WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 
На правах рукописи

Яковлева Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО ХАОСА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Саратов 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич

Официальные оппоненты:

Коноплев Юрий Геннадьевич,

доктор физико-математических наук,

профессор, ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) Федеральный университет», заведующий кафедрой «Теоретическая механика»

Андрейченко Дмитрий Константинович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени

Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой «Математическое обеспечение вычислительных комплексов
и информационных систем»

Ведущая организация:

Институт проблем точной механики
и управления РАН, г. Саратов

Защита состоится «14» ноября 2012 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп.1, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан « « октября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета                 А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Впервые явление хаоса стало рассматриваться в задачах гидрометеорологии. Впоследствии хаос обнаружен в задачах физики, химии, биологии, социологии, медицины, клиодинамики и других научных дисциплин. В большинстве работ, посвященных исследованию хаотических колебаний, математическая модель основана на обыкновенных дифференциальных уравнениях или системе уравнений. Чаще всего рассматриваются системы с одной степенью свободы. Вместе с тем многие механические системы, в частности системы из пластин и балок, имеют распределенные структуры с возможностью контактов, соответствующие множеству степеней свободы. В результате мы приходим к математическим моделям, описываемым существенно нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных.

Решению задач нелинейной динамики пластин и оболочек посвящены работы U. Nackenhorst, J. Awrejcewicz, S. Smale, A. F. Vakakis, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, Б.Я. Кантора, В.Ф. Кириченко, Ю.Г. Коноплева, А.Н. Куцемако, В.А. Крысько, А.В. Крысько, И.Ф. Образцова, Н.М. Якупова, В.Л. Агамирова, В.Г. Баженова, Т.В. Вахлаевой, П.С. Ланда, И.В. Папковой и других авторов. В работах В.С. Анищенко, В.В. Астахова, И.И. Блехмана уделено внимание вопросу синхронизации. Исследованием сложных колебаний балок с применением вейвлет-анализа занимались О.А. Салтыкова, М.В. Жигалов, В.В. Солдатов. Однако в них вопрос о контактном взаимодействии в многослойных конструкциях, состоящих из пластины и балок, не рассматривался.

Возникает необходимость изучения малоисследованного в случае контактных механических распределенных структур явления фазовой хаотической синхронизации колебаний. Исследование этого явления позволяет найти способы управления колебаниями и устранить нежелательные последствия для реальных конструкций, работающих в сложных динамических режимах.

Таким образом, актуальной является задача построения и исследования детерминированных математических моделей сложных колебаний балочно-пластинчато-оболочечных распределенных структур с учетом контактного взаимодействия как систем со многими степенями свободы. Анализ изучения их фазовой хаотической синхронизации и пространственно-временного хаоса.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение математических моделей пространственно-временного хаоса распределенных структур в виде одно- и многослойных балок, пластинок, балочно-пластинчатых конструкций, гибких прямоугольных оболочек, а также создание для их исследования эффективных математических методов, алгоритмов и программных комплексов.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

разработка математических моделей и создание численного метода изучения пространственно-временного хаоса балочно-пластинчато-оболочечных структур и явления фазовой хаотической синхронизации;

разработка комплексов программ для исследования пространственно-временного хаоса конкретных распределенных механических систем в виде конструктивно нелинейных балок, пластинок и их сочетаний при произвольных режимах динамического нагружения.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы нелинейной динамики, вычислительной математики, вейвлет-анализ.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, а также сравнением результатов, полученных разными методами: методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина и методом Рунге-Кутты, в совокупности с применением методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.

Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

  1. Разработан комплексный численно-аналитический метод моделирования для решения контактных задач, основанный на последовательном применении метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода Рунге-Кутты, отличающийся от известных возможностью учета геометрической, физической, конструктивной нелинейности и любого количества слоев в системе.
  2. На основе развитых методов разработаны рабочие алгоритмы и программные комплексы для расчета сложных колебаний конструктивно нелинейных балок и пластинок, а также различных сочетаний этих элементов. Установлена достаточная сходимость разработанных методов (метода конечных разностей и метода Бубнова-Галеркина) в зависимости от исследуемых параметров для многослойного пакета пластин.
  3. Для консольных балок Бернулли-Эйлера с учетом геометрической и физической нелинейности выявлено критическое значение коэффициента диссипации среды с помощью вейвлет-анализа. Показано, что тип нелинейности существенно влияет на сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим.
  4. Впервые проведено изучение фазовой хаотической синхронизации для многослойных механических систем, состоящих из пластинки и одной или двух балок, при помощи вейвлет-анализа, а также исследование управления их колебаниями. Получены сценарии перехода колебаний указанных систем от гармонических к хаотическим в зависимости от параметров и типа внешнего воздействия, величины зазора, параметра диссипации среды.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач нелинейной динамики для контактного взаимодействия балочно-пластинчато-оболочечных структур. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания конструктивно нелинейных механических систем в зависимости от управляющих параметров и изучать их фазовую синхронизацию.

Результаты диссертации использовались при выполнении грантов: Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МК-3877.2009.8, «Математическое моделирование в развитии цивилизаций» по госконтракту П-321 Министерства образования и науки РФ 2009 год, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект 2012-1.4-12-000-1004-006, а также в учебном процессе при выполнении лабораторных работ студентами специальности «Прикладная математика и информатика». Получены 4 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

  1. Предложенный метод математического моделирования и построенные конкретные математические модели обеспечивают анализ гармонических и хаотических колебательных режимов для балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом их контактного взаимодействия.
  2. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования пространственно-временного хаоса распределенных механических систем в виде балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейности.
  3. Получены новые явления фазовой хаотической синхронизации колебаний в многослойных системах, состоящих из балок и пластинок. На базе вейвлет-анализа найдены диапазоны частот, на которых происходит фазовая синхронизация.
  4. Найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гипара под знакопеременным распределенным внешним нагружением, согласно которому после серии зависимых частот и бифуркаций Хопфа система переходит в хаос с удвоением периода. Учет физической нелинейности существенно влияет на сценарий перехода колебаний балок от гармонических к хаотическим.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертации представлялись на: XVII, XVIII и XIX Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2010, 2011, 2012) (грамота за лучший доклад); XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2010); 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics at Graz University of Technology (Австрия, 2011); 11th CONFERENCE on «Dynamical Systems-Theory and Applications» (d, POLAND, 2011); XV Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Международной выставке молодежных работ в области информационно-коммуникационных технологий, научно-исследовательских и инвестиционных проектов (Саратов, 2012) (диплом 2 степени); Международных научно-практических конференциях «Инженерные системы – 2010, 2011» (Москва, РУДН, 2010, 2011); VII и VIII Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 2011); IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, ТПУ, 2011); Молодежном научно-инновационном конкурсе «У.М.Н.И.К.» (Саратов, 2011); VIII международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011).

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).

       Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 25 работах, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит …. страниц, …. рисунков, …. таблиц. Список использованной литературы включает ….. наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена построению математических моделей для исследования целого класса конструкций, схемы которых приведены на рис. 1.

Разработаны рабочие алгоритмы и единый программный комплекс, позволяющий исследовать указанные структуры различными методами (рис.2): методом конечных разностей с аппроксимацией , методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях по пространственным координатам и методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности, методом конечных разностей с аппроксимацией по времени.

В программном комплексе реализована возможность учитывать разные типы нелинейностей (геометрическую, физическую, конструктивную), а также контактное взаимодействие структур.

I

II

III

IV

V

VI

Рис.1. Схемы балочно-пластинчато-оболочечных систем

В случае многослойной структуры на каждом временном шаге строится итерационная процедура учета контактного давления. Исследование колебаний проводится на основе качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Используется анализ сигналов, фазовых и модальных портретов, сечений Пуанкаре, автокорреляционных функций, анализ знаков показателей Ляпунова, Фурье-анализ и вейвлет-анализ. Применяются различные вейвлеты, среди которых наиболее информативным оказался вейвлет Морле. Создан метод анализа знаков показателей Ляпунова, основанный на алгоритме Бенеттина с использованием нейронных сетей.

Для каждой из указанных задач построены математические модели, подробное описание которых приведено в следующих главах.

В данной главе построена математическая модель гибких оболочек на основе кинематической гипотезы Кирхгофа-Лява и учете нелинейной зависимости между деформациями и перемещениями в форме Т. Кармана. Это приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций прогиба и усилий. Для сведения распределенной системы к системе с сосредоточенными параметрами по пространственным переменным применяется метод конечных разностей с аппроксимацией и метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях, что позволяет получать достоверные результаты, так как сравнение с точным решением в настоящее время невозможно. Система обыкновенных дифференциальных уравнений по времени решается методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

В прямоугольной системе координат трехмерная область, соответствующая схеме I на рис. 1, запишется в виде

.

Гибкая оболочка прямоугольная в плане с постоянной жесткостью и плотностью находится под действием знакопеременного внешнего давления , где – амплитуда нагрузки, – частота внешнего возбуждения.

Рис. 2. Укрупненная схема реализации методов решения

Исходными являются уравнения теории пологих оболочек в смешанной форме, записанные в безразмерном виде:

(1)

где , , – известные нелинейные операторы, – функция прогиба; – функция усилия; – коэффициент диссипации; – модуль Юнга; – высота поперечного сечения панели; – удельный вес материала; – ускорение свободного падения; – время; – внешняя нагрузка.

       К системе дифференциальных уравнений (1) следует присоединить краевые и начальные условия.

       В качестве примера рассмотрим сферическую оболочку прямоугольную в плане с однородными граничными условиями – шарнирно-неподвижное опирание:

при , – нормаль,

и нулевыми начальными условиями: .

После применения метода конечных разностей к распределенной системе (1) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в разностно-операторной форме.

       Выявлена сходимость каждого из двух методов по качественным характеристикам, таким как сигнал и спектр мощности Фурье. Для динамической задачи в зоне хаотических колебаний нельзя говорить о сходимости по сигналу в отличие от задач статики, тем не менее получена интегральная сходимость, т.е. по спектру мощности Фурье. При этом для малых значений амплитуды нагрузки установлена сходимость результатов по сигналу (это относится к гармоническим колебаниям).

       В данной главе были исследованы колебания оболочек двойной разнозначной кривизны, т.е. гипаров. Для оболочки с геометрическими параметрами кривизны , , коэффициентом диссипации и частотой внешней нагрузки выявлен новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

Данный сценарий заключается в следующем: при малой амплитуде внешней нагрузки оболочка совершает одночастотные гармонические колебания; с увеличением нагрузки происходит первая бифуркация Хопфа ; далее наступает серия линейно зависимых частот (); после наступает серия бифуркаций Хопфа с последующим переходом системы в хаос, при этом хаос с удвоением периода.

Таким образом, в данной главе решены задачи сложных колебаний гипаров. Найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

Вторая глава посвящена математическому моделированию нелинейных колебаний однослойных балок (схема II на рис. 1).

       Достоверность полученных численных результатов подтверждается сходимостью решений, найденных методом конечных элементов и методом конечных разностей с аппроксимацией O(h2) по пространственной переменной, а по времени – методом Рунге-Кутты четвертого порядка с помощью программного комплекса, описанного в первой главе (рис. 2).

       Запишем исходные уравнения геометрически и физически нелинейной балки:

, где .

(2)

К системе уравнений (2) следует присоединить граничные условия – защемление свободный край и нулевые начальные условия.

       Исследовано влияние величины коэффициента диссипации среды. Анализ полученных данных на примере геометрически нелинейной балки при следующих параметрах системы: – частота вынуждающей силы; – амплитуда вынуждающей силы; отношение длины балки к толщине позволяет определить критическое значение коэффициента диссипации , при котором происходит перестройка системы – на разных временных интервалах характер колебаний меняется. При значениях поведение балки характеризуется гармоническими колебаниями на частоте возбуждения с последующим появлением линейно независимой частоты. При малых значениях параметра () прогибы растут и наблюдается явление хаоса. В работе при учете геометрической нелинейности балки переход от гармонических колебаний к хаотическим происходит по сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза.

       Далее изучен характер колебаний геометрически и физически нелинейной балки под действием внешней знакопеременной нагрузки. Для получения численных результатов был разработан алгоритм решения, основанный на методе конечных разностей по пространственной и временной переменным. На каждом временном слое осуществляется итерационная процедура метода переменных параметров упругости Биргера. В программном комплексе (рис. 2) возможно учитывать любую диаграмму . В данной работе рассматривается балка, изготовленная из материала, диаграмма деформирования для которого имеет вид: .

       Учет физической нелинейности привел к новой модификации известного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза, который заключается в следующем: при малой амплитуде внешней нагрузки балка совершает гармонические колебания; далее с увеличением амплитуды нагрузки появляется независимая частота; потом происходит бифуркация Хопфа ; после этого происходит утроение периода, при этом независимая частота становится зависимой . С последующим увеличением нагрузки происходит перестройка системы – на разных интервалах времени характер колебаний различен. На начальном временном интервале колебания балки регулярные, характер колебаний такой же, как при минимальной нагрузке. Затем появляется переходная зона S с окнами включения/выключения частот, на конечном временном отрезке наблюдаем хаотические колебания (рис. 3). В конце концов, с увеличением нагрузки система переходит в состояние хаоса.

Рис.3. Сигналы, спектры мощности Фурье, 2D и 3D вейвлет-спектры,
автокорреляционные функции геометрически и физически нелинейной балки

       Таким образом, в данной главе решены задачи сложных колебаний физически и геометрически нелинейных балок. Учет физической нелинейности влечет новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим, описанный выше.

Третья глава посвящена математическому моделированию сложных систем в виде балок и пластинок с малыми зазорами между ними, которые при действии нагрузки на верхний слой вступают во взаимодействие между собой. Разработанный метод и программный комплекс, описанный в первой главе (рис. 2), позволяют решать различные типы задач с контактным взаимодействием:

1) математическое моделирование контактного взаимодействия перекрестных и параллельных балок с малыми зазорами (рис. 1, схема III);

2) математическое моделирование контактного взаимодействия пластин с малым зазором (рис. 1, схема IV);

3) математическое моделирование контактного взаимодействия пластины и балки с малым зазором (рис. 1, схема V);

4) математическое моделирование контактного взаимодействия пластины и двух параллельных балок с малым зазором (рис. 1, схема VI).

Разработанный программный комплекс может быть применен для любого количества слоев в структуре. Рассмотрим каждый класс задач.

I. Сложные колебания конструктивно нелинейных перекрестных балок описываются системой уравнений:

(3)

где функция , коэффициент выбирается из условия непроникновения слоев друг в друга, – зазор между слоями.

Присоединим граничные условия – шарнирное опирание по контуру (прогиб и момент равны нулю) и нулевые начальные условия.

В случае параллельных балок во втором уравнении системы (3) производную берем по переменной х.

       В работе исследовано контактное взаимодействие двух перекрестных балок с разными типами внешней поперечной знакопеременной нагрузки.

       При распределенной нагрузке на всю верхнюю балку и локальной, приложенной только в центральной точке, выявлен сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза.        При локальной нагрузке, приложенной на половину верхней балки, с увеличением амплитуды нагрузки обе балки совершают колебания на серии зависимых частот от частоты возбуждения.

       II. Сложные колебания конструктивно нелинейных пластин описываются системой уравнений следующего вида:

где если , иначе , – зазор между слоями.

(4)

Полученные системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях в форме В.З. Власова. Функции , являющиеся решениями (4), приближенно аппроксимируем выражением в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат и удовлетворяющих краевым условиям.

.

  (5)

       Системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка решаются методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности по времени.

На основании проведенных исследований предлагается применить вейвлет-анализ для выявления режима фазовой хаотической синхронизации механических динамических систем. Для описания и анализа фазовой хаотической синхронизации, как правило, вводится фаза хаотического сигнала. Фазовая хаотической синхронизация означает, что происходит захват фаз хаотических сигналов, в то время как амплитуды этих сигналов остаются не связанными друг с другом и выглядят хаотическими. Захват фаз влечет за собой совпадение частот сигналов. Частота хаотического сигнала определяется как средняя скорость изменения фазы. В случае применения вейвлетных преобразований вейвлетная поверхность характеризует поведение системы на каждом временном масштабе s в любой момент времени t0. Величина характеризует наличие и интенсивность соответствующего временного масштаба s в момент времени t0. Вводится интегральное распределение энергии вейвлетного спектра по временным масштабам . Фаза определяется как для каждого временного масштаба s, т.е. возможно характеризовать поведение каждого временного масштаба s с помощью ассоциированной с ним фазы . Фазовая синхронизация ведет к появлению захвата фаз на синхронизированных временных масштабах s .

Изучено влияние величины зазора на характер колебаний пластин под действием постоянной во времени нагрузки. При следующих параметрах пластин: , , , выявлен сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза при переходе от гармонических колебаний в хаос. С увеличением зазора до 0,1 при прежних остальных параметрах был выявлен модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза перехода от гармонических колебаний в хаос. При наименьшей нагрузке верхняя пластина совершает гармонические колебания на собственной частоте, нижняя находится в состоянии покоя. Как только происходит касание пластин, у верхней пластины появилась зависимая частота, у нижней – две зависимые частоты и независимая частота, у обеих пластин наблюдаем окна периодичности частот, фазовая синхронизация происходит в окрестности частоты собственных колебаний пластин. По мере увеличения нагрузки происходит перестройка системы, т.е. смена характера колебаний обеих пластин, верхняя пластина колеблется на собственной частоте и четырех зависимых частотах, колебания нижней пластины происходят на собственной, двух независимых и одной зависимой, наблюдаем фазовую синхронизацию этих двух пластинчатых систем на всем диапазоне частот. Продолжая увеличивать нагрузку, наблюдаем окна периодичности, включения/выключения частот, обе пластины колеблются на двух независимых частотах, фазовая хаотическая синхронизация происходит на этих же частотах. Далее меняется характер колебаний обеих пластин и становится хаотическим.

Изучено поведение пластин под действием знакопеременной поперечной нагрузки с зазором между ними . Была исследована сходимость этих процессов методом Бубнова-Галеркина при N=1, 3, 5, и установлено, что достаточно N=3 в формуле (5). При амплитуде нагрузки внешнего воздействия гармонические колебания совершает верхняя пластина, нижняя – находится в состоянии покоя. Начиная с , после касания с нижней колеблются в состоянии хаоса обе пластины. Сигналы нижней пластины хаотические. Наблюдается ленточный хаос, подобный хаосу в системе Рёслера. Спектр мощности имеет высокий шумовой пьедестал, на котором выделяются основная частота, ее гармоники и субгармоники. На проекции поверхности распределения амплитуды коэффициентов вейвлетного преобразования наблюдается максимум, соответствующий базовой частоте . Амплитуда этого максимума и, следовательно, энергия движения системы, соответствующая зависимости , с течением времени устанавливается. В этой задаче можем наблюдать фазовую синхронизацию этих двух пластинчатых систем, находящихся в режиме динамического хаоса. В данной задаче обнаружено, что после соприкосновения двух пластин с течением времени наблюдается и захват амплитуд. С увеличением нагрузки этот захват происходит более интенсивно, вплоть до полного захвата сигналов одной пластиной другой.

Изучено влияние величины коэффициента диссипации ε. С этой целью рассмотрено поведение пластин для различных значений ε под действием знакопеременной поперечной нагрузки.

Для выявлен сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза, при этом с увеличением внешней нагрузки увеличивается диапазон частот, на которых происходит фазовая хаотическая синхронизация, а также наблюдается амплитудная синхронизация.

Для : при малой величине нагрузке верхняя пластина совершает колебания на собственной и вынужденной частотах, а нижняя пластина находится в состоянии покоя. Как только происходит касание, наблюдаем хаотические колебания обеих пластин. С увеличением внешней нагрузки увеличивается диапазон частот, на которых происходит фазовая хаотическая синхронизация, а также наблюдается амплитудная синхронизация.

Рассмотрим случай, когда величина только в тех точках, где происходит контакт пластин, во всех остальных – . В этом случае наблюдаем хаотические колебания, для которых характерно, что с увеличением внешней нагрузки увеличивается диапазон частот, на которых происходит фазовая хаотическая синхронизация, а также наблюдается амплитудная синхронизация.

       III. Сложные колебания конструктивно нелинейных пластины и балки.

       Пластина описывается уравнением типа Жермен-Лагранжа, а балка – Эйлера-Бернулли. Контактное взаимодействие учитывается по модели Винклера. Исходные уравнения движения для многослойной конструкции в безразмерном виде записываются системой, состоящей из первого уравнения системы (4) и второго уравнения системы (3). Пластина и балка изотропные.

Рис.4. График разности фаз, совместные колебания, фазовые портреты,
спектры мощности Фурье конструктивно нелинейных пластины и балки

       Исследовано контактное взаимодействие пластины и балки, которая расположена по центру пластинки. При амплитуде внешнего воздействия происходит контакт пластины и балки, колебания пластины гармонические на , балка совершает непродолжительные по времени колебания, которые затухают. При увеличении нагрузки происходят утроение периода по А.Н. Шарковскому, синхронизация колебаний пластины и балки с перестройкой системы в хаос; далее на фазовом портрете для пластины появилась петля, у пластины и балки хаотические колебания совершаются на частоте внешнего воздействия , о чем свидетельствуют спектры мощности Фурье (рис. 4).

IV. Сложные колебания конструктивно нелинейных пластины и двух параллельных балок описываются системой, состоящей из первого уравнения системы (4) для пластины и второго уравнения системы (3) для каждой из балок. В этом случае решения будем искать в виде

       Изучено поведение двухслойного пакета пластины и балок под действием поперечной распределенной нагрузки при следующих параметрах структуры: , , .

В вышеописанных задачах можем наблюдать фазовую синхронизацию этих систем, находящихся в режиме динамического хаоса.

Рассмотрен случай, когда пакет состоит из пластины и двух параллельных балок, расположенных на несимметричном расстоянии от центра пластины. При первоначальном контакте пластины и балок колебания пластины происходят на частоте возбуждения , а балки совершают непродолжительные по времени колебания, которые затухают. При дальнейшем увеличении амплитуды нагрузки происходит смена характера колебаний: пластина перешла в хаос, возникает утроение периода по А.Н. Шарковскому, в то время как колебания балок поочередно либо хаотические на утроении периода, либо затухают на частоте собственных колебаний.

Рис.5. График разности фаз, совместные колебания, фазовые портреты, спектры
мощности Фурье конструктивно нелинейных пластины и двух параллельных балок

Изучено поведение двухслойного пакета при расположении балок на одинаковом расстоянии от центра пластины. При первоначальном соприкосновении пластины с балками характер колебания всех трех структур гармонический. Увеличивая внешнее воздействие, наблюдаем перестройку системы на хаотические колебания с утроением периодов. Поведение балок синхронное при одинаковых нагрузках (рис. 5). Далее картина меняется, наблюдаем петлю на фазовом портрете пластины, сплошные пьедесталы на спектрах мощности Фурье, но при этом фазовые портреты двух балок различные. Итак, при амплитуде внешнего воздействия форма колебаний двух балок несимметричная.

Таким образом, в данной главе решены задачи сложных колебаний балочно-пластинчатых систем, соединенных только через краевые условия, с учетом их контактного взаимодействия при действии внешней нагрузки. Установлено, что тип приложения внешней нагрузки и величины зазора между слоями существенно влияют на сценарий перехода от гармонических колебаний к хаосу.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

  1. Построена математическая модель и развит метод, на основе которых создан единый программный комплекс по изучению пространственно-временного хаоса распределенных механических структур в виде оболочек, балок, пластин и их различных сочетаний с малыми зазорами с возможностью контакта.
  2. Найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для оболочек отрицательной гауссовой кривизны (гипаров), согласно которому после первой бифуркация Хопфа наступает серия линейно зависимых частот и серия бифуркаций Хопфа с последующим переходом системы в хаос на удвоении периода.
  3. Изучено влияние разных типов нелинейности на характер сложных колебаний консольной балки, найдено критическое значение коэффициента диссипации среды. Установлено, что учет физической нелинейности влечет за собой модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза перехода колебаний от гармонических к хаотическим.
  4. Разработан алгоритм исследования явления фазовой хаотической синхронизации с применением вейвлет-анализа. Установлено, что величина зазора между слоями и значение коэффициента диссипации среды приводят к модификациям сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза, при которых колебания совершаются на утроении периода по А.Н. Шарковскому. Различные типы приложения нагрузки также существенно влияют на пространственно-временной хаос.
  5. Создан метод анализа знаков показателей Ляпунова, основанный на алгоритме Бенеттина с использованием нейронных сетей, для управления пространственно-временным хаосом распределенных механических структур.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в центральных изданиях,
включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ

  1. Яковлева Т.В. О памяти нелинейных дифференциальных систем в теории пластин / Я. Аврейцевич, Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, В.А. Крысько // Вестник Нижегородского университета им. Лобачевского. – 2011. – № 4. – Ч. 2. – С. 21-23.
  2. Yakovleva T.V. Chaotic nonlinear dynamics of cantilever beams under the action of signs-variables loads / A.V. Krysko, M.I. Koch, T.V. Yakovleva, U. Nackenhorst, V.A. Krysko // PAMM, Special Issue: 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Graz 2011, Vol. 11. – Issue 1. – P. 327-328.
  3. Яковлева Т.В. Нелинейная динамика антенн в космических средствах связи / В.А. Крысько, О.А. Салтыкова, Т.В. Яковлева // Известия вузов. Авиационная техника. – 2011. – № 2. – С. 60-62.
  4. Yakovleva T.V. Nonlinear dynamics of antennas in space communication facilities / V.A. Krysko, O.A. Saltykova, T.V. Yakovleva // Russian Aeronautics (Iz VUZ). – 2011. – Vol. 54. – № 2. – P. 204-208.
  5. Яковлева Т.В. Метод установления в нелинейных задачах балок и пластин с учетом локальности нагружения / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, Т.В. Яковлева, Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2012. – №2 (65). – Вып. 1. – С. 7-17.

Публикации в иностранных изданиях

  1. Яковлева Т.В. Математические модели нелинейной динамики распределенных консервативных и диссипативных балочно-пластинчато-оболочечных структур / А.В. Крысько, Т.В. Яковлева, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько // XV International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation, Abstracts of Conference Reports, Kiev, Ukraine, May 25-27, 2011. P. 287.
  2. Yakovleva T.V. The Chaotic Nonlinear Dynamics of Cantilever Beams under the Action of Local Sign-Variables Loads / A.V. Krysko, M.I. Koch, T.V. Yakovleva, U. Nackenhorst, V.A. Krysko // 82nd Annual Meeting, International Association of Applied Mathematics and Mechanics at Graz University of Technology: Book of Abstracts. Graz, Austria, GAMM 2011, April 18-21, 2011. P. 173-174.
  3. Yakovleva T.V. Chaotic synchronization of vibrations of a coupled mechanical system consist of a plate and beams / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, T.V. Yakovleva, D.S. Zelenchuk, V.A. Krysko // Dynamical Systems – Theory and Applications: 11th CONFERENCE: electronic edition. d, POLAND, December 5-8, 2011.
  4. Yakovleva T.V. Chaotic synchronization of vibrations of a coupled mechanical system consist of a plate and beams / J. Awrejcewicz, A. Krysko, T. Yakovleva, D. Zelenchuk, V. Krysko // Dynamical Systems, Analytical/Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos, d, POLAND, December 5-8, 2011ё P. 129-140.

Публикации в других изданиях

  1. Яковлева Т.В. Математическая модель управления сложными нелинейными колебаниями многослойных неспаянных балок / И.В. Папкова, М.И. Коч, Т.В. Яковлева // Математическое моделирование и краевые задачи: М3: тр. Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. – Самара: СамГТУ, 2010. – С. 263-266.
  2. Яковлева Т.В. Математическое моделирование анализа сложных нелинейных колебаний при контактном взаимодействии перекрестных распределенных систем / В.А. Крысько-мл., Т.В. Яковлева // Ломоносов – 2012: материалы Международного научного форума: электрон. изд. М.: МАКС Пресс, 2012.
  3. Яковлева Т.В. Управление сложными нелинейными колебаниями гибких балок / Е.Ю. Крылова, Т.В. Яковлева // Ломоносов – 2010: материалы Международного научного форума: электрон. изд. М.: МАКС Пресс, 2010.
  4. Яковлева Т.В. Управление хаотическими колебаниями многослойных пластин связанных между собой только через краевые условия // Ломоносов – 2011: материалы Международного молодежного научного форума: электрон. изд. М.: МАКС Пресс, 2011.
  5. Яковлева Т.В. Сценарии перехода в хаос для консольной балки модели Эйлера-Бернулли // Инженерные системы – 2010: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 6-9 апреля 2010 г. – М.: РУДН, 2010. – С. 73.
  6. Яковлева Т.В. Управление параметрическими колебаниями
    гибких прямоугольных в плане оболочек / А.В. Крысько, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тез. докл. XI Междунар. конф., Москва, ИПУ РАН, 1-4 июня 2010 г. – М.: ИПУ РАН, 2010. – С. 214-216.
  7. Яковлева Т.В. Сценарии перехода в хаос для консольной балки модели Эйлера-Бернулли // Инженерные системы – 2010: тр. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 6-9 апреля 2010 г. – М.: РУДН, 2010, С. 210–213.
  8. Яковлева Т.В. Метод Бубнова – Галеркина в теории контактного взаимодействия гибких пластинок / Э.С. Кузнецова, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева // Молодежь и современные информационные технологии: сб. тр. IX Всерос. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. – Ч. 1. – Томск, 11-13 мая 2011 г. – Томск: Изд-во СПБ Графикс, 2011. – С. 114-115.
  9. Яковлева Т.В. О синхронизации и управлении колебаниями двухслойных пластинок связанных через краевые условия / В.А. Крысько, Т.В. Яковлева, И.В. Папкова, Э.С. Кузнецова, Е.Ю. Крылова // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: сб. тез. докл. VIII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, Санкт-Петербург, 22-23 июня 2011 г. – СПб.: Петербургский государственный университет путей сообщения, 2011. – С. 69-71.
  10. Яковлева Т.В. Параметрические колебания двухслойных неспаянных пластин / Т.В. Яковлева, И.Е. Кутепов // Инженерные системы – 2011: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 5-8 апреля 2011 г. – М.: РУДН, 2011. – С. 40.
  11. Яковлева Т.В. Нелинейные колебания двухслойных неспаянных структур / Т.В. Яковлева, И.Е. Кутепов // Инженерные системы – 2011: тр. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 5-8 апреля 2011 г. – Т. II. – М.: РУДН, 2011. – С. 114-118.
  12. Яковлева Т.В. Сложные нелинейные колебания диссипативных многослойных пластинчато-балочных структур / И.В. Папкова, М.И. Коч, Т.В. Яковлева, В.А. Крысько // Математическое моделирование и краевые задачи: М 33: тр. Восьмой Всерос. науч. конф. с междунар. участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. – Самара: СамГТУ, 2011. – С. 151-154.

Авторские документы

  1. Яковлева Т.В. Программа для исследования многослойного пакета геометрически линейных, упругих балок с учетом контактного взаимодействия под действием различных нагрузок / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, М.И. Коч, В.В. Бочкарев: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616992. Зарегистрировано 8 сентября 2011 г.
  2. Яковлева Т.В. Программа расчета и анализа сложных колебаний нескольких балок с учетом контактного взаимодействия и геометрической нелинейности под действием различных нагрузок / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, М.И. Коч, В.В. Бочкарев: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012610724. Зарегистрировано 16 января 2012 г.
  3. Яковлева Т.В. Программа для исследования многослойного пакета, состоящего из геометрически линейных пластины и двух балок, с учетом контактного взаимодействия под действием различных типов нагрузки / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, М.И. Коч: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 20126120066. Зарегистрировано 22 февраля 2012 г.
  4. Яковлева Т.В. Контактное взаимодействие пластин под действием знакопеременной распределенной нагрузки / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, М.И. Коч, В.В. Бочкарев: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011618689. Зарегистрировано 8 ноября 2011 г.

Яковлева Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО- ВРЕМЕННОГО ХАОСА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Автореферат

Подписано в печать 03.10.12

Формат 6084 1/16

Бум. офсет.

Усл. печ. л. 1,0

Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз.

Заказ 156

Бесплатно

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.