WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Некрасова Руслана Сергеевна

Регенеративное оценивание и его применение к системам с конечным буфером

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Петрозаводск – 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра Российской академии наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, Морозов Евсей Викторович

Официальные оппоненты: Рыков Владимир Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры приклад­ ной математики и компьютерного модели­ рования ФГБОУ ВПО «Российский государствен­ ный университет нефти и газа имени И. М. Губкина» Рогов Александр Александрович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теории вероятно­ стей и анализа данных ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный универ­ ситет»

Ведущая организация: ФГБУН Институт проблем информатики Российской академии наук

Защита состоится 20 декабря 2012 г. в 12:00 часов на заседании дис­ сертационного совета Д 212.190.03 на базе ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет», расположенного по адресу: 185910, г. Пет­ розаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан « » ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Р. В. Воронов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Стохастические модели телекоммуникацион­ ных систем обслуживания в настоящее время имеют широкое распростра­ нение. Предел среднего по времени значения случайного процесса является важной стационарной характеристикой при анализе таких систем. Если рас­ сматриваемый случайный процесс является регенерирующим, то возможно построить несмещенные и состоятельные оценки требуемой стационарной ха­ рактеристики на основе центральной предельной теоремы. В силу независи­ мости и стохастической эквивалентности циклов, регенерирующие процессы охватывают широкий класс случайных процессов, что позволяет рассматри­ вать регенеративный метод как один из наиболее мощных методов исследова­ ния. В частности, независимость циклов регенерации обеспечивает возмож­ ность использования развитого аппарата теории восстановления для теоре­ тического анализа процессов, а также классических методов для построения оценок при имитационном моделировании и статистическом анализе.

Модели систем обслуживания c ограничениями, в частности, с конечным буфером играют важную роль в анализе современного телетрафика. В таких моделях поток, образованный потерянными заявками, часто является вход­ ным потоком для другого узла коммуникационной системы, а вероятность переполнения является ключевым показателем качества обслуживания. К потерям относится та часть поступающей нагрузки, которая не обслужива­ ется из-за занятости обслуживающих устройств в момент поступления или переполнения буферов, предназначенных для ожидания в очереди. Отметим, что теоретический анализ систем обслуживания, как правило, ограничивает­ ся рассмотрением систем, поведение которых описывается марковскими про­ цессами. Однако регенеративная структура позволяет анализировать и оце­ нивать предельные характеристики, в частности, стационарную вероятность переполнения буфера для широкого класса немарковских процессов. В этом состоит одно из основных преимуществ регенеративного метода.

Степень разработанности. Регенеративный метод оценивания ста­ ционарных характеристик в полной мере изложен в книгах С. Асмуссена1, М. А. Крэйна и О. Д. Лемуана2. Также стоит отметить работы П. Глинна, Д. Иглхарта и В. Витта, касающиеся статистического анализа регенератив­ ных систем, условий применимости регенеративного метода, эффективности регенеративных оценок.

Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы адаптировать регенеративный метод для вероятностного анализа и доверительного оцени­ вания характеристик систем с конечным буфером, в частности, систем с по­ терями и систем с повторными вызовами и постоянной скоростью возвраще­ ния заявок с орбиты (под орбитой подразумевается дополнительный “буфер” бесконечного размера, в который попадает поток переполнения). Для дости­ жения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Подробный обзор регенеративного метода оценивания стационарных ха­ рактеристик.

2. Исследование регенеративной структуры систем с потерями с целью построения классических и альтернативных оценок стационарной веро­ ятности потери на основе регенеративного метода.

3. Анализ условий стационарности систем с повторными вызовами, по­ строение оценок основных характеристик на основе регенеративного метода в стационарном и нестационарном режимах.

4. Имитационное моделирование систем с конечным буфером, анализ эф­ Asmussen S. Applied Probability and Queues. 2nd edition. New-York: Wiley, 2003. P. 476.

Крэйн М. А., Лемуан О. Д. Введение в регенеративный метод анализа моделей. М.: Наука, 1982.

С. 104.

фективности оценок основных характеристик системы с точки зрения величины дисперсии и скорости построения.

Методы исследований. В диссертационной работе применяются мето­ ды теории восстановления, теории регенерирующих процессов, теории про­ цессов накопления, а также методы статистического моделирования.

Научная новизна. В рамках анализа систем с потерями получено об­ щее соотношение, связывающее стационарную вероятность потери со стаци­ онарной вероятностью занятости. На основе этого соотношения возможно повысить эффективность оценивания для ряда систем. Предложены альтер­ нативные последовательности точек регенерации в системах с потерями, на­ правленные на повышение эффективности моделирования. Получен ряд но­ вых аналитических результатов для систем с повторными вызовами и посто­ янной скоростью возвращения заявок с орбиты, в том числе, найдено необхо­ димое условие стационарности системы с N классами заявок и N орбитами.

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для определения области устойчивости и оценки качества сервиса широкого класса коммуникационных систем (с ограничени­ ями на размер буфера), в том числе мобильных сетей связи.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло­ жения:

1. Доказано соотношение, связывающее стационарную вероятность поте­ ри со стационарной вероятностью простоя обслуживающего канала для широкого класса немарковских систем, где потери могут быть вызваны различными причинами.

2. Получен ряд аналитических результатов для систем с повторными вы­ зовами и постоянной скоростью возвращения заявок. В том числе най­ дены альтернативные выражения для предельной вероятности блоки­ ровки в стационарном и в нестационарном режиме, исследована эффек­ тивность прямой и альтернативной оценки (оценки по остаточной длине цикла регенерации) вероятности занятости сервера на конечном интер­ вале.

3. Получены необходимые условия стационарности систем с повторными вызовами и несколькими классами заявок (несколькими орбитами).

4. Для реализации имитационного моделирования разработано программ­ ное обеспечение. Полученные результаты экспериментов хорошо согла­ суются с проведенным теоретическим анализом.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международный научный семинар “Advances in Methods of Information and Communication Technology” (19–20 мая 20г. Петрозаводск); Международный научный семинар “Advances in Methods of Information and Communication Technology” (25–26 мая 2010 г. Петроза­ водск); Международный семинар “Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems” в рам­ ках конгресса ICUMT’10 (18–20 октября 2010 г. Москва); Modern Probabilistic Methods for Analysis and optimization of Information and Telecommunication Networks (“Современные вероятностные методы анализа и оптимизации ин­ формационно-телекоммуникационных сетей, 21-я Белорусская школа-семи­ нар по теории массового обслуживания) (3-5 февраля 2011 г. Минск); Меж­ дународный семинар “Northern Triangular seminar 2011” (11-13 апреля 2011 г.

Санкт-Петербург); Международный научный семинар “Advances in Methods of Information and Communication Technology” (28 апреля 2011 г. Петроза­ водск); V Международный семинар “Прикладные задачи теории вероятно­ стей и математической статистики, связанные с моделированием информа­ ционных систем” (10–16 октября 2011 г. Светлогорск); Международный науч­ ный семинар “Advances in Methods of Information and Communication Technology” (15–16 мая 2012 г. Петрозаводск); VIII Международная Петрозаводская кон­ ференция “Вероятностные методы в дискретной математике” (2–9 июня 20г. Петрозаводск); 9-й международный семинар “9th International workshop on retrial queue” (28-30 июня 2012 г. Севилья).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных ра­ ботах, из них 3 статьи в журналах [1–3] (в том числе 2 работы в изданиях из перечня российских рецензируемых журналов [1, 2]), 3 статьи в сборниках трудов конференций [4–6] и 3 тезиса докладов [7–9]. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса [10].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово­ дилась совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка сокращений, библиографии, списка иллюстратив­ ного материала и приложения. Общий объем диссертации 124 страницы, из них 110 страниц текста, включая 16 рисунков и 10 таблиц. Библиография включает 79 наименований на 8 страницах.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 10-07-00017.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе, которая носит обзорный характер, приведены исполь­ зуемые далее результаты теории случайных процессов. Основное внимание уделено регенерирующим процессам и их свойствам.

Случайный процесс X = {X(t)}t0 называется регенерирующим, если для некоторой последовательности случайных величин (с. в.) 0 T0 < T1 < T2... сегменты процесса Gk := {X(Tk + t) : 0 < t Tk+1 - Tk}, k (случайные элементы) независимые одинаково распределенные (н. о. р.) и не зависят от G0.

Последовательность {Tk}k0 называется моментами или точками ре­ генерации (м. р.). Типичную длину цикла регенерации (ц. р.) будем обозна­ чать через T. Регенерирующий процесс с конечной средней длиной цикла (ET < ) называется положительно возвратным.

Регенерирующие процессы охватывают широкий класс случайных про­ цессов, и их предельные средние по времени являются важной стационарной характеристикой при анализе многих стохастических систем. Если ET < T и E |f[X(t)]|dt < , где f – измеримая функция, то существует предел с вероятностью 1 (с в. 1) t T E f[X(s)]ds r(t) := f[X(s)]ds := r при t . (1) t ET Если T – нерешетчатая с. в., то f[X(t)] f[X] при t , где означает слабую сходимость, а X – с. в., причем Ef[X] = r.

Также в первой главе приведены основные результаты для процессов на­ копления, которые тесно связаны с регенерирующими процессами. В качестве типичных примеров процессов накопления отметим интеграл от измеримой t функции f регенерирующего процесса: f[X(s)]ds, t 0. Полезно также трактовать регенерирующие процессы времени ожидания {W (t)}t0 и длины очереди {(t)}t0 в системе обслуживания как процессы накопления.

Во второй главе изложен регенеративный метод доверительного оце­ t нивания параметра r – предельного значения величины r(t) = f[X(s)]ds t при t . (Во всех рассматриваемых моделях f 0.) Как правило, на практике моделирование осуществляется в дискретном времени, т. е. рассматривается регенерирующий процесс {Xn}n0. В дискрет­ ном времени (при t {tk}k0) м. р. и типичную длину ц. р. обозначим через {k}k0 и соответственно. В рассматриваемых далее моделях систем обслу­ живания имеет место следующая связь м. р. в дискретном и непрерывном времени: Tk = t, где {tk}k0 – моменты приходов заявок.

k k-Пусть – нерешетчатая с. в. и Yk := f(Xi), k 1 (0 = 0).

i=k-({Yk} – н. о. р. с. в. с типичным элементом Y.) Если моделирование в дис­ кретном времени реализуется на основе фиксированного числа n ц. р., то задача сводится к построению оценки n-f(Xi) i=rn :=. (2) n Если ET < и EY < , то аналогично (1) rn r = EY/E с в. 1 при n . Пусть 2 := D[Y - r] (0, ). Тогда имеет место следующая центральная предельная теорема n[rn - r] N(0, 1) при n , (3) /E где N(0, 1) – нормально распределенная с. в. с параметрами 0, 1. На основе (3) строится такой 100(1 - )% доверительный интервал для r:

zs(n) zs(n) rn -, rn +, (4) n n n n где s(n) и n стандартные выборочные оценки 2 и E соответственно, а z = -1 1-, где – функция Лапласа.

Для регенерирующего процесса X(t) в непрерывном времени оценки r вычисляются, как правило, для случайного числа циклов N(t), завершенных T до фиксированного момента t > 0. Пусть ET < , Y := f[X(s)]ds и EY < . Если DT < , DY < и 2 := D[Y - rT ] > 0, то имеет место такая центральная предельная теорема t1/2[r(t) - r] N(0, 1) при t , (5) / ET на основе которой строится доверительный интервал для r, аналогичный (4).

Во второй главе также обсуждаются оценки математического ожидания среднего по времени E[r(t)] на конечном интервале [0, t]. Помимо стандартной оценки, рассматривается оценка по остаточной длине цикла регенерации, предложенная в работе В. Витта3. Эта оценка основывается на наблюдениях за процессом {X(t)} с момента t до завершения текущего ц. р. при условии, что константа r известна. Дисперсия этой оценки убывает со скоростью 1/tпри t , тогда как для классической оценки – со скоростью 1/t. Оцени­ вание среднего на конечном интервале иллюстрируется в четвертой главе на примере вероятности занятости в системе с повторными вызовами.

В третьей главе рассмотрена регенеративная структура систем обслу­ живания с потерями GI/G/m/n и представлены некоторые результаты, каса­ ющиеся регенеративного оценивания стационарной вероятности потери Ploss.

Также приведен ряд известных результатов, используемых в дальнейшем.

Приход заявки в пустую систему порождает регенерацию. В некоторых специальных случаях существуют альтернативные моменты регенерации. На­ пример, в системе GI/M/m/n для фиксированного k [0, m + n] можно рекурсивно определить моменты k – регенерации в дискретном времени как номера тех заявок, которые находят в системе k других заявок, т. е., (k) (k) (k) i+1 = inf{l > i : l = k}, i 0 (0 := 0). (6) l Пусть R(t) – число потерянных заявок, а A(t) – число приходов в систе­ му в интервале [0, t]. Поскольку поведение системы на цикле k-регенерации Kang W., Shahabuddin P., Whitt W. Exploting Regenerative Structure to estimate finite time averages via simulation // ACM. 2006. Vol. v. Pp. 1–38.

(k-цикле) зависит от k, будем обозначать через Ak, Rk типичное число при­ ходов и число потерь на k-цикле соответственно. Пусть Ij = 1, если теряется заявка j. Процесс {Ij}j0 положительно-возвратный регенерирующий в мо­ менты (6), и при условиях P( > S) > 0 и ES2 < j R(t) Ii ERk i=lim = lim = := Ploss, (7) t j A(t) j EAk R(t) - PlossA(t) DZk N 0,, t , (8) EAk A(t) где Zk := Rk - PlossAk. Доверительные интервалы для Ploss, построенные по различным последовательностям k-регенераций на основе (8), асимптотиче­ ски эквивалентны. Однако моделирование на ограниченном интервале време­ ни может дать преимущество одной последовательности перед другими.

Также в третей главе для широкого класса регенеративных систем с поте­ рями доказано соотношение, связывающее вероятность Ploss со стационарной вероятностью простоя канала P0. Рассмотрим систему GI/G/m/n с коэффи­ циентом загрузки = /µ, где и µ – интенсивности входного потока и обслуживания соответственно.

Теорема 1. В системе GI/G/m/n при условии P( > S) > 0 стационарная вероятность потери Ploss связана со стационарной вероятностью простоя (любого) канала P0 следующим образом:

m Ploss = 1 - (1 - P0). (9) В четвертой главе представлен регенеративный анализ систем с по­ вторными вызовами и постоянной скоростью возвращения заявок с орбиты.

Рассмотрим систему вида GI/G/m/n (обозначаемую через ). Входной по­ ток восстановления имеет интенсивность , а произвольное (типичное) время обслуживания S имеет среднее ES := 1/µ. Заявки, поступающие в систему, когда все сервера заняты и буфер полон, уходят на орбиту бесконечного объе­ ма, а затем вновь пытаются (по одной) попасть на обслуживающее устройство через экспоненциально распределенное время с параметром µ0, и в случае неудачи (мгновенно) возвращаются на орбиту. Система радикально отли­ чается от классических систем с повторными вызовами, где интенсивность орбитальных заявок растет с ростом их числа, поскольку заявки делают по­ вторные попытки независимо.

Единственным источником нестационарности системы может быть неогра­ ниченный рост числа заявок на орбите. В работе К. Авраченкова и Е. В.

Морозова4 доказано, что условие ( + µ0)Ploss < µ0 (10) является достаточным условием стационарности орбиты в системе . Здесь Ploss есть стационарная вероятность потери в мажорирующей системе с по­ терями , отличающейся от исходной системы наличием дополнительного пуассоновского входного потока с интенсивностью µ0. Условие (10) является критерием стационарности для систем с пуассоновским потоком исходных заявок (-потоком). В этом случае, при условии ( + µ0)Ploss > µ0, (11) число заявок на орбите неограниченно растет, т. е. система нестационарна.

Теорема 2. Если для системы вида M/G/m/0 выполнено условие (10), то = mPb, (12) где Pb = limt P((t) = 1) – предельная вероятность занятости любого сервера, а = /µ.

Avrachenkov K., Morozov E. V. Stability analysis of GI/G/c/K Retrial Queue with Constant Retrial Rate // INRIA(Sophia Antipolis), Research Report. 2010. Vol. 7335.

Теорема 3. Система вида M/G/2/0 (с интенсивностью исходных за­ явок = 1) стационарна, если µ > 1/2 и µ µ2 + 2µ - 1 - µ2 - µ + µ0 >. (13) 2µ - Теорема 4. Необходимое и достаточное условие стационарности систе­ мы вида M/G/1/0 имеет вид + < 1, (14) µ где µ – предельная вероятность простоя сервера при непустой орбите.

Т. к. µ > 0, то дисциплина обслуживания в системе с повторными вызо­ вами является неконсервативной, поскольку возможны простои сервера при ожидающих на орбите заявках.

Одно из основных преимуществ регенеративного метода состоит в том, что он применим к широкому классу немарковских процессов. Например, со­ стояние системы в момент t может быть описано с помощью скалярного немарковского процесса {X(t) := N (t)+(t), t 0}, где N (t) – число заявок на орбите, а (t) – размер очереди. Очевидно, что процесс {X(t)} регенери­ рует, когда исходная заявка (-заявка) поступает в пустую систему.

Положим, Ij = 1, если j-я попытка обращения к серверу неудачна (т.

е. происходит уход на орбиту). Если процесс X – положительно возвратный, то при условии P( > S) > 0 выполнено P(Ij = 1) P(I = 1) := Porb с вероятностью 1 (с в. 1) при j и Porb есть предельная вероятность блокировки.

Если X не является положительно возвратным (т. е. ET = ), то для определения вероятности Porb и ее оценивания можно использовать квази­ регенерации, которые определяются как моменты, когда -заявка встречает пустой сервер (в то время, как орбита, вообще говоря, может быть не пу­ стой).

Пусть D(t) и 0(t)– число уходов из системы после окончания обслужи­ вания и число попыток с орбиты попасть на сервер в интервале [0, t] соответ­ ственно. Обозначим D(t) 0(t) lim := e, lim := µ0, (15) t t t t (если такие пределы с в. 1 существуют) и пусть := ( + µ0)ES. Имеет место следующая теорема, доказательство которой опирается на обобщенную формулу Литтла.

Теорема 5. В системе с повторными вызовами вида M/G/1/а) в стационарном режиме, т. е. при выполнении условия (10), пределы (15) существуют и µ e = , Porb =, (16) + µ причем для системы вида M/M/1/0: µ0 = 2(µ + + µ0);

б) в нестационарном режиме, т. е. при выполнении условия (11), пределы (15) существуют, µ0 = µ0 и e = ( + µ0)(1 - Porb), Porb = Pb =, (17) 1 + где Pb – стационарная вероятность занятости сервера в .

В работе рассматриваются две оценки вероятности занятости на конеч­ ном интервале [0, t] (стандартная и альтернативная). Альтернативная оцен­ ка (по остаточной длине ц. р.) на [0, t] имеет меньшую дисперсию, однако ее построение возможно только при известном значении Pb. В работе пока­ зано, что в системе вида M/G/1/0 в стационарном режиме Pb = /µ, а в +µнестационарном режиме Pb =, что дает возможность использования +µ0+µ альтернативной оценки.

Рассмотрим следующую m-серверную систему с повторными вызовами c N классами заявок. Заявки i-го класса, поступая в систему, образуют вход­ ной поток восстановления с параметром i и обслуживаются в течение н. о.

(i) р. промежутков времени {Sk }, причем ES(i) := 1/µi (i = 1,..., N). Пред­ полагается, что серверы идентичны. Заявки, поступающие в систему, когда все сервера заняты и буфер размера n < полон, поступают на орбиту i-го типа, а затем вновь пытаются попасть на обслуживание, образуя экспоненци­ альный поток повторных заявок с интенсивностью µ(i).

Теорема 6. Если m-серверная система с повторными вызовами и N клас­ сами заявок стационарна, то N i = mPb, (18) i=где i := iES(i), а Pb – предельная вероятность занятости каждого серве­ ра.

Теорема 7. Необходимое условие стационарности односерверной системы с пуассоновским входным потоком и N классами заявок (N орбитами) име­ ет следующий вид:

iPb < (1 - Pb)µ(i), i = 1,..., N. (19) В пятой главе представлены результаты имитационного моделирова­ ния систем с конечным буфером. Для моделирования было разработано про­ граммное обеспечение, зарегистрированное в объединенном фонде электрон­ ных ресурсов “Наука и образование” (ОФЭРНиО) № 18480 от 06.08.2012. В рамках моделирования систем с потерями представлены результаты регене­ ративного оценивания Ploss в системе GI/G/m/n (для экспоненциального распределения и распределения Парето интервалов между поступлениями заявок и времен обслуживания). Исследована эффективность k-регенераций в системах M/M/m/n и P areto/M/m/n с точки зрения величины дисперсии оценки Ploss. В рамках моделирования систем с повторными вызовами и по­ стоянной скоростью возвращения заявок с орбиты, представлены результаты регенеративного и квази-регенеративного оценивания Porb (для систем вида M/M/1/0 и M/P areto/1/0). Также приведены результаты оценивания веро­ ятности занятости на конечном интервале и показано, что альтернативная оценка по остаточной длине ц. р. эффективнее стандартной с точки зрения величины дисперсии. Результаты моделирования системы с повторными вы­ зовами вида M/M/1/0 с двумя классами заявок позволяют сделать вывод, что необходимые условия стационарности (19) являются критерием стацио­ нарности системы.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, подведены итоги исследования и предложены перспективы дальней­ шей разработки темы.

Заключение В работе подробно описан регенеративный метод доверительного оце­ нивания, а также его применение для оценивания характеристик систем с конечным буфером. Доказано соотношение, связывающее стационарную ве­ роятность потери со стационарной вероятностью простоя обслуживающего канала для широкого класса немарковских систем, где потери могут быть вызваны различными причинами.

Большое внимание уделено системам с повторными вызовами и постоян­ ной скоростью возвращения заявок с орбиты. Для таких систем исследована эффективность классической и альтернативной оценок вероятности блоки­ ровки, проведено регенеративное оценивание вероятности занятости сервера на конечном интервале. Получены необходимые условия стационарности но­ вого класса систем с повторными вызовами и несколькими типами заявок (несколькими орбитами). Результаты имитационного моделирование систем с потерями и систем с повторными вызовами хорошо согласуются с проведен­ ным теоретическим анализом.

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при анализе характеристик и оценки качества сервиса широкого класса коммуникацион­ ных систем, в том числе мобильных сетей связи, а также сетевых протоколов.

В перспективе планируется продолжать исследование области стацио­ нарности систем с повторными вызовами и несколькими орбитами. Также предполагается развитие регенеративного метода моделирования с целью по­ вешения эффективности оценивания стационарных характеристик телеком­ муникационных систем.

Список публикаций 1. Морозов Е. В., Некрасова Р. С. Оценивание вероятности блоки­ ровки в системе с повторными вызовами и постоянной скоро­ стью возвращения заявок с орбиты // Труды карельского науч­ ного центра РАН. 2011. № 5. С. 63–74.

2. Морозов Е. В., Некрасова Р. С. Об оценивании вероятности пе­ реполнения конечного буфера в регенеративных системах об­ служивания // Информатика и ее применения. 2012. Т. 6, № 3.

С. 90–98.

3. Горичева Р. С., Морозов Е. В. Регенеративное моделирование вероятности потери в системах обслуживания с конечным буфером // Труды карель­ ского научного центра РАН. 2010. № 3. С. 20–29.

4. Goricheva R. S., Morozov E. V. Regenerative simulation of finite buffer queu­ ing systems // Proceedings of AMICT’2009. 2009. Vol. 11. Pp. 88–98.

5. Goricheva R. S., Lukashenko O. V., Morozov E. V., Pagano M. Regenera­ tive analysis of a finite buffer fluid queue // Proceedings of 2010 Interna­ tional Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems andWorkshops (ICUMT), Moscow, 18-20 Oct. 2010. Moscow: IEEE. 2010.

Pp. 1132–1136.

6. Avrachenkov K., Goricheva R. S., Morozov E. V. Verification of stability re­ gion of a retrial queuing system by regenerative method // Proceedings of the Intenational Conference “Modern Probabilistic Methods for Analysis and opti­ mization of Information and Telecommunication Networks”. 2011. Pp. 22–28.

7. Goricheva R. S. Regenerative approach for retrial queuing system // Third Northern Triangular seminar. Programme and abstracts. 2011. Pp. 9–10.

8. Morozov E. V., Nekrasova R. S. On the estimation of the overflow probability in finite buffer systems // XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models and V International Workshop “Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems”, Book of Abstracts. Moscow: Institute of Informatics Problems, RAS. 2011. Pp. 81–82.

9. Avrachenkov K., Morozov E., Nekrasova R., Steyaert B. On stability of a two-class retrial system with constant retrial rate // Proceedings of “9th In­ ternational workshop on retrial queues” 2012. 2012. Pp. 15–16.

10. Некрасова Р. С. Программа «Регенеративное моделирование систем с ко­ нечным буфером» [Электронный ресурс] // Хроники объединенного фон­ да электронных ресурсов «Наука и образование». 2012. № 8. Режим до­ ступа: http://ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2012/8.doc, свободный.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.