WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

ПРОТАСОВА НАТАЛЬЯ НИКОЛАЕВНА

РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ЭЛАСТОМЕРА АКУСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж – 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУ ВПО «ВГУИТ»)

Научный консультант: Битюков Виталий Ксенофонтович Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Научный консультант: Хвостов Анатолий Анатольевич доктор технических наук, доцент

Официальные оппоненты: Абрамов Геннадий Владимирович доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» Подвальный Семен Леонидович Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»

Защита диссертации состоится 25 мая 2012 г. в 1520 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 при Воронежском государственном университете инженерных технологий по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г. Воронеж, пр.

Революции, 19, ФГБОУ ВПО ВГУИТ, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.035.02.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО ВГУИТ.

Автореферат размещён на сайте http://vak2.ed.gov.ru и на официальном сайте ВГУИТ http://www.vsuet.ru «24» апреля 2012 года.

Автореферат разослан «25» апреля 2012 года.

Ученый секретарь совета по защите докторских диссертаций, по защите кандидатских диссертаций Д 212.035.02, кандидат технических наук, доцент И.А. Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность. Эффективным методом для неразрушающего и оперативного контроля релаксационного спектра, вязкоупругих свойств и показателей качества полимеров являются ультразвуковые (УЗ) методы.

При обработке акустической информации для расчета релаксационного спектра полимера численными методами, применяемыми для решения таких задач, на практике возникают большие погрешности. Это обуславливается тем, что они основаны на расчете релаксационного спектра в диапазоне частот, перекрывающем область перехода, что не всегда можно реализовать. При нахождении релаксационного спектра методом акустической спектрометрии частотный диапазон ограничен характеристиками используемых УЗ преобразователей.

В связи с этим актуальной задачей является разработка математических моделей и алгоритмов обработки информации, позволяющих снизить погрешность оценки релаксационного спектра и рассчитываемых на его основе показателей качества полимера в условиях ограниченного диапазона частот исследований.

В данном направлении сделан соответствующий задел в теоретическом и прикладном планах в работах Дж. Ферри, А. А. Тагер, Дж.

Хонеркэмпа, Дж. Уиза, А. Н. Тихонова, А. В Морозова, Г. М. Бартенева, А. Я. Малкина.

Исследование было выполнено в рамках госбюджетной НИР «Разработка и совершенствование математических моделей, алгоритмов регулирования, средств и систем автоматического управления технологическими процессами» (№ г.р. 01960007315).

Цель работы: синтез алгоритма обработки информации частотно-температурного распределения акустических свойств полимеров для снижения погрешности оценки релаксационного спектра и рассчитываемых на его основе показателей качества полимеров.

Для достижения цели поставлены задачи:

1. Синтез модели температурно-частотной зависимости релаксационного спектра и механических потерь полимера;

2. Модификация численного метода регуляризации с использованием процедуры экстраполяции на основе априорной информации о виде функции аппроксимирующей релаксационный спектр;

3. Разработка алгоритма обработки информации частотнотемпературного распределения для расчета релаксационного спектра и вязкоупругих свойств полимера;

4. Разработка предметно-ориентированного алгоритмического обеспечения и комплекса программ, реализующих расчет релаксационного спектра и рассчитываемых на его основе вязкоупругих свойств полимера.

Методы исследования. В работе используются общая методология системного анализа и моделирования систем, математической статистики, физики полимеров, математического моделирования, методы идентификации, оптимизации, регуляризации, экстраполяции.

Научная новизна работы:

по специальности 05.13.1. Синтезирована модель температурно-частотной зависимости релаксационного спектра и механических потерь полимера, отличающаяся использованием двумерных уравнений Пирсона;

2. Предложена модификация численного метода регуляризации для задачи оценки релаксационных спектров полимеров, заключающихся в решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, отличающаяся применением экстраполяции данных на основе априорной информации о виде полимера;

3. Реализован комплекс программ, позволяющий рассчитывать релаксационный спектр полимера по акустическим измерениям;

по специальности 05.13.4. Разработана структура информационно-измерительной системы, адаптированная для оценки вязкоупругих свойств полимеров по акустическим измерениям;

5. Разработано алгоритмическое обеспечение обработки акустической информации, отличающееся возможностью снижения погрешности оценки релаксационного спектра и рассчитываемых на его основе вязкоупругих свойств полимера.

Теоретическая значимость заключается в адаптации численного метода регуляризации для решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в задачах оценки релаксационного спектра полимера по акустическим измерениям.

Практическая значимость. Разработаны алгоритм и программное обеспечение, позволяющие рассчитывать по акустическим измерениям релаксационный спектр и восстанавливаемые из него модуль механических потерь, модуль упругости, тангенс угла механических потерь.





Апробация работы. Основные положения диссертационной работы были доложены на международных конференциях «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-24» (г. Киев, 2011 г.), «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-24» (г.

Пенза, 2011 г.), «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности» (г. Воронеж, 2009 г.), всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых (г. Воронеж, 2009 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в работах, из них 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ, зарегистрировано 1 программное средство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы и приложений. Материал изложен на 132 страницах, содержит 33 рисунка и 12 таблиц.

Список литературы из 123 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе проведен системный анализ существующих методов расчета релаксационных спектров и их математических моделей. Выявлены взаимосвязи релаксационных спектров с вязкоупругими характеристиками.

Во второй главе синтезирована структура системы оценки вязкоупругих свойств полимеров.

На стадии структурного анализа системы с точки зрения преобразования информационных потоков были выделены следующие подсистемы: измерительная, оценки реологических свойств, релаксационного спектра, вязкоупругих характеристик (рис. 1).

Измерительная подсистема определяет коэффициент затухания и скорость с распространения ультразвука в среде. Информация может быть описана кортежем Pc , с . В результате оценки реологических свойств рассчитываем значения модуля механических потерь G" для температур ТУЗ и частот УЗ измерения УЗ P G",T, , характерные для УЗ диапазона. Посредством GУЗ УЗ УЗ УЗ оценки релаксационного спектра H получаем кортеж P H,,G",,T для расширенного частотного интервала, Hp Р Р Р Р P на основе которого осуществляется расчет модуля механических потерь G, Р Pc ,с U TУЗ, УЗ модуля упругости G, тангенса угла Р U TУЗ, УЗ механических потерь tgP полимера P G",T, GУЗ УЗ УЗ УЗ P H,,G",G', P Р Р Р Р tg,,T , выхоР P P дящих за пределы УЗ измерений.

Разработана функциональная модель системы.

P H,,G",,T Hp Р Р Р Р P В третьей главе разработана методика расширеP H,,G",G ',tg,,T P Р Р Р Р Р P P ния экспериментальРис. 1. Структура системы оценки вязкоупругих свойств ного «окна» расчета полимеров релаксационного спектра полимера, основанная на модификации численного метода регуляризации.

Релаксационный спектр определяется из формулы модуля потерь, которая представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

n n H ( ) g(i ) i g(i ) G"() d , H ( ) , (1) 1 2 i 1 2i 2 i1 iгде – время релаксации; – частота; H() – непрерывный спектр времен релаксации; g(i) – дискретный спектр; n – число экспериментальных точек; – шаг дискретизации.

При нахождении распределения H() методом акустической спектрометрии ввиду технических ограничений не всегда доступен диапазон частот, перекрывающий область перехода. В связи, с этим при использовании процедур регуляризации для поиска H() возникают большие погрешности. Уравнение (1) не применимо в узком диапазоне частот, так как ядро принимает а) б) различный вид в широРис. 2. Ядро интегрального уравнения (1) ком и узком диапазонах а) в диапазоне частот Гц, [2 104,107 ] частот (рис. 2). Кроме б) Гц [101,107 ] того, при восстановле G"(), H() G"(), H() нии модуля механических потерь по уравнению (1) из известного релаксационного спектра в ультразвуковом диапазоне частот [2 104,107] Гц ошибка достигает , -1 , -100%, а при расшире, – H() и G"() соответственно в расширенном диапазоне частот;, – H() и G"() в диапазоне нии [101,107 ] Гц – частот экспериментального «окна»; --1= уменьшается до 4% Рис. 3. Модуль механических потерь, полученный в (рис. 3), дальнейшее частотных диапазонах: [2 104,107 ] Гц (а) и расширение диапазона [101,107] Гц (б) частот до интервала, охватывающего область перехода, позволяет устранить погрешность.

Ввиду большой ошибки при восстановлении данных в узком диапазоне частот, можно говорить о неприменимости метода регуляризации с неполным набором данных.

Уравнение (1) является некорректно поставленной задачей по причине неустойчивости решения H() к малым возмущениям G".

Численное решение данных задач осуществлялось методом регуляризации Тихонова с учетом следующей априорной физической информации об искомом решении H(): 1) при нахождении решения H() норма невязки не должна превышать ошибки эксперимента; 2) решение H() 0. Метод заключается в минимизации функционала:

d b b H ( ) dH ( ) d M K (, )d G"() d ( )2 , (2) H d c a a где – численный параметр регуляризации, >0; с, d и a, b– границы частотного и временного диапазонов соответственно.

Для решения на ЭВМ необходима дискретизация задачи. Для первого слагаемого в (2) использовались квадратурные формулы трапеций по обеим переменным, а при аппроксимации второго слагаемого - формулы численного дифференцирования второго порядка для аппроксимации первой производной функции H(). Таким образом, метод регуляризации сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

В качестве экстраполирующей модели использовалась взвешенная сумма функции нормального (3) и логарифмически нормального (4) распределений, так как они определяют характер H():

n Ai G" () exp i 2 / 2i2 Bi, Р (3) i 2 in Ai exp lni / 2i2 Bi,0, G" () i 2 (4) i Р 0,0.

где n – число мод; i – дисперсия i-ой моды; i – математическое ожидание i-ой моды; Ai, Bi – некоторые коэффициенты i-ой моды; – приведенная частота.

В качестве минимизируемого критерия для экстраполяции применялась сумма среднеквадратичной ошибки и отклонения функции от максимума:

fit J k1 s2 k2(G" G" ) max max N N, (5) fit fit k1 G" )2 k2 G" ) (G"i i (G"maxi maxi i1 iгде k1 и k2 – некоторые коэффициенты; s2 – интегрально-квадратичная ошибка; G" – максимум функции; G" – значение функции, полуmax i fit ченное экспериментальным путем для i-ой точки; G" – значение i функции, рассчитанное для i-ой точки; G" – значение максимума maxi функции для i-ой точки; N – количество экспериментальных точек.

Для минимизации применялся метод покоординатного спуска.

Разработан алгоритм (рис. 4) и программа расчета релаксационного спектра.

Начало Режим Режим реального моделирования эксперимента Выбор режима Моделирование для Измерение численного экспериментальных эксперимента данных GУЗ, УЗ данных G, Подсистема моделирования Измерительная подсистема Да Нет В БД есть модель G? Расширение Выбор структуры частотного «окна» модели G экспериментальных данных GР, Р Расширение частотного «окна» Расчет методом экспериментальных регуляризации Hfit, данных GР, Р Определение ошибки Восстановление Gfit 2G экстраполяции S по формуле (1) Да Нет 2G Вычисление ошибок S S . G ( H ) 2G ( H ) D, S G(H) D D Да Нет 2G(H) S S Вычислительная подсистема оценки релаксационного спектра Структура и Структура и Запись структуры начальные параметры и параметров параметры модели модели G модели G G Подсистема хранения Hfit, , Gfit, где DG(H), S2G(H) – среднее относительное отклонение и среднеквадратичная ошибка по G и H; Dдоп, S2 – допустимые значения относительной и среднеквадратичной ошидоп бок; Hfit, G – рассчитанные значения.

fit Рис. 4. Алгоритм определения релаксационного спектра В четвертой главе проведена апробация модифицированного численного метода на экспериментальных данных, приведенных Ферри.

Установлена адекватность метода по критерию Фишера.

1. Исследовано влияние учета априорной информации на результаты восстановления спектра. Так для оценки ошибки предложенного метода рассчитывали H() методом регуляризации из экспериментальных данных в полном диапазоне частот 102-1011 Гц (100%), а также модифицированным методом регуляризации, где G" известен в узких диапазонах частот 2104-107 Гц (33,3% от полного), 2104-106,5 Гц (27,7%), 2104-106 Гц (22,2%), 105-107 Гц (11,1%). Результаты моделирования представлены на рис. 5.

G"107, Па H107, Па , Гц , с Рис. 5. Восстановление релаксационного спектра при различной априорной информации Результаты исследования показали: 1) увеличение априорной информации приводит к уменьшению погрешности; 2) в ультразвуковом диапазоне 2104-107 Гц, составляющем 33,3% от восстанавливаемого, H рассчитывается с ошибкой не превышающей 9,6%.

2. Проведено исследование применимости методики определения релаксационного спектра при введении возмущения входного сигнала от 0% до 13%. В качестве образца использовались данные, моделируемые логарифмически-нормальным распределением (рис. 6).

Выявлено (таблица 1), что при наложении на экспериментальные данные «шума» до 7% ошибка воспроизводимости не превышает 10%. С увеличением «шума» – ошибка резко возрастает и выходит за пределы диапазона применимости.

Таблица Влияние возмущения входного сигнала на погрешность расчета H() Добавочная статистическая ошибка, % 0 1 3 5 7 10 Среднее относительное отклонение, % 1,0 1,8 3,8 7,5 9,4 20,3 104,G"107, Па H107, Па , Гц , с Рис. 6. Зависимости модуля механических потерь и релаксационного спектра при статистических ошибках – 0%;

– 1%; – 3%; – 5%; – 7%; – 10% В пятой главе синтезирована модель спектров механических потерь и времен релаксации на основе двумерных уравнений Пирсона.

Принято допущение, что температура Т и частота статистически независимые величины с коэффициентом корреляции, равным нулю. Для экспериментальной проверки отсутствия статистической связи между температурой и частотой наносимых возмущений проведен эксперимент, показывающий отсутствие сколько-нибудь значительного нагрева образца полимера при длительном воздействии на него УЗ волнами используемой амплитуды и частоты и слабое изменение частоты с изменением температуры.

То есть для случая двумерного распределения функция плотности распределения будет иметь вид:

2 f T, T с0T с0 f T f , (6) T с1T c2TT c3TT c1 c2 c3 где с0T,с1T,c2T,c3T,с0,c1,c2,c3 – постоянные коэффициенты, определяемые методом моментов.

В этом случае для определения вида решения формируется матрица выборочных моментов условных распределений для частотной шкалы измерений:

4,L * M ki k 1,i1, (7) где L – количество опытных точек с фиксированной температурой.

* Аналогично получили матрицу выборочных моментов MT для температурной шкалы.

* * Отображение M C формирует матрицу коэффициентов * * уравнения (6) для частотной и MT CT для температурной шкал.

* * Применяя процедуру CT * и C *, получили матрицы T корней квадратных уравнений знаменателя (6) * , * , где m 1,2 ; i 1, L ; j 1, K ; K – количество T mTj mi опытных точек с фиксированной частотой.

Значения элементов матриц * и * позволили определить T для каждого условного распределения для температурной и частотной шкал тип соответствующего распределения из семейства универсальных распределений Пирсона в соответствии с выражениями:

Tj * *, i * *, i 1, L, j 1, K, (8) T j,1 T j,2 i,1 i,где - символ композиции, определяющей зависимость каждого элемента матрицы от характера корней квадратного уравнения знаменателя (6).

Таким образом, алгоритм построения математической модели, описывающей механические потери в полимере, будет выглядеть следующим образом:

1. Разбиение множества всех наблюдаемых экспериментально точек в плоскости T, на подмножества, характеризующие отдельные вы борки, относящиеся к определенному релаксационному механизму;

2. Формирование выборок условных распределений по температурам и частотам из множества экспериментальных точек, относящихся к каждому релаксационному механизму подмножеств экспериментальных точек;

3. Проведение процедур нормировки для расчета выборочных моментов условных распределений;

4. Определение выборочных моментов M, МT ;

5. Расчет параметров С, СT и корней , T квадратных уравнений в знаменателе (6);

6. Принятие решения о типе распределения из семейства универсальных распределений Пирсона;

7. Определение параметров распределения , ,, T ;

T 8. Формирование структуры поверхности;

9. Уточнение параметров суммарного многомодального распределения с использованием метода сопряженных градиентов по критерию МНК и начальными приближениями, полученными на этапе 7;

10. Оценка погрешности и адекватности полученной модели.

Экспериментальные зависимости, полученные в работе, соответствуют бета-распределению первого рода (распределению Пирсона первого типа). При этом уравнение релаксационных характеристик имеет вид:

k T T f T, y(T) 1 y(T) B T 1,T , (9) kT y() 1 y() B 1, где k, kT – коэффициенты; y i i 1i / 2i, y Tj Tj 1Tj / 2Tj – аргументы распределения; 1i 1i 1i, 2i 1i , 1Tj 1Tj 1Tj, 2Tj 1Tj ; , и ,T – 2i 2Tj T вектора параметров, элементы которых определяются по формулам:

i 1i c0i / с3i 1i , 1Tj с0Tj / c3Tj 1Tj , 2i Tj 2Tj i c0i / с3i 1i , Tj с0Tj / c3Tj 1Tj .

2i 2i 2Tj 2Tj В случае нескольких эффективных времен релаксации в соответствии с принципом суперпозиции релаксационных процессов в полимерах результирующая функция f T, будет представлена взве шенной суммой соответствующих двумерных функций плотности.

Таким образом, получаем обобщенный вид уравнения:

D N kdi di di f (Par) (10) B 1,di 1 y(Par) 1 y(Par), d i di где Par – параметры распределения; kdi – весовой коэффициент вклада i-го релаксационного процесса; D – количество измерений, в которых происходит распределение, может быть время, технологическая добавка, концентрация; N – количество мод по каждому из измерений.

Рассмотрен пример использования предложенного подхода к моделированию модуля механических потерь G" ,T. В качестве имитационной модели выбрана модель Максвелла. После проведения шагов 1-6 приведенного алгоритма была сформирована структура следующего вида:

kT1 T T y(T ) 1 y(T ) B T1 1,T1 1 G" T, T kT .

T (11) B T 2 1,T 2 1 y(T ) 1 y(T ) k y() 1 y() B 1, Результаты проведенной параметрической идентификации сведены в таблице 2. Графическая интерпретация представлена на рис. 7.

Таблица Значения параметров математической модели (11) Пара- Переход по Пере метры температуре ход рас- по преде- часления тоте I II I 1 0,51 0,70 -3,2 10,97 36,64 19, 10,44 2,21 15, 6,71 30,13 20,Рис. 7. Распределение механических потерь k 0,60 0,16 0,Построенная двумерная модель дает возможность при высокой частоте оценить по термограмме переходы, наблюдаемые при низких температурах. Таким образом, применение двумерной модели позволяет определять температурный переход по акустическим измерениям.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 1. Синтезирована модель распределения релаксационного спектра и спектра механических потерь полимера по температуре и частоте на основе двумерных уравнений Пирсона. Величина средней относительной ошибки составила 3,8%, коэффициент парной корреляции 0,996.

2. Разработана модификация численного метода регуляризации, которая как для численного эксперимента, так и при интерпретации экспериментальных данных позволила из известного частотного диапазона составляющего 33% от восстанавливаемого определить релаксационный спектр с погрешностью, не превышающей 9,6%.

3. Оценка устойчивости к возмущению входного сигнала до 7% показала, что погрешность расчета спектра времен релаксации полимера не превысила 9,4%.

4. Синтезирована структура информационно-измерительной системы, позволяющая получать оценки вязкоупругих свойств полимеров по акустическим измерениям.

5. Разработаны алгоритмы и комплекс программ для оценки релаксационного спектра и рассчитываемых на его основе показателей качества полимера.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Битюков, В.К. Сравнительная характеристика методов расчета спектров времен релаксации полимеров [Текст] / В.К. Битюков, А.А.

Хвостов, Н.Н. Третьякова // Вестник Воронежской государственной технологической академии. – 2010. – №2. – С. 85-89.

2. Модификация алгоритмов регуляризации в задачах оценки спектров времен релаксации полимеров [Текст] / В.К. Битюков, А.А. Хвостов, Н.Н. Третьякова, А.А. Рязанов // Системы управления и информационные технологии. – 2010. – №4.1(42). – С. 110-114.

3. Модели спектров механических потерь и времен релаксации на основе двумерных уравнений Пирсона [Текст] / В.К. Битюков, С.Г. Тихомиров, А.А. Хвостов, Н.Н. Третьякова // Вестник Воронежской государственной технологической академии. – 2011. – №2. – С. 9-12.

публикации в других изданиях 4. Хвостов, А.А. Экстраполяция частотных спектров в задаче регуляризации при определении спектров времен релаксации полимеров [Текст] / А.А. Хвостов, Н.Н. Третьякова // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-24: сб. трудов XXIV Международ.

науч. конф.: В 10 т. Т.2. Секция 2, 8 / под общ. ред. В.С. Балакирева. – Киев : Национ. Техн. Ун-т Украины «КПИ». – 2011. – С. 51-53.

5. Битюков, В.К. Двупараметрическое моделирование спектров механических потерь и спектров времен релаксации [Текст] / В.К. Битюков, А.А. Хвостов, Н.Н. Третьякова // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-24: сб. трудов XXIV Международ. науч.

конф.: В 10 т. Т.8. Секция 12 / под общ. ред. Балакирева В. С. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. технол. академия. – 2011. – С. 149-151.

6. Битюков, В.К. Использование генетических алгоритмов в процессе регуляризации при определении спектров времен релаксации полимеров [Текст] / В.К. Битюков, А.А. Хвостов, Н.Н. Третьякова // Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности. – Воронеж гос. технол. акад. – 2009. – С. 35-37.

7. Хвостов, А.А. Программа расчета акустических характеристик свойств среды по данным измерений ультразвуковыми преобразователями и цифровым осциллографом [Электронный ресурс] / А.А. Хвостов, М.А. Зайчиков, Н.Н. Третьякова // Государственный фонд алгоритмов и программ, регистрационный номер 50200800023;

21.12.2007.

Подписано в печать 23 апреля 2012 г. Формат 60x84 1/Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз.

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУ ВПО «ВГУИТ») Участок оперативной полиграфии ФГБОУ ВПО «ВГУИТ» Адрес университета и участка оперативной полиграфии 394036, г. Воронеж, пр. Революции,






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.