WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Строганов Сергей Александрович

Применение диадических вейвлетов для цифровой обработки сигналов

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Российском государственном геологоразведочном университете имени Серго Орджоникидзе.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, Любушин Алексей Александрович Научный консультант: кандидат физико-математических наук, Фарков Юрий Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Кюркчан Александр Гаврилович кандидат физико-математических наук, доцент, Гавриков Михаил Борисович

Ведущая организация: ФГБУН Институт математики имени С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита состоится « » 2012 г. в часов на заседа­ нии диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском го­ сударственном технологическом университете «СТАНКИН», расположенном по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. 3а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Москов­ ского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент Семячкова Е.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность работы В последнее время активно развиваются различные методы цифровой обработки сигналов. В настоящее время в России в этой области активно работают В.В. Сергеев, В. М. Чернов, М.В. Гашников, А.А. Потапов и дру­ гие. Из зарубежных специалистов можно отметить С. Малла, Э. Айфичера, Б. Джервиса, Г. Штарка, М. Фрейзера, Р. Гонсалеса и Р. Вудса. В частно­ сти, широкое распространение и развитие получили методы, основанные на использовании вейвлетов. В некоторых работах на русском языке вейвлеты называют всплесками. Одной из первых задач, в которой вейвлеты продемон­ стрировали свои преимущества, стала задача хранения дактилоскопических изображений. В США разработан и активно применяется национальный стан­ дарт сжатия дактилоскопических изображений, основанный на применении биортогональных вейвлетов. Этот стандарт позволяет достигать коэффици­ ента сжатия 1:15. Для широкого класса изображений, в том числе для фо­ тографий, методы цифровой обработки, основанные на использовании вей­ влетов, показывают лучшие результаты, чем другие методы обработки изоб­ ражений. В стандарте JPEG2000 для решения задач кодирования и сжатия изображений используется вейвлет-преобразование. Применяемые в диссер­ тации методы используют элементы общей теории дискретных преобразова­ ний Уолша и связаны с недавними результатами Б. Сендова (B. Sendov), В.

Лэнга (W.C. Lang), В.Ю.Протасова, Ю.А.Фаркова и Ф. Шаха (F.A.Shah) о вейвлетах, определяемых с помощью функций Уолша. Одной из централь­ ных проблем при использовании вейвлетов для цифровой обработки сигна­ лов является выбор вейвлета. Например, в монографии С. Малла излагается метод выбора оптимального вейвлет-базиса для нелинейной аппроксимации сигнала, а в работах А.А. Любушина выбор оптимального вейвлет-базиса поз­ воляет оценивать гладкость низкочастотных микросейсмических колебаний.

Таким образом, построение новых вейвлет-базисов и расширение возможно­ стей их адаптации к анализу и обработке сигналов являются актуальными научными задачами.

Цель диссертационной работы 1. Построение ортогональных и биортогональных диадических вейвлет­ базисов в пространствах периодических и непериодических последова­ тельностей.

2. Разработка алгоритма дискретного диадического вейвлет-преобразова­ ния.

3. Применение диадических вейвлетов для оценки гладкости шума в мо­ дели малых блоков земной коры.

4. Применение диадических вейвлетов в задачах цифровой обработки изоб­ ражений.

Научная новизна 1. Построены ортогональные и биортогональные диадические вейвлет-бази­ сы в пространствах последовательностей и приведено их полное описа­ ние.

2. Исследованы системы диадических вейвлет-фильтров, разработан алго­ ритм построения многоэтапных биортогональных диадических вейвлет­ базисов на основе систем вейвлет-фильтров.

3. Разработан алгоритм дискретного диадического вейвлет-преобразова­ ния на основе быстрого преобразования Уолша.

4. Приведены примеры применения диадических вейвлетов в задачах ко­ дирования изображений, а также для оценки гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний.

Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для цифровой обработки сигналов, в частности в задачах кодирования изображе­ ний, а также для анализа геофизических данных.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конфе­ ренциях:

1. IX международная конференция «Новые идеи в науках о Земле» (РГГ­ РУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2009 г.).

2. VI Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения"(ЮФУ, г. Новороссийск, 2010 г.).

3. Российская конференция «Методы сплайн-функций», посвященная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова (Институт математики им. С.Л. Со­ болева СО РАН, г. Новосибирск, 2011 г.).

4. X международная конференция «Новые идеи в науках о Земле» (РГГ­ РУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2011 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных ра­ ботах, из них три статьи в рецензируемых журналах [1–3], одна статья в сборниках трудов конференций [5] и 4 тезисов докладов [4, 6–8].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово­ дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю­ щим. Все представленные в диссертации результаты получены лично авто­ ром.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 110 стра­ ниц включая 11 рисунков, 8 таблиц и два приложения. Библиография вклю­ чает 48 наименований на 6 страницах.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследования, показа­ на практическая значимость полученных результатов. Приведено содержание структуры диссертации и краткое содержание работы.

В первой главе рассматриваются биортогональные диадические вей­ влеты в пространстве периодических последовательностей l2(ZN). Простран­ ство l2(ZN) состоит из комплексных последовательностей x = (..., x(-1), x(0), x(1), x(2),... ) таких, что x(j + N) = x(j) для всех j Z. Для удобства изложения опреде­ лены также числа N = N/2, 1 n.

Двоичная свертка векторов x и y из l2(ZN) определяется по формуле N-(x * y)(l) := x(l j)y(j), l ZN, j=где - операция поразрядного сложения по модулю 2.

Для каждого x l2(ZN) определяется также оператор сдвига Tk : l2(ZN) l2(ZN) такой, что (Tkx)(l) := x(lk), l ZN. Далее доказываются следующие равенства:

x * y = N x y, x, y = N x, y , Tkx(l) = wk(l/N)x, Tkx, Tly = x, Tkly, x, Tky = x * y(k), где {wj} – система функций Уолша, а x – дискретное преобразование Уолша последовательности x.

По формуле 1 B(u, v) = {T2ku}N -1 {T2kv}N -1 (1) k=0 k=определяется множество двоичных сдвигов последовательностей u, v l2(ZN).

Если для некоторых u, v, s, l2(ZN) множества B(u, v) и B(s, ), определен­ ные по формуле (1), образуют пару биортогональных базисов в l2(ZN), то эти множества называются биортогональными диадическими вейвлет-базисами первого этапа в l2(ZN). Последовательности u, v, s, называются порожда­ ющими пос ледовате льностями соответствующих диадических вейвлет-бази­ сов. Доказывается следующая теорема, которая характеризует все возмож­ ные порождающие последовательности.

Теорема 1. Пусть u, v, s, l2(ZN). Систе мы B(u, v) и B(s, ) являются биортогональными диадически ми вейвлет-базисами в l2(ZN) тогда и то лько тогда, когда u(l) u(l + N1) s(l) (l) 1 = (2) N2 0 v(l) v(l + N1) s(l + N1) (l + N1) для всех l = 0, 1,..., N1 - 1.

Затем показывается, что для построения вейвлет-базисов первого этапа необязательно задавать четыре последовательности, удовлетворяющих усло­ виям теоремы 1. Можно выбрать последовательности u, s l2(ZN), которые удовлетворяют условию u(l)s(l) + u(l + N1)s(l + N1) = 2/N2, (3) для любого l = 0, 1,..., N1 - 1, а последовательности v, l2(ZN) задать равенствами v(l) = (-1)ls(1 l), (l) = (-1)lu(1 l), l ZN. (4) Доказано, что в этом случае множества B(u, v) и B(s, ) являютcя биорто­ гональными диадическими вейвлет-базисами в l2(ZN). На основе этого утвер­ ждения предложен следующий метод построения вейвлет-базиса первого эта­ па:

1) выбираются последовательности u, s l2(ZN) так, чтобы они удовлетво­ ряли условиям (3);

2) по формуле (4) определяются последовательности v, l2(ZN).

Получившиеся в итоге последовательности u, s, v, удовлетворяют условиям теоремы 1 и порождают пару биортогональных диадических вейвлет-базисов первого этапа в l2(ZN).

Далее рассматривается разложение вектора x l2(ZN) по базисам B(u, v) и B(s, ). Для вычисления координат вектора x в этих базисах путем умно­ жения x на матрицу перехода требуется N2 комплексных умножений. Чтобы быстро вычислить координаты вектора x в базисе B(u, v) (или B(s, )) тре­ буется использовать тот факт, что x, T2ku = x*u(2k) и аналогично для v. В итоге вектор x в базисе B(u, v) можно представить в виде двух сверток с по­ следующим отбрасыванием координат с нечетными индексами. Для описания быстрого перехода от евклидового стандартного базиса к вейвлет-базису и об­ ратно, для 0 n вводятся следующие операторы: D : l2(ZN) l2(ZN ) и U : l2(ZN ) l2(ZN), определяемые по формулам (Dx)(j) = x(2j), y(j/2), если j делится на 2, (Uy)(j) = 0, если j не делится на 2, где x l2(ZN), y l2(ZN ), j = 0, 1,..., N - 1. Эти операторы называются операторами сгущающей и разрежающе й выборки соответственно.

Разложение вектора x l2(ZN) по базисам B(u, v) и B(s, ) происходит по формулам N1-1 N1-x = (D(x * u)(k))T2ku + (D(x * v)(k))T2kv (5) k=0 k=и N1-1 N1-x = (D(x * s)(k))T2ks + (D(x * )(k))T2k. (6) k=0 k=Формулы (5) и (6) называются формула ми анализа первого этапа. Восста­ новление вектора x происходит по формула м синтеза первого этапа:

* U(D(x * v)) + s * U(D(x * u)) = x и v * U(D(x * )) + u * U(D(x * s)) = x.

Затем для некоторого натурального m n рассматривается система B(, ), определяемая по формуле 1 2 m m m m {T2k1}N -1 {T4k2}N -1 · · · {T2 km}N -1 {T2 km}N -1, (7) k=0 k=0 k=0 k=где 1, 2,..., m, m l2(ZN), и система B(, ), определяемая аналогично по векторам 1, 2,..., m, m l2(ZN). Если системы B(, ) и B(, ) обра­ зуют пару биортогональных базисов в l2(ZN), тогда они называются m-этапными биортогональными диадическими вейвлет-базиса ми в п рос транстве l2(ZN).

Для построения подобных вейвлет-базисов нужно выбрать m-этапную последовательность диадичесикх биортогональных вейвлет-фильтров u1, s1, v1, 1, u2, s2, v2, 2,..., um, sm, vm, m, таких, что u, v, s, l2(ZN ) -для любого = 1, 2,..., m и любого l = 0, 1,..., N выполнено равенство u(l) u(l + N) s(l) (l) 1 =. (8) N-1 0 v(l) v(l + N) s(l + N) (l + N) Если положить 1 = u1, = s1, 1 = v1, = 1 и определить , , , для = 2,..., m по формулам = -1 * U-1(u), = -1 * U-1(v) (9) и = -1 * U-1(s), = -1 * U-1(), (10) то последовательности , , , порождают m-этапный вейвлет-базис с пространстве l2(ZN). Соответственно, задача построения диадических много­ этапных базисов сводится к выбору последовательности вейвлет-фильтров.

Также доказано, что последовательность вейвлет-фильтров может быть по­ строена с использованием порождающих последовательностей вейвлет-базиса первого этапа. Такие последовательности фильтров называют стационарны­ ми.

В конце первой главы приведены примеры последовательностей, порож­ дающих ортогональные и биортогональные диадические вейвлет-базисы в пространстве l2(ZN).

Пример 1. Пусть даны комплексные числа b0, b1, b0, b1 такие, что b0 b0 + b1 b1 = 1. (11) Положим b0 + b1 b0 - b1 b0 + b1 b0 - bu = ( , , 0,..., 0), s = ( , , 0,..., 0).

2 2 2 1 Тогда системы {T2ku}N -1 и {T2ks}N -1 являются биортогональными и удо­ k=0 k=влетворяют условию (3). Таким образом, для каждых значений параметров b0, b1, b0, b1 последовательности u, s порождают биортогональные диадические вейвлет-базисы в пространстве l2(ZN).

Во второй главе рассматриваются диадические вейвлеты в простран­ стве непериодических последовательностей l2(Z+). Процесс построения диа­ дических вейвлетов в этом пространстве в целом аналогичен подходу, изло­ женному в главе 1. Основное отличие заключается в том, что пространство l2(Z+) является бесконечномерным, поэтому дополнительно требуется дока­ зывать полноту полученных вейвлет-систем.

Еще одним отличием является тот факт, что свертка двух последователь­ ностей из пространства l2(Z+) не всегда принадлежит этому пространству, по­ этому при построении диадических вейвлет-систем порождающие последова­ тельности приходится выбирать из более узкого класса последовательностей – пространства l1(Z+).

Несмотря на то, что пространство l2(Z+) позволяет рассматривать беско­ нечные сигналы, на практике встречаются только сигналы конечной длины.

Поэтому отдельно рассматриваются последовательности u, v, s, , все элемен­ ты которых, начиная с некоторого индекса M, равны нулю. Доказаны следу­ ющие две леммы.

Лемма 1. Пусть M N, M N = 2n и u, v, s, таковы, что систе мы {T2ku}kZ {T2kv}kZ и {T2ks}kZ {T2k}kZ являются биортогональны­ + + + + ми диадическими вейвлет-базисами первого этапа в пространстве l2(Z+).

По ложи м u(m) = s(m) = v(m) = (m) = 0 для всех m M.

Опреде лим пос ледовате льность u(N) равенствами u(N)(m) = u(m), m = 0, 1,..., N - 1, (12) и аналог ично опреде лим пос ледовате льности s(N), v(N), (N). Тогда множе­ ства {T2ku(N)}N-1 {T2kv(N)}N-1 и {T2ks(N)}N-1 {T2k(N)}N-1 являются k=0 k=0 k=0 k=биортогональными диадическими вейвлет-базисами первого этапа в п ро ­ странстве l2(ZN).

Лемма 2. Пусть n N, N = 2n и u, v, s, таковы, что множества {T2ku}N-1 k={T2kv}N-1 и {T2ks}N-1 {T2k}N-1 являются биортогональными диадиче­ k=0 k=0 k=скими вейвлет-базиса ми первого этапа в пространстве l2(ZN). Опреде лим пос ледовате льность u(N) равенствами u(N)(m) = u(m), m = 0, 1,..., N - 1, (13) и аналогично опреде лим пос ледовате льности s(N), v(N), (N). Кро ме того, по­ ложим u(N)(m) = s(N)(m) = v(N)(m) = (N)(m) = 0 для всех m N.

Тогда систе мы {T2ku(N)}kZ {T2kv(N)}kZ и {T2ks(N)}kZ {T2k(N)}kZ + + + + являются биортогональными диадическими вейвлет-базисами первого эта­ па в пространстве l2(Z+).

Эти две леммы показывают, что последовательности вейвлет-фильтров с конечным количеством ненулевых элементов могут порождать как базисы в пространстве l2(ZN), так и базисы в пространстве l2(Z+).

В третьей главе рассматриваются примеры применения диадических вейвлетов в задачах цифровой обработки сигналов. В первом разделе рас­ сматривается задача кодирования изображений с использованием методики из книги Э. Уэлстида "Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии."(М.: Триумф, 2003). Для адаптации диадических вейвлетов приво­ дится метод кодирования изображений с "обратной связью", состоящий из следующих шагов:

1) представление входного изображения в виде массива его вейвлет-коэф­ фициентов;

2) квантование вейвлет-коэффициентов;

3) восстановление изображения и подсчет величины PSNR;

4) замена параметров для достижения наилучшего значения PSNR.

При проведении численных экспериментов на этапе квантования исполь­ зовались два метода:

1) аналогично подходу из книги Уэлстида выбиралось заданное количе­ ство наибольших по модулю вейвлет-коэффициентов (10%, 5% и 1%), остальные коэффициенты полагались равными нулю (метод А);

2) к вейвлет-коэффициентам применялось равномерное квантование с мерт­ вой зоной в окрестности нуля (этот метод квантования используется в стандарте JPEG2000). В этом случае каждый вейвлет-коэффициент d(x, y) квантуется по формуле |d(x, y)| d(x, y) = sign(d(x, y)) , (14) где · - целая часть числа, а - шаг квантования(метод B).

На этапе замены параметров вейвлета использовался рекурсивный гене­ тический алгоритм, в котором целевой функцией являлась величина PSNR.

Эксперименты проводились на наборе тестовых изображений в градаци­ ях серого, размером 256 на 256 точек. Результаты, полученные для семейств диадических вейвлетов сравнивались с результатами классических вейвле­ тов Хаара, Добеши и биортогональных вейвлетов 9/7. В приведенных ниже таблицах семейство диадических вейвлетов из примера 1 обозначено Diad2.

При квантовании методом А наилучшие результаты полученные с помощью диадических вейвлетов совпали с соответствующими результатами с исполь­ зованием вейвлета Хаара. Результаты кодирования изображений с использо­ ванием квантования методом B приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1. Значения PSNR для кодирования изображений с использованием равномерного квантования при = Хаар Добеши 2 Добеши 3 9/7 Diadlena 30,269 30,7794 30,895 30,8476 32,19winter 27,9076 27,4528 27,4491 27,3506 28,06rose 30,0886 30,7862 30,848 30,7404 32,7bridge 27,6703 27,8367 27,9107 27,8176 29,20bird 33,6583 34,1995 34,1716 34,1706 37,00goldhill 28,9705 29,0937 29,0987 29,0128 30,80rentgen 33,4646 34,7148 34,8296 34,6202 37,46Из таблиц 1 и 2 видно, что для рассматриваемых изображений диадиче­ ские вейвлеты имеют преимущество по сравнению с вейвлетами Хаара, Добе­ ши и 9/7.

Во втором разделе третьей главы проводится моделирование эффекта увеличения гладкости шума в результате консолидации блоков земной коры перед землетрясением.

А.А. Любушиным предложен следующий алгоритм оценки гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний.

Таблица 2. Значения PSNR для кодирования изображений с использованием равномерного квантования при = Хаар Добеши 2 Добеши 3 9/7 Diadlena 26,5705 26,9963 27,1921 27,0934 29,72winter 23,6092 23,5419 23,5522 23,4673 25,34rose 26,3883 27,0317 27,1635 27,1866 30,07bridge 24,079 24,2955 24,3748 24,3238 26,75bird 30,2007 30,5725 30,5684 30,6482 34,80goldhill 25,7242 25,9855 25,9216 25,9409 28,67rentgen 30,059 31,108 31,2156 31,1372 35,401. Выбирается некоторое множество вейвлет-базисов.

2. Из сигнала производится удаление тренда локальными полиномами вось­ мого порядка.

3. Для каждого вейвлет-базиса из выбранного множества - вычисляется дискретное вейвлет-преобразование сигнала;

- по формуле E = - pj log2 pj, pj = d2/S, S = d2, j j j j где dj – вейвлет-коэффициенты сигнала, вычисляется энтропия квадратов вейвлет-коэффициентов.

4. В качестве показателя гладкости сигнала выбирается показатель глад­ кости вейвлета с наименьшим значением энтропии.

А.А. Любушин использовал в своих работах вейвлеты Добеши поряд­ ков 1-10 и симлеты, порядков 4-10 (под порядком понимается число обнуля­ емых моментов у материнской функции). В качестве показателя гладкости для этих вейвлетов был выбран порядок вейвлета. А.А. Любушиным было показано, свойство гладкости волновых форм сейсмического шума отражает подготовку сильного землетрясения, а именно, задолго перед сейсмической катастрофой 11 марта 2011 г. в Японии среднее число обнуляемых момен­ тов сейсмического шума на станциях сети F-net, после устранения трендов, обусловленных приливами, существенно возросло, то есть шум стал более гладким.

Для моделирования эффекта увеличения гладкости шума каждый ма­ лый блок земной коры представляется как линейное колебательное звено, описываемое уравнением авторегрессии 2-го порядка:

X()(t) + a()X()(t - 1) + a()X()(t - 2) = ()(t), (15) 1 где X()(t) – колебание блока; = 1,..., m – индекс, нумерующий различ­ ные малые блоки земной коры, общим числом m; t Z – целочисленный временной индекс, нумерующий последовательные отсчеты; ()(t) – случай­ ный процесс, накачивающий энергией блок с номером ; (a(), a()) – пара­ 1 метры блока (коэффициенты авторегрессии), задающие передаточные и резо­ нансные свойства блока. Под случайными процессами ()(t) будем понимать последовательности независимых случайных величин с нулевым средним и с одинаковой дисперсией 2, распределенных по Гауссу с плотностью веро­ ятности e-x /( 2), иными словами, независимые гауссовские белые шу­ мы. Процесс консолидации малых блоков моделируется резким уменьшени­ ем стандартного отклонения разброса параметров (a(), a()) около среднего 1 вектора (a() = 0, a() = 0.5), что эквивалентно более равномерному распре­ 1 делению свойств земной коры внутри большого консолидированного блока, образующегося из большого числа малых блоков.

На рисунке 1 представлены результаты оценки показателя гладкости (числа обнуляемых моментов) в скользящем временном окне до и после кон­ солидации. Видно, что после консолидации среднее значение показателя глад­ кости существенно выросло, что соответствует оценкам по реальным данным наблюдений.

0 10000 20000 30000 400Рис. 1. Показатель гладкости шума для ортогональных вейвлетов Добеши (число обнуля­ емых моментов). Синяя линия – среднее значение для положения правого конца сколь­ зящего окна 20000. Красная линия – среднее значение для положения правого конца скользщего окна 220В третьем разделе третьей главы рассматриваются диадические мас­ штабирующие функции и соответствующие им вейвлеты в пространстве L2(R+), порожденные диадическими вейвлетами из пространств последова­ тельностей, и их применение для оценки гладкости низкочастотных микро­ сейсмических колебаний. В диссертационной работе рассматриваются мас­ штабирующие функции и соответствующие им вейвлеты порожденные после­ довательностью из пространства l2(Z8):

1 + a + b + c + + + 1 + a + b + c - - - u(0) = , u(1) = , 4 2 4 1 + a - b - c + - - 1 + a - b - c - + + u(2) = , u(3) = , 4 2 4 1 - a + b - c - + - 1 - a + b - c + - + u(4) = , u(5) = , 4 2 4 1 - a - b + c - - + 1 - a - b + c + + - u(6) = , u(7) = , 4 2 4 где a, b, c, , , C : |a|2 + ||2 = |b|2 + ||2 = |c|2 + ||2 = 1, a, = 0.

Построение и оценки гладкости этих диадических вейвлетов представлены соответственно в работе Е.А. Родионова и Ю.А. Фаркова, опубликованной в "Математических заметках"в 2009 г.

Вычислительные эксперименты проводились с использованием данных сети F-net за период с начала 1997 года, по июль 2011 года. На рисунке представлены графики изменения показателя гладкости по всем станциям сети F-net, дополнительно сглаженные во временном окне длиной 30 суток.

Видна основная деталь поведения всех показателей гладкости шума: во вре­ менном интервале с начала 2002 до 2004 гг. произошло плавное повышение гладкости, причем средний уровень параметров гладкости оставался высо­ ким вплоть до землетрясения 11.03.2001. После сейсмической катастрофы показатели гладкости на графиках (а) и (б) резко упали и, таким образом, параметры гладкости волновых форм низкочастотных микросейсм в формах Добеши и диадических вейвлетов обладают прогностическими свойствами, что делает их перспективным в использовании в прогностических системах мониторинга.

a 1.1.1.1.0.1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 20Рис. 2. Графики различных показателей гладкости волновых форм микросейсмического шума, усредненные по всем станциям сети F-net и сглаженные по времени в окне длиной 30 суток: (а) - оценка с использованием вейвлетов Добеши и симлетов, (б) - оценка с использованием диадических вейвлетов В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложения вынесены тексты программ основных алгоритмов, из­ ложенных в диссертационной работе, а также набор тестовых изображений и примеры восстановления закодированных изображений.

Основные результаты работы 1. Построены диадические ортогональные и биортогональные вейвлет-бази­ сы в пространствах периодических и непериодических последовательно­ стей. Приведено их полное описание.

2. Разработан алгоритм построения диадических вейвлет базисов с исполь­ зованием стационарных и нестационарных систем вейвлет-фильтров.

3. Разработаны алгоритмы прямого и обратного дискретных диадических вейвлет-преобразований на основе быстрого преобразования Уолша. По­ лучены оценки быстродействия этих алгоритмов.

4. Разработаны программы на языке С#, реализующих рассмотренные в диссертационной работе алгоритмы.

5. Показано, что в задачах кодирования изображений, диадические вейвле­ ты не уступают, а зачастую превосходят классические вейвлеты Хаара и Добеши, а также биортогональный базис 9/7.

6. Показано, что диадические вейвлеты обладают прогностическими свой­ ствами при оценке гладкости низкочастотных микросейсмических коле­ баний.

7. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в систе­ мах обработки цифровых сигналов, кодирования и сжатия изображе­ ний, а также для анализа геофизических данных и системах монито­ ринга. Рекомендуется использование результатов диссертации при под­ готовке специалистов в учебном процессе по направлению 231300 «При­ кладная математика».

Список публикаций в изданиях, рекомендованных ВАК 1. Строганов С.А. Оценка гладкости низкочастотных микросейсмических ко­ лебаний при помощи диадических вейвлетов. // Геофизические исследова­ ния. 2012. Т. 13, № 1. С. 60–65.

2. Фарков Ю.А., Строганов С.А. О дискретных диадических вейвлетах для обработки изображений. // Известия вузов. Математика. 2011. № 7.

С. 57–66.

3. Farkov Yu.A., Maksimov A.Yu., Stroganov S.A. On biorthogonal wavelets re­ lated to the Walsh functions. // International Journal of Wavelets, Multireso­ lution and Information Processing. 2011. Vol. 9, no. 3. P. 485–499.

Список публикаций в сборниках трудов научных конференций 4. Максимов А.Ю., Строганов С.А. О применении диадических вейвлетов для сжатия изображений // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Саратов. зимн. шк., посв. памяти акад.

П.Л. Ульянова. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2008. С. 108–109.

5. Строганов С.А. О дискретных диадических вейвлетах их применении для обработки изображений. // XVIII Международная конференция "Мате­ матика. Экономика. Образование."VI Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения."Междисциплинарный семинар "Информационно­ коммуникационные технологии."Труды. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010.

С. 4–8.

6. Строганов С.А. О дискретных диадических вейвлет-преобразованиях // Х международная конференция «Новые идеи в науках о Земле», Москва, РГГРУ, 12-15 апреля 2011. Доклады. Том 3. М: Экстра-принт, 2011. С. 208.

7. Строганов С.А. О применении диадических биортогональных дискретных всплесков для обработки изображений // Методы сплайн-функций. Рос­ сийская конференция, посвящённая 80-летию со дня рождения Ю.С. За­ вьялова (Новосибирск, 31 января – 2 февраля 2011 г.): Тез. докладов. Но­ восибирск: ИМ СО РАН, 2011.

8. Строганов С.А., Фарков Ю.А. О диадических фреймах, определяемых по вейвлетам на полупрямой. // IX Международная конференция «Новые идеи в науках о Земле». Москва, РГГРУ, 14-17 апреля 2009 года. Доклады.

Том 3. М: РГГРУ, 2008.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.