WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

nA PRAWAH RUKOPISI

aHMETOW rUSTQMgILIMOWI^ asimptotiki re{enij singulqrno wozmu}>nnyh zada~, opisywa`}ih qwlenie konwektiwnoj diffuzii

01.01.02 { DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ aWTOREFERAT DISSERTACII NA SOISKANIE U^

rABOTA WYPOLNENA NA KAFEDRE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA gou wpo "bA[KIRSKIJ GOSUDARSTWENNYJ PEDAGOGI^ESKIJ UNIWERSITET IM. m. aKMULLY" oFICIALXNYE OPPONENTY: dOKTOR FIZIKO - MATEMATI^ESKIH NAUK, PROFESSOR bABI^ wASILIJ mIHAJLOWI^ dOKTOR FIZIKO - MATEMATI^ESKIH NAUK, PROFESSOR kALQKIN lEONID aNATOLXEWI^ dOKTOR FIZIKO - MATEMATI^ESKIH NAUK, wEDU]IJ NU^NYJ SOTRUDNIK mAKARENKO nIKOLAJ iWANOWI^ wEDU]AQ ORGANIZACIQ iNSTITUT PROBLEM MEHANIKI rOSSIJSKOJ AKADEMII NAUK (G. mOSKWA) zA]ITA SOSTOITSQ 13 MARTA 2009 GODA W 15:00 ^ASOW NA ZASEDANII DISSERTACIONNOGO SOWETA d 002.057.01 PO PRISUVDENI@ U^

450077, G. uFA, UL. ~ERNY[EWSKOGO 112.

s DISSERTACIEJ MOVNO OZNAKOMITXSQ W BIBLIOTEKE iNSTITUTA MATEMATIKI S WY^ISLITELXNYM CENTROM uFIMSKOGO NAU^NOGO CENTRA ran aWTOREFERAT RAZOSLAN " " 2008 G.

u^

~ASTO WOZNIKA@T ZADA^I, GDE PRIMENQ@TSQ METODY POSTROENIQ \KSPONENCIALXNO UBYWA@]IH POGRANSLOJNYH FUNKCIJ. oDNAKO, W RQDE ZADA^ KO\FFICIENTY RQDA PO STEPENQM MALOGO PARAMETRA IME@T OSOBENNOSTI ( RASTU]IE WMESTE S ROSTOM STEPENEJ MALOGO PARAMETRA). tAKIE ZADA^I NOSQT BISINGULQRNYJ HARAKTER [2]. oDNIM IZ \FFEKTIWNYH METODOW, PRIWODQ]IH K USPEHU W PODOBNYH ZADA^AH, QWLQETSQ METOD SOGLASOWANIQ (SRA]IWANIQ) ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ [2], [3], [4]. aNALOGI^NYE SITUACII IME@T MESTO TAKVE W ZADA^AH WOLNOWOJ OPTIKI [5] I TEORII RELAKSACIONNYH KOLEBANIJ [6].

bISINGULQRNYE ZADA^I TAKVE WOZNIKA@T PRI ISSLEDOWANII QWLENIJ TEPLOMASSOOBMENA S U^

tAKIE ZADA^I ISSLEDOWALI MNOGIE AWTORY: lEWI^ w.g., fUKS n. a., Acrivos A., Goddard J.D., Taylor T.D., Sih P.H., Newman J., Murray D., kRYLOW w.s., gUPALO `.p., pOLQNIN a.d., rQZANCEW `.s. I DRUGIE. zADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W OKRESTNOSTQH ^ASTIC I CILINDROW WOZNIKA@T W HIMI^ESKOJTEHNOLOGII, TEORII FILXTRACII, W BIOFIZIKE. oDNOJ IZ OSNOWNYH ZADA^ PRI \TOM QWLQETSQ OPREDELENIE POLNOGO DIFFUZIONNOGO POTOKA (K POWERHNOSTQM OBTEKAEMYH TEL), KOTORYJ ZAWISIT OT RE[ENIJ KRAEWYH ZADA^ W POGRANI^NYH SLOQH (OKOLO ^ASTIC).

hARAKTERNOJ OSOBENNOSTX@ ZADA^KONWEKTIWNOJ DIFFUZII QWLQ@TSQ NALI^IE SEDLOWYH OSOBYH TO^EK NA GRANICE OBLASTI W PREDELXNOM URAWNENII, KOGDA MALYJ PARAMETR ( MALYJ PARAMETR SOOTWETSTWUET BOLX[IM ^ISLAM pEKLE: Pe) RAWEN NUL@. dRUGAQ OSOBENNOSTX TAKIH ZADA^ SOSTOIT W TOM, ^TO W NEKOTORYH POGRANI^NYH SLOQH WOZNIKA@T PARABOLI^ESKIE URAWNENIQ, WYROVDA@]IESQ NA GRANICE OBLASTI.

w ZADA^AH KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W OKRESTNOSTQH ^ASTIC RANEE BYLI ISSLEDOWANY, W OSNOWNOM, LI[X GLAWNYE ^LENY FORMALXNOJ ASIMPTOTIKI PO MALOMU PARAMETRU [7]. wOPROS MATEMATI^ESKOGOOBOSNOWANIQ ASIMPTOTI^ESKIH RE[ENIJ, W ^ASTNOSTI, POSTROENIE POLNOGO ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ RE[ENIJ ZADA^ KONWEKTIWNOJ DIFFUZIII QWLQETSQ AKTUALXNYM.

w OKRESTNOSTI ^ASTICY ZA ISKL@^ENIEM SLEDA ZA ^ASTICEJ POGRANSLOJNYE FUNKCII OBY^NO NOSQT \KSPONENCIALXNYJ HARAKTER. oDNAKO, W SLEDE ZA ^ASTICEJ ASIMPTOTIKA NOSIT STEPENNOJ HARAKTER. w TAKIH SLU^AQH PRIHODITSQ PRIMENQTX METOD SOGLASOWANIQ ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ. w OKRESTNOSTI ^ASTICY ( ILI KAPLI ) WOZNIKA@T NESKOLXKO POGRANI^NYH SLO

dRUGOJ KLASS ZADA^ WOZNIKAET PRI ISSLEDOWANII KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W OKRESTNOSTI SFERI^ESKOJ ^ASTICY ILI KAPLI S U^

bISINGULQRNYE ZADA^I, SODERVA]IE SEDLOWYE TO^KI NA GRANICE OBLASTI W PREDELXNOJ ZADA^E, WOZNIKA@T TAKVE W GIDRODINAMIKE [9]. mALYJ PARAMETR SOOTWETSTWUET SREDNIM I BOLX[IM ^ISLAM rEJNOLXDSA. w \TIH ZADA^AH TAKVE WOZNIKA@T WNUTRENNIE POGRANI^NYE SLOI.

aKTUALXNYMI QWLQ@TSQ ISSLEDOWANIE ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW RE[ENIJ SINGULQRNO WOZMU]

cELX RABOTY.

1) pOSTROITX POLNOE ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE PO MALOMU PARAMETRU RE[ENIQ KRAEWOJ ZADA^I DLQ \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ S MALYM PARAMETROM PRI STAR[IH PROIZWODNYH, OPISYWA@]EGO PROCESS STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO KAPLI.

2) pOSTROITX POLNOE ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE PO MALOMU PARAMETRU RE[ENIQ KRAEWOJ ZADA^I DLQ \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ S MALYM PARAMETROM PRI STAR[IH PROIZWODNYH, OPISYWA@]EGO PROCESS STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO SFERI^ESKOJ ^ASTICY.

3) pOSTROITX GLAWNYE ^LENY ASIMPTOTI^ESKOGO RE[ENIQ WNE[NEJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ LINEJNYH I KWAZILINEJNYH URAWNENIJ \LLIPTI^ESKOGO TIPA S DWUMQ PARAMETRAMI, OPISYWA@]IH PROCESS STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO ^ASTICY PRI NALI^II HIMI^ESKOJ REAKCII.

dLQ DOSTIVENIQ CELI TREBUETSQ RE[ITX SLEDU@]IE ZADA^I:

1. pOSTROITX FORMALXNYE ASIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ ( F. A. R. ) PO MALOMU PARAMETRU RE[ENIJ KRAEWYH ZADA^ STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W POGRANI^NYH SLOQH OKOLO KAPLI I ^ASTICY.

2. iSSLEDOWATX ASIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA KO\FFICIENTOW ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ PO MALOMU PARAMETRU W KAVDOM POGRANI^NOM SLOE S U^

3. iSSLEDOWATX RE[ENIQ NEODNORODNYH KRAEWYH ZADA^ W NEOGRANI^ENNYH OBLASTQH S UBYWA@]IMI NA BESKONE^NOSTI PRAWYMI ^ASTQMI I GRANI^NYMI USLOWIQMI. w \TIH ZADA^AH TREBUETSQ ISSLEDOWATX ASIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA NA BESKONE^NOSTI. tAKIE ZADA^I OBY^NO WOZNIKA@T W BOLX[INSTWE POGRANI^NYH SLO

4. dOKAZATX SPRAWEDLIWOSTX ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ.

mETODY ISSLEDOWANIQ. oSNOWNYM METODOM ISSLEDOWANIQ QWLQETSQ WARIANT METODA SOGLASOWANIQ ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ, PREDLOVENNYJ a.m. iLXINYM. pRIMENQ@TSQ TAKVE METODY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, FUNKCIONALXNOGO ANALIZA, DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ.

nAU^NAQ NOWIZNA. wSE OSNOWNYE REZULXTATY QWLQ@TSQ NOWYMI I POLU^ENY AWTOROM LI^NO. oSNOWNYE REZULXTATY DISSERTACII TAKOWY.

1. pOSTROENO POLNOE ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE PO MALOMU PARAMETRU RE[ENIQ KRAEWOJ ZADA^I DLQ \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ S MALYM PARAMETROM PRI STAR[IH PROIZWODNYH, OPISYWA@]EGO PROCESS STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO KAPLI. w OKRESTNOSTI KAPLI WOZNIKA@T PQTX POGRANI^NYH SLO

2. pOSTROENO POLNOE ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE PO MALOMU PARAMETRU RE[ENIQ KRAEWOJ ZADA^I DLQ \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ S MALYM PARAMETROM PRI STAR[IH PROIZWODNYH, OPISYWA@]EGO PROCESS STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO SFERI^ESKOJ ^ASTICY. w OKRESTNOSTI ^ASTICY WOZNIKA@T PQTX POGRANI^NYH SLO

3. pOSTROENY GLAWNYE ^LENY ASIMPTOTI^ESKOGO RE[ENIQ WNE[NEJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ KWAZILINEJNOGO \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ S DWUMQ PARAMETRAMI. rASSMATRIWAEMAQ ZADA^A OPISYWAET PROCESS STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO ^ASTICY PRI NALI^II HIMI^ESKOJ REAKCII.

rASSMOTREN BOLEE SLOVNYJ SLU^AJ, KOGDA OBA PARAMETRA STREMQTSQ K BESKONE^NOSTI. pRI ISSLEDOWANII ZADA^A SWODITSQ K SINGULQRNOJ, IME@]EJ MALYJ PARAMETR PRI STAR[IH PROIZWODNYH, A DRUGOJ PARAMETR PRI \TOM MENQETSQ MEDLENNO I ZAWISIT OT OTNO[ENIQ DWUH BOLX[IH PARAMETROW.

kROME TOGO, POLU^ENY REZULXTATY, IME@]IE SAMOSTOQTELXNU@ TEORETI^ESKU@ CENNOSTX.

{ iSSLEDOWANA KRAEWAQ ZADA^A DLQ \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ W POLUPLOSKOSTI. dANNAQ ZADA^A WOZNIKAET PRI ISSLEDOWANII QWLENIQ STACIONARNOJ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO SFERI^ESKOJ ^ASTICY PRI BOLX[IH ^ISLAH pEKLE W POGRANI^NOM SLOE OKRESTNOSTI TO^KI STEKANIQ VIDKOSTI S ^ASTICY. pOSTROENA ASIMPTOTIKA RE[ENIQ, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ SOGLASOWANIQ S RE[ENIEM W SOSEDNEM DIFFUZIONNOMPOGRANI^NOMSLOE. rANEE \TA ZADA^A BYLA ISSLEDOWANA TOLXKO ^ISLENNYMI METODAMI.

{ pOSTROEN GLAWNYJ ^LEN FORMALXNOGO ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ RE[ENIQ KRAEWOJZADA^I DLQ URAWNENIQ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W \LLIPTI^ESKOM POGRANI^NOM SLOE. rASSMATRIWAEMAQ ZADA^A SOOTWETSTWUET SLU^A@ OBTEKANIQ CILINDRI^ESKOJ ^ASTICY. rANEE TAKAQ ZADA^A BYLA ISSLEDOWANA TOLXKO ^ISLENNYMI METODAMI.

{ iSSLEDOWANA ASIMPTOTIKA RE[ENIQ WYROVDA@]EGOSQ KWAZILINEJNOGO PARABOLI^ESKOGO URAWNENIQ. tAKOE URAWNENIE WOZNIKAET W DIFFUZIONNOM POGRANI^NOMSLOE PRI ISSLEDOWANII QWLENIQ KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO ^ASTICY S U^

{ dOKAZANA TEOREMA SU]ESTWOWANIQ RE[ENIQ KRAEWOJ ZADA^I NA POLUPRQMOJ DLQ KLASSA KWAZILINEJNYH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, ZAWISQ]IH OT PARAMETRA. pOSTROENY ASIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ RE[ENIJ TAKIH ZADA^ NA BESKONE^NOSTI. iSSLEDOWANA ASIMPTOTIKA DLQ MALYH ZNA^ENIJ PARAMETRA. gLAWNYJ ^LEN ASIMPTOTIKI NA BESKONE^NOSTI ZAWISIT OT QWNOGO WIDA NELINEJNOJ FUNKCII I OT PARAMETRA. uKAZANNYJ ZDESX KLASS URAWNENIJ WOZNIKAET PRI POSTROENII ASIMPTOTIKI RE[ENIQ W DIFFUZIONNOM POGRANI^NOM SLOE WYROVDA@]EGOSQ KWAZILINEJNOGO PARABOLI^ESKOGO URAWNENIQ W OKRESTNOSTI LINII WYROVDENIQ W SLEDE ZA ^ASTICEJ.

tEORETI^ESKAQ I PRAKTI^ESKAQ CENNOSTX.

w DISSERTACI@ WKL@^ENY TEORETI^ESKIE REZULXTATY, POLU^ENNYE AWTOROM I PREDSTAWLQ@]IE WKLAD W RAZWITIE ASIMPTOTI^ESKIH METODOW RE[ENIQ ZADA^ \LLIPTI^ESKOGO TIPA S MALYM PARAMETROM PRI STAR[IH PROIZWODNYH BISINGULQRNOGO HARAKTERA. oSOBENNOSTX@ \TIH ZADA^ QWLQETSQ NALI^IE OSOBYH TO^EK SEDLOWOGO TIPA NA GRANICE OBLASTI. rASSMATRIWAEMYE ZADA^I PREDSTAWLQ@T SOBOJ MATEMATI^ESKU@ MODELX STACIONARNOJ DIFFUZII OKOLO ODINO^NOJ ^ASTICY ( ILI KAPLI ), PRI OBTEKANII POTOKOM VIDKOSTI ILI GAZA. mALYJ PARAMETR SOOTWETSTWUET BOLX[IM ^ISLAM pEKLE. dRUGOJ HARAKTERNOJ OSOBENNOSTX@ RASSMATRIWAEMYH ZADA^ QWLQETSQ TOT FAKT, ^TO W NEKOTORYH POGRANI^NYH SLOQH WOZNIKA@T WYROVDA@]IESQ PARABOLI^ESKIE URAWNENIQ. pORQDOK WYROVDENIQ ZAWISIT OT SWOJSTW FUNKCII TOKA. a POSLEDNEE, W SWO@ O^EREDX, ZAWISIT OT TOGO, RASSMATRIWAETSQ OBTEKANIE KAPLI ILI TW

zADA^A SODERVIT DWA PARAMETRA: ^ISLO pEKLE Pe I POSTOQNNU@ SKOROSTI HIMI^ESKOJ REAKCII kv. w SLU^AE NALI^IQ NELINEJNOJ HIMI^ESKOJ REAKCII RANEE ZADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII ISSLEDOWALISX NA FIZI^ESKOMUROWNE STROGOSTI, ISPOLXZUQ METODY MODELXNYH URAWNENIJ I ANALOGIJ, I METOD INTERPOLQCII. bYLI POLU^ENY INTERPOLQCIONYE FORMULY DLQ NAHOVDENIQ POLNOGO DIFFUZIONNOGO POTOKA ( [7], GL 5).

aPROBACIQ RABOTY. oSNOWNYE REZULXTATY DISSERTACII DOKLADYWALISX NA SEMINARE iNSTITUTA MATEMATIKI I MEHANIKI uR. nc ran (RUK., AKADEMIK ran, a.f. sIDOROW), NA SEMINARE PO ASIMPTOTI^ESKIM METODAM iNSTITUTA MATEMATIKI I MEHANIKI uR. nc ran (RUK., AKADEMIK ran, a.m. iLXIN), NA SEMINARE PO DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI iNSTITUTA MATEMATIKI S wY^ISLITELXNYM CENTROMuFIMSKOGO nc ran (RUKOWODITELI SEMINARA PROF. l.a. kALQKIN, PROF. w.`.

nOWOK[ENOW), NA sANKT-pETERBURGSKOM (GORODSKOM) SEMINARE PO DIFRAKCII I RASPROSTRANENI@ WOLN (RUKOWODITELX SEMINARA PROF., w. m. bABI^), NA SEMINARE ^L. KORR. ran p.i. pLOTNIKOWA W iNSTITUTE GIRODINAMIKI IM. m.a. lAWRENTXEWA I DR., NA mEVDUNARODNYH KONFERENCIQH: "kOMPLEKSNYJ ANALIZ, DIFFERENC. UR-NIQ I SMEVNYE WOPROSY" ( uFA, iN-T MATEM. S WY^ISL. CENTROM uF. nc ran, 1996, 2000), "kUBATURNYE FORMULY I IH PRILOVENIQ." VI{J MEVDUNARODNYJ SEMINAR-SOWE]ANIE (iN-T MATEM.

S WY^ISL. CENTROM uF. nc ran ( G. uFA, bgpu, 2001 G.), "aSIMPTOTIKI RE[ENIJ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ", POSWQ]

IN-T IM. w.a. sTEKLOWA. mgu, 21-26 MAQ 2007 G.), "uFIMSKAQ MEVDUNARODNAQ NAU^NAQ KONFERENCIQ, POSWQ]

~ASTX REZULXTATOW POLU^ENA AWTOROM DISSERTACII W HODE RABOT PO PROEKTAM rOSSIJSKOGO FONDA FUNDAMENTALXNYH ISSLEDOWANIJ ( KODY PROEKTOW:

99-01-01143, 02-01-00693, 06-01-00138) I wEDU]IH NAU^NYH [KOL (KODY PROEKTOW: 96-15-96241, 00-15-96038, n{-1446.2003.1 ).

pUBLIKACII. pO TEME DISSERTACII OPUBLIKOWANY RABOTY [12]-[24]. w AWTOREFERATE PRIWEDEN SPISOK OSNOWNYH PUBLIKACIJ. w RABOTE [22] IMEETSQ SSYLKA NA RABOTU S SOAWTORAMI. |TI REZULXTATY ^ISLENNOGO HARAKTERA PRIWEDENY W DISSERTACII DLQ POLNOTY IZLOVENIQ REZULXTATOW I NE WYNOSQTSQ NA ZA]ITU.

sTRUKTURA I OB_

wNIMANIE AWTORA K WOPROSAM, ZATRAGIWAEMYM W DISSERTACII BYLO PRIWLE^ENO a.m. iLXINYM. aWTOR WYRAVAET BLAGODARNOSTX EMU, A TAK VE a.

d. pOLQNINU I WSEM U^ASTNIKAM UPOMQNUTYH SEMINAROW ZA POLEZNOE OBSUVDENIE.

kRATKOE SODERVANIE RABOTY w DISSERTACII STROQTSQ ASIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ (A. R.) PO MALOMU PARAMETRU RE[ENIJ WNE[NIH KRAEWYH ZADA^ DLQ \LLIPTI^ESKIH URAWNENIJ S MALYM PARAMETROM PRI STAR[IH PROIZWODNYH W SLU^AQH, KOGDA PREDELXNYE URAWNENIQ IME@T OSOBYE TO^KI TIPA "SEDLA" NA GRANICE OBLASTI. dLQ RE[ENIQ TAKIH ZADA^ PRIMENQETSQ METOD SOGLASOWANIQ A. R.:

W POGRANI^NYH SLOQH WWODQTSQ POGRANSLOJNYE PEREMENNYE, STROQTSQ FORMALXNYE ASIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ ( F. A. R. ) RE[ENIJ, PROWODITSQ OBOSNOWANIE. sLOVNOSTX PRIMENENIQ METODA SOGLASOWANIQ SOSTOIT W TOM, ^TO W POGRANI^NYH SLOQH PRI NAHOVDENII STRUKTURY F. A. R., PRI IH SOGLASOWANII I OBOSNOWANII PRIHODITSQ POROJ WYPOLNQTX TRUDNYE I GROMOZDKIE WY^ISLENIQ. pRI \TOMW KAVDOJ ZADA^E WOZNIKA@T SWOI SPECIFI^ESKIE OSOBENNOSTI.

wPERWOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ ZADA^A KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO KAPLI. rASSMOTRIM MATEMATI^ESKU@ POSTANOWKU ZADA^I O KONWEKTIWNOJ DIFFUZII. dLQ UDOBSTWA KAPL@ BUDEM S^ITATX SFERI^ESKOJ. pRI RQDE UPRO]A@]IH PREDPOLOVENIJ STACIONARNOE URAWNENIE KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W BEZRAZMERNYH PEREMENNYH IMEET WID "2 u ; (V r)u =0 (1) GDE "2 = Pe;1 - MALYJ PARAMETR ( SOOTWETSTWUET BOLX[IM ^ISLAM pEKLE Pe), - OPERATOR lAPLASA, WEKTOR - FUNKCIQ V DLQ SFERI^ESKOJ ^ASTICY IZWESTNA I WYRAVAETSQ ^EREZ FUNKCI@ TOKA (r ), GDE r - SFERI^ESKIE KOORDINATY, r > 1 2 (0 ). w SLU^AE OBTEKANIQ SFERI^ESKOJ KAPLI 1 (r ) = (r ; 1)(2r ; ; ) sin2 (2) 4 +1 +1 r GDE - OTNO[ENIE WQZKOSTI KAPLI K WQZKOSTI OKRUVA@]EJ SREDY. tOGDA 1 @ 1 @ V =(vr v 0) vr = v = ; : (3) r2 sin @ r sin @r tREBUETSQ POSTROITX OGRANI^ENNOE RE[ENIE u(r ), UDOWLETWORQ@[EE USLOWIQM @u u(1 ) =0 u ! 1 PRI r !1 =0 PRI = =0 : (4) @ w OKRESTNOSTI KAPLI WOZNIKA@T NESKOLXKO POGRANI^NYH SLO

wO WNE[NEJ OBLASTI u(e) 1. a. R. DIFFUZIONNOM POGRANI^NOM SLOE STROITSQ W PEREMENNYH = (r ; 1)";1. w DIFFUZIONNOM POGRANI^NOM SLOE RE[ENIE I]ETSQ W WIDE X u(0)( ") = "ku(0)( ): (5) k k=pODSTAWLQQ RQD (5) W URAWNENIE (1), RAZLAGAQ TAKVE KO\FFICIENTY \TOGO URAWNENIQ, I PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH ", PRIHODIM K SLEDU@]EJ REKURRENTNOJ SISTEME URAWNENIJ @2u(0) cos @u(0) sin @u(0) k k k Lu(0)( ) ; + = k @ 2 +1 @ 2( +1) @ = lk(u(0)( ) u(0)( ) u(0) ( )) (6) 0 1 k;GDE l0 0. fUNKCII u(0)( ), KROME TOGO, DOLVNY UDOWLETWORQTX GRANI^k NYM USLOWIQM > = u(0)(0 ) = 0 u(0)( ) ! 1 !1 @u(0)=@ =0 PRI = 0 0 (7) > u(0)(0 ) = 0 u(0)( ) ! 0 !1 @u(0)=@ =0 = k > 0 :

k k k fUNKCII u(0)( ) OPREDELQ@TSQ IZ REKURRENTNOJ SISTEMY DIFFERENk CIALXNYH URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA, WYROVDA@]IHSQ NA GRANICE OBLASTI. iZWESTNO, ^TO NA LINII WYROVDENIQ, KAK PRAWILO, TREBUETSQ DOPOLNITELXNOE ISSLEDOWANIE. w \TOM SLU^AE NA LINII = DOSTATO^NO ` `X e X P P '$ H` H ` ? ` ` 3 X X &% H H P PX Xh X h X H H P PX X h h rIS. e -wNE[NQQ OBLASTX, 0 - dIFFUZIONNYJ POGRANI^NYJ SLOJ, 1- kONWEKTIWNO - POGRANSLOJNAQ OBLASTX, 2 - wNUTRENNQQ OBLASTX DIFFUZIONNOGO SLEDA, 3 - oBLASTX ZADNEJ KRITI^ESKOJ TO^KI, 4 - oBLASTX SME[ENIQ TREBOWATX USLOWIE OGRANI^ENNOSTI. zDESX OBY^NO ZADA@T USLOWIE SIMMETRII (RAWENSTWO NUL@ PERWOJ PROIZWODNOJ RE[ENIQ). a ZNA^ENIE RE[ENIQ NA \TOJ LINII WYROVDENIQ NELXZQ ZADAWATX. w NEKOTORYH SLU^AQH NA LINII WYROVDENIQ RE[ENIE MOVET BYTX RAZRYWNOJ. gLAWNYJ ^LEN ASIMPTOTIKI IMEET WID x p u(0)( ) V0(x t) = erf( ): (8) 2 t Z 1 x = sin2( ) t = t( ) t( ) = sin3 t dt: (9) 2( +1) 2( +1) pUSTX > 0, D = f( ) : 0 0 ; g.

oPREDELENIE 1 pOSREDSTWOM w O BOZNA^IM KLASS F UNKCIJ g( ) 2 C (D ) I TAKIH, ^TO PRI ! 0 SPRAWEDLIWO A. R. : SU]ESTWUET > 0, ^TO DLQ L@BOGO NATURALXNOGO N N;X 2 2k 2N g( ) = exp(; ) 'k( ) + O( exp(; )) (10) k=GDE =1=2( +1), FUNKCII 'k( ) RASTUT NE BYSTREE NEKOTOROJ STEPENI PRI !1. w O BLASTI D SPRAWEDLIWA OCENKA g( ) = O(exp(; )), GDE ZAWISIT OT. aNALOGI^NYE OCENKI SPRAWEDLIWY I DLQ PROIZWODNYH g( ). pRI^EM A. R. (10) MOVNO D IFFERENCIROWATX L@BOE ^ISLO RAZ.

iZ FORMULY (8) SLEDUET, ^TO PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ (6) DLQ u(0)( ;

) PRINADLEVIT KLASSU B. tAKIM VE SWOJSTWOM OBLADA@T PRAWYE ^ASTI OSTALXNYH URAWNENIJ SISTEMY (6).

tEOREMA 1.1 pUSTX F UNKCIQ (r ) IMEET WID (2). tOGDA SU]ESTWUET TAKOE RE[ENIE ZADA^I (1), (4), ^TO u(0)( ; ) 2 B PRI n n u(0)( ; ) OPREDELENO WY[E u(0)( ; ) V0(x t) (SM. (8), (9)).

0 fUNKCII u(0)( ) POSTROENY W RAZDELE 1.2 I ISLEDOWANY ASIMPTOTIk ^ESKIE RAZLOVENIQ RE[ENIQ PRI !, ! 0. |TI FUNKCII \KSPONENCIALXNO UBYWA@T NA BESKONE^NOSTI, ZA ISKL@^ENIEM SLEDA ZA ^ASTICEJ (SM. OBLASTI 1 - 4). dOKAZANO, ^TO FUNKCII u(0)( ) QWLQ@TSQ GLADKIMI k PRI 0 < 0. tAKIM OBRAZOM, DOKAZANO, ^TO W OKRESTNOSTI TO^KI o (1 ) (TO^KI NABEGANIQ POTOKA K KAPLE) NIKAKIH DRUGIH POGRANI^NYH SLO

w OBLASTI ZADNEJ KRITI^ESKOJ TO^KI ( TO^KI STEKANIQ VIDKOSTI S KAPLI ) ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ STROITSQ W PEREMENNYH = q =" =(r ; 1) =", GDE =1= 2( +1) I I]ETSQ W WIDE 1 X X u(3)( ") = lni " "i+ku(3)( ): (11) i k i=0 k=pODSTAWLQQ RQD (11) W URAWNENIE (1) ( RAZLAGAQ TAKVE KO\FFICIENTY URAWNENIQ ) I PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH ", ln " PRIHODIM K SLEDU@]EJ REKURRENTNOJ SISTEME URAWNENIJ e Lu(3)( ) = Lk(u(3) u(3) u(3) ) (12) i k i 2 i 3 i k;e GDE L2 ! 1 @ @ @2 @ @ L + + ; :

@ @ @ 2 @ @ pRAWYE ^ASTI SISTEMY REKURRENTNO ZAWISQT OT u(3)( ) DO l = k ; 1, RAZi l LAGA@TSQ W ASIMPTOTI^ESKIE RQDY STEPENNOGO TIPA ( S LOGARIFMI^ESKIMI MNOVITELQMI OT ), RASTU]IE NA BESKONE^NOSTI.

fUNKCII u(3)( ) STROQTSQ KAK RE[ENIE SISTEMY (12), UDOWLETWORQ@i k ]EE GRANI^NYM USLOWIQM @u(3)( ) i k u(3)( 0) =0 =0 PR I =0 (13) i k @ I USLOWIQM SOGLASOWANIQ u(3)( ) ; zi k( ) ! 0 PRI !1 (14) i k I PRI L@BOMFIKSIROWANNOM > 0, GDE zi k( ) POLU^ENY PEREPISYWANIEM RQDA (5) W PEREMENNYH. sNA^ALA ISSLEDUETSQ URAWNENIE ! 1 @ @u @2u @u @u + + ; = f( ) @ @ @ 2 @ @ W POLUPLOSKOSTI D : f( ) : 2 R1 > ag, GDE a > 0, FUNKCIQ f( ) STREMITSQ K NUL@ NA BESKONE^NOSTI I DOSTATO^NO GLADKAQ. w RABOTE [14] DOKAZANA TEOREMA SU]ESTWOWANIQ, POLU^ENY OCENKI RE[ENIQ I POSTROENO ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ PRI !1. zATEM STROITSQ ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ PO MALOMU PARAMETRU ( STROQTSQ FUNKCII u(3)( ) ) I ISLEDU@TSQ ASIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA NA BESKONE^NOSTI i k FUNKCIJ u(3)( ). zATEM PROWODITSQ OBOSNOWANIE, POLXZUQSX USLOWIEM SOi k GLASOWANIQ I BARXERNYMI FUNKCIQMI [18].

oPREDELENIE 2 fUNKCIQ f( ) 2 Fk l(R+) ESLI WYPOLNENY USLOWIQ:

1) f( ) 2 C PRI 0 I 2) PRI !1 DLQ L@BOGO N SPRAWEDLIWO A. R.

0 l N;X X ;N @ A f( ) = lni k;i ;j=2Ci j + O( ) :

i=0 j=iZ RABOTY [18] SLEDUET SPRAWEDLIWOSTX A. R.

X 2k u(0) = P2k ( ) GD E Pl(x) ; MNO G O ^LE NY S T E P E N I l (15) ;k=n N X X ;n+i+l N;n u(0) = lni ui n l( ) + O( (1 + )N+1) (16) n i=0 l=ESLI 0 0 < < 1 0 GDE ui n l( ) 2 Fl n;i(R+) n 1:

rASSMOTRIM ^ASTI^NU@ SUMMU RQDA (5) n X u(0)( ") = "ku(0)( ): (17) ^ n k k=pRI ! 0 I MALYH FUNKCII u(0)( ) ZAMENIM IH A. R. (15), (16) I k PEREPI[EM W PEREMENNYH = =":

n k < X X(ln " +ln )i u(0)( " ") = "k ^ n :

k=0 i=2 3= N;i X ;k+i+l N;k 4 (" ) ui k l( ) + O( (1 + )N+1) (18) l=GDE ui n l( ) 2 Fl n;i(R+) (SM. (16)). gRUPPIRUQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH " ln ", POLU^AEM m m;i X X u(0)( " ") = lni " "i+lzi l n( ) + ^ n i=0 l=n X m;k +O( "k (1 + )m+1) PRI m< n (19) k=GDE DLQ zi l n( ) SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE n n X X ;k+i+l zi l n( ) = lni gi k l( ) (20) i=0 k=PRI^

oPREDELENIE 3 fUNKCIQ b(x) 2 BA(R), GDE A> 0, ESLI b(x) 2 C (R), QW ;A=2+mi LQETSQ ^ETNOJ, I dib=dxi M(1+x2) DLQ NEKOTORYH m> 0 M > I L@BOGO i 0.

oPREDELENIE 4 fUNKCIQ h( ) 2 BA l k(D), GDE D = f( ) : 2 R > 0g, A> 0 l 2 R, I CE LO E k 0, ESLI WYPOLNENY USLOWIQ:

1) h( ) 2 C (D) I QWLQETSQ ^ETNOJ OTNOSITELXNO 2) PRI 2 R 1 SPRAWEDLIWA OCENKA: 9m> 0 8i j 0 9M> @i+jh( ) M(1 + ) A 2 ; +m(i+j) i j @ @ 3) DLQ 2 R 1 SPRAWEDLIWO A. R. PRI !0 N X ;j l;N @ A h( ) = l Pk+j A(ln ) + O 0 j=GDE Pm A(x z) - POLINOMY STEPENI NE W Y[E m OTNOSITELXNO x S KO\FFICIENTAMI bi(z) 2 BA(R), PRI^EM DANNOE ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE i j DOPUSKAET DIFFERENCIROWANIE, OSTATO^NYJ ^LEN DLQ @i+jh( )=@ @ 2 ;A=2+m(i+j) IMEET PORQDOK O l;N+i i j, GDE =(1 + ) i j fUNKCIQ u(3)( ) IMEET WID C1 (C2 + ) (SM. [7], GL. 1, (3.17)). pRI 0 POSTROENII FUNKCIJ u(3)( ) DLQ i + k > 2 BUDEM POLXZOWATXSQ SLEDU@]EJ i k TEOREMOJ O RE[ENII KRAEWOJ ZADA^I Lw( ) = f( ) w( 0) = 0: (21) tEOREMA 3.1 pUSTX f( ) 2 BA (D), GDE A - DOSTATO^NO BOLX[OE, ;1 k CELOE k 0. tOGDA SU]ESTWUET RE[ENIE ZADA^I (21) TAKOE, ^TO w( ) BB (D), GDE B !1 PRI A !1.

;1 k+dOKAZATELXSTWO TEOREMY SLEDUET IZ TEOREMY 2.1 RABOTY [18]. fUNKCII zi k n( ) PRODOLVIM SNA^ALA GLADKIM OBRAZOM DO NULQ ( I OBOZNA^IM zi k n( ) ), A ZATEM ^

1)Wi k n( ) 2 C (D), QWLQETSQ ^

tEOREMA 3.2 dLQ L@BYH INDEKSOW i k - TAKIH, ^TO 3 i + k n 0 < < 1 n - DOSTATO^NO BOLX[OE, SU]ESTWUET RE[ENIE ZADA^I (12), (13), UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM S OGLASOWANIQ (14), I IME@]EE PREDSTAW LENIE u(3)( ) = Wi k n( ) + !i k n( ) (23) i k GDE Wi k n( ) OPREDELENA RAWENSTWOM (22), k X !i k n( ) = qi k j( ) qi k k( ) 2 Bnk k (D) qi k j( ) 2 Bnj (D) ;1 0 ;1+j k;j j=PRI 0 j < k I nj !1 PRI n ; i ; k !1.

zAME^ANIE 1 w S FORMULIROWANNOJ WY[E TEOREME FUNKCII Wi k n( ) !i k n( ) OPREDELENY W OBLASTI D I QWLQ@TSQ ^ETNYMI F UNKCIQMI O TNOSITELXNO. tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I ^ETNO PRO DOLVENO NA ZNA^ENIQ < 0 I ^E RE Z u(3)( ) OBOZNA^ENY ^ETNO PRODOLi k VENNYE RE[ENIQ.

a.R. RE[ENIQ W KONWEKTIWNO - POGRANSLOJNOJ OBLASTI 1 STROITSQ W PE;1 ;REMENNYH z = " (r ) = " f(y)t2 y = r ; 1. wID A.p. W \TOMPOGRANI^NOM SLOE OPREDELQETSQ IZ USLOWIJ SOGLASOWANIQ S A.p. RE[ENIQ W OBLASTI 0. a.

R. RE[ENIQ W OBLASTI 1 I]EM W WIDE RQDA 1 k;X X u(1)(z y ") = "k lni "u(1)(z y): (24) i k k=0 i=w URAWNENII (1) PEREJDEM K PEREMENNYM z y I, PODSTAWLQQ W POLU^ENNOE URAWNENIE RQD (24), PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH " ln ", PRIHODIM K SISTEME @u(1)(z y) i k (1) = fi k (u(1) u(1) u(1) ) (25) i i+1 i i+2 i k;@y (1) ;k ;k GDE f0 0 0: pRAWYE ^ASTI IME@T OCENKI PORQDKA O((y (zk +1) + yk z ) exp(; z2)). tREBUETSQ NAJTI A. R. RE[ENIQ URAWNENIQ (25), UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM SOGLASOWANIQ DLQ FUNKCIJ u(1) PRI y ! i k (1) ;l u(1)(z y) ; Wi k (z y) = o(y z exp(; z2)) (26) i k (1) DLQ L@BOGO 2 (0 1=2) l 0. zDESX FUNKCII Wi k (z y) POLU^ENY PEREPISYWANIEM A. R. FUNKCIJ u(0)( ) PRI ! 0 I z OTDELENNYH OT NULQ.

k fUNKCII u(1)(z y) POSTROENY W RABOTE [21].

i k a.p. RE[ENIQ W OBLASTI 2 (WO WNUTRENNEJ OBLASTI DIFFUZIONNOGO SLEDA) ;I]EM W PEREMENNYH = " y = r ; 1: wID A.p. RE[ENIQ OPREDELQETSQ STRUKTUROJ A.p. RE[ENIJ W OBLASTQH 1, 3 WBLIZI OBLASTI 2. a.p. RE[ENIQ W OBLASTI 2 I]EM W WIDE RQDA 1 k;X X u(2)( y ") = "k lni "u(2)( y): (27) i k k=1 i=w URAWNENII (1) PEREJDEM K PEREMENNYM y I, PODSTAWLQQ W POLU^ENNOE URAWNENIE RQD (27), PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH " ln ", PRIHODIM K SISTEME (2) L(2)u(2)( y) = fi k (u(2) u(2) u(2) ) (28) y i k i i+1 i i+3 i k;(2) GDE f0 1 @ @V @V L(2)V 2 ( ) ;

y @ @ @y (2) ;k+i I SPRAWEDLIWY OCENKI fi k ( y) = O(y (1 + j xj )k), x = ; =(2y). |TI URAWNENIQ QWLQ@TSQ WYROVDA@]IMISQ PRI = 0 PARABOLI^ESKIMI URAWNENIQMI. aSIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA RE[ENIJ ISSLEDU@TSQ, W ^ASTNOSTI, W RABOTE [14]. wMESTE S TEM PRIHODITSQ DOPOLNITELXNO ISSLEDOWATX \TO URAWNENIE. tREBUETSQ POSTROITX GLADKIE RE[ENIQ URAWNENIJ (28), UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM p @u(2) i k z j =0 (29) z=@ USLOWIQM SOGLASOWANIQ PRI !1 ;m u(2)( y) ; Vi k( y) = o(y (1 + ) ) (30) i k DLQ L@BOGO 2 (0 1=2) I USLOWIQM SOGLASOWANIQ PRI y ! (3) u(2)( y) ; Vi k ( y) = o(y (1 + )l) (31) i k DLQ L@BOGO 2 (0 1=2).

;

oPREDELENIE 5 ~EREZ Km l(R ), GDE m l - CELYE, m 0, OBOZNA^IM KLASS BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH F UNKCIJ q(x) PRI x < 0, I IME@]IH PRI x !;1 ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE m m X X ;r ;m q(x) = lnj j xj ( xl bj l r + O(xl )): (32) j=0 r=tEOREMA 5.1 sU]ESTWUET RE[ENIE SISTEMY (28), UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM (29), USLOWIQM SOGLASOWANIQ (30), (31), I TA KO E, ^TO u(2)( y) i k q s PRI y > 0 0. fUNKCIQ u(2)( y) = 3( +1)=2 ( +2y): pRI k > 0 I y ! 0 SPRAWEDLIWO A. p.

m;i;j k;2;i X X ;k+2+i+j+l u(2)( y) = lnj y( y qi k j l(x)) + i k j=0 l=;+O(ym;k(1 + j xj )k ) (33) ;

GDE x = ; =(2y), qi k j l(x) 2 Kk l (R ) PRI l < k ; 2 ; i ; j, qi l j(x) ;i ; Kk k (R ) PRI l k ; 2 ; i ; j, qi k j l(x) 2 C PRI x 0:

;fUNKCII u(2)( y) POSTROENY W RABOTE [21].

i k ;a. p. RE[ENIQ W OBLASTI SME[ENIQ 4 STROITSQ W PEREMENNYH z = " (r ) = "r = "(y + 1). wID A.p. W \TOM POGRANI^NOM SLOE OPREDELQETSQ IZ USLOWIJ SOGLASOWANIQ S A.p. RE[ENIQ W OBLASTQH 1, 2. a.R. RE[ENIQ W OBLASTI 4 I]EM W WIDE RQDA 1 k;X X u(4)(z ") = "k lni "u(4)(z ): (34) i k k=0 i=w URAWNENII (1) PEREJDEM K PEREMENNYM z I, PODSTAWLQQ W POLU^ENNOE URAWNENIE RQD (34), PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH " ln ", PRIHODIM K SISTEME L(2)u(4)(z ) = fk (u(4) u(4) u(4) ) (35) ; z i k i i i i+1 i k;GDE fk 0 PRI k 0, QWNYJ WID PRAWOJ ^ASTI (35) ZDESX NE WYPISYWAEM, @ @V @V L(2)V 2 (z ) ; :

z @z @z @ zAMETIM, ^TO LEWYE ^ASTI URAWNENIJ \TOJ SISTEMY TAKOGO VE WIDA, ^TO I W OBLASTI 2. oTLI^IE SOSTOIT W TOM, ^TO W OBLASTI 2 KLASSY FUNKCIJ BYLI RASTU]IE NA BESKONE^NOSTI, A ZDESX FUNKCII \KSPONENCIALXNO UBYWA@T PRI z ! 1. kROME TOGO, USLOWIQ SOGLASOWANIQ POLU^ENY SOGLASOWANIEM A. R. W POGRANI^NYH SLOQH 1, 2 PO PEREMENNYM z PRI y ! 1 uSLOWIQ SOGLASOWANIQ DLQ FUNKCIJ u(4) PRI ! 0 IME@T WID i k (4) ;l u(4)(z ) ; Wi k (z ) = o( (exp(; z2) + (1 + j sj ) )) (36) i k (4) DLQ L@BOGO 2 (0 1=2) l 0, GDE FUNKCII Wi k (z POLU^ENY PEREPISYWANIEM SOGLASOWANNYH A. R. (24), (27) PRI y !1.

p @u(4) i k s j =0: (37) s=@s fUNKCII u(2)(z ) W KLASSE GLADKIH FUNKCIJ POSTROENY W RABOTE [21].

i k tEOREMA 6.1 sU]ESTWUET RE[ENIE S ISTEMY (35), UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM SOGLASOWANIQ (36), GRANI^NYM USLOWIQM (37) I TAKOE, ^TO PRI ! 0 SPRAWEDLIWO ar:

m X l m+u(4)(z ) = gl(z) + O( exp(; z2)) 0 l=A PRI k > k;1;i m X X ;k+1+i+j+l u(4)(z ) = lnj ( gi k j l(z)))+ i k j=0 l=m++O( exp(; z2)) z " k;1;i m X X ;k+1+i+j+l u(4)(z ) = lnj ( (Fi k j l(s)+ i k j=0 l=m++ O( (1 + j sj )m+1) z 2" (38) p GDE s = ;z=(2 ), g0(z) = erf(z=(2 )), gi k j l(z) 2 Q (R+), 0 k;1;i;j ;k+1+i+j ; 1 ;

Fi k j l(s) 2 Kk (R ) Fi k j l(s) 2 C (R ) I S PRAWEDLIWA OCENKA ;1;i;j l+gi k j l(z) = O(exp(; z2)) 0 < < z z0 > 0:

1 rASSMOTRIM ^ASTI^NYE SUMMY RQDOW (5), (11), (24), (27), (34), WIDA u(0) ( ") ^ 4N u(3) ( ") u(1) (z y ") u(2) ( y ") u(4)(z "): zDESX NIVNIE INDEKSY OZNA^ ^ ^ ^ 3N 3N 2N N ^A@T PORQDKI ^ASTI^NYH SUMM UKAZANNYH RQDOW PO STEPENQM ". wWEDEM ( ; (0) OBOZNA^ENIQ OBLASTEJ: D"e) = f(r ) : "1 r ; 1 " ^ g D" = ; (1) ;

f(r ) : 0 r ; 1 2"1 " g D" = f(r ) : "1 r ; ;1 (2) ; ;2" " +1 ^ 2" g D" = f(r ) : "1 r ; 1 2" 0 ^ 2" +1 g (3) ;

D" = f(r ) : 0 r ; 1 2"1 0 2" g, GDE 0 < < < < 1, (4) ;D" = f(r ) : " r ^ 2" g:

uSTROIM GLADKOE RAZBIENIE EDINICY TAK, ^TOBY [ X ( ( (r ") 1 PR I (r ) 2 D"i)n( D"j)) 1 NA D i i j=i i DLQ WSEH i = e 0 1 2 3 4: dALEE OBOZNA^IM UN(r ") = (r ") + (r ")^ ( ") + (r ")^ ( ") (39) u(0) u(3) e 0 4N 3N YN(r ") = (r ")^ (z y ") + (r ")^ ( y ") + u(1) u(2) 1 3N 2N + (r ")^ "): (40) u(4)(z N TN(r ") = UN(r ") + YN(r "): (41) pUSTX u"(r ) - RE[ENIE ZADA^I (1), (4) (SM. TEOREMU 4 RABOTY [18]).

oBOSNOWANIE POSTROENNYH W GLAWE 1. A.R. DAETSQ W SLEDU@]EJ TEOREME.

tEOREMA 6.2 pUSTX (r ) IMEET W ID (2). tOGDA NA MNOVESTWE D DLQ L@BOGO DOSTATO^NO BOLX[OGO N WYPOLNENA OCENKA j u"(r ) ; TN(r ")j M" N (42) GDE 0 < ZAWISIT LI[X OT M - ZAWISIT OT I N.

wO WTOROJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ ZADA^A KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO ^ASTICY. sTACIONARNOE URAWNENIE KONWEKTIWNOJ DIFFUZII IMEET WID "3 u ; (V r)u =0 (43) ;GDE "3 = Pe - MALYJ PARAMETR. wOOB]E GOWORQ, WNE[NIJ WID URAWNENIQ TAKOJ VE, KAK I URAWNENIE (1). nO WWIDU IZMENENIQ FUNKCII TOKA ( SM. NIVE ), SLEDOWATELXNO I MAS[TABOW RASTQVENIQ W POGRANI^NYH SLOQH, UDOBNEE MNOVITELX PISATX W WIDE "3. w SLU^AE OBTEKANIQ TW

1)=". w \TOM POGRANI^NOM SLOE RE[ENIE I]ETSQ W WIDE X u(0)( ") = "ku(0)( ): (46) k k=pODSTAWLQQ RQD (46) W URAWNENIE (43) ( RAZLAGAQ TAKVE KO\FFICIENTY URAWNENIQ ) I PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH ", PRIHODIM K SLEDU@]EJ REKURRENTNOJ SISTEME URAWNENIJ @2u @u @u (0) ; cos + sin = Fk ( ) (47) @ 2 @ @ (0) GDE F0 ( ) 0.

fUNKCII u(0)( ), KROME TOGO, DOLVNY UDOWLETWORQTX GRANI^NYM USLOk WIQM > = u(0)(0 ) = 0 u(0)( ) ! 1 !1 @u(0)=@ =0 PRI = 0 0 (48) > u(0)(0 ) = 0 u(0)( ) ! 0 !1 @u(0)=@ =0 = k > 0:

k k k fUNKCII u(0)( ) OPREDELQ@TSQ IZ REKURRENTNOJ SISTEMY DIFFERENk CIALXNYH URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA, WYROVDA@]IHSQ NA GRANICE OBLASTI. |TI FUNKCII \KSPONENCIALXNO UBYWA@T NA BESKONE^NOSTI, ZA ISKL@^ENIEM SLEDA ZA ^ASTICEJ. dOKAZANO, ^TO FUNKCII u(0)( ) QWLQ@TSQ k GLADKIMI PRI 0 < 0. tAKIM OBRAZOM, DOKAZANO, ^TO W OKRESTNOSTI TO^KI o (1 ) (TO^KI NABEGANIQ POTOKA K ^ASTICE) NIKAKIH DRUGIH POGRANI^NYH SLO

w OBLASTI ZADNEJ KRITI^ESKOJ TO^KI (TO^KI STEKANIQ VIDKOSTI S ^ASTICY) ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ STROITSQ W PEREMENNYH = (3=2)1=3 =", =(3=2)1=3(r ; 1)=" I I]ETSQ W WIDE 1 X X u(3)( ") = lni " "i+ku(3)( ): (49) i k i=0 k=pODSTAWLQQ RQD (49) W URAWNENIE (43) ( RAZLAGAQ TAKVE KO\FFICIENTY URAWNENIQ ) I PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH ", ln " PRIHODIM K SLEDU@]EJ REKURRENTNOJ SISTEME URAWNENIJ (3) (3) L1u(3)( ) = Fi k ( ) GD E F0 1 ( ) 0 (50) i k ! 1 @ @ @2 @ @ L1 = + + ;

@ @ @ 2 @ @ fUNKCII u(3)( ) STROQTSQ KAK RE[ENIE SISTEMY (50), UDOWLETWORQ@i k ]EE GRANI^NYM USLOWIQM @u(3)( ) i k u(3)( 0) =0 =0 PR I =0 (51) i k @ I USLOWIQM SOGLASOWANIQ u(3)( ) ; zi k( ) ! 0 PRI !1 (52) i k I PRI L@BOM FIKSIROWANNOM > 0, GDE zi k( ) POLU^ENY PEREHODQ W RAZLOVENII (46) K PEREMENNYM. zAMETIM, ^TO GLAWNYJ ^LEN ASIMPTOTIKI RE[ENIQ (FUNKCIQ u(3)( )) POSTROENA W RABOTAH [15], [16]. nIVE PRIWODIM 0 FORMULIROWKU TEOREMY. sFORMULIRUEM ZADA^U 0 1 @ @u(3) @2u(3) @u(3) @u(3) B 0 1 C 0 1 0 @ A + + ; 2 0 1 =0 (53) @ @ @ 2 @ @ @u(3)( ) 0 u(3)( 0) =0 =0 PR I =0 (54) 0 @ u(3)( ) ; A ! 0 PRI !1 (55) 0 ;1=3 ;I > 0, GDE A =32=3 [;(1=3)]. fUNKCIQ u(0)( ) IMEET WID ( [7], GL.3, (1.16)) 1 1 ;u(0)( ) = [;( )] ( ) (56) 3 3 p R x ;y GDE (t x) = e yt;1dy - NEPOLNAQ GAMMA FUNKCIQ, = ( 3=2)t sin = p p R ( 3=4) sin2 tdt = ( 3=8)( ; +(1=2) sin 2 ): uSLOWIE SOGLASOWANIQ (55) POLU^ENO PUTEM WYDELENIQ GLAWNOGO ^LENA RAZLOVENIQ FUNKCII u(0)( ) W RQD PRI ! 0 I PEREHODA K PEREMENNYM.

u(0)( ) = "A + o("): (57) tAKIM OBRAZOM, PRI 0 O(") 0 r ; 1 O(") POLU^AEM WID ASIMPTOTIKI FUNKCII u(r ") u(r ") = "u(3)( ) + o("): (58) 0 fUNKCIQ u(3)( )) BUDET POSTROENA KAK RE[ENIE ZADA^I (53)-(55), UDOWLE0 TWORQ@]EE, KROME TOGO, USLOWI@ ROSTA FUNKCII u(3)( ) NE BYSTREE STE0 PENNOJ:

a u(3)( ) = O( (1 + )b) (59) 0 DLQ NEKOTORYH a > 0 b > 0 I WSEH 2 D, GDE D = f( ) > 0 > 0g.

tEOREMA 8.4 sU]ESTWUET RE[ENIE u(3)( )) 2 C (D) ZADA^I (53)0 (55) TAKOE, ^TO PRI !1 SPRAWEDLIWO A SIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLE NIE 1=2 2 ;u(3)( )) = (;1=2 1 ; =4)(1 + O( )) (60) 0 p GDE ( x); WYROVDENNAQ GIPERGEOMETRI^ESKAQ FUNKCIQ, = A(2=3)2=3.

tAKOE RE[ENIE W KLASSE F UNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IH O CENKE (59), EDINSTWENNO.

zAMETIM, ^TO ZADA^A (53)-(55) RANEE BYLA ISSLEDOWANA [10] ^ISLENNYMI METODAMI, POLXZUQSX USLOWIEM SOGLASOWANIQ S ASIMPTOTIKOJ RE[ENIQ W PRILEGA@]EJ K OKRESTNOSTI TYLXNOJ TO^KI WNUTRENNEJ OBLASTI DIFFUZIONNOGO SLEDA. sPRAWEDLIWA TAKVE TEOREMA OB ASIMPTOTIKE RE[ENIQ GLAWNOGO ^LENA RAZLOVENIQ W POGRANI^NOM SLOE OKRESTNOSTI ZADNEJ KRITI^ESKOJ TO^KI DLQ ZADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W SLU^AE OBTEKANIQ CILINDRA [17].

zATEM STROITSQ ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ PO MALOMU PARAMETRU ( STROQTSQ FUNKCII u(3)( ) ) I ISLEDU@TSQ ASIMPTOTI^ESKIE SWOJi k STWA NA BESKONE^NOSTI FUNKCIJ u(3)( ) ( [13]). aSIMPTOTI^ESKIE RQDY i k (46), (49) BYLI POSTROENY W KANDIDATSKOJ DISSERTACII. wO WTOROJ GLAWE POSTROENIE \TIH RQDOW I IH SOGLASOWANIE PRIWODQTSQ DLQ POLNOTY IZLOVENIQ, A TAK VE DLQ UDOBSTWA ^TENIQ. zAMETIM TAK VE, ^TO DLQ GLAWNOGO ^LENA ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ (49) BYLI IZU^ENY ASIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA NA BESKONE^NOSTI, NO NE BYLO USTANOWLENO SOGLASOWANNOSTX S RANEE IZWESTNYMI RE[ENIQMI W SLEDE ZA ^ASTICEJ. pO\TOMU POTREBOWALOSX DOPOLNITELXNOE ISSLEDOWANIE [15], [16]. rANEE GLAWNYJ ^LEN ASIMPTOTIKI BYL POSTROEN ^ISLENNYMI METODAMI [10].

a.R. RE[ENIQ W KONWEKTIWNO - POGRANSLOJNOJ OBLASTI 1 STROITSQ W PEREq q ;1 ;MENNYH z = " (r ) = " t f(y) y = r ; 1. wID A.p. W \TOMPOGRANI^NOM SLOE OPREDELQETSQ IZ USLOWIJ SOGLASOWANIQ S A.p. RE[ENIQ W OBLASTI 0. a.

R. RE[ENIQ W OBLASTI 1 I]EM W WIDE RQDA 1 k;X X u(1)(z y ") = "k lni "u(1)(z y): (61) i k k=0 i=w URAWNENII (43) PEREJDEM K PEREMENNYM z y I, PODSTAWLQQ W POLU^ENNOE URAWNENIE RQD (61), PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH " ln ", PRIHODIM K SISTEME @u(1)(z y) i k (1) = Fi k (z y) (62) @y (1) F0 1 (z y) 0. tREBUETSQ NAJTI A. R. RE[ENIJ URAWNENIJ (62), UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM SOGLASOWANIQ DLQ FUNKCIJ u(1) PRI y ! i k ;l u(1)(z y) ; Wi k(z y) = o(y z exp(; z3)) (63) i k DLQ L@BOGO 2 (0 1=2) l 0. zDESX FUNKCII Wi k(z y) POLU^ENY PEREPISYWANIEM A. R. FUNKCIJ u(0)( ) PRI ! 0 I z OTDEL

k fUNKCII u(1)(z y) POSTROENY W RABOTE [23].

i k a.p. RE[ENIQ W OBLASTI 2 ( WO WNUTRENNEJ OBLASTI DIFFUZIONNOGO SLEDA ;) I]EM W PEREMENNYH = " y = r ; 1: wID A.p. RE[ENIQ OPREDELQETSQ STRUKTUROJ A.p. RE[ENIJ W OBLASTQH 1, 3 WBLIZI OBLASTI 2. a.p. RE[ENIQ W OBLASTI 2 I]EM W WIDE RQDA [(k;1)=2] X X u(2)( y ") = "k=2 lni "u(2)( y): (64) i k k=1 i=w URAWNENII (43) PEREJDEM K PEREMENNYM y I, PODSTAWLQQ W POLU^ENNOE URAWNENIE RQD (64), PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH " ln ", PRIHODIM K SISTEME (2) L(2)u(2)( y) = Fi k ( y) (65) y i k (2) GDE F0 1 ( y) 0, @ @V @V L(2)V 2 ( ) ; :

y @ @ @y lEWYE ^ASTI \TIH URAWNENIJ TE VE, ^TO I W URAWNENIQH (28), NO ZDESX KLASSY FUNKCIJ NESKOLXKO DRUGIE. tREBUETSQ POSTROITX GLADKIE RE[ENIQ URAWNENIJ (65), UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM q @u(2) 0 j =0 (66) =@ USLOWIQM SOGLASOWANIQ PRI !1 ;m u(2)( y) ; Vi k( y) = o(y (1 + ) ) (67) i k DLQ L@BOGO 2 (0 1=2) I USLOWIQM SOGLASOWANIQ PRI y ! (3) u(2)( y) ; Vi k ( y) = o(y (1 + )l) (68) i k DLQ L@BOGO 2 (0 1=2). fUNKCII u(2)( y) POSTROENY W RABOTE [21].

i k oPREDELENIE 6 ~EREZ Mk l(R+), GDE k l - CELYE, k 0, OBOZNA^IM KLASS BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ g(z) PRI z > 0, IME@]IH PRI z ! 0 ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE k m X X g(z) = lnj z( zl+nbi j l + O(zl+m)) (69) j=0 n=A PRI z a > 0 SPRAWEDLIWA OCENKA g(z) = O(exp(; z3)) DLQ NEKOTOROGO > 0.

;

oPREDELENIE 7 ~EREZ Sm r(R ), GDE m { CELOE, m 0, r { RACIONALXNOE ^ISLO, OBOZNA^IM KLASS BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ q(x) PRI x < 0, I IME@]IH PRI x !;1 ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE m m X X r;l=2 ;m q(x) = lnj j xj ( j xj bj l r + O(xl )): (70) j=0 l=tEOREMA 10.2 sU]ESTWUET RE[ENIE SISTEMY (28), UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM (66) I USLOWIQM SOGLASOWANIQ (67), (68), I TAKOE, ^TO u(2)( y) i k s PRI y > 0 0. fUNKCIQ u(2)( y) = A0y1=2 (;1=2 1 x): pRI k > 1 I 0 y ! 0 SPRAWEDLIWO A. R.

[(k;2;i)=2] 2m;i;j X X (;k+2+i+j+l) u(5)( y) = lnj y( y qi k j l(x)) + i k j=0 l=+O(ym;k=2(1 + j xj )k) (71) ;

GDE x = ; =(2y), qi k j l(x) 2 Sk (R ) PRI l < 2k ; 2 ; 2i ; 2j, ;1 (l;k+2)=; qi k j l(x) 2 Sk (R ) PRI l 2k ; 2 ; 2i ; 2j qi k j l(x) 2 C PRI x ;1 l=1=6 ;0 A0 = 21=2 31=6[;(1=3)] (a c x); WYROVDENNAQ GIPERGEOMETRI^ES KAQ FUNKCIQ.

q ;a. p. RE[ENIQ W OBLASTI SME[ENIQ 4 STROITSQ W PEREMENNYH z = " (r ) = "(r ; 1)=2 = "y=2. wID A.p. W \TOM POGRANI^NOM SLOE OPREDELQETSQ IZ USLOWIJ SOGLASOWANIQ S A.p. RE[ENIQ W OBLASTQH 1, 2. a.R. RE[ENIQ W OBLASTI 4 I]EM W WIDE RQDA 1 k;X X u(4)(z ") = "k lni "u(4)(z ): (72) i k k=0 i=w URAWNENII (43) PEREJDEM K PEREMENNYM z I, PODSTAWLQQ W POLU^ENNOE URAWNENIE RQD (72), PRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH " ln ", PRIHODIM K SISTEME (4) L(4)u(4)(z ) = Fi k (z ) (73) z i k (2) GDE F0 0 (z ) 1 @ @V @V L(4)V (z ) ; :

z z @z @z @ uSLOWIQ SOGLASOWANIQ DLQ FUNKCIJ u(4) PRI ! 0 IME@T WID i k (4) ;l u(4)(z ) ; Wi k (z ) = o( (exp(; z2) + (1 + j sj ) )) (74) i k (4) DLQ L@BOGO 2 (0 1=2) l 0, GDE FUNKCII Wi k (z POLU^ENY PEREPISYWANIEM SOGLASOWANNYH A. R. (61), (64) PRI y !1. fUNKCII u(2)(z ), KROME i k TOGO, DOLVNY UDOWLETWORQTX GRANI^NYM USLOWIQM p @u(2) i k s j =0 (75) s=@s fUNKCII u(2)(z ) W KLASSE GLADKIH FUNKCIJ POSTROENY W RABOTE [24].

i k tEOREMA 10.3 sU]ESTWUET RE[ENIE SISTEMY (73), UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM SOGLASOWANIQ (74), USLOWIQM (75) I TA KO E, ^TO PRI ! SPRAWEDLIWO ar:

2m X l 2m+u(4)(z ) = gl(z) + O( exp(; z3)) z " 0 l=m X u(4)(z ) = (1+3l)=2Fl(s) + O( (3m+4)=2(1 + j sj )(3m+4)=2) 0 l=PRI z 2" PRI ! 0 I k > 0 SPRAWEDLIWO ar:

m;i;j k;i;X X ;k+1+i+j+l m;k u(4) = lnj ( gi k j l(z) + O( (exp(; z3) z " i k j=0 l=2(m;i;j) k;i;X X 1=2;k+i+j+l=2) m;k ;k+m u(4) = lnj( )( Fi k j l(s)) + O( (1 + j sj ) ) (76) i k j=0 l=;PRI z 2" g0(z) [;(1=3)] (1=3 z3=(9 (0))) gl(z) 2 M0 ;2l+1(R+) s = ;z2=(4 ) F0(s) = (;1=2 1 s) gi k j l(z) 2 Mk;1;i;j k;2l+1+i+j(R+), Fi k j l(s) ; 1 ;

Sk (R ) Fi k j l(s) 2 C (R ) I gi k j l(z) = O(exp(; z3)), ;1;i;j (i+k+l+1)=0 < < 1=2.

rASSMOTRIM ^ASTI^NYE SUMMY RQDOW (46), (49), (61), (64), (72), WIDA u(0) ( ") u(3) ( ") u(1) (z y ") u(2) ( y ") u(4)(z "):

^ ^ ^ ^ ^ 4N 3N 3N 2N N wWEDEM OBOZNA^ENIQ. dLQ OBOSNOWANIQ A.p. RE[ENIQ ISHODNOJ ZADA^I ( ;

UDOBNO RASSMATRIWATX OBLASTI D"e) = f(r ) : "1 r ; 1 " +1 ^ g (0) ; (1) ;

D" = f(r ) : 0 r ; 1 2"1 " g D" = f(r ) : "1 r ; ;1 (2) ; ;2" " +2 ^ 2" +1 g D" = f(r ) : "1 r ; 1 2" 0 ^ (3) ;

2" +2 g D" = f(r ) : 0 r ; 1 2"1 0 2" g, GDE 0 < < < < (4) ;1, D" = f(r ) : " r ^ 2" +1 g:

uSTROIM GLADKOE RAZBIENIE EDINICY TAK, ^TOBY [ X ( ( (r ") 1 PR I (r ) 2 D"i)n( D"j)) 1 NA D i i j=i i DLQ WSEH i = e 0 1 2 3 4: dALEE OBOZNA^IM (3) UN(r ") = (r ") + (r ")^ ( ") + (r ")^ ") (77) u(0) u3N( e 0 4N YN(r ") = (r ")^ (z y ") + (r ")^ ( y ") + u(1) u(2) 1 3N 2N + (r ")^ "): (78) u(4)(z N VN(r ") = UN(r ") + YN(r "): (79) pUSTX u"(r ) - RE[ENIE ZADA^I (43), (45) (SM. TEOREMU 2 RABOTY [19]).

oBOSNOWANIE POSTROENNYH W GLAWE 2. A.R. DAETSQ W SLEDU@]EJ TEOREME.

tEOREMA 10.4 pUSTX (r ) IMEET WID (2). tOGDA NA MNOVESTWE D DLQ L@BOGO DOSTATO^NO BOLX[OGO N WYPOLNENA OCENKA j u"(r ) ; VN(r ")j M" N (80) GDE 0 < ZAWISIT LI[X OT M -ZAWISIT O T I N.

w TRETXEJ GLAWE ISSLEDUETSQ ZADA^A KONWEKTIWNOJ DIFFUZII S U^

^ISLO pEKLE, kv - ^ISLO, OPREDELQEMOE SKOROSTX@ HIMI^ESKOJ REAKCII, UGOL OTS^ITYWAETSQ OT NAPRAWLENIQ POTOKA NA BESKONE^NOSTI. w SLU^AE OBTEKANIQ SFERI^ESKOJ KAPLI FUNKCIQ TOKA IMEET WID (2). w RAZDELAH 11-POSTROENY POLNYE ASIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ RE[ENIJ W DIFFUZIONNOM POGRANI^NOM SLOE PRI NALI^II OB_

bUDEM S^ITATX, ^TO WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ.

uSLOWIE A. fUNKCIQ F(u) MONOTONNO WOZRASTAET, NEPRERYWNA, UDOWLETWORQET USLOWI@ lIP[ICA NA OTREZKE [0 1] I TAKAQ, ^TO F : [0 1] ! [0 1] F(0) =0 F (u) > 0: (83) nEKOTORYE SWOJSTWA ASIMPTOTI^ESKIH RE[ENIJ BUDUT TAKVE ISSLEDOWATXSQ PRI DOPOLNITELXNYH USLOWIQH:

F(u) 2 Ck(0 1) GD E k 1: (84) ;1=tREBUETSQ NAJTI ASIMPTOTIKUPO MALOMU PARAMETRU " = Pe OGRANI^ENNOGO RE[ENIQ ZADA^I (81), (82) UDOWLETWORQ@]U@ GRANI^NYM USLOWIQM U =1 PR I r =1 U ! 0 PR I r !1: (85) nAIBOLEE TRUDNYM QWLQETSQ SLU^AJ, KOGDA Pe >> 1, kv >> 1. w DANNOJ RABOTE PREDPOLAGAETSQ, ^TO WELI^INA = kv=Pe2=3 - POSTOQNNAQ. w \TOM SLU^AE WSE SLAGAEMYE W URAWNENII (81) ODNOGO PORQDKA W OKRESTNOSTQH SEDLOWYH TO^EK. pRI RASSMOTRENII TW

wO WNE[NEJ OBLASTI e RE[ENIE u(e) 0.

a. R. RE[ENIQ W DIFFUZIONNOM POGRANI^NOM SLOE STROITSQ W PEREMEN;1 ;NYH x = " (r ; 1), GDE = (2=3)1=3: fUNKCIQ U (x ") I]ETSQ W WIDE U (x ") = u0(x ) + "u1(x ) + ::: (87) dLQ OPREDELENIQ ui(x ) W OBLASTI 0 < < 0 < x POLU^AEM REKURRENTNU@ SISTEMU URAWNENIJ Lu0(x ) ; F(u0(x )) =0 (88) Lui(x ) ; F (u0(x ))ui(x ) = fi(u0 u1 ::: ui;1 x ) (89) @2u @u @u GD E Lu(x ) ; x2 cos + x sin :

@x2 @x @ iZ USLOWIJ (82) POLU^AEM GRANI^NYE USLOWIQ u0(0 ) = 1 ui(0 ) = 0 PR I i 1 (90) @ui ui(x ) ! 0 PR I x !1 (x ) =0 i 0: (91) @ uRAWNENIE (88) QWLQETSQ KWAZILINEJNYM PARABOLI^ESKIM, WYROVDA@]IMSQ NA GRANICE OBLASTI.

oPREDELENIE 8 pUSTX - POLUPOLOSA fx : x 0 g, > 0: pOSREDSTWOM K OBOZNA^IM KLASS FUNKCIJ g(x ) 2 C ( ) I TAKIH, ^TO PRI ! SPRAWEDLIWO A. R. : NAJDETSQ > 0, ^TO DLQ L@BOGO NATURALXNOGO N N;X g(x ) = ( ; )2jgj(x) + O(( ; )2N exp(; x3)) (92) j=I SPRAWEDLIWY OCENKI j gj(x)j M1 exp(; x3) ( WMESTE S PROIZWODNYMI ) A W OBLASTI D SPRAWEDLIWA OCENKA j g(x )j M exp(; x3) (93) DLQ PROIZWODNYH g(x ) SPRAWEDLIWY A. R., KOTORYE POLU^A@TSQ F ORMALXNYM DIFFERENCIROWANIEM RAWENSTWA (92).

dLQ OPREDELENIQ GLAWNOGO ^LENA ASIMPTOTIKI PRI ! POLU^AEM ZADA^U 00 u00(x) + x2u00(x) ; F(u00(x)) =0: (94) u00(0) = 1 u00 ! 0 PR I x !1: (95) dOKAZANO SU]ESTWOWANIE RE[ENIQ ZADA^I (94), (95), UDOWLETWORQ@]EE OCENKE u00(x)) exp(;x3=6): (96) tEOREMA 14.1 pUSTX F UNKCIQ F(u) UDOWLETWORQET USLOWIQM (83), FUNKCIQ TOKA IMEET W ID (44). tOGDA SU]ESTWUET RE[ENIE SISTEMY (88), (89), UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM (90), (91) TAKOE, ^TO ui(x ) 2 K. tEM SAMYM RQD (87) QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKIM RE[ENIEM ;1=ZADA^I (81), (82) NA MNOVESTWE PRI " ! 0, GDE " = Pe > 0.

rASSMOTRIM ^ASTI^NU@ SUMMU RQDA (87) n X b un(x ") = "iui(x ): (97) iZ TEOREMY 1 SLEDUET RAWENSTWO b b b L"(un(x ")) ; " F(un(x ")) = fn(x ") (98) b GDE fn(x ") = O("n exp (; x3)) DLQ NEKOTOROGO > 0.

1 sFORMULIRUEM TEOREMU SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ ZADA^I (81), (82) W OBLASTI = f(r ) : r > 1 0 < < g.

tEOREMA 14.2 pUSTX F UNKCIQ (r ) IMEET WID (44) I F UNKCIQ F(u) UDOWLETWORQET USLOWIQM (83). tOGDA DLQ DOSTATO^NO MALOGO " > 0, GDE T ;1=" = Pe SU]ESTWUET EDINSTWENNOE RE[ENIE u"(r ) 2 C( ) C2( ) ZADA^I (81), (82).

tEOREMA 14.3 pUSTX (r ) IMEET W ID (44) I F UNKCIQ F(u) UDOWLE TWORQET USLOWIQM (83). tOGDA NA MNOVESTWE DLQ DOSTATO^NO MALOGO " > 0 I L@BOGO D OSTATO^NO BOLX[OGO n WYPOLNENA OCENKA b j u"(r ) ; un(x ")j M" n (99) b GDE u"(r ) - RE[ENIE ZADA^I (81), (82), un(x ") - OPREDELENA RAWENSTWOM (97), 0 < - ZAWISIT LI[X OT, M -ZAWISIT LI[X O T n.

aSIMPTOTIKA FUNKCII u0(x ) PRI ! 0.

pRI ISSLEDOWANII ASIMPTOTIKI FUNKCII u0(x ) PRI ! 0 BUDEM ISp p ;POLXZOWATX TAKVE PEREMENNYE z = " = ( ) GDE = ( 3=8)( ;

+ sin 2 =2) I OBOZNA^IM u0(t ) = V0(z ). dELO W TOM, ^TO ASIMPTOTIKA FUNKCII u0(t ) PRI ! 0 NOSIT RAZLI^NYJ HARAKTER DLQ MALYH z I DLQ ZNA^ENIJ z, OTDELENNYH OT NULQ.

sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ MALYH ZNA^ENIJ z. w \TOM SLU^AE ASIMPTOTIKA FUNKCII u0(x ) PRI ! 0 I]ETSQ W WIDE u0(x ) = v0(x) + O( ): (100) fUNKCIQ v0(x) STROITSQ KAK RE[ENIE ZADA^I 00 v0 (x) ; x2v0(x) ; F(v0(x)) = 0 (101) v0(0) =1 v0(x) = O(1) PR I x 0: (102) tEOREMA 15.2 pUSTX F(u) UDOWLETWORQET USLOWIQM (83) I (84).

tOGDA SU]ESTWUET > 0, ^TO DLQ WSEH 2 (0 ) PRI x !1 DLQ RE 0 [ENIQ ZADA^I (101), (102) SPRAWEDLIWO A SIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE ;1 ;2 ;k ;k;v0(x) = c0 + c1x + c2x + + ckx + O(x ) (103) GDE c0 2 (0 1), A KO\FFICIENTY cn PRI n> 0 OPREDELQ@TSQ IZ SISTEMY > = c1 = F(c0) c2 = F (c0)c1=(104) 0 00 > c3 = F (c0)c2 + F (c0)c2=2 =3 :

pEREHODIM K ISSLEDOWANI@ SWOJSTW FUNKCII u0(x ) PRI ! 0 DLQ ZNA^ENIJ z OTDELENNYH OT NULQ. tAKOE ISSLEDOWANIE DAET WOZMOVNOSTX POSTROITX ASIMPTOTIKU RE[ENIQ W KONWEKTIWNO-POGRANSLOJNOJ OBLASTI ( OBLASTX 1) I DOKAZATX SOGLASOWANNOSTX W NEKOTOROJ PROMEVUTO^NOJ OBLASTI MEVDU 0 I 1. kAK BYLO OTME^ENO W NA^ALE \TOGO PUNKTA, UDOBNO PEREJTI K PEREMENNYM z. pRI \TOM FUNKCIQ V0(z ) = u0(x ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ @2V0 @V; z ; q( )F(V0(z )) =0 (105) @z2 @ ;2=GDE q( ) = q0( ; ) [1 + O(( ; )2=3)]: tREBUETSQ ISSLEDOWATX ASIMPTO0 TI^ESKIE SWOJSTWA RE[ENIQ URAWNENIQ (105), UDOWLETWORQ@]EGO USLOWI@ V0(z d) = '(z) (106) GDE '(z) UDOWLETWORQET OCENKE '(z) = O(exp(; z3)) M1 > 0 > 0: dLQ 1 RE[ENIQ ZADA^I (105), (106) SPRAWEDLIWO INTEGRALXNOE URAWNENIE Z Z Z 1 V0(z ) = G(z ; d )'( )d + qF(V0)G(z ; t )d dt (107) 0 d @2 @ GDE G(z )- FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA ; z (SM. NAPR. [11]) @z2 @ tEOREMA 15.4 pUSTX F(u) UDOWLETWORQET USLOWIQM (83), (84). tOGDA NAJDUTSQ ^ISLO > 0 I TO^KA M (z ), GDE z > z0 2 (d ), ; d = 0 ( " TAKIE, ^TO NA MNOVESTWE D" ) = f(z ) z z j ; j " g, DLQ z0 = " I L@BOGO 2 (0 ) SPRAWEDLIWO ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE V0(z ) = V0(z) + O(" =3) PR I " ! 0 (108) DLQ 2 I NEKOTOROGO 2 (0 1). fUNKCIQ V0(z) MONOTONNO UBYWAET, UDOWLETWORQET USLOWI@ V0(z ) = c0 (109) GDE c0- TO VE ^ISLO, ^TO I W TEOREME 1, I OCENKE 0 V0(z) M2 exp(; z3) M2 > 0 > 0: (110) 2 iTAK, DLQ FUNKCII u0(x ) PRI ! 0 SPRAWEDLIWA ASIMPTOTIKA > 2 ;

< v0(x) + O( ) PR I x = O(" ) u0(x ) = (111) > :

V0(z) + O(" =3) PR I z z DLQ " ! 0 I NEKOTORYH > 0 > 0.

aSIMPTOTIKA W DIFFUZIONNOMSLEDE. oBLASTX DIFFUZIONNOGO SLEDA SOSTOIT IZ OBLASTEJ 1, 2, 3, 4. w OBLASTI 3 ZADNEJ KRITI^ESKOJ TO^KI UDOB;1 ;NO WWESTI LOKALXNYE KOORDINATY = " (3=2)1=3 x = " (3=2)1=3(r ; 1).

tOGDA, DLQ OPREDELENIQ GLAWNOGO ^LENA RAZLOVENIQ W OBLASTI 3 POLU^AEM ZADA^U 0 1 @ @w(3) @2w(3) @w(3) @w(3) @ A + + x ; x2 ; F(w(3)) =0 (112) @ @ @x2 @ @x @w(3) w(3)( 0) = 1 =0 PR I =0 w(3)( x) ; v0(x) ! 0 PR I !1 (113) @ GDE v0(x) - RE[ENIE ZADA^I (101)-(102). tOGDA FUNKCIQ w(3) v0(x) ESTX RE[ENIE ZADA^I (112)-(113).

w KONWEKTIWNO -POGRANSLOJNOJ OBLASTI 1 ASIMPTOTIKA RE[ENIQ STROp ;ITSQ W PEREMENNYH z = " y = r ; 1. gLAWNYJ ^LEN w(1) STROITSQ KAK RE[ENIE ZADA^I @w(1) =0 w(1)(y ! 0) = V0(z) (114) @y GDE WTOROE USLOWIE - USLOWIE SOGLASOWANIQ S RE[ENIEM u0(x ) ZADA^I (88) - (91), A PRI j z ; z j " SPRAWEDLIWA OCENKA V0(z) = c0 + O(" =3) (115) tAKIM OBRAZOM, IZ PRIWED

wO WNUTRENNEJ OBLASTI DIFFUZIONNOGO S LEDA (OBLASTX 2) ESTESTWENNY;MI PEREMENNYMI QWLQ@TSQ = " y = r ; 1. dLQ OPREDELENIQ GLAWNOGO ^LENA RAZLOVENIQ PO PARAMETRU " POLU^AEM ZADA^U 0 @ @w(2) @w(2) @ A 2 ; =0 (116) @ @ @y @w(2) w(2)(y ! 0) = w(3)(x !1) 1=2 =0 PR I =0 (117) @ w(2)( !1) = w(1)(z ! 0) (118) tOGDA FUNKCIQ w(2) S UDOWLETWORQET URAWNENI@ (116) I GRANI^NYM USLOWIQM (117), GDE c0 - TA VE POSTOQNNAQ, ^TO I W FORMULAH (109).

w OBLASTI SME[ENIQ ( OBLASTX 4) ASIMPTOTI^ESKOE RE[ENIE I]ETSQ W p ;PEREMENNYH z = " = "(r ; 1)=2. dLQ OPREDELENIQ w(4)(z ) POLU^AEM URAWNENIE 0 1 @ @w(4)(z ) @w(4)(z ) @ A z = + F(w(4)(z )) (119) z @z @z @ I GRANI^NYE USLOWIQ @w(4) w(4)(z ) ! 0 PR I z !1 =0 PR I z =0: (120) @z kROME TOGO, DOLVNY WYPOLNQTXSQ USLOWIQ SOGLASOWANIQ c RE[ENIQMI W SOSEDNIH OBLASTQH 1 w(4)(z ) ! w(1 2)(z) PR I ! 0 (121) > < V0(z) PR I z z O(1) w(1 2)(z) = (122) > :

c0 PR I 0 z z ZDESX V0(z) - FUNKCIQ, POLU^ENNAQ W TEOREME 2, S - TO VE ^ISLO, ^TO I W TEOREME 1 ( RE[ENIE W OBLASTI 2 ).

dLQ RE[ENIQ ZADA^I (119) - (121) POLU^AEM INTEGRALXNOE URAWNENIE Z x z2 + x2 zx w(4)(z ) = exp(; ) I0( )w(1 2)(x) dx + 2 4 Z Z x z2 + x2 zx + exp(; ) I0( )F(w(4)(x t)) dx dt: (123) 0 2( ; t) 4( ; t) 2( ; t) fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE POLU^ENO W RABOTE [11]. iNTEGRALXNOE URAWNENIE (123) ISSLEDUETSQ ANALOGI^NO RABOTE [12].

lITERATURA 1. pUANKARE a. nOWYE METODY NEBESNOJ MEHANIKI. iZBR. TRUDY, T.

1. m.: nAUKA, 1971.

2. iLXIN a.m. sOGLASOWANIE ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ RE[ENIJ KRAEWYH ZADA^. m.: nAUKA, 1989.

3. wAN dAJK m. mETODY WOZMU]ENIJ W MEHANIKE VIDKOSTEJ. m.:

mIR, 1967. 310 c.

4. mAZXQ w. g., nAZAROW s. a., pLAMENEWSKIJ b. a. aSIMPTOTIKA RE[ENIJ \LLIPTI^ESKIH KRAEWYH ZADA^ PRI SINGULQRNYH WOZMU]ENIQH OBLASTI. tBILISI: iZD{WO. tBIL. UN-TA, 1981. 206 S.

5. bABI^ w. m., bULDYREW w. s. aSIMPTOTI^ESKIE METODY W ZADA^AH DIFRAKCII KOROTKIH WOLN. m.: nAUKA,1970, 456 S.

6. mI]ENKO e.f., rOZOW n.h. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S MALYM PARAMETROM I RELAKSACIONNYE KOLEBANIQ. m.: nAUKA, 1975, 247 S.

7. gUPALO `.p.,pOLQNIN a.d.,rQZANCEW `.s. mASSOTEPLOOBMEN REAGIRU@]IH ^ASTIC S POTOKOM. m.: nAUKA, 1985.

8. vIWOTQGIN a. f. wLIQNIE GOMOGENNOJ HIMI^ESKOJ REAKCII NA RASPREDELENIE KONCENTRACII W DIFFUZIONNOM SLEDE KAPLI // wESTN. mgu. sER. 1. mATEM. I MEHAN. 1980. N6. C. 73-78.

9. bABENKO k. i., wWEDENSKAQ n. d., oRLOWA m. g. rAS^ET STACIONARNOGO OBTEKANIQ KRUGOWOGO CILINDRA WQZKOJ VIDKOSTX@ // v.

WY^ISL. MATEM. I MATEM. FIZ. 1975. t.15. N 1. s. 183{196.

10. Sih P.H.,Newman J. Mass transfer to the rear of a sphere in Stoces ow // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. N 12. P.17491756.

11. Sutton W. G. L. On the equation of di usion in a turbulent medium // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1943. V. 182. N 988. P. 48-75.

oSNOWNYE RABOTY AWTORA PO TEME DISSERTACII:

12. aHMETOW r. g. aSIMPTOTIKA RE[ENIQ KRAEWOJ ZADA^I DLQ ODNOGO URAWNENIQ DIFFUZII W POLUPLOSKOSTI // dIFF. URAWNENIQ. 1983.

t. 19. N 2. s. 287{294.

13. aHMETOW r.g. mETOD SOGLASOWANIQ W ZADA^E O DIFFUZII K ^ASTICE // mATEM.ZAMETKI. 1990. t. 47, wYP. 5. C. 144{146.

14. aHMETOW r. g. aSIMPTOTIKA RE[ENIQ KRAEWOJ ZADA^I DLQ ODNOGO \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ // dIFFERENC. UR-NIQ. 1997. t. 33(11).

s. 1552 { 1554.

15. aHMETOW r. g. aSIMPTOTIKA RE[ENIQ SINGULQRNO WOZMU]

16. aHMETOW r. g. aSIMPTOTIKA RE[ENIQ ZADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO SFERY // v. WY^ISL. MATEM. I MATEM. FIZ. 1998. T.

38. N 5. C. 801{806.

17. aHMETOW r. g. oB ASIMPTOTIKE RE[ENIQ ZADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO CILINDRA // v. WY^ISL. MATEM. I MATEM. FIZ.

1999. t. 39. N 4. s. 612{617.

18. aHMETOW r. g. aSIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ ZADA^I O KONWEKTIWNOJ DIFFUZII OKOLO OSESIMMETRI^NOJ KAPLI // v. WY^ISL. MATEM. I MATEM. FIZ. 2000. t.40. N 10. s. 1541{1553.

19. aHMETOW r. g. aSIMPTOTIKA RE[ENIQ ZADA^I O KONWEKTIWNOJ DIFFUZII S OB_

20. Akhmetov R. G. Asymptotics of Solution for a Problem of Convective Di usion with Volume Reaction Near a Spherical Drop // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2003, pp. S8{S12.

21. aHMETOW r. g. aSIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ ZADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W SLEDE ZA KAPLEJ. // v. WY^ISL. MATEM. I MATEM. FIZ. 2004. t.44. N 6. s. 1062{1078.

22. aHMETOW r. g., sU]ESTWOWANIE I ASIMPTOTIKI RE[ENIJ ODNOGO KLASSA KWAZILINEJNYH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ WTOROGO PORQDKA // dIFFERENC. UR-NIQ. 2005. T. 41. N 6.

C. 723{723. aHMETOW r. g. aSIMPTOTIKA RE[ENIQ ZADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII S OB_

24. aHMETOW r. g. aSIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE RE[ENIQ ZADA^I KONWEKTIWNOJ DIFFUZII W SLEDE ZA SFERI^ESKOJ ^ASTICEJ // v. WY^ISL. MATEM. I MATEM. FIZ. 2006. T. 46. N 10. C. 1822{1837.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.