WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Румянцев Александр Сергеевич

Вероятностный анализ процесса нагрузки вычислительного кластера

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Петрозаводск – 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра Российской академии наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Морозов Евсей Викторович

Официальные оппоненты: Хохлов Юрий Степанович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Российский уни­ верситет дружбы народов», заведующий кафедрой теории вероятностей и математи­ ческой статистики Кручек Марина Марленовна, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Петрозаводский го­ сударственный университет», заместитель декана математического факультета

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем ин­ форматики Российской академии наук

Защита состоится «20» декабря 2012 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 на базе ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет» по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33. С диссер­ тацией можно ознакомиться в научной библиотеке Петрозаводского государ­ ственного университета.

Автореферат разослан « » ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Р. В. Воронов

Общая характеристика работы



Актуальность работы. Наращивание мощности в современных вычис­ лительных системах (ВС) идет в основном путем внедрения многопроцессор­ ных и многоядерных систем (МС). Среди МС следует выделить высокопро­ изводительные вычислительные кластеры (ВК) и системы распределенных вычислений (СРВ). ВК позволяет выполнять заявку одновременно на мно­ жестве процессоров, что отличает ВК от классических МС, где каждая заяв­ ка занимает один процессор. Отличие СРВ от классических систем состоит в том, что заявка состоит из группы относительно независимых заданий, каж­ дое из которых выполняется на отдельном процессоре.

Представленная диссертационная работа посвящена исследованию про­ цесса нагрузки в МС. В диссертационной работе обобщены известные клас­ сические результаты в рамках новой модели, учитывающей существенные особенности функционирования ВК. Актуальность рассматриваемой темы подтверждается большим вниманием, которое уделяется моделям МС как в теоретических исследованиях, так и при их применении для анализа ВС.

Цель диссертационной работы — предложить и исследовать метода­ ми теории случайных процессов вероятностную модель процесса нагрузки в МС с занятием заявкой случайного числа процессоров на идентичное время.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Исследованы свойства монотонности и условия стационарности процес­ са нагрузки в предложенной модели.

2. Исследованы моментные свойства стационарного процесса нагрузки и ста­ ционарного времени ожидания заявки в предложенной модели.

3. Методом численного моделирования проведена проверка адекватности модели на основе данных лог-файла ВК ЦКП КарНЦ РАН.

Научная новизна. Результаты диссертационного исследования разви­ вают теорию массового обслуживания в классе моделей МС. Предложенная модель обобщает классическую модель Кифера–Вольфовица для процесса на­ грузки в МС. В отличие от известных подходов, новая модель МС учитывает возможность одновременного занятия заявкой случайного числа процессо­ ров на идентичное время. Доказана стохастическая ограниченность разности компонент вектора нагрузки в предложенной модели, что является важным элементом в анализе стационарности МС. Известные для классических МС результаты о монотонности процесса нагрузки и о моментных свойствах век­ тора нагрузки обобщены на процессы, описываемые предложенной моделью.

Практическая ценность. Разработанная модель может служить базой для численного анализа и оценивания качества обслуживания при проекти­ ровании и эксплуатации высокопроизводительных ВС, таких как ВК и СРВ.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Вероятностная модель процесса нагрузки МС, обобщающая классиче­ скую модель Кифера–Вольфовица, в которой заявка занимает случай­ ное число процессоров на идентичное время.

2. Свойства монотонности процесса нагрузки в предложенной модели, по­ лученные на основе построения минорантной и мажорантной моделей.

3. Необходимые, а также достаточные условия существования стационар­ ного процесса нагрузки в предложенной модели.

4. Достаточные условия конечности моментов компонент стационарного вектора нагрузки в предложенной модели, включая стационарное время ожидания в очереди.

5. Результаты численного эксперимента на основе лог-файла работы ВК ЦКП КарНЦ РАН за период 2009–2012 гг., подтверждающие адекват­ ность предложенной модели.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсужда­ лись на международных научных семинарах “Advances in Methods of Information and Communication Technology” (Петрозаводск, 2007, 2010, 2011 гг.), на международном семинаре “Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems” в рамках конгресса ICUMT’10 (Москва, 2010 г.), на международной конференции «Рас­ пределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: теория и при­ ложения» DCCN’10 (Москва, 2010 г.), на всероссийской летней школе «Су­ перкомпьютерное моделирование и визуализация в научных исследованиях» (Москва, 2010 г.), на всероссийской осенней школе «Суперкомпьютерные тех­ нологии и высокопроизводительные вычисления в образовании, науке и про­ мышленности» (Нижний Новгород, 2010 г.), на международной научной кон­ ференции «Параллельные вычислительные технологии 2011» (Москва, 2011 г.), на всероссийской конференции с международным участием «Информационно­ телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высо­ котехнологичных систем» (Москва, 2011 г.), на V Международном семина­ ре «Прикладные задачи теории вероятностей и математической статисти­ ки, связанные с моделированием информационных систем» (Светлогорск, 2011 г.), на научной конференции и школе молодых ученых «Фундаменталь­ ные и прикладные исследования в Карелии: современное состояние и перспек­ тивы развития» (Петрозаводск, 2011 г.), на XI Всероссийской конференции «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных систе­ мах» (Нижний Новгород, 2011 г.), на VIII Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петроза­ водск, 2012 г.), на Летней Суперкомпьютерной Академии (Москва, 2012 г.).





Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 2 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих периодических из­ даний [1, 2], 4 статьи в сборниках трудов конференций [3–6] и тезисы 3 докла­ дов [7–9]. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патен­ там и товарным знакам [10].

Связь работы с научными программами, темами. Основные ре­ зультаты диссертации были получены при проведении исследований в рам­ ках темы НИР ИПМИ КарНЦ РАН (гос. №01201151875 «Вероятностный ана­ лиз регенеративных и гауссовских коммуникационных систем с использова­ нием методов высокопроизводительных вычислений»). Исследования были частично поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (07-07-00088-а, 10-07-00017-а) и Фондом содействия малых форм предприя­ тий в научно-технической сфере (государственный контракт №10491р/168от 08.06.2012 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации состав­ ляет 109 страниц, включая 12 рисунков. Библиография включает 114 наиме­ нований.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе выполнен обзор известных результатов для вероятност­ ных моделей МС. Представлены доказательства свойств монотонности про­ цесса нагрузки. Приводится доказательство, уточняющее процедуру постро­ ения момента однозависимой регенерации в классической модели GI/G/m.

Анализируются результаты, касающиеся моментных свойств компонент век­ тора нагрузки в модели GI/G/m. Рассматриваются вопросы влияния дисци­ плины обслуживания на характеристики системы в случае, когда распреде­ ление времени вычисления заявки имеет тяжелый хвост.

Опишем классическую модель МС вида GI/G/m, которая существен­ но используется далее. Пусть в систему обслуживания в моменты времени {tn, n 1}, образующие процесс восстановления, поступают заявки с незави­ симыми, одинаково распределенными (н. о. р.) временами обслуживания {Sn} на одном из m (идентичных) процессоров. Обозначим функцию распределе­ ния (ф. р.) случайной величины (с. в.) времени между приходами заявок Tn := tn+1 - tn через A(x) = P (T x), а через B(x) = P (S x) ф. р.

времени обслуживания заявки. (Индекс опускается, когда рассматривается типичный элемент последовательности н. о. р. с. в.) Заявка n ожидает время Dn 0 в очереди, формируемой в порядке поступления (FIFO), и поступает на обслуживание в момент времени tn + Dn на процессор, освободившийся первым. Пусть вектор нагрузки Wn = (Wn,1,..., Wn,m) E := {x Rm: x1 · · · xm}, n + состоит из упорядоченной в возрастающем порядке незавершенной работы на процессорах в момент tn прихода заявки n. Вектор Wn удовлетворяет ре­ курсии Кифера–Вольфовица [13]:

Wn+1 = R (Wn,1 + Sn - Tn, Wn,2 - Tn,..., Wn,m - Tn)+, (1) где оператор R(·) : Rm E располагает компоненты по возрастанию, а (·)+ = + max(0, ·). Время ожидания n-й заявки Dn := Wn,1 удовлетворяет модифици­ рованной (классической при m = 1) рекурсии Линдли:

Dn+1 = (Dn + min(Wn,2 - Wn,1, Sn) - Tn)+, n 1. (2) Система GI/G/m стационарна, если выполнено условие ES = < m, (3) ET которое гарантирует, что процесс {Wn, n 0} является однозависимо ре­ генерирующим, т. е. существует такой вложенный процесс восстановления {n, n 1}, что цикл регенерации Wk = {W +j, 0 j < k := k+1 - k} k не зависит от k и имеет одно и то же распределение при всех k 1, при этом допускается зависимость только между соседними циклами Wk, Wk+1, а циклы Wk, Wk+i, i > 1, независимы при любом k 1. Регенерирующий процесс называется положительно возвратным, если E < .

В главе 1 получено доказательство стационарности описанной системы GI/G/m, уточняющее процедуру построения момента однозависимой регене­ рации в следующем фундаментальном результате [12].

Теорема 1. Пусть ES < , ET < и выполнено условие (3). Тогда при нулевых начальных условиях {Wn, n 0} является положительно возврат­ ным однозависимым регенерирующим процессом.

Далее в главе 1 рассматриваются условия конечности момента порядка k 1 компонент стационарного вектора нагрузки W = (W1,..., Wn), ко­ торые существенно используются в дальнейшем анализе [14]. Именно, при условии (3), для компонент вектора W с индексами i имеют место одни и те же достаточные условия (x — наименьшее целое, не меньшее x):

k m- E S1+ < влечет E [Wi]k < , (4) а для компонент с индексами < i m моментные свойства зависят от индекса компоненты Wi:

k m-i E S1+ < влечет E [Wi]k < . (5) Во второй главе представлена классификация распределений с тяже­ лым хвостом. Такие распределения в настоящее время широко используются при анализе процессов в информационных системах, в частности, времени передачи сообщений в коммуникационных сетях, времени выполнения задач на процессоре в UNIX-системах и на ВК, и т. д. Далее в главе 2 рассмотрены вопросы замкнутости классов распределений с тяжелым хвостом, в т. ч. от­ носительно операций случайного суммирования и взятия максимума. Кроме того, обсуждается вопрос идентификации распределений с тяжелым хвостом по результатам численного эксперимента, а также вопросы компьютерного моделирования распределений с правильно меняющимся хвостом. Рассмот­ рены также особенности использования усеченных распределений при прове­ дении имитационного моделирования.

Ф. р. имеет тяжелый хвост (F H), если E(eX) = для любого > 0.

В качестве такой ф. р. часто используется распределение Парето, представ­ ляющее важный для приложений класс распределений с правильно меняю­ щимся хвостом. Ф. р. F имеет правильно меняющийся хвост с показателем - 0 (F R(-)), если F (x) := 1-F (x) x-L(x) при x , где функ­ ция L медленно меняется на бесконечности (L R(0)). Если X R(-), то с ростом x средняя величина перескока (эксцесса) растет линейно, т. е.

(y - x)dF (y) x E(X - x|X > x) = x, x . (6) F (x) Линейный вид графика среднего эксцесса, построенного по значениям выбор­ ки, позволяет на практике отнести распределение F к классу R := >0R(-).

Этот способ анализа применяется в экспериментальной части представленной работы (см. гл. 4).

Для получения случайной выборки из распределения с правильно меня­ ющимся хвостом, как правило, используется метод обратной функции. При­ нято использовать усеченное на [a, b] распределение Парето, имеющее вид a - x F (x) =, 0 < a x b, > 0. (7) a - b Отметим, что метод подбора параметров распределения (7) рассмотрен в ра­ боте [11] и используется далее в главе 4.

В третьей главе сначала проведен анализ моделей МС, которые могут быть использованы для описания ВК. Затем основное внимание уделено по­ строению и исследованию следующей новой модели ВК, предложенной в ра­ ботах [6, 7] и обобщающей классическую модель GI/G/m. Пусть i-й приходя­ щей заявке требуется одновременно случайное число процессоров Ni [1, m] на одинаковое время Si. В этом случае рекурсия (1) для вектора нагрузки Wi := (Wi,1, · · ·, Wi,m) принимает вид Wi+1 = R Wi,N + Si - Ti,..., Wi,N + Si - Ti, Wi,N +1-Ti,..., Wi,m-Ti + (8), i i i Ni компонент причем время ожидания заявки i определяется как Di := Wi(Ni), i 1.

Для предложенной модели минорантной будет система (low), в которой i-я заявка представляет собой группу из Ni независимых заданий, каждое из которых имеет одно и то же время обслуживания Si. Очередное зада­ ние немедленно занимает освободившийся процессор. Имеет место следую­ щее свойство монотонности для процессов нагрузки в исходной системе и в системе (low).

(low) Лемма 1. Пусть W0 = W0 = 0. Тогда (low) Wi+1 Wi+1, i 0. (9) Отметим, что система (low) может быть использована как модель СРВ. Свой­ ство (9) показывает, что для задач, требующих перебора в пространстве па­ раметров модели, целесообразнее использовать архитектуру СРВ, чем ВК, т. к. время ожидания заявки в такой системе в среднем оказывается меньше.

В настоящее время мощности ВК исчисляются сотнями тысяч процессо­ ров, однако задач, масштабируемых на такое количество процессоров, срав­ нительно немного. Поэтому ограничение P(N Nmax) = 1 для некоторого Nmax m представляется вполне мотивированным. Обозначим m m j = min{k 1 : P (N ) = 1}, Nmax = . (10) k j Заметим, что случай j = 1 типичен для небольших ВК. Для исходной си­ стемы мажорантной будет система (up), где каждая заявка занимает ровно Nmax = m процессоров. Именно, имеет место следующее утверждение.

j (up) Лемма 2. Пусть W0 = W0 = 0. Тогда Wi Wi(up), i 1.

Отметим, что система (up) эквивалентна стандартной системе обслужи­ вания GI/G/j (с теми же управляющими последовательностями {Sn, Tn}).

Достаточное условие (3) является, таким образом, достаточным условием ста­ ционарности модели ВК.

В очевидных обозначениях имеет место следующая лемма, обобщающая классический результат о монотонности процесса нагрузки.

Лемма 3. Рассмотрим две идентичные m-процессорные системы и при начальных условиях 0 = s t = W0 E. Пусть для входных потоков и времен обслуживания имеют место неравенства Ti Ti, i Si и Ni Ni, i 1. Тогда i Wi, i 1.

Обозначим = ENES, пусть (t) есть число процессоров, требуемых заявкам, находящимся в системе в момент времени t. Имеет место следующее условие нестационарности предложенной модели (8).

Лемма 4. Если > m, то (t) c в. 1.

Необходимым и достаточным условием стационарности системы (low) явля­ ется условие EN ES < m. (11) Таким образом, (11) есть необходимое условие стационарности модели (8).

В общем случае, различие необходимого условия (11) и достаточного усло­ вия (3) может быть значительным и форма критерия стационарности оста­ ется открытой проблемой. Однако следующий результат является важным элементом решения проблемы получения критерия стационарности. Обозна­ чим n,m = Wn,m - Wn,1, n 1.

Лемма 5. Пусть W0 = 0. Тогда последовательность {n,m}, n 1 стоха­ стически ограничена.

Подчеркнем, что утверждение леммы 5 верно независимо от стационарности системы (8).

Для модели (8) обозначим Pi := Wi,N +Ni+1 - Wi,N, (Pi := при Ni + Ni+1 > m), i i Qi := Wi,N - Wi,N, i+1 i Ui := max (Qi, min(Pi, Si)) = min (Pi, max(Qi, Si)).

Следующее утверждение обобщает классический результат (2).

Лемма 6. В модели (8) величина задержки удовлетворяет рекурсии Di+1 = (Di + Ui - Ti)+, i 0.

Обозначим через W = (W1,..., Wm) стационарный вектор нагрузки в мо­ дели (8). Пусть k(i) = i/Nmax, 1 i m, см. (10). Следствием леммы являются следующие моментные свойства компонент вектора W, обобщаю­ щие результаты (4), (5).

Теорема 2. Пусть := ES/ET < j и 1. Тогда имеют место следую­ щие импликации:

1. Для компонент вектора W с индексами 1 i Nmax j- ES1+ < влечет EWi < .

2. Для компонент вектора W с индексами Nmax < i m j-k(i) ES1+ < влечет EWi < .

Следствием теоремы 2 являются также следующие моментные свойства стационарной задержки заявки в очереди D.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда j- ES1+ < влечет ED < .

В четвертой главе приводятся результаты вычислительного экспери­ мента по моделированию ВК ЦКП КарНЦ РАН (ВК ЦКП) на основе исход­ ных данных лог-файла системы управления заданиями CLEO 5.22 за период с 03.06.2009 г. по 04.02.2011 г., содержащего характеристики n = 8282 зада­ ний, расчет которых велся как в однопроцессорном (47.5% от общего числа), так и в многопроцессорном режимах. Именно, на основе управляющих по­ следовательностей {Ti, Si, Ni, 1 i n}, извлеченных из лог-файла CLEO, был проведен расчет процесса нагрузки системы {Wi, 1 i n}. Далее по данным расчета были восстановлены значения времен ожидания заявок в очереди Di, которые были сопоставлены с реально зафиксированными в лог-файле. В таблице 1 представлены основные результаты эксперимента, де­ монстрирующие хорошее согласие между данными, полученными на основе модели и реальными данными работы кластера. Эксперименты проводились с использованием программного модуля [10] на базе программного пакета R.

Следствием согласованности данных численного моделирования и реаль­ ных данных является возможность на основе модели оценить влияние числа процессоров m на такие характеристики качества обслуживания, как среднее n время ожидания ED и число неожидающих заявок I(Di = 0). Это, в i=свою очередь, позволяет прогнозировать эффект от увеличения числа процес­ соров, т. е. планировать развитие аппаратной части системы. В частности, по результатам моделирования, при m 280 на ВК ЦКП не было бы ожидаю­ щих заявок. С помощью предложенной модели также было оценено влияние на указанные характеристики качества обслуживания возможности разделе­ ния узла для нескольких задач. Именно, в исходной конфигурации каждой заявке узлы предоставлялись в монопольное пользование, что позволяло луч­ ше использовать оперативную память. Однако, при этом возникали простои оборудования, особенно в случае Ni = 1. Для преодоления этого недостатка были проведены эксперименты по моделированию конфигурации, в которой узлы могут разделяться между конкурирующими заявками. Результаты экс­ перимента, представленные в таблице 1, говорят о значительном снижении среднего времени ожидания заявки в очереди. Это позволило обосновать из­ менение правил использования ВК ЦКП. В результате активации возможно­ сти разделения узла на ВК ЦКП, в действительности, наблюдалось снижение среднего времени ожидания.

Далее в главе 4 выдвинуто и проверено в эксперименте предположение о н. о. р. и независимых между собой с. в. {Ti, Si, Ni}. На основе данных лог-файла CLEO были идентифицированы вид и параметры распределений с. в. Принадлежность распределения классу S или R определялась на ос­ нове соотношения (6). Для моделирования интервалов между приходами за­ явок использовалось лог-нормальное распределение (относящееся к классу Таблица 1. Основные результаты численного эксперимента по проверке адекватности мо­ дели (8) на основе данных лог-файла системы CLEO n Источник данных Di mini Di maxi Di n I(Di = 0) i=1 i=n Лог-файл CLEO 722 0 288500 77Модель 926 0 288500 76Модель, разделение узла 176 0 156500 81S), плотность которого имеет вид f(x) = e-(ln x-µ)2/22, x > 0. (12) x 2 Методом максимального правдоподобия были получены следующие оценки параметров распределения (12): µ 5.527872, 2.501084. Для моделирова­ ния времен между приходами заявок использовалось усеченное распределе­ ние Парето (7) с параметрами a = 1, b = 259204, = 0.2069721. В качестве распределения Ni в модели принято лог-равномерное распределение для за­ явок, которым требуется 2i, 1 i 6 процессоров. Более точно, использова­ лось распределение Ni следующего вида:

1, p1 = 0.4758512, Ni = (13) 2k, pk+1 = 0.0873581, 1 k 6.

В результате вычисления рекурсии (8) с использованием выборок из распределений интервалов между приходами (12), времен обслуживания (7) и числа требуемых процессоров (13), среднее время ожидания заявки состави­ ло 25000 с., что значительно выше зафиксированного в лог-файле CLEO.

Полученный результат говорит, что предположение о н. о. р. управляющих последовательностях не имеет места в данных условиях для рассматривае­ мого небольшого, не сильно нагруженного ВК ЦКП. Этот результат может быть объяснен наличием обратной связи ВК ЦКП с пользователями, которая осуществляется при помощи системы отслеживания состояния очереди. Одна­ ко, модель с н. о. р. управляющими последовательностями {Ti, Si, Ni} может применяться для ВК, в которых отсутствует механизм отслеживания очере­ ди, а также для высоконагруженных ВК. Поэтому результаты моделирова­ ния в предположении н. о. р. с. в. могут быть использованы для определения верхней границы (наихудших значений) для соответствующих характеристик реальных систем. В то же время, предложенная модель позволяет охватить широкий класс зависимостей управляющих последовательностей, сохраняя марковский характер рекурсии (8), что делает ее весьма перспективной для исследования отмеченной выше проблемы.

Дополнительным аргументом в пользу адекватности предложенной мо­ дели (8) является хорошая согласованность полученных при моделировании m значений числа свободных процессоров в системе, т. е. I[Wn,i = 0], и со­ i=ответствующих значений, зафиксированных системой мониторинга ВК ЦКП (данные также приведены в главе 4). Эта вспомогательная, но важная харак­ теристика позволяет оценить степень равномерности нагрузки кластера во времени.

Заключение В качестве основных выводов из представленной работы можно отметить следующие. Предложена и исследована модель процесса нагрузки МС, в ко­ торой заявке требуется случайное число процессоров на идентичное время. С помощью численных экспериментов на базе лог-файла ВК ЦКП подтвержде­ на адекватность применения модели для описания процесса нагрузки ВК.

Разработан и зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам программный пакет, который мо­ жет быть применен для оценивания характеристик качества обслуживания как уже существующих, так и проектируемых ВК. Дальнейшее развитие мо­ дели предполагает учет ненадежности (отказ) процессоров, а также наличие марковской зависимости между элементами управляющих последовательно­ стей и величиной процесса нагрузки.

Список публикаций по теме диссертации 1. Морозов Е. В., Румянцев А. С. Модели многосерверных систем для ана­ лиза вычислительного кластера // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. 2011. Т. 5. С. 75–86.

2. Морозов Е. В., Румянцев А. С. Вероятностные модели многопроцессор­ ных систем: стационарность и моментные свойства // Информатика и ее применения. 2012. Т. 6, № 3. С. 99–106.

3. Morozov E., Pagano M., Rumyantsev A. Heavy-tailed Distributions with Applications to Broadband Communication Systems // Proceedings of AM­ ICT’2007. Vol. 9. Petrozavodsk, 2008. Pp. 157–174.

4. Morozov E., Rumyantsev A. Moment properties of queueing systems and networks // Proceedings of 2010 International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Moscow, 18-20 Oct. 2010. Moscow: IEEE, 2010. Pp. 1056–1061.

5. Морозов Е. В., Румянцев А. С. Регенерация и корреляционные свойства стационарной задержки в одноканальной очереди // Proceedings of In­ ternational Workshop Distributed Computer and Communication Networks.

Theory and Applications (DCCN-2010). Moscow: R&D Company «Informa­ tion and Networking Technologies», 2010. Pp. 58–67.

6. Морозов Е., Румянцев А. Некоторые модели многопроцессорных систем обслуживания с тяжелыми хвостами // Параллельные вычислительные технологии 2011: сборник трудов Международной научной конференции.

Челябинск: ЮУрГУ, 2011. С. 555–566.

7. Румянцев А. О стохастическом моделировании вычислительного класте­ ра // Информационно-телекоммуникационные технологии и математи­ ческое моделирование высокотехнологичных систем: Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием (18–22 апреля 2011). Москва: РУДН, 2011. С. 46–47.

8. Румянцев А. Моделирование процесса нагрузки вычислительного класте­ ра на примере кластера ЦКП КарНЦ РАН «Центр высокопроизводитель­ ной обработки данных» // Материалы XI Всероссийской конференции «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных си­ стемах». Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2011. С. 272–275.

9. Morozov E. V., Rumyantsev A. S. Stability analysis of a multiprocessor mod­ el describing a high performance cluster // XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models and V International Workshop «Ap­ plied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems», Book of Abstracts. Moscow: Institute of Informatics Problems, RAS, 2011. Pp. 82–83.

10. Румянцев А. С. Пакет hpcwld для программной среды вычислений R. Свидетельство Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012610210. 2012.

Цитированная литература 11. Aban I., Meerschaert M., Panorska A. Parameter estimation for the truncated Pareto distribution // Journal of the American Statistical Association. 2006.

Vol. 101, no. 473. Pp. 270–277.

12. Charlot F., Ghidouche M., Hamami M. Irrducibilit et rcurrence au sens de Harris des «Temps d’attente» des files GI/G/q // Zeitschrift fr Wahrschein­ lichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 1978. Vol. 43. Pp. 187–203.

13. Kiefer J., Wolfowitz K. On the theory of queues with many servers // Trans­ actions of the American Mathematical Society. 1955. Vol. 78, no. 1. Pp. 1–18.

14. Scheller-Wolf A., Vesilo R. Sink or Swim Together: Necessary and Sufficient Conditions for Finite Moments of Workload Components in FIFO Multiserver Queues // Queueing Systems. 2011. Vol. 67, no. 1. Pp. 47–61.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.