WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

На правах рукописи

ПРОХОРОВ МИХАИЛ ДМИТРИЕВИЧ 

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ПРОСТРАНСТВЕННО-РАЗВИТЫХ СИСТЕМ

(РЕШЕТКИ СВЯЗАННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ,

СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ)

01.04.03 Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физикоматематических наук

Москва

2008

Работа выполнена в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН

Официальные оппоненты:  Дмитриев Александр Сергеевич,

доктор физико–математических наук,

профессор;

Волков Евгений Израилевич,

доктор физико–математических наук;

Осипов Григорий Владимирович,

доктор физико–математических наук,

профессор.

Ведущая организация:   Институт прикладной физики РАН

Защита состоится 11 апреля 2008 года в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 002.231.02 при Институте радиотехники и электроники РАН по адресу: 125009, Москва, ГСП-9, ул. Моховая, д. 11, корп. 7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ РАН

Автореферат разослан « » марта 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико–математических наук

А.А. Потапов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование динамики систем, имеющих развитую пространственную структуру, является актуальной задачей современной радиофизики. Актуальность изучения пространственно-развитых систем обусловлена их чрезвычайно широким распространением в природе и технике. Под такими системами будем понимать в работе объекты, состоящие из большого числа взаимодействующих между собой элементов (цепочки и решетки осцилляторов и автогенераторов, кристаллические решетки, нейронные сети), и системы с запаздывающей обратной связью. Построение и исследование моделей пространственно-развитых систем опирается на основные достижения теории нелинейных колебаний и волн и предполагает привлечение современных методов нелинейной динамики. Ключевая роль отводится при этом радиофизическим объектам, традиционно использующимся в качестве полигона для изучения сложных колебательно-волновых явлений. Исследования комплексов связанных радиофизических элементов [Анищенко В.С., Рабинович М.И.], распределенных автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью [Кислов В.Я., Залогин Н.Н., Мясин Е.А.], системы электронный пучок — обратная электромагнитная волна [Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Кузнецов С.П.], кольцевых генераторов [Дмитриев А.С., Кислов В.Я.] позволили разобраться во многих фундаментальных проблемах нелинейной динамики.

Для описания динамики пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа элементов, используются различные модели, отличающиеся выбором дискретного или непрерывного представления времени, пространства и локального состояния. Наиболее широко привлекаемые модели — ансамбли связанных обыкновенных дифференциальных уравнений [Гапонов-Грехов А.В., Афраймович В.С., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д., Астахов В.В., Белых В.Н., Волков Е.И., Казанцев В.Б., Пономаренко В.П.], решетки связанных отображений [Канеко К., Капрал Р., Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Пиковский А.С., Дмитриев А.С., Некоркин В.И., Майстренко Ю.Л.] и клеточные автоматы [фон Нейман Д., Малинецкий Г.Г.]. Пространственные свойства в таких системах проявляются в наличии решений, при которых мгновенные состояния разных элементов ансамбля отличны друг от друга. Эту особенность пространственно-развитых систем из сосредоточенных элементов можно рассматривать в ряде случаев как аналог пространственных мод ограниченной распределенной системы. Характерной особенностью многоэлементных колебательных систем является мультистабильность, перекликающаяся с пространственной многомодовостью. Именно принципиальная многомодовость, когда возможные варианты движений многочисленны, а бассейны притяжения нескольких сосуществующих в фазовом пространстве аттракторов образуют сложную и даже фрактальную структуру, является типичным свойством пространственно-развитых нелинейных систем.

Во многих случаях наиболее эффективными моделями ансамблей связанных систем оказываются решетки связанных отображений, использующие дискретное описание времени и пространства и непрерывную переменную состояния. Выбор базового отображения и вида связи вносит свою специфику в поведение моделей, но феномен мультистабильности в динамике многоэлементных систем всегда является определяющим. Использование хорошо изученных отображений для моделирования цепочек и решеток из базовых элементов со сложной динамикой позволяет продвинуться в понимании нелинейных явлений в связанных системах, классифицировать и исследовать их колебательные состояния. Следуя естественной логике «от простого к сложному», мультистабильность в связанных системах исследуется в работе сначала на примере связанных квадратичных отображений, как с постоянными, так и с изменяющимися во времени параметрами. В последнем случае наибольший интерес представляет исследование связанных систем при изменении их параметров в интервале, содержащем бифуркационные значения. Эта задача до настоящего времени остается мало изученной. Вместе с тем, актуальность ее изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при бифуркационных переходах в системах с быстро меняющимся параметром в присутствии шумов. Речь идет, в первую очередь, о явлении спонтанного нарушения симметрии постбифуркационных состояний системы [Кравцов Ю.А., Бутковский О.Я.], которое имеет место в разных областях естествознания и тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах.

Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных систем ведется в работе как по линии использования более сложных моделей для базовых элементов, так и путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов и усложнение способа связи между ними. Наличие собственной нетривиальной динамики отдельных элементов пространственно-развитой системы наряду со свойствами и архитектурой межэлементных взаимодействий определяет пространственно-временное поведение системы в целом. Особый интерес при этом представляет исследование таких явлений, как синхронизация колебаний, формирование структур, регуляризация и хаотизация колебаний в ансамбле, пространственно-временной хаос и управление им. В силу большого разнообразия многоэлементных систем ряд важных вопросов их поведения остается нерассмотренным или недостаточно изученным. К ним, в частности, относятся многие аспекты поведения решеток связанных отображений, базовый элемент которых обладает мультистабильностью и имеет несколько управляющих параметров. Учет в моделях мультистабильности элементов обогащает динамику пространственно-развитой системы в целом и приводит к появлению новых видов мультистабильных состояний. Представляет интерес изучение бифуркационных механизмов образования мультистабильности в решетке неавтономных осцилляторов, моделируемых многопараметрическими мультимодальными отображениями, исследование пространственно-временных структур, изучение влияния шума и неидентичности элементов на вид пространственного распределения и управление пространственно-временных хаосом. Мультистабильность типична для нелинейных колебательных систем различной природы и ее учет при моделировании динамики отдельных элементов ансамбля связанных систем расширяет степень общности результатов исследования.

Для описания пространственно-развитых систем, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи, обычно используются бесконечномерные модели в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [Икеда К., Гласс Л., Маккей М.К., Кащенко С.А., Ланда П.С.]. Такие модели являются бесконечномерными, поскольку требуют задания непрерывного множества начальных значений динамической переменной на отрезке времени, равном времени задержки. В пространственно-развитых радиофизических системах запаздывание обусловлено тем, что сигналы распространяются с конечной скоростью и им требуется время на преодоление расстояний. Исследованию динамики автоколебательных систем с запаздыванием, как теоретическому, так и экспериментальному, уделено достаточно много внимания. Изучение нелинейных динамических моделей различных генераторов с запаздывающей обратной связью (ЛБВ-генераторов, генераторов на основе пролетных клистронов, радиотехнических кольцевых генераторов с фильтрами низких частот) позволило существенно продвинуться в понимании сложной динамики многих практически важных радиоэлектронных устройств. Значительно менее изученной является задача восстановления модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием по временным рядам наблюдаемых величин. Решение этой проблемы позволило бы не только предсказать поведение ряда практически важных устройств и систем с запаздыванием при изменении параметров, но и оценить адекватность заложенных в модели представлений об объекте, осуществить классификацию систем и режимов их функционирования, определить значения параметров, недоступных непосредственному измерению в эксперименте. Вызывает также интерес использование систем с запаздывающей обратной связью в системах передачи информации. Разработка коммуникационных систем, использующих хаотические сигналы, представляет собой активно развиваемое в последние годы направление радиофизики [Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О., Хаслер М.]. Способность даже простых систем с запаздыванием первого порядка генерировать широкополосные хаотические колебания очень высокой размерности привлекает к ним внимание как к потенциальным элементам, которые могут быть использованы в системах скрытой передачи информации. Однако, вопрос о маскирующих свойствах сигналов систем с запаздыванием остается открытым и требует тщательного исследования.

На настоящем этапе развития нелинейной динамики весьма актуален вопрос о синхронизации сложных движений вообще и в пространственно-развитых системах в частности. Изучение синхронизации находится в центре внимания многих исследователей. Вместе с тем, проблема диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам, особенно при короткой длине ряда и высоком уровне шума, требует дальнейшего изучения. Например, проблематично проведение анализа синхронизованности колебательных процессов по экспериментальным данным, представляющим собой суперпозицию нескольких сигналов. Кроме того, взаимодействующие системы могут обладать сложным набором собственных ритмов, что типично для многих физиологических систем. Большой интерес вызывает исследование синхронизации колебательных процессов в таких жизненно важных физиологических системах, как сердечно-сосудистая и респираторная системы. Информация о синхронизованности ритмов этих систем может оказаться полезной при медицинской диагностике их состояния.

Современная тенденция направленности многих научных исследований на изучение систем живой природы обуславливает актуальность использования аппарата нелинейной динамики для описания колебательных процессов в физиологических системах. При этом имеются основания для привлечения в качестве базовых моделей дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наличие запаздывающей обратной связи во многих физиологических автогенераторах обусловлено конечной скоростью распространения нервных импульсов и конечным временем их обработки со стороны управляющих систем. В работе предлагаются и исследуются модели с запаздыванием для описания системы медленной регуляции кровяного давления. Построение и исследование моделей позволяет лучше понять особенности функционирования и взаимодействия элементов сердечно-сосудистой системы.

Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний и является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в моделировании пространственно-развитых систем, включая исследование пространственно-временных структур и мультистабильности в решетках связанных отображений, разработку новых методов восстановления по временным рядам модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием, разработку новых методов диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и их применение к реальным пространственно-развитым системам.

Для достижения цели решались следующие основные задачи:

  • исследование мультистабильных состояний и бассейнов их притяжения в системе связанных элементов, как с постоянными, так и с изменяющимися параметрами;
  • исследование пространственно-временной динамики и управление пространственно-временным хаосом в решетках неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными отображениями;
  • разработка новых эффективных методов построения по хаотическим временным рядам нелинейных динамических моделей для широкого класса автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью, включая системы высокого порядка с запаздыванием, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием;
  • разработка методики выделения скрытого сигнала сообщения в системах передачи информации, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием;
  • разработка новых методов детектирования синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным и одномерным временным рядам и их применение для исследования внешней синхронизации в экспериментальных системах с запаздыванием;
  • исследование на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей.

Научная новизна работы заключается в следующем:

  • обнаружено и исследовано существование устойчивых несинфазных колебательных состояний в области сильной связи двух идентичных систем, демонстрирующих удвоения периода при изменении управляющего параметра;
  • впервые показано, что в системе двух связанных одинаковых элементов с изменяющимися во времени параметрами в зависимости от величины коэффициента связи может наблюдаться запаздывание бифуркаций не только несинфазных, но и синфазных состояний;
  • проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными отображениями;
  • выявлены характерные особенности расположения экстремумов во временных реализациях систем с запаздывающей обратной связью;
  • предложены новые методы реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам;
  • впервые продемонстрирована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам динамических переменных, измеренных в различных точках кольцевой системы;
  • исследована возможность определения по временному ряду порядка модельного уравнения системы с запаздыванием;
  • впервые предложены методы восстановления по временным рядам модельных уравнений неавтономных и связанных систем с запаздыванием;
  • разработана методика выделения информационного сигнала в системах связи с нелинейным подмешиванием при различных конфигурациях передатчика, построенного на основе системы с запаздыванием с неизвестными параметрами;
  • предложены оригинальные, основанные на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов, методы диагностики по экспериментальным временным рядам наличия или отсутствия синхронизации автоколебаний внешним воздействием с модулированной частотой;
  • обнаружено существование синхронизации между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления человека при различных режимах дыхания.

Практическая значимость работы. Результаты исследования бифуркационных переходов в связанных системах с изменяющимися параметрами могут быть использованы для управления бифуркационными процессами и для достижения заданного постбифуркационного состояния системы в условиях воздействия шума. Для целей обработки информации могут оказаться полезными результаты исследований мультистабильности и динамического копирования в решетках бистабильных элементов. Автоколебательные системы с запаздыванием очень широко распространены не только в радиофизике и электронике, но и в нелинейной оптике, биофизике, физиологии и многих других научных дисциплинах. Предложенные в диссертационной работе методы определения их параметров по экспериментальным временным рядам представляют интерес для широкого круга исследователей. Результаты по исследованию систем скрытой передачи информации, построенных на основе систем с запаздыванием, позволяют выработать рекомендации для повышения степени защиты конфиденциальной информации. Предложенные методы диагностики синхронизации автоколебаний представляют практический интерес при исследовании синхронизации колебательных процессов в реальных системах по экспериментальным, сильно зашумленным временным рядам. Анализ синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы оказывается полезен при диагностике ее состояния и контроле эффективности лечения. Подготовленный программный продукт («Программа расчета суммарного процента фазовой синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека», свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610960) передан в Саратовский НИИ кардиологии и Нижегородскую государственную медицинскую академию, в которых он используется для медицинской диагностики.

Результаты работы используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

  1. В системе связанных элементов с изменяющимися во времени параметрами с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности уменьшается вероятность установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций.
  2. Метод последовательной стабилизации движений элементов позволяет осуществить управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов, моделируемой связанными мультимодальными отображениями. Величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом.
  3. Предложенные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, основанные на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда системы с запаздыванием и проецировании ее бесконечномерного фазового пространства в подпространства малой размерности, обеспечивают высокое качество реконструкции различных классов систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием.
  4. Разработанная методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием, основанная на реконструкции передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала, обеспечивает высокое качество восстановления информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.
  5. Анализ разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину, позволяет определить наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам.
  6. Медленные колебания кровяного давления человека с собственной частотой около 0.1 Гц могут быть синхронизованы с дыханием. Предложенная для их описания модель, имеющая вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах в Саратовском филиале ИРЭ РАН, СГУ, Саратовском НИИ кардиологии, университете г. Потсдама (Германия), федеральном политехническим институте г. Лозанны (Швейцария), а также на следующих российских и международных научных конференциях: международной школе по нелинейным явлениям (ISNS) (Нижний Новгород, 1995); International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND) (Саратов, 1996); International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Москва, 1997; Budapest, Hungary, 1998; Delft, The Netherlands, 2001); International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (Crans-Montana, Switzerland, 1998; Dresden, Germany, 2000); международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС) (Саратов, 1998, 2001, 2004); International School “Synchronization: Theory and Application” (Yalta, Ukraine, 2002); International Conference “European Dynamics Days” (Palma de Mallorca, Spain, 2003); Workshop on Detecting and Processing Regularities in High Throughput Biological Data (Piscataway, USA, 2005), школе-семинаре «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007).

Материалы работы использовались при выполнении ряда НИР и научных проектов, поддержанных грантами РФФИ (№96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 01-02-06038, 03-02-17593, 07-02-00589), CRDF (REC-006) и INTAS (93-2492, 03-55-920).

По теме диссертации опубликовано 85 научных работ, включая 35 статей в рецензируемых журналах, 24 статьи в сборниках и трудах конференций, 26 тезисов докладов. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью результатов аналитического исследования, численного моделирования и физического эксперимента между собой, а также с результатами других авторов.

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в формулировке и постановке основных задач диссертации, определении методов и подходов к их решению, проведении большей части численных расчетов и некоторых экспериментальных исследований, в проведении теоретического анализа и интерпретации полученных результатов. Исследование связанных квадратичных отображений проводилось совместно с Безручко Б.П., Селезневым Е.П и Ивановым Р.Н. Построение моделей и исследование систем с запаздыванием выполнено на паритетных началах с Пономаренко В.И. Методы диагностики синхронизации автоколебаний предложены в соавторстве с Храмовым А.Е., Короновским А.А. и Пономаренко В.И.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она содержит 389 страниц, включая 140 рисунков, 3 таблицы, 311 наименований цитируемой литературы и 47 наименований работ по теме диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проводимых в работе исследований, их научная новизна и практическая значимость, сформулированы цель и задачи диссертации, основные положения и результаты, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации результатов и кратко изложено содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию дискретной модели пространственно-развитой системы, состоящей в простейшем случае из двух связанных между собой элементов. Изучение мультистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух симметрично связанных нелинейных элементов, демонстрирующих при изменении управляющего параметра переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, проведено на примере двух связанных квадратичных отображений

  (1)

где λ — параметр нелинейности, а k — коэффициент связи. В отличие от известных ранее работ, система (1) исследована в более широкой области изменения параметра k.

Сначала рассмотрен случай, когда значения параметров обеих подсистем постоянны. Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. В частности, установлено, что в системе (1) существуют два несинфазных, симметричных относительно замены x на y и y на x цикла периода 1, устойчивых в широкой области параметров. Показано, что области несинфазных колебаний в пространстве параметров связанной системы симметричны относительно линии k=0.5, но сами несинфазные режимы в области слабой и сильной связи качественно различны. Продемонстрировано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным. Например, устойчивые несинфазные режимы периода 1 и 2 существуют в системе (1) при значении параметра λ, более чем в 3 раза превышающем критическое (λc=2), при котором все синфазные решения уходят на бесконечность. Показано хорошее качественное совпадение результатов исследования мультистабильности колебательных состояний, в том числе хаотических, и их бассейнов притяжения, полученных при численном исследовании системы (1) с дискретным временем, с результатами экспериментального исследования системы двух периодически возбуждаемых RL-диод цепей, связанных через резистор и функционирующих в непрерывном времени.

Затем рассмотрен случай, когда параметр λ системы (1) зависит от времени по кусочно-линейному закону, причем изменение λ происходит в интервале, содержащем бифуркационные значения, то есть, рассмотрена система с динамическими бифуркациями. После достижения параметром нелинейности конечного значения λF выполнялось еще достаточное количество итераций с этим значением для выхода системы на аттрактор. Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний связанной системы с изменяющимися во времени параметрами. Проведено исследование вероятности установления и бассейнов притяжения конечных состояний связанной системы (1) в зависимости от скорости изменения управляющего параметра.

Установлено, что в зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний, то есть, часть конечных состояний, возможных при λF в стационарном случае, не реализуются при динамических бифуркациях, пока скорость изменения параметра λ не превысит некоторого критического значения. Это объясняется тем, что в системе (1) с постоянными параметрами на плоскости параметров имеются области, в которых в связанной системе существуют только синфазные или только несинфазные режимы колебаний. В динамическом случае при очень малой скорости изменения управляющего параметра в таких областях система успевает выйти на синфазный или несинфазный аттрактор, соответственно. В результате, даже с переходом в область мультистабильности вся область конечных решений системы остается при любых начальных условиях бассейном притяжения ранее возникшего аттрактора и соответствующих ему конечных состояний, отличающихся друг от друга фазой колебаний. Показано, что с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций.

Исследовано влияние шума на выбор конечного состояния связанной системы с динамическими бифуркациями. Показано, что в результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения управляющего параметра.

Во второй главе изучается динамика пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов. В качестве моделей таких систем исследуются решетки связанных отображений, сконструированные из многопараметрических мультимодальных отображений

, (2)

описывающих в широкой области параметров динамику диссипативных нелинейных осцилляторов, возбуждаемых периодической внешней силой. Отображения (2), используемые в качестве базовых элементов решеток, демонстрирует мультистабильность, а их параметры характеризуют: A — амплитуду внешнего периодического воздействия, N — частоту внешнего воздействия, нормированную на частоту собственных колебаний осциллятора, d — диссипацию, β — нелинейность, то есть, представляют собой типичные характеристики неавтономных осцилляторов. Базовые отображения построены с использованием эмпирического подхода по временным реализациям тока в неавтономном колебательном контуре с диодом, являющемся одним из эталонных объектов при экспериментальном исследовании динамического хаоса и широко используемом во многих радиофизических устройствах, таких как параметрические генераторы, перестраиваемые фильтры, умножители и делители частоты. Таким образом, исследуемые в главе модели многоэлементных пространственно-развитых систем более приближены к реальным системам, чем, например, решетки связанных квадратичных или кубических отображений.

Исследование различных моделей ансамбля связанных систем начинается в главе с рассмотрения одномерной решетки (цепочки) неавтономных мультистабильных осцилляторов

  (3)

где n — дискретное время, m — номер элемента цепочки, k — коэффициент связи, а функция f(x), определяющая локальную динамику, имеет вид (2). Граничные условия выбраны периодическими: , где M — число элементов в цепочке. Проведено исследование пространственно-временных структур в цепочках с различным числом элементов и их эволюции при изменении параметров. Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек. Показано, что однородные состояния вначале теряют устойчивость по отношению к длинноволновым возмущениям, причем устойчивость к неоднородным возмущениям повышается при увеличении связи между элементами. Эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода. Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Показано, что для пространственно периодических структур длинных цепочек при бифуркации рождения тора наблюдается пространственная модуляция по цепочке (пространственно-временная квазипериодичность), а при бифуркации удвоения временного периода — удвоение пространственного периода структуры. Рассмотренная модель с дискретным временем хорошо качественно описывает пространственно-временные структуры, наблюдаемые в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом, и отражает характер их перехода к хаосу при изменении параметров в зависимости от числа элементов в цепочке.

В области параметров, в которой элементы цепочки обладают бистабильностью, исследована зависимость пространственных режимов от величины коэффициента связи и способа задания начальных условий. С целью учета влияния шума и неидентичности элементов на динамику системы проведены исследования одномерных решеток при добавлении внешнего шума и модуляции одного из управляющих параметров.

С помощью метода последовательной стабилизации движений элементов впервые проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных мультистабильных осцилляторов (3). Стабилизация неустойчивых однородных состояний цепочки проведена в режиме развитого пространственно-временного хаоса для двух типичных случаев: при значениях параметров, соответствующих отсутствию гистерезиса и связанной с ним бистабильности в элементах цепочки и при наличии бистабильности одиночных элементов, при которой в них сосуществуют два хаотических аттрактора. Показано, что величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом. Благодаря наличию шума, становятся возможными переключения между бистабильными состояниями элементов. Подавая на систему шум и одновременно воздействуя на нее управляющим сигналом, можно добиться того, что колебания всех элементов цепочки переводятся в окрестность лишь одного выбранного хаотического аттрактора. После чего шум может быть отключен и легко достигнута стабилизация неустойчивого пространственно однородного режима периода 1, входящего в этот аттрактор.

Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных мультистабильных элементов проводится в главе путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов и усложнение способа связи между ними. В качестве модели двумерной решетки исследовалось уравнение

(4)

а в качестве модели трехмерной решетки уравнение

  (5)

где i и j определяют положение элемента в двумерной решетке, l — номер слоя, k — коэффициент связи между элементами внутри отдельного слоя, представляющего собой двумерную решетку, h — коэффициент связи между слоями двумерных решеток, а функция f(x) является многопараметрической мультимодальной вида (2). Рассматривался случай связанных квадратных решеток: i=1,…,M, j=1,…,M, l=1,…,L с различным способом задания граничных условий. Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках (4) и (5) при таких значениях параметров, при которых элементы решеток обладают бистабильностью. Исследовано явление динамического копирования в трехмерных решетках (5) при случайных и различных регулярных начальных пространственных распределениях динамической переменной.

В третьей главе рассматриваются пространственно-развитые системы, описываемые бесконечномерными моделями в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

,  (6)

где x(t) — состояние системы в момент времени t, производная по времени порядка n,  — времена запаздывания,  — параметры, характеризующие инерционные свойства системы, F — некоторая функция. Исследованы особенности временных реализаций автоколебательных систем с запаздыванием. Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания. В результате, при наличии инерционности в системе (ε1>0) зависимость  числа

Рис. 1. Качественный вид зависимости числа N пар экстремумов хаотического временного ряда системы с запаздыванием, удаленных друг от друга на время τ, от величины τ. N(τ) нормировано на общее число экстремумов во временном ряду.

N пар экстремумов хаотической временной реализации, удаленных друг от друга на время τ, от величины τ, имеет четкий минимум при времени τ1, соответствующем времени запаздывания системы, рис. 1. Положение абсолютного максимума на графике N(τ) определяется величиной параметра ε1: с увеличением ε1 расстояние τs между минимумом и максимумом увеличивается. Показано, что качественные особенности зависимости N(τ), обусловленные динамикой системы с запаздыванием, сохраняются при умеренном шуме. Они сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры εi, характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы. А для хаотических временных реализаций систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки показано, что число экстремумов, разделенных временными интервалами, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени.

Основное внимание уделяется в главе разработке новых методов восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений автоколебательных систем с запаздыванием. Предложены оригинальные методы реконструкции дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью. Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в специальным образом выбираемые подпространства малой размерности. Выбор пространства вложения определяется при этом общим видом модельного уравнения. Разработанные методы позволяют восстановить время запаздывания, параметры инерционных элементов и вид нелинейной функции. Оригинальный метод определения времени запаздывания требует существенно меньше вычислительных затрат, чем любые другие известные методы. Предложенные способы восстановления нелинейной функции и всех параметров инерционности системы с запаздыванием используют все точки временного ряда, что позволяет успешно применять их к коротким временным рядам и полно восстанавливать нелинейную функцию даже в случаях слаборазвитого хаоса. Для оценки качества восстановления модельного уравнения использованы различные количественные критерии.

Разработанные методы применены для восстановления эталонных дифференциальных уравнений с запаздыванием по их коротким, сильно зашумленным временным рядам. Получено хорошее качество реконструкции модельного уравнения Маккея-Гласса и уравнения Икеды, описывающего динамику пассивного оптического резонатора и имеющего мультимодальную нелинейную функцию. Методы также применены для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений различных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью. В простейшем случае такой генератор может быть представлен кольцом из трех идеализированных элементов: нелинейного, инерционного и задержки. Запаздывание сигнала на время τ1 обеспечивается линией задержки, роль нелинейного элемента исполняет усилитель с передаточной характеристикой f, а инерционность определяется фильтром, параметры которого задают величину ε1. В случае, когда инерционным элементом является низкочастотный RC-фильтр первого порядка, такой генератор описывается уравнением

, (7)

где U(t) и U(t–τ1) — напряжения, соответственно, на входе и выходе линии задержки, R и C — сопротивление и емкость элементов фильтра, RC=ε1. Показано, что метод позволяет с хорошей точностью определить параметры генератора и передаточную характеристику усилителя по экспериментальному хаотическому временному ряду.

Метод успешно применен для восстановления по временным рядам модельных и экспериментальных автоколебательных систем второго и третьего порядка с запаздыванием, включая реальные радиотехнические генераторы с запаздывающей обратной связью с различным числом инерционных элементов. Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Показано, что критерием правильного выбора порядка модельного дифференциального уравнения может служить однозначность восстановленной нелинейной функции. Исследовано влияние ограниченной полосы пропускания измерительного канала, характерной при экспериментальных исследованиях, на качество реконструкции систем с запаздыванием по временным рядам.

Исследована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из различных точек системы. Показано, что для реконструкции модельного уравнения такой системы по временному ряду переменной, измеренной между нелинейным и инерционным элементами системы, необходимо провести фильтрацию наблюдаемой переменой низкочастотным фильтром. Предложена процедура, позволяющая подобрать априорно неизвестную частоту среза этого фильтра.

Разработан метод восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием, характеризуемых наличием двух различных времен задержки. Метод позволяет определить по временному ряду оба времена запаздывания, восстановить вид нелинейных функций с запаздывающим аргументом и определить параметр, характеризующий инерционные свойства системы. Предложена процедура последовательного уточнения параметров, позволяющая существенно повысить быстродействие метода. Работоспособность метода продемонстрирована на примере модельных хаотических временных рядов дифференциального уравнения с двумя временами запаздывания, а также на примере экспериментальных временных рядов радиотехнического генератора с двумя временами запаздывания.

Предложен метод оценки времени задержки и порядка модельного уравнения для автоколебательных систем с запаздыванием, находящихся в периодическом режиме колебаний. Метод основан на анализе отклика этих систем на слабое периодическое импульсное воздействие.

В четвертой главе исследуются пространственно-развитые системы, моделируемые связанными дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Построение нелинейных динамических моделей связанных бесконечномерных систем с запаздыванием представляет собой следующий шаг в направлении увеличения сложности пространственно-развитых систем. Впервые решается задача реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных автоколебательных систем с запаздыванием по их хаотическим временным рядам. Предложен метод, позволяющий восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума. Показано, что методика работоспособна в широком диапазоне изменения коэффициентов связи между системами при различных способах связи систем между собой. Метод применен для восстановления цепочек связанных систем с запаздыванием, описываемых уравнением

, (8)

где i — номер элемента цепочки, а k — коэффициент связи.

Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе для случая, когда системы неидентичны, отличаются способом воздействия друг на друга и находятся под действием шума. Метод успешно применен также для восстановления связанных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью по экспериментальным временным рядам напряжения на входе их линий задержки.

Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием. Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием. Показано, что вид модельного уравнения для каждого из этих случаев определяет при реконструкции неавтономной системы с запаздыванием выбор пространства вложения малой размерности, в которое траектория движения системы проецируется из ее бесконечномерного фазового пространства. Метод позволяет реконструировать неавтономные системы с запаздыванием даже в случаях, когда способ внесения внешнего воздействия в систему априорно неизвестен. В этом случае, процедура реконструкции позволяет дополнительно установить, каким именно образом осуществлено воздействие на систему. Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия. Метод протестирован при наличии шума. Его эффективность продемонстрирована на примерах коротких временных рядов при различных видах внешнего воздействия.

Рассмотрены различные способы кодирования и извлечения информации в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием. Разработана новая методика выделения скрытого сигнала сообщения в таких системах связи. Методика основана на реконструкции модельного уравнения передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала. Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.

На рис. 2 представлена блок-схема системы передачи информации, в которой информационный сигнал m(t) добавляется с помощью сумматора к хаотическому сигналу x(t) передающей системы, колебания которой описываются уравнением

Рис. 2. Блок-схема системы связи с нелинейным подмешиванием информационного сигнала в сигнал системы с запаздыванием.

, (9)

и сигнал передается в канал связи. Возможность выделения в приемнике информационного сигнала, присутствие которого незаметно в передаваемом сигнале s(t), проиллюстрирована для случая, когда хаотический сигнал x(t) передатчика генерируется системой Маккея-Гласса с неизвестными параметрами, а сигнал m(t) представляет собой частотно-модулированный гармонический сигнал. На рис. 3 приведены временные реализации информационного, передаваемого и выделенного сигналов и их спектры мощности. Исследована эффективность метода при наличии шума в канале связи.

Рис. 3. (а) Частотно-модулированный гармонический сигнал m(t). (б) Передаваемый сигнал s(t). (в) Выделенный информационный сигнал . (г) Спектры мощности сигналов m(t), s(t) и , обозначенные цифрами 1, 2 и 3, соответственно.

Показано, что скрытое сообщение может быть успешно выделено в системах связи, имеющих более сложную конфигурацию, при которой информационный сигнал вводится в кольцо обратной связи передающей системы с запаздыванием в одной точке, а в канал связи передается сигнал из другой точки. В этом случае требуется дополнительная обработка сигнала на выходе вычитающего элемента приемника. Хорошее качество восстановления скрытого сообщения продемонстрировано на различных численных примерах при передаче частотно-модулированного гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса для различных конфигураций передающей системы, и в экспериментальной радиофизической системе при передаче гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал генератора с запаздывающей обратной связью с неизвестными параметрами.

Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши. В основе метода лежит хаотическая синхронизация двух однонаправленно связанных лазеров. Предложен способ начальной оценки времени запаздывания в цепи обратной связи лазера, основанный на статистическом анализе специальным образом выбираемых точек временного ряда колебаний интенсивности излучения. Эффективность метода продемонстрирована численно на примере двух однонаправленно связанных систем Ланга-Кобаяши.

В пятой главе разрабатываются новые методы диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и рассматривается их применение к исследованию внешней синхронизации в модельных радиофизических системах и реальных пространственно-развитых автоколебательных системах, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи.

Предложен метод, позволяющий диагностировать по временным рядам автогенератора и внешнего воздействия наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой. Метод основан на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов и позволяет отличить внешнюю синхронизацию автоколебаний от случая просачивания внешнего сигнала в наблюдаемый сигнал. Под просачиванием будем понимать линейное перемешивание сигналов автоколебательной системы и внешнего воздействия без изменения частоты автоколебаний, которое часто приводит к ошибочному выводу о наличии синхронизации сигналов. Показано, что случаи синхронизации генератора внешним сигналом и просачивания можно различить, анализируя в вейвлетном спектре мощности динамику временных масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам. В случае синхронизации генератора внешним сигналом с линейно изменяющейся частотой в вейвлетном спектре мощности наблюдаются изломы в моменты времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике, отражающие эффект затягивания частоты генератора внешним сигналом. Наряду с изломом на основном временном масштабе s0 наблюдается и излом на масштабе s0/2, соответствующем второй гармонике. В случае эффекта просачивания какие-либо изменения динамики основного временного масштаба в моменты времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автоколебаний, не приводят к изменению динамики других характерных временных масштабов. Показано, что случаи синхронизации и просачивания можно также различить, исследуя динамику разностей фаз неавтономного автогенератора и внешнего воздействия, вводимых с помощью непрерывного вейвлетного преобразования и вычисляемых вдоль переменного временного масштаба, соответствующего линейно изменяющейся частоте внешнего сигнала. В области внешней синхронизации автоколебаний исследуемая разность фаз меняется монотонно на величину π, а в случае линейного перемешивания сигналов разность фаз меняется по параболическому закону вблизи моментов времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике. Показано, что метод не требует очень точной настройки масштаба наблюдения на временной масштаб, соответствующий изменяющейся частоте внешнего воздействия. Метод протестирован на временных рядах модельной автоколебательной системы (асимметричном генераторе Ван-дер-Поля под внешним воздействием) и применен для исследования по экспериментальным многомерным временным рядам синхронизации автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающей обратной связи в системе регуляции кровяного давления.

Предложен новый метод диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам. Метод основан на анализе разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину. Мгновенные фазы колебаний вводятся с помощью непрерывного вейвлетного преобразования с материнским вейвлетом Морле для временного масштаба, соответствующего основной частоте автономных автоколебаний. Показано, что исследуемая разность фаз остается постоянной в областях отсутствия синхронизации и демонстрирует монотонное, часто близкое к линейному, изменение в областях синхронизации. Метод обладает высокой чувствительностью благодаря тому, что динамика разности фаз рассматривается на временных масштабах, амплитуда которых в вейвлетном спектре велика. Он позволяет диагностировать наличие синхронизации даже в том случае, если закон изменения частоты внешнего воздействия неизвестен. Показано, что метод остается эффективным при высокой зашумленности исследуемого временного ряда и неточной настройке на основной временной масштаб. Метод применен к экспериментальным временным рядам колебаний напряжения на выходе радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью вида (7), возбуждаемого внешним сигналом с частотой, монотонно изменяющейся по нелинейному закону. Динамика генератора описывается дифференциальным уравнением с запаздыванием

,  (10)

где U0 и fd(t) — амплитуда и частота внешнего сигнала, соответственно. Рассмотрены случаи внешнего воздействия с малой и большой амплитудой. Для различных значений U0 показано, что метод позволяет по одномерным временным рядам отчетливо диагностировать режимы синхронизации автоколебаний генератора внешним сигналом и определить их границы.

С помощью предложенного метода диагностики внешней синхронизации автоколебаний по одномерным временным рядам на основе анализа только экспериментальных временных рядов сердцебиения человека исследована синхронизация медленных автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием с линейно увеличивающейся частотой. Метод позволяет выявить режим синхронизации 1:1 между медленными колебаниями кровяного давления и дыханием, частота которого меняется вблизи частоты 0.1 Гц.

Шестая глава посвящена построению и исследованию нелинейных моделей с запаздывающей обратной связью для описания системы медленной регуляции кровяного давления и исследованию на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей.

Исследована возможность восстановления параметров модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих медленные автоколебания кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц, по экспериментальным временным рядам артериального давления. Восстановленные значения параметров модели хорошо согласуются с известными теоретическими оценками.

Предложена новая модель системы медленной регуляции кровяного давления, учитывающая влияние дыхания. Модель имеет вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, в которой в качестве внешнего воздействия выступает сигнал дыхания. Параметры модели имеют физиологическую интерпретацию и могут быть оценены из эксперимента. Исследована синхронизация автоколебаний модельной системы внешним сигналом. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в натурном эксперименте. Результаты модельных и экспериментальных исследований свидетельствуют в пользу того, что система, задающая ритм, отвечающий за низкочастотные колебания кровяного давления, может быть рассмотрена как автогенератор под внешним воздействием при наличии шума.

Проведено исследование синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных экспериментальных данных (записей электрокардиограмм, дыхания и пульсограмм), так и одноканальных данных в виде временных рядов сердцебиения. Исследования проведены при различных режимах дыхания: произвольном, с постоянной частотой и с линейно изменяющейся частотой. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и колебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Синхронизация между указанными ритмами наблюдалась у всех испытуемых при различных режимах дыхания. Показано, что фазы и частоты исследуемых ритмов могут быть захвачены с различными соотношениями n:m, причем в ходе одного эксперимента может наблюдаться несколько различных порядков синхронизации. В экспериментах с заданной частотой дыхания (постоянной или линейно меняющейся) длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиением и между дыханием и медленными колебаниями кровяного давления в среднем больше, чем в случае произвольного дыхания. Исследована зависимость качества синхронизации от положения тела человека и величины вариабельности сердечного ритма.

С помощью различных методов (полосовой фильтрации с последующим преобразованием Гильберта, эмпирической декомпозиции мод и вейвлетного преобразования) продемонстрирована возможность определения из временных рядов сердцебиения (последовательности R-R интервалов) мгновенных фаз и мгновенных частот основных колебательных процессов сердечно-сосудистой системы — основного сердечного ритма, дыхания и медленных колебаний кровяного давления. Показано, что фазы и частоты ритма с собственной частотой вблизи 0.1 Гц, выделенные из ряда R-R интервалов и из ряда кровяного давления здорового человека, достаточно близки, однако демонстрируют между собой большее отличие, чем временные ряды дыхания и респираторного ритма, выделенного из ряда  R-R интервалов. Показано, что результаты исследования синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы здоровых людей по одномерным временным рядам сердцебиения качественно совпадают с результатами, полученными при исследовании синхронизации по многоканальным данным.

Исследована синхронизация колебательных процессов с частотой 0.1 Гц, выделенных из рядов R-R интервалов и пульсограмм, у 32 пациентов с ишемической болезнью сердца, находившихся на стационарном лечении в клинике Саратовского НИИ кардиологии по поводу острого инфаркта миокарда. Одновременная регистрация ЭКГ и пульсограмм пациентов проводились дважды: в первые 3–5 дней с момента наступления инфаркта и на третьей неделе течения заболевания. Контрольная группа состояла из здоровых людей без признаков сердечной патологии (23 записи). Обнаружено, что у здоровых людей длительность участков синхронизации исследуемых ритмов в среднем в 3 раза больше, чем у больных, перенесших инфаркт миокарда, а длительность участков синхронизации ритмов у пациентов через 3 недели после инфаркта в среднем в 1.5 раза больше, чем у тех же пациентов на первой неделе после инфаркта. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния и контроля эффективности лечения. Создан и зарегистрирован программный продукт, предназначенный для определения степени фазовой синхронизации между колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе расчета суммарного процента фазовой синхронизации колебаний. Программа используется в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии, где с ее помощью формируется и апробируется новая методика медицинской диагностики.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

  1. Проведено исследование явления мультистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух диссипативно связанных квадратичных отображений с использованием способа различения мультистабильных состояний по фазовому признаку. Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. Установлено, что области несинфазных колебаний при слабой и сильной связи симметричны друг другу в пространстве параметров системы, но сами несинфазные режимы качественно различны. Показано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным. Исследована структура бассейнов притяжения мультистабильных состояний системы связанных квадратичных отображений и их эволюция при изменении параметров.
  2. Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний системы связанных квадратичных отображений с изменяющимися во времени параметрами. Показано, что в зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний. В области мультистабильности с уменьшением скорости изменения управляющего параметра наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций. В результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения бифуркационного параметра.
  3. Для пространственно-развитой системы, представляющей собой замкнутую цепочку синфазно возбуждаемых бистабильных осцилляторов, предложена и исследована дискретная модель в виде кольца связанных мультимодальных отображений. Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек. Показано, что эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода. Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Рассмотренная модель хорошо качественно описывает характер перехода к хаосу пространственно-временных структур, наблюдаемых в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом.
  4. Осуществлено управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов. Показано, что воздействие на систему малого шума на начальном этапе управления может существенно уменьшить величину управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима развитого пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим.
  5. Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными точечными отображениями.
  6. Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания. Эта особенность сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры, характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы. Во временных реализациях систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки число экстремумов, разделенных интервалами времени, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени.
  7. Предложены оригинальные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов пространственно-развитых систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка и с несколькими временами задержки. Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности. Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Разработанные методы протестированы на эталонных системах с запаздыванием и применены для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью с различным числом линий задержки и последовательно соединенных низкочастотных RC-фильтров.
  8. Предложены методики восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из различных точек системы.
  9. Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием. Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием. Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия.
  10. Предложен метод реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных систем с запаздыванием по их временным рядам. Метод позволяет восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума. Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе с добавленным шумом, а также на примере экспериментальных временных рядов связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием.
  11. Разработана методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием. Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационного сигнала при различных конфигурациях передающей системы, параметры которой априорно неизвестны. Работоспособность метода продемонстрирована на численных примерах и в эксперименте.
  12. Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши.
  13. Предложены методы диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным и одномерным сильно зашумленным временным рядам. Методы применены для исследования по экспериментальным временным рядам внешней синхронизации неавтономного радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью и системы медленной регуляции кровяного давления, характеризуемой наличием запаздывания.
  14. Для описания медленных колебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц предложена модель в виде неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, учитывающая влияние дыхания. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Исследована возможность восстановления параметров модельных уравнений с запаздыванием по экспериментальным временным рядам артериального давления.
  15. Проведено исследование синхронизации между основными колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных, так и одноканальных данных. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Исследована зависимость качества синхронизации от режима дыхания и величины вариабельности сердечного ритма. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах:

  1. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev E.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one–dimensional map // Chaos, Solitons and Fractals, 1995, V.5, N.11, P.2095–2107.
  2. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1996, Т.22, В.6, С.61–66.
  3. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т.4, N.4,5, С.99–107.
  4. Безручко Б.П., Прохоров М.Д. Управление пространственно-временным хаосом в цепочке бистабильных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1999, Т.25, В.12, С.51–57.
  5. Bezruchko B.P., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys. Rev. E, 2001, V.64, 056216.
  6. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2001, Т.27, В.10, С.43–51.
  7. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system // Phys. Rev. E, 2002, V.66, 026215.
  8. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т.10, N.4, С.47–68.
  9. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Выделение информационной компоненты хаотического сигнала системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ, 2002, Т.28, В.16, С.37–44.
  10. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Sysoev I.V., Karavaev A.S. Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т.10, N.3, С.137–158.
  11. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений системы с задержкой по экспериментальному временному ряду // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т.10, N.1–2, С.52–64.
  12. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Gridnev V.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system // Phys. Rev. E, 2003, V.68, 041913.
  13. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems // Chaos, Solitons and Fractals, 2003, V.15, N.4, P.695–711.
  14. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Seleznev Ye.P., Dikanev T.V. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2003, Т.11, N.3, С.56–66.
  15. Bespyatov A.B., Bodrov M.B., Gridnev V.I., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system // Nonlin. Phen. in Compl. Syst., 2003, V.6, N.4, P.885–893.
  16. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 2004, Т.49, N.9, С.1098–1104.
  17. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т.30, В.22, С.23–30.
  18. Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Прохоров М.Д., Беспятов А.Б., Бодров М.Б., Караваев А.С. Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2004, N.8–9, С.40–51.
  19. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Караваев А.С. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т.30, В.2, С.81–88.
  20. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Recovery of time-delay systems with two delays from time series // Nonlin. Phen. in Compl. Syst., 2004, V.7, N.4, P.400–404.
  21. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ, 2005, Т.127, В.3, С.515–527.
  22. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Estimation of coupling between time-delay systems from time series // Phys. Rev. E, 2005, V.72, 016210.
  23. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Корюкин И.В. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.21, С.79–86.
  24. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // Physica D, 2005, V.203, N.3–4, P.209–223.
  25. Прохоров М.Д., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Беспятов А.Б. Исследование синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека по последовательности R-R интервалов // Биофизика, 2005, Т.50, В.5, С.914–919.
  26. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.6, С.73–78.
  27. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.2, С.41–48.
  28. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Bespyatov A.B., Bodrov M.B., Gridnev V.I. Deriving main rhythms of the human cardiovascular system from the heartbeat time series and detecting their synchronization // Chaos, Solitons and Fractals, 2005, V.23, N.4, P.1429–1438.
  29. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency // Phys. Rev. E, 2006, V.73, 026208.
  30. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ, 2006, Т.32, В.17, С.73–80.
  31. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа // Письма в ЖТФ, 2006, Т.32, В.11, С.81–88.
  32. Киселев А.Р., Беспятов А.Б., Посненкова О.М., Гриднев В.И., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Довгалевский П.Я. Внутренняя синхронизация основных 0.1 Гц-частотных ритмов в системе вегетативного управления сердечно-сосудистой системой // Физиология человека, 2007, Т.33, N.2, С.69–75.
  33. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform // Phys. Rev. E, 2007, V.75, 056207.
  34. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа // Радиотехника и электроника, 2007, Т.52, N.5, С.581–592.
  35. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа // ЖТФ, 2007, Т.77, В.9, С.6–17.

Статьи в сборниках и трудах научных конференций:

  1. Prokhorov M.D. Multistable states at strong symmetric coupling of identical period doubling systems // Proceedings of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA’98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V.3, P.1055–1058.
  2. Bezruchko B.P., Ivanov R.N., Prokhorov M.D. Discrete modeling of 1-D and 2-D lattices of driven bistable oscillators // Proceedings of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA’98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V.3, P.1113–1116.
  3. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of bistable oscillators // Proceedings of 7th Int. Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES’99), Rnne, Denmark, 1999, P.81–84.
  4. Bezruchko B., Ivanov R., Kravtsov Y., Prokhorov M. Basins of attraction of final states for a system of coupled elements with varying parameters // Proceedings of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA 2000), Dresden, Germany, 2000, V.2, P.543–546.
  5. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление по временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием // Материалы международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ», Саратов, 2001, С.84–86.
  6. Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Proceedings of 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001), Delft, The Netherlands, 2001, P.101–104.
  7. Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I. Reconstruction of driven and coupled time-delay systems from time series // Proceedings of 12th Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2004), vora, Portugal, 2004, P.280–283.
  8. Безручко Б.П., Бодров М.Б., Диканев Т.В., Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., Сысоев И.В., Смирнов Д.А. Некоторые проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам // в сб. «Нелинейные волны’2004» под ред. Гапонова-Грехова А.В., Некоркина В.И., Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005, С.381–397.
  9. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Гриднев В.И., Бодров М.Б., Беспятов А.Б., Безручко Б.П. Синхронизация дыхания и процесса с частотой 0.1 Гц в сердечно-сосудистой системе человека // Материалы IV Всероссийского симпозиума «Медленные колебательные процессы в организме человека: теория и практическое применение» и II Междисциплинарной школы-семинара «Нелинейная динамика в физиологии и медицине», Новокузнецк, 2005, С.51–56.
  10. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С. Реконструкция модели системы барорефлекторной регуляции кровяного давления человека по экспериментальным данным // Доклады VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии – ФРЭМЭ 2006», Владимир, 2006, С.115–117.
  11. Безручко Б.П., Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Гриднев В.И., Киселев А.Р., Посненкова О.М. Синхронизация низкочастотных ритмов сердечно-сосудистой системы // Материалы V Всероссийского симпозиума и III школы-семинара «Медленные колебательные процессы в организме человека. Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине», Новокузнецк, 2007, С.50–54.
  12. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series: Application to chaotic communication // In: Nonlinear Phenomena Research Perspectives, Ed. Wang C.W., New York: Nova Science Publishers, 2007, P.7–53.





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.