтоматных структур на группах автоморфизмов евкли­ довых билдингов. Доказательство несуществования автоматных структур на модулярных группах Гильберта.

Достоверность научных положений. Достоверность научных поло­ жений и полученных результатов обеспечиваются их согласованностью с об­ щепризнанными представлениями. Результаты опубликованы в российских и зарубежных журналах, неоднократно докладывались на семинарах и конфе­ ренциях. Они известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов. Показатель цитируемости по поисковой системе Google Scholars ра­ вен 236 (на ноябрь 2010 г.). Результаты по теме диссертации опубликованы в 1977-2009 годах. Достоверность научных положений и полученных резуль­ татов обеспечиваются также положительными рецензиями в реферативных журналах «Математика», Math. reviews, и Zentralblatt fuer Mathematics.

Научные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения и результаты.

1. Решение проблемы сопряженности для конечно порожденных метабе­ левых групп.

2. Характеризация конечно порожденных разрешимых групп с разреши­ мой элементарной теорией.

3. Решение проблемы рода для свободной метабелевой группы конечного ранга.

4. Доказательство гипотезы Бири для расщепляемых конечно порожден­ ных метабелевых групп без кручения.

5. Построение биавтоматных структур на группах автоморфизмов евкли­ довых билдингов. Доказательство неавтоматности модулярной группы Гиль­ берта.

Практическая ценность и область применения результатов. Пред­ лагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты и ме­ тоды могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп.

Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкур­ сы для студентов и аспирантов.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 39 печатных ра­ ботах, из них 37 статей – в рецензируемых журналах, в т.ч. 29 статей – в журналах и изданиях из перечня ВАК. Без соавторов выполнены 27 опубли­ кованных научных работ по теме диссертации, 12 работ написаны совместно.

Из 29 работ в журналах из перечня ВАК 9 выполнены в соавторстве.

Апробация и внедрение результатов. Результаты, полученные в дис­ сертации, докладывались на российских и международных конференциях: в Марселе-Люмини (Франция, 2004), Омске (2008, 2010), Новосибирске (2000, 2003, 2005), Эрлаголе (2000), Франкфурте-на-Майне (Германия,1999), Биле­ фельде (Германия, 2003), Гомеле (1986), Санкт-Петербурге (1982), Кемерове (1987), Кортрайке (Бельгия, 1999), Гаете (Италия, 2003), Варшаве (Польша, 2003), Гданьске (Польша, 2004), Обервольфахе (Германия, 2002, 2008), Крас­ ноярске (1993, 2002), Барнауле (1991).

Результаты обсуждались на специализированных семинарах: в Омском государственном университете (1975-2010), Новосибирском государственном университете (1981, 1983, 1987,1994, 2008), в университете Манитобы (Кана­ да, 1991, 1994), университете Кембриджа (Великобритания, 1995), Лондон­ ском университете (Великобритания, 1995), университете Манчестера (Вели­ кобритания, 1995), университете Бильги (Турция, 2002, 2005), университе­ те Билефельда (Германия, 1998-2008), университете Франкфурта-на-Майне (Германия, 1995, 1996), университете Дюссельдорфа (Германия, 1999), уни­ верситете Бонна (Германия, 2003).

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, списка цитируемой литературы, списка обозначений и списка терминов (предметного указателя). Диссертация содержит 6 рисун­ ков. Список литературы состоит из 155 наименований. Полный объем диссер­ тации составляет 257 страниц машинописного текста.

Каждая глава имеет номер и состоит из разделов и подразделов, нумера­ ция которых подчинена нумерации глав. Нумерация теорем, лемм и рисунков в тексте диссертации сквозная. Номера формул подчиняются главам.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1. Проблема сопряженности для метабелевых групп. В главе описывается алгоритм, который по заданному конечному генетическо­ му коду группы G в многообразии 2-ступенно разрешимых (= метабелевых) групп решает проблему сопряженности в группе G. Эта теорема дает поло­ жительный ответ на вопрос М. И. Каргаполова (1973). Основными инстру­ ментами в доказательстве являются алгебраическая геометрия, коммутатив­ ная алгебра и теория чисел. С использованием вложения Магнуса проблема сводится к следующей: пусть A – группа обратимых элементов конечно по­ рожденного целостного коммутативного кольца A; существует ли алгоритм, позволяющий для любого набора 1,..., n A найти определяющие соот­ ношения подгруппы U в группе A, порожденной этими элементами? Идея алгоритма носит алгебро-геометрических характер. Пусть k – поле алгебраических чисел или конечное поле. Рассмотрим конечно порожденную целостную k-алгебру A как координатную алгебру аффинного многообразия V над полем k. Существует вложение V V, где V – нормальное проек­ тивное многообразие. Алгебраически, для A эффективно строится градуиро­ ванная область k [y0,..., ym], такая, что кольца Ai = k [y0/yi,..., ym/yi] це­ лозамкнуты, элементы из m Ai алгебраичны над k, и кольцо k [x1,..., xn] i= эффективно вложимо в A0. Пусть V = V V1 · · · Vn – разложение на неприводимые компоненты, где Vi – неприводимые гиперповерхности. Опре­ делено дивизориальное отображение div : U ZVi. Его образ описывается конструктивно, а ядро состоит из алгебраических элементов. Конструктив­ ный аналог теоремы Дирихле позволяет описать ядро. Все доказательства систематически используют результаты А.Зайденберга – конструктивность примарного разложения, целого замыкания, идеала соотношений между дан­ ными элементами.

Решение проблемы сопряженности было обобщено на центрально мета­ белевы группы с условием малых централизаторов (К.Гупта и Г.А.Носков (1993)).

Глава 2. Элементарные теории разрешимых групп и колец. Ос­ новной результат главы – Теорема 3. Элементарная теория конечно порожденной почти раз­ решимой группы G разрешима тогда и только тогда, когда эта группа G почти абелева.

Ввиду теоремы Н.С.Романовского при доказательстве неразрешимости Th(G) можно считать, что все почти полициклические факторы F/H, где F, H – формульные подгруппы в G, почти абелевы. В разделе 2.6 показы­ вается, что неразрешимость Th(G) достаточно доказать в случае, когда G обладает следующими свойствами:

а) в G существует абелева нормальная формульная не конечно порож­ денная подгруппа M, такая, что G/M абелева и не имеет кручения;

б) если Q = G/M, и M рассматривается стандартным образом как ZG-модуль, то аннулятор p модуля M в Z[Q] является простым идеалом, и ZQ/p-модуль M не имеет кручения;

в) всякая формульная подгруппа в G, строго содержащая M, не является нильпотентной.

После указанной редукции в группе G интерпретируется структура (N, +, |) – арифметика натуральных чисел с операцией сложения и предикатом де­ лимости. Эта структура биинтерпретируема в обычной арифметике (N, +, ·) (Р.Робинсон (1951)) Арифметика (N, +, ·) имеет наследственно неразреши­ мую теорию, и, значит, теория T h(N, +, |) также наследственно неразрешима ввиду критерия Ю.Л.Ершова. Из интерпретируемости (N, +, |) в G следу­ ет наследственная неразрешимость Th(G) по тому же критерию. С целью интерпретации арифметики в множестве G - M специальным образом вы­ бирается элемент и затем доказывается формульность полугруппы = n1nM. Далее, на строится формульный предикат (x, y), такой, что G |= (km1, lm2) k|l. Этот предикат и групповая операция позволяют отождествить множество смежных классов {nM}n1 со структурой (N, +, |).

Другими словами, (N, +, |) интерпретируется в G.

При доказательстве формульности полугруппы и формульности пре­ диката делимости получены вспомогательные результаты из коммутативной алгебры и алгебраической теории чисел. Эти результаты, приводимые ниже, ввиду их самостоятельной ценности, автор счёл разумным выделить в три раздела 2.3, 2.4, 2.5.

Теорема 4. (Теорема конечности числа делителей). Пусть A – конечно порожденное целостное коммутативное кольцо. Существует натуральное s (зависящее от A), такое, что для любого подмножества A мощно­ сти s и любого ненулевого a A множество = { A : ( - )|a для всех } конечно.

Теорема 5. (О необратимых элементах). Пусть A – конечно порожден­ ное коммутативное целостное кольцо, – конечное подмножество в A, не содержащее 0 и 1, и ненулевой элемент A не является корнем из 1.

Тогда существует n N, такое, что все n - ( ) необратимы в A.

Теорема 6. (Определимость делимости). Пусть A – конечно порож­ денное коммутативное целостное кольцо, и ненулевой элемент A не является корнем из 1. Тогда существуют N и r N, такие, что если задать на N предикат (x, y) x - 1|y - 1 & · · · & xr - 1|yr - 1, то A |= (m, n) в том и только том случае, когда m|n.

Вторым по значимости результатом главы 2 является Теорема 7. Элементарная теория бесконечного конечно порожденного коммутативного кольца A (с единицей) разрешима в том и только том случае, когда кольцо A конечно.

Глава 3. Проблема рода для метабелевых групп. В главе решается проблема рода для класса (относительно) свободных метабелевых групп.

Обозначим через Mn свободную группу ранга n в многообразии метабе­ левых групп.

Теорема 8. Род группы Mn тривиален, т.е. группа Mn определяется с точностью до изоморфизма набором своих конечных гомоморфных образов.

Известные рассуждения («челночный» алгоритм) показывают справед­ ливость следующего частичного решения проблемы изоморфизма для ме­ табелевых групп: свойство произвольной конечно порожденной финитно ап­ проксимируемой группы G быть изоморфной свободной группе многообразия метабелевых групп, алгоритмически разрешимо. В доказательстве использу­ ются метод вложения Магнуса, теорема В.А.Артамонова об орбитах общей линейной группы и теорема Квиллена–Суслина–Суона о свободе проектив­ ных модулей над кольцом многочленов (решение проблемы Серра).

Обозначим через = r = Z[x±1,..., x±1] кольцо многочленов Лорана 1 r с целочисленными коэффициентами от переменных x1,..., xr. Обозначим че­ xi ei рез r свободный -модуль с базой {ei, ; 1 i r}. Матрицы ( ) свободно 0 порождают группу Mr(0) (вложение Магнуса). Пусть G – финитно аппрокси­ мируемая группа, «родственная» Mn(q), тогда G можно представить в виде Mn+m(q)/R, где m 0, и нормальная подгруппа R является нормальным замыканием конечного множества элементов. В разделе 3.2 производится переход к более удобному коду группы G, а именно, имеет место изомор­ xi ei 1 en+j физм G = S(q)/R, где группа S(q) порождена матрицами ( ),, 0 0 1 i n, 1 j m, над кольцом Zq[x±1,..., x±1; e1,..., en+m], коэф­ 1 n фициенты xi, ei, en+j есть коммутирующие трансцендентности, и R есть нор­ мальная подгруппа в S(q), порожденная определенными унитреугольными 1 fi матрицами, 1 i k. Лемма 20 дает следующий критерий: группа 0 G = S(q)/R изоморфна Mn(q) в том и только том случае, когда модуль n+m/R свободен ранга n. Знаменитая теорема Квиллена–Суслина–Суона q утверждает, что конечно порожденный -модуль свободен тогда и только то­ гда, когда он проективен. Проективность можно распознать в терминах мат­ рицы F, составленной из координат векторов f1,..., fk в базе {e1,..., en+m}.

А именно, модуль P над коммутативным кольцом проективен ранга n в том и только том случае, когда идеал Im, порожденный m m-минорами матрицы F, равен , и идеал Im+1 нулевой. Возвращаясь к доказательству основной теоремы, предположим, что наша группа G не изоморфна Mn(q) и, таким об­ разом, P не изоморфен свободному модулю n. Тогда модуль P не является q проективным ранга n и, следовательно, либо Im = q, либо Im = q, Im+1 = 0.

В первом случае мы доказываем, что существует конечный гомоморфный об­ раз группы G, который не может быть порожден n элементами в противо­ речии с тем, что группа Mn(q) n-порождена. Второй случай более трудный и требует детального анализа. Чтобы получить требуемое противоречие, мы конструируем n-порожденную конечную метабелеву группу, которая не мо­ жет быть конечным гомоморфным образом группы G. Более точно, в случае, когда q = 0, мы показываем, что существует простое p, такое, что G/Vp2(G) есть собственный гомоморфный образ группы Mn/Vp2(Mn) (здесь Vp(G) обо­ значает наибольший абелев гомоморфный образ периода G/Vp). В то же вре­ мя из совпадения родов следует, что группы G/Vp2(G),Mn/Vp2(Mn) изоморф­ ны, это и доставляет искомое противоречие.

Глава 4. Инвариант Бири-Штребеля и гомологические условия конечности для метабелевых групп. Основной результат подтверждает гипотезу Бири для широкого класса метабелевых групп.

Теорема 10. Пусть конечно порожденная группа является расщеп­ ляемым расширением абелевой группы M с помощью абелевой группы Q, M не имеет кручения, и F Pm, m 2. Тогда инвариант c является M m-асимметричным.

Пусть A = ZQ/annM, MinA = {p1,..., pt}, Ai = A/pi (i = 1,..., t) и Ki – поле частных кольца Ai. В разделах 4.1.1, 4.1.2 доказывается, что ZQ-модуль N = A1 · · · At вкладывается в M, и c = (K1, Q) · · · M (Kt, Q), где (Ki, Q) есть множество характеров, индуцированных регуляр­ ными нормированиями поля частных Ki кольца Ai = ZQ/pi. Так как c не M является m-асимметричным, то подгруппа Q0 Zn имеет конечный индекс в Q, и характеры 1,..., k+1 Q0 (действующие посредством скалярного произведения) можно выбрать таким образом, что:

а) выпуклая оболочка C множества 1,..., xk+1 является k-мерным сим­ плексом, содержащим начало координат в качестве внутренней точки;

k+б) Q0 = Q Q, где Q = Zi, и Q является ортогональным допол­ i=нением подгруппы Q;

в) каждый из характеров i индуцируется дискретным нормированием vi : Kp - Z, где pi Min A, и множество нормирований V = {v1,..., vk+1} i можно выбрать таким образом, что все vi, определенные на Kp (i [1; k +1]), i являются регулярными по отношению к некоторой базе трансцендентности поля Kp над Q.

i Спектральная последовательность Хохшильда–Серра примененная к рас­ ширению M Q, и критерий Бири–Экмана позволяют свести пробле­ му к построению нетривиального элемента из EQ = (ZN), = M Q, лежащего в образе отображения EQ - EQ.

Критерий нетривиальности (теорема 11) формулируется в терминах убы­ d вающей фильтрации {F } Q-подмодуля N модуля M и порядковой функции d o(f) = max d : f зануляется в Z[N/F ] Z . Критерий нетривиально­ сти естественно приводит к вопросу: как эффективно оценить сверху порядок элемента группового кольца? Следующий результат даёт ответ в терминах нормирований.

Теорема 14. Пусть K – конечное расширение поля рациональных функ­ ций Q(t1,..., tm), и пусть V = V1 · · · Vs – конечное множество дискрет­ ных нормирований поля K, регулярных относительно базы (t1,..., tm). Для a = (a1,..., as) Ks обозначим V (a) = min {v(aj) : j = 1,..., s, v Vj}.

Тогда существуют такие положительные константы c0, c1, что для про­ извольных векторов a1,..., ar Ks найдутся целые x1,..., xr, для кото­ рых следующее неравенство выполняется для любого подмножества I {1, 2,..., r}: V ( xi ai) c0 + c1ln(r) + max {V a1,..., V ar}.

I Глава 5. Автоматные группы. Основной результат состоит в доказа­ тельстве биавтоматности широкого класса групп, действующих на евклидо­ вых билдингах.

Теорема 16. Пусть – евклидов билдинг одного из типов An, Bn, Cn, n 2, упорядоченный стандартным образом. Пусть G : – свободное коком­ пактное действие автоморфизмами, сохраняющими порядок. Тогда G до­ пускает биавтоматную структуру. Если есть произвольный евклидов билдинг одного из типов An, Bn, Cn, n 2, то всякая группа, действующая свободно и кокомпактно на , почти биавтоматна.

В разделе 5.1 мы приводим обзор стандартных фактов о евклидовых комплексах Кокстера. В разделе 5.2 мы вводим свойство упорядоченности ев­ клидова билдинга и доказываем, что всякий евклидов билдинг можно упоря­ дочить. В разделе 5.3 мы определяем естественный комбинг C на евклидовом билдинге. В разделах 5.4 и 5.5 мы доказываем свойства «устойчивости» и «рекурсивности» для комбинга C. Заключительный раздел 5.6 посвящен дока­ зательству нашего основного результата. Основным инструментом являются автоматные группоиды.

Весьма похожими с билдингами свойствами обладают обобщенные дере­ вья.

Теорема 24. Всякая конечно порожденная группа G, действующая сво­ бодно на лексикографическом Z2-дереве, допускает биавтоматную структу­ ру.

В доказательстве используются методы «кусочно евклидовой геометрии».

А именно, строится 2-мерный «квадратный комплекс» X неположительной кривизны с фундаментальной группой G.

Значение теории автоматности заключается в геометризации эффектив­ ной вычислимости в группах. Анализ свойства устойчивости привёл У.Ноймана и М.Шапиро к понятию «ограниченного укорачивания». В разделе 5.11 мы доказываем, что стандартное порождающее множество группы Кокстера ко­ нечного ранга удовлетворяет условию ограниченного укорачивания.

Теорема 27. F F T - свойство выполняется для любой группы Кокстера конечного ранга.

Теорема 28. Дуальный граф любого локально конечного билдинга обла­ дает F F T -свойством.

Этот результат влечет рациональность функции роста для ряда групп, действующих на билдингах (см. следствие теоремы 28).

Заключительный результат главы 5 доставляет новые нетривиальные примеры групп, не допускающих автоматных структур.

Теорема 29. Пусть O есть кольцо целых вполне вещественного поля K степени n над Q. Тогда при n 2 группа SL2(O) непричесываема в смыс­ ле Эпстина–Кеннона–Тёрстона. В частности, такая группа не допускает автоматную структуру.

Мощным методом доказательства неавтоматности являются изоперимет­ рические неравенства. Из теоремы Эпстина-Тёрстона (1992) следует, что для доказательства непричёсываемости группы = SL2(O) достаточно найти вполне разрывное кокомпактное изометрическое действие : M на стягива­ емом римановом многообразии M и такую последовательность липшицевых (n-1)-циклов bm, масса и диаметр которых растут полиномиально по m, что для любого выбора липшицевых n-цепей cm в M с условием cm = bm масса cm растет экспоненциально. Построение такой последовательности основано на теории приведения для модулярной группы Гильберта.

Основные результаты работы 1. Получено положительное решение проблемы сопряженности для клас­ са конечно порождённых метабелевых групп.

2. Получена характеризация конечно порождённых разрешимых групп с разрешимой элементарной теорией (решение проблемы М. И. Каргаполова).

3. Решена проблема рода для свободных метабелевых групп: род конечно порождённой метабелевой групп тривиален.

4. Подтверждена гипотеза Бири для широкого класса метабелевых групп:

Теорема. Пусть конечно порожденная группа является расщепляемым расширением абелевой группы M с помощью абелевой группы Q, M не име­ ет кручения над ZQ, и F Pm, m 2. Тогда инвариант c является M m-асимметричным.

5. Доказана биавтоматность широкого класса групп, действующих на евклидовых билдингах и лексикографических Z2-деревьях. Доказана неавто­ матность модулярной группы Гильберта.

Публикации в журналах из списка ВАК 1. Носков Г. А. Алгебраические группы с регулярными группами автомор­ физмов // Матем. сб. 1977. Т. 103(145), № 3(7). С. 358–366.

2. Носков Г. А. О проблеме вхождения для кольца многочленов // Сиб.

матем. журн. 1978. Т. 19, № 6. С. 1413–1414.

3. Носков Г. А. О примитивных элементах в свободной группе // Матем.

заметки. 1981. Т. 30, № 4. С. 497–500.

4. Носков Г. А. О сопряженности в метабелевых групах // Матем. замет­ ки. 1982. Т. 31, № 4. С. 495–507.

5. Носков Г. А. Об элементарной теории конечно порождённого коммутативного кольца // Матем. заметки. 1983. Т. 33, № 1. С. 23–29.

6. Носков Г. А. О числе порождающих группы // Матем. заметки. 1983.

Т. 33, № 4. С. 249–254.

7. Носков Г. А. Об элементарной теории конечно порожденной почти раз­ решимой группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47, № 3.

С. 465–482.

8. Носков Г. А. О группах автоморфизмов метабелевых групп // Матем.

заметки. 1987. Т. 41, № 1. С. 9–22.

9. Носков Г. А. Целостность группового кольца почти разрешимой группы без кручения из GLn(Q) // Матем. заметки. 1989. Т. 45, № 2. С. 71–78.

10. Носков Г. А. О числе порождающих кристаллографической группы // Сиб. матем. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 145–150.

11. Носков Г. А. Ограниченные когомологии дискретных групп с коэффици­ ентами // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, № 5. С. 146–164.

12. Носков Г. А. Алгебры быстро убывающих функций на группах и коциклы полиномиального роста // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 33, № 4. С. 97–103.

13. Gupta C. K., Noskov G. A. Conjugacy in centre-by-metabelian groups // Houston J. Math. 1993. Vol. 19, no. 2. Pp. 281–294.

14. Носков Г. А. Свойства T, FA, аменабельность и разрывность для групп, действующих на R-деревьях // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5, № 3. С. 238–251.

15. Gupta C. K., Gupta N. D., Noskov G. A. Some applications of Arta­ monov-Quillen-Suslin theorems to metabelian inner rank and primitivity // Canad. J. Math. 1994. Vol. 46, no. 2. Pp. 298–307.

16. Носков Г. А. Инвариант Бири-Штребеля и гомологические условия ко­ нечности для метабелевых групп // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 2.

С. 194–218.

17. Gupta C. K., Noskov G. A. Splitting epimorphisms of free metabelian groups // Internat. J. Algebra Comput. 1997. Vol. 7, no. 6. Pp. 697–711.

18. Gupta C. K., Noskov G. A. On the genus of certain metabelian groups // Algebra Colloq. 1998. Vol. 5, no. 1. Pp. 49–66.

19. Носков Г. А. Причесывание треугольных билдингов // Сиб. матем. журн.

1999. Т. 40. С. 1109–1120.

20. Носков Г. А. Многомерные изопериметрические неравенства и «неприче­ сываемость» модулярной группы Гильберта // Алгебра и анализ. 1999.

Т. 11. С. 196–206.

21. Носков Г. А. Квазивыпуклость множества неподвижных точек авто­ морфизма гиперболической группы // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, № 1. С. 164–166.

22. Noskov G. A. Growth of certain non-positively curved cube groups // Euro­ pean J. Combin. 2000. Vol. 21, no. 5. Pp. 659–666.

23. Noskov G. Group actions on non-Archimedean trees, cube complexes and au­ tomata // J. Group Theory. 2000. Vol. 3, no. 1. Pp. 101–112.

24. Noskov G. A. Combing Euclidean buildings // Geom. Topol. 2000. Vol. 4.

Pp. 85–116.

` 25. Noskov G. A., Vinberg E. B. Strong Tits alternative for subgroups of Coxeter groups // J. Lie Theory. 2002. Vol. 12, no. 1. Pp. 259–264.

26. Alperin R. C., Farb B., Noskov G. A. A strong Schottky lemma for nonposi­ tively curved singular spaces // Geom. Dedicata. 2002. Vol. 92. Pp. 235–243.

Dedicated to John Stallings on the occasion of his 65th birthday.

27. Karlsson A., Noskov G. A. Some groups having only elementary actions on metric spaces with hyperbolic boundaries // Geom. Dedicata. 2004. Vol. 104.

Pp. 119–137.

28. Alperin R. C., Noskov G. A. Nonvanishing of algebraic entropy for geometri­ cally finite groups of isometries of Hadamard manifolds // Internat. J. Alge­ bra Comput. 2005. Vol. 15, no. 5-6. Pp. 799–813.

29. Грюневальд Ф., Носков Г. А. Большие гиперболические решетки // Ал­ гебра и логика. 2009. Т. 48. С. 174–189.

Прочие публикации 30. Носков Г.А., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. Бесконечные груп­ пы // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геометрия, том 17, С. 65–157. ВИНИТИ, Москва, 1979.

31. Носков Г.А. Вычисление мультипликатора Шура конечно порож­ денной метабелевой группы // Вычислительный центр СОАН СССР, Новосибирск, 84(508):22, 1984.

32. Носков Г.А. О роде свободной метабелевой группы // Вычислитель­ ный центр СОАН СССР, Новосибирск, 84(509):18, 1984.

33. Noskov Gen.A. The Hochschild-Serre spectral sequence for bounded cohomology // In L. A. Bokut’, Yu. L. Ershov, and A. I. Kostrikin, editors, Proceedings of the International Conference on Algebra, Part 1 (Novosibirsk, 1989), number 131 in Contemp. Math., pages 613–629, Providence, RI, 1992. Amer. Math. Soc.

34. Noskov G.A. Bounded shortening in Coxeter complexes and buildings // In Mathematical structures and modeling, No. 8 (Russian), pages 10–14.

Omsk. Gos. Univ., Omsk, 2001.

35. Karlsson Anders and Noskov Guennadi A. The Hilbert metric and Gromov hyperbolicity // Enseign. Math. (2), 48(1-2):73–89, 2002.

36. Alperin Roger C. and Noskov Guennadi A. Uniform growth, actions on trees and GL2// In Computational and statistical group theory (Las Vegas, NV/Hoboken, NJ, 2001), volume 298 of Contemp. Math., pages 1–5. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.

37. Noskov G. A. Coarsely geodesic metrics on reductive groups (after H.

Abels and G. A. Margulis)// In Mathematical structures and modeling.

No. 15 (Russian), pages 5–17. Omsk. Gos. Univ., Omsk, 2005.

38. Karlsson A., Metz V., and Noskov G.A. Horoballs in simplices and Minkowski spaces // Int. J. Math. Math. Sci., 20 pages, Art. ID 23656, 2006.

39. Noskov G.A. Geodesics in the Heisenberg group: an elementary approach// Siberian Electronic Mathematical Reports, 5:177–188, 2008.

Отпечатано с оригинала-макета, предоставленного автором.

Подписано в печать Формат бумаги 60 84 1/16.

Тираж 100 экз. Заказ N Полиграфический центр КАН 644122, г. Омск, ул. Красный путь,




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.