WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Бондаренко Алексей Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСЦИЛЛЯЦИЙ РЕШЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ К КОЛЕБАНИЯМ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 – «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012 г.

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Елисеева Юлия Витальевна

Официальные оппоненты: Галахов Евгений Игоревич доктор физико-математических наук, ФГБОУ ВПО Российский университет дружбы народов, доцент кафедры математического анализа и теории функций Джалалова Маргарита Васильевна кандидат физико-математических наук, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, старший научный сотрудник

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Тверской государственный технический университет

Защита состоится « 21 » мая 2012 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу:

127055, Москва, Вадковский переулок, д. 3а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан « 17 » апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц. Семячкова Е.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Механические и электромагнитные колебания в линейных системах, многие явления в ядерной физике и квантовой химии описываются дифференциальными и разностными уравнениями высших порядков. Для таких задач разделение по времени и по пространственным переменным приводит к дифференциальным и дискретным краевым задачам Штурма – Лиувилля. Дискретные краевые задачи Штурма – Лиувилля высших порядков возникают при исследовании поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем, анализе моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия, а также при аппроксимации дифференциальных краевых задач Штурма – Лиувилля конечно-разностными соотношениями. При изучении механических колебаний в линейных системах в теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие моды колебаний, анализ которых требует решения частичной проблемы собственных значений для дифференциальных и дискретных краевых задач Штурма – Лиувилля высших порядков.

В работах E. A. Coddington, N. Levinson, P. Hartman, E. C. Titchmarsh, И. М. Глазмана, Л. Д. Николенко, В. А. Якубовича и других авторов изучались осцилляционные свойства решений дифференциальных уравнений Штурма – Лиувилля, которые позже легли в основу методов решения краевых задач Штурма – Лиувилля второго и четвертого порядков, разработанных А. А. Абрамовым, Р. В. Bailey, W. N. Everitt, А. Zettl1, Л. Д. Акуленко, Г. В. Костиным, С. В. Нестеровым2, L. Greenberg, M. Marletta3 и др.

Дискретная краевая задача Штурма – Лиувилля второго порядка с разделенными граничными условиями равносильна задаче на собственные P. B. Bailey, W. N. Everitt and A. Zettl. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code, ACM Trans. Math.

Software, 21, 2001, p. 143–192.

Л. Д. Акуленко, Г. В. Костин, С. В. Нестеров. Численно-аналитический метод исследования свободных колебаний неоднородных стержней. Изв. РАН. МТТ, 1995, № 5, стр. 180–1 L. Greenberg, M. Marletta. Algorithm 775: the code SLEUTH for solving fourth–order Sturm– Liouville problems. ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 23, 4, 1997, p. 453–493.

значения для симметричной трехдиагональной матрицы. Решением последней занимались J. Givens, J. Wilkinson, С. К. Годунов и др.

Теория дискретных симплектических систем уравнений:

A Bk 0 I k T , Wk JWk = J, k = 0,...,N, J = Yk +1 =WkYk, Wk = (1) C Dk k -I 0 развивалась в работах L. Erbe, P. Yan, C. Ahlbrandt, M. Bohner, W. Kratz, O. Dosly и др. Дискретные краевые задачи Штурма – Лиувилля высших порядков являются важным частным случаем краевых задач для систем (1) с вырожденным блоком Bk. В 2007 году W. Kratz и O. Dosly доказали осцилляционную теорему4 для дискретных систем (1). Используя метод бисекции и данную теорему, можно решать частичную проблему собственных значений дискретных краевых задач для симплектических систем (1).

Применение метода бисекции для дискретной краевой задачи Штурма-Лиувилля высшего порядка связано с трудностью подсчета фокальных точек5 главного решения соответствующей симплектической системы. Число фокальных точек — осцилляционная характеристика, обобщающая понятие нуля функции на случай матричного решения системы (1).

В настоящей диссертации разрабатываются методы исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма – Лиувилля высших порядков, позволяющие использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма – Лиувилля высших порядков, что является актуальным с позиций практического интереса.

Целью работы является развитие качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и разработка метода решения O. Dosly, W. Kratz. Oscillation theorems for symplectic difference systems. J. Difference Equ.

Appl. 13, 2007, 585-605.

W. Kratz. Discrete Oscillation. J. Difference Equations and Appl. 9, 2003, 135-147.

частичной проблемы собственных значений для дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью.

Метод исследования. В работе используются методы линейной алгебры, матричного анализа и вычислительной линейной алгебры, элементы теории разностных уравнений. Разработка программного обеспечения проводилась в среде MATLAB.

Научная новизна работы.

1. В диссертационной работе разработаны новые методы исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма – Лиувилля высших порядков, отличительной особенностью которых является применение осцилляционной теории симплектических систем и учет структуры соответствующей матрицы симплектической системы.

2. Доказана осцилляционная теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма – Лиувилля высшего порядка.

3. Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в n раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма - Лиувилля порядка 2n.

4. Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма – Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий O (N ) операций для вычисления отдельного собственного значения.

Практическая ценность. Разработан комплекс программ, реализующий локализацию и вычисление отдельных собственных значений дискретных краевых задач Штурма – Лиувилля высших порядков. Разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы при решении следующих задач:

• анализ моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия;

• исследование поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем;

• анализ колебаний стержней переменного поперечного сечения;

• решение частичной проблемы собственных значений симметрических ленточных матриц без приведения к трехдиагональной форме.

Основные положения, выносимые на защиту 1. Методы исследования дискретных уравнений Штурма – Лиувилля высших порядков, основанные на осцилляционной теореме и теореме о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения.

2. Алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма – Лиувилля высшего порядка.

3. Комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма–Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий O (N ) операций для вычисления отдельного собственного значения.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора А. Л. Скубачевского, РУДН (г. Москва, февраль 2012 г.); на XIX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2012 г.); на II международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», Москва, 2011 г.); на XV международной научной конференции "Dynamical system modeling and stability investigation" (КНУ им. Тараса Шевченко, Киев, Украина, 2011 г.); на XI, XII, XIII научных конференциях МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» — ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008, 2009, 2010 г.);

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 7 печатных работах, в числе которых 2 статьи из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 3 — в сборниках трудов научных конференций и 2 — в периодических изданиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Содержание диссертации изложено на 148 страницах машинописного текста, в число которых входит 8 страниц приложений. В тексте имеется 19 рисунков и таблиц. Список литературы включает 91 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе приводится постановка задачи, представлен обзор литературы, вводятся основные понятия и теоремы дискретной осцилляционной теории симплектических систем необходимые для дальнейшего изложения.

В работе рассматривается дискретная краевая задача Штурма – Лиувилля 2n-ого порядка для скалярной функции vk дискретного аргумента k n ( (-, rkn) 0, (2) ) k() {r vk +1-}= vk += v1-n =... = v0 = vN +2-n =... = vN +1 = 0, (3) где k = 0, 1,..., N - n, vk = vk +1 - vk, vk = -1(vk ), N,n , и N n. Задача (2), (3) соответствует задаче на собственные значения для симметричной ленточной матрицы A (N +1-n)(N +1-n) с шириной ленты 2n + 1. Задача (2), (3) сводится к симплектической краевой задаче на собственные значения для векторной функции yk 2n :

I 0 x k , 0 k N, (4) yk +1 =Wk ()yk, Wk () = Sk, yk = uk -Lk I с краевыми условиями x0 = 0 = xN +1. Матрица Sk симплектическая для всех 0 k N, т. е.

0 I Ak Bk T Sk =, Sk JSk = J, J =.

Ck Dk -I 0 Здесь xk,uk n, Ak, Bk,Ck, Dk,Lk nn, 0, I — нулевая и единичная матрицы соответственно, Т — знак транспонирования, Lk — симметрическая неотрицательно определенная матрица.

Для задачи (2), (3) коэффициенты соответствующей симплектической системы (4) имеют вид 1 1 (0) ( Ak = ,Bk = Ak diag(0,...,0,1),Ck = diag,...,rkn-1) Ak, (r ) k ( rkn) (5) 0 1 T (0) ( -Dk = diag,...,rkn-1) Bk + Ak, Lk = L = diag(1, 0,..., 0).

( ) (r ) k Сопряженным базисом (4) называется 2n n матричное решение T T T Yk = [Xk Uk ] данной системы, удовлетворяющее условиям: Xk,Uk nn, T Yk JYk = 0 и rankYk = n. Главным решением (4) называется сопряженный T 0 базис, удовлетворяющий условию: Y0 = [XT UT ] = I.

0 0 Основной осцилляционной характеристикой сопряженных базисов симплектических систем является современная концепция числа фокальных точек6,7. Пусть определены матрицы * † T † Mk = (I - Xk +1Xk )Bk,Mk - XkXk )Bk, = (I + T = I - MkMk, * †* (6) T = I - Mk*†Mk, k k P = Tk(XkXk Bk )Tk, † * † T P = Tk*(Xk XkBk )Tk*.

k k ++ Сопряженный базис системы (4) имеет mYk фокальных точек на интервале ( ) (k,k + 1], если mYk = rankMk + indPk, и m* Yk фокальных точек на ( ) ( ) * интервале [k,k + 1), если m*(Yk ) = rankMk + indPk*, где indA — число отрицательных собственных значений симметрической матрицы A, A† — псевдообратная матрица.

Система (4), (5) обладает следующими свойствами:

1. det Ak 0, rank Bk = 1.

( ) ( ) (7) 2. Ker Xk +1 Ker Xk для всех k = 0,1,...,n -1, где Xk верхний ( ) ( ) блок главного матричного решения.

Исследование осцилляционных свойств сопряженных базисов и разработка эффективных методов вычисления mYk ) и m*(Yk ) связаны с трудностью ( использования общего определения числа фокальных точек (6), не учитывающего специфику дискретной модели (2), определяемую (4), (5), (7).

Разработка эффективных методов вычисления mYk ) актуальна в силу ( осцилляционной теоремы W. Kratz и O. Dosly.

См. сноску 5 на странице 4.

Ю.В. Елисеева, «Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений», Дифференциальные уравнения, т.45, №3, 2009, стр. 431-4 Осцилляционная теорема. Для задачи (2), (3) справедливо:

N # | = mYk,), (8) ( {} k = где # | — число собственных значений исходной задачи (2),(3), {} N которые не превосходят , mYk,) — сумма числа фокальных точек ( k = главного решения системы (4), (5) для заданного .

Данная теорема позволяет использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений краевой задачи (2), (3), а именно, находить:

• собственные значения с наперед заданными номерами j1, j2,..., jn ;

• собственные значения в заданном интервале x,y ;

( ) • число собственных значений слева от заданного параметра .

В работе показаны преимущества осцилляционной характеристики m*(Yk ), которая в отличие от mYk ) учитывает структуру блоков Ak,Bk,то есть ( отражает свойства (7) модели (2). Поэтому в следующих главах работы особое внимание уделено осцилляционной характеристике m*(Yk ) и ее применению в методах исследования осцилляционных свойств решений уравнений (2).

Во второй главе развиваются качественные методы исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма – Лиувилля высших порядков.

Первым результатом главы является X T T T Теорема 1. Для любого сопряженного базиса Yk = Uk k симплектической системы (4) с матрицей (5) справедлива формула:

( ( T T T m*(Yk ) = ind(rkn)) + ind(-Xk Uk -Uk diag(0,...,0,1/rkn))Uk )-ind(-Xk Uk ). (9) Теорема 1 устанавливает связь между m*(Yk ) и одноранговым возмущением T матрицы Xk Uk, с учетом свойств (7) модели (2).

В работе доказана осцилляционная теорема для m*(Yk ), учитывающая свойства (7) системы (4), (5). Данная теорема и алгоритмы вычисления m*(Yk ) составляют основу метода бисекции для решения дискретной краевой задачи Штурма–Лиувилля (2), (3).

Теорема 2. Для задачи (4), (5), для любого 1 справедливо равенство N # | < 1 = m* Yk 1, {}( ) () k =n где # | < 1 — число собственных значений (2) меньших 1, а { } N m* Yk 1 — число фокальных точек для главного решения задачи (4), (5) ( ) () k =n n,N на интервале + 1.

) Следующая теорема позволяет связать систему (4), (5) с некоторой системой (4), заданной на меньшем интервале.

Теорема 3. Пусть в системе (4), (5) выполняется N = n q + 1 -1 и ( ) k Bk I 0 k () = k,k = для каждого k = 0,1,...,q имеет блоки k Dk -L I n-1 n- k = Skn+t = S(k +1)n-1 S(k +1)n-2 ... Skn, L = L(p), t=0 p= (10) i j (-1)i+j Cp-1 Cp-1, max(i, j) p + 1, ( L > 0,lijp) = 0, max(i, j) > p + 1, тогда N q N q mYk = mk, m* Yk = m* k. (11) ( ) ( ) ( ) ( ) k =0 k =0 k =0 k = 0,N Таким образом, подсчет фокальных точек на 0,N + 1 или + 1 для задачи ( ) (4) с матрицей (5) сводится к подсчету фокальных точек для системы (4) с 0,q матрицей (10) на интервале 0,q + 1 или + 1 соответственно, то есть в n ( ) раз меньшем интервале. Данный результат для mYk ) = m (k) демонстрирует ( рис. 1.

Рис.1 Схема подсчета фокальных точек для системы (4) с матрицей (5) и для системы (4) с матрицей (10) Для дискретной краевой задачи Штурма–Лиувилля (2), (3) четвертого порядка были получены матрицы Sk, Lk в явном виде. Таким образом, для задачи (2), (3) при n = 2 вычисление фокальных точек на интервале 0,(N + 1) / 2 для (4) с полученными матрицами Sk, Lk приводит к ( сокращению числа операций в 2 раза, что подтверждается в четвертой главе вычислительными экспериментами.

Для Sk, определенной в (10), блок Bk обратим, следовательно система (4) с матрицей (10) сводится к трехчленному уравнению:

T -Kk +1xk +2 +Tk +1xk +1 - Kk xk = Lxk +1, 0 k q -1, (12) -1 -1 -1, k,Bk,Ck,Dk — блоки матрицы где Kk = (B ),T =(B k + DkBk ) k k +1 k +1 + Sk, матрица L определена в (10). Таким образом, из теоремы 3 следует результат о совпадении осцилляционных свойств уравнений (2) и некоторого трехчленного уравнения (12).

В третьей главе разрабатываются алгоритмы подсчета фокальных точек mYk ) и m*(Yk ), основанные на симплектических ортогональных ( трансформациях.

Применение осцилляционных теорем для решения частичной проблемы собственных значений задачи (2), (3) связано с трудностью подсчета фокальных точек по формулам (6) или (9), так как вычисление блоков главного решения может не обладать численной устойчивостью для рассматриваемой системы (4).

Первым предлагается «неявный» метод подсчета фокальных точек главного решения (4), (5) четвертого порядка, основанный на формулах связи между числом фокальных точек исходного главного решения и решения, подвергнутого симплектической ортогональной трансформации на каждом шаге интегрирования.

Для симплектической трансформации Pk сопряженного базиса Yk системы (4) трансформированный базис Yk = PkYk удовлетворяет системе A Bk k Yk +1 =WkYk,Wk == Pk WkPk-1. (13) C Dk + k Рассмотрим матрицу симплектической ортогональной трансформацииPjkk) с диагональными блоками Fj(k), Gj(k), удовлетворяющими условиям:

( F -Gj(k) j(k) , Pjkk) = GFj(k) ( (14) j(k) Fj(k) +Gj(k) = I,Fj(k)Gj(k) = 0,Fj(k) 0,Gj(k) 0.

Отметим, что матрица Pjkk) однозначно определяется расположением единиц ( или нулей в одной из матриц Gj(k) или Fj(k). Число различных n n матриц Gj(k), удовлетворяющих условиям (14), равно 2n. Пусть на главной диагонали n Gj k ( ) {0,1,...,2 -1} ( ) записано двоичное разложение числа j k .

J. Elyseeva, A transformation for symplectic systems and the definition of a focal point, Computers and Mathematics with applications, 47, 2004, p. 123-134.

Функция j = j (k),k = 0,...,N + 1 называется путем интегрирования для сопряженного Yk базиса системы (4) с матрицей трансформации (14), если выполнено условие Rk = Fj k -Gj k 0.

( )Xk ( )Uk Для подсчета фокальных точек «жестких» систем (4) в работе используется вариант симплектической ортогональной прогонки, который использует следующую трансформацию сопряженного базиса Yk I 0 R k Pjk = (15) ( ) k ( )Yk Qk(k) 0 , det Rk 0, I j где Pjkk) определена в (14), матрица Qk(k) = (Qk(k))T является решением ( j j k k уравнения Риккати Ck -Qk(k +1)Ak + DkQj(k) -Qk(k +1)BkQj(k) = 0, где Ak, Bk, j j Ck, Dk — блоки матрицы Wk (13).

( Связь mYk ) — числа фокальных точек сопряженного базиса Yk с mYk ) — числом фокальных точек Yk = Pjkk)Yk отражена в лемме 3.19. В ( ( работе показано, что данный результат для (4) с матрицей (5) примет вид:

Теорема 4. Пусть Yk – главное решение (4), Yk = Pjkk)Yk определен в (15), ( тогда 0 Fj(k +1)Bk NN N mYk = mYk - ind ( ) ( ) Bk Fj(k +1)Bk k =0 k =0 k =0 ()T TDk (16) T 0 Fj(k)Bk N N + + ind - ind (-G Qj(N Gj(N ), j(N +1) +1) T +1) T BkAk Fj(k)Bk T k =( ) J.V. Elyseeva, Transformations and the number of focal points for conjoined bases of symplectic difference systems, Journal of Difference Equations and Applications, 15:11, 2009,1055 - 10 N N где mYk и mYk – числа фокальных точек на (0,N + 1] для Yk и Yk, ( ) ( ) k =0 k = Ak,Bk,Ck,Dk — блоки Wk (5) и Ak,Bk,Ck,Dk — блоки соответствующей Wk определенной в (13), В работе доказана теорема, упрощающая подсчет фокальных точек (17) для уравнения Штурма – Лиувилля 4 порядка.

Теорема 5. Пусть n = 2, для (4), (5) j k,k = 0,...,N + 1 определяется из ( ) T I условия max 0 Pjk +1 Wk(Pjk(k))T I Qk(k), тогда формулы j (k +1) Pjk +(k +1) сравнительных индексов в (16) примут вид:

T 1, j (k) = 0,2, 0 Fj(k)Bk ind = T TT ( , Fj(k)Bk BkAk indrk2) j (k) = 1, 3, ( ) 0 Fj(k +1)Bk T TQk +1 mYk = ind Dk - Bk j(k +1)Bk ind = ( ) ( ), Bk Fj(k +1)Bk ( )T TDk 2, j(k + 1) = 0, j(k) = 2, 3, (0) ( ind -(rk + rk1) - ), j (k + 1) = 3, j(k) = 1, (0) ( (2) ind -(rk + rk1) + rk - ), j (k + 1) = 3, j(k) = 0, ind -(rk - ) + ind -(rk1) + rk2)), j + 1) = 3, j(k) = 2, (0) ( ( (k (0) ( (18) = ind -(rk - ) + ind -(rk1)), j (k + 1) = 3, j(k) = 3, 1, j(k + 1) = 0,1,2; j(k) = 0,1, (1) ( 1 + ind -(rk + rk2)), j (k + 1) = 1, j(k) = 2, (1) 1 + ind -(rk ), j (k + 1) = 1, j(k) = 3, (0) 1 + ind -(rk - ), j (k + 1) = 2, j(k) = 2, 3.

Таким образом, согласно (16), (18) подсчет фокальных точек на 0,N + 1 ( главного решения дискретного уравнения Штурма – Лиувилля 4 порядка основан на вычислении N + 2 индексов матриц 22 и не более чем 2(N + 1) знаков чисел (в зависимости от пути интегрирования j(k)).

Следующий метод подсчета m*(Yk ) фокальных точек главного решения уравнения Штурма–Лиувилля высшего порядка основан на свойствах (7).

Теорема 6. Пусть в точке k для сопряженного базиса Yk справедливо I 0 Fj(k) -Gj(k) Rk Yk = и H1,H2,...,Hp последовательность Gj(k) Fj(k) Qk(k) I j невырожденных симметричных матриц таких, что H1— ведущая подматрица Qk(k)(j(k),j(k)), H2 — ведущая подматрица Qk(k)(j(k),j(k)) / H1, и т. д., j j Hp — ведущая подматрица (((Qk(k)(j(k),j(k)))/ H1)/ H2)...)/ Hp-1, причем j rank H1 +... + rank Hp = rank(Qk(k)(j(k),j(k))), и определена матрица ( ) ( ) j Q (j(k),j(k)) bk k j(k) Vk =, T bk ak ( ak = (Fj(k)Qk(k)Fj(k))(n,n) + rkn), bk = (I -Gj(k)Qk(k)Fj(k))(j(k),n), j j k,k тогда число фокальных точек на + ) m* Yk = ind(k ), k = (((Vk /H1)/H2)...)/Hp, (19) ( ) Здесь j(k) — множество индексов строк, однозначно определяемое позициями единиц на диагонали Gj(k). Матрица A(,) — подматрица матрицы A, стоящая в строках, определяемых множеством , и в столбцах, определяемых множеством . Отметим, что матрица Vk получена симметричным окаймлением блока Qj(k)(j(k),j(k)) и имеет максимальную размерность n + 1.

Таким образом, вычисление m*(Yk ) связанно с подсчетом индекса симметричной матрицы k размером не превосходящей (n + 1)(n + 1).

В четвертой главе предложены алгоритмы решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма – Лиувилля высших порядков с разделенными граничными условиями. Приводятся расчеты собственных значений для тестовых задач, в том числе конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных задач, возникающих при анализе механических колебаний линейных систем.

Вычисление собственных значений основано на методе бисекции. Для реализации данного метода необходимо вычислять для каждого функцию Count( ) — число собственных значений задачи (2), (3) меньших данного .

Опишем алгоритм вычисления Count( ) для задачи Штурма – Лиувилля высших порядков.

Input: Coef – матрица коэффициентов уравнения Штурма–Лиувилля, – пробная точка для метода бисекции.

Output: # i | i < .

{} 0 Определяем начальные данные S = 0, YT = I, k = 0.

while k N • Поиск симплектической матрицы перестановок Pjkk), удовлетворяющей ( условию max det 0 PlkY = det 0 Pjkk)Y.

(I ) (I ) ( l{0,1,...,2n -1} 0 • Вычисление симметричной матрицы Qk(k) = I Pjkk)Y (I 0 Pjkk)Y )-1.

j ( ( ( • Вызов функции m*(Yk ) = Get_Number_Focal_Points(Qk(k),Pjkk),rkn)).

j ( • Прибавить к S вычисленное m*(Yk ) число фокальных точек на [k,k + 1).

• Вычислить сопряженный базис в следующей точке k + 1, т.e T Y =WkPjkk) I Qk(k).

( j • Изменить k = k + 1.

end while return S ( Опишем алгоритм вычисления Get_Number_Focal_Points(Qk(k),Pjkk),rkn)) j ( для задачи Штурма – Лиувилля высших порядков.

( Input: Qk(k) – матрица определенная в (15), rkn) – коэффициент (2), j Pjkk) – матрица симплектических ортогональных трансформаций.

( Output: m*(Yk ) число фокальных точек на [k,k + 1).

• Если k n return 0.

• Формируем j(k). Пусть T = Qk(k)(j(k),j(k)). Формируем матрицу j T bk ( , где ak = (Fj(k)Qk(k)Fj(k))(n,n) + rkn), V = j T bk ak bk = -Gj(k)Qk(k)Fj(k) j(k),n).

(I )( j while norm(T)>eps• Находим H ведущую подматрицу первого или второго порядка матрицы T.

• Формируем V =V / H, T = T / H.

end while 1, b > eps2 a < 0 b • Вычисляем ind(V ) = ind = bT a 0, в противном случае • return ind(V ).

Работоспособность алгоритма исследуется на ряде модельных примеров.

Для Штурма – Лиувилля 4 порядка 4yk-1 = yk +1, k = 0,1,...,N + 1, (20) y-1 = y0 = yN = yN +1 = 0, при различных N = 102,103,104,105 вычислялись собственные значения N / с точностью = 10-5 и оценивались временные характеристики расчетов.

Алгоритм 1 основан на результатах 3-ей главы, а Алгоритм 2 — 2-ой главы.

Результаты вычислений на PC Pentium 4 3GHz представлены в таблице 1.

Вычислительные эксперименты подтверждают, что применение теоремы позволяет сократить вычисления собственных значений в 2 раза.

Таблица 1. Пример расчета собственных значений для модельной задачи (20) Алгоритм 1 Алгоритм = 10-N /2 N /t (с) t (с) 0.79 3.917823 0.41 3.9178N = 17.78 3.991645 3.89 3.9916N = 177.5 3.999168 39.1 3.9991N = 1776.7 3.999916 389.7 3.9999N = 1В работе были вычислены первые 4 собственных значения краевой задачи, описывающей колебания стержня конической формы, определяемой параметром , с относительной погрешностью = 10-6. Для аппроксимации данной задачи четвертого порядка в работе используются однородные консервативные схемы10, приводящие к уравнению (2) с разделенными граничными условиями. В безразмерных переменных уравнение поперечных колебаний стержня конической формы имеет вид11:

p x u '' '' = q x u, 0 x 1, ( ) ( ) ( ) (21) p x = 1 - x,q x = 1- x.

( ) ( )4 ( ) ( )Для различных граничных условий: а) u 0 = u ' 0 = 0,u 1 = u ' 1 = 0, ( ) ( ) ( ) ( ) б) u 0 = u ' 0 = 0,u 1 = u '' 1 = 0, в) u 0 = u '' 0 = 0,u 1 = u ' 1 = 0 и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) г) u 0 = u '' 0 = 0,u 1 = u '' 1 = 0 построены графики зависимости от ( ) ( ) ( ) ( ) параметра = 0, 0.01,...,0.99 для первых двух собственных значений.

При = 0 система (21) описывает задачу колебания стержня постоянного сечения. Для стержня с жестко защемленным левым концом и свободным правым существует частотное уравнение cos()ch() =-1 для вычисления Хао Шоу. Разностная задача Штурма - Лиувилля для уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 3:6, 1963, 1014–10 Акуленко Л. Д. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней. Прикладная математика и механика, том 67, вып. 4, 2003, 588–6 = 4. Вычисленные первые шесть значений представлены для сравнения с решениями частотного уравнения в таблице 2.

Рис.2 Иллюстрация вычислений первых двух собственных значений для задачи (21) с различными граничными условиями Таблица 2. Пример расчета параметра № Решение ЧУ N = 100 N = 500 N = 101 1.875152813e+000 1.875102353e+000 1.875104152e+000 1.875104069e+02 4.694202785e+000 4.694095420e+000 4.694092285e+000 4.694091133e+03 7.854290751e+000 7.854738466e+000 7.854752747e+000 7.854757438e+04 1.099306860e+001 1.099544044e+001 1.099551566е+001 1.099554073e+05 1.413051198e+001 1.413689839e+001 1.413710075е+001 1.413716839e+06 1.726497480e+001 1.727820049e+001 1.727861951e+001 1.727875953e+0Проведенные численные эксперименты определения собственных значений дискретных и дифференциальных краевых задач Штурма – Лиувилля высших порядков с разделенными краевыми условиями демонстрируют эффективность и точность программного комплекса.

В заключении приводятся основные результаты работы.

В приложение вынесено описание основных программных модулей разработанного комплекса программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. В работе решена задача о разработке качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, имеющая большое значение для численных методов исследования колебаний линейных систем.

2. Доказана осцилляционная теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма – Лиувилля высшего порядка.

3. Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в n раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма - Лиувилля порядка 2n.

4. Разработаны алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма – Лиувилля высшего порядка.

5. Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма – Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий ON ) операций для вычисления ( отдельного собственного значения.

6. Создан комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью. Проведены эксперименты вычисления собственных значений дискретных и дифференциальных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с разделенными граничными условиями, которые демонстрируют точность программного комплекса.

7. Результаты работы могут быть рекомендованы к исследованию продольных, крутильных и поперечных колебаний линейных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами, а также к использованию в учебном процессе по направлению 231300 «Прикладная математика».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Основные результаты диссертации опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1. А. А. Бондаренко, Ю. В. Елисеева. Один метод вычисления собственных значений дискретных задач Штурма–Лиувилля высших порядков.

ВЕСТНИК МГТУ «Станкин». М.: МГТУ «Станкин», №1, 13, 2011.

стр. 91-101.

2. J. Elyseeva, A. Bondarenko. The Schur complement in an algorithm for calculation of focal points of conjoined bases of symplectic difference systems.

International Journal of Pure and Applied Mathematics, №4, 67, 2011, p. 455-474.

в других периодических изданиях:

3. А. А. Бондаренко. Дискретная краевая задача Штурма–Лиувилля четвертого порядка и соответствующая трехчленная рекуррентная задача.

Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. М.: Янус -К, Выпуск 14, 2011. стр. 83-90.

4. А. А. Бондаренко, Ю. В. Елисеева. Применение теории Штурма при расчете собственных значений разностной задачи Штурма–Лиувилля четвертого порядка. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. М.: Янус -К, Выпуск 12, 2009. стр. 4-17.

в сборниках трудов научных конференций:

5. A. A. Bondarenko, J. V. Elyseeva. Calculating eigenvalues of discrete fourth order Sturm-Liouville problems. Mathematical Models of Non-Linear Phenomena, Processes and Systems, Nova Science Publishers, NY, USA, 2009, p. 272-281.

6. А. А. Бондаренко, Ю. В. Елисеева. Вычисление собственных значений разностной задачи Штурма–Лиувилля высшего порядка. Материалы XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» – ИММ РАН по математическому моделированию и информатике: Сборник докладов /Под ред. Казакова О.А. – М:ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2010, стр. 20-22.

7. А. А. Бондаренко. Об одном методе расчета собственных значений разностной задачи Штурма–Лиувилля высшего порядка. Материалы XII научной конференции МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» – ИММ РАН по математическому моделированию и информатике: Сборник докладов /Под ред. Казакова О.А. – М:ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2009. стр. 23-25.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.