WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

КАЦНЕЛЬСОН Леонид Борисович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯЦИИ СОКРАЩЕНИЙ СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ В НОРМЕ И ПРИ ПАТОЛОГИИ

03.00.02 – Биофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена в Институте иммунологии и физиологии УрО РАН, г. Екатеринбург НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ:

член-корреспондент РАН, доктор биологических наук, профессор В.С. Мархасин ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Доктор физико-математических наук, профессор В.В.Смолянинов Доктор физико-математических наук, профессор Г.А. Бочаров Доктор физико-математических наук А.К. Цатурян ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН

Защита диссертации состоится 15 мая 2008 года в 14 часов на заседании Специализированного Ученого Совета Д. 501.001.96 при Московском Государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119992, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Биологический факультет, кафедра биофизики, Новая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Биологического факультета МГУ.

Автореферат разослан "____" ________ 2008 г.

Ученый секретарь Специализированного Ученого Совета Д. 501.001.96, доктор биологических наук Т.Е. Кренделева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность исследования Сердечная мышца – сложная многоуровневая система, механическое поведение которой определяется двумя компонентами – пассивным, связанным с упругими и вязкими свойствами мышцы как композитного материала, и активным, позволяющим сердцу выполнять свою основную функцию – обеспечение сосудистого кровотока. Механическая активность мышцы реализуется на уровне кардиомиоцитов и включает в себя процесс сокращения, как таковой, и его регуляцию. Силогенерация/укорочение на молекулярном уровне осуществляется поперечными миозиновыми мостиками, которые циклически прикрепляются и отсоединяются от актина и гидролизуют АТФ. Поперечные мостики в ходе гидролиза осуществляют поворот, генерирующий напряжение и/или сдвигающий актиновые и миозиновые нити саркомеров друг относительно друга. Процесс регуляции сокращений включает в себя активацию актиновой нити и определяется ходом изменения концентрации кальция в цитозоле, который, в свою очередь регулируется электрической активацией клетки, т.е. развитием потенциала действия. Потенциал действия возникает в клетках рабочего миокарда в ответ на внешний электрический импульс и формируется при участии целого ряда ионных токов через мембрану, включая кальциевые, натриевые и калиевые токи.

Комплекс перечисленных процессов дополнительно усложняется наличием ряда обратных связей. Например, механические условия сокращений, а также образование и распад поперечных мостиков могут существенно влиять на кальциевую и электрическую активацию клеток.

Таким образом, сердечная мышца представляет собой сложно организованную контрактильную «машину», понять принципы организации и предсказать поведение которой можно только с помощью комплексного математического моделирования.

К настоящему времени уже разработаны и продолжают разрабатываться математические модели, описывающие с разной степенью детализации те или иные из перечисленных выше подсистем миокарда/кардиомиоцита. В частности, имеются модели пассивных механических свойств мышцы, модели активного механического поведения и модели электрической активности кардиомиоцитов. Однако до сих пор ощущается нехватка интегративных моделей, описывающих все эти подсистемы совместно с учетом прямых и, тем более, обратных связей между ними. Наше исследование призвано в какой-то мере восполнить этот пробел.

Интегративная математическая модель позволяет не только исследовать общие законы активного поведения миокарда, но также выяснять механизмы нарушений электрической и сократительной функции кардиомиоцитов при различных сердечных патологиях и методы коррекции этих нарушений. В нашей работе возможности этого важного для клинических приложений направления использования модели продемонстрировано на примере анализа механизмов и методов коррекции аритмии, возникающей в результате кальциевой перегрузки кардиомиоцитов, характерной для многих заболеваний сердца. Модель предсказывает важную роль обратных механо-электрических связей в развитии этих нарушений ритма, о чем раньше не было известно.

Наконец, наличие развитой комплексной модели кардиомиоцита открывает возможность в будущем строить одно-, двух- и трехмерные модели миокарда, в которых проведение электрического возбуждения и механическое взаимодействие сегментов будут сопряжены с развитием потенциалов действия и напряжения в клетках с учетом прямых и обратных связей, существующих между всеми этими процессами как на внутриклеточном, так и на тканевом уровне.

Цели и задачи исследования Целью работы являлось создание математической модели активного механического поведения сердечной мышцы для воспроизведения и объяснения широкого круга феноменов сократительной активности миокарда и ее нарушений. Модель должна была включать описание процессов кальциевой и электрической активации сократительной функции кардиомиоцитов (с учетом обратных механо-кальциевых и механо-электрических связей) и позволить адекватно воспроизводить и объяснить феномены, наблюдаемые в физиологических экспериментах на мышечных препаратах или в интактном сердце, такие как:

- влияние механических условий на активацию сердечной мышцы в ходе цикла сокращение-расслабление (феномен грузозависимого расслабления, эффект циклических деформаций и др.);

- влияние активности кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма на грузозависимое расслабление (исчезновение грузозависимости в гипертрофированном миокарде, уменьшение грузозависимости при повышении температуры);

- влияние мышечной вязкости на активное механическое поведение миокарда (эффект «несогласованности» хода развития изометрического напряжения и хода укорочения/растяжения саркомеров и др.);

- нарушение электро-механической функции кардиомиоцитов при кальциевой перегрузке.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

- разработка постулатов модели;

- построение механического блока модели;

- построение блока кальциевой регуляции тонких нитей саркомеров и блока кинетики внутриклеточного кальция в модели;

- включение в модель блока электрической активности кардиомиоцитов;

- реализация прямых и обратных связей между блоками модели;

- проведение численных экспериментов, воспроизводящих основные режимы сокращений миокарда, с целью имитации и анализа свойств сокращающегося миокарда.

Основные положения, выносимые на защиту 1. Разработанная модель механического поведения сердечной мышцы, включающая описание электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах и их кальциевую активацию, адекватно воспроизводит широкий спектр экспериментальных данных из области биомеханики активного миокарда.

2. Ключевым звеном механизма, реализующего обратную связь между механическими условиями и ходом активации кальцием тонких нитей саркомеров, является кооперативность регуляторных и сократительных белков.

3. Как ускорение, так и замедление кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма (если замедление вызвано ингибированием насоса) могут приводить к ослаблению феномена грузозависимого расслабления.

4. Механические свойства пассивной миокардиальной ткани, в частности, ее вязкость существенно модулируют активное механическое поведение сердечной мышцы.

5. При развитии острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, кооперативность регуляторных и сократительных белков, а также механические условия сокращений сердечной мышцы (такие как уменьшение длины или нагрузки) способствуют возникновению сердечной аритмии.

6. Обоснованные в модели методы воздействия на кардиомиоциты при острой сердечной недостаточности, связанной с их перегрузкой кальцием, дают теоретическую базу для разработки методов восстановления нормальной электромеханической функции миокарда при этой патологии.

Методы исследования Электромеханическое поведение сердечной мышцы описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В связи с большим количеством уравнений в системе (а именно, 25 дифференциальных уравнений) возможности ее качественного анализа крайне ограничены. Поэтому основным методом исследования является численное интегрирование. С учетом жесткости системы, описывающей электромеханическую активность сердечной мышцы, были выбраны методы ее численного интегрирования: использовался либо явно-неявный метод, учитывающий специфическую структуру уравнений модели, либо метод Эйлера с шагом интегрирования, обеспечивающим достаточную точность расчетов. Для верификации модели результаты численного моделирования сопоставлялись с данными реальных экспериментов.

Данные физиологических/биохимических экспериментов использовались также для оценки допустимых интервалов изменения большинства параметров модели, которые затем были верифицированы в численных экспериментах.

Научная новизна Все перечисленные ниже результаты были получены в работе впервые.

В рамках математической модели установлено, что кооперативность сократительных и регуляторных белков – основной механизм, ответственный за вклад механических условий в развитие кальциевой активации.

В модель включено описание зависимости присоединения мостиков от межфиламентарного расстояния, зависящее, в свою очередь, от длины мышцы, и установлено, что в сочетании с механизмами кооперативности сократительных и регуляторных белков этот эффект является важным звеном механо-кальциевой обратной связи в миокарде.

Теоретически изучена роль ингибирования кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма в регуляции сократительного цикла сердечной мышцы.

В модели активного механического поведения сердечной мышцы, включающей процессы активации кардиомиоцитов, учтена вязкость миокардиальной ткани и исследован ее вклад в процессы сокращения и расслабления.

В рамках модели электромеханической активности сердечной мышцы проанализирована роль механических условий сокращений миокарда как аритмогенного фактора при умеренной перегрузке кардиомиоцитов кальцием;

показано, что механизм, инициирующий экстрасистолы при такой перегрузке связан с кооперативностью сократительных и регуляторных белков.

Построена математическая модель нарушений электромеханической функции миокарда при острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием; эта модель использована как инструмент для оценки эффективности различных терапевтических методов коррекции таких нарушений.

Научная и практическая значимость Нами разработана новая интегративная математическая модель механического поведения кардиомиоцитов с учетом их электрической и кальциевой активации. Модель может использоваться и уже успешно использована для анализа проблем физиологии сердца.

Важными для патофизиологии приложениями работы являются:

- исследование причин исчезновения эффекта грузозависимого расслабления миокарда при его гипертрофии;

- построение математической модели развития острой сердечной недостаточности при перегрузке кардиомиоцитов кальцием и анализ различных методов восстановления электромеханической функции сердечной мышцы в этих условиях.

Апробация. Результаты работы были представлены в докладах на научных конференциях: 19-м съезде Физиологического общества им. Павлова (Екатеринбург, 2004); международном симпозиуме «Биологическая подвижность: фундаментальные исследования и практика» (Пущино, 2006);

международной конференции «Математическая биология и биоинформатика» (Пущино, 2006); 25-й Европейской мышечной конференции (Монпелье, Франция, 1996); 34-м конгрессе Международного союза физиологических обществ (Крайсчерч, Новая Зеландия, 2001) конференциях Физиологического общества Великобритании (Лидс, 2000; Оксфорд, 2004 и 2007, Англия); Европейской конференции по математической и теоретической биологии (Дрезден, Германия, 2005) и ряде других, а также в докладах на науч ных семинарах в Институте иммунологии и физиологии УрО РАН (Екатеринбург), Институте математики и механики РАН (Екатеринбург); Институте физики металлов РАН (Екатеринбург); Институте механики сплошных сред РАН (Пермь); Институте механики МГУ (Москва); Кафедре биофизики биологического факультета МГУ (Москва); Высшей политехнической школе (Пализо, Франция).

Всего по теме диссертации опубликовано более 50 работ, среди которых 1 книга, 19 статей в отечественных и международных рецензируемых журналах (в том числе 12 публикаций в журналах из Перечня, рекомендуемого ВАК), 5 статей в сборниках научных трудов, а также тезисы докладов в материалах отечественных и международных конференций.

Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, поддержаны рядом грантов РФФИ, грантами Целевой программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Фундаментальная наукамедицине"; фонда the Welcome Trust; Национального института здоровья США, The Fogarty International Center, NATO Collaborative Linkage Grant.

Благодарности. Автор считает приятным долгом поблагодарить своего научного консультанта члена-корр. РАН В.С. Мархасина; коллег:

О.Э. Соловьеву, Л.В. Никитину, Ю.Л. Проценко; Т.Б. Сульман, П.В. Коновалова, Н.А. Викулову, а также почтить память д.б.н. В.Я. Изакова, под руководством которого в 1986 году автор начинал свои исследования в области математического моделирования мышечных сокращений.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, в котором сформулированы выводы, и приложений. Работа включает 3 таблицы, 56 рисунков и список литературы из 184 источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Механическая активность миокарда и ее кальциевая регуляция (краткая характеристика объекта исследования) Одной из важнейших особенностей механической активности сердечной мышцы является цикличность (периодичность) ее сокращений, необходимая для осуществления насосной функции сердца.

Основные этапы регуляции одного цикла сокращение-расслабление миокарда таковы:

(1) В ответ на электрический импульс происходит деполяризация мембраны кардиомиоцита, что приводит, в частности, к активации кальциевых каналов в мембране. Ионный ток через эти каналы поставляет в клетку относительно небольшое количество кальция. Однако эта малая порция кальция активирует каналы внутриклеточных кальциевых депо – так называемого саркоплазматического ретикулюма (СР). Вследствие этого из СР в цитозоль по градиенту концентрации устремляется основной поток кальция.

В цитозоле происходит его связывание с различными внутриклеточными лигандами и распад этих комплексов.

(2) Ключевую роль в активации сокращения мышцы играет связывание кальция с регуляторным белком тропонином C (TnC), локализованным в миофибриллах. Связывание кальция с TnC вызывает конформацию тропомиозиновой нити, закрывающей активные центры на глобулах актиновой нити саркомера. Открывшийся активный центр становится доступным для прикрепления миозиновой головки, т.е. для образования поперечного мостика.

(3) За счет аккумулированной ранее энергии гидролиза АТФ мостик совершает шаг, являющийся основой генерации мышечного напряжения и укорочения. По окончании каждого очередного шага и сброса продуктов гидролиза миозин присоединяет молекулу АТФ и отсоединяется от актина. Чем выше концентрация кальция в цитозоле, тем больше комплексов CaTnC формируется, тем, соответственно, больше образуется поперечных мостиков, а значит, тем больше генерируемое напряжение и способность к укорочению.

(4) Постепенно кальций выводится из цитозоля частично во внеклеточное пространство (главным образом с помощью натрий-кальциевого обмена), но в основном – обратно в СР. Поглощение кальция в СР – активный транспорт против градиента концентрации, осуществляемый кальциевым на сосом ретикулюма за счет энергии гидролиза АТФ. Временной ход концентрации цитозольного кальция за один цикл называется кальциевым переходом. Вследствие поглощения кальция в СР и выведения из клетки быстро понижается его концентрация в цитозоле. В результате постепенно уменьшается количество комплексов CaTnC и количество образуемых поперечных мостиков, что приводит к ослаблению механической активности мышцы, т.е. к расслаблению.

(5) Основные экспериментальные режимы, в которых исследуется цикл сокращения-расслабления миокарда, отображают различные режимы сокращения интактного сердца. Эти режимы таковы.

Изометрический режим – концы препарата, растянутого на некоторую исходную длину крепятся к неподвижным рычагам установки. После стимула в мышце сначала происходит рост напряжения (фаза сокращения), сменяемый затем его постепенным падением, т.е. расслаблением. Длина препарата остается неизменной в течение всего цикла.

Изотонический режим – на одном из концов препарата находится дополнительный груз. Когда в изометрическом режиме растущее напряжение достигает величины этого груза, то мышца поднимает его и наступает фаза изотонического сокращения, т.е. укорочения под постоянной нагрузкой. В фазу расслабления груз растягивает мышцу в обратном направлении. Вернувшись к исходной длине, мышца завершает расслабление в изометрическом режиме.

Основные проблемы физиологии миокарда, на решение которых направлена работа В рамках математической модели в работе исследованы следующие ключевые проблемы физиологии миокарда.

• Каковы факторы и механизмы обратной связи между механическими условиями сокращения сердечной мышцы и ее активацией/инактивацией? • Какие механизмы лежат в основе ослабления эффекта грузозависимо сти и какова роль кальциевых насосов СР в этом ослаблении? • Влияет ли вязкость миокардиальной ткани на активное механическое поведение сердечной мышцы? • Как проявляется механо-кальциевая обратная связь в нарушениях электрической и механической функции кардиомиоцитов при острой сердечной недостаточности, связанной с их кальциевой перегрузкой? Многие из поставленных проблем связаны со следующим важным свойством сердечной мышцы: механические условия ее сокращения в каждый данный момент времени влияют на ее последующую активность, т.е. на способность к развитию напряжения не только в этот момент, но и в течение всей последующей части цикла сокращение-расслабление. Это влияние чаще всего проявляется как уменьшение активности в ответ на изменение механических условий, т.е. как инактивация мышцы. Существует ряд экспериментально установленных эффектов, демонстрирующих это ключевое свойство.

Остановимся на двух наиболее ярких из них. Это реакция мышцы на быстрые циклические деформации и феномен грузозависимого расслабления.

Эффект циклической деформации проявляется в том, что короткое воздействие, оказываемое на мышцу в ходе изометрического цикла, приводит к необратимому падению уровня развиваемого мышцей напряжения. Это воздействие состоит либо в быстром растяжении мышцы на 3-5 % длины и столь же быстром возврате на прежнюю длину, либо, наоборот, в быстром отпускании мышцы на 3-5% длины с возвратом. Причем, чем позднее в ходе цикла наносится деформация, тем сильнее ее эффект.

Суть феномена грузозависимого расслабления, прежде всего, состоит в том, что изотонические циклы завершаются быстрее изометрического. Причем, чем меньше груз, тем больше различие между длительностью изометрического и соответствующего изотонического цикла. Более того, часто возникает ситуация, когда изотоническое расслабление под малым грузом завершается раньше, чем под большим (см., например, рис. 4). Это явление связано с парадоксальным свойством изотонических циклов: чем меньше груз, тем с большей скоростью мышца растягивается под этим грузом в фазу расслабления.

В экспериментах, в которых одновременно с механическими данными регистрировался кальциевый переход в кардиомиоцитах, было установлено, что как в случае сокращения-расслабления под нагрузкой, так и в ответ на быструю кратковременную деформацию в клетках сердечной мышцы возникает дополнительный свободный кальций по сравнению с изометрическим циклом. Эти результаты навели ряд исследователей на мысль, что механические условия влияют на сродство TnC к кальцию, приводя к дополнительному распаду кальций-тропониновых комплексов, что вызывает одновременно и наблюдаемые всплески концентрации свободного кальция, и механическую инактивацию (см., например, Lab ea, Circ Res, 1984). В литературе долгое время активно обсуждался вопрос о том, какой именно механический фактор – длина или груз – влияет на указанное сродство. Однако ответ на этот вопрос не был получен, поскольку не был выяснен механизм такого возможного влияния. Т.е. без ответа оставался главный вопрос, как именно такие макроскопические характеристики, как длина препарата или приложенный к нему груз могут влиять на ход молекулярных процессов связывания и распада кальций-тропониновых комплексов. Таким образом, природа и механизмы обратной связи между механическими условиями сокращения сердечной мышцы и ее активацией/инактивацией – одна из центральных проблем биомеханики миокарда.





Особо важную роль влияние механических условий на активность сердечной мышцы играет в целом сердце. Это связано с неоднородностью свойств кардиомиоцитов в стенке камер сердца. Различаясь по длительности и амплитуде механического цикла и возбуждаясь с задержкой относительно друг друга, взаимодействующие клетки миокарда создают друг для друга динамически меняющиеся условия механического нагружения. В результате возникает сложная непрерывная сеть обратных связей между сокращением системы кардиомиоцитов и активацией каждого из них, влияющей на после дующий ход сокращения.

Таким образом, механо-кальциевая обратная связь – важнейшее звено регуляции сокращений сердечной мышцы. Наиболее ярко эта связь проявляется в феномене грузозависимого расслабления миокарда. Поэтому очень важно понять причины ослабления или даже полного исчезновения этого феномена в ряде ситуаций. Так в исследованиях, проведенных группой профессора Lecarpentier (Lecarpentier ea, Circ Res, 1987), было установлено, что грузозависимость полностью отсутствует при тяжелой гипертрофии сердечной мышцы. Т.е. в этом случае завершение изотонических фаз расслабления попадает в точности на изометрическую кривую развития напряжения.

Авторы этой работы связывали наблюдавшееся исчезновение грузозависимости с замедлением насоса СР при гипертрофии, что вполне укладывалось в распространенное представление о характере влияния кальциевого насоса ретикулюма на выраженность эффекта грузозависимости. Считалось, что замедление насоса всегда способствует ослаблению эффекта грузозависимости и, соответственно, ускорение насоса – усилению этого эффекта.

В 1994 году Dobrunz и Berman (Dobrunz & Berman, JMCC, 1994) показали, что повышение температуры приводит к ослаблению грузозависимости в сердечной мышце вплоть до почти полного ее исчезновения. Этот результат диссонировал с указанным представлением о роли насоса СР, поскольку известно, что рост температуры ускоряет многие внутриклеточные процессы, в том числе, перенос кальция этим насосом. Тем не менее, Dobrunz и Berman не подвергли это представление сомнению, а предположили, что в наблюдавшихся ими условиях грузозависимое расслабление стало слабее вследствие ускорения прикрепления-открепления поперечных мостиков, которое происходит при нагревании наряду с ускорением кальциевого насоса ретикулюма. Т.е, с их точки зрения ускорение циклирования поперечных мостиков способствует ослаблению грузозависимости, причем это влияние оказывается настолько сильным, что оно преобладает над противоположно направленным воздействием насоса. Однако предложенная ими умозрительная концеп ция была плохо аргументирована и не давала четкого представления о механизмах, лежащих в основе обнаруженного эффекта.

Иначе говоря, вопрос о механизмах ослабления эффекта грузозависимости вообще и о роли кальциевого насоса СР в этом ослаблении, в частности, оставался открытым.

Еще один важный вопрос биомеханики миокарда: какова роль пассивных механических свойств миокардиальной ткани в активном механическом поведении сердечной мышцы? Основными механическими свойствами ткани, т.е. пассивной мышцы, являются ее упругость и вязкость. Вклад упругости как в развитие активного напряжения, так и во временной ход активного укорочения/удлинения мышцы хорошо понят. Однако этого нельзя сказать о мышечной вязкости, хотя ее наличие - экспериментально установленный факт (Мархасин и др. Спб.: Наука, 1994; Изаков и др. Москва: Наука, 2000).

Проявляется она (при деформации пассивной мышцы) как сила трения, которая зависит от скорости деформации препарата. Так в ответ на растяжение неактивированного мышечного препарата происходит скачок его пассивной силы, сопровождающийся постепенной релаксацией, продолжающейся вплоть до достижения стационарного уровня упругой силы, соответствующей новой длине. Кроме того, установлено, что в ходе небольших по величине синусоидальных деформаций пассивной мышцы (~ на 1%) связь между текущей длиной и возникающей в ответ силой, имеет форму петли гистерезиса. Причем, что чем выше частота деформаций (т.е. чем больше скорость каждой циклической деформации), тем более выражен гистерезис.

Несмотря на давно известное наличие вязкости миокарда, ее вклад в механическую активность остается под вопросом. Достаточно распространено представление, что вязкостные свойства миокарда вообще не сказываются на его активном поведении. В то же время имеются экспериментальные данные, которые довольно трудно объяснить без учета мышечной вязкости. А именно, в изометрическом цикле одновременно с развитием напряжения мышечного препарата методом лазерной дифракции регистрировался ход изменения длин его саркомеров. Было обнаружено, что как сокращение, так и расслабление, оцениваемые по развитию напряжения, оказываются заметно короче, чем соответствующие фазы укорочения и удлинения саркомеров (Lecarpentier ea, in: INSERM/John Libbey Eurotext, 1990; [15]1).

Рис. 1. Экспериментальная запись изометрической силы сердечной мышцы, полученной вместе с изменениями длин саркомеров, регистрируемых методом лазерной дифракции. Данные получены на тонкой трабекуле из правого желудочка крысы породы Вистар. В ходе изометрического сокращения саркомеры укорачивались на ~7% вследствие концевой податливости. Рисунок заимствован из нашей статьи [15].

На рис. 1 видно, что пик изометрической силы значительно опережает пик укорочения, а полное расслабление достигается существенно раньше возврата саркомера на исходную длину. Аналогичное рассогласование имеется на рисунках, представленных в работе Stuyvers с соавторами (Stuyvers e.a., J. Physiol., 2002). Однако авторы упомянутых экспериментальных исследований не попытались объяснить полученные данные. Мы предположили, что это рассогласование может объясняться вязкостью мышцы. Эта гипотеза была затем проверена в нашей работе.

Кроме того, отсутствовали какие бы то ни было сведения о влиянии вязкости на основные инотропные и лузитропные характеристики миокарда, т.е.

на характеристики его сокращения и расслабления. Итак, вопрос о вкладе вязкости в механическую активность – это еще одна важная проблема биомеханики миокарда.

Здесь в квадратных скобках указаны ссылки на список работ автора, опубликованных по теме диссертации.

Значительные изменения претерпевает сократительная функция миокарда при различных сердечных патологиях; в частности, при сердечной недостаточности. Причем, такие патологические состояния как острая сердечная недостаточность могут быть связаны с комплексными нарушениями и кальциевой, и электрической регуляции сократительной активности. Т.е. страдает весь регуляторный контур электромеханического сопряжения. В таком состоянии может особым образом проявиться вклад механических условий в кальциевую активацию сокращений. В свою очередь, кальциевая кинетика тесно связана с электрической активностью кардиомиоцитов как прямыми, так и обратными связями. Поэтому, например, при острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, возможны аномальные проявления механо-электрических обратных связей. Вопрос о роли механических факторов в нарушениях электрической и механической функции кардиомиоцитов при острой сердечной недостаточности этого типа завершает список проблем, на которых сфокусирована данная работа.

Описание математической модели и ее применение для решения проблемы физиологии миокарда Структура модели Модель состоит из трех основных блоков: механического блока, блока кальциевой кинетики и кальциевой регуляции сократительной активности и электрического блока. Первые два блока - наша оригинальная разработка.

Электрический блок представлен разработанной Денисом Ноблом моделью Noble’98, содержащей описание ионных токов и развития потенциала действия в кардиомиците в ответ на внешний электрический стимул (D. Noble, A. Varghese, P. Kohl, P. Noble, Can. J. Cardiol., 1998). Описание всех токов базируется на уравнении Ходжкина-Хаксли. Блок кальциевой активации сопряжен с электрическим блоком по общему уравнению, задающему кинетику ионов кальция в цитозоле.

Кроме нашей опубликовано еще несколько моделей механической ак тивности миокарда с учетом его кальциевой активации. Наиболее известные из них – это модель Ландсберга-Зайдмана (Landesberg & Sideman, Am. J.

Physiol., 1994), модель Питера Хантера (Hunter e.a., PBMB, 1998) и модель Райса-Винслоу (Rice e.a., Am. J. Physiol., 1999). Впрочем, в модели РайсаВинслоу механический блок очень упрощен: он включает только процессы генерации напряжения в изометрическом режиме. Изменение длины мышцы/саркомеров в этой модели не рассматривается. Имеется также ряд моделей, описывающих электрическую активность кардиомиоцита. Кроме моделей Д. Нобла в этом ряду можно выделить семейство моделей Луо-Руди (Luo & Rudy, Circ. Res., 1991; Luo & Rudy, Circ. Res., 1994; Faber & Rudy, Biophys.

J., 2000; и др.), а также модель Джафри-Райса-Винслоу (Jafri e.a., Biophys. J, 1998). Однако, наша модель, по-видимому, первая, в которой подробное описание механического поведения сердечной мышцы и его кальциевой регуляции сопряжено с описанием электрической активности кардиомиоцитов.

Остановимся на основных особенностях разработанных нами механического и кальциевого блоков модели, сыгравших ключевую роль в исследовании поставленных проблем физиологии миокарда.

Рис. 2. Реологическая схема сердечной мышцы, включающая демпферы, лежащая в основе модели активного механического поведения миокарда. Все детали подробно описаны в тексте.

Механический блок модели (рис. 2) базируется на реологической схеме, включающей активный контрактильный элемент CE, ассоциируемый с саркомером, и нелинейные упругие элементы PE, SE и XSE. Кроме того, в реологической схеме имеются два вязких элемента: VS1, параллельный контрактильному элементу, и VS2, параллельный последовательному упругому элементу SE. Элемент VS2 отображает в модели концевую вязкость препаратов сердечной мышцы. Как VS1, так и VS2 в ответ на изменение их длины развивают силу, пропорциональную скорости этого изменения и направленную в сторону, противоположную деформации соответствующего элемента.

Соотношение сил основных элементов реологической схемы таковы:

= F F muscle XSE (1) + = (2) F F F k v XSE PE + CE P _vis = ( w-v ) (3) F F F kS _ vis XSE PE + SE + F = [ exp ( (l2 -l1 ))-1] (4) SE FPE = [ exp ( l )-1] (5) 22 F = [ exp ( l3 )-1] (6) XSE Здесь:

dl dl 1 v = ; w = ;

dt dt F F muscle - сила мышцы; SE - сила последовательного элемента SE;

F F PE -- сила параллельного элемента PE; XSE - сила внешнего последоваlтельного элемента XSE; - разность между мгновенной длиной контратильного элемента CE и его длиной, соответствующей длине покоя мышцы;

l - разность между мгновенной длиной элемента PE и его длиной, соответlствующей длине покоя мышцы; - разность между мгновенной длиной элемента XSE и его длиной, соответствующей длине покоя мышцы.

l2 lВ изометрическом режиме выполняется соотношение + = const, а в изотоническом режиме – соотношение = const F XSE Сила контрактильного элемента FCE в модели пропорциональна доле прикрепившихся силогенерирущих поперечных мостиков N и средней силе p(v), развиваемой одним мостиком: FCE = ·p(v)·N. Кинетика прикрепления/открепления мостиков описывается следующим дифференциальным уравнением:

dN = k ( v ) M ( A ) n1( l1 ) (( l1 + S0 ) /( lmax + S0 )) ( 1 - N ) - k ( v ) N. (7) + dt n1( l1 )– вероятность того, что миозиновая головка Здесь A = [Ca2+TnC];

n“найдет” доступный центр связывания на нити актина. зависит от межфиламентарного расстояния, а следовательно, от длины саркомера (контракlтильного элемента).

n1( ) k+ ( ) k- ( ) M( ), p(·),,, - явные функции, определенные в модели; 1, 1, 2, 2, 3, 3, – параметры модели.

n1( l1 ) О зависимости следует сказать особо. Известно, что в связи с постоянством объема клетки расстояние между миофиламентами возрастает при уменьшении длины кардиомиоцита и уменьшается при ее увеличении.

Поэтому мы предположили, что вероятность того, что миозиновая головка “найдет” доступный центр связывания на нити актина растет при уменьшении межфиламентарного расстояния, а, следовательно, при увеличении длины саркомера (контрактильного элемента) l1. Эта зависимость выражена в n1( l1 ) модели функцией. Сам по себе эффект изменения межфиламентарного расстояния с длиной клетки хорошо экспериментально обоснован. В то же время его вклад в регуляцию сокращений и, в частности, в обратную связь между механическими условиями и активацией остается предметом дискуссий. Нами впервые учтен этот эффект в модели и установлено, что в сочетании с механизмами кооперативности регуляторных и сократительных белков он должен включаться в механо-химеческую обратную связь в миокарде.

Механизмы кооперативности относятся к кальциевому блоку модели.

Блок кальциевой регуляции модели. Кальциевый блок модели включает уравнения, описывающие поступление Ca2+ в цитозоль из внеклеточного пространства (через L-каналы сарколеммы) и из терминальных цистерн СР (ТЦСР), его связывание в комплексы с внутриклеточными буферными лигандами, распад этих комплексов, поглощение Ca2+ в СР и его выведение из клетки посредством Na+-Ca2+ обмена. При описании поступления Ca2+ в цитозоль, в частности учтено, что его высвобождение из ТЦСР инициируется кальциевым током через L-каналы (механизм кальциевым вызванного высвобождения кальция). Кинетика Ca2+ внутри СР также описана в модели.

Главным элементом кальциевого блока модели является уравнение, описывающее кинетику образования и распада комплексов CaTnC вдоль актиновой нити, которые открывают на ней места для прикрепления поперечных мостиков:

dA = aon (Atot - A)CaC - aoff exp(-kA A) (N ) A (8) A dt Механизмы кооперативности - центральное звено этого уравнения и модели в целом. Из экспериментальных работ известен целый ряд таких механизмов, связывающих функцию регуляторных и сократительных белков.

Два из них, как показала модель, играют ключевую роль в обратных связях между механическими условиями сокращения миокарда и его активацией. А именно:

Кооперативность первого типа. Распад комплекса CaTnC тем медленней, чем больше поперечных мостиков прикрепилось к нити актина вблизи данного комплекса:

1 для N A (sc - (N ) = 0 N A ) для 0 < N < sc A A (9) -для N sc A = Здесь NA = N /(Loz A) Loz ( l1 + S0 ) /(0.46 + S0 ) 0 sc - параметры.

, а. 0< <1, Кооперативность второго типа (выражена функцией exp(-kA A) в уравнении для dAdt). Распад комплекса CaTnC тем медленней, чем больше аналогичных комплексов образовалось вдоль нити актина вблизи данного.

Наличие обоих типов кооперативности - экспериментально установленный факт (см., например, Grabarek e.a., J.Biol.Chem., 1983). Однако эти механизмы нами были впервые включены в модель активного механического поведения миокарда и использованы для анализа вклада механических условий в развитие кальциевой активации. А именно, в рамках модели выстраивается следующая цепь событий, реализующих эту обратную связь. Чем меньше текущая длина кардиомиоцита, тем больше расстояние между актиновыми и миозиновыми нитями саркомеров. Это, согласно нашему предположению, уменьшает вероятность образования поперечных мостиков, а чем меньше мостиков, тем быстрей распад комплексов CaTnC (согласно первому типу кооперативности). Кооперативность второго типа усиливает этот эффект. В рамках модели можно проверить, достаточно ли сильна полученная обратная связь, чтобы обеспечить наблюдаемые в экспериментах эффекты, в частности, эффект грузозависимого расслабления сердечной мышцы. Далее это будет показано.

Другая ключевая особенность блока кальциевой регуляции в модели относится к описанию кальциевого насоса СР.

Как уже было сказано, этот насос играет значительную роль во внутриклеточном кальциевом метаболизме и в регуляции мышечной активности. Он обеспечивает основной путь выведения кальция из цитозоля и поэтому является одним из главных детерминантов фазы расслабления миокарда. Перенос Са2+ в СР (против градиента концентрации) осуществляется в ходе гидролиза АТФ молекулами кальциевой АТФ-азы, встроенной в мембрану ретикулюма. У этой АТФ-азы имеется важная особенность: будучи переносчиком ионов кальция, она в то же время может ингибироваться этими ионами. А именно, как показал Ikemoto в 1975 году в экспериментах на пузырьках саркоплазматического ретикулюма, кальциевый насос частично ингибируется при накоплении ионов кальция внутри продольного СР. Т.е., чем больше кальция в СР, тем сильнее ингибируется насос. Ikemoto выдвинул гипотезу о наличии аллостерических центров связывания кальция на молекулах АТФ-азы с внутренней стороны СР. Он назвал их –сайтами. Нелинейная кинетика связывания кальция с –сайтами приводит к экспоненциальному замедлению гидролиза АТФ с ростом концентрации кальция в СР. Соответственно замедляется поглощение Са2+.

В литературе существуют и другие гипотетические объяснения процесса ингибирования кальциевого насоса. Т.е. механизм этого явления не вполне ясен. Однако его наличие – твердо установленный факт. Поэтому мы ввели ингибирование в формулу, описывающую скорость переноса кальция насосом СР. А именно, CaC iup = r( Caup ) (10) K + CaC pump, где r (Caup ) = up · exp( - kinh ·Caup ). (11) Иными словами, насос, который в целом описывается формулой Михаелиса-Ментен, определяющей гиперболическую зависимость его скорости от концентрации кальция в цитозоле, имеет компонент r, который экспоненциально уменьшается с ростом концентрации кальция в продольном СР (Caup). Кроме этой экспоненты компонент r включает линейный множитель up – параметр модели, отображающий количество молекул кальциевой АТФ-азы в мембране СР и скорость гидролиза АТФ в отсутствие ингибирования АТФ-азы.

Итак, модель соединяет в себе подробное описание механического поведения кардиомиоцита и кальциевой кинетики с учетом ингибирования насоса СР.

Такое соединение позволило нам впервые проанализировать в рамках модели ту роль, которую ингибирование может играть в регуляции сократительного цикла миокарда.

Моделирование активного механического поведения сердечной мышцы Имитация и анализ феномена грузозависимого расслабления и эффектов быстрых деформаций сердечной мышцы в цикле сокращениерасслабление. На рис. 3 показаны результаты быстрых циклических деформаций (сверху) и быстрых укорочений мышцы (снизу) в ходе изометрического цикла. Слева – данные реальных экспериментов. Справа – модель.

Падение напряжения после завершения механического Рис.3. Влияние быстрых деформаций на времен- воздействия и его зависиной ход развития изометрического напряжения.

мость от момента приложеПанели А и В – данные реального эксперимента.

ния деформации полностью Панели Б и Г – результаты моделирования.

воспроизводятся в модели.

Рис. 4 демонстрирует эффект грузозависимого расслабления в модели и в эксперименте.

Результаты моделирования также хорошо соответствуют экспериментальным данным.

Модель хорошо воспроизводит и влияние механичеРис. 4. Сопоставление циклов сокращениерасслабление под разными грузами в модели ских условий на концентра(панель A) и в эксперименте (панель Б). Звезцию свободного цитозольнодочкой на панели А для случая груза, равного 0.7F0, отмечен возврат моделируемой мышцы го кальция.

на исходную длину.

На рис. 5 показаны кальциевые переходы в изометрических циклах в зависимости от длины, на которой происходит сокращение, на рис. 6 – влияние быстрых укорочений мышцы на кальциевый переход, а на рис. 7 – развитие кальциевого перехода при разных значениях изотонической нагрузки.

Все эти результаты также соответствуют экспериментальным данным (Allen & Kurihara, J. Physiol., 1982; Lab e.a., Circ. Res., 1984).

Анализ модели показал, что главной причиной воздействия механических условий на механическую и кальциевую активацию Рис. 5. Имитация кальциевых переходов при изомиокарда является коопераметрических сокращениях на разных длинах мышцы.

тивность первого типа, т.е.

влияние поперечных мостиков на сродство TnC к кальцию. В то же время это влияние само по себе оказывается недостаточно сильным для воспроизведения эффектов инактивации в рамках физиологически оправданных значений параметров модели.

Рис. 6. Имитация влияния быстрых отпусканий Кооперативность втосердечной мышцы в ходе изометрического сокрарого типа (т.е. влияние сощения на кальциевый переход.

седних кальцийтропониновых комплексов на скорость распада каждого из них) усиливает инактивацию и позволяет корректно воспроизвести в модели показанные здесь эффекты.

Благодаря кооперативности первого типа также успешно воспроизводятся и все экспериментальные данные, свидетельствующие о влиянии механических условий на основные характеристики сокращения и расслабления миокарда: связи ‘длина-сила’, ‘сила - время расслабления’ и др. Благодаря кооперативности второго типа воспроизводится зависиРис. 7. Имитация кальциевых переходов в серии мость этих связей от уровня сокращений под разными нагрузками.

внутриклеточного кальция.

Анализ роли кальциевого насоса СР в ослаблении феномена грузозависимого расслабления при гипертрофии миокарда и при росте температуры. Как указывалось выше, Lecarpentier с соавторами показали, что грузозависимость исчезает при гипертрофии сердечной мышцы, и связывали это исчезновение с уменьшением скорости кальциевого насоса СР в гипертрофированном миокарде.

В рамках модели замедление насоса можно реализовать двояко: либо путем уменьшения коэффициента up в формуле насоса (11), либо путем увеличения коэффициента kinh. В первом случае моделируется уменьшение скорости гидролиза АТФ и скорости переноса кальция молекулами кальциевой АТФазы без изменения ингибирующего эффекта кальция, находящегося в СР. Во втором – скорость переноса замедляется вследствие усиления ингибирования.

Первоначально в численных экспериментах был реализован первый, наи более простой, вариант. Оказалось, что в этом случае замедлялись и изометрический, и изотонические циклы, однако грузозависимость не исчезала: изотонические циклы, по-прежнему, завершались быстрее изометрических, хотя из-за замедленной кинетики Са2+ насоса, изотонический уровень свободного кальция в цитозоле превышал его изометрический уровень значительнее, чем в норме.

Рис. 8. Моделирование грузозависимого расслабления миокарда (слева) и его исчезновения (справа). Панели сверху вниз: А - напряжение в изометрическом и изотонических циклах сокращения-расслабления. Б - изменения длины мышцы в ходе этих сокращений; чем меньше постнагрузка, тем больше укорочение. В - группа кривых, представляющих ход изменения концентрации CaTnC в течение этих сокращений (I); чем меньше постнагрузка, тем меньше активация([CaTnC]). На тех же панелях В представлена группа кривых, представляющих временной ход процесса связывания Ca2+ с буферной системой в тех же сокращениях мышцы (II). Г - кальциевые переходы, соответствующие этим сокращениям: чем меньше постнагрузка, тем длиннее кальциевый переход.

Это наводило на мысль, что для исчезновения грузозависимости требуется не только наблюдаемое в численном эксперименте существенное увеличение концентрации Са2+ в цитозоле в изотоническом режиме по сравнению с изометрическим. Необходимо соблюдение еще одного требования: если в каких-то ус ловиях возникает дополнительный кальций в цитозоле, то он к тому же должен значительно медленнее поглощаться в СР. При сохранении параметра kinh, соответствующего норме, этого не происходило.

Поэтому мы осуществили замедление насоса вторым путем – за счет усиления ингибирования. На рис. 8 справа показан результат 4-кратного увеличения параметра kinh по сравнению с «нормой», модель которой приведена на том же рисунке слева. Видно, что изменение одного только параметра kinh привело к полному исчезновению грузозависимости в модели.

Полученные результаты подтверждают гипотезу Lecarpentier о том, что замедление кальциевого насоса может быть причиной исчезновения грузозависимого расслабления при гипертрофии. Однако модель позволяет внести существенное уточнение: только такое замедление, которое связано с усилением ингибирования насоса может обеспечить этот эффект.

Другой наблюдаемый экспериментально случай ослабления эффекта грузозависимости – вследствие повышения температуры – также исследовался в модели. Dobrunz & Berman в упомянутой выше экспериментальной работе (1994), выделили три фактора, связанные с ростом температуры, которые a priori могут влиять на длительность изометрического и изотонических циклов и, следовательно, – на грузозависимость.

Мы воспроизвели в численных экспериментах все эти три фактора: ускорение переноса Са2+ молекулами кальциевой АТФ-азы насоса СР, ускорение высвобождения кальция из СР, и увеличение скорости прикрепления/открепления поперечных мостиков. Причем, степень ускорения каждого из этих процессов соответствовала оценкам, полученным в экспериментах Dobrunz & Berman (1994). Мы вводили данные факторы один за другим в различной последовательности. Одна из таких последовательностей показана на рис. 9: сначала ускорение насоса, связанное с ускорением гидролиза АТФ (т.е. увеличение параметра up), затем ускорение высвобождения кальция и, наконец, ускорение циклирования поперечных мостиков.

Рис. 9. Имитация влияния нагревания сердечной мышцы на эффект грузозависимого расслабления. Панели АГ: временной ход генерации активного механического напряжения в изометрическом и изотоническом режимах. Факторы, связанные с нагреванием, вводились последовательно: () ускорение кальциевого насоса СР; () укорочения восходящей ветви кальциевого перехода; () ускорение прикрепления/открепления поперечных мостиков.

А: исходное (до нагревания) состояние мышцы.

Б: результат введения только одного фактора ().

В: результат введения фактора () в дополнение к фактору ().

Г: все три фактора (), (), () введены для имитации полного влияния нагревания на эффект грузозависимости.

Таким образом, нижняя панель на рис. 9 демонстрирует суммарный эффект роста температуры. Видно, что он хорошо воспроизводит картину, полученную Dobrunz & Berman при нагревании мышцы с 24 C до 37 C.

Однако вклад перечисленных факторов в наблюдаемый эффект оказался в модели прямо противоположным тому, что предполагали эти исследователи.

Ускорение насоса не увеличило, а уменьшило грузозависимость. Причем именно этот фактор оказался главным. Два других, в том числе ускорение процессов прикрепления/открепления поперечных мостиков влияют на результат незначительно, т.к. почти пропорционально укорачивают и изометрический, и изотонический циклы. Чтобы объяснить влияние первого фактора (т.е. ускорения насоса СР) на полученный результат, следует напомнить, что основная причина феномена грузозависимости – укорочение мышцы и ее сар комеров в изотоническом режиме. Точнее говоря, саркомеры в изотонии укорачиваются больше, чем в изометрии, и это различие тем сильнее, чем меньше постнагрузка. Данное различие и приводит к грузозависимости расслабления, благодаря механизмам кооперативности и уменьшению межфиламентарного расстояения. При ускорении насоса СР падает сократительная активность мышцы вследствие уменьшения концентрации Са2+ в цитозоле. Поэтому укорочение и мышцы, и ее саркомеров при уменьшении груза становится гораздо менее значительным, чем при нормальной скорости работы насоса СР. В частности, уменьшается различие между укорочением саркомеров даже под самым малым грузом и их укорочением в изометрии (последнее невелико уже и в норме, поэтому мало меняется в результате ускорения кальциевого насоса). Это и приводит к ослаблению эффекта грузозависимости.

Сравнивая два представленных варианта изменения скорости насоса (посредством константы up или константы kinh), можно сделать вывод о том, что связь между этой скоростью и выраженностью эффекта грузозависимого расслабления немонотонна и существенно зависит от того, какой именно механизм лежит в основе изменения активности насоса. В частности, ослабление грузозависимости может продуцироваться двумя противоположными отклонениями от нормальной скорости насоса:

- замедлением насоса, вызванным усилением его ингибирования;

- ускорением насоса вследствие увеличения скорости переноса Ca2+ неингибированными молекулами кальциевой АТФ-азы СР.

Этот вывод сделан в рамках модели. По отношению к реальной мышце он является предсказанием. При экспериментальной проверке этого предсказания важно иметь критерий, который позволил бы определять точную причину изменения скорости насоса в том или ином эксперименте – т.е. понять, что меняется в результате применяемого в эксперименте воздействия: ингибирование насоса или скорость работы кальциевой АТФ-азы.

С целью выработки такого критерия мы имитировали в математической модели поглощение ионов Ca2+ пузырьками СР, помещенными в раствор с постоянной концентрацией кальция.

Рис. 10 иллюстрирует полученные результаты. На верхней панели показаны:

– C1(t) – кривая (1), имитирующая временной ход роста [Ca2+] в везикулах rCa для исходных значений параметров насоса (up= и kinh= q1);

– C2(t) – кривая (2), имитирующая временной ход роста [Ca2+] при ослабленном ингибировании и при исходном значении скорости Ca2+ в СР rCa (kinh=0.5 q1; up= );

– C3(t) – кривая (3), имитирующая временной ход роста [Ca2+] при увеличенной скорости переноса кальция в везикулах неингибированными молекулами кальциевой АТФ-азы и при исходном значении константы ингибироrCa вания (up=2 и kinh= q1).

На нижней панели изображены те же самые кривые, но нормированные на C1(t), т.е. отношения: C1(t)/C1(t)=1 (кривая 1), C2(t)/C1(t) (кривая 2) и C3(t)/C1(t) (кривая 3).

Рис. 10. Имитация временного хода [Ca2+] в везикулах СР при различных скоростях кальциевого насоса.

Верхняя панель: кривая (1) C1(t) соответствует исходным значениям параметров насоса; кривая (2) C2(t) – параметр увеличен вдвое по сравнению с исrCa ходным значением при сохранении исходной величины параметра q; кривая (3) C3(t) – параметр q (степень ингибирования насоса) уменьшен вдвое по сравнению с исходным значением при сохранении исходной величины параметра.

rCa Нижняя панель: те же зависимости (1), (2), (3), что и на верней панели, но представленные в нормализованном виде C1(t)/C1(t), C2(t)/C1(t), C3(t)/C1(t).

Хотя кривые C2(t) и C3(t) очень похожи и друг на друга, и на исходную кривую C1(t), различие между C2(t)/C1(t) и C3(t)/C1(t) оказывается принципиальным: отношение C2(t)/C1(t) – монотонно возрастающая функция времени, в то время как C3(t)/C1(t) имеет выраженный пик в результате почти мгновенного роста в самом начале процесса, а затем это отношение монотонно убывает.

Данное качественное различие не является случайным результатом удачного выбора значений параметров в конкретном численном эксперименте. В диссертации строго доказано, что полученный результат справедлив при любых значениях параметров.

Следовательно, в рамках заложенных в модель представлений о работе кальциевого насоса СР, полученное различие в характере функций C2(t)/C1(t) и C3(t)/C1(t) может служить критерием, применимым для выяснения того, какая из двух a priori возможных причин ускорения насоса реализуется в той или иной конкретной экспериментальной ситуации (например в случае роста температуры), а описанный виртуальный эксперимент можно рассматривать в качестве принципиальной схемы соответствующего реального эксперимента на везикулах СР.

Анализ вклада вязкости в активное механическое поведение сердечной мышцы. Прежде всего, в модели была оценена роль вязких элементов в обнаруженном Lecarpentier с соавторами (Lecarpentier ea, in: INSERM/John Libbey Eurotext, 1990) рассогласовании фаз роста и спада изометрического напряжения с фазами укорочения и растяжения саркомера (см. рис. 1).

Когда в модели вязкость обоих элементов VS1 (параллельного контрактильному элементу CE) и VS2 (параллельного последовательному упругому элементу SE) была нулевой, то укорочение и растяжение элемента CE, т.е.

саркомера, совпадали по времени с фазами роста и спада напряжения.

На рис. 11 показан результат моделирования изометрического цикла при наличии ненулевой вязкости. Видно, что, когда учитывается вязкость обоих элементов VS1 и VS2 (на рисунке слева), то рассогласование обеих фаз изометрического цикла воспроизводится полностью. Когда учитывается только параллельная вязкость VS1, то рассогласование пиков укорочения и напряжения исчезает, однако спад силы по-прежнему опережает растяжение сар комера (на рисунке справа).

Рис. 11. Имитация влияния вязкости на рассогласование временного хода развития изометрической силы и хода укорочения/удлинения контрактильного элемента (CE). CE в модели имитирует саркомеры в реальных кардиомиоцитах.

Панели А1В1 демонстрируют изометрический цикл в случае, когда вязкость обоих элементов VS1 и VS2 учтена в модели. Время нарастания силы мышцы составляет ~150мс, в то время как укорочение CE продолжается в течение 200 мс.

На панелях А2В2 показана имитация изометрии в случае, когда последовательная вязкость VS2 элиминирована при сохранении значений остальных параметров, включая параллельную вязкость.

Таким образом, последовательная вязкость VS2 ответственна за рассогласование пиков, наблюдаемое в фазу сокращения, а параллельная вязкость VS1 – за рассогласование фазы расслабления.

При воспроизведении изотонических циклов с разными нагрузками (рис.

12) было установлено, что именно вязкость VS1 – причина того, что скорость растяжения мышцы тем раньше достигает пика, чем больше груз.

Анализ вклада вязкости в инотропные и лузитропные характеристики мышцы (т.е. в характеристики сокращения и расслабления) проведен в модели с помощью широко используемых в мышечной биомеханике соотношений: изотонических связей ‘длина-сила’ и ‘сила-скорость’ сокращения, а также связей ‘сила-скорость расслабления’.

Рис. 12. Реальная и виртуальные серии циклов сокращение-расслабление. Каждая из серий включает изометрический и 6 изотонических циклов. Слева (А1 В1) - данные реальных экспериментов. Панели в середине (А2 В2) - данные численной имитации, в случае когда вязкость элементов VS1 и VS2 учтена в модели. Справа (А3 В3) - результаты имитации для случая, когда вязкость обоих демпферов элиминирована (т.е.

принята равной 0). Верхние панели (А1 А3) - развитие мышечной силы; панели Б1Б3 и В1В3 показывают временной ход укорочения-растяжения мышцы и скорости этого укорочения-растяжения, соответственно.

На рис. 13 показано, как влияет на эти связи двукратное уменьшение (по сравнению с контрольными значениями) каждого из двух типов вязкости.

Оказалось, что вязкость практически не влияет на сокращение, но вносит ощутимый вклад в расслабление. Более точно:

– параллельная вязкость VS1 не влияет на инотропные свойства, но существенно влияет на основные лузитропные характеристики;

– последовательная вязкость VS2 не влияет ни на инотропные, ни на лузитропные свойства.

Тем не менее, как уже указывалось, именно вязкость VS2 вызывает экспериментально наблюдаемое рассогласование между временем достижения пика изометрической силы и временем укорочения саркомеров.

Рис. 13. Данные, полученные на трех виртуальных мышцах:

первая – с контрольными значениями параметров, вторая – с уменьшенной вдвое вязкостью VS1, и третья – с уменьшенной вдвое вязкостью VS2.

Связи ‘сила-скорость’ (вверху слева), ‘длинасила’ (вверху справа), ‘сила-скорость удлинения’ (внизу слева), ‘сила-скорость расслабления (уменьшения силы)’ (внизу справа) зарегистрированы в сериях изотнических циклов сокращение расслабление.

Имитация и анализ нарушений электрической и механической активности миокарда в модели. В работе исследованы нарушения, связанные с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием. Наиболее подробно рассмотрен вариант перегрузки, вызванной уменьшением скорости работы натрийкалиевого насоса. Ток ip через Na+-K+ насос описан в модели следующим образом ((D. Noble, A. Varghese, P. Kohl, P. Noble, Can. J. Cardiol., 1998):

+ [ K ]o [ Na+ ]i ip = p + [ K ]o + Km,K [ Na+ ]i + Km,Na + Здесь [ Na+ ]i - концентрация внутриклеточного натрия, а – внекле[ K ]o точного калия. Km,K и Km,Na – соответствующие константы Михаэлиса для этого насоса. Снижение активности насоса моделировалось с помощью увеличения Km,Na по сравнению со значением этого параметра в норме ( Km,Na = 24.2 мМ).

На рис. 14 показано развитие напряжения при моделировании замедления Na+-K+ насоса в длительной серии сокращений в условиях регулярной стимуляции кардиомиоцита с частотой 75 стимулов/мин. Здесь Km,Na = 40 мМ.

Рис. 14. Сокращения одиночного виртуального кардиомиоцита с умеренно сниженной активностью Na+-K+ насоса (П-образца). Длина кардиомиоцита L=0.90 Lmax (Lmax соответствует длине образца, при которой он развивает максимальное активное изометрическое напряжение); частота стимуляции: 75 стимулов/мин. На графике показаны пики активного напряжения (F – условные единицы). Знак указывает временной интервал, подробно представленный на рис. 15. Полоса под графиком отмечает фазы, в в течение которых П-образец по-разному отвечает на восстановление нормальной активности Na+-K+ насоса (подробности - далее в тексте).

Данный «виртуальный мышечный препарат» в дальнейшем будем называть П-образцом (т.е. патологическим образцом). Вертикальными отрезками на графике показаны амплитуды напряжения, возникающего в ответ на стимуляцию.

Видно, что краткий рост амплитуд силы постепенно сменяется ее медленным снижением. Этот плавный процесс внезапно обрывается: происходит резкое падение силы, и появляются экстрасистолы (подробнее см. на рис. 15).

Затем возникает переходной процесс, в котором чередуются относительно сильные и слабые сокращения (альтернанс). В итоге устанавливаются ста ционарные сокращения с очень низкой амплитудой силы.

Фрагмент, выделенный на рис. 14 значком, более подробно раскрыт на рис. 15, где снизу вверх показаны потенциалы действия, кальциевые переходы и развитие силы в П-образце.

Рис. 15. Временной ход развития напряжения (F), кальциевые переходы ([Ca2+]i) и мембранный потенциал (E) в П-образце на интервале времени 137 160 с, обозначенном увеличительным стеклом на Рис.1. Метки под осью времени обозначают моменты регулярных стимулов (каждые 0.8 с).

Вертикальными штрихами на оси времени на этом рисунке отмечены моменты регулярных стимулов, в промежутках между которыми возникают экстрасистолы (т.е. спонтанные потенциалы действия, вызывающие внеочередные сокращения). Затем экстрасистолия исчезает, сменяясь альтернирующими регулярными сокращениями. При этом продолжаются внеочередные всплески мембранного потенциала, которые не достигают уровня потенциала действия, а дают картину задержанной постдеполяризации.

Поведение, показанное на рисунках 14, 15, имеет характерные признаки, наблюдаемые во время развития острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием: внезапное падение силы сокращений, экстрасистолию и (в некоторых случаях) пульсус альтернанс. По добные нарушения при частоте 75 стимулов/мин наблюдались в П-образце не только при длине, равной 0.90 Lmax, представленной здесь, но и при любых длинах 0.95 Lmax. При меньших длинах и/или больших частотах аритмия не возникала.

Модель корректно воспроизводит хорошо известные механизмы постепенного (от цикла к циклу) накопления кальция в кардиомиоцитах в условиях уменьшенной скорости натрий-калиевого насоса, которое в конечном итоге приводит к аритмии. Схема этих механизмов такова:

Однако в рамках этой схемы отсутствует ответ на принципиально важный вопрос: каким образом без электрического стимула инициируется спонтанное высвобождение кальция из перегруженных терминальных цистерн СР? Ответить на этот вопрос позволяет численный эксперимент, показываемый на рис. 16. Здесь слева мы видим одно регулярное сокращение, выделенное из показанной на предыдущем рисунке серии. Вслед за этим сокращением (до появления следующего стимула) развивается экстрасистола. Этот же численный эксперимент был повторен с единственным исключением (рис. 16, справа): с момента начала фазы расслабления в том же регулярном цикле отключается кооперативная зависимость распада комплексов CaTnC от поперечных мостиков (этот момент обозначен стрелками под осями времени на правых панелях рис. 16). В результате каналы терминальных цистерн не открылись и экстрасистола не возникла.

Итак, в основе механизма спонтанного высвобождения кальция из СР, инициирующего экстрасистолу, лежит кооперативность первого типа.

Рис. 16. Возникновение экстрасистолы в П-образце (левая колонка панелей) и ее исчезновение вследствие отключения кооперативности «Xb-CaTnC» (правая колонка панелей) Черными треугольниками ( ) под осями времени обозначены моменты стимуляции, а (*) указывает на спонтанный ПД, возникший до очередного стимула. Знак под осями времени в правой колонке панелей указывает момент, после которого влияние кооперативности «Xb-CaTnC» на распад CaTnC было элиминировано в модели – в результате экстрасистола не возникла.

Нами подробно проанализирован этот механизм. Коротко, он состоит в следующем. Во-первых, в течение любого регулярного цикла сокращениерасслабление в фазу расслабления в силу кооперативности «Xb-CaTnC» происходит регенеративный распад CaTnC. То есть распад актомиозиновых комплексов влечет ускоренный распад CaTnC. В норме такой ускоренный распад компенсируется поглощением кальция в СР его и выведением через Na+-Са2+ обменный ток из клетки. Поэтому в нормальных условиях, когда уровень диастолического кальция в цитозоле низок, порог кальцийвызванного высвобождения кальция (КВВК) из терминальных цистерн СР не достигается в диастолу. При перегрузке кардиомиоцитов кальцием, когда уровень диастолического кальция в цитозоле существенно повышен, Na+ Са2+ обмен оказывается не в состоянии в полной мере компенсировать ускоренный распад CaTnC в фазу расслабления, поэтому возникает спонтанное КВВК. Кальций, поступивший в цитозоль из СР, в свою очередь, активирует направленный внутрь деполяризующий ток через Na+-Са2+ обменный механизм, а это приводит к развитию экстрасистолического ПД.

Описанная последовательность внутриклеточных процессов может быть названа механизмом генерации спонтанных ПД, вызванной кооперативностью «Xb-CaTnC». Наличие такого механизма – предсказание модели, которое может быть прямо проверено в реальном эксперименте (например, с помощью препарата BDM (2,3-butanedione 2-monoxime), блокирующего образование поперечных мостиков (Mulieri & Alpert, Biophys. J., 1984)).

Кроме того, нами установлено в рамках модели, что механические условия (например, уменьшение длины кардиомиоцита или механической нагрузки на него), благодаря той же кооперативности, увеличивают риск аритмии при исследуемой патологии.

В модели мы выделили 3 диапазона снижения активности Na+-K+ насоса, соответствующие различному вкладу механических факторов в аритмогенез.

Эти диапазоны перечислены ниже.

(1) Диапазон: Km,Na 110 мМ (в норме Km,Na = 24.2 мМ) – экстрасистолы возникают в кардиомиоците независимо от механико-кальциевой обратной связи, поскольку диастолический уровень кальция в цитозоле при таких величинах Km,Na постепенно становится столь высок, что сам по себе инициирует спонтанные КВВК.

(2) Диапазон: 40 мМ Km,Na < 110 мМ – экстрасистолы также возникают в кардиомиоците при любых механических условиях, но только за счет вышеописанного механизма генерации спонтанного ПД, вызванного кооперативностью «Xb-CaTnC».

(3) Диапазон: 37 мМ Km,Na < 40 мМ – экстрасистолы возникают только в результате прямых механических воздействий (уменьшение длины или нагрузки). В этом случае они возникают благодаря механизму длинозависимого усиления кальциевой перегрузки СР.

Последний диапазон представляет собой «пограничную зону». Когда Km,Na находится ниже этой зоны, экстрасистолы не возникают в модели ни при каких механических условиях.

Анализ подходов к восстановлению электро-механической функции кардиомиоцитов при подавленном натрий-калиевом насосе. Восстановление нормальной активности насоса (Km,Na = 24.2 мМ) во время показанного выше приступа «острой сердечной недостаточности» в «виртуальном кардиомиоците» не всегда обеспечивало положительный эффект.

Рис. 17. Эффекты восстановления активности Na+-K+ насоса в различные моменты.

Панель А: увеличенный фрагмент рисунка 14, показывающий активную силу П-образца во время наступления «острой сердечной недостаточности» при длине 0.90 Lmax и частоте 75 стимулов/мин. Горизонтальная скобка под панелью показывает фазу, в которой между регулярными сокращениями спонтанно возникают экстрасистолы. Эта фаза сменяется переходным альтернансом. Две вертикальные стрелки (одинарная и двойная) показывают моменты возврата к контрольному (нормальному) состоянию Na+-K+ насоса в модели: насос восстанавливался либо после нечетного, либо после четного сокращения в фазу альтернанса. На панелях Б и В показаны результаты каждого из этих вариантов восстановления нормальной активности насоса.

Например, на рис. 17 видно, что при попытке такого «лечения» П образца в фазу альтернанса результат чередовался: если момент восстановления насоса оказывался после меньшего сокращения (этот момент отмечен одинарной стрелкой на верхней панели рис. 17), то в результате этого воздействия возникала устойчивая экстрасистолия (средняя панель на рис. 17).

Если восстановление насоса происходило после большего сокращения (двойная стрелка на верхней панели рис. 17), то нормальная электромеханическая активность «кардиомиоцита» быстро и полностью восстанавливалась (нижняя панель на рис. 17). Для получения устойчивого результата такого рода «лечения» оказалось необходимым ускорить насос (примерно на 5% уменьшить Km,Na) по отношению к изначальной норме.

Поскольку в настоящее время отсутствуют фармакологические вещества, позволяющие специфически ускорять натрий-калиевую АТФ-азу, мы рассмотрели в модели альтернативные воздействия, ведущие к уменьшению концентрация кальция в кардиомиоцитах с замедленным Na+-K+ насосом и, в результате, к восстановлению их электрической и механической функции.

Таблица 1 суммирует результаты этих «терапевтических» воздействий.

В таблице представлены установившиеся в результате воздействий уровень кальция в СР ([Ca2+]SR) и две механические характеристики сокращения-расслабления: инотропная Fm – пик активной силы стационарных сокращений, и лузитропная t30 – время расслабления до 30% Fm. Все величины даны в процентах относительно нормы при длине 0.90 Lmax. Табличные данные соответствуют значениям соответствующих величин в стационарных сокращениях, установившихся после соответствующего воздействия.

Целью «терапевтических» воздействий, перечисленных в таблице, было по возможности восстановить «нормальные» механические характеристики сокращения и при этом отодвинуть уровень кальция в СР как можно дальше от критического аритмогенного уровня. Сравним в соответствии с этими критериями моделируемые результаты воздействий на различные звенья электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах, перегруженных кальцием.

Таблица 1. Результаты различных «терапевтических» воздействий на П-образец скорость медленный ток через чувствитель- скорость нанасоса Ca2+ ток, Na+-Ca2+ ность скорости соса СР СР iCaL обменник высвобождения и медленСа2+ из СР ный Ca2+ ток 20% 20% к Са2+в цито18% 11% золе (одновременно) 20% Fm 88.5% 95.7% 99.2% 119.7% 94.4% 108.t30 101.8% 104.1% 138.2% 105.3% % 135.122.9% 122.7% 134.2% 119.2% [Ca2+]SR % Примечания.

1. Верхняя строка таблицы обозначает изменения отдельных параметров по сравнению с П-образцом. Стрелки ( и ) обозначают соответственно увеличение или уменьшение параметра.

2. [Ca2+]SR = 142% от нормы в П-образце непосредственно перед «приступом острой сердечной недостаточности»; это значение [Ca2+]SR является пороговой величиной для возникновения «приступа» в этом виртуальном образце.

3. Сила в П-образце в стационарных условиях после «приступа» равна 30.8% от нормы.

Из таблицы видно, что снижение скорости работы насоса СР и частичное ингибирование медленного кальциевого тока приводит к почти одинаковым результатам. При уменьшении iCaL сила сокращений почти полностью восстанавливается, хотя расслабление оказывается несколько более длительным, чем при блокаде скорости насоса СР. В обоих случаях, однако, уровень кальция в СР превышает нормальный приблизительно на 23%. При увеличении тока через Na+-Ca2+ обменник сила сокращений кардиомиоцита восстанавливается практически полностью, расслабление оказывается почти на 9%, более длительным, чем в норме, а уровень кальция в СР на 35% выше, чем в норме.

При снижении чувствительности скорости высвобождения Са2+ из СР к кальцию в цитозоле сила сокращения кардиомиоцита возрастает почти на 20% по сравнению с нормой. Однако уровень кальция в СР остается высоким (превышает норму на ~34%), и почти на 40% возрастает t30. При одновременном снижении скорости насоса СР и снижении амплитуды медленного кальциевого тока сила сокращений кардиомиоцита и время расслабления близки к нормальным величинам, а уровень кальция в СР остается выше нормы на 19%. Заметим, что в последнем случае каждый из процессов, участвующих в регуляции кальция в кардиомиоцитах, был изменен в наименьшей степени по сравнению с индивидуальными воздействиями (11% против ~20%).

Сопоставляя результаты вышеперечисленных воздействий, можно заключить, что и по степени восстановления амплитуды сокращений, и характеристик расслабления, и степени снижения уровня кальция в СР наилучший результат дает сочетанное воздействие на iCaL и кальциевый насос СР. Этот вывод весьма важен, поскольку именно таким сочетанным действием обладают -блокаторы.

Кратко суммируем результаты работы. Построена интегративная модель электро-механической активности миокарда, основанная на описании ряда внутриклеточных процессов, связанных с активацией мышцы. В модели учитываются также пассивные механические свойства миокардиальной ткани. Модель была успешно применена для решения важных задач физиологии и патофизиологии миокарда.

Мы полагаем, что построение подобных интегративных моделей является важным этапом на пути создания математической физиологии сердца.

ВЫВОДЫ 1. Разработанная математическая модель механической активности миокарда адекватно воспроизводит все основные особенности цикла сокращение-расслабление сердечной мышцы в изометрическом, изотоническом и физиологическом режимах.

2. В модели найден единый механизм, обеспечивающий влияние механических условий сокращения на ход кальциевой активации кардиомиоцитов. Установлено, что в основе этого влияния лежат: (1) кооперативность регуляторных и сократительных белков и (2) зависимость вероятно сти образования поперечных мостиков от текущей длины саркомера.

3. В рамках модели показано, что наблюдаемое при выраженной гипертрофии миокарда ослабление грузозависимости вплоть до полного ее исчезновения вызывается замедлением поглощения кальция в саркоплазматический ретикулюм (СР) в связи с усилением ингибирования кальциевой АТФ-азы СР.

4. В целом, влияние скорости кальциевого насоса СР на грузозависимость немонотонно. А именно, грузозависимость уменьшается как в результате замедления насоса, вызванного усилением его ингибирования, так и в результате его ускорения вследствие увеличения скорости переноса Ca2+ молекулами кальциевой АТФ-азы СР.

5. Вязкость мышечной ткани влияет на активное механическое поведение миокарда. В частности, вязкость концевых участков препаратов сердечной мышцы является причиной рассогласования между временным ходом роста изометрического напряжения и ходом укорочения саркомеров.

Вязкость внутренних участков препарата заметно модулирует фазу расслабления, оказывая влияние на скоростные характеристики этого процесса.

6. При объединении модели механической активности с моделью электрической активности ‘Noble-98’, был получен контур механоэлектрической обратной связи, возникающий в результате сопряжения натрий-кальциевого обменного тока в кардиомиоцитах и кооперативного воздействия поперечных мостиков на сродство тропонина C к кальцию.

7. Модель предсказывает, что эта обратная связь может играть роль триггера при возникновении острой сердечной недостаточности в условиях кальциевой перегрузки кардиомиоцитов. В рамках модели намечены пути коррекции этой патологии. Наиболее удачный результат коррекции наблюдался при имитации действия -блокаторов в модели.

Список публикаций по теме диссертации Книги [1] Мархасин В.С., Кацнельсон Л.Б., Никитина Л.В., Проценко Ю.Л., Руткевич С.М., Соловьева О.Э., Ясников Г.П. Биомеханика неоднородного миокарда - УрО РАН, Екатеринбург, 1999. - 254 c.

Статьи в рецензируемых журналах [2] Мархасин В.С., Гласман А.А., Честухин В.В., Гольдберг С.И., Кацнельсон Л.Б., Маханек A.O. Вклад сегментарной кинетики левого желудочка в регуляцию насосной и сократительной функции сердца // Рос. физиол. журн., 1994. – Т. 18, №4. – С. 72—79.

[3] Соловьева О.Э., Мархасин В.С., Кацнельсон Л.Б. Роль неспецифического тропонина в кинетике внутриклеточного кальция в кардиомиоцитах // Биофизика, 1996. - Т. 42, №2. - С. 431—438.

[4] Соловьева О.Э., Мархасин В.С., Романченко Т.Ю., Кацнельсон Л.Б. Математическая модель обобщенного кальциевого буфера в клетках сердечной мышцы // Биофизика, 1999. - Т. 44, №1. - С. 91—101.

[5] Мархасин В.С., Викулова Н.А., Гурьев В.Ю., Кацнельсон Л.Б., Коновалов П.В., Соловьева О.Э., Сульман Т.Б. Математическое моделирование в физиологии и патофизиологии сердца // Вестник уральской медицинской академической науки, 2004. - T. 3. - С. 31—37.

[6] Копылова Г.В., Кацнельсон Л.Б., Овсянников Д.А., Бершицкий С.Ю., Никитина Л.В. Применение метода in vitro подвижных систем для исследования кальций-механической связи в скелетной и сердечной мышцах // Биофизика, 2006. - T. 51, вып. 5, - С 781-785.

[7] Кацнельсон Л.Б., Соловьева О.Э., Сульман Т.Б., Коновалов П.В., Мархасин В.С. Моделирование механо-электрического сопряжения в кардиомиоцитах в норме и при патологии // Биофизика, 2006. - T. 51, вып. 6, - С. 1044-1054.

[8] Соловьева О.Э., Коновалов П.В., Викулова Н.А., Кацнельсон Л.Б., Мархасин В.С. Исследование электромеханического и механо-электрического сопряжения в мио-карде при помощи математических моделей// Рос. физиол. журн. им. И.М.

Сеченова, 2007. - T. 93, вып. 9, - С. 945-968.

[9] Кацнельсон Л.Б., Сульман Т.Б., Соловьева О.Э., Мархасин В.С. Механизмы нарушений электромеханической функции кардиомиоцитов при перегрузке кальцием. Теоретическое исследование. // Рос. физиол. журн. им. И.М. Сеченова, 2007. - T. 93, вып. 9, - С. 969-981.

[10] Katsnelson LB, Izakov VYa, Markhasin VS. Heart muscle: Mathematical modeling of the mechanical activity and modeling of mechanochemical uncoupling // Gen Physiol & Biophys, 1990.-Vol. 9.-P. 218-244.

[11] Izakov VYa, Katsnelson LB, Blyakhman FA, Markhasin VS, Shklyar TF. Cooperative effects due to calcium binding by troponin and their consequences for contraction and relaxation of cardiac muscle under various conditions of mechanical loading // Circ Res, 1991.- Vol. 69.-P. 1171-11[12] Katsnelson LB, Markhasin VS Mathematical modeling of relations between the kinetics of free intracellular calcium and mechanical function of myocardium // J Mol & Cell Cardiol, 1996. - Vol. 28, №3. - P. 475-486.

[13] Markhasin VS, Katsnelson LB, Nikitina LV, Protsenko YuL. Mathematical modelling of contribution of myocardium mechanical inhomogeneity in its contractile function // Gen Physiol & Biophys, 1997. - Vol. 16, №2. - P.101-137.

[14] Solovyova O., Katsnelson L., Guriev S., Nikitina L., Protsenko Y., Routkevitch S., Markhasin V. Mechanical inhomogeneity of myocardium studied in parallel and serial cardiac muscle duplexes: experiments and models // Chaos, Solitons & Fractals, 2002. - Vol. 13, №8. - P. 1685—1711.

[15] Markhasin V.S., Solovyova O., Katsnelson L.B., Protsenko Y., Kohl P., Noble D. Mechano-electric interactions in heterogeneous myocardium: development of fundamental experimental and theoretical models // Prog Biophys & Mol Biol, 2003. - Vol. 82, №1—3. - P. 207—220.

[16] Solovyova O., Vikulova N., Katsnelson L.B., Markhasin V.S., Noble P.J., Garny A.F., Kohl P., Noble D. Mechanical interaction of heterogeneous cardiac muscle segments in silico: effects on Ca2+ handling and action potential // Int J of Bifurcation & Chaos, 2003. - Vol. 13, №12. - P. 3757— 3782.

[17] Katsnelson L.B., Nikitina L.V., Chemla D., Solovyova O., Coirault C., Lecarpentier Y., Markhasin V.S. Influence of viscosity on myocardium mechanical activity: a mathematical model // J Theor Biol, 2004. - Vol. 230, №3. - P. 385-405.

[18] Protsenko Y.L., Routkevitch S.M., Gur'ev V.Y., Katsnelson L.B., Solovyova O., Lookin O.N., Balakin A.A., Kohl P., Markhasin V.S. Hybrid duplex - a novel method to study the contractile function of heterogeneous myocardium // Am J Physiol: Heart Circ Physiol, 2005. - Vol. 289. - P.2733-2746.

[19] Solovyova O., Katsnelson L.B., Kohl P., Konovalov P., Lookin O., Moskvin A.S., Vikulova N., Protsenko Yu.L., Markhasin V.S. Activation sequence as a key factor in spatio-temporal optimization of myocardial function // Phil Transact of The Royal Society A, 2006. - Vol. 364, № 1843. - 1367-1383.

[20] Katsnelson L.B., Sulman T., Solovyova O., and Markhasin V.S. Mathematical modeling of electromechanical function disturbances and recovery in calcium overloaded cardiomyocytes // Lect Notes Comp Sci, 2007. - Vol. 4466. - 383–392.

Статьи в сборниках научных трудов [21] Кацнельсон Л. Б., Сульман Т. Б., Соловьева О. Э., Мархасин В. С. Математическое моделирование некоторых нарушений электромеханической функции кардиомиоцитов желудочка. // Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов. Т.2 / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. - М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2006, - С. 345-369.

[22] Соловьева О.Э., Кацнельсон Л.Б., Коновалов П.В., Мархасин В.С. Математическое моделирование электрических и механических явлений в миокарде // Современные проблемы биомеханики. - М.: Издательство Московского университета, 2006. - Вып. 11. - С. 131-151.

[23] Izakov V.Ya., Markhasin V.S., Katsnelson L.B., Blyakhman F.A. Dependence of myocardium relaxation on mechanical and inotropic factors: experimental data and mathematical model // In: Muscle & Motility, Medical & Techn. Publ./ Eds G.Marechal, U.Carrare. - Brussels, 1990. -P. 211-218.

Избранные тезисы докладов [24] Викулова Н.А., Кацнельсон Л.Б., Соловьева О.Э., Мархасин В.С., Garny A., Noble P. Математическая модель электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах рабочего миокарда // Тез. докл. XVIII Съезда физиологического общества имени И.П. Павлова. Казань, 2001. - C. 318.

[25] Соловьева О.Э., Проценко Ю.Л., Кацнельсон Л.Б., Мархасин В.С. Экспериментальные и теоретические модели неоднородного миокарда // Матер. сателлитного совещ. XIX съезда Физиологического общества им. И.П. Павлова "Интегративная физиология и международный проект Физиом". Екатеринбург, 2004. - C. 20-21.

[26] Izakov V, Markhasin V, Katsnelson L, Blyachman F. Dependence of myocardium relaxation on mechanical and inotropic factors // XIX Europ. Confer. on Muscle Contraction and Cell Motility, Brussels, Belgium, 1990, p.66.

[27] Katsnelson L.B., Blyachman FA Mathematical modelling of myocardial nonhomogeneity contribution into the contractile function of the myocardium // European Muscle Club, XX Annual Meeting, September, 1991, Oxford, UK, p. 39.

[28] Markhasin V.S., Katsnelson L.B., Fedotova Ye.L. A unified model describing electromechanical coupling, calcium activation of contractile proteins and mechanical function of the heart muscle // Ibidem, p.49.

[29] Katsnelson L.B., Markhasin V.S., Protsenko Yu.L. Mathematical model of mechanical contraction-relaxation cycle in myocardium in normal condition and at hy pertrophy (Abstracts) // Can J Cardiol - April, 1994, Vol. 10, Suppl. A, p. 82.

[30] Katsnelson L.B., Markhasin V.S., Solovyova O.E. Mathematical modeling of relatively small differences in various calcium transient and their essential influence on myocardium mechanical function (Poster) // XXIV European Muscle Conference Florence - Italy, 13-16 September, 1995, p. 104 (Abstr. 133).

[31] Katsnelson L.B., Markhasin V.S., Nikitina L.V., Ryvkin M.V. Analysis of forcevelocity relationship in cardiac muscle by means of mathematical modelling // XXV European Muscle Congress, Montpellier - France, 14-17 September, 1996; Journal of Muscle Research and Cell Motility, April 1997, V.18, P. 228.

[32] Markhasin V.S., Nikitina L.V., Katsnelson L.B., Marvin M.A. Experimental and theoretical study of the role of mechanical inhomogeneity in myocardium contraction // XXV European Muscle Congress, Montpellier - France, 14-17 September, 1996;

Journal of Muscle Research and Cell Motility, April 1997, V.18, P. 232.

[33] Katsnelson L.B., Markhasin V.S., Solovyova O. Mathematical modeling of relatively small differences in various calcium transients and their essential influence on myocardium mechanical function // XXIV European Muscle Conference, Florence, Italy, 1995. - № 133. - P. 104.

[34] Solovyova O., Katsnelson L., Romanchenko T., Tsyvian P., Routkevech S., Markhasin V., Keller B.B. Mathematical modeling of active embryonic myocardium mechanics // Biophysical Journal. Abst. 42nd Annual Meeting of the Amer. Biophys.

Society, Kansas City, USA, 1998. - Abstr. Th-Pos27. - P. A-3[35] Solovyova O., Katsnelson L., Romanchenko T., Tsyvian P., Markhasin V.

Mathematical modeling of intracellular regulation of cardiac muscle contraction in both normality and hypertrophy // Biophysical Journal. Abst. 43rd Annual Meeting of the Amer. Biophys. Society, Baltimore, Maryland, USA, 1999. - Vol. 76, № 1 (2). - P.

A312.

[36] Garny A.F., Katsnelson L.B., Markhasin V.S., Noble P.J., Solovyova O., Vikulova N.A. Mechano-electric interactions in a ventricular myocyte model // XXXIV Int.

Congress of Physiological Sciences. Christchurch, New Zealand, Abstr. 83. - 2001.

[37] Markhasin V, Katsnelson L, Lukin O, Protsenko Yu, Routkevich S. Hybrid duplex as a new method of investigation of phenomenon of mechanical inhomogeneity of myocardium // XXXIV International Congress of Physiological Sciences. Christchurch, New Zealand, Abstr. 1276. - 2001.

[38] Katsnelson L.B., Nikitina L.V., Chemla D., Solovyova O.E., Coirault C., Lecarpentier Y., Markhasin V.S. Does viscosity affect myocardium mechanical activity? // Journal of Physiology, University of Oxford, 2004. - 561P, PC12.

[39] Solovyova O.E., Kohl. P., Katsnelson L.B., Markhasin V.S. Modelling electromechanical function of heterogeneous myocardium // Journal of Physiology. University of Oxford, 2004. - 561P, SA7.

[40] Sulman T., Katsnelson L.B., Solovyova O., Markhasin V.S. Mathematical modeling of cardiomyocyte electromechanical function disturbances caused by the attenuation of sodium-potassium pump // Europ. Conf. on Math, and Theor. Biol., Dresden, Germany, 2005. - Book 2. - P. 17.

[41] Sulman T.B., Katsnelson L.B., Solovyova O.E., Markhasin V.S. Mathematical modeling of rhythm disturbances and their suppression in the cardiomyocyte with Na+-K+ pump attenuation // Proceedings of International Symposium “Biological Motility: Basic Research and Practice”, Pushchino, 2006. - P. 16-17.

[42] Solovyova O.E., Katsnelson L.B., Kohl P., Markhasin V.S. Role of mechanoelectric feedback in myocardium function: theoretical study // Proceedings of International Symposium “Biological Motility: Basic Research and Practice”, Pushchino, 2006. - P. 62-63.

[43] Kopylova G.V., Nikitina L.V., Katsnelson L.B., Bershitsky S.Yu. Comparison of kinetic characteristics of skeletal and cardiac muscle myosins using the method of regulated contractile system // Proceedings of International Symposium “Biological Motility: Basic Research and Practice”, Pushchino, 2006. - P. 25-27.

[44] Katsnelson L.B., Sulman T., Solovyova O., Markhasin V.S. Rhythm disturbances in cardiomyocytes with decreased Na+-K+ pump function. Contribution of Mechanical Factors assessed in a Mathematical Model // International Conference “Mathematical biology and bioinformatics”, Pushchino, 2006. - С. 63-64.

[45] Fedotova M., Katsnelson L.B., Solovyova O., Markhasin V.S. Mechanical and Electrical Function of Myocardium in 1D Mathematical Model // International Conference “Mathematical biology and bioinformatics”, Pushchino, 2006. - С. 61-62.

[46] Sulman T, Katsnelson L.B., Solovyova O. & Markhasin V.S. Mechano-electric feedback in rhythm disturbances in cardiomyocytes with moderately reduced activity of Na+-K+ pump: model predictions on the arrhythmia and its suppression // Proceedings of the 4th International Workshop on Cardiac Mechano-Electric Feedback and Arrhythmias, Oxford, England, 1-4 April 2007. -P. 74.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.