WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Дыльков Андрей Геннадьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯМИ НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Магнитогорский государственный университет.

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент Манакова Наталья Александровна.

Официальные оппоненты:

Карачик Валерий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО Южно-Уральский государственный университет (НИУ), профессор кафедры математического анализа;

Сукачева Тамара Геннадьевна, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, профессор кафедры алгебры и геометрии.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО Башкирский государственный университет.

Защита состоится 12 декабря 2012 года в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при ФГБОУ ВПО ЮжноУральский государственный университет (НИУ), по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, А.В. Келлер доктор физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Высокий темп развития современных технологий приводит к необходимости исследования физических процессов, возникающих в технике и производстве, что предполагает построение адекватных математических моделей и их дальнейшее изучение1 Моде.

лируемые процессы, как правило, управляемы, а потому естественным образом возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или ином смысле оптимального управления.

Данное диссертационное исследование находится на стыке трех областей математического знания теории уравнений соболевского типа, теории дифференциальных уравнений на геометрических графах и теории оптимального управления. В настоящее время задачи оптимального управления для неклассических моделей математической физики появляются в приложениях все чаще, однако, в силу отсутствия общего метода решения таких задач, результатов в этой области в современной математической литературе немного, причем большинство из них получены для конечномерного случая.

Линейные уравнения соболевского типа активно исследуются как в России, так и за рубежом. Систематическое изучение таких уравнений начал С.Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. Уравнения, неразрешенные относительно производных, рассматривали в своих работах С.Г. Крейн, В.Н. Врагов, Г.В. Демиденко, С.Г. Пятков, А.И. Кожанов, И.В. Мельникова, Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев, М.О. Корпусов, А.Г. Свешников, A. Favini, A. Yagi, J.H.A. Lightbourne, R.E. Showalter и др. Исследованиям начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, М.В. Булатова и др. Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком2.

Основоположником теории дифференциальных уравнений на граОптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов / С.А. Мустафина, Ю.А. Валиева, Р.С. Давлетшин, А.В. Балаев, С.И. Спивак // Кинетика и катализ. 2005. T. 46, № 5. С. 749–756.

Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston; Kln: VSP, 2003. 216 pp.

фах в России является Ю.В. Покорный3. Дифференциальные уравнения на геометрических графах изучали в своих работах также А.И. Шафаревич, J.K. Hale, S. Kosugi, E. Yanagida и др. Уравнения соболевского типа на графе впервые стал рассматривать Г.А. Свиридюк, исследование таких задач было продолжено его учениками.

В области теории оптимального управления широко известны работы А.В. Фурсикова, Г.А. Куриной, А.А. Щегловой, J.-L. Lions, P.C. Mller, L. Pandolfi, S.L. Campbell, W.J. Terrell и др. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа впервые начали рассматривать Г.А. Свиридюк и А.А Ефремов. В дальнейшем такого рода задачи изучались в работах А.В. Келлер, В.Е. Федорова, Н.А. Манаковой, М.В. Плехановой, А.А. Замышляевой, и др.

В связи с вышесказанным, считаем актуальным рассматривать следующие задачи. Пусть G = G(V; E) конечный связный ориентированный граф, где V = {Vi} множество вершин, а E = {Ej} множество ребер; причем каждое его ребро Ej имеет длину lj R+ и площадь поперечного сечения dj R+. На графе G рассмотрим задачу xj(t, 0) = xk(t, 0) = xm(t, lm) = xn(t, ln), (1) Ej, Ek E(Vi), Em, En E(Vi), djxjs(t, 0) - dkxks(t, lk) = 0, (2) EjE(Vi) EkE(Vi) где E()(Vi) множество ребер с началом (концом) в вершине Vi, для:

- линейных уравнений Хоффаjxjt + xjtss = jxj + uj, j R+, j R, (3) - линейных уравнений Дзекцераxjt - xjtss = xjss - xjssss + xj + uj, R+, , , R. (4) Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. 272 с.

Hoff N.J. Creep Buckling // Aeronautic Quarterly. 1956. Vol. 7, № 1. P. 1–20.

Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202, № 5. С. 1031–1033.

Уравнения (3), заданные на графе, моделируют динамику выпучивания двутавровых балок в конструкции. Здесь функции xj = xj(t, s) показывают отклонение балок от вертикали; параметры j R+, j R характеризуют нагрузку и свойства материала балок соответственно.

Уравнения (4), заданные на графе, моделируют эволюцию свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в пластах ограниченной мощности. Здесь функции xj(t, s) напор на подошве j-го пласта.

Разрешимость начально-краевых задач для уравнений Хоффа и Дзекцера и другие связанные с этими уравнениями вопросы исследовались в работах Г.А. Свиридюка и его учеников В.О. Казака, Н.А. Манаковой, С.А. Загребиной, П.О. Пивоваровой, А.А. Баязитовой и др.

Нас будут интересовать решения задач (1) (3) и (1), (2), (4), удовлетворяющие начально-конечным условиямPin(x(0) - x0) = 0, Pfin(x() - x ) = 0, (5) где Pin, Pfin относительно спектральные проекторы, которые будут определены далее, а пара вектор-функций (x, u) должна минимизировать некоторый специальным образом построенный функционал, который мы будем называть функционалом качества, т. е.

J(x, u) inf, u Uad, где Uad замкнутое и выпуклое подмножество допустимых управлений в пространстве управлений U.

Физический смысл задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа заключается в том, чтобы конструкция из двутавровых балок с минимальными затратами на управление приняла требуемую форму. Для линейной модели Дзекцера физический смысл задачи оптимального управления эффективное регулирование потоков грунтовых вод в системе пластов.

Цель работы исследование математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейными уравнениями Хоффа и Дзекцера, заданными Свиридюк Г.А., Загребина С.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно p-секториальными операторами // Дифференц. уравнения. 2002. T. 38, № 12. С. 1646–1652.

на графе, с последующей разработкой алгоритма численного метода решения изучаемых задач.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать математическую модель оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Хоффа на графе.

2. Исследовать математическую модель оптимального регулирования потоков грунтовых вод в системе пластов как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Дзекцера на графе.

3. Показать существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа.

4. Разработать и реализовать в виде комплекса программ алгоритм численного метода решения поставленных задач и провести вычислительный эксперимент.

Научная новизна. При исследовании математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейными уравнениями Хоффа и Дзекцера, заданными на графе, показано существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа в случаях относительно p-ограниченного и относительно p-секториального операторов. Получены необходимые условия оптимальности управления. Разработан и реализован с помощью комплекса программ для ЭВМ алгоритм численного метода решения поставленных задач.

Методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, методы теории оптимального управления, теории уравнений соболевского типа (метод фазового пространства7), теоСвиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева // Дифференц. уравнения. 1990.

T. 26, № 2. С. 250–258.

рии вырожденных (полу)групп операторов, а также метод Галеркина, лежащий в основе вычислительных экспериментов.

Теоретическая значимость. Результаты, представленные в диссертации, полученные при изучении математических моделей оптимального управления, основанных на уравнениях Хоффа и Дзекцера, развивают теории уравнений соболевского типа, дифференциальных уравнений на графах и оптимального управления. Данные результаты могут быть использованы для дальнейшего качественного и численного исследования других неклассических моделей математической физики.

Практическая значимость заключается в применении результатов исследований при изучении напряженных деформированных состояний упругих балок и решении задач гидромеханики. Разработанный комплекс программ позволяет проводить вычислительные эксперименты по определению оптимального управления в рассматриваемых моделях.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на всероссийском научном семинаре Неклассические уравнения математической физики (Якутск, 2010), всероссийской научной конференции Дифференциальные уравнения и их приложения (Самара, 2011), воронежской весенней математической школе Современные методы теории краевых задач (Воронеж, 2011), международной конференции Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика, посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2011), международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, Алгоритмический анализ неустойчивых задач (Екатеринбург, 2011), международной научно-практической конференции Измерения: cостояние, перспективы развития (Челябинск, 2012).

Результаты докладывались на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г.А. Свиридюка в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск), семинаре кафедры прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета под руководством профессора С.И. Кадченко (г. Магнитогорск) и семинаре кафедры математического моделирования Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета под руководством профессора С.А. Мустафиной (г. Стерлитамак).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 9 научных работах, в их числе 3 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК, и свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Список работ приводится в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах, последнему принадлежит постановка задачи. В диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 114 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, описаны методы исследования, теоретическая и практическая значимость проведенного исследования, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава носит пропедевтический характер, состоит из пяти параграфов и не содержит результатов, полученных автором. В п. 1.приведены необходимые сведения из теории вырожденных разрешающих групп операторов, сформулированы следующие условия:

(A1) оператор M (L, p)-ограничен, p {0} N, (A2) L-спектр оператора M представим в виде L L L L L(M) = in(M) fin(M), in(M) fin(M) = , необходимые для получения основных результатов работы. В п. 1.2 приведены необходимые сведения из теории вырожденных разрешающих полугрупп операторов, сформулированы следующие условия:

(B1) X = X0 X1, (Y = Y0 Y1), (B2) существует оператор L-1 L(Y1; X1), (B3) оператор M (L, p)-секториален, p {0} N и L(M) = L L L in(M) fin(M), причем fin(M) содержится в ограниченной области с кусочно гладкой границей и L(M) = , необходимые в дальнейшем при получении результатов работы.

В п. 1.3 приведена абстрактная начально-конечная задача для линейного неоднородного уравнения соболевского типа. В п. 1.4 содержатся необходимые сведения об относительной резольвенте гильбертового сопряженного оператора. В п. 1.5 рассмотрена задача Штурма – Лиувилля на графе.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена изучению математической модели оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции как задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Хоффа на графе.

П. 2.1 содержит описание изучаемой математической модели (1) – (3), (5) на графе G(V; E). Введем в рассмотрение гильбертово пространство L2(G) = {g = (g1, g2,..., gj,...) : gj L2(0, lj)} со скалярным произведением lj g, h = dj gjhjds, EjE банахово пространство X = {x = (x1, x2,..., xj,...) : xj W2 (0, lj) и выполнено (1)}. Обозначим через Y сопряженное к X относительно двойственности ·, · пространство. Зададим операторы lj lj Lx, y = dj (jxjyj - xjsyjs)ds, Mx, y = jdj xjyjds.

j j 0 По построению L, M L(X; Y).

Показано, что для введенных функциональных пространств и операторов L, M выполняются условия (A1), (A2), поэтому изучаемую модель (1) – (3), (5) можно рассматривать в рамках абстрактной начальноконечной задачи, т. е. линейного уравнения соболевского типа L = Mx + f, (6) где оператор M (L, 0)-ограничен, с начально-конечными условиями (5), которые в данной ситуации примут вид (x(0) - x0), k k = 0, (x() - x ), k k = 0. (7) L L µkin(M) µkf in(M) Здесь k собственные функции оператора L, образующие ортонормированный базис пространства X.

В п. 2.2 доказаны существование и единственность сильного решения абстрактной начально-конечной задачи в случае (L, p)-ограниченного оператора M, а также существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи для линейной модели Хоффа на графе.

Определение 1. Вектор-функцию x H1(X) = {x L2(0, ; X) :

L2(0, ; X)} назовем сильным решением уравнения (6), если она почти всюду на (0, ) обращает его в тождество. Сильное решение x = x(t) уравнения (6) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если оно удовлетворяет (5).

Теорема 1 (2.2.1)8 Пусть выполнены условия (A1), (A2). Тогда.

для любых x0, x X и f Hp+1(Y) существует единственное сильное решение задачи (5), (6).

Теорема 2 (2.2.2). При любых j R+, j R, j = 0 при любом j и все j одного знака, x0, x X, u H1(Y) существует единственное сильное решение x H1(X) задачи (1) – (3), (7).

В п. 2.3 рассмотрена абстрактная задача оптимального управления L = Mx + y + Bu, (8) p+J(x, u) min, u H (U) (9) с начально-конечными условиями (5), где функции x, y и u лежат в гильбертовых пространствах X, Y и U соответственно, оператор B p+L(X; Y), H (U) замкнутое и выпуклое подмножество в гильбертовом пространстве управлений Hp+1(U) = {u L2(0, ; U) : u(p+1) L2(0, ; U), p {0} N}, а функционал качества J(x, u) определяется соотношением 1 k (q) J(x, u) = µ z(q) - z0 dt + Nqu(q), u(q) dt, (10) Z U q=0 q=0 где µ, 0, µ + = 1, 0 k p + 1, Nq L(U), q = 0, 1,..., k самосопряженные и положительно определенные операторы, z0 – плановое наблюдение из некоторого гильбертова пространства наблюдений Z, оператор C L(X; Z) задает наблюдение z(t) = Cx(t).

p+Определение 2. Пару (x, ) H1(X) H (U) назовем решением задачи оптимального управления (5), (8), (9), если J(x, ) = min J(x, u), p+(x,u)H1(X)H (U) В скобках указана нумерация в диссертации.

p+где пары (x, u) H1(X) H (U) удовлетворяют соотношениям (5), (8); вектор-функцию назовем оптимальным управлением решениями задачи (5), (8).

Теорема 3 (2.3.1). Пусть выполнены условия (A1), (A2). Тогда для любых y Hp+1(Y), x0, x X существует единственное решение задачи оптимального управления (5), (8), (9).

Теорема 4 (2.3.2). При любых j R+, j R одного знака, x0, x X, u H(U) существует единственное решение задачи оптимального управления (1) – (3), (7), (9).

В п. 2.4 строится сопряженная к (5), (8) задача -L = M + µC(Cx(t, u) - z0), Pin() = 0, Pfin(0) = 0. (11) Теорема 5 (2.4.2). Пусть выполнены условия (A1), (A2) и p = 0.

Тогда при любых y H1(Y) и z0 H1(Z) оптимальное управление H(U) решениями задачи (5), (8) удовлетворяет неравенству -1B(t, ), u(t) - (t) + U H1(Z) + Nq(q)(t), u(q)(t) - (q)(t) 0, u H(U), (12) U q=где (t, ) H1(Y) решение задачи (11).

В п. 2.5 содержится описание алгоритма численного метода и комплекса программ, написанного в вычислительной среде Maple и предназначенного для нахождения приближенного численного решения исследуемой задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа на графе.

В п. 2.6 содержатся результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие работу комплекса программ. Рассмотрены примеры нахождения решений исследуемой задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа на отрезке и двухреберном графе.

Пример 1 (2.6.2). Требуется найти решение задачи (1) – (3), (7), (9) на графе G, состоящем из двух последовательно соединенных ребер и трех вершин, при заданных коэффициентах 1 = -0, 5, 2 = -0, 6, 1,2 = 1, = 1, d1 = 0, 1, d2 = 0, 2, l1,2 = , функционал в (9) определяется соотношением (10), где µ = =, C = I, Nq = I, плановые наблюдения z01 = 1 + cos(s) + cos(s/2), z02 = 1 - cos(s) - sin(s/2).

Для примера 1 получены следующие результаты:

x1 = 0, 28t - 0, 01 + 0, 32e-0,75t+0,21 + 4, 73e-0,54t + (0, 93 - 0, 09t+ +0, 04t2 - 0, 08e-0,75t+0,21 + 0, 08e-0,54t) cos(s) + (-0, 02 + 0, 02t-0, 02t2 - 2, 05e-0,75t+0,21 - 2, 05e-0,54t + 0, 01e-0,75t+0,75) cos(s/2), x2 = 0, 28t - 0, 01 + 0, 32e-0,75t+0,21 + 4, 73e-0,54t - (0, 93 - 0, 09t+ +0, 04t2 - 0, 08e-0,75t+0,21 + 0, 08e-0,54t) cos(s) - (-0, 02 + 0, 02t-0, 02t2 - 2, 05e-0,75t+0,21 - 2, 05e-0,54t + 0, 01e-0,75t+0,75) sin(s/2), u1 = 0, 28 + 0, 15t + (0, 52 - 0, 06t + 0, 02t2) cos(s) + (0, 01 - 0, 03t-0, 01t2 cos(s/2), u2 = 0, 28 + 0, 15t - (0, 52 - 0, 06t + 0, 02t2) cos(s) - (0, 01 - 0, 03t-0, 01t2 sin(s/2), где x = col(x1, x2), u = col(u1, u2), минимальное значение функционала Jmin = 6, 15 на множестве допустимых управлений, заданном условием N (u2(t) + u2(t)) 5.

i i i=Построим найденные решения x1,2(t, s) и функции z01,02(t, s) в конечный момент времени.

Решения x1,2(, s) при N = 3 и функции z01,02(, s) соответственно Из рисунка видно, что функции x1,2(t, s) в конечный момент времени стремятся принять требуемую форму.

Третья глава состоит из шести параграфов и посвящена изучению математической модели оптимального регулирования потоков грунтовых вод в системе пластов как задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Дзекцера на графе.

П. 3.1 содержит описание изучаемой математической модели (1), (2), (4), (5) на графе G(V; E). Введем в рассмотрение гильбертово пространство Y = {y = (y1, y2,..., yj,...) : yj L2(0, lj)} и банахово пространство X = {x = (x1, x2,..., xj,...) : xj W2 (0, lj) и выполняются (1), (2)}.

Построим оператор B :x (-x1ss, -x2ss,..., -xjss,...), B L(X; Y), и оператор L = + B, R.

Введем в рассмотрение еще одно пространство dom M = {x X : xj W2 (0, lj) и xjss(0, t) = xkss(0, t) = xmss(lm, t) = xnss(ln, t), Ej, Ek E(Vi), Em, En E(Vi);

djxjsss(0, t) - dkxksss(lk, t) = 0}.

EjE(Vi) EkE(Vi) Формулой C : x (x1ssss, x2ssss,..., xjssss,...) зададим оператор C :

dom M Y, C L(dom M; Y) и построим оператор M = -B -C +.

По построению M Cl(X; Y), , , R.

Показано, что для построенных функциональных пространств и операторов L, M выполняются условия (B1) (B3), поэтому изучаемую модель (1), (2), (4), (5) можно рассматривать в рамках абстрактной начально-конечной задачи (5), (6) где оператор M (L, 0)-секториален, а условия (5) принимают вид (7).

В п. 3.2 доказаны существование и единственность сильного решения абстрактной начально-конечной задачи в случае (L, p)-секториального оператора M, а также существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи для линейной модели Дзекцера на графе.

Определение 3. Вектор-функцию x H1(X) назовем сильным решением уравнения (6), если она почти всюду на (0, ) обращает его в тождество. Сильное решение x = x(t) уравнения (6) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если lim Pfin(x(t) - x0) = 0, lim Pin(x(t) - x ) = 0.

t0+ tТеорема 6 (3.2.1). Пусть выполнены условия (B1) (B3). Тогда для любых x0, x X и f Hp+1(Y) существует единственное сильное решение задачи (5), (6).

Теорема 7 (3.2.2). При любых , R+ и , , R таких, что либо - (A), либо - (A) и - не является корнем уравнения / a2 + a - = 0, x0, x X, u H1(U) существует единственное сильное решение x H1(X) задачи (1), (2), (4), (7).

В п. 3.3 рассмотрена задача оптимального управления (5), (8), (9), где оператор M (L, p)-секториален, а функционал качества определяется соотношением (10). Под решением задачи оптимального управления мы понимаем то же, что и в п. 2.3.

Теорема 8 (3.3.1). Пусть выполнены условия (B1) (B3).Тогда для любых y Hp+1(Y), x0, x X существует единственное решение задачи оптимального управления (5), (8), (9).

Теорема 9 (3.3.2). При любых , R+ и , , R таких, что либо - (A), либо - (A) и - не является корнем уравнения / a2 + a - = 0, x0, x X, u H(U), существует единственное решение задачи оптимального управления (1), (2), (4), (7), (9).

В п. 3.4 в терминах сопряженной задачи найдены необходимые условия оптимальности управления.

Теорема 10 (3.4.2). Пусть выполнены условия (B1) (B3) и p = 0.

Тогда при любых y H1(Y) и z0 H1(Z) оптимальное управление H(U) решениями задачи (5), (8) удовлетворяет неравенству (12), где (t, ) H1(Y) решение задачи (11).

В п. 3.5 содержится описание алгоритма численного метода и программы, написанной в вычислительной среде Maple и предназначенной для нахождения приближенного численного решения рассматриваемой задачи оптимального управления для линейной модели Дзекцера на графе.

В п. 3.6 содержатся вычислительные эксперименты, иллюстрирующие работу программы. Рассмотрен пример нахождения приближенного решения исследуемой задачи оптимального управления для линейной модели Дзекцера на двухреберном графе.

В заключении представлены выводы по результатам исследований и их соответствие паспорту специальности.

В приложении представлено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Результаты, выносимые на защиту

.

1. Построена математическая модель оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции. Показана однозначная разрешимость задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для модели Хоффа на графе.

2. Построена математическая модель оптимального регулирования потоками грунтовых вод в системе пластов. Показана однозначная разрешимость задачи оптимального управления решениями начальноконечной задачи для модели Дзекцера на графе.

3. Доказано существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного уравнения соболевского типа.

4. Найдены необходимые условия оптимальности управления исследуемых задач.

5. Разработан и реализован с помощью комплекса программ для ЭВМ алгоритм численного метода решения исследуемых задач.

Публикации автора по теме диссертации Статьи, опубликованные в ведущих российских рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Дыльков, А.Г. Численное решение задачи оптимального управления для одной линейной модели Хоффа на графе / А.Г. Дыльков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2012. № 27 (286), вып. 13. С. 128–132.

2. Манакова, Н.А. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 4 (25).

С. 18–24.

3. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начальноконечной задачи для линейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2011. № 17 (234), вып. 8.

С. 113–114.

Другие научные публикации:

4. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейной модели Хоффа: свидетельство 2012618002 / Дыльков А.Г.

(RU); правообладатель ФГБОУ ВПО Южно-Уральский государственный университет (Национальный исследовательский университет).

2012618002; заявл. 09.07.2012; зарегистр. 05.09.2012, Реестр программ для ЭВМ.

5. Дыльков, А.Г. Задача оптимального управления для одной эволюционной модели / А.Г. Дыльков // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ Понтрягинские чтения XXII. Воронеж, 2011. С. 59–60.

6. Дыльков, А.Г. Оптимальное управление решениями одного линейного уравнения соболевского типа / А.Г. Дыльков // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. междунар. конф., посвящ.

памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 31 окт. – 5 нояб. 2011 г. Екатеринбург, 2011. С. 225–226.

7. Манакова, Н.А. Оптимальное управление для одной неклассической задачи для линейной модели Хоффа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Всероссийский научный семинар Неклассические уравнения математической физики, посвящ. 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (10 – 13 ноября 2010 г.): тез. докл. Ч. 1. Якутск, 2010.

С. 80–82.

8. Манакова, Н.А. Оптимальное управление для одной эволюционной модели / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // СамДиф 2011: конф.

Дифференциальные уравнения и их приложения, Самара, 26 – июня 2011 г.: тез. докл. Самара, 2011. С. 73–74.

9. Дыльков, А.Г. Численное решение задачи оптимального управления для одной линейной модели Хоффа на графе / А.Г. Дыльков // Измерения: состояние, перспективы развития: тез. докл. междунар.

науч.-практ. конф., г. Челябинск, 25 – 27 сентября 2012 г. В 2 т. Т. 1.

Челябинск, 2012. С. 86–88.

Подписано в печать 31.10.2012 г.

Формат 60 84 1/16. Усл. печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз. Заказ № 494.

Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 1Типография МаГУ




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.