WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 


На правах рукописи

Джанунц Гарик Апетович

Компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решений обыкновенных дифференциальных уравнений в применении к моделированию автоколебательных реакций

Специальность:

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Таганрог – 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Таганрогский государственный  педагогический институт имени А.П. Чехова»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Ромм Яков Евсеевич

Официальные оппоненты:

Карелин Владимир Петрович

доктор технических наук, профессор,

НОУ ВПО «ТИУ и Э»,

заведующий кафедрой

математики и информатики

Боженюк Александр Витальевич

доктор технических наук, профессор,

Технологический институт ФГАОУ ВПО «ЮФУ»,

профессор кафедры прикладной информатики

Ведущая организация:

ФГНУ НИИ «СПЕЦВУЗАВТОМАТИКА», г. Ростов-на-Дону.

Защита состоится « 21 » июня 2012 г. в 14.20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д- 406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 18 » мая 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета  Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Модели колебательных систем используются в ферментативном катализе, теории иммунитета, в теории трансмембранного ионного переноса, микробиологии и биотехнологии. В отдельный класс выделяются автоколебательные системы, к которым относятся колебания в гликолизе и других метаболических системах, периодические процессы фотосинтеза, колебания концентрации кальция в клетке, колебания численности животных в популяциях и сообществах. Модели изменения концентрации озона в атмосфере приводят к целому классу жестких задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые современными программами решаются как типовые. Одной из важных и базовых среди известных автоколебательных реакций является реакция окисления лимонной кислоты броматом калия, катализируемая ионами церия (IV), называемая реакцией Белоусова-Жаботинского. Практически все модели осцилляторов, описывающие данные явления и процессы, приводят к системам ОДУ для вектора концентраций . Разнообразие численных методов, предназначенных для решения задачи Коши для ОДУ, показывает, что часто практические требования точности и быстродействия отвергают выбор универсального метода. Не меньшее значение при приближении реальных моделей, в частности, описывающих биологические и биохимические автоколебательные системы, имеет компьютерная реализация методов. Численное интегрирование систем ОДУ во многих современных математических моделях связано с решением таких проблем, как жёсткость и неустойчивость к возмущениям входных параметров. Существует множество численных методов, с различной эффективностью преодолевающих указанные проблемы, однако это не снижает актуальность создания эффективных, обладающих универсальностью и простой программной реализацией методов. Как правило, метод, подобранный для аппроксимации с высокой точностью одного типа задач, не встречается при приближении решения задач другого типа. Иными словами, существующие методы приближения решения задачи Коши для ОДУ не инвариантны относительно вида системы при наличии жесткости. Помимо того, актуальны проблемы непрерывности приближения и оптимизации распределения узлов интегрирования в зависимости от гладкости решения на различных участках отрезка интегрирования. Диссертация посвящена уточнению существующих моделей химических и биологических осцилляторов на основе разработки инвариантного численного метода и реализующего его программного комплекса.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование инвариантного компьютерного метода решения задачи Коши для системы ОДУ с применением к моделированию химических и биологических осцилляторов. Построение метода основано на кусочно-полиномиальном приближении решения в условиях невысокого порядка гладкости правой части при выполнении требования минимизации погрешности и временной сложности, а также требования непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближения в случае моделирования процессов с помощью жестких и нежестких систем.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработать единый компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на основе интерполяционных полиномов Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, обеспечивающий высокую точность приближенного решения со свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближения в условиях невысокого порядка гладкости правой части.

2. Доказать сходимость и дать оценку скорости сходимости конструируемого метода в случае его применения для аппроксимации функций и в случае решения с его помощью задачи Коши для системы ОДУ, показать целесообразность его практического применения, выполнить сравнение с методами высоких порядков в аспекте компьютерной реализации математического моделирования процессов с быстро меняющейся динамикой.

3. Выполнить компьютерную реализацию кусочно-полиномиального метода приближенного решения жестких систем ОДУ для уточнения числовых параметров реагентов автоколебательных реакций при моделировании периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере и релаксационных автоколебаний в системе гликолиза.

4. Оценить трудоемкость и временную сложность кусочно-полиномиального приближения решения систем ОДУ, указать зависимость трудоемкости метода от точности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ в процессе моделирования автоколебательных процессов с учетом параллелизма метода.

5. Разработать способ переноса компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных. Выполнить численный эксперимент по точности кусочно-полиномиального приближения и применимости метода для моделирования волновых процессов.

6. Разработать комплекс программ на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, адаптируемый к различным классам задач посредством задания числовых параметров подпрограмм, выполнить с его помощью численный и программный эксперимент по сравнению погрешности и временной сложности известных разностных и предложенных кусочно-полиномиальных схем с целью уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций.

Методы исследования включают вычислительные методы линейной алгебры и математического анализа, численные и аналитические методы решения систем ОДУ, разностные методы решения уравнений в частных производных, методы математического, компьютерного и численного моделирования автоколебательных реакций, элементы теории сложности параллельных алгоритмов, методы теории интерполяции и теории функций вещественной переменной, методы объектного программирования.

Достоверность результатов вытекает из корректного математического обоснования с помощью аналитических оценок погрешности приближений и временной сложности формализованных алгоритмов, подтверждается результатами компьютерного моделирования, программного и численного эксперимента.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближенного решения (С. 39 – 47, 53 – 64).

2. Показана равномерная сходимость предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к аппроксимируемой функции, а также к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке из области допустимых значений в условиях двукратной дифференцируемости правой части, что упрощает его применение по сравнению с методами высоких порядков и обеспечивает численное моделирование процессов с быстро меняющейся динамикой (С. 29 – 37, 47 – 53).

3. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моделирующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических реакций (С. 66 – 91).

4. Выполнены оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ, показана периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов (С. 109 – 117).

5. Разработан способ переноса компьютерного кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных. Метод отличается от известных по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, по точности компьютерного приближения решения линейных гиперболических уравнений, что позволяет его применять для моделирования волновых процессов, описываемых уравнениями данного вида (С. 118 – 136).

6. Разработан комплекс программ на основе инвариантного метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, отличающийся тем, что адаптация к различным классам задач реализована заданием числовых параметров подпрограмм. При помощи комплекса выполнен численный эксперимент по сравнению погрешности и временной сложности известных разностных и предложенных кусочно-полиномиальных схем с применением узловых интерполяционных значений на основе методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса. Показана меньшая погрешность предложенного метода, что в сочетании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций (С. 39 – 47, 53 – 64, 72 – 77, 154 – 211).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Компьютерный метод кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на основе кусочно-полиномиального приближения решения интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов и программной вариацией длин подынтервалов, а также степеней аппроксимирующих полиномов для обеспечения высокой точности приближенного решения со свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости.

2. Обоснование равномерной сходимости кусочно-полиномиального метода со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке при двукратной дифференцируемости функций правой части с целью обеспечения компьютерного расчета математических моделей периодических реакций.

3. Компьютерная реализация предложенного метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, уточнение на этой основе расчета моделей химических автоколебательных реакций, включая числовые параметры реагентов.

4. Оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ для моделей автоколебательных процессов; показана возможность сокращения времени моделирования за счет параллелизма метода.

5. Метод приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных с применением к расчету моделей волновых процессов.

6. Программный комплекс на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, который отличается тем, что адаптация к различным классам задач реализована в виде числовых параметров подпрограмм инвариантного вида; при помощи комплекса выполнен расчет математических моделей периодических реакций, получены сравнительные оценки погрешности и времени расчета моделей на основе разностных и кусочно-полиномиальных схем с применением методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса; даны уточнения физических параметров и фазовых портретов математических моделей автоколебательных реакций.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных методов кусочно-полиномиального решения ОДУ и уравнений в частных производных, которые применяются для компьютерной реализации математического моделирования периодических реакций, включая реакции Белоусова-Жаботинского, суточные колебания концентрации озона в атмосфере, релаксационные автоколебания в системе гликолиза, а также для моделирования волновых процессов. Результаты моделирования необходимы для отладки технологических процессов на основе периодических реакций, для оценки изменений концентрации свободного кислорода, озона и молекулярного кислорода в атмосфере в зависимости от участка земной поверхности. Предложенный кусочно-полиномиальный метод доведен до практической реализации в виде программного комплекса для решения актуальных задач математического моделирования, связанных с исследованием автоколебаний. Кроме того, разработанный программный комплекс на той же основе применяется для снижения временной сложности и повышения точности решения систем ОДУ, моделирующих движение объектов в реальном времени.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы:

1. В ОАО НКБ ВС для решения систем ОДУ при моделировании движения транспортного средства в реальном времени (с учетом сил трения и переменного вектора тяги) в трехмерном пространстве. Модель интегрирована в состав программного обеспечения стенда функционального контроля (СФК).

2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».

3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на пятьдесят второй научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2009 г.); III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2009 г.); International Conference Parallel Computer Algebra ‘2010 (Tambov, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 2010); XI международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, СПБПУ, 2011); XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Казань, 2011); Всероссийской НТК с международным участием: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» «КомТех-2011» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2011 г.); IX региональной научно-практической конференции «Аспекты развития науки, образования и модернизации промышленности» (Таганрог, ДГТУ, 2011 г.).

Публикации. По материалам работы опубликовано 14 печатных работ общим объемом около 17 печатных листов, в том числе 4 статьи в журналах из перечня рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы и приложений к четырем главам. Основное содержание работы изложено на 152 страницах, включая список литературы из 111 наименований, приложение изложено на 70 страницах, включает коды программ, реализующих математические модели и предложенные численные методы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, охарактеризовано современное состояние методов и алгоритмов решения задачи Коши для систем ОДУ, моделирующих периодические реакции, включая автоколебательные и автокаталитические процессы. На основе обзора с учетом нерешенных задач определены цель и задачи исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе вначале излагается компьютерный метод варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации действительной функции одной действительной переменной. На основе этого метода в продолжение главы синтезируется и программно реализуется алгоритм кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ.

Компьютерная аппроксимация действительной функции от одной действительной переменной на произвольно фиксированном отрезке выполняется следующим образом. Выбирается система подынтервалов равной длины, на которые разбивается отрезок: , . Для -го подынтервала строится интерполяционный полином Ньютона с равноотстоящими узлами, где . Значение степени полинома выбирается минимальным при условии, что абсолютная погрешность не превышает априори заданной границы одновременно на всех подынтервалах: . При этом каждый полином Ньютона преобразуется к виду полинома с явными значениями числовых коэффициентов. С этой целью в исходной записи

, , (1)

где , – узлы интерполяции, – конечная разность -го порядка в точке , вычисляются конечные разности , , , и обозначаются , . Произведение является полиномом, заданным разложением на множители, где – его нули, по которым восстанавливаются коэффициенты: . После данных преобразований полином (1) по дистрибутивности с приведением подобных переводится в форму

, , (2)

Для часто встречающихся функций коэффициенты в соответствии подынтервалу хранятся в памяти. При аппроксимации полиномом (2) функции , , выполняется дешифрация номера подынтервала , – целая часть числа, , . Найденный номер – математический адрес хранимых коэффициентов, по нему выполняется их считывание. Поскольку минимально, то время приближенного вычисления функции оценивается как . Практически в общих условиях метод позволяет вычислять функции с границей абсолютной погрешности . Имеет место следующая оценка скорости сходимости метода.

Лемма 1. Пусть для произвольного функция определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема раз на отрезке , на концах которого подразумеваются соответственные односторонние производные. Тогда, каково бы ни было , последовательность полиномов из (1) равномерно сходится к функции на данном отрезке при , где , – число подынтервалов. Скорость сходимости оценивается из соотношения

, , . (3)

где , – шаг интерполирования полинома на при .

В главе изложены схемы динамического распараллеливания данной аппроксимации функций, даны верхние оценки временной сложности, в приложении приводятся код программы и результаты численного эксперимента.

Метод преобразуется с целью компьютерного решения задачи Коши для систем ОДУ на основе кусочной интерполяции разностных приближений. Преобразование опирается на представление полинома, аппроксимирующего функцию на подынтервале в виде (2), из которого вытекает выражение для аппроксимации производной, , и первообразной: . Именно на этой основе строится аппроксимация правой части ОДУ, а затем и первообразной от нее, которая при соответствующей подынтервалу замене константы дает искомое приближение решения.

Пусть в на произвольно фиксированном отрезке требуется приближенно решить задачу Коши для ОДУ первого порядка

(4)

Первоначально отрезок делится на интервалы равной длины: , , . При каждом для -го интервала задается разбиение на подынтервалы равной длины: , . На каждом подынтервале строится кусочно-полиномиальное приближение функции правой части (4). При этом узлы интерполяции на каждом подынтервале априори вычисляются по разностной схеме, например, по методу Эйлера с излагаемыми в дальнейшем особенностями. Количество подынтервалов и степень интерполяционного полинома программно варьируются и фиксируются таким образом, чтобы на каждом подынтервале было минимальным значение

, , , (5)

где из (4), – полином с числовыми коэффициентами вида (2), приближающий искомое решение: . Данная вариация позволяет уменьшить погрешность приближенного решения задачи (4), в результате при переходе от предыдущего подынтервала к последующему берется начальное значение более точное, чем собственно в разностном методе.

Более детально, коэффициенты кусочно-полиномиальной аппроксимации вычисляются следующим образом. При каждом подынтервал разбивается на равноотстоящих узлов: . В каждом из узлов вычисляются значения , где определяется по разностному методу, например, , при этом в качестве берется значение на границе справа из окончательного приближения на предыдущем подынтервале: , для начального подынтервала из (4) . Значения принимаются за значения в узлах интерполяции: , по которым строится интерполяционный полином Ньютона степени , приводимый к виду:

,  (6)

где , , . Полином (6) приближает производную решения задачи (4). Приближение самого решения строится как первообразная от полинома (6) с постоянной, принимающей значение . Фиксирование для первообразной полинома (6) значения нижнего предела и замена константы на определяет функцию

. (7)

Полином (7) принимается за приближение решения на -м подынтервале: . Значение полинома (7) вычисляется по схеме Горнера. Далее, на -м подынтервале полученные полиномиальные приближения вновь уточняются по аналогии с уточнением первоначально выбранных разностных приближений. Аналогичное приближение строится на следующем подынтервале и т. д., до исчерпания интервала .

Имеет место

Теорема 1. При любом выборе , , , последовательность полиномов равномерно на сходится к решению задачи (4) при , где , – число подынтервалов из (5). Скорость сходимости оценивается из соотношения

.  (8)

где , – шаг интерполирования полинома на соответственный , его значение не меняется с ростом .

Приведенные в главе леммы, теорема и следствия доказывают равномерную сходимость предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи Коши для ОДУ на произвольном конечном промежутке из области допустимых значений. Для корректного применения метода достаточно двукратной дифференцируемости правой части, что отличается от условий методов высоких порядков, обеспечивает применимость для моделирования процессов с быстро меняющейся динамикой и подтверждается результатами численных экспериментов.

В случае системы ОДУ изложенные преобразования выполняются отдельно для каждой компоненты решения, погрешность оценивается с помощью канонической нормы вектора.

Согласно экспериментам с нежесткими задачами при вычислении узловых значений по методу Эйлера погрешность порядка не превышается на всем отрезке интегрирования. Например, для задачи Коши

  (9)

с аналитическим решением , погрешности приближения решения разностными методами Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта 4-го порядка, Бутчера, Дормана-Принса и предложенным кусочно-полиномиальным методом (PP) на отрезке приводятся в табл. 1.

Таблица 1

Погрешность решения задачи (9) разностными и варьируемым кусочно-полиномиальным методами

Euler

Euler-Cauchy

Runge-Kutt_4

Butcher_6

Dorman-Prince_8

PP

2.03

3.06

8.21

9.24

1.9965E-0009

5.7257E-0009

3.0693E-0008

4.4477E-0008

1.0472E-0009

3.1502E-0009

4.7148E-0008

5.4968E-0008

7.0083E-0016

2.2638E-0015

1.6760E-0013

2.4454E-0013

6.0282E-0017

7.9450E-0016

1.4454E-0014

1.0957E-0014

8.6736E-0018

7.4593E-0017

5.4123E-0016

9.2287E-0016

4.3368E-0019

8.6736E-0019

0.0000E+0000

0.0000E+0000

В главе предложены разновидности компьютерного кусочно-полиномиального решения задачи Коши для систем ОДУ с разностным вычислением узловых значений при помощи методов Эйлера, Эйлера-Коши, а также методов высшего порядка, включая Рунге-Кутта 4-го порядка, Бутчера (соответственно, Рунге-Кутта 6-го порядка), Дормана-Принса (соответственно, Рунге-Кутта 8-го порядка). Экспериментально показано, что точность приближения при вариации числа подынтервалов и степени интерполяционного полинома совпадает во всех данных разновидностях метода, при этом она существенно превышает точность входных разностных методов.

Приближение с помощью варьируемого кусочно-полиномиального метода решения задачи Коши для системы ОДУ, помимо сравнительной точности, обладает свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости в силу склейки значений полиномов на границах смежных подынтервалов, начиная с порядка гладкости правой части , что дополнительно исследовано в главе.

Отмеченные качества приближения, сохраняющиеся при малом порядке гладкости функций правой части системы, в дальнейшем применяются для уточнения физических параметров при моделировании систем с быстро меняющейся динамикой. Непосредственно в главе выполнено уточнение числовых компонентов модели Вольтерра, описывающей динамику популяций и приводящей к автоколебательной системе.

Во второй главе излагается применение варьируемого кусочно-полиномиального компьютерного метода для решения жестких систем ОДУ, описывающих модели периодических реакций. С помощью предложенного метода выполняется моделирование периодической реакции Белоусова-Жаботинского – «орегонатор», колебаний концентрации озона в атмосфере и релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Цель исследования заключается в уточнении числовых параметров, графиков изменения концентрации реагентов периодических реакций, а также фазовых портретов рассматриваемых математических моделей.

В рассматриваемом аспекте для химической реакции Белоусова-Жаботинского на основе модели «орегонатор»,

имеют место уточнения значений концентрации реагентов в сравнении с результатами, полученными по специально созданным для решения жестких задач программам. Так по экстраполяционной программе Stiff EULer Extrapolation (SEULEX) на основе линейно неявного метода Эйлера погрешность приближения не превышает порядка , на вычислительной системе Sun SPARC 20 время работы программы составило . На основе предложенного метода решение приблизилось с границей погрешности порядка на персональной компьютере Intel Core i 7 – 2600 за (табл. 2). Графики колебаний концентраций реагентов реакции и фазовые портреты системы, построенные на основе разностных методов, также уточняются с помощью предложенного метода вследствие непрерывности приближений и их сравнительно высокой точности, при этом существенно уточнение результата визуализации (рис. 1, 2).

a)

b)

Рис. 1. Колебания в модели «орегонатор» на основе экстраполяционной программы SEULEX (a) и по кусочно-полиномиальному методу (b)

Разница между графическим отображением разностного метода (рис. 2 (a), функция stiffr, MathCAD) и кусочно-полиномиального метода (рис. 2 (b)) достаточно наглядна при увеличенном отображении участка графика:

a)

b)

Рис. 2. Сравнение графиков изменения переменной
по кусочно-полиномиальному методу (b) и с помощью функции stiffr (a)

В главе с применением кусочно-полиномиального метода выполнено компьютерное моделирование суточных колебаний концентрации озона в атмосфере на основе известной системы дифференциальных уравнений

, , .

Для данной модели получены уточнения максимальных концентраций реагентов (табл. 2) и графиков изменения этих концентраций во времени. Сравнение с предложенным методом представлено для графика изменения концентрации атомарного кислорода, построенного с помощью функции Radau (неявный метод Рунге-Кутта, MathCAD).

Помимо того, выполнено компьютерное моделирование релаксационных автоколебаний в системе гликолиза на основе модели Дж. Хиггинса,

, ,

с параметрами , при которых решения системы имеют в вид релаксационных автоколебаний (жесткий предельный цикл). Применение кусочно-полиномиального метода позволило уточнить идентификацию периодичности реакции и непосредственно характер идентичности гармоник (рис. 3).

a)

b)

Рис. 3. Кинетика изменения переменной , вычисленная с помощью функции
Stiffr (среда MathCAD) (a) и с помощью кусочно-полиномиального метода (b)

Предложенный кусочно-полиномиальный метод от прототипов, включая метод Адамса, отличается по построению и возможностью компьютерной вариации не только шага, но и степени интерполяционного приближения. Метод сохраняет единство при решении нежестких и жестких систем, однако, в случае жестких систем с целью снижения трудоемкости вариация сводится к подбору и последующему фиксированию степени интерполяционного полинома с аналогичной вариацией и фиксированием числа подынтервалов. Сравнительные характеристики моделирования периодических реакций на основе предложенного (PP) и известных методов приведены в табл. 2.

Таблица 2

Сравнительные характеристики результатов численного моделирования автоколебательных реакций

Модель

Система

Метод приближения

Абсолютная погрешность приближения

Время решения

Вычислительная система

Степень корректности моделирования

Реакция Белоусова-Жаботинского.

Орегонатор

SEULEX
(Fortran)

0.5 c

Sun SPARC 20

Корректно

(рис. 1 (a))

stiffr
(MathCAD)

2 c

Intel Core
i 7 - 2600

Корректно

(рис. 2 (а))

Rkadapt
(MathCAD)

Intel Core
i 7 – 2600

Не корректно

PP (Delphi)

53 c

Intel Core
i 7 – 2600

Корректно

(рис. 1 (b),
рис. 2 (b))

Суточные колебания концентрации озона

в атмосфере

Radau, BDF
(MathCAD)

2 c

Intel Core
i 7 – 2600

Корректно

rkadapt
(MathCAD)

Intel Core
i 7 – 2600

Не корректно

PP
(Delphi)

22 c

Intel Core
i 7 – 2600

Корректно

Релаксационные автоколебания в системе гликолиза. Модель

Дж. Хиггинса.

Stiffr
(MathCAD)

4 c

Intel Core
i 7 – 2600

Корректно

(рис. 3 (а))

stiffr
(MathCAD)

Intel Core
i 7 – 2600

Не корректно

PP
(Delphi)

8 c

Intel Core
i 7 - 2600

Корректно

(рис. 3 (b))

Из табл. 2 видно, что предложенный метод целесообразно применять при моделировании практически всех отмеченных автокаталитических реакций. Аналогичные результаты получались при приближении решений других жестких систем.

В третьей главе показано, что помимо моделирования автоколебательных реакций, кусочно-полиномиальный метод применим для приближения других классов задач, отличаясь при этом сравнительной точностью численного моделирования процессов, описываемых как жесткими, так и нежесткими системами. В то же время имеет место сравнительно невысокая трудоемкость и малая временная сложность. В главе представлены аналитические оценки и численный эксперимент по решению предложенным методом задачи Коши для различных систем ОДУ общего вида. Показано, в частности, что при приближении решения уравнения с начальным условием на отрезке , в конце промежутка, по методам Адамса, методу на основе кусочно-полиномиальной интерполяции многочленами Эрмита, методу Рунге-Кутта 4-го порядка с фиксированным шагом достигалась погрешность порядка :

Таблица 3

Абсолютная погрешность приближенного решения

x

Rkfixed

rkadapt

Bulstoer

PP

0.7

6.7

14.7

24.7

29.7

2.3537E-0014

7.9001E-0010

1.0265E-0005

0.2902E+0000

146.71E+0000

4.4409E-0016

9.8908E-0012

5.1223E-0008

1.2817E-0003

0.9072E+0000

6.6613E-0015

1.4097E-0011

5.5879E-0009

1.6785E-0003

0.2070E+0000

2.1684E-0019

3.3307E-0016

0.0000E+0000

6.3330E-0008

5.2452E-0006

Применение метода 4-го порядка с адаптацией шага интегрирования и метода Булирша-Штера позволило уменьшить погрешность приближения в конце промежутка до порядка . Предложенный варьируемый кусочно-полиномиальный метод (PP) с точностью до коэффициента не превышает погрешности в конце промежутка. Смысл данных табл. 3 для отрезка отображается на рис. 4 (Pogr4 – погрешность кусочно-полиномиального метода, которая вследствие масштаба отображается на горизонтальной линии, Pogr1-Pogr3 – погрешности разностных схем, отображенные отклонениями по обе стороны от горизонтали).

Рис. 4.Отклонение от погрешности решения кусочно-полиномиального метода погрешности разностных схем

При решении нежестких задач предложенный метод согласно эксперименту всегда не превышает погрешности порядка – , обладая при этом аналитичностью приближения на всем промежутке интегрирования. Это позволило с данной точностью реализовать моделирование автоколебаний в системе химических реакций на основе модели «брюсселятор», , с начальными условиями , , близкими к особой точке. Варьируемое кусочно-полиномиальное приближение за счет непрерывного характера приближения влечет уточнение графиков модели «брюсселятора» при возникновении автоколебаний (рис. 5), как следствие, кинетика изменения переменных в реакции отображается более полно.

Рис. 5. График кусочно-полиномиального решения системы «брюсселятор»

Выполнен сравнительный анализ варьируемого кусочно-полиномиального метода с известными методами приближенного решения задачи Коши для системы ОДУ, экспериментально иллюстрируется предпочтительность предложенного метода (PP) для моделирования автоколебательных химических и физических процессов, описываемых системами ОДУ, в частности, для модели Вольтерра, , , (табл. 4), –

Таблица 4

Погрешность решения модели Вольтерра разностными и кусочно-полиномиальным методами

Euler

Euler-Cauchy

Runge-Kutt_4

Butcher_6

Dorman
-Prince_8

PP

1.03

2.06

8.24

9.27

7.4889E-0009

2.4527E-0009

4.8625E-0009

3.9752E-0009

7.6027E-0009

6.6689E-0009

1.6597E-0009

2.8450E-0009

3.6863E-0018

2.8189E-0018

1.4962E-0017

2.8189E-0017

2.3852E-0018

4.7705E-0018

3.4694E-0018

1.9516E-0018

3.2526E-0018

2.3852E-0018

1.7347E-0018

3.4694E-0018

4.3368E-0019

2.1684E-0019

8.6736E-0019

4.3368E-0019

– предложенный метод иллюстрирует преимущество в точности моделирования.

В главе аналитически показана периодическая по интервалам (рис. 6) зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ при моделировании автоколебательных процессов.

Рис. 6. Периодичность роста границы трудоемкости кусочно-полиномиального приближения

Здесь – число этапов на -м интервале, – количество интервалов. При традиционном измерении посредством данные графики трудоемкости преобразуются к виду линейных зависимостей. По совокупности интервалов на промежутке интегрирования трудоемкость оценивается суммой трудоемкостей на интервалах. На интервале справедлива следующая оценка трудоемкости:

, ~ , (10)

где , , – соответственно время бинарного арифметического сложения, умножения и деления, – время вычисления правой части (4). В случае системы ОДУ изложенные операции повторяются для каждого уравнения в отдельности, увеличение размерности изменит значения на графике пропорционально числу уравнений, сохранив в целом периодический вид и характер зависимости.

Трудоемкость оценивается числом последовательных арифметических операций на отрезке решения с учетом обращений к подпрограмме, поэтому соотношение (10) дает также оценку временной сложности алгоритма компьютерной реализации метода. Ниже, для задачи Коши

(11)

сопоставлено время решения на персональном компьютере рассмотренными методами (табл. 1) с точностью, соответствующей представленной в табл. 1:

Таблица 5

Время решения задачи (11) разностными и варьируемыми кусочно-полиномиальными методами

Euler

Euler-Cauchy

Runge-Kutt_4

Butcher_6

Dorman-Prince_8

D

0:11:10:781

0:34:20:606

0:0:0:297

0:0:0:63

0:0:0:16

VPP

0:0:3:406

0:0:3:469

0:0:3:516

0:0:3:657

0:0:4:47

В табл. 5 названия столбцов соответствуют методам табл. 1, символы D, VPP в строках соответствуют разностному и варьируемому кусочно-полиномиальному приближению на основе данных разностных методов, двоеточия отделяют часы, минуты, секунды, миллисекунды. Время VPP-решения задачи (11) меньше времени решения методами Эйлера и Эйлера-Коши за счет большего входного шага интегрирования. При фиксировании параметров время компьютерной реализации кусочно-полиномиального приближения существенно снижается до значения .

Аналогичное соотношение времени рассматриваемых приближений наблюдается при решении различных систем.

В главе показана возможность снижения временной сложности за счет параллелизма алгоритма применительно к моделированию рассматриваемых процессов.

На основе кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши предложена кусочная линеаризация произвольной системы ОДУ:

Данная линеаризация позволяет применить методы компьютерного анализа устойчивости линейных систем.

Метод сохраняет инвариантность как в случае жестких, так и нежестких задач, во всех рассмотренных в главе примерах дает положительные результаты.

В четвертой главе показана возможность переноса компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных. Перенос выполнен на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных и излагается для линейных уравнений гиперболического типа.

Рассматривается первая краевая задача для линейных ДУ гиперболического типа

, (12)

где – заданные функции независимых переменных и , . Требуется найти решение уравнения (12) в области , удовлетворяющее начальным условиям , и краевым условиям , , где и – заданные функции переменной , и – заданные функции переменной . Аналогично построению кусочно-полиномиального метода для ОДУ производится разбиение области , где , , , . Для фиксированной подобласти схема приближения строится следующим образом. С использованием метода сеток вычисляются приближенные значения решения в узлах , . По вычисленным значениям строится интерполяционный полином Ньютона степени относительно независимых переменных и . Построенный полином приводится к виду полинома с явными числовыми коэффициентами: , , , . Данный полином интерполирует искомое решение во всей подобласти . Вид этого полинома влечет полиномиальные выражения для аппроксимации частных производных, входящих в (12). Восстановленное с помощью повторного интеграла от второй частной производной по координате времени решение задачи (12) можно сделать более точным, чем полученное в подобласти полиномиальное приближение на основе метода сеток. Уточнение достигается за счет уменьшения остаточного члена погрешности интерполяции вследствие уменьшения размеров подобластей (соответственного увеличения их количества) по аналогии с увеличением количества подынтервалов согласно теореме 1 и оценке (8). Далее, в подобласти полученные полиномиальные приближения вновь уточняются по аналогии с уточнением первоначально выбранных сеточных приближений. Количество таких итераций по результатам численного эксперимента целесообразно выбирать не менее 8 и не более 19.

В главе построена численная схема и выполнена программная реализация кусочно-полиномиального приближения решения задачи (12). Предложенная схема отличается от известных, в частности, тем, что вследствие интерполяции дает непрерывное приближение решения в заданной прямоугольной области.

Следующий эксперимент по моделированию вынужденных колебаний конечной струны на основе кусочно-полиномиального приближения показывает возможность повышения точности разностных схем в малых по размеру областях.

Уравнение колебаний конечной струны

  (13)

имеет аналитическое решение , которое используется для вывода абсолютной погрешности приближения в области . На рис. 7 графически отображено изменение абсолютных погрешностей приближения решения задачи (13) в области . Множество S значений погрешности соответствует методу сеток, PP – кусочно-полиномиальному уточнению:

Рис. 7. Границы погрешности приближения решения задачи (13)

в области метода сеток (точки над плоскостью ) и кусочно-полиномиального метода
(сплошная поверхность над плоскостью )

Ввиду разностного характера метода сеток соответствующие погрешности приближения представлены на рис. 7 в виде множества точек пространства.

С целью наглядного представления изменения точности приближения задачи (13) в области погрешность кусочно-полиномиального метода представлена отдельно в увеличенном масштабе на рис. 8:

Рис. 8. График погрешности кусочно-полиномиального приближения решения задачи (13) в области (сплошная поверхность над плоскостью )

Поверхность на рис. 8 иллюстрирует тенденцию повышения погрешности приближения при увеличении отрезка времени , что также наблюдается при приближении решения задачи по разностной схеме. В табл. 6 приводятся сравнительные значения погрешностей приближения задачи (13) в области :

Таблица 6

Абсолютная погрешность приближенного решения задачи (13) в области

,

Метод сеток

Кусочно-полиномиальное
уточнение

(0.75, 0.0125)

(0.75, 0.0250)

(0.75, 0.0875)

(0.75, 0.1000)

(0.75, 0.1250)

(0.75, 0.2500)

(0.75, 0.7500)

(0.75, 0.8750)

2.29E-0007

4.58E-0007

1.60Е-0006

1.83Е-0006

2.29E-0006

4.57E-0006

1.55E-0006

7.79E-0007

8.67E-0019

9.22E-0018

3.15E-0015

7.28E-0015

3.14E-0014

3.92E-0012

1.70E-0008

5.86Е-0008

Методу сеток соответствует погрешность . Кусочно-полиномиальное уточнение уменьшает погрешность до – .

Программная реализация кусочно-полиномиальной схемы приближенного решения линейных ДУ в частных производных гиперболического типа представлена в виде набора подпрограмм для моделирования волновых процессов.

Использование результатов работы показало, что предложенные методы, как правило, превосходят известные по точности на 9,5 %, не уступая в трудоемкости.

В заключении обобщаются основные результаты диссертационной работы, характеризуется их научная новизна, отмечается практическое значение проведенных исследований.

Приложение включает коды программ, реализующих математические модели и предложенные методы, результаты программных и численных экспериментов, акты об использовании результатов диссертационной работы.

Основной результат диссертационной работы заключается в разработке и исследовании компьютерного метода варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для жестких и нежестких систем ОДУ с применением к математическому моделированию автоколебательных реакций для повышения точности решения и уточнения концентраций реагентов, а также временных параметров реакций.

В частности, следующие результаты отличаются новизной:

1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближенного решения (С. 39 – 47, 53 – 64).

2. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моделирующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических реакций (С. 66 – 91).

3. Показана периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов (С. 109 – 117).

4. Разработан компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производных, отличающийся по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, а также по точности компьютерного приближения решения линейных гиперболических уравнений, что целесообразно для моделирования волновых процессов (С. 118 – 136).

5. Разработан комплекс программ на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, который отличается тем, что адаптация к различным классам задач реализована в виде числовых параметров подпрограмм инвариантного вида. При помощи комплекса выполнен расчет математических моделей периодических реакций, даны сравнительные оценки погрешности и временной сложности расчета моделей на основе разностных и кусочно-полиномиальных схем с применением методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса. Показано, что меньшая погрешность предложенного метода в сочетании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций (С. 39 – 47, 53 – 64, 72 – 77, 154 – 211).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ

  1.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Схема разностного решения обыкновенных дифференциальных уравнений с повышенной точностью на основе интерполяционного полинома Ньютона // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии». – 2009. – № 5. – С. 46 – 52.
  2.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочная линеаризация задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: «Методы и средства адаптивного управления в электроэнергетике».– 2011. – № 2. – С. 26 – 32.
  3.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-полиномиального решения задачи Коши для уравнений в частных производных // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 18, Редакция «ОПиПМ», Москва, 2011. – С. 141 (XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), г. Казань, 1 – 8 мая, 2011).
  4.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочно-полиномиальное решение дифференциальных уравнений в частных производных // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении». – 2011. – № 5. – С. 146 – 153.

Публикации в других изданиях

  1.  Джанунц Г.А. Повышение точности метода Рунге-Кутта на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сборник трудов 52-й студенческой конференции. – ТГПИ. Таганрог. – 2009. – С. 77 – 79.
  2.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе интерполяционного полинома Ньютона / ТГПИ. – Таганрог, 2009. – 40 с. Деп. в ВИНИТИ 18.06.09, № 379-В2009.
  3.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерная схема преобразования разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений в кусочно-полиномиальную форму // Прикладная информатика и математическое моделирование. Москва: МГУП. – 2009. – С. 55 – 60 (труды III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование», Москва, 13 – 14 мая 2009 г.).
  4.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А., Повышение точности разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений на основе кусочно-полиномиальной интерполяции / ТГПИ. – Таганрог, 2010. – 103 с. Деп. в ВИНИТИ 25.01.2010, № 20-В2010.
  5.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочно-полиномиальная аппроксимация решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования интерполяционного полинома Ньютона / ТГПИ. – Таганрог, 2010. – 37 с. Деп. в ВИНИТИ 25.05.2010, № 305-В2010.
  6.  Romm Ya.E., Dzhanunts G.A. Difference-polynomial solutions of Cauchy problem for the ordinary differential equations using the parallel recovery coefficients of the polynomial from its roots // International Conference Parallel Computer Algebra 2010; Tambov, June 29 – July 3, 2010 / Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 2010. – С. 17 – 18.
  7.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-полиномиального решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГПИ. – Таганрог, 2011. – 45 с. Деп. в ВИНИТИ 25.03.2011, № 141-В2011.
  8.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочно-интерполяционные схемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных // Высокие технологии, образование, промышленность. Т. 1: сборник статей XI международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности». 27 – 29 апреля 2011 г., Санкт-Петербург, Россия / под ред. А.П. Кудинова. – СПб.: Изд-во Политехн. университета, 2011. – С. 127 – 128.
  9.  Ромм Я.Е., Джанунц Г.А., Разностно-полиномиальный метод численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных / ТГПИ. – Таганрог, 2011. – 59 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2011, № 353-В2011.
  10.  Джанунц Г.А., Ромм Я.Е. Компьютерное моделирование жестких систем на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГПИ. – Таганрог, 2011. – 20 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.2011, № 405-В2011.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [1, 2, 6, 7] – синтез алгоритма кусочно-полиномиального приближения задачи Коши для систем ОДУ, программная реализация кусочно-полиномиального метода на основе разностных значений метода Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса; [8-11] – видоизменения алгоритма, выполнение численного и программного эксперимента по приближению решений систем ОДУ на основе разновидностей кусочно-полиномиального метода; [3, 4, 12, 13] – перенос компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения на случай приближенного решения ДУ в частных производных; [14] – адаптация алгоритма кусочно-полиномиального приближения и его компьютерная реализация для приближенного решения жестких систем ОДУ, проведение на этой основе компьютерного моделирования автоколебательных химических реакций.

Соискатель Джанунц Г.А.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.