WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Билаль Наваф Елиан

Сулейман МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ АВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учной степени кандидата физико-математических наук

Белгород – 2012

Работа выполнена в ФГАОУ «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» на кафедре информатики и вычислительной техники

Научный консультант: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Чеканов Николай Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Почетный работник высшего профессионального образования РФ, Белгородский государственный технологический университет им.

В. Г. Шухова, заведующий кафедрой высшей математики Брусенцев Александр Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики и информационных технологий Белгородской государственной сельскохозяйственной академии им. В.Я. Горина Ломазов Вадим Александрович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет – учебно-научно-производственный комплекс»

Защита диссертации состоится «13» сентября 2012 г. в. ауд. 261 на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 при ФГАОУ «Белгородский государственный национальный исследовательский университет», 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

Автореферат разослан « 11 » июля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, В.А. Беленко ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

Актуальность темы исследования.

Одной из перспективных и быстро развивающихся областей применения математического моделирования является динамика инновационных процессов.

Ее роль вс более возрастает в связи с усложнением протекания реальных инновационных процессов, которые, очевидно, представляют собой движущую силу любой страны. Исследования в этой области показывают, что кризисные явления имеют не случайный, а систематический характер, определяемый детерминированными механизмами. Поэтому многие особенности поведения инновационных процессов могут описываться в рамках детерминированных систем дифференциальных уравнений. Сложное поведение этих систем, включая процессы самоорганизации, поддается описанию благодаря учту нелинейных членов, присутствующих в математических моделях динамических систем.

Обычно инновационные процессы изучаются с позиции оптимизации и теории игр, с введением целевой функции. Однако в последние два десятилетия получила распространение другая точка зрения на законы общественного развития, связанная с новым синтетическим (синергетическим) направлением в естественных и общественных науках, которая не предполагает целеполагания в явном виде. Под синергетикой понимают науку о кооперативных (коллективных) процессах и явлениях самоорганизации в открытых и неравновесных системах произвольной природы. Аналогами целей в ней являются различные аттракторы, к которым стремятся фазовые траектории открытых нелинейных систем, попадая в их область притяжения. Такое задание целей является общим подходом, когда цели неявно встроены в модель и изменяются в зависимости от общей динамики модели, в том числе испытывая влияние за счт механизма обратных связей в зависимости от поведения системы, а не только влияют на это поведение. Отметим, что нелинейные механизмы в инновационных системах могут обосновываться как механизмы конкурентных, кооперационных и других взаимодействий.

Кроме того, следует отметить, что в эволюции инновационных систем, где основное внимание уделяется процессам развития, используется математический аппарат теории нелинейных динамических систем и синергетики, который до сих пор успешно используется при анализе развития биологических, экологических, химических и физических систем. В этом смысле эволюционные инновации и математические методы их описания и анализа тесно связаны с естественными и физико-математическими науками. Таким образом, происходит очень важный процесс вовлечения в научные исследования инновационных процессов методов естественных и физико-математических наук. В связи с этим в данной диссертационной работе ставится одна из задач инновационных процессов, которая анализируется методами теории нелинейных динамических систем, что является чрезвычайно актуальной проблемой.

Большой интерес представляет исследование математических моделей инновационных процессов в научно-образовательных областях. Современные проблемы повышения качества образования, увеличения объемов услуг, реор ганизации деятельности управления вузом с целью превращение вуза в коммерческо-финансово-научно-образовательную структуру, а также многие другие стоят на повестке дня в перестройке научно – образовательных процессов не только в России, но и во всем мире.

Специфика многих диссертационных исследований при моделировании инноваций в научно-образовательных областях заключается в использовании классического подхода. Ограниченность такого подхода проявляется в невозможности строить долгосрочные прогнозы и проигрывать различные сценарии поведения рассматриваемых систем. В последние годы вс большую поддержку находит идея о необходимости разработки более совершенных методов изучения инновационных процессов, основанных на методах теории автономных динамических систем и принципах синергетики, приводящих к построению математических моделей во многом аналогичным тем, которые уже получили широкое распространение в естественных науках.

В рамках этого подхода актуальной задачей является изучение базовых моделей инновационных процессов в области научно-образовательных систем, таких как, макромодели развития, модели среднего уровня, микромодели развития, некоторые из которых получили дальнейшее развитие в данном диссертационном исследовании.

В связи с этим особенно важную роль приобретает проведение математического моделирования, для чего требуется разработка эффективных вычислительных схем и алгоритмов, а также проведение достаточно трудоемких вычислительных экспериментов. Этот путь намного выгоднее, чем проведение длительных натурных экспериментов.

В диссертации развит метод математического моделирования инновационных и образовательных процессов на основе автономных и динамических систем. Исследованы комплексы моделей в рамках и линейной, и нелинейной концепций инноваций, а также модели подготовки научных кадров и формирования вузовских контингентов с учетом процесса спроса и предложения на рынке образовательных услуг. Эти модели объединены в диссертации объектом аналитического и численного исследования, которым являются нелинейные задачи для систем дифференциальных уравнений, получивших в литературе название эволюционных уравнений. Для анализа параметрических моделей и решения эволюционных уравнений применены и развиты качественные, аналитические и численные методы, на основе которых разработаны новые эффективные алгоритмы и комплексы программ.

Цель работы. Целью данного исследования являлось построение математических моделей инновационных процессов, усовершенствование ранее построенных моделей и их изучение аналитическими и численными методами.

В рамках этой цели были поставлены следующие задачи:

1) развить методы моделирования для ряда математических моделей, формализующих линейную и нелинейную концепции инноваций;

2) методами качественной теории динамических систем и численного моделирования исследовать математические модели инновационных процессов:

а) подготовки научных кадров, б) взаимодействие результатов НИОКР, в) конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, г) взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг;

3) на основе математического моделирования провести комплексное исследование задачи повышения эффективности рассмотренных инновационных процессов;

4) разработать алгоритмы и составить программы для ЭВМ на языке Python и провести численное моделирование исследуемых задач инновационной динамики.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории динамических систем, методы математического моделирования, пакеты компьютерных прикладных программ, методы вычислительной математики.

Научная новизна работы. Научная новизна исследования состоит в следующем:

1) на основе теории автономных динамических систем предложены математические модели и методы их решения, которые описывают инновационные процессы;

2) разработаны и исследованы трехмерная модель взаимодействия результатов НИОКР (фундаментальных статьей, прикладных статьей, патентов на изобретения) и модель подготовки научных кадров;

3) введена линейная функция влияния вместо известных более сложных функций, выраженных через гиперболические тангенсы, и методами качественной теории динамических систем исследована математическая модель конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, дана постановка этой задачи для многомерного случая;

4) методами качественной теории динамических систем и численного моделирования проведено исследование нелинейной динамической системы третьего порядка, которая описывает взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг;

5) разработаны алгоритмы и составлены программы для ЭВМ на языке Python, с помощью которых проведено численное моделирование задач инновационной динамики.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для нахождения решений и их анализа в различных отраслях науки, где применяются математические модели в виде нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты данного исследования могут быть внедрены в специальные учебные курсы по математическим методам и математическому моделированию инновационных процессов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов. Полученные в диссертации результаты обоснованы корректным использованием методов качественной теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений, методов вычислительной математики и пакетов компьютерных прикладных программ, а также контролируемой точностью численных расчетов при помощи разработанных программ.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были представлены на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, экономике и образовании» Бийск, 16-17 апреля 2009 г., 3-й Международной конференции по квантовой электродинамики и статистической физики, Харьков, 29 августа – 2 сентября 2011 г., конференции Российской академии естествознания: Математическое моделирование социальноэкономических процессов». ОАЭ, Дубай, 16-23 октября 2011 г.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки) по следующим областям исследований:

п 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

Основные положения, выносимые на защиту.

1). Метод моделирования инновационных процессов на основе автономных динамических систем.

2). Качественные методы исследования предложенных математических моделей.

3). Результаты комплексных исследований на основе математического моделирования задач для повышения эффективности инновационных процессов.

4). Программно-алгоритмическая реализация метода моделирования на основе автономных динамических систем.

Личное участие автора. Личное участие автора заключается в постановке задач и их исследовании аналитическими (качественными) и численными методами. В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад соискателя заключается в непосредственном участии в постанове задач, проведение аналитических и численных исследований. Вклад автора в проведении исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. По материалам диссертации опубликовано 11 печатных работ, из них 3 работы из списка ВАК РФ, список которых приведен в конце автореферата. Получены два свидетельства Роспатента РФ о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и содержит 181 страниц машинного текста, включая 5 таблиц, 13 рисунков и список литературных источников из 189 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность работы, излагается краткое содержание каждой главы диссертационной работы.

В первой главе приведено детальное обоснование возможности матема тического моделирования инновационных процессов на основе теории автономных динамических систем. Показано, что при таком рассмотрении большое значение имеют аналогии с уравнениями популяционной динамики и биофизико-химической кинетики, основу которых заложили Ферхульст, Вольтерра, Лотка и другие учные. Рассмотрена также роль современного синергетического подхода, заложенного работами Хакена, Пригожина и других при математическом моделировании таких систем, где, помимо теории динамических систем, используются идеи неравновесной термодинамики.

Анализ литературных источников позволил идентифицировать пять постсоветских научных школ и два кластера научных публикаций в области математического моделирования инновационных процессов на основе теории динамических систем и синергетического подхода.

Показано, что все они, в той или иной степени, соприкасаются с моделированием инновационных систем. Наибольший акцент на такое моделирование делается представителями научной школы В.П. Милованова по синергетическому моделированию неравновесных систем, московской научной школы нелинейной динамики при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша, а также в работах, входящих в екатеринбургский кластер научных публикаций по синергетическому моделированию этих систем. Также показана специфика российских диссертационных исследований при моделировании инновационных процессов в научно-образовательных областях, которая далека ещ от использования аппарата теории динамических систем и идей из области синергетики.

Ограниченность классического подхода в моделировании инновационных процессов в этих областях науки связана с невозможностью делать долгосрочные прогнозы и проигрывать различные сценарии поведения. Поэтому в последние годы среди учных, изучающих долгосрочные тенденции в развитии инновационных систем, вс большую поддержку находит идея о необходимости разработки более совершенных методов их изучения, основанных на методах теории автономных динамических систем и принципах синергетики. Причм, возникающие отсюда математические модели во многом аналогичны тем, которые уже получили широкое распространение в естественных и физико математических науках. Комплекс этих методов в настоящее время рассматривается в рамках эволюционного (синергетического) подхода, в отличие от классического подхода.

В рамках этого подхода рассмотрены базовые модели инновационных процессов в таких системах, известные из литературы: макромодели развития, модели среднего уровня, микромодели развития, некоторые из которых нашли дальнейшее развитие в нашем исследовании.

Во второй главе построен комплекс математических нелинейных моделей динамики инноваций в рамках линейной (рис. 1) и нелинейной (рис. 2) концепции инноваций, записанных в терминах уравнений популяционной динамики.

Рис. 1. Схема линейной концепции инноваций, ФИ – фундаментальные исследования, ПИ – прикладные исследования, ОКР – опытно-конструкторские работы, И – инновации Рис. 2. Схема нелинейной концепции инноваций Ими моделировались процессы кооперационного взаимодействия в инновационной системе: фундаментальные исследования – прикладные исследования – опытно-конструкторские работы – инновации. В рамках линейной концепции инноваций при попарных взаимодействиях на вышеуказанных этапах инновационного процесса были получены два типа динамических систем четвертого порядка: 1) развитие на каждом этапе инновационного процесса зависит только от развития на предыдущем этапе; 2) учитываются все смежные попарные кооперационные взаимодействия между этапами инновационного процесса. Процесс саморазвития на каждом этапе описывается стандартными логистическими членами. Для первого типа динамических систем была получена система обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка в виде (1) dx 1x1 1x dt dx 2x2 2x2 x1x dt , (1) dx 3x3 3x3 x2x dt dx 4x4 4x4 x3x dt i j 0 – количество НИОКР разных видов согласно где i 0, i 0,, xi ji схеме на рис. 1.

Для обоих типов динамических систем в явном виде были получены 16 особых точек динамических систем четвертого порядка (нулевая особая точка, четыре особые точки с тремя нулевыми координатами, шесть особых точек с двумя нулевыми координатами, четыре особые точки с одной нулевой координатой, нетривиальная особая точка со всеми ненулевыми координатами). Для первого типа динамических систем координаты всех особых точек были положительными, для второго – возникали особые точки с отрицательными координатами. Линейный анализ устойчивости этих особых точек для обоих типов динамических систем, показал, что нулевая особая точка является неустойчивым узлом, а все остальные 14 особых точек с наличием, по крайней мере, одной нулевой координаты, являются седловыми. Особая точка называется устойчивой, если существуют замкнутые интегральные кривые произвольно малого диаметра, окружающие особую точку, во всех остальных случаях особая точка называется неустойчивой (В.В. Немыцкий, В.В. Степанов). Показано, что нетривиальная особая точка со всеми ненулевыми координатами динамической системы (1) всегда является устойчивым узлом.

Подразумевая под фазовыми переменными динамической системы (1) количество фундаментальных исследований, прикладных исследований, опытноконструкторских работ и инноваций, при достаточно разумных предположениях, когда коэффициент межсекторальной кооперации не меньше соответствующего коэффициента внутрисекторальной конкуренции и при условии наличия по крайней мере одной фундаментальной разработки в стационарном случае x1* 1, получено последовательное возрастающее количество научно технических разработок разного уровня – от фундаментальных исследований до инноваций x4* x3* x2* x1*.

При наличии, как попарных, так и тройственных кооперационных взаимодействий, в рамках линейной концепции инноваций, была получена динамическая система четвертого порядка с кубическими нелинейностями. В целом, количество, структура и устойчивость особых точек этой динамической системы близка к таковым для динамической системы (1), но их полное аналитическое представление является очень громоздким и практически невыполнимым.

Построена и исследована трхмерная модель взаимодействия результатов НИОКР разных видов, причм в отличие от предыдущих моделей введены постоянные коэффициенты, отвечающие за устаревание результатов НИОКР. Эта модель записана в терминах уравнений популяционной динамики и линейной концепции инноваций:

dx f1(y) x k1x 1x dt dy f2(x)y k2 y 2 y2, (2) dt dz f3(y) z k3 z 3 z dt где x – количество опубликованных фундаментальных статей, y – количество опубликованных прикладных статей, z – количество выданных патентов на изобретения, ki – коэффициент устаревания результатов НИОКР разного вида, i – коэффициенты внутривидовой конкуренции результатов НИОКР разного вида, fi – переменные коэффициенты роста в члене, отвечающие за генерирование результатов НИОКР разного вида.

Предполагается, что в рассматриваемой научно-исследовательской системе ведутся НИОКР естественнонаучного и технического характера, результаты которых хорошо описываются последовательной цепочкой: фундаментальные статьи – прикладные статьи – патенты на изобретения.

Первый коэффициент роста f1( y) говорит о том, что скорость генерирования фундаментальных статей зависит от количества прикладных статей. Действительно, при проведении фундаментальных исследований и написании соответствующих статей исследователи учитывают наработанное прикладное знание и ссылаются в своих работах на прикладные статьи. Например, ученый на основе ранее написанных фундаментальных статей (им и другими учеными) встречает прикладную статью (или серию таких статей) и на основе всех этих работ готовит и публикует серию новых фундаментальных статей. Здесь прикладное знание обогащает фундаментальное. То же самое отражается во втором уравнении динамической системы, когда, наоборот, фундаментальное знание обогащает прикладное. Вс это выражается тем, что в фундаментальных статьях имеются ссылки на прикладные работы, а в прикладных – на фундаментальные статьи.

Положим также, что наличие патентов на изобретения не влияет на рост прикладных статей. Действительно, в прикладных статьях немного ссылок на патенты. Если в некоторых областях исследований это не так, то следует ввести функцию f2( y). При написании третьего уравнении было учтено, что на генерирование патентов на изобретения влияет исключительно прикладное знание.

Действительно, в описаниях патентов на изобретения практически нет ссылок на фундаментальные статьи. В простейшем случае, как это делается, например, в уравнениях популяционной динамики, естественно задать линейный вид функции fi(u) ai biu, где u зависит от переменных x, y, z. В этом случае для системы уравнений (2) получены 8 особых точек, первые 7 из которых с наличием нулевых координат были неустойчивыми. Для восьмой нетривиальной особой точки получены условия для ее устойчивости.

Учитывая, что при нормальном процессе генерирования результатов разных видов НИОКР имеет место неравенство ai ki 0, то из выражений для нетривиальной собой точки следует, что выполняется 1 2 b1 b2 0 (условие положительности ее координат). Из этих выражений в зависимости от соотношений параметров модели можно получать различные соотношения для е координат. Например, из условий 2 b2, b1 1 следует неравенство x* y* (т.е. в стационарном случае количество фундаментальных статей превышает количество прикладных статей).

Учитывая, что z* b3 / 3 y* (a3 k3) / 3, то из неравенства b3 3 сразу же получим x* y*. Ясно, что с некоторого критического значения b3, зависящего от отношения (a3 k3) / 3 и удовлетворяющего неравенству b3 3, будет выполняться противоположное неравенство x* y* (количество прикладных статей превышает количество патентов на изобретения). Решения рассматриваемой динамической системы для устойчивой нетривиальной точки ведут себя по типу логистической кривой (рис. 3) В работе рассмотрен ряд математических нелинейных моделей в рамках нелинейной концепции инноваций, но для простоты дальнейшего анализа рассматривались трехмерные аналоги динамических систем четвертого порядка. В частности, исследована модель генерирования знаний в системе: наука – промышленность – правительство (при развитии двусторонних попарных и трехсторонних связей) и модель генерирования знаний в системе: исследования (наука) – образование – инновации (при абстрагировании от двусторонних попарных связей и учете тройственных кооперационных связей).

В первом случае в явном виде получены координаты всех 8 особых точек, первые семь из которых были неустойчивыми. В одном частном случае получены условия на положительность и устойчивость нетривиальной особой точки без учета трехсторонних кооперационных связей.

Во втором случае выполнено детальное качественное и численное исследование модели, которое в одном частном случае позволило наиболее полно изучить характер поведения решения в окрестности нетривиальной особой точки, а также получить асимптотическое аналитическое решение.

Рис. 3. Результаты численных расчетов решений x(t), y(t), z(t) системы уравнений (2) для линейных функций fi (u) ai biu с параметрами: 1 0,2 ; 0,2 ; 3 0,2 ; b1 0,0008;

b2 0,001; b3 0,0006 ; k1 0,1; k2 0,1; k3 0,1; 1 0,0007 ; 2 0,002 ; 3 0,0005;

x(0)=0.001; y(0)=0.001; z(0)=0.001; x* 476 ; y* 283; z* 5В этой же главе для одной частной нелинейной динамической системы второго порядка была применена более сложная математическая техника, связанная с введением малого параметра и использованием методов нормальных форм и центрального многообразия, что позволило доказать наличие бифуркации в этой системе.

В третьей главе развиты трхмерные математические модели подготовки научных кадров, конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов и взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг.

Первая модель в терминах уравнений автономной динамики представлена в виде dx 1x 1x y 1xz 1x dt dy 2 y y 1x y 1xz 2 yz 2 y2, (3) dt dz 3 z 2 yz y 3 z dt Модель описывает процессы воспроизводства научных кадров, их безвозвратного выбытия, а также переходы из одной категории в другую. В ней введены следующие обозначения:

1x – воспроизводство научных кадров без учной степени (разность между их подготовкой и выбытием, что не связано с переходом в категорию кандидатов наук в единицу времени);

1xy – интенсивность подготовки кандидатов наук из числа неостепененных научных кадров ( x ) кандидатами наук ( y );

xz – интенсивность подготовки кандидатов наук из числа неостепененных научных кадров ( x ) докторами наук ( z );

y – интенсивность выбытия кандидатов наук из научных кадров без перехода в категорию докторов наук (выбытие за счт смертности, интеллектуальной миграции, перехода в другую сферу деятельности);

2 y – интенсивность самоподготовки кандидатов наук до уровня докторов наук;

2 yz – интенсивность подготовки докторов наук из числа кандидатов наук ( y ) докторами наук ( z );

z – интенсивность выбытия докторов наук из научных кадров;

1x2, y2, z2 – члены, описывающие внутригрупповую конкуренцию 2 в своих категориях (члены, отвечающие за самоограничение роста);

1,2,3,1,2,1,2,1,2,3 – положительные параметры модели.

Для случая, когда 2 0 (что соответствует современной практике, когда докторов наук готовят исключительно с участием научных консультантов, являющихся докторами наук) и 0, (i 1,2,3) (т.е. отсутствие внутригруппоi вой конкуренции), исследуются на устойчивость следующие особые точки этой модели:

1) x* y* z* 0 ; 2) x* 1, y* 1 1, z* 0 ;

3) x* 3 (12 31 21) 121, y* 3 2, z* (12 31) 21.

С учетом условий Рауса-Гурвица (первые три неравенства в формуле (4)) и неравенств x* y* z* (последние два неравенства в формуле (4)) получены компактные ограничения на устойчивость нетривиальной особой точки:

12 1 ( 1) (11 1 1) 1 11 1 2 3 3 2 . (4) ( 1 1 ) 1 (1 1) 1 2 2 2 2 31 1 11 1 31 1 2 31 Численные эксперименты, проведнные с моделью (3), показали на соблюдение полученных нами конкретных критериев Рауса – Гурвица (рис. 4).

Рис. 4. Результаты численных расчетов решений x(t), y(t), z(t) системы уравнений (3) с параметрами: 1 0,4 ; 2 0,24 ; 3 0,13; 1 0,01; 2 0,006 ; 1 0,0025 ; 2 0,02;

1 0,0047 ; 0,004 ; 0,004 ; x(0)=0.1; y(0)=0.1; z(0)=0.1; x* 35,9; y* 20,75;

2 z* 9,52.

В развитие модели конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, предложенной ранее Л.А. Серковым, в работе получена следующая модифицированная модель:

dx 1x 1x2 1x y 1xz dt dy 2 y 2 y2 x y 2 yz (5) dt dz 3 z 3 z2 1xz 2 yz dt x где – количество студентов в первом вузе, y – количество студентов во втором вузе, z – количество абитуриентов, желающих поступать в эти два вуза, i 0 – коэффициенты роста, i 0 – коэффициенты внутриконтингентной (внутривузовской) конкуренции, i 0 – коэффициенты межконтингентной (межвузовской) конкуренции, i 0 – коэффициенты студенческой (вузовской) i 1,2,абитуриентской кооперации, ( ).

Получены в явном виде координаты всех восьми особых точек, первые четыре из которых оказались неустойчивыми. Для восьмой нетривиальной особой точки при i , i , i , i с помощью достаточно громоздких условий Рауса-Гурвица получена область изменения параметров модели, в ко торой эта особая точка является устойчивым узлом или устойчивым фокусом:

2 2 2 / ( )/ 1 B / A , (6) 2 2 где 2 2 2 2 , B z* .

A x* 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Таким образом, качественный анализ динамической системы (5) показывает, что существуют 1) два режима ее поведения с полным подавлением одного вуза другим при полном исчерпании стационарного резерва абитуриентов (две особые точки); 2) два аналогичных режима при наличии стационарного резерва абитуриентов (две особые точки); 3) два режима взаимного сосуществования вузов при наличии (одна особая точка) и исчерпании (еще одна особая точка) стационарного резерва абитуриентов и 4) два неустойчивых режима поведения образовательной системы (две особые точки). При этом следует отметить, что при наличии стационарного резерва абитуриентов возможны ситуации, когда третья координата особой точки равняется нулю, z* 0 (исчерпание стационарного резерва абитуриентов). Примеры численных расчетов решений в математической модели (5) приведены на рис. 5.

Численные эксперименты показывают, что в этих двух а) и б) случаях поведение системы происходит по типу устойчивого фокуса, и оно соответствует ограничениям (6).

Динамическая система (5) может быть легко распространена на n1мерный случай ( n вузов, конкурирующих за ограниченный контингент абитуриентов). Общее количество особых точек с различными сочетаниями нулевых и ненулевых координат равняется 2n 1. По аналогии с анализом трехмерной динамической системы здесь имеют место различные режимы подавления одних вузов другими, и могут возникать различные коалиции вузов, которые со временем подавляют другие. Допустим, на рынке образовательных услуг конкурируют между собой пять однопрофильных вузов, тогда, например, коалицией из трех вузов можно будет создать в количестве трех сочетаний из пяти.

а) б) Рис. 5. Результаты численных расчетов решений x(t), y(t), z(t) системы уравнений (5):

а) с параметрами: 1 0,2 ; 4,0 ; 3 8,0 ; 1 4,0 ; 2 2,1; 3 0,4 ; 1 2,1;

2 0,2 ; 1 4,0; 0,2; x(0)=0.1; y(0)=0.1; z(0)=0.1; координаты нетривиальной особой точки: x* 1,64; y* 2,0; z* 2,64; б) с параметрами: 1 4,0 ; 4,0 ; 3 2,1;

1 0,2 ; 2 4,0 ; 3 0,06; 1 5,9 ; 2 0,2 ; 1 1,0 ; 0,2; x(0)=0.1; y(0)=0.1;

z(0)=0.1; координаты нетривиальной особой точки: x* 1,74; y* 1,04; z* 2,Третья модель – взаимодействие спроса и предложения на рынке образовательных услуг, предложенная первоначально Л.А. Серковым, была модифицирована нами путем введения в третье уравнение динамической системы логистического члена и записана в виде:

dD a1D a2 S dt dS b1S b2DU. (7) dt dU U U c2S D dt В этой системе уравнений: D – объем спроса со стороны внешних потребителей, S – объм продукта образовательной системы, U – некоторый управляющий параметр.

Е особые точки запишем в виде:

1) D*, S*, U* 0, 0, 0 ; 2) D*, S*,U* 0, 0, / ;

b1 a1 b1 3) D*, S*,U* Uc , Uc , Uc, b2c2 a2 b2c2 где Uc a1b1 / a2b2, / Uc.

Первая особая точка оказалась неустойчивым узлом, вторая при условии Uc – устойчивым узлом или неустойчивым фокусом, а при условии Uc – седловой точкой. Для третьей особой точки с учетом условий Рауса-Гурвица получены следующие условия на ее устойчивость:

2a1b1 Uc 2a1 3b1 a1 2b1 a1 b1 2Uc a1 b1 2Uc 2a1b1 Uc 2a1 3b1 a1 2b1 2a1b1 Uc (8) Численные эксперименты по модели (7) приведены на рис. 6, которые подтвердили результаты ее теоретического анализа.

а) б) в) г) ( Рис. 6. Результаты численных расчетов решений Dt), S(t), U (t) системы уравнений (7):

а) с параметрами: a1 4; a2 2 ; b1 4,4 ; b2 0,03; c2 0,002 ; 3; 0,006 ;

координаты особой точки: D* 301,57 ; S* 602,95 ; U* 293,16 ;

б) с параметрами: a1 4; a2 2 ; b1 6,5 ; b2 0,03; c2 0,001; 2, 4 ; 0,005 ;

координаты особой точки: D* 224,85; S* 449,69; U* 433,33;

в) с параметрами: a1 4; a2 2 ; b1 6,5 ; b2 0,03; c2 0,001; 2, 4 ; 0,004 ;

координаты особой точки: D* 380,06; S* 760,12; U* 433,33;

г) с параметрами: a1 4; a2 2 ; b1 6,5 ; b2 0,03; c2 0,001; 2,0 ; 0,004 ;

координаты особой точки: D* 240,37 ; S* 480,74; U* 433,33;

для всех вариантов: D(0)=0.1; S(0)=0.1; U(0)=0.1.

Рис. 6 а) и 6 в) соответствуют возникновению устойчивого фокуса, а остальные два – возникновению устойчивого узла. Для фазовой переменной U характерны скачки с одного стационарного уровня на другой.

В этой главе диссертационной работы показано, что количество особых точек n -мерной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра при положительности их коэффициентов в общем стационарном случае равно 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биномиальными коэффициентами.

В заключительном параграфе третьей главы представлены разработанные алгоритмы для интегрирования систем дифференциальных уравнений в среде программирования Python, на основе которых проводились численные расчеты исследуемых математических моделей.

В Заключении изложены основные полученные результаты.

В Приложение приведены тексты двух программ для ЭВМ на Python для численного расчета и анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, которые описывают исследуемые инновационные процессы.

Основные результаты работы 1. На основе систем уравнений автономных динамических систем предложен метод математического моделирования инновационных процессов.

2. В рамках линейной и нелинейной концепции инноваций построен и исследован ряд динамических систем 4-го порядка. В частности, показано, что в случае, когда коэффициент кооперации не меньше соответствующего коэффициента конкуренции, то количество научно-технических разработок растет от фундаментальных исследований до инноваций.

3. Разработаны трехмерная модель взаимодействия результатов НИОКР (фундаментальных статьей, прикладных статьей, патентов на изобретения) и модель подготовки научных кадров, качественными и численными методами выполнено их исследование.

4. В рамках нелинейной концепции инноваций и динамических систем 4-го порядка предложены две трехмерные модели: 1) модель генерирования знаний в системе: наука-промышленность-правительство и 2) модель генерирования знаний в системе: наука – образование – инновации. Проведено качественное и численное исследование методом математического моделирования инновационных процессов на основе теории автономных динамических систем.

5. Модифицирована трехмерная модель подготовки научных кадров без степени, кандидатов и докторов наук. Качественными и численными методами выполнено ее исследование, в частности, получены компактные ограничения на параметры модели, которые приводят к устойчивости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Модифицирована и детально исследована трехмерная модель конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов. Получены все режимы взаимного подавления одного вуза другим и взаимного их сосуществования.

7. Развита трехмерная модель взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг за счет введения в третье уравнение этой модели логистического члена. Найдены и качественно исследованы особые точки этой модели. С помощью численных экспериментов показано наличие резких переходов с одного стационарного уровня на другой для третьей фазовой переменной.

8. В среде прикладных пакетов программ на Python разработаны алгоритмы и программы для нахождения и анализа особых точек автономных динамических систем с численным вычислением их решений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

Статьи в журналахиз перечня ВАК РФ 1. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Математическая модель “треугольника знаний”. // Нелинейный мир. – М., 2010. №1. – С.29– 35.

2. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков Н.А. Математическая модель взаимодействия результатов различных видов НИОКР. // Научнотехническая информация, Сер. 2. Информационные процессы и системы. 2011.

№ 2. – С.13-17.

3. Билаль Н.Е. Сулейман. Математическая модель подготовки и динамики научных кадров // Вестник ТвГУ. Серия Прикладная математика. Выпуск (24), 2012. С.155-163.

Статьи в других рецензируемых изданиях 4. В.М. Московкин, Билаль Н.Е. Сулейман, А. Емельянова. Математическое моделирование формирования иностранных студенческо-аспирантских контингентов и доходов от их подготовки для постсоветских условий. // Новий Колегіум. – Харкiв, 2010. № 1-2. – С.36-43.

5. В.М. Московкин, Билаль Н. Е. Сулейман, Н.Д. Кондратенко. Математическое моделирование инновационных и научно-образовательных систем уравнениями популяционной динамики. // Исследовано в России : электрон. многопредмет. науч. журн. / Моск. физико-техн. ин-т. 2010. Т. 13. – С.724-761.

6. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Моделирование формирования вузовских контингентов на основе уравнений популяционной динамики.

//Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований.

2011. №3. – C.51-61.

7. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Математическое моделирование спроса и предложения на рынке образовательных услуг. // Современные наукомкие технологии. 2011. №1. – C.34-41.

8. V.M. Moskovkin, Bilal N.E. Suleiman, N.A. Golikov. A Mathematical Model of Interaction of the Results of Different R&D Types. // Automatic Documentation and Mathematical Linguistics. 2011. Vol. 45, № 1. – P.33-38.

9. Билаль Н.Е. Сулейман. Математическое моделирование подготовки и динамики научных кадров. // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. №11. 2011. – С. 57-59.

Статьи в материалах и сборниках трудов научных конференций 10. В.М. Московкин, Билаль Н.Е. Сулейман, С. Е. Савотченко. Математическое моделирование процессов в «треугольнике знаний» // Информационные технологии в науке, экономике и образовании: материалы всерос. науч. конф., 16-17 апр. 2009 г. : в 2 ч. / Бийск. технолог. ин-т (фил.) Алтай. гос. техн. ун-та им. И. И. Ползунова и др. под ред. О.Б. Кудряшовой. – Бийск, 2009. Ч. 2. С.33.

11. V.M. Moskovkin, Bilal N.E. Suleiman. Theorem about the number and structure of singular points in n-dimensional dynamical system of Lotka-Volterra population dynamics, 3rd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics, August 29-September2, 2011, Kharkov. – p. 228.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ 12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613707 «Построение в численном виде решения параметризованной системы обыкновенных дифференциальных уравнений », Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков Н.А. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 13 мая 2011 г.

13. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012610002 «Вычисление и исследование нетривиальной особой точки параметризованной системы обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида », Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков Н.А. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 10 января 2012 г.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.