WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Приступа Марина Юрьевна

СИНТЕЗ ПРОГНОЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ В ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ, ОГРАНИЧЕНИЙ И ЗАПАЗДЫВАНИЙ

05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях автоматики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск – 2012

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре прикладной математики

Научный консультант:

Смагин Валерий Иванович, доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Перепелкин Евгений Александрович, доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова», профессор кафедры прикладной математики Воробейчиков Сергей Эрикович, доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», профессор кафедры высшей математики и математического моделирования

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Защита диссертации состоится 31 октября 2012 года в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, II уч. корпус, ауд. 212б.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 28 сентября 2012 г.

Ученый секретарь Тарасенко диссертационного совета Петр Феликсович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В последние годы в практике применения теории управления проявляется все больший интерес к методам автоматического управления многомерными процессами, позволяющим учитывать ограничения и запаздывания, присутствующие в модели, а также неопределенности при определении параметров модели. Одним из наиболее перспективных методов, получивших признание и широкое применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующими моделями – Model Predictive Control (MPC). Основным достоинством данного метода, определяющим его успешное использование в практике систем управления, является относительная простота схемы формирования обратной связи и возможность учитывать прогнозируемую информацию, что позволяет управлять многомерными и многосвязными объектами со сложной структурой, проводить оптимизацию процессов в режиме реального времени с учетом ограничений и неопределенности в задании модели объектов и возмущений.

Начало исследований прогнозирующего управления положено А. И. Пропоем, который в 1963 году предложил принцип убывающего горизонта в контексте «разомкнутой оптимальной обратной связи», что стало одной из главных идей управления с прогнозирующими моделями. Идею синтеза прогнозирующего управления также использовал в своих работах А. А. Красовский при разработке универсальных алгоритмов оптимального управления по критерию обобщенной работы. С конца 70-х годов прошлого века начали появляться работы, отражающие интерес к применению управления на основе прогнозирующих моделей в промышленности.

J. Richalet, A. Rault, J. L. Testud, J. Papon предложили «эвристическое управление с прогнозирующими моделями» (1978), которое позже стало известно, как алгоритмическое управление моделями. В 1979 году C. R. Cutler, B. L. Ramaker рассмотрели метод динамического управления многомерными процессами. Формулировки, которые предложили ученые, были эвристическо-алгоритмическими и использовали возросший в то время вычислительный потенциал компьютеров.

В 90-х годах появился ряд работ, посвященных новым методам прогнозирующего управления. Независимо появились метод прогнозирующего управления с убывающим горизонтом при наличии ограничений (D. W. Clarke, R. Scattolini) и метод стабилизационного управления системой со многими входами-выходами с убывающим горизонтом (L. Chisci и E. Mosca).

В настоящее время управление на основе прогнозирующих моделей продолжает находиться на стадии интенсивного развития, о чем свидетельствует обширная библиография опубликованных за последние годы научных работ, посвященных данной проблеме. Развитие идей прогнозирующего управления происходит в направлении использования нелинейных моделей, придания робастных свойств замкнутой системе управления, применения современных оптимизационных методов в режиме реального времени, рассмотрения систем при наличии разного рода возмущений, ограничений на объект и другие.

Однако не в полной мере рассмотрена задача синтеза прогнозирующего управления выходом объекта при наличии запаздываний и неопределенностей в описании модели объекта, а также при косвенных измерениях вектора состояния.

Объект исследования. Управляемые стохастические дискретные нестационарные динамические системы с возмущениями, функционирующие в условиях неполной информации о состоянии, параметрах, при неизвестном входе и с учетом возможных запаздываний в управлении и состоянии.

Предмет исследования. Алгоритмы слежения выходом системы за заданной траекторией, построенные на основе прогнозирующего управления.

Цель диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов синтеза управления выходом дискретными линейными системами, функционирующих в условиях ограничений на основе прогнозирующих моделей; решение задачи прогнозирующего управления при наличии возмущений в системе, запаздываний по состоянию и управлению, а также решение задачи синтеза прогнозирующего управления в условиях неполной информации об объекте и векторе состояния.

Для заданной цели поставлены и решены следующие основные задачи исследования:

1. Разработать алгоритм синтеза прогнозирующего управления выходом дискретного нестационарного объекта с аддитивными возмущениями при косвенных наблюдениях в условиях ограничений на управляющие воздействия и состояние.

2. Синтезировать прогнозирующее управление объектом при наличии запаздываний по управлению и состоянию без расширения пространства состояний.

3. Решить задачу синтеза прогнозирующего управления дискретной системой при наличии неизвестного входного сигнала.

4. Разработать алгоритм управления дискретной системой с неопределенными параметрами с использованием прогнозирующей модели.

5. Выполнить апробацию алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей были использованы аппарат теории управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов моделирования проведены с помощью системы MATLAB.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.

Найдены законы управления дискретными нестационарными объектами на основе использования прогнозирующих моделей, обеспечивающие отслеживание выходом объекта заданной траектории в условиях неполной информации о состоянии, возмущений, параметров модели и с учетом ограничений и запаздываний по управлению и состоянию. Задачи управления для объектов с запаздываниями решены без расширения пространства состояния.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в развитии теории прогнозирующего управления выходом дискретных линейных систем при ограничениях на управляющие воздействия и состояние с запаздываниями без расширения пространства состояний, а также развитие прогнозирующего управле ния для решения задач управления дискретными системами при наличии неопределенности в задании параметров модели.

Практическая ценность работы определяется тем, что разработанные и апробированные в рамках диссертационной работы методы и алгоритмы могут применяться в различных предметных областях, в которых модели управляемых объектов могут содержать запаздывания, ограничения, неизвестные возмущения и параметры, в частности, в производственных, технических и экономических системах (например, при решении задач производственно-складского типа).

Результаты исследований используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается тем, что математические выкладки проведены на строгом математическом уровне с использованием аппарата линейной алгебры, теории управления и теории вероятностей и математической статистики, а также результатами численных расчетов.

Личное участие автора заключается в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка указанных задач сделана научным руководителем, д.т.н., профессором В. И. Смагиным. Основные теоретические результаты, а также результаты численного моделирования, представленные в диссертации, получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 152 страницы, в том числе 45 рисунков, 2 таблицы; список литературы насчитывает 121 наименование.

На защиту выносятся:

1. Решение задачи синтеза прогнозирующего управления выходом дискретного нестационарного объекта со случайными возмущениями в условиях косвенных наблюдений за состоянием при ограничениях на управление и состояние объекта.

2. Алгоритмы прогнозирующего управления выходом объекта для дискретных систем с запаздыванием по управлению и состоянию, не использующие расширение пространства состояний.

3. Алгоритмы прогнозирующего управления выходом объекта для дискретных систем с неизвестным входом.

4. Алгоритмы прогнозирующего управления выходом дискретного объекта в условиях неполной информации о параметрах модели.

5. Решение задач управления производством и поставками с использованием методов, разработанных в диссертации.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

– XII и XIII Международная научно-техническая конференция «Измерение, контроль, информатизация» – «ИКИ–2011», «ИКИ–2012» (Барнаул, 2011, 2012);

– VIII, IX и X Всероссийские научно-практические конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» – «ИТММ–2009», «ИТММ– 2010», «ИТММ–2011» (Анжеро-Судженск, 2009, 2010, 2011);

– VII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных систем» (Томск, 2010);

– ХVI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи» (Анжеро-Судженск, 2012);

– Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР – 2009» (Томск, 2009).

Публикации. По результатам проведенных в рамках диссертации исследований опубликовано 12 работ, из них работы [1–3] опубликованы в журналах из перечня ВАК.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, сформулирована цель исследования, обоснована актуальность темы диссертации, представлены научная новизна, теоретическое значение и практическая ценность исследования, изложены основные задачи и научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации представлен алгоритм синтеза прогнозирующего управления, разработанный для дискретной нестационарной системы в условиях косвенных наблюдений за состоянием с учетом ограничений на состояние и управление.

В разделе 1.1 дана общая постановки задачи, в рамках которой определены модель, все входящие параметры и ограничения, наложенные на объект.

Модели нестационарного объекта, канала наблюдений и управляемого выхода описываются следующими соотношениями:

xt+1 = At xt + Btut + wt, t = Ht xt + vt, yt = Gt xt, xt|t=0 = x0, (1) где xt Rn - состояние объекта, ut Rm - управляющее воздействие, t Rl - p наблюдения, выход системы контроля, yt R - управляемый выход. Случайные возмущения wt и шумы измерения vt не коррелированны между собой и подчиняются гауссовскому распределению со следующими характеристиками:

M{wt} = 0, M{vt} = 0, M{wtwk } =Wtt,k, M{vtvk } =Vtt,k, M{wtvk } = 0. (2) Вектор начальных условий x0 является случайным, некоррелированным с величинами wt и vt и определяется характеристиками:

{x0} = x0, {(x0 - x0 )(x0 - x0 )} = Px0. (3) Ограничения представляются в виде неравенств вида:

a1(t) S1xt a2 (t), 1(xt,t) S2ut 2 (xt,t), (4) где S1 и S2 – структурные матрицы полного ранга, состоящие из нулей и единиц, определяющие компоненты векторов xt и ut, на которые накладываются ограничения; a1(t), a2 (t), 1(xt,t), 2 (xt,t) – заданные векторы и вектор-функции соответствующих размерностей. В большинстве работ по синтезу прогнозирующего управления нижние и верхние границы ограничений на управление, как правило, задаются функциями, зависящими только от времени. В настоящей работе такое ограничение снято, и приведены примеры, в которых задача решается для ограничений, в которых верхняя и нижняя границы зависят от компонент вектора состояния. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям t определить стратегию управления, при которой вектор выхода системы yt будет близок к заданному вектору yt.

С помощью экстраполятора Калмана осуществляется прогнозирование поведения объекта и управляемого выхода (раздел 1.2) на основе оценок вектора состоя ния ( xt+1|t ) и выхода ( t+1|t ) объекта, построенных с применением калмановской фильтрации:

i-1 i-1 k- xt+i|t = At+i-k xt+1|t + At+i-l Bt+i-kut+i-k|t, (5) k=1 k=1 l=1 i-1 i-1 k- t+i|t = Gt+i At+i-k xt+1|t + At+i-l Bt+i-kut+i-k|t, i = 2, N, (6) Gt+i k=1 k=1 l=1 где xt+i|t, t+i|t - оценки состояния и вектора выхода в момент времени t + i, дающие информацию с момента времени t, ut+i|t – управление, используемое с целью прогнозирования, N – горизонт прогнозирования. Для прогнозирующей модели преобразовываются соответственно ограничения на управление и состояние.

На основе прогнозирующей модели осуществляется синтез управления (раздел 1.3) исходя из минимизации квадратичного критерия вида:

N M 2 1 J (xt+1|t,ut|t ) = t+k|t - yt+k Ct + ut+k|t - ut+k-1|t Dt, (7) 2 k=1 k=где Ct и Dt – симметричные положительно определенные матрицы, M – горизонт управления.

Оптимальное решение поставленной задачи находится путем аналитического преобразования прогнозирующей модели, ограничений и критерия в векторноматричный вид, что позволяет учитывать ограничения при определении оптимального управления с помощью функции quadprog системы MATLAB.

Прогнозирующая модель (5)–(6) в векторно-матричной форме имеет вид:

Xt = t xt+1|t + tUt, t = t xt+1|t +tUt, (8) где под Xt, t, Ut, t, t понимаются следующие векторы и матрицы:

X =[xt L xt ], t =[t L t ], Ut = [ut L ut ], t +1 +N +1 +N +1|t +N|t En Gt+ At+1 Gt+2 At+1 At+2 At+1 t = Gt+3 At+2 At+1 t =,. (9) M N -1 M N - G At+N At+N -k t+N -k k=1 k =1 При M < N блочные матрицы t и t в (8) вводятся следующим образом:

0 0 L Bt+1 0 L At+2Bt+1 Bt+2 L L L L O M -1 M - At+M Bt+M Bt+1 At+M -k +1 Bt+2 L k =1 -k +1 t =, k =1 M M - At+M At+M +1Bt+M Bt+1 At+M -k +1 Bt+2 L k =1 -k +2 k =1 L L L L p N -2 N -3 N -M - At+N Bt+1 At+N -k Bt+2 L At+N Bt+M -k -k k =1 k =1 p k = 0 0 L Gt+2Bt+1 0 L Gt +3 At+2Bt+1 Gt+3Bt +2 L L L L O G M -1At+M Gt+M M -2At L .

Gt+M +1Bt+M t+M +1 -k +1 +M -k Bt+1 Bt+ t = k =1 k =1 G M At+M Gt+M M -1At L Gt+M At+M Bt+M t+M +2 -k +2 +M -k +2 + Bt+1 Bt+ k =1 k =1 L L L L p N -2 N -3 N -M - Gt+N At +N -k Bt+1 Gt+N At+N -k Bt+2 L Gt+N At+N Bt+M -k k =1 k =1 p=1 k= В диссертации также представлен вид матриц t и t в случае равенства горизонта прогнозирования и горизонта управления.

Ограничения (4) для прогнозирующей модели в векторно-матричной форме имеют вид:

a1(t) S1Xt a2 (t), 1(Xt,t) S2Ut 2 (Xt,t), (10) где ak (t) =[ak (t +1) L ak (t + N)], k (X,t) =[ (t +1) L (t + M )], k = 1,2, t k k S1 = diag(S4241), S2 = diag(S42,3). (11) S S 1 1,K,3 1,KN M Так как синтезированное управление обеспечивает выполнение ограничений для оцениваемых переменных, а не для истинных значений вектора состояний, которые являются неизвестными, в некоторые моменты времени ограничения на состояние могут быть нарушены. Степень нарушения ограничений зависит от величины ошибки оценивания состояния. Если среднеквадратические ошибки модели экстраполяции малы, то этим фактом при моделировании можно пренебречь и отнести к погрешностям расчетов. В случаях, когда пренебрежение нежелательно, в диссертации предложено выполнить корректировку ограничений, используя доверительные интервалы. При нарушении ограничений на управление, зависящего от состояния, предлагается использовать метод проецирования (усечения).

Для преобразования целевой функции (7) в векторно-матричный вид вводятся следующие блочные матрицы и векторы:

Dtut xt+1|t Ft = t Ctt + Dt, ft = t -, t =[t Ctt - t Ct], Yt M Yt =[yt L yt ], Ct = diag(C42,Ct, (12) +1 +N t 1,K3) N Dt – блочная трехдиагональная матрица с элементами - Dt на побочной диагонали и 2Dt – на основной.

Тогда критерий качества (7) в векторно-матричной записи имеет вид:

J (xt+1|t,Ut ) = UtFtUt + Ut ft + t, (13) где t – постоянная, не зависящая от управляющих воздействий и оценок вектора состояния.

Таким образом, поиск оптимальных управляющих воздействий сводится к решению задачи квадратичного программирования.

В разделе 1.4 приведены результаты синтеза прогнозирующего управления для объектов с постоянными параметрами.

Разработанные алгоритмы реализованы на примерах прикладных задач, результаты которых приведены в разделе 1.5. Также показано, как модели прикладных задач могут быть сведены к общей модели и как может быть осуществлен синтез прогнозирующего управления. На примере задачи управления производством, хранением и поставками товара потребителям показана возможность учета ограничений на переменные управления и состояния. На примере решения задачи управления клапанами смесительной колонны проведен анализ влияния ограничений на поведение системы.

Во второй главе разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретным объектом, в модели поведения которого присутствуют запаздывания.

В разделе 2.1 рассмотрен объект с запаздыванием по управлению, модель которого представлена следующими соотношениями:

xt+1 = Axt + But-h + wt, xt|t=0 = x0, ui = ui, (i = - h,-1), (14) t = Hxt + vt, yt = Gxt, (15) где h – величина запаздывания, ut – заданные величины при t = –h,–h+1,…,–1, с ограничениями вида:

a1(t) S1xt a2(t), 1(xt,t) S2ut-h 2 (xt,t). (16) В отличие от известных методов решения в диссертации предлагается осуществлять синтез прогнозирующего управления без расширения пространства состояний. Для этого строится прогнозирующая модель, которая учитывает запаздывание, входящее в исходную модель:

i-1 i-i-k- xt+i|t = Ai-1xt+1|t + Ai-k -1But-h+k|t, (17) А But-h+k|t, t+i|t = GAi-1xt+1|t + G k=1 k =где i = 2, N. Прогнозирующая модель может быть представлена в векторноматричном виде:

X = xt+1|t + Ut-h, t = xt+1|t + Ut-h, (18) t где векторы Xt, t, Ut-h состоят соответственно из прогнозируемых векторов состояния, выхода и управления (9), а блочные матрицы , , , сформированы из матриц A, B и G.

Ограничения также записываются для прогнозирующей модели и приводятся в векторно-матричный вид:

a1(t) S1Xt a2 (t), 1(Xt,t) S2Ut-h 2 (Xt,t), (19) где a1(t), a2 (t), 1(Xt,t), 2 (X,t), S1, S2 определены в (11).

t Синтез прогнозирующего управления осуществляется исходя из минимизации критерия, в который управление входит с запаздыванием:

N M 2 1 J (xt+1|t,Ut-h ) = t+k|t - yt+k C + ut-h+k|t - ut-h+k-1|t D. (20) 2 k=1 k=Данная целевая функция, представленная в векторно-матричном виде, записывается следующим образом:

J (xt+1|t,Ut-h ) = Ut FUt-h + Ut f + t. (21) -h -h где t – постоянная, не зависящая от управляющих воздействий и оценок вектора состояния, Dut-h xt+1|t F = C + D, f = -, = [C - C], (22) Yt M C = diag(C,K,C), D – блочная трехдиагональная матрица с элементами - D на 14 N побочной диагонали и 2D – на основной.

В результате получен критерий, квадратичный относительно управления с запаздыванием. Таким образом, решая задачу квадратичного программирования относительно вектора управления с учетом приведенных в векторно-матричный вид ограничений, определяются оптимальные управляющие воздействия без расширения пространства состояний.

В п. 2.1.5 рассмотрена задача управления экономической системой, предназначенной для производства, хранения и поставок товаров потребителям с включенными запаздываниями по управлению, для решения которой применен алгоритм синтеза прогнозирующего управления, предложенный в разделе 2.1.

Синтезу прогнозирующего управления с учетом запаздывания по состоянию посвящен раздел 2.2, в котором исследовано два способа формирования прогнозирующей модели. Предполагается, что модель поведения объекта задана в виде:

r xt+1 = Axt + xt-i + But + wt, xt|t=i = xi, i = - r,0, (23) Ai i=где r – величина запаздывания, xi считаются заданными при i = -r,...,-1,0.

В п.п. 2.2.1 – 2.2.3 представлена методика учета запаздывания по состоянию на основе субоптимального экстраполятора. В данном случае при построении прогнозирующей модели в момент времени t векторы xi при i = t - r,t -1 считаются известными и рассматриваются как известные входящие сигналы. Таким образом, прогнозирующая модель описывается следующими линейно-разностными соотношениями:

i-1 r i- xt+i|t = Ai-1xt+1|t + Ai-k -1 Aj xt+k - j|t + Аi-k -1But+k|t, (24) k =1 j=1 k =i-1 r i- t+i|t = GAi-1xt+1|t + G Ai-k-1 Aj xt+k- j|t + G Ai-k-1But+k|t, i = 2, N, (25) k=1 j=1 k=которые в векторно-матричной записи имеют вид:

r r 0 0 0 X = xt+1|t + X + Ut, t = xt+1|t + X + Ut, (26) t i t-i i t-i i=1 i= где X = [xt L xt -i|t], i0 – треугольная блочная матрица, состоящая из t-i +1-i|t +N матриц A и Ai, 0 = Gi0.

i Оптимальное решение задачи предлагается искать исходя из минимизации критерия, представленного в первой главе, который с учетом вида прогнозирующей модели может быть представлен квадратичной функцией следующего вида:

J (xt+1|t,Ut ) = UtFUt + Ut f + t, (27) где t – постоянная составляющая, не зависящая от Ut и xt+1|t, F определена в (22), xt+1|t Dut 0 0 X 1 t- L C f = M -, = C C4244 - C. (28) 14 4 M 0 0 r X r t-r Yt По аналогии с предыдущими алгоритмами нахождение оптимальной последовательности управляющих воздействий с учетом ограничений на управление и состояние предложено реализовать с помощью процедуры quadprog пакета прикладных программ MATLAB.

В п. 2.2.4 приведено решение задачи синтеза прогнозирующего управления с запаздыванием по состоянию на основе оптимального экстраполятора. Для этого, применив подход расширения пространства состояний, исходная модель сводится к модели без запаздывания по состоянию. С помощью фильтра Калмана определяются оптимальные оценки вектора состояния и вектора выхода, на основе которых строится расширенная прогнозирующая модель, и осуществляется синтез управления. Данный подход может привести к значительному увеличению размерности прогнозирующей модели.

В п. 2.2.5 дано применение алгоритма синтеза прогнозирующего управления к решению задачи управления объектом второго порядка с запаздыванием на один такт с использованием оптимального и субоптимального экстраполяторов. В качестве исходной модели взята модель вида:

0,85 0 0 0 0,15 0 1 xt+1 = xt + xt-1 +, x0 = x-1 =, t = 0 0 1xt + vt, 0,8 0,95 - 0,9 0 0,25ut yt = [1 0]xt, (t = 0,…,100), с ограничениями: - 0,5 ut 0,5. Цель моделирования – определить такую последовательность управлений, при которой будет отслеживаться следующая траектория:

0,3 при t 31,70;

y1,t = - 0,3 при t = 31,Моделирование проведено с использованием горизонтов управления и прогнозирования, равных 10. В качестве весовых коэффициентов выбраны C = D =1.

На рис. 1.1 представлена динамика поведения первой (отслеживаемой) компоненты вектора состояния. На рис. 1.2 приведен график динамики управляющих воздействий на объект.

Рисунок – 1. Динамика первой компоненты Рисунок – 2. Динамика управления объектом состояния – ограничения на управление;

– заданная траектория (желаемая); – управление с использованием субопти – первая компонента состояния. мального экстраполятора; – управление с использованием оптимального экстраполятора.

Из рис. 1 видно, что в условии запаздывания по состоянию желаемая траектория отслеживается как в случае использования оптимального, так и субоптимального экстраполятора, при этом ограничения на управление соблюдаются в обоих случаях (рис. 2). Результаты моделирования показали, что в рамках данной задачи результат применения оптимального экстраполятора практически совпадает с результатом, полученным с применением субоптимального экстраполятора, отличаясь не более, чем на 0,7%. На основе данного примера проведен анализ средних значений среднеквадратических ошибок оценивания и средних значений среднеквадратических ошибок слежения за выходом объекта для двух вариантов прогнозирующего управления и сделан вывод о том, что в условии запаздывания по состоянию желаемая траектория отслеживается как в случае использования оптимального, так и субоптимального экстраполятора.

В третьей главе решена задача синтеза прогнозирующего управления дискретной системой в условиях неполной информации о входах системы. Управление синтезировано с использованием оценок неизвестного входа. Предложено два варианта решения задачи в зависимости от уровня априорной информации.

Модель объекта с неизвестным входом, представленная в разделе 3.1, имеет вид:

xt+1 = Axt + But + Irt + wt, t = Hxt + vt, yt = Gxt, xt|t=0 = x0, (29) где rt Rq - неизвестный входящий сигнал. В качестве неизвестного входа может быть принята погрешность линеаризации, возникающая при переходе от нелинейной модели к линейной, а также из-за возможных ошибок при определении матриц A и B.

Для построения прогнозирующей модели необходимо знать оценки неизвестного входа, для вычисления которых предложено использовать два алгоритма.

Первый алгоритм, рассмотренный в п. 3.2.1, основан на применении калмановской фильтрации и требует иметь определенный уровень априорной информации о неизвестном входе rt, например, знать модель поведения неизвестного входа.

Предполагается, что закон его поведения задается уравнением вида:

rt+1 = Rt rt + t, rt|t=0 = r0, (30) где Rt – матрица, определяющая динамику в момент времени t, t – случайная гауссовская величина с нулевым средним и ковариацией T, r0 – случайный вектор начальных условий с известными характеристиками {r0} = r0, {(r0 - r0 )(r0 - r0 )} = Pr0.

Применяя калмановскую фильтрацию, получаем выражения для определения оценок неизвестного входа:

rt+1|t = Rtrt + Kt(t+1 - HAxt|t-1 - HBut - HIrt ), r0 = r0, (31) - Kt = Pt H (HPt H + HWH +V), Pt+1 = (En - Kt H)Pt, P0 = Pr0. (32) Второй алгоритм оценивания неизвестного входа, рассмотренный в п. 3.2.2, базируется на применении модифицированного метода наименьших квадратов, который не требует знания модели неизвестного входа. Суть данного подхода заключается в следующем. Вычисление значений прогноза состояния осуществляется как решение некоторой новой задачи оптимального управления, понимая под управлением значения неизвестного входа rt. Критерий оптимальности строится исходя из минимума ошибок прогнозируемых оценок вектора состояния:

t J (rt-1) = {i - Hxi|i-1 CR + ri-1 2 }, (33) DR i=где CR и DR – симметричные, положительно определенные матрицы. Оптимизация критерия до текущего момента времени t сводится к минимизации критерия в каждый момент времени i = 1,t. Получив оценки r0, r1 и применив принцип Беллмана для последующих шагов и метод математической индукции, получаем оценку неизвестного входа в момент времени t:

- T T rt = SR(t+1 - HAxt|t-1 - HBut ), SR = (I H CR HI + DR) I H CR. (34) Учитывая динамику оценок неизвестного входа, осуществляется прогнозирование поведения объекта и выхода системы:

i-1 i- xt+i|t = Ai-1xt+1|t + Аi-k-1But+k|t + Аi-k -1Irt+k, t+i|t = G xt+i|t, i = 1, N, (35) k=1 k= где rt+k – прогнозируемые величины неизвестного входа, которые строятся исходя из того, какой метод оценивания был выбран. В случае отсутствия априорной информации о поведении неизвестного входа его прогнозируемые величины могут быть построены на основе методов прогнозирования временных рядов. В случае, когда модель поведения неизвестного входа известна, целесообразно строить прогноз на основе уравнения динамики (30):

rt+k = Rt rt+k -1, k = 2, N -1. (36) На основе построенной прогнозирующей модели осуществляется синтез прoгнозирующего управления, рассмотренный в разделе 3.3.

В разделе 3.4 дано применение результатов главы к решению задачи управления производством, хранением и поставками товаров потребителям с неизвестным входом в модели объекта:

qt+1 = Aqt +bt + t +t, q0 = q0, (37) zt+1 = zt + Bt + dt - t + t, z0 = z0, (38) где qt Rs, qi,t - количество товара i-го типа у потребителя в момент времени t (t = 1,T, i = 1, s ); zi,t - количество товаров i-го типа на складе производителя; i,t – объем производства товаров i-го типа; i,t – объем поставок товаров i-го типа; bt, dt – неизвестные составляющие возмущений; t, t – векторные гауссовские случайные последовательности (M{t } = 0, M{t } = 0, {t} = t,k, {t} = t,k, k k {t} = 0); A и B – матрицы, определяющие динамику производства и потребk ления. В каждый момент времени t должны выполняться ограничения:

zmin zt zmax, 0 t max, 0 t zt. (39) Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям определить стратегию управления производством, хранением и поставками товара, обеспечивающей количество товаров у потребителя qt, близкое к заданному вектору q, соблюдая ограничения.

Моделирование проведено для двух вариантов нахождения оценок неизвестного входа при постоянных неизвестных возмущениях для следующих исходных данных:

0,75 0 0,3 0,1 0,1 1, A =,,, zmax =, - 0,25 0,9 B = 0,2 0,8 zmin = 0,1 2,5 0,8 0,2 0 1 0, max =, z0 =, q0 =, q =, 0 = 0 =, 0,7 0,2 0 2 0,1 b = [0,05 0,03], d = [0,04 0,02], b0 = d0 = [0 0], C = E2, D = E4, M = N = 10, T = 30, Px0 = Pr0 = H = E4, W = 0, V = diag{0,0005; 0,0005; 0,0005; 0,0005}.

По результатам моделирования проведено сравнение разработанных алгоритмов.

Результаты численного моделирования с применением модифицированного МНК для построения оценок неизвестного входа приведены на рис. 3-6. Прогнозирование оценок неизвестного входа осуществлено с помощью линейной экстраполяции. Для улучшения качества оценок прогноза использован метод экспоненциального сглаживания.

Рисунок – 3. Динамика изменения количества товаров у потребителя – заданный уровень количество товара у потребителя;

– количество товара у потребителя.

Рисунок – 4. Динамика изменения количества товаров на складе и объемов поставок – количество товара на складе производителя;

– объем поставок товаров; – ограничения.

Рисунок – 5. Процессы изменения объемов производства товаров – объем производства товара; – ограничения.

Рисунок – 6. Процессы изменения оценок неизвестных входных сигналов – оценки входных сигналов; – входные сигналы.

В четвертой главе предложены алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретным объектом в условиях неполной информации о параметрах модели, уравнение которой может быть записано следующим образом:

xt+1 = A(t )xt + B(t )ut + wt, xt|t=0 = x0, (40) где t – неизвестный вектор; A(t ) и B(t ) – матрицы, определяющие динамику системы, линейно зависящие от вектора t. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям t определить стратегию управления в условиях неполной информации о модели, при которой вектор выхода системы yt будет близок к заданному вектору yt.

В разделе 4.2 показано, как осуществляется прогнозирование поведения объекта в условиях неполной информации о модели с использованием экстраполятора Калмана и оценок вектора состояния и вектора выхода:

xt+1|t = t xt|t-1 + Btut + Kt (t - Hxt|t-1), t+1|t = Gxt+1|t, x0|-1 = x0, (41) - Kt = t Pt H (HPt H +V ), (42) - Pt+1 = W + t Pt tT - t Pt H (HPt H +V ) HPt tT, P0 = Px0, (43) где t = A(t ) и Bt = B(t ) – матрицы, полученные в результате идентификации модели. Идентификацию модели (40) предложено осуществить с помощью фильтра Калмана или модифицированного метода наименьших квадратов. В случае, когда закон поведения неизвестного вектора может быть представлен уравнением вида:

t+1 = t t + t, t|t=0 = 0 (t – матрица, определяющая динамику неизвестного вектора в момент времени t, t – случайная гауссовская величина с нулевым средним и ковариацией T, 0 – случайный вектор начальных условий с известными характеристиками { } = 0, {(0 - 0 )(0 - 0 )} = P0 ), оценка вектора неизвестных параметров может быть построена с помощью фильтра Калмана (п.

4.2.1):

t+1 = tt + Kt(t+1 - Htt - Ht ), 0 = 0, (44) - Kt = Pt(t Pt + HWH +V), Pt = tPt + , Pt+1 = (En - Ktt )Pt, P0 = P, t t t где t = (xt|t-1,ut ), t = (xt|t-1,ut ), (xt,ut ) и (xt,ut ) – матрица и вектор, полученные в результате представления вектора состояния в виде линейной зависимости от неизвестного вектора t :

xt+1 = A(t )xt + B(t )ut + wt = (xt,ut )t + (xt,ut ) + wt. (45) В случае, когда определение модели поведения неизвестного вектора вызывает трудности, предлагается использовать модифицированный метод наименьших квадратов для идентификации параметров модели, который рассмотрен в п. 4.2.2.

Оценки вектора неизвестных составляющих предлагается строить исходя из минимизации критерия вида:

t J (rt-1) = i - Hxi|i-1 C + i-1 , (46) D i=где C и D – симметричные, положительно определенные матрицы. Таким образом, оценки неизвестного вектора определяются из следующего выражения:

- T t = St (t+1 - Ht ), St = (t H CHt + D) t H C. (47) Получив оценки неизвестного входа, строится прогнозирующая модель, и осуществляется синтез прогнозирующего управления, чему посвящен п. 4.2.3.

В разделе 4.3 дано применение разработанного алгоритма к решению задачи управления производством, хранением и поставками товаров.

В заключении диссертации приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления выходом дискретных нестационарных объектов со случайными возмущениями и ошибками наблюдений при ограничениях на управляющие воздействия и состояния.

2. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретными объектами с запаздываниями по управлению и состоянию, реализованные без расширения пространства состояний.

3. Решена задача синтеза прогнозирующего управления дискретной системой в условиях неполной информации о входах системы с использованием алгоритмов вычисления оценок неизвестного входа на основе фильтра Калмана и на основе модифицированного метода наименьших квадратов.

4. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретными объектами при неполной информации о параметрах модели.

5. Алгоритмы апробированы при решении задач управления клапанами смесительной колонны и управления производством, хранением и поставками товаров потребителям.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. – 2010. – № 2 (11). – С. 5–12.

2. Kiseleva (Pristupa) M. Y. Model predictive control of discrete systems with state and input delays / M. Y. Kiseleva (Pristupa), V. I. Smagin // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. – 2011. – № 1 (14). – С. 5–12.

3. Приступа М. Ю. Прогнозирующее управление дискретными системами с неизвестным входом и его применение к задаче управления экономическим объектом / М. Ю. Приступа, В. И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. – 2012. – № 1 (18). – С. 5–15.

4. Киселева (Приступа) М. Ю. Прогнозирующее управление производством, хранением и поставками товаров с учетом случайных факторов / М. Ю. Киселева (Приступа) // Научная сессия ТУСУР – 2009 : материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. – Томск : В-Спектр, 2009. – Ч. 4. – С. 273–275.

5. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление производством, хранением и поставками товаров на основе прогнозирующей модели выхода системы / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. – 2009. – № 2 (7). – С. 24–31.

6. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление производством и поставками товаров с учетом запаздываний / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Инфор мационные технологии и математическое моделирование : материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. – Томск :

Изд-во Том. гос. ун-та, 2009. – С. 272–276.

7. Смагин В. И. Управление с прогнозирующей моделью с запаздыванием по состоянию / В. И. Смагин, М. Ю. Киселева (Приступа) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ – 2010) : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. – Томск : Издво Том. гос. ун-та, 2010. – С. 140–145.

8. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздываний / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Новые информационные технологии в исследовании сложных систем : материалы VIII Российской конференции с международным участием. – Томск : Изд-во НТЛ, 2010. – С. 74.

9. Киселева (Приступа) М. Ю. Прогнозирующее управление системой производства, хранения и поставками товаров с учетом случайных факторов и запаздываний / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Измерение, контроль, информатизация. (ИКИ – 2011) : материалы XII Международной научно-технической конференции. – Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 2011. – С. 177–179.

10. Приступа М. Ю. Дискретное прогнозирующее управление с запаздыванием по управлению и неизвестными возмущениями / М. Ю. Приступа, В. И. Смагин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ – 2011) :

материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. – Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2011. – С. 53–57.

11. Приступа М. Ю. Адаптивное управление системой производства, хранения и поставок товаров / М. Ю. Приступа, В. И. Смагин, Н. В. Смагина // Измерение, контроль, информатизация. (ИКИ – 2012) : материалы XIII Международной научнотехнической конференции. – Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 2012. – Т. 2. – С. 111–113.

12. Приступа М. Ю. Адаптация в дискретных системах с запаздыванием по управлению на основе прогнозирующей модели / М. Ю. Приступа // Научное творчество молодежи : материалы ХVI Всероссийской научно-практической конференции. – Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2012. – С. 116–119.

Подписано в печать 26.09.2012 г.

Формат А4/2. Ризография Печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 09/09-Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.