WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Рябков Олег Игоревич

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ КОНСЕРВАТИВНО-ДИССИПАТИВНОГО ПЕРЕХОДА В СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Магницкий Николай Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сидоров Сергей Васильевич кандидат физико-математических наук, доцент Тихомиров Василий Васильевич

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Бау­ мана

Защита состоится «12» декабря 2012 г. в 15:30 на заседании Диссертацион­ ного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Фе­ дерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из выдающихся достижений XX века было открытие в динамических системах явлений, принципиально невозмож­ ных без наличия в них нелинейности. Эти эффекты были найдены в совер­ шенно различных естественных науках: физике, химии, биологии, экономике.

Найденные системы характеризовались с одной стороны полной нерегулярно­ стью поведения, наблюдаемой стохастичностью (например, турбулентность), а с другой - внезапно возникающими стабильными режимами (ячейки Бе­ нара). Как правило общее во всех этих системах было только одно - нели­ нейные члены в уравнениях, описывающих процесс. Сложность математиче­ ского исследования заключалась в том, что для нелинейных систем нет об­ щих принципов выписывания аналитического решения. Удается это сделать обычно только в редких случаях. Это породило новые методы исследования подобных систем, такие как теория бифуркаций, линеаризация вблизи ста­ ционарных или периодических решений, геометрический подход. Последний наметил связь с топологией.

Хотя считается, что в технике любые автоколебания, вызванные нели­ нейностью, являются вредными и, следовательно, исследования достаточно вести лишь в тех областях фазового пространства и пространства парамет­ ров, где система ведет себя как линейная, существует множество природных процессов (атмосферные явления, тайфуны, процессы в организме человека и животных), в которых нелинейность является неустранимой и более того существенной компонентой динамики. Исследование подобных явлений пред­ ставляет научный и практический интерес, в то время как отсутствие общей теории мешает продвижению в соответствующих областях. К перечисленно­ му можно добавить проблему управляемого термоядерного синтеза (УТС).

Хотя в решении этой проблемы и был сделан существенный прогресс, она еще далека от своего окончательного решения.

Между тем, нелинейная динамика породила массу чисто математиче­ ских моделей, например, огромное число моделей с дискретным временем различного рода отображений. Связь этих отображений с реальными дина­ мическими системами, обычно представленными в виде дифференциальных уравнений не всегда ясна. К примеру, эндоморфизм Бернулли и автомор­ физм Бернулли часто приводятся в пример, как отображения, обладающие свойством перемешивания. Однако оба эти отображения, вообще говоря, яв­ ляются разрывными, в то время, как большинство фазовых потоков в диф­ ференциальных уравнениях непрерывны и дифференцируемы. Теория отоб­ ражений, сохраняющих меру, и их специфических свойств, таких как эрго­ дичность и перемешивание, подразумевает наличие этой инвариантной ме­ ры и несомненно может быть привлечена для исследования консервативных фазовых потоков (отображение Чирикова или отображение Пуанкаре каких­ либо консервативных дифференциальных уравнений), однако для диссипа­ тивных систем, динамика которых заключается в стремлении траекторий к какому-либо регулярному аттрактору (например, циклу), представляется ма­ ловероятным наличие какой-либо нетривиальной инвариантной меры (хотя дискретная мера, сосредоточенная, например, в циклах системы, и будет ин­ вариантной, особого интереса она, скорее всего, представлять не будет). Что же до консервативных систем, то их отображения как правило не будут обла­ дать даже свойством эргодичности, если в системе будет присутствовать хотя бы один устойчивый цикл (достаточно рассмотреть его область устойчиво­ сти, которая представляет собой инвариантное множество ненулевой меры).

Нисколько не умаляя значения достижений различных областей нелинейной динамики и теории динамических систем, приходится признать, что текущий уровень знания (хотя бы на идейном уровне) относительно процессов в более или менее реалистичных моделях нелинейной науки весьма низок, что делает изучение и систематизацию данных о последних весьма актуальной темой.

К числу наиболее значимых вопросов нелинейной динамики можно от­ нести и задачи ламинарно-турбулентного перехода в гидродинамике и маг­ нитогидродинамике (МГД), которые также затрагиваются в работе. Переход от регулярного ламинарного движения несжимаемой жидкости к нерегуляр­ ному турбулентному как правило сопровождается уменьшением рассеяния кинетической энергии, что можно рассматривать как своего рода консерва­ тивно-диссипативный переход. Выбор МГД в качестве одной из моделей для изучения обусловлен желанием приблизиться к уже упоминавшейся выше за­ даче УТС.

Цель и задачи работы. Главным образом, цель работы состоит в изу­ чении хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений с консервативно-диссипативным переходом. Для этого были поставлены сле­ дующие задачи:

1. Численное и теоретическое изучение свойств полимодальных отобра­ жений - динамических систем с дискретным временем, являющихся обобщением т.н. унимодальных отображений, рассмотренных в работах Шарковского.

2. Проверка гипотезы о связи хаотической динамики в системах диффе­ ренциальных уравнений и хаотической динамики полимодальных отоб­ ражений на примере ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений с применением аппарата математического моделирования.

3. Применение к рассматриваемым в работе системам метода Роберта Гилл­ мора и сопоставление получаемых этим методом результатов с выдви­ гаемыми в работе гипотезами.

4. Реализация в виде программных комплексов и тестирование численных схем решения начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

5. Математическое моделирование первых стадий ламинарно-турбулент­ ного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в ка­ верне и канале с симметричным расширением.

6. Совершенствование методов численного анализа систем дифференци­ альных уравнений, в частности метода стабилизации периодических ре­ шений.

Научная новизна. Основными новыми элементами в диссертации яв­ ляются следующие.

1. Предложены сценарии перехода к хаосу в системах дифференциальных уравнений, являющиеся обобщением сценариев, предложенные ранее в работах Магницкого Н.А.

2. Предложен единообразный подход к описанию хаоса в консервативных и диссипативных системах.

3. В работе расширен список исследованных с точки зрения бифуркаци­ онного анализа систем, в частности, впервые рассмотрены некоторые начально-краевые задачи для МГД течений (т.е. течений проводящих жидкостей и газов, таких как плазма), для чего построены схемы вы­ сокого порядка, способные разрешать нестационарные аттракторы в со­ ответствующих системах дифференциальных уравнений.

4. Впервые получены некоторые строгие результаты относительно поли­ модальных отображений.

5. Сопоставлены различные подходы к описанию хаоса, в частности, под­ ходы Магницкого Н.А. и Роберта Гиллмора.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частны­ ми производными, теории бифуркаций, символической и хаотической дина­ мики, численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего развития универсальной теории динамического хаоса в различных видах динамических систем, главным об­ разом - в описываемых системами дифференциальных уравнений. В то же время сами по себе выявленные правила сосуществования траекторий могут быть использованы в численной процедуре поиска нестационарных аттракто­ ров в том случае, если возникнет практическая необходимость в поиске по­ добных решений. Подобная необходимость может возникнуть, например, при решении задач, связанных с подавлением хаоса или контролем над хаосом и турбулентностью в реальных физических установках, или оптимизации ка­ ких-либо параметров нестационарных течений. В частности, задача течения проводящей жидкости в канале с расширением в присутствии поперечного магнитного поля может рассматриваться как модельное приближение зада­ чи о течении в МГД-генераторе.

Стоит отметить, что в работе сделан особый акцент именно на поиске символической динамики в системах дифференциальных уравнений, т.е. на сопоставлении траекторий в непрерывных динамических системах и последо­ вательностей символов. В некоторых биологических системах подобная связь становится особенно актуальной. Поэтому данное направление исследований может оказаться полезным и для понимания процессов обработки информа­ ции в биологических системах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и симпозиумах:

1. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, г.Звенигород, 17 сентября 2009 г.);

2. «Тихоновские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 25 октября 2010 г.) 3. Международный симпозиум «Rare Attractors and Nonlinear Dynamics’2011» (Латвия, г.Рига, 18 мая 2011 г.) 4. «Тихоновские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 14 июня 2011 г.) 5. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, р.Башкортостан, п.Абзаково, 21 августа 2011 г.) 6. «Ядро-2011», совместно с Евстигнеевым Н.М., доклад выполнил Евстиг­ неев Н.М. (Россия, г.Саров, 11 октября 2011 г.) 7. «Ломоносовские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 14 ноября 2011 г.) 8. «Ломоносовские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 16 апреля 2012 г.) 9. «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ)» (Россия, г. Ново­ сибирск, 26-30 марта 2012 г.) 10. «Динамические системы и их применение» (Украина, г.Киев, Институт математики НАН, 17 мая 2012 г.) 11. «Теория и практика системного анализа (ТПСА-2012)» (Россия, г.Рыбинск, 18 мая 2012 г.) 12. Научный семинар кафедры нелинейных динамических систем и процес­ сов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия, г.Москва, 2006-2012 г.) 13. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная дина­ мика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова (Россия, г.Москва, 12 марта 2012 г.) 14. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная дина­ мика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова (Россия, г.Москва, 17 сентября 2012 г.) Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных ра­ ботах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, статей в сборниках трудов конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово­ дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю­ щим. Все представленные в диссертации результаты получены лично авто­ ром.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем дис­ сертации 199 страниц, включая 168 рисунков. Библиография включает наименований на 6 страницах.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе затрагиваются некоторые теоретические вопросы. В первых двух разделах формулируются основные гипотезы относительно сим­ волической динамики в системах с хаотической динамикой при изменении уровня диссипации. Третий и четвертый разделы посвящены методу стаби­ лизации периодических решений, который является вспомогательным инстру­ ментом исследования.

В разделе 1.1 сделана попытка последовательно изложить качествен­ ную теорию двух видов т.н. полимодальных отображений - динамических систем (ДС) с дискретным временем. Наиболее известными в данной обла­ сти являются результаты касающиеся т.н. унимодальных отображений и их свойств, а именно - результаты Фейгенбаума и Шарковского [1], в частно­ сти порядок Шарковского. Несмотря на некоторую элегантность теоремы Шарковского о порядке появления циклов в унимодальных отображениях, ее нельзя рассматривать как исчерпывающую даже для указанного класса отображений. Более полное представление дает подход, использующий сим­ волическую динамику. Результаты первой части данного раздела без доказа­ тельств и строгих формулировок изложены в статье [2]. Именно эта статья и послужила основой для результатов данного подраздела. Вторая часть содер­ жит строгие формулировки для другого вида полимодальных отображений, введенного Хансеном [3].

Полимодальные отображения первого типа представляют собой одноша­ говую ДС с дискретным временем xi+1 = f(xi), где f(x) - произвольная непрерывная функция с n экстремумами в точках c1,...,cn, и n+1 интерва­ лом монотонности: I0,...,In. Для таких динамических систем нами вводятся некоторые вспомогательные понятия и функции: si(x), равное номеру интер­ вала монотонности, в который попадает i-ая итерация точки x под действием f; S(x) = s1(x)s2(x)... - вся последовательность номеров интервалов мо­ нотонности, также называемая символической траекторией; функция (S), принимающая вещественные значения в интервале [0, 1], аргументом кото­ рой является символическая траектория S = s1s2... ; функция (x) веще­ ственного аргумента, определяемая как (x) = (S(x)). Будем говорить, что функция f имеет тип (+-... ), если на первом интервале монотонности она не убывает, на втором не возрастает и т.д. Наконец, самые важные понятия даются следующим определением:

Определение 1. Для данной ДС f определим следующие параметры (q = 1,..., n):

1. Gq = S(f(xc )) назовем делящей траекторией системы f.

q 2. gq = (f(xc )) назовем топологическим параметром системы f.

q На основании введенных понятий и вспомогательных утверждений фор­ мулируется следующая теорема:

Теорема 1. Рассмотрим ДС f(+-... ) с набором топологических парамет­ ров g1, g2,..., gn. Дополнительно потребуем, чтобы на первом и последнем лучах области определения (I0,In) функция f бесконечно возрастала (или убывала, в зависимости от типа монотонности на соответсвующем ин­ тервале). Тогда в данной ДС траектория S = s1s2... si... существует (существует хотя бы одна точка x0 : S(x0) = S) q = 1,..., n k таких, что (sk = q - 1) (sk = q) выполнено:

(kS) gq, если q - нечетное, (kS) gq, если q - четное Второй тип полимодальных отображений был предложен Kai T. Hansen.

Рассмотрим набор из 2b (b-целое, b 0) унимодальных функций fc...c-1(x) -b типа (+-), где в качестве индекса берутся всевозможные строки c-b... c-длины b (b - целое, b 0), составленные из символов 0, 1. В нашем изложе­ нии мы дополнительно требуем, чтобы все функции имели экстремум в одной и той же точке xc. Далее рассмотрим связанную с этой системой функций дискретную динамическую систему. В данном типе ДС, в отличие от полимо­ дальных отображений первого типа, положение на шаге i + 1 определяется не только положением на предыдущем шаге, но и некоторой предысторией:

xi+1 =F (xi, xi-1,..., xi-b) = ...

(1) fc...c-1(xi), если s1(xi-b) = c-b,..., s1(xi-1) = c--b ...

Для отображений этого типа аналогично вводятся функции si(x), S(x), (S), (x) и параметры системы.

Определение 2. Для данной ДС F определим 2b параметров:

1. Gc...c-1 = S(F (xc, c-1,..., c-b), c-1,..., c-b) назовем делящей траек­ -b торией системы F.

2. gc...c-1 = (F (xc, c-1,..., c-b), c-1,..., c-b) назовем топологическим -b параметром системы F.

Здесь в качестве индексов берутся всевозможные слова из b символов в алфавите {0, 1}.

И формулируется аналогичная теорема:

Теорема 2. Рассмотрим ДС F. Потребуем, чтобы на I0(I1) все функции f... бесконечно возрастали (убывали). Тогда в данной ДС траектория S = s1s2... si... с предысторией c-b... c-1 существует (существует хотя бы одна точка x0:S(x0, c-1,..., c-b)=S) k 1 выполнено:

(kS, sk-1, sk-2,..., sk-b) gs sk-b+1...sk-1, k-b где мы считаем, что s0 = c-1, s-1 = c-2 и т.д.

В разделе 1.2 изложен подход Гиллмора-Лефранка к изучению систем дифференциальных уравнений. Изложение основано на книге [4]. В этой кни­ ге Р. Гиллмор и М. Лефранк предлагают использовать циклы, содержащиеся в хаотическом аттракторе в неустойчивом виде, для классификации этих ат­ тракторов и порождающих их фазовых потоков. Более точно, аттракторы классифицируются по двумерным многолистным поверхностям, на которых можно расположить все их асимптотические траектории, в том числе и все пе­ риодические решения. Такая поверхность, будучи точно определенной, дает практически исчерпывающую информацию о динамике системы. Например, она дает возможность закодировать все циклы системы символическими по­ следовательностями, а для двух любых циклов она дает информацию об их взаимном расположении в фазовом пространстве с точностью до гомеомор­ физма (т.е. построить символическую динамику). Эти поверхности называ­ ются «темплейт»(англ., шаблон) или «нотхолдер»(англ., держатель узлов).

Также в разделе 1.2 формулируются основные положения гипотезы нашей ра­ боты относительно символической динамики в системах дифференциальных уравнений с хаосом, которые состоят в следующем:

1. Для каждой системы (с одним или несколькими параметрами принима­ ющими значения из определенной области) существует некоторое базо­ вое отображение (полимодальное отображение первого типа).

2. Количество участков монотонности в этом отображении совпадает с ко­ личеством листов в Гиллморовском темплейте этой системы (и соотвест­ венно, количеством символов в алфавите символической динамики).

3. В зависимости от уровня диссипации правила сосуществования траек­ тории совпадают с правилами сосуществования в полимодальных отоб­ ражениях второго (точнее смешанного) типа, модальность которого по второму типу определяется уровнем диссипации. Существуют универ­ сальные правила, определяемые темплейтом.

В разделе 1.3 для метода стабилизации периодических решений в систе­ мах ОДУ с помощью сечения Пуанкаре доказано утверждение, гарантирую­ щее, что локализованный с помощью этого метода цикл будет принадлежать исходной системе, рассмотрены некоторые вопросы стабилизации циклов в окрестности бифуркации «вилки». Метод стабилизации важен для примене­ ния методики Гиллмора.

В разделе 1.4 предложен подход к стабилизации в системах уравнений с частными производными. Подход основан на использовании полудискрет­ ной формы уравнения и последующего применения метода стабилизации для систем ОДУ. Работоспособность метода продемонстрирована на примере од­ номерной задачи для уравнения Курамото-Цузуки.

Во второй главе рассмотрены примеры систем обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений (с размерностью фазового пространства не больше, чем четыре). Все системы исследованы численно, с помощью различных ме­ тодов интегрирования (Рунге-Кутта 4-ого порядка аппроксимации, Дорман­ Принс 5-ого и 8-ого порядков, как с процедурой контроля точности, так и без нее). Основная задача состояла в локализации периодических решений си­ стем - циклов и построении бифуркационных диаграмм (диаграмм, оси кото­ рых соотвествуют различным параметрам системы, и на которых отмечаются области существования или устойчивости тех или иных решений системы - в данном случае циклов).

В разделе 2.1 рассмотрена модельная двумерная неавтономная систе­ ма дифференциальных уравнений с периодической правой частью, которая изначально была рассмотрена в [5]:

u1 = (2µ + ( + 2µ)(cos t - 1))u1 + ( + 2µ)(sin t)u2 + u22, (2) u2 = ( + 2µ)(sin t)u1 + (2µ - ( + 2µ)(1 + cos t))u2, где u1, u2 - фазовые переменные, t - время, и µ - параметры системы.

Для системы (2) построена двумерная бифуркационная диаграмма в плоскости параметров, причем один из них -, отвечает за уровень дисси­ пации в системе.

1. При высокой диссипации в системе наблюдается полное соответствие с порядком в унимодальных отображениях.

2. При уменьшении диссипации унимодальный порядок нарушается, обла­ сти устойчивости циклов пересекаются (т.е. наблюдается явление муль­ тистабильности). В частности цикл периода три в консервативном слу­ чае появляется раньше первого удвоения основного цикла. Качественно бифуркационная диаграмма совпадает с той, что наблюдается в отоб­ ражениях второго типа с более чем одной модой.

3. Символическая динамика (последовательности, назначенные найденным циклам системы уравнений) по методу Гиллмора в точности совпала с символической динамикой получающейся в случае использования гипо­ тезы о связи динамики систем дифференциальных уравнений и отобра­ жений.

4. На примере этой системы были подробно сопоставлены Гиллморовский подход и гипотеза о связи символической динамики в дифференциаль­ ных уравнениях и полимодальных отображениях. Показано, что пра­ вила сосуществования даваемые Гиллморовским подходом полностью согласуются с правилами сосуществования в полимодальных отображе­ ниях. Более точно, правила сосуществования для полимодальных отоб­ ражений типа Хансена любой модальности являются более сильными, чем правила по Гилмору. Этот результат является логичным, посколь­ ку в нашей гипотезе увеличение модальности соответствующего системе отображения связано с уменьшением диссипации, а выводы из методи­ ки Гиллмора не связаны с тем или иным уровнем диссипации в системе.

Этот результат продемонстрирован на рис. 1-3 и рис. 4. Для любой ячей­ ки, где проставлено правило по Гиллмору, это правило имеется и для всех полимодальных отображений. Для обнаруженых циклов системы (2) продемонстрировано выполнение Гиллморовских правил при любом уровне диссипации.

Рис. 1. Правила следования циклов в отоб­ Рис. 2. Правила следования циклов в отоб­ ражениях (1) при b = 0 ражениях (1) при b = Рис. 3. Правила следования циклов в отоб­ Рис. 4. Правила следования циклов следую­ ражениях (1) при b = 2 щие из методики Гиллмора В разделе 2.2 рассмотрена система, в литературе обычно называемая «хаотическим маятником»:

= y, = -y + sin x(-M - P cos t) + P cos x sin t, (3) где x, y - фазовые переменные, t - время, , M, P - параметры системы.

Полученная двумерная бифуркационная диаграмма системы (3) интерес­ на тем, что цикл периода три в консервативном случае появляется как и в дис­ сипативном случае после каскада удвоений основного цикла, тем самым пра­ вила унимодального порядка не нарушаются. Этот пример демонстрирует, что не всегда в консервативном и слабо диссипативном случаях нарушаются те правила унимодального порядка, которых нет в Гиллморовском порядке.

В разделе 2.3 рассмотрена система, описывающая т.н. «космический маятник»:

= y, = -y - kx - l sin(2x) + h cos(t), (4) где x, y - фазовые переменные, t - время, , , k, l, h - параметры системы.

Для системы (4) также построена двумерная бифуркационная диаграм­ ма консервативно–диссипативного перехода в плоскости параметров , l. В системе обнаружены циклы, которых не может быть в унимодальном отоб­ ражении (например, два цикла периода три). Для системы (4) удалось по­ строить одномерное отображение в сильно диссипативном случае и показать, что оно трехмодальное. Удалось построить «корень» из отображения Пуан­ каре, для полученного отображения в сильно диссипативном случае вновь было построено одномерное отображение, которые оказалось унимодальным, а бифуркационная диаграмма «корня» из отображения Пуанкаре оказалась устроенной аналогично диаграммам для систем с простым двулистным тем­ плейтом, причем для связи периодов циклов были получены простые пра­ вила. Таким образом несоответствие базовому сценарию ФШМ (Фейгенба­ ума-Шарковского-Магницкого) в данной системе было объяснено с помощью механизма полимодальности.

В разделе 2.4 рассмотрена система Янга-Миллса-Хиггса (5). Это кон­ сервативная гамильтонова система с двумя степенями свободы x, y, и консер­ вативно–диссипативный переход в ней не рассматривался. Тем не менее, она приведена как пример системы с крайне сложным Гиллморовским темплей­ том, а также как пример системы, в которой темплейт меняется с изменением бифуркационного параметра . При значении параметра = 0.49 для этой системы был получен темплейт с 9 листами (что соответствует символической динамике с алфавитом из 9 символов).

+ x + xy2 = 0, + y + yx2 = 0 (5) В третьей главе рассмотрены примеры начально-краевых задач систем дифференциальных уравнений с частными производными. Все примеры от­ носятся к гидродинамике и магнитогидродинамике (МГД).

В разделе 3.1 изучены начальные стадии перехода к турбулентности в двух близких задачах: двумерной задаче о гидродинамическом течении в ка­ верне с движущейся крышкой, и задаче о двумерном МГД-течении в каверне с приложенным поперечным магнитным полем.

В первой задаче рассматривается течение вязкой несжимаемой нетепло­ проводной жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса (см., напри­ мер, [6]):

vi vi p 1 2vi + vj = - +, для i = 1..2, t xj xi Re xj(6) vj = 0, xj где по индексу j подразумевается суммирование от 1 до 2. Здесь V = (v1, v2) - вектор скорости течения жидкости, а p - давление.

Вторая задача - такое же течение, но с учетом электропроводности жид­ кости и в присутствии внешнего поперечного магнитного поля. Соответству­ ющая система уравнений для несжимаемой МГД [7]:

vi vi p 1 2vi N bi + vj = - + + bj, для i = 1..2, t xj xi Re Rem xj xjbi bi 1 2bi ui + vj = + bj, для i = 1..2, t xj Rem xj xj(7) vj = 0, xj bj = 0, xj где B = (b1, b2) - вектор индукции магнитного поля.

Исследование нестационарных аттракторов как правило (см. [8]) требу­ ют методов повышенного порядка. В использованной в работе схеме приме­ нялся явный метод Рунге-Кутта 3-ого порядка аппроксимации по времени.

Диффузионный член аппроксимировался методом конечных разностей ше­ стого порядка, конвективный член - методом WENO5 [9]. Решение уравнения Пуассона, а также аппроксимация градиента давления были выполнены мето­ дом конечных элементов, как было сделано в [8]. В этом методе значения ско­ ростей и давления рассматриваются на разнесенных сетках, но не так, как это делается в случае «шахматной» сетки. Наиболее близкий метод описанный в литературе называется частичной «шахматностью» (partially staggered) с той лишь разницей, что в [8] крайние точки сетки для значений давления распо­ лагаются на границе расчетной области, и на давление необходимо поставить дополнительное (нефизическое) граничное условие. В случае твердой стенки в качестве такого условия обычно берется условие Неймана. В классическом варианте partially staggered на границу попадают точки сетки для скоростей, а граничное условие на давление фактически отсутствует.

Решение НКЗ для системы (7) производилось аналогичным проекцион­ ным методом (см. [9], [10]). Конвективная часть для переменных V и B ап­ проксимировалась совместно, путем перехода к характеристическим перемен­ ным. Также в схеме был реализован метод коррекции дивергенции магнит­ ного поля, необходимый для устранения численного магнитного монополя.

Данная процедура была реализована аналогично процедуре коррекции ди­ вергенции давления, но для аппроксимации градиента давления и диверген­ ции поля B использовались центральные разности, а в качестве дискретного оператора Лапласа бралась композиция указанных дискретных операторов дивергенции и градиента. Для дискретизации по времени так же использова­ лась полностью явная схема Рунге-Кутта 3-его порядка аппроксимации.

Схемы для рассматриваемых НКЗ были реализованы для MPI-совмести­ мых архитектур. Решение дискретного уравнения Пуассона проводилось дву­ мя методами: итерационным с применением multilevel предобуславливателя (использовались некоторые библиотеки пакета trilinos) и методом быстрого преобразования Фурье (использовалась библиотека FFTW). Расчет проводил­ ся на кластере с 8 процессорами Intel Xeon и на вычислительном комплексе IBM BlueGene/P факультета ВМК МГУ. Размер расчетной сетки (192x1и 256x256) не позволил применять метод Фурье на системе BlueGene (в си­ лу очень большого минимального количества запускаемых MPI-процессов в данной архитектуре). В результате скорость расчета в системе BlueGene/P была всего в два раза больше, чем при использовании указанного кластера.

Данный факт объясняется тем, что описанная задача (в силу своей двухмер­ ности) является слишком маленькой для такой системы как BlueGene/P.

В первой задаче обнаружены начальные стадии сценария Ландау-Хопфа, вплоть до (предположительно) тора размерности три. На рисунке 5 показан двумерный тор в фазовом пространстве существующий в системе при значе­ нии числа Рейнольдса Re = 10300. Во второй задаче обнаружены каскады удвоений и одна бифуркация Андронова-Хопфа рождения тора, причем по всей видимости оба сценария развиваются параллельно. На рисунке 6 пока­ зан цикл относительного периода 4, существующий в системе при значении числа Рейнольдса Re = 2720.

Рис. 5. Проекция фазового пространства Рис. 6. Проекция фазового пространства НКЗ системы (6) при Re = 10300 НКЗ системы (7) при Re = 2720, Rem = 1000, N = 0, В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ 1. Построена формальная теория символической динамики полимодаль­ ных отображений двух типов, получены критерии существования тра­ екторий с заданной символической последовательностью.

2. Выдвинута гипотеза о связи символической динамики систем диффе­ ренциальных уравнений с хаосом и символической динамики полимо­ дальных отображений.

3. Проведено численное исследование некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, подтверждающее выдвинутую гипоте­ зу.

4. На тех же примерах продемонстрирована связь между методикой Гилл­ мора и символической динамикой полимодальных отображений.

5. Реализованы в виде программных комплексов и протестированы чис­ ленные схемы решения некоторых двумерных начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

6. Промоделированы первые стадии ламинарно-турбулентного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в каверне и канале с симметричным расширением.

7. Предложен метод стабилизации периодических решений начально-кра­ евых задач.

Список основных публикаций автора по теме диссертации Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК 1. Рябков О. И. Об исследовании седло-узловых бифуркаций и бифуркации вилки методом стабилизации Н. А. Магницкого // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1657–1661.

2. Рябков О. И. Исследование системы уравнений Янга-Миллса с помощью методики Гиллмора-Лефранка // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53, № 14.

С. 46–62.

3. Рябков О. И. Исследование перехода к турбулентности в двумерной ка­ верне с движущейся крышкой // Труды ИСА РАН. 2011. Т. 61, № 4.

С. 39–44.

4. Евстигнеев Н. М., Магницкий Н. А., Рябков О. И. Численное исследование перехода к турбулентности в задаче о двумерном течении вязкой сжима­ емой проводящей жидкости в канале с симметричным расширением // Труды ИСА РАН. 2012. Т. 62, № 1. С. 55–62.

5. Буров Д. А., Голицын Д. Л., Рябков О. И. Исследование перехода от дисси­ пативного к консервативному состоянию в двумерных нелинейных систе­ мах обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 3. С. 430–434.

Статьи в трудах российских и зарубежных конференций 1. Рябков О. И. Структура бифуркационных диаграмм двумерных нелиней­ ных неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической правой частью // Труды третьей международной конференции «Систем­ ный анализ и информационные технологии». 2009.

2. Рябков О. И. Проблема расщепления сепаратрисы в гамильтоновой меха­ нике на примере системы Крокета // Труды четвертой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». 2011.

3. Рябков О. И. О методе стабилизации периодических решений в системах уравнений с частными производными на примере системы Курамото-Цузу­ ки // Труды второй всероссийской научной конференции «Теория и прак­ тика системного анализа». 2012.

4. Евстигнеев Н. М., Рябков О. И. О численном исследовании ламинарно­ турбулентного перехода с использованием различных параллельных архи­ тектур // Труды международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012». 2012.

5. Ryabkov O. I. On the Gilmore-Lefranc method application to the yang-mill­ s-higgs system of ordinary differential equations // 2nd International Sym­ posium Rare Attractors and Rare Phenomena in Nonlinear Dynamics RA’Symposium Proceedings. 2011.

Цитированная литература 1. Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Сивак А. Г. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989.

2. Hansen K. T. Bifurcation structures for multimodal maps // Submitted to Experimental Math. 1997. URL:http://alf.nbi.dk/khansen/papers/ multimod.ps.gz.

3. Hansen K. T., Cvitanovich P. Bifurcation structures in maps of Henon type // Nonlinearity. 1998. Vol. 11. Pp. 1233–1261.

4. Gilmore R., Lefranc M. The topology of chaos. Wiley-Interscience, 2002.

5. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики.

Москва: Едиториал УРСС, 2004.

6. Ghia U., Ghia K. N., Shin T. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and Multigrid Method // Journal of Computa­ tional Physics. 1982. Vol. 48. Pp. 387–411.

7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VIII. Электро­ динамика сплошных сред. Наука, 1982.

8. Евстигнеев Н. М., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О природе турбулент­ ности в задаче движения жидкости за уступом // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 1. С. 69—-73.

9. Cheng-Chin W. A high order WENO finite difference scheme for incompress­ ible fluids and magnetohydrodynamics // Geophysical and Astrophysical Flu­ id Dynamics. 2007. Vol. 101, no. 1. Pp. 37—-61.

10. Mistrangelo C. Three-dimensional MHD flow in sudden expansions // Wis­ senschaftliche Berichte FZKA. 2006. Vol. 7201.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.