WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

CАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Фоменко Марина Георгиевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИОДНЫХ И ТРИОДНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВЫХ ЛЕЗВИЙНЫХ КАТОДОВ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2012

Работа выполнена на кафедре моделирования электромеханических и компьютерных систем Факультета прикладной математики – процессов управления СанктПетербургского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Егоров Николай Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Дмитрий Александрович (заведующий кафедрой ТСУЭФА, СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ) кандидат физико-математических наук, Кримская Ксения Александровна (ведущий специалист, ООО «Аспект СФТ»)

Ведущая организация: Московский физико-технический институт (государственный университет) (МФТИ, Москва)

Защита состоится « 30 » мая 2012 г. в 15 часов на заседании совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького СанктПетербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru Автореферат разослан " " 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В течение последних лет проблемы низкополевой электронной эмиссии из наноструктурированных материалов привлекают все возрастающее внимание исследователей во всем мире. Особое место в этих исследованиях занимают углеродные материалы. Открытие нанотрубок относится к наиболее значительным достижениям современной науки. Низкополевая электронная эмиссия происходит из наноразмерного, проводящего электрический ток образования, окруженного изолирующей фазой или вакуумом. Высокая эмиссионная способность такого нанообъекта определяется не только геометрическим фактором усиления электрического поля, но и пониженным потенциальным барьером для туннелирования электронов в вакуум из этой области.

Полевая эмиссия является наиболее экономичным видом эмиссии свободных электронов, а это дает возможность создания новых поколений эффективных электронных приборов с новыми свойствами. Среди актуальных задач современной наноэлектроники важное место отводится созданию стабильных полевых эмиссионных (автоэмиссионных) катодов, способных длительное время работать в условиях высокого технического вакуума (10-7 – 10-6 мм рт. ст.). Преимущества полевых эмиссионных катодов (ПЭК) по сравнению с другими видами источников свободных электронов хорошо известны. К их числу относятся: отсутствие накала, высокая плотность тока, устойчивость к колебаниям температуры, малая чувствительность к внешней радиации, безынерционность, экспоненциально высокая крутизна вольт-амперных характеристик. Совокупность этих свойств обусловливает перспективность использования ПЭК в различных электронных приборах, таких, как электронно-лучевые приборы, в частности, в полевом электронном микроскопе, сканирующем туннельном микроскопе. Основная трудность в создании стабильных ПЭК состоит в том, что полевая эмиссия чрезвычайно чувствительна к изменению геометрии катода и состоянию его поверхности. В зависимости от конкретной конструкции и режима эксплуатации ПЭК различные процессы, происходящие на его поверхности, такие, как ионная бомбардировка, пондемоторные нагрузки, поверхностная миграция, приводят к ряду эффектов, изменяющих режим их работы. Применительно к математическим моделям это, прежде всего, относится к решению задач в трехмерной постановке. Детальный количественный анализ таких моделей необходим при сравнении теории и эксперимента. Он становится важным элементом проектирования, позволяя предварительно проанализировать возможности новых приборов. Поэтому задача разработки математических моделей эмиссионных систем на основе полевых катодов является, несомненно, актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей полевых эмиттеров, позволяющих описывать диодные и триодные эмиссионные системы. Практическая реализация поставленной цели потребовала решения нескольких взаимообусловленных и взаимодополняющих задач:

1. Разработка физических моделей осесимметричных диодных и триодной электронно-оптических систем на основе полевого лезвийного электронного катода.

2. Создание математических моделей данных систем.

3. Расчет эмиссионных характеристик систем формирования электронного пучка с учетом их особенностей.

В процессе исследования были решены следующие задачи:

1. Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с плоским анодом и полевым катодом с острой кромкой.

2. Разработана математическая модель диодной электронно-оптической системы на основе электронного катода с торообразным краем.

3. Разработана математическая модель диодной системы с анодом в виде диафрагмы с отверстием.

4. Разработана математическая модель триодной эмиссионной системы с модулятором, представляющий собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

5. Создан комплекс программ, реализующий математические модели электронных пушек с полевыми катодами.

Методы исследования.

Основными методами исследования являются методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, математического и компьютерного моделирования, численные методы прикладного программирования.

Научная новизна.

Результаты, выносимые на защиту

получены впервые и являются новыми.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных результатов при разработке приборов эмиссионной нано- и микроэлектроники. Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично или при его непосредственном участии и имеют прикладное значение. Предложенные модели позволяют производить расчет основных параметров приборов и устройств, для которых острийные эмиссионные системы являются основным элементом (инжекторы электронных ускорителей, сканирующие электронные микроскопы, высокочастотные генераторы, плоские дисплеи и т.д.).

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Математические модели диодных систем на основе полевых катодов с острой кромкой, торообразным краем, анодом в виде диафрагмы с отверстием.

2. Математическая модель триодной эмиссионной системы с модулятором, представляющим собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

3. Комплекс программ, реализующий математические модели разработанных диодных и триодных систем с полевыми лезвийными катодами.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались на 39-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов "Процессы управления и устойчивость"(СПб, СПбГУ, факультет ПМ-ПУ, 2008, 2009 гг.); международных семинарах "Beam Dynamics Optimization"(СПб, 2008г.); Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010). Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на заседаниях кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной математики – процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации.

По материалам публикации опубликованы 5 работ, 2 из которых в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК РФ [3, 4]. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Объем работы составляет 104 страниц, среди которых 10 таблиц и 9 рисунков. Список литературы включает 125 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показаны научная новизна и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена анализу литературных данных по основным методам, применяемым для расчета характеристик острийных электронно-оптических систем на базе полевых катодов с использованием наиболее перспективных углеродных наноматериалов, поскольку углеродные волокна имеют более длительное время жизни, они доступнее и технологичнее в сравнении с другими типами полевых катодов, не требуют сверх высокого вакуума.

Последующие главы являются оригинальными.

Во второй главе представлены математические модели диодных систем.

Задачи расчета осесимметричных эмиссионных систем решаются в тороидальной системе координат (, ). Распределение потенциала в исследуемых системах удовлетворяет уравнению Лапласа и соответствующим граничным условиям. Решение уравнения Лапласа записывается в виде разложения по собственным функциям. Нахождение неизвестных коэффициентов в данных разложениях сводится к решению парных интегральных уравнений.

В §2.1 приведено описание метода парных интегральных уравнений, использующийся в дальнейшем, основой которого является метод разделения переменных.

В §2.2 представлена модель полевой эмиссионной системы (модель I), представляющая собой диод, состоящий из анода и катода с острой кромкой (лезвийный катод) (рис. 2.1). Поверхность катода с острой кромкой моделируется двумя бесконечно тонкими сферическими сегментами. Анод моделируется бесконечно тонким сферическим сегментом. Потенциал катода равен нулю. На поверхности анода задаются граничные условия первого рода. Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы.

z U = V r U = Рис. 2.1. Схематическое изображение диодной системы (модель I).

Электростатический потенциал u (, ), в силу симметрии задачи, не зависит от координаты и, согласно модели I, является решением уравнения Лапласа с граничными условиями, заданными на поверхностях анода и катода:

( ) ( ) u u r + r = 0, (2.1) u (, 1) = V0 (), 0 < 1, (2.2) u (, -2) = u (, 2 - 3) = 0, 0 < .

a sh Здесь r =, a – масштабный множитель.

ch + cos При решении граничной задачи (2.1) - (2.2) используется метод парных уравнений. Для этого удобно разбить всю область рассматриваемой электронно-оптической системы на две части: область I (-2 < < 1) и область II (1 < < 2 - 3). В диссертации показано, что для каждой из областей решение задачи записывается в виде следующего интегрального разложения:

( u1 (, ) = ch + cos A1 () sh (1 - ) + ) + B1 () sh ( + 2) P- 1 (ch ) d, +i ( (2.3) u2 (, ) = ch + cos A2 () sh ( - 1) + ) + B2 () sh (2 - 3 - ) P- 1 (ch ) d, +i где P- 1 (ch ) – функция Лежандра первого рода.

+i Удовлетворяя граничным условиям (2.2), получаем, что A1 () = A2 () = 0, B1 () = B2 () = B ().

( ) С помощью замены B () cth (1 + 2) +cth (2 - 3 - 1) = th C (), условия (2.2) и условия непрерывности вектора электростатического поля на линиях, разделяющих области, но не принадлежащих поверхностям сегментов, приводят к системе парных интегральных уравнений следующего вида:

(1 ) - g () C () P- 1 ) d = (ch +i V0 () = , 0 < 1, (2.4) ch + cos th C () P- 1 (ch ) d = 0, 1 < , +i где 1 th g () = -.

2 cth (1 + 2) + cth (2 - 3 - 1) Переходя к решению (2.4), полагаем C () = (t) cos tdt.

Здесь (t) — новая неизвестная функция, которая предполагается непрерывно дифференцируемой в замкнутом промежутке [0, 1].

После преобразований система парных интегральных уравнений (2.4) приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (x) - K (x, t) (t) dt = F (x), 0 x < 1, (2.5) ядро которого имеет вид K (x, t) = G (t + x) + G (t - x), G (y) = 2g () cos yd, а правая часть выражается квадратурой x 2 d 2V0 () sh () F (x) = d.

dx ch 0 + cos 1 2 (ch x - ch ) Решение уравнения Фредгольма (2.5) определяет распределение потенциала в любой точке системы.

Расчет по данной модели вошел в комплекс программ. Потенциал катода равен нулю, потенциал анода равен V0. На рисунках 2.2, 2.3 представлены результаты численных расчетов распределения потенциала и картины эквипотенциалей, на рис. 2.для области I системы, на рис. 2.3 – для области II вблизи острой кромки. Во всех случаях использованы безразмерные единицы измерения — потенциал на аноде V7 3 равен 1, 1 =, 2 = ; 3 =.

8 2 В соответствии с формулами (2.3) для распределения потенциала диодной системы определены значения напряженности поля. Результаты вычислений представлены в Табл.1, Табл.2, Табл.3, Табл.4, где r, z — координаты в цилиндрической системе координат, E (r, z) — напряженность поля. Табл.1 — для области I при различных значениях параметра 2, Табл.2 — для области I системы при различных значениях параметра 3, Табл.3 — для области II системы при различных значениях параметра 2, Табл.4 — для области II системы при различных значениях параметра 3.

'u1_361.dat' 0.0.0.0.1.0.0.0.0.0.0.0.0.0.-0.1.1 1.0.0.0.0.-0.0.-Рис. 2.2. Распределение потенциала для области I системы в цилиндрических координатах.

'u2_110(4.5-5).dat' 0.00.00.00.00.0.02 0.00.00.00.00.00.00.00.0.00.00.00.01.00.025 1.00.02 1.0.015 1.00.01 1.00.005 1.00 1.0-0.005 1.-0.01 1.0-0.015 1.0-0.02 1.0Рис. 2.3. Распределение потенциала вблизи острой кромки для области II системы.

Таблица 1. Значения напряженности поля в области I системы при различных 7 3 значениях параметра 2; 1 = ; 3 =, = 0.0001, r = 0.8 ( ) ( ) ( ) 4 z E (r, z), 2 = E (r, z), 2 = E (r, z), 2 = 7 2 0 0.488745 · 108 0.528222 · 108 0.632659 · 10.223617 · 10-13 0.485036 · 108 0.526133 · 108 0.631374 · 10.106294 · 10-12 0.437038 · 107 0.478022 · 107 0.586283 · 10.272422 · 10-12 0.433870 · 107 0.475223 · 107 0.584451 · 1Таблица 2. Значения напряженности поля в области I системы при различных 7 значениях параметра 3; 1 = ; 2 =, = 0.0001, r = 0.8 ( ) ( ) ( ) 4 3 2 z E (r, z), 3 = E (r, z), 3 = E (r, z), 3 = 5 5 0 0.365697 · 108 0.528222 · 108 0.659875 · 10.223617 · 10-13 0.363581 · 108 0.526133 · 108 0.657076 · 10.106294 · 10-12 0.331028 · 107 0.478022 · 107 0.596512 · 10.272422 · 10-12 0.329282 · 107 0.475223 · 107 0.592409 · 1Таблица 3. Значения напряженности поля во области II системы при различных 7 3 значениях параметра 2; 1 = ; 3 =, = 0.0001, r = 0.8 ( ) ( ) ( ) 4 z E (r, z), 2 = E (r, z), 2 = E (r, z), 2 = 7 2 0.106294 · 10-12 0.188700 · 108 0.188428 · 108 0.187790 · 1-0.113939 · 10-21 0.852036 · 107 0.838398 · 107 0.803295 · 10.444803 · 10-14 0.800721 · 108 0.788237 · 108 0.755825 · 10.716201 · 10-15 0.802595 · 108 0.790084 · 108 0.757570 · 1Таблица 4. Значения напряженности поля во области II системы при различных 7 значениях параметра 3; 1 = ; 2 =, = 0.0001, r = 0.8 ( ) ( ) ( ) 4 3 2 z E (r, z), 3 = E (r, z), 3 = E (r, z), 3 = 5 5 0.106294 · 10-12 0.185176 · 108 0.188428 · 108 0.202846 · 1-0.113939 · 10-21 0.387227 · 107 0.838398 · 107 0.130189 · 10.444803 · 10-14 0.358829 · 108 0.788237 · 108 0.123938 · 10.716201 · 10-15 0.358972 · 108 0.790084 · 108 0.124404 · 1Поскольку для модели I весьма сложно рассчитать радиус кривизны эквипотенциальных линий вблизи острой кромки эмиттера, будем моделировать полевой катод с заданным радиусом кривизны.

В §2.3 представлена модель электронной пушки (модель II), состоящая из катода — сферического сегмента конечной толщины с торообразным краем, и анода — бесконечно тонкий сферический сегмент (рис. 2.4). Потенциал катода равен нулю, потенциал анода равен V0. Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы.

z U = V r U = Рис. 2.4. Схематическое изображение диодной системы (модель II).

Для того чтобы найти распределение электростатического потенциала во всей области системы, необходимо найти функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри заданной области и принимающую заданные значения на границе области.

Граничные условия определяются заданными потенциалами на аноде и катоде u(, ) = 0, u (, 1) = V0, 0 < 1;

(2.6) u (, -2) = 0, 0 < 0;

u (, 2 - 3) = 0, 0 < 0.

При решении граничной задачи (2.6) используется метод перекрытия областей, являющийся обобщением метода разделения переменных на краевые задачи со смешанными граничными условиями. Так как поверхности электродов системы совпадают с частями координатных поверхностей, то рассматриваемую область можно разбить на 3 подобласти, ограниченные поверхностями, входящими в семейство координатных поверхностей, в которых уравнение Лапласа интегрируется разделением переменных.

0 < 0;

u (, ), -2 < < 1, u (, ) = u2 (, ), 1 < < 2 - 3, 0 < 0;

u (, ), -2 < < 2 - 3, 1 < 0.

В диссертации найдено решение уравнения Лапласа для различных подобластей в виде рядов с неизвестными коэффициентами, которые находятся из условий непрерывности потенциала и его производных на границах подобластей, не совпадающих с поверхностями электродов.

( u1 (, ) = ch + cos Bn sin n (1 - ) P- 1 (ch ) + +n n=) A1,l sh ( + 2) l + A2,l sh (1 - ) l + P- 1 (ch ), +il sh (1 + 2) l l=( u2 (, ) = ch + cos Bn sin n ( - 1) P- 1 (ch ) + +n n=) A sh (2 - 3 - ) l + A sh ( - 1) l 1,l 2,l + P- 1 (ch ), +il sh (2 - 3 - 1) l l=( u3 (, ) = ch + cos Cn sin n ( + 2) n=P- 1 (ch ) Q- 1 (ch 0) - P- 1 (ch 0) Q- 1 (ch ) +n +n +n +n 2 2 2 + P- 1 (ch 1) Q- 1 (ch 0) - P- 1 (ch 0) Q- 1 (ch 1) +n +n +n +n 2 2 2 D1,l sh (2 - 3 - ) µl + D2,l sh ( + 2) µl + sh (2 - 3 - 2) µl l=) ( ) P- 1 (ch ) Q- 1 (ch 0) - P- 1 (ch 0) Q- 1 (ch ), +iµl +iµl +iµl +iµl 2 2 2 где P- 1 (ch ) – функция Лежандра первого рода, Q- 1 (ch ) – функция Ле+i +n 2 n n n жандра второго рода, n =, n =, n =, 1 + 2 2 - 3 - 1 2 + 2 - l – корни уравнения P- 1 ( ch 0) = 0, +il µl – корни уравнения P- 1 (ch 1) Q- 1 (ch 0) - P- 1 (ch 0) Q- 1 (ch 1) = +iµl +iµl +iµl +iµl 2 2 2 0.

Из граничных условий (2.6) следует, что для коэффициентов выполняются ра венства A2,l = 0, A = 0, Bn = 0, Bn = 0, D1,l = 0, D2,l = 0.

2,l Коэффициенты A1,l, A, Cn определяются непосредственно из условий на грани1,l цах выделенных областей:

{ V0, 0 < 1;

u1 (, 1) = u3 (, 1), 1 < 0.

{ u1 (1, ), -2 < 1;

u3 (1, ) = u2 (1, ), 1 < 2 - 3.

Используя полноту систем собственных функций (функции Лежандра и тригонометрические функции), приходим к системе алгебраических уравнений для A1,l, Cn.

A1,l P- 1 (ch ) P- 1 (ch ) sh d = +il +im 2 1 P- 1 (ch ) d V0 sh +im = + ch + cos + Cn sin n (1 + 2) sh P- 1 (ch ) +im n=P- 1 (ch ) Q- 1 (ch 0) - P- 1 (ch 0) Q- 1 (ch ) +n +n +n +n 2 2 2 d, P- 1 (ch 1) Q- 1 (ch 0) - P- 1 (ch 0) Q- 1 (ch 1) +n +n +n +n 2 2 2 ( 2 - 3 + 2 -l sin k · Ck = A1,lP- 1 (ch 1) · + +il 2 l2 + k sh l (2 - 3 - 1) l=) ( ) l + sin k (1 + 2) cth l (1 + 2) + cth l (2 - 3 - 1).

l2 + k Решив систему, найдем требуемое распределение потенциала.

В реальных электронных вакуумных приборах кроме эмиттера, элемента, генерирующего пучок заряженных частиц, необходим второй электрод, обеспечивающий дальнейшую транспортировку и фокусировку пучка. Для этого анод может представлять собой диафрагму с отверстием.

В §2.4 исследуется диодная система (модель III), в которой поверхности анода и катода с острой кромкой являются частями сфер (рис. 2.5). Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы. Потенциал катода равен нулю, потенциал анода – V0.

Распределение потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа с граничными условиями, которые определяются заданными потенциалами на аноде и катоде, а также условиями непрерывности нормальной составляющей вектора смещения на линиях, разделяющих области, но не принадлежащих поверхностям сегментов:

u(, ) = 0, u (, 1) = V0, 1 < 2, (2.7) u (, -2) = u (, 2 - 2) = 0, 0 < ;

u1 (, 1 - 0) = u2 (, 1 + 0), 0 < , u1 u(2.8) =, 0 < 1, 2 < .

=1-0 =1+ z U = V r U = a Рис. 2.5. Схематическое изображение диодной системы (модель III).

Для решения граничной задачи (2.7) удобно разбить всю область электронно-оптической системы на две подобласти: -2 < < 1 и 1 < < 2 - 2. Требуется в них определить потенциалы u1,2 (, ), удовлетворяющие уравнению Лапласа с граничными условиями (2.7). Согласно методу разделения переменных, общее решение уравнения Лапласа в каждой из подобластей можно записать в виде ( ) u1 (, ) = ch + cos A1 () sh ( + 2) + B1 () sh (1 - ) d P- 1 ( ch ), +i sh (1 + 2) (2.9) ( u2 (, ) = ch + cos A2 () sh (2 - 2 + ) + ) d + B2 () sh ( - 1) P- 1 ( ch ), +i sh (2 - 2 - 1) где P- 1 ( ch ) – функция Лежандра первого рода или функция тора.

+i Удовлетворяя граничным условиям (2.7), находим, что A1 () = A2 () = A (), B1 () = B2 () = 0.

Принимая во внимание условие непрерывности вектора электростатического поля (2.8), вводя замену C () = 2A () cth , и учитывая, что 1 + 2 = , получим систему тройных интегральных уравнений вида:

C () P- 1 ( ch ) d = 0, 0 < 1, +i C () P- 1 ( ch ) d = 0, 2 < , (2.10) +i 2Vth () C () P- 1 ( ch ) d = , 1 2.

+i ch () + cos (1) Таким образом, для того чтобы найти распределение электростатического потенциала (2.9), необходимо решить систему тройных интегральных уравнений (2.10).

Для этого, вводя в рассмотрение новую неизвестную функцию M (), связанную с C () соотношением C () P- 1 ( ch ) d = M (), 0 < 2, +i получим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода S1 (s) + S1 (v) K2 (v, s) dv = G (s), 1 < s < 2, (2.11) где s sh (v) M (v) dv S1 (s) = , 1 < s < 2.

ch (s) - ch () Ядро интегрального уравнения (2.11) имеет вид sh (s) sh (u) K2 (u, s) = 2 ch (2) - ch (s) ch (2) - ch (u) ( ( ) 1 1 1 ch (2) + ch (s) arcsin - arcsin + ch (s) - ch (u) - ch (s) - ch (s) ( ch (2) + 1) ch (s) - ) ( ) 1 1 1 ch (2) + ch (u) + arcsin - arcsin, ch (u) - ch (s) - ch (u) - ch (u) ( ch (2) + 1) ch (u) - а правая часть 1 d F1 () sh () d G (s) = - = -2V0 ds s ch () - ch (s) ( ( ) - sh (s) ch (2) - sh (s) cos (1) - sh (s) ( ch (2) - ch (s)) ( ch (2) + cos (1)) | 2 ch (2) + cos (1)- ch (s) + 2 ( ch (2) - ch (s)) ( ch (2) + cos (1)) | ) sh (s) -.

| ch (s) + cos (1) | Таким образом, решив уравнение Фредгольма (2.11), найдем неизвестные коэффициенты, входящие в разложение электростатического потенциала (2.9). В общем случае решение интегрального уравнения можно получить численными методами.

В третьей главе представлено математическое моделирование триодной системы. В предыдущей главе были рассмотрены задачи моделирования электронно-оптических систем, содержащих два электрода. В более сложных конструкциях система имеет дополнительные электроды. Одним из важнейших элементов реальных приборов, позволяющий управлять эмиссией, является модулятор (затвор). В данной главе предлагается физическая модель ЭОС, содержащая три электрода – катод, анод, модулятор.

В §3.1 рассматривается физическая модель триодной системы (модель IV). Поверхность катода представляет собой область луночного типа, состоящая из двух частей сфер. Поверхность анода моделируется частью сферы, поверхность модулятора – круговой диафрагмой (рис. 3.1). Потенциал катода равен нулю. На поверхностях электродов заданы граничные условия первого рода. Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы.

z U = V r U = Рис. 3.1. Схематическое изображение триодной системы (модель IV).

Поверхности электродов рассматриваемой электронно-оптической системы можно представить частями координатных поверхностей, а именно катод можно задать поверхностями = 2, = 2 - 3, 0 < . Поверхность анода задается поверхностью = 1, 0 < 1; а модулятор: = 4 = , 0 < 2.

В §3.2 строится математическая модель, которая заключается в нахождении функции u (, ), удовлетворяющей уравнению Лапласа, с граничными условиями, которые определяются заданными потенциалами на аноде, катоде и модуляторе:

u(, ) = 0, u (, 1) = V0, 0 < 1;

u (, -2) = 0, 0 < ; (3.1) u (, 2 - 3) = 0, 0 < ;

u (, ) = V1, 0 < 2.

Для решения этой граничной задачи вся область рассматриваемой эмиссионной системы разбивается на 9 подобластей:

0 < 1;

u (, ), -2 < < 1, u (, ), -2 < < 1, 1 < 2;

u (, ), -2 < < 1, 2 < ;

u4 (, ), 1 < < 4, 0 < 1;

u (, ) = u5 (, ), 1 < < 4, 1 < 2;

u (, ), 1 < < 4, 2 < ;

u7 (, ), 4 < < 2 - 3, 0 < 1;

u8 (, ), 4 < < 2 - 3, 1 < 2;

u (, ), 4 < < 2 - 3, 2 < .

В §3.3 представлен расчет электростатического потенциала триодной системы.

Удовлетворяя граничным условиям (3.1) и находя собственные значения для каждой из подобластей, распределение потенциала представляется в виде разложения по функциям Лежандра.

В диссертации показано, что для первой подобласти распределение потенциала записывается в виде ( sin n (1 - ) P- 1 (ch ) +n I v1 (, ) = ch + cos Bn + P- 1 (ch 1) +n n=) (3.2) A1,l sh ( + 2) l + A2,l sh (1 - ) l + P- 1 (ch ).

+il sh (1 + 2) l l=Для второй подобласти:

( sin n (1 - ) (n, ) I v2 (, ) = ch + cos BnI + (n, 1) n=) (3.3) D1,l sh (1 - ) µl + D2,l sh ( + 2) µl + (iµl, ), sh (1 + 2) µl l=где введено обозначение (, ) = P- 1 (ch ) Q- 1 (ch 2) - P- 1 (ch 2) Q- 1 (ch ), + + + + 2 2 2 P- 1 ) – функция Лежандра первого рода, Q- 1 (ch ) – функция Лежандра (ch +i +n 2 n второго рода, n =, µl – корни уравнения (iµl, 1) = 0.

1 + Для остальных подобластей распределение потенциала выписывается аналогично (3.2)–(3.3) в виде разложений по функциям Лежандра.

Поскольку подобласти перекрываются, то условия непрерывности потенциала удовлетворяются автоматически. Часть коэффициентов разложений определяются непосредственно из граничных условий.

Непрерывность производной по нормали на границах раздела подобластей приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно остальных наборов неизвестных коэффициентов, решение которой определяет распределение электростатического потенциала в любой точке исследуемой триодной системы.

В заключении сформулированы основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с полевым катодом с острой кромкой.

2. Разработана математическая модель диодной электронно-оптической системы на основе электронного катода с торообразным краем.

3. Разработана математическая модель диодной системы с анодом в виде диафрагмы с отверстием.

4. Разработана математическая модель триодной эмиссионной системы с модулятором, представляющий собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

5. Создан комплекс программ, позволяющий провести численный расчет распределения электростатического потенциала для полевого лезвийного катода.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Мутул М.Г. (Фоменко М.Г.) Математическое моделирование диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой // Процессы управления и устойчивость:

Труды 39-ой международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. – СПб.: Издат. Дом С.- Петерб. гос. ун-та, 2008.

С.153-157.

2. Мутул М.Г. (Фоменко М.Г.) Электростатическое поле электронной пушки с полевым катодом в виде сферического сегмента конечной толщины // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-ой международной научной конференции аспирантов и студентов. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.Петерб. гос. ун-та, 2009. С.236-240.

3. Мутул М.Г. (Фоменко М.Г.), Виноградова Е.М., Егоров Н.В., Шэнь Чэ-Чоу.

Расчет электростатического потенциала диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой. // Журнал технической физики. 2010. Т.80. Вып.5. С.1–4.

4. Фоменко М.Г., Егоров Н.В., Клемешев В.А. Расчет электростатического потенциала эмиссионной системы с полевым катодом. //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.10:

Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып.2. С.39-46.

5. Фоменко М.Г., Виноградова Е.М. Моделирование триодной эмиссионной системы. // Тезисы докладов Всероссийской конференции, посвященной 80-ти летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления». - СПб.: СПбГУ.

2010. С.114-115.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.