WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Лужецкая Прасковья Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ, РАСЧЕТ ТЕЛЕТРАФИКА И ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ

Специальность 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону - 2012

Работа выполнена на кафедре «Информатика» в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (РГУПС)

Научный консультант: Бутакова Мария Александровна доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Боженюк Александр Витальевич доктор технических наук, профессор, Южный федеральный университет, профессор Соколов Сергей Викторович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения», профессор

Ведущая организация: Северо-Кавказский федеральный университет 24 14-

Защита состоится _____ декабря 2012 г. в ______ часов на заседании диссертационного совета Д 218.010.03 в Ростовском государственном университете путей сообщения по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУПС по адресу:

344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

Автореферат разослан «___» ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 218.010.доктор технических наук, профессор Бутакова М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность тематики исследования. В настоящее время процессы Леви используются при моделировании различных естественных явлений, таких как диффузия потоков в пористых средах и плазме, лазерное охлаждение, молекулярные столкновения, долговременные изменения климата, движение молекул в разреженном газе, помехи в каналах связи, модели телетрафика, флуктуации доходности финансовых активов и т.д. Процессам Леви посвящены многочисленные как аналитические так прикладные исследования. Среди зарубежных ученых, работающих с математическими моделями на базе процессов Леви, следует отметить S. Asmussen, O.E. Barndorff-Nielsen, J. Bertoin, A. Bensoussan, F. Black, P.

Carr, R. Cont, J.C. Cox, F. Delbaen, D. Lamberton, R. Merton, S.A. Ross, W. Shachermayer, M. Scholes, E. Schwartz другие. Исключительное влияние на развитие исследований в этой области оказал академик РАН А.Н. Ширяев и его ученики.

Среди российских ученых следует отметить вклад К.А. Боровкова, Г.И. Белявского, А.А. Гущина, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, С.З. Левендорского, А.В.

Мельникова, М.Л. Николаева, А.А. Новикова, И.В. Павлова, Э.А. Пресмана, Д.Б.

Рохлина, В.Н. Тутубалина, В.М. Хаметова, А.С. Черного и других.

Хорошо развитый аналитический аппарат, включающий теорию мартингалов, стохастическое интегрирование, инфинитезимальное исчисление, позволяет находить решения разнообразных задач. По сравнению с гауссовскими процессами негауссовские процессы Леви позволяют моделировать скачки траекторий за счет наличия скачкообразной составляющей, что существенно расширяет возможности математического моделирования временных рядов с последующим приложением моделей.

В последнее время многих авторов привлекают модели, основанные на процессах Леви, в которых происходят изменения параметров в случайные моменты времени под воздействием случайных факторов среды. Следует также отметить неугасающий интерес к фрактальным (автомодельным) процессам. Хорошим средством моделирования является замена времени, детерминированная и стохастическая (субординация). Поэтому исследования связанные с приложениями моделей временных рядов под управлением процессов Леви являются актуальными.

Цель диссертационного исследования. Диссертационное исследование посвящено математическим моделям временных рядов, полученных на базе процессов Леви, разработке эффективных методов вычисления специальных функционалов на траекториях временных рядов, использующих вычислительные процессы с теплицевыми матрицами, быстрые преобразования и методы МонтеКарло, разработке программного обеспечения и приложениям для расчетов пропускных возможностей информационных каналов при заданном трафике и оптимальных портфелях.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

– с использованием структуры процессов Леви предложены новые модели временных рядов: фрактальные модели с использованием произвольных безгранично делимых распределений, модели с использованием круговых устойчивых распределений, модели с использованием семейства процессов Леви и стохастического автомата;

– предложены имитационные модели и алгоритмы генерации временных рядов рассматриваемого класса;

– на основе использования метода максимального правдоподобия и эмпирической плотности предложен метод идентификации кумулянты для широкого класса процессов Леви;

– разработано программное обеспечение, с помощью которого вычислены оптимальный портфель и оптимальная пропускная способность канала.

Научная новизна. Основными новыми результатами являются в области математического моделирования:

– модели временных рядов на базе процессов Леви со стационарными, но зависимыми приращениями;

– модели, полученные в результате конкатенации траекторий процессов Леви;

– модели, полученные из составного процесса Пуассона детерминированной и случайной заменой времени;

– имитационные модели данных временных рядов;

в области численных методов:

– метод идентификации параметров модели, использующий быстрое преобразование Фурье;

– методы, связанные с теплицевыми матрицами, позволившие построить имитационные модели фрактальных временных рядов;

– использование метода Монте-Карло для вычисления функционалов на траекториях временных рядов, математическими моделями которых являются процессы, использующие свойства процессов Леви;

в области программных комплексов:

– программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникационного трафика на основе разработанных в диссертации моделей и вычислительных методов, и отличающийся возможностью генерации сетевых потоков данных через сетевые интерфейсы компьютеров, соответственно, в режимах воспроизведения сохраненных параметров и синтетической генерации в соответствии с аналитическими моделями временных рядов, описывающих поведение телетрафика в телекомммуникационных сетях.

Практическая значимость. Результаты диссертации воплощены в программном комплексе и использованы при вычислении оптимального портфеля при среднеквадратичном хеджировании и расчете оптимальной пропускной способности канала при трафике с заданными статистическими характеристиками.

Практическая ценность разработанного программного комплекса обусловлена возможностями измерения основных характеристик производительности телекоммуникационных сетей на основе пакетной коммутации данных, что позволяет использовать комплекс программ при анализе, развертывании и проектировании телекоммуникационных сетей.

Объектом исследования являются процессы передачи данных, рассматриваемые как случайные процессы с дискретным временем.

Предметом исследования являются математические модели временных рядов и численные методы, позволяющие реализовать имитационный эксперимент с моделями.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

– фрактальные модели временных рядов на базе произвольных безгранично делимых распределений, модели временных рядов на базе семейства процессов Леви и стохастического автомата, модели временных рядов на базе составного процесса Пуассона с круговым устойчивым распределением скачка, имитационные алгоритмы вычисления траекторий для данных временных рядов;

– вычислительные алгоритмы, использующие быстрое преобразование Фурье, теплицевы матрицы и метод Монте-Карло для фитинга моделей и вычисления функционалов на траекториях временных рядов;

– программное обеспечение, которое использовано для вычисления оптимального портфеля и оптимальных характеристик информационного канала.

Достоверность полученных результатов обеспечена математическим анализом алгоритмов, положительными вычислительными экспериментами как с модельными, так и с реальными данными, внедрением результатов диссертационного исследования.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всероссийской конференции «Ряды Фурье и их приложения» (1999 г.), всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математик ( 2010, 2011 гг.).

Результаты диссертации внедрены в ООО «Альянс Телеком».

Публикации. Результаты исследования опубликованы в 12 работах, 3 из которых – в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация общим объемом 134 страниц содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы из 1наименований, 40 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, приведены сведения о структуре диссертации.

В первой главе диссертации «Математические модели временных рядов» наряду с аналитическим обзором описываются основные математические факты, которые в дальнейшем будут использованы для построения моделей информационных потоков и ряда моделей для постановки и решения прикладных задач, возникающих в финансовой математике. Рассматриваются два типа моделей. К моделям первого типа относятся модели со стационарными и независимыми приращениями. Второй тип моделей – это модели со стационарными, но зависимыми приращениями, обладающими свойствами автомодельности.

Поскольку модели первого типа достаточно представлены в литературе, то основное внимание в главе уделено моделям второго типа. Так, в диссертации подробно рассмотрен прием детерминированной и стохастической замены времени.

Детерминированная замена времени. Пусть (t) – возрастающая функция, (0)= 0. Пусть Yt – процесс Леви. Определим новый процесс Xt = Y(t).

Вычислим E exp iXt = E exp iY(t) = exp t . Отсюда следует, что X будет ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) процессом Леви тогда и только тогда, t = at, a > 0.

( ) Детерминированная замена времени для составного процесса Пуассона. Представим составной процесс Пуассона как точечный процесс. Пусть последовательность состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин с P i dx = F dx, последовательность состоит из независимых оди( ) ( ) наково распределенных случайных величин с P i dx = F dx. Положим 0 = 0, ( ) ( ) i =i-1 +i.Определим случайный процесс:





Xt = I i t ( ) (1) i iПроцесс Xt является чисто скачкообразным процессом со случайной величиной скачка и интенсивностью скачков, определяемой F.

Является справедливой следующая теорема.

Теорема. Процесс X, определяемый формулой (1), будет процессом Леви тогда и только тогда, когда распределение F является показательным.

Заметим, что в этом случае процесс X является составным пуассоновским процессом и может быть представлен в виде:

Nt Xt =, (2) i i=где Nt – процесс Пуассона.

Пусть Yt – составной процесс Пуассона. Введем в рассмотрение новый процесс Xt = Y(t). Замена времени приведет к изменению формулы (1) Xt = Y(t) = I i t { ( ) (3) } i iРассмотрим последовательность для процесса X. Обозначим через k = k -1 + k - k -1. Последовательность – порождающая последователь( ) ( ) ность для составного процесса Пуассона – Y. Вычислим условную вероятность P k x / zk -1 (k -1 = zk -1 ).

( ) Искомая вероятность P k x / zk -1 = P zk -1 +k zk -1 x + zk -1 zk -1 = P k x + zk -1 - zk -1.

( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )- ) ( ) Так как Y составной процесс Пуассона, то P k x / zk -1 = 1- exp - x + zk -1 - zk -( ) ( ( ) ( ) ) ( ), и плотность условного распределения (при условии дифференцируемости функции ) p (x x, x,..., x )= zk-1 + xk exp - zk-1 + xk - zk-1, ( ) ( ) ( ) (4) ( ( ) ) k k 1 2 k -r k -где zr =. Заметим, что k зависит от. Независимость возможна тогда и x i i i=1 i=только тогда, когда t = at. В этом случае ( ) p xk x1, x2,..., xk-1 = p xk = aexp X ) ( ) ( ) (-axk. Следовательно, процесс – соkk ставной процесс Пуассона.

Стохастическая замена времени. Второй способ получения нового процесса X является субординацией эталонного процесса Y с помощью субординатора Леви. Поскольку в диссертации показано, что составной процесс Пуассона после субординации остается процессом Пуассона, то основное внимание уделяется винеровской составляющей процесса Леви.

Далее в главе рассматриваются автомодельные процессы Леви и их дискретные аналоги в качестве моделей временных рядов.

В главе изучается дискретизация автомодельных процессов со стационарными и зависимыми приращениями.

Приводится следующее определение.

Определение.

Назовем последовательность X автомодельной в широком смысле, если i X = 0, Xi = и последовательность стационарная в широком смысле по 0 k следовательность с ковариационной функцией, определяемой равенством h2H 2H 2H cov(i, j) = (k) = k +1 - 2k2H + k -1, где k = i - j.

( ) ( ) Данное определение позволяет существенно расширить класс моделей временных рядов, например, следующим образом. Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым мате матическим ожиданием и единичной дисперсией. Назовем эту последовательность обновляющей последовательностью. Введем ряд обозначений TT T N ( ) X = X1, X2,..., X,(N ) = 1,2,...,N,(N ) = 1,2,...,N. Рассмотрим представле( ) ( ) ( ) N ние:

(5) (N ) = A(N ), где A – невырожденная матрица.

Из (5) следует, что для матрицы выполняется равенство:

A C = AAT, (6) 0 1... N -1 ( ) ( ) ( ) 1 0... N - ( ) ( ) ( ) где C = ............

N -1 N - 2... 0 ( ) ( ) ( ) – симметричная теплицева матрица. Равенству (6) удовлетворяет множество невырожденных матриц, поэтому мы можем потребовать, чтобы матрица обладала дополнительными полезными свойствами. Например, была нижнетреугольной.

N ( ) Благодаря (5) мы можем выразить вектор X непосредственно, через вектор (N) :

N ( ) (7) X = GA(N ), 1 0... 1 1... где G =.

............

1 1... Возможно и другое представление:

(8) A(N ) = (N ).

Из (8) следует:

T (9) C = A-1 A-1, ( ) и N ( ) (10) X = GA-1(N).

Равенство (10) эквивалентно равенству (6), однако соотношения (5) и (8) имеют разный вероятностный смысл. Первое из них называют моделью скользящего среднего, второе – моделью авторегрессии.

Рассмотрим еще одно представление, использующее диагональное представление ковариационной матрицы. Поскольку ковариационная матрица C – симметричная теплицева матрица, то возможно диагональное представление T C = U U, где U – ортогональная матрица, – положительная диагональная мат рица. В связи с этим:

N ( ) T (11) X = GU (N ).

Существуют эффективные алгоритмы диагонализации симметричных теплицевых матриц. Поэтому представление (11) является весьма эффективным средством имитационного моделирования.

Далее в главе рассматривается дискретизация процессов с переключением параметров.

Определим марковскую цепь по процессу U Ui := Uih, (12) для которой матрица переходных вероятностей L определяется равенством:

lk,l = exp h. (13) ( ( ) ) k,l Определим (i) = Yn(i), тогда дискретизация процесса с переключением параметров n модели определяется равенством:

n (14) Ui Xn = ( ).

i i=i Вычислим характеристическую функцию случайной величины (U ) i T (15) = EE i(jk) /U = k q(0) Ljr.

( ) ( ) ( ) U (exp j )= ( ) j j ( В (15) компоненты вектора q(0) qk0) = P U0 = k, компоненты вектора r ( ) rl = exp hl , где l – кумулянта случайной величины.

(jl) ( ( ) ( ) ) s1 0... 0 s2... T Допустим, матрица представима в виде: = VSV, где, S = 0 0......

0...... sd тогда:

T (16) L = VSV, exp hs1 0... 0 ( ) 0 exp hs2... ( ) (17) где S =.

............

0 0... exp hsd ( ) exp jhs1 0... 0 ( ) 0 exp jhs2... ( ) T V Отсюда матрица Lj = V, ............

0 0... exp jhsd ( ) следовательно, характеристическая функция = ( ) ( ) exp jhsi aibi, (U ) j j i где ai = q( )vl,i,bi = rv. В этом случае выражение для характеристической l l l,i ll функции имеет более простой сепарабельный вид.

Во второй главе диссертации «Имитационные модели и статистический анализ временных рядов» рассматриваются имитационные модели временных рядов, полученные на основе анализа математических моделей, проведенного в первой главе. При решении задач фильтрации сигналов, расчета и прогнозирования трафика, расчета справедливых цен и риска, то есть задач, связанных с вычислением функционалов на траекториях случайного процесса, существует два альтернативных метода. Первый метод – это метод Монте-Карло и второй – численное решение интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

Для реализации метода Монте-Карло существенным моментом является разработка эффективных численных методов генерации траекторий случайного процесса или временного ряда.

Поэтому первая цель, которая достигается во второй главе – это разработка генераторов временных рядов, позволяющих вычислять различные функционалы от временных рядов с использованием методов Монте-Карло. Вторая цель – это разработка численных методов оценки параметров моделей по наблюдаемой выборке или фитинг моделей, для того чтобы получить законченный программный комплекс.

Основная трудность аналитического характера при построении генератора процесса Леви заключается в том, что для большинства процессов Леви закон распределения приращений не известен в явном виде.

В связи с этим, представляется оправданным разбить проблему генерации траекторий процесса Леви на несколько подзадач.

1. Моделирование составного процесса Пуассона.

Траектории составного процесса Пуассона являются кусочно-постоянными с конечным числом скачков на ограниченном интервале, поэтому эти траектории могут быть промоделированы достаточно точно. Мы предлагаем алгоритм, в котором использован тот факт, что на достаточно малом временном интервале может произойти максимум один скачок. Кроме этого, в данной главе рассматривается алгоритм, который учитывает возможность детерминированной замены времени.

2. Аппроксимация процесса Леви составным процессом Пуассона. Простейшая аппроксимация заключается в том, что удаляются скачки, по модулю непревосходящие . Такая аппроксимация сходится медленно в случае высокой концентрации скачков в окрестности нуля. Для описания скачков по модулю меньших предложено использовать соответствующим образом нормализованное броуновское движение.

3. Представление процесса с помощью ряда дает еще один способ моделировать процесс Леви с помощью взвешенной суммы процессов Пуассона.

4. В главе также рассматривается моделирование процесса Леви, получающегося в результате субординации винеровского процесса.

5. Рассматривается генератор фрактального в широком смысле процесса с использованием рекуррентного обращения теплицевой матрицы.

6. Для моделирования нестационарных процессов предлагается алгоритм, ядром которого является стохастический автомат.

Из-за ограниченности объема автореферата остановимся на описании алгоритма моделирования нестационарных процессов.

Рассмотрим автомат без входов, где p0 – начальное расSA = p0,S,M, P, пределение вероятностей на S, S – конечное множество состояний, P – стохастическая матрица переходов, M = 1,..., N – конечный выходной алфавит, – { } сюръективное отображение : S M. Каждый элемент множества M является меткой модели. Данный автомат является генератором марковских цепочек. Длина такта стохастического автомата 1,2,.... является случайной величиной с { } известным законом распределения Q.

j ( ) Рассмотрим семейство процессов Леви X ; j =1,2,..., N и семейство приj ( ( ращений случайного процесса i j) = Xihj) - X((i-)1)h.

Пусть вероятностный автомат генерирует выходную последовательность u1,u2,...,ul. Используя эту последовательность, получим временной ряд прира{ } 1 2 l щений конкатенацией отрезков временных рядов =(u )(u )...(u ). В результате (u1) (u2 ) (ul ) получаем процесс X = X X...X. Отрезки имеют длину, равную длине такта i стохастического автомата. При i =1 получаем модель, которая была исследована аналитически в первой главе. Если – случайная величина, то аналитический анализ затруднен, однако генератор такого процесса можно реализовать в виде следующего алгоритма.

Процедура Con(F,,N,SA, ) 1. k :=2. Генерация с помощью 3. Генерация u с помощью стохастического автомата SA 4. n :=5. Генерация с помощью F(u) k ( ) 6. n := n +1,k := k +7. Если k > N то 8. Если n , то 9. Перейти к 10. Возврат В процедуре Con F = F(u) u1 – семейство безгранично делимых распределе( ) ний, – распределение периода , SA – стохастический автомат без входов В качестве примера рассмотрим конкатенацию процессов Пуассона. Рассмотрим случайный процесс, у которого с течением времени интенсивность скачков изменяется. Допустим, что с увеличением времени интенсивность скачков возрастает. Последовательность состояний автомата образуют Марковскую цепь с k состояниями и матрицей переходных вероятностей p 1- p 0... 0 p 1- p... P =................

0 0... 0 Последнее состояние является поглощающим. Множество моделей определяет алфавит меток моделей M = m1,m2,...,mk. Метке mi соответствует Пуассо{ } новский процесс с интенсивностью скачков i. Причем выполняется неравенства i

Далее в главе рассматривается алгоритм идентификации параметров модели по наблюдаемому временному ряду с использованием кумулянты процесса Леви и метода максимального правдоподобия.

Основным достоинством предлагаемого метода является использование вычислительной схемы, в которой применяется быстрое преобразование Фурье, что делает метод вычислительно эффективным. В главе приводятся результаты вычислительного эксперимента по фитингу модели. Результаты позволяют утверждать, что предлагаемый метод находит неизвестные параметры модели с достаточной степенью точности.

11115.110.105.100.91.86.81.76.67.xl 62.57.52.43.38.33.28.19.14.9.4.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 12 l 1Рис. 1 – Траектория конкатенации процессов Пуассона с поглощающим состоянием, с интенсивностями, изменяющимися по закону i = i-1 + 0.05i;i =1,2,...,30;1 = 0.с переходной вероятностью p = 0.5. Интервал моделирования [0,1], 100 значений Содержание третьей главы диссертации «Экспоненциальные процессы Леви и типа Леви в задачах оптимального управления трафиком и хеджирования», связано с приложениями теоретических исследований, проведенных в первой и второй главе диссертации.

Чтобы продемонстрировать определенную универсальность рассмотренных в первой и второй главе математических и имитационных моделей временных рядов, в третьей главе приводится решение двух различных задач.

Первая задача связана с моделированием финансовых индексов с помощью экспоненциального временного ряда.

Вторая задача связана с моделированием пиковых нагрузок, возникающих в информационных потоках в компьютерных сетях.

Основной исследуемой моделью временного ряда является модель Yk = Yk -1 exp +kk. (18) (k ) Случайные величины k и k предсказуемы относительно естественной фильтрации Fk = 1,2,...,k. Случайные величины k независимые и одинако( ) во распределенные безгранично-делимые случайные величины с характеристической функцией y = hX y X y – кумулянта порождающего процесса, где ( ) ( ) ( ) Леви X.

Преобразование Эшера, которое используется для замены исходной меры на мартингальную меру, для процесса (18) будет иметь вид:

exp bkk ( ) Zk = Zk-1, Z0 =1.

(19) exp h (-ibk ) ( ) Для вычисления bk используем мартингальное равенство E ZkYk / Fk -1 = Zk -1Yk -1. Из мартингального равенства получим уравнение:

( ) (20) k + h -i k + bk - ( ) (-ibk = 0.

) ( ( ) ) Далее приводится ряд примеров вычисления преобразования Эшера. Приведем один из них в автореферате.

Пример. Круговые -устойчивые распределения. Рассмотрим модель (18), в которой распределение k – круговое – устойчивое распределение.

При описании функций и плотностей распределений в этом случае используют подход, основанный на «закручивании» значений случайных величин, имеющих распределение на действительной прямой, по окружности с некоторым радиусом. Технически это означает, что каждой «линейной» случайной величине ставится в соответствие «круговая» случайная величина по правилу:

= mod 2. (21) ( ) В результате . Функция распределения круговой случайной вели) [-, чины , Fс(y) = P( y) = F( y + 2k) - F(2k) [ ] (22) k =- следовательно, функция плотности распределения, если существует, будет иметь вид:

fc y = f y + 2k, - y < .

( ) ( ) (23) k=- Формулы (22) и (23) позволяют вводить круговые аналоги для известных распределений.

Предположим, что плотность fc(y) разложима в ряд Фурье:

fс(y) = e-iny c. Используя (23), получим, что n n=- (2k+1) 1 cn = f (y + 2k)einydy = f (y)einydy = 2 2 k=- k=- - (2k-1) 1 = f (y)einydy = (n), 2 2 - где (y) – характеристическая функция распределения F. Следовательно, для плотности кругового распределения справедлива формула:

(24) fc(y)= (n)e-iny.

2 n=- Допустим, что носителем плотности fc является интервал. В этом a,b [ ) b - a b + a случае формула (24) приобретает вид:

fc y -= n e-iny.

( ) 2 2 2 n=- Пусть – устойчивая симметричная случайная величина с характеристической экспонентой (25) x = -h x.

( ) Из (24) и (25) следует, что характеристическая функция k (26) 1 (-1 exp -hk ) ( ) sin x x = + 2x ( ) x x2 - k k= и плотность (27) 1 fc (y) = + exp(- k )cos ky 2 k =.

На рис. 2 приведены графики плотностей кругового устойчивого распределения при различных значениях индекса устойчивости и = 0.5.

1.1.31.1.0.0.y z 0.v 0.0.0.0.0.04 3.2 2.4 1.6 0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 - 3.142 x 3.1Рис. 2 – Графики плотности кругового устойчивого распределения для случаев = 0.5, =1, =1.Из рис. 2 следует, что чем меньше индекс устойчивости , тем толще хвосты распределения вероятностей при = 0.5.

Рассмотрим преобразование Эшера для кругового -устойчивого распределения k в модели (18). Вначале вычислим exp j ( ) (- ) (28) 1 j E exp bkk = exp bk - exp + ( ) ( ) (-bk ) (-) ( ) 2bk bk j2 + bk j= Введем обозначения. Отсюда exp = E exp bkk (-ak ) ( ) exp j ( ) (- ). (29) 1 j ak = -ln exp bk - exp + ( ) (-bk ) ( ) 2bk bk (-1) j2 + bk j= Для вычисления bk воспользуемся уравнением:

exp k + k + bk - exp k - ( ) k + bk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (30) (- ) k + bk j exp j 1 ( ) + = exp -(k + ak, (-) ) ( ) 2 k + bk ( ) j=1 j2 + k + bk ( ) которое вытекает из того, что процесс ZY – мартингал. В результате возникает система нелинейных алгебраических уравнений (29), (30) относительно неизвестных параметров преобразования Эшера. В таблице 1 приведены результаты вычислений с параметрами k = 0,k = 0.1, с индексом устойчивости = 0.5,1.0,1.и =1.

Таблица 1. Расчет параметров процесса плотности.

alfa a b 0,5 -2,577 9,81 -2,965 9,01,5 -3,297 8,4Далее рассматривается задача вычисления цены финансового обязательства и оптимального портфеля. Пусть функция G x 0 определена на 0,+ и ( ) [ ) EG YT <. Требуется найти ( ) (31) min EG YT -VT ( ) V0, T при VT = V0 + dYt, где предсказуемый процесс.

t Дополнительно предположим, что EG2 YT < и EYT2 <, тогда из нера( ) венства Коши-Буняковского следует оценка 1 E G YT -VT E E G YT -VT. В результате будем решать задачу:

( ) ( ( ) ) ZT (min E G YT -VT ( ) ( ) V0, 2) T при VT = V0 + dYt, где предсказуемый процесс.

t То есть следует искать минимум оценки сверху.

Численный метод решения задачи (32) начинается с нанесения сетки с шаT гом, равным h = и замене интеграла конечной суммой. В результате возникает N дискретная задача:

(33) min E G YN -VN ( ) ( ) V0, N при VN = V0 + Yj, где.

Fj- j j j=Решение (33):

E G YN Yi / Fi-( ) ( ) V0 = E G YN, =.

( ) ( ) j (34) E Yi 2 / Fi-( ) ( ) Рассмотрим следующую интерпретацию задачи (32). Процесс S – процесс стоимости рискового актива, процесс B – процесс стоимости безрискового актива, предсказуемый процесс = , – портфель, причем – число единиц рис( ) кового актива, – число единиц безрискового актива. Капитал портфеля S Ut = tSt +tBt. Процесс Y = – дисконтированная стоимость рискового актива, B U V = дисконтированный капитал портфеля, G – дисконтированное финансовое B обязательство. Если мы рассмотрим европейский опцион call, дающий право купить в конце периода рисковый актив по контрактной цене K, то дисконтиро K ванное финансовое обязательство G VN = maxVN -,0. Ограничение задачи ( ) BN (33) или (34) означает, что портфель является самофинансируемым. Формулы (34) позволяют вычислить оптимальный в среднеквадратическом смысле портфель. При этом начальный капитал портфеля U0 = BV0, безрисковая составляющая портфеля.

= Vj-1 - Yj-j j Перейдем с помощью процесса плотности к исходной мере и в результате получим формулы для вычисления оптимального портфеля:

ZN E G YN Yk / Fk-1 ( ) Zk- V0 = E ZNG YN,k =.

( ) ( ) (35) ZN E Yk 2 / Fk-1 ( ) Zk- Рассматриваются два численных варианта решения задачи:

1. Метод, использующий преобразование Фурье.

2. Метод Монте-Карло.

В главе приводятся вычислительные примеры на реальных данных, которые подтверждают высокую эффективность предлагаемой технологии.

Далее рассматривается задача расчета оптимальной пропускной способности телекоммуникационного канала при заданном трафике. Пропускная способность канала определяется как детерминированная функция от времени Bt = R t. Тра( ) фик определяется как случайный процесс St. Дисконтированным трафиком будем St называть процесс. Естественно предположить, что процесс St обладает Yt = Bt стохастическим дифференциалом dSt = St-dXt или является стохастической экспонентой. При выполнении условия: inf X s >-1 существует процесс Леви, ( ) для которого St является экспоненциальным процессом Леви. Для процесса Bt естественным выглядит уравнение: dBt = rBtdt или Bt = B0 exp rt. Следователь( ) но, дисконтированный трафик Y является экспоненциальным процессом Леви.

Показано, что кумулянта показателя экспоненты дисконтированного трафика будет иметь вид:

(36) Y y = i m - r y + exp(iyx) -1 dx.

( ) ( ) ( ) ( ) xЗадача заключается в выборе r и рассматривается в следующей постановке:

(37) min r при ограничении P YT 1 , где.

{ } Yt = supYs 0st Параметр выбирается в зависимости от требований в каждой конкретной ситуации. Например, если имеется определенный резерв, позволяющий увеличить пропускную способность канала, и временная задержка при обработке данных некатастрофична, то параметр можно взять поменьше. Показано, что задача может быть решена в результате применения следующего алгоритма.

Алгоритм.

1. Выбираем начальное значение r0 = m.

2. Вычисляем rn+1 = rn + hr.

3. Процесс продолжаем до тех пор, пока первый раз выполнится ограничение задачи.

Ограничение задачи (36) может быть представлено в виде P XT 0 . Основ{ } ная вычислительная сложность этого алгоритма заключается в вычислении вероятности P XT 0 = EI XT 0. Для вычисления математического ожидания { } { } применим метод Монте-Карло. В качестве основного модельного процесса рассмотрим субординированный процесс Пуассона с детерминированной заменой времени (гл. 1). Для детерминированной замены времени использовано устойчивое круговое распределение на интервале, с параметрами =1,= 2 (рис. 3).

0,[ ) 1.1.31.1.1.yu 0.0.0.70.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 xx Рис. 3 – График плотности кругового устойчивого распределения на интервале 0,1 с параметрами =1,= [ ) Для расчета была выбрана интенсивность скачков =100. Вычислительный процесс изображен на рис. 4, на котором представлено изменение P YT { } (ось ординат) от r (ось абсцисс).

0.90.0.0.1-Er 0.0.0.0.80.140 142 144 146 148 1140 r 1Рис. 4 – График зависимости вероятности P YT 1 от r { } Выбор оптимального значения r зависит от заданного значения .

На рис. 5 представлены графики показателей экспонент пропускной способности канала и трафика (одна из возможных траекторий) при r =144 (сплошная линия) соответствует каналу, прерывистая – трафику).

111u vv 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 z Рис. 5 – Канал (сплошная линия), трафик (прерывистая линия) Прерывистая линия не пересекает сплошную. Это означает, что вычислительных возможностей канала для данного трафика достаточно. При вычислении использовалось 1000 траекторий.

Следует отметить, что вычислительные эксперименты при разных значениях параметров, один из которых представлен на рисунках, позволяют сделать заключение об эффективности подхода.

Содержание четвертой главы диссертации «Программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникационного трафика» связано с одной из практически востребованных задач, которую можно решить, основываясь на предложенных методах – генерация потоков данных, то есть телекоммуникационного трафика. Рассмотрены области применения и задачи, решаемые генераторами телекоммуникационного трафика (рис. 6) Рис. 6 – Задачи, решаемые синтетическими генераторами трафика Также дан анализ программного обеспечения для генерации телекоммуникационного трафика.

Методы, пригодные для генерации телекоммуникационного трафика, можно разделить на две группы:

1) основанные на трассировке трафика;

2) основанные на аналитической генерации траекторий трафика.

Генераторы трафика, базирующиеся на трассировке трафика, имеют в своем составе средства, которые выполняют захват трафика, сохранение его характеристик в базах данных, а затем точно воспроизводят значения трафика через сетевые интерфейсы системы.

Рассмотрена архитектура программного комплекса. Для практической реализации численных методов и алгоритмов, предложенных в предыдущих главах диссертации, разработан программный комплекс, предназначенный для генерации телекоммуникационного трафика. Программный комплекс разработан в кроссплатформенной среде программирования версии 1.2.1 с библиотеками и средой визуальной разработки на языке программирования высокого уровня в операционной системе Windows 7. Программный комплекс, архитектура которого представлена на рис.

7, имеет возможности воспроизведения трассировочных данных трафика и генерации синтетического трафика.

Разработанный программный комплекс имеет многоуровневую структуру формирования потоков данных. На различных уровнях задаются настроечные параметры трафика:

– на уровне каналов связи задаются сетевые адреса для организации приема-передачи трафика;

– на сетевом уровне задаются IP -адреса, а также характеристики сетевых сообщений, например, TTL – время жизни сообщения, Packet Size – длина сетевого пакета и другие далее рассматриваемые параметры;

– на транспортном уровне задаются параметры сетевых портов приложений, а также тип транспортного потока для сеанса приема передачи данных TCP либо UDP ;

– на уровне формирования потока данных задается тип аналитической модели случайного процесса генерации, а также необходимые характеристики модели, включающие параметры случайного процесса, время моделирования, число генерируемых сетевых сообщений и другие параметры.

Модуль чтения файлов Модуль синтетического трассировок трафика генератора трафика Модуль препроцессинга потоков данных Protocol Buffers (Google), функции сериализации данных WinPcap, Wireshark, Модуль функции приема функции передачи данных визуализации данных Канал связи Рис. 7 – Общая архитектура программного комплекса Рассмотрены функции воспроизведения трафика в программном комплексе.

В заключении проведен анализ основных результатов работы, выносимых на защиту.

Процессы Леви, моделирующие траектории со скачками, весьма востребованы при использовании и исследовании моделей временных рядов. Однако свойства стационарности и независимости приращений, независимости и одинаковой распределенности по экспоненциальному закону приращений моментов скачков i не всегда наблюдаются на практике. Поэтому в диссертации рассмотрены модели, построенные на базе процессов Леви, в которых учитывается зависимость приращений (фрактальные процессы на базе безгранично делимых распределений). Изучены процессы с зависимыми приращениями моментов скачков (процессы с детерминированной заменой времени, полученные на основе круговых устойчивых распределений). Исследованы процессы с нестационарными приращениями (процессы, в которых параметры модели изменяются в случайные моменты времени, в соответствии с поведением стохастического автомата).

Для решения задач, математическая природа которых заключается в вычислении функционалов на траекториях временных рядов, рассмотрены имитационные модели, которые позволяют далее использовать вычислительный метод Монте-Карло. В некоторых исследованиях утверждается, что сходимость метода Монте-Карло для процессов Леви достаточно медленная. На наш взгляд, это обусловлено наличием большого числа «маленьких» скачков. В диссертации принята достаточно стандартная аппроксимация «маленьких» скачков винеровским процессом. Отметим, что предложенные алгоритмы генерации временных рядов на базе процессов Леви отличает простота реализации, полученная за счет ограничения числа скачков на элементарном интервале моделирования. За счет использования детерминированной замены времени в алгоритмах генерации временных рядов получен класс моделей, которые не являются процессами Леви. В результате использования субординации винеровского процесса предложены простые алгоритмы для широкого класса «сложных» процессов Леви (в частности, на базе гауссовского \\ обратно гауссовского распределения). Применение технологии скользящего среднего для безгранично делимых распределений позволило получить алгоритмы для генерации фрактальных временных рядов, которые отличаются от фрактального винеровского процесса. Использование стохастического автомата, семейства процессов Леви и конкатенации временных рядов позволило разработать алгоритм генерации нестационарного временного ряда. Исследование было бы неполным, если бы не был предложен метод подгонки параметров модели по наблюдаемой траектории. Оригинальный метод подгонки параметров основан на методе максимального правдоподобия и реализован в алгоритме, который использует быстрое преобразование Фурье.

Как приложение рассмотрены две задачи. В первой задаче об оптимальном портфеле необходимо было вычислять условные математические ожидания по мартингальной мере, что потребовало расчета преобразования Эшера для широкого класса экспоненциальных моделей. В реальных примерах были применены две модели. Для вычисления в первой модели использовалось быстрое преобразование Фурье, во второй был применен метод Монте-Карло. Вторая задача заключалась в выборе оптимального канала при заданном трафике. Задача была сведена к вычислению вероятности первого касания. При ее решении был использован метод Монте-Карло.

Список публикаций по теме диссертации:

Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Статистика направленных значений и модели поведения финансовых индексов // Вопросы современной науки и практики.

Университет им. В.И. Вернадского. Серия «Технические науки», 2009. – 10(24). – С. 112-116.

2. Лужецкая П.А. О расчёте мартингальной меры для условно-круговых устойчивых распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2010. – Т. 17. – № 1. – С. 123-13. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Дискретное преобразование Гирсанова для Гауссовской модели финансовых индексов // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения, 2008. – № 2. – С. 112-115.

Другие издания, в которых опубликованы результаты диссертации 4. Лужецкая П.А., Белявский Г.И. Настройка параметров процессов Леви с использованием быстрого преобразования Фурье // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. – Т.18. – Вып. 5. – С. 744-745.

5. Лужецкая П.А., Кондратьева Т.Н. Алгоритм конкатенации процессов Леви для построения неоднородных моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. – Т.18. – Вып. 5. – С. 790-791.

6. Лужецкая П.А. Моделирование составного процесса. Замена времени. // Известия Ростовского государственного строительного университета, 2011. – Т.15. – C. 293-297.

7. Белявский Г.И., Лужецкая П.А. Дискретное преобразование Гирсанова для фрактальной модели финансовых индексов. / Сб. науч. тр. «Строительство2008». – Ростов н/Д: РГСУ, 2008. – С. 172-173.

8. Лужецкая П.А. О расчете мартингальной меры для условно-круговых -устойчивых распределений финансовых индексов / Сб. науч. тр. «Строительство-2010». – Ростов н/Д: РГСУ, 2010. – С 247-249.

9. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора типа потенциала с особенностями его ядра на сфере // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Ряды Фурье и их приложения», 1999. – С. 66-67.

10. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора типа потенциала с особенностями его ядра на сфере // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения, 1999. – Вып. № 4.. – С. 64-68.

11. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Обращение и описание образа мультипликаторных операторов типа Стрихарца-Пераля-Мияси // Интегродифференциальные операторы и их приложения, 1998. – Вып. № 3. – C. 76-79.

12. Nogin V., Luzhetskaya P. Inversion and description of the ranges of multiplier operators of Strichartz-Peral-Miyachi type // Fractional Calculus & Applied Analysis. V.3. № 1. 2000. P. 87-96.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве В [1] разработан алгоритм генератора случайного процесса. В [2] построена модель Sn = Sn-1 exp µn +nn, в которой распределение n – круговое ( ) устойчивое распределение. В [3, 8] получено дискретное преобразование Гирсанова для Гауссовской модели финансовых индексов. В [5, 6] проведена оценка параметров модели по методу наибольшего правдоподобия. В [10, 11] построена L-характеристика оператора типа Мияси. В [12, 13] построено обращение для мультипликаторных операторов.

ЛУЖЕЦКАЯ ПРАСКОВЬЯ АЛЕКСЕЕВНА Математические и имитационные модели случайных процессов с дискретным временем, расчет телетрафика и оптимальных стратегий Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Подписано к печати 19.11.2012.

Формат 60x84/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,Тираж 100. Заказ № Ростовский государственный университет путей сообщения Ризография РГУПС Адрес университета: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового полка Народного Ополчения, 2.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.